Upload
phamdiep
View
216
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Beispiel zur Minimalkostenkombination
Gegeben sei die Produktionsfunktion
x = − (r1 − 5)2 − (r2 − 5)2 + 12 ,
Die Faktorpreise q1, q2 der Produktionsfaktoren lauten q1 = 4 , q2 = 6 (GE/ME).
a) Bestimmen Sie die Grenzen des ökonomischen Bereichs (Ridge Lines).
b) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination für eine Produktionsmenge von x = 8 ME algebraisch und weisen Sie ihre Optimalität nach. Wie groß sind in die-sem Fall die Kosten und der Lagrangesche Multiplikator?
c) Welche Produktmenge kann maximal bei einem Kostenbudget von K = 30 herge-stellt werden?
a) Bestimmung der Ridge Lines:
seinmussrhdrrrx 5..;50102 1111
≤=⇒=+−=δδ
seinmussrhdrrrx 5..;50102 2222
≤=⇒=+−=δδ
b) Algebraische Lösung:
L (r1 , r2 , λ) = 4 ⋅ r1 + 6 ⋅ r2 + λ ⋅ (8 – x )
0)102(4)1( 11
=−⋅+= rrL λ
δδ
0)102(6)2( 22
=−⋅+= rrL λ
δδ
012)5()5(8)3( 22
21 =−−+−+= rrL
δλδ
25
236012408
1026
1024
121221
−=⇒−=−⇒−
−=−
− rrrrrr
eingesetzt in (3):
012)525
23()5(8 2
12
1 =−−−+−+ rr
04
3092
654
131
21 =+− rr
8906,31 =r 578,358028,1336,32 === Kr λ
c) Algebraische Lösung:
L (r1 , r2 , λ) = − (r1 − 5)2 − (r2 − 5)2 + 12 – λ ⋅ (4 ⋅ r1 + 6 ⋅ r2 – 8 )
04)102()1( 11
=⋅−+−= λδδ r
rL
06)102()2( 22
=⋅−+−= λδδ rrL
03064)3( 21 =+−−= rrLδλδ
25
236012408
102102
64
12122
1 −=⇒+−=+−⇒+−+−= rrrr
rr
eingesetzt in (3):
030)25
23(64 11 =+−⋅−⋅− rr
769,0,31,41335
1345 04513 211 ==⇒=⇒=⇒=+⋅− λxrrr