Übungsmitschrift

Allgemeine Meteorologie I

erstellt von:Daniel Edler

Inhaltsverzeichnis cc-by-nc-sa Daniel Edler

Inhaltsverzeichnis

1 Messgrößen 11.1 Fundamentale Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Windgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.7 Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Stoff-, Energie- und Impulsbilanz 32.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Elektromagnetisches Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Planck-Funktion (schwarzkörper-Strahlung) . . . . . . . . . . . 32.2.3 Stefan-Boltzmann-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.4 Wiensches - Verschiebungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.5 Solarkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Flüsse zwischen den Teilsystemen der Erde ausgetauscht: Masse, Ener-gie, Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Stoffgemische 53.1 Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Mischungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3.1 Begriffsbestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3.2 Stoffindezes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3.3 Konzentrationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3.4 Mischungsverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Zustandsgleichungen von Gasen 74.1 Zustandsgleichung des idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Zustandsgleichung für Gasgemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.1 Feuchte Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2.2 virtuelle Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Koeffizienten im idealen Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.4 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.5 Reale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Temperatur 95.1 Statistische Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Temperaturvariationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.2.1 Zeitliche Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2.2 Räumliche Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.3 Vertikales Temperaturprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4 Temperaturmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4.1 Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II

Inhaltsverzeichnis cc-by-nc-sa Daniel Edler

5.4.2 Widerstandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.5 Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.5.1 Trägheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.5.2 Experimentelle Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Druck 146.1 Barometrische Höhenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2 Druckreduktion auf Normal Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3 Beispielrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.4 Geräte und Verfahren zur Druckmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 Geopotential 177.1 Schwere(-potential) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.2 Geopotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.2.1 Druckkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8 Feuchte 188.1 Sättigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.1.1 Sättigungsdampfdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.1.2 Magnusformel (empirisch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.2 Feuchtemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.2.1 Übersicht Feuchtemaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9 Messgeräte und Messverfahren 209.1 Taubildung an kalten Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209.2 Haarhygrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.3 Psychrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

9.3.1 Messung durch Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.4 Variation der Feuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

9.4.1 Dampfdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.4.2 relative Feuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.4.3 Horizontale Variabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.4.4 Vertikale Variabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.5 Beispielrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

10 Kommentare zu Aufgaben 2310.1 zu Aufgabe 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.2 zu Aufgabe 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.3 zu Aufgabe 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.4 zu Aufgabe 4-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.5 zu Aufgabe 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.6 zu Aufgabe 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.7 zu Aufgabe ?-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2410.8 zu Aufgabe 8-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

11 sonstiges 24

III

1 MESSGRÖßEN cc-by-nc-sa Daniel Edler

1 Messgrößen

1.1 Fundamentale Größen

• Raum, Zeit, Masse, Ladung

• SI-System (kg, m, s, A)

• Beachte gleiche Dimension bei addierten Termen dimensionsloser Funktion( z.B.exp(x), log(x))

• Messgrößen: Temperatur, Druck, Wind, Feuchte

1.2 Zeit

• SI-Einheit: 1s, Formelzeichen: t

• Üblichen Einheiten: Sekunden (s), Minuten(min), Stunden(h), Tage(d)

• Bezugssysteme: UTC (MEZ, MESZ)

• Typische Werte: Gewitter (1h), Tiefdruckgebiet (5d)

1.3 Länge

• SI-Einheit: 1m, übliche Formelzeichen: l, d

• verwendete Einheiten: m, km, ft, Meilen (eigentlich: Nautische Meilen nmi)

– 1 nmi = 1852 m

– 1 ft = 0,305 m

• typische Größen

– Wolkentropfen: 10-200µm

– Regentropfen: 0,5-4 mm

– Tiefdruckwirbel: 500-1000 km

– Wolke: 1km

– Gewitter: 10 km

1.4 Windgeschwindigkeit

• Dimension: LängeZeit , SI: 1m

s

• übliche Formelzeichen: ms, km

h, kt (Knoten)

– 1kmh

= 0, 22778ms

– 1kt = 1nmih

= 0, 514ms

1

1 MESSGRÖßEN cc-by-nc-sa Daniel Edler

• Typische Werte

– bodennah: 2− 6ms

– Orkanbö: 30− 40ms

– Gewitter: 25 ms

• Windrichtung in ° → Richtung, aus der der Wind kommt:

– N: 0°; O: 90°; etc. (Achtung: Im Uhrzeigersinn!!!)

– übliche Zerlegung in vSN , vWO

1.5 Temperatur

• Maß für innere Energie der Molekularbewegung32kBT = m

2〈v〉2 (mittlere Geschwindigkeit der Teilchen zum Quadrat) mit kB =

1, 381 · 10−23 JK(Boltzmannkonstante)

• Dimension: Wie bei Energie, aber meist eigene Dimension, dann in Kelvin

• SI-Einheit: 1K, übliche Formelzeichen: T [K], ϑ[]T [F= Fahrenheit] = 9

5· ϑ[] + 32

ϑ[] = T [K]− 273, 15

1.6 Druck

• Druck = Kraft pro Fläche

• SI-Einheit: 1 Nm2 = 1Pa, übliches Formelzeichen: p

• Übliche Einheiten: 1 hPa, 1mbar (alt: mmHg, mmW (einer Wassersäule))

• Typische Größen

– mittlerer Luftdruck auf Normal Null: pNN = 1013, 25hPa

– Hochdruckgebiet: pH = 1030hPa, Tiefdruckgebiet: pT = 990hPa

– Hurrikan: pHu = 920hPa

• mit der Höhe exponentielle Abnahme: bodennah ca. −1 hPa10m

• typische Werte

– 2 km → 800 hPa

– 5 km → 500 hPa

– 10 km → 250 hPa

2

2 STOFF-, ENERGIE- UND IMPULSBILANZ cc-by-nc-sa Daniel Edler

1.7 Dichte

• Dimension: MasseVolumen , SI-Einheit: 1 kg

m3

• Übliches Formelzeichen: %

• Typische Werte

– 1,2 kgm3 Luft, bodennah

– 1000 kgm3 Wasser

– Zustandgleich des idealen Gasesp = %R0T mit R0 = 287 J

KkgGaskonstante für trockene (theoretische relative

Luftfeuchte von 0) Luft

2 Stoff-, Energie- und Impulsbilanz

2.1 Allgemein

Bilanz Zu- oder Abnahme einer Größe in einem physikalischen System → Summe derFlüsse in das System hinein (positives Vorzeichen) und aus dem System heraus(negatives Vorzeichen)

Fluss Transport einer Eigenschaft/eines Stoffes von Energie oder Impuls pro Zeitein-heit durch eine Fläche hindurch

Flussdichte Fluss pro Flächeneinheit (senkrecht zur Fläche)

2.2 Strahlung

Alle Körper senden entsprechend ihrer Temperatur elektromagnetische Strahlung ausIdealfall: Planck’scher schwarzer Körper→strahlt insgesamt elektromagnetisches Spek-trum mit einem Maximum bei einer WellenlängeGase sind keine schwarzen Strahler. Sie emittieren Strahlung nur in charateristischen(schmalen) Spektrallbereichen, den sogenannten Banden

2.2.1 Elektromagnetisches Spektrum

Umrechnung Wellelänge/Frequenz: c = λν mit c = 2, 99 · 108ms

2.2.2 Planck-Funktion (schwarzkörper-Strahlung)

Die Verteilung der Strahlung auf die Wellenlänge ist eine Funktion der Temperaturund wird beschrieben durch die Planck-Funktion (Energie pro Zeit und Fläche)

B(λ, T ) =2hc2

λ5

1

ehcλkT − 1

3

2 STOFF-, ENERGIE- UND IMPULSBILANZ cc-by-nc-sa Daniel Edler

mit B(λ, T ) = Spektrale Flussdichte in Wm2m

2.2.3 Stefan-Boltzmann-Gesetz

E = σT 4

[W

m2

], σ = 5, 671 · 108 W

m2K4

Durch Integrieren ergibt sich die Gesamtintensität (Energie pro Zeit und Fläche)

2.2.4 Wiensches - Verschiebungsgesetz

Das Maxiumum der Strahlung verschiebt sie proportional zur Tempertur und liegt beider Wellenlänge λmax

λmaxT = 2, 9 · 10−3mK = const

Die Erde empfängt Strahlungsenergie von der Sonne und strahlt exakt die gleicheMenge in den Weltraum ab, allerdings in einem anderen Wellenlängenbereich

2.2.5 Solarkonstante

Die Solarkonstante gibt die Energie pro Fläche und Zeiteinheit an, die bei einem festenAbstand Erde/Sonne von der Sonne auf die Erde trifft. Sie entspricht der am Oberrandder Atmosphäre eintreffenden Sonnenenergie und ist Ausgangspunkt für alle Energie-transportberechnungen.Die Solarkonstante ist eine Energieflussdichte extraterristisch, im Jahresmittel: i0 =1370 W

m2

Beispiel 2.1Gesamtleistung der Sonne aus der Solarkonstanten: Abstand Erde – Sonne: d = 1AE =1, 49 · 1011m

P = i0A = io · 4πd2 = 3, 8 · 1026

Beispiel 2.2Oberflächentemperatur der Sonne: rS = 6, 95 · 108m;A = 4πr2

S

T (Sonne) =4

√E

σ=

4

√pA

σ= 5772K

Beispiel 2.3Strahlungsmaximum:Wellenlänge des Strahlungsmaximums von der Sonne (T ≈ 6000K)und Erde (288K)

λmax · T = 2, 9 · 10−3mK

Erde: λmax = 10µmSonne: λmax = 448µm

4

3 STOFFGEMISCHE cc-by-nc-sa Daniel Edler

2.3 Flüsse zwischen den Teilsystemen der Erde ausgetauscht:Masse, Energie, Impuls

Austausch zwischen 2 Systemen, Bilanz = Input – Output. Mit jedem Massefluss istauch ein Energiefluss verbunden

3 Stoffgemische

3.1 Menge

Anzahl: NMengenmaß: MolDas Mol ist die Stoffmenge eines System, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wieAtome in 12g des Isotops 12C (Kohlenstoff-12) enthalten sind. NA := Avogadro – Zahl(dt. Loschmidt-Zahl) = Teilchen

Mol = 6, 02257 · 1023 1mol

Ein Mol einer Substanz enthält immer die gleiche Menge an Teilchen

Mol(an)zahl: Anzahl der Mol in einer Stoffmenge von N Teilchen

N∗ =N

NA

=M

m∗

mit:

• m∗ := molare Masse (siehe unten)

• N∗ := Molzahl (wie viel mol in betrachteter Masse)

• M := betrachtete (Partial-)Masse

3.2 Massen

Teilchenmasse des Wasserstoffatom µ0 = 1, 66 · 10−27kg = 1mol·1000

kg. Andere Teilchenx, bestehend aus Kx Baryonen (schwere Elementarteilchen wie Protonen/Neutroen):µk = Kx · µ0

Molmasse (/molare Masse), m∗: SI-Einheit: kgmol

, gmol

Masse eines Mols der entsprechenden Substanz x: m∗ = µxNa = Kxµ0NA = kx · 1 gmol

Beispiel 3.1

• H: 1 gmol

• H2: 2g

mol

• He: 4 gmol

• O2: 32g

mol(21% Luftanteil)

5

3 STOFFGEMISCHE cc-by-nc-sa Daniel Edler

• N2: 28g

mol(78% Luftanteil)

• H2O : 18 gmol

• Ar: 40 gmol

(0,9% Luftanteil)

Luft wird (in der Meteorologie) als ein Teilchen betrachtet, da im Normalfall immergleiche Zusammensetzung vorliegt ohne signifikanten Ändernungen:

0, 781 · 28g

mol+ 0, 21 · 32

g

mol+ 0, 09 · 40

g

mol= 28,948

g

mol

3.3 Mischungen

3.3.1 Begriffsbestimmungen

Phase → fest, flüssig, gasförmighomogenes System → einheitliche Phaseheterogenes System → mehrere Phasen

homogenes System: Keine chemischen Reaktionen und Umwandlungen, daher werdenSubstanz und Phase gleichwertig betrachtet.

3.3.2 Stoffindezes

0 - trockene Luft1 - Wasserdampf2 - Flüssigwasser3 - Eis

PartialgrößenStoff (Partialmenge) N i, N =

∑iN

i

Masse (Partialmasse) M i,M =∑

iMi

spezifische Größen (auf die Gesamtmasse bezogen)z.B. spezifisches Volumen, spezifische Feuchte m1 = M1

M

Dichten (auf das Gesatvolumen bezogen)Anzahldichte: %iN = N

V

Massendichte: %iM = M ′

V

3.3.3 Konzentrationen

Mengen-Konzentration: ni = N i

N,∑

i ni = 1

Massen-Konzentration: mi = M i

M,∑

imi = 1

Volumen-Konzentration: vi = V i

V,∑

i vi = 1

Einheiten: Prozent, part per million (ppm), parts per billion (ppb)

6

4 ZUSTANDSGLEICHUNGEN VON GASEN cc-by-nc-sa Daniel Edler

3.3.4 Mischungsverhältnis

Verhältnis zweier PartialmassenAllgemein: r = M i

Mj , bezogen auf Wasserdampf: r = M1

Mo = M1

M−M1 = mi

1−m1

Angabe in gkg

in Atmosphäre

Beispiel 3.2Wasserdampf in Luft: Durchschnittlicherwert: 5 g

kg

Wasserdampf in Luft: erhöhter Wert 30 gkg

Beziehung zwischen Dichte und Molzahl: % = MV

= N∗m∗

V⇔ N∗ = %V

m∗

4 Zustandsgleichungen von Gasen

4.1 Zustandsgleichung des idealen Gases

• keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen (z.B. Anziehungskräfte)

• Teilchen werden als Punktmasse angenommen (Volumen auf Null reduzierbar)

• (elastische) Stöße sind möglich

Für ein ideales Gas ergibt sich für den Druck p von N Teilchen im Volumen V

p =N

Vk · T

mit k = 1, 381 · 10−23 JK

:= Boltzmannkonstante

1. Mit N = N∗ ·NA folgt:

p =N∗

V(NAk)T =

N∗

VRT

R = 8, 3144 Jmol K

universelle Gaskonstante

2. Mit V = V ∗ ·N∗ gilt:p =

1

V ∗(NAk)T = R

t

v∗

Gesetz von Avogadro z.B. T=0 , p= 1015 hPa ⇐ v∗ = 22, 4l

3. Mit N∗ = Mm∗

folgt:

M

Vm∗·RT =

R

m∗%T = RS%T ⇒ RS =

R

m∗

RS := spezielle Gaskonstante, die nun von der molaren Masse des konkretenGases abhängt

Somit ist die Dichte eines Gases bei gleichem p, T nur von der molaren Masse abhängig

7

4 ZUSTANDSGLEICHUNGEN VON GASEN cc-by-nc-sa Daniel Edler

4.2 Zustandsgleichung für Gasgemische

Für jeden Partialdruck pi gilt eine eigene Gasgleichung

pi = %i ·Ri · T

Dalton’sches Gesetz: Druck p ist die Summe der Partialdrücke

p =∑i

pi =∑i

%iRiT =∑i

M i

VRiT = %T 〈R〉

(Nebenbemerkung: 〈R〉 Mittelwert)

R0 = 287, 05 JkgK

(bei trockener Luft)

4.2.1 Feuchte Luft

Mit der spezifischen Feuchte m1 gilt:

p = %T[(1−m1)R0 +m1R1

]da R1

R0 = 1, 61⇒ p = %TR0(1 + 0, 61m1) . Trick: virtuelle Temperatur!

4.2.2 virtuelle Temperatur

Definition 4.1Die virtuelle Temperatur ist die Temperatur, die die trockene Luft haben müsste, damitsie bei gleichem p und T dieselbe (geringe) Dichte aufweist wie wasserdampfhaltigeLuft.

Tv = T (1 + 0, 61m1)⇒ p = %TvR0

4.3 Koeffizienten im idealen Gas

Bp - isobarer thermischer Ausdehnungskoeffizient “Wie verändert sich das Volumeneines idealen Gasese, wenn ich es bei konstanten Druck erwärme?” Bp = 1

T

Bp = 1273,15

K−1 = 0, 00366K−1 bei 0 ca. 0,3% Ausdehnung

αT - isothermer Kompressionskoeffizient bei Normaldruck ca. 0,1% Ausdehnung je hPaαT = 1

p

4.4 Schallgeschwindigkeit

Theorie /Wellengleichungn → periodischer Ansatz für Dichteänderung) liefert:

c =

√κp

%

über Einsetzen der Gasgleichung ergibt sich c =√κR3T , κ = cp

cvfür feuchte Luft:

8

5 TEMPERATUR cc-by-nc-sa Daniel Edler

• virtuelle Temperatur ersetzt T

• Feuchte erhöht die Schallgeschwindigkeit

4.5 Reale Gase

• Teilchen nicht punktförmig →Volumen nicht auf Null reduzierbar

• Wechselwirkungen zwischen den Teilchen (abhängig von Entfernung)

Modifizierung der Zustandsgleichung → Van-der-Waals-Gleichung(p+

a

v2

)(v − b) = RTR

mit: a, b Materialkonstante, av2

Zusatzdruck, b Restvolumen

Wasserdampf ist genau genommen kein ideales Gas, wird aber normalerweise als solchesbehandelt

Gas verhält umso besser wie ein ideales Gas, wenn

• die dichte gering ist (geringe Molmasse → Moleküle sehr klein)

• je niedriger Druck und je höher Temperatur ist

• Temperatur T Tk “kritische Temperatur”, d.h. Verflüssigung nicht möglichLuft: –140H: –242CO2: 31

• wenn bei Stoffgemischen keine Phasenumwandlungen ablaufen

5 Temperatur

5.1 Statistische Definition

• statistische Begründung als mittlere kinetische Energie der Teilchen

• thermodynamisches Gleichgewicht am Ort der Messung

kBT =2

3

⟨Ekinp

⟩=

2

3

⟨µxv

2

2

⟩kB = Boltzmannkonstanteµx = Kxµ0 Teilchenmasse

5.2 Temperaturvariationen

Faktoren, die die räumliche und zeitliche Verteilung der Temperatur beeinflussen:

9

5 TEMPERATUR cc-by-nc-sa Daniel Edler

• solare Einstrahlung: Einfallswinkel der Sonnenstrahlung; maximale Einstrahlung:Sommer:Winter ist 4:1

• Energieaufnahme/-abgabe der Unterlage (Boden, Meer): bestimmt durch Wär-mekapazität

• Reflektivität der Erdoberfläche (Albedo)

• Thermische Einstrahlung aus der Atmosphäre (Gegenstrahlung): an Wolken,Treibhausgasen (vor allem Wasserdampf)

• thermische Ausstrahlung der Erdoberfläche (Planck 300K)

• Energieaufnahme/-abgabe der Unterlage

1. Wasser

– hohe spezifische Wärmekapazität und -leitfähigkeit

– große Eindringtiefe der Sonnenstrahlung

– bei Sonne leichte Erwärmung in großer Tiefe

2. Erdboden

– niedrige spezifische Wärmekapazität (ca. 1/5 von Wasser)

– schlechte Wäremeleitung

– Lichtundruchlässig

– bei Sonne große Erwärmung in geringer Tiefe

• Luftfeuchte

– latente Wärme (Erwärmung bei Kondensation, Abkühlung bei Verdunstung)

– Thermische Ausstrahlung der Erde kann mehr zurückreflektiert werden ⇒Erwärmung

• Bewölkung

– behindert Ein- und Ausstrahlung

– Tag (Sommer) geringe kurzwellige Einstrahlung → wird kühler

– Tag (Winter): nicht eindeutig, generell eher wärmer

– Nacht: mehr langwellige Einstrahlung durch Gegenstrahlung→ wird wärmer

• Vegetation

– Abschirmung/Schatten: tagsüber am Boden kühler, in den Barumkronenwärmer; nachts am Boden wärmer, in den Baumkronen kühler

– Verdunstung von Wasser → Abkühlung

• Temperaturänderung an einem Ort durch Advektion (nachschlagen: winde)

dT

dt=∂T

∂t+ ~v~∇T︸︷︷︸

Advektion

10

5 TEMPERATUR cc-by-nc-sa Daniel Edler

5.2.1 Zeitliche Variation

Hauptantrieb: Strahlung

Globalstrahlung: nachts null, von Sonnenauf- bis untergang sinusförmig

Ausstrahlung: ändert sich mit Temperatur im Bereich von ±10%

Gegenstrahlung: ohne Wolken, trockenene Luft → Gegenstrahlung fast null; mit Wol-ken etwas kleiner als Ausstrahlung

Sonnenhöchststand: in Hannover 12:20 MEZ (±15 min)

charakteristische Punkte:

nachts Ausstrahlung > Gegenstrahlung → Abkühlung

Minimum kurz nach Sonnenaufgang

vormittags Einstrahlung Ausstrahlung → Erwärmung

Maximum am Nachmittag (ca. 16 Uhr)

Abend Einstrahlung < Austrahlung (Ausstrahlung größer als Vormittag, da Er-de sich erwärmt hat (σT 4) → leichte Abkühlung

Tagesgang nicht symmetrisch zum Sonnenhöchststand

Tagesgang nicht glatt (vor allem tagsüber) durch Turbulenz

Tagesgang nimmt mit der Höhe über dem Erdboden ab; Name der Schicht mit Ta-gesgang: Atmosphärische Grenzschicht (vgl. Wind); darüber fast kein Tagesgang

5.2.2 Räumliche Variation

Horizontale VariationenKlimazonen:

• Haupteinflussfaktoren: astronomisch mögliche Einstrahlung, Bedeckungsgrad

• Köppen/Geiger: Klimaklassifikation nach Jahresgang, Extremwerte, Niederschlag

Tagesgang:

• lokale Schwankungen der Oberflächeneigenschaften

– über Wasser Tagesgang kleiner, wegen Durchmischung der oberen Schichten

– tagsüber geringere Erwärmung, da Oberfläche ständig gekühlt wird

– nachts weniger Abkühlung, da wärmeres Wasser an die Oberfläche steigt

• Stadt-Land-Unterschiede in Aerosolgehalt, Oberflächenrauigkeit, anthropogenerWärmeeintrag (→ Stadt mehrere Grad wärmer)

11

5 TEMPERATUR cc-by-nc-sa Daniel Edler

5.3 Vertikales Temperaturprofil

charakteristische Punkte:

• Tagesgang in der unteren Grenzschicht

• mittlere Gradient: −0, 65 K100m

• bei Inversionen: Gradient positiver

• Tropopause (bis dort Troposphäre, darüber Stratosphäre)

• Isothermie in Stratosphäre

• starke Inversion in oberer Stratosphäre (Erwärmung durch UV-Absorption inOzon-Schicht)

Wie gibt der Erdboden die Wärmeänderungen an die Atmosphäre weiter?

• Strahlung (kann meist vernachlässigt werden, da Strahlungsabsorption außen anWolken gering)

• molekulare Wäremeleitung: nur in den untersten mm bis cm wichtig (Energief-lussdichten nur bei sehr starken vertikalen Gradienten)

• Turbulenz → wichtigster Transportmechanismus in der Grenzschichtzwei Arten:

– mechanische Turbulenz (Reibung der Luft am Boden)

– thermisch induzierte Turbulenz (Konvektion)

Energietransporte finden generell entgegen dem Temperaturgradienten statt

5.4 Temperaturmessung

Messprinzipien:

• Ausdehnung von Flüssigkeiten oder Festkörpern

• Strahlung (z.B. Satelliten messen Infrarotstrahlung der Erde)

• Schallgeschwindigkeit (z.B. Ultraanemometern)

• Widerstandsänderung (z.B. Metalldrähte, Halbleiter)

• Kapazitätsänderungen (z.B. Radiosonden)

5.4.1 Thermische Ausdehnung

Formel für Volumenausdehnung: V (T1) = V (T0)(1 + β(T1 − T0))β - Volumenausdehnungskoeffizient: z.B. βQuecksilber = 0, 181 · 10−3 1

k

12

5 TEMPERATUR cc-by-nc-sa Daniel Edler

5.4.2 Widerstandsänderung

Beispiel: Pt 100 Widerstandsänderung mit der Temperatur

α = 1R0

dRdt

;R0 = R(T = 0C) = 100Ω;α = 3, 9 · 10−3 1k(0 − 30C) Vorteil: Linearität

zwischen T und RT = T0 +

1

αR0

(R−R0)

5.5 Messfehler

• Strahlung (z.B. Sonne, Körperwärme des Ablesers)

• Alterung (Quecksilberthermometer, Halbleiter)

• Trägheit (siehe weiter unten)

• Hysterese (Ablesefehler wegen Verharren der Anzeige durch mechanische Rei-bung)

• Parallaxe (Ablesefehler wegen Abstand zwischen Zeiger und Skala)

• Unterscheidung: Trägheit (Anzeige hinkt zeitlich hinterher); Hysteres (Anzeigehinkt mechanisch hinterher)

5.5.1 Trägheit

Einflussfaktoren:

• Wärmekapazität

• Wärmeübergang: Wäremeleitung des Mediums; Glasdicke; Belüftung

• Verhältnis Oberfläche / Volumen

zeitliche Änderung proportional zur Temperaturdifferenz

dt

dt= −α(T − Tu)⇔ T = Tu + (T0 − Tu) · e

−tτ

d.h. τ =1

a⇔ a =

1

τ

T := erste Werte; To := vorher; Tu := auf abgesenkten werten; τ := Trägheitszeit

T0 sinkt auf Tu nach τ Temperatur T angezeigt

nach einem plötzlichen Temperaturwechsel (von To →Tu) fällt nach τ die TemperaturT auf 1

eab

13

6 DRUCK cc-by-nc-sa Daniel Edler

5.5.2 Experimentelle Bestimmung

Messung eines Temperatruverlaufs nach einem Temperatursprungs von To auf Tu

ln

(T (ti)− TuTo − Tu

)= ln

(T (ti)− Tn

)− b = − ti

τ

mit: b = ln(To − Tu); ti verschiedene Zeiten

Man schätzt die Temperatur durch Messen der Zeit ab, in der die Temperaturdifferenzauf 1

eabgesunken ist.

Beispiel 5.1Thermomenter → klimatisierter Raum 20; Temperaturmessung im Freien 40; Zeit,wie lange es dauert, bis Temperatur auf 1K genau angezeigt wird τ = 300s

T − Tu = (To − Tu) · e−tτ

⇔ t = −τ ln

(T − TuTo − Tu

)= 899s ≈ 15min

6 Druck

6.1 Barometrische Höhenformel

Der Druck ist definitiert als Kraft pro Fläche. Da Luft (ein Gas ist und) kompressi-bel ist, stellt sich die Frage, welche Kraft in der Höhe z wirkt? → Gewichtskraft dergesamten Luft bis zur Höhe z

Gewicht der Gassäule: p(z) =∫z∞%(z′)g · dz′

Ableiten nach z: dp(z) = −%(z)g · dz (Hydrostatische Grundgleichung)Mit der idealen Gasgleichung für feuchte Luft: p(z) = %(z)RTv(z) gilt:

dp(z) = − gp(z)

RTv(z)dz Differentielle Form

Integrieren über z: ∫ z

z0

dp′(z)

p′(z)= −

∫ z

z0

g

RTv(z)dz′

p(z) = p(z0) exp

[− 1

R

∫ z

z0

gdz′

Tv(z′)

]Mit Tv(z) = const (isotherm) und g(z) konstant:

p(z) = p(z0) exp

[− gR

z − z0

Tv

]Integrale Form (für feuchte Luft)

Luft oberhalb der Troposphäre sehr trocken ⇒ Nährung Tv = T in der der Regelzulässig

14

6 DRUCK cc-by-nc-sa Daniel Edler

Definition 6.1 (Skalenhöhe)Die Höhe, wo 1

efacher Druck erreicht ist

H =RT

gRp(z) = p(z0) exp

[z − z0

H

]Beispiel 6.2 (Heißluftballon)mit Ti := Innentemperatur; TA := Außentemperatur

• Ballon unten offen, dort entspricht der Innendruck dem Außendruck

• Abnahme des Druckes mit der Höhe innerhalb des Ballons kleiner, da T größer

• Innendruck > Außendruck

• Ballon kann solange aufsteigen (Auftrieb), solange gilt Ti > TA

6.2 Druckreduktion auf Normal Null

• Reduktion gemäß der Barometrischen Höhenformel für eine konstante Tempera-tur

• Tm mittlere Temperatur der Schicht, berechnet sich aus Temperatur Ts an derStation und einem konstanten Temperaturgradienten Γ = 6, 5 K

km

Tm = 12(Ts + (Ts + Γ(zs − z)) = Ts + zs

zΓ

p(z = 0) = p(zs) exp

[g

R

zsTm

]Differnez p0 − p(zs) stärker von der Höhe als von der Temperatur Ts abhängig,deshalb reicht fester Zuschlag als Nährung aus: 8 m

hPa

6.3 Beispielrechnungen

Beispiel 6.3Berechnung des Drucks in 5000m bei 0; in 10000m bei -20Barometrische Höhenformel ergibt

p(5000m, 0) = 541, 9hPa

p(10000m,−20) = 262, 6hPa

Beispiel 6.4Skalenhöhe bei 10

H(−10) = 7700, 2m

15

6 DRUCK cc-by-nc-sa Daniel Edler

Beispiel 6.5Höhe, wo p = 500hPa, wenn p0 = 1013hPa und Tm = −10

p0 = p(zs) exp

[g

R

zsTm

]nach zs umstellen

ln

(p0

p(zs)

)=

gzsRTm

zs =RTmg

ln

(p0

p(zs)

)= 5436, 8m

RTmg

= 7700, 2m

6.4 Geräte und Verfahren zur Druckmessung

Flüssigkeitssäulen (Quecksilber, Wasser)

• meist Quecksilber (Hg), da es eine hohe Dichte hat, kleine Bauform

• Vakuum über der Hg - Säule

• Druck p = %Hg · g · h

• nicht von Geometrie des Barometers abhängig: nur von h

• Fehler: Temperaturfehler g = g(ϕ, z) abhängig von geographischer Breite undHöhe), kein echtes Vakuum

Dosenbarometer

• hermetisch abgeschlossene Metalldose

• p = RTv

mit v := spezifische Volumen[

m3

kg

]• Bewegung der Membrane mit p

• mechanische Übertragung auf Zeiger

• Fehler: Thermische Ausdehnung, Hyterese durch Reibung im Getriebe

Piezo-, Quartz-Barometer (Druck wird auf piezo-Kristall ⇒ Spannung Up)Siedepunktbarometer

• Wasser siedet, wenn Sättignungsdampfdruck E(T ) = Außendruck pFormel:

θs = 100, 00 + 2, 804 · 10−2(p− 1013, 25)− 1, 84 · 10−5(p− 1013, 25)2

Beispiel 6.6München, p = 950hPa, T = 5. Bei welcher Temperatur siedet das Wasser auf derZugspitze (2963m)

Tm = TMünchen + 12∆zΓ = 270K; Γ = −6, 5 K

km

pZugspitze = pMünchen · expg(zZugspitze − zMünchen)

RTn= 698hPa

ϑS = 92, 54

16

7 GEOPOTENTIAL cc-by-nc-sa Daniel Edler

Beispiel 6.7Messung mit Hg – Barometer, T=5°, vor dem Institut (pn = 1000hPa); auf dem Dach(pD = 998, 5hPa)

z − z0 = − ln(p(z)p(z0)

)RTg

= 12, 2m

7 Geopotential

7.1 Schwere(-potential)

• Erde nicht rund, sondern an den Polen abgeflacht

• Erdinneres nicht homogen

• Erde dreht sich ⇒ beschleunigtes System ⇒ Zentrifugalkraft wirkt

• Schwerebeschleunigung weist eine Breitengradabhängigkeit auf

– Breitenabhängigkeit g0 = g0(ϕ) = 9, 806 · (1− 2, 64 · 10−3 cos(2ϕ) + ...+ 5, 9 ·10−6 cos2(2ϕ))

– Höhenabhängigkeit: g = g(ϕ, z) = g0(ϕ)(

rlrl+z

)2

, rl = 6378km

7.2 Geopotential

Ep(z) = Ep(z0) = mg(z − z0) ⇒ mgz = Ep(z) Ep(z)

m= gz = Φ

Definition 7.1

Φ =

∫ z

0

g(ϕ, z)dz ≈ gz

Definition 7.2 (Isopotentialflächen)Fläche, auf der bei Verschiebung einer Masse keine Arbeit gegen das Schwerefeld derErde verrichtet werden muss.

Einheit Geopotentielles Meter, geopotentielles Dekameter (gpdm) (potentielle Energiepro Masseneinheit)

1gpm = 9, 80m2

s2

Definition 7.3Geopotentielle Höhe Z = Φ

g0≈ g(ϕ,z)

g0z, g0 = 9, 80m2

s2; Normalschwere bei 38°

Bei Antrieben einer Masse um die gleiche geopotentielle Höhe wird immer die gleicheArbeit gegen das Schwerefeld der Erde geleistet.

17

8 FEUCHTE cc-by-nc-sa Daniel Edler

7.2.1 Druckkarten

• übliche Angabe für die horizontale Druckverteliung: geopotentielle Höhe einerDruckfläche (gpdm) (Nebenbemerkung: weil es eine kurze Angabe ist)

• “Absolute Topographie“. Höhe über z = 0

• Tief: niedrige Höhe der Druckfläche (niedriegen Druck bei gleicher Höhe)

• Hoch: große Höhe der Druckfläche

8 Feuchte

8.1 Sättigung

Definition 8.1Bei Sättigung hat die Luft die maximal mögliche Menge an Wasserdampf aufgenommen

• Untersättigung: Mehr abgeben als aufnehmen

• Sättigung: (chemisches) Gleichgewicht

• Übersättigung: weniger abgeben als aufnhemen

8.1.1 Sättigungsdampfdruck

Definition 8.2 (Sättigungsdampfdruck)

a) Partialdruck des Wasserdampfes (p1), bei der mein Gleichgewicht zwischen flüs-siger und gasförmiger Phase herrscht

b) Partialdruck des Wasserdampfes, der sich einstellen würde, wenn die Luft gesät-tigt ist

• ist nur von der Temperatur abhängig

• ist eine Stoffeigenschaft

• unabhängig von anderen im Gemsich vorhandenen Gasen

8.1.2 Magnusformel (empirisch)

p21(ϑ) = 6, 11hPa · exp

[17, 1 · ϑ

235 + ϑ

]mit: ϑ in ; p21(ϑ) in hPa

Umkehrung: Temperatur für bestimmten Sättigungsdampfdruck

ϑ =235 ln p21 − 425

18, 9− ln p1

18

8 FEUCHTE cc-by-nc-sa Daniel Edler

Manch markante Punkte

ϑ in p12(ϑ) in hPa

-10 2,850 6,1110 12,320 23,4

Faustregel: (nur zum Überschlagen)6,11 hPa bei 0, Verdoppelung bzw. Halbierung je 10 Zunahme bzw. Abnahme

Sättigungsdampfdruck über ebener Wasserfläche betrachtet: Krümmung verändertAustrittsarbeit (wichtig bei Tropfen)

8.2 Feuchtemaße

Definition 8.3 (spezifische Feuchte)

m1 =M1

M(8.1)

Definition 8.4 (Mischungsverhältnis)

r =M1

M0(8.2)

Definition 8.5 (Partialdruck des Wasserdampfes)

p = %TvR0

Tv = T

(1−m1

(1− R1

R0

))p1

p=

m1

R0

R1 +m1(1− R0

R1 )

R1

R0≈ 1, 61;m1klein

p1 = p ·m1R1

R0= 1, 61 · p ·m1 (8.3)

Beispiel 8.6Spezifische Feuchte bei Sättigung (p = 1000hPa, ϑ = 30)p21(ϑ) = 42, 5hPa

m1 =p1

1, 61p

Sättigung=

p21

1, 61p= 26, 4

g

kg

Definition 8.7 (Taupunkt τ)Temperatur, bei der der Sättigungsdampfdruck p21 gleich dem aktuellen Partialdruckdes Wasserdampfes p1 ist

p1 = p21(τ) (8.4)

19

9 MESSGERÄTE UND MESSVERFAHREN cc-by-nc-sa Daniel Edler

Berechnung durch Umkehrung der Magnusformel: Setzt man den Taupunkt in die Ma-gnusformel ein, so erhält man den aktuellen Partialdruck des Wasserdampfes.

Beispiel 8.8Taupunkt bei p1 = 20 hPa

τ =235 · ln p1 − 425

18, 9− ln p1= 17, 47

Definition 8.9 (Relative Feuchte)Verhältnis von Partialdruck zum Sättigungsdampfdruck

U =p1

p21(8.5)

Beispiel 8.10relative Feuchte für ϑ = 6°C, τ = 4°C

p21(6) = 9, 36hPa

p1 = p21(4) = 8, 14hPa

⇒ U =p1

p21= 0, 87→ 87%

Merke: Bei Umrechnungen zwischen den verschiedenen Feuchtemaßen ist es zweckmäßigstets über den Partialdruck des Wasserdampfes zu gehen

8.2.1 Übersicht Feuchtemaße

Absolute Feuchtemaße

• Partialdruck p1

• Mischungsverhältnis r

• spezifische Feuchte m1

• absolute Feuchte a = %1 = M1

V

Relative Feuchtemaße

• relative Feuchte U

• Taupunkt τ

9 Messgeräte und Messverfahren

9.1 Taubildung an kalten Flächen

Temperatur der Fläche ist kälter als Taupunkt → Wasser

20

9 MESSGERÄTE UND MESSVERFAHREN cc-by-nc-sa Daniel Edler

Beispiel 9.1Beschlagen der Brille, Vereisen der Autoscheiben

• Taupunktspiegel: direkte Messung des Taupunktes

– Beschlag an einer verspiegelten Flächen

– Luft wird über Kühlelement abgekühlt, bis sich Tau bildet (bzw. Wasserkondensiert)

– Beschlag, wenn Tspiegel ≤ τ

– Spiegel wird gekühlt, wenn kein Beschlag vorhanden

– Spiegel wird nicht gekählt, wenn Beschlag vorhanden

– Temperatur des Spiegels kann über Thermometer festgestellt werden TSpiegel ≈τ

9.2 Haarhygrometer

• Längenänderung eines Haares bei Aufnahme von Feuchte

• Zusammenhang zwischen Längenänderung und relativer Feuchte über Tabellenbestimmbar

– indirekte Messung

9.3 Psychrometer

Prinzip: Messung der Abkühlung durch Verdunstung

• 1 trockenes und 1 feuchtes Thermometer

• trockenes Thermometer zeigt Trockentemperatur TL ( ˆ= Lufttemperatur)

• feuchtes Thermomenter zeigt Feuchtetemperatur Tf ≤ TL

• genaue Rechnung über Psychrometerformel

• Nährung: Sprung’sche Formel

p1 = p21(Tf )− pTL − Tf

c

Mit: c = 1515K, p = Luftdruck; p21 = Sättigungsdampfdruck

Beispiel 9.2Aspirations-Psychrometer nach Aßmann

9.3.1 Messung durch Absorption

• Wassermoleküle absorbieren Strahlung in bestimmten Spektralbereichen

21

9 MESSGERÄTE UND MESSVERFAHREN cc-by-nc-sa Daniel Edler

• Laser oder Mikrowellen, mit Wellenlänge im Absorptionsbereich von H2O, wirdbeim Druchgang durch feuchte Luft abgeschwächt

• Abschwächung ist proportional zur Wasserdampfdichte

– direkte Messung

9.4 Variation der Feuchte

Ausgangssituation: Sommertag (Strahlungstag)

9.4.1 Dampfdruck

• Minimum am frühen Morgen → Taubildung am Boden “entzieht” Wasser

• vormittags Anstieg des Taupunktes wegen Erwärmung durch die Sonne → Ver-dunstung des Taus, Anstieg des Wasserdampfdrucks

• ab mittag Abnahme des Wasserdampfdrucks in Bodennähe → starke Druchmi-schung der Grenzschicht (Turbulenz)

• Maximum am Abend → Turbulenz und Durchmischung lassen nach

Im Winter nur ein Maximum (weniger thermische Turbulenz)

9.4.2 relative Feuchte

• Temperatur bestimmt Sättigungsdampfdruck

• Taupunkt bestimmt den Dampfdruck

• relative Feuchte durch Differnez von T − τ bestimmt (→ auf Niederschlag oderWolken schließen?)

9.4.3 Horizontale Variabilität

maßgeblich bestimmt durch die Synoptik

22

10 KOMMENTARE ZU AUFGABEN cc-by-nc-sa Daniel Edler

9.4.4 Vertikale Variabilität

• vertikale Abnahme der absoluten Feuchte (wegen sinkender Temperatur)

• Troopopause oder Stratosphäre extrem trocken ( U ≤ 3%)

• Hebung feuchter Luft: Temperatur sinkt stärker als der Taupunkt (spezifischeFeuchte bleibt konstant), relative Feuchte steigt bis Kondensation einsetzt →Wolken (HKN) (Hebungs-Kondensations-?Niveau?)

9.5 Beispielrechnungen

Beispiel 9.3Raum 10m x 5m x 2,5m; U = 60%; T = 20; p = 1000hPaDort befidet sich eine Flasche gefüllt mit 0,5l Wasser, die umkippt. Das Wasser ver-dunstet vollständig. Gesucht: Uneu bei T = const

p21(20) = 23, 4hPa

p1 = 14, 04hPa

∆p1 = ∆%1 ·R1 · T =M1

VR1 · T = 5, 42hPa

Uneu =p1 + ∆p1

p21= 83%

10 Kommentare zu Aufgaben

10.1 zu Aufgabe 2-2

Masseflüsse ein: Niederschlag, Staub, C-bindung von PflanzenMasseflüsse aus: Ablflüsse, Gletscher, Erosion , Verdunstung, Transpiration

Energieflüsse ein: Strahlung, durch Masseflüsse, Advektion, Reibung durch WindEnergieflüsse aus: Flüsse, Gletscher, Verdunstung, Transpiration, Turbulenz

Impulsflüsse ein: Gletscher, Wind, Schwerewellen

10.2 zu Aufgabe 2-3

min Abstand des Mondes von der Sonne

10.3 zu Aufgabe 3-3

r = m1

1−m1 ⇔ m1 = r1+r⇒ m1 = 9, 9 g

kg= 9, 9 · 106ppb

23

11 SONSTIGES cc-by-nc-sa Daniel Edler

10.4 zu Aufgabe 4-4

nur wenn wirklich mit Wasser versetzt R1

R0= 1, 61

R = R0(1 + 0, 611m1) = 294 JkgK

, 287, 1 JkgK

10.5 zu Aufgabe 4-2

pHe = p− pO2 = 9789hPa%i = mi%

pi = %iRiTmHe = %He

%= 0, 86

10.6 zu Aufgabe 5-1

v1 = 482, 05ms;T2 = 2T1; v2 =√

3k·2·T1mO2

=√

2v1

10.7 zu Aufgabe ?-3

δz = RgTm ln(500

750)

für Tm = 0→ ∆z = 3238mfür Tm = −20→ ∆z = 3001m

10.8 zu Aufgabe 8-2

m1 = p1

1,61p[ gkg

]

11 sonstiges

• Klausur am 02.02.2010, 8:30-10:00; Dauer 90min bestehend aus Rechen- undVerständnisteil; Nachnamen von A bis H schreiben im Hermann-Windel-Hörsaal

• 60% Übung; 65% Anwesenheit

24