Aufgaben zum LernenAufgaben zur Leistungsbeurteilung

Verständnisorientierte Mathematikaufgabenfür die Kursstufe BW

H. Buck, 2010

Verortung des ModulsAufgaben für den Unterricht – Aufgaben für die Klausur; H. Buck 2010

ZPG Kursstufe

Derzeitige Situation der ZPG Kursstufe

Derzeitiger Stand der Lehrer

Bildungsplan BW

Kriterien für einen kompetenzorientierten MU der ZPG Sek. 1

Abituraufgabensatz 2013 des RP

2 Kerncurr. Kursstufe des LS ???

Kursstufenunterricht

Inhaltliche Klärung

Didaktische Reduktion Unterrichts-

gestaltung

Aufgaben

Für den Unterricht

Für die Leistungsüberprüfung

Grundwissen sichern WADI

Kompetenzen entwickeln

Ohne Hilfsmittel Mit Hilfsmittel

Medien

Diagnose

Programm1. Ziele, Inhalt, Schwerpunkt des Moduls

2. Schülertätigkeiten: Anregungen aus dem Bildungsplan

3. Beispiele•„Begriffe erläutern“ Ein Begriff – Verschiedene Aufgabenvarianten•„Lösungen reflektieren/bewerten“ Eine Aufgabe – Verschiedene Fragestellungen.

4. Aufgaben für die Klausur

5. Verbindung zum Musteraufgabensatz 2013

Ziele des Moduls

Aufgaben• … kritisch sichten und bewerten

• … sorgfältig auswählen im Hinblick auf:- Entwicklung von math. Verständnis- Aufgaben zum Lernen- Aufgaben für die Klausur

Inhalt/Schwerpunkt des Moduls

Beschreibung der Aufgaben• Umfang: Bewusst kleine Aufgabenstellungen• Gestaltung: Schülertätigkeiten stehen im Vordergrund

Werden aus den zentralen Kompetenzen des Bildungsplans ableitet

Analyse der Aufgaben • Schülertätigkeit – Erwartete Kompetenzen• Darstellung der Aufgabe – Erwartete Darstellung

der Lösung• Eignung für den Unterricht – Eignung für die Klausur

Kenntnisse und Fertigkeiten• kann man abfragen• bestehen aus Wissen und Verfahren

Fähigkeiten und Einstellungen• kann man nicht abfragen• entwickeln / zeigen sich im Umgang mit Inhalten

FolgerungUm Fähigkeiten und Einstellungen zu fördern,muss man zum Handeln anregen / auffordern!

Schülerinnen und Schüler

Ideen aus dem Bildungsplan

„Kommunizieren“

•Überlegungen darstellen•Mathematikspezifische Beschreibungen verwenden

•Auf Einwände dialogisch eingehen, argumentieren...

Schülertätigkeiten

•Begriffe erläutern•Situationen und Vorgehensweise beschreiben, auch darstellen•Begründen

Sprache, Bilder,

Symbole, Fachsprache

verwenden

„Begründen“

•Strukturen erkennen, ...

•Vermutungenentwickeln, ....•Begründungstypen kennen, ...

Schülertätigkeiten

•Systematisieren, Struktur beschreiben, verallgemeinern, spezialisieren• Begründen, argumentieren, widerlegen

Ideen aus dem Bildungsplan

„Problemlösen“

• Lösungen reflektieren, bewerten, ...

• Hilfsmittel nutzen

• Probleme beschreiben• Problemlösetechniken,

Heurismen kennen, anwenden, ...

Schülertätigkeiten

•Lösungen reflektieren/bewerten•Hilfsmittel nutzen

•Heuristisch arbeiten

Ideen aus dem Bildungsplan

Mögliche Schülertätigkeiten

1. Begriffe erläutern2. Situationen und Vorgehensweisen beschreiben, auch darstellen3. Systematisieren, Struktur beschreiben, verallgemeinern, spezialisieren4. Begründen/argumentieren/widerlegen5. Lösungen reflektieren/bewerten6. Hilfsmittel nutzen7. Heuristisch arbeiten

Begriffe erläuternWesentliche Begriffe der Kursstufea) AnalysisDifferenzenquotient, Änderungsrate, Gesamtänderung einer Größe, rekonstruierter Bestand, 1. Ableitung, 2. Ableitung, Ableitungsfunktion, Integral, Stammfunktion, Integralfunktion, Mittelwert, Rauminhalt, Amplitude, Periode, Grenzwert, Monotonie, Verkettung, Krümmungsverhalten, …

b) Analytische GeometrieVektor, Skalarprodukt, Parametergleichung der Geraden, Parametergleichung/Normalengleichung der Ebene, Winkel, Linearkombination, ...

c) StochastikWahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte, stetige Verteilung, Erwartungswert, Ablehnungsbereich, Annahmebereich, normalverteilte Zufallsvariable, Fehler 1. Art, ...

Welche Begriffe sollte man Ihrer Meinung nach noch ergänzen?

Beispiel „Integral“Beispiel „Integral“

Unterrichtliche Situation:Die Definition des Integrals wurde exemplarisch erarbeitet, z. B.

aus einem Schulbuch:

Kenntnis

Wie ist das Integral definiert?

Definition wird vorgelegt:Erläutern Sie den Summandenh f(x∙ 1) geometrisch anhand desGraphen. Vergleichen Sie verschiedene Summandenund ihren Beitrag zur Zerlegungssumme in Worten.Welche Bedeutung hat die Grenzwertbildung?

Oder:Erläutern Sie die Zerlegungssumme anhand des Graphen.Welche Bedeutung hat die Grenzwertbildung?

Verständnis

Darstellungswechsel:Geometrisch - In eigenen Worten

Geschlossen

Offen

Verständnis

Deutung im Anwendungsbezug

Oder:Erläutern Sie den Integralbegriff anhand eines selbstgewählten Anwendungsbeispiels.

Geschwindigkeit Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs zum Zeitpunkt t. Welche Bedeutung hat

2

1

t

t

dt)t(v ?

t

v(t)

t3 t1 t2

Geschlossen

Offen

VerständnisGeschwindigkeit Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs zum Zeitpunkt t. Welche Bedeutung hat

a) 12

12

tt)t(v)t(v

b) h

)t(v)ht(vlim 22

0h

c) v‘(t3)

d) 4

3

t

tdt)t(v ?

t4

t

v(t)

t3 t1 t2

Vertikal vernetzen - Abgrenzen

Verständnis

Fehlvorstellungen aufgreifen

„Mit dem Integral berechnet man die Fläche unter der Kurve.“

Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage.

Begriffe erläutern-Mögliche Aufgabenstellungen-

•Darstellungswechsel vornehmen: Deuten Sie geometrisch.Beschreiben Sie in eigenen Worten, mithilfe von Skizzen.

•Deutung im Anwendungsbezug:Nennen Sie ein Anwendungsbeispiel im Zusammenhang mit … Umkehrung: Deuten Sie das „Anwendungsbeispiel“ als … .• Mit Beispielen arbeiten:Geben Sie jeweils ein Beispiel und ein Gegenbeispiel an.

•Fehlvorstellungen aufgreifen:Vorgabe verschiedener Darstellungen: Welche Darstellung beschreibt den Begriff, welche nicht?Verbessern/ergänzen Sie so, dass der Begriff richtig beschrieben wird.Abgrenzen zu anderen Begriffen

SchülertätigkeitenWas soll der Schüler tun?

AufgabenstellungIn welcher Form ist die

Aufgabe formuliert?

KompetenzenWelche Kompetenzen

werden gefördert?

Darstellung der LösungIn welcher Form kann/soll

der Schüler antworten?

Analyse einer Aufgabe

Im Blick

Analyse: BeispielGeschwindigkeit Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs zum Zeitpunkt t. Welche Bedeutung hat

a) 12

12

tt)t(v)t(v

b) h

)t(v)ht(vlim 22

0h

c) v‘(t3)

d) 4

3

t

tdt)t(v ?

t4

t

v(t)

t3 t1 t2

Aufgabenstellung

Bildlich, formal

Darstellung der Lösung

Bildlich, verbal

Kompetenzen• Begriffe verstehen

• Sachverhalte beschreiben• Darstellungsform wechseln

- Wählen Sie einen Begriff aus, für denSie an einer ZPG-Fortbildung verschiedene verständnisorientierte Aufgaben vorstellen möchten.

- Für welchen Begriff würden Sie die Fortbildungsteilnehmer selbst eine verständnisorientierte Aufgabe formulieren lassen?

Lösungen reflektieren/bewerten

„Das ist doch keine anspruchsvolle Aufgabenstellung!

Da steht ja schon die ganze Lösung da!“

Die ursprüngliche Aufgabe

e-Funktion-Tangente

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = IRx,e 2x25,0 . Die Tangente t in einem Kurvenpunkt P(u|f(u)) schneidet die x-Achse im Punkt A und die y-Achse im Punkt B. Gesucht ist derjenige Kurvenpunkt P, so dass das Dreieck OAB gleichschenklig ist.

1. Variante: Vollständige Lösung vorgegeben

Kompetenzen• Lösungsidee erfassen und reflektieren

• Formale Rechnung in Worten beschreiben und skizzieren• Im Kontext argumentieren

Lösung:

Die Gleichung der Tangente in P(u| 2u25,0e ) lautet:

y = -0,25 2u25,0e (x – u) + 2u25,0e yA = 0 liefert: xA = 4 + u (*)

xB = 0 liefert: yB = )4

u1(e 2u25,0 (*)

Also: 4 + u = )4

u1(e 2u25,0

, (*)

)4|45,2(Pdamit,4)u(f,45,2)4ln(48u .

Beschreiben Sie die mit (*) gekennzeichneten Schritte in Worten Fertigen Sie eine erläuternde Skizze an.

2. Variante: Lösungsansatz vorgegeben

Lösung:

Die Gleichung der Tangente in P(u| 2u25,0e ) lautet:

y = -0,25 2u25,0e (x – u) + 2u25,0e Schnittpunkt mit der x-Achse: yA = 0 liefert: xA = 4 + u Schnittpunkt mit der y-Achse: xB = 0 liefert: …..

Setzen Sie die Lösung fort.

Kompetenzen• Lösungsidee erfassen

• Geometrische Beschreibung formalisieren

Kompetenzen• Lösungen erfassen, reflektieren und vergleichen

• Lösungsideen bewerten

3. Variante: Verschiedene Lösungen vorgegeben

Lösung: 1. Möglichkeit: Die Gleichung der Tangente in P(u| 2u25,0e ) lautet:

y = -0,25 2u25,0e (x – u) + 2u25,0e Schnittpunkt mit der x-Achse: yA = 0 liefert: xA = 4 + u .....

2. Möglichkeit: Bedingung: m = f’(u) = -1

Aus f’(u) = 12u25,0e25,0 erhält man )4|45,2(Palso....,)4ln(48u . Vergleichen Sie die verschiedenen Lösungswege. Beschreiben Sie die jeweilige Lösungsidee in Worten. Bewerten Sie das jeweilige Vorgehen.

•Zentrale Lösungsidee erfassen• Lösung strukturieren• Lösungsschritte begründen• Lösungsidee anhand einer Skizze veranschaulichen•Lösungsidee in Worten beschreiben•Verschiedene Lösungswege vergleichen • Vorgehen bewerten (z.B. im Hinblick auf Allgemeingültigkeit, Genauigkeit, Eleganz, Anschaulichkeit, …)

Lösungen reflektieren/bewertenVerständnis fördern

Verständnisaufgaben sind hervorragend

für Binnendifferenzierung geeignet!

Was ich noch sagen wollte:

Weitere Schülertätigkeiten

1. TeilWählen Sie eine Schülertätigkeit aus.Lesen Sie die Beschreibung.Analysieren Sie die Aufgabe unter den AspektenSchülertätigkeit – Erwartete KompetenzenDarstellung der Aufgabe – Erwartete Darstellung der LösungErgänzen, kritisieren, .... Sie.

2. TeilGruppenbildung nach AnleitungErläutern Sie in Ihrer Gruppe kurz die Analyse der Aufgabe.

Schülertätigkeiten im Überblick

Welche Schülertätigkeiten würden Siefür Ihre ZPG-Fortbildung auswählen?

1. Begriffe erläutern2. Situationen und Vorgehensweisen beschreiben, auch darstellen3. Systematisieren, Struktur beschreiben, verallgemeinern, spezialisieren4. Begründen/argumentieren/widerlegen5. Lösungen reflektieren/bewerten6. Hilfsmittel nutzen7. Heuristisch arbeiten

Jede Klausuraufgabe kann im Unterricht eingesetzt werden, nicht unbedingt umgekehrt!

Anforderungen an Aufgaben zur Leistungsmessung•Inhalte und Kompetenzen: Beschränkung auf das Wesentliche? (keine „Ecken auskehren“)?•Aufgabentext: Verständlich und altersgerecht?•Bearbeitungsform: Klar benannt? Sind ev. verschiedene äußere Formen zulässig( bildlich, verbal, formal)?•Bearbeitungsniveau: Unterschiedlich?•Umfang/Zeitrahmen: Angemessen?

Vgl. „Binnendifferenzierung“

Aufgaben zum Lernen – Aufgaben für die Klausur

Bearbeitungsform: Nicht festgelegtVerschiedene äußere Formen zulässig( bildlich, verbal, formal)

Bearbeitungsniveau: Unterschiedlich, denkbar wäre:•In der Ebene: Bildlich; rechnerisch mit Zahlenbeispielen oder allgemein•Sonderfälle: Ausgehend von versch. Winkeln•Im Raum, …•Gegenseitige Lage der Vektoren bei festem Winkel

Beispiel als offene AufgabeSkalarprodukt Gegeben sind zwei Vektoren bunda

. Es ist 3a

und .2b

In welchem Bereich liegen die Werte des Skalarprodukts ba

?

Die offene Aufgabe erfordertverstärkte Schüleraktivitäten

im Bereich des heuristischen Arbeitens!

Mögliche Aktivitäten bei dieser Aufgabe• Zeichnen in der Ebene

• Sonderfälle bei Winkeln aufsuchen• Zu einem festen Winkel mögliche Lagen der Vektoren betrachten

• Rechnerische Betrachtungen

Kompetenzen• Begriff verstehen

• Problemlösestrategien einsetzen• Im Kontext argumentieren

Aufgabe für den Unterricht

Beispiel als KlausuraufgabeSkalarprodukt Gegeben sind zwei Vektoren bunda

in der Ebene.

Es ist 3a

und .2b

a) In welchem Bereich liegen die Werte des Skalarprodukts ba

?

b) Nehmen Sie Stellung zu besonderen Werten des Skalarprodukts und die zugehörigen Lagen von

bunda.

c) Erörtern Sie die Fragestellungen aus a) und b), wenn die Vektoren bunda

im Raum liegen.

Kompetenzen• Begriff verstehen

• Problemlösestrategien einsetzen• Im Kontext argumentieren

Bearbeitungsform:

Festgelegt: Formal

Bearbeitungsniveau:

Festgelegt: Ebene

Bearbeitungsniveau:

Festgelegt: Sonderfälle

Verbindung zum Musteraufgabensatz Abitur 2013

Musteraufgabensatz ABI 2013Analyse der vorliegenden Aufgaben zum Pflichtteil

Anforderungeninhaltsbezogen,ev. inhaltl. Reduktion

Begründen-auch ohne Rechnung-

1. Ableitung2. Stammfunktion, Integral3. Gleichungslehre4. Elemente der Kurvendiskussion

5. Funktionenkompetenz

6. LGS, Inzidenzgeometrie7. Metrische Geometrie

8. Stochastik

9. Beschreiben, Begründen(Ana, Geo, Sto)

Begriffsverständnis

Beschreiben

Lösungen reflektieren

Musteraufgabensatz ABI 2013Analyse der vorliegenden Aufgaben zum Wahlteil

Argumentieren

Analysis

Geometrie

Stochastik

Vernetzen

Inhalte: vgl. ISAM-Liste

Arbeiten mit unbekannter Formel

Begründen

Problemlösen

Beispieleaus dem Musteraufgabensatz

Abitur 2013

Aufgabe 9

Mit 3

2

2dx4)(2xV wird der Rauminhalt eines

Rotationskörpers berechnet.

Skizzieren Sie den Sachverhalt.

Um welchen Körper handelt es sich?

Schülertätigkeiten• Situation/

Vorgehensweisen beschreiben/darstellen

Kompetenzen• Begriff verstehen

• Darstellungsform wechseln• Grundwissen nutzen

Aufgabenstellung

Formal

Darstellung der Lösung

Bildlich, verbal

Schülertätigkeiten• Lösung

reflektieren/bewerten

Kompetenzen• Begriffe verstehen

• Verfahren kennen und anwenden• Im Kontext argumentieren und

begründen

Aufgabenstellung

Verbal, formal

Darstellung der Lösung

Verbal

Aufgabe 9.2

Es soll eine Gleichung einer ganzrationalen Funktion g dritten Grades ermittelt werden, welche die Extremstellen x1=-2 und x2 =2 besitzt.

Folgende Lösungsschritte werden vorgeschlagen:

(1) Ableitungsfunktion von g: g‘(x) = (x+2)(x-2) g‘(x) = x²-4

(2) Gleichung einer Stammfunktion von g‘:

g(x) = x4x31 3

a) Begründen Sie die Richtigkeit dieses Vorgehens.

b) ...