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Schulverlag plus AG
Klett und Balmer Verlag
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Schulbuch1
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
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Schulbuch2
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
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Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
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Schulbuch3
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
mathbuch1bis3_Umschläge_def.indd 29 14.02.13 11:13
mathbuch 1–3 Das Lehrwerk für den wirksamen Mathematikunterricht auf der Sekundarstufe I
Nachhaltigkeit gewährleistet
Das vom Schulverlag plus und vom Klett und Balmer
Verlag herausgegebene Lehrwerk «mathbu.ch»
hat Tausende von Schülerinnen und Schülern auf
ihrem Weg zum mathematischen Verständnis
begleitet. Jetzt wird es weiterentwickelt. Der Band
für die 7. Klasse ist erhältlich. Das «mathbuch» für
die 8. Klasse erscheint Ende Mai 2014. Der Band für
die 9. Klasse folgt 2015.
Die Umsetzung der didaktischen Leitideen von
«mathe 2000» zum aktiv-entdeckenden, zum
differenzierenden sowie zum dialogischen Lernen
in einem Mathematiklehrwerk hat sich bewährt.
Das neue «mathbuch» basiert weiterhin auf einem
konstruktivistischen Lernverständnis. Dieser
Weg wird durch Ergebnisse der aktuel len Lern-
forschung unterstützt. Erst selbst Entdecktes
und Erkanntes wird – unter stützt vom nach folgen -
den Üben – nach haltig verfügbar. Ebenfalls
bei be hal ten werden die an regenden und alltags -
bezogenen Lernumgebungen.
Das «mathbuch» nutzt die Erfahrungen der Lehrpersonen
Die mit dem «mathbu.ch» in der Schulpraxis gesam-
melten Erfahrungen fliessen in die Weiter entwick-
lung ein. 150 Real- und Sekundarlehrpersonen aus ver -
schiedenen Kantonen haben das «mathbu.ch»
evaluiert. Das neue «mathbuch» orientiert sich stark
an den geäusserten Bedürfnissen dieser Praktike-
rinnen und Praktiker.
Das neue mathbuch
«Das ‹mathbu.ch› vermittelt auch eine Grundhaltung:
Probiere aus, gehe eigene Wege, tausche dich mit anderen
aus. Mathematik begegnet dir überall im Leben. Sie ist
etwas Schönes. Entdecke, staune und lerne aus Fehlern.»
Erika Beermann-Biner, Sekundarlehrerin und Evaluierende «mathbu.ch» (BS)
Lehrplan 21
Orientierung an Kompetenzen
Das «mathbuch» orientiert sich am Lehrplan 21,
sowohl in seiner Struktur als auch in Bezug
auf die zu fördernden Kompetenzen. Den Lehrper-
sonen bietet es im Begleitband vielfältige Hilfen
zur Umsetzung des Lehrplans 21.
Zahl und Variable Form und Raum Grössen, Funktionen, Daten und Zufall
Operieren und Benennen
Erforschen und Argumentieren
Mathematisieren und Darstellen
Operieren und Benennen
Erforschen und Argumentieren
Mathematisieren und Darstellen
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Erforschen und Argumentieren
Mathematisieren und Darstellen
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1 S Fünfer und Zehner • • • • • •2 A Kopfrechnen • • •3 A Rechnen – schätzen – überschlagen • • • •4 S So klein! – So gross! • •5 G Messen und zeichnen • • • • •6 G Koordinaten • •7 A Dezimalbrüche • • • •8 A Brüche – Dezimalbrüche – Prozente • • • •9 G Flächen und Volumen • • • • • •
Gru
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10 A x-beliebig • • • • • • • • • •11 A Knack die Box • • • • • • • • • •12 G Parallelogramme und Dreiecke • • • • • • •13 S Mit Würfeln Quader bauen • • • • • •14 S Wasserstand und andere Graphen • • • •15 S Kosten berechnen • • • • • • • •16 A Wie viel ist viel? • • • • • • •17 A Operieren mit Brüchen • • • • •18 A Prozente • • • • • •19 A Summen und Produkte • • • • • • • • •20 G Symmetrien und Winkel • • • • • • • •21 G Boccia – Pétanque – Boule • • • • • • •22 S Jugendliche und Medien • • • • • •
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23 G Schieben – drehen – zerren • • • • • • • •24 G Regelmässige Figuren • • • • • • • •25 A Situation – Tabelle – Term – Graph • • • • • • • • • • •26 A Zahlentafeln und Stellenwerte • • • • • • •27 S Verpackungen • • •• • • •28 S Pasta • • • • • •29 S Proportionalität – umgekehrte Prop. • • • • •30 S Konstruktionen • • • •31 A Domino – Triomino • • • • • • •
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32 S Fermi-Fragen • • • • • • •33 S Verpackungskünstler • • • • • •34 S Strandbad • • • • • •35 G Bandornamente • • • •36 S Weltreise • • • • • •37 S Skigebiet • • • •
9 8 12 7 8 8 6 5 4 6 6 10 4 6 6 7 10 8 2 5 2 7 8 4 5 8 8 7 8 4 6 4 11 5
mathbuch 1 bezogen auf Lehrplan 21
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Dieses Schema im Begleitband zeigt detailliert die Beziehung zwischen Lehrplan 21 und «mathbuch 1» auf.
Das neue «mathbuch» bietet Lehrenden und Lernenden viel
n Das «mathbuch» ist klar strukturiert und benutzer-
freundlich und dadurch einfach zu handhaben.
n Die Lernziele im «mathbuch» sind kompetenz-
orientiert. Damit erfüllt es eine wichtige Anforde-
rung des Lehrplans 21.
nDas «mathbuch» verschafft vielfältige Differenzie-
rungsmöglichkeiten und wird Schülerinnen und
Schülern aller Begabungsstufen gerecht.
nDer neu konzipierte Begleitband des «mathbuchs»
ermöglicht eine effiziente Unterrichtsvor-
bereitung.
n Das «mathbuch» bietet den Schülerinnen und
Schülern ein umfangreiches Online-Angebot mit
Aufgaben zum Üben und Kontrollieren sowie
vorbereitete Tabellen und Grafiken.
n Das neue «mathbuch» liefert den Schülerin -
nen und Schülern Anleitungen und Materialien für
die Erstellung eines persönlichen Merkhefts.
n Das Schulbuch enthält ein umfangreiches und
stufengerechtes Glossar mit Erklärungen zu
allen mathematischen Fachbegriffen der Lernum-
ge bungen.
42 43Steigung 14Im Strassenverkehr werden Steigungen in Prozenten ausgedrückt. Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Höhendi� erenz und Projektion (Horizontal-distanz). Steigungen könnte man auch durch Neigungswinkel angeben.
16
4
Bei diesem Keil beträgt
die Steigung 4 : 16
oder 1 _ 4 = 0,25
oder 25 %.
Der Neigungswinkel misst 14 °.
Bahn 1 Bahn 2 Bahn 3 Bahn 4 Bahn 5
Luftseilbahn Obermatt–Zingel
Luftseilbahn Engelberg–Brunni
Luftseilbahn Ristis–Brunnis- hütte
Standseilbahn Kehrsiten–Bürgenstock
Hammetschwand-lift
Talstation 670 m ü. M. 1 023 m ü. M. 1 600 m ü. M. 436 m ü. M. 962 m ü. M.
Bergstation 1 250 m ü. M. 1 605 m ü. M. 1 867 m ü. M. 873 m ü. M. 1 115 m ü. M.
Projektion 514 m 1 041 m 869 m 836 m 0 m
Steigung maximal 150 % 100 % unbekannt 58 % –
Nutzlast 250 kg 2 · 65 + 1 Pers. 132 · 3 Pers. 2 · 80 Pers. 1 · 12 Pers.
Förderleistung – 677 Pers. /h 1 200 Pers. /h 630 Pers. /h 360 Pers. /h
Fahrgeschwindigkeit – 10 m/s 1,5 m/s 3 m/s 3,1 m/s
Fahrzeit je nach Last 3 min 10 min 7 min 1 min
Projektion p (Horizontaldistanz)
Hö
hen
di
eren
z h
durchschnitt
liche S
teigung
max
imal
e St
eigu
ng
Steigung am Schulbuch
1 A Stellt aus Karton Keile mit verschiedenen Steigungen her und beschriftet sie.
B Schiebt die Keile bis zum Anschlag unter den Buchdeckel des «mathbuchs». Legt ver-
schiedene Gegenstände auf den Buchdeckel. Bis zu welcher Steigung bleiben sie liegen,
wann rutschen oder rollen sie weg? Protokolliert und vergleicht.
C Erstellt eine Tabelle. Messt die Keile aus. Tragt die Längen der Seiten,
die Steigung und den Neigungswinkel ein.
D Wenn die Länge der waagrechten Seite und die Steigung bekannt sind,
lassen sich die anderen beiden Seiten berechnen. Wie gehst du vor?
Treppen
2 Wie gross ist die Steigung eurer Schulhaustreppe?
Macht Skizzen mit Massangaben und beschreibt euer Vorgehen.
Vergleicht die Ergebnisse.
Geräte und Steigung
3 Wie gross ist die Steigung bei der Bockleiter links? Messt und vergleicht.
4 Sucht weitere Geräte in eurer unmittelbaren Umgebung, bei denen Steigungen
gemessen werden können.
Steigungen in unterschiedlichen Sachverhalten und Zusammenhängen erfahren und bestimmen – Steigung von Geraden im Koordinatensystem berechnen
Seilbahnen
5 A Vergleiche die Daten der verschiedenen Seilbahnen.
B Bestimme die durchschnittliche Steigung jeder Bahn und erstelle
ein entsprechendes Steigungsdreieck.
C Gib die Fahrgeschwindigkeiten in km/h an und vergleiche
mit einem anderen Fahrzeug.
Geländeneigung
6 Ab einer Hangneigung von 35° steigt die Gefahr einer Selbstauslösung von Lawinen
sehr stark an. Mit zwei Skistöcken kann man überprüfen, ob die Hangneigung mehr
als 30° beträgt. Das Bild zeigt, wie das geht.
A Erkläre jemandem, warum der Neigungs-
winkel des Geländes in diesem Fall
30° beträgt.
B Skizziere eine Skistocksituation mit
einem Neigungswinkel des Geländes,
der mehr als 30° beträgt.
C Skizziere eine Skistocksituation mit
einem Neigungswinkel des Geländes,
der weniger als 30° beträgt.
Eine Bahnstrecke verläuft
in der Regel nicht in jedem
Abschnitt gleich steil.
84004_mathbuch_sb_LUs_v2.indd 42-43 26.02.14 17:49
Online-Angebot für Schülerinnen und Schüler
Interaktives Rechentraining: Kopfrechnen und Kopfgeometrie
Weitere Arbeitsblätter mit unterstützenden
und herausfordernden Aufgaben
Lernkontrollen «Teste dich selbst»
Ergänzende Arbeitsmaterialien
wie zum Beispiel vorbereitete Tabellen
Materialien zum Führen eines Merkhefts
Lexikon der relevanten mathematischen Begriffe
mit ausführlichen Erläuterungen
Online-Angebot für Lehrpersonen
Ergänzende Informationen
zu den Lernumgebungen
Lösungen zu den Schulbuchseiten
als Kopiervorlagen
Instrumente zur Beurteilung (Lernzielkontrollen)
Kopiervorlagen zur Stützung und Förderung
Lösungsheft
Wird dem Arbeits-
heft beigelegt
Merkheft
Im Arbeitsheft und
im Online- Angebot:
Anleitungen und
Materialien zum Er-
stellen eines persön-
lichen Merkhefts
Optimale Vernetzung der Lehrwerksteile
Klar strukturiert und benutzerfreundlich
Die Lehrwerksteile des «mathbuchs» sind bestens miteinander vernetzt.
Ein klares Verweissystem sorgt für schnelle Orientierung.
Schulbuch
Lernumgebungen
und Miniprojekte
Rechentraining
und Kopf geometrie
Verweise auf das Online-
Angebot für Schülerinnen
und Schüler
Glossar
Sch
ulb
uch
2
Schulbuch2
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
mathbuch1bis3_Umschläge_def.indd 16 14.02.13 11:12
Arbeitsheft für Grundansprüche
Arbeitsheft für erweiterte Ansprüche
Differenzierendes
Übungsmaterial zu den
Lernumgebungen
Verweise auf das Online-
Angebot für Schülerinnen
und Schüler
Arbeitsheft
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
2Arb
eits
hef
t
2
mathbuch1bis3_Umschläge_def.indd 19 14.02.13 11:13
Arbeitsheft
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
Arb
eits
hef
t
2
2+
mathbuch1bis3_Umschläge_def.indd 22 14.02.13 11:13
Begleitband
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
Beg
leit
ban
d
2
2
mathbuch1bis3_Umschläge_def.indd 25 14.02.13 11:13
Begleitband für Lehrpersonen
Praktische Übersichten
zu jeder Lernumgebung
Kurze Kommentare
zu den Lernumgebungen
Kommentierte Lösungen
Kurzfassung der
didaktischen Leitideen
Die neue Gruppierung des Stoffes unterstützt die Differenzierung
Eine der wichtigsten Veränderungen betrifft
die Transparenz des Lehrmittels. Es wird für Lehr-
personen und Lernende klar ersichtlich, welche
Inhalte von allen Schülerinnen und Schülern be-
arbeitet werden sollen und welche über den
Grundstoff hinausführen. Um dies zu ermöglichen,
wurde der Lernstoff neu gruppiert. Die Inhalte
sind in vier Gruppen unterteilt.
n Lernstandserhebung und Wiederholung
Diese Lernumgebungen dienen der Wiederholung
und dem Schliessen von Lücken.
n Grundlegung
Hier setzen sich die Schülerinnen und Schüler
mit neuem Stoff auseinander. Diese Lernum-
gebungen decken zusammen die neuen Inhalte
eines Schuljahres ab.
n Vertiefung und Weiterführung
Diese Lernumgebungen führen über die Inhalte
der Grundlegung hinaus.
n Miniprojekte
Die sachbezogenen Miniprojekte können während
des ganzen Schuljahres zum Einsatz kommen.
Sie bringen Abwechslung und Auflockerung.
Neuerungen im Schulbuch
Inhalt
1 G Koordinaten – Kongruenzabbildungen Seite 6 – 7
2 A Terme für Umfang und Fläche 8 – 9
3 A G Situationen mit Termen beschreiben Rechentraining 10 – 11
4 A S Operieren mit rationalen Zahlen Rechentraining 12 – 13
5 S Grössen Rechentraining 14 – 15
6 S Relativ – absolut Rechentraining 16 – 17
7 S Graphen 18 – 19
8 Aha! 20 – 21
9 A Negative Zahlen Rechentraining Seite 22 – 25
10 A Verpackte Zahlen Rechentraining 26 – 29
11 G Dreiecke – Vierecke 30 – 33
12 G Pythagoras: Musik – Harmonie – Zahl 34 – 37
13 A Quadratwurzeln Rechentraining 38 – 41
14 S A Steigung 42 – 45
15 S Zusammengesetzte Grössen Rechentraining 46 – 49
16 A Zehnhoch Rechentraining 50 – 53
17 G Kreis 54 – 57
18 A Produkte von Binomen 58 – 61
19 G Grundfl äche · Höhe Kopfgeometrie 62 – 65
20 S Geldgeschäfte Rechentraining 66 – 69
21 S Gewinnen 70 – 73
22 G Kreise – Linien – Winkel Seite 74 – 75
23 G Der Altar von Delos 76 – 77
24 A Zählstrategien 78 – 79
25 A Magische Quadrate 80 – 81
26 S Naturgewalten 82 – 83
27 S Zinsen 84 – 85
28 S Etwa Rechentraining 86 – 87
29 G Vier gewinnt im Raum 88 – 89
30 A Kalender – Teilbarkeit 90 – 91
31 S Gesetze des Zufalls 92 – 93
32 A Bruchterme 94 – 95
Vertiefung und Weiterführung
33 G Entdeckungen am Viereck Seite 96
34 S Rekorde um die Welt 97
35 S Vierwaldstättersee 98
36 A Würfeltricks 99
37 G Flächenornamente 100
38 S Stade de Suisse 101
Glossar 102 – 111
Projekte
A Arithmetik G Geometrie S Sachrechnen
Lernstandserhebung und WiederholungLernstandserhebung und Wiederholung
Grundlegung
Vertiefung und Weiterführung
Projekte
Originalfi gur
Bildfi gur
Fussbodenparkett
A
B
C
p1
p2
A
B
C
A
B
D
84004_mathbuch_sb_LUs_v2.indd 5 26.02.14 09:39
Inhaltsverzeichnis «mathbuch 2»
Blättern Sie im «mathbuch» unter www.schulverlag.ch oder www.klett.ch.
Ausreichend Übungsmaterial
Das neue «mathbuch» legt mehr Gewicht auf
das automatisierende Üben. Bereits das Schulbuch
enthält in den Rubriken «Rechentraining» und
«Kopfgeometrie» Trainingseinheiten.
Weitere Übungsmöglichkeiten finden sich im
Online-Bereich.
Einfaches Auffinden von Theorie
In den Lernumgebungen wird bei neuen Begriffen
und Regeln auf ein ausführliches Glossar im
Anhang des Schulbuchs verwiesen. Die Stichworte
aller «mathbuch»-Schulbücher sind in einem
Online-Lexikon zusammen gefasst, angereichert
mit Beispielen und Grafiken.
Neuerungen im Schulbuch
259
Negative Zahlen multiplizieren und dividierenImmer 72
Jedes der vier Malkreuze beschreibt die Rechnung 8 · 9.
A Übertrage die vier Malkreuze in dein Heft. Welche Zwischenergebnisse müssen
in den Malkreuzen stehen? Begründe.
B Vergleiche die Malkreuze mit den Feldern. Welches Feld passt zu welchem Malkreuz?
Erklärt einander die Beziehung zwischen Malkreuz und Feld.
C Erfi ndet weitere Malkreuze mit dem Ergebnis 72 und zeichnet sie auf.
D Erfi ndet verschiedene Malkreuze zur Rechnung 18 · 19.
Terme auswerten
Setze jeweils für x der Reihe nach die Zahlen
4 3 2 1 0 – 1 – 2 – 3 – 4 ein. Was stellst du fest?
A 3 · (x) = B (x) : 3 = C (x) · (– 3) = D (– 3) : (x) =E 3 · (– x) = F (– x) : 3 = G (– x) · (– 3) = H (– 3) : (– x) =
I Bei den Aufgaben D und H gibt es für x = 0 keine Lösung. Warum?
Findet und vergleicht verschiedene Multiplikationen und Divisionen mit dem Ergebnis:
A 24 B – 36 C 48xD – 60xy E 12a2 F – 6a3
11· 5 3
5
4
72
Malkreuz 1
Feld 1 Feld 2
· 10 – 2
7
2
72
Malkreuz 2
Feld 3
· 10 – 2
10
– 1
72
Malkreuz 3
Feld 4
· 12 – 4
11
– 2
72
Malkreuz 4
12
13
Die vier Grundoperationen Rechentraining online B109-02
Rechentraining Stellt eigene Beispiele her, tauscht sie aus und übt immer wieder.
Aufgaben (– 3) – (– 8) ( 1 __ 4 ) · (– 2 __
3 ) (– 6 __
5 ) : 2 (– 6) + (– 0,5) (– 3) : (0,5)
Lösungen 5 – 2 __ 12
= – 1 _ 6 – 3 _
5 – 6,5 – 6
84004_mathbuch_sb_LUs_v2.indd 25 26.02.14 09:42
22 Negative Zahlen
Negative Zahlen im AlltagDie Menschen haben Masse für Längen, Gewichte, Zeitdauern …
entwickelt.
Ebenso hat es verschiedene Bestrebungen gegeben, Temperaturen
eindeutig zu messen. Die bekannteste Methode bei uns ist die Messung
mit der Masseinheit Grad Celsius (°C).
Temperaturunterschiede
1 A Bestimme von Ort zu Ort die Temperaturunterschiede.
B Wie gross ist die maximale Temperaturdi� erenz zwischen zwei Orten?
Durchschnittstemperaturen
2 Nebenstehend siehst du das Temperatur-Diagramm
einer Januar-Woche von Montag bis Sonntag.
A Bestimme die Temperaturdi� erenzen von Tag zu Tag.
B Wie gross war die mittlere Temperatur in
dieser Woche?
Temperaturrekorde
3 Lies die Tabelle und berechne verschiedene Temperaturdi� erenzen.
Die tiefsten auf der Erde gemessenen Temperaturen
Einzelmessung Wostok, Antarktis – 89,2 °C
Jahresmittel Nedostupnosti, Antarktis – 57,8 °C
Bewohnter Ort Oymyakon, Russland, 1926 – 72,1 °C
Die höchsten auf der Erde gemessenen Temperaturen
Einzelmessung Death Valley, USA, 10. Juli 1913
+ 56 °C
Einzelmessung Iranische Wüste, 2007 + 70,7 °C
Jahresmittel Dallol, Ägypten, Nov. 1960 – Okt. 1966
+ 34,6 °C
Maximale Temperaturdi� erenzen
Im Laufe eines Jahres Werchojansk, Russland – 70 °C /+ 36,6 °C
Innerhalb eines Tages Browning (Montana), USA + 6,6 °C /– 48,9 °C
Le Brassus
Montreux
Rochers de Naye
Adelboden
Gstaad
Jungfraujoch Crap Sogn Gion
MeiringenRapperswil
Bad Ragaz
Säntis Bregenz
Heiden
Lac Léman Zürichsee Bodensee
–5º
0º 2º
0º–5º
–2º4º –1º
0º –13º –3º –7º 1º
Nullgradgrenze: 800 m
45004000350030002500200015001000
5000
m ü. M.
– 4
–2
0
2
ºC
Mo Di Mi Do Fr Sa So
Zahlen kleiner als 0 heissen negative Zahlen. Man begegnet ihnen im Alltag beispielsweise bei Temperaturen im Winter, im Koordinatensystem oder bei Geldgeschäften. Negative Zahlen sind wie die natürlichen Zahlen oder die Brüche mathematische Objekte, mit denen man rechnen kann.
Die negativen Zahlen als neue mathematische Objekte kennen lernen –Die vier Grundoperationen auch mit negativen Zahlen durchführen
Anders Celsius (1701–1744) wurde durch seinen Vorschlag der 100°-Ein-teilung des Thermometers bekannt. Für die Tempe-ratur von Eiswasser (Schmelzpunkt von Eis) markierte er den Wert von 0 Grad. Für die Tempera-tur von siedendem Was-ser (Siedepunkt von Was-ser) legte er den Wert100 Grad fest. Die Be-zeichnung Grad Celsius (°C) ist auf ihn zurück-zuführen.
84004_mathbuch_sb_LUs_v2.indd 22 26.02.14 16:11
Beispiel für eine Lernumgebung zur Grundlegung
Die Lernziele sind klardeklariert.
Unterstrichene Begriffe werden im Glossar im Anhang und im Online-Lexikon erklärt.
Die Rubrik «Rechentraining» bietet Übungen zum Auto- matisieren.
Im Online-Bereich finden sich zusätz-liche Übungen zum Thema.
Üben auf verschiedenen Niveaus
Die neu konzipierten Arbeitshefte erleichtern die
Differenzierung im Unterricht. Sie sind weiterhin in
einer Ausgabe für Grundansprüche und einer für
erweiterte Ansprüche erhältlich. Das Übungsangebot
wurde vergrössert, trotzdem präsentieren sich
die Arbeitshefte übersichtlich, da weiter führende
Auf gaben online angeboten werden.
Beurteilen und Fördern
Am Ende einer Lernumgebung können die Lernen-
den mithilfe der Lösungserwar tungen feststellen,
welche Anforderungen sie erfüllen. Es wird unter-
schieden zwischen Grundanforderungen («Ich kann»)
und Zusatzanforderungen («Zusätzlich kann ich»).
Werden einzelne Erwar tungen noch nicht erfüllt,
verweist das Arbeitsheft auf das Online-Angebot mit
einfachen Zusatz aufgaben zum gleichen Stoff.
Lernende, die Zusatzanforderungen schon erreicht
haben, erhalten Verweise auf Aufgaben, die sie
herausfordern. Dieses Angebot stärkt die Selbst-
verantwortung der Schülerinnen und Schüler.
Das persönliche Merkheft
Im Arbeitsheft und im Online-Bereich finden die
Schülerinnen und Schüler Anleitungen und unter-
stützendes Material zum Führen eines Merk hefts.
Es dient dazu, das Gelernte besser zu behalten.
Das Merkheft kann auch als Lernjournal, als
Sammlung von Lernberichten oder als Grundlage
für ein Portfolio verwendet werden.
Neues Konzept für die Arbeitshefte
5912Pythagoras: Musik – Harmonie – Zahl
7 Berechne die blau markierten Strecken.
Ein Beweis
8 Heute kennt man für den Satz des Pythagoras etwa 400 Beweise.
Einen der einfacheren Beweise hat Pythagoras selber gefunden.
A Zeichne Figur 1 auf kariertes Papier und schneide die Teile aus.
Du erhältst vier kongruente, rechtwinklige Dreiecke und ein Quadrat.
Klebe die vier Dreiecke so in das leere, gleich grosse Quadrat (Figur 2),
dass zwei zusammen ein Rechteck bilden.
Es sollen zwei quadratische Flächen frei bleiben.
B Wie gross ist das weisse Quadrat in Figur 1?
Wie gross sind die beiden frei bleibenden weissen Flächen zusammen in Figur 2?
Figur 1 Figur 2
24
7
A
2012
B
34 34
32C
16
Flächeninhalt A = 192D
Geogebra-Anwendung B312-01
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
84005_mathbuch_ah_ga_lu1bis21.indd 59 24.02.14 18:02
5411Dreiecke – Vierecke
Selbstbeurteilung «Dreiecke – Vierecke »
Ich kann …
den Umkreis eines Dreiecks konstruieren.SB 2B AH 3
den Inkreis eines Dreiecks konstruieren. SB 2A
den Schwerpunkt eines Dreiecks kons-truieren und kenne seine Bedeutung. SB 3
Winkel in ebenen Figuren messen und berechnen. AH 5
Zusätzlich kann ich …
ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten, mit zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder einer ge-gebenen Seite und zwei Winkeln kons-truieren. AH 6
Berechnungen am Trapez durchführen. SB 13
Trapeze bei Angabe der nötigen Winkel und Seitenlängen konstruieren. SB 14
Weitere Aufgaben
«Zusatzanforderungen» B311-03
Weitere Aufgaben
«Grundanforderungen» B311-02
Arbeitsrückschau im Merkheft B311-04 Teste dich selbst B311-05
Würfel ergänzen
Zwei der fünf Ruinen lassen sich zu einem Würfel zusammensetzen.
Welche beiden Ruinen passen zusammen?
Kopfgeometrie online B311-01
Kopfgeometrie
84005_mathbuch_ah_ga_lu1bis21.indd 54 24.02.14 18:01
Verweis auf weitere Aufgaben im Online-Bereich
Die Lösungserwartungen im Arbeitsheft dienen der Selbstbeurteilung und erleichtern die Differen - zierung.
Verweis auf vorbe-reitete Geogebra- Anwendung im Online- Bereich
Rasche Orientierung
Der Begleitband bietet sowohl wenig erfahrenen
als auch praxiserprobten Lehrpersonen Unterstützung.
Er präsentiert sich in einer völlig ver änderten
Auf machung. Eine wichtige Neuerung sind die vier-
farbigen Übersichten im Format A3, die das
Wichtigste der Lernumgebung zusam men fassen.
Sie sorgen für eine rasche Orientierung.
Alles ist vorbereitet
Der schlanke Begleitband enthält neben den
Übersichten im A3-Format:
n kurze Hinweise zum didaktischen Vorgehen
n kommentierte Lösungen zum Schulbuch
n Instrumente zur Lernsicherung
n Vorschläge zur Förderung und zum Umgang
mit Heterogenität
n eine Kurzfassung der didaktischen Leitideen
Praktisches Online-Angebot
Ergänzt wird der Begleitband durch Material im
Online-Bereich:
n Informationen zur Lernumgebung
n Lösungen zum Schulbuch
n Instrumente zur Beurteilung (Lernzielkontrollen)
n Kopiervorlagen zur Stützung und Förderung
75Steigungen
Hinweise Lösungen
14
1A Individuelle Lösungen
B Individuelle Lösungen
C Individuelle Lösungen
D Die zweite Kathete lässt sich aus der Steigungsangabe berechnen:
10 cm (waagrechte Kathete) ergibt eine Steigung von 0,5, die senkrechte Kathete
misst daher 5 cm.
Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich anschliessend die Hypotenuse
berechnen:
Wurzel aus (102 + 52) = 11,2 cm.
2Individuelle Lösungen
Es stellt sich die Frage, wo die Treppe beginnt und wo sie endet. Je nach Abmachung,
wird die Steigung unterschiedlich sein.
3Die Steigung beträgt ungefähr 3 oder 300 %.
Das ergibt einen Winkel von etwa 70°
4Individuelle Lösungen
5A Mögliche Lösungen:
■ Bahn 2 ist die schnellste. ■ Bahn 3 fördert am meisten Personen. ■ Bahn 2 überwindet die grösste Höhe pro Fahrt.
B
Es sind verschieden grosse Steigungsdreiecke möglich.
Mit dieser Aufgabe kann die Steigung
im Kleinen erfahrbar gemacht werden.
Systematisches Ausprobieren und übersicht-
liches Protokollieren sind wichtige mathe-
matische Kompetenzen.
Die Begriffe Kathete und Hypotenuse
können an dieser Stelle vertieft werden.
Wichtig ist die Erkenntnis, dass Steigungs-
dreiecke immer rechtwinklig sind.
1
Keil Objekt rutscht
Steigung Neigungs-winkel
waagrechte Kathete
senkrechte Kathete
Hypotenuse
1 0,5 = 50% 26,6° 10 cm 5 cm 11,2 cm
2
Das Ausmessen der eigenen Schulhaus-
treppe ermöglicht, die erlebbare Steigung
zu thematisieren.
Die Aufgabe ist zeitaufwendig. Es lohnt sich
jedoch zu diskutieren, wie Steigungen
vor Ort erfasst werden können.
Die Masse müssen gemessen und in den
Treppenplan eingetragen werden.
Dabei stellt sich die Frage des Massstabs.
Wie gross muss er gewählt werden,
dass die Treppe massstabgetreu ins Heft
übertragen werden kann?
2
Mit den vorgegebenen Daten lassen sich
verschiedene Berechnungen durchführen.
Einige Daten sind jedoch ziemlich ungenau.
Es stellt sich auch hier die Frage nach
der sinnvollen Genauigkeit.
Die verschiedenen Begriffe sind zu klären.
5
Bahn DurchschnittlicheSteigung
Steigung der steilsten Stelle
Bahn 1 113 % 1,13 ca. 55°
Bahn 2 56 % 0,56 45°
Bahn 3 31 % 0,31 unbekannt
Bahn 4 52 % 0,52 ca. 30°
Bahn 5 nicht defi niert nicht defi niert 90°
84007_bb_loesungen.indd 75 26.02.14 09:02
Steigungen 14
▼
▼
Querverbindungen
Mögliche Lernsicherung
Angebot online B214-01
Mathematische Inhalte
Anwendungsfelder
Im Auge behalten
Karten lesen
Geschickte OL-Routen anhand von Karten wählen
Optimierungsaufgaben mithilfe von Geraden-gleichungen lösen
Neigungswinkel und Steigung als Verhältnis von Höhenabschnitt zu Projektion im Vergleich (implizit die Tangensfunktion)
Die Steigung als ein Verhältnis, als proportionale Zuordnung verstehen
Lineare Funktionen
Geradengleichung
Höhen aus Karten lesen
Steigung 1 oder 100 % als Referenzgrösse
Der Begri� «senkrecht» entspricht einer unendlich grossen Steigung.
Es gibt unterschiedliche Streckenprofi le von A nach B, die Luftlinie ist die kürzeste Verbindung.
Proportionalität
Lineare Funktionen als Geraden zeichnen
Vernetzung
Davor
mathbuch 1 LU 10 «x-beliebig» LU 18 «Prozente»
Steigungen in unterschiedlichen Sachverhalten und Zusammenhängen erfahren und bestimmen
Zur Heterogenität
Hinweise zum Vorgehen
Im Alltag wie auch innermathematisch wird mit dem Begri� der Steigung ein Verhältnis von Projektion (Horizontaldistanz) und Höhendi� erenz resp. x-Achsen-abschnitt beschrieben.
Aus diesem Grund werden beide Aspekte in dieser Lern-umgebung verbunden. Der Zugang führt über den Begri� der Steigung aus dem Erfahrungsbereich der Lernenden hin zur Steigung von Geraden im Koordinatensystem. So sind es zuerst schiefe Ebenen, gebildet mit Buchde-ckeln, dann Treppen, beides im Alltagsbereich der Lernen-den. Höhenprofi le und Karten der näheren Umgebung können dazu dienen, die Steigungen sowohl zu erfahren als auch zu berechnen.
Die Steigung an Geraden ist nur für Lernstärkere von Bedeutung. Dieses Thema wird im 9. Schuljahr vertieft.
Danach
mathbuch 3/3+ «Niesenbahn» «Pläne zum Holzhaus» «Gleichungssysteme»
Einbettung im Schuljahr
Lernstandserhebung LU 1 «Relativ – absolut» LU 7 «Graphen»
Grundlegung LU 12 «Pythagoras»
Zusätzlich kann ich …
den Unterschied zwischen positiver und negativer Steigung erklären.
die Steigungen und Gleichungen von Geraden in einem Koordi-natensystem bestimmen.
Geradengleichung und Graph anhand von Wertetabellen erstellen .
Ich kann …
die Steigung als Bruch oder in Prozenten angeben.
die Steigung anhand von Keilen, Plänen oder Grössenangaben bestimmen.
zu einer Steigung verschiedene Keile erstellen.
den Unterschied zwischen durch schnittlicher und maxi maler Steigung an einem Beispiel erklären.
AH2 AH2+Die Lernenden erstellen Keile mit den Steigungen 10 %, 20 %, 50 % und messen den Neigungswinkel.
Die Lernenden lesen Steigungen aus einer Karte heraus oder bestimmen sie anhand von Daten von Seilbahnen. Sie bestimmen die Steigung auch anhand von Werte-tabellen.
Mindestanforderungen: – Einige rechtwinklige Dreiecke zeichnen, eine Kathete horizontal, die andere ver-tikal, Steigung in Grad und in Prozenten messen bzw. berechnen
– Auskunft geben zur Frage, ob doppelt so viel Grad doppelt so viele Prozent Steigung bedeutet
Lernkontrolle: «Teste dich selbst»
Lernzielkontrolle
Tätigkeitsbereiche LP 21
Zahl undVariable
Form undRaum
Grössen, Funktionen, Daten und Zufall
Erforschen und Argumentieren ✕
Operieren und Benennen ✕ ✕
Mathematisieren und Darstellen ✕ ✕
Zahl undVariable
Form undRaum
Grössen, Funktionen, Daten und Zufall
42
43
Steigung
14
Im Strassenverkehr werden Steigungen in Prozenten ausgedrückt.
Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Höhendi� erenz und Projektion (Horizontal-
distanz). Steigungen könnte man auch durch Neigungswinkel angeben.
16
4
Bei diesem Keil beträgt
die Steigung 4 : 16
oder 1 _ 4 = 0,25
oder 25 %.
Der Neigungswinkel misst 14 °.
Bahn 1Bahn 2
Bahn 3Bahn 4
Bahn 5
Luftseilbahn
Obermatt–ZingelLuftseilbahn
Engelberg–Brunni
Luftseilbahn
Ristis–Brunnis-
hütte
Standseilbahn
Kehrsiten–
Bürgenstock
Hammetschwand-
lift
Talstation670 m ü. M. 1 023 m ü. M. 1 600 m ü. M. 436 m ü. M. 962 m ü. M.
Bergstation 1 250 m ü. M. 1 605 m ü. M. 1 867 m ü. M. 873 m ü. M. 1 115 m ü. M.
Projektion514 m
1 041 m869 m
836 m0 m
Steigung maximal 150 %100 %
unbekannt 58 %–
Nutzlast250 kg
2 · 65 + 1 Pers. 132 · 3 Pers. 2 · 80 Pers. 1 · 12 Pers.
Förderleistung –677 Pers. /h 1 200 Pers. /h 630 Pers. /h 360 Pers. /h
Fahrgeschwindigkeit –10 m/s
1,5 m/s3 m/s
3,1 m/s
Fahrzeitje nach Last 3 min
10 min7 min
1 min
Projektion p (Horizontaldistanz)
Hö
hen
di
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durchsc
hnittlic
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igung
max
imal
e S
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ung
Steigung am Schulbuch
1 A Stellt aus Karton Keile mit verschiedenen Steigungen her und beschriftet sie.
B Schiebt die Keile bis zum Anschlag unter den Buchdeckel des «mathbuchs». Legt ver-
schiedene Gegenstände auf den Buchdeckel. Bis zu welcher Steigung bleiben sie liegen,
wann rutschen oder rollen sie weg? Protokolliert und vergleicht.
C Erstellt eine Tabelle. Messt die Keile aus. Tragt die Längen der Seiten,
die Steigung und den Neigungswinkel ein.
D Wenn die Länge der waagrechten Seite und die Steigung bekannt sind,
lassen sich die anderen beiden Seiten berechnen. Wie gehst du vor?
Treppen
2 Wie gross ist die Steigung eurer Schulhaustreppe?
Macht Skizzen mit Massangaben und beschreibt euer Vorgehen.
Vergleicht die Ergebnisse.
Geräte und Steigung
3 Wie gross ist die Steigung bei der Bockleiter links? Messt und vergleicht.
4 Sucht weitere Geräte in eurer unmittelbaren Umgebung, bei denen Steigungen
gemessen werden können.
Steigungen in unterschiedlichen Sachverhalten und Zusammenhängen erfahren und bestimmen –
Steigung von Geraden im Koordinatensystem berechnen
Seilbahnen
5 A Vergleiche die Daten der verschiedenen Seilbahnen.
B Bestimme die durchschnittliche Steigung jeder Bahn und erstelle
ein entsprechendes Steigungsdreieck.
C Gib die Fahrgeschwindigkeiten in km/h an und vergleiche
mit einem anderen Fahrzeug.
Geländeneigung
6 Ab einer Hangneigung von 35° steigt die Gefahr einer Selbstauslösung von Lawinen
sehr stark an. Mit zwei Skistöcken kann man überprüfen, ob die Hangneigung mehr
als 30° beträgt. Das Bild zeigt, wie das geht.
A Erkläre jemandem, warum der Neigungs-
winkel des Geländes in diesem Fall
30° beträgt.
B Skizziere eine Skistocksituation mit
einem Neigungswinkel des Geländes,
der mehr als 30° beträgt.
C Skizziere eine Skistocksituation mit
einem Neigungswinkel des Geländes,
der weniger als 30° beträgt.
Eine Bahnstrecke verläuft
in der Regel nicht in jedem
Abschnitt gleich steil.
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26.02.14 09:51
HilfsmittelKarton zum Herstellen der Keile, Japanmesser oder Schere, Meter und Messband zum Messen der Treppe, Karten aus der Gegend
Lexikon und Begri� eSteigung, Projektion (Horizontaldistanz), Neigungswinkel, durch-schnittliche Steigung, maximale Steigung, Gefälle, negative Steigung, Überhöhung, Geradengleichung
Voraussetzungen Verhältnis berechnen, proportionale Zuordnungen, Prozentrechnen, Punkte im Koordinatensystem eintragen, Winkel messen
84007_bb_uebersichten_Faltblaetter.indd 27 26.02.14 09:59
Effiziente Unterrichtsvorbereitung
Mit dieser praktischen Übersicht sparen die Lehrpersonen viel Zeit bei der Unterrichtsvorbereitung.
Die kommentierten Lösungen zum Schulbuch sind Bestand-teil des Begleitbandes.
Mit Zugang zum Online-Angebot für Lehrpersonen
Es ist sofort ersichtlich, welche Tätigkeits-bereiche des Lehr-plans 21 abgedeckt werden.
Differenzierung leicht gemacht
Das «mathbuch» bietet vielfältige Möglichkeiten zur
Differenzierung. Im Schulbuch bilden die Lernum-
gebungen im Bereich «Grundlegung» den Kern des
Lehrmittels. Sie decken die neuen Inhalte ab. Lern-
umgebungen aus den anderen Bereichen können je
nach Lernstand behandelt werden. Die Arbeits hefte
1 bis 3 sind für zwei Niveaus erhältlich: «Grund-
ansprüche» und «Erweiterte Ansprüche». Zudem
wird das Schulbuch 3 für die 9. Klasse in zwei
Ausgaben erscheinen.
Die Binnendifferenzierung findet mithilfe verschie-
dener Lösungserwartungen sowohl für Grund-
anforderungen («Ich kann») als auch für erweiterte
Anforderungen («Zusätzlich kann ich») statt.
Je nach Erfüllung der Anforderungen gibt es online
weitere Aufgaben, welche helfen, noch nicht
Er fülltes nach zuholen oder sich zusätzlichen Heraus-
forderungen zu stellen.
Das Merkheft dient der Reflexion und dazu,
Gelerntes in eigenen Worten festzuhalten. Es hilft,
den Lernprozess zu vervollständigen.
Lernen
Schulbuch
Lernstandserhebung und Wiederholung
GrundlegungVertiefung
und Weiterführung
Miniprojekte
Üben 1Arbeitsheft
GrundansprücheArbeitsheft +
Erweiterte Ansprüche
Kontrollieren 1 «Ich kann» «Zusätzlich kann ich» «Ich kann» «Zusätzlich kann ich»
Üben 2
Online-Angebot
Rechentraining
Kopfgeometrie
Arbeitsblätter mit unterstützenden und herausfordernden Aufgaben
Auswerten und Reflektieren
Merkheft
Kontrollieren 2
Online-Angebot
«Teste dich selbst»
Lernzielkontrollen
Wegweisendes Online-Angebot
Im Online-Bereich steht den Schülerinnen und
Schülern viel unterstützendes und weiterführendes
Übungsmaterial zur Verfügung. Das Online-Rechen-
training mit Übungen zum Kopfrechnen und die
Online-Kopf geometrie sind komplett neu konzipiert.
Neben dem Zugriff auf die Schülermaterialien
haben die Lehrpersonen online Zugriff auf weitere
Unterrichtsmaterialien und Kopiervorlagen sowie
auf Arbeitsblätter zur Lernzielkontrolle.
Online-Angebot für Schülerinnen und Schüler sowie die Lehrpersonen
n Rechentraining mit interaktiven Übungen zum
Kopfrechnen und zur Kopfgeometrie
n Arbeitsblätter mit Übungen, welche die Erreichung
der Mindestanforderungen unterstützen
n Arbeitsblätter mit Übungen für Schülerinnen
und Schüler, welche die Zusatz anforderungen
bereits erreicht haben
n Lernkontrollen «Teste dich selbst»
n Ergänzende Arbeitsmaterialien zu einzelnen
Übungen wie zum Beispiel vorbereitete Tabellen
und Koordinatensysteme
n Hinweise auf die Nutzung weiterer Programme
wie der Tabellenkalkulation Excel
n Materialien zur Führung eines Merkhefts
n Lexikon der relevanten mathematischen Begriffe
mit ausführlichen Erläuterungen
Online-Angebot für die Lehrpersonen
n Ergänzende Informationen zur Lernumgebung
n Lösungen zum Schulbuch
n Instrumente zur Beurteilung (Lernzielkontrollen)
n Kopiervorlagen zur Stützung und Förderung
«Heute fragen meine Schülerinnen und Schüler im Mathe-
unterricht kaum noch, wozu sie zum Beispiel Gleichungen
lernen sollen. Das ergibt sich natürlicherweise aus den
Lernum gebungen, die einen Bezug zum Alltag herstellen.»
Franziska Erni, Sekundarlehrerin (LU)
Im Online-Bereich finden Lehrende wie Lernende unterstützendes und weiterführendes Material.
Ein erfahrenes Autorenteam
Qualität und Praxisbezug garantiert
An der Weiterentwicklung arbeiten ausgewiesene Mathematikexperten,
die schon bei der Erstausgabe mitgewirkt haben.
Walter Affolter ist Reallehrer. Er unterrichtet
7. bis 9. Klassen in Sigriswil BE und ist
Kursleiter in der Lehrerinnen- und Lehrerweiter-
bildung. Er ist Autor des erfolgreich über-
arbeiteten «Schweizer Zahlenbuchs 5 und 6»
sowie der CD-ROM «Rechentraining 5 und 6».
Annegret Nydegger ist als Dozentin für
Mathematikdidaktik an der Pädagogischen Hoch-
schule Bern sowie in der Lehrerinnen- und
Lehrerweiterbildung tätig. Sie ist Mitautorin von
«Mit Flächen bauen – mit Flächen lernen».
Guido Beerli unterrichtete Mathematik und
Mathematikdidaktik an der Pädagogischen Hoch-
schule Thurgau. Im «mathbuch» zeichnet
er verantwortlich für das Glossar, das Lexikon
sowie die Kopfgeometrie.
Beat Wälti unterrichtet Fachdidaktik Mathe -
matik an der Pädagogischen Hochschule Bern
und an der Pädagogischen Hochschule Zentral -
schweiz in Luzern. Er war Koleiter des Teil-
projekts «HarmoS Mathematik» und ist einer
der Autoren des Lehrplans 21, Mathematik.
Gregor Wieland ist Mathematiker und Mathe-
matikdidaktiker. Er lehrte an der Pädagogischen
Hochschule und an der Universität Freiburg.
Er ist Herausgeber des «Schweizer Zahlenbuchs
1 bis 4», Autor des erfolgreich überarbeiteten
«Schweizer Zahlenbuchs 5 und 6» sowie der
CD-ROM «Rechentraining 5 und 6».
Hanspeter Hurschler lehrte Mathematik und
Mathematikdidaktik an der Pädagogischen
Hochschule Zentralschweiz in Luzern. Er verfasst
die Lern- und Lernzielkontrollen.
Dieses Team erhält Unterstützung von weiteren Expertinnen und Experten sowie von Lehrpersonen
aus der Praxis.
Das neue «mathbuch» …
… ist auf den Lehr plan 21 abgestimmt
… ist klar strukturiert und benutzer freundlich aufgebaut
… enthält gute Differen zierungs-möglichkeiten
… bietet übersichtliche Arbeits - hefte mit einem grossen Übungsangebot
… verfügt über einen schlanken, auf die tägliche Schulpraxis fokussierten Begleitband
… motiviert durch alltagsnahe Inhalte
Klett und Balmer AG, Verlag Grabenstrasse 17, Postfach 1464, 6341 BaarTelefon 041 726 28 00, Telefax 041 726 28 01, [email protected]
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Schulbuch1
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
mathbuch1bis3_Umschläge_def.indd 3 14.02.13 11:11
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Schulbuch2
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
mathbuch1bis3_Umschläge_def.indd 16 14.02.13 11:12
mathbuch 1–3
Schulverlag plus AG Belpstrasse 48, Postfach 366, 3000 Bern 14 Telefon 058 268 14 14, Telefax 058 268 14 15, [email protected]
mathbuch 1 7. Klasse
Schulbuch (mehrwegfähig) 978-3-264-84000-1 I Fr. 32.00
Arbeitsheft (einweg) Mit Lösungen, Merkheft, Zugangscode zum Online-Angebot für Schülerinnen und Schüler
Grundansprüche 978-3-264-84001-8 I Fr. 19.50
Erweiterte Ansprüche 978-3-264-84002-5 I Fr. 19.50
Begleitband Mit Zugangscode zum Online-Angebot für Lehrpersonen sowie Schülerinnen und Schüler 978-3-264-84003-2 I Fr. 88.00
mathbuch 2 8. Klasse
Schulbuch (mehrwegfähig) 978-3-264-84004-9 I Mai 2014 I Fr. 32.00
Arbeitsheft (einweg) Mit Lösungen, Merkheft, Zugangscode zum Online-Angebot für Schülerinnen und Schüler
Grundansprüche 978-3-264-84005-6 I Mai 2014 I Fr. 19.50
Erweiterte Ansprüche 978-3-264-84006-3 I Mai 2014 I Fr. 19.50
Begleitband Mit Zugangscode zum Online-Angebot für Lehrpersonen sowie Schülerinnen und Schüler 978-3-264-84007-0 I Mai 2014 I Fr. 88.00
mathbuch 3 9. Klasse
ab Schuljahr 2015/16 einsatzbereit
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Online-Angebot
Für Schülerinnen und Schüler auf vier Jahre beschränkt im Preis inbegriffen.
Für Lehrpersonen unbeschränkt im Preis inbegriffen.
Blättern Sie im «mathbuch» unter www.schulverlag.ch oder www.klett.ch.
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Schulbuch 3+
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
3
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Schulbuch3
Mathematik für die Sekundarstufe Imathbuch
mathbuch1bis3_Umschläge_def.indd 29 14.02.13 11:13
