Alexander Tochtenhagen, Marcel Gr uneberg 10. November 2010didaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/logik.pdf · Probleme l osen Modellieren Darstellungen verwenden Mit symbolischen,

Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen

Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts

Alexander Tochtenhagen, Marcel Grüneberg

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II - Institut für Mathematik

10. November 2010

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Inhaltsverzeichnis

1 Logik

2 Rahmenplan

3 Logische Grundlagen

4 Äquivalenzumformungen

5 Beweise

6 Bedingungen

7 Zum Anfang

8 Quellen

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Einführung

Ein Jäger geht auf die Jagd

Ein Jäger geht auf die Jagd; So-

nusvox ist sein Hüfthorn, aus wel-

chem duae praemissae als zwei Ro-

sen hervorgehen; der das Horn hal-

tende Arm bedeutet Argumenta; auf

seiner Brust ist Conclusio geschrie-

ben; Syllogismus ist sein Waidmes-

ser, Quaestio der Bogen in seiner

rechten Hand; vor ihm springen zwei

Jagdhunde, ein schöner Veritas und

ein häßlicher Falsitas; Gegenstand

der Jagd ist ein Hase Problema;

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Einführung

Definition Logik

Logik

Logik ist die Lehre des vernünftigen (Schluss-)Folgerns.

Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlichihrer Struktur unabhängig vom konkreten Inhalt dereigentlichen Aussagen.

man spricht auch von”mathematischer”Logik.

Logik ist Disziplin der Philosophie, der Mathematik und derInformatik

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Einführung

Historischer Überblick

Die Logik wurde als”Wissenschaft vom richtigen

Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durchMittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedenstenphilosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.

George Boole führte als erster für den Teilbereich derAussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern alsdie Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit dieLogik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde.Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert.

Den Höhepunkt der Entwicklung stellt die Veröffentlichungder

”Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B.

Russel dar.

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Ein paar einfache Probleme

Wason Selection Task

Gegeben sind Karten mit einer Ziffer auf der einen Seite und einemBuchstaben auf der anderen Seite.

These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.

Aufgabe: Welche Karten sind umzudrehen, um die These zutesten?Tipp: Es sind so wenig wie möglich, aber soviel wie nötigumzudrehen.

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Ein paar einfache Probleme

Die Verneinung

Aufgabe: Verneine folgende Aussagen!

1 Alle Schüler sind fleißig.

2 Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.

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Logik im Berliner Rahmenplan

Sekundarstufe I

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Prozessbezogene Kompetenzbereiche

Die Aufgabe des Mathematikunterrichts ist es, auf allenNiveaustufen Schülerinnen und Schülern den Erwerb derfolgenden Kompetenzen zu ermöglichen.

Argumentieren

Probleme lösen

Modellieren

Darstellungen verwenden

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen derMathematik umgehen

Kommunizieren

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Argumentieren

Mathematisches Argumentieren umfasst das Erkunden vonSituationen, das Aufstellen von Vermutungen und das schlüssigeBegründen von vermuteten Zusammenhängen. In derSekundarstufe I kommen beim Argumentieren unterschiedlicheGrade der Strenge zum Tragen: vom intuitiven, anschaulichenBegründen bis zum mehrschrittigen Beweisen durch Zurückführenauf gesicherte Aussagen.

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Prozessbezogene Standards

Die folgenden Standards werden von Schülerinnen und Schülernaller Schulformen und am Ende beider Doppeljahrgangsstufenerwartet.

Argumentieren

Die Schülerinnen und Schüler

erkunden mathematische Situationen und stellenVermutungen auf,

begründen die Plausibilität von Vermutungen oder widerlegendiese durch Angabe von Beispielen oder Gegenbeispielen,

entwickeln schlüssige Argumentationen zur Begründungmathematischer Aussagen,

hinterfragen Argumentationen und Begründungen kritisch,finden und korrigieren Fehler.

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Beispiele

Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigendiese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!

P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren

FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck

P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen

FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken

P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen

FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung

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Beispiele

P1 – 9/10 Neue Zahlen entdecken

FFF beweisen die Irrationalität einer Quadratwurzel (indirekterBeweis)

Der indirekte Beweis wird erstmalig im Profilkurs im Rahmen desModuls

”Entdecken, Begründen, Beweisen”behandelt.

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Sekundarstufe II

Kurs ma–Z3 Logik

Aussagen– und Prädikatenlogik

Quantoren, Verknüpfungen bei Aussageformen,Mengendiagramme

logische Schlussformen

Beachte: Zusatzkurse dürfen nicht vor dem Besuch derentsprechenden Grund– oder Leistungskurse belegt werden

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Mathematische Logik

Einführung

Die Mathematische Logik ist eine Ausdehnung der formalenMethode der Mathematik auf das Gebiet der Logik.

logisches Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkül

erfolgreiche Inangriffnahmen von Problemen, bei denen reininhaltliches Denken versagt

nützlich in Disziplinen die eine axiomatische Begründungzulassen

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Aussagenlogik

Definition

Aussage

Eine Aussage ist ein Satz, von dem es sinnvoll ist zu behaupten,dass sein Inhalt richtig oder falsch ist.

Beispiele:

Der Schnee ist schwarz.

9 ist eine Primzahl.

Hertha BSC steigt nächste Saison nicht auf.

Die Masse m eines Körpers ist von seinem Bewegungszustandunabhängig, d.h. m0 = mv .

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Aussagenlogik

Verknüpfung von Aussagen

Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestalltoder gedankliche Struktur.

Was uns interssiert ist der Wahrheitswert

Wichtige Verknüpfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation),⇒(Implikation), ⇔(Äquivalenz)

A B ¬A A∧B A∨B A⇒ B A⇔ Bf f w f f w wf w w f w w fw f f f w f fw w f w w w w

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Aussagenlogik

Aussagenlogische Gesetze

tertium non datur

Der Satz vom Ausgeschlossenem Dritten behauptet, dass zweieinander widersprechende Aussagen nicht beide ungültig seinkönnen.

A ¬A A ∨ ¬Awahr falsch wahr

falsch wahr wahr

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Aussagenlogik

Aussagenlogische Gesetze

ex falso quodlibet

Aus Falschem folgt Beliebiges, d.h. aus einer Falschen Annahmekann man quasi beliebige Aussagen ableiten.Das bedeutet aber auch, dass aus Wahrem nur Wahres folgen darf.

Angeblich soll Bertand Russel zu einem Philosophen gesagt haben,dass ein falscher Satz jeden beliebigen Satz impliziert. Daraufhinmeinte der Philosoph, können Sie mir beweisen:

”Wenn 1 = 2, so

sind Sie der Papst.” [6]

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Schlussregeln

Modus ponendo ponens

Abtrennungsregel

Der Modus ponendo ponens, ist eine Schlussfigur (modus) derklassischen Logik, die durch das Setzen (ponendo) einer Aussageeine andere Aussage setzt (ponens). Aus einer gegebenen ersterPrämisse,

”Wenn A, dann B”, und durch das Setzen der zweiten

Prämisse A folgt die Konklusion B.

A⇒ BA

B

Beispiel:

”Wenn es regnet, wird die Straße nass“ und

”Es regnet“ folgt

logisch:”Die Straße wird nass“.

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Schlussregeln

Modus tollendo tollens

Aufhebungsregel

Der Modus tollendo tollens”durch Aufheben aufhebende

Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass ausden Voraussetzungen

”nicht B“und

”Wenn A, dann B“auf die

Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.

A⇒ B¬B¬A

Beispiel:

”Wenn es regnet, ist die Straße nass“und

”Die Straße ist nicht

nass”folgt logisch”Es regnet nicht”.

Achtung, der Schluss:”Die Straße ist nass, daher regnet es“ist

unzulässig und falsch.

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Schlussregeln

Modus tollendo tollens

Aufhebungsregel

Der Modus tollendo tollens”durch Aufheben aufhebende

Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass ausden Voraussetzungen

”nicht B“und

”Wenn A, dann B“auf die

Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.

A⇒ B¬B¬A

Beispiel:

”Wenn es regnet, ist die Straße nass“und

”Die Straße ist nicht

nass”folgt logisch”Es regnet nicht”.

Achtung, der Schluss:”Die Straße ist nass, daher regnet es“ist

unzulässig und falsch.21 / 52


Prädikatenlogik

Grundlagen

Prädikatenlogik ist ebenfalls eine klassische Logik

Erweiterung der Aussagenlogik betrachten

Prädikatenlogik kann mögliche Variablen mit Hilfesogenannter Quantoren quantifizieren

Für uns wichtig an dieser Stelle sind die folgenden Quantoren:

∀ für alle∃ es existiert∃! es existiert genau ein

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Prädikatenlogik

Formalisierung

Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich anSätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb einesAxiomsystems prüfen.

Ein Mädchen spielt Schach.

Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt.Es gibt ein x , für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach.∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach.

Alle Frauen sind gute Autofahrer.

Für jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fährt es gutAuto.Für alle x gilt: ist x eine Frau, dann fährt x gut Auto.∀x : x ist eine Frau ⇒ x fährt gut Auto.

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Prädikatenlogik

Wahrheitswerte

Beachte, auch in der Prädikatenlogik lassen sich Wahrheitswerteden Aussagen zuordnen.

Die Aussage ∃x : F (x) ist genau dann wahr, wenn esmindestens eine Belegung der Variable x gibt, sodass F(x)erfüllt ist.

Die Aussage ∀x : F (x) ist genau dann wahr, wenn für alleBelegungen der Variable x , F (x) erfüllt ist.

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Prädikatenlogik

Die Implikation

Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.

x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R

Fall Einsetzungfür x

x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5

ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr

wf– – – –

fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr

ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr

Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.

Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.

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Grundlagen der Äquivalenzumformungen

Grundlage: Aussageform

Aussageform A(x,y,...) ist sprachliches Gebilde, welchesmindestens eine Variable enthält und nach geeigneterErsetzung in eine wahre oder falsche Aussage übergeht

Beispiele

A(x) :√x = 2,M = {x ∈ R :

√x = 2} = {4}

B(x , y) : x + 10y = 8

M = {(x , y) ∈ R2 : x + 10y = 8} = {(k , (8− k10

)) ∈ R2, k ∈ R}

Belegung für die eine Aussageform wahr wird, wird alsErfüllungsmenge M über der Grundmenge Gn bezeichnet.

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Äquivalenz von Aussageformen

Man bezeichnet zwei Aussageformen A(x,y,...) und B(x,y,...) unterder gleichen Grundmenge als äquivalent genau dann, wenn ihreErfüllungsmengen übereinstimmen.Dementsprechend bezeichnet man eine Umformung einerGleichung, die die Erfüllungsmenge nicht verändert alsÄquivalenzumformung.Dazu gehören:

Addition eines Terms und

Multiplikation eines Terms (ungleich Null) auf beiden Seiten

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Beweis

Verallgemeinerung

Satz

Wendet man eine injektive Abbildung f auf beide Seiten einerGleichung an, so bezeichnet man dies als Äquivalenzumformung.

Beweiszu zeigen ist:

Sei (x,y,..) eine Lösung der Gleichung h = j , mit h,j Terme,dann ist (x,y,...) eine Lösung der Gleichung f (h) = f (j).

Es existieren keine Lösungen von f (h) = f (j), die nichtgleichzeitig Lösungen von h = j sind.

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Beweis

Zum Beweis

Zum ersten Punkt: folgt direkt aus der Definition einer Funktion

Zum zweiten Punkt: folgt direkt aus der Injektivität von f

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Typische Schülerfehler

Fehler

Lösen von Gleichungssystemen über R

Äquivalenzumformungen von Gleichungen über R

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Lösungsmenge des Gleichungssystems

Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen

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Lösungsmenge des verändertem Gleichungssystems

Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen

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Erfahrungen

Welche Erfahrungen habt ihr damit im Unterricht gemacht und wieseid ihr damit umgegangen?

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Definition

Beweis

Eine endliche Kette von Umformungen, die mit Hilfe gültigerSchlussregeln durchgeführt werden und die von wahren bzw. alswahr angenommenen Aussagen (Prämissen) ausgehen und zu derAussage A (Konklusion) führen, nennen wir Beweis der Aussage A.

einige wichtige Beweisverfahren:

direkter Beweis

indirekter Beweis

Beweis durch Kontraposition

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Direkter Beweis

Vorgehen

Man geht von einer bereits bewiesenen oder als wahrangenommenen Voraussetzung aus, aus der mit Hilfe von gültigenSchlussregeln nach einer endlichen Anzahl von Schritten dieBehauptung folgt.

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Indirekter Beweis

Vorgehen

Die Implikation”wenn A, dann B”kann auch mit Hilfe der

Adjunktion und Negation dargestellt werden, wie schon vorhergesehen in Abschnitt

”Implikation”.

A⇒ B ⇔ B ∨ ¬A

Die Implikation ist nicht nur dann wahr, wenn die Voraussetzungund die Behauptung wahr ist, sondern auch dann, wenn dieVerneinung falsch ist.

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Indirekter Beweis

Kalkül

Die Annahme für den indirekten Beweis gewinnen wir durchdie Negation der Behauptung.

Mit gültigen Schlussregeln schließen wir solange weiter, bis einWiderspruch zur Voraussetzung oder zur Annahme sichtlichwird.

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Indirekter Beweis

Wahrheitstafel zur Verneinung der Implikation

A B ¬A ¬B A⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬(A⇒ B)⇔ ¬B ∧ Aw w f f w fw f f w f wf w w f w ff f w w w f

Wir wissen, dass eine Aussage und ihre Negation nicht gleichzeitigwahr sein können. Daraus muss folgen, dass die Annahme falschund die Negation der Annahme (Behauptung) wahr ist.

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Kontraposition

Beweis durch Kontraposition

Achtung: Häufig mit dem indirekten Beweis verwechselt.

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Kontraposition

Wahrheitstabelle

WahrheitswerteA B ¬A ¬B A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬B ⇒� A ⇔ ¬A∨B ¬(A ⇒ B) ⇔ ¬B ∧ Aw w f f w w fw f f w f f wf w w f w w ff f w w w w f

Erkenntnis: ¬B ⇒ ¬A⇔ A⇒ B

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Kontraposition

Erfahrungen

Eigene Erfahrungen mit Beweisen im Schulalltag und zu Beginndes Studiums

Welche Erfahrungen habt ihr beim Unterrichten von Beweisengemacht?

Würde euch eine solch theoretische Einführung zum Beginndes Studiums helfen mit Beweisen umzugehen?

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Notwendige und Hinreichende Bedingung

Grundlagen

Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sindBegriffe aus der Aussagenlogik.

Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichendenTypen von Voraussetzungen

Unterscheidung ermöglicht die genauere Einordnung vonSchlussfolgerungen

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Notwendige Bedingung

Notwendige Bedingung

Eine notwendige Bedingung ist eine unersetzbare Voraussetzung,ohne die ein Ereignis nicht eintritt. Die Erfüllung derVoraussetzung garantiert jedoch nicht den Eintritt des Ereignisses.Umgangssprachlich wird eine notwendige Bedingung auchK.O.-Kriterium genannt

Das heißt, wenn wir wissen, dass B nicht gilt, so kann auch A nichtgelten. Dies liegt daran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgendarf.

Beispiel: Nur wer volljährig ist, darf an der Bundestagswahl teilnehmen.

Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung für das Wahlrecht zum

Deutschen Bundestag. Sie ist aber nicht allein entscheidend: man muss

noch weitere notwendige Bedingungen erfüllen, z. B. die deutsche

Staatsbürgerschaft besitzen.

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Hinreichende Bedingung

Hinreichende Bedingung

Eine hinreichende Bedingung ist eine Voraussetzung, bei derenErfüllung Ereignis zwangsläufig eintritt und keine weiterenVoraussetzungen benötigt werden. Das Vorliegen des Ereignissesjedoch auch andere Ursachen haben, das heißt wenn das Ereignisvorliegt, ist es nicht zwingend, dass eine bestimmte hinreichendeBedingung erfüllt sein muss.

Das heißt, wenn wir wissen, dass A gilt, so muss B gelten. Dies liegtdaran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgen darf.

Beispiel: Wenn es regnet, wird die Straße nass. Regen ist hinreichend

(ausreichend) dafür, dass die Straße nass wird. Regen ist aber keine

notwendige Bedingung hierfür, weil es auch andere Möglichkeiten gibt,

eine Straße zu befeuchten, zum Beispiel durch besprengen mit einem

Wasserschlauch.44 / 52



Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema

Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums ander Stelle x0 ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d. h.also f ′(x0) = 0.Ist das auch schon hinreichend?

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Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema

Hinreichend wäre:f ′(x0) = 0 und f

′′(x0) < 0 für ein Maximum undf ′(x0) = 0 und f

′′(x0) > 0 für ein Minimum.Wie man sieht ist die notwendige Bedingung in der hinreichendenBedingung enthalten. Würde auch nur der Ausdruck f ′′(x0) 6= 0ausreichen?

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Lösung der Aufgaben

Wason Selection Task

These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.

Die Karten A und 7 müssen umgedreht werden, was denSchlussregeln Modus ponendo ponens bzw. Modus tollendo tollensentspricht.

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Die Verneinung

Aufgabe: Verneine folgende Aussage!

Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.

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Ausführliche Analyse des Problems

Wir konnten uns in der Vergangenheit davon überzeugen, dass Aussagen wahr oderfalsch sind. Wenn eine Aussage wahr ist, dann ist ihre Verneinung falsch; und wenneine Aussage falsch ist, dann ist ihre Verneinung wahr. Eine dritte Möglichkeit gibt esnicht (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur).Wie sieht es nun mit der Aussage ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eineGlatze“und ihrer intuitiven Verneinung ”Der gegenwärtige König von Frankreich hatkeine Glatze“aus? Einer der beiden Sätze muss wahr sein, der andere falsch. Welcherist wahr, welcher falsch?Geht man nun der Reihe nach alle Dinge durch, die eine Glatze haben, wird man unterihnen den gegenwärtigen König von Frankreich nicht finden (denn Frankreich hatkeinen König). Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“wäredemnach falsch. Geht man alle Dinge durch, die keine Glatze haben, dann wird manjedoch auch nicht auf den gegenwärtigen König von Frankreich stoßen. Der Satz ”Dergegenwärtige König von Frankreich hat keine Glatze“wäre somit nicht weniger falsch!

Wir stehen damit vor dem Problem, dass sowohl ein Satz als auch seine Verneinung

falsch ist. Das ist nicht nur nicht einsichtig, sondern vor allem mit unserer logischen

Sprache nicht verträglich.

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Ausführliche Lösung des Problems

Auch hier entsteht das Problem aus einer falschen Analyse. Die Kennzeichnung”der

gegenwärtige König von Frankreich“ist – wie jede Kennzeichnung – kein Eigenname.Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“muss korrektanalysiert werden als Ës gibt genau ein Ding, das König von Frankreich ist, und diesesDing hat eine Glatze“. Dieser Satz ist falsch.Wenn man diesen Satz verneint, kommt man zu

”Es ist nicht der Fall, dass es genau

ein Ding gibt, das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dass dieses Ding eineGlatze hat“. Diese Verneinung ist unproblematisch. Der Satz

”Der gegenwärtige König

von Frankreich hat keine Glatze“muss analysiert werden als Ës gibt genau ein Ding,das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dieses Ding hat keine Glatze“. DieserSatz ist nicht die Verneinung des ersten Satzes! Die Möglichkeit, dass beide Sätzezugleich falsch sein können, ist daher kein Problem für unsere logische Sprache.

Als Nebenprodukt von Russells Theorie der Kennzeichnungen fällt also die

Beobachtung ab, dass die Verneinung von ”Der gegenwärtige König von Frankreich

hat eine Glatze“keineswegs ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat keine

Glatze“lautet.[1]

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Quellen

Bertrand Russel: On Denoting –(http://www.jstor.org/pss/2248381)

Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I – Mathematik

Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe II –Mathematik

Georg Klaus: Moderne Logik (1972)

D.Hilbert – W. Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik(1958)

http://page.mi.fu-berlin.de/shinyinj/bkurs/Brueckenkurs.pdf

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Spock

Logic is the beginning of wisdom, not the end.

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