1 Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS 2010, Dr. G. Knöchlein EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung Grundidee:

1Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS 2010, Dr. G. Knöchlein

ELWert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung

Grundidee:

EL = Wert einer risikolosen Forderung

– Wert einer analog ausgestatteten risikobehafteten Forderung



Annahmen:

Keine Marktfriktionen (keine Transaktionskosten, keine Bid/Ask-Spreads, kein Margining, keine Beschränkungen von Leerverkäufen, keine Steuern)

Endlicher Zeithorizont

v0(t,T): Preis einer risikofreien Nullkuponanleihe im Zeitpunkt t, die eine GE im Zeitpunkt T mit zurückzahlt

r(t): Short Rate (Spot Rate, Geldmarktzins) im Zeitpunkt t (risikofrei)

Aufzinsung eines Geldmarktkontos:

Unter der Annahme eines arbitragefreien, vollständigen Marktes gilt:

wobei die Erwartungswertbildung unter dem eindeutigen, äquivalenten

Martingalmaß auf Basis der in t verfügbaren Informationen erfolgt.

(zum Thema Martingalpricing vgl. z.B. Jarrow/Turnbull, Kap. 6 und Kap. 18)

t

0

r(s)dsexpB(t)

,B(T)

B(t)ET)(t,v t

~

0

~

Q

][0;τ

τTt



v(t,T): Preis einer risikobehafteten Nullkuponanleihe im Zeitpunkt t, die eine GE im Zeitpunkt T mit zahlt.

Fällt der Emittent im Zeitpunkt T aus, so erfolge im Zeitpunkt T statt einer Zahlung von einer GE eine Zahlung von

wird als Wiedergewinnungsrate (Recovery Rate) bezeichnet

hängt typischerweise ab von der Struktur der Verbindlichkeiten des Emittenten (Rang, „Seniority“) und ggfs. von der Besicherung

Fällt der Emittent im zufälligen Zeitpunkt aus, so beträgt der Wert der risikobehafteten Nullkuponanleihe

Die Indikatorfunktion ist definiert als

1GEδ

δ

~

TTt ** 11δB(T)

B(t)ET)v(t,

ττ

T0,

T1,1

*

*

T*

τ

ττ

τTt

δ

*τ



Der Preis der risikobehafteten Nullkuponanleihe zum Zeitpunkt t ist der erwartete, diskontierte Wert eines risikobehafteten Cash Flows von einer GE im Zeitpunkt T.

Annahme: Der Ausfallprozess, der durch dargestellt wird, und die Short Rate r(t) sind unabhängig unter . Dann kann der Erwartungswert faktorisiert werden:

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit unter dem äquivalenten Martingalmaß, dass der Ausfall erst nach dem Zeitpunkt T erfolgt (Überlebenswahrscheinlichkeit, survival probability).

Achtung: Die Ausfallwahrscheinlichkeit ist entsprechend der Herleitung die Ausfallwahrscheinlichkeit in der „risikoneutralen Welt“.

Ausfallwahrscheinlichkeiten in der risikoneutralen Welt sind bei risikobehafteten Finanzinstrumenten für die Preisbildung an den Märkten von Bedeutung.

~

Q

T)(Q *~

τ

T)(Q1 * τ~

T)(Qδ)(1δT)(t,v11δE

B(T)

B(t)ET)v(t, *

t

~

TTt

~

t

~

** τ0ττ

*τ


Zerlegung des Ausdrucks für die Rückzahlung aus einer risikobehafteten Anleihe unter Betrachtung der Zustände Default (D) und kein Default (ND)

Eine risikobehaftete Anleihe lässt sich in eine risikolose Komponente mit Rückzahlung und eine risikobehaftete Anleihe mit Rückzahlung im Zustand ND und Rückzahlung 0 im Zustand D zerlegen.

Der erwartete Verlust in der risikoneutralen Wert, betrachtet zum gegenwärtigen Zeitpunkt t, ist


T)(Qδ)(1δ *t

~

τD

ND

δ D

ND

D

ND

+ =

T)(Qδ)(1T)(t,vT)v(t,T)(t,v(T)EL *t

~~

t τ00

δ

0

δ1-

δ

1

δ δ1-



risikoneutrale Welt reale WeltRisikopräferenz der Investoren risikoneutral risikoavers

angestrebte erwartete Rendite auf risikofreies Investment

risikofreier Zins risikofreier Zins

angestrebte erwartete Rendite auf risikobehaftetes Investment

risikofreier Zins risikofreier Zins + Risikospread

Maß äquivalentes Martingalmaß objektives MaßAusfallwahrscheinlichkeit "risikoneutral" "real"

Bestimmung der Ausfallwahrscheinlichkeit

aus beobachteten Marktpreisen risikobehafteter Anleihen

aus historischen Ausfallraten

Preisbildung effizienter Markt kalkulatorischer, versicherungsmathematischer Ansatz

T)(Q1T)(Q **~

ττ~

T)(Q1T)(Q ** ττ

Vgl. z.B. Hull, J.: Options, Futures & other Derivatives, 4th Ed., Ch. 23.1


In der realen Welt beobachtete Ausfallhäufigkeiten und die zugehörigen realen Ausfallwahrscheinlichkeiten sind typischerweise deutlich kleiner als risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeiten (Risikoaversion!!!).

Unter Verwendung des Wahrscheinlichkeitsmaßes Q beträgt der erwartete Verlust in der realen Welt

Die Verbindung zum erwarteten Verlust in der risikoneutralen Welt wird typischerweise durch Einführung einer deterministischen Funktion der Zeit, die die Risikoprämie repräsentiert hergestellt:

Der Ausdruck für den erwarteten Verlust in der realen Welt, betrachtet zum gegenwärtigen Zeitpunkt t, enthält die Dimensionen des Kreditrisikos, das aktuelle Exposure at Default, die Verlustuote bei Ausfall und die Ausfallwahrscheinlichkeit

PDLGDT)EAD(t,T)(Qδ)(1T)(t,v(T)EL *t0t τ


T)(Qδ)(1T)(t,vT)v(t,T)(t,v(T)EL *t0t τ0

T)Π(t)Q(T)(Q **t

~

ττ

δ)(1LGD T)Q(PD * τ


Was definiert einen Ausfall?

• Ökonomische Betrachtung

-Restrukturierung eines Kredits mit Barwertverlust

-Zahlungsverzug

-Hohe Wahrscheinlichkeit für finanzielle Probleme

• Handelsrechtliche Betrachtung

-Einzelwertberichtigung, Abschreibung

-Insolvenzantrag durch Kreditnehmer oder –geber

-Vergleichbares Verfahren (sonstiger Gläubigerschutz, z.B. Chapter 11)

Achtung: Die Definition des Ausfalls ist wesentlich für die Bestimmung der PD, des LGD und des EAD. Um einen EL konsistent ermitteln zu können, muss die

Definition des Ausfalls für die Schätzung von PD, LGD und EAD einheitlich sein.

PDAusfalldefinition - allgemein


Ausfall gilt als gegeben, wenn mindestens eines der folgenden Ereignisse eingetreten ist:

• Mehr als 90 Tage Überfälligkeit (d.h. Zahlungsverzug und/oder Überziehung) bei einem wesentlichen Teil der Gesamtverpflichtung des Schuldners aus Kreditgewährung gegenüber dem Institut oder gegenüber einem gruppenangehörigen Unternehmen

• Schuldner wird seinen Kreditverpflichtungen gegenüber dem Institut oder gegenüber einem gruppenangehörigen Unternehmen mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht ohne Rückgriff auf Sicherheiten in voller Höhe nachkommen; Indikationen hierfür sind

- Vornahme einer Wertberichtigung aufgrund einer deutlichen Verschlechterung der Kreditqualität gegenüber dem Zeitpunkt des Eingehens der Transaktion

- Verkauf einer Forderung mit erheblichem in Beziehung mit der Kreditgewährung stehenden wirtschaftlichen Verlust

- Sanierungsumschuldung (Restrukturierung), sofern diese voraussichtlich zu einer verminderten finanziellen Verpflichtung führt (bedeutender Erlass oder Stundung von Tilgung, Zinsen oder Gebühren)

- Insolvenzantrag hinsichtlich des Kreditnehmers (gestellt durch Kreditnehmer oder Bank)

PDAusfalldefinition Bankaufsichtsrecht (Solvabilitätsverordnung / Basel II)


ISDA: International Swaps and Derivatives Association

• U.a. Erarbeitung standardisierter Vertragsdokumentationen für OTC-Derivatetransaktionen

• ISDA-Rahmenvertrag ist Standard im internationalen Derivatehandel

Credit Default Swap (CDS)

• Swapgeschäft mit fester Seite und variabler Seite

• Mit einem CDS lässt sich „Kreditrisiko“ einer im Kontrakt referenzierten Adresse „handeln“

• Feste Seite: Margenzahlung als Kompensation für Risikoübernahme

• Variable Seite: Bedingte Zahlung im Falle eines Ausfalls der der Transaktion zugrundeliegenden Adresse gemäß der in der Vertragsdefinition festgelegten Ausfalldefinition

• Transaktion endet

• nach Ausfall eines Kontrahenten („early termination“) oder

• nach Ausfall der Referenzadresse („Credit Event“);

• ansonsten nach vertraglich festgelegter Laufzeit

PDDefinition – ISDA-Dokumentation für Credit Default Swaps


Bei Credit Event:

• Physical Settlement: Andienung einer Forderung gegen die Referenzadresse gegen Zahlung des Nominals

• Cash Settlement: Barausgleich auf Basis einer Recovery Rate , die in einer von der ISDA organisierten Auktion nach vorgegebenen Regeln ermittelt wird


Sicherungsgeber =Risikokäufer

Sicherungsnehmer =Risikoverkäufer

Fixe periodische Prämie

für Risikoübernahme

Andienung einer Forderung

gegen die Referenzadressemit Nominal N

Zahlung des Nominals N

Zahlung des Barausgleichs

von N(1-


Diskussion der Settlement-Varianten bei Credit Event:

• Physical Settlement:

• Sicherungsnehmer kann eine Forderung gegen die Referenzadresse, die auf den Büchern gehalten wurde und durch den CDS beim Sicherungsgeber abgesichert wurde, dem Sicherungsnehmer andienen – damit besteht nach dem Credit Event keine Adressenrisiko hinsichtlich der Referenzadresse mehr; Verlust wird vollständig durch Sicherungsgeber ausgeglichen

• Sicherungsnehmer hat eine „Cheapest-to-Deliver Option“, da er unter den im Kontrakt lieferbaren Forderungen die am niedrigsten bewertete andienen darf

• Sicherungsnehmer ist einem „Extension Risk“ ausgesetzt (angediente Forderung läuft ggfs. länger als Restlaufzeit des CDS-Kontrakts gewesen wäre)

• Cash Settlement:

• Sicherungsnehmer erhält einen Barausgleich auf Basis eines Auktionsverfahrens

• Die im Auktionsverfahren ermittelte Recovery Rate kann über oder unter der Bewertung einer Forderung gegen die Referenzadresse liegen, die der Kreditnehmer auf den Büchern hält => „Basisrisiko“



Diskussion der Early Termination:

• Bei Ausfall eines Kontrahenten wird der CDS-Kontrakt beendet („early termination“).

• Bei Beendigung des Kontrakts resultiert für den nicht ausgefallenen Kontrahenten

• bei positivem Marktwert des Kontrakts eine Forderung gegenüber dem ausgefallenen Kontrahenten (schlagend gewordenes Wiedereindeckungsrisiko)

• bei negativem Marktwert des Kontrakts eine Verbindlichkeit gegenüber dem ausgefallenen Kontrahenten

• Forderungen gegenüber dem ausgefallenen Kontrahenten sind typischerweise erstrangig (senior unsecured)

• Verbindlichkeiten gegenüber dem ausgefallenen Kontrahenten werden typischerweise durch den ausgefallenen Kontrahenten bzw. dessen Insolvenzverwalter eingefordert

• Marktusance:

• Aufrechnung von Forderungen und Verbindlichkeiten aller Geschäfte zwischen zwei Kontrahenten unter demselben Rahmenvertrag („Netting“)

• Besicherung einer Nettoforderung durch die Stellung von Sicherheiten (Cash, Wertpapiere) seitens der Gegenpartei („Collateral“)

• Vgl. für Netting und Collateral Kapitel zu EaD



ISDA CDS Vertragsdokumentation („2003 Definitions“)

• Mögliche „Default Events“ (typischerweise wird eine Auswahl der möglichen Kriterien vertraglich vereinbart)

•Bankruptcy

•Obligation Acceleration

•Obligation Default

•Failure to Pay

•Repudiation/Moratorium

•(Restructuring)



Definition der Ausfallrate nach Moody‘s

• Ausfallrate =

• Die Ausfallwahrscheinlichkeit (PD) wird geschätzt durch die Bestimmung der Ausfallrate.

• Bei der Kohortenmethode werden alle Kreditnehmer/Emittenten in Gruppen (Kohorten) eingeteilt.

• Dabei soll jede Kohorte eine homogene Gruppe von Kreditnehmern umfassen, d.h. eine Kohorte besteht aus Kreditnehmern, von denen man erwartet, dass sie eine gleiche Ausfallwahrscheinlichkeit aufweisen.

• Die Homogenität der Kohorte kann z.B. dadurch erreicht werden, dass man für die Kreditnehmer ein Rating (d.h. eine Bonitätsbeurteilung) durchführt und Gruppen von Kreditnehmern mit gleichem Rating zu Kohorten zusammenfasst.

PDKohortenmethode zur Ausfallratenbestimmung

#(ausgefallene Emittenten während eines bestimmten Zeitintervalls)

#(Emittenten, die während dieses Zeitintervalls potenziell ausfallgefährdet sind)


Moody‘s bestimmt die Ausfallrate dt einer Kohorte im Jahr t von Schuldnern mit identischem Initialrating nach der folgenden Formel:

Dabei sind die einzelnen Größen wie folgt definiert:

• nt: # der Emittenten in der Kohorte zu Beginn des Jahres t

• xt: # der Ausfälle von Emittenten im Jahr t

• wt: # der Emittenten, die ihr Rating im Jahr t zurückziehen

• Die Bildung der Kohorte erfolgt zu Beginn des ersten Jahres mit n1 Emittenten.

• Die Anzahl der relevanten Kohortenmitglieder in den Folgejahren ergibt sich über die Beziehung

• Die kumulierte Ausfallrate für den Zeithorizont T beträgt


1t1t1tt wxnn

/2wn

xd

tt

tt

T

1tt )d(1-1-D(T)


Beispiel: Eine Bank definiert zwei Kohorten: Investment Grade (IG) und Speculative Grade (SG). Ein Kreditnehmer wird bei Bildung der Kohorten entweder der Kohorte IG oder SG zugeordnet. Folgende Daten werden innerhalb der zwei Jahre nach Kohortenbildung gesammelt.

Wie hoch sind die PDs für ein bzw. zwei Jahre in den Kohorten IG und SG?

IG: D(1)=1-(1-d1))=d1=0,997%

D(2)=1-(1-d1)(1-d2)=1,849%

SG: D(1)=1-(1-d1))=d1=1,446%

D(2)=1-(1-d1)(1-d2)=3,507%


Kohorte IG Kohorte SG# Kreditnehmer bei Kohortenbildung 21000 36000Ausfälle innerhalb des ersten

Jahres 209 520Ratings zu Beginn des zweiten

Jahres 20710 35418Ausfälle innerhalb des zweiten

Jahres 178 740

Kohorte IG Kohorte SGn1 21000 36000x1 209 520w1 81 62d1 0,997% 1,446%n2 20710 35418x2 178 740w2 72 63d2 0,861% 2,091%


Beispiel für mit der Kohortenmethode gewonnene Daten

• Kumulierte Ausfallrate nach Ratingklassen

• Moody‘s Daten 2003, 2004

• Angaben in %


1 22003 Aaa 105 0,00 0,00

Aa 683 0,00 0,00A 1279 0,00 0,00Baa 1160 0,00 0,00Ba 552 0,95 1,16B 752 2,66 4,07Caa - C 282 21,53 34,32Investment Grade 3227 0,00 0,00Speculative Grade 1586 5,27 7,98Alle 4813 1,70 2,51

2004 Aaa 119 0,00Aa 649 0,00A 1244 0,00Baa 1192 0,00Ba 551 0,19B 808 0,65Caa - C 247 12,33Investment Grade 3204 0,00Speculative Grade 1606 2,23Alle 4810 0,72

JahrKohortenrating

Jahr der Kohortenbildung

Kohorten-größe




• Moody‘s Daten 1970-2004

• Mittelung über Kohorten der einzelnen Jahre, anzahlgewichtet

• Angaben in %


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Aaa 0,00 0,00 0,00 0,04 0,12 0,21 0,30 0,41 0,52 0,63 0,76 0,90 1,05 1,13 1,22 1,32 1,42 1,54 1,54 1,54Aa 0,00 0,00 0,03 0,12 0,20 0,29 0,37 0,47 0,54 0,61 0,69 0,84 1,01 1,25 1,38 1,52 1,73 1,92 2,20 2,44A 0,02 0,08 0,22 0,36 0,50 0,67 0,85 1,04 1,25 1,48 1,72 1,95 2,20 2,43 2,74 3,12 3,51 3,93 4,41 4,87Baa 0,19 0,54 0,98 1,55 2,08 2,59 3,12 3,65 4,25 4,89 5,59 6,35 7,12 7,91 8,73 9,48 10,23 10,94 11,56 12,05Ba 1,22 3,34 5,79 8,27 10,72 12,98 14,81 16,64 18,40 20,11 22,01 24,07 26,11 28,02 29,67 31,53 33,16 34,71 35,92 37,07B 5,81 12,93 19,51 25,33 30,48 35,10 39,45 42,89 45,89 48,64 50,99 52,85 54,62 56,35 57,72 58,80 59,11 59,11 59,11 59,11Caa - C 22,43 35,96 46,71 54,19 59,72 64,49 68,06 71,91 74,53 76,77 78,53 78,53 78,53 78,53 78,53 78,53 78,53 78,53 78,53 78,53Investment Grade 0,07 0,21 0,41 0,67 0,92 1,17 1,44 1,70 1,99 2,31 2,64 2,64 3,77 3,77 4,18 4,61 5,04 5,48 5,92 6,31Speculative Grade 4,85 9,84 14,43 18,41 21,91 24,95 27,52 29,76 31,75 33,61 35,47 35,47 40,71 40,71 42,13 43,65 44,87 46,00 46,89 47,75Alle 1,56 3,15 4,60 5,86 6,94 7,85 8,62 9,30 9,93 10,53 11,14 11,14 12,95 12,95 13,51 14,10 14,65 15,18 15,68 16,13

JahrKohortenrating




• Daten von Standard & Poor‘s 1981-1999

• Angaben in %

• Genauigkeit der PD-Schätzung durch Ausfallraten nach der Kohortenmethode

• PD(AA)=0,01% geschätzt aus ca. 8000 Beobachtungen

• Wie hoch ist die Standardabweichung der Schätzung?

• Annahme: Binomialverteilung

•


0,01%8000

0,99990,0001)xσ(

8000

0,99990,0001

n

p)p(1)xvar(

__

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10AAA 0,00 0,00 0,04 0,09 0,14 0,26 0,40 0,63 0,73 0,84AA 0,01 0,04 0,12 0,23 0,38 0,56 0,75 0,91 1,02 1,11A 0,04 0,12 0,21 0,36 0,56 0,77 1,03 1,32 1,66 2,02BBB 0,22 0,54 0,88 1,55 2,28 3,06 3,67 4,26 4,76 5,23BB 1,01 3,33 6,28 9,31 12,25 15,61 17,63 19,83 21,82 23,41B 5,82 13,21 19,84 25,22 29,50 32,87 35,90 38,66 40,87 42,88CCC 24,27 33,72 41,49 46,97 53,41 55,46 56,93 57,34 58,77 59,91

KohortenratingJahr


Kumulierte Ausfallrate nach Ratingklassen und Zeithorizont (Moody‘s, 1920-2004)

PD Term Structure der PD und Wahrscheinlichkeitsbegriffe

Moody's Cumulative Default Rates, 1920-2004

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeithorizont in Jahren

Aaa

Aa

A

Baa

Ba

B

Caa-C


In Zusammenhang mit der Beschreibung der Term Structure der PD sind folgende Begrifflichkeiten wichtig:

• Kumulierte Ausfallwahrscheinlichkeit pkum(n) (=D(n)): bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schuldner innerhalb der nächsten n Jahre ausfällt

• Marginale Ausfallwahrscheinlichkeit pmarg(n) (=dn) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Schuldner genau im Zeitintervall (n-1;n] ausfällt

• Überlebenswahrscheinlichkeit psurv(n) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Schuldner innerhalb der nächsten n Jahre, also im Zeitintervall [0;n] nicht ausfällt

• Alle drei Begriffe werden sowohl in der realen als auch in der risikoneutralen Welt verwendet

• Die Term Structure der PD wird ebenfalls sowohl in der realen als auch in der risikoneutralen Welt betrachtet

PD Term Structure der PD und Wahrscheinlichkeitsbegriffe


Alle drei Wahrscheinlichkeitsbegriffe sind letztlich äquivalente Darstellungen der Ausfallstruktur, da sie ineinander umgerechnet werden können

psurv(n) = (1 - pmarg(1)) x ... x (1-pmarg(n)) =

pkum(n) = 1 – psurv(n) = 1 – (1 – pmarg(1)) x ... x (1 – pmarg(n)) =

Umgekehrt können die kumulierten Ausfallwahrscheinlichkeiten in marginale umgerechnet werden:

pmarg(n) = [pkum(n) - pkum(n-1)] / [1 – pkum(n-1)]

PDTerm Structure der PD und Wahrscheinlichkeitsbegriffe

n)(τQ *

n)(τQ *


Kumulierte Ausfallwahrscheinlichkeiten von Rating B auf Basis der Daten von Standard & Poor‘s: Nach einem Jahr sind 5,8% der ursprünglich mit B gerateten Schuldner ausgefallen, nach 2 Jahren sind es 13,2%.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine heute mit B geratete Position im zweiten Jahr ausfällt, wenn sie das erste Jahr überlebt hat?

PDWahrscheinlichkeitsbegriffe – Interpretation und Beispiele

DND

ND D

94,2% 5,8%

1-x x

0,132x0,9420,058

%9,70,942

0,058-0,132x


Wie hoch ist die durchschnittliche Ausfallwahrscheinlichkeit einer Position, die mit B geratet ist, in den ersten beiden Jahren?

Wie hoch ist die Ausfallwahrscheinlichkeit im ersten Monate unter Annahme konstanter marginaler Ausfallwahrscheinlichkeiten im unterjährigen Bereich?

PDWahrscheinlichkeitsbegriffe – Interpretation und Beispiele

0,079)(10,058)(110,132

2___

)d(1-1-)d(1)d(110,132

6,8%d)d(1-0,1321-_

2_

94,2%d1)d(1- 112

M

0,5%dM


Wird neben dem Ausfallzustand der Zustand der nicht ausgefallenen Schuldner differenziert nach der Einstufung auf einer Ratingskala, so ist für die Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkeit für mehrere Perioden eine Migrationsmatrix notwendig.

Die diskrete Migrationsmatrix gibt an, wie hoch die einjährige Wahrscheinlichkeit ist, von einem Rating in ein anderes Rating (oder in den Ausfallzustand) eingestuft zu werden.

Die Wahrscheinlichkeit, von Rating i nach Rating j innerhalb eines Jahres zu migrieren, kann geschätzt werden durch die 1-Jahres-Übergangsrate:

Übergangsrate (i=>j) =

PDDiskrete Migrationsmatrix

# der am Ende eines Jahres in der Ratingklasse j befindlichen Schuldner der Kohorte

# der Schuldner in der Kohorte mit Ratingklasse i zu Beginn des Jahres


Beispiel: Eine Bank hat zwei Kohorten (IG und SG) definiert. Die Kreditnehmer werden entweder als IG oder SG eingestuft. Folgende Daten werden in einem Jahr gesammelt:

Wie sieht die Schätzung der Migrationsmatrix aus?


Kohorte IG Kohorte SGAnzahl der Kreditnehmer 21000 36000

Migrationen nach SG 3150 -Migrationen nach IG - 1800Ausfälle 210 720


Lösung:

• Wahrscheinlichkeit, in IG zu bleiben: (21000 – 3150 – 210) / 21000 = 0,84

• Wahrscheinlichkeit von IG nach SG: 3150 / 21000 = 0,15

• Wahrscheinlichkeit von IG nach Ausfall: 210 / 21000 = 0,01

• Wahrscheinlichkeit, in SG zu bleiben: (36000 – 1800 – 720) / 36000 = 0,93

• Wahrscheinlichkeit von SG nach IG: 1800 / 36000 = 0,05

• Wahrscheinlichkeit von SG nach Ausfall: 720 / 36000 = 0,02

Einjährige Migrationsmatrix M1:


Von / Nach IG SG AusfallKohorte IG 84% 15% 1%Kohorte SG 5% 93% 2%Ausfall 0% 0% 100%


Migrationsmatrizen können aus den Daten des internen Ratingprozesses berechnet werden oder von externen Ratingagenturen übernommen werden

Einjährige Migrationsmatrix von Standard & Poor‘s


Von / Nach AAA AA A BBB BB B CCC/C AusfallAAA 92,08% 7,09% 0,63% 0,14% 0,06% 0,00% 0,00% 0,00%AA 0,62% 90,83% 7,77% 0,59% 0,06% 0,10% 0,02% 0,01%A 0,05% 2,09% 91,38% 5,79% 0,44% 0,16% 0,04% 0,05%BBB 0,03% 0,21% 4,09% 89,38% 4,82% 0,86% 0,24% 0,37%BB 0,03% 0,08% 0,40% 5,53% 83,25% 8,15% 1,11% 1,45%B 0,00% 0,08% 0,27% 0,34% 5,39% 82,41% 4,92% 6,59%CCC/C 0,10% 0,00% 0,29% 0,58% 1,55% 10,54% 52,80% 34,14%Ausfall 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 100,00%


Aus der einjährigen Migrationsmatrix kann die Schätzung für die einjährige Ausfallwahrscheinlichkeit direkt abgelesen werden.

Aus der einjährigen Migrationsmatrix können unter gewissen Annahmen mehrjährige Migrationsmatrizen berechnet werden. Eine häufige Annahme für die zeitliche Entwicklung der einjährigen Migrationsmatrix besteht darin, dass die

Migrationsmatrix konstant über die Zeit bleibt (zeithomogene Matrix).

Weitere Annahme dabei: Ratingmigrationen sind markovsch, d.h. sie hängen nicht vom Migrationspfad in

der Vergangenheit ab

Beispiel: Aus der einjährigen Migrationsmatrix M1 im vorhergehenden Beispiel ist die zweijährige Migrationsmatrix unter der Annahme der Zeithomogenität zu berechnen

Zweijährige Migrationsmatrix


100

391,08724,00885,0

214,02655,07131,0

100

02,093,005,0

01,015,084,0

100

02,093,005,0

01,015,084,0

112 MMM

Von / Nach IG SG AusfallKohorte IG 71,31% 26,55% 2,14%Kohorte SG 8,85% 87,24% 3,91%Ausfall 0,00% 0,00% 100,00%


Zweijährige Migrationsmatrix von Standard & Poor‘s berechnet aus der einjährigen Migrationsmatrix




Zehnjährige Migrationsmatrix von Standard & Poor‘s berechnet aus der einjährigen Migrationsmatrix




Aufgrund sehr starker zyklischer Bewegungen kann die Annahme von Zeithomogenität der einjährigen Migrationsmatrix nicht haltbar sein.

In diesen Fällen muss für jedes Jahr eine eigene einjährige Migrationsmatrix (bedingte Migrationsmatrix, bedingt auf den jeweiligen Zustand der Konjunktur) geschätzt werden (z.B. mit Daten aus den entsprechenden Wirtschaftszyklen) => in der Praxis ist das extrem schwierig

Die k-jährige Migrationsmatrix wird berechnet, indem die einzelnen einjährigen Migrationsmatrizen multipliziert werden:

In der Praxis ist auch die Markov-Annahme teilweise widerlegbar:

Schuldner auf einem Abwärtspfad zu schlechteren Ratings haben höhere Wahrscheinlichkeit für Downgrades als „Aufsteiger“ in derselben Ratingklasse, die von noch schlechteren Ratings in der Vergangenheit kommen


)kt,1kt(M)2t,1t(M)1t,t(M)kt,t(M 111k


Mit der Kohortenmethode können einjährige Migrationsmatrizen geschätzt werden.

Diese Matrizen können zeithomogen oder zeitinhomogen sein.

Aus den einjährigen Migrationsmatrizen können k-jährige Migrationsmatrizen berechnet werden.

Aus diesen Matrizen kann direkt die Ausfallwahrscheinlichkeit für k Jahre entnommen werden.

Probleme

Für bestimmte Kundengruppen kann die Kohortenmethode zu Verzerrungen führen

häufige Ratingänderungen

Portfolio mit wenigen Kunden

Mit der bisher vorgestellten Methode können nur Ausfallwahrscheinlichkeiten für ganze Jahre berechnet werden (diskrete Migrationsmatrix)

PDDiskrete Migrationsmatrix - Zusammenfassung


Anforderungen:

Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten für beliebige Laufzeiten

Genauere Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit durch bessere Analyse der Daten

Bestandsaufnahme: Die Betrachtung der einjährigen Ausfallwahrscheinlichkeiten aus diskreten Migrationsmatrizen zeigt mehrere Probleme auf

PDKontinuierliche Migrationsmatrix

AAA AA A BBB BB B CCC/C0,00% 0,01% 0,05% 0,37% 1,45% 6,59% 34,14%


Bestandsaufnahme (Forts.)

Die 1-Jahres-PD eines AAA-Kreditnehmers wird mit null Prozent angegeben

Es ist davon auszugehen, dass selbst für AAA-Kreditnehmer eine positive Ausfallwahrscheinlichkeit besteht.

Die Modellierung seltener Ereignisse wie Ausfälle von sehr gut gerateten Kreditnehmern muss verbessert werden.

Es wird nur das Rating am Beginn und am Ende des einjährigen Zeitfensters herangezogen.

Die Information, wann und wie viele Ratingänderungen während des Jahres stattgefunden haben, wird die Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit verbessern.

Sowohl externe Ratingagenturen als auch interne Ratingprozesse können diese Daten liefern.

Kreditnehmer, deren Kredit während des Jahres ausläuft oder die während des Jahres einen neuen Kredit bekommen, werden nicht exakt berücksichtigt.

Diese Informationen sollten in das Schätzverfahren einfließen.



Die dargelegten Probleme können je nach Kundengruppen und Größe des Portfolios zu erheblichen Verzerrungen in der Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit führen.

Die Verzerrungen haben starke negative Auswirkungen auf das Risikomanagement und das Pricing von Krediten.

Verfahren von Lando und Sködeberg (Lando, D, Sködeberg, T. (2002), J. of Banking and Finance, 26: 423 – 444) zur Lösung der dargelegten Probleme:

Die Ausfallwahrscheinlichkeit wird mit einer zeithomogenen Markov-Kette in kontinuierlicher Zeit modelliert.

Diese Markov-Kette wird durch eine Migrationsmatrix W(t) beschrieben, deren Elemente wij(t) die Wahrscheinlichkeit angeben, in einer Zeitspanne von t Jahren zwischen der Ratingklasse i und der Ratingklasse j zu migrieren.

Beispiele:

W“A“ „“BBB“ (0,5): Gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein „A“-Kreditnehmer in einerZeitspanne von einem halben Jahr in die Ratingklasse „BBB“ migriert

W“A“ „“BBB“ (2): Gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein „A“-Kreditnehmer in einerZeitspanne von zwei Jahren in die Ratingklasse „BBB“ migriert



Die Migrationsmatrix wird durch eine Generatormatrix modelliert. Die Elemente der Generatormatrix ij geben die Intensität einer Migration zwischen den Ratingklassen i und j an.

Es gilt:

Die Intensität einer Migration multipliziert mit einer sehr kleinen Zeitspanne t entspricht der Wahrscheinlichkeit einer Migration in dieser Zeitspanne. Es gilt für i<>j:

Durch diesen Zusammenhang kann über die Intensitäten die Ausfallwahrscheinlichkeit für jede beliebige Zeitspanne berechnet werden.


22

!2

11)( ttetW t

)()( tptwt ijijij


Berechnung der Generatormatrix

Im Modell werden die beobachteten Ratingänderungen und Ausfälle verwendet, um die Generatormatrix zu bestimmen, und nicht, um direkt die Migrationsmatrix zu schätzen.

Der Maximum-Likelihood-Schätzer für die Elemente der Generatormatrix hat die Form

Nij: # der beobachteten Migrationen von Ratingklasse i nach j

Yi(s): # der Kreditnehmer in Ratingstufe i zum Zeitpunkt s

Interpretation der Berechnung:

Zähler (Nij) enthält die beobachteten Übergänge von Ratingklasse i nach Ratingklasse j.

Nenner enthält die Anzahl der beobachteten Kreditnehmer-Jahre in der Ratingklasse i.

So wird die Zeit, die ein Kreditnehmer in einer bestimmten Ratingklasse verbracht hat, exakt gemessen.


ij

ijii

i

ijij ji

dssY

N ;

)(


Beispiel zur Schätzung der Generatormatrix

Eine Bank hat zwei Kohorten (A und B) definiert. Die Kreditnehmer werden entweder in A (gute Bonität) oder in B (schlechte Bonität) eingeteilt.

Folgende Daten werden im Laufe eines Jahres gesammelt:

Am Anfang des Jahres befinden sich jeweils 10 Kreditnehmer in jeder Ratingklasse.

Ein „A“-Kreditnehmer wird am Ende des ersten Monats auf „B“ zurückgestuft und bleibt „B“ für den Rest des Jahres.

Ein „B“-Kreditnehmer wird am Ende des zweiten Monats auf „A“ heraufgestuft und bleibt „A“ für den Rest des Jahres.

Ein „B“-Kreditnehmer fällt am Ende des sechsten Monats aus.

Wie lautet die Generatormatrix ?



Lösung:

Intensität einer Migration von „A“ nach „B“:

Intensität einer Migration von „A“ nach Default „D“:


10084,0

1210

10121

9121

10

1

)(

dssY

N

A

ABAB

0

1210

10121

9121

10

0

)(

dssY

N

A

ADAD

Aj

ADABAjAA 10084,0


Lösung (Fortsetzung):

Intensität einer Migration von „B“ nach „A“:

Intensität einer Migration von „B“ nach Default „D“:


10435,0

126

9124

10121

11121

10

1

)(

dssY

N

B

BABA

10435,0

126

9124

10121

11121

10

1

)(

dssY

N

B

BDBD

Bj

BDBABjBB 2087,0


Lösung (Fortsetzung):

Intensität des Defaultzustandes „D“ ist immer auf Null zu setzen:

Generatormatrix:


0 DDDBDA

000

10435,02087,010435,0

010084,010084,0


Berechnung der Migrationsmatrix

Aus der Generatormatrix kann die Wahrscheinlichkeit der Migration für jede beliebige Zeitspanne t berechnet werden.

Die Migrationsmatrix W(t) wird folgendermaßen berechnet:

Bei der Berechnung der unendlichen Summe wird nach jenem Glied abgebrochen, bei dem sich das Ergebnis nur noch unwesentlich ändert (z.B. nur noch Änderungen in der fünften Nachkommastelle).

Aus der Migrationsmatrix kann direkt die Ausfallwahrscheinlichkeit für eine Laufzeit von t Jahren abgelesen werden.


0 !)exp()(

k

kk

k

tttW


Beispiel: Berechnen Sie die kontinuierliche Migrationsmatrix für eine Laufzeit t von einem Jahr mit der Generatormatrix aus dem letzten Beispiel. Brechen Sie bei der Berechnung der unendlichen Summe nach dem vierten Glied ab.

Generatormatrix:

Lösung:

1. Glied


000

10435,02087,010435,0

010084,010084,0

100

010

001

!01

!0100

010

0010

00

0 tt


2. Glied

3. Glied

4. Glied


000

10435,02087,010435,0

010084,010084,0

!11

!1000

10435,02087,010435,0

010084,010084,01

11

1 tt

000

01089,002704,001645,0

00526,0015605,0010345,0

!25,0

!2000

02178,005407,003230,0

01052,003121,002069,02

22

2 tt

000

00094,0002423,0001483,0

000543,000143,000089,0

!316,0

!3000

00564,001454,00089,0

00326,00086,000534,03

33

3 tt


Migrationsmatrix

1-Jahres-Ausfallwahrscheinlichkeit für einen „A“-Kreditnehmer: 0,472%

1-Jahres-Ausfallwahrscheinlichkeit für einen „B“-Kreditnehmer: 9,44%


100

09440,081592,008968,0

00472,008667,090862,0

!3!2!1!0

33

22

11

00 tttt


Beispiel: Berechnen Sie für die Angaben aus dem vorhergehenden Beispiel die einjährige diskrete Migrationsmatrix und vergleichen Sie das Ergebnis mit der kontinuierlichen Migrationsmatrix

Lösung:

Wahrscheinlichkeit, in A zu bleiben: (10 – 1) / 10 = 0,9

Wahrscheinlichkeit von A nach B: 1 / 10 = 0,1

Wahrscheinlichkeit von A nach Default: 0 / 10 = 0

Wahrscheinlichkeit in B zu bleiben: (10 – 1 – 1) / 10 = 0,8

Wahrscheinlichkeit von B nach A: 1 / 10 = 0,1

Wahrscheinlichkeit von B nach Default: 1 / 10 = 0,1



Einjährige diskrete Migrationsmatrix

Einjährige kontinuierliche Migrationsmatrix


Von / Nach A B DefaultA 90% 10% 0%B 10% 80% 10%

Default 0% 0% 100%

Von / Nach A B DefaultA 90,86% 8,67% 0,47%B 8,97% 81,59% 9,44%

Default 0,00% 0,00% 100,00%


Der Vergleich zwischen diskreter und kontinuierlicher Methode zeigt folgende Unterschiede:

Die kontinuierliche Methode weist gut gerateten Kreditnehmern eine realistische PD zu, auch wenn keine direkten Ausfälle zu beobachten waren.

Die kontinuierliche Methode weist verglichen mit der diskreten Methode andere Wahrscheinlichkeiten für Migrationen auf, da zusätzlich die Information einfließt, wann und wie oft ein Kreditnehmer migriert ist.

Die Informationen von Kreditnehmern, die neu hinzukommen oder deren Kredit ausläuft, können exakt erfasst werden.

Mit der kontinuierlichen Methode kann die Wahrscheinlichkeit der Migration für jede beliebige Laufzeit berechnet werden.



Beispiel: Berechnen Sie die kontinuierliche Migrationsmatrix für eine Laufzeit von 0,5 Jahren und eine Laufzeit von 2,5 Jahren mit der Generatormatrix aus dem vorletzten Beispiel. Brechen Sie die Berechnung der unendlichen Summe nach dem vierten Glied ab.

Generatormatrix:


000

10435,02087,010435,0

010084,010084,0


Lösung:

Migrationsmatrix für 0,5 Jahre:

Migrationsmatrix für 2,5 Jahre:



Default 0% 0% 100%


Default 0% 0% 100%


Zusammenfassung:

Kontinuierliche Migrationsmatrizen bieten sich als ideale Lösung zur Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten an.

Probleme, die sich bei der Schätzung im diskreten Fall ergeben, werden mit der kontinuierlichen Methode gelöst.

Ausblick:

Die Schätzung von kontinuierlichen Migrationsmatrizen kann in einigen Bereichen verbessert werden:

Schätzung zeitinhomogener Matrizen

Integration von „Rating-Drifts“: Es kann beobachtet werden, dass bei Unternehmen, die in ihrem Rating herabgestuft worden sind, eine höhere Wahrscheinlichkeit für weitere Herabstufungen besteht als bei Unternehmen, die schon lange in einer Ratingklasse verharren (Nicht-Markov-Effekte)


Documents

1 Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, SS 2010, Dr. G. Knöchlein EL Wert einer risikobehafteten Forderung – finanzmathematische Betrachtung Grundidee: