Chaos in Eppelborn1 Mathe in Eppelborn Mathe für Alle Dank an Peter Wagner von der SZ Dank an der Bürgermeister (Getränkeautomat)

Chaos in Eppelborn 1

Mathe in EppelbornMathe für Alle

• Dank an Peter Wagner von der SZ

• Dank an der Bürgermeister (Getränkeautomat)


Chaos in Eppelborn,Chaos überall.

Warum wir die Zukunft nicht berechnen können, heute nicht und auch in

10 000 Jahren nicht.


Was auf Sie zukommt:

• 20 Minuten: Einfaches, Wetter und so

• 30 Minuten: Mathe, Bevölkerungswachstum

• 10 Minuten: Einfach, aber wichtig: Eine neue Weltsicht

Stellen Sie bitte Fragen!


Nach dem Vortrag wissen Sie

• was deterministisches Chaos bedeutet

• dass vieles nie berechnet werden kann


„Deterministisches Chaos“

• Chaos: gr., formlos, konfus. Ovid: „die in unermesslicher Finsternis liegende gestaltlose Urmasse“. Vorstufe des KosmosHeute: Totales Durcheinander, Auflösung jeder Ordnung

• Kosmos: gr., Ordnung, Weltall• Determinare: lat., bestimmen, festlegen


Unser Traum:Die Zukunft kennen

• Das Wetter morgen

• Börsenkurse in 4 Wochen

• Steueraufkommen im nächsten Jahr

• Erdbevölkerung in 15 Jahren

Astrologie oder Science?


Warum es gelingen könnte: Kausalität

• Schwache Kausalität: Gleiche Ursachen, gleiche Wirkungen

• Starke Kausalität: Ähnliche Ursachen, ähnliche Wirkungen

Dazu die Naturgesetze! (Klassische Physik)


Der Traum von Laplace

Verlauf der Welt aus dem Anfangszustand mit Hilfe der Physik berechnen.

Die Welt ist deterministisch


Triumph der Methode

• Entdeckung des Planeten Neptun durch Galle 1846


Triumph der Methode?Wettervorhersage

Kachelmann und Co:

Wie machen die das?


Methoden der Wettervorhersage:

• 1. Katalog von Situationen: Ähnliche Situation, ähnliche Entwicklung, (Bauernregeln, heute Datenbanken mit Wettersituationen)

• 2. Aktuellen Zustand erfassen: Vorhersage mit Physik und Computern


Wettervorhersage:DWD

Ausgangsdaten in Gitterpunkten erfassen:

Die ist der Zustand X0


Wettervorhersage:DWD

• Messen des aktuellen Zustands : X0

• Berechnen des Zustands X1 in 30 Minuten.

• Danach: Berechnen des Zustands in 60 Minuten auf der Basis von X1: X2

So geht’s weiter!


Math. Prinzip:Diskrete Iteration

• Berechnungsvorschrift f

• X0 gegeben Zustand jetzt

• X1 = f(X0) Zustand in 30 Minuten

• X2 = f(X1)

• X3 = f(X2) .....


Der Anfang: Edward Lorenz

• Lorenz, amerikanischer Meteorologe, Birkhoff-Schüler

• 1963: Untersuchung eines Computer-Wettermodells mit drei Kenngrößen.


Lorenz:

• Computerwetter extrem sensibel gegenüber Änderungen der Anfangsbedingungen („chaotisch“)

• Lorenz findet die richtige Interpretation: Die starke Kausalität gilt nicht in seinem System.


Die weiteren Ergebnisse von Lorenz

Es gibt bei dem Computerwetter

• stabile Wetterlagen,

• periodische Wetterlagen,

• chaotische Wetterlagen


Lorenz-Attraktor


Lorenz-Attraktor


Chaotische Wetterlagen

• Es gibt keine gleichen Wetterzustände (sonst wäre das Wetter periodisch!)

• Das Wetter kann nicht jeden Zustand annehmen


Suche nach chaotischen Systemen

• Lineare Systeme sind nie chaotisch

• Also: Versuch mit möglichst einfachen nichtlinearen Systemen mit Anwendungen: Wachstumsmodelle


Exkurs:Lineare Systeme

Ganz einfach:

Doppelte Ursache, doppelte Wirkung

Dreifache Ursache, dreifache Wirkung

......


Nichtlinear:Lagerverschleiß

Doppelte Beladung,

Sechzehnfacher Verschleiß


Wachstumsmodelle

• Fibonacci

• Verhuelst

• Polya


Fibonacci:Kanickelvermehrung

• J1 = 1, E1 = 0

• J2 = 0, E2 = 1

• J3 = E2 , E3 = E2 + J2

• J4 = E3, E4 = E3 + J3

• Ji+1 = Ei, Ei+1= Ei + Ji

Kaninchen sind unsterblich


Fibonacci:Kanickelvermehrung

• F1 = 1

• F2 = 1

• F3 = F1 + F2

• F4 = F2 + F3

• Fi+1 = Fi-1 + Fi

Kaninchen sind unsterblich


Einige Fibonaccizahlen

1 12 13 24 35 56 87 138 219 3410 55

41 16558014142 26791429643 43349443744 70140873345 113490317046 183631190347 297121507348 480752697649 777874204950 1,2586E+10


Verhuelst/Feigenbaum: Das logistische System

Verhuelst:

Einfaches Bevölkerungsmodell

Feigenbaum: Untersuchung des Modells mit Computern


Das Verhuelst/Feigenbaum-System

Wachstum einer Bevölkerung

• Xi = Größe der Population im i-ten Jahr

• Maximum der Population = 1 (100 %)


Logistisches Modell

Annahmen:

Xi+1 Xi

Xi+1 1 – Xi

Also:

Xi+1 = r • Xi • (1 – Xi)

r = Fruchtbarkeitsparameter


Die einfache Mathematik:

xi+1 = f(xi), f(x) = rx(1-x), 0< r <4

r = 1 r = 4


Verhuelst: Start: 0,25, r = 1

0

0,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population


Verhuelst: Start: 0,25, r = 2

0

0,5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population


Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,3

0

0,5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population



0

0,5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population



0

0,5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population



0

0,5

1

1,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population



0

0,5

1

1,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zeit

Population


Das Feigenbaumdiagramm

Wie entwickelt sich die Population nach langer Zeit für verschiedene

Fruchtbarkeiten r?


Nach tausend Perioden 0 < r< 4


Nach tausend Perioden0 < r < 3


Nach tausend Perioden 3 < r< 4


Nach 2000 Perioden:r > 3,5


Nach 2000 Perioden:r > 3,8


Es gäbe noch viel zu sagen zu Feigenbaum:

• Feigenbaumkonstante

• Andere Funktionen

• Der Satz von Sarkowski


Was ist ein chaotisches System?

• Sensibel gegen Anfangsbedingungen

• Periodische Punkte liegen dicht

• Jede Teilfläche erreicht jedes Gebiet (Topologische Transitivität)


Einige Themenfelder

• Dreikörperproblem: Poincaré

• Turbulenz: Kolmogoroff

• VWL-Modelle

• Wettermodelle

• Steuerung des Herzschlags

• Populationsmodelle


Die wichtigste Konsequenz:

Gute Vorhersagen nach n Perioden: Genauigkeit der Anfangsbedingungen

wächst exponentiell in n.

Vieles wird nie berechenbar sein!


Meine Sicht der Welt:

• Gott sei Dank ist nicht alles vorhersagbar

• Mit Mathe und sonstigen Wissenschaften ist man dennoch gut bedient

• Grenzwissenschaften sind keine Alternative


Zufall und Wahrscheinlichkeit

• 4 Wege zu Zufall und Wahrscheinlichkeit:

– Die Laplace-Methode (Pascal)– Kolmogoroffs Axiome (etwa 1930)– Kolmogoroffs zufällige Folgen (1960)– Chaos (ab 1965)


Laplace-Wahrscheinl.

• Beispiel: Würfeln mit einem idealen Würfel

1P(3)

6


Axiomatische Wahrscheinl.

• Kolmogoroff: Grundgesetze für Wahrscheinlichkeiten (Rechenregeln), etwa 1930

• Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bleibt dem Anwender überlassen


Zufällige Folgen

• Kolmogoroff (1960): Wann ist eine Folge zufällig?

• Beispiele:• 0, 0, 0, 0, 0, 0, .....• 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, .....• 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, ....• 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0,


Zufällige Folgen

• Kolmogoroff:

Eine Folge ist umso zufälliger, je länger ihre Beschreibung ist


Eine neue Sicht: Chaos

• Würfeln ist chaotisch und erscheint daher als Zufallsexperiment


Mathe in Eppelborn

• Es geht im Sommer weiter!

• Geplante Themen:– Überleben mit Statistik

– Numerologie, ist da was dran

• Eine lange Nacht der Mathematik in Eppelborn?

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