Angewandte Strömungssimulation - aer.mw.tum.de · PDF fileStefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 4 CFD für Ingenieure ! CFD für praktische Anwendungen basiert auf dem Weglassen

Angewandte Strömungssimulation

3. Vorlesung

Stefan Hickel

Reynolds Averaged Navier Stokes (RANS) Modelle

Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 3

Numerische Strömungsberechnung

Physikalische Modellierung

Mathematische Modellierung

Numerische Modellierung

Lösung

Auswertung

Parameter und Kennzahlen

Gleichungssystem

Turbulenzmodell

Randbedingungen

Diskrete Operatoren

Lösungsalgorithmen

Rechengitter

Programmierung

Berechnung

Visualisierung

Validierung

CFX – Pre -> Parameterdatei

ICEM CFD -> Gitter

CFX – Solver -> Ergebnisdatei

CFX – Post -> Bilder und Erkenntnis


CFD für Ingenieure

!   CFD für praktische Anwendungen basiert auf dem Weglassen überflüssiger Detailfülle.

!   Weglassen bedeutet Modellierung! !   Idee: aus den Grundgleichungen für turbulente Strömungen

Gleichungen ableiten, deren Lösung unmittelbar die relevanten Strömungsgrößen ergeben.

!   Die gebräuchlichsten Ansätze sind »  Lösung der Gleichungen für die zeitlichen Mittelwerte -> RANS »  Lösung der Gleichungen ausschließlich für die räumlich

großen Skalen -> LES »  Eine Erweiterung von RANS ist die Lösung der Gleichungen für

die langsamen Skalen -> URANS »  Zusätzlich gibt es zonale / hybride Verfahren.


!   Ensemblegemittelte Lösung

!   für statistisch stationäre Probleme:

!   Aufspalten der Lösung in Mittelwert und Fluktuation:

!   Reynolds-Mittelung ist eine orthogonale Projection:

Reynoldsmittelung

€

u€

u'


Reynoldsmittelung

!   Rechenregeln

€

u + v = u + v

au = a u , a = const

∂u∂x

=∂ u∂x

u v = u v

u'= u − u

u' = 0

u v' = 0


Reynold-averaged Navier-Stokes

!   Setzt man die Summe aus Mittelwert und Fluktuation in die Navier-Stokes Gleichungen und führt eine zeitliche Mittelung durch, folgen die Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS) Gleichungen

!   Schließungsproblem: »  mehr Unbekannte als Gleichungen »  der Reynoldsspannungstensor muss mit Hilfe von

Turbulenzmodellen beschrieben werden.

Tensor der Reynoldsspannungen

Tafel

€

∂t ui + u j ∂ j ui = −1ρ∂i p +ν ∂kk ui −∂ jτ ij

€

∂i ui = 0


RANS

!   für die Reynoldsspannungen lässt sich eine exakte Transportgleichung (RST) herleiten

!   Zunächst wird die Impulsgleichung für die ui-Geschwindigkeits-komponete mit uj´ multipliziert und gemittelt. Anschließend wird dies für die uj-Komponente wiederholt.

!   die beiden Gleichungen werden arithmetisch gemittelt und es folgt die Reynoldsspannungs-Transportgleichung (RST)

!   Die meisten Terme in der RST beinhalten jedoch weitere Unbekannte und müssen daher modelliert werden.


RANS


RANS


RANS

!   Für jede dieser unbekannten Korrelationen in der RST-Gleichung kann wiederum eine Transportgleichung hergeleitet werden, die jedoch erneut unbekannte Korrelationen enthält…

!   Die Ordnung der vorkommenden Tensoren erhöht sich dabei. So enthält die RST einen den Tensor . Eine Bilanzgleichung für diese Tripelkorrelation würde einen Tensor 4. Stufe enthalten

-> Fazit: das Schließungsproblem lässt sich auf diesem Weg nicht lösen, da immer mehr Unbekannte als Gleichungen zur Verfügung stehen.

-> Einziger möglicher Weg sind halbempirische Schließungsannahmen »  Wirbelviskositätsmodelle »  Reynoldsspannungsmodelle


Wirbelviskositätsmodelle

Wirbelviskositätshypothese !   Der Impulsaustausch zwischen Turbulenzballen

so genannte turbulente Scheinspannungen. !   Die Reynoldspannungen werden proportional

zur mittleren Scherrate gesetzt. !   Als Proportionalitätsgröße dient eine

neue Größe, die Wirbelviskosität νt.

!   Die Wirbelviskosität ist eine Feldgröße, und keine Stoffgröße wie die kinematische Viskosität.

!   Das Prandtl’sche (1925) Mischungswegmodell:

€

Sij =12∂ ui∂x j

+∂ u j

∂xi

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

k =12uiui

=12

u1u1 + u2u2 + u3u3( )

Scherrate



!   Einfügen des Ansatzes für die Reynoldsspannungen in die RANS Gleichungen ergibt

!   Das Modellierungsziel wird bei der Wirbelviskositätshypothese wird von den Komponenten des Reynoldsschen Spannungstensors auf die Modellierung einer einzigen skalaren Größe, der Wirbelviskosität νt, verlagert.

!   Die Wirbelviskositätsannahme kann bei Strömungen mit einer ausgeprägten Hauptströmungsrichtung experimentell bestätigt werden.

!   νt kann auf fast beliebige Weise mit dem Strömungsfeld verbunden sein.

€

∂ ui∂t

+ u j∂ ui∂x j

= −∂∂x i

pρ

+23k

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ +

∂∂xi

ν +ν t( )Sij( )



!   mit Hilfe dimensionsanalytischer Untersuchungen können verschiedene Modellansätze zur Berechnung der Feldgröße Wirbelviskosität hergeleitet werden:

-> Wirbelviskositätsmodelle

Nullgleichungsmodell:

Eingleichungsmodell:

Zweigleichungsmodell:

die Anzahl der verwendeten DGL

bestimmt den Modelltyp


Grenzschichtmethode (0-Gleichungsmodell)

!   Im äußeren Bereich einer Wand-Grenzschicht ist die Wirbelviskosität näherungsweise konstant.

!   In der Nähe von Wänden werden die turbulenten Längenskalen kleiner.

-> Modellierung:

van Karman Konstante

van Driest Dämpfungsfunktion Grenzschichtdicke

!   Im äußeren Bereich oft mit Intermittenzfaktor multipliziert. !   Da das Model auf Grenzschichtgrößen basiert, ist es kaum auf

komplexere Strömungen erweiterbar.


K-ε-Modell (2-Gleichungsmodell)

!   Jones & Launder (1972) !   Wahrscheinlich das am weitesten verbreitetes Modell. !   Es wird angenommen, dass Turbulenzproduktion und Dissipation im

Gleichgewicht sind. Für isotrope Turbulenz folgt eine lineare Beziehung für Reynoldsspannungen und Schubspannung. Man erhält:

!   Zur Berechnung der Wirbelviskosität wird jeweils eine partielle

DGL für die Energie der turbulenten Schwankungsbewegung k und eine DGL für die turbulente Dissipationsrate ε gelöst.

!   Die Voraussetzung isotroper Turbulenz im Gleichgewicht wird in Grenzschichten nicht erfüllt.


Transportgleichung für die Turbulente kinetische Energie K

!   Turbulente Kinetische Energie K ist definiert als die Spur des Reynoldsschen Spannungstensors:

!   eine Transportgleichung für K erhält man, indem man in der Reynoldspannungs-Transportgleichung i=j setzt und die Definition von K anwendet

!   die Druck-Scher-Korrelation entfällt in der K-Transportgleichung

€

K =12 ʹ′ u i ʹ′ u i =

12 ʹ′ u 2 + ʹ′ v 2 + ʹ′ w 2( )

Produktion Druck-Diffusion

Dissipation turbulenter Transport

Konvektion




!   Die im Produktionsterm der exakten Transportgleichung für k auftretenden Reynoldsspannungen werden mit dem folgenden Ansatz modelliert.

!   Die Modellierung der Druck-Diffusion und des turbulenten Transports erfolgt ebenfalls über einen Wirbelviskositätsansatz

!   mit diesen Vereinfachungen resultiert für die Modell-Transportgleichung der turbulenten kinetischen Energie



!   Für die Dissipationsrate ε kann ebenfalls eine exakte Transportgleichung hergeleitet werden.

!   Aufgrund der Komplexität dieser Gleichung sind nur schwer physikalisch motivierte Ansätze für eine Modellierung der einzelnen Terme zu finden.

!   Aus diesem Grund wird eine in der Struktur zur Transportgleichung von k ähnliche Transportgleichung für ε postuliert.



!   Die Konstanten in den Modell-Transportgleichungen sind C3=0,09 Prk=1,0 Prε=1,3 Cε1=1,44 Cε2=1,92

!   zur Kalibrierung der Koeffizienten werden einfache Referenzströmungen betrachtet, bei denen verschiedene Terme in den Transportgleichungen für k und ε entfallen oder vernachlässigt werden können

!   Die Konsistenz mit einfachen Referenzströmungen garantiert aber nicht, dass das Modell auch bei komplexen Strömungen korrekte Vorhersagen trifft

!   es existieren verschiedene Modellvarianten, z.B. das k-ω-Modell



Beurteilung

!   Aufgrund der stark vereinfachenden Annahmen der Wirbelviskositätshypothese sind die Anwendungsbereiche des k-ε-Modells auf einfache Strömungen ohne starke Druckgradienten und Ablösung beschränkt.

!   Die Wirbelviskositätshypothese geht von der Proportionalität zwischen Reynoldsspannungen und mittlerer Scherrate aus. Direkte Einflüsse auf einzelne Komponenten des Spannungstensors können nicht erfasst werden. Diese anisotropen Einflüsse können unter anderem starke Stromlinienkrümmung, Volumenkräfte und Geschichtseinflüsse sein.

!   geringer Rechenzeitaufwand, nur 2 zusätzliche DGL müssen gelöst werden


Reynoldsspannungsmodelle

Ansatz

!   Ein grundsätzlich anders Vorgehen bei Reynoldsspannungsmodellen besteht in der direkten Bildung von Modell-Transportgleichungen für den unbekannten Reynoldsspannungstensor.

!   Ausgehend von den exakten Bilanzgleichungen (RST) für den Reynoldsschen Spannungstensor

werden wie zuvor Modelltransportgleichungen hergeleitet.



Vereinfachungen

!   Aus experimentellen Untersuchungen ist bekannt, dass der Einfluss der Druck-Diffusion Dp,ij auf den Reynoldsschen Spannungstensor als vernachlässigbar klein eingeschätzt werden kann. Dieser Term entfällt bei der Vereinfachung der Transportgleichungen.

!   die Tripelkorrelation im turbulenten Transport Tij wird mit einem Ansatz von Hanjalic und Launder modelliert



!   Die turbulente Dissipation erfolgt im Vergleich zur Turbulenzproduktion in sehr kleinen Skalen.

!   Der Dissipationstensor εij wird nach der Modellvorstellung von Rotta als isotrop angenommen und durch die skalare Größe ε dargestellt

<E (ξ)>

ξ

Euu(ξ)

Evv(ξ)

Eww(ξ)



!   Druck-Scher-Korrelation Φ bewirkt eine Umverteilung der Komponenten des Reynoldsspannungsstensors.

!   Φ kann selbst keine turbulente kinetische Energie produzieren oder dissipieren, sondern beschreibt rein den Transfer von kinetischer Energie der Schwankungsbewegung zwischen den einzelnen Komponenten.

!   Die Druck-Scher-Korrelation ist somit in der Lage, die Anisotropie aij des Reynoldsschen Spannungstensors zu verändern.

Anisotropiemaß:



!   Φ wird zerlegt in zwei Anteile: Slow-Term ΦS und Rapid-Term ΦR

!   Grundlegende Annahme: der Slow-Term ΦS treibt anisotrope Turbulenz zur Isotropie

!   Der Rapid-Term ΦR liefert nur in Strömungen mit nicht verschwindenden Gradienten der mittleren Strömungsgeschwindigkeit einen Beitrag. Der Reynoldssche Spannungstensor wird aufgrund der durch die mittleren Geschwindigkeitsgradienten hervorgerufen äußeren Kräfte verändert.



!   Ansatz für den Slow-Term:

!   Die verschiedenen Modelle für den Slow-Term unterscheiden sich vorrangig nach der Anzahl der aus dem Ansatz für ΦS verwendeten Terme.

!   Bei den linearen Modellen, z.B. dem LRR-Reynoldspannungsmodell (Lauder, Reece und Rody) wird nur der erste Term aus dem Ansatz verwendet.

!   Der Wert der Konstanten C1 schwankt zwischen C1=1,5 und C1=3,0. !   Beim SSG-Reynoldsspannungsmodell nach Sarkar, Speziale und Gatzki

wird der quadratische Term mit in den Ansatz einbezogen.



!   allgemeiner Ansatz für den Rapid-Term

!   im LRR-Modell werden die quadratischen Abhängigkeiten des Rapid-Terms vom Anisotropietensor aij vernachlässigt.

!   im SSG-Modell nach Speziale, Sarkar und Gatski wird der lineare Term aus dem LRR-Modell verwendet. Hinzu kommt ein quadratischer Term, so dass für die Modellgleichung folgt:



!   Kalibrierung der Koeffizienten wiederum anhand einfacher Referenzströmungen

!   die Koeffizienten des SSG-Reynoldsspannungsmodells lauten:


Erfahrungen

!   Das k-ε-Modell liefert gute Ergebnisse für Außenströmungen und zweidimensionale dünne Scherschichten.

!   Probleme bei Wirbelviskositätsmodellen: »  Bei Grenzschichten mit starken Druckgradienten liefert das

k-ε-Modell eher schlechte Ergebnisse. »  Mit dem k-ω-Modell erhält man in Grenzschichten oft bessere

Ergebnisse als mit dem k-ε-Modell -> SST Modell kombiniert k-ω und k-ε.

!   Reynoldsspannungsmodelle (RSM) liefen in der Regel bessere Ergebnisse bei Strömungen mit Strömlinienkrümmung oder starkem Drall.

!   Probleme bei RSM: »  numerisch aufwendiger ( min. 6 zusätzliche Transportgleichungen) »  Stabilität. -> Explizite Algebraische RSM (EARSM) rekonstruieren

Reynoldsspannungstensor aus reduzierten Satz an Transportgleichungen

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