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Gleichungenim Mathematikunterricht
der Klassen 5 bis 10
Teil I
Didaktik der Algebra (11)
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Gleichungen waren bis zu Beginn des
20. Jahrhunderts der zentrale Begriff in der
Mathematik. In der Geschichte der Algebra haben
die Gleichungen von je her eine bedeutende
Rolle gespielt; vielfach waren weite Teile der
Mathematik eigentlich eine Theorie der
Gleichungen.
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Viele bedeutende Sätze in der Mathematik
können dem Lösen bzw. der Gültigkeit von
Gleichungen zugeordnet werden. Nicht nur in
der Algebra spielte das Lösen von
Gleichungen bzw. Gleichungen als
Ausdrucksmittel eine wichtige Rolle.
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Ein Nachteil der klassischen Gleichungslehre in
der Schule war vor allem eine Beziehungs-
losigkeit verschiedener Gleichungstypen und
ihrer Lösungsverfahren. Die Methoden der Logik
und Mengenlehre sollten hier u.a. eine
einheitliche, systematische Sicht bringen.
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Logik und Mengenlehre verhalfen zwar zu einem
einheitlichen Begriffsapparat, aber mit der sog.
Neue Mathematik ergaben sich auch die
bekannten Nachteile der Überbetonung des
Formalismus und des Verlustes des Inhaltlichen.
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Das Zurückschrauben der Reform brachte für die
Gleichungen im Mathematikunterricht vor allem
eine Orientierung zum Inhaltlichen und eine
Reduktion der Terminologie. Später kam die
Auseinandersetzung mit Fehlermustern und der
unterschiedlichen Vorstellung von Schülern und
Lehrern hinzu.
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Die Existenz und der Einsatz von Computer-
programmen zum Lösen von Gleichungslösen führt
derzeit zu einer Verschiebung der Lernziele beim
Gleichungslösen. Es wird mehr Wert auf das
Verständnis und Grundfähigkeiten und weniger auf
die Perfektionierung von algorithmischen
Fähigkeiten gelegt.
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Die große Bedeutung von Gleichungen als
Ausdrucksmittel in der Mathematik wird deutlich,
wenn man die Verwendung von Gleichungen in
den verschiedenen Teilgebieten betrachtet.
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Für den Bereich der Zahlen ist festzustellen, dass
grundlegende Eigenschaften der Zahlbereiche formal
durch Gleichungen beschrieben werden
(Kommutativgesetz, Assoziativgesetz ...).
Auch Beziehungen zwischen Rechenoperationen
werden durch Gleichung ausgedrückt:
a + b = c a = b - c.
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Auch die Termumformungen basieren auf
Gleichungen. Hier handelt es sich um
allgemeingültige Gleichungen, bei denen beide Seiten
Terme sind.
Terme ergeben sich häufig als Rechenschemata, die
durch Umformungen zu Formeln werden. Formeln
sind wiederum ein anderer Typ von Gleichungen.
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Eigenschaften von Funktionen werden ebenfalls
häufig durch Gleichungen ausgedrückt, so z.B. die
Symmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x).
Aber auch die Verwendung von Funktion liefert
vielfältige Gleichungen, z.B. bei der
Nullstellenberechnung usw..
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Bevor konkret die Behandlung von Gleichungen im
Mathematikunterricht betrachtet wird, sollen einige
Aspekte zum Umgang mit Gleichungen diskutiert
werden. Hier handelt es sich um
das Lernen von Algorithmen für Gleichungen,das Umformen von Gleichungen,das Lösen von Sachaufgaben.
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Bei den Algorithmen für Gleichungen geht es
vor allem um Algorithmen zum
Gleichungslösen.
Ein schnelles und sicheres Lösen von
Gleichungen setzt eine algorithmische
Lösungsstrategie voraus.
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Bei elementaren Gleichungen über Q bzw. R
sind sich die Schüler meist nicht bewusst, dass
sie Algorithmen verwenden. Durch den zeitlich
langen Umgang mit Zahlen haben sie sich diese
Algorithmen unbewusst angeeignet.
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Haben Schüler die entscheidenden Ideen eines
neuen Algorithmus nicht verstanden, so werden
sie ihn relativ schnell wieder vergessen bzw.
leicht Fehler bei der rein schematischen
Anwendung machen.
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Nach wiederholte Anwendung eines Algorithmus
neigen viele Schüler zu Verkürzungen. Gerade
wenn wenig Erfahrung mit einem neuen
Algorithmus vorliegt, ist vor einem
Verkürzungsstreben zu warnen.
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Das sichere Beherrschen eines Algorithmus setzt
verschiedene, hierarchisch geordnete Fähigkeiten
voraus. Beim Lösen von linearen Gleichungen
beispielsweise sind dies Kenntnisse über
globale Vereinfachungsstrategien für lineare Gleichungen,Äquivalenzumformungen für Gleichungen,Termumformungen,Grundrechenarten.
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Das Entwickeln von Algorithmen zur Lösung von
Klassen bestimmter Aufgaben ist eine
mathematisch-kreative Leistung. Die Fähigkeit zur
Algorithmisierung ist von großer Bedeutung und ist
als Ziel des Mathematikunterrichts unbedingt zu
fördern.
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Demgegenüber ist eine Überbetonung des
algorithmischen Arbeitens zu vermeiden, da
dadurch Problemlösefähigkeiten nicht gefördert
werden. Algorithmisches Arbeiten dient vor allem
dazu, bei Problemlöseaufgaben Teile des Problems
ohne großen Aufwand zu bearbeiten und somit den
Kern des Problems im Auge zu behalten.
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Umformen von Gleichungen
Beim Umformen müssen die Schüler zwei Typen
unterscheiden: Zum Einen die Termumformungen,
wo nur beide Seiten der Gleichung unabhängig
voneinander sind, und zum Anderen die
Äquivalenzumformungen von Gleichungen, wo
beide Seiten abhängig voneinander umgeformt
werden.
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Für die Äquivalenzumformungen von
Gleichungen gibt es als klassische
Grundvorstellung das Waagemodell. Aber auch
die Repräsentation anhand von Längen oder die
Verwendung von Elementarumformungsregeln
werden als mögliche Erklärungsansätze
genannt.
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Nach dem Waagemodell kann man auf beiden
Seiten der Gleichung das gleiche tun, so wie
man bei einer (Balken-)Waage im Gleichgewicht
auf beiden Waagschalen gleiche
Gewichtsveränderungen vornehmen kann, ohne
dass die Waage aus dem Gleichgewicht gerät.
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Nachteil des Waagemodells ist, dass z.B. die
Multiplikation einer Gleichung mit negativen Zahlen
nicht erklärt werden kann. Entsprechende
Einschränkungen gibt es beim Längenmodell.
Malle (1993) schlägt deshalb die Elementar-
umformungsregeln als Alternative vor, die allerdings
keine anschauliche Vorstellung liefern.
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Bei Elementarumformungsregeln handelt es
sich um zwei grundlegende Regeln:
additiv: A + B = C A = C - B,
multiplikativ: A · B = C A = C : B (B 0).
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Lösen von Sachaufgaben
Sachaufgaben/Textaufgaben sind i.a. bei Schülern
besonders unbeliebt. Das Hauptproblem besteht
dabei in der Erfassung
der relevanten Informationen und dem Aufstellen
einer Gleichung. Das Lösen der Gleichung dagegen
bereitet häufig keine Probleme.
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Viele Sachaufgaben, die im Mathematik-unterricht
behandelt werden, sind sog. „eingekleidete
Aufgaben“, deren Inhalt in der Regel keinen Sinn
gibt. Dennoch haben einige dieser Aufgaben einen
Knobelcharakter, der durchaus motivierend wirken
kann.
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Beispiel:
Eine fünfköpfige Familie ist zusammen 142 Jahre
alt. Die Tochter ist halb so alt wie die Mutter, die
um vier Jahre jünger ist als der Vater. Der Sohn
ist um vier Jahre jünger als seine Schwester und
um ein Jahr älter als sein Bruder. Wie alt sind die
einzelnen Personen?
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Forderungen
Sachaufgaben sollen:
echte Umweltprobleme der Schüler ansprechen;einfach und klar in den Formulierungen sein, so dass Angaben und Problem unmittelbar zu erkennen sind;Mathematisierungsprozesse einleiten können, die ohne mathematische Hilfsmittel nicht oder nur schwer lösbar sind.
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Beispiele für realistische Sachaufgaben
ergeben sich z.B. durch Vergleiche von
- Tarifen (Strom, Telefon, Handy),
- Finanzierungspläne (Kredit, Leasing),
- Vorsorgeversicherungen (private
Rentenversicherung) usw..
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Notwendige Fähigkeiten zur Bearbeitung von
Textaufgaben:
nach Vollrath, 1994
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Bei den Schülern zeigen sich im wesentlichen
zwei verschiedene Strategien beim Bearbeiten
von Textaufgaben. Dabei liegt der Fokus
- auf der gesuchten Größe,
- auf Beziehungen zwischen Größen.
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Fokus auf der gesuchten Größe:
Ein Schüler
- ermittelt und benennt die gesuchte Größe,
- setzt damit Terme zusammen,
- setzt die Terme in Relation.
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Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet:
Zwei Zahlen unterscheiden sich um 2. Vermehrt
man jede der beiden Zahlen um 3, so nimmt ihr
Produkt um 45 zu. Wie heißen die beiden Zahlen?
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Fokus auf Beziehungen zwischen Größen:
Ein Schüler
- erkennt eine Relation, die der Aufgabe
zugrunde liegt,
- setzt Terme in Relation zueinander,
- drückt die Relation durch Terme aus.
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Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet:
Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang
von 15 cm. Jeder Schenkel ist doppelt so lang wie
die Grundlinie. Wie lang sind die Seiten?
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Zum Teil sind die Aufgabentexte übersetzungs-
freundlich:
Die Zahl der Studenten ist sechsmal so groß wie die
Zahl der Professoren.
Zum Teil sind sie aber auch tückisch:
Auf einen Professor kommen sechs Studenten.
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Den Übersetzungsvorgang beschreibt Malle (1993)
in drei Schritten:
1. Vom Text zur konkret-anschaulichen
Wissensstruktur,
2. Von der konkret-anschaulichen Wissensstruktur
zur
abstrakt-formalen Wissensstruktur,
3. Von der abstrakt-formalen Wissensstruktur zur
Formel.
Jeder Schritt ist dabei fehleranfällig.
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Nach der (mathematischen) Bestimmung einer
Lösung zu einer Textaufgabe, ist es zweckmäßig
eine Probe durchzuführen. Dabei wird geprüft, ob
der Text mit der gefundenen Größe stimmig ist.
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