DefinitionEinsatzmöglichkeitenLehrgang mit EUKLID DynaGeo 2000 Dynamische Geometrie

Definition Einsatzmöglichkeiten Lehrgang

mitEUKLID DynaGeo

2000

Dynamische Geometrie


• Was ist Dynamische Geometrie?

• Einsatzmöglichkeiten im Unterricht

• Kurze Einführung in die dynamische Geometrie

Inhalte



Definition


Versuch einer Definition

Die Position, Größe (und Attribute wie Farbe, Strichart, ...) eines Zeichnungselements werden relativ zu einem anderen Element definiert. Wird das Ausgangselement verändert, so ändert sich auch das assoziierte - vom Ausgangselement abhängige - Zeichnungselement.


DefinitionDynamische Geometrie


Beispiele für assoziierte Elemente

LAGEABHÄNGIGKEIT (INZIDENZEN)

• Verknüpfen von Endpunkten• Punkte an Geraden fixieren


Definition

GEOMETRISCHE VERKNÜPFUNGEN

• Parallele, Normale, ...• Winkelsymmetrale, ...• Tangente, ...



Programme

• CABRI GÉOMÈTRE

• THALES

• GEOMETERS SKETCHPAD

• EUKLID DynaGeo


DefinitionDynamische Geometrie

Dynamische GeometrieBeispiele Messen Makros AufgabenEinführung

Einsatzmöglichkeiten im UnterrichtVorgefertigte Animationen dienen zur Visualisierung geometrischer Sachverhalte.

FAHRRAD.GEO

Beispiele


Eigenständiges, koordinatenunabhängiges Zeichnen bekannter geometrischer Konstruktionen festigt die geometrischen Grundkenntnisse.

DREIECK_FERTIG.GEO

Beispiele

Einsatzmöglichkeiten im Unterricht


Kinematische Vorgänge können visualisiert (und damit besser verstanden) werden.

WOLLE.GEO

Beispiele



Forschendes Entdecken fördert die Kreativität und das mathematische Verständnis der Schüler.

Wird der Punkt D auf dem Umkreis des Dreiecks ABC bewegt, so beschreibt der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABD einen ?????

BIER.GEO

Beispiele



Forschendes Entdecken fördert die Kreativität und das mathematische Verständnis der Schüler

Für welchen Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks gilt:Die Summe der Abstände zu den Dreieckseiten ist minimal?

Zusatzfrage:Wie groß ist diese Abstandssumme?

AEQUIDISTANZ.GEO

Beispiele



Anhand der Zeichnung DREIECK.GEO wollen wir

a) das Laden von Zeichnungenb) das Verändern, Beschriften und Verbergen von Objekten und c) das Aufzeichnen von Ortslinien

kennen lernen.

Einführung

Unser erstes Beispiel


Eine Billardkugel soll vom Punkt „Start“ über die Bande AB in den Punkt „Ziel“ gespielt werden. Konstruiere den Auftreffpunkt P und die Bahn der Kugel.

Wir lernen dabei

a) das Konstruieren von Punkten, Strecken, Kreisen, Normalen, ...

b) das Abmessen von Winkeln und

c) das Einfügen von Kommentartexten.

Einführung

Der Billardtisch


• Quadrat wird einem Dreieck eingeschrieben

• Gleichseitiges Dreieck mit Eckpunkten auf vorgegebenen Geraden

• Ortslinien des Höhenschnittpunkts

• Mittelpunkte eines Vierecks

• Der Satz von MIQUEL

Einführung

Aufgaben - Einführung


Ein Quadrat ABCD soll einem Dreieck PQR so eingeschrieben werden, dass eine Seite (z.B. die Eckpunkte A, B) auf der Basis a und die beiden anderen Ecken des Quadrats auf den beiden Schenkeln b bzw. c des Dreiecks liegen.

Einführung



Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck ABC, dessen Eckpunkte auf drei parallelen (kopunktalen, beliebigen) Geraden g, h und i liegen.

Einführung



Auf welcher Linie bewegt sich der Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks ABC, wenn der Punkt C auf einer Parallelen g zur Seite AB verschoben wird?

Was passiert, wenn sich C entlang des Umkreises bewegt?

Einführung



Verbinde die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines allgemeinen Vierecks. Welches geometrische Objekt entsteht?

Einführung



Wähle auf den Seiten eines Dreiecks ABC jeweils einen Punkt und konstruiere jene Kreise, die durch je zwei Punkte auf den Dreiecksseiten und dem dazwischen liegenden Eckpunkt festgelegt sind.

Was fällt dir auf?

Einführung


Dynamische GeometrieBeispiele Messen Makros AufgabenEinführung Messen

Messen und Rechnen


Erstelle ein Makro für die Aufgabe „Tangenten aus einem Punkt P an einen Kreis k“.

Makros

Makros


Erstelle ein Makro für die Aufgabe „Kreisspiegelung”.

Makros

Makros


• Das Turmbeispiel vom Lastentransport zur Gegenpunktskonstruktion einer Ellipse

• Hyperbel NEU vom Schwerpunkt eines Dreiecks zu einer neuen Hyperbelkonstruktion

• BÉZIER-Kurven von einer Parabelkonstruktion zum Algorithmus von DE CASTELJAU

• Geometrische Optik Kreis- und Parabolspiegel

• Der Satz von FORDER• Verfolgungsprobleme• Das Riesenrad in Wien• Ein Koppelgetriebe• Entstehung einer Sinuslinie• Der Satz von PAPPOS-PASCAL

Aufgaben

Aufgaben


Zwischen zwei Türmen wird eine Last mit einem Seil konstanter Länge hin und her transportiert.Bestimme die tiefste Lage des Punktes P.

Aufgaben

Das Turmproblem


Konstruktionsbeschreibung (Versuch)

Wir machen das Koordinatensystem sichtbar und wählen auf der x-Achse zwei Punkte P und Q.

Auf den y-parallelen Geraden durch P und Q wählen wir die Punkte R und S, verstecken die Hilfsgeraden und zeichnen die Strecken PR und QS.

Die Seillänge wird durch eine frei gewählte Strecke 12 realisiert. Auf dieser Strecke (Tipp: Punkte auf der y-Achse verwenden) wählen wir einen Zwischenpunkt H.

Eine allgemeine Lage der Last L erhalten wir, indem wir Kreise mit den Radien 1H und 2H durch R bzw. S miteinander schneiden und den richtigen Schnittpunkt L auswählen.

Durch Eintragen der Bahnkurve von L erhalten wir eine erste Vorstellung von der richtigen Lösung.

Um welche Kurve handelt es sich?Wie konstruiert man die tiefste Lage exakt?

Aufgaben

Das Turmproblem


Konstruktionsbeschreibung (Affinität)

Wir haben festgestellt, dass die Bahnkurve Teil einer Ellipse mit den Brennpunkten R, S und der Hauptachsenlänge 2a = Seillänge ist.

Unter Ausnutzung einer Perspektiven Affinität konstruieren wir den tiefsten Punkt der Ellipse als jenen Punkt, in dem die Ellipsentangente parallel zur Basis verläuft.

Dazu benennen wir die Brennpunkte mit F1 bzw. F2 und konstruieren den Mittelpunkt M der Ellipse, den Hauptscheitelkreis k (Radius = halbe Seillänge) und die beiden Nebenscheitel C und D.

Der Schnittpunkt C1 der Nebenaches mit k wird in der Perspektiven Affinität dem Punkt C zugeordnet. Verbinde nun den Schnittpunkt 3 der x-parallelen Geraden durch C mit C1 und zeichne aus dem Mittelpunkt M der Ellipse die Normale auf die Gerade 3, C1. Der Schnittpunkt L1 dieser Normalen mit dem Kreis k wird mit C1 verbunden; die Verbindungsgerade L1, C1 schneidet die Hauptachse der Ellipse im Punkt 4. Der gesuchte Punkt L ist nun der Schnittpunkt der Geraden C4 mit der zur Hauptachse normalen Geraden durch L1.

Kontrolle: Die Bahnkurve sollte durch C und L verlaufen.

Gibt es eine einfachere Konstruktion?

Aufgaben

Das Turmproblem


Konstruktionsbeschreibung (Fragen)

Zeichne in der tiefsten Lage L eine horizontale Gerade (Tangente an die Bahnellipse) und beachte die Winkel zwischen den Seilstücken und der horizontalen Geraden.

Was fällt Dir auf?

Die beiden Winkel müssen in der gesuchten Lage kongruent sein.

Die Gerade F1, L schneidet die Gerade Q, F2 im Punkt S2.

Wie lang ist die Strecke F1, S2?

Die Strecke F1, S2 ist gleich lang wie das Seil.

Analog erkennen wir: Die Gerade F2, L schneidet P, F1 im Punkt S1 und die Strecke S1, F2 ist gleich lang wie das Seil.

Wie kann L ohne Konstruktion der Ellipse rasch konstruiert werden?

Aufgaben

Das Turmproblem


Konstruktionsbeschreibung (Spiegelung)

Zeichne kongruente Kreise (Radius = Seillänge) durch die Brennpunkte F1 und F2 und schneide sie jeweils mit den gegenüberliegenden „Türmen“. Die Schnittpunkte S1 auf P, F1 und S2 auf R, F2 werden jeweils mit F2 bzw. F1 verbunden.

Der Schnittpunkt dieser Verbindungsgeraden liefert den gesuchten Punkt.

Wie lange muss das Seil gewählt werden, damit die Last den Boden (die Strecke PQ) berührt?

Dazu muss der Punkt F1 (oder F2) an PQ gespiegelt werden. Die Strecke vom gespiegelten Punkt zum „anderen“ Brennpunkt F2 (bzw. F1) liefert die gesuchte Seillänge.

Aufgaben

Das Turmproblem


Gegenpunktskonstruktion einer Ellipse

Die „rasche“ Konstruktion des Punktes L hat einen Ellipsenpunkt geliefert, dessen Tangente normal zu den „Türmen“ verlief.

Können wir mit der „raschen“ Konstruktion weitere Ellipsenpunkte erzeugen?

Dazu zeichnen wir beliebige Punkte F1, F2 und P (ähnlich wie im Turmbeispiel) sowie eine Strecke 1,2 (= Hauptachsenlänge 2a). Durch F2 wird die Parallele zur Geraden F1,P konstruiert und die Punkte S1 und S2 werden darauf analog zum Turmbeispiel festgelegt (kongruente Kreise mit Mitten F1 bzw. F2 und Radius = 2a verwenden). Der Schnittpunkt L von S2, F1 und S1, F2 ist dann ein Ellipsenpunkt.

Die Normale zu P,F1 ist die (horizontale, zu P,F1 normale) Tangente an die Ellipse.

Da die Konstruktion unabhängig von der Lage des Punktes P ist, kann P bewegt werden, wobei L durch die Brennpunkte F1, F2 und die Hauptachsenlänge 2a = 1,2 festgelegt ist.

Aufgaben

Das Turmproblem


Wiederholung aus dem Mathematikunterricht:

Unterstützt man ein Dreieck längs einer beliebigen Schwerlinie, so wird das Dreieck im Gleichgewicht gehalten.

Die flächenhalbierenden Geraden eines Dreiecks

Wird der Flächeninhalt eines Dreiecks durch jede Schwerlinie halbiert?

Konstruiere ein beliebiges Dreieck samt Schwerpunkt, zeichne eine beliebige Schwerlinie ein und vergleiche die beiden Flächeninhalte.

Wir erkennen, dass nur die Schwerlinien durch die Ecken den Flächeninhalt des Dreiecks halbieren.

Wie kann man eine flächenhalbierende Gerade konstruieren?

Aufgaben

Halbierte Dreiecke und die Hyperbel


Zwei Linienelemente (Punkt und Tangente) P, p und Q, q einer Parabel sind gegeben. Wird der Schnittpunkt der beiden Tangenten mit T bezeichnet, so kann ein weiterer Punkt der Parabel auf folgende Art konstruiert werden:

1) Wähle einen beliebigen Teilungspunkt T1 auf der Strecke PT.

2) Übertrage das Teilverhältnis TV(P,T1;T) auf die Strecke TQ.

3) Beachte dabei: TV(P,T1;T) = TV(T,T2;Q)

4) Übertrage nun das Teilverhältnis TV(P,T1;T) auf die Strecke T1,T2.

5) Der Teilungspunkt S ist ein Parabelpunkt.

Zusatzaufgabe: Erstelle ein Makro, welches ein bestimmtes Teilverhältnis überträgt.

Die „Fadenkonstruktion“ der Parabel

Aufgaben

BÉZIER-Kurven


• Wähle vier Punkte P_0, P_1, P_2 und P_3.• Wähle weiters eine beliebige Strecke 01 mit Teilungspunkt T.• Übertrage das Teilverhältnis TV(0T;1) auf die Strecken P_0, P_1 und P_1, P_2

sowie P_2, P_3.• Es entstehen die Teilungspunkte P_01, P_12 und P_23.• Übertrage nun das Teilverhältnis TV(0T;1) auf die Strecken P_01, P_12 und

P_12, P_23.• Es entstehen zwei weitere Teilungspunkte; auf der von diesen Punkten

gebildeten Strecke ist nochmals das Teilverhältnis TV(0T;1) abzutragen.Der dabei entstehende Punkt S durchläuft bei Bewegung von T innerhalb von 01 eine BÉZIER-Kurve dritter Ordnung.

Der Algorithmus von DE CASTELJAU

Aufgaben

BÉZIER-Kurven

Wir verallgemeinern nun die gelernte Parabelkonstruktion auf drei (bzw. mehrere) Strecken.


Lade die Datei SPIEGEL1.GEO und beobachte die Reflexion paralleler Lichtstrahlen an einem Hohlspiegel.

Der Lichtstrahl l1 durch H1 wird an der Innenseite eines Kreises reflektiert; ein naheliegender Lichtstrahl l2 durch H2 - der Abstand kann durch den Schieberegler 12 verändert werden - schneidet l1 im Punkt S.

Wird der Abstand der Lichtstrahlen sehr klein gewählt, dann erzeugt der Schnittpunkt S bei Bewegung von H1 die von den Lichtstrahlen eingehüllte Kurve - die Katakaustik.

Untersuche, an welcher Stelle die Spitze der Katakaustik liegt.

Die Katakaustik

Aufgaben

Geometrische Optik


Wir konstruieren - wie im Physikunterricht gelernt - das Bild eines Punktes G‘ bei Reflexion an einem Hohlspiegel.

Wir wählen die Punkte M (auf der x-Achse) und P (für den Kreisradius) beliebig und spiegeln P an der x-Achse. Durch den Spiegelpunkt Q von P und durch P legen wir einen Kreisbogen mit Mitte M.

Weiters wählen wir einen beliebigen Punkt G‘, konstruieren den Fußpunkt G von G‘ auf der x-Achse, den Scheitel S als Schnittpunkt des Kreisbogens mit der x-Achse und ermitteln den Brennpunkt F als Halbierungspunkt der Strecke MS.

a) Konstruiere den Parallelstrahl durch G‘, der durch F reflektiert wird.

b) Konstruiere den Scheitelstrahl durch G‘, der an der x-Achse gespiegelt wird.

c) Konstruiere den Brennstrahl durch G‘; er tritt parallel aus dem Spiegel.

d) Konstruiere den Hauptstrahl durch M.

Schneiden einander die vier reflektierten Strahlen in einem Punkt?

Bildkonstruktion bei einem sphärischen Spiegel

Aufgaben

Geometrische Optik


Nun untersuchen wir das Bild eines Punktes G‘ bei Reflexion an einem Parabolspiegel.

Wir laden die Datei SPIEGEL3.GEO und beschriften

a) den Parallelstrahl durch G‘, der durch F reflektiert wird,

b) den Scheitelstrahl durch G‘, der an der x-Achse gespiegelt wird,

c) den Brennstrahl durch G‘; er tritt parallel aus dem Spiegel.

Warum gibt es hier keinen Hauptstrahl?

Schneiden einander die drei reflektierten Strahlen in einem Punkt?

Bildkonstruktion bei einem Parabolspiegel

Aufgaben

Geometrische Optik


Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen der Dingweite (Abstand des Objekts vom Spiegel), Bildweite (Abstand des Bildes vom Spiegel) und der Brennweite (Radius des Scheitelkrümmungskreises) herleiten:

Dazu laden wir wieder die Datei SPIEGEL3.GEO, löschen den Brennstrahl, zeichnen die Normale durch B‘ auf die x-Achse und bezeichnen den Schnittpunkt von Normalen und x-Achse mit B.

Dann messen wir die Längen der Dingweite (g=GS), der Brennweite (b=SM) und der Bildweite (f=BS) ab.

Zeige mit Hilfe des Taschenrechners, dass die Linsengleichung näherungsweise stimmt:

1/b + 1/g = 1/f

Die Linsengleichung

Aufgaben

Geometrische Optik

Dynamische GeometrieBeispiele Messen Makros AufgabenEinführung Aufgaben

Setze auf die Seiten eines allgemeinen Vierecks Quadrate (nach außen) auf und verbinde gegenüberliegende Mittelpunkte.

Was fällt dir auf?

Satz von FORDER


Ein Hund verfolgt einen Hasen, wobei dieser geradlinig (auf einer Kreisbahn) flüchtet. Kann der Hund den Hasen einholen?

Verfolgungsprobleme


Untersuche die Bahnkurve der Gondeln des Riesenrades.

Das Wiener Riesenrad


Die Endpunkte P und Q zweier Kurbeln werden mit einer Stange PQ verbunden. Untersuche die Bahnkurve eines auf PQ befindlichen Punktes.

Ein Koppelgetriebe


Illustriere die Entstehung einer Sinuslinie.

Die Sinuslinie


Wählt man sechs Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 auf einem Kegelschnitt, so liegen die Schnittpunkte der Geraden 12 mit 45, 23 mit 56 und 34 mit 61 auf einer Geraden. Dies kann zur Konstruktion eines Kegelschnitts aus fünf Punkten verwendet werden.

Der Satz von PAPPOS-PASCAL

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