Fachbereich Mathematik und InformatikPhilipps-Universität Marburg

ANALYSE FONCTIONNELLE

Claude Portenier

Semestre d�hiver 2003/2004et

semestre d�été 2004

Version du 30 mars 2005

TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES MATIÈRES iii

INDEX xi

BIBLIOGRAPHIE xiii

1 ESPACES DE HILBERT 1

1.1 Formes sesquilinéaires et produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Formules de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Théorème de la projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Théorème de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Les théorèmes de Stampacchia et Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7 Les espaces de Sobolev sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Problèmes aux limites sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9 Sommes hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.11 Le procédé d�orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 41

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE iii

TABLE DES MATIÈRES

1.12 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.13 Caractérisation des polynômes classiques orthogonaux . . . . . . . . . . . 47

Polynômes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Polynômes d�Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Polynômes de Jacobi spéciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.14 Les équations différentielles associées aux polynômes classiques . . . . . . 63

L�équation différentielle de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

L�équation différentielle de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

L�équation différentielle d�Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Les polynômes classiques exceptionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.15 Les bases hilbertiennes de polynômes classiques . . . . . . . . . . . . . . 76

Les fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.16 La notion d�espace-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2 ESPACES LOCALEMENT CONVEXES 85

2.1 Semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.2 Espaces polynormés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.3 Espaces localement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.4 Produit de deux espaces localement convexes . . . . . . . . . . . . . . 100

2.5 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.6 Sommabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.7 Espaces de dimension Þnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.8 Espaces quotients et sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.9 Théorème de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.10 Espaces localement convexes Þnals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.11 Espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.12 Le théorème de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

iv ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

TABLE DES MATIÈRES

2.13 Espaces tonnelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.14 Produit tensoriel topologique inductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.15 Produit tensoriel d�espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3 SEMI-DUALITÉ 135

3.1 Espaces d�applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.2 Espaces normés d�applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.3 Opérateurs à noyaux dans Cb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.4 Dualité et semi-dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.5 Applications linéaires de rang Þni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.6 Théorème de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.7 Continuité faible et adjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.8 Dualité dans les espaces normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.9 Dualité de Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.10 Polarité et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.11 La topologie de Mackey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.12 Intégration vectorielle faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.13 Formes sesquilinéaires, applications linéaires et produits tensoriels . . . . 197

3.14 Les théorèmes du graphe fermé et d�isomorphie . . . . . . . . . . . . . 202

3.15 Quelques applications du théorème du graphe fermé . . . . . . . . . . . 207

3.16 La topologie forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Les topologies de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.17 Les opérateurs dans un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3.18 Les opérateurs intégraux de Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 217

3.19 Les opérateurs intégraux faiblement singuliers . . . . . . . . . . . . . . 220

3.20 Les opérateurs intégraux généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

3.21 La matrice d�un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

3.22 Le formalisme de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE v

TABLE DES MATIÈRES

4 ESPACES DE DISTRIBUTIONS 231

4.1 Une manière d�interpréter la notion de dualité . . . . . . . . . . . . . . 232

Exemple physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Exemple économique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.2 Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées . . . . . . . . . . 235

4.3 Les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

4.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4.5 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

4.6 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.7 Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

4.8 Opérations et leurs liaisons dans D (Rn)0 et S (Rn)0 . . . . . . . . . . . 262

4.9 Transformation de Fourier dans S (Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

4.10 Transformation de Fourier dans S (Rn)0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

4.11 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

4.12 Convolution des fonctions et des distributions . . . . . . . . . . . . . . 280

5 SOUS-ESPACES HILBERTIENS 291

5.1 Le noyau d�un sous-espace-hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

5.2 Exemples élémentaires de sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . 295

5.3 Caractérisation d�un sous-espace hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . 297

5.4 Image d�un sous-espace hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5.5 Transitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5.6 Dilatation d�un sous-espace hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

5.7 Somme de deux sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

5.8 Structure d�ordre sur les sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . 308

5.9 Intersection de deux sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . 309

5.10 Somme directe de deux sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . . 310

5.11 Théorème de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

vi ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

TABLE DES MATIÈRES

5.12 Champs de carré intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

5.13 Intégration d�une famille de sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . 321

5.14 Décomposition d�un sous-espace hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . 324

5.15 Espaces de Hilbert à noyaux reproduisants . . . . . . . . . . . . . . . . 329

5.16 Sous-espaces fermés de L2 (σ) à noyaux reproduisants . . . . . . . . . . 333

5.17 Les semi-dualités bien plongées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

La semi-dualité hH+ |H− i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

La semi-dualité hH ∩G+ |H+G− i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

5.18 Les semi-dualités plongées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

6 ALGÈBRES DE BANACH ET SPECTRES 347

6.1 Algèbres normées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

6.2 Inversibilité dans une algèbre de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

6.3 Le spectre dans une algèbre de Banach unifère . . . . . . . . . . . . . . 353

6.4 Transformation de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

6.5 Théorème de Gelfand-Neumark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

6.6 Le spectre dans une sous-algèbre stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . 362

6.7 Calcul fonctionnel continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

6.8 Eléments positifs dans une algèbre stellaire . . . . . . . . . . . . . . . 369

6.9 Cas d�un élément normal non-borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

7 OPÉRATEURS NON-BORNÉS 375

7.1 Opérateurs fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

7.2 Opérateurs fermables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

7.3 Opérateurs et sous-espaces hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

7.4 L�adjoint d�un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

La semi-dualité hD (G)| H+ Gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

7.5 Opérations sur les opérateurs non-bornés . . . . . . . . . . . . . . . . 392

7.6 Opérateurs formellement normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE vii

TABLE DES MATIÈRES

7.7 Opérateurs normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

7.8 L�algèbre stellaire associée à un opérateur fermé . . . . . . . . . . . . . 401

7.9 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

7.10 Le spectre d�un opérateur (non-nécessairement borné) dans un espacede Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

7.11 Liaison entre les spectres d�un opérateur et de son adjoint . . . . . . . . 415

8 DÉCOMPOSITIONS SPECTRALES 417

8.1 Les opérateurs de multiplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

8.2 Les opérateurs de Toeplitz associés à une décomposition . . . . . . . . . 422

8.3 Les décompositions non-dégénérées et directes . . . . . . . . . . . . . . 426

8.4 Décompositions unidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

8.5 Calcul fonctionnel mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

8.6 Le théorème spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

8.7 Equations d�évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

8.8 La décomposition de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

8.9 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

APPENDICE 1 TOPOLOGIE 459

1.1 Ensembles ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

1.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

1.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

1.4 Espaces topologiques séparés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

1.5 Parties et espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

APPENDICE 2 LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES 469

2.1 Relations de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

2.2 Polynômes orthogonaux classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

2.3 Polynômes de Jacobi spéciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

2.4 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

viii ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

TABLE DES MATIÈRES

2.5 Polynômes de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

2.6 Polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

2.7 Polynômes de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

2.8 Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

2.9 Polynômes de Tchebycheff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

2.10 Polynômes de Gegenbauer ou ultrasphériques . . . . . . . . . . . . . . 487

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE ix

INDEX

Version du 30 octobre 2004

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE xi

INDEX

1a,b : fonction caractéristique signée, 23A⊥ : ensemble orthogonal, 180A◦ : ensemble polaire, 180A⊥ : ensemble orthogonal, 12Aa : ensemble polaire absolu, 180AC (J) : fonctions absolument conti-

nues, 24AC(m) (J) : fonctions absolument conti-

nues d�ordre m, 26BP (ϕ, rP ) : boule fermée, 91¡zk

¢: coefficient binomial, 48

h·| : vecteur bra, forme linéaire, 145h·|·i : �bracket� de semi-dualité, 17co (A) : enveloppe convexe de A, 177cs (A) : enveloppe convexe absolument

symétrique de A, 177cof : ensemble dual de f , 176C (X) : espace des fonctions continues,

97C(∞) (X) : espace des fonctions indéÞni-

ment dérivables, 97C(m),b

¡X¢: espace des fonctions k-fois

dérivables dont toutes les dérivéessont continues bornées sur X , 264

Cb (X) , C0 (X) : espace des fonctionscontinues bornées, resp. tendant vers0 à l�inÞni, 93

C(∞)temp (Rn) : espace des fonctions indéÞ-niment dérivables tempérées, 262

∨· : symétrie centrale, 260DA : transformation d�une distribution

par A ∈ GL (Rn), 258DP (ϕ, rP ) : boule ouverte, 91Dh : dilatation d�une distribution, 260∆/ : opérateur de Laplace modiÞé, 268hF,Gi : dualité, 145hF |F 0i : semi-dualité associée à une in-

volution, 147hF |Gi : semi-dualité, 145h·, ·iF : forme bilinéaire de dualité, 145h·|·iF � : forme sesquilinéaire de semi-

dualité, 145h·|·iF : forme sesquilinéaire de semi-

dualité, 145D (X) : espace des fonctions indéÞni-

ment dérivables à support compact,116

D (X)0 : espace des distributions, 239H =

R bH dσ : décomposition d�un sous-espace hilbertien, 324

H =R ⊕ bH dσ : décomposition directe

d�un sous-espace hilbertien, 427E (X) : = C(∞) (X), 97F/H : espace vectoriel quotient, 111F ∗ , F 0 , F~ , F �, 138F �β : semi-dual fort, 169

F �β : semi-dual fort d�un espace normé,140

Fσ : espace localement convexe muni dela topologie faible, 146³

F �β

´�: bidual d�un espace normé, 169

F : transformation de Fourier, 266, 2721F1 (a; b; z) : fonction hypergéométrique

conßuente de Kummer, 66f◦ : conjuguée ou transformée de

Legendre-Fenchel de f , 174f∞ : fonction prolongée par ∞ hors du

domaine de déÞnition de f , 89fh : fonctionnelle positivement homo-

gène associée à f , 173F (a, b; c; z) , 2F1 (a, b, c; z) : fonction

hypergéométrique ou de Gauß, 65G(γ)k : polynômes de Gegenbauer, 61

G(p,q)k : polynômes hypergeométriques,66

Hk : polynômes d�Hermite, 47Hilb

¡F �¢: conoïde des sous-espaces hil-

bertiens de F �, 292H(m) (J) : espace de Sobolev d�ordre m,

26H(m) (X) : espace de Sobolev d�ordre

m ∈ N sur un ouvert de Rn, 279H(s) (X) : espace de Sobolev d�ordre s ∈

R sur Rn, 277H(1)0 (J) : espace de Sobolev, 30

xii ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

INDEX

hk : fonctions d�Hermite, 70Vj∈J qj : inÞmum sous-linéaire, 89

hidi : = 1+|id|2, 87¦ : involution, 147@ : sous-espace vectoriel fermé, 9Jν (s) : fonctions de Bessel ou cylin-

driques, 69J (α,β)k : polynômes de Jacobi, 47jA : jauge de Minkowsky de A, 180K(X) : espace des fonctions à support

Þni, 116K (X) : espace des fonctions continues à

support compact, 115K(1) (J) : espace des fonctions continû-

ment dérivables à support compact,31

|·) : vecteur ket, forme semi-linéaire surun espace préhilbertien, 17

| ·i : vecteur ket, forme semi-linéaire, 17,145

L (F,G) , L (F,G) : espaces d�applica-tions linéaires, 12, 136

L(α)k : polynômes de Laguerre, 47`p (X) : = Lp (#), 92limK(J)3K→∞ , limK , 106L2 (µ, ρ) : espace des fonctions de carré

intégrable par rapport à la densité ρ,8

L2³σ, bH´ : espace de Hilbert deschamps de carré intégrable, 317

Lp (µ) : espace des fonctions de puis-sance p-ième intégrable, 93

L1mod (Rn) : espaces des fonctions à crois-sance modérée, 243

L2mod (Rn) : espace des fonctions à crois-sance quadratique modérée, 277

L1rap (Rn) : espace des fonctions à dé-croissance rapide, 282

L1len (Rn) : espace des fonctions à crois-sance lente, 243

Λ2³σ, bH´ : espace de Banach deschamps de carré intégrable, 314

C(k),decl (Rn) : espace des fonctions k-foiscontinûment dérivables déclinantes,282

Lb (F,G) : espace des opérateurs bornés,140

lim−→

(Fj, Tj) : espace localement convexe

Þnal, 114M (a, b; z) : fonction hypergéométrique

conßuente de Kummer, 66Mα : opérateur de multiplication, 419Mκ,µ : fonction de Whittaker, 67Mg : multiplication d�une distribution

par une fonction indéÞniment déri-vable, 251

M (X) : espace des intégrales de Radon,152

Mmod (Rn) : espace des integrales de Ra-don à croissance modérée, 243

Mrap (Rn) : espace des intégrales de Ra-don à décroissance rapide, 282

MP+ (X) : ensemble des intégrales de Ra-don dont tous les moments sont Þnis,43

||·|| : norme d�un opérateur, 12, 140||·|| : norme d�une forme (semi-) linéaire,

17, 140||·|| : norme d�une forme sesquilinéaire,

17||·||2,µ,ρ : norme de L2 (µ, ρ), 8||·||2,µ : norme de L2 (µ), 5||·||p,q : norme d�une application linéaire,

136||·||p : norme d�une forme (semi-) li-

néaire, 146⊥ : relation d�orthogonalité, 12(·|·)µ : produit scalaire de L2 (µ), 5PGξ : projection de ξ sur G, 13Pk : polynômes de Legendre , 59(z)k : symbole de Pochhammer, 48[p] : semi-norme quotient, 111P : espace des polynômes, 43maxP , supP : semi-normes, 87p×s q : semi-norme produit, 87pK,k , qK,α : semi-normes sur C(∞) (X),

87, 97pk , qk : semi-normes sur S (Rn), 87, 97¢ : somme directe orthogonale ou hil-

bertienne, 15, 37suppµ : support d�une intégrale, 8slA , snA : fonctionnelles duale de A, 176S (Rn) : espace de Schwartz, 88, 97S (Rn)0 : espace des distributions tempé-

rées, 242

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE xiii

INDEX

S (Rn)0rap : espace des distributions à dé-croissance rapide, 287

σ (F,G) : topologie faible associée àhF |Gi, 146

top⊕j∈J

: somme directe topologique, 117

T ∗ : adjoint d�un opérateur dans un es-pace de Hilbert, 213

T � : application adjointe, 165Tk , Uk : polynômes de Tchebycheff, 59Ty : translation d�une distribution, 254on , CB , ⊗ : applications tensorielles

canoniques, 127hF |·i|Gi : produit tensoriel topologique

inductif semi-linéaire à gauche, 127hϕ|·|γi : tenseur élémentaire semi-

linéaire à gauche, 127TF , TP : topologie d�un espace locale-

ment convexe, 96τ (F,G) : topologie de Mackey, 186ϕ⊗ γ : tenseur élémentaire, 127|F i π hG | : produit tensoriel topologique

inductif semi-linéaire à droite, 131|F i i hG | : produit tensoriel topologique

inductif semi-linéaire à droite, 127|γi hµ | : application linéaire de rang 1,

157|ϕi hγ | : tenseur élémentaire semi-

linéaire à droite, 127Wκ,µ : fonction de Whittaker, 67Zα : opérateur de Toeplitz dans une dé-

composition, 422Zα : opérateur de multiplication dans

une décomposition directe, 434

absoluensemble polaire �, 180fonction localement �ment continue,24fonctionnelle �ment homogène, 3, 86partie �ment symétrique, 177série �ment convergente, 104valeur �e d�une intégrale de Radon,152

adjoignableopérateur �, 396

adjointadmettre une �e, 165application �e, 165

formel, opérateur �, 385algèbreinvolutive, 360normée, de Banach, unifère, 348stellaire, 360stellaire d�un opérateur, 402

algébriqueapplication adjointe �, 165dual, semi-dual �, 138

analytiquefonction �, 353

annihilationopérateur d��, 70

applicationadjointe (algébrique, formelle), 165canonique

d�un espace quotient, 111du produit tensoriel, 127

de Parseval, 299linéaire adjoignable, 396linéaire bornée, 12linéaire, bilinéaire, sesquilinéaire, 2sesquilinéaire bornée, 17

auto-adjointapplication linéaire, opérateur essen-tiellement �, 398application linéaire, opérateur formel-lement �, 396élément � d�une algèbre involutive,360formellement �, 247

Bairethéorème de �, 123

Banachalgèbre de �, 348théorème de � -Steinhaus, 138, 141théorème de Hahn- �, 163

basecanonique de K(X), 116hilbertienne, 38

Bergmannoyau de �, 335

Bernsteinpolynômes de �, 45

Besseléquation différentielle de �, 69inégalité de �, 35, 38

bidual, 169

xiv ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

INDEX

bilinéaire, 2binomialcoefficient � généralisé, 48

biorthogonal, 148Bochnerthéorème de �, 268

bornéapplication linéaire �e, 12application sesquilinéaire �e, 17intégrale de Radon �e, 238opérateur �, 140, 377partie �e, 137topologie de la convergence �e, 140

boulefermée, ouverte, 91

bravecteur �, 126, 146

calculfonctionnel continu, 364, 365fonctionnel mesurable, 439fonctionnel mesurable borné, 428

canoniqueapplication �

d�un espace quotient, 111du produit tensoriel, 127

base � de K(X), 116Cantorensemble de �, 237

caractère, 356hermitien, 361

caractéristiquefonction � signée, 23

Cauchycritère de �, 104, 107suite de �, 104

chaleuréquation de la �, 442

champ, 314classiquesolution �, 31solution semi- �, 31

coefficientbinomial généralisé, 48

coercitifforme sesquilinéaire �ve, 20

commençantesection �, 5

compact

distribution à support �, 288topologie de la convergence �e (detoutes les dérivées), 97

compatibleavec une semi-dualité, 151

completséquentiellement, semi- �, 104

complété, 169complexeintégrale de Radon �, 152

conßuenteéquation différentielle, série hypergéo-métrique �, 66

conjuguéfonction �e, 175intégrale de Radon �e, 153

continufonction localement absolument �e,24spectre �, 412

convergencetopolgie de la � compacte de toutesles dérivées, 97topologie de la � bornée, 140topologie de la � simple, compacte,97

convergentsérie (absolument, normalement) �e,104

convexe, 173espace localement �, 96uniformément �, 15

convolutiond�une intégrale de Radon à décrois-sance rapide et d�une distributiontempérée, 284de deux fonctions, 280

créationopérateur de �, 70

critèrede Cauchy, de Weierstraß, 104, 107

croissancefonction à � lente, 243fonction à � quadratique modérée,277intégrale, fonction à � modérée, 243

cylindriquefonction �, 69

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE xv

INDEX

déclinantefonction �, 88

décompositiond�un sous-espace-hilbertien, 324d�un vecteur, 325directe, 427hilbertienne, 36non-dégénérée, 426

décroissancedistribution à � rapide, 287fonction à � rapide, 88intégrale de Radon à � rapide, 282

dénombrableespace localement convexe de type �,41

denseséquentiellement �, 104

dérivéed�une distribution, 246

diagonalisableopérateur �, 438

diagonalisationd�un opérateur, 438

différentielopérateur �, 404

dilatéfonction �e, 258fonction, distribution �e, 260

Diracdistribution de �, 242fonction de �, 248formalisme de �, 126suite de �, 245

directproduit �, 100somme �e (externe), 116

directedécomposition �, 427

Dirichletopérateur de �, 408

distribution, 239à décroissance rapide, 287à support compact, 288de Dirac, 242dérivée partielle d�une �, 246dilatée, 260espace de �s, 263produit d�une fonction et d�une distri-bution, 251

symétrique, 260temperée, 242translatée, 255

domained�un opérateur, 376essentiel d�un opérateur, 378

dualalgébrique, topologique, faible, 138bi�, 169ensemble �, 176fonctionnelle �e, 176fort, 17, 140

dualité, 145formules de �, 339

Dunfordthéorème de Gelfand- �, 194

égalitéde Parseval, 35, 38du parallélogramme, 10

élémentairesolution �, 411tenseur �, 127

ensembledual, 176orthogonal, 12polaire, polaire absolu, orthogonal,180

entièresérie �, 353

énumérationd�un ensemble, 5

équationd�évolution, 441de la chaleur, 442de Schrödinger, 454intégrale de Volterra, 352

équation différentielled�Hermite, 69de Bessel, 69de Jacobi, 65de Laguerre, 66de type hypergéométrique, 49de Whittaker, 67hypergéométrique conßuente, 66

équicontinupartie �e, 212

équivalentespaces polynormés �s, 96

xvi ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

INDEX

espace�s polynormés équivalents, 96de distributions, 263de Fréchet, 119de Schwartz, 88, 97localement convexe, 96

Þnal, 114intersection, 102quotient, 111tonnelé, 125

polynormé, 91préhilbertien, de Hilbert, 7semi-normé, normé, 86

essentielapplication linéaire, opérateur �lement auto-adjoint, normal, 398domaine � d�un opérateur, 378

évaluationforme linéaire d��, 86

évolutionéquation d��, 441

faibleintégrale �, 189solution �, 31topologie �, 146topologie, dual, semi-dual �, 138

Fenchelthéorème de �, 234transformation de Legendre- �, 175

fermableapplication linéaire �, 381opérateur �, 378

ferméboule �e, 91opérateur �, 376

fermetured�un opérateur, 378d�une application linéaire, 381

Þnalespace localement convexe �, 114

Þniapplication linéaire de rang �, 156

fonction� -noyau, 329�s d�Hermite, 70�s de Whittaker, 67à croissance moderée, lente, 243à décroissance rapide, déclinante, 88

analytique, 353caractéristique signée, 23conjuguée, 175de Bessel, 69de Dirac, 248de Heaviside, 238de type positif, 268, 330dilatée, 258généralisée, 236, 239localement absolument continue, 24symétrique, 260translatée, 254

fonctionnelcalcul � continu, 364, 365calcul � mesurable, 439calcul � mesurable borné, 428

fonctionnelleduale, 176sous-linéaire, positivement homogène,sous-additive, absolument homogène,séparante, 86

formalismede Dirac, 126

formebilinéaire, sesquilinéaire, 2sous-linéaire, 86

formelapplication adjointe �le, 165application linéaire, opérateur �lement auto-adjoint, normal, 396

formule�s de dualité, 339�s de polarisation, 10de Leibniz, 252de Rodrigues, 48

fortdual �, 140semi-dual �, 17topologie �e, 210

Fouriertransformée de � d�une distributiontempérée, 272transformée de � d�une mesure bor-née, 266

Fréchetespace de �, 119

Fredholmopérateur de �, 142

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE xvii

INDEX

Gaußsérie (hypergéométrique) de �, 65

Gegenbauerpolynômes de �, 61

Gelfandthéorème de �, 356théorème de � -Dunford, 194théorème de � -Mazur, 355transformée de �, 358triple de �, 380

Gram-Schmidtprocédé d�orthogonalisation de �, 41

graphenorme en �, 376sur�, 173théorème du � fermé, 202

Greennoyau de �, 410opérateur de �, 408

Hahnthéorème de � -Banach, 163

harmoniqueoscillateur �, 70

Hausdorffintégrale de �, 237

Heavisidefonction de �, 238

Hermiteéquation différentielle,fonctions d��,69polynômes de �, 47, 58

hermitiencaractère �, 361forme sesquilinéaire �ne, 2noyau �, 293

Hilbertespace de �, 7transformation de �, 288

hilbertienbase �ne, 38décomposition, somme �ne, 36sous-espace �, 292

décomposition d�un �, 324sous-espace � pivot, 340

Hölderinégalité de � abstraite, 17, 146inégalité de � généralisée, 281

homogène

fonctionnelle positivement, absolu-ment �, 3, 86problème aux limites �s, 31

hypergéométriqueéquation différentielle de type �, 49série �, 65équation différentielle, série �conßuente, 66polynômes �s, 66

idéalmaximal, 356

imaginairepartie � d�une intégrale de Radon,153

impulsionopérateur d��, 405

inductifproduit tensoriel topologique �, 127

inégalitéde Bessel, 35, 38de Hölder abstraite, 17, 146de Hölder généralisée, 281de Poincaré, 30de Sobolev, 27

inhomogèneproblème aux limites �s, 33

intégrable(au sens de Pettis), 191scalairement �, 189

intégralopérateur �, 142

intégralede Radon à croissance moderée, 242de Radon bornée, 238de Radon pivot, 236de Radon positive, réelle, complexe,conjuguée, 152faible, 189spectrale, 364, 365

intégrationpar parties, 25, 27

intersectionde deux espaces localement convexes,102

inversed�un opérateur, 392

inversibleopérateur �, 392, 412

xviii ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

INDEX

involutifalgèbre �ve, 360

involution, 147, 360isométrie, 109isomorphe, 109isomorphiethéorème d��, 202

Jacobiéquation différentielle de �, 65polynômes de �, 47, 54

jaugede Minkowsky, 180

ketvecteur �, 17, 126, 146

Kreinthéorème de �, 193

Kummersérie (hypergéométrique conßuente)de �, 66

Laguerreéquation différentielle de �, 66polynômes de �, 47, 56

Laplaceopérateur de � modiÞé, 268

Lax-Milgramthéorème de �, 21

Lebesguelemme de Riemann- �, 270

Legendrepolynômes de �, 59transformation de � -Fenchel, 175

Leibnizformule de �, 252

lentfonction à croissance �e, 243

linéaireapplication (semi-)�, 2rétraction, 154

localfonction �ment absolument continue,24

localementespace � convexe, 96

Mackeytopologie, semi-norme de �, 186

majoration

théorème de la � uniforme, 137, 140maximalidéal �, 356

Mazurthéorème de Gelfand- �, 355

mesurablescalairement �, 189

Minkowskyjauge de �, 180

modéréfonction à croissance quadratique �e,277intégrale de Radon, fonction à crois-sance �e, 243

moment, 43moyennepropriété de �, 333

négligeablescalairement �, 189

Neumannopérateur de �, 408série de �, 350

nilpotent, 350quasi- �, 351

non-bornéopérateur, 377

non-dégénérédécomposition �e, 426forme sesquilinéaire �e, 2

normable, 97normalapplication linéaire, opérateur essen-tiellement �, 398application linéaire, opérateur formel-lement �, 397élément � d�une algèbre involutive,360série �ement convergente, 104

norme, 3, 86en graphe, 376semi- �, 3semi- � de Mackey, 186

norméalgèbre �e, 348

noyau, 142, 158, 293d�un sous-espace hilbertien, 292de Bergman, 335de Green, 410

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE xix

INDEX

fonction- �, 329hermitien, hermitien positif, 293opérateur à �, 142reproduisant, 329, 330

opérateuradjoint (formel), 385borné, 140borné, non-borné, 377de création et d�annihilation, 70de Dirichlet, de Green, de Neumann,408de Laplace modiÞé, 268de position, d�impulsion, 405de Schrödinger, 405de Toeplitz, 422diagonalisable, 438différentiel, 263, 404fermable, 378fermé, 376formellement auto-adjoint, symé-trique, 397intégral de Volterra, 351intégral, à noyau, de Fredholm, 142inversible, 392, 412somme, produit, inverse, 392

Orliczprincipe d��, 161

orthogonaléléments �aux, 12ensemble �, 12, 180procédé d��isation de Gram-Schmidt,41projection �e, 15système de polynômes �aux, 44

orthonormésystème �, 38systeme de polynomes �s, 44

orthoprojecteur, 15oscillateurharmonique, 70

ouvertboule, partie �e, 91

parallélogrammeégalité, 10

Parsevaldécomposition de �, 325égalité de �, 35, 38représentant, application de �, 299

partieréelle, imaginaire d�une intégrale deRadon, 153

Pettisintégrable au sens de �, 191

pivotintegral de Radon �, 236intégrale �, 81sous-espace hilbertien �, 340

Plancherelthéorème de �, 276

plongé, plongeablesemi-dualité bien �e, �, 339

Pochhammersymbole de �, 48

poidssous-multiplicatif, 88

Poincaréinégalité de �, 30

polaireensemble � (absolu), 180

polarisationformules de �, 10

polynômesd�Hermite, 58de Bernstein, 45de Gegenbauer, 61de Jacobi, 54de Jacobi, Laguerre, Hermite, 47de Laguerre, 56de Legendre, 59de Tchebycheff, 59hypergéométriques, 66système de �, 44

polynorméespace �, 91

pontuelspectre �, 412

positifélément � d�une algèbre stellaire, 364fonction de type �, 268, 330forme sesquilinéaire �ve, 2forme sesquilinéaire strictement �ve,20intégrale de Radon �ve, 152matrice �ve, 5noyau hermitien �, 293opérateur �, 398

position

xx ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

INDEX

opérateur de �, 405positivementfonctionnelle � homogène, 3, 86

préhilbertienespace �, 7

principed�Orlicz, 161

problèmeaux limites homogènes, 31aux limites inhomogènes, 33de régularité, 242des moments, 43

produit(direct), 100d�une fonction et d�une distribution,251de convolution de deux fonctions, 280de deux opérateurs, 392scalaire, 2tensoriel (topologique inductif), 127tensoriel (topologique projectif), 131

projectifproduit tensoriel topologique �, 131

projectionorthogonale, 15théorème de la �, 13

prolongementd�un opérateur, 378

proprevaleur, vecteur �, 412

propriété(GDF ), 194de moyenne, 333de reproduction, 330

Pythagorethéorème de �, 12

quasi-nilpotent, 351quotientespace localement convexe �, 111

rangapplication linéaire de � Þni, 156

rapidedistribution à décroissance �, 287fonction à décroissance �, 88intégrale de Radon à décroissance �,282

rayonspectral, 351

réelintégrale de Radon �le, 152partie �le d�une intégrale de Radon,153

réßexif, 169règlede substitution, 25

régularitéproblème de �, 242

représentantde Parseval, 299

reproductionpropriété de �, 330

reproduisantnoyau �, 329, 330

résiduel, 412résolvente, 354rétractionlinéaire, 154

Riemannlemme de � -Lebesgue, 270

Rieszthéorème de �, 113théorème de représentation de �, 18

Rodriguesformule de �, 48

saturé, 95scalairementintégrable, négligeable, mesurable, 189

Schrödingeréquation de �, 454opérateur de �, 405

Schwartzespace de �, 88, 97théorème de �, 311

sectioncommençante, 5

semi-norme, 3solution � -classique, 31

semi-complet, 104dual

algébrique, topologique, faible,138fort, 17

dualité, 145linéaire, 2

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE xxi

INDEX

normable, 97norme, 86

de Mackey, 186séparableespace localement convexe �, 41

séparant(semi-)dualité �e, 146fonctionnelle �e, 3, 86

séparéfonctions à variables �es, 130noyau à variables �es, 158

séquentiellementcomplet, 104dense, 104

sériede Neumann, 350entière, 353hypergéométrique conßuente ou deKummer, 66hypergéométrique ou de Gauß, 65

sesquilinéaireapplication � à gauche, à droite, 2forme � strictement positive, coerci-tive, 20

signéfonction caractéristique �, 23

simplepartie �ment bornée, 137topologie de la convergence �, 97

Sobolevespace de �, 26espace de � d�ordre entier, 279espace de � d�ordre quelconque, 277inégalité de �, 27

solutionclassique, faible, 31élémentaire, 411

sommed�une série, 104de deux opérateurs, 392de deux sous-espaces hilbertiens, 306directe (externe), 116hilbertienne, 36

sous-additivefonctionnelle �, 3, 86

sous-algèbrestellaire, 362

sous-espacehilbertien, 292

décomposition d�un �, 324sous-linéairefonctionnelle �, 86

sous-multiplicatifpoids �, 88

spectralintégrale �, 364, 365rayon �, 351valeur �e, 354, 412

spectred�un élément, 354d�un opérateur, 412d�une algèbre, 356ponctuel, continu, résiduel, 412

Stampacchiathéorème de �, 20

Steinhausthéorème de Banach- �, 138, 141

stellairealgèbre �, 360algèbre � d�un opérateur, 402sous-algèbre �, 362

Stonethéorème de �, 456théorème de � -Weierstraß, 40

strictforme sesquilinéaire �ement positive,20matrice �ement positive, 5

substitutionrègle de �, 25

suitede Cauchy, 104de Dirac, 245

supportd�une intégrale de Radon, 8

surgraphe, 173symbolede Pochhammer, 48

symétriquefonction, distribution, 260opérateur �, 397partie absolument �, 177

systèmede polynômes, 44orthonormé, 38

Tchebycheffpolynômes de �, 59

xxii ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

INDEX

tempérédistribution �e, 242fonction �e, 262

tenseur, 127tensorielproduit � (topologique inductif), 127produit � (topologique projectif), 131

testespace �, 81

théorèmede Baire, 123de Banach-Steinhaus, 138, 141de Bochner, 268de Fenchel, 234de Gelfand, 356de Gelfand-Dunford, 194de Gelfand-Mazur, 355de Hahn-Banach, 163de Krein, 193de la majoration uniforme, 137, 140de la projection, 13de Lax-Milgram, 21de Plancherel, 276de Pythagore, 12de représentation de Riesz, 18de Riesz, 113de Schwartz, 311de Stampacchia, 20de Stone, 456de Stone-Weierstraß, 40de Weierstraß, 46de Wiener, 357de Young, 280du graphe fermé, d�isomorphie, 202formule de Leibniz, 252intégration par parties, 25, 27lemme de Riemann-Lebesgue, 270règle de substitution, 25

Toeplitzopérateur de �, 422

tonneléespace localement convexe �, 125

topologieassociée, déÞnie par P , 91compatible avec une semi-dualité, 151de la convergence bornée, 140de la convergence compacte de toutesles dérivées, 97de la convergence simple, compacte, 97

de Mackey, 186faible, 138, 146forte, 210

topologiquedual, semi-dual �, 138

total, 184transformationde Hilbert, 288de Legendre-Fenchel, 175

translatédistribution �e, 255fonction �e, 254

triplede Gelfand, 380

typeespace localement convexe de � dé-nombrable, 41

ultrasphériquepolynômes �s, 61

unifèrealgèbre �, 348

uniforme�ément convexe, 15théorème de la majoration�, 137, 140

universelproblème �

pour les applications bilinéaires,126

propriété �lepour la topologie localement

convexe Þnale, 114

valeurabsolue d�une intégrale de Radon, 152propre, 412spectrale, 354, 412

variablefonctions à �s séparées, 130noyau à �s séparées, 158

vecteurbra, ket, 126, 146ket, 17propre, 412

Volterraéquation intégrale de �, 352opérateur intégral de �, 351

Weierstraßcritère de �, 104, 107

Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE xxiii

INDEX

théorème de �, 46théorème de Stone- �, 40

Whittakeréquation différentielle, fonctions de �,67

Wienerthéorème de �, 357

Youngthéorème de �, 280

xxiv ANALYSE FONCTIONNELLE Claude Portenier

BIBLIOGRAPHIE

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[14] Herbert Meschkowski, Hilbertsche Räume mit Kernfunktion, Springer, Berlin, 1962.

[15] Xavier Mary, Denis De Brucq, Stephane Canu, Sous-dualités et noyaux (reproduisants)associés, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 336 (2003), p. 949�954

[16] Yves Meyer, Ondelettes et opérateurs II : Opérateurs de Calderón-Zygmund, Hermann,1990.

[17] Claude Portenier, Cours d�Analyse, Marburg, 2004.

[18] Walter Rudin, Functional Analysis, Mc Graw Hill, 1973.

[19] Michael Reed and Barry Simon, Methods of modern mathematical physics, I : Functionalanalysis, II : Fourier analysis, self-adjointness, Academic Press, New-York, 1972/1975.

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[20] Helmut Schaefer, Topological vector spaces, MacMillan, New York, 1966.

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