BlackLittermanPortfolioManagement

Portfolio-Management mit technischen Handelsmodellen

unter besonderer Berücksichtigung des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens

Diplomarbeit

zur Erlangung des Grades Diplom-Volkswirt an der Technischen Universität Berlin Fakultät IV - Elektrotechnik und Informatik Lehrstuhl Statistik und Ökonometrie Studiengang Volkswirtschaftslehre Vorgelegt von: Lorenzo Bertolini Matr.-Nr.: 196925 aus: Heilmannring 71 13627 Berlin Tel.: 030-44319288 [email protected] Referent: Prof. Dr. D. Friedrich Korreferent: Dipl.Volksw. R. Franken

mailto:[email protected]

Erklärung Ich versichere, die von mir vorgelegte Arbeit selbständig verfasst zu haben. Alle Stellen, die wörtlich oder sinngemäß aus veröffentlichten oder nicht veröffentlichten Arbeiten anderer entnommen sind, habe ich als entnommen kenntlich gemacht. Sämtliche Quellen und Hilfsmittel, die ich für die Arbeit benutzt habe, sind angege-ben. Die Arbeit hat mit gleichem Inhalt bzw. in wesentlichen Teilen noch keiner an-deren Prüfungsbehörde vorgelegen. Berlin, den 18 März 2005 Lorenzo Bertolini

Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis ...............................................................V Abkürzungsverzeichnis ............................................................ IX 1 Einleitung…………….. ............................................................ 1 2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle .......... 4

2.1 Grundlagen ...................................................................................................... 4

2.1.2 Rendite eines Wertpapiers…….................................................................. 4 2.1.2 Volatilität als Risikomaß eines Wertpapiers .............................................. 6 2.1.3 Zusammenhangsmaße zweier Wertpapiere................................................ 7 2.1.4 Rendite-Risikoverhalten von Investoren.................................................... 8

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ .................................................... 10 2.2.1 Ursprüngliche Problemstellung und Annahmen des Modells.................. 102.2.2 Rendite und Risiko eines Portfolios ......................................................... 11 2.2.3 Ansatz der Portfolio Selection nach MARKOWITZ ............................... 13

2.2.3.1 Effiziente Portfolios....................................................................... 13 2.2.3.2 Optimale Portfolios........................................................................ 15

2.2.4 Ermittlung effizienter Portfolios im Mehr-Wertpapier-Fall..................... 162.2.5 Das Minimum-Varianz-Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall ................... 212.2.6 Das nutzenmaximierende Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall ................ 222.2.7 Modellkritik…………………………………………….......................... 25

2.3 Index-Modell von SHARPE ......................................................................... 26

2.3.1 Ansatz des Index-Modells von SHARPE................................................. 26 2.3.2 Modellkritik…………………………………………….......................... 28

2.4 TOBIN-Separation........................................................................................ 29

2.5 Kapitalmarktmodelle.................................................................................... 31 2.5.1 Capital Asset Pricing Model……. ........................................................... 32

2.5.1.1 Annahmen...................................................................................... 32 2.5.1.2 Die Kapitalmarktlinie .................................................................... 32 2.5.1.3 Die Wertpapierlinie ....................................................................... 33 2.4.1.4 Systematisches und unsystematisches Risiko................................ 35 2.5.1.5 Modellkritik ................................................................................... 36

2.5.2 Arbitrage Pricing Theory…………………… ......................................... 37

I

Inhaltsverzeichnis

2.6 Performance-Messung von Portfolios..........................................................37

2.7 Fazit.................................................................................................................40

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN ..... 42

3.1 Defizite der Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ ...........................42

3.2 Der Ansatz des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens..................................44

3.3 Referenzportfolios und implizite Renditen als Ausgangspunkt des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens............................................................46

3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen............48 3.4.1 Spezifikation von Renditeerwartungen im BLACK-LITTERMAN-

Modell………………….. ...............................................................48 3.4.2 Die BLACK-LITTERMAN-Formel .........................................................51 3.4.3 Umsetzung der subjektiven Renditeerwartungen mit dem BLACK-

LITTERMAN-Verfahren ................................................................52

3.5 Sensitivitätsanalysen......................................................................................54

3.6 Fazit.................................................................................................................56

4 Technische Handelsmodelle ................................................... 58

4.1 Wertpapierprognosen....................................................................................58

4.2 Technische Indikatoranalyse ........................................................................59

4.2.1 Grundgedanke der technischen Analyse ...................................................59 4.2.2 Methoden der technischen Analyse ..........................................................61 4.2.3 Eingesetzte Indikatoren und Werkzeuge...................................................62

4.2.3.1 Gleitende Durchschnitte .................................................................63 4.2.3.2 Moving Average Convergence Divergence ...................................65 4.2.3.3 Relative Strength Index ..................................................................65 4.2.3.4 Bollinger Bänder ............................................................................66 4.2.3.5 Swings ............................................................................................67 4.2.3.6 Candlestick-Formationen ...............................................................67

4.3 Handelsmodelle ..............................................................................................69

4.3.1 Grundsätzliches über Handelsmodelle......................................................69 4.3.2 Komponenten und Segmentierung von Handelsmodellen........................70 4.3.3 Konstruktion von Handelsmodellen..........................................................73 4.3.4 Performanceanalyse von Handelsmodellen ..............................................74

4.4 Fazit.................................................................................................................78

II

Inhaltsverzeichnis 5 Empirischer Teil .................................................................... 80

5.1 Vorgehensweise ............................................................................................. 80

5.2 Entwicklung des Handelsmodells ................................................................ 81 5.2.1 Handelsregeln der einfachen Handelsmodelle ......................................... 81 5.2.2 Performance der einfachen Handelsmodelle im Testzeitraum................. 865.2.3 Weiterentwicklung der Handelsmodelle .................................................. 88

5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle.......................................... 93

5.3.1 Auswahl der Aktien für die Portfolios ..................................................... 93 5.3.2 Portfolio-Management-Modell nach BLACK und LITTERMAN auf

Basis der Gleichgewichtsrenditen und der Handelssignale............ 95 5.3.2.1 Festlegung der Inputfaktoren des Portfolio-Management-

Modells .......................................................................................... 95 5.3.2.2 Performance des Portfolio-Management-Modells......................... 97

5.3.3 Portfolio-Management-Modell nach MARKOWITZ auf Basis der historischen Renditen und der Handelssignale............................... 98

5.3.4 Performance-Messung der vorgestellten Portfolio-Management-Modelle………………………………........................................... 99

5.4 Fazit .............................................................................................................. 101 6 Schlussfolgerung ...................................................................103 7 Literaturverzeichnis .............................................................105 Anhangverzeichnis ..................................................................109 Anhang………………………....................................................111

III

Abbildungsverzeichnis Abbildung 2.1: Renditeplots für Wertpapiere mit unterschiedlichen

Korrelationskoeffizienten .................................................. 8 Abbildung 2.2: Iso-Nutzenkurven von Anlegern ........................................ 10 Abbildung 2.3: Kurven möglicher Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall ...... 14Abbildung 2.4: Kurve effizienter Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall ........ 15Abbildung 2.5: Ermittlung des optimalen Portfolios................................... 15 Abbildung 2.6: Effiziente Portfoliokurven für ein beispielhaftes Vier-

Wertpapier-Portfolio ....................................................... 20 Abbildung 2.7: Minimum Varianz Portfolios des Vier-Wertpapier-

Beispielportfolios ............................................................ 22 Abbildung 2.8: Optimale Portfolios im Vier-Wertpapier-Beispiel .............. 24Abbildung 2.9: Der Prozess der Portfolio-Optimierung nach

MARKOWITZ ................................................................ 25 Abbildung 2.10: Zusammenhang zwischen Indexrendite und

Aktienrendite .................................................................. 27 Abbildung 2.11: Der Prozess der Portfolio-Optimierung im Index-

Modell von SHARPE....................................................... 28 Abbildung 2.12: Die TOBIN-Separation .................................................... 30 Abbildung 2.13: Optimale Portfolios nach TOBIN und MARKOWITZ ...... 31Abbildung 2.14: Die Wertpapierlinie ......................................................... 35 Abbildung 2.15: Systematisches und unsystematisches Portfoliorisiko

bei steigender Diversifikation .......................................... 36

Abbildung 3.1: Portfoliogewichte nach MARKOWITZ mit und ohne Leerverkäufe ................................................................... 42

Abbildung 3.2: Sensitivität der MARKOWITZ-Portfolios ohne und mit Leerverkaufsrestriktionen auf eine revidierte Renditeprognose.............................................................. 43

Abbildung 3.3: Der BLACK-LITTERMAN-Ansatz .................................... 45 Abbildung 3.4: Portfoliogewichtungen auf Basis historischer und

impliziter Renditen.......................................................... 47 Abbildung 3.5: Implizite Renditen und BLACK-LITTERMAN-

Renditeerwartungen......................................................... 53 Abbildung 3.6: Referenzgewichte und BLACK-LITTERMAN-

Portfoliogewichte ............................................................ 53

V

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 3.7: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte bei Variation des Renditedifferentials V ..................................................... 54

Abbildung 3.8: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte bei Variation der Prognosegüte Ω ........ 55

Abbildung 3.9: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte bei Variation des Skalars τ .................. 56

Abbildung 4.1: Methoden der technischen Analyse .................................... 61 Abbildung 4.2: Segmentierung technischer Indikatoren.............................. 62 Abbildung 4.3: Swing-High und Swing-Low.............................................. 67 Abbildung 4.4: Hammer- und Shooting-Star-Formationen .......................... 68Abbildung 4.5: Aufbau eines Handelsmodells ............................................ 71 Abbildung 4.6: Segmentierung von Handelsmodellen................................. 71

Abbildung 5.1: Aufbau des systematischen Portfolio-Management-

Modells nach BLACK und LITTERMAN......................... 81 Abbildung 5.2: Performancekennzahlen der einfachen Handelsmodelle ...... 86Abbildung 5.3: Prozentzahl profitabler Märkte der einfachen

Handelsmodelle ............................................................... 87 Abbildung 5.4: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr.

6 und Nr. 7 vor und nach der Filterung ............................ 89 Abbildung 5.5: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr.

5, Nr. 6 und Nr. 7 vor und nach der Filterung................... 90 Abbildung 5.6: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr.

6 vor und nach der Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln ..................................................................... 92

Abbildung 5.7: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 vor und nach der Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln ................................................. 92

Abbildung 5.8: Lorenzkurve der prozentualen Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien .............................................................. 93

Abbildung 5.9: Aufteilung des marktkapitalisierungsgewichteten Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios über die Wirtschaftssektoren ......................................................... 94

Abbildung 5.10: Empirische- und Normalverteilungen der Renditen der DAX-Aktien im Testzeitraum bei Long- bzw. Short-Signalen .......................................................................... 96

Abbildung 5.11: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach BLACK und LITTERMAN [τ = 0.3]........... 97

VI

Abbildungsverzeichnis Abbildung 5.12: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-

Modells nach BLACK und LITTERMAN [τ = 2] ............. 98 Abbildung 5.13: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-

Modells nach MARKOWITZ [ohne Leerverkäufe] ........... 99 Abbildung 5.14: Performance-Maße der vorgestellten Portfolios .............. 100

VII

Abkürzungsverzeichnis AG: Aktien Gesellschaft APT: Arbitrage Pricing Theory CAPM: Capital Asset Pricing Model d.h.: das heisst DAX: Deutscher Aktien Index Kap.: Kapitel MVP: Minimum Varianz Portfolio Portfolio-RAR: Portfolio Risk-Adjusted-Return Profit/maxDD: Profit to Maximum Drawdown Ratio u.d.N.: unter der Nebenbedingung vgl.: vergleiche z.B.: zum Beispiel Aktienkürzel ALV: Allianz AG BAS: BASF AG BAY: Bayer AG BMW: BMW AG MEO: Metro AG MUV2: Münchener Rückversicherungen AG DBK: Deutsche Bank AG DCX: Daimler Chrysler AG DPW: Deutsche Post AG DTE: Deutsche Telekom AG EOA: E.On AG RWE: RWE AG SAP: SAP AG SIE: Siemens AG VOW: Volkswagen AG

IX

1 Einleitung Der klassische Ansatz der Portfoliotheorie basiert, ausgehend von den Arbeiten von Harry Markowitz in den 50er Jahren, auf einer doppelseitigen Zielsetzung: Maximie-rung der erwarteten Portfoliorendite bei gleichzeitiger Minimierung des Portfoliori-sikos. Obwohl die Grundsätze der Modernen Portfolio-Theorie in der wissenschaftli-chen Literatur einen festen Platz einnehmen, ist deren Einfluss auf das praktische Portfolio-Management immer noch relativ gering.1

Fischer Black und Robert Litterman haben mit der Zielsetzung, die Methoden der quantitativen Portfoliooptimierung für den praktischen Einsatz im Portfolio-Management besser anwendbar zu machen, Anfang der 90er Jahre das innovative Black-Litterman-Verfahren veröffentlicht. Dieses Verfahren erlaubt die flexible Spe-zifikation einer beliebigen Anzahl von Wertpapierprognosen und berechnet auf deren Grundlage, ausgehend von strategischen Referenzportfolios, neue optimale Portfo-liogewichte. Das Verfahren stellt eine gelungene Umsetzung des Vorschlages von Markowitz, quantitativ berechnete erwartete Renditen mit subjektiven Prognosen zu verbinden, dar.2

Die Bewegungen der Kurse an der Börse setzen sowohl private als auch professio-nelle Anleger starken Emotionen wie Gier und Angst aus. Diese Emotionen können Portfolio-Manager zu irrationalen Markteinschätzungen verleiten und haben somit negative Auswirkungen auf den Investmentprozess. Handelsmodelle, die nach be-währten Handelsregeln automatische Kauf- und Verkaufssignale generieren, unter-liegen diesem psychologischen Druck hingegen nicht. Außerdem bieten sie den Vor-teil schneller paralleler Auswertung einer Vielzahl von Märkten durch den Einsatz von Rechnern und spezieller Software. Ziel der Arbeit Die Zielsetzung dieser Arbeit ist es ein taktisches Portfolio-Management-Modell für ein Portfolio aus DAX-Aktien zu entwickeln, welches mit dem Black-Litterman-Verfahren und den Prognosen technischer Handelsmodelle die Asset-Allocation sys-tematisch steuert. Das Aufgabenfeld eines Portfolio-Managers der nach diesem Konzept operiert, wür-de sich vom kurzfristigen subjektiven Handel deutlich entfernen. Die freigesetzten

1 vgl. Drobetz (2002), S.2 2 vgl. Markowitz (1952)

1

1 Einleitung

Zeit- und Energieressourcen sollten vermehrt in quantitativer Finanzmarktforschung eingesetzt werden. Außerdem könnte ein größerer Fokus auf die Analyse komplexer volkswirtschaftlicher Zusammenhänge und der Zusammenstellung mittel- bis lang-fristiger strategischer Portfolios gelegt werden. Aufbau der Arbeit Im zweiten Kapitel werden zunächst die Grundlagen der Modernen Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle, allen voran die Portfolio-Selection-Theorie von Marko-witz und das Capital Asset Pricing Model CAPM von Sharpe, behandelt. Das Black-Litterman-Verfahren baut sowohl auf der Portfolio Selection als auch auf dem aus dem CAPM hervorgehendem Marktgleichgewicht auf. Somit bildet dieses Kapitel die Grundlagen für das Verständnis des Black-Litterman-Verfahrens. Der dritte Abschnitt der Arbeit befasst sich mit den Schwächen des Markowitz-Ansatzes bei dem praktischen Einsatz in der Asset Allocation und stellt das von Black und Litterman entwickelte innovative Verfahren zum Portfolio-Management dar. Dieses Verfahren ermöglicht die konsistente Verbindung von individuell festge-legten Referenzgewichtungen oder CAPM-Gewichtungen mit verschiedenen Arten von Prognosen und eignet sich aus diversen Gründen besser für den Einsatz im Port-folio-Management als die reine Portfolio Selection nach Markowitz. Im vierten Kapitel wird der Grundgedanke der technischen Analyse von Wertapapie-ren und der Aufbau von technischen Handelsmodellen dargestellt. Das fünfte Kapitel vereint die behandelten Portfolio-Management-Techniken mit den Handelssignalen eines für diesen Zweck entwickelten Handelsmodells zu einem sys-tematischen Portfolio-Management-Modell, das ohne menschliches Zutun in der La-ge sein soll, ein vom Anleger festgelegtes Wertpapierportfolio taktisch zu planen. Die Schlussfolgerungen finden sich im sechsten Kapitel. Software In dieser Arbeit kommt außer herkömmlicher Textverarbeitungs- und Tabellenkalku-lationssoftware folgende Software zum Einsatz: Omega Research TradestationTM

Die Tradestation ist eines der führenden Programme zur technischen Chartanalyse, zur Entwicklung technischer Indikatoren sowie zur Entwicklung und zum Test von technischen Handelsmodellen. Mit diesem Programm werden im fünften Kapitel

2

1 Einleitung

Handelsmodelle erstellt und getestet. Ein besonderer Dank geht an dieser Stelle an die J. R. C. Capital Management & Consultancy GmbH (www.jrconline.com) für die Bereitstellung dieser Software. R R ist sowohl eine Programmiersprache als auch eine Arbeitsumgebung mit statisti-schem Schwerpunkt. Die R-Programmiersprache ist der Programmiersprache S, auf der die kommerzielle Statistiksoftware S-Plus basiert, sehr ähnlich. R ist eine kosten-lose und frei verfügbare Software, die unter der Internetadresse www.r-project.org heruntergeladen werden kann. In dieser Arbeit wird R zur Optimierung der Portfoli-os, zur Programmierung der Portfolio-Management-Modelle und zur statistischen Auswertung von Daten eingesetzt.

3

http://www.jrconline.com/

http://www.r-project.org/

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle 2.1 Grundlagen Im Folgenden werden die Grundlagen der Modernen Portfolio-Theorie erläutert. Es werden Kennzahlen für die Rendite und das Risiko von Wertpapieren und Überle-gungen über das Verhalten von Anlegern bezüglich dieser Kennzahlen dargestellt. 2.1.2 Rendite eines Wertpapiers Um die relative Wertveränderung einer in Geldeinheiten bewerteten Position zu mes-sen, wird in der Finanzwirtschaft und Kapitalmarkttheorie auf den Begriff der Rendi-te zurückgegriffen. Rendite kann man auf zwei verschiedene Arten definieren, ein-mal diskret, als den prozentualen Wertzuwachs von einem Zeitpunkt zum anderen, zum anderen als den natürlichen Logarithmus des Zuwachsverhältnisses. Die letztere Definition bezeichnet man auch als die stetige Rendite oder log-Rendite. Die stetige Rendite ist für den Fall kontinuierlicher Verzinsung definiert. Die diskrete Rendite lässt sich durch die Formel 2.1 berechnen, die stetige Rendite durch die Formel 2.2.

[2.1] 1111

1, −=

∆=

−=

−−−

−

t

t

t

t

t

tttd P

PP

PP

PPR

mit Rt: Rendite des Wertpapiers in der Periode t

Pt: Preis des Wertpapiers am Ende der Periode t Pt-1: Preis des Wertpapiers am Ende der Vorperiode t-1

[2.2] ( ) ( 11

, lnlnln −−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= tt

t

tts PP

PP

R )

Soll die Durchschnittsrendite µd,t über T Perioden bestimmt werden, so wird in dem zeitdiskreten Fall das geometrische Mittel aus den Renditen gezogen3:

3 vgl. Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 146

4

2.1 Grundlagen

[2.3] ( ) ( ) 11

11

0,,, −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+== ∏

−

=−

TT

nntdtdtd RkRµ

Die Berechnung der Durchschnittsrendite über T Perioden für den Fall stetiger Ver-zinsung erfolgt gemäß der Formel 2.4.4

[2.4]

( ) ( ) ( )

( )

∑

∑

∏

−

=−

−

=−

−

=−

=

+=

+=+==

1

0,

1

0,

1

0,,,,

1

1ln1

1ln11ln

T

nnts

T

nntd

T

nntdtdtsts

RT

RT

RT

kRkRµ

Im späteren Verlauf der Arbeit werden unter anderem durchschnittliche Tagesrendi-ten zu Jahresrenditen annualisiert. Dies geschieht umgekehrt zu den Berechnungen der Durchschnittsrenditen für den Fall diskreter Renditen nach der Formel 2.5 und für den Fall stetiger Renditen gemäß der Formel 2.6.

[2.5] ( ) 11 ,, −+= JahrTagedTagdJahr µµ

[2.6] [ ] sTagsJahr JahrTage ,, *µµ =

Bei kleinen Preisänderungen kann die stetige Rendite durch die diskrete Rendite ap-proximiert werden und umgekehrt. Als Faustregel für die Eignung einer solchen Ap-proximation werden Renditen unter zehn Prozent genannt. 5 Werden jedoch Annahmen über die Verteilung der Renditen getroffen, spielen auch statistische Überlegungen eine Rolle. Bereits 1990 wurde von Bachelier6 angenom-men, stetige Rendite seien normal verteilt. Die Kurse selbst wären dann log-normal verteilt. Für die diskrete Rendite sei die Normalverteilungsannahme im strengen Sinn nicht anwendbar. Empirisch wird in der Regel allerdings beobachtet, dass die Dichte von Renditen im Vergleich zur Normalverteilung fat tailed ist, das heißt dass sich in den Enden der Verteilung mehr Wahrscheinlichkeitsmasse konzentriert als dies bei einer Normalverteilung der Fall ist.7 Diese Verteilung nennt man leptokurtische Ver-teilung.

4 vgl. Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 147 5 vgl. Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 147 6 In: Theorie de la speculation (1990) 7 vgl. Weber (2001), S. 27

5

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle 2.1.2 Volatilität als Risikomaß eines Wertpapiers Die zweite wichtige Größe der Modernen Portfolio-Theorie ist das Risiko, mit dem die Rendite eines Wertpapiers behaftet ist. Risiko liegt dann vor, wenn aufgrund der unsicheren Zukunft die Rendite einer Anlage nicht vorauszusagen ist, deren mögli-che Renditen und die Eintrittswahrscheinlichkeiten dennoch bekannt sind.8 Das Risi-ko einer Anlage wird üblicherweise in der Form der Varianz oder der Standardab-weichung der Renditen quantifiziert.9 Die zustandsabhängige Varianz σ2 eines Wertpapiers i wird durch die Formel 2.7 berechnet:

[2.7] [ ]( ) s

S

siisii qRERRVar ⋅−== ∑

=

2

1

2][ σ

mit Ri: Rendite des Wertpapiers i S: Anzahl der möglichen Zustände

Ris: Rendite des Wertpapiers bei Eintreten des Zustands s qs: Eintrittswahrscheinlichkeit des Zustands s

E[Ri]: Erwartete Rendite10

In der Praxis wird die zukünftige Volatilität häufig durch die historische Volatilität geschätzt. Bei der Berechnung der historischen Volatilität ist die Streuung der ver-gangenen Renditen um die durchschnittliche historische Rendite von Relevanz. Die Formel zur Berechnung der historischen Varianz über T Perioden eines Wertpapiers lautet:

[2.8] [ ] ( )21

0,

2

11 ∑

−

=− −

−==

T

nintiii R

TRVar µσ

Die Annualisierung der Tagesvarianz zur Jahresvarianz vollzieht sich folgenderma-ßen: [2.9] [ ] 22 * TagJahr JahrTage σσ = Aus der Varianz lässt sich ohne weiteres die Standardabweichung σ ableiten. Die Standardabweichung ist anschaulicher als die Varianz, da sie informiert, wie stark

8 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 99 9 vgl. Kruschwitz (2003), S. 341 10 E[Ri] = ΣqsRis

6

2.1 Grundlagen die Renditen im Mittel um ihren Erwartungswert schwanken.11 Ihre Berechnung er-folgt gemäß der Formel 2.10.

[2.10] [ ] [ ]ii rr 2σσ = 2.1.3 Zusammenhangsmaße zweier Wertpapiere Kovarianz

Die Kovarianz σij misst die voneinander abhängige Bewegung der Erträge zweier Wertpapiere. Ein positiver Wert der Kovarianz bedeutet, dass die Renditen der Anla-gen zu gemeinsamen Schwankungen tendieren. Sollte die Kovarianz negativ sein, impliziert dies, dass die Renditen der beiden Wertpapiere sich gegensätzlich zuein-ander verhalten. Ein sehr kleiner Wert der Kovarianz nahe null impliziert, dass die Ausprägungen der Renditen der zwei betrachteten Investitionen unabhängig vonein-ander sind. Die Formel 2.11 stellt die Berechnung der zustandsabhängigen Kovari-anz zwischen den Wertpapieren i und j dar.

[2.11] ( )( )[ ]∑=

−−==S

ssjjsiisijji qRRRRKov

1],[ µµσ

Die historische Kovarianz zweier Anlagen kann anhand der folgenden Formel 2.12 berechnet werden.

[2.12] ( )( )[ ]∑−

=−− −−⋅

−==

1

0,,1

1],[T

njntjintiijji RR

TRRKov µµσ

Korrelationskoeffizient

Der Korrelationskoeffizient ρ ist ein viel anschaulicheres Maß für den Zusammen-hang von Renditeverläufen zweier Wertpapiere. Er kann durch die Kovarianz der beiden Anlagen und durch deren Standardabweichungen anhand der Formel 2.13 ermittelt werden.

[2.13] ji

ijij σσ

σρ =

11 vgl. Kruschwitz (2003), S. 342

7

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle Sind sowohl der Korrelationskoeffizient als auch die Standardabweichungen von zwei Anlagen bekannt, so kann durch Umstellung der Formel 2.13 ebenfalls die Ko-varianz berechnet werden:

[2.14] jiijij σσρσ =

Abbildung 2.1 zeigt beispielhaft die Entwicklung der Renditen von Wertpapieren mit unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten. Der Korrelationskoeffizient kann Werte zwischen plus eins und minus eins annehmen, wobei ein Koeffizient von minus eins für Wertpapiere mit vollkommen gegenläufigen Renditeentwicklungen steht und ein Wert von plus eins vollkommen gleichläufige Renditeentwicklungen darstellt. Ein Korrelationskoeffizient von null besagt, dass die Renditen der zwei Anlagen unab-hängig voneinander sind.

Abbildung 2.1: Renditeplots für Wertpapiere mit unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten

2.1.4 Rendite-Risikoverhalten von Investoren

Entscheidungen nach Erwartungswert und Streuung von Renditen spielen in der In-vestitionstheorie eine wichtige Rolle.12 Das Grundprinzip dieser Entscheidungen wird als µ-σ-Prinzip bezeichnet. Ziel dieses Prinzips ist nicht ausschließlich die Ma-ximierung der Rendite oder die Minimierung des eingegangenen Risikos, sondern die Erhöhung des Nutzens des Investors.13

Der Nutzengröße eines Anleger in einer µ-σ-Kombination ist maßgeblich von seiner

Einstellung gegenüber dem Risiko abhängig. Es können drei verschiedene Rendite-Risiko-Einstellungen von Anlegern unterschieden werden: Risikoaversion, Risiko-

12 vgl. Kruschwitz (2002), S. 142

8

2.1 Grundlagen neutralität und Risikofreude. Risikoaverse Investoren empfinden Risiko als etwas Schlechtes; sie wären bereit, zugunsten von mehr Sicherheit auf einen Teil ihrer er-

arteten Rendite zu verzichten. Risikoneutrale Anleger sind gegenüber dem Risiko indifferent, für ihre Entscheidungen ist lediglich die erwartete Rendite relevant. Risi-

ofreudige Investoren sehen im Risiko eine Chance auf erhöhte Gewinne und wären unter U bereit, eine kleinere erwartete Rendite in Kauf zu nehmen, und

amit ihr Risiko zu erhöhen.

w

kmständen

d Der von der erwarteten Rendite und dem Risiko abhängige Nutzen eines Anlegers kann durch seine Nutzenfunktion dargestellt werden. Die Formel 2.15 wird im empi-rischen Teil der Arbeit eingesetzt.14 Allerdings sind auch andere Formen von Nut-zenfunktionen denkbar, wie zum Beispiel die in der Formel 2.16.15

[2.15] ( ) 25.0, σλµσµ ⋅⋅−=U

[2.16] ( ) ( )22, σµλµσµ +⋅−=U

λ stellt den Risikoaversionsparameter des Anlegers dar. Je höher der Parameter aus-fällt, desto risikoaverser ist der Investor. Ein Nutzenmaximierer mit hohem λ wird bereit sein, auf eine große Menge an erwartetem Gewinn µ zu verzichten, um die Volatilität σ2 zu senken. Umgekehrt verliert das Risiko in den Überlegungen des In-

estors mit fallendem λ immer mehr an Relevanz. Ein λ-Wert von null stellt einen risikoneutralen Anleg freude.16

Abbildung 2.2 stellt den möglichen Verlauf der Iso-Nutzenkurven für die drei ver-schiedenen Risikopräferenzen dar. Jeder Punkt, der sich auf einer solchen Kurve be-findet, stellt für den Anleger denselben Nutzen dar. Kurven, die höher liegen als an-dere, zeigen einen höheren Nutzen, und sind somit den unteren zu präferieren. Der Anleger ist zwischen allen µ-σ-Kombinationen auf einer Iso-Nutzenkurve indifferent. Er wird die mögliche Kombination präferieren, die sich auf der höchsten Iso-Nutzenkurve befindet, da ihm diese den maximalen Nutzen bringt.

ver dar, ein negativer λ-Wert steht für Risiko

13 vgl. Gast (1998), S. 87 14 Litterman (2003), Drobetz (2002) u. a. arbeiten mit dieser Nutzenfunktion 15 vgl. Kruschwitz (2003), S. 294 16 Le/Litterman (1999) operieren mit einem Rsiskoaversionsparameter von λ = 2.5. Ist einem Portfo-liomanager λ nicht bekannt, so kann er mittels λ imp=(E[RM]- Rf)/ σM

2 den impliziten Risikoaversionsparameter schätzen. E[RM] stellt die erwartete Rendite des Marktes oder der Benchmark dar, Rf stellt den risikofreien Zinssatz dar und σM

2 ist die Renditevarianz des Marktes oder der Benchmark. [vgl. Idzorek (2004), S. 30]

9

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle

Abbildung 2.2: Iso-Nutzenkurven von Anlegern

nσ σ σ

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an G

Die auf Markowitz zurückgehenden Erkenntnisse erüber die Allokation von Vermögen vom eindimensizweidimensionalen Rendite-Risiko-Aspekt, dies war zschlug beispielsweise 1939 vor, bei Investitionen einesiko abdiskontierten, Renditeparameter als EntscheidDie entscheidungstheoretische Folge wäre allerdings eRisiko abdiskontierten Renditeparameters und somit eten Kapitals auf die Investitionsalternative mit dem höErklärungsversuche verwirft Markowitz aus dem einfzentrierte Portfolios in der Praxis nicht beobachtbar sin

µ µ µ

t

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ 2.2.1 Ursprüngliche Problemstellung und Anna Der Name von Markowitz ist untrennbar mit der thenomens der Portfoliodiversifikation, das heißt der gezauf mehrere Anlagewerte, verbunden. Bereits vor dSelection-Theorie war empirisch Portfoliodiversifikfehlte jegliche plausible theoretische Herleitung dieses

17 Die alleinige Betrachtung der Rendite in der Aufteilung des VeFolge, dass das gesamte Kapital auf eine einzige, nämlich die vorkonzentriert werden würde. [vgl. Markowitz (1952), S. 78] 18 Markowitz (1952), S. 77 verweist auf Hicks, J. R.(1939): ValueUniversity Press, S. 126 19 vgl. Markowitz (1952), S. 77

10

Risikofreude
Risikoneutralitä Risikoaversio
ast (1998), S. 89]

haltens.

weitern im Kern das Denken onalen Rendite Aspekt17 zum uvor keinem gelungen. Hicks18 n, mit dem eingegangenen Ri-ungskriterium zu verwenden. ine Maximierung des mit dem ine Konzentration des gesam-chsten Parameterwert. Solche achen Grund, dass solch kon-d.19

hmen des Modells

oretischen Erklärung des Phä-ielten Streuung von Vermögen er Entwicklung der Portfolio-ation beobachtbar, allerdings Ver

rmögens auf Wertpapiere hätte die aussichtlich rentabelste, Anlage

and Capital, New York, Oxford

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ Die Portfolio-Selection-Theorie erklärt mathematisch, dass es eine Möglichkeit gibt, Anlagen so zu kombinieren, dass man unter Einschluss von Wertpapieren deren Renditen niedrige, oder im Idealfall negative, Korrelationen aufweisen, ein Portfolio erhält, welches bei gleicher Renditeerwartung ein geringeres Risiko mit sich führt. Somit wurde den Investoren ein wissenschaftlicher Ansatz geliefert, wie die Portfo-liodiversifikation rational gestaltet werden sollte. Im Folgenden werden die Annah-men des Modells erläutert, und die Portfoliorendite sowie das Portfoliorisiko als Ba-sis jeglicher portfoliotheoretischen Überlegung, dargestellt. Annahmen der Portfolio Selection Theorie

- Die von Markowitz betrachtete Entscheidungssituation geht von einem Inves-tor mit einem gegebenen Anfangsvermögen und einem einperiodigen Pla-nungshorizont aus.

- Der Investor kann sein Kapital auf ein bestimmtes Universum von Wertpapie-ren verteilen und sich somit ein Portfolio zusammenstellen.

- Markowitz stellt die Annahme auf, Wertpapiere seien unendlich teilbar und es gäbe weder Transaktionskosten noch Steuern.20

- Markowitz berücksichtigt, dass sich die zukünftigen Renditen von Wertpapie-ren nicht mit Sicherheit voraussagen lassen. Vielmehr seien Wahrscheinlich-keitsverteilungen für die künftige Entwicklung der Wertpapierpreise bekannt, es handelt sich also um eine Entscheidungssituation unter Risiko.21

- Das Modell geht von einem nutzenmaximierenden, risikoaversen Anleger aus, der durchaus bedacht ist, sein eingegangenes Risiko zu kontrollieren.22

- In dem Artikel Portfolio Selection schließt Markowitz Leerverkäufe aus.23

2.2.2 Rendite und Risiko eines Portfolios Portfoliorendite

Die erwartete Rendite eines Portfolios µP entspricht der mit ihrem Portfolioanteil gewichteten Summe der Rendite der einzelnen Wertpapiere. Formel 2.17 verdeut-licht die Berechnung der erwarteten Portfoliorendite:

[2.17] [ ] ∑=

⋅==N

iiiPP wRE

1µµ

20 vgl. Steiner/Bruns, S. 9 21 vgl. Kruschwitz (2003), S. 288 und 340 22 vgl. Sharpe/Alexander/Bailey (1995), S. 167 23 Im weiteren Verlauf der Arbeit wird der Fall erlaubter Leerverkäufe allerdings behandelt. Die ma-thematische Herleitung der Portfolio Selection in diesem Fall ist im Gegensatz zu dem Fall ohne Leerverkäufe analytisch problemlos herzuleiten. Außerdem ist es in der Praxis durchaus möglich, Leerverkäufe zu tätigen, was diesen Fall ebenfalls interessant macht.

11


mit µp : Erwartete Portfoliorendite wi : Anteil des Wertpapiers i im Portfolio µi : Erwartungswert der Rendite des i´ten Wertpapiers N : Anzahl der Wertpapiere im Portfolio

Die erwartete Portfoliorendite kann auch in Matrizenform dargestellt werden. Hierzu sind die Matrix der Portfoliogewichte w, und die Matrix der erwarteten Wertpapier-renditen µ notwendig:

[2.18] Rµw'=Pµ

mit ( ) ( )nn undwww µµµ ,.....,,,.....,, 2121 == 'µw' R Portfoliovarianz und Standardabweichung eines Portfolios

Das Risiko eines gesamten Portfolios wird nicht nur aus den Varianzen der einzelnen Wertpapiere im Portfolio berechnet, sondern auch aus den Kovarianzen aller Anla-gen untereinander. Die Varianz des Portfolios σP

2 wird wie folgt berechnet:

[2.19] [ ] ∑ ∑= =

⋅⋅==n

i

n

jijjiPP wwRVar

1 1

2 σσ

mit σP

2: Varianz des Portfolios wi : Gewichtung der Anlage i im Portfolio wj : Gewichtung der Anlage j im Portfolio σij: Kovarianz zwischen den Renditen der Anlagen i

und j Formel 2.20 stellt die Berechnung der Portfoliovarianz in Matrizenform dar. Dazu sind der Gewichtungsvektor w sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix ΣRR notwendig.

[2.20] wΣw' RR=2Pσ

mit

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

==

=

NNNNN

N

N

σσσσ

σσσσσσσσ

221

2222221

1121121

L

MOMM

L

L

RRΣ

12

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ Aus der Formel 2.19 wird bereits ersichtlich, dass Wertpapiere mit niedrigen Kovari-anzen σij das Portfoliorisiko kaum erhöhen und dass Wertpapiere mit negativen Ko-varianzen das Portfoliorisiko sogar senken können. Zusammensetzung des Vektors der erwarteten Renditen und der Varianz-

Kovarianz-Matrix

Der Zusammensetzung des Vektors der erwarteten Renditen µR ist ein kardinaler Aspekt in der Markowitz’schen Portfolio Selection. In dieser Arbeit wird der Vor-schlag von Markowitz, empirische Durchschnittsrenditen zur Bestimmung des Ren-ditevektors und empirische Kovarianzen zur Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix heranzuziehen, aufgegriffen.24 Die Güte dieser Schätzer ist allerdings frag-würdig, insbesondere was den Vektor der erwarteten Rendite angeht. Die empirische Varianz-Kovarianz-Matrix wird als stabiler erachtet und ist somit eher für diesen Zweck geeignet.25

Markowitz hält die Kombination von subjektiven Anlegerprognosen mit den syste-matischen Prognosen komplexerer statistischer Methoden für eine potenziell bessere Methode, um die Eingabefaktoren des Modells zu bestimmen. Nach der statistischen Ermittlung der Prognosewerte sollen die Inputs mit den Erwartungen des Investors kombiniert werden und somit neue, revidierte Eingabevektoren bilden.26 Prognose-verfahren, wie z. B. ARIMA,ARCH/GARCH, künstliche neuronale Netze u. a. wä-ren zur Schätzung des Renditevektors und der Varianz-Kovarianz-Matrix denkbar. 2.2.3 Ansatz der Portfolio Selection nach MARKOWITZ

2.2.3.1 Effiziente Portfolios Der Grundgedanke der Portfolio-Theorie von Markowitz ist die Reduzierung des Portfoliorisikos durch Diversifikation. Für den einfachen Fall eines Portfolios mit zwei Wertpapieren kann iterativ die Linie möglicher Portfolios in ein µ-σ-Diagramm aufgetragen werden, indem die Parameter Portfoliorendite und Portfoliorisiko für diverse unterschiedliche Gewichtungskombinationen [w1; w2] bestimmt werden. Die Abbildung 2.3 stellt die Kurven möglicher µ-σ-Kombinationen für das in Kru-schwitz (2003) dargestellte Zwei-Wertpapier-Portfolio dar.27 Die erste Anlage besitzt eine erwartete Rendite von 0.083 und eine Renditestandardabweichung von 0.0424. Die zweite Anlage hat eine erwartete Rendite von 0.112 mit einer Standard-

24 vgl. Markowitz (1952), S. 91 25 vgl. Kleeberg (1995) 26 vgl. Markowitz (1952), S. 91 27 vgl. Kruschwitz (2003), S. 343 ff.

13

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle abweichung von 0.0567. Die verschiedenen gewölbten Kurven bilden für verschie-dene Korrelationen ρ12 zwischen den beiden Wertpapieren die durch Mischung der beiden Wertpapiere realisierbaren µ-σ-Kombinationen ab.28

Abbildung 2.3: Kurven möglicher Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Kruschwitz (2003), S. 349]

Bereitsfolio zuAnlag i er als das der sichersten Anlage ist. Es

-chen erwarteten Rendite eine kleinere Volatilität besitzt oder bei gleicher Volatilität eine

Die Portfolios auf der durchgezogenen Linie in der Abbildung 2.4 stellen die effizienten Portfolios für das aufgeführte Beispiel dar. Die gestrichelte Linie repräsentiert die ineffizienten Portfoliomischungen. So wird beispielsweise das Portfolio A von dem Portfolio C dominiert, da C bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite besitzt. Das Portfolio mit der kleinsten möglichen Varianz ist durch Punkt B dargestellt. Die Portfoliogewichtungen, aus denen die µ-σ–

in einem Zwei-Wertpapier-Fall ist es möglich, durch Diversifikation ein Port- erhalten, dessen erwartete Rendite größer als diejenige der sichersten Anlage

e 1), und dessen Risiko zugleich niedr g(wird auch ersichtlich, dass der Diversifikationseffekt umso größer ist, je kleiner die Korrelation zwischen den beiden Anlagen ist. Aufgrund der Annahmen, dass Rendite etwas Gutes und Risiko etwas Schlechtes darstellt, können einige µ-σ–Kombinationen der Abbildung 3 von Beginn an als inef-fizient klassifiziert werden. Die Definition eines effizienten Portfolios lautet:

Ein Portfolio gilt als effizient, wenn es kein anderes Portfolio gibt, das bei der glei

höhere erwartete Rendite generiert.29

28 Es wird von einer vollständigen Investierung des vorhandenen Kapitals ausgegangen, d. h. w1 + w2 = 1 29 vgl. Markowitz (1952), S. 82

14

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ dargestellt. Die Portfoliogewichtungen, aus denen die µ-σ–Kombination in Punkt B resultiert, bezeichnet man als Minimum-Varianz-Portfolio.

Abbildung 2.4: Kurve effizienter Portfolios im Zwei-Wertpapier-Fall


2.2.3.2 Optimale Portfolios e der ie Frage, welches

Portfolio auf dieser Kurve für den Inves optimal ist. Markowitz geht von einem risikoaverse lio wählen

ird.

Ist die Kurv effizienten Portfolios ermittelt, so stellt sich dtor

n Anleger aus, der das für ihn nutzenmaximierende Portfow

Abbildung 2.5: Ermittlung des optimalen Portfolios


Die Bestimmung des für einen Anleger optimalen Portfolios wird grafisch in der Abbildung 2.5 dargestellt. Wie bereits im Abschnitt 2.1.3 diskutiert wurde, bedeuten höhere Iso-Nutzenkurven für den Anleger auch einen höheren Nutzen. Dem Investor

15

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle können zwei verschiedene Portfolios den Nutzen U1 verschaffen. Diese Portfolios sind allerdings nicht optimal, da der Nutzen U2, der durch das Portfolio OP erreicht werden kann, höher ist. Der Nutzen U3 kann durch die vorhandenen Wertpapiere nicht erreicht werden. Dies ist in der Abbildung ersichtlich: Die Iso-Nutzenkurve U3

hneidet kein effizientes Portfolio. Das Portfolio OP stellt in der Abbildung das rtfolio dar, da es von der höchstmöglichen Iso-Nurzenkurve tangiert

zeigt wird, für den Fall erlaubter Leerverkäufe athematisch hergeleitet werden. Problematischer erweist sich die Bestimmung der

effizienten Portfolios für den Fall ohne Leerverkäufe. Die resultierende Kurve ist nicht m unktion darzustellen und uss mit Methoden der quadratischen Pro-

rammierung bestimmt werden.30

erlei

olgenden wird für den Fall erlaubter Leerverkäufe die Herleitung der varianzmi-nimalen Portfoliogewichte bei gegebener Portfoliorendite aufgeführt. Zu minimieren ist die Portfoliovarianz unter den Nebenbedingungen, dass der Erwar-tungswert vorgegeben ist (erste Nebenbedingung) und der Investor voll investiert ist

ein Portfolio auf dem ffizienten Rand. Zur Vereinfachung der folgenden Terme wird unter denselben Ne-

benbedingungen die halbe Varianz minimiert. Dies ändert nichts an dem Endergeb-nis. Di rungsaufgabe lautet:

scoptimale Powird. 2.2.4 Ermittlung effizienter Portfolios im Mehr-Wertpapier-Fall Das Zwei-Wertpapier-Beispiel liefert die Intuition hinter der Portfolio Selection von Markowitz. Kurven effizienter Portfolios können auch für den realistischeren Fall von mehr als zwei Anlagen bestimmt werden. Dies ist iterativ nicht mehr möglich, kann aber, wie in diesem Abschnitt gem

it einer F mg H tung

Im F

(zweite Nebenbedingung)31. Jeder Lösungsvektor hierzu ist e

e Optimie

[2.21] wΣw'w RR1min 2

u.d.N. 0=− w'µRPµ[2.22]

und

30 In R eignen sich besonders die Funktionen portfolio.optim( ) und solve.QP( ) für die Ermittlung effizienter Portfoliokurven bzw. optimaler Portfolios. 31 1 ist eine N×N Einheitsmatrix.

16

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ

∑=

===N

i iw1

1w1'w'1 [2.23]

bzw. 01 =− w1' Die Lagrange-Funktion zu dem Minimierungsproblem lautet:

[2.24] ( ) ( 12

)),,( 2121 −−−−= w1'w'µwΣw'w RRR λµλλλ PL

n Minimum sind:

1

Die notwendigen Bedingungen für ei

0!

21 =−−=∂∂ 1µwΣw RRR λλL [2.25]

[2.26] 0!

1

=−=∂∂ w'µRpL µλ

[2.27] 01!=−=

∂ w1'L 2∂λ

Hinreic ein Minimum ist, dass ΣRR positiv definit ist. Unter der Annahme, Wertpapierrenditen linear unabhängig sind, ist dies der Fall.32 Ökonomisch be-

deutet s man kein Portfolio zusammenstellen kann, das eine Varianz von ull bes

Damit eine Formel für den gesuchten Vektor w, allerdings sind die Lag-rangem ren λ1 und λ2 noch nicht bekannt. Um diese zu ermitteln, wird For-mel 2.28 ng von [2.26] und [2.27] jeweils mit µR und 1 multipliziert. Dadurc ich:

und

hend für

dass dies, dasitzt. n

Um dieses Gleichungssystem zu lösen, multipliziert man Formel 2.25 mit der Inver-sion der Varianz-Kovarianz-Matrix.

[2.28] 1ΣµΣw 1RRR

1RRP

−− += 21 λλ

hat man ltiplikatou unter Beachtu

h ergibt s

pλλ µ=+= −− 1Σ'µµΣ'µw'µ 1RRRR

1RRRpR 21 [2.29]

121 =+= −− 1Σ1'µΣ1'w1' 1RRR

1RRP λλ [2.30]

32 vgl. Lischka (1998), S. 55

17

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle Die Gleichungen [2.29] und [2.30] stellen ein lineares Gleichungssystem mit den wei Unbekannten λ1 und λ2 dar, da µR und ΣRR bekannt sind und µP ein Parameter

[2.31] RRRRRR:A

[2.34]

[2.35]

zist. Im Folgenden werden die Skalare A, B, C und D definiert, um die weiteren Berech-nungen zu vereinfachen.

11 −− == 1Σ'µµΣ1'

0: >= −R

1RRR µΣ'µB [2.32]

0: >= − 1Σ1' 1RRC [2.33]

0: 2 >−= ABCD

Damit kann man das lineare Gleichungssystem in [2.29] und [2.30] vereinfachen:

PAB µλλ =+ 21 [2.36] 121 =+ CA λλ

tzt können die beiden Lagrangemultiplikatoren durch Auflösung der Gleichungen tellt werden:

Je[2.35] und [2.36] in Abhängigkeit von µP darges

DACP −

=µ

λ1 [2.37]

und

[2.38] D

AB Pµλ−

=2

Die zwei Parameter können nun in [2.28] eingesetzt werden. Die Portfolios, die für

ie erwartete Portfoliorendite µP die minimale Varianz haben, können so ausgedrückt werden

d:

( ) 1Σ 1−⎟⎞

⎜⎛ −

+AB Pµ µΣw RRR

1RRP−

⎠⎝⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

4847648476 2λ

D

1λ

DACP

Pµ

µ [2.39]

Durch Umformen dieser Gleichung erhält man:

18

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ

[2.40]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] PP ACD

ABD

µµ ⋅−+−= −−−−

4444 34444 214444 34444 21b

1ΣµΣ

a

µΣ1Σw 1RRR

1RRR

1RR

1RRP

11

R RR

[2.41]

Wie schon angedeutet, werden jetzt die Vektoren a und b definiert, die konstant sind,

a sie ausschließlich von µ und Σ und abhängen. d

( ) ( )[ ]R1

RR1

RR µΣ1Σa −− −= ABD

1:

( ) ( )[ ]1ΣµΣb 1RRR

1RR

−− −= ACD1:[2.42]

an die Formel für die effizienten Portfolio-ünschten Portfoliorendite so schreiben:

[2.43]

achdem a und b definiert sind, kann mN

gewichtungen als lineare Funktion der gew

( ) PP µµ baw P += Varianz der effizienten Portfolios

Die Varianz eines beliebigen Portfolios auf dem effizienten Rand lässt sich wie die arianz eines jeden Portfolios berechnen:

V

=2σ[2.44] RRP

Durch Einsetzten von [2.43] erhält man:

wΣw'

( ) ( )PPP µµσ baΣ'ba RR ++=2 [2.45]

eitere Berechnungen ergeben: W

[2.46] 22 2 PPP DC

DA

DB µµσ +⋅+=

Durch ng der Gleichung 2.46 ergibt sich:

Umformu

[2.47] CC

ADC

PP12

2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= µσ

19

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle Kurve effizienter Portfolios

Die Formel 2.47 kann auch nach der erwarteten Portfoliorendite aufgelöst werden. Man erhält die Formel für die erwartete Rendite eines Portfolios in Abhängigkeit von seiner Varianz:

⎟[2.48] ⎠⎝ CCC PP⎞

⎜⎛ −⋅±=

DA 12σµ

er effiziente Rand schließt den „minus“-Term aus, ein rationaler Investor würde bei egebenem Risiko immer die Alternative mit dem höchsten Erwartungsnutzen wäh-n. Die Formel für den effizienten Rand lautet demnach:

Dgle

⎟⎠⎞

⎜⎛ −⋅+=

DA 12σµ [2.49] ⎝ CCC PP

ufgeführt. Es wird rsichtlich, dass sich mit Leerverkäufen theoretisch bessere Portfolios erreichen las-

apier-Portfolio

Beispiel

In der Abbildung 2.6 sind die Kurven effizienter Portfolios eines beispielhaften Vier-Wertpapier-Portfolios33 für den Fall ohne Leerverkäufe und für den soeben hergelei-teten Fall mit Leerverkäufen mittels der durchgezogenen Linien aesen.

Abbildung 2.6: Effiziente Portfoliokurven für ein beispielhaftes Vier-Wertp

33 Die erwartete Renditen sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix für die Wertpapiere A,B,C und D dieses Vier-Wertpapier-Beispielportfolios sind im Anhang B.1 aufgeführt.

20

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ 2.2.5 Das Minimum-Varianz-Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall

ichen Varianz MVP ist in der Portfoliooptimie-ng von besonderem Interesse. Wie nachfolgend gezeigt werden kann, hängen die

Wertpapiergewichtungen bei diesem Portfolio nicht von den erwarteten Renditen, sondern nur von der historischen Varianz-Kovarianz-Matrix der Renditen ab. Da diese als stabiler gilt als der historische Renditevektor, sollten die varianzminimalen Portfolios auch stabiler sein als jedes andere effiziente Portfolio.34

Herleitung

Die Varianz eines Portfolios in Abhängigkeit der erwarteten Rendite

Das Portfolio mit der minimalen möglru

CCA

DC

PP12

2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= µσ

besitzt ein offensichtliches Minimum für µ = A/C. Somit gilt für die erwartete Ren-

ite und für das Risiko des Minimum-Varianz-Portfolios: P

d

[2.50] 2AA σµ ===− 1Σ'µ 1RRR MVPMVP C − 1Σ1' 1

RR

nd u

[2.51] 1Σ1' 1

RR−==

CMVPσ

112

ie Gewichtungen der Wertpapiere für das Minimum-Varianz-Portfolio sind nach g [2.39] gegeben durch:

[2.52]

Dder Gleichun

1Σ1'1Σ

1ΣµΣ

1ΣµΣw 1RRR

1RRMVP

−−

⎛ −⎞⎛ −⋅

⋅+⋅=

ABACA21 λλ

1RR

1RR

1RRR

1RR

−

−

−−

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⋅+

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝=

D

ACD

C

21

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle Beispie

der Abbildung 2.7 sind für das Beispielportfolio der Abbildung 2.6 die Minimum-

Abbildung 2.7: Minimum Varianz Portfolios des Vier-Wertpapier-Beispielportfolios

l

InVarianz-Portfolios MVP gekennzeichnet.

6 Das nutzenmaximierende Portfolio im Mehr-Wertpapier-Fall

rtpapiere untersucht.

Herleitung

Es wird unter der Nebenbedingung, dass der Investor vollständig investiert ist, nach dem Portfolio auf der Kurve effizienter Portfolios gesucht, das den Nutzen des Inves-tors ma ierungsproblem lautet demnach:

[2.53]

2.2. Gemäß der Darstellung im Abschnitt 2.2.3.2 wird hier das optimale, nutzenmaximie-ende Portfolio OP für den Fall mehrerer Wer

ximiert. Das Optim

( )

1... =w'1Ndu

max 2, wΣw',µw' RRRUσµ

evor dieses Problem angegangen wird, wird eine Kurzform für die Parameter der Nutzenfunktion definiert:

B

( ) ( )wΣw',µw' RRR2,:σµ

UU =o [2.54]

34 vgl. Kleeberg (1995)

22

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ Die Lagrangefunktion für das Optimierungsproblem lautet:

( ) ( ) ( )1, −−= w'1wΣw',µw'w RRR δδ UL [2.55]

ie notwendigen Bedingungen für die Maxima sind: D

[2.56] ( ) ( ) 0w RRR

!

2 =∂

1wΣµ −∂

+∂

=∂ δoo UUL

∂∂ σµ

und

01!=−=

∂∂ w'1δL [2.57]

ung der Bedingung [2.57] nach w liefert die Formel:

[2.58]

Die Auflös

( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−⋅

∂∂

=−

R

1RR

OP µ1Σwµ

δ

σ

o

o

UU

2

ultipliziert man diese Gleichung mit 1 unter der Berücksichtigung der Nebenbe-

[2.59]

Mdingung [2.57], erhält man den Wert für δ:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )MVPMVP µσ ∂∂ 2

UU

UAUC

UU

µσ

µσ

µσδ

∂+

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

=

oo

oo

oo

2

2

2

1

1RRR

RR

µΣ1'1Σ1'

Dabei bleibt die Definition der Skalare unverändert zu den Formeln 2.31-2.34. Setzt man [2.59] in [2.58] ein, so ergibt sich:

[2.60]

( ) ( )

( ) ( ) RRRRR

∂∂

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ ∂∂

22 σσoo UCUC

11OP µΣ1Σw −− ∂

∂

−⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

∂∂

+=1 µµ

oo UA

U

23


bzw.

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

∂∂∂

∂−

+= −−−

1ΣµΣ1Σw 1RRR

1RR

1RR

OP CA

U

U

C2σ

µo

o

Wenn die Gleichungen für das Minimum-Varianz-Portfolio [2.52] und für den Vek-tor b [2.

[2.61]

42] eingesetzt werden, erhält man des Ergebnis:

( )

( ) bww MVPOP DC

U

U

⋅

∂∂∂

∂−

+=

2σ

µo

o

Der Term

( )

( )2σ

µ

∂∂∂

∂−

o

o

U

U

stellt d ar, so

ass man auch schreiben kann: en Umkehrwert der Grenzrate der Substitution MRS35 des Investors d

d

[2.62] ( ) bww MVPOP ⋅+=o2,σµ

MRSD

C

Beispiel

Abbildung 2.8: Optimale Portfolios im Vier-Wertpapier-Beispiel

35 vgl. Varian (2004), S. 47 f.

24

2.2 Portfolio Selection nach MARKOWITZ Die Abbildung 2.8 veranschaulicht die optimalen Portfolios in dem Vier-Wertpapier-

rechen Iso-Nutzen-Linien des Typs in der ormel 2.15. Der Risikoaversionsparameter λ wurde auf 2.5 gesetzt. Es wird ersicht-

r Leerverkäufe den Anleger auf t (U = 3.5), als das optimale Portfolio ohne Leerver-

Berücksichtigung der erwarteten

Die AktiZehnrianzPara Im KBescErmche

Beispiel. Die zusätzlichen Linien entspFlich, dass das optimale Portfolio in dem Fall erlaubteein höheres Nutzenniveau bringkäufe (U = 2.7). 2.2.7 Modellkritik Die Portfolio-Selection-Theorie nach Markowitz beschäftigt sich mit der Portfoliooptimierung unter der simultanenPortfoliorendite auf der einen Seite und des eingegangenen Risikos in Form der Portfoliovarianz oder der Standardabweichung des Portfolios auf der anderen Seite. Der gesamte Vorgang der Portfolio Selection ist in der Abbildung 2.9 veranschaulicht.

Abbildung 2.9: Der Prozess der Portfolio-Optimierung nach MARKOWITZ

-

Pr N erwartete µR

ognose der n Renditen

-O

Effiziente Portfolios
Prognose der (N(N - 1))/2 + N Kovarianzen und Varianzen ΣRR
Ziele des Anlegers,z. B. Nutzenmaximie-rung

Optimales Portfolio

Restriktionen bezüglich des Vektors der Portfolioge-wichte w

[Quelle: Eigene Darstellung in Anleh

Gesamtzahl der zu schätzenden en allgemein auf N(N+3)/2. So -Wertpapier-Portfolios zehn erwaen zu prognostizieren. Insgesammeter geschätzt werden.

ern der Modernen Portfolio-Thhreibung des Portfoliorisikos, diittlung effizienter und optimaler PPortfoliorendite die Wertpapiermi

PORTFOLIO- PTIMIERUNG

nung an Fabozzi/Gupta/Markowitz (2002), S. 8]

Inputs beläuft sich bei einem Portfolio mit N sind zum Beispiel bei der Optimierung eines rtete Renditen, zehn Varianzen und 45 Kova-

t müssten in diesem Fall also 65 unbekannte

eorie nach Markowitz stehen die quantitative e Analyse der Porfoliodiversifikation und die ortfolios nach dem Grundsatz, für jede mögli-schung zu finden, welche die kleinste Rendite-

25

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle varianz verursacht. Dieser innovative Ansatz erlaubte es der Wissenschaft, die Ana-lyse der Probleme der Geldanlage grundlegend voranzutreiben. Auf der Portfolio Selection baut beispielsweise mit dem Capital Asset Pricing Model das wohl bekann-

ste Kapitalmarktmodell auf. Dieses wird im Abschnitt 2.5.1 vorgestellt.

Kritik an aufwan-es geübt, welcher das in der Theorie elegante Modell für den praktischen Einsatz ark in Frage stellt.

.3 Index-Modell von SHARPE

.3.1 Ansatz des Index-Modells von SHARPE

ie im Markowitz-Modell bestehende Datenproblematik hat 1963 zur Entwicklung es Indexmodells36 durch Sharpe geführt.37 Der Grundgedanke des Index-Modells ist ie Reduzierung der zur Bestimmung der Effizienzkurve benötigten Inputgrößen. ie Korrel dern zwi-hen jeder Anlage und dem Index berechnet.

39 Aus diesem Grund sollte ein repräsentativer Index die Renditeunsicherheit der Anlagewerte vollständig erklären können. Die Renditeentstehung kann demnach folgendermaßen modelliert werden40:

[2.63]

te

der Portfolio Selection wird vordergründig wegen des hohen Datendst 2 2

DddD ation wird nicht zwischen sämtlichen Anlagen paarweise, sonsc In der Praxis werden auf einem nationalen Markt häufig Korrelationswerte zwischen 0,3 und 0,9 beobachtet.38 Sharpe geht davon aus, dass fundamentale Ursachen die

ründe für diese positiven Korrelationswerte seien.G

iIiii RbaR ε++=

mit: Ri: Rendite der Aktie i ai: Konstante, unternehmensindividuelle Rendite

RI: Rendite des Indexes, der die für alle Unternehmen be-deutsamen Ereignisse erfasst

i: Sensitivität der derungen von RI εi: Titelspezifische Störkomponente41

b Aktie i auf Än

ignisse wie z. B. ein Brand beeinflussen die Rendite eines Unterneh-ens ebenfalls. Solche Unsicherheiten werden in der Gleichung durch die Störkomponente wiederge-

geben.

36 Auch Single-Index-Modell oder Diagonalmodell genannt. 37 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 15 38 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 16 39 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 16 40 vgl. Sharpe/Gordon/Alexander (1995), S. 206 41 Unternehmensspezifische Erem

26

2.3 Index-Modell von SHARPE Abbildung 2.10 stellt den Zusammenhang zwischen der Rendite eines Wertpapiers i und der Entwicklung des Marktindexes dar. Die Werte ai und bi werden mit einer linearen Regressionsgeraden geschätzt.

Abbildung 2.10: Zusammenhang zwischen Indexrendite und Aktienrendite

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an S

Anhang A.1 befindet sich die Herleitung der Fndite und die Portfoliovarianz im Index-Modell orendite lautet:

[2.64]

ie Portfoliovarianz setzt sich aus dem indexspezio und dem titelspezifischen bzw. unsystematiscch im Index-Modell zu:

[2.65]

Imreli

[ ] [ ]+∑=

= REbN

iawRE IPiiP

1 Dksi

[ ][ ]2222

Nw σσ ∑+

22

iiIP

PPP

b

RERE

ε

σ

1i ==

−=

u berechnen. Es ist auch hier die Portfoliovarianzgen und der Bedingung der vollständigen InvestitioAnlagen, zu minimieren:

iese Formeln sind nötig, um mit dem Index-ModD

z

εit2

εit1

y

x

ai

Aktienrendite Ri

bi=y/x

teiner/Bruns (2000), S. 17]

ormeln für die erwartete Porfolio-von Sharpe. Die erwartete Portfo-

fischen bzw. systematischen Risi-hen Risiko zusammen. Sie ergibt

∑=

=N

ibwbmit iiP

1

ell von Sharpe die Effizienzkurve , bei gegebenen Renditeerwartun-n in die zur Verfügung stehenden

Indexrendite RI

27


[2.66] 222

2

11min! iiIii

N

iw

N

ibw εσσ ∑

=+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

i

u.d.N. [ ] [ ]iiiiiP REN

bwN

awRE ∑i =

+∑= 11

=

und ∑=

.3.2 Modellkritik

der Abbildung 2.11 ist der Prozess der Portfolio-Optimierung nach dem Single-

pier

=n

iiw

11

Auf eine, wie im Modell von Markowitz dargestellte, ausführlichere Herleitung der Lösung dieser Minimierungsaufgabe wird verzichtet, da das Single-Index-Modell von Sharpe im empirischen Teil dieser Arbeit nicht weiter untersucht wird. 2 InIndex-Modell veranschaulicht.

Abbildung 2.11: Der Prozess der Portfolio-Optimierung im Index-Modell von SHARPE

Es

42 Immit d

-

Restriktionen bezüg-lich des Vektors der Portfoliogewichte w

-

28

Prognose der N titelspezifischen Renditen ai

en beträgt der Prognoseaufwand a

[Quelle:

sind insgesamt 3N+2 Daten zu sc

Markowitz-Modell wären es 65 geweser Aktienanzahl.

O

Effiziente Portfolios

PORTFOLIO- PTIMIERUNG

e-
Ziele des Anlegers,z. B. Nutzenmaximirung
lso 32 Daten.42

Eigene Darstellung]

hätzen. Bei einem Portfolio

en, allerdings steigt die Parameter

Optimales oPortf lio

Prognose der N Varianzen σε12………σεN2

Prognose der Indexrendite E[RI]

Prognos der N Sensitivitäten

e bi

Prognose der IndexvarianzσI

2

von zehn Wertpa-

zahl dort exponentiell

2.4 TOBIN-Separation Das Index-Modell von Sharpe berücksichtigt die offensichtliche Abhängigkeit der Wertentwicklung von Aktien auf einem Markt. Ein Aktienindex gibt in dem Modell die Um m Markt wieder. Die Performance jeder Aktie des Portfolios lässt sich durch die geschätzte Rendite des Indexes ableiten. Somit redu-ziert si r Schätzau Ver ell erheblich. Diesem reduzierten PrognoseaInform ionsverlust geg , die im Index-Modell über die Störkompon fe s vorstellbar, dass unternehmensindividu

en Kapi-lmarktes , an dem jeder Anleger die Möglichkeit zu unbegrenzter Kreditaufnahme

hat.46 Die wichtig des Anle-

ers in einer anderen Weise als bei dem von Markowitz behandelten Fall mit aus-

t. Im ersten Schritt wird die Zusammensetzung des risikobehafteten ertpapierportfolios bestimmt. Dies passiert unabhängig von der jeweiligen Risiko-

neigung des Investors. Im zweiten Schritt entscheidet sich der Anleger, wie sehr das Risiko und der erwartete Gewinn dieses riskanten Portfolios durch Geldanlage oder Kreditaufnahme zum sicheren Zinssatz Rf, gemindert oder erhöht werden.47 Die erwartete Rendite eines Mischportfolios aus einer risikolosen Anlage und einer risikobehafteten Anlage hängt maßgeblich von dem Anteil α des Vermögens ab, das in das sichere Wertpapier investiert wird. Die folgende Formel veranschaulicht die erwartete Rendite, die ein Anleger mit einem solchen Mischportfolio erreichen kann:

weltbedingungen auf de

ch de fwand im gleich zum Markowitz-Mod

ufwand steht allerdings ein deutlicher at enüber. Die Gültigkeit der Annahmen

n g trof 43ente e n werden , ist außerdem fragwürdig. So ist eelle Renditeentwicklungen durchaus

Auswirkungen auf andere Unternehmen haben können. In dem Fall würden sich aber im Index-Modell für die Varianzen und Kovarianzen nur approximative Werte ergeben.44 2.4 TOBIN-Separation James Tobin erweiterte 1958 die Theorie von Markowitz, indem er die Möglichkeit berücksichtigte, ein risikoloses Wertpapier in das Portfolio zu integrieren. Eine wei-tere Annahme seines Modell war die Existenz eines vollkommen vollständig

45ta

ste neue Erkenntnis war, dass sich das Entscheidungsproblemgschließlich riskanten Investitionsmöglichkeiten in zwei Teile zerlegen oder separie-ren lässW

43 siehe Anhang A.1 44 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 259 45 In einem vollkommenen Kapitalmarkt gibt es keine Arbitragemöglichkeiten, keine Transaktions-kosten und keine Einschränkungen beim Short-Selling. Soll- und Habenzinsen sind gleich, und alle Wertpapiere sind beliebig teilbar. [siehe Franke/Härdle/Hafner (2003), S. 13] 46 vgl. Schmidt (1996), S. 331 47 vgl. Schmidt (1996), S. 332

29


[2.67] [ ] ( ) [ ]rfP RERRE ⋅−+⋅= αα 1 mit E[RP]: Erwartete Portfoliorendite

α: Anteil des Vermögens, das in die sichere Anlage investiert wird

Rf: Risikoloser Zinssatz Rr: Erwartete Rendite der risikobehafteten Anlage

Es ist mit einer risikolosen Anlage und einem gegebenen risikobehafteten Portfolio

as beste riskante Portfolio diesem Sinne ist dasjenige, welches es ermöglicht, für ein gegebenes Risiko die

höchste er licht, wie eine risikolose Anlage Rf mit einem ineffizienten risikobehafteten Portfolio INEFF und dem effizienten risikobehafteten Portfolio EFF kombiniert werden kann. Es wird ersichtlich, dass das effiziente risikobehaftete Portfolio bei der Tobin-Separation das

angentialportfolio auf der Kurve effizienter Portfolios von Markowitz ist.

Abbildung 2.12: Die TOBIN-Separation

durch Kreditaufnahme, das heißt ein negatives α, oder die Anlage zum sicheren Zins-satz möglich, ein Mischportfolio zu bilden, dessen erzielbare Parameter µ und σ auf der Geraden liegen, welche die zwei Anlagen verbindet. Din

wartete Rendite zu erreichen. Die Abbildung 2.12 veranschau

T


Die Gerade effizienter Portfolios in der Tobin-Separation kann man demnach schrei-

en als:

[2.68]

b

[ ] [ ]P

EFF

fEFFfP

RRERRE σ

σ⋅

−+=

30

2.5 Kapitalmarktmodelle Im nächsten Schritt sind die subjektiven Risikopräferenzen des Anlegers notwendig, um das Verhältnis der risikolosen Anlage und des risikobehafteten Portfolios im neu-

portfolio zu bestimmen. Jeder Anleger wird das Mischportfolio

s und im Falle der Tobin-eparation mit einer risikolosen Anlage wählen würde.

Aus de ie Tobin-Separation dem Anleger möglicht, ein höheres Nutzenniveau zu erreichen als bei der Portfolio Selection

teten Wertpapieren.

Anh es effizienten Tangentialportfolios EFF und

KOWITZ

en optimalen Mischwählen, welches ihn auf das höchstmögliche Nutzenniveau bringt. Abbildung 2.13 verdeutlicht, welche µ-σ-Kombinationen der Anleger im Falle eines ausschließlich aus riskanten Wertpapieren zusammengestellten PortfolioS

r Abbildung 2.13 wird ersichtlich, dass dervon Markowitz mit ausschließlich risikobehaf Im ang A.2 sind die Herleitungen dder Geraden effizienter Portfolios nach Tobin aufgeführt.

Abbildung 2.13: Optimale Portfolios nach TOBIN und MAR

[Quelle: Eigene Darstellung]

2.5 Kapitalmarktmodelle In den Modellen von Markowitz und Tobin wird aus mehreren Wertpapieren die

urve effizienter Portfolios und das Tangentialportfolio ermittelt. Im FolgendenKSchritt wird

ein für den Anleger optimales Portfolio ermittelt, indem seine Nutzen-

funktion maximiert wird. Diese Ansätze sind normativ, da sie besagen, wie sich ein individueller Investor verhalten soll. Die Kapitalmarktmodelle versuchen vorder-

31

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle gründig zu erklären wie Wertpapierpreise zustande kommen. Diese Theorien sind xplikativer Natur.48

Der klassische Ansatz der Kapitalmarkttheorie ist das 1964-1966 von Sharpe, Lintner

nd Mossin49 entwickelte Capital Asset Pricing Model CAPM. Außerdem wird die, uf ein en th en Ba g Theory APT

behand 2.5.1 C in Mod

sagt, dass sich Anleger dem Modell der äß verhalten. Folgende Annahmen des CAPM wur-

den bereits im Rahmen der Portfolio-Theorie getroffen50:

Investoren bewerten Investitionen nach deren erwarteter Rendite und nach

Investoren verhalten sich risikoavers.

ußerdem werden im CAPM zusätzliche Annahmen aufgestellt:

enselben einperiodigen Planungshorizont.

.5.1.2 Die Kapitalmarktlinie Der erste Schritt zur Konstruktion des CAPM besteht in der Ermittlung der Kapital-marktlinie. Der Aufbau der Kapitalmarktlinie erfolgt analog zur Tobin-Separation51, llerdings stellt die Kapitalmarktlinie durch die zusätzlichen Annahmen des CAPM,

sä r. Die individuellen Portfo-lios unterscheiden sic och d

e

ua er ander eoretisch sis entwickelte Arbitrage Pricin

elt.

apital Asset Pric g el

2.5.1.1 Annahmen ie grundlegende Annahme des Modells beD

Modernen Portfolio-Theorie gem

- dem Risiko über eine bestimmte Periode.

- Investoren sind nie gesättigt. - - Wertpapiere sind unendlich teilbar. - Es existiert eine sichere Anlage. - Steuern und Transaktionskosten werden nicht berücksichtigt. A - Alle Investoren haben d- Der sichere Zinssatz ist für sämtliche Investoren identisch. - Informationen sind frei und sofort verfügbar. - Investoren haben homogene Erwartungen bezüglich µ, σ2 und σij.

2

adie Linie effizienter Portfolios für mtliche Investoren da

h nur n urch die verschiedenen Mischverhältnisse zwi-

48 vgl. S pe/Alexander/B 5), S. 249 Perridon/Steiner (1999), S. 260 beziehen sich auf: Sharpe (1964), Lintner (1965) und Mossin (1966) 50 vgl. Sharpe/Alexander/Bailey (1995), S. 261 51 siehe Abschnitt 2.4 und Anhang A.2

har ailey (199 61

32

2.5 Kapitalmarktmodelle schen der sicheren Anlage und demnen zusätzlichen Annahmen wird das risikobehaftete Portfolio jedes Anlegers diesel-be Struktur besitzen. Dieses Portfoli Wenn von

er Gültigkeit des CAPM ausgegangen wird, so können die Wertpapiergewichtungen

er Kapitalmarktlinie:

risikobehafteten Portfolio.52 Durch die getroffe-

o wird auch Marktportfolio genannt.53

ddes riskanten Portfolios aus den relativen Marktkapitalisierungen der in ihm vorhan-denen Assets bestimmt werden; wenn jeder Investor die Wertpapiere zu einem iden-tischen Verhältnis kauft, so wird das Verhältnis, zu dem die Gesamtheit der Investo-ren diese Anlagen besitzen, demjenigen jedes Anlegers entsprechen. Ähnlich wie bei der Tobin-Separation ist die Formel d

[ ]P

M

fMfP

RRERRE σ

σ−

+=][ [2.69]

Rf: Risikoloser Zinssatz E[RM]: Erwartete Rendite des Marktportfolios

σM: Standardabweichung des Marktportfolios σP: Standardabweichung des Portfolios

mit: E[RP]: Erwartete Rendite des Portfolios

Die Steigung der Kapitalmarktlinie beträgt:

[2.70] [ ]

M

fMKML

RREm

σ−

=

Sie stellt den Marktpreis für eine Änderung des Risikos um eine Einheit σ dar und wird aus diesem Grund auch als Marktpreis des Risikos bezeichnet.54

Graphisch entspricht die Kapitalmarktlinie der Geraden effizienter Portfolios der Tobin-Separation und ist in der Abbildung 2.12 veranschaulicht. Durch die Annah-

en des CAPM kann das effiziente risikobehaftete Portfolio EFF als Marktportfolio ezeichnet werden.

.5.1.3 Die Wertpapierlinie ie Wertpapierlinie ist die entscheidende Erweiterung der Portfolio-Theorie und ellt das Grundmodell des CAPM dar. Sie veranschaulicht den Zusammenhang zwi-hen erwarteter Wertpapierrendite und Risiko des Wertpapiers, der im Marktgleich-

mb

2Dstsc

vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 264

53 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 23 54 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 265

52

33

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle gewicht immer gegeben sein muss. Eine ausführliche Herleitung der Wertpapierlinie

efindet sich im Anhang A.3. Die Wertpapierlinie lautet:

[2.71]

b

[ ] [ ][ ] 2M

iMfMfi RRERRE

σσ⋅−+=

it: Rf: Risikoloser Zinssatz des Wertpapiers i im Markt-

iM : Kovarianz des Wertpapiers mit dem Marktport-folio

σM2: Renditevarianz des Marktportfolios

Demnach kann für eine einzelne risikobehaftete Investition im Kapitalmarktgleich-

ewicht eine Rendite erwartet werden, die aus der risikolosen Rendite und einer Ri-

[2.72]

m

E[Ri]: Erwartete Rendite gleichgewicht

E[RM]: Erwartete Rendite des Marktportfolios σ 2

gsikoprämie zusammensetzt ist. Die Risikoprämie ergibt sich aus dem Produkt des Marktpreises des Risikos55 [E[RM]-Rf] mit der Höhe des Risikos der einzelnen Anla-ge, die durch den Ausdruck σiM/σM

2 gemessen wird. Für dieses Risikomaß hat sich der Ausdruck des Betafaktors β durchgesetzt. Es gilt:

M

iiM

M

iMi σ

σρ

σσ

β == 2

Schließlich kann die Standardgleichung des CAPM aufgestellt werden:

[ ] [ ][ ] ifMfi RRERRE β⋅−+= [2.73]

Abbildung 2.14 veranschaulicht. Basierend auf der Ka-ortet sie die Fragestellung, wie ein einzelnes Wertpapier im

Marktgleichgewicht zu bewerten ist. Befindet sich ein Wertpapier oberhalb der Wertpapierlinie, so gilt es als unterbewertet. Anleger werden diesen günstigen Preis

der Wertpapierlinie befinden, gilt ieser Gedankengang umgekehrt. Das CAPM-Gleichgewicht geht demnach davon

aus, d ndig

Die Wertpapierlinie ist in der pitalmarktlinie beantw

des Wertpapiers nutzen und es kaufen. Durch diese erhöhte Nachfrage wird aller-dings der Preis der Anlage steigen und konsequenterweise die Rendite der Anlage fallen. Für überteuerte Wertpapiere, die sich unter d

ass sich die Rendite eines Wertpapiers durch seinen Beta-Faktor vollstä

55 in der angelsächsischen Literatur: Market Risk Premium

34

2.5 Kapitalmarktmodelle erklären lässt, sowie dass Ungleichgewichte auf dem Markt nur kurzfristig bestehen

önnen und schließlich wieder zum Gleichgewicht tendieren.

Abbildung 2.14: Die Wertpapierlinie

isiko Anhang A.1 wurde die Formel zur Festlegung des Portfoliorisikos deriviert. Das

k

Aktien ndite Ri re

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Steiner/Bruns (2000), S. 27]

2.4.1.4 Systematisches und unsystematisches R

E[RM] Wertpapierlinie

Rf

ImPortfoliorisiko im Index-Modell ergibt sich zu:

[2.74] 43421

321

RISIKOISCHESUNSYSTEMAT

ii

RISIKOCHESSYSTEMATIS

IPP

N

iwb 22222

1εσσσ ∑

=

Das Portfoliorisiko lässt sich aus einem Term für das systematische, also vom Markt abhängige, Risiko und einem Term für das unsystematische, wertpapierspezifische Risiko bestimmen. Die Konvergenz des Portfoliorisikos gegen das systematische Risiko wird mit steigender Anzahl an Wertpapieren im Portfolio deutlich:

[2.75]

bzw. im CAPM:

+=

22

0

22222

1limlimlim

IP

iiN

RISIKOCHESSYSTEMATIS

IPNPN

b

N

iwb

σ

σσσ ε

=

∑=

+=∞→∞→∞→

448447648476

βM=1 Beta-Faktor βi der Aktie i

35


[2.76] ∞→

= IPPN

222lim σβσ

∑=

N

iiw ββ

ie Eliminierung des unsystematischen Risikos ist demnach umso effektiver, je di-

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Sharpe/Alexander/Bailey (1995)]

u ahme von systemati-hem Risiko vom Markt in Form von erwarteter Rendite belohnt werden und dass

nsystematisches, diversifizierbares Risiko keine Risikoprämie verursacht, ist eine

Weiteren ist die Stationarität der Modellparameter, vor allem des Beta-Faktors, im Zeitablauf nicht gegeben.56 Die zentrale Aussage der Kapitalmarktlinie beschreibt daher nicht das reale Anlegerverhalten, sondern verdeutlicht die Gleichgewichtsbe

⋅=i

Pmit1

Dversifizierter das Portfolio ist. Die Abbildung 2.15 veranschaulicht die Entwicklung des Portfoliorisikos bei steigender Diversifikation.

Abbildung 2.15: Systematisches und unsystematisches Portfoliorisiko bei steigender Diversifikation

2.5.1.5 Modellkritik Das CAPM stellt das wichtigste Modell zur Erklärung von Wertpapierrenditen in Abhängigkeit von deren Risiko und zur Analyse der Risikoreduktion durch Diversi-fikation dar. Die Aussage, dass Investoren lediglich für die A fnscuwichtige Erkenntnis in der Kapitalmarkttheorie. Seit der Entwicklung durch Sharpe, Lintner und Mossin wurde das CAPM in zahlrei-chen Untersuchungen auf seine empirische Gültigkeit getestet. Das Modell konnte bisher weder eindeutig verifiziert noch falsifiziert werden. Hervorzuheben sind die vielen und zum Teil unrealistischen Annahmen, auf die sich das Modell stützt. Des

56 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 28 f.

SYSTEMATISCHES RISIKO

Portfoliorisiko σP2

Anzahl der Aktien im Portfolio

UNSYSTEMATISCHES RISIKO

36

2.6 Performance-Messung von Portfolios dingungen für die Unabhängigkeit von Investitionsentscheidungen von persönlichen Rendite-Risiko-Präferenzen.57

2.5.2 Arbitrage Pricing Theory Die Basis der Arbitrage Pricing Theory APT ist nicht mehr die Portfolio-Theorie, sondern ein in sich geschlossenes Arbitragegebäude.58 Eine ausführliche Behandlung der APT gehört demnach nicht in diese Arbeit; da sie aber in der Literatur die geläu-

gste Alternative zum CAPM darstellt, wird deren Grundgedanke im Folgenden kurz

iglich auf er Rendite und das Risiko des Marktportfolios zurückgeführt wird. Die APT erklärt

ben we

fidargestellt. Die von Ross 1976 entwickelte Arbitrage Pricing Theory basiert auf einem anderen Ansatz als das CAPM, bei dem die Erklärung von Wertpapierrenditen leddWertpapierrenditen anhand mehrerer Faktoren, sie kann in folgender Form geschrie-

rden:

([2.77]

[ ] [ ] ) [ ]( ) [ ]( )

[ ]( ) ikk

fkf

iK

RFER

RFERFERF

β

fi ERRE

K

ieRisikoprämfKifif βββ

∑=

−+

−+= ++−+−

=1

K

rwarteten Rendite eines Portfolios, welche vom k-ten Faktor bhängt und von allen anderen Faktoren vollkommen unabhängig ist. Der Betafaktor ik ist das Sensitivitätsmaß der Aktienrendite gegenüber dem k-ten Faktor. Der Vor-

APT hervorgehen soll, ist die Erklärung der Risikoprämien von 59

.6 Performance-Messung von Portfolios Unter Performance-Messung ist die Beurteilung und der Vergleich des relativen An-

geerfolgs von Portfolios zu verstehen. In der Praxis kann durch die Performance-

2211 4444444444 34444444444 21

E[Fk] entspricht der eaβteil, der durch dieWertpapieren aus mehreren wirtschaftlichen Einflussgrößen. 2

laMessung die Leistung von Portfoliomanagern quantifiziert und verglichen werden.60

57 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 264 58 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 30 59 vgl. Kruschwitz (2003), S. 370 60 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 567 f.

37

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle In der Entwicklung neuer Portfoliokonzepte können verschiedene Ansätze auf ihre Güte getestet werden und gegebenenfalls verbessert oder ausgeschlossen werden. Die Besonderheit der verschiedenen Methoden zur Performance-Messung liegt in der weidimensionalen Rendite-Risiko-Beurteilung der Portfolios. Eine im Portfolio-

ssage, ein bestimmtes Portfolio habe seine Benchmark ge-

ark, an der die Performance eines Portfolios gemessen it einer Benchmark

erfolgt hen der in diesem Abschnitt vorgestellten Performancemaße. Nach Sharpe sollte eine Benchmark folgenden Anforderungen gerecht werden: 61

Der reale Erwerb der Benchmark sollte kostengünstig durchzuführen sein. mark sollte vor dem Zustandekommen von Anlageentscheidungen

SHARPE-Ratio

ie Sharpe-Ratio, auch Reward to Variability Ratio genannt, diskontiert die Über- risikolosen Zinssatz mit dem Risiko des Portfolios. Die For-

mel zur Festlegung der Sharpe-Ratio lautet:62

zManagement typische Auschlagen, ist aufgrund der alleinigen Betrachtung der Portfoliorendite, unbrauchbar: Das gesamte Kapital würde in das Portfolio mit der höchsten Überperformance investiert werden.

ie Festlegung einer BenchmDwird, ist von großer Bedeutung. Ein Vergleich der Portfolios m

in sämtlic

- Bei der Benchmark sollte es sich um eine real erwerbbare Anlagealternative

handeln. - Die Benchmark sollte sehr gut diversifiziert und deshalb schwer risikoadjus-

tiert zu schlagen sein. - - Die Bench

festgelegt sein. Im Folgenden werden die gängigen Maße zur Quantifizierung der Performance von Portfolios aufgeführt.

Drendite gegenüber dem

[2.78] P

fPP

RRSR

σ−

=

Verbal drückt die Sharpe-Ratio die erzielte Risikoprämie je Einheit des Gesamtrisi-kos aus. Die Portfolioperformance ist demnach umso besser einzustufen, je höher der Wert der Sharpe-Ratio ist. Vergleicht man die Formel 2.77 mit der Formel 2.70, so wird ersichtlich, dass der Wert der Sharpe-Ratio einem Ex-post-Anstieg der Kapi- 61 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 574 62 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 295

38

2.6 Performance-Messung von Portfolios talmarktlinie entspricht. Portfolios lassen sich über die Sharpe-Ratio miteinander vergleichen. Portfolios mit einer höheren Sharpe-Ratio gelten als risikoadjustiert effizienter als Portfolios mit einer niedrigen Sharpe-Ratio.63

TREYNOR-Koeffizient

sich ebenfalls auf das CAPM, berücksichtigt je-

[2.79]

Der Treynor-Koeffizient ist auch unter der Bezeichnung Reward to Volatility Ratio bekannt. Dieser Koeffizient stützt doch statt der Volatilität des Portfolios dessen systematisches Risiko. Die Formel des Treynor-Koeffizienten lautet:64

P

fPP

RRTK

β−

=

Je höher das Performancemaß von Treynor bei einem Portfolio ausfällt, desto besser

nnt, bietet eine alternative Herange-

wurde die Übernahme systematischen Risikos belohnt. Portfolios mit einem höheren Treynor-Koeffizienten werden in der Performance-Messung besser abschneiden als Portfolios mit niedrigeren Werten. JENSEN-Alpha

Das Jensen-Alpha, auch Differential Return genahensweise für die Performance-Messung von Portfolios. Auch dieser Ansatz stützt sich auf das Modellgerüst des CAPM. Die verbuchte Überrendite eines Portfolios wird mit der erwarteten Überrendite dieses Portfolios verglichen. Die Formel hierzu lautet:65

[2.80] ( ) ( ) PFPfBMfPP RRRRJA εβ +⋅−−−=

mit [ ] 0=PFE ε

Jensens Alpha misst die Performance eines Portfolios relativ zum Markt. Das Ver-fahren eignet sich jedoch nicht zu einem Vergleich von Portfolios mit unterschiedl-chem systematischem Risiko und ist eher als absolutes Maß zur Beurteilung der Leistung von Portfoliomanagern einzusetzen.66

Die Performance-Maße von Jensen und Treynor verwenden das systematische Risiko bei der Risikoabdiskontierung. Ein gut diversifiziertes Portfolio, das denselben Beta-

63 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 576 64 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 295 65 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 582 66 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 294

39

2 Moderne Portfolio-Theorie und Kapitalmarktmodelle Faktor besitzt wie ein zweites, schlechter diversifiziertes Portfolio, würde mit dem-selben Faktor abdiskontiert werden. Dies ist keine faire Beurteilung, da das Portfolio mit dem kleineren unsystematischen Risiko ein kleineres Risikomaß besitzen sollte. Sowohl dem Jensen-Alpha als auch dem Treynor-Koeffizienten können dieselben Kritikpunkte wie dem CAPM angelastet werden.67 Eine relative Beurteilung unterschiedlicher Portfolios ist lediglich mit den Verfahren von Sharpe und Treynor möglich. In dem empirischen Teil dieser Arbeit werden die Portfolio-Management-Techniken durch die Analyse ihrer Sharpe-Ratios miteinander verglichen. 2.7 Fazit In diesem Kapitel wurden die Grundlagen der Modernen Portfolio- und Kapital-markt-Theorie dargestellt. Diese Theorien haben das Wertpapiermanagement revolu-tioniert und die akademische Untersuchung der Wertpapier- und Kapitalmärkte mög-lich gemacht. Der Ökonomie-Nobelpreis „for their pioneering work in the theory of financial economics”, der 1990 an Markowitz68, Sharpe69 und Miller70 ging, unter-streicht die Relevanz der aufgeführten Theorien. Bis zur Veröffentlichung des Artikels Portfolio Selection von Markowitz im Jahre 1952 gab es keine fundierte wissenschaftliche Erklärung für die in der Praxis betrie-bene Diversifikation von Wertpapierportfolios. Die Erkenntnis, dass Wertpapiere, die besonders niedrige Korrelationen zueinander aufweisen das Portfoliorisiko erheblich senken können, und die Ermittlung effizienter Wertpapiermischungen gehen auf Markowitz zurück. Die Portfolio Selection nach Markowitz war die Ausgangstheorie, nach der sich die gesamte Moderne Portfolio-Theorie und das CAPM von Sharpe, Lintner und Mossin entwickeln ließen. In der akademischen Welt gilt das CAPM als Grundgerüst der Kapitalmarkttheorie. Die zentralen Aussagen des CAPM sind die Vergütung für die Aufnahme von systematischem, das heißt marktabhängigem Risiko, und die Mög-lichkeit, unsystematisches Risiko vollständig wegzudiversifizieren.

67 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 295 68 für “Foundations of Portfolio Theory” 69 für “Capital Asset Prices with and without Negative Holding” 70 für „Leverage“

40

2.7 Fazit Andererseits bauen sowohl die Portfolio Selection als auch das CAPM auf vielenzum Teil unrealistischen Annahmen auf. Der erhebliche Datenaufwand, insbesonbei der Portfolio-Optimierung nach Mader Praxis kompliziert. Lösungsansätz

und dere

rkowitz, macht einen Einsatz des Modells in e dieser Datenproblematik, wie das Index-

odell von Sharpe, reduzieren zwar den Datenaufwand, führen jedoch zu einem Mittelwert-papier auf-

rund der geschätzten Daten den anderen Anlagen des Portfolios im Rendite-Risiko-

Mentsprechenden Informationsverlust. Ein weiterer Kritikpunkt, der an der Varianz-Optimierung geübt wird, ist die Tatsache, dass sobald ein WertgKontext überlegen ist, die Optimierungsroutine dieses Wertpapier deutlich überge-wichten wird. Fehler in den geschätzten Renditen haben somit einen starken Einfluss auf die Gestaltung und Performance des Portfolios. Da aber Fehler in der Renditeein-schätzung im Wertpapiermanagement durchaus vorkommen, ist die Kurve effizienter Portfolios ex ante nicht zu bestimmen.

41

3 Portfolio-Management nach BLACK und LITTERMAN

.1 Defizite der Portfolioo3 ptimierung nach MARKOWITZ

Häufig beinhalten optimierte Portfolios sowohl auf der Long-Seite als auch auf der

wert-Varianz-Optimierung tendiert auch bei Portfolios mit Restriktionen, wie zum Beispiel der Ausschluss von Leerverkäufen, zu extremen Portfoliogewichten.

Abbildung 3.1: Portfoliogewichte nach MARKOWITZ mit und ohne Leerverkäufe

In der Abbildung 3.1 sind die Markowitz-Gewichte73 eines Sieben-Wertpapier-Portfolios aus den Aktien des DAX mit der höchsten Marktkapitalisierung darge

Die im Kapitel 2 dargestellte Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz stellt eine quantitativ generell anerkannte Methode dar, um den Trade-off zwischen den zwei Grundzielen der Renditemaximierung und der Risikominimierung bei Investitionen zu erklären. Dieser Ansatz bildet nach wie vor das akademische Grundgerüst der Portfoliotheorie. In der Praxis konnte sich der Markowitz’sche Ansatz aufgrund di-verser schwerwiegender Probleme allerdings nur eingeschränkt durchsetzen. Die vier Hauptprobleme bei der Anwendung des klassischen Ansatzes sind:71

Extreme Portfolioallokationen

Short-Seite extreme Portfoliogewichte. Diese Gewichte könnten in der Praxis bereits aus institutionellen und rechtlichen Gründen nicht umgesetzt werden.72 Die Mittel-

71 Vgl. He/Litterman (1999), S. 2 f. und Drobetz (2002), S. 4 ff. 72 vgl. Drobetz (2002), S. 6 73 Nutzenmaximierendes Portfolio mit U= µ - 0.5 λ σ2; Der Risikoaversionsparameter wurde auf λ = 200 gesetzt, um das Beispiel anschaulicher zu machen.

Mit Leerverkäufen Ohne Leerverkäufe

42

3.1 Defizite der Portfoliooptimierung nach MARKOWITZ

stellt.74 In der ersten Tabelle wurden Leerverkäufe, in der zweiten nur Longpositio-nen erlaubt. Beide Portfolios weisen eine hohe Konzentration auf. Die SIE-Aktie wird aufgrund ihrer sehr hohen historischen Rendite bei relativ niedriger Volatilität75 stark übergewichtet. In dem ersten Portfolio der Abbildung 3.1 werden einige Werte stark geshortet, um eine erhöhte Beteiligung an den historisch stärkeren Aktien zu rmöglichen.

bar.76 Die Abbildung 3.2 verdeutlicht diese Problematik.

rverkaufsrestriktio-

e Sensitivität der Portfoliogewichte

Ein weiteres Problem stellt die starke Sensitivität der Portfoliogewichte gegenüber Veränderungen der Inputfaktoren dar. Besonders Veränderungen der erwarteten Renditen führen zu unrealistisch großen Umschichtungen im Portfolio. Dies hat zum einen die Folge hoher Transaktionskosten, zum anderen steht eine zu hohe Um-schichtungsfrequenz für inkonsistentes Portfolio-Management und ist nach außen nur schwer kommunizier Abbildung 3.2: Sensitivität der MARKOWITZ-Portfolios ohne und mit Lee

nen auf eine revidierte Renditeprognose

Die erwartete Rendite für das Jahr 2004 der SIE-Aktie wurde ceteris paribus um zehn

er Revision der Prozent erhöht. Die grauen Balken stellen die Portfoliogewichte vor d

74 Es handelt sich dabei, geordnet nach der Marktkapitalisierung, um folgende Werte: Siemens AG (SIE), Deutsche Telekom AG (DTE), Deutsche Bank AG (DBK), Allianz AG (ALV), E.ON AG (EOA), Daimler Chrysler AG

arktkapitalisierungen der 1

(DCX), SAP AG (SAP) [Stand: 30.12.2003]. Im Anhang B.3.3 sind die 5 größten DAX-Aktien veranschaulicht.

Eigenschaften des Markowitz’schen Ansatzes sowie des Black-Litterman-Ansatzes herangezogen. 75 siehe Anhang B.2 76 vgl. Drobetz (2002), S. 7

MDie historischen Renditen sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix wurden über die letzten 100

Börsentage des Jahres 2003 ermittelt (08.08.03-30.12.03) und auf Jahresrenditen bzw. Jahresvolatilitä-ten hochgerechnet. Die zugehörigen Matrizen befinden sich im Anhang B.2. Die Gewichte dieses Sieben-Wertpapier-Portfolios beziehen sich somit auf das Jahr 2004. Dieses Sieben-Wertpapier-Portfolio wird auch in den folgenden Abschnitten als Beispielportfolio zur Illustration verschiedener

43


Renditeerwartung dar. Die schwarzen Balken zeigen die Gewichte unter der revidier-ten Renditeerwartung. Analog zur Abbildung 3.1 sind in dem ersten Portfolio Leer-verkäufe erlaubt, in dem zweiten hingegen nicht. Die nach oben korrigierte Rendite-erwartung für SIE bewirkt in beiden Portfolios starke Umschichtungen, welche die Konzentration auf wenige Wertpapiere verstärken. Informationsaggregation

Der Markowitz’sche Ansatz erfordert die Spezifikation der Renditeerwartungen

Diese Probleme, di en Portfoliotheorie ufkommen, führen dazu, dass das Modell in der Praxis nur bedingt umgesetzt wer-en kann. Der Versuch, das Modell durch verschiedene Restriktionen realistischer zu achen, ist oft mit einem unverhältnismäßigen Aufwand verbunden. Für Black und itterman war dies der Anstoß, ein Portfolio-Management-Modell zu entwickeln, das ie oben angesprochenen Defizite des klassischen Ansatzes besser löst.78

.2 Der Ansatz des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens

diesem Abschnitt wird die grundsätzliche Vorgehensweise des Black-Litterman-erfahrens beschrieben, in den folgenden Abschnitten kann dann die Vorgehenswei- formalisiert werden.

as Black-Litterman-Verfahren orientiert sich ständig an einem von dem Portfolio-manager a priori festgelegten Referenzportfolio. Dieses Portfolio soll dem langfristi-

sämtlicher Wertpapiere sowie die dazugehörige Varianz-Kovarianz-Matrix. Die Schwierigkeit, qualitativ gute Renditeprognosen zu erstellen, und die Tatsache, dass Portfoliomanager in der Regel nur in ausgewählten Wertpapierklassen über verlässli-che Renditeerwartungen verfügen, stellt die Portfoliomanager bei der Zusammenstel-lung der Eingabematrizen für die Mittelwert-Varianz-Optimierung vor eine große Herausforderung.77 Keine Möglichkeit, Aussagen über die Prognosegüte zu treffen

Portfoliomanager haben durch den Einsatz verschiedener Analyseinstrumente bezüg-lich ihrer Prognosen häufig verschiedene Konfidenzen. Derartige Unterschiede in der Güte der Prognosen können in dem Markowitz-Formalismus nicht berücksichtigt werden.

e durch den praktischen Einsatz der klassischadmLd 3 InVse D

gen Anlegerverhalten des Investors entsprechen. Hat der Portfoliomanager keine

77 vgl. Drobetz (2002), S. 5 78 vgl. He/Litterman (1999), S. 3

44

3.2 Der Ansatz des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens

Erwartung bezüglich künftiger Renditeentwicklungen von Wertpapieren in seinem Portfolio, stimmt er indirekt den impliziten Rendi

ass die Gewichtungen der Wertpapiere in dem Portfolio denen des Referenzportfo-teerwartungen zu. Dies führt dazu,

pliziten Renditen in Richtung der Renditeerwartungen abweicht. Dieser revidierte

an-Vorgehensweise zusammen:

[Quelle:Eigene Darstellung in Anlehnung an Zimmermann/Drobetz/Oertmann (2002), Kap.10-S. 13]

dlios entsprechen. Das Black-Litterman-Verfahren erlaubt, eine beliebige Anzahl von Renditeprognosen unter Berücksichtigung der Prognosequalität in die Portfolioopti-mierung zu integrieren. Es können sowohl absolute Prognosen über erwartete Rendi-teniveaus von einem Wertpapier als auch relative Prognosen über stärker und schwä-cher performende Wertpapiere in das Verfahren integriert werden. Das Ergebnis des Prozesses ist ein revidierter Renditevektor, der von dem Vektor der imRenditevektor kann schließlich einer Mittelwert-Varianz-Optimierungsroutine über-führt werden. Als Ergebnis des Black-Litterman-Verfahrens erhält man intuitive Veränderungen in den Portfoliogewichten, die konsistent mit den subjektiven Prog-nosen sind, und deshalb in der Praxis leichter umgesetzt werden können. Festzuhalten bleibt, dass es sich bei dem Black-Litterman-Ansatz nicht um eine al-ternative Optimierungstechnik handelt. Das Black-Litterman-Verfahren ist eine Me-thode, um ausgehend von einem neutralen Referenzportfolio die Renditeprognosen den eigenen Renditeerwartungen in einer sehr flexiblen Art anzupassen. Abbildung

.3 fasst die Black-Litterm3

Abbildung 3.3: Der BLACK-LITTERMAN-Ansatz

Marktgewichte oder Strategische Referenzgewichte

Renditeprognosen der Portfoliomanager

Referenz-oder Gleichgewichtsrendi- Güte der ten:

implizite Renditeerwartungen Renditeprognosen

Revidierte Black-Litterman-Renditeerwartungen

Mittelwert-Varianz-O timierung p

Black-Litterman-Portfoliogewichte

45


3.3 R ortfolios und implizite Renditen als Ausgangspunkt es BLACK-LITTERMAN-Verfahrens

Die im Renditen, welch den Ausgangspunkt des Black-Litterman-erfahrens bilden, werden durch eine Umkehroptimierung deriviert. Im ersten

u verwenden:

“Our model does not assume that the world is always at the CAPM equilibrium, but

in nu ierender Portfoliomanager mit einer Nutzenfunktion gemäß der Markowitz-Verfahren seinen Nutzen durch die optimale

eferenzpd Der innovative Ansatz des Black-Litterman-Verfahrens (1992) hat die Zielsetzung, die im Abschnitt 3.1 aufgeführten Schwächen der Portfoliooptimierung nach Marko-witz zu verhindern, und somit ein Modell zu schaffen, das für den Einsatz in der Pra-xis besser geeignet ist. Die wichtigste Eigenschaft des Black-Litterman-Modells ist die Möglichkeit, implizite Renditen, welche im Folgenden erklärt werden, mit sub-jektiven Erwartungen über Kursentwicklungen von Wertpapieren im Portfolio konsi-stent zu verbinden.79

pliziten e VSchritt muss der Portfoliomanager die mittel- bis langfristigen Portfoliogewichte der Wertpapiere seines Portfolios festlegen. Diese Referenzgewichte können den Gleich-gewichtsgewichten, wie sie dem CAPM-Modell zugrunde liegen, entsprechen oder aber auch Gegenstand strategischer Überlegungen des Portfoliomanagers sein.80 Black und Litterman schlagen vor, die aus den Marktkapitalisierungen resultierenden impliziten Gleichgewichtsrenditen als Ausgangspunkt für das Black-Litterman-

erfahren zV

rather that when expected returns move away from their equilibrium values, imbal-ances in markets will tend to push them back. Thus, we think it is reasonable to as-sume that expected returns are not likely to deviate too far from equilibrium values. This intuitive idea suggests that the investor may profit by combining his views about returns in different markets with the information contained in the equilibrium.”81

E tzenmaxim

erhöht in demFormel 2.15 Aufteilung seines Budgets auf die Wertpapiere im Portfolio, bei gegebenen erwarte-ten Renditen µ und bei gegebener Varianz-Kovarianz-Matrix Σ der Renditen. Ohne Restriktionen hat die Maximierungsaufgabe folgende Form:

[3.1] 2

max Σww'µw'wλ

−

mit der Lösung: 79 vgl. Drobetz (2002), S. 11 80 vgl. Drobetz (2002), S. 11 f. 81 Black/Litterman (1991), S. 3

46

3.3 Referenzportfolios und implizite Renditen als Ausgaangspunkt des BLACK-LITTERMAN-Verfahrens

( )µΣw* 1−= λ [3.2] Im Black-Litterman-Verfahren ist aber vorerst w* schon bekannt, sei es durch dasCAPM-Gleichgewicht, die marktkapitalisierungsgerechten Gewichte oder die strate-

u Diese Renditen werden durchweg in der Arbeit als implizite Renditen Π*

der, im Fall des Marktportfolios als Referenzportfolio, Gleichgewichtsrenditen be-

[3.3]

gisch festgelegten Gewichte. Die Umkehroptimierung legt die benötigten erwarteten Renditen fest, um in dem Markowitz-Verfahren genau die Referenzgewichte wREF zerhalten. ozeichnet. Die Umkehroptimierung stellt eine Umformung der Formel 3.2 dar, und lässt sich folgendermaßen darstellen:

REFΣwΠ* λ= Die Abbildung 3.4 veranschaulicht den Unterschied zwischen den Markowitz- Ge-wichtungen mit Leerverkaufsrestriktion auf der Basis historischer Renditen und den Referenzgewichtungen auf der Basis der impliziten Renditen.82 Es ist ersichtlich, dass das Referenzportfolio (schwarze Balken) viel breiter gestreut ist als das Marko-witz-Portfolio (graue Balken). Dieses Portfolio entspricht viel eher der gängigen An-

gepraxis. la

Abbildung 3.4: Portfoliogewichtungen auf Basis historischer und impliziter Renditen

Black und Litterman stellen die Annahme auf, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix der impliziten Renditen proportional zu der Varianz-Kovarianz-Matrix der histori-schen Renditen ist und dass die impliziten Renditen stabiler als die historischen Ren-

82 Die impliziten Renditen für dieses Beispiel sind im Anhang B.2 bzw. in der Abbildung 3.5 veran-schaulicht.

47


diten sind.83 DGleichgewicht rieben werden:

3.4]

obei E[R] den Erwartungswertvektor und N(.) die Normalverteilungsfunktion be-

enditevolatilität. Je größer das Vertrauen des Portfoliomana-ers in das eigene Referenzportfolio ist, umso kleiner sollte der Parameter τ gewählt

.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen .4.1 Spezifikation von Renditeerwartungen im BLACK-LITTERMAN-

nditeentwicklung iniger Werte in ihrem Portfolio haben, die von den impliziten Renditen abwei-

nen.

urch diese Annahmen kann die Verteilung der erwarteten Renditen im folgendermaßen besch

[ )(~ τΣΠ,E[R] N

Wzeichnen. Die Dimensionen sind dabei wie folgt: E[R] und Π sind N×1 Vektoren und die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ ist eine N×N Matrix, wobei N die Anzahl der Wert-papiere ist. Der Skalar τ misst den Proportionalitätsfaktor der historischen Renditevo-latilität zur erwarteten Rgwerden. In der Literatur wird die Anwendung niedriger Werte für τ empfohlen.84

3

3Modell Der entscheidende Schritt bei der Formalisierung des Black-Litterman-Verfahrens ist die Spezifikation der subjektiven Renditeerwartungen. Dies erfolgt ebenfalls in Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. In der Regel werden Portfoliomanager Erwartungen über die Reechen.85 Das Black-Litterman-Modell ermöglicht es, sowohl absolute als auch relative Renditeerwartungen in den Prozess der Asset Allocation einzubeziehen. Es ist nicht zwingend, dass für jedes Wertpapier in dem Portfolio eine Renditeerwartung spezifi-ziert wird. Die folgenden Beispiele verdeutlichen, wie absolute (A) und relative (B und C) Ren-diteerwartungen in dem Black-Litterman-Modell ausgedrückt werden kön

83 vgl. Zimmermann/Drobetz/Oertmann (2002), Kap. 10, S. 14 84 Drobetz (2002) setzt für seine Analysen τ = 0.3. Lee empfiehlt den Wert von τ zwischen 0.01 und 0. zu setzen, vgl. Idzorek (2004), S. 14 85 vgl. Idzorek (2004), S. 7

05

48

3.4 Die Verbindung des Referenzportfolios mit Renditeerwartungen

(A) „ALV wird eine Rendite von 60 % erwirtschaften (ca. 15 % unter der impliziten Rendite).“

(B) „EOA wird eine um 5 % höhere Rendite erwirtschaften als DBK.“ (C) „Die Wertpapiere DTE und DCX werden die Wertpapiere DBK und

um 10 % outperformen.“ Nachdem der Investor sämtliche von den impliziten Renditen abweichenden Erwar-tungen in Form der obigen Beispiele verbal festgelegt hat, müssen diese Erwartungen

eine Form umgewandelt werden, die es ermöglicht, sie in den Black-Litterman-ess zu integrieren.

dem Modell wird angenommen, dass die Erwartungen bzw. Prognosen des Portfo-liomanagers gemäß der Formel 3.5 als k unterschiedliche Linearkombinationen der N Wertpapiere ausgedrückt werden können. k stellt die Anzahl der formulierten Prog-nosen dar.

[3.5]

ALV

inProz In

εVE[R]P +=⋅

Der Renditeerwartungsvektor V hat die Dimension k×1. Als k×1 Vektor mit den Prognosefehlern wird ε verwendet. Die ermittelten Renditeerwartungen V werden durch die Matrix P den jeweils richtigen Wertpapieren zugewiesen. Jede einzelne

rwartung kann durch einen 1×N Vektor den Wertpapieren eindeutig zugeordnet

it einem Schätzfehler versehen, da sie in der Praxis nicht it Sicherheit geäußert werden können. Über den Vektor der Schätzfehler ε wird

In dem Sieben-Wertpapier-Beispiel würden die Prognosen (A), (B) und (C) folgen-dermaßen formalisiert werden:

Ewerden. Aus diesem Grund handelt es sich bei der Matrix P allgemein um eine k×N Matrix. Das erste Element des Vektors V zeigt die Höhe der Renditeprognose an, das erste Element des Vektors ε den damit verbundenen Schätzfehler. Die Erwartungen werden mmangenommen, er sei unabhängig und normal verteilt.86 Das Maß für die Prognosegüte ist in dem Black-Litterman-Verfahren die Varianz-Kovarianz-Matrix, der Schätzfeh-ler Ω. Wegen der Annahme der Unabhängigkeit der Prognosen untereinander, redu-ziert sich die k×k Matrix Ω zu einer Diagonalmatrix, wobei die Varianzen der Schätzfehler ε entlang der Diagonalen eingetragen werden. Im Black-Litterman-Modell gilt die Annahme der Normalverteilung der Prognosen gemäß87:

[3.6] ),(~ ΩVE[R]P N⋅

86 vgl. Idzorek (2004), S. 10 87 vgl. Idzorek (2004), S. 16

49


[3.7]

mit

⎜

⎝

⎛

−− 00055.051.045.049.00

0000001

stellt die absolute Erwartung (A) dar. Da ALV das erste ertpapier im Beispielportfolio darstellt und sich die Erwartung ausschließlich auf

dieses r bezieht, ist der er ert der ersten Zeile eine eins. Sämtliche nderen Elemente der ersten Reihe der Matrix P sind null.

ngsneutrales Portfolio gebildet, indem die stärkere Aktie der Prognose die Longposition (Wert: 1), und die schwächere Aktie die Shortposition (Wert: –1) ein-

Überperformance kommt in der zweiten Reihe der Matrix V

ie dritte Reihe der Matrix P stellt den kompliziertesten Fall gleichzeitiger relativer enditeerwartungen für mehr als zwei Wertpapiere dar, in dem Beispiel durch die

ven Erwartung des Typs (B) müssen ch die Werte der Aktien mit der stärkeren erwarteten Performance zu eins addieren,

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

)(

)(

)(

10.005.060.0

][][][][][][][

C

B

A

SIE

SAP

EOA

DTE

DBK

DCX

ALV

RERERERERERERE

εεε

P

[3.8] ⎟⎟⎜ −= 001010P ⎟

⎠

⎞

⎜

Die erste Reihe der Matrix PW

Wertpapie ste Wa Die zweite Reihe der Matrix stellt die relative Erwartung (B) dar. Es wird ein ge-wichtu

nimmt. Die Höhe der zum Tragen (Wert: 0.05).

DRErwartung (C) dargestellt. Analog zu einer relatisidie Werte der outperformten Wertpapiere müssen summiert minus eins ergeben. Die Aufteilung der auf eins bzw. minus eins begrenzten Werte zwischen den beiden Ak-tienklassen erfolgt proportional zu deren Marktkapitalisierung.88 Die Berechnung der Werte in der dritten Spalte der Matrix P erfolgte gemäß der Formel 3.9:

88 vgl. Idzorek (2004), S. 12

50


⎟⎟⎟

[3.9] ⎟⎟

⎜⎜=

⎟⎟

⎜⎜= + 55.0.'.3 DBKALV

CapMCapMP

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎜⎛

−

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎜⎜⎜⎜

⎝

−

+

+

000

51.045.049.0

000

..

..

.

DTEDCX

DTE

DBKDTEDCX

DCX

CapM

CapMCapM

CapM

Ist dem manager der Grad an Unsicherheit bzw. die Varianz satt dieser die Varianz der Prognoseportfo-

89

Da in eispiel die Güte der Prognosen unbekannt ist, wird die Varianz-Kovarianz-Matrix - der Schätzfehler Ω - gemäß Formel 3.10 approximiert. Es ergibt

ch:

.4.2 Die BLACK-LITTERMAN-Formel

ird angenommen, dass die unbekannte Verteilung der ischte Verteilung ist, die aus den Verteilungen der im-

Der optimale Schätzer für den Vektor der erwarteten Renditen entspricht dem Mit-telwert der gemischten Verteilung der erwarteten Renditen.90 Dieser kann durch die

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−

+..

DBKALV

ALVCapM

CapM

⎝

mit: M.Capi: Marktkapitalisierung der Aktie i

Portfolio einer Erwar-tungen ex ante nicht bekannt, so kann anstlios herangezogen werden:

[3.10] 'ΣPPΩ = .. kkkk

diesem B

si

[3.11] ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

0016.00000037.00000065.0

Ω

3 Im Black-Litterman-Modell werwarteten Renditen eine gempliziten Renditen Π und der Renditeprognosen V basiert. Die Verteilungen der im-pliziten Renditen des Referenzportfolios ist in der Formel 3.4 spezifiziert, die Vertei-lung der Renditeprognosen wird in der Formel 3.6 dargestellt.

89 vgl. Idzorek (2004), S. 13

51


Auflösung des folgenden Optimierungsproblems, das die Varianz der erwarteten Renditen um die impliziten Renditen minimiert, hergeleitet werden: 91

[ ] ( ) [ ]ΠE[R]ΣΠE[R] [3.12] E[R] −⋅⋅− −1min τT

ür den in der Praxis relevanten Fall unsicherer Renditeprognosen gilt folgende Ne-enbedingung:

[3.13]

Fb

( )ΩV,E[R]PεVE[R]P

NwobeiBN

~:..

⋅+=⋅

Nach Black/Litterman(1992) lautet die Black-Litterman-Formel des revidierten er-

arteten Renditevektors unter Berücksichtigung unsicherer Renditeprognosen: 92w

( )[ ] ( )[ ]VΩP'ΠΣPΩP'ΣE[R] 11111 −−−−− ++= ττ [3.14] Die Verteilung der revidierten erwarteten Renditen ist wiederum eine Normalvertei-lung. Sie ist in der folgenden Formel 3.15 wiedergegeben.93

[3.15] ( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−− 11,~ ΩPP'ΣE[R]E[R] τNgemischt

Bei der Formel 3.14 bildet die Basis des gesamten Black-Litterman-Verfahrens. Durch nosen zu einem neuen, revidierten Vektor erwarteter Renditen zusammengefasst. Durch die

eitergabe dieses Vektors an eine Mittelwert-Varianz-Optimierungsroutine, können hließlich die Black-Litterman-Portfoliogewichte ermittelt werden.

.4.3 Umsetzung der subjektiven Renditeerwartungen mit dem BLACK-

ITTERMAN-Verfahren

der Abbildung 3.5 stellen die grauen Balken die impliziten Referenzrenditen dar. ie schwarzen Balken bilden die auf Basis der geäußerten Prognosen revidierten

diese Formel werden das impliziten Renditen und die subjektiven Prog

Wsc 3

L

InD

vgl. Zimmermann/Drobetz/Oertmann, Kap. 10, S. 18 vgl. Black/Litterman (1992), Anhang 8

92vgl. Black/Litterman (1992), Anhang 8 93 Für die Herleitung der neuen, gemischten Verteilung der erwarteten Renditen verweisen Black/Litterman (1991) auf das Verfahren der mixed estimation in Theil (1971).

90

91

52


53

Black-Litterman-Renditeerwart

ungen ab.94 Durch die Korrelation der Renditen än-ern sich auch die Renditeerwartungen der Wertpapiere, für die keine Prognose auf-

In -portfolios als auch die Black-Litterma die durch Weitergabe der

ierten Black-Litterman-Renditen an den Mittelwert-Varianz-Optimierer erhalten urden, veranschaulicht. Die Gewichtungen der Wertpapiere, für die keine Prognose

hte und BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte

dgestellt wurde.95

Abbildung 3.5: Implizite Renditen und BLACK-LITTERMAN-Renditeerwartungen

der folgenden Abbildung 3.6 werden sowohl die Portfoliogewichte des Referenzn-Portfoliogewichte,

revidwabgegeben wurde, haben sich kaum verändert. Die Abweichungen der Black-Litterman-Portfoliogewichte zu den Referenzgewichten der restlichen Aktien spie-geln in konsistenter Weise die Prognosen des Portfoliomanagers wider, eine extreme Konzentration der Portfoliogewichte auf wenige Wertpapiere wird vermieden.

Abbildung 3.6: Referenzgewic

94 Für die Berechnung wurde der Wert des Skalars τ auf 0.05 gesetzt. 95 SAP und SIE


3.5 Sensitivitätsanalysen Um die Funktionsweise des Black-Litterman-Verfahrens besser darzustellen, werden in diesem Abschnitt Sensitivitätsanalysen bezüglich des Verhaltens der Black-Litterman-Portfoliogewichte bei der Variation verschiedener Parameter des Modells vorgestellt. In den folgenden Analysen wird von einer einzigen abgegebenen Progno-se (C) ausgegangen, die Gewichtungen der in der Prognose vorkommenden Wertpa-piere ALV, DCX, DBK und DTE sind Gegenstand der folgenden Untersuchungen. Sensitivität der Portfoliogewichte bezüglich des Renditedifferentials V

In der ersten Sensitivitätsanalyse werden die Auswirkungen einer Variation des er-warteten Renditedifferentials V zwischen den zwei Wertpapiergruppen analysiert. Das Renditedifferential der entsprechenden Aktien wird ceteris paribus zwischen 0 % und 20 % variiert. Abbildung 3.7 zeigt die jeweils resultierenden Portfoliogewichte für die vier Wertpapiere.

Abbildung 3.7: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte bei Variation des Renditedifferentials V

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.19

0.18

man

0 1.5 3 4.5 6 7.5 910

.5 12 13.5 15 16

.5 18 19.5

Prognostiziertes Renditedifferential in %

Gew

icht

ung

im B

lack

-Litt

erPo

rtfo

lio

ALV DCX DBK DTE

Ausgehend von den Referenzgewichten werden die Long- bzw. Shortadjustierungen

it dem Ansteigen des erwarteten Renditedifferentials immer größer. Die Verände-ng der Portfoliogewichte erfolgt in einer stetigen, der Prognose gerechten Weise, mit wird eine starke Portfoliokonzentration bei einer minimalen Erhöhung der er-arteten Überrendite vermieden.

mrusow

54

3.5 Sensitivitätsanalysen

Sensitivität der Portfoliogewichte auf Veränderungen in der Güte der Rendite-

prognose Ω

Im Folgenden wird untersucht, wie sich das Black-Litterman-Modell verhält, wenn die Prognosegüte verändert wird. Eine geringere Güte der Prognose spiegelt sich in einer höheren Varianz der Erwartungen wider und umgekehrt. In der Sensivitätsana-lyse wird die Volatilität der (C) Prognose zwischen 0.0001 und 0.0050 variiert. In der folgenden Abbildung 3.8 sind die Auswirkungen der unterschiedlichen Unsicher-heitsniveaus in den Prognosen dargestellt. D

chere Prognosen mit einer hohen Schätzf ilität haben nahezu keinen Ef-kt auf die Referenzgewichte. Je sicherer die Prognosen werden, desto stärker wer-

en die Portfoliogewichte in die Richtung der Prognosen adjustiert. Der Abbildung ann entnommen werden, dass der Effekt einer veränderten Prognosegüte auf die ortfoliogewichte insgesamt graduell verläuft, eine Ausnahme stellt der Bereich sehr leiner Volatilitäten dar. In diesem Bereich hat eine Verbesserung oder Verschlech-rung der Prognosegüte sehr starke Auswirkungen auf die Gewichtungen der Wert-apiere im Portfolio.

Abbildung 3.8: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN-Portfoliogewichte bei Variation der Prognosegüte Ω

ie in der Abbildung 3.8 dargestellten Portfoliogewichte sind intuitiv einsichtig: Un-ehlervolatsi

fedkPktep

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

Gew

icht

ung

im Po

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

Bla

ck-L

itter

man

rtf

olio

1 0

0.000
Varianz der Prognose (C) [Ω]
ALV DCX DBK DTE

0.005

55


-0.15000

-0.05000

0.05000

0.15000

0.25000

0.35000

0.45000

an P

ortfo

lio

0.01

0.08

0.15

0.22

0.29

0.36

0.43 0.5

0.57

0.64

0.71

0.78

0.85

0.92

0.99

Vertrauensparameter für die Benchmark τ

Gew

icht

ung

im B

lack

-Litt

erm

ALV DCX DBK DTE

wischen 0.01 und 1 variiert.

Die Veränderungen der Portfoliogewichte, veranschaulicht in der Abbildung 3.9, sind auch in diesem Fall intuitiv. Je mehr Vertrauen der Portfoliomanager seiner Bench-mark entgegenbringt, desto näher werden sich die Gewichtungen ceteris paribus an den Referenzgewichtungen orientieren. Werte für über 0.5 dürften wenig Sinn ma-chen, da sich die Gewichtungen ab dem Bereich bereits sehr stark an den Prognosen orientieren. 3.6 Fazit Der klassische portfoliotheoretische Ansatz von Markowitz ist theoretisch elegant und stellt in der akademischen Literatur das Gerüst der Portfoliotheorie dar. Es wur-de allerdings anhand von Beispielen gezeigt, dass der Ansatz in der Praxis zu erheb

Sensivitivität der Portfoliogewichte bezüglich des Vertrauens in die impliziten

Renditen des Referenzportfolios τ

Die letzte Sensitivitätsanalyse widmet sich dem abstraktesten Parameter des Black-Litterman-Modells, dem Skalar τ. Dieser staucht die historische Varianz-Kovarianz-Matrix und kann entsprechend als Indikator für das Vertrauen interpretiert werden, das der Portfoliomanager seinem Referenzportfolio entgegenbringt. Je kleiner bzw. größer τ ist, umso stärker bzw. geringer ist das Vertrauen in die impliziten Renditen. In der Analyse wird τ z

Abbildung 3.9: Entwicklung der BLACK-LITTERMAN -Portfoliogewichte bei Variation des Skalars τ

56

3.6 Fazit

lichen Problemen führen kann. Diese Defizite führen dazu,satz von Portfoliomanagern kaum oder nur in stark verände

dass der traditionelle An-rter Form eingesetzt wird.

us diesem Grund haben Black und Litterman 1990 ein innovatives Verfahren ent-ickelt, das Portfoliomanagern erlaubt, ausgehend von stabilen Gleichgewichtsrendi-

bjektive Renditeprognosen und einen Grad an Ver-auen in diese Prognosen im Asset-Allocation-Prozess zu berücksichtigen.

kation im Jahr 1990 in zahlreichen Fi-anzunternehmen als Portfolio-Management-Modell durchsetzen.96

Awten oder impliziten Renditen, sutrLetztendlich handelt es sich bei dem Black-Litterman-Modell um eine Methode, die einen komplexen gewichteten Durchschnitt der impliziten Renditen und der erwarte-ten Renditen festlegt. Die Portfoliogewichte sind durch den Einsatz des Black-Litterman-Verfahrens viel realistischer, da Erwartungen der Portfoliomanager eindeutig widergespiegelt und stark konzentrierte Portfolios vermieden werden. Aus diesen Gründen konnte sich das Black-Litterman-Modell seit der Publin

96 vgl. He/Litterman (1999), S. 2

57

4 Technische Handelsmodelle 4.1 Wertpapierprognosen

ematik. Es lassen sich ezüglich Wertpapierprognosen drei verschiedene Lager unterscheiden. Dabei han-

er akademischen Welt verbreitete Random-Walk-Theorie und

ie Random-Walk-Theorie besagt, dass Preise auf den Finanzmärkten zufällig um ren inneren Wert fluktuieren. Diese Theorie basiert auf der Hypothese effizienter ärkte, die besagt, dass sich Kurse auf jegliche neuen Informationen ohne Verzöge-

avon aus, dass sich der künftige urs Pi,t+1 einer Aktie i aus dem aktuellen Kurs Pi,t und der Realisierung einer Zu-

Die Prognose von Wertpapierkursen ist eine umstrittene Thbdelt es sich um die in ddie Hypothese effizienter Märkte, um die Fundamentalanalyse sowie um die techni-sche Analyse.97 Nachfolgend werden die grundlegenden Gedankengänge hinter den ersten beiden Ansätzen vorgestellt. Im nächsten Abschnitt wird die technische Ana-lyse etwas ausführlicher behandelt, da sie die Grundlage der im empirischen Teil der Arbeit eingesetzten Handelsmodelle bildet. Random-Walk-Theorie und die Hypothese effizienter Märkte

DihMrung anpassen.98

Die Standardform des Random-Walk-Modells geht dKfallsvariablen εi,t ergibt:

[4.1] tititi PP ,,1, ε+=+

elten folgende Bedingungen: Dabei g

ilung. lso E[εi] = 0.

Wertpapieranalyse nicht zur Vorhersage von en.99

Es besteht allerdings bezüglich der These effizienter Märkte ein Widerspruch, das so genannte Informationsparadoxon. Wenn sich jede neue Information augenblicklich

- Die Kursänderungen εi gehorchen einer Normalverte- Der Erwartungswert der Kursänderungen ist null, a- Aufeinander folgende Kursänderungen sind unabhängig. Diesen Theorien zufolge kann jegliche künftigen Aktienkursen verwendet werd

97 vgl. Yao/Tan (1999), S. 222 98 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 210 99 vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 210

58

4.2 Technische Indikatoranalyse

im Kurs niederschlägt, dann bedarf es dazu Investoren, die durch ihre informations-edingte steigende oder fallende Nachfrage für diese Kursanpassung sorgen und dar-us Profit ziehen. Demnach ist eine Informationsauswertung seitens der Marktteil-

enter Märkte Gültigkeit zu verschaffen. 100

alyse

„Technische Analyse ist das Studium von Marktbewegungen, in erster Linie durch

beinhaltet die drei wesentlichen Informationsquellen, die dem Techniker zur Verfügung stehen – Kurs, Umsatz und Open Interest104.“105

106

banehmer unabdingbar, um der These effizi Die Random-Walk-Theorie konnte trotz vieler wissenschaftlicher Untersuchungen bisher weder eindeutig verifiziert noch falsifiziert werden.101 Fundamentalanalyse

Die Fundamentalanalyse stellt die älteste und meist verbreitete Analyseform von Wertpapieren dar.102 Die grundlegende Hypothese der Fundamentalanalyse geht da-von aus, dass der Kurs einer Aktie um ihren inneren Wert schwankt. Die Ermittlung dieses wahren Wertes einer Aktie anhand von makroökonomischen, branchen- und unternehmensspezifischen Analysen steht im Mittelpunkt der Fundamentalanalyse. Liegt der aktuelle Kurs der untersuchten Aktie unter dem ermittelten inneren Wert, dann gilt die Aktie als unterbewertet und kann gekauft werden.103 4.2 Technische Indikatoran 4.2.1 Grundgedanke der technischen Analyse Murphy (2004) definiert die technische Analyse von Wertpapieren folgendermaßen:

den Einsatz von Charts, um zukünftige Kurstrends vorherzusagen. Der Begriff ‚Marktbewegung‘

Die technische Analyse basiert auf drei Grundannahmen: - Die Marktbewegung diskontiert alles. - Kurse bewegen sich in Trends. - Die Geschichte wiederholt sich.

0 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 42 f. vgl. Perridon/Steiner (1999), S. 210 f.

102 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 209 103 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 209 ff. 104 Open Interest wird nur bei Futures und Optionen benutzt 105 Murphy (2004), S. 21 106 vgl. Murphy (2004), S. 21 ff.

10

101

59

4 Technische Handelsmodelle

Im Folgenden werden diese Grundannahmen kurz erläutert.

er technische Analyst glaubt, dass alle für den Börsenkurs relevanten Informatio-en, seien sie funda ur, durch den Kurs idergespiegelt werden. Die Folge dieser Annahme ist, dass für Prognosen allein die ntersuchung der Kurse in der Vergangenheit verlangt wird. Die Regel, dass Markt-reise steigen werden, wenn die Nachfrage das Angebot übertreffen wird und umge-ehrt, gilt als Basis aller ökonomischer und fundamentaler Vorhersagen. Der Tech-iker benutzt den Umkehrschluss dieser Regel, der besagt, dass bei steigenden ursen die fundamentalen Daten des Wertes positiv und analog bei fallenden Kursen ie Fundamen ie Erkennung on Kurstrends oder wichtigen Umkehrformationen grundlegende Änderungen der ndamentalen Situation eines Wertpapiers auf den Charts zu erkennen, bevor die

e Charts werden also nicht als Grund für

Abwärtstrends sein. Die Aufgabe der technischen Analyse be-eht im Großteil darin, Kurstrends möglichst früh zu erkennen und ihnen zu folgen,

ndumkehr zeigen. Eine Prämisse der Charttechnik über

hichte wiederholt sich

endlich auf psychologischen Verhaltensweisen von An-mmter Chartmuster. Da die menschliche Psyche nicht

Die Marktbewegung diskontiert alles

Dn mentaler, psychologischer oder sonstiger NatwUpknKd taldaten negativ sein müssen. So ist es möglich, durch dvfuInformationen öffentlich zugänglich sind. Disteigende oder fallende Kurse gesehen, sondern als Indikator für die bullishe oder bearishe Psychologie an den Märkten.107

Kurse bewegen sich in Trends

Die technische Analyse besagt, dass sich Kurse in Trends bewegen. Trends können Aufwärtstrends oderstbis sich Anzeichen einer TreKurstrends besagt:

„Ein Trend in Bewegung setzt sich mit größerer Wahrscheinlichkeit fort, als dass er sich umkehrt.“108

Die Gesc

Diese Annahme basiert letztlegern beim Auftreten bestidazu tendiert sich zu verändern109, werden vergangene Verhaltensweisen von Inves-toren genutzt, um Aussagen über künftige Entwicklungen zu treffen.

107 vgl. Murphy (2004), S. 22 108 vgl. Murphy (2004), S. 24 109 vgl. Murphy (2004), S. 24

60


4.2.2 Methoden der technischen Analyse Die technische Analyse benutzt gemäss der Abbildung 4.1 graphische, mathemati-sche und psychologische Methoden. Diese Methoden werden im Folgenden erläutert.

Abbildung 4.1: Methoden der technischen Analyse

meistverbreitete Form der chnischen Analyse. Der Analyst versucht durch verschiedene Werkzeuge

vorherrschende T en. Trendlinien, nterstützungen, Widerstände, Schulter-Kopf-Schulter-Formationen, Fibonacci-nalyse, Dow-Theorie, Elliot-Wellen-Theorie und andere sind die Werkzeuge der hartanalytiker.111

athematische Methoden

Die mathematischen Verfahren versuchen durch mathematische Transformation der arktdaten zu technischen Indikatoren und statistischer Bearbeitung der Marktdaten

benfalls gewisse Muster in den Daten zu erkennen. Diese Erkenntnisse können dann ur Generierung von Handelssignalen für den Investor zur Verfügung gestellt wer-en.112

sychologische Methoden

ie dritte Hauptrichtung der technischen Analyse ist die Sentimentanalyse. Hier erden Indikatoren gebildet, welche die aktuelle Marktstimmung wiedergeben. Das

aktuelle Mass e Positionie-ng von Investoren, Indikatoren, wie zum Beispiel die Put-Call-Ratio, oder die im-

Technische Analyse

Graphische Mathematische Methoden Methoden

Psychologische Methoden

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wetzer (2003), S. 83]

Graphische Methoden

Die graphische Chartanalyse gilt als die älteste und110te

rends zu bestätigen oder Trendwenden zu erkennUAC M

Mezd P

Dw

enverhalten kann unter anderem durch Umfragen über diru

0 vgl. Wetzer (2003), S. 84 111 Diese Techniken werden im weiteren Verlauf der Arbeit nicht angewandt, da sie auf vornehmlich subjektiven Kriterien basieren und somit für die Systematisierung und Programmierung in Computern schlecht geeignet sind. An diesen Techniken interessierte Leser wird die Lektüre von Murphy (2004) empfohlen. 112 vgl. Wetzer , S. 84

11

61


plizite Volatilität von Optionen - die Berechnung des Verhältnisses zwischen Ge-

im hnitt dargestellt.

Abbildung 4.2: Segmentierung technischer Indikatoren

winn-Aktien zu Verlustaktien - wiedergegeben werden. Die Hauptannahme der Sen-timentanalyse besagt, dass die Masse immer irrt. Anhänger der Sentimentanalyse versuchen daher, durch Aufbau von Positionen gegen das Massenverhalten erfolg-reich zu handeln.113 Die Handelsmodelle114 in dieser Arbeit basieren auf Indikatoren der technischen A-

alyse. Die Berechnung und Interpretation der eingesetzten Indikatoren werden nnächsten Absc 4.2.3 Eingesetzte Indikatoren und Werkzeuge Im Folgenden werden die im späteren Verlauf der Arbeit eingesetzten technischen Indikatoren beschrieben. Florek (2000) unterteilt technische Indikatoren in vier ver-schiedene Gruppen.115 In der Abbildung 4.2 sind die Indikatorgruppen und einige zu den Gruppen gehörende Indikatoren aufgelistet. Auf die fett gedruckten Indikatoren wird in den folgenden Abschnitten näher eingegangen.

[Quelle: Eigene D

113 vgl. Wetzer, S. 84 und Murphy114 Handelsmodelle und deren Fun115 vgl. Florek (2000), S. 182

Trendfolge- Indikatoren

O

Sonstige: Bände

62

TECHNISCHE INDIKATOREN

Volatilitäts- Indikatoren

Trend- bestimmung

szillatoren

Gleitende Durchschnitte MACD …

RSI Momentum Stochastik …

arstellung in Anleh

(2004), S. 257 ktionsweise werden

r, Volumen & Op

ADX DMI Ravi …

nung an Florek (2000)

im Abschnitt 4.3 erläu

en Interest, Marke

Bollinger Bänder Standard-abweichung

t Sentiment

-
Inputs: Kursdaten, Volumen, Open Interest, Statistiken, Ratios, Sentiments, Fundamentals, Volatilitäten,…
, S. 183]

tert.


Trendfolge-Indikatoren

Trendfolge-Indikatoren sind darauf ausgerichtet, die Richtung des vorherrschenden rends zu bestimmen. Der Trader geht von einer Fortführung des Trends aus, bis der

Trendfolge-Indikator eine Trendwende anzeigt.116 Die Erkennung der Trends erfolgt stets etwas zeitverzögert. In Seitwärtstrends ergeben sich aufgrund der sehr kurzfris-tigen Auf- und Abwärtsbewegungen häufig Fehlsignale, während in Phasen anhal-tender t er us den.

szillatoren

ä tsphasen zum Auffinden von Wendepunkten der urse. Eine starke Aussagekraft besitzen Oszillatoren, wenn sie sich in ihren Ex-

ewegung ausgegangen werden kann. Divergenzen117 zwischen den ursen und dem Oszillator deuten ebenfalls auf eine Wende der Kurse hin.118

Volatil toren

olatilitätsindikatoren messen die Schwankungsintensität der Kurszeitreihe. Mit ihnen lässt sich zum m ewegung als außerge-

lger nur in Trendmärkten und analog Oszillatoren nur in Seitwärtstrends nktionieren, wird häufig versucht, mit Trendintensitätsindikatoren festzustellen,

r Name schon sagt, Durchschnitte der urszeitreihe dar. Sie bereinigen Kurszeitreihen von kurzfristigen Schwankungen

und erlauben somit die Feststellung lang-, mittel- oder kurzfristiger Trends.120

T

Trends rech folgreiche A sagen getroffen wer O

Momentums-Oszillatoren schwingen in der Regel innerhalb einer bestimmten Band-breite und eignen sich in Seitw rKtrembereichen befinden. Ein Wertpapier wird als überkauft bezeichnet, wenn der Oszillator besonders hohe Werte aufweist. Wenn der Oszillator sehr niedrige Werte annimmt, gilt dies als Signal für eine Überverkauft-Situation des Wertpapiers. Dies sind Situationen, in denen von einer zumindest kurzfristigen Korrektur der vorherr-schenden KursbK

itätsindika

VBeispiel besti men, ab wann eine Kursb

wöhnlich stark zu interpretieren ist. Trendintensitätsindikatoren

Da Trendfofuwann ein Trend vorliegt und wie stark dessen Ausprägung ist.

4.2.3.1 Gleitende Durchschnitte Gleitende Durchschnitte119 stellen, wie deK

116 vgl. Florek (2000), S. 184 117 Eine Divergenz besteht, wenn die Kurse höhere Hochs bzw. tiefere Tiefs verzeichnen und der Oszillator dies nicht bestätigt, indem er tiefere Hochs bzw. höhere Tiefs aufzeichnet. 118 vgl. Murphy (2004), S. 229 119 auch: Moving Averages. 120 vgl. Wetzer, S. 85

63


Die Formel für die Berechnung des aktuellen Wertes eines einfachen gleitenden Durchschnitts ist:

[4.2] ∑=

Gleitender Durchschnitt der Länge x

Eine Standardeinstellung für x gibt es nicht, da es an dem Analysten liegt, welche Glättung er en möchte.121

Es gibt ere Varia itendeschnitte lassen in ihre erte der Kurszeitreihe einfließen. Die

ewichtung vergangener Daten nimmt durch den Glättungsparameter α mit ihrem h-

autet:

+−=x

iitx C

xMA

11

1

mit: Ct: Schlusskurs in t

MAx:

vornehm

mehr nten gle r Durchschnitte. Exponentiell gewichtete Durch-r Berechnung sämtliche W

GAlter exponentiell ab. Die Formel für die Berechnung eines exponentiellen Durcschnitts l

[4.3] 121

12

21

1 −+−

−−−

++++

++++= n

ntn

ttt CCCCEMA

ααα

αααα

K

K

mit: α: Glättungsparameter Ct: Schlusskurs in t

den längeren von oben

Auch bei dem exponentiell geglätteten Durchschnitt gibt es keine Standardeinstel-lung für α.122

Die geläufigste Interpretationsmöglichkeit von gleitenden Durchschnitten ist die Crossover-Interpretation. Demnach wird das Schneiden der Kurse oder eines kürze-ren gleitenden Durchschnitts über den längeren gleitenden Durchschnitt als Kaufsig-

al interpretiert. Kreuzt der kürzere gleitende Durchschnittnnach unten, gilt dies als ein Verkaufssignal.

121 In der Praxis werden für x häufig die Fibonacci-Zahlen 13, 21, 34, 55,… eingesetzt. [vgl. Murphy (2004), S. 217] 122 Approximativ gilt folgender Zusammenhang zwischen dem x beim einfachen Durchschnitt und dem α beim exponentiell geglätteten Durchschnitt: [vgl.Wetzer (2003), S. 86] α = 2 / (x + 1)

64


4.2.3.2 Moving Average Convergence Divergence Der Moving Average Convergence Divergence MACD-Indikator wurde 1979 von Gerald Appel vorgestellt und stellt eines der am meisten verbreiteten Instrumente der

chnischen Analyse dar. Der MACD wird aus der Differenz zweier exponentiell rhaltene MACD-Linie wird

chnitts geglättet,

[LinieMACDEMAeSignallini x −=

tegewichteter gleitender Durchschnitte berechnet. Die so e

rerseits durch die Ermittlung eines exponentiell geglätteten Durchsihso dass insgesamt zwei Linien den MACD-Indikator darstellen. Die Formel für die Ermittlung der MACD-Linien sind:

4.4] )()( KursEMAKursEMALinieMACD ls

)(−=−

mit: EMAt: Exponentiell gewichteter Durchschnitt mit einer

e des Zeitfensters t

4.2.3.3 Relative Strength Index Der Relative Strength Index RSI ist ein von J. Welles Wilder entwickelter Momen-tums-Oszillator, den er 1978 in seinem Buch New Concepts in Technical Trading System vorgestellt hat. Der RSI bewegt sich zwischen den Werten null und 100. Üblicherweise werden Wertigkeiten unter 20 bzw. über 80 zum Generieren von

andelssignalen genutzt. Das Verlassen dieser extremen Zonen ist ein allgemein akzepti Die Formel für die Berechnung des RSI lautet:

Läng Die Standardeinstellungen für die Berechnung des MACDs sind s = 12, l = 26 und x = 9.123

Für den MACD besteht wie bei den gleitenden Durchschnitten die Crossover- Inter-pretationsmöglichkeit. Oftmals wird durch Subtraktion der Signallinie von der MACD-Linie ein Oszillator gebildet, mit dem Überkauft-/Überverkauft-Situationen und Divergenzen festgestellt werden können.124

s erstmalig

Hertes Signal zum Ein- bzw. Ausstieg aus dem Markt.

[4.7] )1

(100 100RS

RSI+

−=

wobei:

123 vgl. Florek (2000), S. 192 124 vgl. Florek (2000), S. 192 und Wetzer (2003), S. 88

65


[4.8]

KursenfallendenmitTagenxvonseSchlusskurderttDurchschniKursensteigendenmitTagenxvonseSchlusskurderttDurchschni

RS =

ie Standardeinstellung für x beträgt 14 Zeiteinheiten.D

125

chnittswert für Tage mit positiver Kurstendenz zu bestimmen, wer-

.2.3.4 Bollinger Bänder ie von John Bollinger entwickelten Bollinger Bänder basieren auf der Annahme

iner Normalverteilung der Renditen. Unter dieser Annahme lässt sich folgern, dass urse stets eine Konzentration um ihren Mittelwert zeigen. Durch die Ermittlung der tandardabweichungen σ der Kurse um deren gleitenden Durchschnitt lassen sich die ollinger Bänder festlegen, indem die mit einem Faktor λ multiplizierte Standardab-eichung vom Durchschnitt subtrahiert bzw. addiert wird. Wählt man den Wert zwei r den Faktor θ, kann geschlussfolgert werden, dass sich Kurse in ca. 95 % der Fälle nerhalb der Bollinger Bänder bewegen. Die Formel zur Berechnung der Bollinger

127

Um den Durchsden die gesamten Kursgewinne, die innerhalb der x Tage an Tagen mit steigenden Kursen angefallen sind, addiert, und die Summe durch die gewählte Länge des RSI geteilt126. Der RSI kann durch die Standardinterpretationsweisen für Oszillatoren nalysiert werden. a

4DeKSBwfüinBänder lautet :

[4.9]

( )

σθσθ⋅+=⋅−=

σ −= ∑=

n

n

MABandBollingeroberesMABandnger

Gleitender Durchschnitt der Länge n,

+−

n

init

Bolliunteres

MACn 1

21

1

mit: MA : n

σ: Standardabweichung zwischen den letzten n Schlusskursursen und MAn,

θ: Multiplikationsfaktor für die Standardabweichung. Die Standardeinstellungen sind n = 20 und θ = 2.128

125 vgl. Murphy (2004), S. 241 126 vgl. Murphy (2004), S. 241 127 vgl. Müller/Nietzer (2000), S. 45 f. 128 vgl. Omega Research User Manual, Suchbegriff: Bollinger Bands

66


Bollinger Bänder werden in der Regel im Zusammenspiel mit anderen Indikatoren eingesetzt, um Umkehrpunkte am Markt zu identifizieren. Wenn der Kurs das obere Band erreicht, wird nach weiteren Anzeichen für eine Kurswende gesucht, um dann

it hoher Wahrscheinlichkeit folgern zu können, dass sich der Kurs in die Richtung

in Kurs wird als Swing-High bezeichnet, wenn der Höchstkurs höher als der Höchstpreis der llen Zeiteinheit

t. Die Umkehrregel gilt für Swing-Lows.130

Abbildung 4.3: Swing-High und ow

e Ab

rmatieren

mdes anderen Bandes bewegen wird.129

4.2.3.5 Swings E

jeweils n-Zeiteinheiten links und rechts von der aktueis

Swing-L

Di bildung 4.3 veranschaulichden Fall n = 2. Im linken Teil derBalkencharts dargestellt. Swings kder Kurse interpretiert werden.131

Beginn eines Trends signalisieren.

4.2.3.6 Candlestick-Formationenie Analyse japanischer CandlestD

schriebenen Indikatoren auf der Kursen. Diese Muster, auch Candschen Reishändlern in der Mitte Fo ionen deuten auf die Fortselis Wendepunkte der Kurse.1

129 vgl. Müller/Nietzer (2000), S. 47 f. 130 vgl. Omega Research User Manual, S131 vgl. Omega Research User Manual, S132 vgl. Bigalow (2002), S. 2 f. 133 vgl. Bigalow (2002), S. 2 f.

Swing High

Swing Low

Höchstkurs

Schlusskurs

röffnungskurs E

Tiefstkurs

t

n

t jew Abbiönne Ein

ick Cvisuellestic

des actzung

33 Es

uchbeguchbeg

n

eils ein Swing-High uldung wird kurz die Inn als Widerstands- undAusbruch aus den Sw

harts basiert im Gegenlen Identifikation bestk-Formationen genanhtzehnten Jahrhunder eines bestehenden Trgibt inzwischen eine F

riff: Swing riff: Swing

n

nnd eiterpreta Untersing-Niv

satz zuimmter

rdnt, wuts eingeends hiülle vo

n

Balkenchar

ise von

bisher be-n i-

t.132 Einige

Swing-Low für tionswetützungspunkte eaus, kann den

den Muster in deen von japanführ

n, andere signa-n Fachliteratur,

67


die sich ausschließlich mit den Candlestick-Formationen und deren Anwendung be-schäftigt. In dieser Arbeit werden die starken Umkehrformationen Hammer und Shooting Star untersucht.

n sowie zwei Shooting-Star-Formationen. Im linken Teil der Abbildung ird die Interpretationsweise von Balkencharts kurz dargestellt.

Abbildung 4.4: Hammer- und Shooting-Star-Formationen

-

Der Hammer ist eine bullishe Umkehrformation, der Shooting Star eine bearishe Umkehrformation. Die folgende Abbildung 4.4 veranschaulicht zwei Hammer-Formationew

Die - -

t

- -

- Eine - - - -

134 vg135 vg

68

Candlestick-Char

ch am oberen Ende der Kerze.

bwärtstrends befinden. Die folgende Kerze muss die Shooting-Star-Formation bestätigen.

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Murphy (2004), S. 305]

Kriterien für die Existenz eines Hammers sind134:

Die Lunte sollte mindestens doppelt so lang sein wie der Körper der Kerze. Der Kerzenkörper befindet siDie Kerze soll möglichst keinen oder einen sehr kleinen Docht haben. Die Hammer-Formation muss sich am Tiefpunkt eines Abwärtstrends befin-den. Die folgende Kerze muss die Hammer-Formation bestätigen.

Shooting-Star-Formation muss folgende Kriterien erfüllen135:

Der Docht sollte mindestens doppelt so lang sein wie der Körper der Kerze. Der Kerzenkörper befindet sich am unteren Ende der Kerze. Die Kerze soll möglichst keine oder eine sehr kleine Lunte haben. Die Shooting-Star-Formation muss sich am Hochpunkt eines A

l. Bigalow (2002) , S. 38 l. Bigalow (2002), S. 58

4.3 Handelsmodelle

Ein Kurs am nächsten Tag über dem Kerzenkörper des Hammers bzw. unter dem Kerzenkörper eines Shooting Stars wird in dieser Arbeit als Formationsbestätigung interpretiert. Die Effektivität der Candlestick-Muster kann verbessert werden, indem diese mit technischen Indikatoren, wie dem Stochastik oder den Bollinger Bändern kombiniert werden.136

4.3 Handelsmodelle

.3.1 Grundsätzliches über Handelsmodelle

ärkten viel Geld zu verdienen, hat seit deren Exis-nz zu der Entwicklung einer Fülle unterschiedlicher Analysekonzeptionen geführt,

elsregeln sehr objektiv definieren und einem Computer eingeben kann.

toren bevorzugen in der Regel die Fundamentalanalyse und lehnen somit technische Modelle a priori ab. Analysten sehen ihre Arbeit durch einen extensiveren Einsatz automatischer Handelssysteme gefährdet und treten ihnen deshalb negativ gegen-über. Dadurch werden vergangene Verluste der Modelle überbewertet, Gewinne dennoch als normal angesehen und die Modelle als schlecht dargestellt.139

4 Die Möglichkeit, auf Wertpapiermtedurch deren Einsatz sich Investoren erfolgreiches Handeln versprechen. Handelsmo-delle stellen eine schriftliche Festlegung der Handelsstrategie dar, nach der man han-deln möchte.137 Da die formulierte Handelsstrategie in einem Handelsmodell syste-matisch umgesetzt wird, unterliegt die Performance eines Handelssystems keinen subjektiven Entscheidungen mehr. Die im vorherigen Abschnitt 4.2 behandelte tech-nische Indikatorenanalyse ist als Analyseinstrument in Handelsmodellen besonders geeignet, da man anhand der Indikatoren Handin Die Akzeptanz von automatischen Handelsmodellen ist sowohl in der Wissenschaft als auch in der Praxis zum Teil problematisch. Kapitalmarkttheoretiker berufen sich auf die Theorie effizienter Märkte und die Random-Walk-Theorie138, nach denen die Möglichkeit, durch Handelsmodelle systematisch Gewinne zu erzielen, ausgeschlos-sen wird. Einwände aus der Praxis haben unterschiedliche Begründungen. Zum einen existieren ideologische Schranken bezüglich der Analyseform. Institutionelle Inves-

136 vgl. Bigalow (2002), S. 25 137 vgl. Wetzer (2003), S. 13 138 vgl. Abschnitt 4.1 139 vgl. Wetzer (2003), S. 21 ff.

69


Allerdings bieten Handelsmodelle gegenüber diskretionärem140 Handel diverse Vor-teile: Der wohl wichtigste Vorteil besteht in der Eliminierung menschlicher Emotio-

en aus dem Handel, da Emotionen für viele Händler die entscheidende Barriere zu profitablem Handeln d Handelsansätze durch

estläufe auf historischen Zeitreihen zu testen und analysieren, besteht nur bei sys-matischen Handelsmodellen und stellt einen weiteren Vorteil gegenüber dem sub-ktiven Handeln dar. Außerdem erlauben mechanische Strategien den Einsatz einer stematischen Mengensteuerung, die das Handelsergebnis empfindlich beeinflussen

ann.142

.3.2 Komponenten und Segmentierung von Handelsmodellen

d Entry-Short-Signalen, sowie aus xit-Long- und Ex das Eröffnen von

Positionen am Markt. Dabei wird bei Long-SiSignalen der W . D men, wann eingegangene Positionen wie werd n Exit-Signale aufgrund von Risikomanagem en g sten Exit-Signale werden als Stop-Losse144 und Trailingstops145 b Das Money-Management-Modell s r, die beschreibt wie viel Kapital bei de na etzer (2003) zeigt, dass die Auswahl des r Mana odell, das einen posi-tiven Erwartungswert liefert, die w ente eines Handelssystems sein kann. Eine ausführliche Behand enen Money-Management-Strategien wür s a im empirischen Teil die Signale der H on v ind, liegt der Fokus auf

narstellen.141 Die Möglichkeit, bestimmte

Ttejesyk 4 Die zwei Hauptkomponenten eines Handelssystems sind das Signalmodell und das Money-Management-Modell.143

ine Signalmodell besteht aus Entry-Long- unE

E it-Short-Signalen. Die Entry-Signale veranlassengnalen der Wert gekauft und bei Short-

ert leerverkauft ie Exit-Signale bestimder geschlossen

ent Überlegungen sollen. Oft werde

igetroffen. Die gängezeichnet.

tellt eine Strategie dam Spielen der Sig le einzusetzen ist. W

nem Signalmichtigen Money gements bei eiichtigste Komponlung der verschied

de den Rahmen dieandelsmodelle v

er Arbeit sprengen. Dorrangiger Bedeutung s

140 Unter diskretionärem Handel versteht m Handel, der nicht durch strenge Handelsre-geln beschränkt wird. 141 vgl. Wetzer (20142 vgl. Wetzer (2

3 vgl. Wetzer (2003), S. 14 4 Ein Stop-Loss wird beim Eingehen einer Position gesetzt, und veranlasst eine automatische Schlie-ung der Position bei dem Unterschreiten bzw. Überschreiten des gesetzten Stop-Loss-Kurses. Somit

kann der generierte Verlust einer Position von Anfang an begrenzt werden. 145 Trailing-Stops stellen Exit-Niveaus dar, die bei laufenden Positionen dynamisch angepassst wer-den. Durch Trailing-Stops wird sichergestellt, dass bei profitabel laufenden Positionen Gewinne mit-genommen werden.

an subjektiven

03), S. 19 003)

14

14

ß

70

4.3 Handelsmodelle

deren Entwicklung.146 Die Abbildung 4.5 veranschaulicht den Aufbau eines Han-

eranschaulicht Kriterien, nach denen die Handelsmodelle klassifiziert werden. Die-rz erläutert.147

delsmodells.

Abbildung 4.5: Aufbau eines Handelsmodells

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wetzer (2003) , s. 15] Handelsmodelle können auf verschiedenen Ideologien basieren. Die Abbildung 4.6 vse Kriterien werden im Folgenden ku

Abbildung 4.6: Segmentierung von Handelsmodellen

Kriterium der Seg-mentierung

Mögliche Ausprägungen

1. Trendfolge-Modelle 2. Breakout-Modelle

Zugrunde liegende Strategie

3. Gegentrend-Modelle 1. Immer am Markt (Reversal-Modell) Zugelassene Aktionen 2. Mit neutraler Phase 1. Bedingte Modelle Anzahl der Analysen 2. Unbedingte Modelle 1. Filtermodelle 2. Prognosemodelle

Art der Analysen

3. Graphische Modelle 1. Symmetrische Modelle Bedingungen für Long-

/Short-Positionen 2. Asymmetrische Modelle 1. Fixe Parameter Umgang mit Parame-

tern 2. Optimierung 1. Kurzfristig 2. Mittelfristig

Zeithorizont des Marktengagements

3. Langfristig

[Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Wetzer (2003), S. 16]

6 Stridsman (2003) und Wetzer (2003) behandeln Money Management, die Mengensteuerung bei ignalen von Handelsmodellen, ausführlich. 7 vgl. Wetzer (2003), S. 16 ff.

14

S14

Trading Rules Strukturanalyse

Mengenvariation

Signalmodell

Money Management Modell Gesamtperformance

Marktdaten Gewinn- und Verlustreihe

71


Zugrunde liegende Strategie

ine Verluste generieren, um iese dann mit wenigen großen Gewinnen zu übertreffen. Gegentrend-Modelle sig-

depunkte am Markt. Sie haben eine hohe Treffer-

g.

eversal-Modelle sind immer am Markt investiert. Das bedeutet, dass Positionen

nen das Modell nicht am Markt ist, zu.

nzahl der Analysen

dell besteht auf einer einzelnen Wenn-Dann-Bedingung. Ist diese

tzen unter den verschiedenen Analysearten die größte wissen-haftliche Fundierung. Sie basieren auf Methoden der Statistik und Ökonometrie.

thematisch in einen neuen Daten-

keit positive Rendi-n erzeugen.

e-hehen Verkauf- und Kaufentscheidungen nach unterschiedlichen Kriterien, ist das odell asymmetrisch.

Trendfolge-Modelle versuchen, lange Marktbewegungen in eine Richtung auszunut-zen. In Seitwärtsphasen werden diese Modelle viele klednalisieren in Seitwärtsmärkten Wenquote, der Gewinn pro Trade ist allerdings verhältnismäßig gering. In Trendphasen generieren diese Modelle häufig Fehlsignale. Breakout-Modelle warten, bis der Kurs wichtige Marken durchbricht und handeln dann entweder in Richtung dieser Bewe-

ung oder in die Gegenrichtung Zugelassene Aktionen

Rgleichzeitig zur Eröffnung einer Gegenposition geschlossen werden. Modelle mit neutraler Phase hingegen lassen Phasen, in de A

Ein unbedingtes MoBedingung erfüllt, so wird entsprechend gehandelt. Bedingte Modelle bestehen aus mehreren verschachtelten Wenn-Dann-Bedingungen. Ist eine bestimmte Bedingung erfüllt, so werden die Marktdaten nach weiteren Bedingungen untersucht. Es wird erst gehandelt, nachdem alle hintereinander geschalteten Bedingungen erfüllt sind. Art der Analysen

Prognosemodelle besiscFiltermodelle transformieren den Kursdatensatz masatz. Die Prognosen über die Kursentwicklung stammen aus der Interpretation der neuen Datenreihen. Graphische Modelle gründen sich auf die Erkennung gewisser graphischer Muster in den Kursen, die mit hoher Wahrscheinlichte Bedingungen für Positionen

Sind die gleichen Handelsregeln für das Eingehen von Short-Positionen und Long-Positionen verantwortlich, so spricht man von einem symmetrischen Modell. GscM

72

4.3 Handelsmodelle

Umgang mit Parametern

Modelle können danach unterschieden werden, ob sie ohne oder mit fixen Parame-tern agieren, oder ob die Parameter optimiert148 werden. Zeithorizont der Marktaktionen

Modelle lassen sich auch nach der Dauer unterscheiden, die der Anleger aufgrund eines Signals durchschnittlich am Markt investiert. Modelle können kurz-, mittel- oder langfristiger Natur sein. 4.3.3 Konstruktion von Handelsmodellen Ein Handelssystemprogrammierer hat bei dem Aufbau eines Handelsmodells unter-

he Arbeitsschritte zu vollbringen:149

orüberlegungen

s Investment-Stils bewusst

rordentlicher Relevanz, da ein Anleger nur in er Lage sein wird, Handelssignale eines Modells umzusetzen, das seiner Anleger-entalität entspricht.

chriftliche Formulierung der Handelsstrategie

a-nreihen angewandt wird. Die Performance sowie gewisse Kennzahlen werden dann

schiedlic V

Vor dem Programmierbeginn sollte sich der Investor seinewerden. Er sollte sich mit den grundsätzlichen Eigenschaften wie die zugrunde lie-gende Strategie, die bevorzugte Analysemethode, die Signalhäufigkeit, die Treffer-quote, den Zeithorizont etc. des zu programmierenden Handelsmodells auseinander setzen.150 Dieser Schritt ist von außedm S

Nachdem sich der Investor für einen Handelsansatz entschieden hat, wird dieser in eine für ihn verständliche und vertretbare Handelsstrategie umformuliert, die an-schließend als Programmcode in den Rechner eingegeben wird. Test der Strategie

Die Strategie wird getestet, indem sie auf möglichst repräsentativen historischen Dteausgewertet, um das Modell im Falle unzufriedenstellender Signale auszusondern.

148 siehe Abschnitt 4.3.3, Unterpunkt: Optimierung der Strategie 149 vgl. Wetzer (2003), S. 23 ff. 150 siehe Abbildung 4.6

73


Optimierung der Strategie

Enthält die Handelsstrategie Parameter, wie zum Beispiel die Länge des Zeitfensters

oll aber nach einem robusten rschiedenen Datenreihen ähnlich gut funktioniert, ge- Test des optimierten Modells auf einer anderen, dem

l nicht robust und für den Handel ungeeignet.

Hande

trategien, die der Trader im Test als gut erachtet, können in den Handel gehen.

In dies nitt werden ohne Anspruch auf Vollständigkeit Kennzahlen z Per-formanceanalyse von Handelsmodellen vorgestellt. Diese Kennzahlen geben im Mo-

elltest eine Unterstützung bei der Frage, ob ein bestimmtes Modell als gut befunden

ettogewinn, durchschnittliches Tradeergebnis und Erfolgswahr-heinlichkeit beschreiben die Performance eines Handelsmodells bezüglich der

Rendite. Der Maximum Drawdown und die Standardabweichung der Tradeergebnisse sind Risikokennzahlen. Die interessantesten Kennzahlen bilden sich aus einer Kom-bination aus Rendite- und Risikomassen. Zu dieser Gruppe gehören der Profit Fac-

eines gleitenden Durchschnitts, so können diese ebenfalls anhand einer historischenDatenreihe optimiert werden. Die Strategie wird mit Hilfe spezieller Computerpro-gramme mit verschiedenen Parameterwerten auf der Optimierungsdatenreihe ange-wandt. Die Auswahl der optimalen Parameter sollte sich nicht nur auf den erwirt-schafteten Gewinn stützen, da dies häufig zu einem Curve Fitting führt: Das Handelsmodell wurde der Datenreihe angepasst. Es sModell, das zuverlässig auf vesucht werden. Deshalb muss einModell unbekannten historischen Kurszeitreihe durchgeführt werden. Weichen die Ergebnisse im Testzeitraum stark von denen im Optimierungszeitraum ab, so ist das Model

l

S Überwachung und Verbesserung des Handelsmodells

Die Handelssignale des Modells sollten von dem Händler ständig beobachtet werden. Läuft das Modell nicht nach Plan, kann dies auf veränderte Marktkonditionen zu-rückzuführen sein. Das Modell sollte nochmals überprüft und angepasst oder vorerst us dem Handel genommen werden. a

4.3.4 Performanceanalyse von Handelsmodellen

em Absch ur

dwird oder ob es verworfen oder verbessert werden soll. Während der Optimierung eines Handelssystems werden diese Kennzahlen herangezogen, um zu bestimmen, ob das Modell robuste Ergebnisse liefert.151 Ein Modell ist umso robuster je stabiler sich die Kennzahlen bei der Variation der Parameter und des Testzeitraumes erweisen. Die Kennzahlen Nsc

151 vgl. Pruitt/Hill (2003), S. 77

74

4.3 Handelsmodelle

tor, die Profit to Maximum Drawdown Ratio und der Risk-Adjusted-Return bzw. bei

ten Daten, nicht stabil, sondern abhän-152 Durch die Wahl eines langen Testzeit-

raumes, der unterschiedliche Marktphasen umfasst, können die Kennzahlen dennoch Im Folgenden werden die in dieser Ar-

eit eingesetzten Performancekennzahlen vorgestellt.

Portfolios von Handelssystemen der Portfolio-Risk-Adjusted-Return.

ennzahlen sind, wie alle empirisch abgeleiteKgig von der zugrunde liegenden Stichprobe.

Aussagen über die Güte des Modells liefern. b Nettogewinn bzw. Net Profit

Diese Kennzahl stellt den Nettogewinn des Handelssystems in dem getesteten Zeit-raum dar. Der Nettogewinn besteht aus den Bruttogewinnen abzüglich der Bruttoverluste:

ustBruttoverlnnBruttogewinNettogewin −= [4.16] Der Nettogewinn wird häufig in der Modellevaluierung überschätzt. Ein Modell, das einen hohen Nettogewinn verbucht, kann den Investor trotzdem ruinieren, wenn der Maximum Drawdown153 zu hoch ist. Der Nettogewinn sagt außerdem nichts über die Verteilung der Gewinne und Verluste aus. Da das Ziel des Handels die Erwirtschaf-tung von Gewinnen ist, ist diese Kennzahl dennoch von kardinaler Bedeutung, sollte aber stets in Kombination mit anderen Kennzahlen analysiert werden.154 Durchschnittliches Tradeergebnis bzw. Average Trade

as durchscD hnittliche Ergebnis pro Trade wird folgendermaßen berechnet:

[4.17] TradesderAnzahl

nisTradeergebttlichesDurchschni =

ngewin

uch diese Kennzahl darf nicht als alleinige Entscheidungsgrundlage eingesetzt werden Beispiel ein System mit einem hohen durchschnittlichen Tradeer-gebnis bei einer ungleichmäßigen Verteilung der Gewinne und Verluste über die Zeit ls nicht robust einzustufen ist.155 Der Vorteil dieser Kennzahl liegt darin, dass durch

die No me verglichen werden

Netto

A, da zum

armierung des Gewinns auf die Signalanzahl verschiedene Syste können.156

152 vgl. Wetzer (2003), S. 33 153 siehe weiter unten 154 vgl. Pruitt/Hill (2003), S. 81 f. 155 vgl. Stridsman (2003), S. 16 ff. 156 vgl. Wetzer (2003), S. 33

75


Erfolgswahrscheinlichkeit bzw. Percent Winning Trades

Die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Trades besteht aus dem Verhältnis zwischen der Anzahl erfolgreicher Trades und aller Trades:

[4.18] TradesallerAnzahl

hkeitrscheinlicErfolgswah = .

TradeshererfolgreicAnzahl

rozentzahl profitabler Märkte bzw. Percent Profitable Markets

Die Ke rcent Profitable Markets besagt, auf wie vielen der getesteten Märk-te das Handelsmodell Gewinne generieren konnte. Diese Kennzahl ist für die Stabili-tät des Handelsmodells von großer Relevanz, da viele verschiedene Märkte das Mo-dell auch verschiedenen Marktphasen unt liegen. Maximum Drawdow

iese Kennzahl misst den durch das Hande

ngigste Kennzahl für das Risiko eines Handelsmodells und nsatz zum Total Net Profit, minimiert werden.158 Anleger mit einem

llten keine Strategie handeln, die tempo-

Formel [4.19]:

P

nnzahl Pe

ersetzen, und sollte deutlich über 50 %

n

lsmodell temporär höchsten verursachtenDKapitalverlust. Dieser stellt den größten Abstand zwischen dem Hochpunkt und dem darauf folgenden Tiefpunkt der Equitykurve aller Trades dar.157 Der Maximum Intra-day Drawdown ist die gäsollte, im Gegeverhältnismäßig niedrigen Handelskapital sorär einen hohen Kapitalrückgang verursachen könnte, da dieser ihren Einsatz ver-nichten könnte und weiteres Handeln der letztendlich profitablen Strategie unmög-lich macht. Standardabweichung um das durchschnittliche Tradeergebnis

Die Berechnung der Standardabweichung um das durchschnittliche Tradeergebnis rfolgt nach der e

[4.19] ( )∑=

mit: Trades: Anzahl der Trades AvgTrade: Durchschnittliches Tradeergebnis

−=Trades

iiTrades AvgTradeTrade

Trades 1

21σ

157 Bsp.: Beträgt das Kapital zu Beginn eines Trades 100 €, nach 2 Tagen 120 €, nach 6 Tagen 60 € und beim Schlissen des Trades 90 €, so beträgt der Maximum Intraday Drawdown: 120 € - 60 € = 60 €, obwohl der Verlust des Trades nur 100 € - 90 € = 10 € beträgt. 158 vgl. Pruitt/Hill (2003), S. 82

76

4.3 Handelsmodelle

Ist die Differenz zwischen dem durchschnittlichen Tradeergebnis abzüglich 1,96 Standardabweichungen größer als null, so kann daraus geschlossen werden, dass das Handelsmodell statistisch signifikante Gewinne erzielt.159

Wertpapieren getestet wird, so ann die Portfoliostandardabweichung wie folgt berechnet werden:

[4.20]

Portfolio-Standardabweichung

Wenn ein Handelsmodell auf ein großes Portfolio vonk

( )∑ −=Markets

=

2iPortfolio NetProfitAvgNetProfit

Markets1σ

auf dem i-ten Markt

: Durchschnittlicher Nettogewinn des

usfällt, desto mehr Risiko ist mit dem Handel des Han-elsmodells verbunden.

er Profit Factor setzt den erwirtschafteten Bruttogewinn mit dem Bruttoverlust ins Verhäl utes Risikomanagement wird niedrige Verluste generieren, während ein gutes Regelwerk hohe Gewinne zur Folge haben sollte. Ein Profit Factor, der größer als eins ist, bedeutet höhere Gewinne als Verluste. Je höher dieses Verhältnis ausfällt, desto besser f tote des Profit Factors den Systemdes r einem überoptimierten oder unrobusten System arnen.

ie Profit to Maximum Drawdown Ratio P/MaxDD ist das Verhältnis des Nettoge-inns zum größten absoluten Kapitalrückgang. In dem TradestationTM Performance

l nicht aufgeführt, sie lässt sich aber schnell berechnen:

1i

mit: Markets: Anzahl der Wertpapiere im Portfolio

NetProfiti: Nettogewinn des Handelsmodells

Avg Net ProfitHandelsmodells auf allen Wertpapieren

Je größer diese Kennzahl ad Profit Factor

Dtnis. Ein g

ür den Inves r.160 Andererseits sollten unrealistisch hohe Wer-igner vo

w Profit to Maximum Drawdown Ratio

DwReport ist diese Kennzah

[4.21] DrawdownMaximum

MaxDDP =/ .

nNettogewin

159 Unter der Annahme normal verteilter Tradeergebnisse befinden sich 95 % der Tradeergebnisse in dem Intervall Durchschnittsergebnis - 1,96 * Standardabweichung bis Durchschnittsergebnis + 1.96 * Standardabweichung. [vgl.: Stridsman (2003), S. 24] 160 vgl. Wetzer (2003), S. 34

77


Diese Ratio besagt, um das wievielfache die Gewinne den größten absoluten Kapital-rückgang überschreiten. Im Idealfall liegt der Wert dieser Kennzahl weit über eins.161

Risk Adjusted Return

Eine weitere Vereinigung zwischen Rendite und Risikomasse stellt der Risk Adjusted Return RAR dar, der folgendermaßen berechnet wird:

[4.22] weichungStandardab

RAR =

uf der Basis der

nisTradeergebttlichesDurchschni

Überlegung, dass höhere Gewinne in der Regel durch höheres Ri-

ärkten, so stellt das ortfolio Risk Adjusted Return Portfolio-RAR eine gute Rendite-Risiko-

Um daHandel

[4.23]

Asiko erwirtschaftet werden können, ist das Handelsmodell mit dem höchsten Risk Adjusted Return das, was mit der größten Sicherheit gehandelt werden kann.162

Portfolio - Risk Adjusted Return

Beobachtet man das Handelsmodell gleichzeitig auf mehreren MPPerformancekennzahl dar.

s Portfolio-RAR zu berechnen, muss zuerst der durchschnittliche Gewinn des smodells über alle Wertpapiere des Portfolios berechnet werden:

∑=/Markets

=

ProfitNet1ProfitNeto

dem i-ten Markt

AnschlStanda

In diesem vierten Kapitel wurden die gängigsten technischen Indikatoren und die Bausteine systematischer Handelsmodelle vorgestellt. Im nächsten Kapitel können dann nach diesen Grundsätzen Handelsmodelle entwickelt werden.

1iiMarkets

wobei: NetProfiti: Nettogewinn des Handelsmodells auf

ießend wird auch hier der durchschnittliche Gewinn mit der Portfolio-rdabweichung ins Verhältnis gesetzt.

4.4 Fazit

161 Vgl. Wetzer (2003), S. 35 162 vgl. Stridsman (2003), S. 24 f.

78

4.4 Fazit

Die Random-Walk-Theorie, nach deerstellen sind, basiert auf der Hypothe

r Aktienkursprognosen nicht erfolgreich zu se effizienter Märkte, die durch das Informati-

nsparadoxon allerdings eine erhebliche Argumentationsschwäche beinhaltet. Die andom-Walk-Theorie konnte trotz intensiver Untersuchungen bisher weder verifi-

en. In der Anlagepraxis werden Wertpapierkurse sehr wohl nalysiert. Hierbei stellen die Fundamentalanalyse und die technische Analyse die

ass Aktien um ihren inneren ert fluktuieren.

Erstens kann davon ausgegangen werden, dass die technische Analyse bereits aus dem Grunde, dass so viele Marktteilnehmer sich an ihr orientieren, eine

Natur.

oRziert noch falsifiziert werdazwei Hauptanalyseformen dar. Die Fundamentalanalyse besitzt die größere akademische Berechtigung, da bei-spielsweise auch die Random-Walk-Theorie besagt, dW Die technische Analyse basiert nicht auf einem derartig soliden theoretischen Fun-dament. In der Praxis werden allerdings häufig Entscheidungen aufgrund technischer Analyse der Märkte getroffen.163 Zuzüglich zu der Tatsache, dass täglich in der Welt weit mehr Geld für Finanztransaktionen als für Güter- und Dienstleistungen umge-setzt wird,164 können folgende Überlegungen angestellt werden: -

gewisse Aussagekraft besitzt. Oft wird die technische Analyse als eine sich selbst erfüllende Prophezeiung klassifiziert. Wenn dies zutreffen würde, so hieße es, dass mit technischer Analyse durchaus Geld zu verdienen ist.

- Zweitens basiert ein großer Teil der Fundamentalanalyse auf den Daten der Transaktionen für Güter und Dienstleistungen, die jedoch vom Volumen her im Vergleich zu den Finanztransaktionen relativ unbedeutend sind.

- Drittens kann die Fundamentalanalyse, deren Eingabedaten relativ statisch

sind, nicht die kurzfristigen, von der Psychologie der Anleger getriebenen, Schwankungen von Wertpapieren erklären. Ihr Anlagehorizont ist eher mittel- bis langfristiger

Es lässt sich zusammenfassen, das die technische Analyse das bessere Instrument für kurzfristige Timing-Entscheidungen sein dürfte. Langfristige Investitionen sollten sich nicht ausschließlich auf die technische Analyse stützen.

316 Die technische Analyse wurde laut einem Report der Bank of England im Jahre 1989 von 90 % der

mit Devisen handelnden Institutionen in irgendeiner Weise zur Entscheidungsunterstützung einge-setzt. [vgl. Davidson (1995)] 164 Im Jahr 1995 wurden z. B. täglich 1,2 Trillionen U.S.Dollar gehandelt. Dies entsprach dem fünf-zigfachen von dem, was weltweit täglich für Güter und Dienstleistungen ausgegeben wurde. [vgl. Yao/Tan (1999), S. 222]

79

5 Empirischer Teil 5.1 Vorgehensweise I

anagement-Modell entwickelt werden. oll in der Lage sein, sowohl en langfristigen Erwartungen des Portfoliomanagers zu entsprechen als auch kurz-istige Chancen am Markt systematisch auszunutzen.

einem ersten Schritt muss sich der Portfoliomanager Gedanken über die langfristi-e Zusammensetzung seines Wertpapierportfolios machen. Dieser Prozess wird als rategische Asset Allocation bezeichnet. In dieser Arbeit wird dem Vorschlag von lack und Litterman gefolgt, die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen als eferenzgewichtungen zu verwenden. Die konkrete Auswahl der Aktien erfolgt im bschnitt 5.3.1. Allerdings ist es auch möglich, ein individuelles, den persönlichen ngfristigen Erwartungen entsprechendes, strategisches Portfolio zusammenzustel-n.

aktische Asset Allocation wird angewendet, um kurzfristige Chancen am Aktien-arkt wahrzunehmen. Mit der taktischen Asset Allocation wird eine aktive Investiti-

nspolitik betrieben, welche versucht, im Vergleich zu einer rein passiven strategi-hen Asset Allocation eine bessere Performance zu erzielen. Diese Chancen am

ann als Prog-barkeit halber

ird ein Portfolio mit denselben Aktien nach dem Markowitz-Verfahren organisiert. er Vektor erwarteter Renditen des Markowitz-Portfolios wird bei der Existenz ei-

der historischen Durchschnittsrendite te bestehen. Liegen für Aktien keine

andelssignale vor, so besteht die erwartete Rendite vollständig aus der historischen

tungen werden daraufhin in Richtung der geäußerten rognosen angepasst. Dazu wird in dem ersten Teil dieses Kapitels versucht, ein pro-

AX zu entwickeln. Der ist der Zeitraum vom

2.01.2002 bis zum 30.12.03.

n diesem Teil der empirischen Arbeit kann das systematische Portfolio-Das Modell sM

dfr IngstBRAlale TmoscMarkt werden durch das entwickelte Handelsmodell identifiziert und d

osen dem Black-Litterman-Verfahren weitergegeben. Der VergleichnwDnes Signals des Handelsmodells zu 50 % ausund zu 50 % aus der erwarteten SignalrendiHDurchschnittsrendite. Die neuen PortfoliogewichPfitables und stabiles Handelsmodell für die Aktien des DTestzeitraum bei der Entwicklung des Handelsmodells0 Im Abschnitt 5.3.2 des Kapitels werden aus den Handelssignalen des entwickelten Handelsmodells Prognosen spezifiziert, die dann als Renditeerwartungen an das Black-Litterman-Verfahren und das Markowitz-Verfahren weitergegeben werden.

80

5.2 Entwicklung des Handelsmodellst

Diese systematischen Portfolio-Management-Ansätze werden über das Jahr 2004 angewandt und schließlich auf ihre Performance untersucht. Der Aufbau des systematischen Black-Litterman-Portfolio-Management-Modells ist

der Abbildung 5.1 veranschaulicht.

Abbildung 5.1: Aufbau des systematischen Portfolio-Management-Modells nach BLACK und

in

LITTERMAN
Strategische Asset Allocation Taktische Asset Allocation
.

In

Es 5 DiM10

5.2

prsE

Fo

Spezifikatio von strategisch Portfo-

nenn liogewichte

Entwicklung eines Handelsmodells
ODER
2 Entwicklung des Handelsmodells

delle basanagement-Strategie, bei der jedes Handelssign

el m

diesem Absllt

siebMode

wird im Folgenden ausschließlich mit stetigen R

e im Folgenden getesteten Handelsmo

0.000 € umgesetzt wird.

.1 Hand sregeln der einfachen Handels

chnitt werden Handelsmodelle getesetationsweisen der im Abschnitt 4.2.3 vorgeste werden en Trendfolgemodelle und fünf Geglgenden werden die Handelsregeln dieser

CAPM-Gewichte Handelssignale (Prognosen)

Black-Litterman-Portfoliogewichtun

n

Spezifikation der Inputs des Black-Litterman-Verfahrens und derRisikoaversion

Black-Litterman-Verfahre

ieren auf einer einfachal mit einem Handels

odelle

en Indikatoren Signale durch

lle beschrieben. Ziel

enditen gearbeitet.

tet, die gemäß den St

entrendmodelle

gen

Subjektiv

Systematisch

en Money-kapital von

generieren. gespielt. Im ist es, einen

andardinter-

81

5 Empirischer Teil

Eindruck zu bekommen, welche Indikatoren während des Testzeitraumes auf den DAX-Aktien gute Signale generieren konnten. Diese Informationen werden dann bei der Entwicklung des Handelssystems, das im Portfoliomodell eingesetzt werden soll, behilflich sein. Handelsregeln der einfachen Trendfolgemodelle

andelsmodell Nr. 1: Moving-Average-Crossover

Entry Long: der kurze Durchschnitt den langen

Exit Long: . m Schlusskurs der kurze Durchschnitt

unter dem langen Durchschnitt liegt und der kurze Durchschnitt den langen

Nr. 1 benutzt zwei Parameter (Länge des kurzen Durch-hnitts k = 5, Länge des Langen Durchschnitts l = 13). Es handelt sich um ein Re-

ht (2 Entries = 2 Exits).

es ändern sich ledig-ch die Längen der Zeitfenster, über die die gleitenden Durchschnitte berechnet wer-en. Der kurze Durchschnitt hat die Länge k = 9, der längere Durchschnitt hat die

MACD-Linie über der Signallinie liegt und die MACD-Linie die Signallinie von unten nach o-ben schneidet.

ntry Short: Verkaufe zur nächsten Eröffnung, wenn zum Schlusskurs die MACD-Linie

H

Kaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der kurze Durchschnitt über dem langen Durchschnitt liegt undDurchschnitt von unten nach oben schneidet. Glattstellen zur Reversalbedingung

Entry Short: Verkaufe zum Schlusskurs, wenn zu

Durchschnitt von oben nach unten schneidet. Exit Short: Glattstellen zur Reversalbedingung.

as TrendfolgesystemDscversalsystem, das zwei Aktionen ermöglic Handelsmodell Nr. 2: Moving-Average-Crossover Dieses Modell funktioniert analog zu dem Handelsmodell Nr. 1,lidLänge l = 21. Handelsmodell Nr. 3: MACD-Crossover

Entry Long: Kaufe zur nächsten Eröffnung, wenn zum Schlusskurs die

Exit Long: Glattstellen zur Reversalbedingung. E

unter der Signallinie liegt und die MACD-Linie die Signallinie von oben nach unten schneidet.

Exit Short: Glattstellen zur Reversalbedingung.

82


Das Trendfolgemodell Nr. 3 benutzt drei Parameter (Länge des kurzen exponentiel-n Durchschnitts = 12, Länge des langen exponentiellen Durchschnitts = 26, Länge

andelsmodell Nr. 4: Swing-Breakout I

r aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige Swing-High übersteigt.

ung. y Short: Verkaufe zur nächsten Eröffnung, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell

e s,

2

andelsmodell Nr. 5: Swing-Breakout II

uch hier die Stärke des Swings, Strength wird auf vier gesetzt. Die hier ermittelten bzw. Widerstandspunkte im Ver-

Handelsmodel er-Band-Breakout

Exit Long: ersalbedingung. aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige

untere Bollinger Band unterschreitet.

ledes exponentiellen Durchschnitts zur Berechnung der Signallinie = 9). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits). H

Entry Long: Kaufe zur nächsten Eröffnung, wenn de

Exit Long: Glattstellen zur ReversalbedingEntr

gültige Swing-Low unterschreitet. Exit Short: Glattstellen zur Reversalbedingung.

Parameter dDer einzig ieses Handelsmodells ist die Stärke des SwingStrength = 2. Es handelt sich um ein Reversalsystem das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = Exits).

H

Dieses Modell funktioniert analog zu dem Modell Nr. 4, es ändert sich lediglich die Stärke des Swings, nämlich Strength = 3. Dies führt dazu, dass relativ unstabile Un-terstützungs- und Widerstandspunkte keine Signale generieren. Handelsmodell Nr. 6: Swing-Breakout III

ieses Modell funktioniert ebenfalls analog zu dem Modell Nr. 4; es ändert sich D

aSwings sind die eindeutigeren Unterstützungs-

leich zu denen der Handelsmodelle Nr. 4 und Nr. 5. g

l Nr. 7: Bolling Entry Long: Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige

obere Bollinger Band übersteigt. Glattstellen zur Rev

Entry Short: Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der

83

5 Empirischer Teil

Exit Short: Glattstellen zur Reversalbedingung. Das Ausbruchmodell benutzt zwei Parameter (Länge des gleitenden Durch-

hnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2). Es andelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2

Handelsregel

Entry Long: skurs, wenn zum Schlusskurs der RSI über der Überver-

von unten nach o-ben schneidet.

versalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.

as Gegentrendmodell benutzt vier Parameter (Länge des Zeitfensters zur Berech- 30

on Longpositionen der aktuelle Tiefstkurs, beim Eingehen von Shortpositionen der

tiefsten Tiefpuem e

mögliche Akti

andelsmodell Nr. 9: Bollinger-Band-Reversals

schExits).

n der einfachen Gegentrendmodelle

Handelsmodell Nr. 8: RSI-Reversalsystem

Kaufe zum Schluskauft-Grenze liegt und der RSI die Überverkauft-Grenze

Exit Long: Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop. Entry Short: Verkaufe zum Schlusskurs, wenn zum Schlusskurs der RSI unter der Über-

kauft-Grenze liegt und der RSI die Überkauft-Grenze von oben nach unten schneidet.

Exit Short: Glattstellen zur Re Dnung des RSI = 14, Lage der Überkauftzone = 70, Lage der Überverkauftzone =

= 3). Der Stop-Loss ist beim Eingehen und Länge des Zeitfensters des Trailingstopsvaktuelle Höchstkurs. Der Trailingstop wird bei Longpositionen bei Kursen unter dem

nkt der letzten drei Tage aktiviert, bei Shortpositionen bei Kursen über dem höchst Höchstkurs der letzten drei Tage. Das System ermöglicht neutralMarktphasen, wenn die Stops zum Einsatz kommen. Es existieren demnach sechs

onen (2 Entries = 2 Exits und 4 weitere Exits).

H Entry Long: Kaufe zur nächsten Eröffnung über dem aktuellen unteren Bollinger Band,

wenn der aktuelle Schlusskurs unterhalb des aktuellen unteren Bollinger Bands notiert.

Exit Long: Glattstellen zur Reversalbedingung. Entry Short: Verkaufe zur nächsten Eröffnung unter dem aktuellen oberen Bollinger

Band, wenn der aktuelle Schlusskurs oberhalb des aktuellen oberen Bollin-ger Bands notiert.

Exit Short: Glattstellen zur Reversalbedingung.

84


Das Gegentrendsystem Nr. 8 benutzt zwei Parameter (Länge des gleitenden Durch-hnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2). Es

e

,

wenn der aktuelle Schlusskurs unterhalb des aktuellen unteren Bollinger

gung oder zum Stop-Loss.

Durch-er = 2).

er Stop-Loss wird bei Shortpositionen auf dem Niveau des aktuellen Höchstkurses

Band, wenn der aktuelle Schlusskurs unterhalb des aktuellen unteren Bollinger

xit Long: Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop. ntry Short: Verkaufe zur nächsten Eröffnung unter dem aktuellen oberen Bollinger


es aktuellen Höchstkurses gesetzt, beim Ein-ehen von Longpositionen auf dem aktuellen Tiefstkurs. Der Trailingstop wird bei

Longpo e akti-viert, bei Shortpositionen bei Kursen über dem höchstem Höchstkurs der letzten drei Tage. Es existieren vier mögliche Aktionen (2 Entries + 2 Exits).

scexistieren zw i mögliche Aktionen (2 Entries = 2 Exits).

Handelsmodell Nr. 10: Bollinger-Band-Reversals mit Stop-Loss

Entry Long: Kaufe zur nächsten Eröffnung über dem aktuellen unteren Bollinger Band

Bands notiert. Exit Long: Glattstellen zur Reversalbedingung oder zum Stop-Loss. Entry Short: Verkaufe zur nächsten Eröffnung unter dem aktuellen oberen Bollinger


xit Short: Glattstellen zur ReversalbedinE Das Gegentrendsystem Nr. 8 benutzt zwei Parameter (Länge des gleitendenschnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der BändDgesetzt, bei Longpositionen auf dem aktuellen Tiefstkurs. Es existieren vier mögliche Aktionen (2 Entries + 2 Exits). Handelsmodell Nr. 11: Bollinger-Band-Reversal mit Stop-Loss und Trailingstop

Entry Long: Kaufe zur nächsten Eröffnung über dem aktuellen unteren Bollinger

Bands notiert. EE

Exit Short: Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop. Das Gegentrendsystem Nr. 8 benutzt drei Parameter (Länge des gleitenden Durch-schnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2, Länge des Zeitfensters des Trailingstops = 3). Der Stop-Loss wird beim Eingehen von Shortpositionen auf dem Niveau dg

sitionen bei Kursen unter dem tiefsten Tiefpunkt der letzten drei Tag

85

5 Empirischer Teil

Handelsmodell Nr. 12: Candlestick-Reversals

Entry Long: Kaufe am nächsten Tag, wenn eine Hammer-Formation bestätigt wird, d.h.

der Kurs über dem Hochpunkt der Hammer-Kerze notiert. Exit Long: Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop. Entry Short: Verkaufe am nächsten Tag, wenn eine Shooting-Star-Formation bestätigt

wird, d. h. der Kurs unter dem Tiefpunkt der Shooting-Star-Kerze notiert. Exit Short: Glattstellen zur Reversalbedingung, zum Stop-Loss oder zum Trailingstop.

as Gegentrendmodell Nr. 12 benutzt zwei Parameter (Länge des Zeitfensters zur

veranschau-165

DTrendbestätigung = 3, Länge des Zeitfensters des Trailingstops = 3). Der Stop-Loss und der Trailingstop funktionieren analog zu dem Handelsmodell Nr. 11. Das System ermöglicht neutrale Marktphasen und hat vier verschiedene Aktionen (2 Entries = 2 Exits und weitere 4 Exits). 5.2.2 Performance der einfachen Handelsmodelle im Testzeitraum

Die Performance der Signalmodelle Nr. 1 bis Nr. 12 in dem Testzeitraum vom 01.01.2002 bis zum 31.12.2003 wird hier anhand der Performancekennzahlen Profit Factor PF, Profit to maximum Drawdown Ratio P/MaxDD, Portfolio-Risk Adjusted

eturn PF-RAR und Prozentzahl der profitablen MäR rkte PercProfitable,licht. Im Anhang C.1 befinden sich die detaillierten Performancetabellen, in denen für jedes Signalmodell die Performancekennzahlen für jede DAX-Aktie sowie die zusammengefassten Performancekennzahlen über alle Aktien aufgelistet sind.

Abbildung 5.2: Performancekennzahlen der einfachen Handelsmodelle

Gegentrendmodelle Trendfolgemodelle

165 siehe Abschnitt 4.3.4

86


Die Abbildung 5.2 veranschaulicht die, den Ertrag und das Risiko beinhaltenden Per-formancekennzahlen der zwölf einfachen Handelsmodelle. Offensichtlich besteht ein Zusammenhang zwischen den drei Kennzahlen, deren Aussagen sich unter Ausnah-me des Handelsmodells Nr. 12 gegenseitig bestätigen.166 In der Abbildung 5.3 ist mit

er Prozentzahl profitabler Märkte eine vierte, zur Evaluierung der Systemstabilität däußerst wichtige Kennzahl aufgeführt.

Abbildung 5.3: Prozentzahl profitabler Märkte der einfachen Handelsmodelle

Die beiden Moving-Average-Crossover-Modelle (Nr. 1 und Nr. 2) besitzen eine gute

,

profitablen Mäkommt aufgru

icklung in Frage. Bei den Swing-reakout-Modellen (Nr. 4, 5 und 6) fällt auf, dass sich sowohl die Performance als

hr gute Performance durch ein derartig einfaches Regelwerk ohne weiteres auch in er Zukunft systematisch zustande kommen kann.

as RSI-Reversal-Modell (Nr. 8) ist auf den meisten Märkten profitabel, nämlich auf t es sich ebenfalls durch ein niedriges Portfolio-Risk-

djusted-Return aus, was darauf schließen lässt, dass die Ergebnisse sehr starken

sgesamt kann gesagt werden, dass die Moving-Average-Crossover, und die Brea-Testzeitraum profitabel agieren konnten. Sowohl das

Performanc da der Profit Factor bei 1.70 bzw.e 1.53 liegt. Das Modell Nr. 1 hat al-lerdings nur in 53.33 % der Märkte einen Profit erzielt. Robuster scheint mit 66.66 %

rkten das Handelsmodell Nr. 2. Das MACD-Crossover-Modell (Nr. 3) nd seines negativen durchschnittlichen Gewinns und den nur 33.33 %

profitablen Märkten nicht für eine WeiterentwBauch die Anzahl profitabler Märkte verbessert, je eindeutiger das Swing-Niveau de-finiert wird. Das Bollinger-Band-Breakout-Modell ist offensichtlich das im Testzeit-raum am besten performende Modell. Allerdings ist es unwahrscheinlich, dass diese sed D66.66 %. Allerdings zeichneASchwankungen unterworfen sind. Sowohl die Bollinger-Band-Reversal-Modelle (Nr. 9, 10 und 11) als auch das Candlestick-Reversal-Modell Nr. 12 generieren auf den meisten Märkten Verluste. Inkout-Trendfolgemodelle im

166 Der Grund für den außergewöhnlich hohen Profit Factor im Handelsmodell Nr. 12 ist ein außeror-

87

5 Empirischer Teil

MACD-Trendfolgemodell als auch sämtliche Gegentrendmodelle erwirtschafteten

nicht weiterbe

r

Filterung

Aufgrund der andelsmodelle gelten insbeson- als erfolgversprechend. Die Model-

Nr. 1 und Nr. 2 haben ebenfalls gute Ergebnisse geliefert, ihr Ansatz wird deshalb

ingung zu Grunde egen. Die Handelsregeln der gefilterten Handelsmodelle für die einfachen Modelle r. 5, Nr. 6 und Nr. 7 werden im Folgenden beschrieben. Die Bezeichnung „_Filter“

ile der Handelsre-

andelsmodell Nr. 5_Filter

y Long: Kaufe zum Schlusskurs, w hlusskurs das aktuell gültige Swing-High übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt sowohl über dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch über dem 34-tägigen glei-tenden Durchschnitt liegt.

xit Long: Glattstellen zur Reversalbedingung. ntry Short: Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gülti-

ge Swing-Low unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt so-wohl unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch unter dem 34-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.

xit Short: Glattstellen zur Reversalbedingung.

unbefriedigende Ergebnisse und werden aus diesem Grunde im nächsten Abschnitt handelt.

5.2.3 Weit entwicklung der Handelsmodee lle

vorgenommenen Tests der einfachen Hdere die Breakout-Modelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7lezur Filterung der Signale der drei gewählten Breakout-Modelle eingesetzt. Es wird also untersucht, inwiefern sich die Modellperformance verändert, wenn die Signale zuzüglich des Breakouts auch einer Moving-Average-BedliNsteht für den Moving-Average-Filter, die kursiv geschriebenen Tegel veranschaulichen die neue Komponente der Modelle. H

Entr enn der aktuelle Sc

EE

E Das gefilterte Ausbruchmodell benutzt vier Parameter (Kurse zur Bestimmung des Swing-Niveaus = 3, Länge der drei gleitenden Durchschnitte= 5, 13 und 34). Es han-delt sich um ein Reversalsystem, das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

entlich hoher verbuchter Gewinn mit der Aktie Fresenius Medical Care (FME). d

88


H

ieses Modell funktioniert analog zu dem Modell Nr. 5_Filter, es ändert sich die nzahl der erforderten Kurse, nämlich vier

tstellen zur Reversalbedingung. ntry Short: Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige

ger Band unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt

handelt sich um ein Re-

andelsmodell Nr. 6_Filter DA pro Seite, neben den Swing-Kursen, um diese zu gültigen Swings zu machen. Handelsmodell Nr. 7_Filter Entry Long: Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige

obere Bollinger Band übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt so-wohl über dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch über dem 34-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.

Exit Long: GlatE

untere Bollinsowohl unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt als auch unter dem 34-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.

Exit Short: Glattstellen zur Reversalbedingung. Das gefilterte Ausbruchmodell benutzt fünf Parameter (Länge des gleitenden Durch-schnitts = 9, Standardabweichungsfaktor zur Ermittlung der Lage der Bänder = 2, Länge der drei gleitenden Durchschnitte = 5, 13 und 34). Esversalsystem das zwei Aktionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits). Performance der gefilterten Handelsmodelle im Testzeitraum

Die Abbildung 5.4 veranschaulicht die Performancekennzahlen der drei Handelsmo-delle sowohl vor als auch nach der Filterung. In der Abbildung 5.5 ist die Prozentzahl profitabler Märkte aufgetragen.

Abbildung 5.4: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 vor und nach der Filterung

89

5 Empirischer Teil

Die Filterung konnte vor allem die Performance des Swing-Breakout-Modells Nr. 5 ie Performance des Bollinger-Band-Breakout-Modells Nr. 7 ver-ch allerdings, da sowohl die Profit to

verbessern. Dschlechterte si maximum Drawdown Ratio als

ortfit Factors von den

ach der Filterung

auch das P olio-RAR deutlich gefallen sind. Die gleichzeitige Steigerung des Pro- 2.1 auf 3.36 kommt vor allem durch den extrem hohen Gewinn,f

das Modell Nr. 7_Filter auf der Bayer-Aktie (BAY) verbuchen konnte, zustande.

Abbildung 5.5: Prozentzahl profitabler Märkte der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 und Nr. 7 vor und n

niedrigere Anzahl profitabler Märkte und die soeben angesprochene Die deutlich

dasodells gerechtfertigt waren. Das Handelsmodell Nr. 5 konnte nach der Filterung

eakout-Modelle Nr. 5_Filter und Nr. 6_Filter

ndelt sich dabei sowohl m Stopp-Loss-Regeln als auch um einen Trailingstop. Dies hat zur Folge, dass die

Ha e Schließen der Positionen kön rägheit der Mo-

elle beim Positionsschluss resultieren, gemindert werden. Die Stops agieren folgendermaßen: Der Stop-Loss ist bei Longpositionen durch das aktuelle Swing-Low gegeben. Fallen die Kurse unter dieses Niveau, wird die Long-position geschlossen. Bei Shortpositionen stellt das letzte Swing-High den Stopkurs dar, ein Überschreiten dieser Marke führt zu einem Schließen der Position. Der Trai-

Inkohärenz der Performancemaße nach der Filterung des Handelsmodells Nr. 7 lässt vermuten, s die im Abschnitt 5.2.2 geäußerten Bedenken über die Stabilität des Mbei verbesserten Performancekennzahlen auf deutlich mehr Märkten (Steigerung von 50 % auf 60 %) profitabel agieren, das Handelsmodell Nr. 6 agierte durch die Filte-rung auf 63.33 % Märkten profitabel (vorher: 56.67 %). Im Folgenden werden die zwei erfolgversprechenden Swing-Brweiterentwickelt. Zusätzliche Exit-Regeln

Die gefilterten Swing-Breakout-Handelsmodell Nr. 5_Filter und Nr. 6_Filter werden in diesem Schritt um spezifische Exit-Regeln erweitert. Es hau

ndelsmodelle auch neutrale Marktphasen haben werden. Durch dieses schnellernen hoffentlich Verluste, die aus der T

d

90


lingstop stellt bei Longpositionen den tiefsten Tiefstkurs der vergangenen 13 Tage dar, bei Shortpositionen den höchsten Höchstkurs der vergangenen 13 Tage. Befin-den sich das aktuelle Swing-Low über dem Long-Trailingstop bzw. das aktuelle Swing-High unter dem Short-Trailingstop, so gelten diese als Trailingstopniveaus. Die Handelsregeln der mit diesen Exits versehenen Handelsmodelle sehen folgen-dermaßen aus:

andelsmodell Nr. 5_Filter_Stops

Schlusskurs das aktuelle Swing-Low unterschreitet oder wenn der Schlusskurs unter den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage fällt.

E Swing-Low u hnitt unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.

Exit Short: Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-High übersteigt oder wenn der Schlusskurs über den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage steigt.

Handelsmodell Nr. 6_Filter_Stops Entry Long: Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige

Swing-High übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt über dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.

Exit Long: Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-Low unterschreitet oder wenn der Schlusskurs unter den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage fällt.

Entry Short: Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gülti-ge Swing-Low unterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchschnitt unter dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.

Exit Short: Glattstellen, wenn der Schlusskurs das aktuelle Swing-High übersteigt oder wenn der Schlusskurs über den tiefsten Kurs der letzten 13 Tage steigt.

. Das Handelsmodell benutzt fünf Parameter (Kurse zur Bestimmung des Swing-Niveaus = 4, Länge der drei gleitenden Durchschnitte= 5, 13 und 34, Länge des Zeit-fensters des Trailingstops). Es handelt sich um ein Reversalsystem das zwei Aktio-nen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

H Entry Long: Kaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültige

Swing-High übersteigt und der 5-tägige gleitende Durchschnitt über dem 13-tägigen gleitenden Durchschnitt liegt.

Exit Long: Glattstellen, wenn der

ntry Short: Verkaufe zum Schlusskurs, wenn der aktuelle Schlusskurs das aktuell gültigenterschreitet und der 5-tägige gleitende Durchsc

Das Handelsmodell benutzt fünf Parameter (Kurse zur Bestimmung des Swing-Niveaus = 3, Länge der drei gleitenden Durchschnitte = 5, 13 und 34, Länge des Zeitfensters des Trailingstops). Es handelt sich um ein Reversalsystem, das zwei Ak-tionen ermöglicht (2 Entries = 2 Exits).

91

5 Empirischer Teil

Performance der mit Stops versehenen Handelsmodelle im Testzeitraum

ie Abbildung 5.6 veranschaulicht die Performancekennzahlen der Handelsmodelle eln, den gefilterten Handelsregeln

nd den mit Stops versehenen gefilterten Handelsregeln. Eine Verbesserung der

DNr. 5 und Nr. 6 mit den ursprünglichen HandelsreguKennzahlen konnte in diesem Schritt nicht erreicht werden.

Abbildung 5.6: Performancekennzahlen der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 vor und nach der Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln

ngs konnte, wie die Abbildung 5.7 zeigt, die Prozentzahl profitable Märkte für ndelsmodell Nr. 5_Filter_Sto

Allerdidas Ha ps ein weiteres Mal deutlich erhöht werden (von

0 % auf 70 %). Diese Kennzahl ist ein wichtiges Signal für die Stabilität des Han-

ler Märkte der Handelsmodelle Nr. 5, Nr. 6 vor und nach der Filterung und mit zusätzlichen Exit-Regeln

6delsmodells, da die hohe Anzahl getesteter Märkte das Modell zwangsläufig unter-schiedlichen Marktphasen aussetzt.

Abbildung 5.7: Prozentzahl profitab

Wekennzahlen wird

Einsatz, sondern das als stabilste erachtete Modell ausgewählt wird.

egen der hohen Anzahl profitabler Märkte und den immer noch guten Performan-das Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops für die kurzfristigen Ti-c

ming-Prognosen zum Management eines Portfolios aus DAX-Aktien eingesetzt. Festzuhalten bleibt, dass nicht das profitabelste Handelsmodell für den praktischen

92

5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle

93

5.3 Systematische Portfolio-Management-Modelle 5

.3.1 Auswahl der Aktien für die Portfolios

konzipiert wurde. Auf eine Aufnahme mtlicher DAX-Aktien in die Portfolios wird aus folgenden Gründen verzichtet:

ann sich je nach Güte der Numerik des verwendeten Statistikprogrammes als problematisch erwei-

iert werden, da sie als singu weg bietet da die Cholesky-Dekomposition.

- Da im Black-Litterman-Verfahren je nach Prognose die marktkapitalisie-rungsgerechten Referenzgewichtungen der Aktien etwas erhöht oder gemin-dert werden, ändert die Aufnahme relativ kleiner Werte die Portfolioperfor-mance nur in geringem Maße und würde in der Praxis vor allem zu erhöhten Transaktionskosten führen.

Aus diesen Gründen fällt die Wahl der Aktien im Portfolio auf einige große Werte im DAX. Zur Entscheidungsunterstützung wird die Lorenzkurve der prozentualen Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien zum 02. Januar 2004, veranschaulicht in der Abbildung 5.8, herangezogen.167

tand: 02.01.04; Quelle: Eigene Berechnung ausgehend von den Kursen und der Anzahl der Aktien am Markt; Quellen YahooFinance,Deutsche Börse AG]

ie Wahl fällt auf ein Portfolio mit den fünfzehn am 02. Januar 2004 am stärksten apitalisierten Aktien, da diese Werte ca. 84 % des DAX-Volumens ausmachen, und

In diesem Abschnitt werden die Aktien ausgewählt, die in die Portfolios kommen sollen. Die Entscheidung fällt auf Aktien aus dem DAX-Index, da das technische Handelsmodell für den Handel dieser Wertesä - Die Portfolio-Optimierung von sehr großen Portfolios k

sen. Die Varianz-Kovarianz-Matrix kann unter Umständen nicht invertlär betrachtet wird. Einen möglichen Um

Abbildung 5.8: Lorenzkurve der prozentualen Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien

[S

Dk

7 Eine Tabelle mit sämtlichen DAX-Aktien und ihre Kürzel und Wirtschaftssektoren sowie Kursdia-

gramme und Marktkapitalisierungen befinden sich im Anhang B.3. 16

5 Empirischer Teil

somit den Index sehr gut repräsentieren. Es handelt sich dabei geordnet nach deren Marktkapitalisierung um folgende Aktien:

utsche

ie Abbildung 5.9 veranschaulicht die Aufteilung über die Wirtschaftssektoren des erechten Port lios am 02. Januar 2004.

Deutsche Telekom (DTE), Siemens (SIE), SAP (SAP), Allianz (ALV), DeBank (DBK), Daimler Chrysler (DCX), E.On (EOA), BASF (BAS), BMW (BMW), Münchener Rückversicherungen (MUV2), Deutsche Post (DPW), Bayer (BAY), RWE (RWE), Volkswagen (VOW), Metro (MEO). Dmarktkapitalisierungsg fo

Abbildung 5.9: Aufteilung des marktkapitalisierungsgewichteten Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios über die Wirtschaftssektoren

17%

14%

9%

9%

8%4% 3%

AutomobilindustrieTelekommunikationVersicherungenIndustrieVersorgerChemieSoftwareBanken

13%

12%11%

LogistikEinzelhandel

systematisch geplanten Portfolios wird das marktkapitalisie-

[Stand: 02.01.04, Quelle: Eigene Berechnung] Die gute Streuung über die Wirtschaftssektoren des Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios und die hohe Anzahl an Aktien sollten das unsystematische Risiko des Portfolios zu einem erheblichen Maße reduzieren. Die Benchmark für die rungsgewichtete Fünfzehn-Wertpapier-Portfolio sein. Der DAX-Index bietet sich ebenfalls als Benchmark an, darauf wird allerdings aus Gründen der präziseren Beur-teilung der Portfolio-Management-Modelle durch die gewählte Benchmark verzich-tet.

94


5.3.2 Portfolio-Management-Modell nach BLACK und LITTERMAN auf Basis der Gleichgewichtsrenditen und der Handelssignale

5.3ur Bestimmung der impliz arktkapitalisie-

rungsgerechten Gewichtungen der Aktien im Portfolio wGG, die Varianz-Kovarianz-atrix Σ sowie der Risikoaversionsparameter λ des Portfolios notwendig. Die bereits Abschnitt 3.3 erläuterte Formel zur Berechnung der impliziten Renditen lautet:

.2.1 Festlegung der Inputfaktoren des Portfolio-Management-Modells iten Gleichgewichtsrenditen sind die mZ

Mim

REFΣwΠ* λ= Die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen wGG. Es liegen für sämtliche

ertpapiere des Portfolios die Anzahl der Aktien auf dem Markt vor. Indem diese

schnittlichen Risikoaversionsparameter.

ose terpretiert. Anschließend werden die realisierten Renditen an den Tagen, an denen

das Handelsmodell die Long- bzw. Short-Signale generiert hat, festgehalten. In der Abbildung 5.10 sind die empirischen Verteilungen der Renditen sämtlicher DAX-Werte im Testzeitraum vom 02.01.2002 bis zum 30.12.2003 bei Long- und

Wmit dem aktuellen Kurs der Aktie multipliziert werden, erhält man die Marktkapitali-sierungen der Werte.168 Die Marktkapitalisierung einer Aktie dividiert durch die Summe der Marktkapitalisierungen aller Aktien des Portfolios ergibt dann die marktkapitalisierungsgerechte Gewichtung dieser Aktie. Dieser Vorgang wird täg-lich, so dass sich die marktkapitalisierungsgerechten Gewichtungen der Marktent-wicklung dynamisch anpassen. Die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ wird durch die empirische Varianz-Kovarianz-Matrix approximiert. Diese wird rollierend über ein Zeitfenster von hundert Börsen-tagen in die Vergangenheit berechnet. Der Risikoaversionsparameter λ wird auf 2.5 gesetzt. Dieser Wert entspricht nach He und Litterman (1999) dem globalen durch Der Skalar τ ist ein weiterer wichtiger Eingabefaktor des Black-Litterman-Modells. In den folgenden Portfolios wird der Skalar den Anwendungen von Drobetz (2002) folgend auf 0.3 gesetzt. Die Prognosematrix V. Zu der Bestimmung der Prognosematrix werden über den gesamten Testzeitraum die Marktpositionen des Handelsmodells bestimmt. Wenn das Modell an einem bestimmten Tag Long ist, dann wird dies als eine positive Pro-gnose gewertet, ist das Handelsmodell Short, wird dies als eine negative Prognin

168 iehe Anhang B.3.3 s

95

5 Empirischer Teil

Short-Signalen, sowie die Normalverteilungen basierend auf den zwei ersten Mo-menten der empirischen Verteilungen aufgeführt.

Abbildung 5.10: Empirische- und Normalverteilungen der Renditen der DAX-Aktien im Testzeitraum bei Long- bzw. Short-Signalen

signifikant kleiner als null sind. Allerdings ist

Die Prognosegütemarenditen im Testzeitraum bestimmt. Jeder Long-Signal-Prognose wird eine Varianz von 0.02830029 zugewiesen, jeder Short-Signal-Prognose eine Varianz von 0.02943300.

Anzahl Long-Signale: 5051 Mittelwert: 0.003221600 Varianz: 0.02830029 Jarque-Bera: 1979.962 (p-value < 2.2e-16) t-Test: 8.0904 (p-value < 2.2e-16)

Anzahl Short-Signale: 5382 Mittelwert: -0.004419361 Varianz: 0.02943300 Jarque-Bera: 696.2059 (p-value < 2.2e-16) t-Test: -11.0153 (p-value: 0.6401)

Der Jarque-Bera-Test verwirft sowohl bei der Verteilung der Renditen bei Long-Signalen, als auch bei der Verteilung der Renditen bei Short-Signalen die Annahme der Normalverteilung mit einem Signifikanzniveau von weit unter 1 %. Die Renditen scheinen eher einer leptokurtischen Verteilung zu entsprechen. Die Annahme normal verteilter Prognosen des Black-Litterman-Verfahrens wird dadurch leider verletzt. Der t-Test unterstellt, dass die Renditen bei Long-Signalen signifikant größer als null

nd die Renditen bei Short-Signalenudie Aussagekraft des t-Tests durch die Tatsache, dass die Daten nicht stochastisch zustande gekommen, sondern das Ergebnis des Entwicklungsprozesses im Abschnitt 5.2. sind, sehr eingeschränkt. Im Falle eines Long-Signals wird die Renditeprognose trotzdem für die entsprechende Aktie auf +0.32216 %, dem Mittelwert aller Long-Signal-Renditen im Testzeitraum, gesetzt. Im Falle eines Short-Signals wird eine Rendite von -0.44193611 % prognostiziert.

trix Ω wird analog anhand der Varianzen der Handelssignal-

96


Die Prognosezuordnungsmatrix P ist eine k×15 Matrix, wobei k die Anzahl der

.3.2.2 Performance des Portfolio-Management-Modells

chnet. Abbildung 5.11 stellt ie Entwicklung der Rendite für das Black-Litterman-Portfolio und der Benchmark

aktuell existierenden Handelssignale darstellt. In diesem Beispiel werden nur absolu-te Prognosen des Typs (A)169 erstellt, so dass in jeder Zeile der P-Matrix vierzehn Nullen und eine Eins stehen, die das Handelssignal der richtigen Aktie zuordnen.

5Die Black-Litterman-Gewichte wurden für das Jahr 2004 jeden Tag auf Basis der Gleichgewichtsrenditen und der Handelssignale bere 170

ddar.

Abbildung 5.11: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach BLACK und LITTERMAN [τ = 0.3]

-0.12-0.1

-0.08-0.06

endi

-0.04-0.02

0

01.0

4

02.0

4

03.0

4

04.0

4

05.0

4

06.0

4

07.0

4

08.0

4

09.0

4

10.0

4

11.0

4

12.0

4

Rte

entw

ic

0.020.040.060.08

klun

g

Benchmark Black-Litterman-Portfolio

Aus der Abbildung wird ersichtlich, dass das Black-Litterman-Portfolio die meiste Zeit über eine leichte Überrendite gegenüber der Benchmark verzeichnen konnte. Lediglich in der ausgeprägten Seitwärtsbewegung des Marktes im Januar und Febru-ar 2004 war die Performance des Black-Litterman-Portfolios schwächer als diejenige der Benchmark. Dies liegt eindeutig an der Schwäche des trendfolgenden Handels-modells in derartigen Marktphasen. Die Überrendite ist jedoch über den ganzen Handelszeitraum gering. Ein aggressive-

s Portfolio wird durch das Erhöhen des Skalars τ von 0.3 auf 2 erstellt. Bei diesem re

169 vgl. Abschnitt 3.4.1 170 Im Anhang D.1 und D.2 befinden sich die R-Quellcodes der Funktionen der Portfolio-Management-Modelle.

97

5 Empirischer Teil

Portfolio gehen die Signale des Handelsmodells stärker in die Berechnung der Black-Litterman-Gewichtungen ein. Abbildung 5.12 stellt die Entwicklung der Renditen

ieses aggressiveren Black-Litterman-Portfolios dar.

d

Abbildung 5.12: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach BLACK undLITTERMAN [τ = 2]

-0.12

01.0

4

02.0

4

03.0

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

-0.1-0.08

0.08

04.0

05.0

06.0

07.0

08.0

09.0

10.0

11.0

12.0

-0.06-0.04-0.02

00.020.040.06

Ren

dite

entw

ickl

ung

Benchmark Aggressives Black-Litterman-Portfolio

ei diesem aggressiveren Portfolio kann die Benchmark zeitweilig viel deutlicher utperformt werden. Allerdings sind die Rückschläge in den Marktphasen, in denen as Handelsmodell schlechte Signale generiert, ebenfalls ausgeprägter als in dem

ersten vorgestellten Black-Litterman-Portfolio. 5.3.3 Portfolio-Management-Modell nach MARKOWITZ auf Basis der historischen Renditen und der Handelssignale Im Folgenden wird ein Portfolio nach dem Markowitz-Verfahren auf Basis histori-scher Renditen und der Handelssignale untersucht. Der Vektor erwarteter Renditen setzt sich hier im Falle eines vorhandenen Handelssignals zur Hälfte aus der Han-delssignalprognose gemäß Abschnitt 5.3.3.1 und zur anderen Hälfte aus der mittleren historischen Rendite über die letzten hundert Börsentage des Wertpapiers zusammen. Wenn allerdings kein Handelssignal vorhanden ist, so besteht die erwartete Rendite zu hundert Prozent aus der historischen Rendite. Die Varianz-Kovarianz-Matrix wird auch hier rollierend über die letzten hundert Börsentage berechnet. Der Risikoaversi-onsparameter wird wie in den Black-Litterman-Portfoliomodellen auf 2.5 gesetzt.

Bod

98


Abbildung 5.13: Renditeentwicklung des Portfolio-Management-Modells nach MARKOWITZ [ohne Leerverkäufe]

-0.12

-0.07

0.084 4 4 4

06.0

4 4 4

09.0

4

10.0

4 4

Rte

entw

ic

-0.02endi

0.13

0.18

0.23

klun

g

0.03

01.0

02.0

03.0

04.

05.004

07.0

08.0

11.

12.004

Benchmark Mar folio oh äuf

Die Abbildung 5.13 nschaulicht die Renditeentwicklung des Markowitz-

ortfolios. Die Benchmark wird mit dem Markowitz-Portfolio deutlich outperformt. den ersten drei Monaten des Jahres notierte das Portfolio allerdings auch klar unter

ardabweichung ent-

findahl-Index ist ein Konzentrationsmaß. Er wird für ein Portfolio aus N Ak-

kowitz-Port ne Leerverk e

veraPInder Performance der Benchmark. 5.3.4 Performance-Messung der vorgestellten Portfolio-Management-Modelle Die Eigenschaften der vorgestellten Portfolio-Management-Modelle und des Bench-markportfolios werden in diesem Abschnitt gegenübergestellt. In der Abbildung 5.14 sind Kennzahlen zur Evaluierung der Portfolioperformance aufgeführt. Die Rendite ist die im Handelszeitraum verbuchte Rendite. Die Jahresstandspricht der annualisierten Standardabweichung der Tagesrenditen. Die Sharpe-Ratio wird gemäß den Erläuterungen im Abschnitt 2.6 berechnet und interpretiert. Die Um-schichtungskennzahl gibt die relative Anzahl der Kapitalumschichtungen über das Jahr 2004 an. Der Hertien folgendermaßen berechnet:

[4.1] ∑=

=N

iiwH

1

2

99

5 Empirischer Teil

Ein Herfindahl-Index von 1 steht für die höchstmögliche Konzentration eines Portfo-lios, hier wird das gesamte Vermögen auf eine einzige Anlage verteilt. Je kleiner der Herfindahl-Index ausfällt, desto gleichmäßiger ist das Kapital auf die Anlagen ver-

ilt. In einem Fünfzehn-Wertpapier-Portfolio ist der kleinstmögliche Herfindahl-teIndex 0.06666667. In der Abbildung ist der durchschnittliche Herfindahl-Index der Portfolios über den gesamten Handelszeitraum angegeben.

Abbildung 5.14: Performance-Maße der vorgestellten Portfolios

Aggressives (sicherer Zinssatz:

0.02275)171Benchmark Black-Litterman Black-Litterman Markowitz

Rendite im Jahr 2004

0.055493

0.060003

0.054171

0.202748

Standardabweichung 0.162684 0.158019 0.158390 0.206883

Sharpe-Ratio 0.201269 0.235751 0.198379 0.870048

Umschichtungen

0.882075

10.361000

24.118390

34.960080

Durchschnittlicher Herfindahl-

0.081956

0.101559

0.191789

Index 0.750166

Das Black-Litterman-Modell verbucht 6 % Gewinn und liegt somit 0.45 % über der Benchmark. Auffällig ist, dass das Black-Litterman-Modell die kleinste Standardab-weichung der Gewinne besitzt. Aus diesen beiden Gründen lässt sich die höhere Sharpe-Ratio des Black-Litterman-Modells gegenüber der Benchmark erklären.

as aggressive Black-Litterman-Modell kann die Benchmark nicht outperformen. llerdings verdeutlicht die Abbildung 5.12, dass zeitweise eine deutliche Outperfor-

cht wurde. Die Standardabweichung ist bei diesem Portfolio ebenfalls ark, dies führt zu einer höheren Sharpe-Ratio des aggres-

ven Black-Litterman-Portfolios im Gegensatz zur Benchmark.

tandardabwei-hung.

kosten als das Benchmarkportfolio, bei dem das ganze Jahr über nur ca. 88 % des

DAmance erreigeringer als bei der Benchmsi Die Performance-Maße sowie die Abbildungen 5.11, 5.12 und 5.13 verdeutlichen, dass die erwirtschaftete Rendite in dem Markowitz-Modell mit 20.27 % p. a. am höchsten ist. Das Markowitz-Modell ist aufgrund dieser hohen Rendite auch dasjeni-ge mit der höchsten Sharpe-Ratio, trotz der höchsten verbuchten Sc Eine reine Beurteilung nach der Sharpe-Ratio ist jedoch wegen der unterschiedlichen Eigenschaften der Portfolios unangebracht. Das Markowitz-Portfolio schichtet das Kapital im Jahr 2004 ca. 35 Mal um, dies verursacht deutlich höhere Transaktions-

100

5.4 Fazit

Vermögens umgeschichtet werden. Die Black-Litterman-Portfolios schichten das Kapital 10 bzw. 24 Mal um, was in dem Fall des aggressiven Black-Litterman-

ortfolios angesichts der verbuchten Performance unangemessen oft ist.

g ist. Das aggressivere Black-itterman-Portfolio weist eine leicht erhöhte Konzentration auf. Das Markowitz-

ansakti-nskosten verursachen würde. Die hohe Konzentration dieses Portfolios zeugt von

schlechter Diversifikation und führt dem Portfolio ein hohes Maß an unsystemati-schem Risiko bei. Aus diesen Gründen kommt die Anwendung des vorgestellten Markowitz-Portfolios in der Praxis in dieser Form nicht in Frage. Das erste Black-Litterman-Portfolio ist dem aggressiveren Black-Litterman-Portfolio vorzuziehen, da es besser diversifiziert ist, weniger Transaktionskosten verursacht und eine höhere Sharpe-Ratio besitzt. Trotz der höheren Sharpe-Ratio von 0.235 im Gegensatz zu 0.201 kann das Black-Litterman-Portfolio nicht eindeutig der Bench-mark präferiert werden, da diese etwas besser diversifiziert ist, und deutlich niedrige-re Transaktionskosten verursacht. 5.4 Fazit Die Handelssignale können offensichtlich die Performance des Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios die meiste Zeit über verbessern. Die Ergebnisse der Black-Litterman-Portfolios sind jedoch leider nicht eindeutig. Eine Berücksichtigung der Transaktionskosten würde die erzielte Outperformance deutlich mindern. Ob das Modell dann in der Praxis noch profitabel gewesen wäre, ist fraglich. Andererseits muss gesagt werden, dass die Seitwärtsbewegungen der Märkte in den ersten zwei Drittel des Jahres 2004 eine äußerst schwierige Umgebung für das trend-folgende Ausbruchsmodell darstellt. Die Tatsache, dass die absolute Performance der Portfolio-Management-Modelle trotzdem relativ konstant über derjenigen der

P Die Aufteilung des Vermögens auf die Aktien erfolgt sowohl bei dem Benchmark-portfolio als auch bei dem Black-Litterman-Portfolio sehr gleichmäßig, da der Her-findahl-Index für die beiden Portfolios sehr niedriLPortfolio besitzt einen durchschnittlichen Herfindahl-Index von 0.75, was auf eine extrem hohe Konzentration des Vermögens auf wenige Wertpapiere schließen lässt. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass das Markowitz-Portfolio zwar auf dem ersten Blick die beste Performance vermuten lässt, allerdings sehr hohe Tro

171 Dieser Zinssatz entspricht dem 1-Jahres-EURIBOR zum 02.01.2004. [Quelle: www.euribor.org]

101

5 Empirischer Teil

Benchmark notieren konnte zeugt zumdells und lässt in volatileren Marktpha

einen für eine gute Stabilität des Handelsmo-sen signifikantere Ergebnisse erwarten.

ie Wirkung absoluter Prognosen ist außerdem durch den starken Gleichlauf der DDAX-Aktien eingeschränkt. So treten beispielsweise Handelssignale in dem vorge-stellten Portfolio häufig gleichzeitig auf172, dies liefert keine eindeutigen Aussagen über aktuell besonders starke bzw. schwache Werte. Verbesserungen hält der Autor vor allem durch die Erweiterung des Modells um relative Prognosen des Typs (B)173 und/oder um kurzfristigere und sicherere Prognosen durchaus für möglich. Die Flexibilität des Black-Litterman-Verfahrens sollte ausgenutzt werden indem man eine Vielzahl unterschiedlicher Prognosen aus unterschiedlichen Verfahren in das Portfolio-Management-Modell integriert.

172 siehe Signalmatrix DAX15.Strat_5FilterStop_AktuelleMP_020102_301204 auf der Internetseite

ww.DA-PortfolioModelle.de.vu 3 siehe Abschnitt 3.4.1

w17

102

6 Schlussfolgerung In dieser Arbeit wurden mit der Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz und dem Capital Asset Pricing Model von Sharpe die Grundlagen der Modernen Portfolio-Theorie vorgestellt; die Probleme, welche die Anwendung der reinen Portfolioopti-mierung nach Markowitz in der Praxis nach sich zieht, wurden erörtert. Das innova-tive Verfahren von Black und Litterman ermöglicht es dem Portfoliomanager, ausge-end von strategischen Referenzgewichtungen oder marktkapitalisierungsgerechten

lt. Zwei wesentli-he Vorteile von Handelsmodellen sind die vollständige Eliminierung subjektiver

ie Performance der Handelsregeln auf historischen Daten zu sten.

Im emp wickelten Handelsmodells en integriert. Dieses automati-

perform gleichsmodell auf Basis der Markowitz’schen Portfoliooptimie-

Gründebar ein

Abschlflexible -Management-Entscheidungen in der Praxis dar-

ellt. Das Verfahren vereint den Portfoliooptimierungsansatz von Markowitz mit

die sich durch eine hohe Robustheit auszeichnen, sind für diesen Zweck durchaus geeig-net.

hCAPM-Gewichtungen, eine beliebige Anzahl von Prognosen unterschiedlicher Art in den Optimierungsprozess einfließen zu lassen. Die Vorteile dieses Verfahrens ge-genüber der reinen Portfoliooptimierung nach Markowitz wurden anhand von Bei-spielen demonstriert. Technische Handelsmodelle stellen eine von vielen Möglichkeiten dar, Anlageent-scheidungen zu treffen. Der Aufbau von Handelsmodellen wurde dargestellt und es wurde ein Handelsmodell zum Handel der DAX-Aktien entwickecEntscheidungen, und somit menschlicher Emotionen, aus dem Investmentprozess sowie die Möglichkeit, dte

irischen Teil der Arbeit wurden die Signale des entals Renditeprognosen in das Black-Litterman-Verfahrsche Portfolio-Management-Modell konnte die Benchmark die meiste Zeit über out-

en. Das Verrung generierte zwar absolut gesehen die höchste Rendite, wird aber vor allem aus

n zu hoher Konzentration und zu hoher Transaktionskosten als nicht handel-gestuft.

ießend kann gesagt werden, dass das Black-Litterman-Verfahren ein äußerst s Instrument für Portfolio

stkapitalmarkttheoretischen Überlegungen (CAPM-Gleichgewicht) und gibt dem In-vestor die Möglichkeit, eigene Prognosen konsistent in das Verfahren zu integrieren. Ob eine Benchmark mit Black-Litterman-Portfolios geschlagen werden kann, hängt primär von der Qualität der geäußerten Renditeprognosen ab. Handelsmodelle,

103

6 Schlussfolgerung

Weitere Verbesserungen des vorgestellten Ansatzes hält der Autor für möglich. Das Black-Litterman Verfahren kann z.B. gleichzeitig mit mehreren Prognosen und un-terschiedlichen Handelssignalen versorgt werden. Es sollten vermehrt auch relative Prognosen spezifiziert werden. Dies kann z.B. durch ein Ranking der Aktien sowohl mit dem stärksten Momentum als auch mit dem schwächstem Momentum erreicht werden. Dadurch würden kurzfristige relative Stärken oder Schwächen von Wertpa-pieren verstärkt ausgenutzt. Der Einsatz verschiedener quantitativer Methoden wie ARIMA, ARCH/GARCH oder künstlicher neuronaler Netze ist simultan möglich und könnte ebenfalls die Ergebnisse verbessern. Die trendfolgenden Signale, die in dieser Arbeit angewandt wurden, scheinen in ei-nem Portfolio mit derartig hoch korrelierten Wertpapieren wie es die DAX-Aktien sind, weniger leistungsfähig als sie es in einem Portfolio mit sehr niedrig korrelierten Wertpapieren wären, da Handelssignale aufgrund des starken Gleichlaufs der DAX-Aktien häufig zum gleichen Zeitpunkt erscheinen174 und sich somit in der Black-Litterman-Portfoliooptimierung teilweise neutralisieren. Es wäre denkbar, dass durch die Bildung eines Portfolios mit niedriger korrelierten Aktien die Handelssignale vereinzelter auftreten würden und somit gezielter wirken könnten. Die wesentlichen Vorteile des vorgestellten Portfolio-Management-Modells für den Portfolio-Manager sind: - Die Bildung realistischer Portfoliogewichte basierend auf den Konzepten der

Modernen Portfolio-Theorie und Handelsmodellen - Ausschaltung von Emotionen aus dem Handel - Parallele Auswertung einer beliebigen Anzahl von Märkten durch Computer-

programme - Geringere Abhängigkeit von Marktphasen weniger Aktien, da Handelssignale

auf fünfzehn Wertpapiermärkten parallel ausgeführt werden und zuvor vor al-lem auf Robustheit getestet wurden

- Die gewonnene Zeit kann vom Portfolio-Manager sinnvoll zu extensiverem quantitativem Research und zur sorgfältigen Planung mittel- bis langfristiger Portfolios genutzt werden

Wenn es gelänge durch einem derartigen Portfolio-Modell mit einer hohen Zuverläs-sigkeit konstant einige Prozentpunkte über dem Index oder der Benchmark zu per-formen, könnte diese Überperformance in Portfolioabsicherungen auf dem Termin-markt investiert werden. Der Anleger hätte dann die Chance mit einem minimalen Verlustrisiko an der positiven Entwicklung der Benchmark voll zu partizipieren.

174 siehe Datenmatrix DAX15.Strat_5FilterStop_AktuelleMP_020102_301204 auf der Internetseite www.DA-PortfolioModelle.de.vu

104

7 Literaturverzeichnis Auckenthaler, C. (1991): Mathematische Grundlagen des modernen Portfolio-Managements. Bank- und finanzwirtschaftliche Forschungen, Bd: 142. Bern; Stutt-gart: Haupt. Bigalow, S.W. (2002): Profitable Candlestick Trading. New York: John Wiley & Sons. Black, F./ Litterman, R. (1991): Global Asset Allocation with Equities, Bonds and Currencies. “Fixed Income Research”, Goldman, Sachs & Company, Oktober. Black, F./ Litterman, R. (1992): Global Portfolio Optimization. In: Financial Ana-lysts Journal, September-October, S. 28-43. Davidson, C. (1995): Development in the Forex Markets. Olsen and Associates: Pro-fessional Library. Online: http://www.ivey.uwo.ca/faculty/ssapp/Teaching/IntFinance/Readings/dev_fx.html Dolic´, D. (2004): Statistik mit R. München; Wien: Oldenbourg. Drobetz, W. (2003): Statistische Eigenschaften von Finanzmarkt-Zeitreihen. Lecture notes: WWZ Universität Basel, Finanzmarkttheorie. Online: http://www.wwz.unibas.ch/cofi/teaching/generallecturenotes/papers/01-01.pdf Drobetz, W. (2002): Einsatz des Black-Litterman Verfahrens in der Asset Allocation. Universität Basel, WWZ/Department of Finance, Working Paper No. 3/02 Fabozzi, F./Gupta, F./ Markowitz, H. (2002): The Legacy of Modern Portfolio The-ory. S. 7-21 in: The Journal of Investing, Herbst. Florek, E. (2000): Neue Trading - Dimensionen. München: FinanzBuch Verlag. Franke, J./ Härdle, W./ Hafner, C. (2003): Einführung in die Statistik der Finanz-märkte. Berlin: Springer Verlag. Gast, C. (1998): Asset Allocation: Entscheidungen im Portfolio-Management. Bern: Haupt.

105

7 Literaturverzeichnis

He, G./ Litterman, R. (1999): The Intuition behind Black-Litterman Model Portfo-lios. ”Investment Management Research”, Goldman, Sachs & Company, December. Idzorek, T.M. (2004): A Step by Step Guide to the Black-Litterman Model incorpo-rating user-specified confidence levels. Kleeberg, J. (1995): Der Anlageerfolg des Minimum-Varianz-Portfolios. Bad Soden: Uhlenbruch Verlag. Kruschwitz, L. (2002): Finanzierung und Investition. 3. Auflage. München: Olden-bourg. Kruschwitz, L. (2003): Investitionsrechnung. 9.Auflage. München; Wien: Olden-bourg. Ligges, U. (2005): Programmieren mit R. Berlin-Heidelberg: Springer Verlag. Lischka, F. (1998): Das Capital Asset Pricing Model und seine zeitkontinuierliche Erweiterung. Diplomarbeit an der Universität Karlsruhe. Online: http://www.fabian-lischka.de/CAPM.pdf Litterman, R. et.al. (2003): Modern Investment Management : An Equilibrium Ap-proach. New Jersey: John Wiley & Sons. Markowitz, H. (1952): Portfolio Selection. In: The Journal of Finance, Vol. VII, Nr.1, März. Müller, T./ Nietzer, H. (2000): Das grosse Buch der technischen Indikatoren: Alles über Oszillatoren, Trendfolger, Zyklentechnik. 7.Aufl. Rosenheim: TM Börsenver-lag. Murphy, J.J. (2004): Technische Analyse der Finanzmärkte. 3.Auflage. München: FinanzBuch Verlag. Perridon, L./ Steiner, M. (1999): Finanzwirtschaft der Unternehmung. 10.Auflage. München: Vahlen. Pruitt, G./ Hill, J.R. (2003): Building Winning Trading Systems with TradestationTM. New Jersey: JohnWiley&Sons. Schmidt, R.H. (1996): Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie. 3. Auf-lage. Wiesbaden: Gabler.

106

http://www.fabian-lischka.de/CAPM.pdf

7 Literaturverzeichnis

Sharpe, W.F./ Alexander, G.J./ Bailey, J.V. (1995): Investments. 5th edition. New Jersey: Prentice Hall. Steiner, M./ Bruns, C. (2000): Wertpapiermanagement. 7.Auflage. Stuttgart: Schäf-fer-Poeschel. Stridsman, T. (2003): Trading systems and money management. New York: McGraw-Hill. Varian, H.R. (2004): Grundzüge der Mikroökonomik. 6. Auflage. München: Olden-bourg. Weber, F. (2001): Modellrisiko bei Value-at-Risk Schätzungen: eine empirische Un-tersuchung für den schweizerischen Aktien- und Optionenmarkt. Dissertation an der Universität Freiburg in der Schweiz. Wetzer, R. (2003): Quantitative Handelsmodelle. München: Herbert Utz Verlag. Yao, J./ Tan, C. (1999): Neural Networks for Technical Analysis: A Study on KLCI. In: International Journal of Applied Finance, Vol.2; No.2, S. 221-241. Zimmermann, H./ Drobetz, W./ Oertmann P. (2002): Global Asset Allocation: New Methods and Applications. New York: JohnWiley&Sons. Sonstige Quellen Deutsche Börse: www.deutsche-boerse.de EURIBOR: www.euribor.org Omega Research TradestationTM User Manual (intergriert in der Software) Yahoo.Finance: http://de.finance.yahoo.com/

107

http://www.deutsche-boerse.de/

http://www.euribor.org/

http://de.finance.yahoo.com/

Anhangverzeichnis Anhang A: Herleitungen .........................................................111

A.1 Herleitung der erwarteten Portfoliorendite und der Portfoliovarianz im Single-Index-Modell von SHARPE ........................ 111

A.2 Herleitung des effizienten Portfolios risikobehafteter Wertpapiere und der Geraden effizienter Portfolios bei der TOBIN-Separation...... 115

A.3 Herleitung der Wertpapierlinie im CAPM.............................................. 118

Anhang B: Daten .....................................................................120

B.1 Daten des Vier-Wertpapier-Beispielportfolios ........................................ 120

B.2 Daten des Sieben-Wertpapier-Beispielportfolios .................................... 121

B.3 Daten des DAX-Index ................................................................................ 123

B.3.1 DAX-Aktien……………………………………. ................................. 123 B.3.2 Kurse der DAX-Aktien………….......................................................... 124 B.3.3 Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien des Fünfzehn-Wertpapier-

Portfolios…………………. ............................. …………………128 Anhang C: Handelsmodelle .....................................................129

C.1 Performance der getesteten Handelsmodelle........................................... 130

C.2 TradestationTM-Quellcodes der Handelsmodelle .................................... 147

Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle....154

D.1 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach BLACK-LITTERMAN.............................................................................. 158

D.2 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach MARKOWITZ ........................................................................................... 164

109

Anhang

Anhang A: Herleitungen A.1 Herleitung der erwarteten Portfoliorendite und der Portfoliova-rianz im Single-Index-Modell von SHARPE Die Renditeentstehung im Index-Modell entspricht:

[A.1] iIiii RbaR ε++=

mit: Ri: Rendite der Aktie i ai: Konstante, unternehmensindividuelle Rendite

RI: Rendite des Indexes, der die für alle Unterneh-men bedeutsamen Ereignisse erfasst

bi: Konstante Sensitivität der Aktie i auf Verände-rungen der Indexrendite

εi: Titelspezifische Störkomponente Des weiteren werden in dem Index-Modell von Sharpe hinsichtlich der Störkompo-nenten folgende Annahmen getroffen175: 1. Der Erwartungswert der Störkomponenten ist null: [A.2] [ ] 0=iE ε 2. Die Störkomponenten des i-ten Wertpapiers sind normalverteilt und haben einen Erwartungswert von null. Die Varianz der Störkomponenten beträgt:

[A.3] [ ][ ]

[ ]22

22

i

ii

E

EE

i

i

εσ

εεσ

ε

ε

=

−=

3. Die Störkomponente der i-ten Anlage ist nicht mit der Indexrendite korreliert. Damit gilt:

175 Vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 17 f.

111

Anhang A: Herleitungen

[A.4] [ ] 0=⋅ Ii RE ε

4. Die Störkomponenten des Wertpapiers i sind zeitlich unkorreliert. Daraus folgt:

[A.5] [ ] 021 =⋅ ititE εε 5. Die Störterme der Aktienrenditen sind untereinander unkorreliert, so dass gilt:

[A.6] [ ] 0=⋅ jiE εε Wird jetzt die Renditeformel A.1 in Erwartungswerten ausgedrückt, so erhält man:

[A.7] [ ] [ iIiii RbaERE ]ε++= . Dieser Term wird kann durch die Berücksichtigung der ersten Annahme in der For-mel A.2 vereinfacht werden:

[A.8] [ ] [ ]Iiii REbaRE += Nachdem die erwartete Rendite für die Wertpapiere unter dem Index-Modell bekannt ist, kann die Varianz der Wertpapiere hergeleitet werden:

[A.9] [ ][ ]

( ) [ ]( )[ ]22

22

IiiiIiii

iii

REbaRbaE

RERE

+−++=

−=

εσ

σ

Nachdem ai im Term wegfällt, gelangt man durch Auflösung der binomischen For-mel zu:

[A.10] [ ]( )( ) [ ]( )[ ][ ]( )( ) ( ) [ ]( )[ ]iIIiiIIii

iIIiiIIii

REREbEREREb

RERbRERbE

εεσ

εεσ

−⋅++−=

−++−=

2

22222

2222

Unter der Berücksichtigung der oben getroffenen Annahmen erhält man für die Vari-anz der Rendite der i-ten Anlage folgenden Term:

[A.11] 2222iIii b εσσσ +=

112


Ähnlich wie bei dem Markowitz-Modell kommt neben der erwarteten Rendite und deren Varianz der Berechnung der Kovarianz der Wertpapierrenditen untereinander Bedeutung zu. Die Kovarianz zwischen zwei Wertpapieren i und j wird im Indexmo-dell von Sharpe anhand der Formel A.12 berechnet.

[A.12]

[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ]( ) [ ]( )[ ] ( ) [ ]( )[ ]

[ ]( )( ) [ ]( )( )[ ][ ]( ) [ ]( ) [ ]( )[ ]iIIjjIIijiIIji

jIIjiIIi

IjjjIjjIiiiIii

jjiiji

RERbRERbRERbbE

RERbRERbE

REbaRbaREbaRbaE

RERRERERRCov

εεεε

εε

εε

−+−++−=

+−⋅+−=

+−++⋅+−++=

−⋅−=

2

,

Unter den oben getroffenen Annahmen betragen die Erwartungswerte der letzten drei Terme null, die Formel der Kovarianz ergibt sich demnach zu:

[A.13] [ ] 2, Ijiji bbRRCov σ= Die Rendite und das Risiko eines Portfolio mit N Anlagen mit den Gewichtungen wi werden anhand der folgenden Formeln ermittelt. Für die Portfoliorendite gelten die Zusammenhänge:

[A.14]

( ) ∑=

+∑=

∑=

∑=

+=++∑=

==N

iw

N

i

N

i

N

ibwRawiRbaw

N

iRwR iiiiIiiIiiiiiP

11 1 11εε

[A.15] [ ] [ ] ∑=

=+∑=

=N

ibwbmitREb

N

iawRE iiPIPiiP

11

Die Portfoliovarianz wird, nach wie vor unter den Annahmen eins bis vier, mit der Formel A.16 berechnet.

113


[A.16]

[ ]( )

[ ]

[ ]( )

2222

2

1

2

1

2

111 1

2

iiIP

iiIIP

IPiiiiiiIii

PPP

N

iwb

N

iwRERbE

REbN

iaw

N

iw

N

i

N

ibwRawE

RERE

εσσ

ε

ε

σ

∑=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

+−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

=−∑

=+∑

=∑=

+=

−=

Die Kurve effizienter Portfolios im Single-Index-Modell von Sharpe für den Fall erlaubter Leerverkäufe entspricht der Lösung des folgenden Minimierungsproblems:

[A.17] 22

2

12

1min! iiii

N

iwI

N

ibw εσσ ∑

=+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

Unter den Nebenbedingungen:

[A.18] [ ] [ IiiiiP REN

ibw

N

iawRE ∑

=+∑

==

11]

und

[A.19] . ∑=

=N

iiw

11

114


A.2 Herleitung des effizienten Portfolios risikobehafteter Wertpa-piere und der Geraden effizienter Portfolios bei der TOBIN-Separation Die erwartete Rendite eines Mischportfolios P lässt sich in Abhängigkeit vom relati-ven Anteil α , der zu dem sicheren Zinssatz angelegt wird, folgendermaßen beschrei-ben:

[A.20] [ ] ( ) [ ]rfP RERRE ⋅−+⋅= αα 1 mit: E[RP]: Erwartete Portfoliorendite

α: Anteil des Vermögens, das in die sichere Anlage investiert wird

Rf: Risikoloser Zinssatz Rr: Erwartete Rendite der risikobehafteten Anlage und

[A.21] [ ] [ ] 22 PEFF

fEFFfP

RRERRE σ

σ⋅

−+=

[A.22] w'1−= 1α

Die Gesamtrendite eines Portfolios beträgt dann:

[A.23] ( ) fP Rw'1µw' R −+= 1µ

Der Portfoliorand ist gegeben durch die Lösungen des folgenden Optimierungsprob-lems:

[A.24] ( ) PfRNdu µ=−+ w'1µw'

wΣw'

R

RRw

1...21min!

Die Lagrange-Funktion dazu und die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für ein Minimum sind:

[A.25] ( ) ( )( )PfRL µϑϑ −−+−= w'1µw'wΣw'w RRR 121,

[A.26] ( ) 0!=−−=

∂∂

fRL 1µwΣw RRR ϑ

115


[A.27] ( ) 01!=−−+=

∂∂

PfRL µϑ

w'1µw' R

Um dieses Gleichungssystem zu lösen, wird [A.26] mit der Inversion der Varianz-Kovarianz-Matrix multipliziert:

[A.28] ( )1µΣw R1

RR fR−⋅= −ϑ Zur Ermittlung des Lagrangemultiplikators wird diese Gleichung einmal mit 1 und einmal mit µR multipliziert, wobei [A.22] und [2.23] beachtet, und die Definitionen der Skalare [2.31] bis [2.34] einbezogen werden:

[A.29] ( )CRAw f−=−= ϑ01w1'

[A.30] ( )ARBRw ffP −=−= ϑµ 0w'µR Damit erhält man:

[A.31] H

RBARCR

R fP

ff

fP −=

+−

−=

µµϑ

22

mit [A.32] ( ) ( )1µΣ'1µ R

1RRR ffff RRBARCRH −−=+−= −2: 2

Dann ergibt sich das Portfolio minimaler Varianz für die erwartete Portfoliorendite µP zu:

[A.33] ( )1µΣw R1

RRP ffP R

HR

−⋅−

= −µ

Die Varianz dieses Portfolios ist:

[A.34]

( ) ( )

( )H

RH

RH

HR

HR

RRH

R

fP

fPfP

fPff

fP

P

2

2

−=

−⋅⋅

−=

−−−⋅

−=

=

−−

µ

µµ

µµσ

1µΣΣ'Σ'1µ

wΣ'w

R1

RRRR1

RRR

PRRP

116


Löst man diesen Term nach µP auf, so ergibt sich:

[A.35] 2PfP HR σµ ⋅±=

Der rationale Investor wird folgende Formel für die Gerade effizienter Portfolios in dem Falle der Tobin-Separation wählen:

[A.36] PfPfP HRHR σσµ ⋅+=⋅+= 2

117


A.3 Herleitung der Wertpapierlinie im CAPM Steiner und Bruns176 leiten die Wertpapierlinie folgendermaßen her: Bildet man ein Portfolio aus α Teilen des Wertpapiers i und (1 - α) Teilen des Marktportfolios M, so beträgt die erwartete Rendite dieses Portfolios:

[A.37] [ ] [ ] ( ) [ ]MiP RERERE ⋅−+⋅= αα 1 Das Risiko dieses Portfolios ergäbe sich dann zu:

[A.38] ( ) ( )[ ] 21

2222 121 αασσασασ −+−+= iMMiP Um zu ermitteln, welchen Einfluss eine Änderung des Anteils des Wertpapiers i auf die Rendite und das Risiko des Portfolios hat, leitet man die beiden Gleichungen nach α, dem Portfolioanteil des Wertpapiers i, ab.

[A.39] [ ] [ ] [ Mi

P REREd

RdE−=

α]

[A.40] ( ) ( )[ ]

[ ]iMiMMMi

iMMiP

dd

σασασσασ

αασσασαασ

242222

12121

222

21

2222

−++−⋅

−+−+⋅=−

Die Preisbestimmung soll im Gleichgewicht vorgenommen werden. Da im Markt-portfolio das Wertpapier i bereits enthalten ist, und eine weitere Erhöhung der Nach-frage nach i ein Ungleichgewicht bewirken würde, wird der Portfolioanteil des Wert-papiers i auf null gesetzt. Daraus folgt für die Ableitungen:

[A.41] [ ] [ ] [ ]Mi

P REREd

RdE−=

=0αα

( ) ( )M

MiMiMMM

P

dd

σσσ

σσσασ

α

22212

0

2221 −

=+−=−

=

Die Division dieser beiden Ableitungen ergibt das Austauschverhältnis zwischen Rendite und Risiko. Dieses gibt an, wie viel zusätzliches Risiko für eine Steigerung des Erwartungswertes der Rendite in Kauf zu nehmen ist.

176 vgl. Steiner/Bruns (2000), S. 24 ff.

118


[A.42] [ ] [ ] [ ] [ ]

MMiM

Mi

P

P

P

P REREd

RdEdd

dRdEσσσσασ

α

α2

0 −−

===

Die Formel zeigt, dass die Steigung des Austauschverhältnisses von Rendite und Risiko im Tangentialpunkt zwischen Kapitalmarktlinie und Portfoliokurve der Stei-gung der Kapitalmarktlinie entspricht (Formel 2.70). Die beiden Terme lassen sich also gleichsetzen:

[A.43] [ ] [ ] [ ]

( ) MMiM

Mi

M

fM RERERREσσσσ 2−

−=

−

Löst man diese Gleichung nach der erwarteten Rendite des Wertpapiers i auf, so er-hält man die Wertpapierlinie:

[A.44] [ ] [ ][ ] 2M

iMfMfi RRERRE

σσ⋅−+=

119

Anhang B: Daten B.1 Daten des Vier-Wertpapier-Beispielportfolios Die Daten des Vier-Wertpapier-Portfolios wurden vom Autor zur anschaulichen Dar-stellung der Kurven effizienter Portfolios im Kapitel 2 zusammengestellt. Renditen in Prozent

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

48.216.02.506.4

DWP

CWP

BWP

AWP

µµµµ

WP4µ

Varianz-Kovarianz-Matrix

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−−

=

17.521.285.145.021.272.578.128.285.178.175.943.345.028.243.307.6

4WPΣ

120

Anhang B: Daten

B.2 Daten des Sieben-Wertpapier-Beispielportfolios Die durchschnittlichen Tagesrenditen sowie die Varianz-Kovarianz-Matrix der sie-ben am 30.12.2003 am stärksten kapitalisierten DAX-Aktien [Siemens AG (SIE), Deutsche Telekom AG (DTE), Deutsche Bank AG (DBK), Allianz AG (ALV), E.ON AG (EOA), Daimler Chrysler AG (DCX), SAP AG (SAP)] wurden über die letzten 100 Börsentage des Jahres 2003 berechnet und gemäss der Formel 2.5 und der For-mel 2.9 (Börsentage im Jahr 2004 = 257) annualisiert. Annualisierte Renditen

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1.0047671.356567

0.40392650.24851160.795517

0.61630260.5453435

annSIE

annSAP

annEOA

annDTE

annDBK

annDCX

annALV

.

.

.

.

.

.

.

µµµµµµµ

7WP.ann.µ

Annualisierte Varianz-Kovarianz-Matrix

0.0049 0.00430.00210.00190.00320.00320.00410.00430.01070.00190.00180.0034 0.00310.00400.00210.00190.00320.00150.00180.0021 0.00230.00190.00180.00150.00190.0018 0.0015 0.00210.00320.00340.00180.00180.00400.00270.00340.00320.00310.00210.00150.00270.00450.00340.0041 0.00400.00230.00210.00340.00340.0064

SIESAPEOADTEDBKDCXALV

SIESAPEOADTEDBKDCXALV

121

Anhang B: Daten Die impliziten Renditen wurden, um eine gute Vergleichbarkeit mit den historischen Renditen zu gewährleisten, mit einem hohen Risikoaversionsparameters λ von 200 bestimmt und ebenfalls annualisiert. Annualisierte Implizite Renditen

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0.70130.8096

0.43490.37080.59020.59050.7486

7WP.ann.Π

122

Anhang B: Daten

B.3 Daten des DAX-Index B.3.1 DAX-Aktien Die folgende Tabelle B.1 listet die 30 DAX-Aktien auf, deren Börsenkürzel, deren Wertpapierkennnummer (ISIN) sowie deren Wirtschaftssektoren.

Abbildung B.1: Tabelle der 30 DAX-Aktien

Aktie Kürzel ISIN Wirtschaftssektor ADIDAS-SALOMON AG O.N. ADS DE0005003404 Consumer ALLIANZ AG VNA O.N. ALV DE0008404005 Insurance ALTANA AG O.N. ALT DE0007600801 Pharma + Healthcare BASF AG O.N. BAS DE0005151005 Chemicals BAYER AG O.N. BAY DE0005752000 Chemicals BAY.HYPO-VEREINSBK.O.N. HVM DE0008022005 Banks BAY.MOTOREN WERKE AG ST BMW DE0005190003 Automobile COMMERZBANK AG O.N. CBK DE0008032004 Banks CONTINENTAL AG O.N. CON DE0005439004 Automobile DAIMLERCHRYSLER AG NA O.N DCX DE0007100000 Automobile DEUTSCHE BANK AG NA O.N. DBK DE0005140008 Banks DEUTSCHE BOERSE NA O.N. DB1 DE0005810055 Financial services LUFTHANSA AG VNA O.N. LHA DE0008232125 Transportation + Logistics DEUTSCHE POST AG NA O.N. DPW DE0005552004 Transportation + Logistics DT.TELEKOM AG NA DTE DE0005557508 Telecommunication E.ON AG O.N. EOA DE0007614406 Utilities FRESEN.MED.CARE AG O.N. FME DE0005785802 Pharma + Healthcare HENKEL KGAA VZO O.N. HEN3 DE0006048432 Consumer INFINEON TECH.AG NA O.N. IFX DE0006231004 Technology LINDE AG O.N. LIN DE0006483001 Chemicals MAN AG ST O.N. MAN DE0005937007 Industrial METRO AG ST O.N. MEO DE0007257503 Retail MUENCH.RUECKVERS.VNA O.N. MUV2 DE0008430026 Insurance RWE AG ST O.N. RWE DE0007037129 Utilities SAP AG ST O.N. SAP DE0007164600 Software SCHERING AG O.N. SCH DE0007172009 Pharma + Healthcare SIEMENS AG NA SIE DE0007236101 Industrial THYSSENKRUPP AG O.N. TKA DE0007500001 Industrial TUI AG O.N. TUI DE0006952005 Transportation + Logistics VOLKSWAGEN AG ST O.N. VOW DE0007664005 Automobile

[Stand : 30.01.2004; Quelle : www.deutsche-boerse.de]

123


Anhang B: Daten B.3.2 Kurse der DAX-Aktien Die Quelle für die Tageskurse der DAX-Aktien ist die Finanzseite von Yahoo. Die Internetadresse lautet: http://de.finance.yahoo.com/. Auf Basis dieser Kurse wurden die Handelsmodelle im Abschnitt 5.2 getestet. In den Abbildungen B.2-B.31 sind die Schlusskurse aller DAX-Aktien über den Testzeitraum [02.01.2002 bis 30.12.2003] und dem Handelszeitraum [02.01.2004-30.12.2004] dargestellt. Die Aktienrenditen zur Berechnung der Portfolioperformance der Portfoliomodelle im Abschnitt 5.3 wurden allerdings aus den, ebenfalls von Yahoo.Finance bereitge-stellten, adjustierten Schlusskurse berechnet, da diese auch Dividenden und Akti-ensplits berücksichtigen. Diese Kurse sind hier nicht aufgeführt.

Abbildungen B.2 -B.31: Kurse der DAX-Aktien vom 02.01.02-30.12.04

ADS

020406080

100120140

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

ALV

050

100150200250300350

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

ALT

010203040506070

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

BAS

0102030405060

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

BAY

0

1020

3040

50

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

HVM

0

1020

3040

50

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

124

http://de.finance.yahoo.com/

Anhang B: Daten

BMW

0

1020

3040

50

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

CBK

0

510

1520

25

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

CON

0

1020

3040

50

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

DCX

0102030405060

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

DBK

0

2040

6080

100

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

DB1

0102030405060

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

LHA

0

510

1520

25

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

DPW

0

510

1520

25

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

DTE

0

510

1520

25

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

EOA

01020304050607080

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

125

Anhang B: Daten

FME

01020304050607080

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

HEN3

0

2040

6080

100

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

IFX

05

101520253035

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

LIN

010203040506070

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

MAN

05

101520253035

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

MEO

0

1020

3040

50

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

MUV2

050

100150200250300350

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

RWE

0

1020

3040

50

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

SAP

0

50

100

150

200

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

SCH

01020304050607080

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

126

Anhang B: Daten

SIE

0

2040

6080

100

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

TKA

0

5

10

15

20

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

TUI

05

10152025303540

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

VOW

010203040506070

01. 0

2

04. 0

2

07. 0

2

10. 0

2

01. 0

3

04. 0

3

07. 0

3

10. 0

3

01. 0

4

04. 0

4

07. 0

4

10. 0

4

127

Anhang B: Daten B.3.3 Marktkapitalisierungen der DAX-Aktien des Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios In dem folgenden Diagramm sind die kumulierten prozentualen Marktkapitalisierun-gen des im Abschnitt 5.3 behandelten Fünfzehn-Wertpapier-Portfolios aufgetragen. Die Marktkapitalisierungen wurden berechnet, indem der aktuelle Schlusskurs mit der aktuellen Anzahl der Aktien am Markt multipliziert wurde. Quelle für die Anzahl der Aktien am Markt ist die Internetseite der Deutschen Börse AG (www.deutsche-boerse.de).177

Abbildung B.32: Kumulierte prozentuale Marktkapitalisierungen des Fünfzehn-Wertpapier-

Portfolios im Jahr 2004

177 Die Aktienstückzahlen vom 02.01.04 bis zum 29.01.04 stehen nicht zur Verfügung. Da diese aber relativ statisch sind, wurden sie durch die Aktienstückzahlen vom 30.01.04 approximiert.

128



Anhang C: Handelsmodelle In dem Abschnitt C.1 des Anhangs C sind die Performancemaße der vorgestellten Handelsmodelle für sämtliche DAX Aktien über dem Testzeitraum vom 02.01.2002 bis zum 30.12.2003 aufgelistet. Anzumerken ist, dass die Handelsmodelle erst nach 50 Börsentagen aktiv werden. Dadurch wird gewährleistet, dass sämtliche Indikato-ren Berechnet werden können. In dem Abschnitt C.2 des Anhangs befinden sich die TradestationTM-Quellcodes der vorgestellten Handelsmodelle. Die Bezeichnungen der Performancemaße der Handelsmodelle sind in den folgenden Tabellen aus Platzgründen gekürzt worden. Die Interpretationen der Kennzahlen wurden im Abschnitt 4.3.4 erläutert. Die Kürzel stehen für folgende Performance-kennzahlen: NetPr.: Nettogewinn Res.Gew.: Residualgewinn MaxDD: Maximum Drawdown Tr.Nr.: Anzahl der Trades Perc.Win: Anteil erfolgreicher Trades AvgProfit: Durchschnittliches Tradeergebnis StDevPr: Standardabweichung um den durchschnittlichen Gewinn PFStDevProfit: Portfolio-Standardabweichung PF: Profit Factor P/MaxDD: Profit to maximum Drawdown Ratio RAR: Risk-Adjusted-Return PF-RAR: Portfolio-Risk-Adjusted-Return PercProfitable: Prozentzahl profitabler Märkte

129

Anhang C: Handelsmodelle C.1 Performance der getesteten Handelsmodelle Handelsmodell Nr.1 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RARADS.T -15120 -3986.61 -20674.6 19 36.84 -795.8 1181.64 0.69 -0.73 -0.7 ALV.T 100427 168898 -18583 8 62.5 12553.4 9879.85 5.03 5.4 1.27 ALT.T -30721 -32242.3 -58454.4 20 25 -1536.03 1681.14 0.61 -0.53 -0.9 BAS.T -29999 -29452.3 -32653.6 24 29.17 -1249.95 701.41 0.4 -0.92 -1.8 BAY_5 55522 52357.7 -43440.5 16 31.25 3470.14 4948.93 1.76 1.28 0.7 HVM.T 27921 -100196 -96026.7 29 24.14 962.8 3933.13 1.17 0.29 0.24 BMW.T -13821 -24981.8 -26061.7 20 30 -691.03 1684.84 0.77 -0.53 -0.4 CBK.T 140096 136072 -23862.5 13 38.46 10776.6 8213.99 4.37 5.87 1.31 CON_. 108483 8688.48 -17593.5 18 33.33 6026.83 6080.47 3.78 6.17 0.99 DCX.T -4271.1 -20292.8 -28338.3 16 37.5 -266.94 2182.9 0.92 -0.15 -0.1 DBK.T 8056.4 -13211.3 -33056.9 20 20 402.82 2448.24 1.12 0.24 0.16 DB1.T -36470 -29008.9 -43019.2 24 20.83 -1519.6 1789.47 0.6 -0.85 -0.9 LHA.T -8415.9 -59220.5 -52468.8 16 43.75 -525.99 3466.89 0.9 -0.16 -0.2 DPW.T -5753.6 -5753.62 -37193.3 22 27.27 -261.53 2147.63 0.92 -0.15 -0.1 DTE.T 34766 23872.6 -25856.6 16 43.75 2172.89 2964.54 1.76 1.34 0.73 EOA.T 9609.2 6355.86 -20416.4 17 41.18 565.25 1612.45 1.29 0.47 0.35 FME.T 119821 137069 -13608.8 10 60 11982.1 8118.15 8.41 8.8 1.48 HEN3. -36664 -44184.3 -51045.9 19 36.84 -1929.68 1323.75 0.44 -0.72 -1.5 IFX.T 81275 81274.9 -25493.2 11 36.36 7388.62 7540.12 2.47 3.19 0.98 LIN.T 23172 14008.8 -24568.4 14 35.71 1655.12 3100.63 1.48 0.94 0.53 MAN.T 15803 -7109.64 -42580.4 16 31.25 987.66 3683.28 1.23 0.37 0.27 MEO.T 73346 15286.8 -39166.2 15 46.67 4889.7 5345.52 2.28 1.87 0.91 MUV2. -41143 -43310.1 -76353.2 23 30.43 -1788.82 2619.71 0.68 -0.54 -0.7 RWE.T 22169 6610.15 -15516.7 17 47.06 1304.05 1869.92 1.58 1.43 0.7 SAP.T 4242 -27688.2 -45085.1 18 38.89 235.66 3574.53 1.05 0.09 0.07 SCH.T -14767 8941.92 -52518.4 19 31.58 -777.19 2021.75 0.77 -0.28 -0.4 SIE.T 44966 35901.4 -17451.8 12 50 3747.16 3386.28 2.24 2.58 1.11 TKA.T -13221 -46495.5 -77600.2 19 31.58 -695.87 3059.34 0.88 -0.17 -0.2 TUI.T -32880 -49884.9 -103746 18 33.33 -1826.65 3993.4 0.73 -0.32 -0.5 VOW.T -46491 -47455.5 -71720.1 24 20.83 -1937.14 1601.92 0.53 -0.65 -1.2 Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 17997.90 3695.44 -41138.48 17.77 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 33.77 1013.01 3142.97 4143.54 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 53.33 1.70 1.12 0.24 0.08

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Anhang C: Handelsmodelle

Handelsmodell Nr.2 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR ADS.T 9855.29 9855.29 -19356.7 22 50 447.97 980.2 1.29 0.51 0.46 ALV.T 51584.1 -8681.18 -47181.6 20 55 2579.2 3859.13 1.61 1.09 0.67 ALT.T 38420.8 30249.7 -15813.1 20 55 1921.04 1749.2 2 2.43 1.1 BAS.T -36196.4 -38412.8 -40231.9 26 34.62 -1392.2 899.77 0.44 -0.9 -1.55 BAY_5 38929 21251.4 -47638.4 23 34.78 1692.56 2991.78 1.39 0.82 0.57 HVM.T -10873.7 -32358.1 -90122 29 34.48 -374.95 2959.74 0.94 -0.12 -0.13 BMW.T -14789.4 -16916.5 -50927.5 24 45.83 -616.23 1515.79 0.79 -0.29 -0.41 CBK.T 77367.3 65332.3 -42016.1 19 47.37 4071.97 4022.81 2.07 1.84 1.01 CON_. 101528 15223.8 -13934.5 16 50 6345.49 3693.13 4.57 7.29 1.72 DCX.T 18982.2 14573.3 -43471.1 28 46.43 677.94 1366.27 1.3 0.44 0.5 DBK.T 2422.17 2422.17 -45921.9 22 36.36 110.1 2237.29 1.03 0.05 0.05 DB1.T -45994.2 -38851.4 -51173.9 28 35.71 -1642.7 1167.34 0.52 -0.9 -1.41 LHA.T 7324.78 -46954.2 -38917 20 50 366.24 2182.43 1.13 0.19 0.17 DPW.T 22024.4 -44466.7 -29317.6 21 28.57 1048.78 2350.02 1.38 0.75 0.45 DTE.T 5746.78 -5662.04 -38959.9 16 37.5 359.17 2982.59 1.09 0.15 0.12 EOA.T -14785.7 -26801.2 -40269.3 18 50 -821.43 1416.07 0.7 -0.37 -0.58 FME.T 144241 131627 -17546.5 18 50 8013.4 4491.34 5.68 8.22 1.78 HEN3. -27842.5 -26138.1 -43042.9 25 40 -1113.7 957.97 0.54 -0.65 -1.16 IFX.T -54112.8 -48748.5 -123940 25 52 -2164.5 3042.89 0.68 -0.44 -0.71 LIN.T 30301.2 -13263.2 -34116.3 18 50 1683.4 2500.05 1.57 0.89 0.67 MAN.T 435.34 -70777.9 -60975.8 18 33.33 24.19 3387.13 1 0.01 0.01 MEO.T 72010 23545.8 -14797.3 21 47.62 3429.05 2775.73 2.39 4.87 1.24 MUV2. -51026.6 -44441.5 -90470.9 26 42.31 -1962.6 2710.94 0.66 -0.56 -0.72 RWE.T 62658.8 64131.3 -9112.5 16 62.5 3916.18 2004.92 4.15 6.88 1.95 SAP.T 60555.6 33585.4 -51268 29 37.93 2088.12 2784.61 1.65 1.18 0.75 SCH.T 7935.79 7522.77 -28094.3 28 50 283.42 1334.51 1.12 0.28 0.21 SIE.T 3437.55 -7579.24 -52097 24 45.83 143.23 2110.51 1.04 0.07 0.07 TKA.T -9928.48 -57566.3 -58447.5 21 33.33 -472.79 2372.32 0.89 -0.17 -0.2 TUI.T 35501.8 13003.6 -50145.1 18 33.33 1972.32 3360.11 1.62 0.71 0.59 VOW.T -20737.2 -57098 -60289.7 28 35.71 -740.61 1291.66 0.73 -0.34 -0.57 Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 16832.50 -5079.77 -44986.54 22.23 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 43.03 757.08 2298.31 2357.82 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 66.67 1.53 1.13 0.32 0.22

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Anhang C: Handelsmodelle Handelsmodell Nr.3 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR ADS.T -15514 -16488.9 -35774 34 35.29 -456.28 1042.22 0.82 -0.43 -0.44 ALV.T -25979 -29393.5 -78003 35 34.29 -742.25 1950.63 0.86 -0.33 -0.38 ALT.T 72654.6 73488.8 -20830 26 53.85 2794.41 1862.74 2.39 3.49 1.5 BAS.T -27457 -28014 -38402 39 33.33 -704.01 701.31 0.67 -0.71 -1 BAY_5 -4046.2 -23337.1 -56079 36 30.56 -112.39 2168.08 0.98 -0.07 -0.05 HVM.T -23307 -38975.8 -79186 37 32.43 -629.93 2211 0.88 -0.29 -0.28 BMW.T -66470 -66120 -92714 45 22.22 -1477.1 936.87 0.53 -0.72 -1.58 CBK.T 83529.8 66614.8 -36084 28 39.29 2983.21 2999.91 1.76 2.31 0.99 CON_. -30259 -57415.8 -56608 40 22.5 -756.46 1113.71 0.75 -0.53 -0.68 DCX.T -51369 -55423.8 -79675 35 37.14 -1467.7 1227.74 0.6 -0.64 -1.2 DBK.T 21086.1 4737.18 -31009 31 38.71 680.2 1598.62 1.23 0.68 0.43 DB1.T -26201 -23692 -36575 34 26.47 -770.62 977.74 0.69 -0.72 -0.79 LHA.T -45590 -61568.8 -84771 38 36.84 -1199.8 1113.29 0.64 -0.54 -1.08 DPW.T 64353.7 60000.4 -23540 28 42.86 2298.35 1959.5 2.01 2.73 1.17 DTE.T -65162 -70478.4 -97323 48 29.17 -1357.5 1067.09 0.62 -0.67 -1.27 EOA.T -64336 -69081.6 -89095 36 27.78 -1787.1 1019.54 0.47 -0.72 -1.75 FME.T 43193.7 18949.3 -59800 30 40 1439.79 2668.64 1.36 0.72 0.54 HEN3. -47044 -63236.7 -53611 42 30.95 -1120.1 624 0.51 -0.88 -1.8 IFX.T -36681 -26934.5 -79067 39 30.77 -940.54 2416.78 0.84 -0.46 -0.39 LIN.T 35947.4 35447.4 -29973 34 41.18 1057.28 1513.71 1.45 1.2 0.7 MAN.T 35091.9 35091.9 -30715 33 39.39 1063.39 1591.65 1.41 1.14 0.67 MEO.T -86922 -90389.6 -1E+05 47 21.28 -1849.4 1357.77 0.58 -0.75 -1.36 MUV2. -52669 -53645.8 -1E+05 35 28.57 -1504.8 2429.46 0.75 -0.49 -0.62 RWE.T 37998.3 40363.4 -22530 25 48 1519.93 1821.44 1.61 1.69 0.83 SAP.T 10480.5 11578.6 -64743 36 30.56 291.12 2504.95 1.06 0.16 0.12 SCH.T -3371.6 -1157.61 -31326 34 38.24 -99.16 1033.67 0.96 -0.11 -0.1 SIE.T -2741.9 -14194.4 -49484 36 47.22 -76.16 1478.48 0.98 -0.06 -0.05 TKA.T -6002 -6519.82 -46936 37 32.43 -162.22 1265.27 0.94 -0.13 -0.13 TUI.T 38598.8 37463.1 -55105 39 35.9 989.71 2171.99 1.28 0.7 0.46 VOW.T -20589 -23732.9 -92356 37 35.14 -556.47 1370.56 0.84 -0.22 -0.41 Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades -8625.84 -14535.54 -59169.27 35.80 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 33.89 -240.94 1564.80 1335.62 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 33.33 1.02 0.18 -0.18 -0.27

132


Handelsmodell Nr.4 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR ADS.T -48370 -55907 -52451.4 20 35 -2418.49 1499.97 0.4 -0.92 -1.61 ALV.T 14038 14038 -31097.2 22 50 638.09 2916.22 1.13 0.45 0.22 ALT.T -38981 -57991 -53468.5 21 33.33 -1856.22 2395.34 0.62 -0.73 -0.77 BAS.T -15856 -33634 -47480.2 20 45 -792.81 1306.4 0.72 -0.33 -0.61 BAY_5 10969 -3021.3 -55231.7 19 36.84 577.34 3434.04 1.1 0.2 0.17 HVM.T 37140 -31576 -54289.5 21 33.33 1768.58 3480.07 1.34 0.68 0.51 BMW.T -26239 -68413 -72739.8 21 42.86 -1249.47 2000.89 0.7 -0.36 -0.62 CBK.T 99914 92475.4 -28822 14 35.71 7136.71 7229.54 2.49 3.47 0.99 CON_. 51323 -79552 -48028.4 15 26.67 3421.55 6806.28 1.79 1.07 0.5 DCX.T -92564 -96343 -112061 24 37.5 -3856.84 1665.15 0.31 -0.83 -2.32 DBK.T -23885 -31556 -44699.8 23 39.13 -1038.47 1985.6 0.74 -0.53 -0.52 DB1.T -52238 -52238 -63587 22 22.73 -2374.45 1838.71 0.47 -0.82 -1.29 LHA.T -81806 -77965 -127656 23 34.78 -3556.77 2597.23 0.49 -0.64 -1.37 DPW.T 24033 -32462 -43667.1 18 38.89 1335.19 2594.5 1.4 0.55 0.51 DTE.T -12521 -10613 -38028 19 52.63 -659.01 1947.58 0.82 -0.33 -0.34 EOA.T -59346 -66704 -81217.9 16 37.5 -3709.13 2098.07 0.31 -0.73 -1.77 FME.T 97516 81169.8 -21099.5 16 56.25 6094.72 5037.47 3.07 4.62 1.21 HEN3. -35690 -45222 -51831.9 19 21.05 -1878.43 1480.2 0.46 -0.69 -1.27 IFX.T 5899.7 7683.88 -83949.3 26 38.46 226.91 3206.8 1.04 0.07 0.07 LIN.T -1848 -27408 -34048.9 20 40 -92.39 2151.33 0.98 -0.05 -0.04 MAN.T 18669 18668.7 -24211.9 22 31.82 848.58 2430.76 1.24 0.77 0.35 MEO.T 117291 107738 -30173.2 12 58.33 9774.25 6716.18 4.51 3.89 1.46 MUV2. 12138 -18702 -51035.4 20 45 606.88 3278.55 1.12 0.24 0.19 RWE.T 59778 65105.8 -8616.5 14 57.14 4269.87 2399.32 5.52 6.94 1.78 SAP.T -8263 -61508 -55461.1 20 30 -413.14 3354.6 0.92 -0.15 -0.12 SCH.T -38581 -46331 -48821.3 23 34.78 -1677.43 1394.94 0.53 -0.79 -1.2 SIE.T 8195.6 2755.66 -35670.2 23 39.13 356.33 2215.74 1.09 0.23 0.16 TKA.T -14873 -61382 -57943.2 21 28.57 -708.23 2409.91 0.84 -0.26 -0.29 TUI.T 50024 30274.4 -36158.2 17 35.29 2942.58 3803.89 1.82 1.38 0.77 VOW.T -23432 -21281 -46250.5 24 20.83 -976.31 1563.13 0.71 -0.51 -0.62 Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 1081.24 -18663.29 -51326.55 19.83 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 37.31 54.52 2737.18 3171.07 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 46.67 1.29 0.53 0.02 -0.20

133

Anhang C: Handelsmodelle Handelsmodell Nr.5 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR ADS.T -22825 -33305 -39128 18 38.89 -1268.1 1475.98 0.61 -0.58 -0.86 ALV.T 23284 -14890 -43951 16 37.5 1455.23 4592.68 1.24 0.53 0.32 ALT.T -14533 -8681.2 -44111 15 33.33 -968.84 3313.97 0.8 -0.33 -0.29 BAS.T -11340 -21275 -40210 14 42.86 -810.02 1577.56 0.71 -0.28 -0.51 BAY_5 25062 11071.4 -45937 17 41.18 1474.24 3833.55 1.27 0.55 0.38 HVM.T 64218 37709.9 -57957 17 35.29 3777.55 5399.22 1.66 1.11 0.7 BMW.T -96232 -108537 -102913 20 20 -4811.6 1728.62 0.2 -0.94 -2.78 CBK.T 121564 121828 -44507 13 38.46 9351.07 8740.11 3.22 2.73 1.07 CON_. 41216 -21733 -58077 10 40 4121.64 10657.3 1.65 0.71 0.39 DCX.T -40889 -43091 -60314 12 41.67 -3407.4 3219.71 0.44 -0.68 -1.06 DBK.T -12899 -59030 -50175 17 23.53 -758.79 3195.87 0.83 -0.26 -0.24 DB1.T -11815 -6555 -30541 16 37.5 -738.42 2548.38 0.81 -0.39 -0.29 LHA.T -17675 -30786 -79312 14 35.71 -1262.5 4648.75 0.82 -0.22 -0.27 DPW.T 39103 28893.4 -16160 12 50 3258.59 4025.96 1.95 2.42 0.81 DTE.T 37581 37736.6 -22506 14 35.71 1726.73 2747.98 1.97 1.67 0.63 EOA.T -66851 -92262 -87573 14 28.57 -4775.1 2463.94 0.28 -0.76 -1.94 FME.T 100339 131651 -21445 10 60 10033.9 8766.79 4.22 4.68 1.14 HEN3. -31520 -42069 -47977 17 29.41 -1854.1 1599.33 0.47 -0.66 -1.16 IFX.T -28354 -86041 -79579 18 44.44 -1575.2 3738.75 0.78 -0.36 -0.42 LIN.T 10024 -303.28 -30152 14 42.86 715.99 3155.58 1.17 0.33 0.23 MAN.T 2909.8 -51840 -49395 16 37.5 181.86 3474.85 1.04 0.06 0.05 MEO.T 83354 91632.7 -19440 10 60 8335.39 7482.77 3.89 4.29 1.11 MUV2. 716.14 -7619.1 -63617 16 50 44.76 4408.62 1.01 0.01 0.01 RWE.T 32459 31618.8 -15922 12 33.33 2704.95 2811 2.25 2.04 0.96 SAP.T -32451 -63273 -85575 16 31.25 -2028.2 4378.16 0.71 -0.38 -0.46 SCH.T -21595 -18830 -32633 18 44.44 -1199.7 1823.75 0.65 -0.66 -0.66 SIE.T -1991.8 -35364 -42933 17 41.18 -117.17 2524.78 0.97 -0.05 -0.05 TKA.T 22220 2349.09 -29294 13 38.46 1709.26 3732.85 1.42 0.76 0.46 TUI.T 33684 18871.9 -44822 13 46.15 2591.08 5095.36 1.53 0.75 0.51 VOW.T -10207 -33729 -36286 16 31.25 -637.91 2143.63 0.82 -0.28 -0.3 Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 7218.59 -8861.64 -47414.70 14.83 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 38.20 456.52 3729.35 3611.95 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 50.00 1.31 0.53 0.13 -0.08

134


Handelsmodell Nr.5_Filter

Market NetPr. ResGew MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR

ADS.T -25929 -33815 -30064 12 41.67 -2160.8 1991.7 0.46 -0.86 -1.08ALV.T 118282 186753 -18583 6 50 19713.6 12280 10.8 6.37 1.61ALT.T 5150.7 5150.65 -38963 11 36.36 468.24 4215.4 1.1 0.13 0.11BAS.T -1180 14944.8 -19269 10 40 -118.02 2447.1 0.96 -0.06 -0.05BAY.T 66582 115769 -27584 8 37.5 8322.76 8188.1 2.92 2.41 1.02HVM.T 88088 88087.9 -47737 11 45.45 8007.99 8213.3 2.29 1.85 0.97BMW.T -39481 -43900 -55889 12 33.33 -3290.1 2927 0.44 -0.71 -1.12CBK.T 104129 104129 -34907 11 45.45 9466.29 9970.4 2.82 2.98 0.95CON_. 76316 13366.5 -28244 8 37.5 9539.45 13428 3.34 2.7 0.71DCX.T -8352 25912.1 -41411 10 40 -835.2 3368 0.8 -0.2 -0.25DBK.T 26005 24130.4 -23945 13 30.77 2000.36 3751.5 1.53 1.09 0.53DB1.T -20425 -14982 -34531 14 21.43 -1458.9 2966.4 0.7 -0.59 -0.49LHA.T 56509 105724 -47099 8 37.5 7063.63 12093 1.83 1.2 0.58DPW.T 4456.1 -12056 -37686 12 33.33 371.34 3975.7 1.08 0.12 0.09DTE.T 45427 66623.2 -19240 10 40 4542.72 4641.2 2.44 2.36 0.98EOA.T -23289 1913.29 -43341 10 40 -2328.9 3665.2 0.6 -0.54 -0.64FME.T 89099 120411 -19039 8 50 11137.4 11018 3.81 4.68 1.01HEN3. -31891 -39506 -48582 13 38.46 -2453.1 1892.8 0.42 -0.66 -1.3IFX.T 56509 105724 -47099 8 37.5 7063.63 12093 1.83 1.2 0.58LIN.T 13241 46215 -29902 10 40 1324.05 4246.1 1.29 0.44 0.31MAN.T -1091 -12699 -26689 12 41.67 -90.92 4466.5 0.98 -0.04 -0.02MEO.T 67374 75483.7 -19440 10 50 6737.35 7336.2 2.83 3.47 0.92MUV2. -29915 -36907 -68336 13 38.46 -2301.1 5327.6 0.74 -0.44 -0.43RWE.T 24608 68359.6 -12861 10 40 2460.81 3414.1 1.83 1.91 0.72SAP.T -45185 -67002 -90703 12 33.33 -3765.4 5999.5 0.62 -0.5 -0.63SCH.T 10181 46858 -34948 10 40 1018.11 4159.4 1.26 0.29 0.24SIE.T 25798 25798.1 -25934 11 54.55 2345.28 3913.9 1.58 0.99 0.6TKA.T 14927 14927.3 -32610 11 54.55 1357.02 4395.6 1.26 0.46 0.31TUI.T -15116 -15116 -67523 11 27.27 -1374.2 6002.9 0.81 -0.22 -0.23VOW.T -34546 -37657 -59946 13 15.38 -2657.4 3441.3 0.57 -0.58 -0.77 Kennzahlen

NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 20542.74 31421.35 -37736.80 10.60 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit

38.36 1937.99 5427.88 5437.25

PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 60.00 1.80 0.98 0.36 0.17

135

Anhang C: Handelsmodelle Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR ADS.T -24760 -30547 -27059 18 38.89 -1375.6 1243.4 0.5 -0.92 -1.1 ALV.T

BAS.T BAY.T

BMW.T CBK.T CON_. DCX.T

DB1.T LHA.T DPW.T

FME.T -56334 22.22 1026.8 -0.93 -3.1

IFX.T 17019.2 1.214792.1 14 28.57 2758.4 1.5

1.3 0.67 0.4 73619.3 3

3843.51901.74049.9

1660

4500.42027.4

75875 59783.7 -31098 13 53.85 5836.51 4069.4 3.5 2.44 1.4 ALT.T 9023 18436.5 -28209 14 35.71 644.5 3359.3 1.2 0.32 0.2

-14792 -14446 -23455 14 35.71 -1056.6 978.19 0.5 -0.63 -1.1 56582 56581.8 -23381 11 63.64 5143.8 4153.7 3.2 2.42 1.2

HVM.T 63806 36867.2 -37247 16 50 3987.88 3990.3 2 1.71 1 -54646 45354.2 -56951 19 21.05 -2876.1 1637.9 0.4 -0.96 -1.8 1E+05 130535 -37256 12 41.67 10227.5 9058.5 3.4 3.29 1.1 16849 -4905.9 -43008 13 38.46 1296.07 3565.3 1.4 0.39 0.4

-40339 -58530 -51520 16 43.75 -2521.2 2139.4 0.5 -0.78 -1.2 DBK.T 12399 5486.75 -23970 16 31.25 774.91 2177.1 1.3 0.52 0.4

-42362 -74110 -45605 19 36.84 -2229.6 1417.4 0.4 -0.93 -1.6 18461 17019.2 -57929 14 57.14 1318.65 4307.8 1.2 0.32 0.3 32439 132439 -21201 15 33.33 2162.61 3038.7 1.7 1.53 0.7

DTE.T 10581 3306.36 -20966 16 31.25 661.28 1996.4 1.3 0.5 0.3 EOA.T -52851 -78262 -67926 15 20 -3523.4 1546.5 0.2 -0.78 -2.3

96911 96911.2 -11988 11 54.55 8810.11 6380.3 5.8 8.08 1.4 HEN3. -60487 -60762 18 -3129.7 0.1

18461 -57929 14 57.14 1318.65 4307.8 0.32 0.3 LIN.T 20853 -25540 1489.48 0.82 0.5 MAN.T 16595 -8994.2 -24628 14 42.86 1185.33 3385.1MEO.T 69959 -18353 12 50 5829.95 4357.1 3.81 1.3 MUV2. -30117 69882.9 -71212 17 41.18 -1771.6 0.7 -0.42 -0.5 RWE.T 32382 38044.6 -9626 13 46.15 2490.92 2.8 3.36 1.3 SAP.T 16379 116379 -35746 15 40 1091.9 1.2 0.46 0.3 SCH.T 2700 1698.05 -23855 15 40 179.97 1.1 0.11 0.1 SIE.T 25400 125399 -20590 16 43.75 1587.47 2261 1.6 1.23 0.7 TKA.T 3898 -51496 -50242 15 40 259.88 3118.7 1.1 0.08 0.1 TUI.T 24539 124539 -46948 14 42.86 1752.81 1.4 0.52 0.4 VOW.T -12836 87164.1 -42648 16 37.5 -802.25 0.8 -0.3 -0.4

Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 13926.13 29649.34 -36561.55 14.83 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 39.77 938.84 2989.02 3317.38


136


Handelsmodell Nr.6 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr. PercWin AvgProfit StDevPr

3395.38 1.17 1740.65

8851.1 1902.41 13019.4 4.09

4275.78 0.79 2879.27 0.6

5165.72

11018.6 5.15 HEN3. -44031.9 15 0.41 -1.4

-28448.7 0.86 LIN.T -230.12 12

-23696 2471.45 1.57 1.25 -30425.7 0.88

MUV2. 400.16 -42025.9 12 33.33 8901.37 -6725.3 3271.33

-460.34 -535.08

PF P/MaxD RAR

ADS.T -4235 -9275.92 -17990.2 12 50 -352.88 1705.6 0.86 -0.24 -0.2 ALV.T 68430 135625 -34476.4 8 37.5 8553.8 10156.6 2.62 1.98 0.84 ALT.T 8709.8 5810.39 -30983.7 13 38.46 669.99 0.28 0.2 BAS.T -30504 -40438.2 -59373.1 14 42.86 -2178.8 0.45 -0.51 -1.3 BAY_5 66535 115874 -35328.9 10 40 6653.53 6573 2.7 1.88 1.01 HVM.T 104532 159835 -35717.7 10 40 10453.2 3.09 2.93 1.18 BMW.T -47304 -80242.9 -50719.2 16 31.25 -2956.5 0.36 -0.93 -1.6 CBK.T 126463 152512 -24115.2 9 55.56 14051.5 5.24 1.08 CON_. 45702 -17247.2 -49926.9 8 37.5 5712.73 13538.1 1.85 0.92 0.42 DCX.T 19924 54187.7 -29727 8 50 2490.45 5027.28 1.76 0.67 0.5 DBK.T -16300 -58636.6 -62883 13 30.77 -1253.8 -0.26 -0.3 DB1.T -28889 -29231 -39400.6 14 28.57 -2063.5 -0.73 -0.7 LHA.T -15247 -15246.7 -78956.5 11 27.27 -1386.1 6224.95 0.84 -0.19 -0.2 DPW.T -11560 -21769.5 -57616.9 12 33.33 -963.33 4554.41 0.85 -0.2 -0.2 DTE.T 29741 46715.4 -30407.5 9 44.44 3304.58 1.71 0.98 0.64 EOA.T -28479 -1813.71 -54862.4 10 40 -2847.9 2924.72 0.47 -0.52 -1 FME.T 101515 141160 -21837.1 8 62.5 12689.4 4.65 1.15

-34217 -44969 26.67 -2281.1 1685.87 -0.76 IFX.T 79233 131760 10 40 7923.34 9257.73 2.14 2.79

5379.9 -30151.8 33.33 448.32 3542.13 1.1 0.18 0.13 MAN.T 29657 21297.1 12 50 4579.72 0.54 MEO.T 63638 70550.8 10 50 6363.77 7250.85 2.84 2.09

-937.95 33.35 5240.89 1.01 0.01 0.01 RWE.T 53408 97511.4 -9991.51 6 33.33 9016.53 7.04 5.35 0.99 SAP.T -1E+05 -138427 -146248 16 18.75 4372.15 0.32 -0.74 -1.5 SCH.T 32713 72061.8 -16849.1 10 50 3957.2 2.01 1.94 0.83 SIE.T 50077 71398.4 -15123 10 60 5007.68 4455.71 3.09 3.31 1.12 TKA.T -5984 -25855.7 -33326.4 13 38.46 3576.55 0.91 -0.18 -0.1 TUI.T -4816 48439.6 -55177.2 9 33.33 8030.1 0.94 -0.09 -0.1 VOW.T -43787 -70023.6 -62553.4 14 28.57 -3127.6 2616.64 0.45 -0.7 -1.2

Kennzahlen

5182.63

NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 16904.47 25711.02 -41776.93 11.13 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 38.32 1518.37 5143.19 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 56.67 1.77 1.01 0.29 0.09

137

Anhang C: Handelsmodelle Handelsmodell Nr.6_Filter

Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF

2.4

4.4

1.6

1.6

4-38718 1923.16 0.4 -0.69 -1.6

37.534489 8 37.5

-853.77 0.910

MUV2. -12478 -12478 11 36.36

8446.834655.84

P/MaxD RAR ADS.T -7373 -687.57 -22197 10 50 -737.31 1957.53 0.7 -0.33 -0.4 ALV.T 64850 130996 -31993 8 37.5 8106.3 10344.5 2.03 0.8 ALT.T 3795 3795.29 -39564 11 36.36 345.03 4166.21 1.1 0.1 0.1 BAS.T -8045 8079.56 -27436 10 40 -804.54 2262.73 0.7 -0.29 -0.4 BAY.T 84927 134114 -16298 6 50 14154.5 9530.83 7.1 5.21 1.5 HVM.T 79914 134400 -47737 10 40 7991.41 9125.91 2.2 1.67 0.9 BMW. -36799 -42155 -52271 12 33.33 -3066.59 2924.75 0.5 -0.7 -1.1 CBK.T 1E+05 127799 -27741 9 55.56 11305.6 12274.7 3 3.67 0.9 CON_. 81475 18525.9 -23039 6 33.33 13579.2 18283.7 3.54 0.7 DCX.T 19218 53482.1 -29727 8 37.5 2402.26 5008.87 1.7 0.65 0.5 DBK.T 32642 52130.4 -24385 9 44.44 3626.92 5358.21 1.9 1.34 0.7 DB1.T -18337 -23299 -31319 12 25 -1528.04 3390.15 0.7 -0.59 -0.5 LHA.T 45556 98082.7 -47099 8 37.5 5694.52 12384.3 0.97 0.5 DPW.T -44937 -61449 -77631 12 25 -3744.75 4431.12 0.6 -0.58 -0.9 DTE.T 23628 40805.8 -29535 9 44.44 2625.32 4970.75 0.8 0.5 EOA.T 2582 29247.3 -38133 8 50 322.71 3297.8 1.1 0.07 0.1 FME.T 87189 125941 -21258 6 50 14531.5 15062.7 4.1 1 HEN3. -43009 -56073 13 30.77 -2978.27IFX.T 45556 98082.7 -47099 8 5694.52 12384.3 1.6 0.97 0.5 LIN.T 67463.9 -16981 4311.18 5649.16 2.2 2.03 0.8 MAN.T -10245 -21853 -31484 12 33.33 4474.72 -0.33 -0.2 MEO.T 51860 58772.6 -30426 50 5185.95 7332.89 2.2 1.7 0.7

-45412 -1134.37 5704.35 0.9 -0.27 -0.2 RWE.T 46543 88864.5 -12277 6 33.33 7757.22 9177.4 4.4 3.79 0.9 SAP.T -84770 -106587 -123311 12 25 -7064.13 6208.25 0.4 -0.69 -1.1 SCH.T 42060 81279.8 -20432 6 50 7010.05 3.3 2.06 0.8 SIE.T 20002 40983.1 -27692 10 40 2000.21 1.5 0.72 0.4 TKA.T 3638 3637.74 -32610 11 54.55 330.7 4508.47 1.1 0.11 0.1 TUI.T -15381 38054 -56445 9 33.33 -1709.04 7934.84 0.8 -0.27 -0.2 VOW.T -36046 -46293 -66581 12 16.67 -3003.83 3864.65 0.6 -0.54 -0.8

Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 18618.22 35890.91 -38472.82 9.40 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 37.94 1980.66 6278.19 5665.02


138


Handelsmodell Nr.6_Filter_Stops

Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR ADS.T -15562 -21349 -22415 16 43.75 -972.6 1009.9

4589.74000.4

1713.69728.7

42051823.82376.8

4397.93039.82911.91930.1

6440 7.93 -60663 995.06 0.1 -0.92 -3

0.3 LIN.T 13643.7 13 1.76 0.8

-29150 42.86 693.33 3291.5 0.33 0.2 -18353 3.39 1.3

-34297 -66286

3080.31

-134.63811.55

0.6 -0.69 -1 ALV.T 67461 61856.1 -24918 12 50 5621.7 3 2.71 1.2 ALT.T 19837 27375.7 -28810 12 41.67 1653.08 1.4 0.69 0.4 BAS.T -18879 -18532 -27541 14 35.71 -1348.5 1040.2 0.4 -0.69 -1 BAY.T 57779 106966 -16298 10 70 5777.86 4277 4.3 3.55 1.4 HVM.T 70291 170291 -30977 13 61.54 5407.02 4375.6 2.6 2.27 1.2 BMW.T -35721 64278.6 -42844 17 23.53 -2101.3 0.5 -0.83 -1 CBK.T 1E+05 1.#R -26500 11 45.45 11040.9 3.8 4.58 1.1 CON_. 22507 22507.2 -35314 11 45.45 2046.11 1.6 0.64 0.5 DCX.T -23129 -24904 -37419 14 50 -1652.1 0.5 -0.62 -1 DBK.T 14626 4974.72 -19061 14 35.71 1044.68 1.4 0.77 0.4 DB1.T -34915 -32747 -38158 17 41.18 -2053.8 1490 0.4 -0.92 -1 LHA.T 17822 24421.8 -47811 13 61.54 1370.92 1.3 0.37 0.3 DPW.T 7790 107790 -35976 15 26.67 519.36 1.1 0.22 0.2 DTE.T 10364 6968.98 -22099 14 28.57 740.27 1.3 0.47 0.3 EOA.T -31325 -26156 -46401 12 33.33 -2610.4 0.3 -0.68 -1 FME.T 95034 121332 -11988 10 60 9503.39 6.8 1.5 HEN3. -61600 -65755 18 22.22 -3370.2IFX.T 17822 24421.8 -47811 13 61.54 1370.92 4397.9 1.3 0.37

29187 -16612 38.46 2245.16 2896.4 1.9MAN.T 9707 -15882 14 1.2MEO.T 62172 65832.1 12 50 5181.02 4146.9 2.8MUV2. 65703.4 17 29.41 -2017.5 3755.3 0.7 -0.52 -1 RWE.T 33325 33324.5 -8658 11 54.55 3029.5 1590.4 5.6 3.85 1.9 SAP.T -10204 89796.3 -51815 15 33.33 -680.25 3831.6 0.9 -0.2 -0 SCH.T 33884 33883.5 -14145 11 36.36 2688.6 2.8 2.4 1.2 SIE.T 19119 119119 -21375 15 46.67 1274.63 1888.5 1.6 0.89 0.7 TKA.T -2019 -57414 -50242 15 46.67 2977 1 -0.04 -0 TUI.T 10550 3591.39 -56150 13 30.77 4925.6 1.2 0.19 0.2 VOW.T -15371 -53692 -40314 15 33.33 -1024.8 2104.1 0.7 -0.38 -0

Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades

3446.10

RAR

14621.35 29510.43 -33373.15 13.57 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 41.52 1077.74 3136.69

PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR 63.33 1.76 1.03 0.31 0.10

139

Anhang C: Handelsmodelle Handelsmodell Nr.7 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit

178.96 -876.59 952.98 -2741.05

-1757.41

8520.83

-66488 35.29 -1.36

1.47 0.73

1.98 1.51 0.66

44.44

StDevPr PF P/MaxD RAR

ADS.T 1968.6 1968.61 -21728.9 11 45.45 2280.16 1.06 0.09 0.08 ALV.T -10519 -20097 -74547.1 12 33.33 6483.75 0.91 -0.14 -0.14 ALT.T 12389 14465.9 -40795.4 13 53.85 3273.05 1.26 0.3 0.29 BAS.T -32893 -32767 -56967.4 12 41.67 2092.33 0.32 -0.58 -1.31 BAY_5 33765 100754 -46966.7 6 50 5627.43 11520.8 1.81 0.72 0.49 HVM.T 138892 193892 -27112.5 7 57.14 19841.8 14424.7 4.96 5.12 1.38 BMW.T -17574 4643.24 -28446.1 10 30 3318.72 0.66 -0.62 -0.53 CBK.T 138987 162475 -28822 8 50 17373.3 13148.5 5.72 4.82 1.32 CON_. 76688 6279.34 -14409.6 9 44.44 8238.55 4.16 5.32 1.03 DCX.T -30775 -40694 -55313.1 16 43.75 -1923.41 2522.28 0.6 -0.56 -0.76 DBK.T 49074 59838.7 -28664.8 7 42.86 7010.54 8200.44 2.64 1.71 0.85 DB1.T 3712.4 11478.8 -19249 14 57.14 265.17 2134.31 1.1 0.19 0.12 LHA.T 106970 131970 -14992 6 66.67 17828.3 10455.7 12.4 7.14 1.71 DPW.T 34497 43085.1 -37700.6 10 50 3449.68 6184.3 1.9 0.92 0.56 DTE.T -69390 -71226 -103388 13 23.08 -5337.68 4411.39 0.37 -0.67 -1.21 EOA.T -9834 6210.12 -32125.9 7 42.86 -1404.86 3930.85 0.68 -0.31 -0.36 FME.T 77505 73792.2 -35351.5 12 50 6458.73 7537.16 2.48 2.19 0.86 HEN3. -86396 -70983.8 17 -3911.08 1672.02 0.21 -0.94 -2.34 IFX.T -1E+05 -96730 -159516 14 21.43 -7972.98 5852.6 0.39 -0.7 LIN.T 20587 12263.2 -28109.4 14 42.86 1470.52 2597.48 0.57 MAN.T 26675 26674.7 -39490.9 11 27.27 2424.98 6650.34 1.42 0.68 0.36 MEO.T 62880 61131.4 -41628.5 9 44.44 6986.62 10512.3 MUV2. 14094 19228.6 -39650.5 12 58.33 1174.53 4322.39 1.23 0.36 0.27 RWE.T -23859 -23859 -32431.1 12 41.67 -1988.25 1915.47 0.42 -0.74 -1.04 SAP.T 82464 51794.2 -48590.9 14 42.86 5890.25 6667.6 2.02 1.7 0.88 SCH.T 9192.5 13587.6 -31844 15 46.67 612.83 2442.65 1.19 0.29 0.25 SIE.T -11888 -31035 -54176 13 46.15 -914.48 4982.71 0.88 -0.22 -0.18 TKA.T 56927 56926.7 -29729.3 11 45.45 5175.15 4586.73 2.42 1.91 1.13 TUI.T 97439 149975 -24048.3 9 10826.6 7052.59 5.51 4.05 1.54 VOW.T -4318 -2288.6 -26056.5 13 38.46 -332.19 3310.3 0.93 -0.17 -0.1

Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 21851.47 26578.08 -43094.53 11.23 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 43.03 1945.23 5109.07 6696.08 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 63.33 2.10 1.14 0.29 0.17

140


Handelsmodell Nr.7_Filter

Market NetPr. Res.Gew MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR

ADS.T -1E+05 -122476 -118618 7 0 -16769 2970.6 0 -0.99 -5.7 ALV.T 52549 120436 -27366 6 50 8758.21 12831 2.2 1.92 0.68 ALT.T -16677 2675.6 -20698 7 42.86 -2382.4 3060.4 0.5 -0.81 -0.8 BAS.T -30225 -16204 -43008 6 16.67 -5037.5 3401.3 0.2 -0.7 -1.5 BAY.T 71228 131813 -10146 3 66.67 23742.5 16371 54 7.02 1.45 HVM.T 38953 96153 -35795 6 50 6492.16 12122

12387

0.40.7

6.32.9

0.5

0.90

0.9

1.9 1.09 0.54 BMW.T -49030 -19791 -85334 5 20 -9806.1 0.4 -0.57 -0.8 CBK.T 146348 168196 -33031 4 75 36587.1 33428 8.3 4.43 1.09 CON_. 6666.3 19749 -27082 2 50 3333.13 9490.2 3 0.25 0.35 DCX.T -18218 20106 -31036 8 50 -2277.3 4880.1 0.6 -0.59 -0.5 DBK.T -12370 -12880 -41834 5 40 -2474.1 7152.4 0.7 -0.3 -0.4 DB1.T 5929.7 16874 -12610 5 40 1185.94 5172.6 1.3 0.47 0.23 LHA.T 46660 101522 -47079 6 33.33 7776.64 18027 1.7 0.99 0.43 DPW.T 10745 19333 -30724 6 33.33 1790.77 10210 1.2 0.35 0.18 DTE.T -11768 2911.9 -47812 5 40 -2353.5 10685 0.8 -0.25 -0.2 EOA.T 16004 31853 -10293 3 66.67 5334.55 11406 2.9 1.55 0.47 FME.T -48832 -19386 -67228 8 25 -6104 5518.7 -0.73 -1.1 HEN3. -9179 9755.1 -26706 5 20 -1835.7 5718 -0.34 -0.3 IFX.T 46660 101522 -47079 6 33.33 7776.64 18027 1.7 0.99 0.43 LIN.T 38206 87590 -10141 2 50 19103.1 37229 3.77 0.51 MAN.T 28399 79738 -21382 2 50 14199.4 40740 1.33 0.35 MEO.T -6029 -7777.5 -52187 5 40 -1205.9 14164 0.9 -0.12 -0.1 MUV2. 22300 91384 -50008 5 20 4459.91 16842 1.5 0.45 0.26 RWE.T 26676 68997 -12277 6 33.33 4445.93 7955.4 2.8 2.17 0.56 SAP.T -44353 -8620.9 -80723 6 33.33 -7392.2 12353 -0.55 -0.6 SCH.T 1863.2 42858 -28505 6 66.67 310.54 5285.8 1.1 0.07 0.06 SIE.T -3719 28477 -41244 3 33.33 -1239.6 16373 -0.09 -0.1 TKA.T 47324 94651 0 1 100 47324.2 0 0 TUI.T -39293 12622 -95255 7 28.57 -5613.3 7654.4 0.4 -0.41 -0.7 VOW.T -6491 28344 -33293 7 28.57 -927.28 8241.7 -0.19 -0.1

Kennzahlen

53.33 3.36

NetProfit ResidualGew MaxDD Trades 6431.32 39014.11 -39616.40 5.10

PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit

37.25 1261.05 10716.55 13194.49

PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 0.67 0.10 -0.17

141

Anhang C: Handelsmodelle Handelsmodell Nr.8 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD

-0.81 0.66

86800.2 18 -733.32 -0.46 28.57 36.65

2482.6 11 36.36 33.33 1069.51 1.55 1.03 9.09

9 15 16 18

5 21

15

12 13

15 18

11

RAR

ADS.T 6257.9 106258 -2640 7 28.57 893.99 1358.9 2.29 2.37 0.66 ALV.T 12336 112336 -26522 17 29.41 725.67 2185.9 1.31 0.47 0.33 ALT.T -23665 76334.9 -29108 17 17.65 -1392.1 357.04 0.1 -3.9 BAS.T 12108 112108 -4772 9 33.33 1345.31 2024.9 2.83 2.54 BAY_5 -13200 -28605 16.67 1618.8 0.67 -0.5 HVM.T 769.73 100770 -25127 21 1670 1.01 0.03 0.02 BMW. -10326 225.69 1359.9 1.17 0.24 0.17 CBK.T 19251 119251 -18642 18 1797.9 0.59 CON_. -27054 -28611 22 -1229.7 540.57 0.21 -0.95 -2.3 DCX.T 15364 115364 -4732 55.56 1707.15 1230.4 4.01 3.25 1.39 DBK.T 4390.3 104390 -6649 33.33 292.69 939.72 1.35 0.66 0.31 DB1.T 587.18 100587 -9548 25 36.7 987.22 1.03 0.06 0.04 LHA.T 12689 112689 -15897 38.89 704.95 1290.4 1.54 0.8 0.55 DPW.T 7759.5 107760 -15171 15 26.67 517.3 1243.9 1.44 0.51 0.42 DTE.T -15905 84094.9 -18698 7 28.57 -2272.2 1969.7 0.32 -0.85 -1.2 EOA.T -9526 90474.2 -9526 0 -1905.2 690.07 0 -1 -2.8 FME.T -23727 76273.4 -25061 23.81 -1129.8 650.88 0.32 -0.95 -1.7 HEN3. -2461 97538.7 -4339 10 20 -246.13 358.01 0.57 -0.57 -0.7 IFX.T 16028 18918.2 -19788 20 1068.5 2933 1.43 0.81 0.36 LIN.T 8560.4 108560 -14640 13 23.08 658.49 1267 1.65 0.58 0.52 MAN.T 1023.7 101024 -10285 14 14.29 73.12 1330.2 1.06 0.1 0.05 MEO.T 7057.3 107057 -17844 13 15.38 542.87 2428.9 1.32 0.4 0.22 MUV2. 37237 137237 -29762 41.67 3103.04 3630.2 2.31 1.25 0.85 RWE.T -5523 94477.5 -15253 30.77 -424.81 907.6 0.65 -0.36 -0.5 SAP.T 24823 124823 -32829 18 27.78 -1532.2 731.36 1.66 0.76 -2.1 SCH.T -5836 94164.1 -10695 10 40 -583.59 1099.2 0.59 -0.55 -0.5 SIE.T 5166.4 105166 -9396 33.33 344.43 1519.2 1.24 0.55 0.23 TKA.T 11013 111013 -12656 33.33 611.82 1244.2 1.55 0.87 0.49 TUI.T 20336 120336 -34706 17 23.53 1196.25 2374 1.51 0.59 0.5 VOW.T -14275 -20386 18.18 -1297.7 826.12 0.28 -0.7 -1.6

Kennzahlen

ResidualGew

P/MaxDD

NetProfit MaxDD Trades 2802.28 100955.74 -17073.75 14.17 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 26.59 74.51 1403.61 1174.48 PercProfitable PF PF-RAR RAR 66.67 1.23 0.36 0.06 -0.31

142


Handelsmodell Nr.9 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr. PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR ADS.T -43831 -48011 -57555 9 33.33 -4870.2 2560.28 0.22 -0.76 -1.9 ALV.T -11196 60994.8 -53498 8 50 -1399.4

1234.5 -7585.5 -82664 12309.6

06 -9255.9 -42994

029 16.67 15930 -132137 -1.2

DCX.T 12158.9 -32125 57.14 40 16.67

76.92 57.14 -280

64.71

57.14 63.64

41.67 60

46.67

9512.11 0.87 -0.21 -0.2 ALT.T -7326.6 -5962.1 -61618 13 46.15 -563.59 3332.85 0.88 -0.12 -0.2 BAS.T 14814 15791.2 -33714 12 41.67 2047.94 1.61 0.44 0.6 BAY_5 56495.3 6 50 -1264.3 0.89 -0.09 -0.1 HVM.T -143405 -889 -174417 7 42.86 -20487 14881.2 0.19 -0.82 -1.4 BMW.T 18752.9 9 66.67 -1028.4 3585.62 0.77 -0.22 -0.3 CBK.T -165412 -142 -181324 6 -27569 0.02 -0.91 -1.7 CON_. -89353 -112709 5 40 -17871 15165.6 0.15 -0.79

19546 13 61.54 1503.5 3300.13 1.36 0.61 0.46 DBK.T -43354 -31103 -86055 7 -6193.4 8172.39 0.43 -0.5 -0.8 DB1.T -30208 -19962 -56998 10 -3020.8 3926.46 0.42 -0.53 -0.8 LHA.T -90910 -67833 -103508 6 -15152 8541.66 0.12 -0.88 -1.8 DPW.T -26592 -19462 -68871 8 50 -3324 8790.89 0.61 -0.39 -0.4 DTE.T 69499 67960.5 -54088 13 5346.1 4625.33 2.55 1.28 1.16 EOA.T -1960 14558.6 -33369 7 4073.56 0.93 -0.06 -0.1 FME.T 36863 62496.7 -24200 10 50 3686.3 3144.72 3.36 1.52 1.17 HEN3. 49008 31116.9 -16680 17 2882.8 1537.35 3.17 2.94 1.88 IFX.T 105581 119291 -55889 14 71.43 7541.5 5876.99 2.47 1.89 1.28 LIN.T -20193 -27714 -52172 14 -1442.4 2523.22 0.68 -0.39 -0.6 MAN.T -55021 -55021 -93968 11 -5002 6811.69 0.47 -0.59 -0.7 MEO.T -88417 -88962 -130093 9 55.56 -9824.1 10717.4 0.38 -0.68 -0.9 MUV2. -35865 -28186 -68085 12 -2988.7 4345.27 0.59 -0.53 -0.7 RWE.T 40325 75854.1 -30613 10 4032.5 3180.74 2.93 1.32 1.27 SAP.T -114501 -114501 -146385 11 45.45 -10409 8079.19 0.28 -0.78 -1.3 SCH.T 16820 19706.5 -45734 15 1121.3 2732.74 1.33 0.37 0.41 SIE.T 10554 -762.87 -60771 13 53.85 811.85 5117.45 1.12 0.17 0.16 TKA.T -85432 -72715 -102258 9 44.44 -9492.4 5940.83 0.22 -0.84 -1.6 TUI.T -125424 -71209 -148509 5 20 -25085 11812.6 0.02 -0.84 -2.1 VOW.T 6662.2 8010.99 -45897 13 53.85 512.47 3338.72 1.12 0.15 0.15

Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades -27519.04 -15042.90 -75225.35 10.07 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 51.66 -2733.68 5566.84 8838.56 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 33.33 1.01 -0.01 -0.31 -0.33

143

Anhang C: Handelsmodelle Handelsmodell Nr.10 Market NetPr. Res.Gew MaxDD Tr.Nr PercWin AvgProfit

-803.54 612.9

-565.6 3.85 -2141.7 477.98 -0.91

-24762 -0.56 83205.5 -25550 -0.66

29 -437.32 75614.2 -1.74

DCX.T 60372.7 -39627

3.45 20

0

3.33 9.09 7.41

StDevPr PF P/MaxDD RAR

ADS.T -13907 -36084 -23663 20 10 -828.47 495.95 0.47 -0.59 -1.67 ALV.T 37903 31927.3 -14401 28 3.57 2.02 2.63 -1.31 ALT.T -27899 72101.5 -43556 28 7.14 -1288.9 668.55 0.48 -0.64 -1.93 BAS.T 11182 111182 -13694 27 11.11 548.16 1.32 0.82 -1.03 BAY_5 -55685 44315.1 -61405 26 0.11 -4.48 HVM.T -13787 -13787 22 4.55 -1458.6 1257.6 0.75 -1.16 BMW.T -16795 19 5.26 -883.92 869.73 0.45 -1.02 CBK.T -7678 92322.1 -30531 6.9 1523.8 0.89 -0.25 -0.29 CON_. -24386 -35498 18 16.67 -1354.8 779.66 0.36 -0.69

-39627 26 0 -1654.8 171.58 0.08 -1 -9.64 DBK.T -31412 68588.4 -35068 23 4.35 -1365.7 493.49 0.21 -0.9 -2.77 DB1.T -21305 -17994 -21465 24 4.17 -1115.7 595.62 0.42 -0.99 -1.87 LHA.T -63395 36604.8 -63395 29 -2186 452.76 0.11 -1 -4.83 DPW.T 2419.3 102419 -16937 25 -290.77 905 1.05 0.14 -0.32 DTE.T 16977 116977 -12017 23 13.04 600 1385.1 1.46 1.41 0.43 EOA.T -31491 68508.6 -32025 24 4.17 -1312.1 215.07 0.02 -0.98 -6.1 FME.T 35169 135169 -26624 25 12 1406.8 2313.5 1.86 1.32 0.61 HEN3. -25551 74448.8 -25551 32 9.38 -798.47 461.22 0.42 -1 -1.73 IFX.T 20442 120442 -38796 30 6.67 -1532 1371.7 1.24 0.53 -1.12 LIN.T -30988 -30988 -39849 33 3.03 -1161 313.08 0.33 -0.78 -3.71 MAN.T -59664 40335.8 -59664 31 3.23 -1924.7 282.23 0.03 -1 -6.82 MEO.T 4426.5 -39456 -26885 30 3.33 -984.25 866.46 1.08 0.16 -1.14 MUV2. 39010 139010 -41016 35 -1879 247.37 1.59 0.95 -7.6 RWE.T -5189 94810.8 -30768 32 6.25 -162.16 1152.6 0.89 -0.17 -0.14 SAP.T -75481 24519.5 -75481 30 -2516 594.46 0.09 -1 -4.23 SCH.T 3999.1 -32760 33 -580.63 711.94 1.08 0.12 -0.82 SIE.T 15411 -17717 -20136 27 -970.13 783.88 1.31 0.77 -1.24 TKA.T -45574 54426.3 -46332 23 4.35 -2390.9 448.28 0.24 -0.98 -5.33 TUI.T -39527 -55130 -46930 27 3.7 -1773.9 682.62 0.37 -0.84 -2.6 VOW.T 17794 117794 -17094 30 20 593.13 1121.4 1.38 1.04 0.53

Kennzahlen

MaxDD

751.00

PF-RAR

NetProfit ResidualGew Trades -14153.59 53584.13 -34049.32 26.97 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 6.80 -1065.96 897.66 PercProfitable PF P/MaxDD RAR 36.67 0.74 -0.17 -1.19 -2.50

144


Handelsmodell Nr.11

StDevPr499.79 1 949.55 422.48 0.52 -0.65

9369 324.31 1.34 0.64 -1.95-2.38

HVM.T 98772.7 23 -0.05 -18658.3 5.26 -938.3 377.01 -0.96 -28065.4 0.19 0.16

-7803.2 -22663.2

-910.52

-573.34 -902.66

939.96 -409.29

-1035.3 -1706.9

-498.83 -460.36 -1887.3 -746.03 -138.39

1135.14

Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr. PercWin AvgProfit PF P/MaxDD RARADS.T 55.5 -22122 -10063.5 20 20 -130.37 0.01 -0.26ALV.T 10944 4968.52 -13991.2 28 17.86 390.86 1.3 0.78 0.41 ALT.T -20929 79070.9 -32422.7 30 20 -970.64 -2.3 BAS.T 109369 -14695.7 27 22.22 -632.74 BAY_5 -35821 64179.1 -46257.1 27 11.11 -1326.7 557.1 0.31 -0.77

-1227.3 -27215.3 13.04 -53.36 1399.9 0.97 -0.04BMW.T -17828 82172.2 19 0.21 -2.49CBK.T 5417.2 105417 31 25.81 174.75 1092 1.09 CON_. 92196.8 20 25 -390.16 1004.1 0.78 -0.34 -0.39DCX.T -38070 61930 -39383.2 26 3.85 -1464.2 184.13 0.03 -0.97 -7.95DBK.T -6123 93877 -16054.3 23 17.39 -266.22 747 0.81 -0.38 -0.36DB1.T -22763 -18605 -23127.4 25 16 315.95 0.23 -0.98 -2.88LHA.T -40048 59952 -45141.4 29 13.79 -1381 674.5 0.32 -0.89 -2.05DPW.T -5218.3 94781.7 -22104.7 26 15.38 718.01 0.87 -0.24 -0.8 DTE.T -20761 79238.9 -20761.1 23 17.39 442.29 0.35 -1 -2.04EOA.T -21077 78922.8 -25875.1 24 12.5 -878.22 336 0.23 -0.81 -2.61FME.T 23499 123499 -12069.6 25 28 1219.7 1.92 1.95 0.77 HEN3. -13507 -16138.1 33 18.18 454.78 0.64 -0.84 -0.9 IFX.T 15146 115146 -37653.2 30 6.67 -1708.6 963.58 1.19 0.4 -1.77LIN.T -29887 70113.2 -37148.1 34 8.82 311.76 0.33 -0.8 -3.32MAN.T -52914 47086.5 -55484.8 31 6.45 302.31 0.08 -0.95 -5.65MEO.T 4883.9 104884 -19181.6 31 19.35 -937.75 351.43 1.11 0.25 -2.67MUV2. 6916.4 106916 -40457.3 35 5.71 1410.9 1.11 0.17 -0.35RWE.T -14731 85268.6 -25970.6 32 15.63 540.4 0.63 -0.57 -0.85SAP.T -56618 43382.2 -56617.8 30 6.67 548.1 0.17 -1 -3.44SCH.T -10545 89455.1 -28155.4 34 20.59 441.69 0.76 -0.37 -1.69SIE.T -4013.2 95986.8 -22296 29 17.24 838.26 0.9 -0.18 -0.17TKA.T -31420 68580.4 -34215.2 25 16 -1633.4 519.41 0.41 -0.92 -3.14TUI.T -14678 85322.5 -38536.4 31 16.13 -473.47 1063.4 0.74 -0.38 -0.45VOW.T 35189 135189 -13788.3 31 29.03 994.4 2.01 2.55 1.14

Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades -11818.66 77067.26 -28139.73 27.73 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 15.62 -668.07 669.69 736.55 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 30.00 0.75 -0.24 -0.91 -1.68

145

Anhang C: Handelsmodelle Handelsmodell Nr.12 Market NetPr. Res.Gew. MaxDD Tr.Nr. PercWin AvgProfit StDevPr PF P/MaxDD RAR

ADS.T -6709.85 93290.1 -7113.95 4 25 -1677.5 1145.1 0.06 -0.94 -1.46 ALV.T 709.51 64892 -24955.8 10 20 70.95 3036.3 1.03 0.03 0.02 ALT.T 21193.5 121194 -6136.76 10 50 2119.4 1399.9 3.66 3.45 1.51 BAS.T -13502.2 -13502.2 572.94

HVM.T 0.54

-2.14 CON_. -6901.64

811.15

2118.8 2842.5

86497.8 6 0 -2250.4 0 -1 -3.93 BAY_5 -7986.29 92013.7 -17635 10 30 -798.63 1209.1 0.55 -0.45 -0.66

23348.3 123348 -16702.7 7 42.86 3335.5 6184 2.12 1.4 BMW. -14917.4 85082.6 -20741.1 9 11.11 -1657.5 1893.1 0.43 -0.72 -0.88 CBK.T -13674.6 86325.4 -16110.6 4 0 -3418.7 1599 0 -0.85

93098.4 -15156.6 14 35.71 -492.97 774.66 0.63 -0.46 -0.64 DCX.T -33374.4 66625.6 -33966 10 10 -3337.4 660.44 0.02 -0.98 -5.05 DBK.T 20544.3 -12530.2 11 27.27 1867.7 2539.2 2.15 1.64 0.74 DB1.T -22516.3 77483.7 -23390 17 17.65 -1620.2 713.4 0.37 -0.96 -2.27 LHA.T 8528.7 108529 -2817.52 4 50 2132.2 3111.5 3.59 3.03 0.69 DPW.T 6203.48 106203 -8583.7 5 40 1240.7 3815.6 1.72 0.72 0.33 DTE.T -20696.7 79303.3 -20696.7 10 20 -2069.7 0.15 -1 -2.55 EOA.T -11865.5 88134.5 -12331.7 7 28.57 -1695.1 645.67 0.05 -0.96 -2.63 FME.T 13339.3 113339 -2691 4 75 3334.8 2584.5 30.8 4.96 1.29 HEN3. -21759.7 78240.3 -21759.7 13 7.69 -1673.8 483.26 0.07 -1 -3.46 IFX.T -11960.8 88039.2 -22010.3 6 33.33 -1993.5 2543.3 0.46 -0.54 -0.78 LIN.T 12622.6 38241 -5569.48 5 40 2524.5 3380.3 3.51 2.27 0.75 MAN.T -21106 -32999 -23067.5 6 16.67 -3517.7 1164.1 0.02 -0.91 -3.02 MEO.T -24260.4 -30143 -30098.2 12 25 -2021.7 1147.2 0.27 -0.81 -1.76 MUV2. 27084.9 127085 -7301.6 7 57.14 3869.3 3718.1 3.47 3.71 1.04 RWE.T -11048 88952 -11048 6 0 -1841.3 502.06 0 -1 -3.67 SAP.T 13912.6 113913 -9916.7 9 33.33 1545.8 2731.3 1.98 1.4 0.57 SCH.T 19440 -14465.8 11 36.36 1767.3 2262.9 2.19 1.34 0.78 SIE.T 16718.9 116719 -6719.51 4 25 4179.7 7456.3 3.49 2.49 0.56 TKA.T -17494.3 82505.8 -17494.3 6 0 -2915.7 510.2 0 -1 -5.71 TUI.T -8759.5 91240.5 -11102.3 4 25 -2189.9 0.04 -0.79 -1.03 VOW.T -502.32 99497.7 -19800.2 8 25 -62.79 0.97 -0.03 -0.02

Kennzahlen NetProfit ResidualGew MaxDD Trades -2846.33 83808.99 -15180.50 7.97 PercWin AvgProfit StDevProfit PFStDevProfit 25.94 -378.31 1861.94 2370.33 PercProfitable PF P/MaxDD PF-RAR RAR 40.00 2.13 0.40 -0.16 -1.09

146


C.2 TradestationTM-Quellcodes der Handelsmodelle Handelsmodell Nr.1 Inputs: FastLength(5), SlowLength(34), Price(C); vars: FastMA(0), SlowMA(0); FastMA = Average(Price,FastLength); SlowMA = Average(Price,SlowLength); Condition1 = FastMA crosses over SlowMA; Condition2 = FastMA crosses under SlowMA; If Condition1 then buy on close; If Condition2 then sell on close; Handelsmodell Nr.2

Analog zum Handelsmodell Nr.1, die Inputs FastLength und SlowLength werden auf 9 bzw. 21 gesetzt. Handelsmodell Nr.3 Inputs: FastMovAvg(12), SlowMovAvg(26), MACDMovAvg(9); If CurrentBar > 2 AND MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg) Crosses Above XAverage(MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg), MACDMovAvg)[1] Then Buy ("MACDlong") This Bar on Close; If CurrentBar > 2 AND MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg) Crosses Below XAverage(MACD(Close, FastMovAvg, SlowMovAvg), MACDMovAvg)[1] Then Sell ("MACDshort") This Bar on Close; Handelsmodell Nr.4 Inputs: Strength(3), Length(30); Variables: SWH(0), SXPrice(0), SWLo(0), SLoPrice(0); SWH = SwingHigh(1, High, Strength, Length); If SWH <> -1 Then SXPrice = SWH; If SXPrice <> 0 then begin if close > SXPrice then buy on close; end;

147

Anhang C: Handelsmodelle SWLo = SwingLow(1,Low,Strength, Length); If SWLo <> -1 then

Inputs: Strength(3), Length(30), MAs(5), MAm(13), MAl(34);

If SLoPrice <> 0 then begin

SLoPrice = SWLo; If SLoPrice <> 0 then begin if close < SLoPrice then sell on close; end; Handelsmodell Nr.5

Analog zum Handelsmodell Nr.4, der Input Strength wird auf 3 gesetzt. Handelsmodell Nr.5_Filter

Variables: SWH(0), SXPrice(0), SWLo(0), SLoPrice(0), longstoploss(0), shortstoploss(0); SWH = SwingHigh(1, High, Strength, Length); If SWH <> -1 Then SXPrice = SWH; if marketposition <=0 then begin If SXPrice <> 0 then begin if close > SXPrice and average(C,MAs) > average(C,MAm) and average(C,MAs) > average(C,MAl) then buy on close; end; end; SWLo = SwingLow(1,Low,Strength, Length); If SWLo <> -1 then SLoPrice = SWLo; if marketposition >=0 then begin

if close < SLoPrice and average(c,MAs) < average(C,MAm) and average(c,MAs) < average(C,MAl) then sell on close; end; end;

148


Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops Inputs: Strength(3), Length(30), MAs(5), MAm(13), MAl(34); Variables: SWH(0), SXPrice(0), SWLo(0), SLoPrice(0), longtrailing(0), shorttrailing(0), longstoploss(0), shortstoploss(0); SWH = SwingHigh(1, High, Strength, Length); If SWH <> -1 Then SXPrice = SWH; if marketposition <=0 then begin If SXPrice <> 0 then begin if close > SXPrice and average(C,MAs) > average(C,MAm) and average(C,MAs) > average(C,MAl) then buy on close; end; end; SWLo = SwingLow(1,Low,Strength, Length); If SWLo <> -1 then SLoPrice = SWLo; if marketposition >=0 then begin If SLoPrice <> 0 then begin if close < SLoPrice and average(c,MAs) < average(C,MAm) and average(c,MAs) < average(C,MAl) then sell on close; end; end; Stops longtrailing = SLoPrice; shorttrailing = SXPrice ; if C < longtrailing then exitlong ("SW_TR_L")on close stop ; if C > shorttrailing then exitshort ("SW_TR_S")on close stop ; exitlong ("trailingL") on lowest(l,13) stop; exitshort ("trailingS")on highest(h,13) stop; Handelsmodell Nr.6 Analog zum Handelsmodell Nr.4, der Input Strength wird auf 4 gesetzt.

149

Anhang C: Handelsmodelle Handelsmodell Nr.6_Filter

Analog zum Handelsmodell Nr.5_Filter, der Input Strength wird auf 4 gesetzt.

If C > BBTop and

Handelsmodell Nr.8

Handelsmodell Nr.6_Filter_Stops

Analog zum Handelsmodell Nr.5_Filter_Stops, der Input Strength wird auf 4 gesetzt. Handelsmodell Nr.7 Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1), versch(0); Variables: BBTop(0), BBBot(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp)[versch]; If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then buy("BBS") on close ; BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp)[versch]; If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw then sell("BBL") on close; Handelsmodell Nr.7_Filter Inputs: Length(9), StdDevUp(2), sMA(5), mMA(13), lMA(34); Variables: BBTop(0), BBBot(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp);

average(c,sMA) > average(c,mMA) and average(c,sMA) > average(c,lMA) Then buy("BBS") on close ; BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp); If C < BBBot and average(c,sMA) < average(c,mMA) and average(c,sMA) < average(c,lMA) then sell("BBL") on close;

Inputs: lengthRSI(14), overbought(70), oversold(30), trailinglength(3) ; vars: longstoploss(0), shortstoploss(0); condition1 = rsi(c,lengthRSI) crosses over oversold ; condition2 = rsi(c,lengthRSI) crosses under overbought ;

150


if condition1 then begin buy this bar on close; longstoploss = L; end; if condition2 then begin sell this bar on close; shortstoploss= H; end; exitlong at longstoploss stop; exitshort at shortstoploss stop; exitlong at lowest((l),trailinglength) stop; exitshort at highest((h),trailinglength) stop; Handelsmodell Nr.9

Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1); Variables: BBTop(0), BBBot(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp); If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then Sell("BBS") next bar at bbtop stop ; BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp); If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw Then Buy("BBL") next bar at BBBot stop;

Handelsmodell Nr.10 Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1) ; Variables: BBTop(0), BBBot(0),LongStopLoss(0), ShortStopLoss(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp); If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then begin Sell("BBS") next bar at bbtop stop ; shortstoploss = H; end;

BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp); If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw Then begin Buy("BBL") next bar at BBBot stop; longstoploss = L; end;

151

Anhang C: Handelsmodelle exitlong at longstoploss stop; exitshort at shortstoploss stop; Handelsmodell Nr.11

Handelsmodell Nr.12

condition2 = 2*(C-o) <= o-l; lunte

Inputs: Length(9), StdDevUp(2), BarsOver(1), BarsBlw(1), trailingOnLo(L) , TrailingOnSh(H) ; Variables: BBTop(0), BBBot(0),LongStopLoss(0), ShortStopLoss(0), trailing(0); BBTop = BollingerBand(Close, Length, StdDevUp); If CountIF(close > BBTop, BarsOver) = BarsOver Then begin Sell("BBS") next bar at bbtop stop ; shortstoploss = H; end; BBBot = BollingerBand(Close, Length, -StdDevUp); If CountIF(close < BBBot, BarsBlw) = BarsBlw Then begin Buy("BBL") next bar at BBBot stop; longstoploss = L; end; exitlong at longstoploss stop; exitshort at shortstoploss stop; exitlong at lowest(trailingonlo,3) stop; exitshort at highest(trailingonsh,3) stop;

Inputs: trendbest(3), trailing(3); vars: longstlo(0), shortstlo(0); hammer condition1 = lowest(l,trendbest)=L; downtrend if o > c then begin condition2 = 2*(o-c)<= c-l; lunte condition3 = o-c >= 2*(h-o); docht end; if o<=c then begin

condition3 = c-o >= 2*(h-c); docht end; shooting star condition4 = highest(h,trendbest) = H; if o>c then begin

152


condition5 = 2*(o-c)<= H-O; condition6 = o-c >= 2*(c-l); end; if o<=c then begin condition5 = 2*(c-o)<= H-C; condition6 = c-o >= 2*(o-L); end; condition7 = condition1 and condition2 and condition3; hammer!! condition8 = condition4 and condition5 and condition6; shooting star!! if condition7 then begin buy next bar on maxlist(o,c) stop; longstlo = L; end; if condition8 then begin sell next bar on minlist(o,c) stop; shortstlo = H; end; exitlong at longstlo stop; exitshort at shortstlo stop; exitlong at lowest(l, trailing) stop; exitshort at highest(h, trailing) stop;

153

Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle Es wurden zwei Funktionen in R programmiert, die ihrerseits mehrere Funktionen beinhalten, um die täglichen Wertpapiergewichtungen der Portfolio-Management-Modelle zu berechnen. Jede der inneren Funktionen kann auch selbstständig in R eingegeben werden, wenn die Betrachtung der Zwischenschritte erwünscht ist. Die Funktion B.L._Portfolio_Modell ermittelt die Wertpapiergewichtungen des Portfolio-Management-Modells nach Black und Litterman für jede der 15 Aktien an jedem Tag des Jahres 2004. Die Funktion für das Vergleichsportfolio nach Marko-witz trägt die Bezeichnung P.S._Portfolio_Modell . Anhand der ermittelten Wertpapiergewichtungen und der Wertpapierrenditen kann dann die Performance des Portfolios berechnet werden. Die Inputs der Funktionen sind (siehe auch im Abschnitt 5.3.3.1): from = 1 [Erster Börsentag des Jahres 2004] to = 257 [Letzter Börsentag des Jahres 2004] Leerverkäufe = FALSE

Risikoaversion = 2.5 TageCovBerechnung = 100 Skalar (nur für B.L.) = 0.3 [Für das erste Black-Litterman-Portfolio] 2 [Für das aggressive B.-L.-Portfolio] LongSignalRendite = 0.0032216 ShortSignalRendite = -0.00441936 LongSignalVarianz

(nur für B.L.) = 0.0283 ShortSignalVarianz

(nur für B.L.) = 0.029433 Es liegen folgende Datenmatrizen vor, die für die Berechnungen der Portfolioge-wichte herangezogen werden:

DAX15.CLOSE.020102_301204: 759×15 Matrix der Schlusskurse für die 15 Aktien des Portfolios über den Zeitraum vom 02.01.02 bis zum 30.12.04.

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Anhang D: Systematische Portfolio-Management-Modelle

DAX15.LOGRENDITEN.CLOSE.020102_301204:

759×15 Matrix der aktuellen Positionierung des Handelsmodells (wobei eins für eine Long-Positionierung, minus eins für eine Short- Positionierung und null für keine Position im Markt stehen).

6

759×15 Matrix der log-Renditen für die 15 Aktien des Portfolios über den Zeitraum vom 02.01.02 bis zum 30.12.04.

DAX15.SHARESinMARKET_2004: 257×15 Matrix der aktuellen Anzahl der Aktien auf dem Markt für die 15 Aktien des Portfolios über das Jahr 2004.

DAX15.Strat_5FilterStop_AktuelleMP_020102_301204:

In D.1 befindet sich der Quellcode der Funktion B.L._Portfolio_Modell. Der Quellcode der Funktion P.S._Portfolio_Modell ist im Abschnitt D.2. Die Datenmatrizen sowie die unter D.1 und D.2 aufgeführten Funktionen können unter der Internetseite www.DA-PortfolioModelle.de.vu im ASCII-Format herunter-geladen werden.

Die Abbildung D.2 verdeutlicht den Aufbau und die Informationsflüsse der Funktion B.L._Portfolio_Modell. Der Aufbau der Funktion P.S._Portfolio_Modell ist in der Abbildung D.3 veranschaulicht. Die Informationsflüsse der Abbildungen D.1 und D.2 sind folgendermaßen zu interpretieren:

Abbildung D.1 : Legende zur Interpretation der Funktionsdiagramme

a- Ergebnis-weitergabe

Datenwei-tergabe

Inputweitergbe

Funktionen Datenmatrizen

155


Abbildung D.17: Aufbau der Funktion B.L._Portfolio_Modell( )

156


Abbildung 18: Aufbau der Funktion P.S._Portfolio_Modell( )

157


D.1 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach BLACK-LITTERMAN B.L._Portfolio_Modell <- function(from,to,Leerverkäufe=FALSE, Risikoaversion,TageCovBerechnung,Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite, LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz) B.L._Modul_Cov <- function(for_the_day,TageCovBerechnung) B.L._letztexxRendite <- function(for_the_day,TageCovBerechnung) ##TEXT_XXREND # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 lastRenditeDay <- datenumber - 1 firstRenditeDay <- lastRenditeDay - TageCovBerechnung + 1 RenditeMatrix <- matrix(ncol=15,

k <- k + 1

nrow=lastRenditeDay-firstRenditeDay+1) i <- firstRenditeDay - 1 j <- 0 while(i<lastRenditeDay) i <- i + 1 j <- j +1 k <- 0 while(k<15)

RenditeMatrix[j,k] <- DAX15.LOGRENDITEN.CLOSE.020102_301204[i,k] B.L._Modul_letzteXXRendite <- RenditeMatrix ## TEXT COV rendmatrix <- B.L._Modul_letzteXXRendite(for_the_day,TageCovBerechnung) covarianzmatrix <- cov(rendmatrix) B.L._Modul_Cov <- covarianzmatrix B.L._Modul_BlackLittermanFormel <- function(for_the_day,Risikoaversion, TageCovBerechnung, Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite,

158


LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz) B.L._Modul_Pmatrix <- function(for_the_day)

j <- 0

##TEXT_PMAT # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 Signalvector <- STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[datenumber,] AnzahlSignale <- sum(abs(Signalvector)) # nun wird gesucht, für welche aktien signale vorliegen SignalLocationMatrix <- matrix(nrow=1,ncol= AnzahlSignale) i <- 0 j <- 0 while(i<15) i <- i + 1 if(Signalvector[i]!=0) j <- j + 1 SignalLocationMatrix[j] = i # jetzt kann die Pmatrix zusammengestellt werden Pmatrix <- matrix(0,ncol=15, nrow=AnzahlSignale) i <- 0 while(i<AnzahlSignale) i <- i + 1 Pmatrix[i,SignalLocationMatrix[i]] <- Signalvector[1,SignalLocationMatrix[i]] B.L._Modul_Pmatrix <- Pmatrix B.L.OmegaMat <- function(for_the_day,LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz) ##TEXT_OMEGAMAT # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 Signalvector <- STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[datenumber,] AnzahlSignale <- sum(abs(Signalvector)) Omegamatrix1 <- matrix(ncol=AnzahlSignale,nrow=AnzahlSignale) Omegamatrix <- matrix(0,ncol=AnzahlSignale,nrow=AnzahlSignale) i <- 0

while(i<15) i <- i + 1 if(Signalvector[1,i] != 0) j <- j + 1

159


Omegamatrix1[j,j] <- Signalvector[1,i] i <- 0 while(i<AnzahlSignale) i <- i + 1

j <- j + 1

LongSignalRendite

if(Omegamatrix1[i,i]==1) Omegamatrix[i,i] <- Omegamatrix1[i,i]* LongSignalVarianz else Omegamatrix[i,i] <- Omegamatrix1[i,i]* (-ShortSignalVarianz) B.L._Modul_Omegamatrix <- Omegamatrix B.L._Vmat <- function(for_the_day,LongSignalRendite, ShortSignalRendite) ##TEXT_VMAT # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 Signalvector <- STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[datenumber,] AnzahlSignale <- sum(abs(Signalvector)) Vmatrix1 <- matrix(ncol=1,nrow=AnzahlSignale) Vmatrix <- matrix(ncol=1,nrow=AnzahlSignale) i <- 0 j <- 0 while(i<15) i <- i + 1 if(Signalvector[1,i] != 0)

Vmatrix1[j,1] <- Signalvector[1,i] i <- 0 while(i<AnzahlSignale) i <- i + 1 if(Vmatrix1[i,1]==1) Vmatrix[i,1] <- Vmatrix1[i,1]*

160


else Vmatrix[i,1] <- Vmatrix1[i,1]*ShortSignalRendite B.L._Modul_Vmatrix <- Vmatrix B.L._ImpRend <- function(for_the_day,TageCovBerechnung, Risikoaversion) # zuerst wird die function der marktkap.gerechten #Gewichte spezifiziert !! B.L._Wgg <- function(for_the_day) ##TEXT_WGG # die gewichte basieren auf die heutige sharenumber #und die gestrigen schlkusskurse # tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502

SharesInMarket <- DAX15.SHARESinMARKET_2004[for_the_day,] relevantClosings <- DAX15.CLOSE.020102_301204[datenumber-1,] kapitalisierungen <- SharesInMarket*relevantClosings gesamtkapitalisierung <- sum(kapitalisierungen) weightsGG <- kapitalisierungen/gesamtkapitalisierung B.L._Modul_Wgg <- weightsGG

##TEXT_IMPREND # die impliziten Renditen basierend auf #TageCovBerechnung-Tage CovarianzMatrix, #FÜR den eingegebenen Tag, # Risikoaversion muss hier eingegeben werden !! ImpliziteRenditen <- Risikoaversion* B.L._Modul_Cov(for_the_day, TageCovBerechnung) %*%t(B.L._Modul_Wgg(for_the_day)) B.L._Modul_ImpliziteRendite <- ImpliziteRenditen

##TEXT_B.L._FORMEL A <- solve(Skalar * B.L._Modul_Cov(for_the_day,TageCovBerechnung)) B <- t(B.L._Modul_Pmatrix(for_the_day)) %*% solve(B.L._Modul_Omegamatrix(for_the_day, LongSignalVarianz,ShortSignalVarianz)) %*%

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B.L._Modul_Pmatrix(for_the_day) C <- solve(A+B) D <- A %*% B.L._Modul_ImpliziteRendite(for_the_day, TageCovBerechnung,Risikoaversion) E <- t(B.L._Modul_Pmatrix(for_the_day)) %*% solve(B.L._Modul_Omegamatrix(for_the_day, LongSignalVarianz,ShortSignalVarianz)) %*% B.L._Modul_Vmatrix(for_the_day,LongSignalRendite, ShortSignalRendite) F <- D+E B.L._Modul_BlackLittermanFormel <- C %*% F B.L.PortfolioOptim <- function(Leerverkäufe,for_the_day,Risikoaversion, TageCovBerechnung,Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite, LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz) ##TEXT_PORT.OPTIM BlackLittermanRenditen <- B.L._Modul_BlackLittermanFormel( for_the_day, Risikoaversion,TageCovBerechnung,Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite, LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz)

if(Leerverkäufe==FALSE)

dvec <- t((1/Risikoaversion)*BlackLittermanRenditen) Dmat <- B.L._Modul_Cov(for_the_day,TageCovBerechnung) # zuerst der Fall erlaubter Leerverkäufe------ if(Leerverkäufe==TRUE) Amat <- matrix(1,nrow=15,ncol=1) bvec <- 1 # jetzt der Fall ohne Leerverkäufe------------

Amat.a <- matrix(0,ncol=15,nrow=15) diag(Amat.a) <- 1 Amat.b <- matrix(1,nrow=15,ncol=1) Amat <- matrix(c(Amat.b,Amat.a),nrow=15) bvec.a <- 1 bvec.b <- rep(0,15) bvec <- c(bvec.a,bvec.b) PortfolioOptimierung <- solve.QP(Dmat=Dmat,dvec=dvec, Amat=Amat,bvec=bvec,meq=1) B.L._Modul_PortfolioOptim <- PortfolioOptimierung

162


##TEXT_B.L._PORTFOLIO # letzter berechnungstag!! nrowPortfolio <- to ncolPortfolio <- 15 PORTFOLIO.weights.matrix <- matrix(nrow=nrowPortfolio - from + 1, ncol=ncolPortfolio) # das ist ein tag vor berechnungsanfang!!! i <- from - 1 k <- 0 while(i<nrowPortfolio) k <- k + 1 i <- i + 1 for_the_day <- i B.L.Gewichte <- B.L._Modul_PortfolioOptim(Leerverkäufe=FALSE, for_the_day, Risikoaversion,TageCovBerechnung,Skalar, LongSignalRendite, ShortSignalRendite,

LongSignalVarianz, ShortSignalVarianz) j <- 0 while(j<ncolPortfolio) j <- j + 1 PORTFOLIO.weights.matrix[k,j] <- B.L.Gewichte$solution[j] B.L._Portfolio_Modell <- PORTFOLIO.weights.matrix

163


D.2 R-Quellcode der Funktion des Portfolio-Management-Modells nach MARKOWITZ

Risikoaversion,TageCovBerechnung,

# die letzten TageCovBerechnung Renditen

i <- firstRenditeDay - 1

i <- i + 1

k <- 0

RenditeMatrix[j,k]<- DAX15.LOGRENDITEN.CLOSE.020102_301204[i,k]

# die cov-Matrix basiert auf die letzten

P.S._Portfolio_Modell <- function(from,to,Leerverkäufe=FALSE,

LongSignalRendite,ShortSignalRendite)

P.S._Modul_letztexxRendite <- function(for_the_day,TageCovBerechnung) # TEXT LETZTE XX RENDITE

# tag von 2004 wird in datenumber umgewandelt datenumber <- for_the_day + 502 lastRenditeDay <- datenumber - 1 firstRenditeDay <- lastRenditeDay - TageCovBerechnung + 1 RenditeMatrix <- matrix(ncol=15,nrow=lastRenditeDay-firstRenditeDay+1)

j <- 0

while(i<lastRenditeDay)

j <- j +1

while(k<15) k <- k + 1

P.S._Modul_letzteXXRendite <- RenditeMatrix

P.S._Modul_Cov <- function(for_the_day,TageCovBerechnung)

#TEXT COV

#TageCovBerechnung Renditen, berechnet im #Modul B.L._Modul_letzteXXRendite rendmatrix <- B.L._Modul_letzteXXRendite(for_the_day,TageCovBerechnung) covarianzmatrix <- cov(rendmatrix) P.S._Modul_Cov <- covarianzmatrix

P.S.PortfolioOptim_withSignals <- function(Leerverkäufe,

164


for_the_day,Risikoaversion, TageCovBerechnung,LongSignalRendite, ShortSignalRendite) # TEXT POPTIM RendMat <- P.S._Modul_letzteXXRendite(for_the_day,TageCovBerechnung)

mean(RendMat[,2]),mean(RendMat[,3]),mean(RendMat[,4]), mean(RendMat[,5]),mean(RendMat[,6]),mean(RendMat[,7]),

i <- 0

if(Leerverkäufe==FALSE)

HistorischeRenditen <- matrix(c(mean(RendMat[,1]),

mean(RendMat[,8]),mean(RendMat[,9]),mean(RendMat[,10]), mean(RendMat[,11]),mean(RendMat[,12]),mean(RendMat[,13]), mean(RendMat[,14]),mean(RendMat[,15])),ncol=15) AlleSignale <- STRAT_5FilterStop_AktuelleMP_alleDatum_DAX15[for_the_day + 502,] LongSignale <- MinusOneToNull(AlleSignale) ShortSignale <- PlusOneToNull(AlleSignale) LongSignalPrognosen <- LongSignale*LongSignalRendite ShortSignalPrognosen <- ShortSignale*-ShortSignalRendite SignalRenditen <- LongSignalPrognosen+ShortSignalPrognosen # GemischteRenditen-Berechnung: GemischteRenditen <- matrix(nrow=1,ncol=15)

while(i<15) i <- i + 1 if(SignalRenditen[1,i]!=0) GemischteRenditen[1,i] <- (SignalRenditen[1,i]+HistorischeRenditen[1,i])/2 else GemischteRenditen[1,i] <- HistorischeRenditen[1,i]

dvec <- t((1/Risikoaversion)*GemischteRenditen) Dmat <- P.S._Modul_Cov(for_the_day,TageCovBerechnung) # zuerst der Fall erlaubter Leerverkäufe------- if(Leerverkäufe==TRUE) Amat <- matrix(1,nrow=15,ncol=1) bvec <- 1 # jetzt der Fall ohne Leerverkäufe-------

Amat.a <- matrix(0,ncol=15,nrow=15) diag(Amat.a) <- 1 Amat.b <- matrix(1,nrow=15,ncol=1) Amat <- matrix(c(Amat.b,Amat.a),nrow=15) bvec.a <- 1 bvec.b <- rep(0,15) bvec <- c(bvec.a,bvec.b)

165


PortfolioOptimierung <- solve.QP(Dmat=Dmat,dvec=dvec,Amat=Amat,bvec=bvec,meq=1) P.S._Modul_PortfolioOptim_withSignals <- PortfolioOptimierung #TEXT PORTFOLIOMODELL # letzter berechnungstag!! nrowPortfolio <- to ncolPortfolio <- 15 PORTFOLIO.weights.matrix <- matrix(nrow=nrowPortfolio - from + 1, ncol=ncolPortfolio) # das ist ein tag vor berechnungsanfang!!!

j <- 0

i <- from - 1 k <- 0 while(i<nrowPortfolio) k <- k + 1 i <- i + 1 for_the_day <- i P.S.Gewichte <- P.S._Modul_PortfolioOptim_withSignals(Leerverkäufe=FALSE, for_the_day,Risikoaversion,TageCovBerechnung, LongSignalRendite,ShortSignalRendite)

while(j<ncolPortfolio) j <- j + 1 PORTFOLIO.weights.matrix[k,j] <- P.S.Gewichte$solution[j] P.S._Portfolio_Modell <- PORTFOLIO.weights.matrix

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BlackLittermanPortfolioManagement