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Kapitel 3.4: Kalorische Zustands-gleichung für die innere Energie

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

u = u(T; v)

• Im 1. Hauptsatz benötigen wir die Änderung der inneren Energie als Funktion von T und v:

v T;uuuwq 121212

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• Die spezifische innere Energie u ist eine neue Zustandsgröße, die von T und v abhängt:

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

• Δu kann berechnet werden über:

2

1

12 duuuu

• du ist das (totale) Differential der Funktion u(T; v)

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• Wie wird du bestimmt?

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

Erinnern Sie sich?

• Sekanten-Ordinatenzuwachs Δy einer Funktion y=y(x):

y0

x0

y

x

Δx

Δy=tan(α)∙Δx

xx

yy )tan(

x

y mit

α

Im Steigungsdreieck gilt:

Δy

y=y(x)Sekante im Punkt (x0; y0)

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

y0

x0

• Der Sekanten-Ordinatenzuwachs Δy geht über in den Tangenten- Ordinatenzuwachs dy, das (totale) Differential der Funktion y=y(x)

dx

dyα0

y0

x0

y

x

Δx

α

Δy

x0+dx

y0+dy

Tangente im Punkt (x0; y0)Sekante im Punkt (x0; y0)

y)tan(dx

dy mit 0

dy=tan(α0)∙dx

dxdx

dyydy dx

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

y)tan(dx

dy mit 0y0

x0

• Für dx → 0 gibt der Tangenten-Ordinatenzuwachs dy den Funktionszuwachs im Punkt (x0; y0) an

dx

dy=Δydx

α0dy=tan(α0)∙dx

dxdx

dyydy dx

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• dy wird (totales) Differential der Funktion y=y(x) genannt.

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

wird als Ableitung der Funktion y(x) an der Stelle (x0; y0) bezeichnet.

00 yxydx

dytan ;0

• Bildung der Ableitung einer Funktion: man erhöht die unabhängige Variable x0 → x0+dx und erhält Funktionszuwachs: dy = Δydx

y0

x0

dx

dy=Δydx

α0

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• Das Verhältnis der beiden Größen ist der Tangens des Steigungswinkels im Punkt (x0; y0).

x0+dx

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

• Die Funktion u hängt von zwei Variablen ab: u = u(T; v) gibt zwei Änderungen:

eine Änderung ΔudT bei Änderung der Variablen T0 → T0+dT eine Änderung Δudv bei Änderung der Variablen v0 → v0+dv

du = ΔudT + Δudv

• Diese vollständige Änderung wird totales Differential der Funktion u(T; v) genannt

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• Die gesamte (totale) Änderung du der Funktion setzt sich additiv aus den beiden Änderungen zusammen:

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

• Die Steigung entspricht der (Teil-)Ableitung der Funktion u(T; v) nach T bei festem v = v0 und heißt partielle Ableitung der Funktion u(T; v) nach T bei konstantem v

constv

0 T

utan

• Die Teil-Änderungen ΔudT setzt sich aus der Steigung tan(α0) multipliziert mit der Schrittweite dT zusammen:

• Geschrieben wird sie mit „runden“ D´s zur Unterscheidung von totalen Ableitungen:

Pro

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ΔudT =tan(α0)∙dT

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u(T0+dT; v0+dv)

3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

Totales Differential der inneren Energie u = u(T; v)

u0

u0 + ΔudT+Δudv

T

v

dTdv

dvv

udT

T

udu

Tv

u

dvv

uu

constTdv

T0

v0

T0+dT

v0+dv

dTT

uu

constvdT

dvv

udT

T

udu

Tv

α0

tan(α0)

β0

tan(β0)

constvT

u

constTv

u

u0+du

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u0

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

• Für die meisten technisch relevanten Stoffe ist die Änderung von u unabhängig von v

• Für alle diese Fälle gilt also:

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0v

u

T

dTT

udu

v

• Die partielle Ableitung: gibt an, wieviel Energie im Stoff gespeichert wird, wenn die Temperatur des Stoffs um 1K erhöht wird

vT

u

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• wird spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen genannt:vT

u

v

v T

uv T;c

Kkg

Jcv

• cv ist eine Stoffwert, der aus Tabellen entnommen werden kann oder mit Hilfe von Tabellenwerten berechnet wird

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• Für die meisten festen und flüssigen Stoffe gilt:

cv = cv(T) und damit u = u(T)

dTTcdTT

udu v

v

fast immer gilt:

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1

v12 dTTcuu

(Berechnungsmethoden kommen später)

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• Für kleine Temperaturunterschiede ist cv näherungsweise konstant:

u2 – u1 = cv∙(T2 – T1) = cv∙(t2 – t1)

(bei uns häufigster Anwendungsfall)

• Für inkompressible Fluide und Ideale Gase gilt exakt:

u = u(T)

• Alle Beziehungen gelten auch für ZÄ mit veränderlichem Volumen!