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Nur für den Dienstgebrauch!

Abiturprüfung 2010

Mathematik, Leistungskurs

Aufgabenstellung:

In einem Labor werden verschiedene (Probe-)Körper erhitzt und anschließend bei konstanter

Raumtemperatur RT abgekühlt. Ihre Temperatur während des Abkühlens wird jeweils durch

eine Funktion T mit der Gleichung

R 0 R( ) ( ) k tT t T T T e , 0t ,

beschrieben ( t in Sekunden, ( )T t in °C). 0 (0)T T ist die Anfangstemperatur des jeweiligen

Körpers zum Zeitpunkt 0t , 0k die von Eigenschaften des Körpers abhängige Abkühlungs-

konstante (Einheit 1s [bzw. 1/s]).

In Abbildung 1 ist der Graph einer Beispielfunktion T dargestellt.

t in s

( )T t in °C

t in s

( )T t in °C/s

Abbildung 1 Abbildung 2

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Nur für den Dienstgebrauch!

a) (1) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen in Abbildung 1 im Sachzusammenhang.

(2) Berechnen Sie die Temperatur, auf die ein Körper K1 mit der Abkühlungskonstante 10,01 sk und der Anfangstemperatur 0 100 °CT bei der Raumtemperatur

20 °CRT nach der Zeit 120 st abgekühlt ist.

(3) Untersuchen Sie die Entwicklung der Temperatur des Körpers K1 für große t.

(8 Punkte)

Im Folgenden gelte für den Körper K1 stets 10,01 sk , 0 100 °CT , R 20 °CT .

b) Durch 2

12 1

1( )d

t

t

T t tt t

ist die mittlere Temperatur (eines Körpers) innerhalb eines

Zeitintervalls 1 2[ ; ]t t , 1 20 t t , definiert.

(1) Weisen Sie nach, dass die mittlere Temperatur des Körpers K1 im Zeitintervall

1 2[ ; ]t t , 1 20 t t , durch den Term

2 10,01 0,012 1

2 1

120 ( ) 8000 ( )

( )t tt t e e

t t

berechnet werden kann.

(2) Berechnen Sie die mittlere Temperatur des Körpers K1 innerhalb der ersten

120 Sekunden des Abkühlungsvorgangs.

(3) Begründen Sie, dass für jedes Zeitintervall 1 2[ ; ]t t , 1 20 t t , die mittlere Tempera-

tur des Körpers K1 kleiner ist als das arithmetische Mittel der Temperaturen 1( )T t

und 2( )T t . (13 Punkte)

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c) Die Abbildung 2 zeigt den zeitlichen Verlauf der Abkühlungsgeschwindigkeit T des

Körpers K1. Allgemein hat die Funktion T die Gleichung 0 R( ) ( ) k tT t k T T e ,

0t .

(1) Zeigen Sie, dass ( )T t für 0t proportional zur Differenz zwischen der momen-

tanen Temperatur ( )T t eines Körpers und der Raumtemperatur RT ist.

(2) Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Betrag der Abkühlungsgeschwindigkeit T am größten ist.

(3) Ermitteln Sie die mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit des Körpers K1 während der

ersten 120 Sekunden des Abkühlungsvorgangs.

(4) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit T des

Körpers K1 während der ersten 120 Sekunden des Abkühlungsvorgangs.

[Zur Kontrolle: Der gesuchte Wert ist ungefähr 20 00466 °C/s, .]

(5) Ermitteln Sie den Zeitpunkt des Abkühlungsvorgangs, zu dem die momentane Ände-rungsrate der Abkühlungsgeschwindigkeit des Körpers K1 den Wert der mittleren

Änderungsrate seiner Abkühlungsgeschwindigkeit aus (4) hat. (20 Punkte)

d) Ein zweiter Körper K2 mit der Abkühlungskonstante 12 0,006 sk wurde ebenfalls auf

100 °C erhitzt. Seine Abkühlung in demselben Raum mit der Raumtemperatur R 20 °CT

hat schon 120 Sekunden früher begonnen als die Abkühlung des Körpers K1.

(1) Bestimmen Sie die Temperatur, die der Körper K2 zum Zeitpunkt 0t hat, wenn

die Abkühlung des Körpers K1 beginnt.

[Zur Kontrolle: Die gesuchte Temperatur ist ungefähr 59 °C.]

(2) Ermitteln Sie den Zeitpunkt 0t , zu dem die beiden Körper K1 und K2 dieselbe

Temperatur haben, und begründen Sie die Existenz des gesuchten Zeitpunkts.

(9 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel:

Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Muttersprachliches Wörterbuch für Studierende, deren Muttersprache nicht Deutsch ist