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Universitat Ulm
Fakultat fur Mathematik und Wirtschaftswissenschaften
CFD-Berechnungen
mit uberlappenden Gittern
in Bezug auf den
Voith-Schneider-Propeller
Diplomarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Wirtschaftsmathematiker
an der Fakultat fur Mathematik und Wirtschaftswissenschaften der
Universitat Ulm
vorgelegt von
Andreas Helbrich
am 12. November 2008
Gutachter
Prof. Dr. Karsten Urban
Prof. Dr. Stefan Funken
Universitat Ulm
Fakultat fur Mathematik und Wirtschaftswissenschaften
CFD-Berechnungen
mit uberlappenden Gittern
in Bezug auf den
Voith-Schneider-Propeller
Diplomarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Wirtschaftsmathematiker
an der Fakultat fur Mathematik und Wirtschaftswissenschaften der
Universitat Ulm
vorgelegt von
Andreas Helbrich
am 12. November 2008
Gutachter
Prof. Dr. Karsten Urban
Prof. Dr. Stefan Funken
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis i
Abbildungsverzeichnis vi
Tabellenverzeichnis x
Abkurzungsverzeichnis xi
1 Einleitung 1
2 Der Voith-Schneider-Propeller 4
2.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Numerische Stromungsmechanik 8
3.1 Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.1 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.2 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3 Universelle Transportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.4 Randbedingungen und Anfangswerte . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Finite Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.1 Begriffe der Konvergenztheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
i
INHALTSVERZEICHNIS ii
3.3 Finite Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4.1 Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4.2 Ritz-Galerkin-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.3 Zusammengesetzte, stuckweise lineare Basisfunktionen . . . . 21
3.5 FV-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5.1 Approximation von Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5.2 Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5.3 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5.4 Gradientenberechung im Zellmittelpunkt . . . . . . . . . . . . 27
3.5.5 Quellterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.6 Behandlung der Druckgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.7 Zeitintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5.8 Resultierende algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 30
3.5.9 Druckberechnung mit dem SIMPLE-Algorithmus . . . . . . . 31
3.5.10 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 Turbulenzmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.1 RANSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6.2 k- ε -Turbulenzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7 Losen des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.1 Sequentielles Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.2 Unterrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.3 LGS-Loser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.4 Losungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
INHALTSVERZEICHNIS iii
4 Gebietszerlegungsverfahren 41
4.1 Zerlegung in Teilprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Uberlappende Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Das alternierende Schwarz-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Additives Schwarz-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Gebietszerlegung ohne Uberlappung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Das Overlapping Grid Verfahren fur Finite Volumen mit bewegten
Gittern 51
5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Overlapping Grid Methodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2.1 Zellfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.2 Bestimmung inaktiver Zellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.3 Spenderzellensuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.4 Interpolationsschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.1 Behandlung inaktiver Zellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.2 Starke Koppelung der Teillosungen . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.3 Korrektur der Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.4 Zellwerte an Overlap-Grenzflachen . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Modellierung bewegter Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4.1 ALE-Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4.2 Geometrieerhaltungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4.3 Anderungen in der Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Aktuelle OLG-Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.1 Tau (DLR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.2 Chimera Grid Tools (NASA, Air Force) . . . . . . . . . . . . . 68
INHALTSVERZEICHNIS iv
5.5.3 Overture (LLNL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.4 FEFLO (NRL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5.5 Comet (CD-adapco) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Anleitung fur Overlap-Rechnungen mit Comet 70
6.1 OLG-Programmbefehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1.1 Praprozessor-Befehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1.2 Postprozessor-Befehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.3 Usercoding-Befehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Richtlinien fur die Gitterstruktur im Overlap-Bereich . . . . . . . . . 75
6.3 Parallelisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 Simulation des VSP mit Overlapping Moving Grid . . . . . . . . . . . 79
6.4.1 Anderungen der Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4.2 Anderungen im Usercoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4.3 Simulationsrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5 Modellierung von Anbauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5.1 Streben als Aussparung im Hintergrundgitter . . . . . . . . . 81
6.5.2 Streben als Overlap-Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5.3 Schutzplatte als Aussparung im Hintergrundgitter . . . . . . . 82
6.5.4 Schutzplatte als Overlap-Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.5.5 Overlap-Aussparungs-Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . 83
6.5.6 Overlap-Overlap-Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.5.7 Aussparungs-Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.6 Problembehandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.6.1 Bekannte Probleme und Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . 86
INHALTSVERZEICHNIS v
7 Ergebnisse der Simulationsrechnungen 88
7.1 Modellvalidierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.1 Flugelumstromung mit ursprunglicher Vernetzung . . . . . . . 91
7.1.2 Flugelumstromung mit modifizierter Vernetzung . . . . . . . . 92
7.1.3 VSP Einflugler mit ursprunglicher Vernetzung . . . . . . . . . 93
7.1.4 VSP Einflugler mit modifizierter Vernetzung . . . . . . . . . . 94
7.1.5 VSP Einflugler mit Vernetzung fur SP-Rechnungen . . . . . . 94
7.1.6 VSP Funfflugler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.1.7 Laufzeiten VSP-Rechnungen (Vernetzung fur SP) . . . . . . . 96
7.2 Rechnungen mit Anbauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2.1 VSP mit Streben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2.2 VSP mit Schutzplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2.3 VSP mit Streben und Schutzplatte . . . . . . . . . . . . . . . 97
8 Fazit und Ausblick 99
A Abbildungen zur Vernetzung 103
B Graphen der Krafte fur VSP ohne Anbauteile 118
C Graphen der Krafte fur VSP mit Anbauteilen 137
Literaturverzeichnis 146
Abbildungsverzeichnis
2.1 Bewegung eines Flugels (links), Flugelstellung fur Schuberzeugung
(rechts), aus Bartels und Jurgens (2006) . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Schutzplatte mit Streben am Rumpf, aus Bartels und Jurgens (2006) 7
3.1 Stetige, stuckweise lineare Shape-Funktion, aus Bollhofer und Mehr-
mann (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Diskretes Kontrollvolumen, aus Hadzic (2005) . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Lineare Interpolation in der Mitte der KV-Seite, aus Hadzic (2005) . 25
4.1 Diskretisierter Losungsraum bestehend aus zwei Teilgebieten, aus Ma-
thew (2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Losungsraum bestehend aus zwei uberlappenden Teilgebieten, aus Ma-
thew (2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1 OLG-System aus Hintergrundgitter und zwei Overlap-Objekten, aus
Hadzic (2005) mit Ubersetzungen des Autors . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Uberlappungsgebiet mit Bezeichnungen, aus Hadzic (2005) mit Uber-
setzungen des Autors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Aktive Teilbereiche bei Mehrfachuberlappungen, aus Hadzic (2005)
mit Ubersetzungen des Autors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 Neighbor-to-neighbor Suchverfahren, aus Hadzic (2005) mit Uberset-
zungen des Autors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Massenfluss an der Overlap-Grenzflache, aus Hadzic (2005) mit Uber-
setzungen des Autors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
vi
ABBILDUNGSVERZEICHNIS vii
5.6 Gradienten-Approximation an Overlap-Grenzflache, aus Hadzic (2005)
mit Ubersetzungen des Autors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.7 Bewegung eines KV uber drei Zeitschritte mit jeweils uberstrichenem
Volumen, aus Hadzic (2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A.1 Flugel mit ersten Vernetzungsschichten (links), Druckverteilung auf
Flugelblatt (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.2 Ursprunglicher Flugelzylinder (links), 166800 Zellen, reduzierter Flugel-
zylinder (rechts), 130000 Zellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.3 Reduziertes Flugelgitter, Nahaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.4 Schnitt Hintergrundgitter Sliding/Econ (oben), 423400 Zellen, Hinter-
grundgitter Overlap (unten), 174528 Zellen, mit jeweiligem Flugelgitter105
A.5 Overlap-Zellfunktionen (IOVC, vgl. Tabelle 6.1), Schnitt Hintergrund-
gitter (oben), vollstandiges Netz (unten) . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.6 VSP Einflugler: Sliding-Fall (oben), 309882 Zellen Hintergrundgitter,
Overlap-Fall (unten), 435520 Hintergrundzellen mit jeweiligem Flugel 107
A.7 Fur Overlap modifizierter Flugel (links), 102800 Zellen, und entspre-
chender Zylinder fur Sliding-Referenzfalle (rechts), 136100 Zellen . . . 108
A.8 Modifiziertes Flugelgitter, Nahaufnahme Oberseite . . . . . . . . . . . 108
A.9 Unterseite ursprungliches Flugelgitter (oben) und modifiziertes Flugel-
gitter (unten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.10 Gestauchtes Flugelgitter fur Rechnungen mit Schutzplatte, 74200 Zel-
len, 8 Zellschichten zur Flugelspitze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.11 Funfflugler Sliding (765630 Zellen, davon 230340 Hintergrund) (oben),
und Overlap (1210772 Zellen, davon 839572 Hintergrund) (unten) . . 111
A.12 Parallelisierung: Erfolgreiche Partitionierung auf 2 Knoten (links),
Probleme bei 3 Knoten (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.13 Vereinfachte Streben: Overlapkorper (o.l.), IOVC Hintergrund (o.r.),
Strebe als Aussparung (u.l.), Kontakt Overlap-Rand Aussparung fi-
nale Strebe (u.r.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
ABBILDUNGSVERZEICHNIS viii
A.14 Vereinfachte Schutzplatte: Druckverteilung (o.l.), IOVC Hintergrund
auf Hohe Flugelspitze (o.r.), Gitter fur Overlap-Modellierung (u.l.),
und Aussparung (u.r.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.15 Vereinfachte Schutzplatte mit Strebe: Gemeinsame Aussparung (o.l.),
aktive Zellen fur Strebe und SP als eigene Overlap-Korper (o.r.), ak-
tive Zellen fur Strebe als Overlap, SP als Aussparung (u.) . . . . . . . 114
A.16 Finale Schutzplatte: IOVC-Schnitt Hintergrund mit SP-Netz in Block-
form (o.), IOVC-Verteilung fur verfeinertes SP-Gitter auf Hohe Flugel-
spitze mit Ungleichmaßigkeiten (m. und u.) . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.17 VSP Einflugler mit finaler SP und 3 Streben: Oberflachennetz (o.)
und Druckverteilung (m. und u.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.18 VSP Funfflugler mit finaler SP und 3 Streben: Druckverteilung (o.)
mit Unregelmaßigkeit (u.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.1 Stationare Flugelumstromung mit 12 m/s, Anstellwinkel 4 1/2 . . . 119
B.2 Stationare Flugelumstromung mit 12 m/s, Anstellwinkel 4 2/2 . . . 120
B.3 Rel. Abweichung Stat. Umstromung mit 12 m/s, Anstellwinkel 4 . . 121
B.4 Umstromung mod. Fl.Gitter mit 6,477 m/s, Anstellwinkel 4 1/2 . . 122
B.5 Umstromung mod. Fl.Gitter mit 6,477 m/s, Anstellwinkel 4 2/2 . . 123
B.6 Rel. Abweichung Umstromung mod. Gitter mit 6,477 m/s, Winkel 4 124
B.7 VSP (ein ursprungliches Flugelgitter) 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.8 VSP (ein ursprungliches Flugelgitter) 2/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.9 VSP (ein modifiziertes Flugelgitter) 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.10 VSP (ein modifiziertes Flugelgitter) 2/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B.11 VSP (ein Flugelgitter fur SP-Rechnungen) 1/2 . . . . . . . . . . . . . 129
B.12 VSP (ein Flugelgitter fur SP-Rechnungen) 2/2 . . . . . . . . . . . . . 130
B.13 Relative Abweichung Krafte VSP Einflugler . . . . . . . . . . . . . . 131
B.14 VSP Funfflugler, Krafte auf 1. Flugel 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B.15 VSP Funfflugler, Krafte auf 1. Flugel 2/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 133
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ix
B.16 Relative Abweichung Funfflugler, Krafte 1. Flugel . . . . . . . . . . . 134
B.17 VSP Funfflugler, summierte Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.18 Relative Abweichung Funfflugler, summierte Krafte . . . . . . . . . . 136
C.1 VSP Einflugler mit Schutzplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
C.2 Krafte auf vereinfachte Schutzplatte, VSP Einflugler . . . . . . . . . . 139
C.3 VSP Ein- und Funfflugler mit SP und 3 Streben, Krafte 1. Flugel . . 140
C.4 VSP Funfflugler mit SP und 3 Streben, summierte Krafte . . . . . . . 141
C.5 Krafte auf Streben bei VSP Einflugler . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
C.6 Krafte auf Schutzplatte bei VSP Einflugler . . . . . . . . . . . . . . . 143
C.7 Krafte auf Streben bei VSP Funfflugler . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
C.8 Krafte auf Schutzplatte bei VSP Funfflugler (eingeschrankter Werte-
bereich) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Tabellenverzeichnis
3.1 Zeitintegrationskoeffizienten in Gleichung (3.64) . . . . . . . . . . . . 31
6.1 Farbtabelle der Zellfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2 Fehlermeldungen OLG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.1 Mittlere Krafte einer stationare Flugelumstromung mit 12 m/s, An-
stellwinkel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Mittlere Krafte einer stationaren Flugelumstromung mit 6,477 m/s,
Anstellwinkel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 Mittlere Krafte VSP (ein Flugel, ursprungliche Vernetzung) . . . . . 93
7.4 Mittlere Krafte VSP (ein Flugel, modifizierte Vernetzung) . . . . . . 94
7.5 Mittlere Krafte VSP (ein Flugel fur SP-Rechnungen) . . . . . . . . . 94
7.6 Mittlere Krafte VSP (funf Flugel fur SP-Rechnungen) . . . . . . . . . 95
7.7 Laufzeiten VSP fur SP-Rechnungen, 1500 Zeitschritte . . . . . . . . . 96
x
Abkurzungsverzeichnis
CFD Numerische Stromungsmechanik,
engl. Computational Fluid Dynamics
CG Konjugierte Gradienten,
engl. conjugate gradients
DNS direkte numerische Simulation
FD Finite Differenzen
FEM Finite Elemente Methode
FV Finite Volumen
FWK Flugelwinkelkurve
IC Unvollstandige Cholesky-Zerlegung,
engl. incomplete Cholesky, incomplete LU
KV Kontrollvolumen
MPI Message Passing Interface
OLG Gitter mit Uberlappung,
engl. Overlapping Grid
PDE partielle Differentialgleichung,
engl. partial differential equation
RANSE Reynolds-gemittelte Navier-Stokes Gleichungen,
engl. Reynolds-averaged-Navier-Stokes Equations
SCL Geometrieerhaltungsgesetz
engl. Space Conservation Law
SP Schutzplatte
VSP Voith-Schneider-Propeller
VWT Voith Wassertrecker
xi
Kapitel 1
Einleitung
Die Arbeit eines Ingenieurs ist mittlerweile ohne Computerunterstutzung kaum noch
vorstellbar. Seien es Statikberechnungen von Bauwerken, Crashtest-Simulationen in
der Fahrzeugentwicklung oder Stromungsoptimierungen von Flugzeugen und Schiffen
- immer spielen Simulationsrechnungen an Hochleistungscomputern eine unverzicht-
bare Rolle fur die Losung dieser Probleme.
Die mathematisch-physikalischen Modelle, die die Grundlage dieser Rechnungen bil-
den, werden in oft jahrelanger Zusammenarbeit von Mathematikern, Physikern,
Informatikern und Ingenieuren entwickelt und immer weiter verbessert. Auch mit
standig wachsender Rechenleistung der verfugbaren Computer ist es immer noch
nicht moglich, alle Eigenschaften eines technischen Problems exakt wiedergeben zu
konnen - die Modellbildung mit der heutigen Technik erfordert immer eine genaue
Uberlegung, was moglich ist, aber auch welche Detailtreue notig ist, um mit ver-
tretbaren Kosten und Zeitaufwand zu einer vernunftigen Losung fur das vorliegende
Problem zu kommen. Hierbei ist die interdisziplinare Arbeit von Spezialisten ver-
schiedenster Fachrichtungen entscheidend, um die Grenzen des technisch Machbaren
zu erweitern.
Um letztendlich teure Experimente weitgehend durch Simulationsrechnungen zu er-
setzen, oder sogar Probleme angehen zu konnen, die sich aufgrund ihrer Dimensi-
on oder Beschaffenheit nicht experimentell untersuchen lassen, benotigt man Fach-
leute aller beteiligten Teilgebiete: Die Naturwissenschaftler und Physiker mit ihrer
Modellumgebung, um die Phanomene zu beschreiben, Mathematiker, die effizien-
te analytische oder numerische Losungsverfahren fur die Modellgleichungen finden,
Informatiker, um die speicher- und rechenintensiven Losungsalgorithmen geschickt
im Computer zu implementieren und die Daten zu visualisieren, sowie am Ende die
1
KAPITEL 1. EINLEITUNG 2
Ingenieure, um die Ergebnisse der Rechnungen auszuwerten und zu interpretieren.
Die Ubergange zwischen den Teilbereichen sind oft so fließend, dass sich keine klare
Trennung mehr vornehmen lasst.
Die Arbeit von Mathematikern spielt fur viele dieser Teilbereiche eine wichtige Rol-
le: Neben der mathematischen Formulierung, generellen Aussagen uber Losbarkeit
und Eindeutigkeit eines Problems und der Entwicklung von Verfahren zur Losung
ist die mathematische Fehleranalyse der neuen Algorithmen von großer Wichtig-
keit. Fehlerschranken fur Modellvereinfachungen sowie Aussagen uber Stabilitat und
Robustheit der Losungsverfahren bestimmen letztendlich die Wahl einer geeigneten
Modellierung und deren algorithmische Umsetzung. Daruber hinaus ermoglicht eine
formale Analyse die Bewertung der Qualitat von Simulationsergebnissen.
Ein wichtiger Schritt im Prozess der Modellentwicklung von der ersten akademi-
schen Idee zur erfolgreichen Anwendung im Tagesgeschaft eines Ingenieurburos ist
die Verifikation - die Untersuchung, inwiefern sich die Ergebnisse der neuen Model-
lierung mit denen bereits bestehender, anerkannter Verfahren decken, soweit sich
die Anwendbarkeit uberschneidet. Die vorliegende Arbeit ist eine derartige Analyse,
angesiedelt im Bereich der numerischen Stromungsmechanik (CFD, kurz fur engl.
Computational Fluid Dynamics):
Es handelt sich um die Untersuchung der Eignung des Overlapping Grid Verfahrens
fur CFD-Berechnungen im Umfeld der Weiterentwicklung des Voith-Schneider-Pro-
pellers, eines Schiffsantriebs der Firma Voith Turbo Schneider Propulsion. Sie ist
beschrankt auf eine detaillierte Untersuchung der Implementierung des Verfahrens
im Softwarepaket Comet der Firma CD-adapco.
Overlapping Grid steht hierbei fur ein Gebietszerlegungsverfahren, also eine Technik,
das Losungsgebiet von Differentialgleichungen in Stucke aufzuteilen, die sich stellen-
weise uberlappen. Das bringt einerseits die Moglichkeit, die Losungsberechnung auf
den Teilgebieten zu parallelisieren, andererseits den hier viel entscheidenderen Vor-
teil, die Teile getrennt vernetzen zu konnen. Dies macht eine optimale Anpassung des
Netzes an das Problem viel leichter als bei einem zusammenhangenden Gesamtnetz.
Die Teillosungen werden uber Interpolation zwischen Vorder- und Hintergrundgit-
ter zur Gesamtlosung zusammengefugt. Daruber hinaus ermoglicht dieser Ansatz
komplexe Bewegungen der Gitter relativ zueinander, ein entscheidender Vorteil ge-
genuber herkommlichen Verfahren, bei denen die Modellierung großraumiger Bewe-
gungen sehr schwierig werden kann. Nachteile sind u.a. der zusatzliche Aufwand, der
durch den Abgleich der Teillosungen entsteht. Das Verfahren hat seine Tauglichkeit
in einigen Bereichen bereits uber akademische Beispiele hinaus unter Beweis gestellt.
KAPITEL 1. EINLEITUNG 3
Ob es in der vorliegenden Implementierung ausgereift genug ist, die stromungsme-
chanischen Vorgange beim Betrieb des VSP hinreichend zu modellieren, soll diese
Diplomarbeit zeigen. Sie gliedert sich in folgende Teile:
Kapitel 2 beschreibt kurz die Bedeutung und Funktionsweise des Voith-Schneider-
Propellers, sowie die Problemstellung, die die Einfuhrung und Anwendung des neuen
Verfahrens notwendig macht.
In Kapitel 3 werden die Grundlagen der numerischen Stromungsmechanik eingefuhrt
und ein Uberblick uber die aktuell verwendeten Verfahren gegeben.
Kapitel 4 widmet sich den Gebietszerlegungsverfahren. Es wird der mathematische
Hintergrund der Verfahren mit uberlappenden Gittern eingefuhrt sowie die wichtigs-
ten Vertreter der Verfahren mit nicht uberlappenden Gittern genannt.
Das fur diese Arbeit wichtigste Verfahren wird in Kapitel 5 genauer erlautert: Das
Overlapping Grid Verfahren fur Finite Volumen mit bewegten Gittern, das die Basis
fur die im weiteren Verlauf durchgefuhrten Simulationen bildet.
Im folgenden Kapitel 6 werden die Comet-Programmbefehle fur das OLG-Verfahren
eingefuhrt und Richtlinien fur den Aufbau von Rechnungen mit Overlapping Grid
gegeben. Erkenntnisse aus durchgefuhrten Simulationen werden zusammengefasst
und die aufgetretenen Probleme diskutiert.
Kapitel 7 prasentiert die messbaren Resultate der im Rahmen dieser Arbeit durch-
gefuhrten numerischen Simulationen: Zur Modellvalidierung werden Vergleiche von
Overlapping Grid Rechnungen mit den Ergebnissen bisher verwendeter Verfahren
durchgefuhrt. Es werden Krafte von stationaren Flugelumstromungen, dem VSP mit
einem und funf Flugeln, sowie Rechnungen mit Schutzplatte und Streben betrachtet.
Zum Abschluss fasst Kapitel 8 die Ergebnisse zusammen und gibt einen Ausblick auf
zu erwartende Entwicklungen des Overlapping Grid Verfahrens in der numerischen
Stromungsmechanik.
Kapitel 2
Der Voith-Schneider-Propeller
Der Voith-Schneider-Propeller (VSP), der im Mittelpunkt der Untersuchungen dieser
Arbeit steht, ist ein einzigartiger Schiffsantrieb, der auf eine Erfindung Ernst Schnei-
ders von 1925 zuruckgeht. Die Firma Voith griff damals seine Idee auf, entwickelte
sie zusammen mit dem Erfinder bis zur Serienreife, und hat das Prinzip bis heu-
te stetig verbessert. Seit einigen Jahren spielt die numerische Stromungsmechanik
hierbei eine große Rolle. Erfolgreiche Arbeiten in diesem Bereich, wie die erhebliche
Wirkungsgradsteigerung des VSP durch Jurgens u. a. (2007), zeigen, dass auch eine
Idee, an der Ingenieure schon seit uber 80 Jahren arbeiten, noch nicht ausgereizt sein
muss.
Die folgenden Abschnitte geben einen kurzen Uberblick uber die Funktionsweise des
Antriebs, einen Einblick in die Bedeutung des VSP fur die moderne Schifffahrt, sowie
die Problemstellung, die im Rahmen dieser Diplomarbeit untersucht werden soll.
2.1 Funktionsweise
Anders als bei herkommlichen Schiffschrauben, bei denen sich mehrere schrag ge-
stellte Flugel um eine waagrechte Achse drehen und so Schub erzeugen, rotieren
beim VSP senkrecht im Wasser stehende Flugel in einer Kreisbahn um eine vertikale
Drehachse.
Die Flugel fuhren zusatzlich zu ihrer Rotation auf dem so genannten Flugelkreis eine
nach einem bestimmten Gesetz schwingende Bewegung aus, je nach Position auf der
Umkreisbewegung wird der Flugel entsprechend angestellt um Schub zu erzeugen. So
4
KAPITEL 2. DER VOITH-SCHNEIDER-PROPELLER 5
Abbildung 2.1: Bewegung eines Flugels (links), Flugelstellung fur Schuberzeugung
(rechts), aus Bartels und Jurgens (2006)
sind die Flugel beim Halbkreis des Umlaufs, der in Fahrtrichtung liegt, nach außen
gedreht, auf dem anderen nach innen, vergleiche Abb. 2.1.
Uber die Große dieser Winkelausschlage lasst sich der Betrag des Schubs kontrollie-
ren, anders als bei herkommlichen Schraubenpropellerantrieben, bei denen man die
Drehzahl variieren muss, um unterschiedlichen Schub zu erzeugen. Das Gesetz, dem
die Schwenkbewegung folgt, heißt Flugelwinkelkurve (FWK). Ihre Optimierung war
auch der Ansatz der Arbeit von Jurgens u. a. (2007). Eine ausfuhrliche Beschreibung
des Funktionsprinzips nebst Entwicklungsgeschichte findet sich in Jurgens und Fork
(2002).
Die weiteren Moglichkeiten, die sich aus dem Prinzip der Steuerung der Flugelwinkel
ergeben, offenbaren sich allerdings erst auf den zweiten Blick: Es lasst sich nicht nur
Schub nach ”vorne” erzeugen, sondern stufenlos in jede beliebige Richtung. Hervorra-
gende Manovrierfahigkeit wird unter Verwendung eines zweiten VSP in einem Schiff
erreicht, man kann traversieren, d.h. seitwarts fahren, oder auf der Stelle wenden,
und kann im Gegensatz zu rudergelenkten Schiffen auch bei sehr niedrigen Geschwin-
digkeiten exakt manovrieren. Einen Uberblick der Anwendung in der Praxis findet
sich im nachsten Abschnitt:
KAPITEL 2. DER VOITH-SCHNEIDER-PROPELLER 6
2.2 Bedeutung
Der VSP wird vor allem dort eingesetzt, wo Schiffe besondere Anforderungen an
Sicherheit und Manovrierfahigkeit erfullen mussen. Heute sind vor allem Voith Was-
sertrecker, Doppelendfahren wie die Staten Island Ferries in New York City, und auch
Minenraumboote, Plattformversorgungsschiffe, Feuerloschboote und Schwimmkrane
mit VSPs verschiedener Große und Bauart ausgestattet.
Besonders die Bedeutung des Voith Wassertreckers (VWT), ein Schlepper mit VSP-
Antrieb, dessen Entwicklung 1952 begann, ist nicht deutlich genug hervorzuheben:
Als Eskortschiff fur Schiffe mit gefahrlicher Ladung wie zum Beispiel Oltanker er-
reicht der VWT fur einen sehr großen Geschwindigkeitsbereich hochste Assistenz-
krafte und hat so die Sicherheit von Schleppoperationen in vielen Teilen der Welt
drastisch erhoht. Vor allem durch die neuen Steuermoglichkeiten konnen einige bis-
her sehr gefahrliche Situationen im Schleppbetrieb vermieden werden, und so sorgt
der VWT dafur, dass große Frachtschiffe, die bei niedrigen Geschwindigkeiten alleine
nur unzureichend manovrieren konnen, mit ihrer Ladung sicher im Hafen ankommen.
Detailliertere Informationen uber die Anwendung des VSP finden sich in Bartels und
Jurgens (2006) sowie Jurgens und Fork (2002).
2.3 Problemstellung
Obwohl der VSP aufgrund seiner Bauart ein sehr robuster und langlebiger Antrieb
ist, muss er in der Praxis durch eine Schutzplatte und Streben vor Beschadigungen
durch Baumstamme o.a. geschutzt werden. Diese Platte, die durch stromungsmecha-
nische Wechselwirkungen auch zur Schuberzeugung beitragt, wird mit den Streben
unmittelbar unter den Flugelenden am Schiffsrumpf befestigt. Sie befindet sich also
in direkter Nahe zu den bewegten Teilen, vgl. Abb. 2.2.
Fur CFD-Rechnungen, wie die Firma Voith sie im Rahmen der Weiterentwicklung
des VSP durchfuhrt, stellt genau das ein Problem dar: In den bisherigen Stromungs-
mechanikrechnungen erweist sich besonders die Modellierung der Streben als nicht
durchfuhrbar: Die Realisierung der Flugelbewegung erfordert eine bestimmte Git-
terstruktur, die sich nicht mit einer sinnvollen Vernetzung der Streben vereinbaren
lasst. Deshalb wurde fur die Rechnungen auf Streben verzichtet. Fur eine Wirkungs-
gradsteigerung des Antriebs ware es allerdings wichtig, die optimale Positionierung
der Streben und der Platte bestimmen zu konnen, die durch ihre Nahe zu den Schub
KAPITEL 2. DER VOITH-SCHNEIDER-PROPELLER 7
Abbildung 2.2: Schutzplatte mit Streben am Rumpf, aus Bartels und Jurgens (2006)
erzeugenden Teilen aufgrund gegenseitiger Beeinflussung einen deutlichen Einfluss
auf den Gesamtwirkungsgrad haben.
Das Overlapping Grid Verfahren soll theoretisch die flexible Kombination von beweg-
ten Flugeln in direkter Umgebung von festen Anbauteilen wie Streben und Schutz-
platte beherrschen. Ob es auch praktisch dazu in der Lage ist, soll diese Diplomarbeit
zeigen.
Kapitel 3
Numerische Stromungsmechanik
Die Eigenschaften der Bewegung von Flussigkeiten und Gasen, Stromung von Flui-
den genannt, lassen sich sehr gut durch partielle Differentialgleichungen beschreiben.
Diese konnen allerdings, abgesehen von wenigen Spezialfallen, nicht analytisch gelost
werden. Numerische Naherungslosungen schaffen hier Abhilfe: Die Anwendung einer
Diskretisierungsmethode liefert ein System algebraischer Gleichungen, das die Diffe-
rentialgleichung approximiert, welches dann mit Hilfe eines Computers gelost werden
kann.
Grundprinzip dieser Approximation ist die Berechnung von Losungen auf einer Dis-
kretisierung von Raum und Zeit. Die Wahl dieser Diskretisierung und der Berech-
nungsmethode beeinflusst sowohl die Qualitat der Losung, als auch den numerischen
Aufwand, um sie zu bestimmen. So fuhrt eine feinere Diskretisierung zu einer ge-
naueren Auflosung der Stromungsprozesse, allerdings erkauft man sich diese hohere
Detailtreue durch steigende Rechenzeiten, mit denen man unter Umstanden an die
Kapazitatsgrenzen heutiger Computer stoßt.
Einen Ausweg bieten gezielte Modellvereinfachungen, d.h. man verzichtet auf fur die
Losung unwesentliche Details, indem man weniger bedeutsame physikalische Phano-
mene vernachlassigt oder zusammenfasst. Auf diese Weise gewonnene Modelle der
Realitat mussen allerdings durch Experimente validiert werden. Durch geschickte
Modellierung ist mittlerweile die naherungsweise Losung einer sehr großen Anzahl
von Probleme moglich geworden.
Die Vielseitigkeit der modernen numerischen Stromungsmechanik naher zu beschrei-
ben geht weit uber den Rahmen dieser Arbeit hinaus. Denn obwohl alle Fluidbewe-
gungen im Prinzip den gleichen Gesetzen unterworfen sind, unterscheiden sich die
8
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 9
Details der Modellierung einer Luftstromung mit Uberschallgeschwindigkeit uber ein
Flugelprofil wie bei Benek u. a. (1986) signifikant von der Simulation der Interakti-
on von Zellen in Blutgefaßen durch Chung u. a. (2007), bedingt vor allem durch
die unterschiedliche Dichte und Viskositat (Zahigkeit), aber auch andere physikali-
sche Eigenschaften der betrachteten Fluide. Griebel u. a. (1995) zeigen weitere un-
terschiedliche Modellansatze aus verschiedenen Bereichen der Stromungsmechanik,
Meakin (1995) gibt einige Anwendungsbeispiele aus Luft- und Raumfahrt.
Das fur diese Arbeit relevante Teilgebiet der Stromungsmechanik sind inkompres-
sible, newtonsche Flussigkeiten, also Fluide, deren Druck und Viskositat konstant
sind. Die mathematischen Grundlagen finden sich in Ferziger und Peric (2008), sie
werden in den folgenden Abschnitten kurz erklart und zusammengefasst: Erst wer-
den die dem physikalischen Modell zu Grunde liegenden Gleichungen eingefuhrt,
danach wird ein Uberblick uber einige in der Praxis verwendete Diskretisierungsver-
fahren gegeben und die Systemgleichungen mit dem Finite-Volumen-Verfahren (FV)
diskretisiert. Nach einem Abschnitt uber die Modellierung turbulenter Stromungen
wird zum Abschluss des Kapitels auf die Verfahren zur Losung des resultierenden
Gleichungssystems eingegangen.
3.1 Modellgleichungen
Die stromungsmechanischen Basisgleichungen basieren auf zwei Erhaltungsgesetzen,
die fur die Bewegung von Fluiden gelten: Massen- und Impulserhaltung.
Die fur Fluidstromungen geeignetste Form der Untersuchung ist die Betrachtung von
Kontrollvolumen (KV), d.h. meist ortsfesten Raumen mit konstanten Abmessungen,
fur die man die Zu- und Abflusse durch die Begrenzungsflachen sowie innere Senken
und Quellen bilanziert. Diese Methode, auch Eulerscher Ansatz genannt, umgeht
die bei Fluiden schwierige Verfolgung und Betrachtung einer festen Kontrollmasse
im Untersuchungsgebiet, dem in der Festkorperdynamik ublichen Lagrange’schen
Prinzip.
Das Erhaltungsgesetz einer Eigenschaft koppelt die Anderungsrate der betrachteten
Quantitat in einem Kontrollvolumen an außere und innere Einwirkungen: Die Varia-
tion einer Große wird durch das Netto aller Zu- und Abflusse durch die Oberflache
des KV aufgrund von Konvektion oder Diffusion, sowie durch Senken oder Quellen
im Inneren des KV bestimmt.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 10
Im Folgenden werden die Erhaltungssatze fur ortsfeste Kontrollvolumen in koordi-
natenfreier Integral-Formulierung sowie die kartesische Koordinatenform der Impuls-
gleichung eingefuhrt, vgl. Hadzic (2005). Auf die formale Herleitung dieser Gleichun-
gen aus dem Reynolds-Transporttheorem wird an dieser Stelle verzichtet.
3.1.1 Massenerhaltung
Die Massenerhaltungsgleichung (auch: Kontinuitatsgleichung) besagt, dass die Ande-
rungsrate der Masse innerhalb eines Kontrollvolumens V gleich dem Nettofluss
durch die Volumenoberflache S ist. Die Gleichung lautet:
∂
∂t
∫
V
ρ dV +
∮
S
ρv · n dS = 0 (3.1)
Fur Ω ⊂ R3 und R
+ = t ∈ R, t > 0 bezeichnet ρ : Ω × R+ → R die Dichte
und v = (u1 , u2 , u3 )T : Ω × R+ → R
3 das Geschwindigkeitsfeld des Fluids, wobei
ui die Komponente in Koordinatenrichtung i bezeichnet. n : S × R+ → R
3 steht
fur das Feld der Normalen auf S . Die Dichte inkompressibler Flussigkeiten ist defi-
nitionsgemaß konstant und der erste Term in Gleichung (3.1) ist somit Null sofern
das Volumen konstant bleibt. Die Modellierung bewegter Gitter in Kapitel 5 kann je
nach verwendeter numerischer Methode zu einer Volumenanderung fuhren, was eine
Betrachtung des Terms notwendig macht.
Eine Anwendung des Gaußschen Integralsatz transformiert das Oberflachenintegral
in ein Volumenintegral:
∂
∂t
∫
V
ρ dV +
∫
V
div(ρv)dV = 0 (3.2)
Die Divergenz eines Vektorfeldes F: Rn → Rn ist fur ein kartesisches Koordinaten-
system wie folgt definiert:
div F = div (F1, . . . ,Fn) =n∑
i=1
∂
∂xi
Fi (3.3)
Mit dem Ubergang auf ein infinitisemal kleines Kontrollvolumen erhalt man die
koordinatenfreie Divergenzform der Massenerhaltungsgleichung:
∂ρ
∂t+ div(ρv) = 0 (3.4)
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 11
3.1.2 Impulserhaltung
Der Impulserhaltungssatz besagt, dass der Gesamtimpuls in einem abgeschlossenen
System konstant ist. Gibt es Zu- und Abflusse an Impuls, so sind sie gleich der Dichte
der Impulsquellen im Inneren des KV. Die Gleichung kann wie folgt geschrieben
werden:
∂
∂t
∫
V
ρv dV +
∮
S
ρvv · n dS =
∮
S
σ · n dS +
∫
V
ρ fb dV (3.5)
Hier steht σ fur den Spannungstensor der Oberflachenkrafte (Druck, Zug, Scher-
spannungen) und fb fur den Vektor der Korper- oder Volumenkrafte (Gravitations-,
Zentrifugal- und Corioliskrafte), die auf das Fluid wirken. Fur newtonsche, inkom-
pressible Flussigkeiten ist die Matrix des Spannungstensors wie folgt gegeben:
σ = µ [gradv + (gradv)T] − pI , (3.6)
wobei p den Druck und µ die dynamische Viskositat des Fluids, sowie I den Ein-
heitstensor bezeichnet.
Um Gleichung (3.6) losen zu konnen, muss der Tensor bezuglich eines bestimmten
Koordinatensystems aufgelost werden. Kartesische Koordinaten liefern eine einfa-
che Form der Impulsgleichung, sie ergibt sich aus Gleichung (3.5) und (3.6) durch
Skalarprodukt mit dem i. kartesischen Einheitsvektor ii :
∂
∂t
∫
V
ρui dV +
∮
S
ρuiv · n dS =
∮
S
µ grad ui · n dS +
∮
S
µ [iTi · (gradv)T] · n dS
−
∮
S
p iTi · n dS +
∫
V
ρ fbidV (3.7)
ui bezeichnet die i. Komponente des Geschwindigkeitsvektors v und fbidie i.
Komponente des Vektors der Korperkrafte.
Wie eben lasst sich Gleichung (3.5) durch Anwendung des Gaußschen Integralsatz
und Grenzubergang zu einem unendlich kleinen Volumenelement in die Form einer
koordinatenfreien Divergenzgleichung uberfuhren:
∂(ρv)
∂t+ div(ρvv) = div σ + ρ fb (3.8)
Fur die Divergenz des Spannungstensors gilt div σ = −grad p+µ∆v . Dies ergibt sich
aus (3.6) und div v = 0 , der Massenerhaltungsgleichung fur inkompressible Fluide.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 12
Der Laplace-Operator ∆u =∑3
i=1 uxixiist hierbei komponentenweise zu verstehen.
Diese Eigenschaft und wiederholte Anwendung der Produktregel liefert nach einiger
Rechnung div(ρvv) = ρ(v · gradv) . Somit ergibt sich folgende Divergenzform der
Impulserhaltungsgleichung fur inkompressible, newtonsche Fluide:
ρ
(∂v
∂t+ v · gradv
)
= −grad p + µ∆v + ρ fb (3.9)
Im Falle kompressibler Stromungen ist daruber hinaus eine separate Energieerhal-
tungsgleichung notwendig, die sowohl thermische als auch mechanische Energie be-
handelt. Fur die hier betrachteten inkompressiblen, isothermen Stromungen ist nur
kinetische Energie von Bedeutung. Die Gleichung der Energie lasst sich aus dem
Skalarprodukt der Impulsgleichung mit dem Geschwindigkeitsvektor ableiten, ist al-
so kein selbstandiges Erhaltungsgesetz.
3.1.3 Universelle Transportgleichung
Die eben eingefuhrten Erhaltungsgleichungen, bekannt unter dem Namen inkom-
pressible Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben Stromungen eines inkompressiblen,
newtonschen Fluids sehr genau.
Fur eine einfache mathematische Formulierung bietet sich die Einfuhrung einer uni-
versellen Gleichung an, die den Transport einer generischen, skalaren Variable φ
beschreibt:
∂
∂t
∫
V
ρφ dV +
∮
S
ρφv ·n dS =
∮
S
Γφgradφ ·n dS +
∮
S
qφS ·n dS +
∫
V
qφV dV (3.10)
φ bezeichnet die transportierte Variable, Γφ ihren Diffusions-Koeffizienten. qφS
steht fur Zu- und Abflusse durch die Oberflache und qφV fur Quellen und Senken.
Die in diesem Kapitel eingefuhrten Erhaltungsgleichungen (3.1) und (3.5) lassen sich
alle in Form von (3.10) schreiben. Dies vereinfacht in den kommenden Abschnitten
die numerische Diskretisierung, da nur die universelle Form der Transportgleichung
behandelt werden muss.
3.1.4 Randbedingungen und Anfangswerte
Zur Losung der Modellgleichungen benotigt man passende Randbedingungen und
Anfangswerte, damit das Problem mathematisch korrekt gestellt ist, d.h. eine ein-
deutige Losung existiert, die stetig von ihren Startwerten abhangt.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 13
Die parabolische Natur der unstetigen Gleichungen macht einen vollstandigen Satz
Anfangswerte notwendig: Fur alle abhangigen Variablen muss ein Startwert im ge-
samten Berechnungsraum V vorgegeben werden:
φ(r, t0 ) = φ0 (r), r ∈ V (3.11)
Der bezuglich des Raumes elliptische Charakter der Gleichungen macht vollstandige
Randbedingungen an den Gebietsgrenzen SB notwendig. Die verschiedenen physi-
kalischen Randbedingungen, um Einlass, Auslass, Wand, Symmetrieebene, usw. fur
stromungsmechanische Probleme modellieren zu konnen, lassen sich mathematisch
in folgende zwei Klassen einteilen:
• Dirichlet-Randbedingungen, die den Wert einer abhangigen Variable auf einem
Teil des Randes SDB des Losungsgebietes angeben, d.h.
φ(rB , t) = fj(t), rB ∈ SDB . (3.12)
• Neumann-Randbedingungen, die den Gradienten einer abhangigen Variable auf
einem Teil des Randes SNB spezifizieren:
gradφ(rB , t) = fj(t), rB ∈ SNB . (3.13)
3.2 Finite Differenzen
Ansatz der Finite-Differenzen-Methode (FD) ist die Differentialform der zu losen-
den Gleichung. Das Losungsgebiet wird mit einem Gitter uberdeckt, anhand dessen
die Differentialgleichung nach dem Prinzip der numerischen Differentiation approxi-
miert wird: Die partiellen Ableitungen in jedem Gitterpunkt bzw. Knoten werden
ersetzt durch einen Approximationswert, der aus den Funktionswerten an umliegen-
den Gitterknoten gewonnen wird. Ergebnis ist fur jeden Gitterpunkt eine algebraische
Gleichung, die als Unbekannte die Werte des Knotens selbst, sowie die einiger Nach-
barn enthalt. Man kann eine Taylor-Reihenentwicklung oder einen Polynomansatz
benutzen, um Approximationen der Ableitungen an den Gitterpunkten zu erhal-
ten. Es ergibt sich ein System aus Differenzengleichungen, das unter Verwendung
der bekannten Anfangs- und Randwerte mit den Techniken gelost werden kann, die
in Abschnitt 3.7 behandelt werden. Uber Ferziger und Peric (2008) hinaus geben
Morton und Mayers (2005) eine umfassende Einfuhrung in die FD-Methodik.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 14
Ein Vorteil dieser Methoden ist, dass sie bei strukturierten Gittern sehr einfach und
effektiv sind. Auch lassen sich durch die Wahl geeigneter Approximationsschemata
besonders bei regularen Gittern einfach Verfahren hoherer Ordnung konstruieren.
Bekannte Vertreter sind Einschrittverfahren wie Runge-Kutta, sowie die expliziten
Adams-Bashforth- oder impliziten Adams-Moulton-Methoden. Diese verwenden dis-
krete Werte mehrerer Zeitschritte, gehoren also zur Klasse der Mehrschrittverfahren.
Konvergenztheoretische Analysen auf regelmaßigen Gittern entsprechen haufig einer
Taylor-Restgliedbetrachtung. Die Struktur einiger Modellprobleme lasst auch eine
genauere Untersuchung mit Methoden der Fourier-Analysis zu.
Daruber hinaus ermoglicht das diskrete Maximumsprinzip einige Existenzaussagen.
Ein gravierender Nachteil dieses Diskretisierungsverfahrens ist, dass die Behandlung
komplexer Geometrien mit regelmaßigen Gittern sehr schwierig ist. Außerdem sind
die Verfahren ohne besondere Maßnahmen nicht konservativ, d.h es kann zur Ver-
letzung der Erhaltungsgleichungen kommen. Daruber kann fur viele FD-Verfahren
die Konvergenz gegen eine Losung nur durch starke Einschrankungen bezuglich der
Schrittweite garantiert werden.
Warmeleitung mit FD
Hier soll die Methodik am Beispiel der eindimensionalen Warmeleitungsgleichung
mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen naher erlautert werden:
ut = uxx fur t > 0 und 0 < x < 1
u(0, t) = u(1, t) = 0 fur t > 0
u(x, 0) = u0(x) fur 0 ≤ x ≤ 1
(3.14)
Sei nun t0 = 0, . . . , tN eine gleichmaßige Diskretisierung der Zeit: tn = n∆t , sowie
x0 = 0, . . . , xJ = 1 eine gleichmaßige Diskretisierung des Raumes: xj = j∆x .
U(xj , tn) = Unj bezeichne die numerische Approximation der Differentialgleichung
an der Stelle xj zum Zeitpunkt tn .
Dann ist die Kombination aus Vorwarts-Differenzenquotient in der Zeit und zentra-
lem Differenzenquotient der zweiten Ortsableitung eine explizite Approximation der
Warmeleitungsgleichung:
Un+1j − Un
j
∆t=Un
j+1 − 2Unj + Un
j−1
(∆x)2(3.15)
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 15
Der Diskretisierungsfehler, der sich aus dem Restglied der Taylor-Entwicklung ergibt,
nimmt folgende Form an:
T (x, t) =1
2utt(x, η)∆t−
1
12uxxxx(ξ, t)(∆x)
2 (3.16)
Hier ist ξ ∈ (x − ∆x, x + ∆x), η ∈ (t, t + ∆t) . Das Verfahren ist also von ers-
ter Ordnung, sofern die Ableitungen beschrankt und genugend glatt sind und eine
Stabilitatsbedingung erfullt ist:
µ =∆t
(∆x)2≤
1
2(3.17)
Diese notwendige und hinreichende Bedingung ergibt sich aus der Formulierung der
Losung als Fourierreihe, vgl. Morton und Mayers (2005), Kapitel 2.7.
Die folgende Crank-Nicholson-Methode ist ein implizites Schema, das auf einer zen-
tralen Zeitdifferenz zum Zeitpunkt tn+1/2 und zentralem Differenzenquotient der
Ortsableitung basiert:
Un+1j − Un
j
∆t=
(
Un+1j+1 − 2Un+1
j + Un+1j−1
(∆x)2+Un
j+1 − 2Unj + Un
j−1
(∆x)2
)
(3.18)
Das Verfahren ist von zweiter Ordnung, wie eine Betrachtung der Taylor-Reihe des
Diskretisierungsfehlers zeigt:
Tn+1/2j = −
1
12
[(∆x)2uxxxx + (∆t)2uttt
]n+1/2
j+ · · · (3.19)
Daruber hinaus lasst sich bedingungslose Stabilitat und Konvergenz zeigen, vgl. Mor-
ton und Mayers (2005), Kapitel 2.10.
Im Unterschied zu expliziten Verfahren kann die Losung im impliziten Fall nicht
mehr direkt von den bekannten Randwerten ausgehend berechnet werden. Fur jeden
Zeitschritt muss ein dunn besetztes Gleichungssystem gelost werden, vgl. Abschnitt
3.7. Dafur entfallt die starke Restriktion der Koppelung der Ortsschrittweite an den
Zeitschritt.
3.2.1 Begriffe der Konvergenztheorie
An dieser Stelle sollen kurz einige nicht nur fur FD-Verfahren wichtige Begriffe der
Konvergenztheorie definiert werden:
Sei Lh eine FD-Approximation eines elliptischen Operators L mit Schrittweite h >
0 . Fur u ∈ C(Ω) sei Lhu die Auswertung des Differenzenoperators auf dem diskre-
tisierten Losungsraum Ωh .
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 16
Definition 3.1. I) Ein Differenzenverfahren Lh heißt konsistent mit der Gleichung
Lu = f wenn
Lu− Lhuh→0+
−→ 0 fur alle u ∈ C2(Ω)
II) Ein Verfahren hat Konsistenzordnung m, wenn
Lu− Lhu = O(hm) auf Ωh fur h→ 0 und fur alle u ∈ Cm+2(Ω)
III) Ein Differenzenverfahren heißt stabil, falls fur ein C > 0
‖L−1h ‖ ≤ C <∞ ∀h > 0
Konsistenz entspricht einer Fehlerabhangigkeit von der Schrittweite, sofern diese hin-
reichend klein gewahlt ist.
Stabilitat bedeutet, dass eine kleine Storung der Eingangswerte nur eine kleine
Storung der Losung nach sich zieht.
Aus Konsistenz und Stabilitat folgt Konvergenz, wie im jeweiligen Fall gezeigt werden
kann.
3.3 Finite Volumen
Der Finite-Volumen-Methode liegt die am Anfang dieses Kapitels eingefuhrte Inte-
gralform der Erhaltungsgleichung zu Grunde. Das Losungsgebiet wird in eine endliche
Anzahl sich nicht uberlappender Kontrollvolumina aufgeteilt, ein KV wird hierbei
von einer endlichen Anzahl Zellflachen begrenzt. In der Mitte eines jeden KV liegt der
Knoten, in dem die Variablenwerte berechnet werden. Werte auf der KV-Oberflache
werden aus den KV-Zentren durch Interpolation berechnet, Oberflachen- und Volu-
menintegrale werden mittels geeigneter Quadraturformeln approximiert. Man erhalt
so fur jedes KV eine algebraische Gleichung, die die Variablenwerte aus dem eigenen
Rechenknoten, sowie die von Nachbar-KVs enthalten. Die Losung des resultierenden
Gleichungssystems wird in Abschnitt 3.7 behandelt.
Ein Vorteil der FV-Methode ist die Freiheit in der Vernetzung, man kann jeden
Gittertyp verwenden und so auch komplexe Geometrien behandeln. Daruber hinaus
ist das Verfahren per Definition konservativ, solange man die Berechnung diffusiver
und konvektiver Flusse zwischen benachbarten KV uber ein geeignetes Schema ge-
meinsam durchfuhrt. Dann ist der Abfluss des einen KV durch die gemeinsame Seite
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 17
gleich dem Zufluss des anderen, und die Erhaltungsgleichungen sind erfullt. Die FV-
Methode ist außerdem anschaulich zu verstehen: Alle zu approximierenden Terme
haben physikalische Bedeutung.
Hauptnachteil der FV-Methodik ist, dass es im Vergleich zu FD sehr schwierig ist,
Verfahren von hoherer Ordnung als zwei zu entwickeln, besonders im Dreidimen-
sionalen. Da in einem FV-Verfahren numerische Interpolation, Differentiation und
Integration direkt ineinandergreifen, fuhrt die Konstruktion eines Verfahrens hoher-
er Ordnung zu komplexen Abhangigkeiten in den algebraischen Gleichungen, welche
die Losung des Gesamtsystems sehr aufwendig machen. Daruber hinaus existieren
aufgrund der Komplexitat der notigen Analysen nur sehr wenige Resultate der forma-
len mathematischen Konvergenztheorie. Die Validierung neuer Verfahren geschieht
haufig anhand von empirischen Untersuchungen.
3.4 Finite Elemente
Auch beim Finite-Elemente-Verfahren (FE) wird das Losungsgebiet in einen Satz fi-
niter Elemente aufgeteilt, die im Allgemeinen unstrukturiert sind. Anders als bei FD
oder FV, die die Differentialgleichung approximieren und Losungswerte an diskreten
Gitterpunkten liefern, sucht man beim FE-Ansatz aus einem (endlichdimensionalen)
Raum erlaubter Funktionen die Funktion, welche die Losung der Differentialglei-
chung am besten approximiert. Hierzu lost man ein Interpolationsproblem: Die ge-
suchte Losung u soll durch einfache Basisfunktionen des Ansatzraumes interpoliert
werden, die außer auf dem betrachteten Teilelement des Losungsgebietes uberall Null
sind. Aus einer Variationsformulierung der Erhaltungsgleichung ergibt sich ein Glei-
chungssystem fur die Interpolationskoeffizienten, die so genannte Systemmatrix, die
alle Funktionswerte an den Knoten korrekt interpoliert und gewisse Kontinuitatsbe-
dingungen an den Ubergangsknoten zwischen benachbarten Elementen erfullt.
Vorteil der FE-Diskretisierung ist die Moglichkeit, beliebige Geometrien zu behan-
deln. Gitterverfeinerungen sind leicht realisierbar, indem man die Elemente weiter
unterteilt. Mit den Mitteln der Funktionalanalysis ist die mathematische Analyse
des Verfahrens sehr gut moglich, fur bestimmte Typen von Gleichungen ist sie nach-
weislich die beste Methode.
Der Hauptnachteil, wie bei allen Verfahren mit unstrukturierten Gittern, ist die kom-
plizierte Struktur des auftretenden Gleichungssystems, die es schwierig macht, effizi-
ente Losungsmethoden zu finden. Daruber hinaus mussen die Erhaltungsprinzipien
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 18
der Stromungsprozesse uber zusatzliche Nebenbedingungen modelliert werden.
Eine umfassende Behandlung der Finiten Elemente findet sich z.B. bei Braess (2003).
Das Verfahren wird hier zwar nicht verwendet, jedoch kommt das zu Grunde liegen-
de Prinzip der Variationsformulierung einer PDE bei der Konvergenzanalyse der
Schwarz-Verfahren in Kapitel 4 zum Einsatz. Es soll deshalb an dieser Stelle ein-
gefuhrt werden.
3.4.1 Variationsformulierung
Die Losung einer PDE lasst sich auch uber ein verwandtes Problem der Variations-
rechnung bestimmen. Die Theorie dieser Variationsformulierung wird am Beispiel
folgender elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung veranschaulicht:
Lu ≡ −div (a(x ) grad u) + c(x )u = f in Ω
u = 0 auf ∂Ω(3.20)
Hierbei sei Ω ⊂ Rd , und es gelte
0 < a0 ≤ a(x) ∀x ∈ Ω
c(x) ≥ 0 sei glatt, und f(x) ∈ L2(Ω) .
Durch Multiplikation mit einer Testfunktion v(x) , die die gleichen analytischen Ei-
genschaften wie die gesuchte Losung u hat, erhalt man eine neue Gleichung, die uber
das Losungsgebiet integriert wird. Uber partielle Integration lassen sich die hoheren
Ableitungen eliminieren und man erhalt die so genannte schwache Formulierung der
Differentialgleichung (3.20):
Bestimme u ∈ H10(Ω) als Losung von
A(u, v) = F (v) ∀v ∈ H10 (Ω) mit
A(u, v) ≡∫
Ω(a(x) grad u grad v + c(x )u v) dx
F (v) ≡∫
Ωfv dx
(3.21)
Wie allgemein ublich bezeichnet H10 (Ω) den Sobolev-Raum
H10 (Ω) ≡ v ∈ H1(Ω) : v = 0 auf ∂Ω (3.22)
und H1(Ω) den Hilbert-Raum
H1(Ω) ≡ v ∈ L2(Ω) : ‖v‖21,Ω <∞ mit Norm
‖v‖21,Ω ≡
∫
Ω(v2 + |grad v |2) dx
(3.23)
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 19
Definition 3.2. Sei H ein Hilbertraum. Eine Bilinearform A : H × H → R heißt
stetig, wenn fur ein C > 0 gilt:
|A(u, v)| ≤ C‖u‖ · ‖v‖ ∀u, v ∈ H (3.24)
Eine stetige Bilinearform A heißt koerziv oder elliptisch, wenn fur ein α > 0 gilt:
A(v, v) ≥ α‖v‖2 ∀v ∈ H (3.25)
Theorem 3.1. (Existenzsatz)
Sei L ein gleichmaßig elliptischer Differentialoperator 2. Ordnung. Dann hat Problem
(3.20) stets eine schwache Losung in H10 (Ω) . Diese ist Minimum des Variationspro-
blems
1
2A(v, v) − F (v) → min
in H10 (Ω) .
Beweis: Satz von Lax-Milgram, siehe Braess (2003), Kapitel II.2
Somit ist die Verbindung zwischen dem Variationsproblem und PDE hergestellt. Fur
PDE mit weiteren Termen ergibt sich aus der schwachen Formulierung - ahnlich wie
bei Lagrange-Optimierung unter Nebenbedingungen - eine Variationsformulierung in
der Gestalt eines Sattelpunktproblems.
Dies soll am Beispiel der Stokes-Gleichung demonstriert werden, die den dreidimen-
sionalen Fluss einer inkompressiblen, zahen Flussigkeit beschreibt:
∆u + grad p = −f in Ω
div u = 0 in Ω
u = u0 auf ∂Ω
(3.26)
u : Ω → R3 bezeichnet das Geschwindigkeitsfeld, p : Ω → R den Druck. Fur die
Sattelpunktformulierung setzt man:
X := H10 (Ω)3, M := L2,0(Ω) :=
q ∈ L2(Ω) :
∫
Ωq dx = 0
A(u,v) :=∫
Ωgradu gradv dx
B(v, q) :=∫
Ωdiv v · q dx
(3.27)
Hierbei ist gradu gradv :=∑
i ,j∂ui
∂xj
∂vi
∂xj
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 20
Fur homogene Dirichlet-Randbedingungen u0 = 0 ergibt sich folgendes Sattelpunkt-
problem:
Bestimme (u, p) ∈ X × M , so dass
A(u,v) + B(v, p) = F (v) fur v ∈ X
B(u, q) = 0 fur q ∈ M(3.28)
Auch in diesem Fall heißt ein so bestimmtes Losungspaar (u, p) schwache Losung des
Stokes-Problems. Siehe Braess (2003), Kapitel III.6 fur Aquivalenz und Losbarkeit
der Probleme.
3.4.2 Ritz-Galerkin-Verfahren
Fur die numerische Losung einer PDE geht man im Finite Elemente Ansatz folgen-
dermaßen vor: Man bestimmt die Losung des zu Grunde liegenden Variationspro-
blems nicht auf dem unendlichdimensionalen Funktionenraum H10 (Ω) , sondern auf
einem endlichdimensionalen Unterraum, dem Ansatzraum Sh .
uh ist Losung der Variationsaufgabe
1
2A(v, v) − F (v) → min|Sh
(3.29)
wenn gilt
A(uh, v) = F (v) ∀v ∈ Sh (3.30)
Fur eine Basis ψ1, ψ2, . . . , ψN von Sh ist dies aquivalent zu
A(uh, ψi) = F (ψi) fur i = 1, . . . , N (3.31)
Die eindeutige Darstellung der gesuchten Losung bezuglich der Basis von Sh
uh =
N∑
k=1
zkψk (3.32)
fuhrt zu einem Gleichungssystem in den Koeffizienten zk
N∑
k=1
A(ψk, ψi)zk = F (ψi) fur i = 1, . . . , N (3.33)
In Matrix-Vektorform ergibt sich fur Aik := A(ψk, ψi) und bi := F (ψi)
Az = b (3.34)
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 21
A heißt Steifigkeitsmatrix oder Systemmatrix des Problems, sie ist dunn besetzt und
kann mit den Losungsverfahren in Abschnitt 3.7.3 behandelt werden.
Es gibt verschiedene Ansatze, das Problem (3.29) zu losen.
• Rayleigh-Ritz-Verfahren zielen darauf ab, das Variationsproblem in Sh direkt
zu minimieren.
• Galerkin-Verfahren verwenden die schwache Formulierung basierend auf (3.31)
fur nicht notwendigerweise symmetrische Probleme. Im symmetrischen, positiv
definiten Fall (wie er sich fur einen elliptischen Operator A ergibt) spricht man
von Ritz-Galerkin-Verfahren.
• Petrov-Galerkin-Verfahren verwendet einen von Sh verschiedenen Raum von
Testfunktionen, was fur Probleme mit Singularitaten von Vorteil sein kann.
Es soll hier auch nicht weiter auf die Verfahren im Detail eingegangen werden, zum
Abschluss der FEM-Theorie wird noch kurz ein Beispiel fur einen moglichen Funk-
tionenraum Sh gegeben:
Abbildung 3.1: Stetige, stuckweise lineare Shape-Funktion, aus Bollhofer und Mehr-
mann (2004)
3.4.3 Zusammengesetzte, stuckweise lineare Basisfunktionen
Ausgehend von einer Diskretisierung von Ω ⊂ R2 mit kongruenten Dreiecken wahle
den Ansatzraum Sh wie folgt:
Sh := v ∈ C(Ω) : v linear in jedem Dreieck und v = 0 auf ∂Ω (3.35)
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 22
v ∈ Sh hat in jedem Dreieck die Form v(x, y) = a + bx + cy und ist durch die
Funktionswerte an den Gitterpunkten eindeutig bestimmt. Zu Knoten P1, . . . , Pm
auf Ω definiere die nodale Basis ψ1, . . . , ψN von Sh durch
ψi(Pj) = δij (3.36)
δij ist das Kronecker-Delta. Die so erhaltenen Basisfunktionen ψi heißen Hutfunk-
tionen oder Shape-Funktionen, sie sind nur in direkter Umgebung des Punktes Pi
von null verschieden, vgl. Abb. 3.1.
Die Theorie lasst sich in gleicher Form auf dreidimensionale Falle erweitern. Die
linearen Shape-Funktionen nehmen auf einem Tetraeder folgende Form an:
ψi(x, y, z) = a+ bx+ cy + dz (3.37)
Wie eben gilt ψi(Pj) = δij .
Bei Verwendung eines Funktionenraumes Sh auf Basis solcher stuckweise linearer
Shape-Funktionen zur Interpolation der gesuchten Losung u spricht man von linea-
rer Interpolation. Andere Basen des Ansatzraums (stuckweise quadratische Funk-
tionen, Polynome, Wavelets,..) sind auch denkbar, allerdings ist der rechnerische
Mehraufwand bei Shape-Funktionen hoherer Ordnung signifikant. Deshalb wird im
Dreidimensionalen haufig der lineare Ansatz gewahlt.
3.5 FV-Diskretisierung
Fur viele stromungsmechanische Untersuchungen hat sich die Finite-Volumen-Me-
thode unter anderem wegen ihrer Erhaltungseigenschaften etabliert. Hier soll nun
das diskrete FV-Modell eingefuhrt werden, das dieser Arbeit zu Grunde liegt: Es
wird das von Hadzic (2005) beschriebene Verfahren ubernommen, das auf einer Dis-
kretisierung des Raumes zweiter Ordnung mit impliziter Zeitschrittintegration fur
instationare Probleme beruht. Die Berechnung der gesuchten Variablen erfolgt se-
quentiell, indem die Gleichungen linearisiert und dann nacheinander mit Konjugierte-
Gradienten-Verfahren gelost werden. Fur die Koppelung von Druck und Geschwin-
digkeit und die Druckberechnung wird der SIMPLE Algorithmus benutzt.
Alle Erhaltungsgleichungen außer der Kontinuitatsgleichung, die getrennt behandelt
wird, nehmen folgende Form an, wenn sie auf ein diskretes Kontrollvolumen ∆V wie
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 23
Abbildung 3.2: Diskretes Kontrollvolumen, aus Hadzic (2005)
in Abbildung 3.2 angewandt werden:
∂
∂t
∫
∆V
ρφ dV
︸ ︷︷ ︸
Anderungsrate
+N∑
j=1
∫
Sj
ρφv · n dS
︸ ︷︷ ︸
Konvektion
=N∑
j=1
∫
Sj
Γφgradφ · n dS
︸ ︷︷ ︸
Diffusion
+
N∑
j=1
∫
Sj
qφS · n dS
︸ ︷︷ ︸
Oberflachenquellen
+
∫
∆V
qφV dV
︸ ︷︷ ︸
Volumenquellen
(3.38)
Die Oberflachenintegrale aus (3.10) stellen sich als Summe uber die einzelnen Zell-
flachen dar, die das KV begrenzen. Die unterschiedliche numerische Berechnung der
Terme in Gleichung (3.38) (Anderungsrate, Konvektion, Diffusion und Quellen) wer-
den im Folgenden beschrieben.
3.5.1 Approximation von Integralen
Fur die Integration uber ein KV wird die Mittelpunktsregel verwendet, das einfachste
Verfahren zweiter Ordnung:
ΨP0=
∫
∆V
ψ dV = ψ∆V ≈ ψP0∆V (3.39)
ψP0bezeichnet den Variablenwert im Zellmittelpunkt P0 , der mit dem Volumen
multipliziert wird.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 24
Auch fur Oberflachenintegrale verwendet man die Mittelpunktsregel, der Fluss Fj
der transportierten Variable durch die Oberflache berechnet sich nach folgender For-
mel:
Fj =
∫
Sj
f · n dS ≈ fj · sj (3.40)
f steht fur den Flussvektor, fj fur den Wert von f im Schwerpunkt der Seiten-
flache Sj . Durch das Skalarprodukt mit sj , dem Oberflachenvektor der Seite j,
ergibt sich der Fluss durch Sj . Der Wert von fj steht nicht direkt zur Verfugung, er
muss aus den Knotenwerten durch Interpolation mindestens zweiter Ordnung berech-
net werden, sonst verliert die Mittelpunkt-Quadraturformel ihre Genauigkeit zweiter
Ordnung.
Der Flachenvektor einer KV-Seite berechnet sich wie folgt: Man zerlegt die Seite
so in Dreiecke, dass sie einen gemeinsamen Eckpunkt haben. Sei r1 der Ortsvektor
dieses Punktes. Dann gilt fur den Oberflachenvektor eines Dreiecks:
sD =1
2
Nv∑
i=3
[(ri−1 − r1) × (ri − r1)] (3.41)
Nv bezeichnet die Anzahl der Eckpunkte der Seite. Den Oberflachenvektor der Seite
sj erhalt man durch Aufsummieren der Flachenvektoren der einzelnen Dreiecke. sj
steht normal zur Seitenflache, der Betrag des Vektors entspricht dem Flacheninhalt
Sj der Seite.
Mit dem Gauss-Theorem lasst sich das Zellvolumen ∆V approximieren:
∆V =
∫
V
dV =
∫
V
∇ · (x i) dV =
∮
S
x i · n dS ≈∑
j
xj sxj (3.42)
sxj bezeichnet die x-Komponente des Oberflachenvektors, es gilt
sj = S jn = sxj i + sy
j j + szjk . (3.43)
3.5.2 Konvektion
Der konvektive Fluss durch die Zellflache j wird mit Mittelpunktregel wie folgt
approximiert:
F cj =
∫
Sj
ρφv · n dS ≈ φjmj (3.44)
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 25
φj ist der Wert der Variable im Schwerpunkt der Oberflache, mj bezeichnet den
Massenfluss durch die Oberflache j , er wird mittels Picard-Iteration aus dem vorhe-
rigen Zeitschritt approximiert, vgl. Ferziger und Peric (2008). Fur die Interpolation
von φj aus den Zellzentren stehen folgende Methoden zur Verfugung:
Lineare Interpolation
Eines der einfachsten Verfahren zweiter Ordnung beruht auf linearer Interpolation.
Abbildung 3.3: Lineare Interpolation in der Mitte der KV-Seite, aus Hadzic (2005)
Der Wert des Punktes j′ , der zwischen benachbarten Rechenknoten Pj und P0
liegt, berechnet sie wie folgt (vgl. Abb. 3.3):
φZj′ = φPj
λj + φP0(1 − λj) (3.45)
Der Interpolationsfaktor λj berechnet sich uber
λj =(rj − rP0
) · dj
dj · dj
. (3.46)
dj = rj−r0 ist der Vektor, der P0 mit Pj verbindet, rk bezeichnet den Ortsvektor
von k . Im Punkt j′ ist dies eine Approximation zweiter Ordnung. Falls j und j′
allerdings weit auseinander liegen, muss die Formel wie folgt angepasst werden, um
auch in j die gewunschte Interpolationsgute zu erhalten:
φZj = φ′
j + (gradφ)j ′(rj − rj′) (3.47)
Der Gradient in j′ wird durch Interpolation nach (3.45) aus den Gradienten in
den Zellzentren gewonnen. Die hier beschriebene lineare Interpolation wird auch
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 26
Zentraldifferenzenmethode genannt, da die Form mit der FD-Approximation der
ersten Ableitung ubereinstimmt.
In der Stromungsmechanik gibt es bestimmte Umstande, unter denen diese Methode
zu physikalisch inkorrekten, oszillierenden Losungen fuhrt. Man benotigt ein stabi-
leres Verfahren.
Upwind-Interpolation
Ein weitverbreitetes Verfahren, das beschrankte, oszillationsfreie Losungen liefert, ist
die Upwind-Interpolation. Der Wert der Variable auf der Oberflache wird mit dem
nachsten, stromaufwarts gelegenen Rechenknotenwert belegt:
φUj =
φP0: mj ≥ 0
φPj: mj ≤ 0
(3.48)
Das Verfahren ist allerdings nur von erster Ordnung, und es wurde gezeigt dass das
Verfahren numerisch diffusiv ist - Diskretisierungsfehler konnen zu unphysikalischer
Diffusion fuhren. Man benotigt ein sehr feines Gitter um Losungen von akzeptabler
Genauigkeit zu erhalten. Deshalb verwendet man in der Praxis haufig eine Mischung
beider Verfahren:
Gemischte Verfahren
Um die unzureichende Stabilitat des Zentraldifferenzverfahrens zu verbessern, kann
man der Interpolation einen gewissen Anteil des Upwind-Verfahrens ”beimischen”.
Der Wert in der Zelloberflache wird dann wie folgt berechnet:
φj = γ φZj + (1 − γ)φU
j (3.49)
Das Mischverhaltnis γ (engl. blending factor) nimmt einen Wert zwischen 0 und 1
an. Je nach Struktur des Problems muss eine andere Einstellung gewahlt werden um
einen Kompromiss aus Stabilitat und Genauigkeit zu erreichen.
Der Ansatz der verzogerten Korrektur liefert folgende Form der Gleichung:
φj = φUj + γ(φZ
j − φUj )alt (3.50)
Hier kommt nur der unbedingt stabile Teil aus dem Upwind-Verfahren fur die ak-
tuelle Iteration zu tragen, die Differenz zwischen den beiden Verfahren wird unter
Verwendung der Werte aus der vorherigen Iteration bei der Losung des Gleichungs-
systems explizit behandelt, vgl. Ferziger und Peric (2008).
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 27
3.5.3 Diffusion
Der diffusive Fluss FDj durch eine Zellflache j wird uber die Mittelpunktregel fol-
gendermaßen berechnet:
FDj =
∫
Sj
Γφgradφ · n dS ≈ Γφj (gradφ)∗j · sj = Γφj
(∂φ
∂n
)
j
Sj (3.51)
Γφ steht fur den Diffusionskoeffizienten, (gradφ)∗j fur eine Approximation des Gra-
dienten im Mittelpunkt der Seitenflache, Sj fur den Inhalt des Oberflachenstuckes.
Den Gradienten in Normalenrichtung aus Ableitungen im Zentrum der Zellen zu
interpolieren birgt die Gefahr von Oszillationen, vgl. Ferziger und Peric (2008), wes-
halb Hadzic (2005) folgende, von Muzaferija (1994) eingefuhrte Form verwendet, die
die Probleme verhindert und die Genauigkeit zweiter Ordnung wahrt:
(∂φ
∂n
)
j
≈φPj
− φP0
|dj|− (gradφ)altj ·
(dj
|dj|−
sj
|sj|
)
(3.52)
(gradφ)altj wird durch Interpolation nach Gleichung (3.45) bestimmt. Der erste Term
der rechten Seite ist eine Zentraldifferenzen-Approximation der Ableitung in direkter
Richtung zwischen den Zellmittelpunkten, der zweite Term korrigiert diese bezuglich
der Normalenrichtung sj zur Zelloberflache.
3.5.4 Gradientenberechung im Zellmittelpunkt
Gradienten im Zellmittelpunkt konnen mit Mittelpunktregel und dem Gaußschen
Integralsatz wie folgt approximiert werden:
∫
V
gradφ dV =
∮
S
φ · n dS ⇒ (gradφ)P0≈
∑
j φjsj
∆VP0
(3.53)
Die Approximation ist zweiter Ordnung und kann auf beliebige Zellformen angewandt
werden.
Eine andere Moglichkeit einer Gradientenapproximation zweiter Ordnung ist die Me-
thode der kleinsten Quadrate: (gradφ)P0kann berechnet werden, indem man eine
lineare Ansatzfunktion an einen Satz Nachbarpunkte von P0 anpasst. Hierzu lost
man die folgende Gleichungen:
dj · (gradφ)P0= φPj
− φP0(j = 1 , . . . ,Nj ) (3.54)
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 28
Hierbei ist dj der Verbindungsvektor von P0 zu Pj. Das uberbestimmte Gleichungs-
system wird mit der Methode der kleinsten Quadrate gelost, es ergibt sich:
(grad φ)P0= D−1
∑
j
dTj (φPj
− φP0) (3.55)
Die Matrix D berechnet sich folgendermaßen: D =∑
j
dTj dj . Sie ist symmetrisch,
und ihre Eintrage hangen nur von der geometrischen Gitterstruktur ab, folglich muss
sie fur ein gegebenes Gitter nur einmal berechnet werden.
3.5.5 Quellterme
Integration der Quelldichte qφV einer Variable φ uber das Kontrollvolumen ∆VP0
wird mit (3.39) durchgefuhrt:
QφV =
∫
V
qφV dV ≈ (qφV )P0∆VP0
(3.56)
Genauso wird eine Oberflachenquelle als Integral der Quelle qφS uber die KV-Ober-
flache SP0unter Verwendung von Gleichung (3.40) approximiert:
QφS =
∮
S
qφS · n dS =
Nj∑
j=1
∮
Sj
qφS · n dS ≈
Nj∑
j=1
qφSj· sj (3.57)
3.5.6 Behandlung der Druckgleichung
Der Druckterm aus der Impulsgleichung kann auf zwei Arten behandelt werden.
Zum einen kann der Druck berechnet werden, indem man die Druckkrafte auf allen
Zellflachen berechnet und aufsummiert. Die andere Moglichkeit ist, das Oberflachen-
integral mit dem Gaußschen Integralsatz in ein Volumenintegral zu uberfuhren, das
den Druckgradienten enthalt:
∮
S
pI · n dS =
∫
V
grad p dV (3.58)
Die zweite Methode wird hier ubernommen, sie ist konservativ, solange der Druck-
gradient mit Gleichung (3.53) berechnet wird.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 29
3.5.7 Zeitintegration
Fur instationare Stromungen muss die Integration von Gleichung (3.38) auch bezuglich
der Zeit erfolgen. Hierzu wird sie folgendermaßen umgeformt:
∂Ψ
∂t= f(t, φ) mit Ψ =
∫
V
ρφ dV ≈ ρφP0∆VP0
und φ = φ(r, t) (3.59)
Es gibt zwei Klassen von Zeitschrittverfahren: explizite und implizite. Explizite Me-
thoden sind leicht zu implementieren, da keine linearen Gleichungssysteme gelost
werden mussen, und sie erlauben eine beliebige Genauigkeit in der Zeit. Allerdings
mussen aus Stabilitatsgrunden die Zeitschritte oft viel kleiner gewahlt werden, als es
fur die Genauigkeit notig ware, was sie fur die praktische Anwendung oft ineffizient
macht. Abhilfe schaffen implizite Verfahren, sie sind unbedingt stabil und erlauben
beliebige Zeitschrittweiten, die nur durch die gewunschte Genauigkeit beschrankt
sind, allerdings muss man algebraische Gleichungssysteme losen, die nichtlinear sein
konnen. Hier werden zwei (voll-)implizite Methoden betrachtet: Die Euler-Methode,
ein Verfahren erster Ordnung, und die Drei-Ebenen-Methode zweiter Ordnung.
Das Euler-Schema erhalt man, indem man Gleichung (3.59) uber das Zeitintervall
∆t = tn − tn−1 integriert:
1
∆t
tn∫
tn−1
(∂Ψ
∂t
)
dt ≈Ψn
P0− Ψn−1
P0
∆t= f n (3.60)
Das Euler-Schema ist sehr einfach und unbedingt stabil, es hat Konsistenz- und Kon-
vergenzordnung 1. Allerdings kann seine Struktur aufgrund von numerischer Diffu-
sion zu einer starken Dampfung der Eigenschaften instationarer Stromungen fuhren.
Um die Genauigkeit zu erhohen ist in manchen Situationen ein Verfahren hoherer
Ordnung notig. Hadzic (2005) verwendet die Drei-Ebenen-Methode, die Variablen-
werte von drei Zeitschritten erfordert und die Integration uber ∆t gemittelt um
t durchfuhrt, also von t − ∆t/2 bis t + ∆t/2 . Die bei Ferziger und Peric (2008)
beschriebene quadratische Ruckwartsintegration in der Zeit ergibt die Approximati-
onsformel zweiter Ordnung in tn :
1
∆t
tn+1/2∫
tn−1/2
(∂Ψ
∂t
)
dt ≈3Ψn
P0− 4Ψn−1
P0+ Ψn−2
P0
2∆t= f n (3.61)
Ein wichtiger Parameter fur die Wahl der Schrittweite ∆t ist die so genannte Cou-
rant-Zahl, die beschreibt um wie viele Zellen sich eine betrachtete Große pro Zeit-
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 30
schritt maximal fortbewegt:
Co =u∆t
∆x(3.62)
Fur viele Anwendungen fordert man Co ≤ 1 .
3.5.8 Resultierende algebraische Gleichungen
Summiert man alle Terme der Gleichung (3.10) wie beschrieben auf, so erhalt man
fur jedes KV eine algebraische Gleichung, die den Wert der abhangigen Variable φ
im KV-Zentrum mit den Werten der Nachbarvariablen in Verbindung setzt:
aP0φφP0−
Nj∑
j=1
ajφPj= bP0
(3.63)
j lauft uber die Indices der Nachbarknoten, die in den impliziten Integralapproxi-
mationen vorkommen, bP0umfasst die Quellterme, Teile der Zeitableitung und die
Teile der konvektiven und diffusiven Terme, die nach der Methode der verzogerten
Korrektur explizit behandelt werden, sowie die Oberflachenquellterme. Die Werte
der Koeffizienten ergeben sich aus den oben eingefuhrten Approximationsformeln:
aj = Γφ|sj|
|dj|− min (mj , 0)
aP0φ = atP0
+
Nj∑
j=1
aj (3.64)
bP0= QφV +QφS + btP0
− γ mjφZj − [max (mj , 0)φP0
− min (mj , 0)φPj]
+ Γφ(gradφ)j ·
(
sj −|sj|
|dj|dj
)
+∑
B
aBφB
atP0
und btP0entsprechen dem transienten Teil des verwendeten Zeitintegrationssche-
mas, die Werte findet man in Tabelle (3.1). Der Upwind-Anteil der Integralapproxi-
mation ergibt sich aus folgender Beziehung:
mjφAj = max (mj , 0)φP0
+ min (mj , 0)φPj(3.65)
Die Summe∑
B
aBφB lauft uber die Oberflachen, die den Rand des Berechnungsge-
bietes beschreiben, φB bezeichnet den Variablenwert am Rand. Des Weiteren werden
die Koeffizienten und Quellterme in Gleichung (3.64) im Einklang mit dem Picard-
Iterationsschema mit den Werten des vorangehenden Zeitschritts berechnet.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 31
Tabelle 3.1: Zeitintegrationskoeffizienten in Gleichung (3.64)
Koeffizient implizites Euler Drei-Ebenen-Methode
atP0
ρ∆VP0
∆t
3ρ∆VP0
2∆t
btP0
ρ∆VP0φn−1
P0
∆t
4ρ∆VP0φn−1
P0− ρ∆VP0
φn−2P0
2∆t
3.5.9 Druckberechnung mit dem SIMPLE-Algorithmus
Der Berechnung des Druckes kommt bei inkompressiblen Flussen eine besondere
Bedeutung zu. Er kann nicht wie die abhangigen Variablen direkt aus einer der
Systemgleichung berechnet werden. Hadzic (2005) wahlt den SIMPLE-Algorithmus,
ein iteratives Verfahren, das erst die mit Druckwerten aus einer vorherigen Itera-
tion linearisierten Impulsgleichungen lost. Das Massenungleichgewicht, das hierbei
in der Kontinuitatsgleichung entsteht, wird verwendet, um eine Druckkorrektur zu
berechnen, mit der die resultierenden Geschwindigkeiten die Kontinuitatsgleichung
erfullen. Da durch die korrigierten Geschwindigkeiten die Impulsgleichungen verletzt
sind, wird der Prozess iterativ wiederholt bis beide Gleichungen ausreichend genau
erfullt sind.
Geschwindigkeit an der Zelloberflache
Folgende Form der Geschwindigkeitsinterpolation an der KV-Oberflache unterdruckt
mogliche Oszillationen:
v∗
j = vj −
(∆VP0
avP0
)
j
[pPj
− pP0
|dj|−
grad p · dj
|dj|
]|dj|sj
dj · sj
(3.66)
Hier ist vj die lineare Interpolation nach Gleichung (3.45), der Rest ein Korrek-
turterm dritter Ordnung, vgl. Ferziger und Peric (2008) fur Ursprung und nahere
Beschreibung.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 32
Pradiktor-Phase
Mit gegebenem KV-Oberflachengeschwindigkeiten lasst sich der Massenfluss uber
m∗
j = ρv∗
j · sj berechnen, und die in der Regel verletzte Massenerhaltungsgleichung
liefert:
Nj∑
j=1
m∗
j = ∆m (3.67)
∆m bezeichnet das Massenungleichgewicht, das nach erfolgter Korrektur Null sein
sollte. Der SIMPLE-Algorithmus liefert die notwendige Flusskorrektur:
m′
j = ρv′
j · sj = −ρ|sj|
(∆VP0
avP0
)
j
(∂p ′
∂n
)
j
≈ −ρ|sj|
(∆VP0
avP0
)
j
p ′
Pj− p ′
P0
dj · sj
|sj| (3.68)
Hierbei muss folgende Bedingung an die korrigierten Massenflusse erfullt sein:
Nj∑
j=1
m′
j + ∆m = 0 (3.69)
Es ergibt sich eine Druckkorrekturgleichung folgender Form:
ap′Pp′P0
−
Nj∑
j=1
ap′jp′Pj
= bp′ (3.70)
Fur die Koeffizienten gilt:
ap′j= ρ
sj · sj
dj · sj
(∆VP0
avP0
)
j
ap′
P=
Nj∑
j=1
ap′
jbp′ = −∆m = −
Nj∑
j=1
m∗
j (3.71)
Korrektor-Phase
Nach der Losung von Gleichung (3.70) korrigiert man den Massenfluss:
mj = m∗
j + ap′j(p′Pj
− p′P0) (3.72)
Dann berechnet man ein neues Geschwindigkeitsfeld uber
vP0= vpred
P0+ v′
P0= vpred
P0−
∆VP0
avP0
(grad p ′)P0(3.73)
Anschließend aktualisiert man die Druckwerte:
pP0= ppred
P0+ αpp
′
P0(3.74)
Der Unterrelaxationsfaktor αp wird fur stationare Probleme mit Werten von 0,1−0,3
und fur instationare Probleme mit Werten bis zu 1 belegt.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 33
3.5.10 Randbedingungen
Fur den Abschluss des algebraischen Gleichungssystems, das aus der Diskretisierung
hervorgegangen ist, benotigt man noch Bedingungen an den Zellflachen, die das
Berechnungsgebiet begrenzen, sie ergeben sich wie folgt:
Am Einstromrand (engl. inlet) sind die Variablenwerte in der Regel bekannt, wes-
halb Dirichlet-Bedingungen verwendet werden. Konvektive Flusse konnen so direkt
berechnet werden, fur diffusive Flusse benotigt man einseitige FD-Approximationen.
Fur den Ausstromrand (engl. outlet) sind die Variablenwerte nicht bekannt, in der
Regel werden sie extrapoliert. Einzig die Geschwindigkeitswerte bedurfen besonderer
Behandlung, da die Massenerhaltung gewahrt bleiben muss. Dazu werden die extra-
polierten Werte mit dem Verhaltnis mI/mO der gesamt einstromenden zur gesamt
ausstromenden Masse multipliziert.
In einer Symmetrieebene muss die Geschwindigkeitskomponente normal zur Ebene
null sein, vBn(rB , t) = 0 , wie auch die konvektiven Flusse aller Skalargroßen. Dies
erfordert teils Dirichlet- und teils Neumann-Randbedingungen.
Fur eine Wand mit Haftbedingungen werden die Dirichlet-Geschwindigkeitswerte
an der Wand direkt auf das Fluid ubertragen, die ubrigen skalare Großen konnen
entweder durch Dirichlet oder Neumann beschrieben werden.
Die Randbedingungen der Druckkorrekturgleichung (3.70) mussen gesondert behan-
delt werden: In Elementen am Rand, in denen direkt Massenfluss beschrieben wird,
muss die Korrektur null sein, realisiert durch Neumann-Bedingungen. Ist hingegen
eine Druckrandbedingung gegeben, so wird die Nullkorrektur am Rand durch Dirich-
let-Bedingungen umgesetzt.
3.6 Turbulenzmodellierung
Das eingefuhrte Modell der Navier-Stokes-Gleichungen modelliert die Stromungen
eines inkompressiblen Fluids exakt. Allerdings stoßt man bei der numerischen Be-
rechnung auf folgende Problematik: Um alle Details einer Stromung, besonders die
Bildung kleinster Wirbel erfassen zu konnen benotigt man eine sehr feine Diskretisie-
rung des Losungsraumes. Diese so genannte direkte numerische Simulation (DNS) ist
sehr rechenaufwendig. Da fur die meisten stromungsmechanischen Problemen nicht
die Details der kleinsten Wirbel, sondern nur die quantitativen Eigenschaften dieser
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 34
turbulenten Stromungen von Bedeutung sind, bietet sich eine Modellvereinfachung
an.
3.6.1 RANSE
Die bekannteste Vereinfachung sind die Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Glei-
chungen (RANSE, engl. kurz fur Reynolds-averaged Navier-Stokes Equations). Die
Reynolds-Mittelung basiert darauf, dass statistisch stationare Stromungen als Sum-
me aus einem zeitgemittelten Wert und Schwankungen um diesen Wert dargestellt
werden konnen, vgl. Ferziger und Peric (2008):
φ(xi, t) = φ(xi) + φ′(xi, t) (3.75)
wobei
φ(xi) = limT→∞
1
T
T∫
0
φ(xi, t)dt (3.76)
t ist die Zeit, T das Mittelungsintervall, das hinreichend groß gewahlt werden muss,
um Schwankungen sinnvoll auszugleichen, so dass fur die mittlere Schwankung φ′ = 0
gilt.
Fur nicht statistisch stationare Stromungen muss eine andere Form der Reynolds-
Mittelung gewahlt werden:
φ(xi) = limN→∞
1
N
N∑
n=1
φn(xi, t) (3.77)
N bezeichnet die Anzahl der Ensemblemitglieder, die groß genug sein muss, um die
Fluktuationseffekte zu beseitigen. Diese Ensemblemittelung kann auf jede Stromungs-
art angewendet werden.
Bei der Mittelung nichtlinearer Ausdrucke entstehen Zusatzterme, bei quadratischen
Termen fuhrt das zu Produkten der Mittelwerte und der Kovarianz:
uiφ = (ui + u′i)(φ+ φ′) = uiφ+ u′iφ′ (3.78)
Es ergibt sich folgende Form der gemittelten Kontinuitats- und Impulsgleichungen fur
inkompressible Stromungen ohne Massenkrafte in Tensornotation und kartesischen
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 35
Koordinaten:
∂(ρui)
∂xi
= 0 (3.79)
∂(ρui)
∂t+
∂
∂xj
(ρuiuj + ρu′iu
′
j
)= −
∂p
∂xi+∂τ ij
∂xj(3.80)
τ ij bezeichnet den mittleren, viskosen Spannungstensor:
τ ij = µ
(∂ui
∂xj
+∂uj
∂xi
)
(3.81)
µ steht fur die molekulare Viskositat des Fluids.
Fur die gemittelte Gleichung einer skalaren Große ergibt sich:
∂(ρui)
∂t+
∂
∂xj
(ρujφ+ ρu′jφ
′
)=
∂
∂xj
(
Γ∂φ
∂xj
)
(3.82)
Besondere Beachtung gelte den Reynolds-Spannungen ρu′iu′
j und dem turbulenten
Skalarfluss ρu′iφ′ . Diese Terme konnen nicht durch die gemittelten Einzelgroßen
ausgedruckt werden. Man spricht von einem nicht geschlossenen Problem - es wer-
den zusatzliche Gleichungen benotigt, um die unbekannten Terme zu berechnen.
Man verwendet verschiedene Turbulenzmodelle um das RANSE-System zu schließen
- Approximationen der Unbekannten durch Funktionen der gemittelten Großen und
empirischer Parameter.
3.6.2 k- ε -Turbulenzmodell
Den Simulationen in dieser Arbeit liegt das k−ε -Turbulenzmodell zu Grunde, das
am weitesten verbreitete Wirbelviskositatsmodell.
Turbulenz wird bei Wirbelviskositatsverfahren uber eine (lokal) erhohte Viskositat
des Fluids in Bereichen nicht laminarer Stromung modelliert. Hierzu fuhrt man tur-
bulente Diffusivitats- und Viskositatskoeffizienen ein. Dies sind nichtlineare Funktio-
nen der Flussparameter (Diffusivitat, Geschwindigkeit, Viskositat,...), die im Stromungs-
raum um mehrere Großenordnungen variieren konnen und so den unterschiedlichen
Auspragungen der Turbulenz in der Stromung Rechnung tragen.
Fur die Reynolds-Spannungen gilt:
−ρu′iu′
j = µt
(∂ui
∂xj+∂uj
∂xi
)
−2
3ρδijk (3.83)
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 36
Fur den turbulenten Skalarfluss gilt entsprechend:
−ρu′jφ′ = Γt
∂φ
∂xj(3.84)
k steht fur die turbulente kinetische Energie, µt fur die Wirbelviskositat, Γt fur
die Wirbeldiffusivitat, sie mussen fur den Abschluss des RANSE-Systems uber die
Modellapproximationen berechnet werden.
Im hier verwendeten k- ε -Modell gilt:
k =1
2u′iu
′
i =1
2
(u′xu
′
x + u′yu′
y + u′zu′
z
)(3.85)
Die Wirbelviskositat berechnet sich unter Verwendung der dimensionslosen Modell-
konstante Cµ = 0.09 uber folgende Beziehung:
µt = ρCµk2
ε(3.86)
ε bezeichnet die Dissipationsrate.
Die Berechnung des RANSE-Systems erfolgt genau wie die normalen Navier-Stokes-
Gleichungen, allerdings unter Verwendung der effektiven Viskositat µeff = µ + µt ,
fur die zusatzlich der Transport der beiden Skalargroßen k und ε berechnet werden
muss. Diese Transportgleichungen, die nach dem Schema der ubrigen Skalargleichun-
gen diskretisiert werden, finden sich in Ferziger und Peric (2008), Kapitel 9.4, oder
Comet User Manual (2001), Kapitel 3.5.
Die auf diese Weise gewonnene Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen ist fur
viele Problemstellungen mehr als ausreichend. Allerdings kann diese Turbulenzmo-
dellierung nie alle Eigenschaften einer nicht laminaren Stromung erfassen, sie sollte
daher stets als Approximation gesehen werden. Eine ausfuhrliche Beschreibung des
Modells sowie anderer in der Praxis verwendeter Verfahren findet sich in Ferziger
und Peric (2008).
3.7 Losen des Gleichungssystems
Die in diesem Kapitel beschriebene Diskretisierung fuhrt zu algebraischen Gleichun-
gen der Form (3.63) fur jede Zelle und jede Variable. Die Gleichungen sind nichtli-
near und gekoppelt, d.h die Koeffizienten hangen von den Variablen ab und in den
Gleichungen steht mehr als eine abhangige Variable. Hadzic (2005) wahlt folgendes
Verfahren der sequentiellen Losung:
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 37
3.7.1 Sequentielles Losungsverfahren
Das Losungsverfahren beruht darauf, die gesuchten Variablen iterativ und nach-
einander zu berechnen. Hierfur wird das System mit bekannten Werten aus einer
vorherigen Iteration linearisiert und kann wie folgt geschrieben werden:
AφΦ = bφ (3.87)
Aφ bezeichnet die Koeffizientenmatrix mit N × N Eintragen fur die N Zellen. Φ
ist der Vektor der Variablenwerte φ und bφ der Vektor der Quellterme. Die Matrix
Aφ hat zwei wichtige Eigenschaften:
• Sie ist dunn besetzt, nur Nj + 1 Eintrage pro Zeile sind ungleich Null, mit Nj
der Anzahl in Gleichung (3.63) verwendeter Nachbarpunkte von Pj .
• Sie ist diagonaldominant, d.h. fur alle Zellen gilt:
|aP0φ| ≥∑
j
|ajφ| (3.88)
Daher bieten sich iterative Loser fur das lineare Gleichungssystem (LGS) an, die
die Dunnbesetztheit der Matrix bewahren. Eine exakte Losung ist nicht unbedingt
notig, da durch die Linearisierung ohnehin nur Naherungen der Koeffizienten berech-
net werden. Man iteriert solange, bis ein Abbruchkriterium erfullt ist (Reduktion der
Residuen um eine gewisse Großenordnung, Erreichen einer maximalen Zahl von Ite-
rationen). Iterationen fur die Losung des linearisierten Systems werden auch innere
Iterationen genannt.
Nach der Losung der linearisierten Systeme fur alle Variablen werden die Koeffizi-
enten des Gesamtsystems aktualisiert und der gesamte Vorgang wiederholt, bis ein
Konvergenzkriterium erfullt ist oder die maximale Anzahl dieser außeren Iterationen
erreicht ist. Das Konvergenzkriterium ist erfullt, wenn die entsprechend normierte
Summe der Residuen eine gewisse Schranke unterschreitet. Hadzic (2005) wahlt fol-
gende Abbruchbedingung:
Rkφ =
N∑
i=1
|rkφ|
Mφ=
N∑
i=1
|bP0− aP0φφP0
+Nj∑
j=1
ajφPj|
Nj∑
j=1
|aP0φφP0|
≤ ε (3.89)
Hier steht rkφ fur das Residuum im Punkt P0 in Iteration k , ε ist ein Bruchteil
von R0φ . In der Regel reduziert man das Residuum um drei Großenordnungen, also
bis Rkφ < 0,001R0
φ , es kann aber auch ein strengeres Abbruchkriterium notig sein
um eine konvergierte Losung zu erhalten.
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 38
3.7.2 Unterrelaxation
Eine verlangsamte Korrektur der Variablenwerte, Unterrelaxation, tragt zur Stabi-
litat des Losungsverfahrens des gekoppelten Gleichungssystems bei. In der außeren
Iteration wird nur ein Bruchteil der Anderung aus den inneren Iterationen uber-
nommen, starke Schwankungen wie sie besonders zu Anfang auftreten werden so
gedampft. Man setzt:
φmP0
= φm−1P0
+ αφ
(φneu
P0− φm−1
P0
)(3.90)
Der Unterrelaxationsfaktor αφ nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. m ist der Index
der außeren Iterationen, φneuP0
ergibt sich wie folgt aus der Losung von Gleichung
(3.63):
φneuP0
=
bP0−
Nj∑
j=1
ajφmPj
aP0
(3.91)
3.7.3 LGS-Loser
Es gibt zwei Klassen von LGS-Losern, direkte und iterative. Direkte Loser bestimm-
ten in einer finiten Anzahl von Rechenoperationen eine exakte Losung, iterative Ver-
fahren beginnen mit einer Startlosung (Nullvektor, Losung einer vorherigen Iterati-
on), die sie in kleinen Schritten verbessern. Direkte Verfahren sind wegen der Große
der auftretenden Gleichungssysteme fur die meisten Stromungsmechanikprobleme
ungeeignet. Außerdem basieren die meisten Verfahren zum Losen von gekoppelten,
nichtlinearen Gleichungen auf linearisierten Approximationen, was die recheninten-
sive exakte Losung der LGS aus den inneren Iterationen unnotig macht. Aus der
Klasse der iterativen Verfahren wahlt Hadzic (2005) das Bi-CGStab-Verfahren mit
unvollstandiger Cholesky-Vorkonditionierung, das hier kurz ins Feld der LGS-Loser
eingeordnet werden soll.
Vorkonditionierer
Fur iterative Losungsverfahren großer, dunnbesetzer Systeme ist die Verwendung ei-
nes Vorkonditionierers ublich. Man bestimmt eine Vorkonditionierungsmatrix P um
die numerischen Eigenschaften der Systemmatrix zu verbessern. Das abgewandelte
System
P−1Ax = P−1b (3.92)
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 39
benotigt eine stark reduzierte Anzahl von Losungsiterationen, da es in der Regel
eine geringe Kondition und eine geschicktere Eigenwertverteilung hat. Ubliche Vor-
konditionierer sind einige Schritte eines iterativen LGS-Loser wie Jacobi- oder Gauss-
Seidel, Alternativen sind Zerlegungsverfahren wie Cholesky, das die Matrix in eine
untere und obere Teilmatrix zerlegt. Vergleiche Quarteroni u. a. (2002) fur einen
Uberblick der Verfahren.
Die meisten dieser Verfahren sind fur symmetrische, positiv definite Matrizen ausge-
legt, was auf ein Gleichungssystem zur Diskretisierung eines Stromungsproblems auf
einem unregelmaßigen Gitter in der Regel nicht zutrifft. Hierfur werden modifizier-
te Verfahren wie die unvollstandige Cholesky-Faktorisierung (engl. ILU (incomplete
LU), oder IC (incomplete Cholesky)) verwendet:
(LU)−1Ax = (LU )−1b , (3.93)
mit LU ≈ A eine Naherung der Systemmatrix, bestehend aus einer oberen und
unteren Dreiecksmatrix U und L. Die ILU-Zerlegung, die die Besetzungsstruktur
des Ausgangssystems bewahrt, existiert nicht fur alle invertierbaren Matrizen, fur
die hier auftretenden diagonaldominanten Systeme wurde die Existenz allerdings
gezeigt, vgl. Manteuffel (1980).
CG-Verfahren
Das Verfahren der konjugierten Gradienten (engl. CG, conjugate gradient) aus der
Klasse der Krylow-Unterraum-Verfahren ist ein effizientes Verfahren zum Losen großer,
dunnbesetzter Gleichungssysteme mit symmetrischer und positiv definiter System-
matrix. Es basiert auf der Bestimmung der Losung in einem Unterraum, der in
jeder Iteration um eine Dimension erweitert wird und theoretisch in m Schritten die
endgultige Losung eines m-dimensionalen Problems liefert. In der Praxis fuhren z.B.
Rundungsfehler dazu, dass das Verfahren in m Schritten nicht vollstandig konver-
giert. Es sollte daher als iteratives Verfahren zur Bestimmung von Naherungslosun-
gen gesehen werden. Gerade hierbei fuhrt wie bei allen Krylow-Methoden die Ver-
wendung eines Vorkonditionierers wie IC zu einer deutlich erhohten Konvergenzge-
schwindigkeit. Dieses ICCG-Verfahren und einige andere werden in Quarteroni u. a.
(2002) naher beschrieben.
Die CG-Verfahren sind nur fur symmetrische, positiv definite Matrizen sicher kon-
vergent. Zur Behandlung von unsymmetrischen Fallen gibt es allerdings Erweite-
rungen wie die Bi-konjugierte Gradientenmethode (BiCG) und ihre Stabilisierung,
KAPITEL 3. NUMERISCHE STROMUNGSMECHANIK 40
BiCGStab, die auf van der Vorst (1992) zuruckgeht und in Kombination mit IC-
Vorkonditionierung fur die Rechnungen dieser Arbeit verwendet wird.
3.7.4 Losungsalgorithmus
Die Schritte zur Losung eines stromungsmechanischen Problems lassen sich wie folgt
zusammenfassen:
1. Alle Felder mit Anfangswerten belegen
2. Die linearisierten Impulsgleichungen losen um Werte fur die Geschwindigkeit
zu erhalten
3. Die Druckkorrekturgleichung losen und p′ berechnen
4. Mit Gleichung (3.73) die Geschwindigkeiten, mit Gleichung (3.72) den Masse-
fluss und mit Gleichung (3.74) die Druckwerte korrigieren
5. Die Gleichungen der ubrigen Skalargroßen des Modells losen (turbulente kine-
tische Energie und Dissipation, Verteilung anderer Stoffe,...)
6. Wenn das Konvergenzkriterium nicht erfullt ist zuruck zu Schritt 2.
Fur instationare Stromungen muss ein Zeitschritt festgelegt werden, der von Iteration
zu Iteration variieren kann. Die Simulationen in dieser Arbeit werden allerdings mit
konstanten Zeitschritten durchgefuhrt.
Kapitel 4
Gebietszerlegungsverfahren
Dieses Kapitel dient der Einfuhrung mathematischer Grundprinzipien von Gebiets-
zerlegungsverfahren. Dies sind Losungsverfahren fur PDE die darauf basieren, das
Losungsgebiet zu zerlegen, die Losungen der Probleme auf den kleineren Teilgebie-
ten zu bestimmen, und die Teile zu einer Gesamtlosung zusammenzufugen.
Abbildung 4.1: Diskretisierter Losungsraum bestehend aus zwei Teilgebieten, aus
Mathew (2008)
Diese Technik, die auf Schwarz (1870) zuruckgeht, hat durch die Entwicklung von
Multiprozessorcomputern und Rechnerclustern in den letzten Jahrzehnten stark an
Bedeutung gewonnen. Mit wachsender Komplexitat und Große der Modelle wissen-
schaftlicher Anwendungen wird die Frage nach Parallelisierbarkeit der Losungsbe-
rechnung immer wichtiger, sie ist Kerngebiet aktueller Forschung. Die Entwicklungs-
arbeit erster moderner Gebietszerlegungsverfahren lasst sich anhand von Glowinski
(1988) nachvollziehen, Toselli und Widlund (2005) oder Quarteroni und Valli (1999)
geben einen umfassenden mathematischen Hintergrund der klassischen und heutigen
Methodik. Eine umfassende Behandlung aktueller Gebietszerlegungsverfahren findet
sich in Mathew (2008).
41
KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 42
Ein haufiges Nebenprodukt der Entwicklung solcher Verfahren sind Vorkonditionie-
rer, welche die Losung großer linearer Gleichungssysteme vereinfachen. Hierauf soll
in dieser Arbeit jedoch nicht weiter eingegangen werden.
In den folgenden Abschnitten wird das bekannte Schwarz-Verfahren und die dar-
aus hervorgegangenen uberlappenden Gebietszerlegungsverfahren beschrieben, be-
schrankt auf eine Formulierung fur zwei Teilgebiete. Die Betrachtung von Gebiets-
zerlegungsverfahren ohne Uberlappung am Ende dieses Kapitels wird sehr kurz ge-
halten, da sie fur diese Arbeit keine große Rolle spielen.
4.1 Zerlegung in Teilprobleme
Definition 4.1. Zwei offene Teilgebiete Ωi ⊂ Ω fur i = 1, 2 nennt man nichtuber-
lappende Zerlegung von Ω , falls folgende Bedingung erfullt ist:
Ω1 ∪ Ω2 = Ω
Ω1 ∩ Ω2 = Ø
Den Rand der Teilgebiete bezeichnet man mit ∂Ωi , den inneren Teilrand mit B(i) ≡
∂Ωi ∩ Ω , den außeren Teilrand mit B[i] ≡ ∂Ωi ∩ ∂Ω und die Ubergangsstelle mit
B ≡ ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 .
Abbildung 4.2: Losungsraum bestehend aus zwei uberlappenden Teilgebieten, aus
Mathew (2008)
KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 43
Definition 4.2. Zwei offene Teilgebiete Ω∗
i ⊂ Ω fur i = 1, 2 nennt man uberlap-
pende Zerlegung von Ω , falls folgende Bedingung erfullt ist:
Ω∗
1 ∪ Ω∗
2 = Ω
Den Rand der Teilgebiete bezeichnet man mit ∂Ω∗
i , den inneren Teilrand mit B(i) ≡
∂Ω∗
i ∩ Ω und den außeren Teilrand mit B[i] ≡ ∂Ω∗
i ∩ ∂Ω , vgl. Abb. 4.2.
Die Zerlegung wird in der praktischen Anwendung durch die Geometrie von Ω be-
stimmt, oder aufgrund von Regularitatseigenschaften der Losung u gewahlt, falls
solche bekannt sind.
Die Theorie der Gebietszerlegung wird am Beispiel einer elliptischen Differentialglei-
chung zweiter Ordnung veranschaulicht:
Lu ≡ −div (a(x ) grad u) + b(x ) · grad u + c(x )u = f in Ω
u = 0 auf ∂Ω(4.1)
Hierbei sei Ω ⊂ Rd , und es gelte
0 < a0 ≤ a(x) , ∀x ∈ Ω
b(x ) und c(x) ≥ 0 seien glatt, und f(x) ∈ L2(Ω) .
Definition 4.3. Eine Zerlegung der Eins uber den uberlappenden Teilraumen Ω∗
1
und Ω∗
2 besteht aus glatten Funktionen χ1(x) und χ2(x) , die folgendes erfullen:
χi(x) ≥ 0 in Ω∗
i
χi(x) = 0 in Ω \ Ω∗
i
χ1(x) + χ2(x) = 1 in Ω
Fur eine nichtuberlappende Zerlegung Ω1 und Ω2 von Ω ergibt sich
χi(x) ≥ 0 in Ωi
χi(x) = 0 in Ω \ Ωi
χ1(x) + χ2(x) = 1 in Ω
mit Unstetigkeiten der χi am Ubergang B = ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 .
KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 44
Um die Losung u des Gesamtproblems 4.1 auf ein gekoppeltes System von Teillosun-
gen wi(x) auf Ωi (bzw. Ω∗
i ) zuruckfuhren zu konnen, mussen zwei Bedingungen
erfullt sein:
• Konsistenz : ui(x) , die Einschrankung von u auf ein Teilgebiet muss auch das
entsprechende Teilproblem losen, d.h. (u1(x), u2(x)) muss das gekoppelte Sys-
tem losen. Das sichert wi(x) = ui(x) fur i = 1, 2 , Konsistenz der Teillosungen
mit dem Gesamtproblem.
• Korrekte Problemstellung : Die Losung (w1(x), w2(x)) des gekoppelten Pro-
blems muss existieren, eindeutig sein und stetig von den Eingangsdaten abhangen.
Stabilitat und Eindeutigkeit sind wichtig fur eine numerische Approximation
der Losung.
Dann lasst sich die Losung u des Gesamtproblems mit einer geeigneten Zerlegung
der Eins wie folgt ausdrucken:
u(x) = χ1(x)w1(x) + χ2(x)w2(x) . (4.2)
Anstatt die Losung des Gesamtproblems zu bestimmen kann man zwei kleinere Teil-
probleme mit zusatzlichen Nebenbedingungen losen, die folgende Form annehmen:
Lwi = fi in Ωi (bzw. Ω∗
i )
Ti(wi, γ) = gi auf B(i)
wi = 0 auf B[i]
fur i = 1, 2 (4.3)
Ti(wi, γ) bezeichnet einen Randbedingungsoperator, der entsprechende Dirichlet-,
Neumann- oder Robin- Randbedingungen setzt um die Losungen zu koppeln und
Konsistenz und Stabilitat zu wahren. Je nach Problemformulierung nimmt er eine
andere Form an.
Auch die Nebenbedingungen, die die Teillosungen stetig koppeln, konnen unter-
schiedliche Formen annehmen:
Algebraische Gleichungen:
ui − uj = 0 auf ∂Ωi ∩ ∂Ωj im nicht uberlappenden,
ui − uj = 0 auf ∂Ω∗
i ∩ ∂Ω∗
j im uberlappenden Fall,
KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 45
oder Nebenbedingungen an die Flusse zwischen den Gebietsteilen, formuliert uber
Differentialgleichungen:
ni · (a(x ) grad ui) + nj · (a(x ) grad uj ) = 0 auf ∂Ωi ∩ ∂Ωj
im nicht uberlappenden, sowie
ni · (a(x ) grad ui) − ni · (a(x ) grad uj ) = 0 auf ∂Ω∗
i ∩ ∂Ω∗
j
im uberlappenden Fall.
ni bezeichnet hier den Normalen-Einheitsvektor auf ∂Ωi .
Mathew (2008) fuhrt eine Bedingung ein, um die korrekte Problemstellung der ge-
koppelten Formulierung zu sichern und somit die Losungsberechnung mit stabilen
numerischen Verfahren zu ermoglichen. Fur eine Konstante C > 0 unabhangig von
den Eingangsdaten gelte die Schranke
(‖w1‖ + ‖w2‖) ≤ C(‖|f1‖| + ‖|f2‖| + ‖|g1‖| + ‖|g2‖|) (4.4)
mit ‖ · ‖ und ‖| · ‖| geeigneten Normen fur Losung und Eingangsdaten.
4.2 Uberlappende Verfahren
Die Klasse der uberlappenden Gebietszerlegungsverfahren geht auf die Arbeit des
deutschen Mathematikers H. A. Schwarz zuruck. In Schwarz (1870) entwickelte er
ein iteratives Losungsverfahren fur die Laplace-Gleichung auf einem unregelmaßigen
Losungsgebiet, alternierendes Schwarz-Verfahren genannt. Diese Methode lasst sich
auf eine große Klasse elliptischer Differentialgleichungen erweitern und fuhrte zur
Entwicklung vieler Divide and Conquer-Verfahren.
4.2.1 Das alternierende Schwarz-Verfahren
Motivation
Sei u(x) die Losung des Ausgangsproblems (4.1). Definiere wi(x) := u(x) auf Ω∗
i
fur 1 ≤ i ≤ 2 . Dann ist Lwi = f auf Ω∗
i und w1(x) = w2(x) auf Ω∗
1 ∩ Ω∗
2 , und es
gilt:
Lw1 = f in Ω∗
1
w1 = w2 auf B(1)
w1 = 0 auf B[1]
und
Lw2 = f in Ω∗
2
w2 = w1 auf B(2)
w2 = 0 auf B[2]
(4.5)
KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 46
Falls dieses System fur w1(x) und w2(x) korrekt gestellt ist, d.h. eine eindeutige
Losung existiert, die stetig von ihren Startwerten abhangt, so kann durch u(x) durch
die Losung der beiden Teilprobleme bestimmt werden.
Es gilt folgender Eindeutigkeitssatz:
Theorem 4.1. Sei c(x) ≥ 0 und div b(x ) ≤ 0 . Sei u(x) eine genugend glatte
Losung von (4.1), w1(x) und w2(x) genugend glatte Losungen des Systems (4.5).
Dann gilt:
u(x) =
w1(x) in Ω∗
1
w2(x) in Ω∗
2
(4.6)
Beweis: Maximumprinzip, siehe Mathew (2008), Kapitel 1.2.
Zur iterativen Bestimmung einer Losung u geht man wie folgt vor:
Algorithmus
1. Sei v(0) die Startapproximation der Losung.
2. Bestimme w(k+1)1 als Losung von
Lw(k+1)1 = f1 in Ω∗
1
w(k+1)1 = v(k) auf B(1)
w(k+1)1 = g auf B[1]
(4.7)
3. Aktualisiere die Losungapproximation v(k+1/2) :
v(k+1/2) ≡
w(k+1)1 in Ω∗
1
v(k) in Ω \ Ω∗
1
(4.8)
4. Bestimme w(k+1)2 als Losung von
Lw(k+1)2 = f2 in Ω∗
2
w(k+1)2 = v(k+1/2) auf B(2)
w(k+1)2 = g auf B[2]
(4.9)
5. Aktualisiere die Losungsapproximation v(k+1) :
v(k+1) ≡
w(k+1)1 in Ω∗
2
v(k+1/2) in Ω \ Ω∗
2
(4.10)
KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 47
6. Wenn das Konvergenzkriterium nicht erfullt ist zuruck zu Schritt 2.
Bedingungen fur die Stabilitat von Problem (4.5) ergeben sich aus aus der Betrach-
tung des Problems mit gestorten Eingangsdaten:
Lw1 = f1 in Ω∗
1
w1 = w2 + r1 auf B(1)
w1 = 0 auf B[1]
und
Lw2 = f2 in Ω∗
2
w2 = w1 + r2 auf B(2)
w2 = 0 auf B[2]
(4.11)
Ist (4.11) eindeutig losbar und gilt eine Bedingung der Form
(‖|w1‖| + ‖|w2‖|) ≤ C(‖f1‖ + ‖f2‖ + ‖r1‖ + ‖r2‖) (4.12)
fur geeignete Normen, dann ist (4.5) korrekt gestellt, vgl. Mathew (2008), Kapitel 15
fur Maximum-Norm-Konvergenz.
Fur elliptische Differentialgleichungen der Form (4.1) lasst sich allgemeine Konver-
genz der Losungsapproximation v(k) gegen u zeigen, vgl. Quarteroni und Valli
(1999), Kapitel 4.6 und 5 oder Mathew (2008), Kapitel 15. Unter gewissen Ein-
schrankungen (Große der Uberlappung, Durchmesser der Teillosungsgebiete) ist die
Konvergenz geometrisch.
Formale konvergenztheoretische Resultate fur Schwarz-Verfahren auf Basis einer FV-
Diskretisierung sind dem Autor nicht bekannt. Einige einfache Konvergenzergebnisse
lassen sich anhand einer FD-Diskretisierungen mit dem Maximumsprinzip beweisen.
Die umfassendsten Ergebnisse bezuglich der Konvergenz von Schwarz-Verfahren ent-
stammen den funktionalanalytischen Mitteln der FE-Methoden. Die hierfur benotig-
te Variationsformulierung des Problems soll der Vollstandigkeit halber genannt wer-
den, obwohl im Rahmen dieser Arbeit nicht weiter auf die Theorie eingegangen wird:
Variationsformulierung der Schwarz-Methode
Die Formulierung der Schwarz-Methode als Problem der Variarionsrechnung geht
zuruck auf P. L. Lions, siehe Glowinski (1988), S.1-42. Hier wird sie am Beispiel der
elliptischen Differentialgleichung (3.20) eingefuhrt:
Sei V := H10 (Ω), V 0
i := H10 (Ω∗
i ) fur i = 1, 2 und
V ∗
i := v ∈ V : v = 0 in Ω \ Ω∗
i (4.13)
KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 48
Sei u0 ∈ V eine Startapproximation der Losung. Bestimme fur alle k ≥ 0
wk1 ∈ V 0
1 : A1(wk1 , v1) = F1(v1) −A1(u
k, v1) ∀v1 ∈ V 01
uk+1/2 = uk + wk1
wk2 ∈ V 0
2 : A2(wk2 , v2) = F2(v2) −A2(u
k+1/2, v2) ∀v1 ∈ V 02
uk+1 = uk+1/2 + wk2
(4.14)
wki bezeichnet die Fortsetzung von wk
i durch 0 auf Ω \ Ω∗
i ,
Ai und Fi die entsprechenden Einschrankungen A|Ω∗
iund F |Ω∗
i.
4.2.2 Additives Schwarz-Verfahren
Das alternierende Schwarz-Verfahren erfordert eine sequentielle Berechnung der Teillosun-
gen. Eine fur Parallelisierung besser geeignete Variante des Algorithmus, genannt
additives Schwarz-Verfahren ergibt sich wie folgt:
1. Seien w(0)1 , w
(0)2 die Startapproximation der lokalen Losungen von (4.1).
2. Bestimme fur i = 1, 2 parallel w(k+1)i als Losung von
Lw(k+1)i = f in Ω∗
i
w(k+1)i = χ1(x)w
(k)1 (x) + χ2(x)w
(k)2 (x) auf B(i)
w(k+1)1 = 0 auf B[i]
(4.15)
3. Wenn das Konvergenzkriterium nicht erfullt ist zuruck zu Schritt 2.
Falls c(x) ≥ c0 > 0 und die Gebiete genugend weit uberlappen, konvergieren die
Approximationen v(k) , definiert durch
v(k) ≡ χ1(x)w(k)1 (c) + χ2(x)w
(k)2 (x) (4.16)
geometrisch gegen die Losung u , siehe Mathew (2008), Kapitel 15.
4.3 Gebietszerlegung ohne Uberlappung
Neben der Schwarz-Methode gibt es eine andere große Klasse von Verfahren zur Auf-
teilung des Losungsgebietes: Nicht uberlappende Verfahren. Sie verwenden Formen
der Teillosungskoppelung, die ohne gemeinsamen Uberlappungsbereich auskommen.
Der Vollstandigkeit halber werden hier die wichtigsten Vertreter genannt, obwohl sie
fur den weiteren Verlauf dieser Arbeit keine Rolle spielen.
KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 49
• Steklov-Poincare-Verfahren, auch Schur-Komplement-Methode: Hier wird ne-
ben der Forderung einer stetigen Gesamtlosung auch ein stetiger Fluss zwischen
den Gebieten als Nebenbedingung der Teilprobleme direkt umgesetzt: Fur Glei-
chung (4.1) fuhrt man folgende Nebenbedinungen am Ubergang
B = ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 der Teilgebiete ein:
w1 = w2 auf B
n1 · (a gradw1 − bw1 ) = n1 · (a gradw2 − bw2 ) auf B(4.17)
ni ist der Normalenvektor auf ∂Ωi .
Zusatzlich wird der Steklov-Poincare-Operator eingefuhrt:
S(g, f1, f2) ≡ n1 · (a gradw1 − bw1 ) − n1 · (a gradw2 − bw2 ) (4.18)
Hierbei ist g(·) ein Satz glatter Dirichlet-Randbedinungen, wi fur i = 1, 2 sind
Losungen von
Lwi = fi in Ωi
wi = 0 auf B[i]
wi = g auf B
(4.19)
Findet sich eine Funktion g(·) , fur die
S(g, f1, f2) = 0 (4.20)
gilt, so erfullen die lokalen Losungen wi die Koppelungs-Nebenbedingungen
(4.17). Die Suche einer Losung u von (4.1) lasst sich auf diese Weise auf die
Losung des Steklov-Poincare-Problems (4.20) reduzieren. Ist diese Losung ge-
funden, dient sie als Randbedingung fur die Probleme auf den Teilgebieten, die
dann parallel und unabhangig voneinander gelost werden konnen.
Bei eine diskrete Systemmatrix entspricht diese Reduktion des Systems einer
blockweisen Gauss-Elimination der Unbekannten im Inneren der Teilgebiete.
Fur die iterativen Losung dieses Schur-Komplement-Systems sei auf Mathew
(2008), Kapitel 3 verwiesen. Dort werden auch gebrauchliche Vorkonditionierer
wie Neumann-Neumann oder BDD (Balancing Domain Decomposition) behan-
delt.
• Lagrange-Verfahren: Eine Formulierung als Optimierungsproblem mit Lagran-
ge-Nebenbedingungen zur Koppelung der Teillosungen kann bei Problemen
KAPITEL 4. GEBIETSZERLEGUNGSVERFAHREN 50
zum Einsatz kommen, die das Optimalitatsprinzip erfullen. Dies ist fur eine
Gleichung vom Typ (4.1) nicht unbedingt gegeben, eine Einschrankung auf
b(x ) = 0 und c(x ) ≥ 0 ist erforderlich. Solche Probleme nennt man selbst-
adjungiert und koerziv. Eine Lagrange-Sattelpunktformulierung eines solchen
Problems siehe (3.27).
Verfahren, die Lagrange-Optimierung verwenden sind beispielsweise die
FETI (Finite Element Tearing and Interconnection)-Methode der parallelen,
diskreten Optimierung unter Nebenbedingungen oder die Mortar-Methode zur
Losung von elliptischen Differentialgleichungen auf nicht uberlappenden Git-
tern bei unterschiedlicher Diskretisierung der Teilraume. Eine Beschreibung
dieser Methoden geht uber den Rahmen dieser Arbeit hinaus, man findet sie
in Toselli und Widlund (2005) oder Mathew (2008). Dort finden sich auch
Mischformen, die Teilaspekte von Schur-Komplementmethoden und Lagrange-
Verfahren vereinen. Genannt seien FETI-DP (Finite Element Tearing and In-
terconnection Dual-Primal) oder BDDC (Balancing Domain Decomposition by
Constraints).
• Kontrollmethode der kleinsten Quadrate: Dieser Ansatz aus der Kontrolltheorie
bestimmt auf jedem Teilgebiet eine unbekannte Funktion, welche die PDE unter
Berucksichtigung unbekannter Randbedinungen, den so genannten Kontrollda-
ten lost. Diese Kontrolldaten mussen so gewahlt werden, dass die Teillosungen
zu einer globalen Losung gekoppelt werden. Anwendbar ist dieses Prinzip auf
nicht selbstadjungierte, elliptische Differentialgleichungen vom Typ (4.1) so-
wohl auf uberlappenden als auch nicht uberlappenden Gebietszerlegungen.
Die mathematischen Formulierung ist ein Minimierungsproblem der Differenz
der unbekannten Funktionen auf dem gemeinsamen Bereich bezuglich einer
quadratischen Norm unter der Nebenbedingung, dass die Unbekannten die el-
liptische Gleichung auf ihrem Teilgebiet losen. Neben einer Behandlung als
Sattelpunktproblem ist auch eine Formulierung als unbedingtes Minimierungs-
problem moglich, vgl. Mathew (2008), Kapitel 6.
Kapitel 5
Das Overlapping Grid Verfahren
fur Finite Volumen mit bewegten
Gittern
In diesem Kapitel wird die Methode uberlappender Gitter eingefuhrt, die im weiteren
Verlauf dieser Arbeit bezuglich ihrer Anwendbarkeit auf komplexe Stromungsmecha-
nikprobleme untersucht werden soll. Nach einer allgemeine Beschreibung wird die
mathematische Umsetzung des Overlapping Grid Verfahrens (OLG) vorgestellt, das
Hadzic (2005) fur das in Kapitel 3 eingefuhrte Finite-Volumen-Verfahren entwickelt
hat. Zum Abschluss folgt die Modellierung von Gitterbewegungen sowie ein kurzer
Uberblick aktueller Implementierungen des OLG-Verfahrens.
5.1 Einleitung
Die Entwicklung moderner Verfahren zur Losung von Differentialgleichungen mit
uberlappenden Gittern (auch engl. Overlapping Grid oder Chimera-Methoden), geht
auf verschiedene Autoren zuruck. Zu nennen sind die Arbeiten von Atta (1981),
Henshaw (1985), Chesshire und Henshaw (1990), Dougherty (1985) und Benek u. a.
(1986), in denen Verfahren fur unterschiedliche Anwendungsbereiche entwickelt wer-
den.
Das Funktionsprinzip ist identisch: Das diskrete Losungsgebiet besteht aus einer
Anzahl unabhangiger Teilgitter, die sich beliebig uberlappen. Die Gesamtlosung wird
durch Koppelung dieser Teillosungen gewonnen. Diese getrennte Vernetzung bringt
51
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 52
folgende Vorteile, die am Beispiel der spater durchgefuhrten Rechnungen erlautert
werden:
• Optimale Teilvernetzung : Die Teilkomponenten des Systems konnen getrennt
voneinander optimal vernetzt werden. So kann ein Hintergrundgitter aus nume-
risch vorteilhaften, regelmaßigen Hexaedern verwendet werden, wahrend man
die Flugelprofile mit einem an die Geometrie angepassten Netz versieht, das
wichtige Details der Stromung auflosen kann. Das in der Praxis große Pro-
blem der Vernetzung eines regelmaßigen Ubergangs zwischen den beiden Teilen
entfallt, die Koppelung wird vom Algorithmus ubernommen.
• Flexible Gitterbewegungen: Ein großer Vorteil des OLG-Verfahrens ist die Moglich-
keit, Bewegungen ohne Veranderung des Gitters durchfuhren zu konnen. Bei
herkommlichen Verfahren gibt es folgende Moglichkeiten: Man kann durch De-
formation von Zellen, also eine Anpassung des Netzes, Bewegungen erzeugen.
Da die Netzstruktur erhalten bleiben muss um eine stabile Losung zu liefern,
lassen sich auf diese Weise nur kleine Bewegungen realisieren. Großraumige
Bewegungen erfordern eine aufwendige Neugenerierung des Netzes zwischen
den Zeitschritten (Re-Meshing), oder man verwendet die Technik der Sliding
Interfaces, wie sie der kommerzielle CFD-Loser Comet von CD-adapco anbie-
tet: Zwischen stationaren und bewegten Teilen des Netzes wird eine Sliding-
Flache definiert, an der in jedem Zeitschritt die aktuellen Nachbarzellen fur
die Losungsberechnung bestimmt werden. So konnen zumindest regelmaßige
Bewegungen auf vordefinierten Bahnverlaufen realisiert werden. Beispielswei-
se simuliert man die Rotation des VSP uber die Drehung eines zylindrischen
Radkorpers, der sich in einer entsprechenden Aussparung des Hintergrundgit-
ters befindet, wahrend die Schwenkbewegungen der Flugel durch eine zylin-
drische Form der Flugelnetze erfolgt, die sich in Aussparungen im Radkorper
bewegen, siehe Abb. A.11. Mit dieser Technik lassen sich zwar relativ komple-
xe Bewegungen umsetzen, allerdings macht die Form der verwendeten Gitter
die Erweiterung um Strukturen wie Streben unmoglich. Details finden sich in
Kapitel 6. Der Overlapping Grid Algorithmus ermoglicht Bewegungen ohne
Strukturen wie den Radkorper, was sowohl die Gittergenerierung vereinfacht,
als auch Streben in Flugelnahe ermoglicht.
• Interaktion mehrerer Korper : Des Weiteren ermoglicht der Overlapping Grid
Ansatz die beliebige Bewegung mehrerer Objekte relativ zueinander, eine mit
herkommlichen Methoden sehr komplexe bis nicht realisierbare Aufgabe.
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 53
Abbildung 5.1: OLG-System aus Hintergrundgitter und zwei Overlap-Objekten, aus
Hadzic (2005) mit Ubersetzungen des Autors
5.2 Overlapping Grid Methodik
Zur Losung eines Stromungsproblems auf einem System von uberlappenden Gittern
sind folgende Schritte notwendig:
1. Definition der Teilgebiete: Ein System uberlappender Gitter besteht in der Re-
gel aus einem großeren, Hintergrundgitter genannten Teil, und kleineren Git-
tern, die Objekte oder Bereiche einschließen, die fur die Rechnung von beson-
derer Bedeutung sind. Sie werden im Folgenden mit Overlap-Gitter bezeichnet,
vgl. Abb. 5.1. Die Grenzen dieser Gebiete sind einerseits durch die Geometrie
der umstromten Korper gegeben. Diese werden durch die ublichen, im Ab-
schnitt 3.5.10 definierten Randbedingungen modelliert. Andererseits werden die
Außenrander der Overlap-Gebiete durch einen neuen Typ Rand definiert, dem
Overlap-Rand, der keine physikalischen Eigenschaften besitzt, sondern dem Al-
gorithmus als Ausgangspunkt fur die Koppelung der Teilgebiete dient.
2. Bestimmung des aktiven Losungsgebietes : Ausgehend vom Rand der Overlap-
Gebiete muss das Gebiet bestimmt werden, das zur Berechnung der Losung
beitragt. So werden die Zellen des Hintergrundgitters, die vom Overlap-Gitter
uberdeckt werden, großenteils von der Losungsberechnung ausgeklammert. Der
Teil der uberdeckten Zellen, der in der Gegend des Overlap-Randes liegt, bleibt
fur die Koppelung der Teilgebiete aktiv.
3. Teilbereich-Randbedingungen setzen: Die Teilbereiche werden durch Interpola-
tion der Stromungswerte zwischen den Gittern gekoppelt: Die Randbedingun-
gen der Overlapgitter ergeben sich aus Zellwerten des Hintergrundgitters in der
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 54
Nahe des Overlap-Randes. Genauso werden Werte des Overlapgitters fur die
Randwerte der aktiven Teile des Hintergrundgitters verwendet.
4. Losung der Teilprobleme: Die Teilprobleme sind so mit einem kompletten Satz
Anfangs- und Randbedingungen versehen und konnen theoretisch unabhangig
voneinander gelost werden. Untersuchungen in Abschnitt 5.3.2 zeigen jedoch,
dass eine gemeinsame Losung vorteilhafter ist.
5. Koppelung der Teillosungen: Zusatzlich werden einige Schritte durchgefuhrt,
um die Koppelung der Teillosungen zu verstarken. Interpolation zwischen den
Gittern alleine reicht nicht aus, da z.B. die Massenerhaltung verletzt ist.
Abbildung 5.2: Uberlappungsgebiet mit Bezeichnungen, aus Hadzic (2005) mit Uber-
setzungen des Autors
5.2.1 Zellfunktionen
Eine KV-Zelle nimmt fur die Losungsberechnung eine der folgenden Funktionen an,
vgl. Abb. 5.2:
Aktive Zellen
Die Zelle ist normaler Bestandteil des Losungsgebiets, entsprechend einer nicht uber-
lappenden Rechnung.
Inaktive Zellen
Der Großteil der Zellen, die durch ein anderes Gitter uberdeckt werden, spielt fur die
Losungsberechnung keine Rolle und kann ausgeklammert werden. Bei Rechnungen
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 55
ohne Gitterbewegungen konnen sie geloscht werden, fur die Modellierung bewegter
Gitter, bei der sich die uberlappenden Bereiche verandern, ist eine zeitweise Deak-
tivierung solcher Zellen geschickter. Dieser Ansatz wird auch fur unbewegte Gitter
beibehalten, da die betroffenen Bereiche in der Regel nur einen kleinen Teil des ge-
samten Losungsgebietes ausmachen. Ein Algorithmus bestimmt automatisch die zu
deaktivierenden Zellen. Ein gewisser Randbereich des uberdeckten Gebiets bleibt fur
die Koppelung der Teillosungen aktiv.
Interpolationszellen
Die Zellen am Rand des Overlap-Gebietes spielen eine besondere Rolle, hier werden
die Teilgebiete durch Interpolation zwischen den Gittern gekoppelt. Die Zellschicht
des Overlap-Gitters, fur die eine Overlap-Randbedingung gesetzt ist, wird zu einer
Schicht von Interpolationszellen Pi . Diese beziehen ihre Werte uber ein Interpolati-
onsschema aus Zellen Sk des Hintergrundgitters:
φPi=
NS∑
k=1
αkφSk(5.1)
Die Interpolationsgewichte αk sowie die Anzahl der an der Interpolation beteiligten
Zellen NS sind vom verwendeten Verfahren abhangig. Am Ubergang von aktiven
zu inaktiven Zellen des Hintergrundgitters wird eine identische Koppelung durch-
gefuhrt: Die erste Schicht aktiver Zellen interpoliert ihre Werte vom Overlap-Gitter.
Die an der Interpolation beteiligten Zellen des anderen Gitters heißen Spenderzellen
(engl. donor cells). Sie werden uber einen Suchalgorithmus ausgewahlt, der wie das
verwendete Interpolationsschema in Kurze beschrieben wird.
Ubergangszellen
Fur bewegte Gitter kann es zu Situationen kommen, in denen es Sinn macht, die
Werte gewisser Zellen zu berechnen, obwohl sie nicht fur die Losung des aktuellen
Zeitschrittes benotigt werden. Diese zunachst inaktiven Zellen, fur die man aktuelle
Stromungswerte bestimmt, die fur spatere Zeitschritte wichtig sein konnen, nennt
man Ubergangszellen. In der Regel kann man davon ausgehen, dass diese Bereiche
eher klein sind und der Rechenaufwand fur diese zusatzlichen Zellen daher nicht von
Bedeutung ist.
Die Funktion einer Zelle kann sich - insbesondere bei bewegten Gittern - im Verlauf
der Rechnung andern.
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 56
5.2.2 Bestimmung inaktiver Zellen
Ein einfacher Algorithmus zur Bestimmung der Zellen, die deaktiviert werden konnen,
funktioniert wie folgt:
Ausgehend von einem Overlap-Rand bleiben alle Zellen außerhalb dieses Bereiches
aktiv. Die Zellen im Inneren werden uberpruft, ob sie im Overlap-Bereich liegen,
dem Bereich, der benotigt wird, um eine gute Koppelung der Losungen zu erreichen.
Die Breite δ0 dieses Bereiches ist abhangig von der verwendeten Diskretisierung, er
entspricht in der Praxis bis zu funf kompletten Zellschichten. Zellen, deren Abstand
zum Overlap-Rand großer als δ0 ist, werden deaktiviert. Hierzu bildet man das
Skalarprodukt aus n , dem nach außen gerichteten Normalenvektor in dem Punkt
P0 des Overlap-Randes, der dem untersuchten Gitterpunkt P am nachsten ist, und
dem Vektor r , der P0 und P verbindet. Es ist negativ, falls P im Inneren liegt.
Falls dann δ = |n · r| > δ0 , so wird P deaktiviert.
Bereiche, die sich außerhalb des Losungsgebietes befinden, werden ebenso deaktiviert.
Hierbei kommen nicht nur Gebietsrander zum Tragen, sondern auch Rander von
Korpern im Overlap-Gitter, vgl. Abbildung 5.3. Die Uberlappung mehrerer Overlap-
Korper wird bei Hadzic (2005) uber eine Hierarchie der Overlap-Gitter geregelt,
die man bei der Generierung angibt. Overlapping-Gitter, die sich bewegen, werden
gesondert behandelt. Da die korrekte Bestimmung einer Hierarchie hier erschwert
ist, werden Zellen dieser Korpergitter nicht deaktiviert, sondern als Ubergangszellen
mitberechnet.
Abbildung 5.3: Aktive Teilbereiche bei Mehrfachuberlappungen, aus Hadzic (2005)
mit Ubersetzungen des Autors
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 57
”... if a valid composite grid is created for some ordering of component grids then a
valid composite grid should result for all orderings of component grids (although we
have not attempted to prove this)”, so Chesshire und Henshaw (1990), S.16 uber ih-
ren Koppelungsalgorithmus. Sie halten die Anordnung der Teilgitter zueinander fur
nebensachlich, wenn die Struktur der verwendeten Gitter uberhaupt eine sinnvolle
Koppelung zu einem Gesamtnetz zulasst. Lohner u. a. (2001) schalten bei Mehr-
fachuberlappungen diejenigen Zellen mit dem kleinsten Volumen aktiv, da sie die
Stromungseigenschaften am besten auflosen konnen.
5.2.3 Spenderzellensuche
Hadzic (2005) bestimmt die Spenderzellen uber den neighbor-to-neighbor -Suchalgorithmus
von Lohner (1995). Zu einer Zelle P wird die Zelle S des anderen Gitters gesucht,
die P, den Schwerpunkt von P enthalt. Von einer Startzelle A wird iterativ die
Nachbarzelle bestimmt, die in Richtung von P liegt, bis S erreicht ist. Die ubrigen
Spenderzellen des gewahlten Interpolationsschemas sind aus der direkten Umgebung
von S und erfordern keine komplexe Suche.
Abbildung 5.4: Neighbor-to-neighbor Suchverfahren, aus Hadzic (2005) mit Uberset-
zungen des Autors
Es wird uber alle Seitenflachen der Startzelle das Skalarprodukt aus ni , dem Nor-
malenvektor der Seite und pi gebildet, dem Vektor der den Schwerpunkt der Seite
mit P verbindet, vgl. Abb. 5.4 b). Der kleinste Winkel zwischen beiden Vektoren
bestimmt die Startzelle des nachsten Schrittes. Sobald die Skalarprodukte uber alle
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 58
Seiten negativ werden ist die Spenderzelle erreicht. Nicht konvexe Zellformen, wie sie
in unstrukturierten Gittern auch auftreten konnen, benotigen ein anderes Abbruch-
kriterium.
Im Verlauf des Verfahrens kann es abhangig von der Wahl des Startpunktes am
Rand des Gebietes zu Problemen kommen, wie aus Abb. 5.4 a) hervorgeht: Startet
der Algorithmus in B , so stoppt er in C , einer Zelle, die am Gebietsrand liegt
und daher keine Nachbarzelle in Suchrichtung besitzt. Lohner (1995) nennt folgende
Methoden, dieses Problem zu beheben:
• Einen neuen Startpunkt aus den Randzellen wahlen, falls diese bekannt sind.
Hadzic (2005) bestimmt diejenige Randzelle, welche am nachsten an P liegt,
als neue Startzelle. Vgl. Abb. 5.4 a) Zelle D .
• Zuerst das Innere der Gebiete interpolieren und die Punkte in der Nahe der
Rander spater behandeln.
• Den Algorithmus in Nachbarn der Startzelle neu starten.
• Brute Force, falls alle andern Methoden gescheitert sind.
Fur bewegte Gitter treten diese Probleme besonders im ersten Zeitschritt auf, spater
liegen bessere Startwerte fur die Suche vor, z.B. die Position der Spenderzelle im
vorherigen Zeitschritt.
5.2.4 Interpolationsschema
Das verwendete Diskretisierungsverfahren bestimmt die Genauigkeit der Teillosun-
gen. Beim Zusammenfugen der Teile zu einer Gesamtlosung sollte diese Genauigkeit
erhalten bleiben. Dazu tragt nicht nur das gewahlte Interpolationsverfahren, sondern
auch dessen Ordnung bei.
Verfahren hoherer Ordnung benotigen einen großeren Overlap-Bereich, da mehr Spen-
derzellen fur die Interpolation verwendet werden. Aber auch bei Verfahren niederer
Ordnung kann ein Overlap, der großer ist als das Verfahren vorgibt, einen positiven
Effekt haben.
Untersuchungen bezuglich der Interpolation zwischen Gittern kommen zu folgenden
Ergebnissen:
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 59
• Henshaw (1985) betrachtet ein elliptisches Problem auf einem eindimensiona-
len, uberlappenden Losungsgebiet. Die Teillosungen sind mit einem Verfahren
zweiter Ordnung diskretisiert. Es wird gezeigt, dass eine Gesamtlosung mit
dieser Konvergenzordnung durch ein Interpolationsverfahren dritter Ordnung
erreicht werden kann. Hierbei gilt δ = dh , mit jeder Verfeinerung der Git-
terweite h verkleinert sich auch der Uberlappungsbereich δ . Gilt δ ≡ d , die
Uberlappung ist großer als eine Konstante, so genugt lineare Interpolation, ein
Verfahren zweiter Ordnung.
• Chesshire und Henshaw (1990) beweisen eine Erweiterung dieser Aussage auf
eindimensionale PDEs hoherer Ordnung und zeigen empirisch am Beispiel der
Poisson-Gleichung Ubertragbarkeit der Ergebnisse ins Zweidimensionale.
• Mastin und McConnaughey (1984) untersuchen fur lineare und bilineare Inter-
polationsverfahren eine Vergroßerung des Overlap-Bereiches von einem auf zwei
Zellschichten. Sie beobachten eine deutliche Verbesserung der Konvergenzge-
schwindigkeit, wenn die Zellgroßen beider Gitter weitgehend ubereinstimmen.
Daruber hinaus ist fur ein dort untersuchtes Laplace-Problem das bilineare
Verfahren einer Interpolation durch Taylorentwicklung uberlegen.
• Benek u. a. (1986) verwenden trilineare Interpolation fur ihr dreidimensionales
Chimera-Verfahren. Sie schlagen einen Overlap von vier bis funf Zellen vor. Es
treten Schwierigkeiten beim Ubergang von Schocks durch die Overlap-Grenzen
auf. Deren Ursache kann nicht eindeutig geklart werden, sie nennen die oben
genannten kritische Parameter (Interpolationsverfahren, Große des Overlapge-
bietes, relative Zellgroßen der Teilgitter).
Hadzic (2005) verwendet lineare Interpolation um die Teilgitter zu koppeln (vgl. li-
neare FEM-Basisfunktionen, Kapitel 3.4.3). Er zeigt anhand einiger Beispiele, dass
sich fur das betrachtete Verfahren Konvergenz zweiter Ordnung einstellt. Dies ent-
spricht den Erwartungen fur das hier verwendete Diskretisierungsverfahren der Ord-
nung zwei.
Allerdings stellt sich folgendes Problem: Durch die Interpolation sind an der Overlap-
Grenze die Erhaltungsgleichungen in der Regel verletzt. Die Massenerhaltung ist
fur die Druckkorrektur im vorgestellten Verfahren aber von großer Bedeutung. Eine
Losung wird in Abschnitt 5.3.3 vorgestellt.
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 60
5.3 Losungsverfahren
In diesem Abschnitt wird die Losung der Navier-Stokes-Gleichungen auf einem Sys-
tem uberlappender Gebiete behandelt, die durch Interpolation gekoppelt sind. Dazu
wird das in Kapitel 3 entwickelte Finite Volumen Verfahren wie folgt angepasst:
5.3.1 Behandlung inaktiver Zellen
In den diskreten Systemgleichungen (3.63) werden die Koeffizienten von inaktiven
Zellen wie folgt gesetzt:
aP0Φ := 1
aj := 0
bP0:= ΦP0
(5.2)
Somit andern sich die Variablenwerte in einer Zelle nicht, solange sie inaktiv ist.
Die Abbruchbedingung der außeren Iterationen (3.89) muss entsprechend angepasst
werden, dass die inaktiven Zellen keinen Einfluss auf das Maß der Konvergenz haben:
Dies wird durch ein Array ib realisiert, in dem der Status der Zellen aller Gitter
gespeichert ist:
ib =
1 fur Spenderzellen
0 fur inaktive und Interpolationszellen(5.3)
Das modifizierte Abbruchkriterium ergibt sich wie folgt:
Rkφ =
N∑
i=1
|bP0− aP0φφP0
ib +Nj∑
j=1
ajφPjib|
Nj∑
j=1
|aP0φφP0ib|
(5.4)
5.3.2 Starke Koppelung der Teillosungen
Ein Losungsalgorithmus fur ein System uberlappender Gitter, der auf klassischen
Schwarz-Verfahren basiert wie sie in Kapitel 4 eingefuhrt wurden, kann in seiner
Konvergenzgeschwindigkeit signifikant verbessert werden. Im Folgenden wird eine
Modifikationen des Verfahrens vorgestellt, die zu einer verbesserten, starken Koppe-
lung der Teillosungen fuhrt.
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 61
Abwandlung des alternierenden Schwarz-Algorithmus
Erste Overlapping Grid Verfahren zur numerischen Losung von PDEs beruhen auf
dem alternierenden Schwarz-Gebietszerlegungsverfahren, siehe Starius (1977). Dort
wird Konvergenz des Verfahrens fur eine generelle Klasse elliptischer Probleme auf
einem uberlappenden Losungsgebiet gezeigt. Da die auftretenden Gleichungssyste-
me aufgrund ihrer Große ohnehin iterativ behandelt werden mussen, fuhrt folgende
Modifikation des Verfahrens (4.2.1) zu einer deutlichen Verbesserung der Konver-
genzgeschwindigkeit:
Der klassische Algorithmus lost ein Teilproblem erst exakt und aktualisiert dann
die Randwerte der ubrigen Probleme. Außere LGS-Losungsiterationen verwenden
somit haufig veraltete Randwerte. Man spricht von einer schwachen Koppelung der
Teillosungen. Eine Alternative besteht darin, nach jeder außeren Iteration die Rand-
werte der ubrigen Teilgebiete zu aktualisieren. Diese beiden Schritte - eine außere
Iteration und Randwertinterpolation - werden nacheinander auf allen Teilgebieten
durchgefuhrt. Im Gegensatz zur ursprunglichen Form des Verfahrens verwendet man
auf diese Weise immer die aktuellsten Knotenwerte zur Losung der Teilprobleme.
Simultanes Losungsverfahren
Henshaw (1985) realisiert dies, indem er die diskretisierten Systemgleichungen al-
ler Teilprobleme und deren Interpolationsgleichungen fur die Randwerte zu einem
gemeinsamen Gleichungssystem zusammenfugt.
Auch Hadzic (2005) verwendet ein solches stark gekoppeltes, simultanes Losungs-
verfahren. Das linearisierte Gleichungssystem (3.87) jedes Teilproblems wird in ein
gemeinsames System geschrieben.
Interpolationszellen PI sollen ihre Werte nicht von ihren Zellnachbarn sondern von
den Spenderzellen der anderen Teilprobleme beziehen. Dazu wird das gemeinsame
Gleichungssystem wie folgt modifiziert: Die aus der Diskretisierung des Teilproblems
stammende algebraische Gleichung fur PI (3.63) wird durch die entsprechende In-
terpolationsgleichung (5.1) ersetzt:
aPIφφPI−
Nj∑
j=1
ajφPj= bPI
⇒ φPI−
NS∑
k=1
αkφSk= 0 (5.5)
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 62
5.3.3 Korrektur der Massenerhaltung
Beim Ubergang zwischen den Gittern sind die Erhaltungsgleichungen in der Regel
verletzt. Diese Fehler spielen allerdings keine große Rolle, wie u.a. Untersuchungen
von Meakin (1994) zeigen. Ihre Großenordnung entspricht der von anderen Diskre-
tisierungsfehlern und kann fur die Impulsgleichung und die Transportgleichungen
skalarer Großen vernachlassigt werden.
Die hier gewahlte Behandlung des Druckes erfordert allerdings eine Korrektur der
Massenerhaltungsgleichung. Ist die globale Massenerhaltung verletzt, so verliert das
System der Druckkorrekturgleichungen (3.70) seine Konsistenz.
Hierzu betrachtet man den Massenfluss durch die Flachen, die Interpolationszellen
und die ubrigen aktiven Zellen auf einem Teilgebiet trennen. Diese Overlap-Grenz-
flachen finden sich auf jedem Teil des uberlappenden Systems, sowohl im Over-
lapgitter als auch im Hintergrundgitter. Der Massenfluss durch eine solche Flache
berechnet sich uber folgende Beziehung, vgl. Abb. 5.5:
mi = ρv∗
i · si (5.6)
Abbildung 5.5: Massenfluss an der Overlap-Grenzflache, aus Hadzic (2005) mit Uber-
setzungen des Autors
Fur die Berechnung der Geschwindigkeit v∗
i uber Gleichung (3.66) wird der Wert
der Interpolationszelle verwendet, der im allgemeinen nicht konservativ ist. Es ergibt
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 63
sich folgendes Massenungleichgewicht:
∆Molg =∑
mi (5.7)
Hadzic (2005) korrigiert die Massenflusse (5.6) folgendermaßen:
mkori = mi − βi∆Molg (5.8)
βi berechnet sich als entsprechender Anteil am Gesamtfluss durch die Overlap-
Grenzflache Molg =∑
|mi| :
βi =|mi|
Molg
(5.9)
Gleichung (5.7) ist somit null - das fur die Druckkorrektur kritische Massenungleich-
gewicht ist behoben. Die hier gewahlte Form der Massenkorrektur garantiert al-
lerdings nur globale Massenerhaltung. Die Ungleichgewichte auf den Teilsystemen
spielen fur die Losung allerdings keine Rolle, da sie hier ohnehin gemeinsam gelost
werden. Numerische Ergebnisse in Hadzic (2005), Kapitel 6.2 zeigen daruber hinaus,
dass mit Erreichen einer konvergierten Gesamtlosung die Massenungleichgewichte
auf den Teilgebieten nahezu verschwunden sind.
Eine alternative Behandlungsmoglichkeit ist, das Massenungleichgewicht ∆Molg an-
teilig auf die rechten Seiten der Systemgleichungen zu verteilen:
bkorp′ = bp′ + βs∆Molg (5.10)
Sie schneidet in der Praxis allerdings schlechter ab und wird deshalb nicht weiter
verfolgt.
5.3.4 Zellwerte an Overlap-Grenzflachen
Das vorgestellte Verfahren verwendet eine einzige Schicht Interpolationszellen um die
Werte zwischen den Teilgebieten zu koppeln. Die in Kapitel 3 vorgestellten Approxi-
mationsverfahren fur Flusse benotigen z.B. zur Gradientenapproximation zusatzliche
Zellen. Im Umfeld der Grenzflachen stehen diese aufgrund von deaktivierten Zellen
nicht immer direkt zur Verfugung, vgl. Abb. 5.6.
Eine weitere Schicht Interpolationszellen im Bereich der Grenzflachen wurde das Pro-
blem der inaktiven Zellen zwar losen, geht aber mit einem unnotig hohen Berech-
nungsaufwand einher. Alternativ konnte man die benotigten Werte aus dem Inneren
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 64
Abbildung 5.6: Gradienten-Approximation an Overlap-Grenzflache, aus Hadzic
(2005) mit Ubersetzungen des Autors
des Gebietes extrapolieren. Hadzic (2005) erzielt mit einem anderen Weg bessere
Ergebnisse:
Fehlende Zellwerte und Gradienten, die fur eine Approximation benotigt werden
und die nicht direkt zur Verfugung stehen, werden nach dem selben Schema wie fur
Interpolationszellen von den ubrigen Systemgittern interpoliert.
5.4 Modellierung bewegter Gitter
In diesem Abschnitt wird das in Kapitel 3 eingefuhrte FV-Verfahren um bewegliche
Zellen erweitert. Es wird das am weitesten verbreitete Verfahren zur gemeinsamen
Behandlung von stationaren und bewegte Gittern vorgestellt: Die Arbitrary Lagran-
gian-Eulerian, kurz ALE-Methode.
5.4.1 ALE-Systemgleichungen
Das ALE-Verfahren ist das Standardmodell zur Realisierung bewegter Gitter. Die
Erhaltungsgleichungen fur Masse (3.1), Impuls (3.7) und skalare Großen (3.10) wer-
den hierzu fur ein bewegtes Bezugssystem formuliert. Sie nehmen folgende Form
an:
d
dt
∫
V
ρ dV +
∮
S
ρ(v − vs) · n dS = 0 (5.11)
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 65
d
dt
∫
V
ρui dV +
∮
S
ρui(v − vs) · n dS =
∮
S
µ grad ui · n dS
+
∮
S
µ [iTi · (gradv)T] · n dS
−
∮
S
p iTi · n dS +
∫
V
ρ fbidV (5.12)
d
dt
∫
V
ρφ dV +
∮
S
ρφ(v − vs) · n dS =
∮
S
Γφgradφ · n dS
+
∮
S
qφS · n dS +
∫
V
qφV dV (5.13)
vs ist die Geschwindigkeit, mit der sich die KV-Oberflache S bewegt. Sie wird
auch Gittergeschwindigkeit genannt. Ist sie null so ergibt sich die aus Kapitel 3 be-
kannte eulersche Form der Gleichungen. Ist die Fluidgeschwindigkeit v gleich der
Oberflachengeschwindigkeit vs , so erhalt man die Lagrange’sche Formulierung. Die
Gleichungen fur bewegte KV unterscheiden sich in zwei Aspekten vom stationaren
Fall: Sowohl Zeitableitung als auch konvektiver Fluss mussen bezuglich der relativen
Fluidgeschwindigkeit v−vs bestimmt werden. Beim ortsfesten KV bezeichnet ∂/∂t
die lokale Anderungsrate in einem festen Punkt, berechnet bezuglich der Geschwin-
digkeit v . Hier steht d/dt fur die Anderungsrate in einem sich bewegenden KV, die
sich bezuglich der relativen Geschwindigeit ergibt.
5.4.2 Geometrieerhaltungsgesetz
Die Oberflachengeschwindigkeiten zur Bestimmung der Flusse werden durch Appro-
ximation berechnet. Hierbei werden bekannte Positionen der Zellflachen zu mehreren
Zeitpunkten verwendet. Dadurch kann die Erhaltung der Masse und anderer Großen
verletzt werden, was zu einer Storung der numerischen Losung fuhrt. Die Bildung
dieser zusatzlichen Massequellen oder Senken wird verhindert, wenn folgendes Geo-
metrieerhaltungsgesetz (engl. space conservation law (SCL), geometric conservation
law) erfullt ist:
d
dt
∫
V
dV −
∮
S
vs · n dS = 0 (5.14)
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 66
Eine Diskretisierung des SCL nach dem impliziten Euler-Schema fuhrt zu folgender
Gleichung:
∆V nP0
− ∆V n−1P0
∆t=
Nj∑
j=1
∮
Sj
vs · n dS =
Nj∑
j=1
δV nj
∆t(5.15)
∆V nP0
und ∆V n−1P0
sind die Volumina des betrachteten KV P0 zum Zeitpunkt tn
bzw. tn−1 . δV nj bezeichnet das Volumen, das eine Seite j des KV uberstreicht,
wenn es sich in seine neue Position bewegt, vgl. Abb. 5.7. Die Volumenanderung von
P0 entspricht der Summe der von allen Seiten des KV uberstrichenen Volumina:
∆V nP0
− ∆V n−1P0
=
Nj∑
j=1
δV nj (5.16)
Abbildung 5.7: Bewegung eines KV uber drei Zeitschritte mit jeweils uberstrichenem
Volumen, aus Hadzic (2005)
Eine entsprechende SCL-Diskretisierung zweiter Ordnung mit der impliziten Drei-
Ebenen-Methode nimmt folgende Form an:
3∆V nP0
− 4∆V n−1P0
+ ∆V n−2P0
2∆t=
Nj∑
j=1
∮
Sj
vs · n dS =
Nj∑
j=1
3 δV nj − δV n−1
j
2∆t(5.17)
5.4.3 Anderungen in der Diskretisierung
Die Diskretisierung der Systemgleichungen ist weitgehend identisch zu der in Kapitel
3 eingefuhrten Form. Der Term der Anderungsrate muss allerdings in allgemeinerer
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 67
Form behandelt werden, um den Volumenanderungen der KV Rechnung zu tragen,
die bei Deformation des Gitters auftreten konnen. Mit dem Euler-Verfahren und der
Drei-Ebenen-Methode ergeben sich folgende Diskretisierungen der Anderungsrate:
d
dt
∫
V
ρφ dV ≈(ρφ∆VP0
)n − (ρφ∆VP0)n−1
∆t(5.18)
d
dt
∫
V
ρφ dV ≈3(ρφ∆VP0
)n − 4(ρφ∆VP0)n−1 + (ρφ∆VP0
)n−2
2∆t(5.19)
Fur unbewegte Gitter oder Bewegungen, bei denen keine Zellen deformiert werden,
reduzieren sich die Gleichungen (5.18) und (5.19) auf die in 3.5.7 eingefuhrte Form.
Auch die Massenerhaltungsgleichung muss in leicht abgewandelter Form behandelt
werden, dazu betrachte man folgende Form von Gleichung (5.11):∮
S
ρv · n dS =
∮
S
ρvs · n dS −d
dt
∫
V
ρ dV (5.20)
Die linke Seite der Gleichung entspricht der Kontinuitatsgleichung des ortsfesten
Falles. Die rechte Seite behandelt die Anteile der Gitterbewegung. Damit die Mas-
senerhaltung gewahrt bleibt, mussen sich die Terme der rechten Seite gegenseitig
ausloschen. Hadzic (2005) wahlt eine Diskretisierung nach dem Schema des oben
behandelten Geometrieerhaltungsgesetzes, sie erfullt diese Bedingung.
Fur die Berechnung geht man wie folgt vor: Der erste Term der rechten Seite von
Gleichung (5.20) wird gemeinsam mit dem Massenfluss berechnet. Fur den Fluss
durch Seite j ergibt sich somit:
mj = ρ(vj − vs) · sj = ρvj · sj − ρδVj
δt(5.21)
Der zweite Term der rechten Seite von Gleichung (5.20) wird gemeinsam mit den
Quelltermen behandelt:
b′P0= bstatP0
+ bsclP0
(5.22)
Die Beitrage des ortsfesten Teils berechnen sich wie in (3.63), fur die Beitrage des
Geometrieerhaltungsgesetzes bsclP0gilt:
bsclP0=
−ρ∆V n
P0− ∆V n−1
P0
∆tbei Euler-Diskretisierung
−ρ3∆V n
P0− 4∆V n−1
P0+ ∆V n−2
P0
2∆tbei Drei-Ebenen-Methode
(5.23)
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 68
5.5 Aktuelle OLG-Software
In diesem Abschnitt wird kurz auf CFD-Softwarepakete mit Overlapping Moving
Grid-Funktionalitat eingegangen.
5.5.1 Tau (DLR)
Die deutsche Gesellschaft fur Luft- und Raumfahrt (DLR) verwendet Tau, einen
dreidimensionalen Finite-Volumen-Loser fur RANSE auf unstrukturierten, uberlap-
penden Netzen. Madrane u. a. (2002) haben hierfur ein Overlapping Moving Grid
Verfahren basierend auf Benek u. a. (1986) entwickelt. Eine Weiterentwicklung von
Madrane u. a. (2004) ermoglicht volle Parallelisierung von Rechnungen uber das MPI-
Protokoll.
5.5.2 Chimera Grid Tools (NASA, Air Force)
Aus den Chimera-Verfahren von Benek u. a. (1986), die im Auftrag der NASA ent-
wickelt wurden, ist das Chimera Grid Tool Paket hervorgegangen. Hierbei erzeugt
das Preprocessing-Modul PEGSUS aus einer Eingabe von uberlappenden Teilgittern
ein Gesamtnetz mit Koppelungsinformationen, das dann mit einem Stromungsloser
(OVERFLOW-D) behandelt werden kann. Anwendungen und Ergebnisse siehe Mea-
kin und Wissink (1999). Eine Analyse der MPI-Parallelisierung findet sich bei Djo-
mehri und Biswas (2003).
5.5.3 Overture (LLNL)
Zeitgleich wurde auf Basis der Arbeit von Chesshire und Henshaw (1990) am kalifor-
nischen Lawrence Livermore National Laboratory (LLNL) das Softwarepaket Over-
ture entwickelt, siehe Brown u. a. (1999). Hierbei handelt es sich um eine Sammlung
von C++ Bibliotheken zur Losung von PDEs auf uberlappenden und nichtuberlap-
penden, strukturierten Gittern mit FV- und FD-Methoden. Die Bibliotheken un-
terstutzen u.a. MPI-Parallelisierung und adaptive Gitterverfeinerung, aktuelle Er-
gebnisse siehe bei Henshaw (2008).
KAPITEL 5. DAS OVERLAPPING GRID VERFAHREN 69
5.5.4 FEFLO (NRL)
Lohner u. a. (2002) haben am Naval Research Laboratory in Washington einen par-
allelen FE-Loser fur kompressible und inkompressible Navier Stokes Gleichungen mit
uberlappenden, unstrukturierten Gittern entwickelt.
5.5.5 Comet (CD-adapco)
Die Implementierung uberlappender Gitter nach Hadzic (2005) im kommerzielle FV-
Loser Comet der Firma CD-adapco soll in den folgenden Abschnitten dieser Arbeit
untersucht werden.
Kapitel 6
Anleitung fur Overlap-Rechnungen
mit Comet
Dieses Kapitel beschreibt die Anwendung des Overlapping Grid Verfahrens fur CFD-
Simulationen in Comet, einem kommerziellen Softwarepaket der Firma CD-adapco,
das auf C und Fortran77 basiert.
Die Beschreibung gliedert sich folgendermaßen: Nach einer Einfuhrung der benotig-
ten Programmbefehle folgen generelle Richtlinien fur den Aufbau und die Struk-
turierung von Overlap-Regionen. Besonderheiten im Falle bewegter Gitter werden
genannt, und die Modellierung von Anbauteilen und hierbei auftretende Schwie-
rigkeiten beschrieben. Ein weiterer Abschnitt widmet sich der Parallelisierung von
Overlap-Rechnungen, die in der vorliegenden Version 2.360.Z des Pakets noch auf
zwei Knoten beschrankt ist. Zum Abschluss des Kapitels wird ein Uberblick uber
bekannte Fehlermeldungen des OLG-Moduls gegeben. Neben den Situationen, in de-
nen sie auftreten, werden die Ursachen der Probleme genannt - sofern sie bekannt
sind. Daruber hinaus werden mogliche Losungsstrategien diskutiert.
6.1 OLG-Programmbefehle
Das Programmpaket besteht aus dem Pra- und Postprozessor Cometpp mit dem Si-
mulationsmodelle erstellt, sowie Ergebnisse des Stromungslosers Comet visualisiert
werden konnen. Uber das Usercoding, Fortran77-Programmcode, der von Comet zwi-
schen den Zeititerationen abgearbeitet wird, hat der Benutzer die Moglichkeit, Ein-
fluss auf die Rechnungen zu nehmen. Beispielsweise wird die Bewegung der Gitter
uber solche Usercoding-Routinen durchgefuhrt.
70
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 71
An dieser Stelle sollen die Befehle der OLG-Funktionalitat vorgestellt werden, geglie-
dert in Pra-, Postprozessor- und usercoding-Anweisungen. Das Zeichen < · > steht
hierbei fur einen zu setzenden Parameter, der aus einer Liste der Form ( · | · | . . . )
gewahlt werden kann.
6.1.1 Praprozessor-Befehle
Zelltyp
Die Zellen eines Overlap-Korpers mussen in einer eigenen, zusammenhangenden Sub-
domain liegen, die uber den Befehl subdomain definiert und aktiviert wird:
subdomain < Index >< Name >
Dann mussen die Overlap-Zellen der Subdomain uber den Befehl ctype zugeordnet
werden:
ctype < Index >< Farbe >< Domain >< Subdomain >< Gruppe >< Name >
Ublicherweise behalt das Hintergrundgitter Subdomain 1, die ubrigen Overlap-Korper
werden ab Index 2 aufsteigend nummeriert.
Zu beachten ist hierbei:
• Comet unterstutzt momentan nicht mehr als 9 Subdomains.
• Regionen sind auf eine Subdomain beschrankt. Die Verwendung der selben Re-
gionsnummer auf mehreren Subdomains fuhrt zu einem Fehler bei Ausfuhrung
des Befehls geom.
Overlap-Randbedingung
Den Overlap-Rand eines Korpers (vgl. Kapitel 5.2) definiert man fur eine Region
folgendermaßen:
bdef < Regionsnummer > over
< Suchschema >< Interpolationsordnung >< Flux >< Layer >
Folgende Parameter sind zu setzen:
• Fur das Suchschema steht (linear < Grad > | cons | tight) zur Auswahl.
tight entspricht dem in Abschnitt 5.2.3 eingefuhrten Verfahren zur Spenderzel-
lenbestimmung.
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 72
• Die Interpolationsordnung kann (0|1) gesetzt werden.
0 enspricht direkter, 1 linearer Interpolation.
• Der Parameter Flux ist aus (0|1|2) wahlbar. Er bezeichnet die Form der Fluss-
korrektur um die Massenungleichgewichte zu beseitigen, vgl. Abschnitt 5.3.3.
0 deaktiviert die Funktion, 1 entspricht der Variante der Korrektur der rechten
Seite der Systemgleichungen, 2 entspricht der ausfuhrlich beschriebenen Form.
• Die Layer-Option steht standardmaßig auf 1 und wurde nicht weiter untersucht.
Gute Ergebnisse wurden mit den Parametern zur Auswahl des jeweiligen Verfahrens
hochster Ordnung erzielt:
bdef RegNr over
tight 1 2
Zu Beachten ist daruber hinaus folgendes:
• Die Overlap-Regionen sollten erst gesetzt werden, wenn alle Modifikationen
am Hintergrundgitter abgeschlossen sind. Das nachtragliche Ausschneiden von
Streben aus dem Hintergrundgitter hat zu einer nicht anlaufenden Rechnung
gefuhrt. Die Ursache ist jedoch unklar.
LGS-Loser
Der Loser fur nicht symmetrische Gleichungssysteme, wie sie im OLG-Fall auftreten,
wird uber den Befehl solver gewahlt:
solver < SymOption >< NichtSymOption >< Vorkonditionierer >
• Fur symmetrische Matrizen stehen (AMG | CG | CGSTAB) zur Verfugung:
Adaptives Multigrid, Konjugierte Gradienten und das Stabilisierte Bi-CG-Ver-
fahren, vgl. Abschnitt 3.7.3.
• Fur nicht symmetrische Matrizen ist (CGSTAB) die einzige Wahlmoglichkeit.
• Mogliche Vorkonditionierer sind (IC | J) : Incomplete Cholesky und Jacobi.
Uber iter konfiguriert man den Loser:
iter < MaxIt >< ResidTol >< MinIt >
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 73
• MaxIt bestimmt die maximale Anzahl außerer Iterationen pro Zeitschritt.
• ResidTol ist die Abbruchschranke fur Konvergenz.
• MinIt setzt eine minimale Anzahl durchzufuhrender außerer Iterationen.
Transiente Rechnung
Eine zeittransiente Berechnung hat sich als deutlich robuster fur OLG-Rechnungen
erwiesen als die zeitstetige Alternative, wie sie fur Falle ohne bewegte Gitter moglich
ware. Die implizite Drei-Ebenen-Methode wurde deshalb sowohl fur stationare als
auch instationare Gitter verwendet. Die Methode wird uber den Befehl time gesetzt:
time < Problemtyp >< Zeitschritte >< Schrittweite >< Schema >
• Der erste Option wahlt aus (steady | transient | pseudotrans) den Typ des
Problems.
• Uber Zeitschritte wahlt man die Anzahl der außeren Zeititerationen.
• Die Schrittweite bestimmt die Lange eines solchen Zeitschrittes.
• An Zeitintegrationsschemata stehen (ieuler | ittl) , Implizites Euler und die
implizite Drei-Ebenen-Methode zur Auswahl.
Wie in Abschnitt 3.7.3 behandelt wird der CGSTAB-Algorithmus mit IC-Vorkondi-
tionierung und der Drei-Ebenen-Methode verwendet. Ublicherweise setzt man funf
außere Iterationen pro Zeitschritt, zusammen mit einer hohen Abbruchschranke. Die
Anzahl innerer Iterationen sind von Comet fest vorgegeben und konnen nicht mo-
difiziert werden (Impuls 200, Masse 30, Turbulenz 50). Fur die Konfiguration des
LGS-Losers ergeben sich folgende Befehlsaufrufe (hier fur 1800 Zeitschritte, wobei
die Schrittweite der Zeit entspricht, die der VSP fur eine Drehung um 1 benotigt):
%Solver-Konfiguration
solver amg cgstab ic
iter 5 1e-13
time tran 1800 1.2503126e-3 ittl
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 74
6.1.2 Postprozessor-Befehle
Visualisierung der Overlap-Zellfunktionen
Zu Beginn eines Zeitschrittes wird die Funktion der Zellen im Overlapbereich be-
stimmt, vgl. Abschnitt 5.2.1. Mit folgenden Befehlen kann sie farblich dargestellt
werden:
cset news . . .
% auf Konturplot umstellen:
popo all add cont
% Zellfunktionsdaten laden:
stlo 4 iovc
plex
Siehe Tabelle 6.1 fur eine Aufstellung der auftretenden Farbindices und Funktionen
und Abb. A.5 fur ein Beispiel.
Tabelle 6.1: Farbtabelle der Zellfunktionen
Index Funktion
-1 inaktive Zelle, d.h. kein Teil der Stromungslosung
0 aktive Zelle außerhalb des Overlap-Bereiches
d.h. normaler Bestandteil der Stromungslosung
1 Spenderzelle - von diesen Zellen interpoliert das Overlapgitter
2 Zwischenschicht - aktive Zelle innerhalb des Overlap-
Bereiches ohne Sonderfunktion
3 Interpolationszelle des Hintergrundgitters
4 Interpolationszelle eines Overlap-Korpers
5 Ubergangszelle - ein zusatzlich berechneter Wert
z.B. fur Overlap trifft Overlap
Im Falle des Absturzes einer Stromungsrechnung wahrend eines bestimmten Zeit-
schrittes konnen die iovc-Funktionen der Zellen trotzdem uberpruft werden: Durch
eine Anderung der außeren Iterationen OutIt auf 0 in der prob Datei bestimmt Comet
in den folgenden Zeitschritten nur die Overlap-Funktionen der Zellen.
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 75
Aktive Zellen der Stromungslosung
Uber den Befehl cset wahlt man die bei der Stromungslosung aktiven Zellen aus:
cset active
6.1.3 Usercoding-Befehle
Debugging-Ausgaben
Ein Zusatz im Usercoding fuhrt zu erweiterten Kontrollausgaben fur OLG-Rechnun-
gen. Die Datei useinp.f im usercoding-Ordner muss folgende Zeile enthalten:
ioverdbg = 3
Es empfiehlt sich, die Bildschirmausgabe in eine Datei umzuleiten.
Fur eine Liste der Fehlermeldungen siehe Tabelle 6.2 in Abschnitt 6.6, hier werden
auch Ursache und Losung der Probleme behandelt.
Auf manchen Systemen werden im Verlauf der Rechnung die Dateien fort.74 und
fort.75 angelegt. Sie konnen uber 100 MB groß werden. Der Inhalt ist nicht von
Bedeutung, sie konnen im Anschluss an die Rechnung geloscht werden.
Gitter-Koppelung
Die Erweiterung der Datei useinp.f im usercoding-Ordner um die Zeile
lhierarch=.true.
soll eine Verbesserung der Gitter-Koppelung bei Mehrfachuberlappungen bewirken.
Die Koppelungsprobleme bei hier durchgefuhrten Simulationen konnten durch diesen
Zusatz allerdings nicht gelost werden.
6.2 Richtlinien fur die Gitterstruktur im Overlap-
Bereich
Die Untersuchungen, die im Rahmen dieser Arbeit durchgefuhrt wurden, kommen
zu folgenden Ergebnissen bezuglich Aufbau und Strukturierung eines uberlappenden
Gittersystems:
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 76
Anzahl uberlappender Zellschichten
Der Overlap-Korper und das Hintergrundgitter sollten sich in mindestens vier Zell-
schichten uberlappen. So viele Schichten werden benotigt, um zu verhindern, dass
eine Gitterzelle gleichzeitig Interpolationszelle und Spenderzelle ist. Werden nicht ge-
nug Zellen gefunden um diese Trennung zu erfullen, so wird auf Verfahren niedrigerer
Ordnung fur die Stromungsberechnung zuruckgegriffen.
Zellgroßenverhaltnis
Vom Overlap-Rand aus einwarts gehend sollten drei bis vier Zellschichten auf beiden
Gittern eine ahnliche Kantenlange aufweisen. Große Differenzen der Zellgroßen von
einem Gitter zum andern fuhren zu einer schlechteren Koppelung der Losung oder
sogar zum Absturz der Rechnung.
Wenn ein Overlap-Rand auf die Nahtstelle einer Zellverfeinerung trifft (econ refi nach
einem Aufruf von cref cset) kommt es haufig zu Absturzen. Die Verfeinerung eines
Gebietes, das den gesamten Bewegungsbereich des Overlap-Korpers einschließt, ist
eine sicherere Alternative.
Randstruktur und Bewegung
Bei bewegten Gittern mit einer sehr feinen Struktur im Overlap-Randbereich kann
es zwischen zwei Zeitschritten - relativ zur Zellgroße gesehen - zu einer großen Bewe-
gung kommen. Bei einer zu feinen Auflosung des Overlap-Randes ist der Algorithmus
nicht mehr in der Lage, die Teilgebiete zu koppeln.
In diesem Falle muss der Zeitschritt, und damit die Bewegung, verkleinert werden.
Alternativ kann ein Overlap-Gitter verwendet werden, das neben der notigen Feinheit
der Vernetzung des Korpers auch die Vergroberung zu einer gleichmaßigen Außen-
struktur aufweist, wie sie fur eine gute Koppelung notig ist.
Kritische Randsituationen
Bei Overlap-Rechnungen kommt es zu folgenden Konstellationen:
• Overlap-Korper trifft auf Gebietsaußenrand : Bei den hier durchgefuhrten Rech-
nungen hatte nur die Oberkante des Overlap-Korpers Kontakt zu den Grenzen
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 77
des Hintergrundgebietes. Ein durchgangiger Rand des Korpers vom Typ over
fuhrte hier zu Problemen. Diese Grenzflache zum Außenrand mit der selben
Randbedingung wie dem Rest des Außernrandes zu versehen (slip wall) loste
das Problem. Die ubrigen Randflachen des Overlap-Korpers als over zu defi-
nieren fuhrte zum erwunschten Ergebnis.
• Overlap-Korper trifft auf Loch im Hintergrundgitter : Wenn ein Overlap-Rand
großflachig auf einen Hohlraum trifft, so kommt es sehr haufig zu einem Ab-
sturz der Rechnung. Unter gewissen Umstanden ist das Uberstreichen eines
Hohlraumes moglich, einige Falle werden spater vorgestellt. Kritische Parame-
ter sind eine Kombination aus Zellgroßenverhaltnissen, Anzahlen von Overlap-
Schichten und Große der Aussparung im Gitter. Erfolge in diesem Bereich ba-
sieren aber eher auf try and error als auf sicheren Erkenntnissen.
Um Absturze sicher zu verhindern darf der Rand des Overlap-Korpers nicht
in einen Hohlraum hineinreichen, sondern hochstens bis in die Randschicht der
Aussparung.
• Overlap-Korper trifft auf Overlap-Korper : Fur die Koppelung zweier oder meh-
rerer Overlap-Korper auf einem Hintergrundgitter gelten neben den ublichen
Regeln einige Besonderheiten. Kontakt von over gesetzten Randern ist kein
Problem, der Algorithmus bestimmt dann das aktive Losungsgebiet als Kom-
bination von Hintergrund- und Overlap-Gitterzellen.
Bei einem Hohlraum in einem Overlap-Korper erhoht sich die Anzahl der noti-
gen Zellschichten zwischen Aussparung und dem Overlap-Rand eines anderen
Korpers. Anders als im eben behandelten Fall einer Aussparung im Hinter-
grundgitter mussen drei komplette Zellschichten Abstand gewahrt bleiben, um
Nebeneffekte zu verhindern: Ein kleinerer Abstand fuhrt nicht unweigerlich zu
einem Absturz, aber haufig werden unerwunschte Zellen eines anderen Gitters
im Hohlraum aktiviert, die dann falschlicherweise zur Stromungslosung beitra-
gen.
Econ-Klebeflachen
Drei Situationen sind bei der Verbindung von Teilgittern mit dem Befehl econ zu
unterscheiden:
An Klebeflachen zwischen Regionen (econ regi), die am Ubergang ahnliche Zellgroßen
aufweisen, kommt es zu keinen Schwierigkeiten beim Kontakt mit Overlap-Korpern.
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 78
Beruhrungen des Overlap-Randes mit einer Verfeinerungs-Klebeflache (econ refi)
sind zu vermeiden: aufgrund der Zellgroßenunterschiede kommt es hier bei Rech-
nungen haufig zu Absturzen.
Dynamische Sliding-Flachen (econ slid), an denen fur jeden Zeitschritt die aktuellen
Partnerzellen der Teilgebiete gekoppelt werden, lassen sich nicht mit einem Overlap-
Rand kombinieren. Die Rechnung sturzt bei Kontakt sofort ab.
6.3 Parallelisierung
Eine Parallelisierung auf mehr als zwei Knoten ist in Comet momentan fur Rech-
nungen mit OLG nicht moglich (Stand Version 2.360.Z). Diese Einschrankung gilt
hierbei nicht nur fur die Zerlegung des Bereiches, der den Overlap-Korper enthalt,
sondern fur das gesamte Losungsgebiet.
Fur eine Verteilung der Zellen auf zwei Knoten hat man folgende Moglichkeiten:
• Das Overlapgebiet wird vollstandig auf einen der beiden Knoten gelegt. Bei
bewegten Gittern muss das Gebiet den kompletten Bereich enthalten, den der
Overlap-Korper im Verlauf der Rechnung uberstreicht. Dies ist vergleichbar
mit dem Prinzip, dass ein Sliding-Korper in einer parallelisierten Rechnung
komplett auf einem Knoten liegen muss.
• Eine Aufteilung des Overlap-Bereiches kann, anders als im Sliding-Fall, nach
gewissen Regeln erfolgen: Solange die Bewegung der Overlap-Korper in einer
Ebene erfolgt, kann das Gebiet bezuglich dieser Ebene getrennt werden. Hierzu
mussen alle Zellen an der Trennflache auf eine einheitliche Koordinate gebracht
werden (vmod vset), vgl. Abb. A.12.
• Eine Kombination beider Verfahren ist auch moglich.
Automatische Overlap-Partitionierung wird nicht unterstutzt. Die Verteilung auf die
Knoten erfolgt durch manuelle Partitionierung nach entsprechender Zellauswahl:
%Partitionierung
cset news ...
% 1. Teilpartition
ndef manu 1 1 cset
% 2. Teilpartition
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 79
cset inve
ndef manu 1 2 cset
Eine moglichst gleichmaßige Verteilung der Zellen auf die beiden Knoten liefert die
besten Ergebnisse.
6.4 Simulation des VSP mit Overlapping Moving
Grid
Ausgehend vom Sliding-Interfaces-Fall mussen fur den Umstieg auf eine Simulation
des VSP mit Overlapping Moving Grids folgende Anderungen durchgefuhrt werden:
6.4.1 Anderungen der Vernetzung
• Jeder Flugel wird als eigener Overlap-Korper behandelt.
• Der Wingtip, der bisher den Flugelzylinder uber ein Sliding-Interface nach
unten abgeschlossen hat, wird fest mit dem Flugelgitter verbunden.
• Die strenge Zylinderform des Flugelgitters muss nicht mehr beibehalten wer-
den, fur die OLG-Rechnungen kann der Flugelzylinder ohne Qualitatsverlust
auf ein Oval reduziert werden.
• Die Radkorper-Struktur mit den Sliding Interfaces wird nicht langer benotigt.
An ihre Stelle tritt ein neues, durchgangiges Hintergrundgitter. Die Feinheit
des Gitters im Bereich, in dem sich die Flugel befinden, ist fur eine optimale
Koppelung an die Zellgroßen der Overlap-Gitter angepasst.
Die feine Gitterstruktur an der Flugelhinterkante, bedingt durch die Zylinderbauwei-
se, ist aufgrund der Schwierigkeiten bei der Koppelung unterschiedlich großer Zellen
nicht optimal fur OLG-Rechnungen. Auch beim Bodenstuck, das den Flugel nach
unten abschließt, muss der Ubergang vom feinen Flugelprofil zu einer gleichmaßigen
Zellgroße am Rand noch verbessert werden.
Fur die hier durchgefuhrten Simulationen wird eine vergroberte Form des Flugelzy-
linders verwendet, bei der die Zellgroßen im Randbereich nicht zu stark variieren. Er
wurde mit gewonnenen Erkenntnissen im Verlauf der Arbeit an die jeweiligen Bedurf-
nisse angepasst. Fur optimale Ergebnisse ist jedoch ein Neudesign des Flugelgitters
bezuglich dieser Aspekte notwendig.
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 80
6.4.2 Anderungen im Usercoding
Das Usercoding, das die Bewegung der Flugel nach der FWK steuert, bleibt weitge-
hend erhalten. Zwei kleine Anderungen mussen durchgefuhrt werden:
• Die Aufrufe in der Datei umovgr.f zur Drehung des Radkorpers sind uber-
flussig.
• Die Randbedinungen der Wingtip-Flachen mussen nicht mehr uber die Datei
userbc.f gesetzt werden.
6.4.3 Simulationsrechnungen
Im Rahmen des Validierungsprozesses des OLG-Verfahrens, der in Abschnitt 7.1
beschrieben ist, wurden folgende Simuationen durchgefuhrt:
• Stationare Flugelumstromungen: Die Krafte, die bei Anstromung von vorne
auf einen unbewegten Flugel wirken, wurden mit Sliding Interfaces und einem
Overlapping Grid Modell berechnet. Fur unterschiedliche Anstellwinkel wurden
die Kraftkomponenten in X-Richtung, Y-Richtung sowie das Drehmoment um
die Z-Achse verglichen.
• Einflugler : Ein VSP mit einem Flugel wurde als OLG- und Sliding-Fall berech-
net. Es wurden Schub, Querkraft und Wirkungsgrad verglichen.
• Funfflugler : Fur einen VSP mit funf Flugeln wurden neben einer Untersuchung
von Schub, Querkraft und Wirkungsgrad eines einzelnen Flugels auch ein Ver-
gleich der uber alle Flugel summierten Krafte durchgefuhrt, die sich aus beiden
Varianten der Modellierung ergaben.
Bei diesen Fallen wurde durchweg eine gute Deckung der Ergebnisse erzielt. Im wei-
teren Verlauf dieser Arbeit wurden durch die Hinzunahme von Anbauteilen deutlich
komplexere Situationen untersucht.
6.5 Modellierung von Anbauteilen
Das OLG-Verfahren soll die Modellierung von Anbauteilen wie Schutzplatte und
Streben im direkten Umfeld des VSP ermoglichen. Grundsatzlich stehen hierfur zwei
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 81
Techniken zur Verfugung: Die Behandlung eines Anbauteils als eigenen Overlap-
Korper oder die Modellierung durch eine Aussparung im Hintergrundgitter. Fur an-
einander grenzende Teile wie Streben und Schutzplatte stellt sich auch die Frage der
Kombinierbarkeit dieser Verfahren.
Hier sollen nun die Erkenntnisse aus Versuchen in diesem Bereich vorgestellt werden,
die im Rahmen dieser Arbeit durchgefuhrt wurden.
6.5.1 Streben als Aussparung im Hintergrundgitter
Fur die ersten Versuche wurde eine vereinfachte, quadratische Strebe mit einer
Grundflache von 2x2 Zellen aus dem Hintergrundgitter geschnitten, vgl. Abb. A.15
(u.l.). Es wurden verschiedene Abstande und mehrere Verfeinerungsstufen des Lochran-
des mit folgenden Ergebnissen getestet:
• Wird eine zu grob vernetzte Aussparung mit dem Flugelgitter uberstrichen,
fuhrt dies zu einem Absturz der Rechnung.
• Eine Verfeinerung des Randes und Umfeldes der Strebe (cref) ermoglicht ein
Eindringen der Strebe in den Randbereich des Flugelgitters.
Weitere Untersuchungen mit einem großeren, ovalformigen Strebenkorper fuhrten zu
folgendem Resultat:
• Großflachiger Kontakt des Flugelgitter-Overlap-Randes mit der Aussparung
fuhrt trotz passender Zellgroßenverhaltnisse zu einem Absturz der Rechnung,
vgl. Abb. A.13 (u.r.).
6.5.2 Streben als Overlap-Korper
Fur das erste Overlap-Gitter wurde ein Block des Hintergrundgitters dupliziert und
aus dessen Mitte wie im oben untersuchten Fall eine quadratische Strebe mit einer
Grundflache von 2x2 Zellen ausgeschnitten, vgl. Abb. A.15 (o.l.). Es wurden mehrere
Blockgroßen und Verfeinerungsstufen des Gitters mit folgenden Ergebnissen getestet:
• Kontakt des Overlap-Randes der Strebe mit dem Flugelprofil fuhrt zum sofor-
tigen Absturz der Rechnung.
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 82
• Das Zellgroßenverhaltnis ist ein sehr kritischer Parameter fur die Stabilitat
einer Rechnung mit mehreren uberlappenden Overlap-Korpern auf einem Hin-
tergrundgitter.
• Wenn ein Overlap-Gebiet bis zum Rand verfeinert wird, fuhrt dies haufig zu
einem Absturz der Rechnung. Bei Verfeinerungen, die erst im Inneren des Over-
lap-Gitters beginnen (zwei Zellschichten Abstand zum Rand), treten diese Pro-
bleme nicht auf.
• Am oberen Ende der Strebe kommt es zu einer ungewollten Aktivierung von
Zellen im ausgesparten Bereich, wenn Flugelgitter und Strebengitter bis in die-
sen Hohlraum hinein uberlappen. Eine Verfeinerung des Strebengitters redu-
ziert zwar die Dicke dieser Schichten aus Hintergrund- und Flugelgitterzellen,
beseitigt das Phanomen aber nicht. Die Ursache konnte nicht endgultig geklart
werden.
6.5.3 Schutzplatte als Aussparung im Hintergrundgitter
Eine erste Schutzplatte wurde als kreisformige Aussparung im Hintergrundgitter ge-
neriert. Ein Abstand zwischen Flugelspitze und Schutzplatte von 1% des Flugelkreis-
durchmessers sollte fur Simulationsrechnungen realisiert werden. Dieses Ziel wurde
unter Gewinnung folgender Erkenntnisse erreicht:
• Falls der Flugel-Overlapkorper in die Aussparung hineinragt, kommt es zu
einem Absturz der Rechnung. Das Flugelgitter ist so zu kurzen, dass es keinen
Kontakt zum Hohlraum hat.
• Gleichzeitig mussen die Zellen unterhalb der Flugelspitze und das Hintergrund-
gitter entsprechend verfeinert werden, um eine hinreichende Anzahl uberlap-
pender Zellen der Gitter zu gewahrleisten.
Fur das Hintergrundgitter wurde hierfur eine cref-Verfeinerung in Z-Richtung so
durchgefuhrt, dass acht Zellschichten zwischen Oberkante der Schutzplatte und Hohe
der Flugelspitze liegen.
Das Flugelgitter wurde so verkurzt, dass der Flugel durch acht Zellschichten nach
unten abgeschlossen wird. Der Boden des Flugelkorpers reicht hochstens bis in die
Zellschicht des Hintergrundgitters, welche die Schutzplatte nach oben begrenzt, vgl.
Abb. A.14.
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 83
Weitere Versuche wurden mit der gegebenen Vernetzung einer realistischen Schutz-
platte durchgefuhrt, die ins Hintergrundgitter eingefugt wurde (econ regi):
• Dieses Schutzplattengitter wies eine grobe und ungleichmaßige Vernetzung
der Oberflache auf. Eine sinnvolle Koppelung mit dem Flugelgitter war nicht
moglich. Eine Verfeinerung mit cref im Bereich der Bewegung des Flugelgitters
war notwendig, um ein gutes Ergebnis zu erzielen.
• Eine geeignete Wahl des Verfeinerungsbereiches der Schutzplatte gestaltete sich
allerdings schwierig: Eine Verfeinerung der gesamten Region ergab Bereiche
mit zu kleinen Zellen fur die ubliche Bewegung von 1 pro Zeitschritt. Eine
kleinere Wahl des Gebietes fuhrte anfangs zu Problemen aufgrund der Zell-
großensprunge, die an econ refi-Klebeflachen im Bewegungsbereich des Flugels
auftraten.
6.5.4 Schutzplatte als Overlap-Korper
Ein Block verfeinerter Hintergrundzellen ist die Basis einer Schutzplatte im OLG-
Verfahren. Die vereinfachte Schutzplatte wird nicht aus dem Hintergrundgitter, son-
dern aus den duplizierten Zellen ausgeschnitten. Die Analyse dieses Falles ergab:
• Eine Ausdehnung eines Overlap-Korpers bis in Aussparungen im Nachbargitter
ist zu vermeiden. Es kommt zu Problemen bei der Bestimmung der aktiven
Zellen.
• Der Abstand des Overlap-Randes zur Schutzplatten-Aussparung muss deutlich
vergroßert werden: Im nicht uberlappenden Fall der Schutzplatte konnte der
Flugelkorper bis in die Randschicht der Aussparung ragen. Hier ist ein Ab-
stand von drei kompletten Zellschichten notwendig, damit dem Algorithmus
eine Koppelung der drei Gitter gelingt. Eine weitere Verfeinerung des Hinter-
grundgitters ist im Ubergangsbereich erforderlich, vgl. Abb. A.14.
6.5.5 Overlap-Aussparungs-Kombinationen
Aus der Kombination beider Verfahren ergab sich Folgendes:
Strebe als Overlap-Korper, Schutzplatte als Aussparung im Hintergrund :
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 84
• Eine stationare, vereinfachte Strebe kann in den Hohlraum hineinragen, ohne
dass es zu einem Absturz kommt.
• Es kommt zu unerwunschten Zellschichten in der Strebenaussparung am Uber-
gang. Die Modellierung einer durchgangigen Aussparung zwischen Strebe und
Schutzplatte ist fur Mischfalle der Modellierung nicht gelungen.
• Bei Kontakt mit dem Flugelgitter kommt es nicht nur an der Oberkante, son-
dern auch an der Unterkante der Strebe zu einigen Schichten unerwunscht
aktiver Zellen im Hohlraum, vgl. Abb. A.15 (u.).
Schutzplatte als Overlap-Korper, Strebe als Aussparung im Hintergrund :
• Es ist nicht gelungen, eine solche Verbindung herzustellen. Die ausgeschnitte-
nen Zellen am Ubergang von Strebe zu Schutzplatte verursachen einen Absturz
beim Versuch, das fur die Losung aktive Gebiet zu bestimmen.
6.5.6 Overlap-Overlap-Kombinationen
• Bei der Modellierung durch separate Overlap-Gebiete bilden sich am Ubergang
zwischen Strebe und Schutzplatte mehrere Zwischenschichten aus aktiven Hin-
tergrundzellen, vgl. Abb. A.15 (o.r.). Dieses Phanomen tritt unabhangig von
der Flugelposition auf.
• Ragt ein Strebenteil bis in die Aussparung der Schutzplatte, so bleiben diese
Zellen fur die Rechnung aktiv.
• Bei einer gemeinsamen Vernetzung von Schutzplatte und Strebe gelingt ein
sauberer Ubergang zwischen den beiden Teilgebieten. Allerdings kommt es bei
Kontakt von Flugelgitter und Aussparung wieder zu aktiven Hintergrundzellen
im Strebenkorper.
6.5.7 Aussparungs-Kombinationen
Die Kombination der vereinfachten Streben und der Schutzplatte als Aussparungen
im Hintergrundgitter siehe in Abb. A.15 (o.l.). Fur diesen Fall ergaben sich allerdings
keine neuen Erkenntnisse uber die Einzelfalle hinaus.
Daruber hinaus wurden Kombinationen von realistisch geformten Schutzplatten- und
Strebengittern getestet:
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 85
• Die komplexeren Gitter werden in entsprechende Aussparungen des Hinter-
grundgitters geklebt (econ regi), vgl. Abb. A.16.
• Klebeflachen am Ubergang (econ regi) ermoglichen eine Kombination von Teil-
netzen.
Die Ergebnisse sind vielversprechend. Eine luckenlose Modellierung des Ubergangs
zwischen Schutzplatte und Strebe war aufgrund der Gitterstruktur der Schutzplatte
in den Simulationen nicht moglich, vgl. Abb. A.17. Auf das notwendige Neudesign
der Teilnetze wurde im Rahmen dieser Arbeit aus Zeitgrunden verzichtet.
6.6 Problembehandlung
Tabelle 6.2 fasst Fehlermeldungen und den jeweiligen Bereich des Problems zusam-
men. In diesem Abschnitt soll auf die Situation ihres Auftretens und bekannte Losun-
gen eingegangen werden.
Tabelle 6.2: Fehlermeldungen OLG
Meldung Problembereich
segmentation fault Suchalgorithmus:
Absturz (Ursache unbekannt)
dirsearch <= 0 ; Suchalgorithmus:
searchinter no couple subdomain Bestimmung Spenderzellen
something wrong in boundary; Zellfunktionen:
something wrong in close Konflikte in der erfolgten Zuordnung
not enough active neighbors; Gescheiterte Spenderzellensuche:
inactive donor cells; Zu große Bewegung pro Zeitschritt resultiert
switch from inactive to . . . in ungenugender Zahl aktiver Spenderzellen
NaN-Werte Numerik-Versagen
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 86
6.6.1 Bekannte Probleme und Losungen
Suchalgorithmus
Probleme des Suchalgorithmus zur Bestimmung von Spenderzellen fuhren zu Feh-
lermeldungen der Funktion direction search. Angezeigt wird eine Meldung dirsearch
oder dirse <= 0 . Dies passiert haufig im ersten Zeitschritt, wenn eine erste Kop-
pelung der Gitter hergestellt werden muss. Eine Verbesserung der Gitterstruktur
bezuglich Anzahl uberlappender Zellschichten und besserer Anpassung der Zell-
großen lost das Problem in der Regel. Haufig gelingt dem Algorithmus trotz anfang-
licher Fehlermeldungen eine gultige Koppelung der Teilgitter.
In seltenen Fallen kommt es zu einem vollstandigen Versagen des Suchalgorithmus.
Dies resultiert in einem Absturz mit Meldung segmentation fault, eine Ursache konnte
nicht gefunden werden.
Die genaue Ursache der Fehlermeldung searchinter no couple subdomain konnte nicht
geklart werden.
Im Falle einer Rechnung, die ohne eine Fehlermeldung nicht uber den Anfang der
Koppelungsprozedur hinauskam, brachte eine Parallelisierung auf zwei Knoten den
gewunschten Erfolg. Die Ursache blieb jedoch unklar.
Zellfunktions-Konflikte
Meldungen mit Inhalt something wrong in . . . weisen auf Konflikte in der Zuord-
nung der Zellfunktionen bezuglich OLG hin: Aufgrund der Ungleichmaßigkeit der
Gitter oder der Komplexitat der Situation schafft es der Algorithmus nicht, das ak-
tive Gebiet korrekt zu bestimmen. Es gelingt nicht, ein abgeschlossenes Gebiet des
Hintergrundgitters auszublenden, oder einen geschlossenen Overlap-Korper aktiv zu
schalten.
Ist kein sinnvolles Gitter fur die Rechnung aktiv, so kommt es meist innerhalb des
nachsten Zeitschrittes zu einem Versagen der Numerik.
Haufig gelingt dem Algorithmus allerdings trotz dieser Meldung die Bestimmung ei-
ner gultigen Koppelung. Zur Uberprufung der Gitterkombination bleibt neben der
optischen Analyse der IOVC-Verteilung im entsprechenden Gebiet die erweiterte
Fehlerausgabe: Unter der Meldung invalid jumps wird fur jeden Zeitschritt die An-
zahl der Zellen ausgegeben, fur die es zu unerwartet großen Unterschieden in den
KAPITEL 6. ANLEITUNG FUR OVERLAP-RECHNUNGEN MIT COMET 87
Stromungswerten gekommen ist. Einzelne Zellen sind hierbei kein großes Problem,
eine großere Anzahl deutet jedoch auf eine Unregelmaßigkeit hin, die von verfalschten
Ergebnissen bis zu einem Absturz der Rechnung fuhren kann.
Inaktive Spenderzellen
Falls die Bewegung pro Zeitschritt zu groß ist, bzw. die Zellen fur die Bewegung rela-
tiv zu klein, kommt es zu folgender Situation: Es gelingt dem Suchalgorithmus zwar,
geeignete Spenderzellen fur die Koppelung der Gitter zu finden, diese sind jedoch Teil
des inaktiven Losungsraumes. Da in diesem Fall keine aktuellen Stromungswerte fur
diese Zelle vorliegen, konnen die Gebiete nicht sinnvoll gekoppelt werden. Die Feh-
lermeldungen lauten not enough active neighbors, inactive donor cells sowie switch
from inactive to donor/active without interpolation stage. Einen Ausweg bietet ein
groberes, eventuell auch gleichmaßigeres Gitter, oder eine Reduzierung der Bewegung
zwischen den Zeitschritten.
Numerik-Versagen
NaN-Stromungswerte in Zellen, die nicht von einem ungultigen aktiven Gitter herruhren,
konnen wie bei allen bewegten Gittern haufig durch Veranderungen des Unterrela-
xationsparameter oder des Blending-Faktors des Impulsgleichungslosers vemieden
werden. Standardmaßig bei jeweils 0.7 fuhrt ein Blendingfaktor von 0 sowie ein Un-
terrelaxationsparameter von 0.5 fur die ersten 50 bis 200 Zeitschritte oft zu einer
hinreichenden Stabilisierung der Rechnung.
Kapitel 7
Ergebnisse der
Simulationsrechnungen
Kapitel 6 beschreibt die allgemeinen Erkenntnisse, die aus den Simulationen mit Co-
met im Rahmen dieser Diplomarbeit gewonnen wurden. In diesem Kapitel werden
nun die messbaren Ergebnisse dieser Rechnungen vorgestellt. Die Resultate sind in
zwei Abschnitte untergliedert: Am Anfang stehen Versuche zur Validierung der neu-
en Simulationstechnik: Es werden Vergleiche von OLG-Simulationsergebnissen mit
Daten aus herkommlichen Berechnungsverfahren durchgefuhrt. Die Ergebnisse der
Versuche mit Anbauteilen finden sich im zweiten Abschnitt des Kapitels.
7.1 Modellvalidierung
Jenseits der in Kapitel 4 genannten Konvergenztheorie fur FD- und FE-Verfahren ist
dem Autor keine Quelle einer formalen mathematischen Analyse der Schwarz-Ver-
fahren fur Finite Volumen bekannt. Das schließt auch deren Anwendungen ein, wie
das hier untersuchte Overlapping Grid Verfahren. Es gibt jedoch andere Methoden
zur Validierung.
Hadzic (2005) fuhrt in der Entwicklung des OLG-Verfahrens folgende Schritte zur
Validierung durch:
• Vergleich mit Referenzergebnissen aus Versuchen und numerischen Verfahren
ohne Overlapping Grid
• Vergleich der Ergebnisse bei verschieden großen Uberlappungsbereichen
88
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 89
• Systematische Gitterverfeinerungen in allen Versuchen fur Aussagen uber die
Konvergenzordnung des Verfahrens
Die Ergebnisse der OLG-Versuche weisen durchweg eine sehr gute Deckung zu den
Vergleichsfallen auf, vgl. Hadzic (2005), Kapitel 6. Die Geschwindigkeit der Konver-
genz gegen eine gitterunabhangige Losung ist von zweiter Ordnung. Dies entspricht
den Erwartungen an ein Verfahren, welches auf Approximationen zweiter Ordnung
basiert.
Diese Arbeit soll daruber hinaus die Tauglichkeit des OLG-Verfahrens fur VSP-
Stromungsberechnungen untersuchen. Hierzu wurden Vergleiche der Overlapping
Grid Technik mit den herkommlichen Verfahren (econ-Klebeflachen fur stationare
Gitter, sliding interfaces fur bewegte Rechnungen) in verschiedenen Formen durch-
gefuhrt:
• Stationare Flugelumstromungen: Ein Flugelblatt steht senkrecht im Wasser
und wird von vorne angestromt. Die Krafte, die auf den Flugel wirken, werden
berechnet und ausgegeben. Fur einen festen Anstellwinkel des Flugels betrach-
tet man Fx, Fy und Mz : Die Kraftkomponente in Stromungsrichtung X, die
Querkraft in Y-Richtung, sowie das Moment an der Drehachse des Flugels Z.
Neben einer visuellen Analyse der Graphen wird die relative mittlere Abwei-
chung zum Referenzfall ermittelt. Hierzu vergleicht man die uber die letzten
100 Zeitschritte gemittelten Kraftwerte der Rechnungen, die einen stationaren
Endzustand erreicht haben.
F =1
100
100∑
k=1
F (tN−k+1) (7.1)
Daruber hinaus wird die Entwicklung der relativen Abweichung der Krafte vom
gemittelten Endzustand des Referenzfalles uber die Zeit untersucht:
Frel(t) =F (t) − F ref
F ref
(7.2)
Auf diese Weise sind Vergleiche des Konvergenzverhaltens der Verfahren moglich.
• VSP mit einem Flugel : Aus dem von Voith standardmaßig verwendeten Userco-
ding erhalt man fur jeden Zeitschritt Schub (Kraft in X-Richtung), Querkraft
(in Y-Richtung) und Wirkungsgrad des Propellers. Aufgrund der Bewegung
stellt sich kein stationarer Zustand im eigentlichen Sinn ein. Die Regelmaßig-
keit der Bewegung macht jedoch den Vergleich kompletter Perioden moglich.
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 90
Die Rahmenbedingungen der Simulationen sind jeweils identisch: Ein VSP hat
einen Flugelkreisdurchmesser von 1600 mm und eine Flugelblattlange von 1200
mm. Er wird von vorne mit einer Geschwindigkeit von 6,477 m/s angestromt.
Der Radkorper rotiert mit einer Drehzahl von 2,2216666 Hz, bei einem kon-
stanten Zeitschritt von 0,00125031 s entspricht das einer Drehung von 1 pro
Zeitschritt. Es wurden mindestens funf komplette Umdrehungen gerechnet, das
entspricht 1800 Zeitschritten. Auf jeden Zeitschritt kommen funf außere Itera-
tionen des Systemlosers. Der Autor folgt hierbei den bei Voith fur solche Falle
ublichen Vorgaben.
Auch hier werden die mittleren Kraftwerte verglichen: Die letzten 720 Zeit-
schritte sind eine gute Basis fur diese Mittelung, denn hier hat sich in der
Regel ein periodischer Zustand der Rechnung eingestellt.
F =1
720
720∑
k=1
F (tN−k+1) (7.3)
Zusatzlich betrachtet man die Entwicklung der relativen Abweichung der Krafte
vom Referenzfall mit Sliding Interfaces. Die Abweichung wird mit dem Maxi-
malwert des Sliding-Falles der letzten 3 Perioden normiert:
Frel(t) =F (t) − Fslid(t)
Fmaxslid
(7.4)
• VSP mit zwei und mehr Flugeln: Neben den Daten des ersten Flugels stehen
fur Mehrflugler auch die uber alle Flugel summierten Krafte fur Vergleiche zur
Verfugung.
Fur jede dieser Simulationen wurden neben den Kraften weitere Punkte analysiert:
• Plausibilitat des Druckbildes
• Plausibilitat der Zellfunktionen im Overlap-Bereich
• Erweiterte Fehlermeldungen
Aufgrund der Komplexitat der Falle und des hohen Rechenaufwandes der Simulatio-
nen wurde im Rahmen dieser Arbeit auf systematische Gitterverfeinerungen verzich-
tet. Eine solche Analyse hatte eine Neuvernetzung einiger Modellteile im Hinblick auf
eine gleichmaßigere Außenschicht notwendig gemacht, dies wurde aus Zeitgrunden
nicht mehr durchgefuhrt. Die Ergebnisse der Simulationen sind folglich nicht als
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 91
gitterunabhangige Losungen zu sehen. Allerdings wurde bereits fur die gegebenen
Gitter eine sehr gute Ubereinstimmung zwischen den Overlap-Rechnungen und dem
jeweiligen Referenzfall erzielt.
Die folgenden Abschnitte fassen die Ergebnisse der durchgefuhrten Simulationen zu-
sammen.
7.1.1 Flugelumstromung mit ursprunglicher Vernetzung
Tabelle 7.1: Mittlere Krafte einer stationare Flugelumstromung mit 12 m/s, Anstell-
winkel 4
Modell F x(N) F y(N) M z(Nm) ∆F x(%) ∆F y(%) ∆M z(%)
Slid 606,46 -9130,20 371,72 - - -
Econ 606,46 -9130,19 371,72 0 0 0
Over 604,91 -9054,25 369,06 -0,3 -0,8 -0,7
OverRed 602,49 -9056,34 370,30 -0,7 -0,8 -0,4
Ein stationarer Flugel mit Flugelblattlange 1200 mm wird mit 12 m/s in X-Richtung
angestromt. Die Krafte an dem mit 4 angestellten Flugelblatt werden mit vier Me-
thoden berechnet und miteinander verglichen: Ein mit Slid bezeichneter Fall mit Sli-
ding Interfaces und der mit Econ betitelte Fall einer festen Verbindung der Teilgitter
(Econ Regi) dienen als Referenzfalle nach herkommlichen Verfahren. Als Overlap-
Korper dienen der komplette Flugelzylinder und eine verschlankte Version. Abbil-
dungen A.1 bis A.4 zeigen die verwendete Vernetzung.
Berechnet wurden 2000 Zeitschritte von jeweils 0,001 Sekunden bei einer außeren
Iteration pro Zeitschritt. Graphen der berechneten Krafte siehe Abb. B.1.
Tabelle 7.1 zeigt die Ergebnisse des Vergleichs der gemittelten Krafte. Den relativen
Kraftevergleich siehe Abb. B.3.
Econ und Sliding-Fall weisen nach etwa 100 Zeitschritten identische Krafteverlaufe
auf und werden als gemeinsamer Referenzfall betrachtet. Die Overlap-Falle nahern
sich innerhalb von 40 Zeitschritten den Kraften der Referenzfalle an und verlaufen
weitgehend gemeinsam. Nach etwa 1000 Zeitschritten ist der stationare Zustand er-
reicht. Die Abweichung der Falle ist kleiner 1% fur alle Kraftkomponenten und bleibt
konstant. Der verbleibende Unterschied zwischen Sliding und Overlap ist auf unter-
schiedliche Feinheiten der verwendeten Hintergrundgitter zuruckzufuhren. Mit einer
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 92
Differenz von weniger als 0,4% zwischen den Overlap-Gittern gilt die Moglichkeit der
Verschlankung des Overlap-Korpers als verifiziert.
7.1.2 Flugelumstromung mit modifizierter Vernetzung
Tabelle 7.2: Mittlere Krafte einer stationaren Flugelumstromung mit 6,477 m/s, An-
stellwinkel 4
Modell F x(N) F y(N) M z(Nm) ∆F x(%) ∆F y(%) ∆M z(%)
Slid 203,061 -2706,14 -59,3429 - - -
Over 201,853 -2716,2 -57,9988 -0,6 0,4 -2,3
OverRef 202,058 -2717,75 -58,1963 -0,1 0,4 -1,9
OverAlt 185,647 -2620,78 -40,9884 -8,7 -3,2 -31
Over3600 202,607 -2713,17 -58,5369 -0,2 0,3 -1,4
Das Overlap-Flugelgitter wurde bestmoglich modifiziert, um eine gleichmaßigere Zell-
große am Overlap-Rand zu gewahrleisten. Hierzu wurde das Netz an der Hinterkante
des Flugels vergrobert sowie die Vernetzung der Unterseite des Flugels geandert, um
dort eine gunstigere Zellstruktur fur die Koppelung zu erhalten. Die Abbildungen A.7
bis A.9 zeigen die Veranderungen in der Vernetzung, die auch den Flugelzylinder fur
die Referenz-Sliding-Rechnungen betreffen.
Die Graphen in Abb. B.4 bis B.6 zeigen die Krafte, die auf einen stationaren Flugel
bei einer Anstromgeschwindigkeit vom 6,477 m/s und 4 Anstellwinkel wirken. Es
wurden 2000 Zeitschritte von jeweils 0,001 Sekunden bei einer außeren Iteration pro
Zeitschritt berechnet. Tabelle 7.2 zeigt einen Vergleich der mittleren Krafte. Der
Fall des modifizierten Overlap-Gitters ist mit Over bezeichnet. OverRef ist eine fur
stationare Rechnungen mogliche verbesserte Anpassung des Hintergrundgitters an
das Flugelgitter. Hierzu wurden die noch vorhandenen Zellgroßenunterschiede an der
Hinterkante des Flugels durch eine weitere cref-Verfeinerung des Hintergrundgitters
reduziert. Zum Vergleich sind die Referenzwerte Slid der Sliding-Rechnung, sowie
die Werte des ursprunglichen, verschlankten Overlap-Flugels OverAlt angegeben.
Die verbesserte Zellgroßenanpassung im Fall OverRef zeigt anfangs eine deutlich
schnellere Konvergenz gegen den Referenzwert als die ubrigen Falle. Dies ist ein
Indiz dafur, dass gleichmaßige Zellgroßen am Ubergang von großer Wichtigkeit fur
die Konvergenzgeschwindigkeit sind.
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 93
Das ursprungliche Gitter OverAlt weist große Zellgroßendifferenzen zum Hinter-
grundgitter und eine feinere Vernetzung des Flugelprofils auf. Die Krafte auf den
Flugel konvergieren fur dieses Gitter nicht gegen den neuen Referenzfall, was darauf
hindeutet, dass die gewahlte Vernetzung des Sliding-Falles fur eine gitterunabhangige
Losung zu grob ist. Aus oben genannten Grunden wird jedoch auf eine Untersuchung
von feineren Flugelvernetzungen verzichtet.
Die verbleibende Abweichung der ubrigen Overlap-Falle zum Sliding-Fall von bis zu
2% sind auf einen nach 2000 Zeitschritten noch nicht endgultig erreichten stationaren
Zustand zuruckzufuhren. Die Feinheit der verwendeten Gitter verzogert die Konver-
genz. Der Vergleichswert Over3600 nach 3600 Zeitschritten weist deutlich kleinere
Fehler auf.
7.1.3 VSP Einflugler mit ursprunglicher Vernetzung
Tabelle 7.3: Mittlere Krafte VSP (ein Flugel, ursprungliche Vernetzung)
Modell F x(N) F y(N) W.Grad ∆F x(%) ∆F y(%) ∆W.Grad (%)
Slid -16265,40 1153 0,414814 - - -
Over -16043,7 1087,39 0,416207 -1,4 -5,7 0,33
Basierend auf dem ursprunglichen, verschlankten Sliding-Flugelzylinder (vgl. Abb.
A.2) wurde ein VSP mit einem Flugel im OLG-Verfahren simuliert. Es wurden 1800
Zeitschritte bei 1 Drehung und funf außeren Iterationen pro Zeitschritt berechnet.
Abbildung A.6 zeigt die verwendeten Hintergrundnetze fur den Overlap- und den
auf Sliding Interfaces basierenden Referenzfall. Graphen der berechneten Krafte sie-
he in Abb. B.7 bis B.8. Trotz einer weitgehend guten Ubereinstimmung zeigen sich
hier noch Unterschiede, die im relativen Vergleich in Abb. B.13(Graph OverAlt)
deutlicher zu sehen sind als in den gemittelten Kraften in Tabelle 7.3. Die relati-
ven Abweichungen von bis zu 4% gehen auf Schwierigkeiten bei der Koppelung der
sehr fein vernetzten Flugelhinter- und Flugelunterkante mit dem Hintergrundgitter
zuruck, wie weitere Experimente zeigen.
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 94
Tabelle 7.4: Mittlere Krafte VSP (ein Flugel, modifizierte Vernetzung)
Modell F x(N) F y(N) W.Grad ∆F x(%) ∆F y(%) ∆W.Grad (%)
Slid -16265,40 1153 0,414814 - - -
Over -16186,9 1228,11 0,412221 0,5 6,5 -0,6
7.1.4 VSP Einflugler mit modifizierter Vernetzung
Fur den VSP mit einem modifizierten Flugel gelingt eine deutlich bessere Uberein-
stimmung mit dem Sliding Interfaces Referenzfall. Dies geht allerdings nicht aus den
gemittelten Kraften in Tabelle 7.4 hervor. Eine Betrachtung des Krafteverlaufs in
den Abbildungen B.9 und B.10 und des relativen Fehlers in Abbildung B.13 zeigt
jedoch die bessere Deckung der beiden Falle. Die maximale Abweichung kann von bis
zu 4% im ursprunglichen Fall auf etwa 1% reduziert werden. Wie ublich wurden 1800
Zeitschritte mit funf außeren Iterationen bei 1 Drehung pro Zeitschritt berechnet.
7.1.5 VSP Einflugler mit Vernetzung fur SP-Rechnungen
Tabelle 7.5: Mittlere Krafte VSP (ein Flugel fur SP-Rechnungen)
Modell F x(N) F y(N) W.Grad ∆F x(%) ∆F y(%) ∆W.Grad (%)
Slid -16265,40 1153 0,414814 - - -
OverSP -16540,20 1222,99 0,419111 1,7 6,1 1,03
OverOpt -16186,9 1228,11 0,412221 0,5 6,5 -0,6
Fur die Rechnungen mit Schutzplatte musste das Flugelgitter an der Unterkante
deutlich gestaucht werden, Abbildung A.10 zeigt die Modifikationen. Das Hinter-
grundgitter wurde in der Feinheit der Schichten entsprechend angepasst. Die Gra-
phen in Abb. B.11 und B.12 zeigen die Krafte auf einen VSP-Einflugler mit gekurz-
tem Overlap-Flugelgitter sowie den Sliding Interfaces Referenzfall (ohne Modifikati-
on bezuglich Schutzplattenrechnung). Wie immer wurden 1800 Zeitschritte mit funf
außeren Iterationen bei 1 Drehung pro Zeitschritt berechnet.
Es dauert fast 360 Zeitschritte, bis eine Ubereinstimmung mit dem Referenzfall ein-
tritt. Auch der relative Fehler ist im Vergleich zum optimalen, nicht gekurzten Gitter
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 95
großer geworden, wie Abbildung B.13 und Tabelle 7.5 zeigen. Allerdings ist die De-
ckung noch deutlich besser als im nicht modifizierten Fall, die Abweichung betragt
meist weniger als 2%.
7.1.6 VSP Funfflugler
Tabelle 7.6: Mittlere Krafte VSP (funf Flugel fur SP-Rechnungen)
Modell F x(N) F y(N) W.Grad ∆F x(%) ∆F y(%) ∆W.Grad (%)
Slid1 -10614 -883,566 0,314003 - - -
Over1 -10741 -782,618 0,314361 1,2 -11,4 0,11
OverOpt1 -10640,7 -766,472 0,313851 0,25 -13,25 -0,05
Slid5 -53073,7 -4412,43 0,625686 - - -
Over5 -53683 -3882,86 0,625319 1,1 -12,0 0,06
OverOpt5 -53177,2 -3807,81 0,625228 0,20 -13,7 -0,07
Mit dem gekurzten Flugelgitter wurde ein VSP-Funfflugler gerechnet und mit einem
Sliding Interface Referenzfall verglichen. Einen Uberblick des Aufbaus gibt Abb.
A.11. Zusatzlich wurde ein Funfflugler mit den optimalen, ungekurzten Flugelgittern
simuliert. Wie immer wurden 1800 Zeitschritte zu je funf außeren Iterationen bei 1
Drehung pro Zeitschritt berechnet. Abb. B.14 bis B.18 zeigen die Krafte, Tabelle
7.6 die gemittelten Kraftwerte. Es wurden jeweils die Krafte fur den ersten der funf
Flugel sowie die aufsummierten Werte untersucht.
Nach etwa 360 Zeitschritten tritt Ubereinstimmung mit dem Referenzfall auf, die
Deckung der Kurven ist weitgehend gut. Der Unterschied der beiden Overlap-Falle
ist minimal, weshalb abgesehen von den relativen Fehlerplots in Abb. B.16 und B.18
auf Darstellung des Falles verzichtet wurde.
Die großen Abweichungen der mittleren Fehler der Querkraft sind bezuglich der
Großenordnung der Krafte zu sehen. Der relative Fehler der Kraft uber einen Flugel
liegt unter 4%. Es wird vermutet, dass die großen Abweichungen durch eine feinere
Grenzschichtauflosung behoben werden konnen, die eine genauere Bestimmung der
Richtung der Kraftkomponenten zulasst. Dass die Deckung der Wirkungsgrade mit
einem Fehler von kleiner 1% sehr gut ist scheint diese Theorie zu unterstutzen.
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 96
7.1.7 Laufzeiten VSP-Rechnungen (Vernetzung fur SP)
Tabelle 7.7: Laufzeiten VSP fur SP-Rechnungen, 1500 Zeitschritte
Modell Zellen ges. Flugelzellen Node1 Node2 CPU-Zeit Gesamtzeit
Over 913812 74240 100% - 1,212E+5 1,218E+5
OverPar 913812 74240 66% 34% 8,783E+4 8,792E+4
Slid 385062 75180 100% - 3,786E+4 4,272E+4
Over5 1210772 371200 100% - 1,906E+5 1,910E+5
Slid5 765630 375900 100% - 8,373E+4 8,448E+4
Auf formale Analysen des Geschwindigkeitsgewinnes durch Parallelisierung wurde
in dieser Arbeit wegen der herrschenden Beschrankung auf zwei Knoten verzichtet.
Auch Vergleiche der Laufzeit von Overlap und Sliding Interface Fallen erschienen
dem Autor aufgrund der durch die Modellierung bedingten, großen Unterschiede der
Zellenzahl nicht sinnvoll.
Aus Grunden der Vollstandigkeit seien an dieser Stelle in Tabelle 7.7 einige Simula-
tionslaufzeiten angegeben. Neben Ein- und Funfflugler im Sliding und Overlap Fall
wurde die Rechnung des VSP Einfluglers parallelisiert: Hierzu wurde eine Zellkno-
ten-Schicht in Vorder- und Hintergrundgitter auf einheitliche Hohe gebracht (vmod
vset), vgl. Abschnitt 6.3 und Abb. A.12. Die Gittermodifikation ist hierbei mini-
mal, da eine Schicht mit sehr geringen Differenzen der Knotenhohe in Vorder- und
Hintergrund ausgewahlt wurde, die Ergebnisse zeigen keinerlei Abweichung.
7.2 Rechnungen mit Anbauteilen
Als zweiter Kernpunkt der Arbeit sollte die Moglichkeiten ausgelotet werden, Anbau-
teile wie Streben und Schutzplatte in die Modellierung aufzunehmen. Die Ergebnisse
aus erfolgreich durchgefuhrten Simulationen sollen an dieser Stelle zusammengefasst
werden. Aus genannten Grunden gibt es in diesem Bereich allerdings nur wenige
Referenzdaten fur formale Kraftevergleiche.
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 97
7.2.1 VSP mit Streben
Abbildung A.13 zeigt die verwendete Vernetzung fur ersten Versuche mit Streben, die
allerdings nicht zu messbaren Ergebnissen fuhrten, da zu Anfang nur kurze Flugel-
bewegungen an einer Strebe vorbei berechnet wurden.
7.2.2 VSP mit Schutzplatte
Abbildung A.14 zeigt die Vernetzung der vereinfachten Schutzplatte, die sowohl als
Overlap-Korper wie auch als Aussparung im Hintergrundgitter mit einem Einflugler
simuliert wurde. Der Abstand der Flugelspitze zur Platte betragt jeweils 1% des
Flugelkreisdurchmessers. Die Krafte der Falle sind in Abbildung C.1 gegeben. Zum
Vergleich ist ein auf Sliding Interfaces basierter Referenzfall mit Schutzplatte ange-
geben.
Die Deckung der Flugelkrafte der beiden simulierten Falle ist weitgehend gut, der
SP-Overlap-Fall zeigt einen etwas weniger glatten Kurvenverlauf. Die Abweichung
zu den Sliding-Werten ist durch die unterschiedliche Gitterstruktur des Falles zu
erklaren, der nicht auf dem Standard-Sliding-Referenzgitter basiert.
Die Krafte, die im Verlauf der Rechnung auf die Schutzplatte wirken, finden sich
in Abbildung C.2. Die Modellierung auf Basis der Aussparung im Hintergrundgitter
weist hier einen deutlich glatteren Krafteverlauf auf als der SP-Overlap-Fall. Der
Sliding-Fall basiert auf einer anderen Schutzplatte, was die deutliche Abweichung
erklart, er ist nur zum Vergleich der Periodizitat der Krafte angegeben.
Durch Modifikation der gegebenen Gitter ist es nicht gelungen, den Krafteverlauf
des SP-Overlap-Falles zu glatten. Im weiteren Verlauf der Arbeit wurde auf die Mo-
dellierung der Schutzplatte als Overlap-Korper verzichtet.
7.2.3 VSP mit Streben und Schutzplatte
Aus der Kombination von vereinfachter Strebe und Schutzplatte wie in Abb. A.15
ergaben sich keine neuen Vergleichswerte. Die Verbindung der beiden Falle war aller-
dings ein wichtiger Zwischenschritt zu einer realistisch vernetzten Schutzplatte mit
Streben wie in Abb. A.17.
Die hierfur verwendete Schutzplattenvernetzung basiert auf einem Gitter mit sehr
ungleichmaßiger Oberflache, wie Abb. A.16 verdeutlicht. Dies fuhrt zu Problemen
KAPITEL 7. ERGEBNISSE DER SIMULATIONSRECHNUNGEN 98
bei der Koppelung, wie das Bild der Zellfunktionszuordnung besonders fur den Funf-
flugler zeigt.
Fur den Einflugler machen sich diese Probleme nur schwach bemerkbar, wie der je-
weilige Krafteverlauf zeigt: Der in Abb. C.3 mit OneFull bezeichnete Einflugler mit
kompletten Anbauteilen zeigt einen glatten Verlauf in Schub und Querkraft, ahnlich
der Kurve des Sliding-Einfluglers ohne Streben. Im Verlauf der Schutzplattenkrafte in
Abb. C.6 weisen allerdings deutlich großere Unsauberkeiten als in den Vergleichsfalle
auf die Probleme der Koppelung hin. Die Strebenkrafte in Abb. C.5 weisen eine gute
Periodizitat ohne unerwartete Sprunge auf. Der Verlauf tragt auch den unterschied-
lichen Anstellwinkeln des Flugels beim Passieren der jeweiligen Strebe Rechnung.
Auch fur die Erweiterung auf funf Flugel steht nur ein Sliding-Referenzfall mit leicht
abgewandeltem Gitter zu Verfugung. Abweichungen zu diesem Fall, der daruber hin-
aus keine Streben enthalt, sind unter diesem Aspekt zu sehen. Der Verlauf der Krafte
des ersten Flugels, siehe Abb. C.3, weist kleine Schwankungen auf. Uber funf Flugel
aufsummiert verstarken sie sich deutlich, wie Abb. C.4 zeigt. Der zu Vergleichszwe-
cken phasenverschoben aufsummierte Wert des ersten Flugels zeigt, dass es sich nicht
um ein Problem der Krafteberechnung des Usercodings handelt.
Verlauf und Großenordnung der Krafte ahneln dem Funfflugler ohne Schutzplatte,
vgl. Abb. B.17: Diese Falle weisen Abweichungen in Schub und Querkraft zum Re-
ferenzfall auf, die sich im Wirkungsgrad wieder ausgleichen, so dass hier eine gute
Deckung erzielt wird. Fur den Wirkungsgrad steht fur SP-Rechnungen kein Referenz-
fall zu Verfugung, zum Vergleich ist der Wert des Sliding-Falles ohne SP angegeben.
Beide Kurven weisen einen sehr glatten Verlauf auf. Wie bereits im Fall ohne An-
bauteile erwahnt, wird vermutet, dass eine feinere Profilvernetzung die Abweichung
in den X- und Y-Komponenten der Kraft deutlich reduzieren kann. Großere Aus-
schlage an einigen Stellen im Krafteverlauf, die nicht durch Interaktion mit Streben
zu erklaren sind, sind auf Probleme bei der Koppelung zuruckzufuhren. Sie sollten
durch eine gleichmaßigere SP-Vernetzung leicht zu beheben sein.
Die Krafte auf die Streben in Abb. C.7 sind plausibel, sie zeigen abgesehen von eini-
gen Spitzen ein periodisches Bild. Die Krafte auf die Schutzplatte hingegen verlaufen
sehr ungleichmaßig, die Probleme der Koppelung sind hier am offensichtlichsten, vgl.
Abb. C.8. Die Auswirkungen sind teilweise auch in der Druckverteilung zu sehen, wie
Abb. A.18 zeigt.
Kapitel 8
Fazit und Ausblick
CFD-Berechnungen mit uberlappenden Gittern in Bezug auf den Voith-Schneider-
Propeller : Ziel dieser Diplomarbeit war es, ein Overlapping Grid Verfahren fur Pro-
bleme der Stromungsmechanik zu validieren, wie sie im Rahmen der Weiterentwick-
lung des VSP auftreten. Hierfur wurde eine bestehende Implementierung des Verfah-
rens in Comet untersucht, einem Finite-Volumen-CFD-Loser der Firma CD-adapco.
Hier soll zum Abschluss eine kurze Zusammenfassung der Arbeitsergebnisse gegeben
werden.
Die Erkenntnisse, die sich im Rahmen dieser Arbeit aus dem Studium der theoreti-
schen Grundlagen ergaben, lassen sich zu folgenden Punkten zusammenfassen:
Der CFD-Loser basiert auf einer RANSE-Diskretisierung durch ein FV-Verfahren
2. Ordnung mit vollimpliziter Drei-Ebenen-Zeitdiskretisierung. Es wird das k − ε -
Turbulenzmodell zum Abschluss der Systemgleichungen und der ALE-Ansatz zur
Modellierung bewegter Gitter verwendet.
Das Overlapping Grid Verfahren ist ein Algorithmus, der die Losung der Teilgitter
durch lineare Interpolation miteinander koppelt. Die hierdurch auftretenden Mas-
senungleichgewichte werden durch den SIMPLE-Algorithmus korrigiert. Ein Such-
verfahren ubernimmt die automatische Bestimmung der jeweiligen Interpolations-
partner zwischen den Gittern.
Das OLG-Verfahren ist kein Gebietszerlegungsverfahren im eigentlichen Sinne:
Wahrend es prinzipiell eng mit der Klasse der Schwarz-Verfahren verwandt ist, ver-
zichtet man zu Gunsten einer starken Koppelung der Teillosungen auf die Moglichkeit
der parallelisierten Losungsberechnung auf den Teilgebieten. Das gekoppelte System
99
KAPITEL 8. FAZIT UND AUSBLICK 100
wird in einer gemeinsamen Matrix iterativ durch ein CG-Verfahren fur nicht sym-
metrische Matrizen mit IC-Vorkonditionierung gelost.
Die fur Schwarz-Verfahren in FD- und FEM-Diskretisierung existierenden konver-
genztheoretischen Ergebnisse lassen sich nicht auf FV-Verfahren ubertragen. Die
Modellvalidierung muss auf andere Weise geschehen: In solchen Fallen werden ubli-
cherweise direkte Vergleiche von Simulationsergebnissen in Kombination mit syste-
matischen Gitterverfeinerungen durchgefuhrt.
Die praktischen Ergebnisse aus der Anwendung von Comet lauten wie folgt:
Die Modellierung der Bewegung des VSP konnte in das neue Verfahren ubertragen
werden. Daruber hinaus wurden viele Erkenntnisse bezuglich der Realisierung von
Anbauteilen im direkten Umfeld des Antriebs gewonnen. Sie wurden erfolgreich in
der Simulation eines VSP Funffluglers mit Schutzplatte und drei Streben umgesetzt.
Die Erfahrungen aus Versuchen, die im Rahmen dieser Arbeit durchgefuhrt wurden,
sind in einem ausfuhrlichen Katalog von Richtlinien fur OLG-Simulationen zusam-
mengefasst.
Die zur Modellvalidierung durchgefuhrten Vergleiche umfassen die Analyse von sta-
tionaren Flugelumstromungen und VSP mit einem und funf Flugeln. Neben einer
direkten Analyse des Krafteverlaufs wurden gemittelte Krafte verglichen, sowie die
relative Abweichung zu geeigneten Referenzfallen bestimmt. Da bis auf wenige Aus-
nahmen Abweichungen von unter 2% bei gleicher Konvergenzgeschwindigkeit erzielt
wurden, kann man im Hinblick auf die verwendeten Gitter von einer sehr guten
Ubereinstimmung der Ergebnisse sprechen. Die Flugelvernetzung, die ursprunglich
aus Sliding Interface Fallen stammt, wurde bestmoglich an die OLG-Kriterien ange-
passt, um eine gute Koppelung zu gewahrleisten. Durch eine im Hinblick auf OLG
optimierte, nach außen gleichmaßigere Neuvernetzung ließe sich die Abweichung zu
den Sliding-Referenzfallen noch weiter reduzieren.
Eine uberraschende Erkenntnis war die durch Comet eingeschrankte Parallelisier-
barkeit: In der vorliegenden Version 2.360.Z konnten Falle, die ein Overlap-Gebiet
enthalten, auf maximal zwei Knoten parallelisiert werden. Die Moglichkeit einer deut-
lich erweiterten Parallelisierbarkeit eines FV-OLG-Verfahrens haben Madrane u. a.
(2004) am Beispiel des DLR-Tau-Codes nachgewiesen.
Folgende Punkte, die im Rahmen dieser Arbeit untersucht wurden, konnten nicht
abschließend geklart werden:
KAPITEL 8. FAZIT UND AUSBLICK 101
Beim Vergleich zwischen Sliding- und Overlap-Modellierung eines VSP kommt es in
den Querkraften besonders fur Funfflugler zu großeren Abweichungen, wahrend die
Deckung des Wirkungsgrades mit einem relativen Fehler von kleiner 1% sehr gut
bleibt. Es wird vermutet, dass sich diese Abweichung durch eine feinere Vernetzung
des Flugelprofils reduzieren lasst.
Aufgrund der Komplexitat der verwendeten Falle und der Struktur der verwende-
ten Gitter konnten keine systematischen Verfeinerungen zum Erreichen einer git-
terunabhangig Losung durchgefuhrt werden. Hierfur ware eine Neuvernetzung der
Flugelgitter bezuglich einer gleichmaßigeren Außenschicht notwendig gewesen.
Bei der Simulation des VSP mit einer realistischen Schutzplatte kam es aufgrund
der Ungleichmaßigkeiten der Gitterstruktur zu Schwierigkeiten der Koppelung. Eine
Neuvernetzung der SP mit gleichmaßigerer Außenschicht sollte diese Probleme jedoch
beheben. Im Fall einer vereinfachten, regelmaßig vernetzten Schutzplatte traten diese
Probleme nicht auf.
Daruber hinaus war es aus Zeitgrunden nicht mehr moglich, einen luckenlosen Uber-
gang der Streben in die Schutzplatte zu modellieren. Es verblieben einige Zellschich-
ten im Zwischenraum, deren Elimination eine Neuvernetzung des entsprechenden
Bereichs erfordert hatten.
Zusammenfassend lasst sich sagen, dass sich der Betrieb des VSP sehr gut mit dem
OLG-Verfahren simulieren lasst. Die Moglichkeiten der Modellierung von Anbautei-
len im Umfeld des Antriebs werden durch die neue Methode deutlich erweitert: Die
Kombinationen von Streben und VSP ist nun moglich.
Die Validierung des Verfahrens konnte im Rahmen dieser Arbeit allerdings noch nicht
abgeschlossen werden: Fur die in dieser Arbeit verwendeten Gitter sind gute Ergeb-
nisse erzielt worden. Damit die Methode allerdings als endgultig verifiziert gelten
kann, mussen weitere Untersuchungen mit feiner vernetzten Gittern durchgefuhrt
werden. Hierzu konnen die umfassenden Erkenntnisse, die im Rahmen dieser Arbeit
uber das OLG-Verfahren gewonnen und dokumentiert wurden, einen wichtigen Bei-
trag leisten.
Eine großes Problem fur die Anwendung des Verfahrens ist die starke Einschrankung
der Parallelisierbarkeit von Overlap-Fallen, die von Comet auf zwei Knoten be-
schrankt wird.
KAPITEL 8. FAZIT UND AUSBLICK 102
Ausblick
Das OLG-Verfahren hat sich zu einer vielseitigen Methode zur Behandlung von
komplexen Bewegungen in Prozessen der numerischen Stromungsmechanik entwi-
ckelt, wie auch die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen. Forschung zur weiteren Verbes-
serung dieser Methodik wird momentan in unterschiedlichen Richungen betrieben:
Ein Punkt ist die adaptive, dynamische Gitterverfeinerung im Umfeld der Overlap-
Korper: Die Modellqualitat kann so deutlich verbessert werden, ohne die Zellenzahl
unnotig zu erhohen.
Daruber hinaus ist die Parallelisierbarkeit von OLG-Rechnungen im Hinblick auf
die Großenentwicklung der Simulationen von entscheidender Wichtigkeit. Henshaw
(2008) prasentiert neueste Ergebnisse aus beiden Bereichen.
Anhang A
Abbildungen zur Vernetzung
Abbildung A.1: Flugel mit ersten Vernetzungsschichten (links), Druckverteilung auf
Flugelblatt (rechts)
103
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 104
Abbildung A.2: Ursprunglicher Flugelzylinder (links), 166800 Zellen, reduzierter
Flugelzylinder (rechts), 130000 Zellen
Abbildung A.3: Reduziertes Flugelgitter, Nahaufnahme
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 105
Abbildung A.4: Schnitt Hintergrundgitter Sliding/Econ (oben), 423400 Zellen, Hin-
tergrundgitter Overlap (unten), 174528 Zellen, mit jeweiligem Flugelgitter
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 106
Abbildung A.5: Overlap-Zellfunktionen (IOVC, vgl. Tabelle 6.1), Schnitt Hinter-
grundgitter (oben), vollstandiges Netz (unten)
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 107
Abbildung A.6: VSP Einflugler: Sliding-Fall (oben), 309882 Zellen Hintergrundgitter,
Overlap-Fall (unten), 435520 Hintergrundzellen mit jeweiligem Flugel
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 108
Abbildung A.7: Fur Overlap modifizierter Flugel (links), 102800 Zellen, und entspre-
chender Zylinder fur Sliding-Referenzfalle (rechts), 136100 Zellen
Abbildung A.8: Modifiziertes Flugelgitter, Nahaufnahme Oberseite
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 109
Abbildung A.9: Unterseite ursprungliches Flugelgitter (oben) und modifiziertes
Flugelgitter (unten)
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 110
Abbildung A.10: Gestauchtes Flugelgitter fur Rechnungen mit Schutzplatte, 74200
Zellen, 8 Zellschichten zur Flugelspitze
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 111
Abbildung A.11: Funfflugler Sliding (765630 Zellen, davon 230340 Hintergrund)
(oben), und Overlap (1210772 Zellen, davon 839572 Hintergrund) (unten)
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 112
Abbildung A.12: Parallelisierung: Erfolgreiche Partitionierung auf 2 Knoten (links),
Probleme bei 3 Knoten (rechts)
Abbildung A.13: Vereinfachte Streben: Overlapkorper (o.l.), IOVC Hintergrund
(o.r.), Strebe als Aussparung (u.l.), Kontakt Overlap-Rand Aussparung finale Strebe
(u.r.)
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 113
Abbildung A.14: Vereinfachte Schutzplatte: Druckverteilung (o.l.), IOVC Hinter-
grund auf Hohe Flugelspitze (o.r.), Gitter fur Overlap-Modellierung (u.l.), und Aus-
sparung (u.r.)
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 114
Abbildung A.15: Vereinfachte Schutzplatte mit Strebe: Gemeinsame Aussparung
(o.l.), aktive Zellen fur Strebe und SP als eigene Overlap-Korper (o.r.), aktive Zellen
fur Strebe als Overlap, SP als Aussparung (u.)
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 115
Abbildung A.16: Finale Schutzplatte: IOVC-Schnitt Hintergrund mit SP-Netz in
Blockform (o.), IOVC-Verteilung fur verfeinertes SP-Gitter auf Hohe Flugelspitze
mit Ungleichmaßigkeiten (m. und u.)
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 116
Abbildung A.17: VSP Einflugler mit finaler SP und 3 Streben: Oberflachennetz (o.)
und Druckverteilung (m. und u.)
ANHANG A. ABBILDUNGEN ZUR VERNETZUNG 117
Abbildung A.18: VSP Funfflugler mit finaler SP und 3 Streben: Druckverteilung (o.)
mit Unregelmaßigkeit (u.)
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 119
Abbildung B.1: Stationare Flugelumstromung mit 12 m/s, Anstellwinkel 4 1/2
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Fx
bei 4
Gra
d, 1
2 m
/s
Zeitschritt
EconSlid
OverOverRed
-9000
-8000
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Fy
bei 4
Gra
d, 1
2 m
/s
Zeitschritt
EconSlid
OverOverRed
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Mz
bei 4
Gra
d, 1
2 m
/s
Zeitschritt
EconSlid
OverOverRed
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 120
Abbildung B.2: Stationare Flugelumstromung mit 12 m/s, Anstellwinkel 4 2/2
530
540
550
560
570
580
590
600
610
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Fx
bei 4
Gra
d, 1
2 m
/s
Zeitschritt
EconSlid
OverOverRed
-9200
-9100
-9000
-8900
-8800
-8700
-8600
-8500
-8400
-8300
-8200
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Fy
bei 4
Gra
d, 1
2 m
/s
Zeitschritt
EconSlid
OverOverRed
354
356
358
360
362
364
366
368
370
372
374
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Mz
bei 4
Gra
d, 1
2 m
/s
Zeitschritt
EconSlid
OverOverRed
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 121
Abbildung B.3: Rel. Abweichung Stat. Umstromung mit 12 m/s, Anstellwinkel 4
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Rel
. Feh
ler
Fx
bei 4
Gra
d, 1
2 m
/s
Zeitschritt
SlidEconOver
OverRed
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Rel
. Feh
ler
Fy
bei 4
Gra
d, 1
2 m
/s
Zeitschritt
SlidEconOver
OverRed
-0.014
-0.012
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Rel
. Feh
ler
Mz
bei 4
Gra
d, 1
2 m
/s
Zeitschritt
SlidEconOver
OverRed
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 122
Abbildung B.4: Umstromung mod. Fl.Gitter mit 6,477 m/s, Anstellwinkel 4 1/2
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Fx
bei 4
Gra
d, 6
,477
m/s
Zeitschritt
SlidOverAlt
OverOverRef
-3500
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Fy
bei 4
Gra
d, 6
,477
m/s
Zeitschritt
SlidOverAlt
OverOverRef
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Mz
bei 4
Gra
d, 6
,477
m/s
Zeitschritt
SlidOverAlt
OverOverRef
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 123
Abbildung B.5: Umstromung mod. Fl.Gitter mit 6,477 m/s, Anstellwinkel 4 2/2
165
170
175
180
185
190
195
200
205
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Fx
bei 4
Gra
d, 6
,477
m/s
Zeitschritt
SlidOverAlt
OverOverRef
-2750
-2700
-2650
-2600
-2550
-2500
-2450
-2400
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Fy
bei 4
Gra
d, 6
,477
m/s
Zeitschritt
SlidOverAlt
OverOverRef
-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Mz
bei 4
Gra
d, 6
,477
m/s
Zeitschritt
SlidOverAlt
OverOverRef
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 124
Abbildung B.6: Rel. Abweichung Umstromung mod. Gitter mit 6,477 m/s, Winkel
4
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
500 1000 1500 2000 2500
Rel
. Feh
ler
Fx
bei 4
Gra
d, 6
,477
m/s
Zeitschritt
SlidOver
OverRef
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
500 1000 1500 2000 2500
Rel
. Feh
ler
Fy
bei 4
Gra
d, 6
,477
m/s
Zeitschritt
SlidOver
OverRef
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
500 1000 1500 2000 2500
Rel
. Feh
ler
Mz
bei 4
Gra
d, 6
,477
m/s
Zeitschritt
SlidOver
OverRef
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 125
Abbildung B.7: VSP (ein ursprungliches Flugelgitter) 1/2
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Sch
ub
Zeitschritt
SlidOver
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidOver
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SlidOver
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 126
Abbildung B.8: VSP (ein ursprungliches Flugelgitter) 2/2
-60000
-50000
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Sch
ub
Zeitschritt
SlidOver
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidOver
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SlidOver
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 127
Abbildung B.9: VSP (ein modifiziertes Flugelgitter) 1/2
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Sch
ub
Zeitschritt
SlidOver
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidOver
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SlidOver
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 128
Abbildung B.10: VSP (ein modifiziertes Flugelgitter) 2/2
-60000
-50000
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Sch
ub
Zeitschritt
SlidOver
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidOver
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SlidOver
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 129
Abbildung B.11: VSP (ein Flugelgitter fur SP-Rechnungen) 1/2
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Sch
ub
Zeitschritt
SlidOver
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidOver
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SlidOver
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 130
Abbildung B.12: VSP (ein Flugelgitter fur SP-Rechnungen) 2/2
-60000
-50000
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Sch
ub
Zeitschritt
SlidOver
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidOver
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SlidOver
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 131
Abbildung B.13: Relative Abweichung Krafte VSP Einflugler
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Rel
. Abw
eich
ung
Sch
ub
Zeitschritt
OverAltOverOptOverSP
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Rel
. Abw
eich
ung
Que
rkra
ft
Zeitschritt
OverAltOverOptOverSP
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Rel
. Abw
eich
ung
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
OverAltOverOptOverSP
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 132
Abbildung B.14: VSP Funfflugler, Krafte auf 1. Flugel 1/2
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
100 200 300 400 500 600 700
Sch
ub
Zeitschritt
SlidOver
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
100 200 300 400 500 600 700
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidOver
-1
-0.5
0
0.5
1
100 200 300 400 500 600 700
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SlidOver
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 133
Abbildung B.15: VSP Funfflugler, Krafte auf 1. Flugel 2/2
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Sch
ub
Zeitschritt
SlidOver
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidOver
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
800 1000 1200 1400 1600 1800
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SlidOver
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 134
Abbildung B.16: Relative Abweichung Funfflugler, Krafte 1. Flugel
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Rel
. Feh
ler
Sch
ub
Zeitschritt
OverOptOverSP
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Rel
. Feh
ler
Que
rkra
ft
Zeitschritt
OverOptOverSP
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Rel
. Feh
ler
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
OverOptOverSP
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 135
Abbildung B.17: VSP Funfflugler, summierte Krafte
-56000
-55000
-54000
-53000
-52000
-51000
-50000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Sch
ub
Zeitschritt
SlidOver
-8000
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
800 1000 1200 1400 1600 1800
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidOver
0.58
0.59
0.6
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
800 1000 1200 1400 1600 1800
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SlidOver
ANHANG B. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP OHNE ANBAUTEILE 136
Abbildung B.18: Relative Abweichung Funfflugler, summierte Krafte
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
Rel
. Feh
ler
Sch
ub
Zeitschritt
OverOptOverSP
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
Rel
. Feh
ler
Que
rkra
ft
Zeitschritt
OverOptOverSP
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
Rel
. Feh
ler
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
OverOptOverSP
ANHANG C. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP MIT ANBAUTEILEN 138
Abbildung C.1: VSP Einflugler mit Schutzplatte
-60000
-50000
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Sch
ub
Zeitschritt
SlidSPHoleSPOver
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Que
rkra
ft
Zeitschritt
SlidSPHoleSPOver
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
800 1000 1200 1400 1600 1800
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
SPHoleSPOver
ANHANG C. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP MIT ANBAUTEILEN 139
Abbildung C.2: Krafte auf vereinfachte Schutzplatte, VSP Einflugler
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Fx
Zeitschritt
SlidingSPOverSPHole
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Fy
Zeitschritt
SlidingSPOverSPHole
ANHANG C. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP MIT ANBAUTEILEN 140
Abbildung C.3: VSP Ein- und Funfflugler mit SP und 3 Streben, Krafte 1. Flugel
-60000
-50000
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Sch
ub
Zeitschritt
FullOneFullOneSlid
Slid
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Que
rkra
ft
Zeitschritt
FullOneFullOneSlid
Slid
-1
-0.5
0
0.5
1
800 1000 1200 1400 1600 1800
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
FullOneFull
ANHANG C. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP MIT ANBAUTEILEN 141
Abbildung C.4: VSP Funfflugler mit SP und 3 Streben, summierte Krafte
-54000
-52000
-50000
-48000
-46000
-44000
-42000
-40000
1200 1300 1400 1500 1600 1700
Sch
ub
Zeitschritt
Full5xOne
Slid
-18000
-16000
-14000
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
1200 1300 1400 1500 1600 1700
Que
rkra
ft
Zeitschritt
Full5xOne
Slid
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
0.66
0.68
0.7
1200 1300 1400 1500 1600 1700
Wirk
ungs
grad
Zeitschritt
FullSlidWingonly
ANHANG C. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP MIT ANBAUTEILEN 142
Abbildung C.5: Krafte auf Streben bei VSP Einflugler
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
800 1000 1200 1400 1600 1800
Fx
Zeitschritt
OneS1OneS2OneS3
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Fy
Zeitschritt
OneS1OneS2OneS3
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Mz
Zeitschritt
OneS1OneS2OneS3
ANHANG C. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP MIT ANBAUTEILEN 143
Abbildung C.6: Krafte auf Schutzplatte bei VSP Einflugler
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Fx
Zeitschritt
SlidingOneFullSPHole
-1500
-1000
-500
0
500
1000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Fy
Zeitschritt
SlidingOneFullSPHole
ANHANG C. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP MIT ANBAUTEILEN 144
Abbildung C.7: Krafte auf Streben bei VSP Funfflugler
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
Fx
Zeitschritt
OneS1OneS2OneS3
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
Fy
Zeitschritt
OneS1OneS2OneS3
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
Mz
Zeitschritt
OneS1OneS2OneS3
ANHANG C. GRAPHEN DER KRAFTE FUR VSP MIT ANBAUTEILEN 145
Abbildung C.8: Krafte auf Schutzplatte bei VSP Funfflugler (eingeschrankter Wer-
tebereich)
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
800 1000 1200 1400 1600 1800
Fx
Zeitschritt
SlidingFull
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
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Zeitschritt
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Ehrenwortliche Erklarung
Ich erklare hiermit ehrenwortlich, dass ich die vorliegende Arbeit selbststandig ange-
fertigt habe; die aus fremden Quellen direkt oder indirekt ubernommenen Gedanken
sind als solche kenntlich gemacht. Die Arbeit wurde bisher keiner anderen Prufungs-
behorde vorgelegt und auch noch nicht veroffentlicht.
Ich bin mir bewusst, dass eine unwahre Erklarung rechtliche Folgen haben wird.
Ulm, den 12.November 2008
(Unterschrift)