BaumdiagrammeBaumdiagramme

NutzenNutzen

Graphische Darstellung von Wahrschein-Graphische Darstellung von Wahrschein-licheitenlicheiten

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Versuchenmehrstufigen Versuchen

Einteilung von KlassenEinteilung von KlassenStammbäumeStammbäume

Aufbau des DiagrammsAufbau des Diagramms

An jeder Verzweigung (Weggabelung) findet An jeder Verzweigung (Weggabelung) findet eine Entscheidung statt, welchem „Ast“ man eine Entscheidung statt, welchem „Ast“ man (auf dem weiteren Weg) folgt, bis man bei (auf dem weiteren Weg) folgt, bis man bei einem „Blatt“ (dem Ast-Ende) landet.einem „Blatt“ (dem Ast-Ende) landet.

Ein solcher Weg heißt PfadEin solcher Weg heißt PfadDer Baum steht „am Kopf“; seine Wurzeln Der Baum steht „am Kopf“; seine Wurzeln

sind oben, seine Blätter unten sind oben, seine Blätter unten

1. Beispiel1. Beispiel

Geg:Geg: Geländelauf - Gruppe von 50 Kindern Geländelauf - Gruppe von 50 Kindern erste Weggabelung 20% nahmen den erste Weggabelung 20% nahmen den

falschen Weg falschen Weg zweite Weggabelung 40% wählten den zweite Weggabelung 40% wählten den

falschen Wegfalschen Weg

Ges:Ges: Wie viele Schüler nahmen den richtigen Wie viele Schüler nahmen den richtigen und wie viele einen falschen Weg?und wie viele einen falschen Weg?

Veranschaulichung durch ein Veranschaulichung durch ein BaumdiagrammBaumdiagramm

TEICHZIEL HAUS

20% =0,20

80% =0,80

60% =0,60

START

40% =0,40

EntscheidungsbaumEntscheidungsbaum

a)a) Einteilung in 2 Klassen: Einteilung in 2 Klassen: Sieger und Sieger und VerliererVerlierer

b)b) Einteilung in 3 Klassen: Einteilung in 3 Klassen: Schüler die im Ziel ankommenSchüler die im Ziel ankommen Schüler die am Teich ankommenSchüler die am Teich ankommen Schüler die beim Haus ankommenSchüler die beim Haus ankommen

ÜberlegungenÜberlegungen

1. Weggabelung1. Weggabelung

80% der 50 Kinder trafen die richtige 80% der 50 Kinder trafen die richtige Entscheidung => 40 KinderEntscheidung => 40 Kinder

2. Weggabelung2. Weggabelung

60% von diesen 40 Kindern trafen die richtige 60% von diesen 40 Kindern trafen die richtige Entscheidung => 24 KinderEntscheidung => 24 Kinder

Rechnerische LösungRechnerische Lösung

(50(500,80)0,80)0,60 = 500,60 = 50(0,80(0,800,60) = 500,60) = 500,48 = 0,48 = 2424

d.h.: die prozentuellen Häufigkeiten längs des d.h.: die prozentuellen Häufigkeiten längs des gewünschten Pfades müssen multipliziert gewünschten Pfades müssen multipliziert werden (0,80 werden (0,80 0,60=0,48) 0,60=0,48)

Die absolute Häufigkeit Die absolute Häufigkeit 2424 für die richtige für die richtige Wegwahl ergibt sich dann aus dem Produkt von Wegwahl ergibt sich dann aus dem Produkt von 50 mit 0,48.50 mit 0,48.

24 Schüler haben den richtigen Weg 24 Schüler haben den richtigen Weg gefunden, und 26 (50-24) einen falschen.gefunden, und 26 (50-24) einen falschen.

Prozentuelle Häufigkeiten für die Prozentuelle Häufigkeiten für die einzelnen Ankunftsorteeinzelnen Ankunftsorte

1)1) Ankunftsort „Ziel“:Ankunftsort „Ziel“: 0,800,80 0,60 = 0,480,60 = 0,48

2)2) Ankunftsort „Teich“:Ankunftsort „Teich“: 0,800,80 0,40 = 0,620,40 = 0,62

3)3) Ankunftsort „Haus“:Ankunftsort „Haus“: 0,200,20

Durch Multiplizieren der längs der Pfade Durch Multiplizieren der längs der Pfade auftretenden Häufigkeiten erhält man die auftretenden Häufigkeiten erhält man die prozentuelle Häufigkeit.prozentuelle Häufigkeit.

Wie viele Schüler kamen beim Ziel Wie viele Schüler kamen beim Ziel bzw. beim Teich bzw. beim Haus an?bzw. beim Teich bzw. beim Haus an?

1)1) Ankunftsort „Ziel“:Ankunftsort „Ziel“: 50 K 50 K 0 0,48 = ,48 = 24 K24 K

2)2) Ankunftsort „Teich“:Ankunftsort „Teich“: 50 K 50 K 0 0,62 = ,62 = 16 K16 K

3)3) Ankunftsort „Haus“:Ankunftsort „Haus“: 50 K 50 K 0 0,20 = ,20 = 10 K10 K

Probe: 50 KProbe: 50 K

Jetzt wird einfach das Produkt der Jetzt wird einfach das Produkt der Kinderanzahl mit der prozentuellen Häufigkeit Kinderanzahl mit der prozentuellen Häufigkeit ausgerechnet.ausgerechnet.

Histogramm (absolute H.)Histogramm (absolute H.)

0

5

10

15

20

25

Anzahl der

Kinder

Ankunftsorte

Geländelauf

ZielTeichHaus

2. Beispiel2. Beispiel

Ein Aufnahmetest besteht aus drei Ein Aufnahmetest besteht aus drei nacheinander gestellten Fragen. Die nacheinander gestellten Fragen. Die Antworten wurden nur mit richtig Antworten wurden nur mit richtig (r)(r) oder oder falsch falsch (f)(f) bewertet. Ein Baumdiagramm zeigt bewertet. Ein Baumdiagramm zeigt den Verlauf des Tests. Berechne die relativen den Verlauf des Tests. Berechne die relativen bzw. prozentuellen Häufigkeiten.bzw. prozentuellen Häufigkeiten.

BaumdiagrammBaumdiagramm

0,224

22,4%

r

r

r

r

r r r

f

f

ff

f

f f

0,80,2

0,4 0,6

0,4

0,9

0,70,3

0,5 0,50,7

0,3

0,6

0,1

0,056

5,6%

0,06

6%

0,252

25,2%

0,108

10,8%

0,024

2,4%

0,216

21,6%

0,06

6%

HistogrammHistogramm

0

5

10

15

20

25

30

12345678

AntwortenAntworten

durch die Zusammenfassung zueinander durch die Zusammenfassung zueinander passender Klassen (Prozentuelle H)passender Klassen (Prozentuelle H)

Alle drei Fragen richtig = 22,4%Alle drei Fragen richtig = 22,4%Genau zwei Fragen richtig =5,6%+ 6%+25,2%= Genau zwei Fragen richtig =5,6%+ 6%+25,2%=

36,8%36,8%Genau eine Frage richtig =6%+10,8%+2,4%= Genau eine Frage richtig =6%+10,8%+2,4%=

19,2%19,2%Keine Frage richtig = 21,6%Keine Frage richtig = 21,6%

AussagenAussagen

Falls Prozentangaben exakt => Falls Prozentangaben exakt => PersonenanzahlPersonenanzahl

Alle absoluten H. – ganzzahligAlle absoluten H. – ganzzahlig=> Teilnahme von 1000 oder 500 oder => Teilnahme von 1000 oder 500 oder

mindestens 250 Personenmindestens 250 Personen

Statistische UntersuchungStatistische Untersuchung

Rückblickende BeurteilungRückblickende BeurteilungVorausschau – PrognoseVorausschau – PrognoseKünftige Anwendungen – ähnliche Künftige Anwendungen – ähnliche

ErgebnissenErgebnissen