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Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen
Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts
Alexander Tochtenhagen, Marcel Grüneberg
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II - Institut für Mathematik
10. November 2010
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Inhaltsverzeichnis
1 Logik
2 Rahmenplan
3 Logische Grundlagen
4 Äquivalenzumformungen
5 Beweise
6 Bedingungen
7 Zum Anfang
8 Quellen
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Einführung
Ein Jäger geht auf die Jagd
Ein Jäger geht auf die Jagd; So-
nusvox ist sein Hüfthorn, aus wel-
chem duae praemissae als zwei Ro-
sen hervorgehen; der das Horn hal-
tende Arm bedeutet Argumenta; auf
seiner Brust ist Conclusio geschrie-
ben; Syllogismus ist sein Waidmes-
ser, Quaestio der Bogen in seiner
rechten Hand; vor ihm springen zwei
Jagdhunde, ein schöner Veritas und
ein häßlicher Falsitas; Gegenstand
der Jagd ist ein Hase Problema;
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Einführung
Definition Logik
Logik
Logik ist die Lehre des vernünftigen (Schluss-)Folgerns.
Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlichihrer Struktur unabhängig vom konkreten Inhalt dereigentlichen Aussagen.
man spricht auch von”mathematischer”Logik.
Logik ist Disziplin der Philosophie, der Mathematik und derInformatik
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Einführung
Historischer Überblick
Die Logik wurde als”Wissenschaft vom richtigen
Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durchMittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedenstenphilosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.
George Boole führte als erster für den Teilbereich derAussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern alsdie Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit dieLogik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde.Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert.
Den Höhepunkt der Entwicklung stellt die Veröffentlichungder
”Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B.
Russel dar.
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Einführung
Historischer Überblick
Die Logik wurde als”Wissenschaft vom richtigen
Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durchMittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedenstenphilosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.
George Boole führte als erster für den Teilbereich derAussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern alsdie Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit dieLogik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde.Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert.
Den Höhepunkt der Entwicklung stellt die Veröffentlichungder
”Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B.
Russel dar.
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Einführung
Historischer Überblick
Die Logik wurde als”Wissenschaft vom richtigen
Schließen”von Aristoteles begründet und hat, durchMittelalter bis zu Kant und Hegel, die verschiedenstenphilosophischen (und theologischen) Erweiterungen erfahren.
George Boole führte als erster für den Teilbereich derAussagenlogik eine Formalisierung ein. Dies kann insofern alsdie Geburtsstunde mathematischer Logik dienen, als damit dieLogik einer mathematischen Betrachtung zugänglich wurde.Booles Ansatz wurde später zur Prädikatenlogik erweitert.
Den Höhepunkt der Entwicklung stellt die Veröffentlichungder
”Principia Mathematica” von A.N. Whitehead und B.
Russel dar.
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Ein paar einfache Probleme
Wason Selection Task
Gegeben sind Karten mit einer Ziffer auf der einen Seite und einemBuchstaben auf der anderen Seite.
These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.
Aufgabe: Welche Karten sind umzudrehen, um die These zutesten?Tipp: Es sind so wenig wie möglich, aber soviel wie nötigumzudrehen.
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Ein paar einfache Probleme
Die Verneinung
Aufgabe: Verneine folgende Aussagen!
1 Alle Schüler sind fleißig.
2 Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.
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Ein paar einfache Probleme
Die Verneinung
Aufgabe: Verneine folgende Aussagen!
1 Alle Schüler sind fleißig.
2 Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.
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Logik im Berliner Rahmenplan
Sekundarstufe I
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Logik im Berliner Rahmenplan
Prozessbezogene Kompetenzbereiche
Die Aufgabe des Mathematikunterrichts ist es, auf allenNiveaustufen Schülerinnen und Schülern den Erwerb derfolgenden Kompetenzen zu ermöglichen.
Argumentieren
Probleme lösen
Modellieren
Darstellungen verwenden
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen derMathematik umgehen
Kommunizieren
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Logik im Berliner Rahmenplan
Argumentieren
Mathematisches Argumentieren umfasst das Erkunden vonSituationen, das Aufstellen von Vermutungen und das schlüssigeBegründen von vermuteten Zusammenhängen. In derSekundarstufe I kommen beim Argumentieren unterschiedlicheGrade der Strenge zum Tragen: vom intuitiven, anschaulichenBegründen bis zum mehrschrittigen Beweisen durch Zurückführenauf gesicherte Aussagen.
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Logik im Berliner Rahmenplan
Prozessbezogene Standards
Die folgenden Standards werden von Schülerinnen und Schülernaller Schulformen und am Ende beider Doppeljahrgangsstufenerwartet.
Argumentieren
Die Schülerinnen und Schüler
erkunden mathematische Situationen und stellenVermutungen auf,
begründen die Plausibilität von Vermutungen oder widerlegendiese durch Angabe von Beispielen oder Gegenbeispielen,
entwickeln schlüssige Argumentationen zur Begründungmathematischer Aussagen,
hinterfragen Argumentationen und Begründungen kritisch,finden und korrigieren Fehler.
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Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigendiese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!
P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren
FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck
P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen
FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken
P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen
FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
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Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigendiese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!
P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren
FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck
P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen
FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken
P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen
FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
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Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigendiese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!
P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren
FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck
P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen
FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken
P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen
FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
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Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
Mathematikunterricht soll nicht nur mathematische Inhaltetransportieren, sondern Schülerinnen und Schüler dazu befähigendiese auch kritisch zu prüfen. =⇒ Beweisen!
P6 – 7/8 Konstruieren und mit ebenen Figuren argumentieren
FF beweisen den Satz des ThalesFF beweisen den Satz über die Winkelsumme im Dreieck
P5 – 9/10 Mit Winkeln und Längen rechnen
FFF beweisen den Sinus- und den Kosinussatz in beliebigenDreiecken
P2 – 9/10 Längen und Flächen bestimmen und berechnen
FFF beweisen den Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
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Logik im Berliner Rahmenplan
Beispiele
P1 – 9/10 Neue Zahlen entdecken
FFF beweisen die Irrationalität einer Quadratwurzel (indirekterBeweis)
Der indirekte Beweis wird erstmalig im Profilkurs im Rahmen desModuls
”Entdecken, Begründen, Beweisen”behandelt.
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Logik im Berliner Rahmenplan
Sekundarstufe II
Kurs ma–Z3 Logik
Aussagen– und Prädikatenlogik
Quantoren, Verknüpfungen bei Aussageformen,Mengendiagramme
logische Schlussformen
Beachte: Zusatzkurse dürfen nicht vor dem Besuch derentsprechenden Grund– oder Leistungskurse belegt werden
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Mathematische Logik
Einführung
Die Mathematische Logik ist eine Ausdehnung der formalenMethode der Mathematik auf das Gebiet der Logik.
logisches Denken findet sein Abbild in einem Logikkalkül
erfolgreiche Inangriffnahmen von Problemen, bei denen reininhaltliches Denken versagt
nützlich in Disziplinen die eine axiomatische Begründungzulassen
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Aussagenlogik
Definition
Aussage
Eine Aussage ist ein Satz, von dem es sinnvoll ist zu behaupten,dass sein Inhalt richtig oder falsch ist.
Beispiele:
Der Schnee ist schwarz.
9 ist eine Primzahl.
Hertha BSC steigt nächste Saison nicht auf.
Die Masse m eines Körpers ist von seinem Bewegungszustandunabhängig, d.h. m0 = mv .
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Aussagenlogik
Verknüpfung von Aussagen
Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestalltoder gedankliche Struktur.
Was uns interssiert ist der Wahrheitswert
Wichtige Verknüpfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation),⇒(Implikation), ⇔(Äquivalenz)
A B ¬A A∧B A∨B A⇒ B A⇔ Bf f w f f w wf w w f w w fw f f f w f fw w f w w w w
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Aussagenlogik
Verknüpfung von Aussagen
Bei Aussagen interessiert uns nicht Inhalt, sprachliche Gestalltoder gedankliche Struktur.
Was uns interssiert ist der Wahrheitswert
Wichtige Verknüpfungen sind: ∧(und), ∨(oder), ¬(Negation),⇒(Implikation), ⇔(Äquivalenz)
A B ¬A A∧B A∨B A⇒ B A⇔ Bf f w f f w wf w w f w w fw f f f w f fw w f w w w w
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Aussagenlogik
Aussagenlogische Gesetze
tertium non datur
Der Satz vom Ausgeschlossenem Dritten behauptet, dass zweieinander widersprechende Aussagen nicht beide ungültig seinkönnen.
A ¬A A ∨ ¬Awahr falsch wahr
falsch wahr wahr
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Aussagenlogik
Aussagenlogische Gesetze
ex falso quodlibet
Aus Falschem folgt Beliebiges, d.h. aus einer Falschen Annahmekann man quasi beliebige Aussagen ableiten.Das bedeutet aber auch, dass aus Wahrem nur Wahres folgen darf.
Angeblich soll Bertand Russel zu einem Philosophen gesagt haben,dass ein falscher Satz jeden beliebigen Satz impliziert. Daraufhinmeinte der Philosoph, können Sie mir beweisen:
”Wenn 1 = 2, so
sind Sie der Papst.” [6]
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Schlussregeln
Modus ponendo ponens
Abtrennungsregel
Der Modus ponendo ponens, ist eine Schlussfigur (modus) derklassischen Logik, die durch das Setzen (ponendo) einer Aussageeine andere Aussage setzt (ponens). Aus einer gegebenen ersterPrämisse,
”Wenn A, dann B”, und durch das Setzen der zweiten
Prämisse A folgt die Konklusion B.
A⇒ BA
B
Beispiel:
”Wenn es regnet, wird die Straße nass“ und
”Es regnet“ folgt
logisch:”Die Straße wird nass“.
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Schlussregeln
Modus tollendo tollens
Aufhebungsregel
Der Modus tollendo tollens”durch Aufheben aufhebende
Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass ausden Voraussetzungen
”nicht B“und
”Wenn A, dann B“auf die
Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.
A⇒ B¬B¬A
Beispiel:
”Wenn es regnet, ist die Straße nass“und
”Die Straße ist nicht
nass”folgt logisch”Es regnet nicht”.
Achtung, der Schluss:”Die Straße ist nass, daher regnet es“ist
unzulässig und falsch.
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Schlussregeln
Modus tollendo tollens
Aufhebungsregel
Der Modus tollendo tollens”durch Aufheben aufhebende
Schlussweise“ist eine Schlussfigur (modus), die es erlaubt, dass ausden Voraussetzungen
”nicht B“und
”Wenn A, dann B“auf die
Wahrheit von nicht A geschlossen werden kann.
A⇒ B¬B¬A
Beispiel:
”Wenn es regnet, ist die Straße nass“und
”Die Straße ist nicht
nass”folgt logisch”Es regnet nicht”.
Achtung, der Schluss:”Die Straße ist nass, daher regnet es“ist
unzulässig und falsch.21 / 52
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Prädikatenlogik
Grundlagen
Prädikatenlogik ist ebenfalls eine klassische Logik
Erweiterung der Aussagenlogik betrachten
Prädikatenlogik kann mögliche Variablen mit Hilfesogenannter Quantoren quantifizieren
Für uns wichtig an dieser Stelle sind die folgenden Quantoren:
∀ für alle∃ es existiert∃! es existiert genau ein
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Prädikatenlogik
Formalisierung
Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich anSätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb einesAxiomsystems prüfen.
Ein Mädchen spielt Schach.
Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt.Es gibt ein x , für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach.∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach.
Alle Frauen sind gute Autofahrer.
Für jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fährt es gutAuto.Für alle x gilt: ist x eine Frau, dann fährt x gut Auto.∀x : x ist eine Frau ⇒ x fährt gut Auto.
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Prädikatenlogik
Formalisierung
Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich anSätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb einesAxiomsystems prüfen.
Ein Mädchen spielt Schach.
Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt.Es gibt ein x , für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach.∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach.
Alle Frauen sind gute Autofahrer.
Für jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fährt es gutAuto.Für alle x gilt: ist x eine Frau, dann fährt x gut Auto.∀x : x ist eine Frau ⇒ x fährt gut Auto.
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Prädikatenlogik
Formalisierung
Mit Hilfe der Prädikatenlogik lässt sich ein großer Bereich anSätzen formalisieren und dann auf seine Gültigkeit innerhalb einesAxiomsystems prüfen.
Ein Mädchen spielt Schach.
Es gibt jemanden, der Mädchen ist und Schach spielt.Es gibt ein x , für das gilt: x ist Mädchen und x spielt Schach.∃x : x ist Mädchen ∧ x spielt Schach.
Alle Frauen sind gute Autofahrer.
Für jedes Ding gilt, wenn es eine Frau ist, dann fährt es gutAuto.Für alle x gilt: ist x eine Frau, dann fährt x gut Auto.∀x : x ist eine Frau ⇒ x fährt gut Auto.
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Prädikatenlogik
Wahrheitswerte
Beachte, auch in der Prädikatenlogik lassen sich Wahrheitswerteden Aussagen zuordnen.
Die Aussage ∃x : F (x) ist genau dann wahr, wenn esmindestens eine Belegung der Variable x gibt, sodass F(x)erfüllt ist.
Die Aussage ∀x : F (x) ist genau dann wahr, wenn für alleBelegungen der Variable x , F (x) erfüllt ist.
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Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R
Fall Einsetzungfür x
x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
wf– – – –
fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr
ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr
Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.
Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.
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Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R
Fall Einsetzungfür x
x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
wf– – – –
fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr
ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr
Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.
Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.
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Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen
Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R
Fall Einsetzungfür x
x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
wf– – – –
fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr
ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr
Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.
Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.
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Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R
Fall Einsetzungfür x
x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
wf– – – –
fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr
ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr
Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.
Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.
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Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R
Fall Einsetzungfür x
x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
wf– – – –
fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr
ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr
Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.
Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.
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Prädikatenlogik
Die Implikation
Betrachte folgende Aussage:”wenn x < 3, dann x < 5”, d.h.
x < 3⇒ x < 5,∀x ∈ R
Fall Einsetzungfür x
x < 3 x < 5 x < 3⇒ x < 5, d.h. x ≥ 3 ∨ x < 5
ww 2 2 < 3 2 < 5 2 < 3⇒ 2 < 5, 2 ≥ 3 ∨ 2 < 5, wahr
wf– – – –
fw4 4 < 3 4 < 5 4 < 3⇒ 4 < 5, 4 ≥ 3 ∨ 4 < 5, wahr
ff6 6 < 3 6 < 5 6 < 3⇒ 6 < 5, 6 ≥ 3 ∨ 6 < 5, wahr
Man erkennt: Kritische Fall”wf”kann nicht eintreten.
Damit ist die Allgemeingültigkeit der Aussage x < 3⇒ x < 5gezeigt.
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Grundlagen der Äquivalenzumformungen
Grundlage: Aussageform
Aussageform A(x,y,...) ist sprachliches Gebilde, welchesmindestens eine Variable enthält und nach geeigneterErsetzung in eine wahre oder falsche Aussage übergeht
Beispiele
A(x) :√x = 2,M = {x ∈ R :
√x = 2} = {4}
B(x , y) : x + 10y = 8
M = {(x , y) ∈ R2 : x + 10y = 8} = {(k , (8− k10
)) ∈ R2, k ∈ R}
Belegung für die eine Aussageform wahr wird, wird alsErfüllungsmenge M über der Grundmenge Gn bezeichnet.
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Äquivalenz von Aussageformen
Man bezeichnet zwei Aussageformen A(x,y,...) und B(x,y,...) unterder gleichen Grundmenge als äquivalent genau dann, wenn ihreErfüllungsmengen übereinstimmen.Dementsprechend bezeichnet man eine Umformung einerGleichung, die die Erfüllungsmenge nicht verändert alsÄquivalenzumformung.Dazu gehören:
Addition eines Terms und
Multiplikation eines Terms (ungleich Null) auf beiden Seiten
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Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen
Beweis
Verallgemeinerung
Satz
Wendet man eine injektive Abbildung f auf beide Seiten einerGleichung an, so bezeichnet man dies als Äquivalenzumformung.
Beweiszu zeigen ist:
Sei (x,y,..) eine Lösung der Gleichung h = j , mit h,j Terme,dann ist (x,y,...) eine Lösung der Gleichung f (h) = f (j).
Es existieren keine Lösungen von f (h) = f (j), die nichtgleichzeitig Lösungen von h = j sind.
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Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen
Beweis
Zum Beweis
Zum ersten Punkt: folgt direkt aus der Definition einer Funktion
Zum zweiten Punkt: folgt direkt aus der Injektivität von f
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Typische Schülerfehler
Fehler
Lösen von Gleichungssystemen über R
Äquivalenzumformungen von Gleichungen über R
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Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen
Typische Schülerfehler
Lösungsmenge des Gleichungssystems
Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen
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Typische Schülerfehler
Lösungsmenge des verändertem Gleichungssystems
Abbildung: Lösungsmenge dargestellt als Schnittmenge von Ebenen
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Logik Rahmenplan Logische Grundlagen Äquivalenzumformungen Beweise Bedingungen Zum Anfang Quellen
Typische Schülerfehler
Erfahrungen
Welche Erfahrungen habt ihr damit im Unterricht gemacht und wieseid ihr damit umgegangen?
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Definition
Beweis
Eine endliche Kette von Umformungen, die mit Hilfe gültigerSchlussregeln durchgeführt werden und die von wahren bzw. alswahr angenommenen Aussagen (Prämissen) ausgehen und zu derAussage A (Konklusion) führen, nennen wir Beweis der Aussage A.
einige wichtige Beweisverfahren:
direkter Beweis
indirekter Beweis
Beweis durch Kontraposition
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Direkter Beweis
Vorgehen
Man geht von einer bereits bewiesenen oder als wahrangenommenen Voraussetzung aus, aus der mit Hilfe von gültigenSchlussregeln nach einer endlichen Anzahl von Schritten dieBehauptung folgt.
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Indirekter Beweis
Vorgehen
Die Implikation”wenn A, dann B”kann auch mit Hilfe der
Adjunktion und Negation dargestellt werden, wie schon vorhergesehen in Abschnitt
”Implikation”.
A⇒ B ⇔ B ∨ ¬A
Die Implikation ist nicht nur dann wahr, wenn die Voraussetzungund die Behauptung wahr ist, sondern auch dann, wenn dieVerneinung falsch ist.
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Indirekter Beweis
Kalkül
Die Annahme für den indirekten Beweis gewinnen wir durchdie Negation der Behauptung.
Mit gültigen Schlussregeln schließen wir solange weiter, bis einWiderspruch zur Voraussetzung oder zur Annahme sichtlichwird.
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Indirekter Beweis
Wahrheitstafel zur Verneinung der Implikation
A B ¬A ¬B A⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬(A⇒ B)⇔ ¬B ∧ Aw w f f w fw f f w f wf w w f w ff f w w w f
Wir wissen, dass eine Aussage und ihre Negation nicht gleichzeitigwahr sein können. Daraus muss folgen, dass die Annahme falschund die Negation der Annahme (Behauptung) wahr ist.
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Kontraposition
Beweis durch Kontraposition
Achtung: Häufig mit dem indirekten Beweis verwechselt.
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Kontraposition
Wahrheitstabelle
WahrheitswerteA B ¬A ¬B A ⇒ B ⇔ B ∨ ¬A ¬B ⇒� A ⇔ ¬A∨B ¬(A ⇒ B) ⇔ ¬B ∧ Aw w f f w w fw f f w f f wf w w f w w ff f w w w w f
Erkenntnis: ¬B ⇒ ¬A⇔ A⇒ B
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Kontraposition
Erfahrungen
Eigene Erfahrungen mit Beweisen im Schulalltag und zu Beginndes Studiums
Welche Erfahrungen habt ihr beim Unterrichten von Beweisengemacht?
Würde euch eine solch theoretische Einführung zum Beginndes Studiums helfen mit Beweisen umzugehen?
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Grundlagen
Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sindBegriffe aus der Aussagenlogik.
Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichendenTypen von Voraussetzungen
Unterscheidung ermöglicht die genauere Einordnung vonSchlussfolgerungen
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige Bedingung
Notwendige Bedingung
Eine notwendige Bedingung ist eine unersetzbare Voraussetzung,ohne die ein Ereignis nicht eintritt. Die Erfüllung derVoraussetzung garantiert jedoch nicht den Eintritt des Ereignisses.Umgangssprachlich wird eine notwendige Bedingung auchK.O.-Kriterium genannt
Das heißt, wenn wir wissen, dass B nicht gilt, so kann auch A nichtgelten. Dies liegt daran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgendarf.
Beispiel: Nur wer volljährig ist, darf an der Bundestagswahl teilnehmen.
Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung für das Wahlrecht zum
Deutschen Bundestag. Sie ist aber nicht allein entscheidend: man muss
noch weitere notwendige Bedingungen erfüllen, z. B. die deutsche
Staatsbürgerschaft besitzen.
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Hinreichende Bedingung
Hinreichende Bedingung
Eine hinreichende Bedingung ist eine Voraussetzung, bei derenErfüllung Ereignis zwangsläufig eintritt und keine weiterenVoraussetzungen benötigt werden. Das Vorliegen des Ereignissesjedoch auch andere Ursachen haben, das heißt wenn das Ereignisvorliegt, ist es nicht zwingend, dass eine bestimmte hinreichendeBedingung erfüllt sein muss.
Das heißt, wenn wir wissen, dass A gilt, so muss B gelten. Dies liegtdaran, dass aus etwas Wahrem nichts Falsches folgen darf.
Beispiel: Wenn es regnet, wird die Straße nass. Regen ist hinreichend
(ausreichend) dafür, dass die Straße nass wird. Regen ist aber keine
notwendige Bedingung hierfür, weil es auch andere Möglichkeiten gibt,
eine Straße zu befeuchten, zum Beispiel durch besprengen mit einem
Wasserschlauch.44 / 52
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema
Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums ander Stelle x0 ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d. h.also f ′(x0) = 0.Ist das auch schon hinreichend?
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema
Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums ander Stelle x0 ist das Vorliegen einer waagerechten Tangente, d. h.also f ′(x0) = 0.Ist das auch schon hinreichend?
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema
Hinreichend wäre:f ′(x0) = 0 und f
′′(x0) < 0 für ein Maximum undf ′(x0) = 0 und f
′′(x0) > 0 für ein Minimum.Wie man sieht ist die notwendige Bedingung in der hinreichendenBedingung enthalten. Würde auch nur der Ausdruck f ′′(x0) 6= 0ausreichen?
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Notwendige und Hinreichende Bedingung
Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema
Hinreichend wäre:f ′(x0) = 0 und f
′′(x0) < 0 für ein Maximum undf ′(x0) = 0 und f
′′(x0) > 0 für ein Minimum.Wie man sieht ist die notwendige Bedingung in der hinreichendenBedingung enthalten. Würde auch nur der Ausdruck f ′′(x0) 6= 0ausreichen?
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Lösung der Aufgaben
Wason Selection Task
These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.
Die Karten A und 7 müssen umgedreht werden, was denSchlussregeln Modus ponendo ponens bzw. Modus tollendo tollensentspricht.
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Lösung der Aufgaben
Wason Selection Task
These: Wenn die Karte auf einer Seite einen Vokal hat, dann hatsie auf der anderen Seite eine gerade Zahl.
Die Karten A und 7 müssen umgedreht werden, was denSchlussregeln Modus ponendo ponens bzw. Modus tollendo tollensentspricht.
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Lösung der Aufgaben
Die Verneinung
Aufgabe: Verneine folgende Aussage!
Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze.
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Lösung der Aufgaben
Ausführliche Analyse des Problems
Wir konnten uns in der Vergangenheit davon überzeugen, dass Aussagen wahr oderfalsch sind. Wenn eine Aussage wahr ist, dann ist ihre Verneinung falsch; und wenneine Aussage falsch ist, dann ist ihre Verneinung wahr. Eine dritte Möglichkeit gibt esnicht (Satz vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur).Wie sieht es nun mit der Aussage ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eineGlatze“und ihrer intuitiven Verneinung ”Der gegenwärtige König von Frankreich hatkeine Glatze“aus? Einer der beiden Sätze muss wahr sein, der andere falsch. Welcherist wahr, welcher falsch?Geht man nun der Reihe nach alle Dinge durch, die eine Glatze haben, wird man unterihnen den gegenwärtigen König von Frankreich nicht finden (denn Frankreich hatkeinen König). Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“wäredemnach falsch. Geht man alle Dinge durch, die keine Glatze haben, dann wird manjedoch auch nicht auf den gegenwärtigen König von Frankreich stoßen. Der Satz ”Dergegenwärtige König von Frankreich hat keine Glatze“wäre somit nicht weniger falsch!
Wir stehen damit vor dem Problem, dass sowohl ein Satz als auch seine Verneinung
falsch ist. Das ist nicht nur nicht einsichtig, sondern vor allem mit unserer logischen
Sprache nicht verträglich.
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Lösung der Aufgaben
Ausführliche Lösung des Problems
Auch hier entsteht das Problem aus einer falschen Analyse. Die Kennzeichnung”der
gegenwärtige König von Frankreich“ist – wie jede Kennzeichnung – kein Eigenname.Der Satz ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“muss korrektanalysiert werden als Ës gibt genau ein Ding, das König von Frankreich ist, und diesesDing hat eine Glatze“. Dieser Satz ist falsch.Wenn man diesen Satz verneint, kommt man zu
”Es ist nicht der Fall, dass es genau
ein Ding gibt, das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dass dieses Ding eineGlatze hat“. Diese Verneinung ist unproblematisch. Der Satz
”Der gegenwärtige König
von Frankreich hat keine Glatze“muss analysiert werden als Ës gibt genau ein Ding,das gegenwärtiger König von Frankreich ist, und dieses Ding hat keine Glatze“. DieserSatz ist nicht die Verneinung des ersten Satzes! Die Möglichkeit, dass beide Sätzezugleich falsch sein können, ist daher kein Problem für unsere logische Sprache.
Als Nebenprodukt von Russells Theorie der Kennzeichnungen fällt also die
Beobachtung ab, dass die Verneinung von ”Der gegenwärtige König von Frankreich
hat eine Glatze“keineswegs ”Der gegenwärtige König von Frankreich hat keine
Glatze“lautet.[1]
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Quellen
Bertrand Russel: On Denoting –(http://www.jstor.org/pss/2248381)
Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I – Mathematik
Berliner Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe II –Mathematik
Georg Klaus: Moderne Logik (1972)
D.Hilbert – W. Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik(1958)
http://page.mi.fu-berlin.de/shinyinj/bkurs/Brueckenkurs.pdf
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Spock
Logic is the beginning of wisdom, not the end.
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