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Kapitel 3.6: Kalorische Zustands-gleichung für die Enthalpie

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

3.6 Kalorische Zustandsgleichung für die Enthalpie

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

h = h(T; p)

• Im 1. Hauptsatz für offene Systeme benötigen wir die Änderung der Enthalpie als Funktion von T und p:

p T;hhhwq 12t12 12

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• Die spezifische Enthalpie h ist eine weitere neue Zustandsgröße, die von T und p abhängt:

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3.4 Kalorische Zustandsgleichung für die innere Energie

• Δh kann berechnet werden über:

2

1

12 dhhhh

• dh ist das (totale) Differential der Funktion h(T; p)

Pro

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• Wie wird dh bestimmt?

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dpp

hdT

T

hdh

Tp

3.6 Kalorische Zustandsgleichung für die Enthalpie

Totales Differential der Enthalpie h = h(T; p)

h0

h0 + ΔhdT+Δhdp

T

p

h

T0

p0

T0+dT

p0+dp

Pro

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h.

Fra

nke

h0

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3.6 Kalorische Zustandsgleichung für die Enthalpie

Pro

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. C

h.

Fra

nke

• Die partielle Ableitung: gibt an, wieviel Energie im Stoff gespeichert wird, wenn die Temperatur des Stoffs um 1K erhöht wird (bei konst. Druck)

pT

h

• wird spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck genannt:pT

h

p

p T

hp T;c

Kkg

Jcp

• cp ist eine Stoffwert, der aus Tabellen entnommen werden kann oder mit Hilfe von Tabellenwerten berechnet wird

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Pro

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nke

• Für isobare ZÄ gilt allgemein:

2

1

T

T

p12 dTpT;cpThpTh ;;

• Für kleine Temperaturänderungen ist cp konstant

12p12p12 ttcTTchh

(bei uns häufigster Anwendungsfall)

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h.

Fra

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• Für Ideale Gase gilt mit u = u(T) und h = u + p∙v und der Idealen Gasgleichung p∙v = R∙T :

h = u(T) + R∙T = h(T)

Für Ideale Gase gilt exakt:die spezifische Enthalpie eine reine Temperaturfunktion

2

1

p12 dTTchh

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3.6 Kalorische Zustandsgleichung für die Enthalpie

Pro

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. C

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Fra

nke

• Für Ideale Gase gilt weiter:

RdT

duTRTu

dT

d

dT

dhTc

vc

p

cp(T) – cv(T) = R = const.

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Fra

nke cp(T) – cv(T) = R = const.

• Für Ideale Gase ist die Differenz von cp minus cv trotz Temperaturabhängigkeit konstant

cp cv

T

RR

R

cp(T)

cv(T)

R

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nke

• Für Ideale Gase mit konstanten Stoffwerten:

12p12p12 ttcTTchh

12

TTc

1212 TTRuuhh

12v

12v12v12 ttRcTTRchh

oder:

(bei uns häufigster Anwendungsfall)

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• Für das Modell der inkompressiblen Flüssigkeit gilt: dh(T; p) = du(T) + v0∙dp

vp T

u

T

h

cp(T) = cv(T) = c(T)

• Für alle inkompressiblen Flüssigkeiten (und Festkörper) gibt es keinen Unterschied zwischen cp und cv

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• Für das Modell der inkompressiblen Flüssigkeit gilt weiter:

Δh = Δu + v0∙Δp

120

TuTu

T

T

1122 ppvdTTcpThpTh

12

2

1

;;

• oder:

• die Enthalpie inkompressibler Flüssigkeiten hängt nur linear von Druck ab

• Enthalpiedifferenz inkompressibler Flüssigkeiten mit konstanten Stoffwerten

h2 – h1 = c∙(t2 – t1) + v0∙(p2 – p1)

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• Für festen und flüssigen Stoffe kann oft angenommen werden, für Ideale Gase gilt exakt:

cp = cp(T) und damit h = h(T)

dTTcdTT

hdh p

p

oft gilt:

2

1

p12 dTTchh

(Berechnungsmethoden kommen später)

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3.6 Kalorische Zustandsgleichung für die Enthalpie

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Qu

elle

: Ba

ehr,

Th

erm

ody

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ik,

12.

Au

fl. S

prin

ge

r V

erl

ag

Spe

zifis

che

Ent

halp

ie h

(T

; p)

T

• h = 0,612 kJ/kg ≈ 0 (willkürlich) am Tripelpunkt auf der Siedelinie, wegen: u = 0 kJ/kg dort

• Spezifische Enthalpie von Wasser als Funktion von Temperatur und Druck

Beispiel:

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• Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck cp

p

p T

hp T;c

Kkg

Jcp

• cp ist eine Stoffwert, der meist unabhängig vom Druck ist und oft als konstant angenommen werden kann

Zusammenfassung

cp = cp(T) oder cp = const.

• cp wird für die Berechnung von Δh benötigt

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3.6 Kalorische Zustandsgleichung für die Enthalpie

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• Für isobare ZÄ und konstanten Stoffwerten:

Zusammenfassung

Δh = cp∙ΔT = cp∙Δt

bzw.: h2 – h1 = cp∙(T2 – T1) = cp∙(t2 – t1)

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• Für ideale Gase allgemein:

• Für ideale Gase mit konstanten Stoffwerten:

Zusammenfassung

cp – cv = R = const.

Δh = cp∙ΔT = cp∙Δt

bzw.: h2 – h1 =cp∙(T2 – T1) = cp∙ (t2 – t1)

h = h(T)

cp(T) – cv(T) = R = const.

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• Für inkompressible Medien (v = v0 = const.) allgemein:

• Für inkompressible Medien mit konstanten Stoffwerten:

Zusammenfassung

Δh = c∙ΔT + v0∙Δp = c∙Δt + v0∙Δp

bzw.: h2 – h1 =c∙(T2 – T1) + v0∙(p2 – p1) = c∙(t2 – t1) + v0∙(p2 – p1)

cp(T) = cv(T) = c(T)

Δh = Δu +v0∙Δp