1

Röntgenographische Eigenspannungsanalyse

Definition der Normalspannung (), der Scherspannung () und des Dehnungsellipsoids mit den Hauptdehnungen 1, 2, 3

2

Röntgenographische Eigenspannungsanalyse

Mit Hilfe von Beugungsmethoden können nur elastische Eigenspannungen gemessen werden.

dd

3

Spannung und Dehnung in WerkstoffenVerallgemeinertes Hookesches Gesetz:

xyzxyzzyxyx

xyzxyzzyxzx

xyzxyzzyxyz

xyzxyzzyxz

xyzxyzzyxy

xyzxyzzyxx

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

165646362616

165545352515

164544342414

163534332313

162524232212

161514131211

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

C

C

�

�

xyzxyzzyxyx

xyzxyzzyxzx

xyzxyzzyxyz

xyzxyzzyxz

xyzxyzzyxy

xyzxyzzyxx

ssssss

ssssss

ssssss

ssssss

ssssss

ssssss

165646362616

165545352515

164544342414

163534332313

162524232212

161514131211

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

ssssssssssssssssssssssssssssssssssss

S

S

�

�

4

Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie

1211

1211

1211

111212

121112

121211

200000020000002000000000000

ssss

sssssssssss

S�

Zwei unabhängige elastische Konstanten: s11, s12 oder E, Isotrope Werkstoffe („ohne Kristallsymmetrie“)

Gss

GE

Ess

Gsss

Ess

Es

211

2

1;12

;1

1211

1211121144

111211

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

ssssssssssssssssssssssssssssssssssss

S�Triklines Kristallsystem, alle Laue Klassen

21 Konstanten1:;1: 21 SC

5

Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie

66362616

5545

4544

36332313

26232212

16131211

0000000000

000000

ssssssss

ssssssssssss

S�Monoklines Kristallsystem, alle Laue Klassen

13 Konstanten

66

55

44

332313

232212

131211

000000000000000000000000

ss

ssssssssss

S�

Orthorhombisches Kristallsystem, alle Laue Klassen 9 Konstanten

mCCmC hs 2:;2:;: 22

mmmDDmmC hv :;222:;2: 222

6

Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie

12111425

14442525

25441414

331313

2514131112

2514131211

222000200200

00000

ssssssssssss

sssssssssssss

S�

Trigonale Lauegruppen 3 und -3 7 Konstanten

3:;3: 33 iCC

121114

1444

441414

331313

14131112

14131211

22000020000

0000000000

sssss

ssssss

ssssssss

S�

Trigonale Kristallsysteme mit 3 und m bzw. 2 6 Konstanten

mDDmC dv 3:;32:;3: 333

7

Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie

1211

44

44

331313

131112

131211

2000000000000000000000000

sss

ssssssssss

S�

Hexagonale Kristallsysteme 5 Konstanten

mmmDDmmCmCCmDC

hv

hhh

6:;622:;6:;6:;6:;26:;6:

666

6633

8

Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie

661616

44

44

331313

16131112

16131211

0000000000000000

0000

ssss

ssss

ssssssss

S�

Tetragonale Kristallsysteme mit niedriger Symmetrie 7 Konstanten

mCSC h 4:;4:;4: 444

66

44

44

331313

131112

131211

000000000000000000000000

ss

ssssssssss

S�

Tetragonale Kristallsysteme mit hoher Symmetrie 6 Konstanten

mmmDDmDmmC

h

dv

4:;422:;24:;4:

44

24

9

Einfluss der Kristallanisotropie und der Kristallsymmetrie

44

44

44

111212

121112

121211

000000000000000000000000

ss

ssssssssss

S�

Kubische Kristallsysteme 3 Konstanten

mmOOmTmTT

h

dh

3:;432:;34:;3:;23:

10

Spannung und Dehnung in isotropen Werkstoffen

zyxz

zyxy

zyxx

sss

sss

sss

111212

121112

121211

22222 cossinsinsincos zyx

2

121122

121122

1211 cossinsinsincos yxzzxyzyx ssssss

Biaxiale Eigenspannung (z=0):

2

1222

121122

1211 cossinsinsincos yxxyyx sssss

Isotrope „in-plane“ Eigenspannung (x=y=):

12

21211

212

21211

212

221211

221211

2sinsin12sin

cos2sinsinsincos

ssssss

sssss

11

Spannung und Dehnung in isotropen Werkstoffen

2sin1

2sin1

2sin

2

0

0

2

0

0

122

12110

0

Eddd

EEddd

sssddd

Spezielle Richtung 0 (d = d0):

12sin

2sin10

02

02

0

00Ed

dd

sin2

= (d-d0)/d0

Zugspannung

Druckspannung

2/(+1)

0

Die sin2-Methode

12

Spannung und Dehnung in kubischen isotropen Werkstoffen

12sin1

2sin1

20

2

0

0

0

0

222

Eaa

Eaaa

dddkhda

sin2

aZugspannung

Druckspannung

2/(+1)

a0

spannungsfreier Gitterparameter

E isotrope Eigenspannung erster Art

Die sin2-Methode

13

Isotrope Werkstoffe mit Scherspannung

2sinsin2sincos

cossinsinsin2sinsincos

2313

233

2222

212

2211

0

0

ddd

33

2322

131211

000

ij

2sinsincos11

sinsin2sincos1

231333221133

233

22212

211

0

0

EEE

Eddd

z

y

x

33

22

11

yz

xz

xy

23

13

12

14

Die sin2-MethodeZweiachsige Eigenspannung

Isotrope Eigenspannung in der Fläche der Probe (kubisches Material)

22212

211

22112

0

0

332313

sin2sincos

sin1

0

EEddd

sin2

0 1

a

Eaa

Eaa

aEE

aa

11;21

2sin10;

0||0

02

0

122211

a

a ||

a0

2

ns

15

Senkrechte Komponenten der Eigenspannung

2sinsincos11

sinsin2sincos1

231333221133

233

22212

211

0

0

EEE

Eddd

2sinsincos12313

0

0

Eddd

Abweichung von der linearen Abhängigkeit d bzw. a vs. sin2

Ursachen:

Scherspannungen 13 oder 23

Gradient der Eigenspannung (11, 22 oder 33)

16

Einkristalle

Kubische Einkristalle (3 elastische Konstanten):

1211

12

32

32

22

22

12

4421

121144

12

32

32

22

22

12

4421

121111

2

coscoscoscoscoscos41

coscoscoscoscoscos21

ssS

ssssG

ssssE

E … Young-Modul; G … Schubmodul; S … lineare Kompression

Hexagonale Einkristalle (5 elastische Konstanten):

1312331132

131211

32

32

4413331132

4421

121144

32

32

441334

332

32

11

cos

cos1cos22cos11

cos1cos2coscos11

sssssssS

ssssssssG

ssssE

3

1

2

Kubisch: 1, 2, 3

Hexagonal: 3 Rotationssymmetrie (6-Achse)

17

Polykristalline WerkstoffeGleiche Kristallgitterverzerrung in allen Kristalliten (unterschiedliche

Eigenspannungen)

Voigt-Modell

Gleiche Eigenspannung in allen Kristalliten (unterschiedliche Kristallgitterverzerrungen)

Reuß-Modell

4421

12110

440

44121122

1

440

4412121101

5651

56522

ssss

sssss

Es

sssssss

Es

Keine Abhängigkeit von der kristallographischen Richtung (hkl)

2222

222222

01211221

0121

31

kh

hkkh

sssE

s

ssE

s

Lineare Abhängigkeit der röntgenographischen Elastizitätskonstanten von dem kristallographischen Parameter

18

Eigenspannungen 1.Art in polykristallinen Werkstoffen

Elastizitätskonstanten von -Fe: Kohlenstoffgehalt unter 0,2%

Strukturmodelle: Voigt – Kröner – Reuß – Vook & Witt

19

Anisotropie der mechanischen Eigenschaften in polykristallinen Werkstoffen

Anisotropie der Verzerrung des kubischen Kristallgitters

Reuss, Kröner

A. Reuss, Z. angew. Math. Mech. 9 (1929) 49.E. Kröner, Z. Physik, 151 (1958) 504.

Vook und WittR.W. Vook and F. Witt, J. Appl. Phys. 36 (1965) 2169.

2222

222222

1;

khhkkh

dcE

baE hkhk

20

Kristallanisotropie in kubischen WerkstoffenAnisotropie der Gitterverzerrung

21

Mathematische Beschreibung der Kristallanisotropie der Gitterverzerrung

2222

222222

1;

khhkkh

dcE

baE hkhk

12sin1

12sin1

20

20

EEaa

Eaa