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Logik Rahmenplan Logische Grundlagen ¨ Aquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts Alexander Tochtenhagen, Marcel Gr¨ uneberg Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakult¨ at II - Institut f¨ ur Mathematik 10. November 2010 1 / 52

Alexander Tochtenhagen, Marcel Gr uneberg 10. November 2010didaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/logik.pdf · Probleme l osen Modellieren Darstellungen verwenden Mit symbolischen,

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  • Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen

    Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts

    Alexander Tochtenhagen, Marcel Grüneberg

    Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II - Institut für Mathematik

    10. November 2010

    1 / 52

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    Inhaltsverzeichnis

    1 Logik

    2 Rahmenplan

    3 Logische Grundlagen

    4 Äquivalenzumformungen

    5 Beweise

    6 Bedingungen

    7 Zum Anfang

    8 Quellen

    2 / 52

  • Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen

    Einführung

    Ein Jäger geht auf die Jagd

    Ein Jäger geht auf die Jagd; So-

    nusvox ist sein Hüfthorn, aus wel-

    chem duae praemissae als zwei Ro-

    sen hervorgehen; der das Horn hal-

    tende Arm bedeutet Argumenta; auf

    seiner Brust ist Conclusio geschrie-

    ben; Syllogismus ist sein Waidmes-

    ser, Quaestio der Bogen in seiner

    rechten Hand; vor ihm springen zwei

    Jagdhunde, ein schöner Veritas und

    ein häßlicher Falsitas; Gegenstand

    der Jagd ist ein Hase Problema;

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    Einführung

    Definition Logik

    Logik

    Logik ist die Lehre des vernünftigen (Schluss-)Folgerns.

    Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlichihrer Struktur unabhängig vom konkreten Inhalt dereigentlichen Aussagen.

    man spricht auch von”mathematischer”Logik.

    Logik ist Disziplin der Philosophie, der Mathematik und derInformatik

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  • Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen

    Einführung

    Historischer Überblick

    Die Logik wurde als”Wissenschaft vom richtigen

    Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durchMittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedenstenphilosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.

    George Boole führte als erster für den Teilbereich derAussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern alsdie Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit dieLogik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde.Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert.

    Den Höhepunkt der Entwicklung stellt die Veröffentlichungder

    ”Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B.

    Russel dar.

    5 / 52

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    Einführung

    Historischer Überblick

    Die Logik wurde als”Wissenschaft vom richtigen

    Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durchMittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedenstenphilosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.

    George Boole führte als erster für den Teilbereich derAussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern alsdie Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit dieLogik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde.Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert.

    Den Höhepunkt der Entwicklung stellt die Veröffentlichungder

    ”Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B.

    Russel dar.

    5 / 52

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    Einführung

    Historischer Überblick

    Die Logik wurde als”Wissenschaft vom richtigen

    Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durchMittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedenstenphilosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.

    George Boole führte als erster für den Teilbereich derAussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern alsdie Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit dieLogik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde.Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert.

    Den Höhepunkt der Entwicklung stellt die Veröffentlichungder

    ”Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B.

    Russel dar.

    5 / 52

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    Ein paar einfache Probleme

    Wason Selection Task

    Gegeben sind Karten mit einer Ziffer auf der einen Seite und einemBuchstaben auf der anderen Seite.

    These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.

    Aufgabe: Welche Karten sind umzudrehen, um die These zutesten?Tipp: Es sind so wenig wie möglich, aber soviel wie nötigumzudrehen.

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    Ein paar einfache Probleme

    Die Verneinung

    Aufgabe: Verneine folgende Aussagen!

    1 Alle Schüler sind fleißig.

    2 Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.

    7 / 52

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    Ein paar einfache Probleme

    Die Verneinung

    Aufgabe: Verneine folgende Aussagen!

    1 Alle Schüler sind fleißig.

    2 Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.

    7 / 52

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    Logik im Berliner Rahmenplan

    Sekundarstufe I

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  • Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen

    Logik im Berliner Rahmenplan

    Prozessbezogene Kompetenzbereiche

    Die Aufgabe des Mathematikunterrichts ist es, auf allenNiveaustufen Schülerinnen und Schülern den Erwerb derfolgenden Kompetenzen zu ermöglichen.

    Argumentieren

    Probleme lösen

    Modellieren

    Darstellungen verwenden

    Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen derMathematik umgehen

    Kommunizieren

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    Logik im Berliner Rahmenplan

    Argumentieren

    Mathematisches Argumentieren umfasst das Erkunden vonSituationen, das Aufstellen von Vermutungen und das schlüssigeBegründen von vermuteten Zusammenhängen. In derSekundarstufe I kommen beim Argumentieren unterschiedlicheGrade der Strenge zum Tragen: vom intuitiven, anschaulichenBegründen bis zum mehrschrittigen Beweisen durch Zurückführenauf gesicherte Aussagen.

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    Logik im Berliner Rahmenplan

    Prozessbezogene Standards

    Die folgenden Standards werden von Schülerinnen und Schülernaller Schulformen und am Ende beider Doppeljahrgangsstufenerwartet.

    Argumentieren

    Die Schülerinnen und Schüler

    erkunden mathematische Situationen und stellenVermutungen auf,

    begründen die Plausibilität von Vermutungen oder widerlegendiese durch Angabe von Beispielen oder Gegenbeispielen,

    entwickeln schlüssige Argumentationen zur Begründungmathematischer Aussagen,

    hinterfragen Argumentationen und Begründungen kritisch,finden und korrigieren Fehler.

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    Logik im Berliner Rahmenplan

    Beispiele

    Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigendiese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!

    P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren

    FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck

    P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen

    FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken

    P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen

    FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

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    Logik im Berliner Rahmenplan

    Beispiele

    Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigendiese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!

    P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren

    FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck

    P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen

    FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken

    P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen

    FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

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    Logik im Berliner Rahmenplan

    Beispiele

    Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigendiese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!

    P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren

    FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck

    P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen

    FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken

    P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen

    FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

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    Logik im Berliner Rahmenplan

    Beispiele

    Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigendiese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!

    P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren

    FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck

    P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen

    FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken

    P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen

    FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

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    Logik im Berliner Rahmenplan

    Beispiele

    P1 – 9/10 Neue Zahlen entdecken

    FFF beweisen die Irrationalität einer Quadratwurzel (indirekterBeweis)

    Der indirekte Beweis wird erstmalig im Profilkurs im Rahmen desModuls

    ”Entdecken, Begründen, Beweisen”behandelt.

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    Logik im Berliner Rahmenplan

    Sekundarstufe II

    Kurs ma–Z3 Logik

    Aussagen– und Prädikatenlogik

    Quantoren, Verknüpfungen bei Aussageformen,Mengendiagramme

    logische Schlussformen

    Beachte: Zusatzkurse dürfen nicht vor dem Besuch derentsprechenden Grund– oder Leistungskurse belegt werden

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    Mathematische Logik

    Einführung

    Die Mathematische Logik ist eine Ausdehnung der formalenMethode der Mathematik auf das Gebiet der Logik.

    logisches Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkül

    erfolgreiche Inangriffnahmen von Problemen, bei denen reininhaltliches Denken versagt

    nützlich in Disziplinen die eine axiomatische Begründungzulassen

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    Aussagenlogik

    Definition

    Aussage

    Eine Aussage ist ein Satz, von dem es sinnvoll ist zu behaupten,dass sein Inhalt richtig oder falsch ist.

    Beispiele:

    Der Schnee ist schwarz.

    9 ist eine Primzahl.

    Hertha BSC steigt nächste Saison nicht auf.

    Die Masse m eines Körpers ist von seinem Bewegungszustandunabhängig, d.h. m0 = mv .

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    Aussagenlogik

    Verknüpfung von Aussagen

    Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestalltoder gedankliche Struktur.

    Was uns interssiert ist der Wahrheitswert

    Wichtige Verknüpfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation),⇒(Implikation), ⇔(Äquivalenz)

    A B ¬A A∧B A∨B A⇒ B A⇔ Bf f w f f w wf w w f w w fw f f f w f fw w f w w w w

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    Aussagenlogik

    Verknüpfung von Aussagen

    Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestalltoder gedankliche Struktur.

    Was uns interssiert ist der Wahrheitswert

    Wichtige Verknüpfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation),⇒(Implikation), ⇔(Äquivalenz)

    A B ¬A A∧B A∨B A⇒ B A⇔ Bf f w f f w wf w w f w w fw f f f w f fw w f w w w w

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    Aussagenlogik

    Aussagenlogische Gesetze

    tertium non datur

    Der Satz vom Ausgeschlossenem Dritten behauptet, dass zweieinander widersprechende Aussagen nicht beide ungültig seinkönnen.

    A ¬A A ∨ ¬Awahr falsch wahr

    falsch wahr wahr

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    Aussagenlogik

    Aussagenlogische Gesetze

    ex falso quodlibet

    Aus Falschem folgt Beliebiges, d.h. aus einer Falschen Annahmekann man quasi beliebige Aussagen ableiten.Das bedeutet aber auch, dass aus Wahrem nur Wahres folgen darf.

    Angeblich soll Bertand Russel zu einem Philosophen gesagt haben,dass ein falscher Satz jeden beliebigen Satz impliziert. Daraufhinmeinte der Philosoph, können Sie mir beweisen:

    ”Wenn 1 = 2, so

    sind Sie der Papst.” [6]

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    Schlussregeln

    Modus ponendo ponens

    Abtrennungsregel

    Der Modus ponendo ponens, ist eine Schlussfigur (modus) derklassischen Logik, die durch das Setzen (ponendo) einer Aussageeine andere Aussage setzt (ponens). Aus einer gegebenen ersterPrämisse,

    ”Wenn A, dann B”, und durch das Setzen der zweiten

    Prämisse A folgt die Konklusion B.

    A⇒ BA

    B

    Beispiel:

    ”Wenn es regnet, wird die Straße nass“ und

    ”Es regnet“ folgt

    logisch:”Die Straße wird nass“.

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    Schlussregeln

    Modus tollendo tollens

    Aufhebungsregel

    Der Modus tollendo tollens”durch Aufheben aufhebende

    Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass ausden Voraussetzungen

    ”nicht B“und

    ”Wenn A, dann B“auf die

    Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.

    A⇒ B¬B¬A

    Beispiel:

    ”Wenn es regnet, ist die Straße nass“und

    ”Die Straße ist nicht

    nass”folgt logisch”Es regnet nicht”.

    Achtung, der Schluss:”Die Straße ist nass, daher regnet es“ist

    unzulässig und falsch.

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    Schlussregeln

    Modus tollendo tollens

    Aufhebungsregel

    Der Modus tollendo tollens”durch Aufheben aufhebende

    Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass ausden Voraussetzungen

    ”nicht B“und

    ”Wenn A, dann B“auf die

    Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.

    A⇒ B¬B¬A

    Beispiel:

    ”Wenn es regnet, ist die Straße nass“und

    ”Die Straße ist nicht

    nass”folgt logisch”Es regnet nicht”.

    Achtung, der Schluss:”Die Straße ist nass, daher regnet es“ist

    unzulässig und falsch.21 / 52

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    Prädikatenlogik

    Grundlagen

    Prädikatenlogik ist ebenfalls eine klassische Logik

    Erweiterung der Aussagenlogik betrachten

    Prädikatenlogik kann mögliche Variablen mit Hilfesogenannter Quantoren quantifizieren

    Für uns wichtig an dieser Stelle sind die folgenden Quantoren:

    ∀ für alle∃ es existiert∃! es existiert genau ein

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    Prädikatenlogik

    Formalisierung

    Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich anSätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb einesAxiomsystems prüfen.

    Ein Mädchen spielt Schach.

    Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt.Es gibt ein x , für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach.∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach.

    Alle Frauen sind gute Autofahrer.

    Für jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fährt es gutAuto.Für alle x gilt: ist x eine Frau, dann fährt x gut Auto.∀x : x ist eine Frau ⇒ x fährt gut Auto.

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    Prädikatenlogik

    Formalisierung

    Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich anSätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb einesAxiomsystems prüfen.

    Ein Mädchen spielt Schach.

    Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt.Es gibt ein x , für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach.∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach.

    Alle Frauen sind gute Autofahrer.

    Für jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fährt es gutAuto.Für alle x gilt: ist x eine Frau, dann fährt x gut Auto.∀x : x ist eine Frau ⇒ x fährt gut Auto.

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    Prädikatenlogik

    Formalisierung

    Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich anSätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb einesAxiomsystems prüfen.

    Ein Mädchen spielt Schach.

    Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt.Es gibt ein x , für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach.∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach.

    Alle Frauen sind gute Autofahrer.

    Für jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fährt es gutAuto.Für alle x gilt: ist x eine Frau, dann fährt x gut Auto.∀x : x ist eine Frau ⇒ x fährt gut Auto.

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    Prädikatenlogik

    Wahrheitswerte

    Beachte, auch in der Prädikatenlogik lassen sich Wahrheitswerteden Aussagen zuordnen.

    Die Aussage ∃x : F (x) ist genau dann wahr, wenn esmindestens eine Belegung der Variable x gibt, sodass F(x)erfüllt ist.

    Die Aussage ∀x : F (x) ist genau dann wahr, wenn für alleBelegungen der Variable x , F (x) erfüllt ist.

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    Prädikatenlogik

    Die Implikation

    Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.

    x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R

    Fall Einsetzungfür x

    x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5

    ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr

    wf– – – –

    fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr

    ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr

    Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.

    Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.

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    Prädikatenlogik

    Die Implikation

    Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.

    x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R

    Fall Einsetzungfür x

    x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5

    ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr

    wf– – – –

    fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr

    ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr

    Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.

    Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.

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    Prädikatenlogik

    Die Implikation

    Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.

    x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R

    Fall Einsetzungfür x

    x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5

    ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr

    wf– – – –

    fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr

    ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr

    Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.

    Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.

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    Prädikatenlogik

    Die Implikation

    Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.

    x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R

    Fall Einsetzungfür x

    x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5

    ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr

    wf– – – –

    fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr

    ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr

    Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.

    Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.

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    Prädikatenlogik

    Die Implikation

    Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.

    x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R

    Fall Einsetzungfür x

    x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5

    ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr

    wf– – – –

    fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr

    ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr

    Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.

    Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.

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    Prädikatenlogik

    Die Implikation

    Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.

    x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R

    Fall Einsetzungfür x

    x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5

    ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr

    wf– – – –

    fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr

    ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr

    Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.

    Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.

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    Grundlagen der Äquivalenzumformungen

    Grundlage: Aussageform

    Aussageform A(x,y,...) ist sprachliches Gebilde, welchesmindestens eine Variable enthält und nach geeigneterErsetzung in eine wahre oder falsche Aussage übergeht

    Beispiele

    A(x) :√x = 2,M = {x ∈ R :

    √x = 2} = {4}

    B(x , y) : x + 10y = 8

    M = {(x , y) ∈ R2 : x + 10y = 8} = {(k , (8− k10

    )) ∈ R2, k ∈ R}

    Belegung für die eine Aussageform wahr wird, wird alsErfüllungsmenge M über der Grundmenge Gn bezeichnet.

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    Äquivalenz von Aussageformen

    Man bezeichnet zwei Aussageformen A(x,y,...) und B(x,y,...) unterder gleichen Grundmenge als äquivalent genau dann, wenn ihreErfüllungsmengen übereinstimmen.Dementsprechend bezeichnet man eine Umformung einerGleichung, die die Erfüllungsmenge nicht verändert alsÄquivalenzumformung.Dazu gehören:

    Addition eines Terms und

    Multiplikation eines Terms (ungleich Null) auf beiden Seiten

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    Beweis

    Verallgemeinerung

    Satz

    Wendet man eine injektive Abbildung f auf beide Seiten einerGleichung an, so bezeichnet man dies als Äquivalenzumformung.

    Beweiszu zeigen ist:

    Sei (x,y,..) eine Lösung der Gleichung h = j , mit h,j Terme,dann ist (x,y,...) eine Lösung der Gleichung f (h) = f (j).

    Es existieren keine Lösungen von f (h) = f (j), die nichtgleichzeitig Lösungen von h = j sind.

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    Beweis

    Zum Beweis

    Zum ersten Punkt: folgt direkt aus der Definition einer Funktion

    Zum zweiten Punkt: folgt direkt aus der Injektivität von f

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    Typische Schülerfehler

    Fehler

    Lösen von Gleichungssystemen über R

    Äquivalenzumformungen von Gleichungen über R

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    Typische Schülerfehler

    Lösungsmenge des Gleichungssystems

    Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen

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    Typische Schülerfehler

    Lösungsmenge des verändertem Gleichungssystems

    Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen

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    Typische Schülerfehler

    Erfahrungen

    Welche Erfahrungen habt ihr damit im Unterricht gemacht und wieseid ihr damit umgegangen?

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    Definition

    Beweis

    Eine endliche Kette von Umformungen, die mit Hilfe gültigerSchlussregeln durchgeführt werden und die von wahren bzw. alswahr angenommenen Aussagen (Prämissen) ausgehen und zu derAussage A (Konklusion) führen, nennen wir Beweis der Aussage A.

    einige wichtige Beweisverfahren:

    direkter Beweis

    indirekter Beweis

    Beweis durch Kontraposition

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    Direkter Beweis

    Vorgehen

    Man geht von einer bereits bewiesenen oder als wahrangenommenen Voraussetzung aus, aus der mit Hilfe von gültigenSchlussregeln nach einer endlichen Anzahl von Schritten dieBehauptung folgt.

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    Indirekter Beweis

    Vorgehen

    Die Implikation”wenn A, dann B”kann auch mit Hilfe der

    Adjunktion und Negation dargestellt werden, wie schon vorhergesehen in Abschnitt

    ”Implikation”.

    A⇒ B ⇔ B ∨ ¬A

    Die Implikation ist nicht nur dann wahr, wenn die Voraussetzungund die Behauptung wahr ist, sondern auch dann, wenn dieVerneinung falsch ist.

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    Indirekter Beweis

    Kalkül

    Die Annahme für den indirekten Beweis gewinnen wir durchdie Negation der Behauptung.

    Mit gültigen Schlussregeln schließen wir solange weiter, bis einWiderspruch zur Voraussetzung oder zur Annahme sichtlichwird.

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    Indirekter Beweis

    Wahrheitstafel zur Verneinung der Implikation

    A B ¬A ¬B A⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬(A⇒ B)⇔ ¬B ∧ Aw w f f w fw f f w f wf w w f w ff f w w w f

    Wir wissen, dass eine Aussage und ihre Negation nicht gleichzeitigwahr sein können. Daraus muss folgen, dass die Annahme falschund die Negation der Annahme (Behauptung) wahr ist.

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    Kontraposition

    Beweis durch Kontraposition

    Achtung: Häufig mit dem indirekten Beweis verwechselt.

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    Kontraposition

    Wahrheitstabelle

    WahrheitswerteA B ¬A ¬B A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬B ⇒� A ⇔ ¬A∨B ¬(A ⇒ B) ⇔ ¬B ∧ Aw w f f w w fw f f w f f wf w w f w w ff f w w w w f

    Erkenntnis: ¬B ⇒ ¬A⇔ A⇒ B

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    Kontraposition

    Erfahrungen

    Eigene Erfahrungen mit Beweisen im Schulalltag und zu Beginndes Studiums

    Welche Erfahrungen habt ihr beim Unterrichten von Beweisengemacht?

    Würde euch eine solch theoretische Einführung zum Beginndes Studiums helfen mit Beweisen umzugehen?

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    Notwendige und Hinreichende Bedingung

    Grundlagen

    Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sindBegriffe aus der Aussagenlogik.

    Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichendenTypen von Voraussetzungen

    Unterscheidung ermöglicht die genauere Einordnung vonSchlussfolgerungen

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    Notwendige und Hinreichende Bedingung

    Notwendige Bedingung

    Notwendige Bedingung

    Eine notwendige Bedingung ist eine unersetzbare Voraussetzung,ohne die ein Ereignis nicht eintritt. Die Erfüllung derVoraussetzung garantiert jedoch nicht den Eintritt des Ereignisses.Umgangssprachlich wird eine notwendige Bedingung auchK.O.-Kriterium genannt

    Das heißt, wenn wir wissen, dass B nicht gilt, so kann auch A nichtgelten. Dies liegt daran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgendarf.

    Beispiel: Nur wer volljährig ist, darf an der Bundestagswahl teilnehmen.

    Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung für das Wahlrecht zum

    Deutschen Bundestag. Sie ist aber nicht allein entscheidend: man muss

    noch weitere notwendige Bedingungen erfüllen, z. B. die deutsche

    Staatsbürgerschaft besitzen.

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    Notwendige und Hinreichende Bedingung

    Hinreichende Bedingung

    Hinreichende Bedingung

    Eine hinreichende Bedingung ist eine Voraussetzung, bei derenErfüllung Ereignis zwangsläufig eintritt und keine weiterenVoraussetzungen benötigt werden. Das Vorliegen des Ereignissesjedoch auch andere Ursachen haben, das heißt wenn das Ereignisvorliegt, ist es nicht zwingend, dass eine bestimmte hinreichendeBedingung erfüllt sein muss.

    Das heißt, wenn wir wissen, dass A gilt, so muss B gelten. Dies liegtdaran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgen darf.

    Beispiel: Wenn es regnet, wird die Straße nass. Regen ist hinreichend

    (ausreichend) dafür, dass die Straße nass wird. Regen ist aber keine

    notwendige Bedingung hierfür, weil es auch andere Möglichkeiten gibt,

    eine Straße zu befeuchten, zum Beispiel durch besprengen mit einem

    Wasserschlauch.44 / 52

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    Notwendige und Hinreichende Bedingung

    Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema

    Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums ander Stelle x0 ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d. h.also f ′(x0) = 0.Ist das auch schon hinreichend?

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    Notwendige und Hinreichende Bedingung

    Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema

    Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums ander Stelle x0 ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d. h.also f ′(x0) = 0.Ist das auch schon hinreichend?

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  • Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen

    Notwendige und Hinreichende Bedingung

    Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema

    Hinreichend wäre:f ′(x0) = 0 und f

    ′′(x0) < 0 für ein Maximum undf ′(x0) = 0 und f

    ′′(x0) > 0 für ein Minimum.Wie man sieht ist die notwendige Bedingung in der hinreichendenBedingung enthalten. Würde auch nur der Ausdruck f ′′(x0) 6= 0ausreichen?

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  • Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen

    Notwendige und Hinreichende Bedingung

    Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema

    Hinreichend wäre:f ′(x0) = 0 und f

    ′′(x0) < 0 für ein Maximum undf ′(x0) = 0 und f

    ′′(x0) > 0 für ein Minimum.Wie man sieht ist die notwendige Bedingung in der hinreichendenBedingung enthalten. Würde auch nur der Ausdruck f ′′(x0) 6= 0ausreichen?

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    Lösung der Aufgaben

    Wason Selection Task

    These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.

    Die Karten A und 7 müssen umgedreht werden, was denSchlussregeln Modus ponendo ponens bzw. Modus tollendo tollensentspricht.

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    Lösung der Aufgaben

    Wason Selection Task

    These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.

    Die Karten A und 7 müssen umgedreht werden, was denSchlussregeln Modus ponendo ponens bzw. Modus tollendo tollensentspricht.

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    Lösung der Aufgaben

    Die Verneinung

    Aufgabe: Verneine folgende Aussage!

    Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.

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    Lösung der Aufgaben

    Ausführliche Analyse des Problems

    Wir konnten uns in der Vergangenheit davon überzeugen, dass Aussagen wahr oderfalsch sind. Wenn eine Aussage wahr ist, dann ist ihre Verneinung falsch; und wenneine Aussage falsch ist, dann ist ihre Verneinung wahr. Eine dritte Möglichkeit gibt esnicht (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur).Wie sieht es nun mit der Aussage ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eineGlatze“und ihrer intuitiven Verneinung ”Der gegenwärtige König von Frankreich hatkeine Glatze“aus? Einer der beiden Sätze muss wahr sein, der andere falsch. Welcherist wahr, welcher falsch?Geht man nun der Reihe nach alle Dinge durch, die eine Glatze haben, wird man unterihnen den gegenwärtigen König von Frankreich nicht finden (denn Frankreich hatkeinen König). Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“wäredemnach falsch. Geht man alle Dinge durch, die keine Glatze haben, dann wird manjedoch auch nicht auf den gegenwärtigen König von Frankreich stoßen. Der Satz ”Dergegenwärtige König von Frankreich hat keine Glatze“wäre somit nicht weniger falsch!

    Wir stehen damit vor dem Problem, dass sowohl ein Satz als auch seine Verneinung

    falsch ist. Das ist nicht nur nicht einsichtig, sondern vor allem mit unserer logischen

    Sprache nicht verträglich.

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    Lösung der Aufgaben

    Ausführliche Lösung des Problems

    Auch hier entsteht das Problem aus einer falschen Analyse. Die Kennzeichnung”der

    gegenwärtige König von Frankreich“ist – wie jede Kennzeichnung – kein Eigenname.Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“muss korrektanalysiert werden als Ës gibt genau ein Ding, das König von Frankreich ist, und diesesDing hat eine Glatze“. Dieser Satz ist falsch.Wenn man diesen Satz verneint, kommt man zu

    ”Es ist nicht der Fall, dass es genau

    ein Ding gibt, das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dass dieses Ding eineGlatze hat“. Diese Verneinung ist unproblematisch. Der Satz

    ”Der gegenwärtige König

    von Frankreich hat keine Glatze“muss analysiert werden als Ës gibt genau ein Ding,das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dieses Ding hat keine Glatze“. DieserSatz ist nicht die Verneinung des ersten Satzes! Die Möglichkeit, dass beide Sätzezugleich falsch sein können, ist daher kein Problem für unsere logische Sprache.

    Als Nebenprodukt von Russells Theorie der Kennzeichnungen fällt also die

    Beobachtung ab, dass die Verneinung von ”Der gegenwärtige König von Frankreich

    hat eine Glatze“keineswegs ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat keine

    Glatze“lautet.[1]

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    Quellen

    Bertrand Russel: On Denoting –(http://www.jstor.org/pss/2248381)

    Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I – Mathematik

    Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe II –Mathematik

    Georg Klaus: Moderne Logik (1972)

    D.Hilbert – W. Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik(1958)

    http://page.mi.fu-berlin.de/shinyinj/bkurs/Brueckenkurs.pdf

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    Spock

    Logic is the beginning of wisdom, not the end.

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