1 Analoge und digitale Signale - hft.tu-berlin.de · ergibt,wasimBeispielvonAbb.7( ’= 5)einem fm= 12f1 entspricht,sodassdortalleOrdnungen jmj 6 berücksichtigt werden. Bei einer

Hochfrequenztechnik II Modulationsverfahren MOD/1

1 Analoge und digitale Signale

Modulationsverfahren werden benötigt, um ein vorhandenes Basisbandsignal s(t) über ein hochfre-

quentes Trägersignal zu übertragen. Dieses Signal kann vorliegen als analoges Signal s(t) mit der

Bandbreite ∆f . Wir sprechen dann auch von einem zeit- und wert-kontinuierlichem Signal. s(t) kann

aber auch vorliegen als ein wert- und zeit-diskretes Signal, wobei wir dann von einem digitalen Signal

s(t) sprechen.

1.1 Digitale Signale

Zur Gewinnung dieses digitalen Signales wird das Ursprungssignal mit einer festen Abtastrate fB ab-

getastet, und nur die Signalwerte zu diesen festen Abtastzeitpunkten werden übertragen (zeitdiskrete

Übertragung). Das analoge Ursprungssignal ist ohne jeglichen Verlust aus den zeitdiskreten Abtast-

werten wieder gewinnbar, wenn für die Abtastrate

fB > 2∆fa (1)

gilt (mit der Bandbreite ∆fa des analogen Ursprungssignals). Bei einem digitalen Signal werden diese

einzelnen Abtastwerte quantisiert übertragen. (wertdiskrete Übertragung), z. B. mit 2n Quantisie-

rungsstufen, wobei n die Anzahl der „bits” pro Abtastzeitpunkt beschreibt. Die benötigte Bitrate für

das digitale Signal ist dann durch

B = n · fB > 2n · ∆fa (2)

gegeben.

Beispiel: Wenn man von einem analogen Ursprungssignal mit ∆f = 5MHz Bandbreite ausgeht, das

mit n = 8, also 2n = 256 Quantisierungsstufen, übertragen werden soll, benötigt man eine

Bitrate von mindestens

B > 2 · 8 · 5 Mbit

s= 80

Mbit

s

Bei z. B. einem Videosignal lässt sich die Datenrate jedoch mit entsprechender Quellenkodierung,

z. B. MPEG, erheblich reduzieren.

Wenn ein digitales Signal mit der Bitrate B als binäres NRZ-Signal (NRZ – non-return-to-zero)

übertragen werden soll, muss der Übertragungskanal die Bandbreite

∆f =B

2(3)

bereitstellen, wie am Beispiel von Abb. 1 deutlich wird.

Man kann das NRZ-Signal in Abb. 1 auffassen als die Übertragung von B Symbolen pro Sekunde,

wobei jedes Symbol die Information von „1 bit” beinhaltet. Pro Symbol können in höherwertigen

Modulationsverfahren auch mehr Informationen übertragen werden, z. B. m-bits (d. h. z. B. pro Symbol

2m diskrete Amplitudenwerte), so dass sich dann die Symbolrate S zu

S =B

m

TU Berlin – Prof. Dr.-Ing. K. Petermann


1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

s(t)

t

max. FrequenzkomponenteB

2

Abb. 1: Binäres NRZ-Signal und die darin enthaltene maximale Frequenzkomponente B2 .

ergibt, und die erforderliche Bandbreite für dieses mehrstufige digitale Signal ist dann entsprechend zu

Gl. (3) als

∆f =S

2=

B

2m(4)

gegeben.

2 Trägermodulationsverfahren

Das eben diskutierte Signal s(t) soll nun mit einer Trägerfrequenz fT (bzw. ωT = 2π · fT ) in der

Hochfrequenz-Ebene übertragen werden. Das hochfrequente modulierte Signal uM(t) kann dann ge-

schrieben werden als:

uM(t) = UM(t) cos[ωT t + ϕ(t)] = <[u(t) exp(jωT t)] (5)

mit dem komplexen (jetzt zeitabhängigen) Zeiger u(t)

u(t) = UM(t) exp[jϕ(t)]. (6)

Wir wollen ein reelles Eingangssignal s(t) mit |s(t)| ≤ 1 voraussetzen, wobei der Zeiger u(t) dem

Eingangssignal s(t) in geeigneter Weise folgt. s(t) kann dabei sowohl als analoges als auch als digitales

Signal vorliegen.

Wie Gl. (6) zeigt, kann man u(t) bezüglich der Amplitude, der Phase oder der Frequenz modulieren.

Wir wollen im Folgenden diese verschiedenen Modulationsarten diskutieren.

Amplitudenmodulation: Bei einer reinen Amplitudenmodulation wird in Gl. (6) nur die Amplitude

UM(t) moduliert und die Phase ϕ(t) bleibt konstant (z. B. ϕ(t) = 0). Der zeitabhängige Zeiger

u(t) ist dann rein reell, und es gilt

u(t) = UM0[1 +m · s(t)] (7)

mit der mittleren Amplitude UM0 und demModulationsindex m mit m ≤ 1. Durch die Bedingung

(m ≤ 1) wird sicher gestellt, dass die Amplitude immer positiv reell bleibt.



Im Einzelnen sprechen wir von

s(t) analog ⇒ AM (Amplitudenmodulation)

s(t) digital ⇒ ASK (amplitude-shift keying – Amplitudenumtastung)

Phasen- und Frequenzmodulation (Winkelmodulation): Alternativ zur Amplitude lässt sich auch

die Phase oder Frequenz des Trägersignals modulieren. Die Amplitude ist dann konstant UM(t) =

UM0, und der Zeiger

u(t) = UM0 exp[jϕ(t)] (8)

beinhaltet dann die modulierte Phase ϕ(t). Bei einer Phasenmodulation gilt

ϕ(t) = ∆ϕ · s(t) (9)

mit dem Phasenhub ∆ϕ.

Wir sprechen dann von

s(t) analog ⇒ PM (Phasenmodulation)

s(t) digital ⇒ PSK (phase-shift keying – Phasenumtastung)

Alternativ zur Phase können wir auch die Frequenz modulieren. Bei einer Frequenzmodulation

führen wir zunächst die modulierte Frequenz f (t)

f (t) =1

2π

dϕ

dt(10)

ein, wobei f (t) dem Signal s(t) gemäß

f (t) = ∆fT · s(t) (11)

mit dem Frequenzhub ∆fT folgt. Wir sprechen dann von

s(t) analog ⇒ FM (Frequenzmodulation)

s(t) digital ⇒ FSK (frequency-shift keying – Frequenzumtastung)

2.1 Amplitudenmodulation

Bei einem Zeiger u(t) gemäß Gl. (7) (d. h. u(t) positiv reell), folgt aus Gl. (5) für das modulierte

Signal uM(t):

uM(t) = UM0[1 +m · s(t)] cos(ωT t), (12)

d. h.

uM(t) = UM0 cos(ωT t)︸︷︷︸Träger

+ UM0 ·m · s(t) cos(ωT t)︸︷︷︸Seitenbänder

(13)

Das modulierte Signal besteht damit aus einem Träger sowie den Seitenbändern, die die Information

s(t) beinhalten. Wenn wir die Fouriertransformierte von s(t)

s(t) d t S(jω) (14)



einführen, ergibt sich als Foueriertransformierte von uM(t):

uM(t) d t UM0 {π[δ(ω − ωT ) + δ(ω + ωT )]︸︷︷︸Träger

+m

2[S(j(ω − ωT )) + S(j(ω + ωT ))]︸︷︷︸

Seitenbänder

} (15)

mit der Dirac-Funktion δ(x).

Das Spektrum von Gl. (15) ist in Abb. 2 skizziert (für f > 0).

f =!

2"fTf = 0

2!f

Trager

S(j(! ! !T ))

Abb. 2: Spektrum eines amplitudenmodulierten Signals (dargestellt ist nur die positive Frequenzachse).

Wenn das Ursprungssignal s(t) eine Bandbreite ∆f aufweist, benötigt man nach Abb. 2 in der

Hochfrequenz-Ebene die doppelte Bandbreite 2∆f für das modulierte Signal.

Ein weiterer Nachteil der normalen Amplitudenmodulation besteht darin, dass im Träger ein erheblicher

Leistungsanteil steckt.

Um dies zu illustrieren, nehmen wir ein harmonisches Basisbandsignal

s(t) = cos(ω1t) (16)

an, woraus sich ein uM(t) gemäßt Gl. (13) von

uM(t) = UM0 cos(ωT t) + UM0m cos(ω1t) cos(ωT t) (17)

ergibt. Die mittlere Leistung von uM(t) lässt sich dann angeben als

P ∝ u2M(t) =

U2M0

2

1︸︷︷︸Träger

+m2

2︸︷︷︸Seitenbänder

Beispiel: Wenn wir einen Mittelwellen-AM-Sender mit einer Leistung von 500 kW und m = 0, 7

annehmen, werden 400 kW im Träger und nur 100 kW in den Seitenbändern übertragen.

Die normale Amplitudenmodulation (AM) ist deshalb eigentlich unwirtschaftlich. Ein sehr hoher Lei-

stungsanteil wird nur für die Übertragung des Trägers verwendet (ohne Informationsanteil) und die

Seitenbänder, die die eigentliche Information beinhalten, haben nur einen relativ kleinen Leistungsan-

teil. Weiterhin ist die benötigte Bandbreite doppelt so groß wie die Basisbandbreite.

Trotzdem wird die AM noch viel verwendet im analogen Rundfunk im Bereich der LW (Langwelle),

MW (Mittelwelle) und KW (Kurzwelle). Der Grund dafür liegt in der Verwendung sehr einfacher



Rundfunkempfänger, bei denen aus dem hochfrequenten Signal uM(t) das Basisbandsignal mit |UM(t)|durch lineare Hochfrequenzgleichrichtung (vgl. Abschnitt MI) gewonnen wird.

Eine leichte Verbesserung bezüglich der übertragenen Trägerleistung lässt sich mit der dynamischen

Amplituden-Modulation (DAM) erreichen, bei der die Trägerleistung bei geringerem Modulationsindex

m herabgesetzt wird.

2.1.1 Trägerlose Amplitudenmodulation

Da der Träger keine Information überträgt, braucht er eigentlich auch nicht mit übertragen zu werden.

Statt Gl. (13) erhält man dann

uM(t) = UM0 ·m · s(t) cos(ωT t) (18)

einfach aus der Multiplikation von s(t) mit cos(ωT t), was sich mit einer Mischschaltung (vgl. Abschnitt

MI) einfach realisieren lässt. Das Spektrum der trägerlosen Amplitudenmodulation entspricht genau

Abb. 2 ohne Träger.

Der Nachteil der trägerlosen Amplitudenmodulation besteht darin, dass am Empfänger der Träger, also

ein Signal ∝ cos(ωT t), wieder bereitgestellt werden muss. Dieses kann geschehen mit der Übertragung

eines Träger-Restes (also Träger mit reduzierter Amplitude) und anschließender PLL (Phasenregel-

kreis, vgl. Abschnitt PLL).

Mit einem derart im Empfänger wieder erzeugten Träger kann entweder ein Signal entsprechend Gl.

(12) und (13) wieder erzeugt werden. Gl. (18) kann auch mit cos(ωT t) multipliziert und anschließend

tiefpassgefiltert werden, um s(t) zurückzugewinnen.

Der Nachteil der trägerlosen Amplitudenmodulation besteht darin, dass zwei Seitenbänder übertragen

werden und damit wie bei der normalen AM eine Bandbreite von 2∆f benötigt wird.

2.1.2 Einseitenbandmodulation

Da beide Seitenbänder der trägerlosen AM die gleiche Information tragen, genügt es, nur eines der

beiden Seitenbänder zu übertragen. Man spricht dann von der so genannten „Einseitenbandmodulation”

(EM bzw. SSB – single-sideband modulation).

Ein solches Einseitenband-Signal lässt sich z. B. aus einer trägerlosen AM mit anschließender Filterung

gewinnen (siehe Abb. 3).

f =!

2"fTf = 0

2!f

Filter

Abb. 3: Gewinnung eines Einseitenband-Signals aus der trägerlosen Amplitudenmodulation mit an-

schließender Filterung.



Alternativ lässt sich ein Einseitenband-Signal auch mit einem so genannten „Quadraturmodulator”

gewinnen, wie schematisch Abb. 4 zeigt.

Abb. 4: Schematische Anordnung zur Gewinnung eines Einseitenband-Signals mit

Quadraturmodulator.

Diese Anordnung besteht aus zwei Multiplikatoren, die zur Multiplikation von cos(ωT t) bzw. sin(ωT t)

mit s(t) bzw. dem um 90◦ verschobenen s(t) führen: Bei den beiden Multiplikationen entstehen jeweils

zwei Seitenbänder, wobei bei der anschließenden Addition am Ausgang nur ein Seitenband übrig bleibt.

Die Herausforderung der Realisierung von Abb. 4 besteht darin, über die gesamte Bandbreite von s(t)

eine 90◦-Verschiebung zu gewährleisten (eine 90◦-Phasenverschiebung für alle Spektralkomponenten

von s(t)). Das so erzeugte Signal sH(t) stellt dann die „Hilbert-Transformierte” von s(t) dar.

Im Empfänger lässt sich das Basisbandsignal s(t) wieder gewinnen, indem das Einseitenband-Signal

mit cos(ωT t) multipliziert wird.

2.1.3 Restseitenbandmodulation

Zur korrekten Rückgewinnung des Signals s(t) aus einem Einseitenband-Signal muss im Empfänger das

Trägersignal mit der exakten Phase erzeugt werden. Dazu kann es zweckmäßig sein, einen Restträger

mit zu übertragen. Weiterhin ist es gerade bei sehr breitbandigen Signalen (z. B. Video-Signalen)

schwierig, entweder das Filter in Abb. 3 oder die 90◦-Verschiebung genau so zu realisieren, dass nur

genau ein Seitenband übrig bleibt.

Es kann deshalb sinnvoll sein, neben dem oberen Seitenband auch einen Teil des unteren Seitenbands

mit zu übertragen. Man spricht dann von „Restseitenbandmodulation” (auch VSB – vestigal-sideband

modulation).

Die Restseitenbandmodulation soll am Beispiel des analogen TV-Rundfunks (aktuell noch verwendet

im Kabelfernsehen) erläutert werden.

Im Abb. 5 ist das Restseitenband-modulierte Signal dargestellt, wobei das obere Seitenband (bezüglich

des Bildträgers) vollständig erhalten ist, während das untere Seitenband durch ein Filter beschnitten

ist.



a) !1 0 1 2 3 4 5 6 MHzf ! fT

Bildtrager Tontrager

b) !1 0 1 2 3 4 5 6 MHzf ! fT

Bildtrager Tontrager

Nyquist-Flanke

c) 0 1 2 3 4 5 6 MHzf

Tontrager

Abb. 5: Resteitenbandmodulation bei der analogen TV-Übertragung: a) Restseitenband-Signal, b) ge-

filtertes Restseitenband-Signal (mit Nyquist-Flanke) und c) Basisband-Signal am Mischerausgang.

Dieses Signal aus Abb. 5a) wird durch ein Filter mit der so genannten „Nyquist-Flanke” geschickt, so

dass dann das Spektrum in Abb. 5b) entsteht.

Nach nachfolgender Mischung (Multiplikation mit dem Bildträger der Frequenz fT ) ergibt sich dann

wieder das Basisband-Signal in Abb. 5c).

2.2 Phasen- und Frequenzmodulation (Winkelmodulation)

Bei einer Phasen- bzw. Frequenzmodulation ist der komplexe zeitabhängige Zeiger u(t) gemäß Gl. (8),

also u(t) = UM0 exp[jϕ(t)] gegeben, wobei entweder ϕ(t) oder dϕdt proportional zum Basisband-Signal

s(t) werden.

Z. B. bei einem frequenzmodulierten Signal gilt mit den Gl. (10) und (11):

dϕ

dt= 2π∆fT · s(t) (19)

bzw. für die Phase

ϕ(t) = 2π∆fT

∫s(t) dt, (20)

so dass man für das modulierte Signal

uM(t) = <[u(t) exp(jωT t)

]= UM0 cos

[ωT · t + 2π∆fT

∫s(t) dt

](21)

erhält. Die spektralen Eigenschaften von uM(t) lassen sich so nur schwer abschätzen, so das wir uns

im folgenden zunächst auf die Analyse mit einem harmonischen Basisband-Signal beschränken wollen.



2.2.1 Winkelmodulation mit harmonischem Signal s(t)

Wir betrachten ein sinusförmiges s(t):

s(t) = sin(ω1t), (22)

so dass sich bei einer Phasenmodulation mit dem Phasenhub ∆ϕ ergibt:

ϕ(t) = ∆ϕ sin(ω1t). (23)

Diese Phasenmodulation lässt sich auch als eine Frequenzmodulation auffassen mit der Momentanfre-

quenz

f (t) =1

2π

dϕ

dt= ∆ϕ · f1︸︷︷︸

∆fT

· cos(ω1t), (24)

wobei

∆fT = ∆ϕ · f1 (25)

den Frequenzhub bezeichnet (f1 = ω12π ). Unter Berücksichtigung des Zusammenhangs zwischen Fre-

quenzhub und Phasenhub in Gl. (25) sind Frequenz- und Phasenmodulation praktisch äquivalent. Zur

Analyse des Spektrum eines phasen- bzw. frequenzmodulierten Signals genügt es, das Spektrum von

u(t) zu analysieren (Das Spektrum von uM(t) folgt dann durch Verschiebung um ±ωT ).u(t) ist gegeben als

u(t) = UM0 exp[jϕ(t)] = UM0 exp[j∆ϕ sin(ω1t)] (26)

u(t) ist damit periodisch mit der Frequenz ω1, so dass sich u(t) als Fourierreihe schreiben lässt:

u(t) =+∞∑

m=−∞Um exp(jmω1t). (27)

Die Fourierkoeffizienten ergeben sich dann als

Um = UM0Jm(∆ϕ) (28)

mit der Besselfunktion Jm(x), die gemäß

Jm(x) =1

2π

+π∫−π

exp(jx sin(y)− jm · y) dy (29)

definiert und in Abb. 6 für m = 0 . . . 5 dargestellt ist. Für negative Ordnungen m gilt J−m(x) =

(−1)mJm(x).

Gl. (27) besitzt unendlich viele Spektralkomponenten, so dass eigentlich zur Übertragung eines phasen-

bzw. frequenzmodulierten Signals eine unendlich große Bandbreite erforderlich ist.

Beispielsweise zeigt Abb. 7 die Spektrallinien (=Um) bei einer Phasenmodulation mit ∆ϕ = 5.

Bei sehr hohen Ordnungen m werden die Spektrallinien immer kleiner, so dass sehr hohe Ordnungen

vernachlässigt werden können. Eine gute Näherung besteht darin, alle Spektralkomponenten mit zu

berücksichtigen, bei denen |Jm(∆ϕ)| ≥ 0, 1 gilt, so dass sich dann die benötigte Bandbreite ∆fm zu

∆fm ≈ 2f1(∆ϕ+ 1) (30)



Jm

x

J0

J1J2

.J3

.

J4

.

J5

.

Abb. 6: Besselfunktionen Jm(x) der Ordnungen m = 0 . . . 5.

m!6 !4 !2 2 4 6!0, 1

0, 1

Um

UM0

!fm

Abb. 7: Die Komponenten Um der Fourierreihe führen zu Spektralkomponenten von u(t) bei m · ω1

und von uM(t) bei (ωT +m · ω1) und (−ωT −m · ω1). Annahme: Phasenhub ∆ϕ = 5.



ergibt, was im Beispiel von Abb. 7 (∆ϕ = 5) einem ∆fm = 12f1 entspricht, so dass dort alle Ordnungen

|m| ≤ 6 berücksichtigt werden. Bei einer Frequenzmodulation mit dem Zusammenhang zwischen

Phasen- und Frequenzhub gemäß Gl. (25) führt Gl. (30) auf

∆fm ≈ 2(f1 + ∆fT ). (31)

Eine Frequenzmodulation ist einfach möglich mit einem spannungsgesteuerten Oszillator, und die

Demodulation kann einfach mit einer PLL (vgl. Abschnitt PLL) erfolgen.

Beispiel: FM-Rundfunk; hier gilt für die maximale Modulationsfrequenz f1 ≈ 15 kHz, der Frequenz-

hub ist ∆fT = 75 kHz, woraus sich eine HF-Bandbreite von ∆fm = 180 kHz ergibt.

3 Bewertung analoger Modulationsverfahren

Für die Bewertung der Modulationsverfahren ist bei gegebener Basisbandbreite ∆f einmal die benö-

tigte Hochfrequenzbandbreite ∆fm von Interesse. Weiterhin ist von Interesse, welches Signal/Rausch-

Verhältnis im Basisband nach der Demodulation bei einem gegebenen Signal/Rausch-Verhältnis in der

Hochfrequenz-Ebene erreicht werden kann.

> DemodulatorSHF , WHF SNF , WNF

S

N

!!!!NF

S

N

!!!!HF

Abb. 8: Empfänger mit Demodulator.

Dieser Zusammenhang soll mit Hilfe von Abb. 8 erläutert werden. Wir haben zunächst auf der

Hochfrequenz-Ebene eine Signalleistung SHF und eine spektrale Rauschleistungsdichte WHF vorlie-

gen, so dass wir mit der Hochfrequenzbandbreite ∆fm auf der Hochfrequenzseite ein Signal/Rausch-

Verhältnis vonS

N

∣∣∣∣∣∣HF

=SHF

WHF · ∆fm(32)

erhalten. Nach der Demodulation ergibt sich auf der Niederfrequenzseite

S

N

∣∣∣∣∣∣NF

=SNF

WNF · ∆f, (33)

und man kann nun für die verschiedenen Modulationsverfahren einen Störabstands-Verbesserungs-

Faktor einführen, der die Signal/Rausch-Verhältnisse auf der Hochfrequenz- und Niederfrequenz-Ebene

zueinander in Beziehung setzt. Wir wollen hier einen modifizierten Verbesserungsfaktor V gemäß

V =SNF /WNF

SHF /WHF=

SN

∣∣∣NF

SN

∣∣∣HF

∆f

∆fm(34)



einführen, der die Signalleistungen mit den jeweiligen spektralen Rauschleistungsdichten verknüpft.

Zur Analyse gehen wir vereinfachend von einem harmonischen Basisband-Signal s(t) = sin(ω1t) aus:

Als Referenz dient die Einseitenbandmodulation, bei der trivialerweise mit V = VEM

VEM = 1 (35)

gilt, da bei der Einseitenbandmodulation das Spektrum nur verschoben wird. In diesem Sinn gibt V

gerade den Faktor an, um den sich bei gegebener Hochfrequenzleistung SHF das Signal/Rausch-

Verhältnis nach dem Demodulator verbessert. Für die Amplitudenmodulation gilt

VAM =m2/2

1 + m2

2

, (36)

und damit VAM < 1, was im Wesentlichen daran liegt, dass ein hoher Anteil der Hochfrequenzleistung

für die Übertragung des Trägers aufgebracht werden muss. Beim Vergleich mit Gl. (17) entspricht

VAM gerade dem Leistungsanteil in den Seitenbändern im Vergleich zur Gesamtleistung. Bei Phasen-

modulation gilt (ohne Beweis)

VPM =∆ϕ2

2. (37)

Für kleine Phasenhübe ∆ϕ� 1 verhält sich eine Phasenmodulation genau so wie eine Amplitudenmo-

dulation mit m = ∆ϕ.

Bei einer Frequenzmodulation ist zu berücksichtigen, dass der Phasenhub ∆ϕ bei gegebenem Fre-

quenzhub ∆fT gemäß Gl. (25) von der Modulationsfrequenz f1 abhängt. Wenn man über alle Modu-

lationsfrequenzen innerhalb der Bandbreite ∆f mittelt, ergibt sich aus Gl. (37) mit ∆ϕ = ∆fT /f1 aus

Gl. (25)

1

VFM=

1

∆f

∆f∫0

1

VPM(f1)df1 =

1

∆f

∆f∫0

2

∆ϕ2df1 =

1

∆f

∆f∫0

2f 21

∆f 2T

df1 (38)

zu

VFM =3

2

(∆fT∆f

)2

. (39)

Für das oben angegebene Beispiel des FM-Rundfunks ergibt sich mit ∆fT = 75 kHz und ∆f = 15 kHz

ein VFM = 37, 5 (=15, 7 dB). Dies bedeutet bei gegebener Hochfrequenzleistung ein um den Fak-

tor 37, 5 höheres erreichbares Signal/Rausch-Verhältnis im Basisband als bei Einseitenbandmodulati-

on. Für diese Erhöhung des Signal/Rausch-Leistungs-Verhältnisses muss man aber mit der erhöhten

Hochfrequenzbandbreite ∆fm gemäß Gl. (31) bezahlen.

Die Erzielung des Verbessungsfaktors gemäß Gl. (37) und (39) bei Phasen- bzw. Frequenzmodula-

tion setzt allerdings voraus, dass das Signal/Rausch-Leistungs-Verhältnis auf der HochfrequenzseiteSN

∣∣∣HF≥ 1 ist. Man spricht dabei von der so genannten „FM-Schwelle”. Oberhalb dieser FM-Schwelle

sind sogar noch höhere Verbesserungsfaktoren als in Gl. (39) möglich, wenn die höheren Modulations-

frequenzen bei der Modulation angehoben werden und bei der Demodulation wieder abgesenkt werden

(Präemphase/Deemphase).



4 Digitale Modulationsverfahren

Auch bei den bisher diskutierten Modulationsverfahren kann das Basisband-Signal s(t) sowohl ana-

loger als auch digitaler Natur sein. Für digitale Modulationsverfahren sind aber insbesondere PSK,

QAM (Quadratur-Amplituden-Modulation) und OFDM (orthogonal frequency-division multiplex) von

Interesse.

4.1 Phasenumtastung (PSK)

Wir gehen wieder vom modulierten Signal entsprechend Gl. (5) mit dem komplexen Zeiger u(t) aus.

Bei einer reinen Phasenumtastung bleibt die Amplitude |u(t)| konstant, und nur die Phase ändert sich,

so dass sich bei binärer PSK in der komplexen Ebene ein u(t) wie in Abb. 9 ergibt.

!(u)

!(u)

0 1

!UM0 UM0

Abb. 9: Binäre Phasenumtastung (PSK).

Der Zeiger u(t) ist dabei u(t) = UM0 exp(j · 0) für die „1” und u(t) = UM0 exp(j · π) für die „0”.

Diese binäre Phasenumtastung entspricht praktisch einer trägerlosen Amplitudenmodulation (bzw.

-umtastung), da u(t) zwischen u(t) = UM0 und u(t) = −UM0 umgestastet wird.

Es entstehen wie bei der normalen trägerlosen Amplitudenmodulation zwei Seitenbänder, die die gleiche

Information tragen. Weiterhin ist wegen der binären Modulation die Symbolrate (in Baud oder Bd)

gleich der Bitrate.

Um mehr Informationen pro Symbol zu übertragen, kann man auch pro Symbol eine Quantisierung in

mehr Phasenzustände vornehmen. Ein Beipiel dafür ist die quaternäre Phasenumtastung (QPSK) in

Abb. 10. Pro Symbol können hier vier unterschiedliche Phasen und damit 2 bit übertragen werden.

Die Bitrate wird damit doppelt so groß wie die Symbolrate.

Sowohl <[u(t)] als auch =[u(t)] besitzen jeweils zwei Zustände, mit denen sich das modulierte Signal

uM(t) in Gl. (5) schreiben lässt:

uM(t) = <[u(t) exp(jωT t)]

= <[u(t)] cos(ωT t)−=[u(t)] sin(ωT t) (40)

Das Signal in Gl. (40) lässt sich einfach mit einem Quadraturmodulator (vgl. Abb. 4) erzeugen, wie



!(u)

!(u)

00

01

10

11

Abb. 10: Quaternäre Phasenumtastung (QPSK).

Abb. 11 zeigt. Bei der QPSK sind sowohl <[u(t)] als auch =[u(t)] binäre Signale, aus denen schließlich

das quaternäre modulierte Signal uM(t) erzeugt wird.

Abb. 11: Quadraturmodulator zur Gewinnung von QPSK- oder QAM-Signalen.

Auch bei der QPSK ist wie bei der binären PSK der Träger unterdrückt.1 Allerdings enthalten das

obere und untere Seitenband der QPSK unterschiedliche Informationen.

4.2 Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM)

Um pro Symbol noch mehr Zustände übertragen zu können, ist es zweckmäßig, sowohl die Amplitude

als auch die Phase zu variieren, und man gelangt so beispielsweise zurQuadratur-Amplitudenmodulation

(QAM). Das Konstellationsdiagramm einer 16-QAM zeigt Abb. 12. Sowohl der <[u(t)] als auch der

=[u(t)] weisen vier Zustände auf, und das modulierte Signal kann dann wieder wie in Abb. 11 erzeugt

1Dies gilt zumindest, wenn alle Zustände gleich wahrscheinlich sind.



werden.

!(u)

!(u)

Abb. 12: Konstellationsdiagramm einer 16-QAM (Quadratur-Amplitudenmodulation).

Bei einer 16-QAM werden pro Symbol 4 bit übertragen, so dass die Bitrate viermal so groß wie die

Symbolrate wird.

Mit zunehmender Anzahl verschiedener Zustände pro Symbol steigt zwar bei gegebener Symbolrate

(und damit gegebener Hochfrequenzbandbreite) die Bitrate an, aber auch die Anforderungen an das

Signal-Rauschleistungs-Verhältnis ( SN ) steigen.

Modulationsverfahren binäre PSK QPSK 16-QAM 64-QAM

benötigtes SN 9 dB 12 dB 19 dB 25 dB

Tabelle 1: Erforderliches SN bei unterschiedlichen Modulationsverfahren für eine Fehlerhäufigkeit von

10−4 (Meinke,Gundlach, Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, Springer 1992, S. O 28).

4.3 OFDM (orthogonal frequency-division multiplex)

In der terrestrischen Funkübertragung gibt es häufig das Problem der so genannten „Mehrwegeaus-

breitung”, wie schematisch Abb. 13 zeigt.

Zwischen Sender und Empfänger gibt es beispielsweise einen direkten Pfad mit der Laufzeit τ und

einen weiteren Signalweg der Laufzeit τ + ∆τ , so dass sich dann eine Impulsantwort der Länge ∆τ

ergibt. Für eine eindeutige Übertragung mit geringem Symbolnebensprechen ist es dann zweckmäßig,

ein Modulationsverfahren mit einer Symboldauer TS größer als ∆τ bzw. einer Symbolrate kleiner als1

∆τ zu verwenden.

Um bei geringen Symbolraten trotzdem hohe Datenraten zu übertragen, wird häufig die so genannte

„orthogonal frequency-division multiplex” (OFDM)-Modulation angewandt. Dazu wird das modulierte

Signal in sehr viele (z. B. > 1000) Hochfrequenz-Subträger aufgeteilt, die dann jeder für sich mit

QPSK oder QAM geringerer Daten- bzw. Symbolrate moduliert werden.

Das modulierte Signal uM(t) lässt sich dann wieder ähnlich wie in Gl. (5) mit u(t) darstellen:

uM(t) = <[u(t) exp(jωT t)], (41)



!! + !!

Sendeantenne

Empfangsantenne

Abb. 13: Problem der Mehrwegeausbreitung: Das Signal erreicht den Empfänger auf unterschiedlichen

Wegen und damit zu verschiedenen Zeitpunkten.

wobei sich

u(t) =N−1∑n=0

Un exp(j2π · n · δf · t) (42)

aus N Subträgern der jeweiligen Frequenzen n · δf zusammensetzt. Un ist z. B. entsprechend einer

QAM kodiert und bleibt jeweils für eine Symboldauer TS = 1δf konstant. Das Spektrum eines solchen

OFDM-Signals ist in Abb. 14 skizziert.

fT =!T2"

. . . . . .

!f fT + n · !f

f

fn = N · !f

Abb. 14: Schematische Darstellung eines OFDM-Spektrums.

Das gesamte Spektrum das OFDM-Signals hat eine Breite von N · δf = fn. Die Übertragung dieses

Signals u(t) erfolgt dann zeitdiskret (t = i · ∆t mit Zeitintervallen ∆t = 1fn

= 1N·δf = TS

N ).

Für t = i ·∆t stellt Gl. (42) eine diskrete Fouriertransformation zwischen Un und u(i ·∆t) dar, so dass

sich u(t) und damit das modulierte Signal uM(t) durch eine inverse FFT (fast Fourier transform) und

eine Quadratur-Amplitudenmodulation leicht gewinnen lässt, wie Abb. 15 zeigt (vgl. auch Abb. 11).

Am Empfänger können die Daten U0 . . . UN−1 wieder durch eine Fouriertransformation gewonnen

werden.

In der obigen vereinfachten Betrachtung sind wir von einer Symbolrate von 1TS

= δf ausgegangen.

Tatsächlich ist die praktisch übertragene Symbolrate etwas geringer, da zwischen den Symbolen noch

Schutzintervalle eingeführt werden. Für das Beispiel der Mehrwegeausbreitung in Abb. 13 sollte das



Abb. 15: Prinzip der Gewinnung eines OFDM-Signals.

Schutzintervall länger als ∆τ sein, um ein Übersprechen aufeinander folgender Symbole zu vermeiden.

Beispiele für OFDM-Übertragung sind z. B. DAB (digital audio broadcast), DRM (digital radio mondiale),

DVB-T (digital video broadcast-terrestrial) oder DSL (digital subscriber line).


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1 Analoge und digitale Signale - hft.tu-berlin.de · ergibt,wasimBeispielvonAbb.7( ’= 5)einem fm= 12f1 entspricht,sodassdortalleOrdnungen jmj 6 berücksichtigt werden. Bei einer