AustauschwechselwirkuAustauschwechselwirkungng und und

MagnetismusMagnetismus

Von Hundschen Regeln bis hin zum Superaustausch

Hendrik Holzapfel

Seminar SS08, 2. Physikalisches Institut RWTH AachenSeminar SS08, 2. Physikalisches Institut RWTH AachenWechselwirkung in FestkörpernWechselwirkung in Festkörpern

26.06.2008

22 2727

ÜbersichtÜbersicht

AustauschwechselwirkungAustauschwechselwirkungLokalisierte ElektronenLokalisierte Elektronen

Delokalisierte ElektronenDelokalisierte Elektronen

SpinwellenSpinwellen

Indirekter AustauschIndirekter Austausch

GrundlagenGrundlagen

BandmagnetismusBandmagnetismus

Magnetische AnregungMagnetische Anregung

Stoner-AnregungenStoner-Anregungen

SuperaustauschSuperaustausch

DoppelaustauschDoppelaustausch

RKKY-WechselwirkungRKKY-Wechselwirkung

33 2727

GrundlagenGrundlagenMakroskopische Makroskopische GrößenGrößen

i

Bi

ii

i

Lgm - magnetisches

Moment

T

eV

m

e

eB

5108.52

- Bohrsches Magneton

Mikroskopische Mikroskopische TheorieTheorie 0 dia

0 para

FerromagnetismusFerromagnetismus- spontane Magnetisierung auch ohne äußeres Feld- nicht klassisch zu erklären

HM

- äußeres magnetisches Feld

(Quelle: MMCh*)

Diamagnet (links) und Paramagnet (unten) im äußeren Feld

V

mM

- Magnetisierung

H

44 2727

Hundsche RegelnHundsche Regeln

- Maximierung der Gesamtspinzahl S

- Maximierung der Gesamtbahndrehimpulszahl L

- Kopplung von L und S zu Gesamtdrehimpuls J

i

simS

i

limL

12für

12für

lnSL

lnSLJ

- Abgeschlossene Schalen: Pauli-Prinzip

p4

1 1 2

e- ml S L J

1 0 -1

0 JSL

Beispiel: 4 Elektronen in der p-Schale

Hundsche RegelnHundsche Regeln

55 2727

Atomarer MagnetismusAtomarer Magnetismus0 dia

0 para

Larmor-Larmor-DiamagnetismusDiamagnetismus- volle Elektronenschalen, z.B. Edelgase

22

0

6 aadia rZV

N

m

e

(Quelle: WMI*)Molare diamagnetische

Suszeptibilität bei abgeschlossener Elektronenschale = Elektronen pro Atomrumpf = mittlerer quadratischer Atomradius

Langevin-ParamagnetismusLangevin-Paramagnetismus

- genaue Analyse ergibt:

T

C

Tk

n

B

M

B

eff

VTextpara

2

0

,

0

Spin- und Bahndrehimpuls der Elektronen

0 JSL

0J

aZ 2ar

- äußeres Feld induziert Kreisstrom

magnetisches Moment entgegen

(Lenzsche Regel)

H

- Atome im Grundzustand mit

B

e

BJeff JJg 1-

66 2727

Atomarer Magnetismus IIAtomarer Magnetismus IIDia- und Paramagnetismus in Dia- und Paramagnetismus in MetallenMetallen

extBzc Bkm

nE

2

2

22

1

m

Be extc

Pauli-Pauli-ParamagnetismusParamagnetismus

Bs BnnM

1exp

1)(

TkE

Ef

B

2/12/3

22

2

2E

mVED

constTk

nB

M

FB

B

extP

2

3 20

0

(Quelle: WMI*)

Fermiverteilung

- Energie freier Elektronen im Magnetfeld

Zustandsdichte

mit

- nur Spin berücksichtigt

- grobe ErwartungF

P T

T

T

C

- Fermi-Statistik; B

FF k

ET FTT

FF

B

T

T

E

Tk

77 2727

Gekoppelte MomenteGekoppelte MomenteMagnetische OrdnungMagnetische Ordnung

Ausrichtung Magn. MomenteFerromagnetismusFerromagnetismus

FerrimagnetismusFerrimagnetismus

AntiferromagnetismuAntiferromagnetismuss

AF verkipptAF verkippt(Quelle: wikipedia)

- magn. Momente parallel, z.B. Ni, Fe, Co

- Mischform, z.B. Ferrite (Fe3O4), Eisengranate

- Ausrichtung antiparallel, z.B. Oxide

- betrachte Projektion

88 2727

AustauschwechselwirkungAustauschwechselwirkungZielZiel- Erklärung: Ferromagnetismus

Lokalisierte ElektronenLokalisierte Elektronen

Delokalisierte ElektronenDelokalisierte Elektronen

- Austausch: direkt <> indirekt

Indirekter AustauschIndirekter Austausch

Spinwellen/StoneranregungenSpinwellen/Stoneranregungen

(Quelle: WMI*)

Anschaulich: Austauschwechselwirkung

99 2727

Dipol-Dipol-Dipol-Dipol-WechselwirkungWechselwirkung

rr

rrE

212213

0 3

4

Wechselwirkungsenergie zwischen zwei DipolenWechselwirkungsenergie zwischen zwei Dipolen

μeV 100 J 106,14

2 233

20

rE B

Abschätzung magnetostatischer Energie in Abschätzung magnetostatischer Energie in ParallelstellungParallelstellung

kann nicht Ursache für das Phänomen sein! Vergleich zu thermischer Energie:

Betrachte Zwei-Elektronen-System!

TkE B K 2,1

1010 2727

Heitler-London-NäherungHeitler-London-NäherungMagn. Eigenschaften eines 2-Elektronen-SystemsMagn. Eigenschaften eines 2-Elektronen-Systems

Heitler-London-NäherungHeitler-London-Näherung- schließt aus, dass beide Elektronen am selben Kern sind

)2,1(ˆ)2(ˆ)1(ˆ)2,1(ˆWWHHHH

)2()2()1()1()2,1( BABA

Berechne Erwartungswert

)2,1(|)2,1(

)2,1(|2,1ˆ|)2,1(

HE

Skizze: Wasserstoffmolekül

1111 2727

AustauschintegralAustauschintegralS

ACEE I

1 2

Austauschkonstante JAustauschkonstante J

212

S

ACSJEEE ST

Energieanteile und Energieanteile und ÜberlappÜberlapp

Überlappintegral 21** )2()1()2()1( rdrdS BBAA

110

22* )1(

42)1( rd

r

e

mE A

AAI

21

22

12120

2

)2()1(1111

4rdrd

rrrR

eC BA

BAAB

21**

21120

2

)2()1()2()1(1111

4rdrd

rrrR

eA BBAA

BAAB

Ionisierungsenergie

Coulombintegral

Austauschintegral

(Quelle: Ibach-Lüth)

Für Wasserstoffatom: J<0, antiferromagnetische Singulett-Zustand stabil

- ohne Überlapp kein Austausch- HL-Näherung nur gut, wenn quasi kein Überlapp

1212 2727

Heisenberg-ModellHeisenberg-ModellEffektiver HamiltonoperatorEffektiver Hamiltonoperator

ba

J

ST

J

TSeff SSEEEEH ˆˆ34

1ˆ

0

Spin-HamiltonoperatorSpin-Hamiltonoperatorji

jiijHeisenberg SSJH

ˆ

ST EEJ 0

TS EEJ 0

- parallele Ausrichtung energetisch günstiger

- antiparallele Ausrichtung bevorzugt

(Quelle: WMI)

DiskussionDiskussion- Kopplungskonstante:

- liefert zu jedem s/t-Zustand die entsprechenden Eigenwerte

1313 2727

Molekularfeld-NäherungMolekularfeld-NäherungIdee: Austauschfeld (Weiß‘scher Idee: Austauschfeld (Weiß‘scher Ferromagnet)Ferromagnet)- jedes Moment m „sieht“ das mittlere Moment der anderen m‘s.

MBex 0

CTT

C

CT

C

B

M

0

Curie-Weiß-GesetzCurie-Weiß-Gesetz

(Quelle: WMI*)

- unterhalb : ferromagnetischCT

- Größenordnung Austauschfeld:(z.B. Fe, s. Tabelle)

T 10300 S

Cex M

C

TB

1414 2727

Delokalisierte ElektronenDelokalisierte Elektronen

rErrUrm

22

2

Ein-Elektronen-SG für freie ElektronenEin-Elektronen-SG für freie Elektronen

- Potential

rU

enthält WW zwischen Elektronen und Rumpfpotential

ji ji

N

i R i

i rr

e

RreZ

mH

||2

1

||

1

2

2

1

222

Anziehendes elektrostatisches Potenzial: Elektron-Elektron-Wechselwirkung

Hartree-Gleichungen Hartree-Gleichungen (Lösung durch Iteration) rEr

rrrdrerUr

m iiij

jiRumpf

i

|'|

1|'|'

2222

2

- mathematisch komplex

rU Rumpf

- grobe Näherung: „gemittelte“ Wechselwirkung:

DiskussionDiskussion

j

j rer 2|'|

1515 2727

Hartree-FockHartree-FockBetrachte N-Elektronen-SGBetrachte N-Elektronen-SG NNNNN srsrsrsr

..,.., 11111

- Produktansatz unvereinbar mit Pauli-Prinzip NNiijjNNjjii srsrsrsrsrsrsrsr

,..,,..,,..,,..,,..,,.., 1111

Slater-DeterminanteSlater-Determinante - erfüllt Antisymmetrie!

rrUrrUrm i

Hartree

eli

Rumpfi

2

2

2 rrrr

rr

erd iissjij

jji

*2

Austauschterm!

NNNNN

NN

NN

srsrsr

sr

srsrsr

srsr

2211

112

1221111

11 ,..,

j

jel

rrrdrerU

|'|

1|'|' 22

Aus Hartree-Gleichungen:

1616 2727

Hartree-Fock-TheorieHartree-Fock-TheorieAnwendung:Anwendung:

Hartree-Fock-Gleichungen für freie ElektronenHartree-Fock-Gleichungen für freie Elektronen

V

er

rki

i

i

Theorie der freien Elektronen: Atomrümpfe und Elektronen haben dieselbe Ladungsdichte. 0 elRumpf UU

- Betrachte nur Austauschterm:

FF k

kFk

e

m

kk

222 2

2

x

x

x

xxF

1

1ln

4

1

2

1)(

2

mit

Für N Elektronen

FF kk F

F

kk k

kF

ke

m

kE

222

22

WW

F

efreie

F

keNENE

2

4

3

5

3

Erinnerung:- Ansatz:

Plot F(x), Steigung divergiert bei x=1

Spinfunktion

Energieabsenkung durch wechselwirkende Elektronen!

)(Fk

kF

Fk

k

1717 2727

AustauschlochAustauschloch

Idee: Austauschloch -Elektron mit parallelem Spin wird verdrängt. (Quelle: WMI)

Betrachte zwei freie freie ElektronenElektronen- Spin parallel Ortswellenfunktion antisymmetrisch ijjijjii

rkirkirkirkiij eeee

V

2

1

- Aufenthaltswahrscheinlichkeit = 0 für zwei Elektronen mit parallelem Spin am selben Ort.

jijijijiij rdrdrrkkV

rdrd

cos11

2

2

rkkrdnrP ji

cos1

- Ladungsträgerdichte

rkken

ji

cos1

2

- Mittelung über Fermikugel

6

2cossin

2

91

rk

rkrkrkenr

F

FFFeff

(Quelle: WMI*)

Austauschloch = positive Kopplung Modell für Ferromagnetismus

1818 2727

Band-FerromagnetismusBand-FerromagnetismusWechselspiel zwischen undWechselspiel zwischen und

Oben: Erhöhung der Fermi-Energie durch Parallelisierung des Spins. (Quelle: WMI)Unten: Aufweitung der Fermikugel

EEDN F 2

1

FFpotkin EUDEEDEEE

2

11

2

1 2

12

1FEUDStonerkriteriumStonerkriterium

(Quelle: FU Berlin*)

potE kinE

Stonerkriterium erfüllt

Parallele Ausrichtung energetisch günstig, wenn: ED

DEU1

1 EDU

- energetische Betrachtung

22

1EEDENE Fkin

22

0 4

1EEUDMdBVE F

B

pot

A

AA MB 0

20 BU

Molekularfeld

Charakteristische Energie

1919 2727

Stoner-KriteriumStoner-KriteriumSystem freier Elektronen in äußerem System freier Elektronen in äußerem MagnetfeldMagnetfeld

extFFB

MBEUDVED

ME

2

11

2

12

2

0!

M

E

F

P

FaktorStoner

F

FB

ext EUDEUDV

ED

B

M

p 21

121

1

1200

Für vgl. ferroelektrische Polarisationskatastrophe!

Ferromagnetische OrdnungFerromagnetische Ordnung

12

1FEUD

2020 2727

Magnetische AnregungMagnetische Anregung

- Möglichkeiten Sättigungsmagnetisierung bzw. -moment eines Ferromagneten zu ändern bei

Interbandübergang / Stoner-Interbandübergang / Stoner-AnregungenAnregungen- minimale Energie: Stonerlücke

Spinwellen / Spinwellen / MagnonenMagnonen

(Quelle: WMI*)

(Quelle: WMI*)

„„Umklapp“-Umklapp“-ProzessProzess

- kollektive Anregung im magnetischen Gitter

CTT

2121 2727

SpinwellenSpinwellen

Oszillationen der relativen Orientierung von magn. Momenten auf einem Gitter. Quasiteilchen: Magnonen!

Semiklassische Betrachtung (vgl. Heisenberg-Modell) 2

1111 422 sJsssJssssJE AiiiAiiiiA 28 sJE AAnregungsenerg

ie- betrachte Spinkette und WW mit dem nächsten Nachbarn

- vereinfache DGL mit und löse bei tiefen T mit einem Ansatz ebener Wellen

zext BB ,0,0

DefinitionDefinition

tksaiyxyxi eSS //,

kaSJBg ABs cos1

4

xy iSS Phasenunterschied:

- Entwicklung für kleine 2kka

(Quelle: WMI*)

2222 2727

Stoner-AnregungenStoner-Anregungen

- Einzelelektronen-anregungen

Erinnerung:

(Quelle: WMI*)

Abweichung:WW mit übernächsten Nachbarn

2k

Verbreiterung:WW der Spinwellen mit Stoner-Anregungen

2k

- entspricht Austauschaufspaltung- Spektrum für 0q

AJzI

- minimale Energie: Stonerlücke

AnregungsspektrAnregungsspektrumum

2323 2727

Indirekter AustauschIndirekter AustauschPhänomenologische BeschreibungPhänomenologische Beschreibung

SuperaustauschSuperaustausch

DoppelaustauschDoppelaustausch

RKKYRKKY-Wechselwirkung

- antiferromagnetische Spinkopplung über einen diamagnetischen Vermittler

- abstandsabhängige Oszillation der Kopplung lokalisierter magnetischer Momente

- ferromagnetische Kopplung inkl. Ladungstransport

2424 2727

SuperaustauschSuperaustauschSpinkopplung über ZwischenatomSpinkopplung über Zwischenatom

(Quelle: Crangle)

- Oxide in NaCl-Struktur:z.B.: MnO, MnS

- betrachte hier: Mn2+O2-

- indirekt:magn. Momente haben großen Abstand

- Pauliprinzip: Spineinstellung in O antiparallel

- 180°-Super-AT

Antiferromagnetischer IsolatorAntiferromagnetischer IsolatorTransfer

TransferOrbital-Überlapp bestimmt Stärke des Effekts

- d-Orbitale, p-Orbitale vgl. Hund‘sche Regeln

0J

2525 2727

DoppelaustauschDoppelaustausch

(Quelle: WMI*)

Austausch und Austausch und LadungstransportLadungstransport- zwischen Ionen mit gemischter Valenz

0JFerromagnetische Ordnung

- auch „metallisch“: Leitfähigkeit durch delokalisierte Elektronen- genaue Betrachtung mittels Hubbards Hüpf-Modell

- hier: Mn3+-Elektron wechselt über O2--Ion hinweg auf leeren Platz

- wichtig: Magnetische Struktur!

2626 2727

RKKYRKKY

(Quelle: WMI*)

Indirekter Austausch durch Indirekter Austausch durch Polarisation von Polarisation von LeitungselektronenLeitungselektronen

0 J

- betrachte:lokalisierte Momenteim Fermi-Gas

- langreichweitiger Effekt,mehrere Gitterkonstanten

ijr- Oszillation: ijF

ij

rkr

J 2cos1

3

J oszilliert mit Abstand der oszilliert mit Abstand der MomenteMomente

- mathematischer Grund:FT von Fermikante Oszillation im Ortsraum

(Quelle: WMI*)

(RKKY – Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida)

2727 2727

!!FINALE!!!!FINALE!!AustauschwechselwirkungAustauschwechselwirkung

Kombination aus Bekanntem bringt Lösung:

Pauli-PrinzipPauli-Prinzip und Coulomb-WechselwirkungCoulomb-Wechselwirkung –

keine neue Wechselwirkung!

Bildquellen:

WMI* http://www.wmi.badw-muenchen.de/teaching/lecturenotes/MMCh* http://www.mmch.uni-kiel.de/supraleiter/supra_folien_2.htmFU Berlin* http://www.diss.fu-berlin.de/2002/34/f-Kapitel1.pdf