339 3066 340

Bernerlrung uber die Coefficient,en einer Meihe . cler Storungstheorie. Von Dr. L. de Ball.

Bekanntlich genugen die Coefficienten der Reihenentwickelung +K,

--oo

wo a < I vorausgesetzt ist und PjPi) = f< ( i ) sein soll, der folgenden linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung (Tisserand, Mec. cel. t. I p. 2 8 I )

Diese Gleichung lasst sich fur den praktisch wichtigen Fall s = in eine sehr bequeme Form bringen, welche unter gewissen Umstanden von Nutzen sein kann. Unter der fur s gemachten Annahme erhalt man aus ( I )

und

(3)

Nun ist allgemein [L. c. p. 2 8 5 (P) und p. 2 7 7 (H')] dP,(') [i + (i+ 2s) a21 2 (i+ I - s) aI ' /+')

= p- da a ( 1 - 01')

Substituirt man diesen Werth von P,(i+') in die vorige Gleichung, so erhalt man

(i+I) dP/) [i - (i + 2s) a'] J'y) + 201 s ( I - aY) P'+,

Hieraus folgt fur s =

Damit verwandelt sich die Gleichung ( I & ) in

welches die gesuchte Relation ist. Fur die Specialfalle z = o und i = I erhalt man hieraus die Gleichungen, welche Herr Tisserand in den] uber die allgemeinen Ausdrucke der sacularen Ungleichheiten handelnden Capitel seiner Mecanique celeste t. I, pp. 405 und 406, aus den fur P,il(o) und geltenden Reihenentwickelungen ableitet.

Die der Gleichung (3) entsprechende allgemeine Gleichung lautet

Brussel 1891 Sept. 4. L. de 3alL

Beiiierkung zu der Theorie der Eleiiieiit'enstiiriin$en erster Ortlnung. Von Dr. L. a% BalL

Betrachtet man das spharische Dreieck gebildet aus den aufsteigenden Knoten N' und N der Planeten P' und P auf der Fundamentalebene und dem aufsteigenden Knoten K der Hahn von P auf derjenigen von P', und bezeichnet die Langen von N' und N mit 6' und 8 , die Neigungen der Bahnen von P' und P gegen die Fundamentalebene mit 9' und 9, die Summe aus der Laage von N' und dem Bogen N' K mit z', die Summe aus der Lange von N und dem Bogen N K mit z, endlich die Neigung der Bahn von P gegen diejenige von P' mit y, so fuhren die fur spharische Dreiecke geltenden Differentialformeln zu folgender Relation :

34 I 3066 342

sin J d (z' - d ') = - sin (z - 6) dsp + cos Jsin (z' - 8') dcp' + cos (z - 4) sin sp dd - cos (z - 6) sin q dd' . (I!

Hieraus leitet Leverrier im X. Bande der Annalen der Pariser Sternwarte die folgende, auch von Herrn Tisse- rand in dem ,Perturbations du premier ordre des ClCmentsx uberschriebenen Capitel seiner Mecanique celeste p. 342 wiedergegebene Formel ab

sin J- d z ' = d G - f dG' ~ - 2 sin2 Jsin (z' - 4') - dsp - ' d t d t d t d t

2 tang 1 f2 Y dd' sin sp' d t

+ (sin2 'I2 sp +- sin? cp' - sin? 'la Y) sin sp' - '

d G d t d t

Die Differentialquotienten - und F' sind definirt durch ('l'isserand, Mec. ce1. t. I, pp. 330 und 335)

WL' n n cos J aRo,l d G ' m n ' a ' c o s l / , J aR,,,, . - = -, _ _ __ d G

- - 1

d t - l2 P ~- cosy, zy d t P cos '1v' aT ' hierbei bedeutet Ru,l die der Wirkung von P' auf P, Rl,o die der Wirkung von f auf P' entsprechende Storungs- function; m, 71, a, p sind bezw. die Masse, die mittlere Bewegung, die halbe grosse Axe und der Excentricitatswinkel der Bahn des Planeten P; ferner ist

p = r + m ; y = sin 'I2 J Die gestrichelten Buchstaben beziehen sich auf den Planeten P '. Man gelangt zu einem einfacheren Ausdrucke fur sin J __ , wenn man auf der rechten Seite der Gleichung (I)

d z ' df

zunachst den Coefficienten von dd' ersetzt durch cos y' sin + sin sp' cos cos (z' - d') = cos (z - 6) sin sp ,

dsp dd . d t d t

wahrend der Coefficient von dd ungeandert bleibt, darauf fur - und sin sp - die Werthe substituirt (a. a. 0. p. 331)

d6' und fur dY" und sin sp' - die genau in derselben Weise aus den gestrichelten Buchstaben gebildeten Ausdriicke (a. a. 0.

d t d t p. 336). Man erhalt dann die Formel

Hieraus folgt fur die Storung erster Ordnung von z'

Bezeichnet man die Storung erster Ordnung des aufsteigenden Knotens der Bahn von P auf derjenigen von P' zur Zeit to niit 8, 8, und die Storung erster Ordnung des aufsteigenden Knotens der Bahn voa P' auf derjenigen von P zur Zeit t, mit d, Q', so ist (a. a. 0. pp. 339 und 340)

(3) sinJdlz ' = G + G ' c o s J + z ~ i n 3 ! s i n ~ i / ~ s p ' d , d ' .

G = sin J d 1 8 ; G' = sin Jd,@'. Substituirt man diese Werthe in (3), so ergiebt sich noch

(4) d , ~ ' = d , @ + ~ o ~ J 6 , 8 ' + 2sin2'/,(p'd18'. Die Leverrier'sche Formel geht, wie mir Herr Radau bemerkt, in die unter (2) angegebene iiber, wenn man in

dG' d t

ersterer fur -- den Werth substituirt

dG' -- = s in(z ' - 6')- + d t d t sin J d t

d v ' cos ~p - cos 9. COSY dd' - . Diese letzte Gleichung folgt aus

d G' dsp' -~ -~ = sin (z' - 6') -- - cos (z' - 6') sin sp' und cos sp = cos sp' cos J- sin sp' sinJcos (z' - 4') d t d t d t

Brussel 1 8 9 1 Oct. 1 5 . Dr. L. de Ball.