Das Pendel in Luft als Wellenerreger und als Resonator

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    06-Jun-2016

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<ul><li><p>3. Das Perndel 4m Luft a l s Welleaerregei* zirbcl aZs Resomator; von E. R e t t e l e r . </p><p>Die Theorie der Schwingungen eines in Luft befindlichen Peiiclels , sofern dieselben sei es Wellen erregen oder mit Wellen, die von ausseii her dasselbe treffen, in Resonaiiz treten, ist bis zur Gegenwart noch keineswegs abgeschlossen. Es mag daher gestattet sein, im Folgenden einen Beitrag dazu zu liefern, der zwar einzelnes Bekannte reproduciren, anderer- seits aber iiber die iiblichen Voraussetzungeri hinausgehen wird, und der den beziiglichen Erscheinungsbereich moglichst folgerichtig darstellen soll. </p><p>Wohl die erste bestimmte Vorstellung iiber den Einfluss der Luft auf das gewohnliche Pendel bildete sich Be s s e 1. Zu der schon seit Newton bekannten ,,hydrostatischen Correction", vermoge welcher das Drehungsmoment auf den luftleeren Raum zu reduciren ist, fiigte er eine zweite ,,hydrodynamischeLL hinzu; dieselbe beruht auf der Erwaguiig, dass das Pendel eine ge- wisse Luftmenge mit sich hin- urid herfiihrt, und dass dadurch clas Tragheitsmoment des Pendels vergrossert wird. </p><p>Die Bessel'sche Tlieorie ist seitdem vielfach anerkannt, vielfach aber auch bestritten worden; sie bildet den Ausgangs- punkt einer langen Reihe von Forschungen, die inzwischen durch Heranziehurig verwandter Eischeinungen eine inimer vielseitigere Gestalt erhielten. So wurde nicht bloss die Mit- wirkung der Reibung und der die Schwingungen veranlassenden iusseren Kraft in die Behandlung aufgenommen, sondern wurde auch das Pendel, insbesondere in der Form der Stimmgabel, als Erreger wie als Resonator akustischer Wellen mannichf:Lch verwendet. </p><p>Zu denen, welche das Pendel wesentlich als Wellenquelle verwerthen, gehort namentlich H. v. He lmho l t z , indess geht derselbe meines Wissens auf den Einfluss der Luft niemals uaher ein , sondern erledigt denselben mittels sozusagen nebensach- licher Bemerkungen. Ich selber habe in meinem unten citirten </p></li><li><p>Pendel in Luft als Wellenerre,qer aiid als Resonator. 75 </p><p>Werke l) umgekehrt die Resonanzerscheinung an die Spitze gestellt und zu dem Zwecke der Bessel'schen Formel eine dafur geeignete Gestalt gegeben. Der damit erzielte Erfolg hat dann freilich den Fehler veranlasst, nun auch die Gesetze der Wellenerregung auf diese namliche Formel zuriickfuhren zu wollen. Im Folgenden sollen beide Erscheinungen nach- einander besprochen werden. </p><p>Fallt zunachst das umgebende Medium fort, sodass Energieubertragung werter nach aussen noch von aussen her erfolgt, so gelten grossentheils bekannte Beziehungen, die ich daher nur kurz zu beruhren habe. </p><p>1st das Pendel erstens reibungsfrei, und will man dem- selben einen nach Schwingungszahl und Amplitudengrosse be- stimmten Schwingungszustand ertheilen, so bedarf es dazu des Eingreifens einer periodischen Spontankraft , welche sei es crescendo oder decrescendo oder mit gleich bleibender Starke eingreift. Die betreffende Differentialgleichung fur die so ,,er- zwungene" Schwingung wird daher von der Form sein: </p><p>1. Das Pendel im luftleeren Raume. </p><p>-nip'+ Eeq tcosn t . e= d2 ' d t2 </p><p>Darin bedeutet p' den (sehr klein gedachten) Ausschlag zur Zeit t, und ist n: der Coefficient der die Gleichgewichts- lage erstrebenden, auf die Masseneinheit bezogenen inneren Kraft. E, &amp; q und n = 2 m N charakterisiren die eingreifende Kraft, unter N die Schwingungszahl ihrer Periode verstanden. </p><p>Die vorstehende Gleichung wird bedingungsweise befriedigt durch den Integralausdruck: (1 b) g ' = A'eqtcos(nt- A) mit der Amplitude A' und der Verzogerung A, wahrend q und n mit den entsprechenden Attributen der Anregung zusammen- fallen. </p><p>Die Bedingungsgleichung selber , die sich mittels Sub- stitution desselben in bekannter Weise findet, zerfallt in die beiden folgenden einzelnen : </p><p>E -~ 9 t g A = + 2 n 9 (1.) A' = (nl - n2 c px)2 + 4 n2 42 ni - n* + q2 </p><p>1) E. Ketteler, Theor. Optii, Braunschweig 1885. </p></li><li><p>76 k Kefteler. </p><p>Die Amplitude erreicht insbesondere bei gegebenem n und q fur die Bedingung ni = n8 - q2 einen Maximalwerth: A = E / 2 n q, wahrend gleichzeitig die Verzogerung A = 7~ 2 wird. </p><p>Fallt dabei gleichzeitig die Periode N = (n l2 n) der erzwungenen Schwingung zusammen mit der Periode No = ( n o / 2 n) der freien Schwingung des Pendels, so wird A = co; d. h. es entspricht dann schon einer unendlich schwachen Anregung ein endlich grosser Ansschlag. In diesem Fall erhalt zugleich die Verztigerung den unbestimmten Werth A = iO. </p><p>Lasst man die aussere Kraft, nachdem sie eine beliebig lange Zeit </p><p>Fur y = 0 wird A= &amp; &amp;/(la: - na) und A = 0. </p><p>t , -2m- i -1 ___ m </p><p>wo m eine ganze Zahl bedeutet, gewirkt hat, in diesem Augen- blick des Nichteingreifens pliitzlich verschwinden, und zahlt die weiteren Zeiten von diesem Mornente ab , so gelten von da ab die Gleichungen: </p><p>n 2 </p><p>Die Schwingungszahl der bisher erzwungenen Schwingungen springt dann urn in die der freien Schwingungen, w&gt;ihrend Ampli- tude und Verzogerung sich nun fortwahrend in identischer Weise erhalten. </p><p>Verschwindet namlich 3, so verschwindet zugleich der ganze Nenner der Amplitude (1 c). Es wird also gleichzeitig sein mussen: </p><p>n a - q 2 - n ~ = 0 , 2 n p = 0 , </p><p>sodass. wie oben, folgt: q = 0 , n = n 0 .I 1st das Pendel zweitens mit Reibung belststet und 2y, </p><p>der Coefficient der betreffenden dampfenden Kraft, so treten an die Stelle der vorstehenden drei Gleichungen (1) die all- gemeineren folgenden : </p><p>1 ) Die zweite Liisung n = 0, q = v T n o &amp;Ilt mit der ersten zu- sammen. </p><p>2) Vgl. E. K e t t e l e r , Wied. Ann. 63. p. 72. 1897. Darin ist die Reibung der ersten Potenz der Geschwindigkeit proportional gesetzt. Ueber </p></li><li><p>(3) </p><p>Pendel in Luft als Wellenerreger und als Resonatoo.. 7 7 </p><p>Bemerkenswerth ist hier insbesondere der Specialfall, dass Man erhalt dann: q = - qo gesetzt wird. </p><p>tg A = 0, </p><p>also ahnlich einfache Verhaltnisse, wie ohne Reibung fur q=O. Die Amplitude erlangt ferner fur gewohnlich einen Maxi- </p><p>malwerth unter der Bedingung, dass der erste Summand des Nenners verschwindet, sodass dann gleichzeitig A = (n/2) wird. </p><p>Sollen schliesslich die Schwingungen selbst bei unendlich schwacher Anregung E von endlicher Qrosse bleiben, so muss der gesammte Nenner von A ebenfalls unendlich klein werden. Man hat in diesem Falle die simultanen Bedingungen: </p><p>n Z - g P 2 - n ~ - 2 q p o = 0 , n ( g + g O ) = O </p><p>und sonach die beiden voneinander verschiedenen Losungen : entweder </p><p>oder </p><p>___ q = - po , n = 0 , p =- qo v q i - n i . </p><p>Lasst man nun wieder die aussere Kraft, nachdem sie die Zeit n t = (2 m + 1) rn 2 gewirkt, plotzlich verschwinden, sodass von da ab das Pendel sich selber iiberlassen bleibt, so gilt weiter die Differentialgleichung : </p><p>n = f vn: - p i , ~- </p><p>die Hinzuziehung eines weiteren, das Quadrat dieser Geschwindigkeit enthaltenden Gliedes vgl. u. a. E. G. R o u t h , Dynamik der Systeme starrer Kiirper 2. p. 263. Leipzig 1898. Statt der Reibung kann auch Znductionsdtimpfung in Betracht kommen, und konnen sich auch beide Bbereinander lagern. </p></li><li><p>78 E. Ketteler. </p><p>Und ihr entspricht, j e nachdem n: - grosser oder kleiner als Null ist, die eine oder andere der beiden Schwingungs- formen : </p><p>Es springt also der Exponentialfactor (y) der erzwungenen Schwingungen in den sogenannten Extinctionscoefficienten der freien Schwingungen und gleichzeitig die Schwingungszahl der ersteren in die bezugliche der letzteren iiber, wiihrend da- gegen Amplitude und Verzogerung ihre Werthe behalten. </p><p>I. Des Pendel ale Wellenquelle. </p><p>2. Aufstellung der Grundgleichungen. Nunmehr befinde sich das Pendel in einem mit Luft gefiillten, beiderseits un- endlich langem Rohre vom Querschnitte f , und zwar deiiken wir uns den Pendelkorper als eine Scheibe von iiberall gleicher Dicke, welche den Querschnitt f nahezu ausfullt. Das Pendel sei irgendwie erregt; es erzeugt dann in der Luft des Rohres variable Dichtigkeitsanderungen , denen nach dem Gesetze der adiabatischen Zustandsanderung pro Flacheneinheit die Druck- anderungen </p><p>p- p = - k p -- a e a n </p><p>entsprechen. Dnrin bedeutet e = F(t , z ) die Verriickung eines Lufttheilchens yon der Lage z zur Zeit t ; k ist das Verhalt- niss der beiden specifischen Warmen, und sol1 fortan ab- kiirzungsweise k p = e gesetzt werden. Demnach betragt also der gesammte Mehrdruck (gegeniiber dem atmospharischen Druck) in irgend einem Querschnitt von der Abscisse z : </p><p>(5) Beziehen wir diesen Ausdruck srstens auf die beiden Grenz- </p><p>flachen 1 und 2 einer Luftschicht von der Dicke A z . Diese kann eine beliebige Lage haben, werde aber etwa so gewahlt, dass die GrenzAache 2 mit der einen Pendelflache zusammen- fallt. Man hat dann, sofern n stetig verlauft: </p></li><li><p>Pendel in Luft als Welbnerreger und als Resonator. 79 </p><p>Folglich kommt fur den Ueherdruck: </p><p>nl - na= e f + A z = r n f A z 9 , a= a z d t P </p><p>sofern derselbe zur Beschleunigung der Gesamm tmasse der Schicht m f A z verwandt wird (m = Dichtigkeit der Luft). So ergiebt sich die bekannte Formel: </p><p>Wendet man ferner zrueitens obigen Ausdruck an auf die beiden 13egrenzungsflachen des Pendels. 2 und 3 , so stijsst man hier auf den discontinuirlichen Sprung: </p><p>sofern stets einer Verdiinnung einerseits eine gleich starke Verdichtung andererseits entspricht. Der Ueberdruck betragt diesmal : </p><p>nz -n3=- 2 e f z ; d e </p><p>er addirt sich als negative Kraft zu den ubrigen das Pendel angreifenden Kraften. Dementsprechend lasst sich schreihen : </p><p>3. Bedeutung der Gleichung (6) f u r die Ueberlraguiiy der Energie. Der lnhalt dieser Gleichung deckt sich bekanntlich mit dem Satze, dass ein Schwingungszustand zur Zeit t und am Orte z sich zur Zeit t + A t am Orte z + A z befindet, sofern A z / A t = v die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen bedeutet. Schreibt man demgemass: </p><p>P(t, Z ) = P ( t + A t , z + A z ) , A Z = v A t , so ist das Functionszeichen P ganzlich willkurlich, kann also auch beispielsweise ebensowohl einen Ausschlag als eine Aus- schlagsgeschwindigkeit bedeuten. Durch weitere Entwickelung ergieht -sich daraus : </p><p>8P _ - _ - d F a t </p><p>2 9 - 7 (8) 8 % </p></li><li><p>80 E. Ketteler . und fuhrt eine nochmalige Differentiation zur Gleichung (6) zuruck. Das Integral dieser letzteren endlich hat hekanntlich die Gestalt: </p><p>(9) </p><p>in welcher wiederum die Form der Function P(t ) eine be- liehige ist. </p><p>Hat daher insbesondere ein schwingendes Pendel (bez. eine demselben adhiirirende Luftmenge) als Wellenerzenger die Schwingungsform : (10 a) p= Aeqtcos(nt- A), so gehen von demselben Luftwellen aus von der Wellenform (r = p ) : </p><p>q ( t - 5) e = A e und diese letzteren befriedigen ebensowohl die Differential- gleichungen (6) und (S), a h wenn q = 0 ware.) Zudem ist, wie gleich noch in anderer Weise bewiesen werden soll, A = A. </p><p>Was nun weiter die Energieubertragung betrifft, die etwa zwischen zwei benachbarten Luftschichten vor sich geht , so wollen wir einstweilen unter r die Schwingungsgeschwindigkeit verstehen. Fur die Verluste an lebendiger Kraft gilt alsdann die Beziehung : </p><p>die ersichtlich mit der entsprechenden Gleichung oben im Ein- klang steht. Beide Seiten lassen sich durch Differential- quotienten ersetzen. </p><p>Eine ganz ahnliche Beziehung muss naturlich auch fur den Uebergang von lebendiger Kraft vom Pendel auf die an- grenzende Luftschicht gelten, wobei freilich anf die verschieden grossen Massen zu achten ist und dem Pendel etwa der Werth P beigelegt werden moge. Nun heisse, wie oben, die Pendel- </p><p>1) Ueber eine anschauliche Ableitung dieses Ausdruckes vgl. E. K e t t e l e r , Theor. Optik, p. 52. </p></li><li><p>Pendel tn, Luft als I4ellenerre.qer und als Resonator. 81 </p><p>masse p; der von ihr wahrend der Zeit d t erlittene Energie- verlust iibertragt sich wlhrend des nachstfolgenden Zeitele- mentes auf eine Luftschicht von der Dicke v d t , und deren Masse betragt fur beide Richtungen des Rohres zusammen 2 m f v d t. So entsteht also bei Fortlassung unendlich kleiner Grossen die Bedingung: </p><p>Wendet man dieselbe auf die Schwingnngsgeschwindig- keiten der Ausdriicke (lOa) und ( l o b ) fur z = O an und setzt zur Verein fachung ; </p><p>so erhalt man: n = a cosx , p = a s inx , </p><p>p A a s i n ( n t + x - A ) c o s ( n t + 2 y - A) = 2 m f v P sin ( a t + x - A) cos ( n t + 2 % -A) . </p><p>Diese Gleichung zerfallt dann in die beiden folgenden : pAra= 2 m f v A a = p A 2 , </p><p>Und so ergiebt sich wiederum der Satz, dass, so oft Luftwellen durch Pendelschwingungen erzeugt werden, Luft und Pendel stets ohne Perzogerung zusammen schwingen. </p><p>Wie es scheint, hat dieser Satz trotz seiner unmittelbaren Wahrscheinlichkeit wohl noch kaurn allgemeine Anerkennung gefunden. Es liegt in der That fur ein reibungsfreies Pendel die Versuchung nahe, fur y = 0 - und unter Beriicksichtigung von Gleichung (8) - die entsprechende Gleichung </p><p>1 A = A . (12) </p><p>I7b) </p><p>durch die Annahme zu integriren: Q= Acos n t , g = A sin n t , </p><p>also zwischen Pendel und Luft eine Verzogerung von T zu supponiren. </p><p>Ware freilich diese Voraussetzung richtig, so wurde ein- ma1 bei Entfernung der einwirkenden Spontankraft (wegen der Unmoglichkeit eines Perpetuum mobile) die erwahnte Ver- zogerung momentan zuriickspringen, andercrseits wiirde in den </p><p>Ann. a. Phys. U. Chem. N. F. 68. 6 </p></li><li><p>82 E. Ketteler. </p><p>vorstehenden Energiegleichungen das Vorzeichen beider Seiten das entgegengesetzte werden, sodass also einer Energiezunahme der Luft Energieabnahme des Pendels und umgekehrt ent- sprechen wurde. </p><p>4. Die endgultigen Schwingungen. Mittels der Gleichungen(l2) lasst sich jetzt dasjenige Glied der allgemeinen Pendelgleichung (7), welches die Luftschwingungen enthalt, transformiren und so- dann weiter vermoge der Proportionalitat zwischen Aus- schlagen Q , Q und Amplituden A, A die Amplitude </p><p>eliminiren. So ergiebt sich bei Zuziehung der Gleichung (8): </p><p>Weiter werde zur Abkurzung gesetzt: </p><p>dann lasst sich die Pendelgleichung (7) durch Division mit p auf die definitive Form bringen: </p><p>Man ersieht daraus, dass sich Luftwiderstand ztnd Reibung zu einem gemeinsamen und gleichartigen Bewegungshinderniss addiren. </p><p>Fur die Bewegung des Pendels gelten dann auch im luft- erfullten Rohre die narnlichen Beziehungen (3) wie im luft- leeren Raume, iiur dass in ihnen uberall yo = q, durch yo= q, + qw zu ersetzen ist. Sind aber A und A bekannt, so findet sich A mittels der Gleichung (13), und so hat man fur die aus- gesendeten Luftwellen die folgenden Ausdriicke. </p><p>Fur die durch die aussere Kraft erzwungenen Wellen: </p><p>und fur die durch das abklingende Pendel erzeugten Wellen den einen oder anderen der Ausdriicke: </p></li><li><p>Pendel in Luft als Vellenerreger und als Resonator, 83 </p><p>Die gestellte Aufgabe erscheint darnit gelost. </p><p>11. Dae Pendel als Reeonator. </p><p>5. Aufstellung der Grundgleichungen. Wahrend das Pendel bisher nach aussen Energie abgab, behandeln wir nunmehr den Fall, dass es von aussen her solche erhalt. Wir denken uns dasselbe wiederum in einem beiderseits langen Rohre, supponiren aber am einen Ende eine Wellenquelle, welche dem Pendel Luftwellen zufuhrt. Letzteres moge dieselben theilweise an sich vorbeilassen, theilweise in sich aufnehm...</p></li></ul>

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