-
EINIGE NÜTZLICHE ONLINE-DIENSTE A
A. Einige nützliche Online-Dienste
• National Institute of Standards and Technology
(NIST)http://www.nist.gov/
– http://www.nist.gov/pml/data/ (Physical Reference Data)
– http://webbook.nist.gov/chemistry/ (NIST Chemistry
WebBook)
– http://physics.nist.gov/cuu/ (Physikalische Konstanten)
– http://kinetics.nist.gov/janaf/ (JANAF Thermochemical
Tables)
• International Union of Pure and Applied Chemistry
(IUPAC)http://www.iupac.org/
– ”Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry”(Green
Book)
– verschiedene Datenbanken
• National Nuclear Data Center (NNDC)http://www.nndc.bnl.gov/
(Nuklidkarte)
• “CRC Handbook of Chemistry and
Physics”http://www.hbcpnetbase.com/ (ETH Lizenz)
159
-
A EINIGE NÜTZLICHE ONLINE-DIENSTE
160
-
PERIODENSYSTEM DER ELEMENTE B
B. Periodensystem der Elemente
Auf der nachfolgenden Seite ist das Periodensystem der Elemente
aufgeführt. In den
Spalten sind die einzelnen Gruppen (nummeriert von 1 bis 18) und
in den Zeilen die
Perioden aufgelistet.
Die einzelnen Kästchen enthalten Informationen zu den
Elementen:
1. Zeile: Ordnungszahl
2. Zeile: Symbol des chemischen Elements
3. Zeile: Deutscher Name des chemischen Elements
4. Zeile: Standard-Atommasse (gewichteter Mittelwert der Massen
der stabilen Iso-
tope) mit Angabe der Standardabweichung. Falls nur ein Wert
angegeben ist
mit einem zusätzlichen Bereich in der 5. Zeile, handelt es sich
um ein Element,
dessen Isotopenzusammensetzung in der Natur nicht konstant ist.
Dabei soll der
angegebene Wert der Standard-Atommasse (4. Zeile) für
Berechnungen verwen-
det werden.
Literatur
[IUPAC (2013)] International Union of Pure and Applied
Chemistry, online http://www.iupac.org,
Stand 19. Juni 2013.
[Wieser (2013)] Michael E. Wieser, Norman Holden, Tyler B.
Coplen, John K. Böhlke, Michael Berg-
lund, Willi A. Brand, Paul De Bièvre, Manfred Gröning, Robert
D. Loss, Juris Meija, Takafumi
Hirata, Thomas Prohaska, Ronny Schoenberg, Glenda O’Connor,
Thomas Walczyk, Shige Yone-
da und Xiang-Kun Zhu, �Atomic weights of the elements 2011
(IUPAC Technical Report)� inPure and Applied Chemistry 85(5), S.
1047–1078 (2013)
161
-
B PERIODENSYSTEM DER ELEMENTE1
23
45
67
89
10
11
12
13
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162
-
AUSGEWÄHLTE PHYSIKALISCHE KONSTANTEN C
C. Ausgewählte physikalische Konstanten
Grösse Symbol Zahlenwert Einheit
Lichtgeschwindigkeit im
Vakuum
c, c0 299 792 458 m s−1 (exakt)
Planck-Konstante h 6.626 070 040(81) · 10−34 J s} = h
2π1.054 571 817 · 10−34 J s (exakt)
Elementarladung e 1.602 176 634 · 10−19 C
(exakt)Boltzmann-Konstante k, kB 1.380 648 52(79) · 10−23 J K−1
(exakt)Avogadro-Konstante NA, L 6.022 140 857(74) · 1023 mol−1
(exakt)Molare Gaskonstante R 8.314 459 8(48) J mol−1 K−1
R = NAk (exakt)
Permeabilität des µ0 ≈ 4π · 10−7 N A−2Vakuums ≈
12.5663706212(19) · 10−7 N A−2
Permittivität des
Vakuums
ε0 =1
µ0c20
ε0 8.854 187 812 8(13) · 10−12 F m−1
Gravitationskonstante G 6.674 30(15) · 10−11 m3 kg−1 s−2
Ruhemasse des Elektrons me 9.109 383 701 5(28) · 10−31 kg5.485
799 090 70(16) · 10−4 u
Ruhemasse des Protons mp 1.672 621 923 69(51) · 10−27 kg1.007
276 466 879(91) u
Ruhemasse des Neutrons mn 1.674 927 498 04(95) · 10−27 kg1.008
664 915 88(49) u
Ruhemasse des mα 6.644 657 230(82) · 10−27 kgα-Teilchens 4.001
506 179 127(63) u
Vereinheitlichte atomare
Masseneinheit
mu =112m(12C) = 1 u
mu 1.660 539 040(20) · 10−27 kg
Rydbergkonstante
R∞ = mee4
8ε20h3c
R∞ 109 737.315 685 08(65) cm−1
Bohrscher Radius
a0 =4πε0}2mee2
a0 0.529 177 210 67(12) · 10−10 m
Fortsetzung auf der nächsten Seite
163
-
C AUSGEWÄHLTE PHYSIKALISCHE KONSTANTEN
Grösse Symbol Zahlenwert Einheit
Bohr-Magneton
µB =e}
2me
µB 9.274 009 994(57) · 10−24 J T−1
Kern-Magneton
µN =e}
2mp
µN 5.505 783 699(31) · 10−27 J T−1
Elektron-g-Faktor ge −2.002 319 304 361 82(52)Kern-g-Faktor gp
5.585 694 702(17)
Literatur
[Mohr (2015)] Peter J. Mohr, David B. Newell und Barry N.
Taylor, �CODATA RecommendedValues of the Fundamental Physical
Constants: 2014�, arXiv:1507.07956v1, (Publiziert am 21.Juli
2015).
164
-
MATHEMATISCHE HILFSMITTEL D
D. Mathematische Hilfsmittel
Berechnung und Eigenschaften des Vektorproduktes
Das Vektorprodukt ~c = ~a×~b zwischen zwei Vektoren ~a und ~b
ergibt wiederum einenVektor mit den folgenden Eigenschaften:
• ~c steht senkrecht auf ~a und auf ~b.• ~a, ~b und ~c bilden in
dieser Reihenfolge ein rechtshändiges Koordinatensystem. Die
Richtung von ~c kann mit Hilfe der rechten Hand bestimmt werden.
Wenn der Dau-
men entlang von ~a und der Zeigefinger entlang von ~b zeigt,
dann zeigt der um 90◦
gegen die Handfläche gebeugte Mittelfinger in Richtung von
~c.
• Der Betrag |~c | = |~a×~b | von ~c ist gleich der Fläche des
von ~a und ~b aufgespanntenParallelogramms. Somit gilt
|~c | = |~a×~b | = |~a ||~b | sinα ,
wobei α dem Winkel zwischen den beiden Vektoren ~a und ~b
entspricht.
Für das Vektorprodukt gelten allgemein die folgenden
Beziehungen:
~a×~b = −~b× ~a ,(~a×~b
)× ~d 6= ~a×
(~b× ~d
),
~a×(~b+ ~d
)= ~a×~b+ ~a× ~d .
Zudem gilt, dass ~a und ~b parallel oder antiparallel sind,
falls ~a×~b = ~0 ist.Falls die Vektoren ~a und ~b dreidimensional
sind, lassen sich die Komponenten von ~c
gemäss
~c =
cxcycz
= ~a×~b = axay
az
× bxby
bz
= aybz − azbyazbx − axbz
axby − aybx
(D.1)berechnen. Analog ist die Formulierung mit Hilfe von
Determinanten:
~c =
cxcycz
= ~a×~b = axay
az
× bxby
bz
=
∣∣∣∣ ay byaz bz∣∣∣∣
−∣∣∣∣ ax bxaz bz
∣∣∣∣∣∣∣∣ ax bxay by∣∣∣∣
,
wobei die vorkommenden 2× 2-Determinanten wie folgt definiert
sind:∣∣∣∣ p qr s∣∣∣∣ = ps− qr .
165
-
D MATHEMATISCHE HILFSMITTEL
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitungen sind definiert als Ableitungen einer
Funktion mehrerer Varia-
blen, bei denen alle Variablen ausser jener, nach der abgeleitet
wird, konstant gehalten
werden. Die partielle Ableitung ihrerseits ist aber in der Regel
wieder eine Funktion
aller Variablen. Für eine Funktion f(x1, ..., xi, ..., xj ,
..., xn) von n Variablen gilt:
∂f
∂xi≡ limh→0
f(x1, ..., xi + h, ..., xj , ..., xn)− f(x1, ..., xi, ..., xj ,
..., xn)h
.
Im Fall einer zweidimensionalen Funktion g(x, y) entspricht
∂g∂x
der Steigung der
Schnittkurve zwischen der Funktion g(x, y) und einer zur
xz-Ebene parallelen Ebe-
ne. Analog gibt ∂g∂y
die Steigung der Schnittkurve zwischen g(x, y) und einer
Par-
allelebene zur yz-Ebene wieder. Dies ist in Abbildung D.1 für
die Beispielfunktion
g(x, y) = x+ y2 − x3y illustriert.
y
3
x
2
−2
z
30
Abbildung D.1.: Illustration von
partiellen Ableitungen am Beispiel
der Funktion z = g(x, y) = x +
y2 − x3y. Die fett gezogenen Linienstellen die Schnittkurven der
Funkti-
on f mit den Ebenen x = x0 = 1
respektive y = y0 = 2 dar. Die
Steigung dieser Kurven entspricht im
ersten Fall der partiellen Ableitung
von g nach y, d. h.(∂g(x0,y)
∂y
)x=x0
an der Stelle x = x0, im zweiten
Fall der partiellen Ableitung von g
nach x an der Stelle y = y0, d. h.(∂g(x,y0)
∂x
)y=y0
. Verändert man x0
oder y0, sehen die Schnittkurven-
verläufe mit den zur xz- respekti-
ve zur yz-Ebene parallelen Ebenen
anders aus. Demnach verändern sich
auch die partiellen Ableitungen, so-
dass diese in der Regel Funktionen
beider Variablen x und y sind.
In gleicher Weise können auch höhere partielle Ableitungen wie
zum Beispiel ∂2f
∂x2i
oder ∂2f
∂xi∂xjdefiniert werden. Wird bei höheren partiellen Ableitungen
nicht immer
nach derselben Variablen abgeleitet, spricht man von gemischten
partiellen Ableitun-
gen. Dabei spielt die Reihenfolge der Ableitungen nach den
einzelnen Variablen im
Normalfall keine Rolle (Satz von Schwarz), sodass etwa
Beziehungen wie
∂2f
∂xi∂xj=
∂2f
∂xj∂xi,
oder
∂3f
∂x2i ∂xj=
∂3f
∂xi∂xj∂xi=
∂3f
∂xj∂x2i
gelten.
166
-
MATHEMATISCHE HILFSMITTEL D
Anstelle von ∂g∂x
, ∂2g∂x2
, ∂2g
∂x∂yusw. wird teilweise auch gx, gxx, gxy usw. geschrieben.
Unter der zu Beginn erwähnten Voraussetzung können beim
Berechnen von partiellen
Ableitungen dieselben Ableitungsregeln wie bei Funktionen einer
einzelnen Variablen
angewendet werden. Für die Beispielfunktion g(x, y) erhält man
demnach:
∂g
∂x= gx(x, y) = 1− 3x2y
∂g
∂y= gy(x, y) = 2y − x3
∂2g
∂x2= gxx(x, y) =
∂gx
∂x= −6xy
∂2g
∂y2= gyy(x, y) =
∂gy
∂y= 2
∂2g
∂x∂y= gxy(x, y) =
∂gx
∂y= −3x2 (D.2)
∂2g
∂y∂x= gyx(x, y) =
∂gy
∂x= −3x2 (D.3)
Die Gleichungen (D.2) und (D.3) demonstrieren die
Vertauschbarkeit der Reihenfolge
bei gemischten partiellen Ableitungen.
Die partielle Ableitung einer Vektorfunktion berechnet man,
indem die partiellen
Ableitungen der einzelnen Komponenten bestimmt werden.
167
-
D MATHEMATISCHE HILFSMITTEL
168
-
DAS SI-EINHEITENSYSTEM E
E. Das SI-Einheitensystem
Sehr häufig hat man zur Angabe des Werts einer physikalischen
Grösse die Wahl zwi-
schen mehreren Einheiten:
Volumen: m3, L
Temperatur: K, ◦CEnergie: J, cal, eV
Druck: Pa, bar, Torr
Um Komplikationen und Umrechnungsfehler zu vermeiden, wird
empfohlen, generell
nur das SI-Einheitensystem zu verwenden. Die internationale
Abkürzung SI steht
für �Système international d’unités� (internationales
Einheitensystem), welches von
der CGPM (�Conférence générale des poids et mesures�)
eingeführt und festgelegt
wurde. Es handelt sich um ein vollständiges Einheitensystem,
das auf sieben eindeutig
definierten SI-Basiseinheiten, die in Tabelle E.1
zusammengefasst sind, aufgebaut
ist. Die momentan gültigen Definitionen der SI-Basiseinheiten
sind im Anhang E.1
zusammengestellt.
Tabelle E.1.: Zusammenstellung der sieben SI-Basiseinheiten.
Physikalische Grösse Name der SI-Einheit Symbol der
SI-Einheit
Länge Meter m
Masse Kilogramm kg
Zeit Sekunde s
Elektrische Stromstärke Ampere A
Thermodynamische Temperatur Kelvin K
Stoffmenge Mol mol
Lichtstärke Candela cd
Daneben existieren abgeleitete SI-Einheiten, die als Produkte
von Potenzen der
SI-Basiseinheiten ausgedrückt werden. In Anhang E.2 ist eine
Zusammenstellung von
abgeleiteten SI-Einheiten mit speziellen Namen und Symbolen
aufgeführt.
Im SI-Einheitensystem, welches ständig weiterentwickelt und den
Bedürfnissen der An-
wender angepasst wird, gibt es nur eine SI-Einheit für jede
physikalische Grösse — ent-
weder die SI-Basiseinheit selbst oder die entsprechende
abgeleitete SI-Einheit. Trotzdem
begegnet man in vielen wissenschaftlichen und technischen
Publikationen weiterhin Ein-
heiten, die vom SI-Einheitensystem abweichen, was oft auf
Gewohnheit zurückzuführen
ist.
169
-
E DAS SI-EINHEITENSYSTEM
Beispiel E-1: Umrechnung in SI-Einheiten
Der Wert der universellen Gaskonstante beträgt:
R = 82.057 338 atm cm3 mol−1 K−1
= 82.057 338 · (101 325 Pa) · (10−6 m3) mol−1 K−1
= 82.057 338 · 101 325 · 10−6 Pa m3 mol−1 K−1
= 8.314 459 8 Pa m3 mol−1 K−1
= 8.314 459 8 J mol−1 K−1 .
Die letzte Umformung folgt aus der Definition des Pascals und
des Joules aus den
SI-Basiseinheiten: 1 Pa = 1 kg m−1 s−2, 1 J = 1 kg m2 s−2.
Ist der Zahlenwert einer physikalischen Grösse sehr klein oder
sehr gross, kann anstelle
von Zehnerpotenzen auch ein SI-Präfix (siehe unten) in
Kombination mit einem Einhei-
tensymbol verwendet werden. So gilt zum Beispiel 1 kΩ = 103 Ω
oder 1 pF = 10−12 F.In Kombination mit ◦C werden keine SI-Präfixe
benutzt.
Teil Präfix Symbol Vielfaches Präfix Symbol
10−1 Dezi d 10 Deka da10−2 Zenti c 102 Heko h10−3 Milli m 103
Kilo k10−6 Mikro µ 106 Mega M10−9 Nano n 109 Giga G10−12 Pico p
1012 Tera T10−15 Femto f 1015 Peta P10−18 Atto a 1018 Exa E10−21
Zepto z 1021 Zetta Z10−24 Yocto y 1024 Yotta Y
Wenn ein Präfix mit einem Einheitensymbol benutzt wird, stellt
die Kombination ein
neues Symbol dar, das ohne Klammern potenziert werden kann. So
gilt beispielsweise
cm2 = (cm)2 = (0.01 m)2 = 10−4 m2 .
Zudem sollte man ein Präfix nicht allein benutzen und Präfixe
nicht kombinieren. Letz-
teres gilt auch für die SI-Basiseinheit der Masse, das
Kilogramm (kg), welche bereits
ein Präfix enthält. Hier konstruiert man Namen und Symbole der
Dezimalvielfachen,
indem das entsprechende Präfix dem Wort Gramm und dem Symbol
�g� hinzugefügt
wird. Man schreibt also mg und nicht µkg oder Mg und nicht
kkg.
170
-
DAS SI-EINHEITENSYSTEM E
Beispiel E-2: Potenzen von Einheitensymbolen mit
SI-Präfixen
6 cm3 = 6 · (0.01 m)3 = 6 · 10−6 m3
1.7µs−1 = 1.7 · (10−6 s)−1 = 1.7 · 106 s−1
1 V/cm =1 V
0.01 m= 100 V/m (E.1)
5.2 mmol/dm3 = 5.2 · 10−3 mol
(10−1 m)3= 5.2 mol/m3 (E.2)
Obwohl sowohl die Schreibweise mit Bruchstrichen (wie
beispielsweise in den Glei-
chungen (E.1) und (E.2)) als auch diejenige mit Potenzen
zugelassen ist, ist Letztere
vorzuziehen:
1 V cm−1 = 100 V m−1 ,
1 mmol dm−3 = 1 mol m−3 .
Beispiel E-3: Rechnen mit physikalischen Grössen und Umformen
von Einheiten
Für ein ideales Gas sind der Druck p, das Volumen V , die
(absolute) Temperatur T
und die Stoffmenge n gemäss dem idealen Gasgesetz
pV = nRT
miteinander verknüpft. Die Konstante R = 8.314 459 8 J mol−1
K−1 heisst universelleGaskonstante. Der Druck bei 298 K im Inneren
eines 500 dm3 grossen Gefässes, in
dem sich 100 mmol eines sich ideal verhaltenden Gases befindet,
beträgt:
p =nRT
V=
100 mmol · 8.314 459 8 J mol−1 K−1 · 298 K500 dm3
=0.100 · 8.314 459 8 · 298
0.500· mol J mol
−1 K−1 Km3
= 4.96 · 102 J m−3 = 4.96 · 102 N m m−3 = 4.96 · 102 N m−2
= 4.96 · 102 Pa = 496 Pa.
Der Zahlenwert bei den Berechnungen soll jeweils auf eine
vernünftige Anzahl Stellen
gerundet werden. Es hat keinen Sinn, Resultate auf
beispielsweise neun Stellen genau
anzugeben, wenn bei deren Berechnung Grössen einfliessen, die
nur auf die ersten drei
Stellen genau bekannt sind.
E.1. Definitionen der SI-Basiseinheiten
• Meter (m)Der oder das Meter ist die Weglänge, die Licht im
Vakuum innerhalb eines Zeitinter-
valls von 1/299 792 458 einer Sekunde zurücklegt.
171
-
E DAS SI-EINHEITENSYSTEM• Sekunde (s)
Die Sekunde ist die Dauer von 9 192 631 770 Perioden der
Strahlung, die dem Übergang
zwischen zwei Hyperfein-Niveaus des Grundzustands des
Cäsium-133-Atoms ent-
spricht.
• Kilogramm (kg)Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist
über den Wert der Planckschen
Konstante h = 6.626 070 15 · 10−34 J s (J = kg m2 s−2) und die
Definitionen vonMeter und Sekunde festgelegt.
• Ampere (A)Das Ampere ist über den Wert der Elementarladung e
= 1.602 176 634 · 10−19 C(C = A s) und die Definition der Sekunde
festgelegt.
• Kelvin (K)Das Kelvin, Einheit der thermodynamischen
Temperatur, ist über den Wert der Boltz-
mannkonstante k = 1.380 649 ·10−23 J K−1 (J = kg m2 s−2) und die
Definitionen vonKilogramm, Meter und Sekunde festgelegt.
• Mol (mol)Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das 6.022
140 76 · 1023 Elementareinheitenenthält. Dies können Atome,
Moleküle, Ionen, Elektronen und andere Teilchen oder
spezifizierte Gruppen solcher Teilchen sein.
• Candela (cd)Die Candela ist die Lichtstärke in einer
gegebenen Richtung, die eine Lichtquelle mit
monochromatischer Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz
emittiert und die eineStrahlungsintensität in dieser Richtung von
1/683 Watt pro Steradiant hat.
172
-
DAS SI-EINHEITENSYSTEM EE.2. Abgeleitete SI-Einheiten mit
speziellen Namen und
Symbolen
Physikalische Name der Symbol der Ausdruck in Form
Grösse SI-Einheit SI-Einheit von SI-Basiseinheiten
Frequenzi Hertz Hz s−1
Kraft Newton N m kg s−2
Druck Pascal Pa N m−2 = m−1 kg s−2
Energie, Arbeit,Joule J N m = m2 kg s−2
Wärmemenge
Leistung Watt W J s−1 = m2 kg s−3
elektrische Ladung Coulomb C A s
elektrische Spannung,Volt V J C−1 = m2 kg s−3 A−1
elektromotorische Kraft
elektrischer Widerstand Ohm Ω V A−1 = m2 kg s−3 A−2
elektrischer Leitwert Siemens S Ω−1 = m−2 kg−1 s3 A2
elektrische Kapazität Farad F C V−1 = m−2 kg−1 s4 A2
magnetische Flussdichte Tesla T V s m−2 = kg s−2 A−1
magnetischer Fluss Weber Wb V s = m2 kg s−2 A−1
Induktivität Henry H V A−1 s = m2 kg s−2 A−2
Celsius-Temperaturii Grad Celsius ◦C K
Lichtstrom Lumen lm cd sr
Beleuchtungsstärke Lux lx cd sr m−2
Aktivität (radioaktiv) Becquerel Bq s−1
absorbierte Strahlendosis Gray Gy J kg−1 = m2 s−2
Äquivalentdosis Sievert Sv J kg−1 = m2 s−2
ebener Winkeliii Radiant rad 1
Raumwinkeliii Steradiant sr 1
i Für die Kreisfrequenz und die Winkelgeschwindigkeit sollte
die Einheit rad s−1 oder einfachs−1, aber nicht Hz benutzt werden.
Die Einheit Hz sollte nur für die Frequenz im Sinne vonZyklen pro
Sekunde verwendet werden.
ii Die Celsius-Temperatur ist durch die Gleichung θ/◦C = T/K−
273.15 bestimmt. Die SI-Einheitder Celsius-Temperatur ist das ◦C,
das dem Kelvin, K, gleich ist.
iii Da die Einheiten Radiant und Steradiant die Dimension 1
haben, bleibt die Möglichkeit offen, sie
in Ausdrücken abgeleiteter SI-Einheiten einzubeziehen oder
nicht. In der Praxis bedeutet das,
dass rad und sr benutzt werden können, wenn es angebracht
erscheint, oder weggelassen werden
können, wenn dadurch die Eindeutigkeit nicht verloren geht.
173
-
E DAS SI-EINHEITENSYSTEME.3. Zusätzliche Einheiten im Gebrauch
mit dem
SI-Einheitensystem
Diese Einheiten sind nicht Teil des SI-Einheitensystems, werden
aber weiterhin im
entsprechenden Zusammenhang benutzt werden. Einigen dieser
Einheiten können SI-
Präfixe beigestellt werden, zum Beispiel Milliliter (ml),
Millibar (mbar), Megaelektro-
nenvolt (MeV), Kilotonne (kt).
Physikalische
Grösse
Name der
Einheit
Symbol für
die Einheit
Wert in SI-Einheiten
Zeit Minute min 60 s
Zeit Stunde h 3600 s
Zeit Tag d 86 400 s
ebener Winkel Grad ◦ π180
rad
ebener Winkel Minute ′ π10 800
rad
ebener Winkel Sekunde ′′ π648 000
rad
Länge Ångström Å 10−10 mFläche Barn b 10−28 m2
Volumen Liter l, L 10−3 m3
Masse Tonne t 103 kg
Druck Bar bar 105 Pa
Energie Elektronenvoltiv eV 1.602 176 620 8(98) · 10−19 JMasse
(vereinheitlichte)
atomare
Masseneinheitiv,v
u 1.660 539 040(20) · 10−27 kg
Literatur
[BIPM (2006)] �Le Système international d’unités (SI)�, 8.
Auflage (Französisch und Englisch),Bureau international des poids
et mesures (BIPM), Sèvres, 2006.
iv Die Werte dieser Einheiten, ausgedrückt in SI-Einheiten,
sind nicht exakt, weil sie von den
Werten der Naturkonstanten e (für eV) und NA (für u)
abhängen, die experimentell bestimmt
werden.v Die (vereinheitlichte) atomare Masseneinheit wird
manchmal auch �Dalton� genannt und mit
dem Symbol �Da� abgekürzt, obwohl Name und Symbol von der
�Conférence générale despoids et mesures� (CGPM) nicht anerkannt
werden.
174
-
TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE F
F. Tabelle der natürlichen Isotope
In Tabelle F.1 sind die natürlichen Elemente sowie deren
stabile Isotope aufgelistet.
Jedes natürlich vorkommende Element ist dabei durch mindestens
zwei Zeilen vertre-
ten. Die erste Zeile enthält Informationen bezüglich einer
natürlichen Mischung der
stabilen Isotope des Elements, wie sie auf der Erde vorkommen.
Die atomare Masse
ist dabei ein gewichtetes arithmetisches Mittel der Massen der
stabilen Isotope (ange-
geben durch einen Mittelwert mit Standardabweichung) [Wieser
(2013)]. Da die Iso-
topenzusammensetzungen einiger Elemente in der Natur nicht
konstant sind, sondern
von deren physikalischen, chemischen und nuklearen Werdegängen
abhängen, werden
für die Standard-Atommassen einerseits ein Wert angegeben, der
für Rechnungen ver-
wendet werden soll, und andererseits ein Bereich ([a; b])
spezifiziert, in welchem die
Atommassen natürlicher terrestrischer Proben liegen (a ≤ Mi ≤
b). Die nachfolgendenZeilen enthalten die Masse [Wang (2012)], die
natürliche Häufigkeit [Berglund (2011)],
der Spins der stabilen Isotope des entsprechenden Elements,
sowie die Lebenszeiten
einiger natürlicher Isotope [NNDC (2013)].
Tabelle F.1.: Auflistung der Massen, der natürlichen
Häufigkeiten und der Kernspins der
natürlichen Isotope, sowie der mittleren Masse.
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
Wasserstoff 1H 1.008 [1.00784; 1.00811]1H 1.007 825 032 23(9)
99.9885(70) 1/22H 2.014 101 778 12(12) 0.0115(70) 1
Helium 2He 4.002 602(2)3He 3.016 029 3201(25) 0.000 134(3)
1/24He 4.002 603 254 13(6) 99.999 866(3) 0
Lithium 3Li 6.94 [6.938; 6.997]6Li 6.015 122 8874(16) 7.59(4)
17Li 7.016 003 437(5) 92.41(4) 3/2
Beryllium 4Be 9.012 182(3)9Be 9.012 183 07(8) 100 3/2
Bor 5B 10.81 [10.806; 10.821]10B 10.012 9369(4) 19.9(7) 311B
11.009 3054(4) 80.1(7) 3/2
Kohlenstoff 6C 12.011 [12.0096; 12.0116]12C 12 (exakt) 98.93(8)
013C 13.003 354 835 07(23) 1.07(8) 1/2
Stickstoff 7N 14.007 [14.00643; 14.00728]
Fortsetzung auf der nächsten Seite
175
-
F TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
14N 14.003 074 004 43(20) 99.636(20) 115N 15.000 108 8989(6)
0.364(20) 1/2
Sauerstoff 8O 15.999 [15.99903; 15.99977]16O 15.994 914 619
57(17) 99.757(16) 017O 16.999 131 7565(7) 0.038(1) 5/218O 17.999
159 6129(8) 0.205(14) 0
Fluor 9F 18.998 4032(5)19F 18.998 403 1627(9) 100 1/2
Neon 10Ne 20.1797(6)20Ne 19.992 440 1762(17) 90.48(3) 021Ne
20.993 846 69(4) 0.27(1) 3/222Ne 21.991 385 114(18) 9.25(3) 0
Natrium 11Na 22.989 769 28(2)23Na 22.989 769 282(19) 100 3/2
Magnesium 12Mg 24.305 [24.304; 24.307]24Mg 23.985 041 697(14)
78.99(4) 025Mg 24.985 836 98(5) 10.00(1) 5/226Mg 25.982 592 97(3)
11.01(3) 0
Aluminium 13Al 26.981 5386(8)27Al 26.981 538 53(11) 100 5/2
Silicium 14Si 28.085 [28.084; 28.086]28Si 27.976 926 5347(4)
92.223(19) 029Si 28.976 494 6649(5) 4.685(8) 1/230Si 29.973 770
136(23) 3.092(11) 0
Phosphor 15P 30.973 762(2)31P 30.973 761 9984(7) 100 1/2
Schwefel 16S 32.06 [32.059; 32.076]32S 31.972 071 1744(14)
94.99(26) 033S 32.971 458 9098(15) 0.75(2) 3/234S 33.967 867(5)
4.25(24) 036S 35.967 080 71(20) 0.01(1) 0
Chlor 17Cl 35.45 [35.446; 35.457]35Cl 34.968 852 68(4) 75.76(10)
3/237Cl 36.965 9026(6) 24.24(10) 3/2
Argon 18Ar 39.948(1)36Ar 35.967 545 11(3) 0.3336(21) 038Ar
37.962 732 11(21) 0.0629(7) 040Ar 39.962 383 1237(24) 99.6035(25)
0
Kalium 19K 39.0983(1)39K 38.963 706 486(5) 93.2581(44) 3/240K
39.963 998 17(6) 0.0117(1) 4 1.248 · 109 a
Fortsetzung auf der nächsten Seite
176
-
TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE F
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
41K 40.961 825 258(4) 6.7302(44) 3/2
Calcium 20Ca 40.078(4)40Ca 39.962 590 863(22) 96.941(156) 0 >
3.0 · 1021 a42Ca 41.958 617 83(16) 0.647(23) 043Ca 42.958 766
44(24) 0.135(10) 7/244Ca 43.955 4816(3) 2.086(110) 046Ca 45.953
689(24) 0.004(3) 0 > 2.8 · 1015 a48Ca 47.952 522 77(13)
0.187(21) 0 > 5.8 · 1022 a
Scandium 21Sc 44.955 912(6)45Sc 44.955 9083(8) 100 7/2
Titan 22Ti 47.867(1)46Ti 45.952 6277(4) 8.25(3) 047Ti 46.951
7588(4) 7.44(2) 5/248Ti 47.947 942(4) 73.72(3) 049Ti 48.947 8657(4)
5.41(2) 7/250Ti 49.944 7869(4) 5.18(2) 0
Vanadium 23V 50.9415(1)50V 49.947 156(9) 0.250(4) 651V 50.943
957(9) 99.750(4) 7/2 > 2.1 · 1017 a
Chrom 24Cr 51.9961(6)50Cr 49.946 0418(9) 4.345(13) 0 > 1.3 ·
1018 a52Cr 51.940 5062(6) 83.789(18) 053Cr 52.940 6481(6) 9.501(17)
3/254Cr 53.938 8792(6) 2.365(7) 0
Mangan 25Mn 54.938 045(5)55Mn 54.938 0439(5) 100 5/2
Eisen 26Fe 55.845(2)54Fe 53.939 609(5) 5.845(35) 056Fe 55.934
9363(5) 91.754(36) 057Fe 56.935 3928(5) 2.119(10) 1/258Fe 57.933
2744(5) 0.282(4) 0
Cobalt 27Co 58.933 195(5)59Co 58.933 1943(6) 100 7/2
Nickel 28Ni 58.6934(4)58Ni 57.935 3424(5) 68.077(19) 060Ni
59.930 7859(5) 26.223(15) 061Ni 60.931 0556(5) 1.1399(13) 3/262Ni
61.928 3454(6) 3.6346(40) 064Ni 63.927 9668(6) 0.9255(19) 0
Kupfer 29Cu 63.546(3)63Cu 62.929 5977(6) 69.15(15) 3/2
Fortsetzung auf der nächsten Seite
177
-
F TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
65Cu 64.927 7897(7) 30.85(15) 3/2
Zink 30Zn 65.38(2)64Zn 63.929 142(7) 49.17(75) 0 ≥ 7.0 · 1020
a66Zn 65.926 0338(9) 27.73(98) 067Zn 66.927 1277(10) 4.04(16)
5/268Zn 67.924 8446(10) 18.45(63) 070Zn 69.925 3192(21) 0.61(10) 0
≥ 2.3 · 1017 a
Gallium 31Ga 69.723(1)69Ga 68.925 5735(13) 60.108(9) 3/271Ga
70.924 7026(9) 39.892(9) 3/2
Germanium 32Ge 72.630(8)70Ge 69.924 2488(9) 20.57(27) 072Ge
71.922 075 83(8) 27.45(32) 073Ge 72.923 458 96(6) 7.75(12) 9/274Ge
73.921 177 761(13) 36.50(20) 076Ge 75.921 402 726(19) 7.73(12)
0
Arsen 33As 74.921 60(2)75As 74.921 5946(9) 100 3/2
Selen 34Se 78.96(3)74Se 73.922 475 934(15) 0.89(4) 076Se 75.919
213 704(17) 9.37(29) 077Se 76.919 914 15(7) 7.63(16) 1/278Se 77.917
309 28(20) 23.77(28) 080Se 79.916 5218(13) 49.61(41) 082Se 81.916
6995(15) 8.73(22) 0
Brom 35Br 79.904 [79.901; 79.907]79Br 78.918 3376(14) 50.69(7)
3/281Br 80.916 2897(14) 49.31(7) 3/2
Krypton 36Kr 83.798(2)78Kr 77.920 3649(8) 0.355(3) 0 ≥ 1.5 ·
1021 a80Kr 79.916 3781(7) 2.286(10) 082Kr 81.913 4827(9) 11.593(31)
083Kr 82.914 1272(3) 11.500(19) 9/284Kr 83.911 497 728(4)
56.987(15) 086Kr 85.910 610 627(4) 17.279(41) 0
Rubidium 37Rb 85.4678(3)85Rb 84.911 789 738(5) 72.17(2) 5/287Rb
86.909 180 531(6) 27.83(2) 3/2 4.81 · 1010 a
Strontium 38Sr 87.62(1)84Sr 83.913 4191(13) 0.56(1) 086Sr 85.909
2606(12) 9.86(1) 087Sr 86.908 8775(12) 7.00(1) 9/2
Fortsetzung auf der nächsten Seite
178
-
TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE F
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
88Sr 87.905 6125(12) 82.58(1) 0
Yttrium 39Y 88.905 85(2)89Y 88.905 8403(24) 100 1/2
Zirkonium 40Zr 91.224(2)90Zr 89.904 6977(20) 51.45(40) 091Zr
90.905 6396(20) 11.22(5) 5/292Zr 91.905 0347(20) 17.15(8) 094Zr
93.906 3108(20) 17.38(28) 096Zr 95.908 2714(21) 2.80(9) 0 2.35 ·
1019 a
Niob 41Nb 92.906 38(2)93Nb 92.906 373(20) 100 9/2
Molybdän 42Mo 95.96(2)92Mo 91.906 808(8) 14.53(30) 094Mo 93.905
0849(5) 9.15(9) 095Mo 94.905 8388(5) 15.84(11) 5/296Mo 95.904
6761(5) 16.67(15) 097Mo 96.906 0181(5) 9.60(14) 5/298Mo 97.905
4048(5) 24.39(37) 0
100Mo 99.907 4718(11) 9.82(31) 0 7.3 · 1018 aRuthenium 44Ru
101.07(2)
96Ru 95.907 5903(5) 5.54(14) 098Ru 97.905 287(7) 1.87(3) 099Ru
98.905 9341(11) 12.76(14) 5/2
100Ru 99.904 2143(11) 12.60(7) 0101Ru 100.905 5769(12) 17.06(2)
5/2102Ru 101.904 3441(12) 31.55(14) 0104Ru 103.905 427(3) 18.62(27)
0
Rhodium 45Rh 102.905 50(2)103Rh 102.905 498(3) 100 1/2
Palladium 46Pd 106.42(1)102Pd 101.905 602(3) 1.02(1) 0104Pd
103.904 0305(14) 11.14(8) 0105Pd 104.905 0796(12) 22.33(8) 5/2106Pd
105.903 4804(12) 27.33(3) 0108Pd 107.903 8916(12) 26.46(9) 0110Pd
109.905 1722(7) 11.72(9) 0
Silber 47Ag 107.8682(2)107Ag 106.905 092(3) 51.839(8) 1/2109Ag
108.904 7553(14) 48.161(8) 1/2
Cadmium 48Cd 112.411(8)106Cd 105.906 4599(12) 1.25(6) 0 > 3.6
· 1020 a108Cd 107.904 1834(12) 0.89(3) 0 > 1.9 · 1018 a
Fortsetzung auf der nächsten Seite
179
-
F TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
110Cd 109.903 0066(6) 12.49(18) 0111Cd 110.904 1829(6) 12.80(12)
1/2112Cd 111.902 7629(6) 24.13(21) 0113Cd 112.904 4081(4) 12.22(12)
1/2 8.00 · 1015 a114Cd 113.903 3651(4) 28.73(42) 0 > 2.1 · 1018
a116Cd 115.904 763 15(17) 7.49(18) 0 3.3 · 1019 a
Indium 49In 114.818(1)113In 112.904 0618(9) 4.29(5) 9/2115In
114.903 878 776(12) 95.71(5) 9/2 4.41 · 1014 a
Zinn 50Sn 118.710(7)112Sn 111.904 8239(6) 0.97(1) 0 < 1.3 ·
1021 a114Sn 113.902 7827(10) 0.66(1) 0115Sn 114.903 344 699(16)
0.34(1) 1/2116Sn 115.901 7428(10) 14.54(9) 0117Sn 116.902 954(5)
7.68(7) 1/2118Sn 117.901 6066(5) 24.22(9) 0119Sn 118.903 3112(8)
8.59(4) 1/2120Sn 119.902 2016(10) 32.58(9) 0122Sn 121.903 444(3)
4.63(3) 0124Sn 123.905 2766(11) 5.79(5) 0 > 1.2 · 1021 a
Antimon 51Sb 121.760(1)121Sb 120.903 812(3) 57.21(5) 5/2123Sb
122.904 2132(23) 42.79(5) 7/2
Tellur 52Te 127.60(3)120Te 119.904 059(3) 0.09(1) 0122Te 121.903
0435(16) 2.55(12) 0123Te 122.904 2698(16) 0.89(3) 1/2 > 9.2 ·
1016 a124Te 123.902 8171(16) 4.74(14) 0125Te 124.904 4299(16)
7.07(15) 1/2126Te 125.903 3109(16) 18.84(25) 0128Te 127.904 4613(9)
31.74(8) 0 2.41 · 1024 a130Te 129.906 222 748(12) 34.08(62) 0 ≥ 3.0
· 1024 a
Iod 53I 126.904 47(3)127I 126.904 472(4) 100 5/2
Xenon 54Xe 131.293(6)124Xe 123.905 892(19) 0.0952(3) 0 ≥ 1.6 ·
1014 a126Xe 125.904 298(4) 0.0890(2) 0128Xe 127.903 531(11)
1.9102(8) 0129Xe 128.904 780 861(6) 26.4006(82) 1/2130Xe 129.903
509 349(10) 4.0710(13) 0131Xe 130.905 084 06(24) 21.2324(30)
3/2132Xe 131.904 155 086(6) 26.9086(33) 0134Xe 133.905 3947(9)
10.4357(21) 0 > 5.8 · 1022 a
Fortsetzung auf der nächsten Seite
180
-
TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE F
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
136Xe 135.907 214 484(11) 8.8573(44) 0 > 2.4 · 1021 aCäsium
55Cs 132.905 4519(2)
133Cs 132.905 451 961(8) 100 7/2
Barium 56Ba 137.327(7)130Ba 129.906 321(3) 0.106(1) 0132Ba
131.905 0611(11) 0.101(1) 0 > 3.0 · 1021 a134Ba 133.904 5082(3)
2.417(18) 0135Ba 134.905 6884(3) 6.592(12) 3/2136Ba 135.904 5757(3)
7.854(24) 0137Ba 136.905 8271(3) 11.232(24) 3/2138Ba 137.905 247(3)
71.698(42) 0
Lanthan 57La 138.905 47(7)138La 137.907 115(4) 0.08881(71) 5
1.02 · 1011 a139La 138.906 3563(24) 99.91119(71) 7/2
Cer 58Ce 140.116(1)136Ce 135.907 1292(4) 0.185(2) 0 > 7 ·
1013 a138Ce 137.905 991(11) 0.251(2) 0 ≥ 9 · 1013 a140Ce 139.905
4431(23) 88.450(51) 0142Ce 141.909 25(3) 11.114(51) 0 > 5 · 1016
a
Praseodym 59Pr 140.907 65(2)141Pr 140.907 6576(23) 100 5/2
Neodym 60Nd 144.242(3)142Nd 141.912 0065(21) 27.152(40) 0143Nd
142.914 9044(19) 12.174(26) 7/2144Nd 143.914 8292(19) 23.798(19) 0
2.29 · 1015 a145Nd 144.917 1921(18) 8.293(12) 7/2146Nd 145.917
2829(18) 17.189(32) 0148Nd 147.919 7397(18) 5.756(21) 0150Nd
149.922 2169(20) 5.638(28) 0 7.9 · 1018 a
Samarium 62Sm 150.36(2)144Sm 143.911 999(3) 3.07(7) 0147Sm
146.914 8979(26) 14.99(18) 7/2 1.060 · 1011 a148Sm 147.914 8227(26)
11.24(10) 0 7 · 1015 a149Sm 148.917 1847(26) 13.82(7) 7/2150Sm
149.917 2755(26) 7.38(1) 0152Sm 151.919 7324(27) 26.75(16) 0154Sm
153.922 2093(27) 22.75(29) 0
Europium 63Eu 151.964(1)151Eu 150.919 8578(18) 47.81(6) 5/2 ≥
1.7 · 1018 a153Eu 152.921 238(18) 52.19(6) 5/2
Gadolinium 64Gd 157.25(3)152Gd 151.919 7995(18) 0.20(1) 0 1.08 ·
1014 a
Fortsetzung auf der nächsten Seite
181
-
F TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
154Gd 153.920 8741(17) 2.18(3) 0155Gd 154.922 6305(17) 14.80(12)
3/2156Gd 155.922 1312(17) 20.47(9) 0157Gd 156.923 9686(17) 15.65(2)
3/2158Gd 157.924 1123(17) 24.84(7) 0160Gd 159.927 0624(18)
21.86(19) 0 > 3.1 · 1019 a
Terbium 65Tb 158.925 35(2)159Tb 158.925 3547(19) 100 3/2
Dysprosium 66Dy 162.500(1)156Dy 155.924 2847(17) 0.056(3) 0158Dy
157.924 416(3) 0.095(3) 0160Dy 159.925 2046(20) 2.329(18) 0161Dy
160.926 9405(20) 18.889(42) 5/2162Dy 161.926 8056(20) 25.475(36)
0163Dy 162.928 7383(20) 24.896(42) 5/2164Dy 163.929 1819(20)
28.260(54) 0
Holmium 67Ho 164.930 32(2)165Ho 164.930 3288(21) 100 7/2
Erbium 68Er 167.259(3)162Er 161.928 7884(20) 0.139(5) 0164Er
163.929 2088(20) 1.601(3) 0166Er 165.930 2995(22) 33.503(36) 0167Er
166.932 0546(22) 22.869(9) 7/2168Er 167.932 3767(22) 26.978(18)
0170Er 169.935 47(3) 14.910(36) 0
Thulium 69Tm 168.934 21(2)169Tm 168.934 2179(22) 100 1/2
Ytterbium 70Yb 173.054(5)168Yb 167.933 8896(22) 0.123(3) 0170Yb
169.934 7664(22) 2.982(39) 0171Yb 170.936 3302(22) 14.09(14)
1/2172Yb 171.936 3859(22) 21.68(13) 0173Yb 172.938 2151(22)
16.103(63) 5/2174Yb 173.938 8664(22) 32.026(80) 0176Yb 175.942
5764(24) 12.996(83) 0
Lutetium 71Lu 174.9668(1)175Lu 174.940 7752(20) 97.401(13)
7/2176Lu 175.942 6897(20) 2.599(13) 7 3.76 · 1010 a
Hafnium 72Hf 178.49(2)174Hf 173.940 046(3) 0.16(1) 0 2.0 · 1015
a176Hf 175.941 4076(22) 5.26(7) 0177Hf 176.943 2277(20) 18.60(9)
7/2
Fortsetzung auf der nächsten Seite
182
-
TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE F
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
178Hf 177.943 7058(20) 27.28(7) 0179Hf 178.945 8232(20) 13.62(2)
9/2180Hf 179.946 557(20) 35.08(16) 0
Tantali 73Ta 180.947 88(2)180mTa 179.947 4648(24) 0.01201(32) 9
> 1.2 · 1015 a
181Ta 180.947 9958(20) 99.98799(32) 7/2
Wolfram 74W 183.84(1)180W 179.946 7108(20) 0.12(1) 0 ≥ 6.6 ·
1017 a182W 181.948 2039(9) 26.50(16) 0183W 182.950 2227(9) 14.31(4)
1/2 > 1.3 · 1019 a184W 183.950 9309(9) 30.64(2) 0186W 185.954
3628(17) 28.43(19) 0 > 2.3 · 1019 a
Rhenium 75Re 186.207(1)185Re 184.952 9545(13) 37.40(2) 5/2187Re
186.955 7501(16) 62.60(2) 5/2 4.33 · 1010 a
Osmium 76Os 190.23(3)184Os 183.952 4885(14) 0.02(1) 0 > 5.6 ·
1013 a186Os 185.953 835(16) 1.59(3) 0 2.0 · 1015 a187Os 186.955
7474(16) 1.96(2) 1/2188Os 187.955 8352(16) 13.24(8) 0189Os 188.958
1442(17) 16.15(5) 3/2190Os 189.958 4437(17) 26.26(2) 0192Os 191.961
477(3) 40.78(19) 0
Iridium 77Ir 192.217(3)191Ir 190.960 5893(21) 37.3(2) 3/2193Ir
192.962 9216(21) 62.7(2) 3/2
Platin 78Pt 195.084(9)190Pt 189.959 93(6) 0.012(2) 0 6.5 · 1011
a192Pt 191.961 039(3) 0.782(24) 0194Pt 193.962 6809(10) 32.86(40)
0195Pt 194.964 7917(10) 33.78(24) 1/2196Pt 195.964 9521(10)
25.21(34) 0198Pt 197.967 8949(23) 7.356(130) 0
Gold 79Au 196.966 569(4)197Au 196.966 5688(7) 100 3/2
Quecksilber 80Hg 200.592(3)196Hg 195.965 833(3) 0.15(1) 0198Hg
197.966 7686(5) 9.97(20) 0199Hg 198.968 2806(5) 16.87(22) 1/2
Fortsetzung auf der nächsten Seite
i 180mTa ist radioaktiv mit einer Halbwertszeit von >
1.2·1015 a. Der Superskript�m� bedeutet,dass es sich dabei um ein
Isomer, also um ein Nuklid in einem angeregten Kernzustand,
handelt.
Der Grundzustand von 180Ta würde mit einer Halbwertszeit von
8.154 h zerfallen.
183
-
F TABELLE DER NATÜRLICHEN ISOTOPE
Element oder Isotop Atomare Masse
in u
Natürliche
Häufigkeit in %
I Halbwertszeit
200Hg 199.968 3266(5) 23.10(19) 0201Hg 200.970 3028(7) 13.18(9)
3/2202Hg 201.970 6434(7) 29.86(26) 0204Hg 203.973 494(5) 6.87(15)
0
Thallium 81Tl 204.38 [204.382; 204.385]203Tl 202.972 3446(14)
29.52(1) 1/2205Tl 204.974 4278(14) 70.48(1) 1/2
Blei 82Pb 207.2(1)204Pb 203.973 044(13) 1.4(1) 0 ≥ 1.4 · 1017
a206Pb 205.974 4657(13) 24.1(1) 0207Pb 206.975 8973(13) 22.1(1)
1/2208Pb 207.976 6525(13) 52.4(1) 0
Bismut 83Bi 208.980 40(1)209Bi 208.980 3991(16) 100 9/2
Thorium 90Th 232.038 06(2)232Th 232.038 0558(21) 100 0 1.40 ·
1010 a
Protactinium 91Pa 231.035 88(2)231Pa 231.035 8842(24) 100 3/2
3.276 · 104 a
Uran 92U 238.028 91(3)234U 234.040 9523(19) 0.0054(5) 0 2.455 ·
105 a235U 235.043 9301(19) 0.7204(6) 7/2 7.04 · 108 a238U 238.050
7884(20) 99.2742(10) 0 4.468 · 109 a
Literatur
[Berglund (2011)] Michael Berglund und Michael E. Wieser,
�Isotopic Compositions of the Ele-ments, 2009� in Pure and Applied
Chemistry 83(2), S. 397–410 (2011).
[Audi (2012)] G. Audi, F. G. Kondev, M. Wang, B. Pfeiffer, X.
Sun, J. Blachot und M. MacCormick,�The NUBASE2013 evaluation of
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(2012).
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lund, Willi A. Brand, Paul De Bièvre, Manfred Gröning, Robert
D. Loss, Juris Meija, Takafumi
Hirata, Thomas Prohaska, Ronny Schoenberg, Glenda O’Connor,
Thomas Walczyk, Shige Yone-
da und Xiang-Kun Zhu, �Atomic weights of the elements 2011
(IUPAC Technical Report)� inPure and Applied Chemistry 85(5), S.
1047–1078 (2013)
[NNDC (2013)] National Nuclear Data Center, Brookhaven National
Laboratory, online http://www.nncd.bnl.gov/,
Stand 19. Juni 2013.
184
-
DIE NATÜRLICHEN ZERFALLSREIHEN G
G. Die natürlichen Zerfallsreihen
Die Tatsache, dass in der Natur radioaktive Nuklide vorkommen,
hat verschiedene Ur-
sachen. Einige radioaktive Nuklide entstehen fortlaufend
aufgrund von Kernreaktionen,
welche durch die Wechselwirkung von kosmischer Strahlung mit
stabilen Nukliden aus-
gelöst werden. In diese Kategorie fallen etwa 14C, 3H, 7Be oder
22Na.
Daneben gibt es natürliche Radionuklide mit sehr langen
Halbwertszeiten. Man kann
annehmen, dass es sich dabei um Radionuklide aus der
Entstehungszeit der Erde vor
zirka 4.6 Milliarden Jahren handelt. Wegen den sehr langen
Halbwertszeiten sind sie
seit ihrer Entstehung noch nicht vollständig zerfallen.
Teilweise haben sich ihre Teil-
chenzahlen sogar kaum merklich verändert. Die in Anhang F
aufgeführten radioaktiven
Nuklide fallen in diese Kategorie. Die meisten von ihnen
zerfallen in einem oder wenigen
Schritten in stabile Nuklide. Bei einigen bilden sich jedoch
lange, teilweise verzweigte
Zerfallsreihen. Es bilden sich somit ausgehend vom langlebigen
Mutternuklid fortlau-
fend weitere radioaktive Nuklide, bis die Reihe durch die
Bildung eines stabilen Kerns
abgebrochen wird. Im Verlauf solcher Zerfallsreihen werden
ständig Radionuklide mit
zum Teil sehr kurzen Halbwertszeiten neu gebildet.
Heute existieren in der Natur noch drei sogenannte natürliche
Zerfallsreihen: die
Uran-Radium-, die Uran-Actinium- und die Thorium-Zerfallsreihe,
welche von 238U,235U respektive 232Th ausgehen.
In den natürlichen Zerfallsreihen führen α- und β−-Zerfälle
zu Änderungen der Proto-nen- und Neutronenanzahlen in den Kernen.
Somit nehmen die Massenzahlen entweder
um vier Einheiten ab oder sie bleiben konstant. Deshalb sind im
Prinzip vier unter-
schiedliche natürliche Zerfallsreihen möglich, je nachdem,
welcher Rest sich bei der
Division der Massenzahl sämtlicher in der Zerfallsreihe
vorkommenden Nuklide durch
vier ergibt. Für die oben erwähnten Zerfallsreihen gilt A = 4n
+ 2, A = 4n + 3 bezie-
hungsweise A = 4n, wobei n eine natürliche Zahl ist.
In den frühen Zeiten der Erdgeschichte kam auch noch eine
vierte natürliche Zerfalls-
reihe mit A = 4n+ 1, die bei 237Np startende
Neptunium-Zerfallsreihe, vor. Wegen der
verglichen mit dem Alter der Erde relativ kleinen Halbwertszeit
des langlebigsten in die-
ser Reihe auftretenden Nuklids ist sie heute allerdings bereits
abgeklungen. 237Np wird
in der Natur nur noch in sehr geringen Mengen in Uranerz
gefunden. Dort entsteht es
aufgrund von Kernreaktionen, welche durch Neutronenbestrahlung
von 238U ausgelöst
werden. Diese Neutronen stammen überwiegend aus der
Spontanspaltung von 238U.
Auf den folgenden Seiten sind die vier natürlichen
Zerfallsreihen mit den auftretenden
Nukliden, den Halbwertszeiten und den Zerfallsarten dargestellt.
Einzelne Nuklide un-
terliegen zu einem geringen Anteil auch Clusterzerfällen und
Spontanspaltungen. Das
in der Uran-Radium-Zerfallsreihe auftretende 210Tl geht zudem in
0.007 % der Fälle in
einer β-verzögerten Neutronenemission (siehe Kapitel 3.4.3) in
209Pb über, welches mit
einer Halbwertszeit von 3.253 h zu stabilem 209Bi zerfällt. Im
Weiteren zerfällt das in
185
-
G DIE NATÜRLICHEN ZERFALLSREIHENder Thorium-Zerfallsreihe
auftretende 212Bi in 0.014 % der Fälle in einer β-verzögerten
α-Teilchen-Emission direkt zum stabilen 208Pb.
186
-
DIE NATÜRLICHEN ZERFALLSREIHEN G
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190
-
EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN H
H. Eigenschaften von Elementen
H.1. Atomradien
Tabelle H.1.: Kovalenzradien in Kristallstrukturen, der
Van-Der-Waals-Radien sowie der
Kovalenzradien aus homo- und heteronuklearen Bindungen.
Z Periode GruppeKovalenzradiusa Van-Der-Waals-Radiusb
Kovalenzradiusc
rCSD,kov / Å rVdW / Å rkov / Å
1 H 1 1 0.23 1.20d 0.37
2 He 1 18 1.50 1.40 (0.32)
3 Li 2 1 0.68 1.82 1.34
4 Be 2 2 0.35 1.25
5 B 2 13 0.83 0.90
6 C 2 14 0.68 1.70 0.77
7 N 2 15 0.68 1.55 0.75
8 O 2 16 0.68 1.52 0.73
9 F 2 17 0.64 1.47 0.71
10 Ne 2 18 1.50 1.54 (0.69)
11 Na 3 1 0.97 2.27 1.54
12 Mg 3 2 1.10 1.73 1.45
13 Al 3 13 1.35 1.30
14 Si 3 14 1.20 2.10 1.18
15 P 3 15 1.05 1.80 1.10
16 S 3 16 1.02 1.80 1.02
17 Cl 3 17 0.99 1.75 0.99
18 Ar 3 18 1.51 1.88 (0.97)
19 K 4 1 1.33 2.75 1.96
20 Ca 4 2 0.99
21 Sc 4 3 1.44
22 Ti 4 4 1.47
(Fortsetzung auf der nächsten Seite)
a Die Werte für die Kovalenzradien stammen aus der Cambridge
Crystal Structure Database (CSD,
http://www.ccdc.cam.ac.uk/, Stand Januar 2006). Die
CSD-Kovalenzradien rCSD,kov werden
benutzt, um Verbindungen in Kristallstrukturen zu
charakterisieren. Für Elemente, die noch
nicht in der CSD enthalten sind, empfiehlt die CSD, den Wert
für rCSD,kov auf 1.50 Å festzule-
gen.b Die Werte für Van-Der-Waals-Radien stammen, falls nicht
anders angegeben, aus A. Bondi, J.
Phys. Chem. 68, 441–452 (1964).c Die Kovalenzradien sind aus
bekannten homonuklearen Bindungslängen berechnet, in den
übrigen Fällen aus ausgewählten heteronuklearen Bindungen.
Die Bindungslängen stammen, so-
fern nicht anders angegeben, aus”Tables of Interatomic Distances
and Configuration in Molecules
and Ions“, Hrsg. L. Sutton, Spec. Publ. No. 11 and 18, The
Chemical Society, London, 1958 und
1965. Die Werte in Klammern für Edelgase, von denen man keine
Verbindungen kennt, sind aus
den Werten für die benachbarten Nichtmetalle extrapoliert (L.
C. Allen und J. E. Huheey, J.
Inorg. Nucl. Chem. 42, 1523 (1980)).d R. S. Rowland und R.
Taylor, J. Phys. Chem. 100, 7384–7391 (1996).
191
-
H EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN
Z Periode GruppeKovalenzradiusa Van-Der-Waals-Radiusb
Kovalenzradiusc
rCSD,kov / Å rVdW / Å rkov / Å
23 V 4 5 1.33
24 Cr 4 6 1.35
25 Mn 4 7 1.35 1.39e
26 Fe 4 8 1.34 1.25f
27 Co 4 9 1.33 1.25f
28 Ni 4 10 1.50 1.63 1.2g
29 Cu 4 11 1.52 1.40
30 Zn 4 12 1.45 1.39 1.20
31 Ga 4 13 1.22 1.87 1.20
32 Ge 4 14 1.17 1.22
33 As 4 15 1.21 1.85 1.22
34 Se 4 16 1.22 1.90 1.17
35 Br 4 17 1.21 1.85 1.14
36 Kr 4 18 1.50 2.02 1.10
37 Rb 5 1 1.47
38 Sr 5 2 1.12
39 Y 5 3 1.78
40 Zr 5 4 1.56
41 Nb 5 5 1.48
42 Mo 5 6 1.47
43 Tc 5 7 1.35
44 Ru 5 8 1.40
45 Rh 5 9 1.45
46 Pd 5 10 1.50 1.63
47 Ag 5 11 1.59 1.72
48 Cd 5 12 1.69 1.58
49 In 5 13 1.63 1.93
50 Sn 5 14 1.46 2.17 1.40
51 Sb 5 15 1.46 1.43
52 Te 5 16 1.47 2.06 1.35
53 I 5 17 1.40 1.98 1.33
54 Xe 5 18 1.50 2.16 1.30
55 Cs 6 1 1.67
56 Ba 6 2 1.34
57 La 6 Lah 1.87
58 Ce 6 Lah 1.83
59 Pr 6 Lah 1.82
60 Nd 6 Lah 1.81
61 Pm 6 Lah 1.80
62 Sm 6 Lah 1.80
63 Eu 6 Lah 1.99
64 Gd 6 Lah 1.79
65 Tb 6 Lah 1.76
66 Dy 6 Lah 1.75
67 Ho 6 Lah 1.74
68 Er 6 Lah 1.73
(Fortsetzung auf der nächsten Seite)
e F. A. Cotton und D. C. Richardson, Inorg. Chem. 5, 1851
(1966).f L. F. Dahl et al., J. Am. Chem. Soc. 91, 1655 (1969).g B.
T. Kilbourn und H. M. Powell, J. Chem. Soc. A 1970, 1688 (1970).h
Lantanoide
192
-
EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN H
Z Periode GruppeKovalenzradiusa Van-Der-Waals-Radiusb
Kovalenzradiusc
rCSD,kov / Å rVdW / Å rkov / Å
69 Tm 6 Lah 1.72
70 Yb 6 Lah 1.94
71 Lu 6 3 1.72
72 Hf 6 4 1.57
73 Ta 6 5 1.43
74 W 6 6 1.37
75 Re 6 7 1.35
76 Os 6 8 1.37
77 Ir 6 9 1.32
78 Pt 6 10 1.50 1.72
79 Au 6 11 1.50 1.66
80 Hg 6 12 1.70 1.55
81 Tl 6 13 1.55 1.96
82 Pb 6 14 1.54 2.02
83 Bi 6 15 1.54
84 Po 6 16 1.68
85 At 6 17 1.21
86 Rn 6 18 1.50 (1.45)
87 Fr 7 1 1.50
88 Ra 7 2 1.90
89 Ac 7 Aci 1.88
90 Th 7 Aci 1.79
91 Pa 7 Aci 1.61
92 U 7 Aci 1.58 1.86
93 Np 7 Aci 1.55
94 Pu 7 Aci 1.53
95 Am 7 Aci 1.51
96 Cm 7 Aci 0.99
97 Bk 7 Aci 1.54
98 Cf 7 Aci 1.83
99 Es 7 Aci 1.50
100 Fm 7 Aci 1.50
101 Md 7 Aci 1.50
102 No 7 Aci 1.50
103 Lr 7 3 1.50
104 Rf 7 4 1.50
105 Db 7 5 1.50
106 Sg 7 6 1.50
107 Bh 7 7 1.50
108 Hs 7 8 1.50
109 Mt 7 9 1.50
110 Ds 7 10 1.50
i Actinoide
193
-
H EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTENH
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5(11),
1763–1770
(1986).
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W.
C.
Lin
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J.Phys.
Chem.Ref.
Data
14(3),
731–750
(1985).
194
-
EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN H
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196
-
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e
197
-
H EIGENSCHAFTEN VON ELEMENTEN
198
-
NÜTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN I
I. Nützliche mathematische Formeln
I.1. Komplexe Zahlen
Normalform:
z = α+ βi, α, β ∈ R,i2 = −1α = Re z (Realteil),
β = Im z (Imaginärteil)
Polarform:
z = ρ(cosϕ+ i sinϕ), ρ, ϕ ∈ R,ρ =
√α2 + β2,
ϕ = arctan
(β
α
)Exponentialform:
z = ρ eiϕ, eiϕ = cosϕ+ i sinϕ
Re(z)
Im(z)
+ρ
−ρ
+ρ−ρ
ρ
ϕ
α
β
Abbildung I.1.: Geometrische Darstel-
lung komplexer Zahlen.
sinx =eix − e−ix
2icosx =
eix + e−ix
2
eix = cosx+ i sinx
(cosx+ i sinx)n = einx = cos(nx) + i sin(nx)
Beispiele:
i3 = −i i4 = 1 i−1 = −i i−2 = −1eiπ/2 = i eiπ = −1 e3iπ/2 = −i
e2iπ = 1
I.1.1. Konjugiert komplexe Zahlen, Betragsquadrat, Real-
undImaginärteil komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen z = α+ βi = ρ eiϕ
Konjugiert komplexe Zahlen z∗ = α− βi = ρ e−iϕBetragsquadrat
komplexer Zahlen |z|2 = z z∗ = Re2z + Im2z = ρ2
Realteil komplexer Zahlen Re z =z + z∗
2
Imaginärteil komplexer Zahlen Im z =z − z∗
2i
199
-
I NÜTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELNI.2. Trigonometrische
Funktionen
π2 x
y
−1
1
3π2
−3π2
−π2
π 2π−2π −π
π2 x
y
−1
1
3π2
−3π2
−π2
π 2π−2π −π
y = sin(x)
y = cos(x)
y = tan(x)
y = cot(x)
Abbildung I.2.: Darstellung der trigonometrischen Funktionen
sin(x) und cos(x) (links)
sowie tan(x) und cot(x) (rechts).
I.2.1. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
sin2 α+ cos2 α = 1 tanα =sinα
cosα
1
cos2 α= 1 + tan2 α
tanα cotα = 1 cotα =cosα
sinα
1
sin2 α= 1 + cot2 α
I.2.2. Funktionen von α± β, 2α und α/2
sin(α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ tan(α± β) = tanα± tanβ1∓ tanα
tanβ
cos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
sin(2α) = 2 sinα cosα tan(2α) =2 tanα
1− tan2 αcos(2α) = cos2 α− sin2 α
sin2(α
2
)=
1− cosα2
tan2(α
2
)=
1− cosα1 + cosα
cos2(α
2
)=
1 + cosα
2tan
(α2
)=
1− cosαsinα
=sinα
1 + cosα
200
-
NÜTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN II.2.3. Summen und Differenzen
zweier trigonometrischer Funktionen
(Additionstheoreme)
sinα± sinβ = 2 sin(α± β
2
)cos
(α∓ β
2
)cosα+ cosβ = 2 cos
(α+ β
2
)cos
(α− β
2
)cosα− cosβ = −2 sin
(α+ β
2
)sin
(α− β
2
)tanα± tanβ = sin (α± β)
cosα cosβ
I.2.4. Produkte trigonometrischer Funktionen
sinα sinβ =1
2(cos(α− β)− cos(α+ β))
cosα cosβ =1
2(cos(α− β) + cos(α+ β))
sinα cosβ =1
2(sin(α− β) + sin(α+ β))
I.3. Logarithmen
Definition:
y = loga x ⇔ ay = x (a ∈ R+, a 6= 1)
Spezialfälle:
y = lg x ⇔ 10y = x (Zehnerlogarithmen)y = lnx ⇔ ey = x
(natürliche Logarithmen)y = lbx ⇔ 2y = x (Zweierlogarithmen)
Sätze:
log (uv) = log u+ log v
log(uv
)= log u− log v
log (ur) = r log u
log
(1
v
)= − log v
y
x1
1
y = ex
y = lnx
Abbildung I.3.: Die Exponential-
funktion und der natürliche Loga-
rithmus.
Wech-
sel der Basis:
loga x =lnx
ln a=
lg x
lg a, lg x =
lnx
ln 10, lnx =
lg x
lg e
Komplexe Argumente:
ln z = ln (α+ βi) =1
2ln(α2 + β2
)+ i arctan
(β
α
)+ n · 2πi,
= ln(ρeiϕ
)= ln ρ+ iϕ+ n · 2πi mit n ∈ Z
201
-
I NÜTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELNI.4. Differentialrechnung
I.4.1. Ableitungsregeln
Definition f ′(x) =d f(x)
dx
Summe (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)
Konstanter Faktor (c f(x))′ = c f ′(x)
Produkt (f(x) · g(x))′ = g(x)f ′(x) + f(x)g′(x)
Quotient
(f(x)
g(x)
)′=g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
g2(x)
Kettenregel (f(g(x)))′ = f ′(u) · g′(x), mit u = g(x)
Logarithmisches Differentiald ln(|f(x)|)
dx=
1
f(x)
d f(x)
dx
I.4.2. Ableitungen spezieller Funktionen
(cosx)′ = − sin(x) (sinx)′ = cos(x)
(ln |x|)′ = 1x
(loga |x|)′ = (loga(e))1
x=
1
x ln a
(ex)′ = ex (ax)′ = (ln a)ax
(ecx)′ = c ecx (acx)′ = (c ln a)acx
I.5. Integralrechnung
I.5.1. Integrationsregeln
Summe∫
(f(x) + g(x)) dx =∫f(x)dx+
∫g(x)dx
Konstanter Faktor∫c f(x)dx = c
∫f(x)dx
Partielle Integration∫f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−
∫f(x)g′(x)dx
Substitution∫f(u(x))u′(x)dx =
∫f(z)dz, mit z = u(x)
I.5.2. Spezielle unbestimmte Integrale∫sinx dx = − cosx+ C
∫cosx dx = sinx+ C∫
exdx = ex + C
∫1
xdx = lnx+ C∫
ln |x| dx = x(ln |x| − 1)
202
-
NÜTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN II.5.3. Spezielle bestimmte
Integrale
∞∫0
e−a2x2 =
1
2
∞∫−∞
e−a2x2 =
√π
2a
∞∫0
cos(x2)dx =
∞∫0
sin(x2)dx =1
2
√π
2
π/2∫0
cos2(x)dx =
π/2∫0
sin2(x)dx =π
4
∞∫0
sin(ax)
xdx =
π
2für a > 0
I.6. Reihenentwicklungen von Funktionen
I.6.1. Taylorsche Reihe
f(x) ≈ fn(x) = f(x0) +f ′(x0)
1!(x− x0) +
f ′′(x0)2!
(x− x0)2 + . . .
+f (n)(x0)
n!(x− x0)n
=
n∑k=0
f (k)(x0)
k!(x− x0)k
Bemerkung: k! = 1 · 2 · 3 · . . . · k und 0! = 1! = 1
fn(x) heisst Taylorsches Polynom n-ter Ordnung der Funktion f(x)
an der Stelle x0.
I.6.2. Spezielle Summen
n∑k=1
k = 1 + 2 + . . .+ n =n(n+ 1)
2
n∑k=1
k2 = 12 + 22 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6
n∑k=1
k3 = 13 + 23 + . . .+ n3 =
[n(n+ 1)
2
]2n−1∑k=0
qk = 1 + q + q2 + . . .+ qn−1 =qn − 1q − 1 , (q 6= 1)
n∑k=1
(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2
203
-
I NÜTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELNn∑k=1
(2k − 1)2 = 12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2 = n(2n− 1)(2n+
1)3
I.6.3. Spezielle unendliche Reihen
∞∑k=0
a qk = a+ aq + aq2 + . . . = a∞∑k=0
qk =a
1− q , für |q| < 1
∞∑k=0
(k + 1)qk = 1 + 2q + 3q2 + . . . =1
(1− q)2 , für |q| < 1
∞∑k=1
1
k2= 1 +
1
22+
1
32+ . . . =
π2
6
∞∑k=1
(−1)k+1k2
= 1− 122
+1
32− . . . = π
2
12
∞∑k=0
1
k!= 1 +
1
1!+
1
2!+ . . . = e
∞∑k=0
(−1)kk!
= 1− 11!
+1
2!− . . . = 1
e
∞∑k=1
(−1)k+1k
= 1− 12
+1
3− 1
4+ . . . = ln 2
∞∑k=0
(−1)k+12k + 1
= 1− 13
+1
5− 1
7+ . . . =
π
4
I.7. Spezielle Grenzwerte von Funktionen
limx→0
sinx
x= 1 lim
x→0ex − 1x
= 1 limx→0
ax − 1x
= ln a
limx→1
lnx
x− 1 = 1 limx→0ln(1 + x)
x= 1 lim
x→0loga(1 + x)
x=
1
ln a
limx→∞
(xme−bx) = 0 limx→0
(xb lnx) = 0 limx→∞
(x−b lnx) = 0
mit b > 0.
204
-
NÜTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELN II.8. Näherungsformeln
(1 + x)a ≈ 1 + ax |x| � 1 und |ax| � 1
n√
1 + x ≈ 1 + xn
1
1 + x≈ 1− x
ln(1 + x) ≈ x− x2
2
sinx ≈ x− x3
6cosx ≈ 1− x
2
2
tanx ≈ x+ x3
3
|x| � 1
ln(n!) ≈ n ln(n)− n (Stirling)(Bem.: n! = 1 · 2 · . . . · n)
grosse n, n ∈ N
I.9. Vektoralgebra im reellen dreidimensionalen Raum
~r = (x, y, z) r = |~r| =√x2 + y2 + z2 x, y, z: kartesische
Koordinaten
I.9.1. Addition von Vektoren
~r1 = (x1, y1, z1) ~r2 = (x2, y2, z2) ~r1 + ~r2 = (x1 + x2, y1 +
y2, z1 + z2)
I.9.2. Skalarprodukt ~r1 · ~r2
~r1 = (x1, y1, z1)
~r2 = (x2, y2, z2)
~r1 · ~r2 = |~r1| |~r2| cosφ= (x1x2 + y1y2 + z1z2)
~r1 · ~r2 = ~r2 · ~r1
~r1 · ~r2 = 0 ⇔ ~r1 und ~r2 sind orthogonal
~r1
~r2φ
Abbildung I.4.: Darstellung
des Skalarproduktes zweier Vek-
toren ~r1 und ~r2.
205
-
I NÜTZLICHE MATHEMATISCHE FORMELNI.9.3. Vektorprodukt ~r1 ×
~r2
~r1 = (x1, y1, z1)
~r2 = (x2, y2, z2)
~r1 × ~r2 = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)|~r1 × ~r2| =
|~r1| |~r2| sinφ~r1 × ~r2 = −~r2 × ~r1
~r1 × (~r2 + ~r3) = ~r1 × ~r2 + ~r1 × ~r3
~r1 × ~r2 = 0 ⇔ ~r1 und ~r2 kollinear
Die Fläche A, die durch die beiden Vektoren ~r1 und
~r2aufgespannt wird, beträgt
A = |~r1 × ~r2|.
~r2
~r1φ
A
~r1 × ~r2
Abbildung I.5.: Darstellung
des Vektorproduktes zweier Vek-
toren ~r1 und ~r2.
I.9.4. Polare und axiale Vektoren
Polare und axiale Vektoren unterscheiden sich in ihrem Verhalten
bezüglich einer Raum-
inversion P̂ am Nullpunkt (x→ −x, y → −y, z → −z).
Polare Vektoren ~rp
P̂ (~rp) = −~rp
Beispiele: Ortsvektor ~r, Geschwindigkeitsvektor ~v,
Beschleunigung ~a, Impuls ~p, Kraft~F , elektrisches Feld ~E,
etc.
Axiale Vektoren ~ra
P̂ (~ra) = ~ra
Beispiele: Drehimpuls ~L, Magnetfeld ~B, magnetisches Dipol ~µ,
etc.
Das Vektorprodukt verknüpft axiale und polare Vektoren:
~ra = ~rp,1 × ~rp,2 ~rp = ~ra,1 × ~ra,2
Beispiel : ~L = ~r × ~p
206
-
PHYSIKALISCHES REPETITORIUM J
J. Physikalisches Repetitorium
Im Folgenden sind einige Formeln zusammengestellt, die im Rahmen
dieser Vorlesung
und den Übungen verwendet werden. Diese Zusammenstellu
