Yves Meyer

Abelprisen 2017Yves Meyer og de sma

bølgene

Arne B. Sletsjøe

Universitetet i Oslo

”for hans nøkkelrolle i utviklingen av den matematiske teorien omwavelets.”

Abelkomiteen sier i sin begrunnelse for tildelingen:”Wavelet-analyse er en metode for dele opp funksjoner i biter somer lokalisert bade i frekvens og i rom. Yves Meyer var denvisjonære lederen for den moderne utviklingen av denne teorien, iskjæringspunktet mellom matematikk, informasjons-teknologi ognumeriske beregninger og simuleringer.”

Wolfgang Amadeus Mozart

(1707 - 1783)

En berømt anekdote dreier seg omden 14-arige Wolfgang AmadeusMozart og hans besøk i Vatikanetunder onsdags-gudstjenesten ipaskeuken. Under gudstjenestenframførte koret Gregorio AllegrisMiserere, en vakker ni-stemt tonset-ting til Salme 51, kun tillatt framførti paskeuken. For a hindre at verketble framført ved andre anledningerhadde paven i mer enn 100 ar nedlagtforbud mot a kopiere notene.

Et par timer etter gudstjenesten hadde imidlertid den unge Mozartskrevet ned hele stykket etter hukommelsen.

Kartesisk koordinatsystem (Etter Rene Descartes):

- Plassering av nullpunktet- Retningen pa aksene (star normalt pa hverandre)- En malestokk- (a1, a2) · (b1, b2) = a1b1 + a2b2

Indre-produkt pa funksjonsrom (L2(C )):

〈f , g〉 =1

ρ

∫Cf (t)g(t) dt

- Bilineært- Symmetrisk- 〈f , f 〉 ≥ 0, likhet hvis og bare hvis f = 0

Ortogonal (ortonormal) basis B?

〈Bi ,Bj〉 =

{1 i = j

0 i 6= jBi ,Bj ∈ B

Mengden{sin nx , cos nx}, n ∈ Z

danner en naturlig basis for a beskrive 2π-periodiske funksjoner,som bølger eller svingninger.

〈sin x , sin x〉 =1

π

∫ π

−πsin t sin t dt =

1

π

∫ π

−π

1− cos 2t

2dt = 1

〈sin x , cos x〉 =

∫ π

−πsin t cos t dt =

1

2

∫ π

−πsin 2t dt = 0

Joseph Fourier (1768-1830)

Joseph Fourier;Thorie analytique dela chaleur, 1822:Alle periodiske funksjoner kan rep-resenteres ved (uendelige) summerav sinus- og cosinus-funksjoner medsamme type av periodisitet.

Fourier-transform:

f (ξ) =

∫ ∞−∞

f (x)e−2πixξ dx

Omvendt Fourier-transform:

f (x) =

∫ ∞−∞

f (ξ)e2πiξx dξ

Note-transform Omvendt note-transform

Mengden{1, x , x2, x3, x4 . . . }

danner en naturlig basis for funksjoner hvor vi har til hensikt aregne ut funksjonens verdier.

Vi kan ogsa uttrykke sin x med et uendelig polynom:

sin x = x − 13x

3 + 13·5x

5 − 13·5·7x

7 + . . .

Oppsummering sa langt:

- Studere en bestemt klasse av funksjoner- Finne en begrenset mengde av ”pene” basisfunksjoner med godeortogonalitetsegenskaper- Uttrykke funksjonene ved hjelp av basisfunksjonene- ”Koordinatene” til funksjonen med hensyn pa basisfunksjonenekalles funksjonens -transform

Svakhet ved Fourier-analyse (eller dekomponering i harmoniskesvingninger):

Frekvensanalyse, men sier ingenting om plassering i tid, derfor bestegnet til stasjonære signaler

Hva med helt andre typer funksjoner?

Aksjekurs ...

Jordskjelv og andre rystelser ...

Kanskje man leter etter olje

og ønsker a tolke de seismiske dataene ?

Alfred Haar(1885-1933

ψ(t) =

1 0 ≤ t < 1

2

−1 12 ≤ t < 1

0 ellers

ψn,k = 2n2ψ(2nt − k) t ∈ R

Jean Morlet (1931-2007

”Hvis det var sant, ville detvære kjent.”

”Jeg tok første tog til Mar-seille.”

Jean Morlet (1931-2007

”Hvis det var sant, ville detvære kjent.”

”Jeg tok første tog til Mar-seille.”

+

+

Wavelet = Moder-funksjon + Fader-funksjon(wavelet-funksjon) + (skalerings-funksjon)

Morlets wavelet

Wavelet-barn:

ψm,n(t) =1√amψ

(t − nb

am

)

Nødvendig betingelse for a rekonstruere signalet x ved formelen

x(t) =∑m∈Z

∑n∈Z〈x , ψm,n〉 · ψm,n

er at funksjonene {ψm,n;m, n ∈ Z} danner et ortonormaltfunksjons-system.

Meyers wavelet, presset sammen

Meyers wavelet, strukket ut

Wavelet-transform av Allegris Miserere (Tid-frekvens-analyse):

Stéphane Mallat:A wavelet zoom to analyze a multiscale world

Ingrid Daubechies:Wavelet bases: roots, surprises and applications

Emmanuel Jean Candès:Wavelets, sparsity and its consequences

Yves Meyer, Abel Laureate 2017:

Detection of gravitational waves and time-frequency wavelets

kl. 10:00

kl. 13:00

kl. 14:30

kl. 11:00

ABELFORELESNINGENE

Georg Sverdrups hus, Universitetet i Oslokl. 10:00 - 15:30

ONSDAG 24. MAI 2017

Forelesningene er åpne, men lunsjen krever påmelding på www.abelprisen.no