DIE BESTIMMUNG DER EIGENSCHWINGUNGEN DER ATOMKERNE AUF GRUND DER STATISTISCHEN

KERNTHEORIE

V o n

D. KISDI FORSCHUNGSGRUPPE F• THEORETISCHE PHYSIK DER UNGARISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN

BUDAPEST

(Vorgelegt von P. Gomb• -- Eingegangen: 1. VIII. 1957)

In der vorliegenden Arbeit wird die Bloch-Jensensche Theorie fª den Fall der Nukleo- nengase verwendet, und es werden die Eigenschwingungen des statistischen Kernmodells bestimmt. Fª die Anregungsenergie der Quadrupolschwingung ergibt sich e = 81,2 MeV A -~ w~ihrend empirisch der Wert e = 80 MeV A-~ erhalten wurde.

w 1. Die hydrodinamischen Bewegungsleichungen des Nukleonengases

Die Grundlagen der Theorie eines n ich ts ta t i schen Elekt ronengases wurde zuerst von BLoc~ [1] ausgearbe i te t und sp~iter von Jv.NSEr~ [2] weiter-

e n t w i c k e l t . Ausgehend von den h y d r o d y n a m i s c h e n Grundgle ichungen des Elekt ronengases gelang es JENsv, rr die Eigenschwingungen eines kugelsym- metr i schen Elekt ronengases ira Grundzus t and und eines sehr vere infach ten s ta t i s t i schen Atommode l l s zu bes t immen . In der vor l iegenden Arbei t wird die B loch - - Jensensche Theorie f ª den Fal l der Nukleonengase ve rwende t und es werden die Eigenschwingungen des s ta t i s tŸ Kernmode l l s be s t immt .

In diesem Art ikel werden die folgenden Bezeichnungen v e r w e n d e t : es sei Z die Ordnungszah l des un te r such ten Atomkerns , N die Zahl d e r Neut ronen , A = N - 4 - Z die Massenzahl und n = ( N - Z) /A der re la t ive Neut ronenª Die Nukleonendichte , das heisst die Zahl der Nukleonen in der Volumeneinhei t , sei mi t Q bezeichnet . Die Dichte der Neu t ronen ist der N/A-maligen Nukleonendichte , die Dichte der P ro tonen der Z/A-maligen Nukleonendichte gleich, a l so :

N Z ~ " - - A qv ~r (1)

Der n ichts ta t i sche Zus tand des Atomkernes wird neben der Nukleonen- dichte ~ durch die S t r6mungsgeschwindigkei t t~ gekennzeichnet , und wir nehmen an, dass m a n diese letztere von einem Geschwindigkei t spotent ia l

ablei ten kann:

t~ ---- grad w . (2)

388 D. KISDI

Die Grundaufgabe der Hydrodynamik des Nuleonengases ist die Bestim- mung der Nukleonendichte ~ und des Geschwindigkeitspotentials w als die Funktion des Ortes und der Zeit. Nach BLOC k6nnen die Grundgleichungen der Hydrodynamik aus dem Variationsprinzip

t2

J" L dt = 0 (3a) ti

abgeleitet werden, in welchem die Lagragesche Funktion L

L : MI'~I ~w § 1 t J { 0 t ~- (grad w) 2 dv -f- E (3b)

ist. Hier bezeichnet t die Zeit, M die Nukleonenmasse und E die Bindungs- energie des Atomkernes. Wir beschr~inken uns ira folgenden auf den Fall eines vereinfachten Kernmodells, in welchem die Bindungsenergie sich aus der Fermischen kinetischen Energie, aus der von den Kernkr~iften herrª den Austauschwechselwirkungsenergie und aus der elektrostatischen Energie der Protonen aufbaut. Es wird daher die Weizs/ickersche Korrektion der kinetischen Energie, die Korrelationskorrektion der Wechselwirkungsenergie und die den elektrostatischen Kr~iften entsprechende Austauschenergie vernachl~issigt. Diese Energiekorrektionen spielen aber in der Ausbildung der Bindungsenergie nur eine sekund/ire Rolle.

Fª die DŸ der Fermischen kinetischen Energie ergibt sich der folgende Ausdruck [3, 4] :

in welchem u ~ = ~~ (Q~~~ + egJ~),

3 3/2/3 h2

(4)

(5)

ist. Mit Hilfe von (1) kann man UI< durch die Nukleonendichte Q und den relativen Neutronenª n ausdrª Da n im allgemeinen eine sehr kleine Zahl ist, werden ira folgenden h6here als zweite Potenzen ron n ver- nachl~issigt werden. Auf diese Weise ergibt sich fª UK der folgende Aus- druck :

= _ _ __ n 2 ~5/3. (6) UK(P) 2 2Ÿ 1 + 9

Der S/ittigungscharakter der Kernkr/ifte wird richtig beschrieben, wenn eine einfache WechselwŸ voto Majorana-Typ zwischen den Nukleonen

DIE BESTIMMUNG DER EIGENSCHWINGUNGEN DER ATOMKERNE ~8~

vorausgesetzt wird [3, 4]. Fª den entfernungsabhiingigen Teil der Kern- kriifte werde das zentrale Yukawasche Potenzial

e--riFo J f f ) = _ ~ - -

r/ro (7)

benª in welchem r die wechselseitige Entfernung der zwei Nukleonen und 7 eine Kons tan te mit der Dimension einer Energie ist ; r o ist ebenfalls eine Konstante , die nach der Yukawaschen Theorie mit der Comptonschen Wellen- liinge der :t-Mesonen identisch ist. Falls die Masse der :t-Mesonen als 285- malige Elektronenmasse genommen wird, ist

h r o -- -- 1,355 �9 10 -la cm. (8)

2zt M=c

Die Wechselwirkungsenergie des Atomkernes, welche im Falle der Majo- rana-Kr~ifte aus reiner Austauschenergie besteht, kann ~ihnlicherweise berech- net werden wie die Austauschenergie der Elektronenwolken der Atome, mit

der Anderung, dass an die Stelle des Coulombschen Potentials -- das Yuka- r

wasche Potent ia l �91 t r i t t . Wenn die hiiheren Potenzen des relativen Neutro- nenª n vernachl~issigt werden, dann wird der folgende Ausdruck fª die Austauschenergiedichte erhalten :

7 [ g @ ) + 2n2 ] UA(Q)-- 4:t ar~ ~ h(w) , (9)

in welchem to eine dimensionslose Griisse ist,

~o = ro Q1/3 ; (10)

ferner kennzeichnen g und h die folgenden elementaren t ranszendentalen Funkt ionen :

1 (1-t- 12 0) 2) In (1 + 4 0) 2) -- 8 0) 3 arc tg 2 ~o g @) = 6~o4 -- o~2 + -~

~(~) 2o~ 1 ( 8 ) - - - -~o 2 1 + 092 ln(1-4-4o)2) . 2

(11a)

GOMB�93 hat den Ausdruck UA fª beliebiges n berechnet [3]. (9) wird aus seiner Formel durch Entwicklung nach n erhalten, wenn die Reihe nach dem quadrat ischen Glied abgebrochen wird.

(11b)

390 D. K I S D I

Endlich sei der Ausdruck fª die elektrostatische Energie der Protonen

(12)

gegeben :

Ec = o~vdv,

in welchem ~v das elektrostatische Potential des Kernes bedeutet :

q(r) = Z ~ f ~(~') dv' . (13) [ 1C - - 1~ ' l 1

Nach dem obigen ist also die gesamte Bindungsenergie des Kernes

Ze E=fu~@av+ t'tYA@dv§ (14)

Wird (14) in den Ausdruck der Lagrangeschen Funktion (13b) ein- gesetzt, dann gelangt man nach Variierung gem~iss ~ und w zu den folgenden Gleichungen :

1-~t- 1 1 , Ze - -M Ow§ = U K ( 0 ) § U � 9 3 2 4 7 ~ , (15)

0 e _ div (Q grad w), (16) Ot

in welchem der Strich die Ableitung der Energiedichte nach der Dichte bedeutet. (15) ist die Bewegungsgleichung des Nukleonengases und (16) die Kontinuit~itsgleichung. Diese zwei Gleichungen sind die Grundgleichungen der Hydrodynamik des Nukleonengases, aus welchen die Nukleonendichte Q und das Geschwindigkeitspotential w als Funktion des Ortes und der Zeit berechnet werden k6nnen.

w 2. Die Bestimmung des Gleichgewichtszustandes

In statischen Gleichgewichtszustand des Atomkernes k6nnen keine Str6mungen auftreten; ira Gleichgewichtszustand ist das Geschwindigkeits- potenzial w Null, und die Nukleonendiehte Q h~ingt ron der Zeit nicht ab. In diesem Fall ist die Lagrangesche Funktion mŸ der Bindungsenergie iden- tisch, folglich stimmt das Variationsprinzip (3a) mit dem Minimumprinzip der Energie ª Da die Bestimmung des Minimums der Energie auch ira Falle des vereinfachten Energieausdruckes (14) ein sehr schwieriges mathema-

DIE BESTIMMUNG DER EIGENSCHWINGUNGEN DER ATOMKERNE 391

tisches Problem darstellt, werde die Ritzsche N/iherungsmethode angewandt. Als erste N~iherung werde die Nukleonendichte ira Inneren des Kernes als konstant betrachtet :

3A - - wenn r < R , /

4~tR3'

/ -=0, wenn r > R .

(17)

Hier bedeutet R den Kernradius, der als ein Variationsparameter betrachtet wird. Aus (14) und (17) ergibt sich fª die Bindungsenergie des Kernes der folgende Ausdruck:

E (R) = uK ~ + v ~ ~4~-~jj--3~ + ~ R " (18)

Aus (18) kann jener Wert des Kernradius' R bestimmt werden, bei welchem die Energie E(R) ein Minimum ist. Dieser R-Wert, welcher mit R o bezeichnet sei, entspricht dem Gleichgewichtszustand des Kernes; die zum Kernradius R o geh6rende Energie, welche mit E o bezeichnet sei, ist die Bindungsenergie des Kernes im Gleichgewichtszustand. In der Tabelle I sind fª einige schwere Atomkerne numerische Werte angegeben, und zwar im Falle eines solchen Parameterwertes ~, fª den die berechneten Bindungs- energien am besten, mit den Erfahrungswerten ª Dieser Para- meter ist ? = 64,47 Me V. In der ersten Spalte der Tabelle steht die Massen- zahl, in der zweiten die Ordnungszahl und in der dritten der relative Neutro- nenª Die vierte Spalte der Tabelle enth~ilt den dem Gleichgewiehts- zustande entsprechenden Kernradius Ro, die fª die entsprechende Dichte

3A Q o - - - - . In der sechsten Spalte steht die zu einem Nukleon geh6rende

4 ~R 8

Bindungsenergie, also E~~ ,zuletzt,in der siebentenSpalte, ihr empirischerWert. A

160 192 220 242

T a b e l l e I

Der Kernradius R O in r o, die Dichte Qo in 1 und die Energie in MeV-Einheiten ro ~

Z

64 76 86 96

0,200 0,208 0,218 0,207

Ro

3,32 3,60 3,83 3,94

Qo

1,043 0,981 0,934 0,946

E o A

--8,719 --8,013 --7,431 --7,142

Eoemp/A

--8,202 --7,910 --7,669 --7,488

392 D. KISDI

Der dem Gleichgewichtszustand der Kernes entsprechende Kernradius und die Bindungsenergiewerte wurden von GoM~ks in viel exakterer Weise festgestellt und seine Resultate stimmen mit den Erfahrungswerten viel besser ª [3, 4, 8, 9]. Die in diesem Paragraph mitgeteilten Rechungen haben nur approximativen Charakter, m i t ihrer Hilfe kiinnen jedoch die Eigenschwingungen der Atomkerne verhiiltnismiissig einfach berechnet werden.

w 3. Die Eigenschwingungen des statistischen Kernmode|les

Die Eigenschwingungen der Atomkerne sollen als kleine Perturbationen des statischen Gleichgewichtszustandes behandelt werden. Das Geschwindig- keitspotential w wird dementsprechend als sehr klein angenommen. Die Nukleonendichte und das elektrische Potential seien in der Gestalt

(19)

aufgeschrieben, wo ~w im Vergleich zu ~o eine kleine Dichteperturbation und ~vw das ihr entsprechende Potential ist, das heisst

~~ (0 = ~w ( ~ ' ) d v' . (20)

Wenn (19) in die Bewegungsgleichungen (15) und (16) eingesetzt wird und ausserdem die zweiten und htiheren Potenzen von w und ~w sowie deren Produkte vernachliissigt werden, dann werden folgende Gleichungen erhalten :

, Z e (21) -- M Owot ---- [UŸ176 + UA (~0)] ~ ~ + ~ - ~ 0 w,

0 1M -- div (~0 grad w). (22) Ot

Zur Ableitung dieser Gleichungen wurden die zu dem nichtperturbierten Gleichgewichtszustand (das heisst w = o) gehSrenden Bewegungsleichungen verwendet, welche nach (15) und (16) folgendermassen lauten :

u ~ (eo) + u�93 (e0) + z e a e0 ~-~o 0 = 0 , -- 0 . (23) Ot

In dem im vorhergehenden Paragraph besprochenen vereinfachten Eernmodelt ist die Dichte ~o im Inneren des Kernes konstant ; wenn dies in

D I E B E S T I M M U N G D E R E I G E N S C H W I N G U N G E N D E R A T O M K E R N E 393

Betracht gezogen wird, so wird aus (22) durch Ableitung nach t die folgende Gleichung erhalten :

02~w _ ~oA 0w. (24) � 9 1 2 �91 t

Wird der Laplacesche Operator auf (21) angewendet, so kann mit seiner

A O w Hilfe aus (24) - - e l i m i n i e r t werden. Wird noch der Zusammenhang 0t

Ze Aq w = - - 4 : t - - ~ w

A

berª so ergibt sich

0~~w -- v2A Qw -- 4:t2Vo2Q,~ �9 (25) O t 2

Zur Abkª seien hier die folgenden Bezeichnungen eingefª :

v2 = ~o [ v ~ (eo) + v � 9 3 (e0)], ~~ - M

Z2 e2 eo (26)

:t M A ~

(25) beschreibt die Eigenschwingungen der Atomkerne. Die in der Schwingungsgleichung (25) vorkommenden GrSssen v und v o sind charak- teristische Konstante des Atomkernes. In der Tabelle II sind die Werte Ange- geben, die zu den Massenzahlen 160, 192, 220 und 242 geh(iren. Zu ihrer Berechnung dienten die in der Tabelle I angegebenen ~o-Werte. Statt der Frequenz v o ist die ihr entsprechende Energie hv o angegeben.

Tabelle II

v in Lichtgeschwindigkeits-, hv o in MeV-Einhei ten

A Z v h r 0

160 192 220 242

64 76 86 96

0,08033 0,07624 0,07420 0,07218

9,928 9,534 9,183 9,382

Die Konstanten v und v o stehen in einfachem Zusammenhang mit der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit der sich in dem Atomkern ausbreitenden Dilatationsschwingungen (Schallschwingungen). Aus der Gleichung (25)

394 D. KISDI

ergeben sich fª die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit vy und v e der Schallschwingungen der Wellenl/inge 2 die folgenden Ausdrª

vi = v V 1 + ivO~-]i l v ] ,

V (27)

w 4. Die B e r e c h n u n g der E i g e n f r e q u e n z e n der K e r n s c h w i n g u n g

Die Gleichung (25) beschreibt die Dilatationsschwingungen der Atom- kerne. Diese Gleichung st immt in ihrer Struktur mit der aus der Quantum- mechanik wohlbekannten Klein-Gordonschen Gleichung ª : ihre L~sung kann auch mit einer iihnlichen Methode erhalten werden. Es sei die LSsung von (25) in der folgenden Gestalt gesucht :

w (r, ~, ~v t) = y (r) YL= (v% ~) sin (2 ~ v t) . (28)

Hier sind mit Ylm die Kugelfl~ichenfunktionen gekennzeichnet. Fª die radiale Funktion y(r) erMilt man aus (25) die folgende Gleichung :

2dy 14 y~2 (v2- yo 2 / ( / + l ) ] d~_y § _ _ -4- y -= 0. (29) dr 2 r dr v 2 r 2

Es ist zweckmiissig statt r e i n e neue dimensionslose Ver~inderliche

2zt x : - - (v2 _ _ Vo~)1/2 r (30)

einzufª mit welcher d ie fª y geltende Gleichung die folgende Gestalt annimmt :

dx ~ x x ~ y = O. (31)

Die regul~ire L5sung dieser Gleichung ist

C y = ~~J,+~(~),

wo Je+-~ die Besselsche Funktion und C eine beliebige Konstante ist. Die Dichteperturbation ~~~ ist also:

C w = ~xxJ>�89 (x) Y'm (~, ~v) sin (2 :~ v t). (32)

D]IE BEST]MMUNG DER EIGENSCHWINGUNGEN DER ATOMKERNE 395

Die Deformation der Oberfl~iche des Kernes ist wegen der grossen Oberfliichenspannung im Verh~iltnis zu den Dimensionen des Kernes so klein, dass sie vernachliissigt werden k a n n ; aro Rand des Kernes kann die radiale Geschwindigkeit Null genommen werden :

r=Ro

Wenn (21) nacht t deriviert und r = R o eingefª wird, ergibt sich auf Grund von (33) fª die folgende Grenzbedingung :

{ O~w t = 0 . (34) 0 r Ir=Ro

Mit Hilfe des Ausdruckes fª ~w aus (32) best immen sich die Eigenfre- quenzen aus der Grenzbedingung (34) durch folgender Gle i chung : .

in welcher l J~+~ (~~) - ~, J~+~ (~~) = o .

2 z~R o x z = _ _ (~~--v2)1;~.

V

(35)

(36)

Sind nun die Eigenfrequenzen vi bekannt , so kSnnen die Anregungs- energien des Atomkernes aus dem wohlbekannten Zusammenhang zwischen Energie une Frequenz der Quantenmechanik

1/I hv-q ~~ = hv~ = [2 ztRo ) x~ �91 (hv0) 2 (37)

berechnet werden. Fª einige /-Werte sind die kleinsten positiven Wurzeln der transzen-

denten Gleichung (35) in der Tabelle I I I angegeben.

T a b e l l e I I I

l 0

x0= 4,49

l = l

x i = 2,08

1-- 2

x 2 = 3 ,34

Die zu den /-W› gehSrenden Anregungsenergien ~1 sind fª die 64 76 86 96 2~2Cm in Kerne lsoGd, 196Os, 2~oEm und der Tabelle IV zusammengestell t .

396 D. K1SDI

Tabelle IV

Die Anregungsenergien in MeV-Einheiten

E e E l E.. A Z Monopol- Dipol- Quadrupol-

schwingung schwingung schwingung

160 192 220 242

64 76 86 96

18,71 16,84 15,67 15,24

12,35 11,50 10,90 10,91

15,42 14,05 13,17 12,96

w 5. Diskussion der Resultate

In dem vorigen Paragraph wurden die Anregungsenergien der Monopol-, Dipol- Hnd Quadrupolschwingungen der Atomkerne berechnet. Es ist natª lich schwer zu entscheiden, welche Schwingunsform bei einer gegebenen Kern- reaktion angeregt wird. Beim Einfang eines Teilchens k5nnen sich im Kerne verschiedene Schwingungsformen superponieren. Aro einfachsten kSnnen noch die bei einem Photoneneinfang auftretenden Schwingungen behandelt werden. MARX hat gezeigt, dass durch die Photonen wahrscheinlich die l = 2 ent- sprechende Quadrupolschwingung angeregt wird [10]. Dies bedeutet, dass der Atomkern auf die Photonen der Energie Er = E 2 resonniert. Eine solche Resonnanzerscheinung haben STEINWEDEL und JENSEN wirklich beobacbtet [11]. Ihre Messungsergebnisse sind in der empirischen Formel

e~, -= 80 Me V A - ~

zusammengefasst. Die in der letzten Spalte der Tabelle IV angegebenen Anregungsenergien E 2 k6nnen in guter N~iherung in der Form

E 2 = 81,2 Me V A-~3

wiedergegeben werden. Der Unterschied zwischen den theoretischen und den empirischen Werten betr~igt nur 1,5%. Diese • kann als sehr gut bezeichnet werden und die Tatsache, dass in der Berechnung kein einziger willkª Parameter vorkommt, hebt noch ihren Wert.

Der Yerfasser m6chte an dieser Stelle Herrn Professor P. GoMB�93 seinen aufrichtigen Dank fª seine wervollen Ratschl~ige und seine Unterstª aussprechen. Fr~iulein J. M�93 die in der Durchfª der numerischen Rechnungen behilflich war, sei ebenfalls bestens gedankt.

DIE BESTIMMUNG DER EIGENSCHWINGUNGEN DER ATOMKERNE 397

LITERATURVERZEICHNIS

1. F. BLOCrI, Zs. f. Phys., 81, 363, 1935. 2. H. JENSEN, ZS. f. Phys., 106, 620, 1937. 3. P. GOMB�93 Acta Phys. Hung., 1, 329, 1952. 4. P. GO~tBAS, Fortschr. d. Phys., 10, 159, 1957. 5. F. BLOCrI, Zs. f. Phys., 57, 545, 1929. 6. P. GOMB�93 Die statistische Theorie des Atoms und ihre Anwcndungen, w 2, Springer,

Wien, 1949. 7. K. NAKABAYASt, Zs. f. Phys., 97, 211, 1935. 8. P. GOMB�93 Acta Phys. Hung., II, 223, 1952. 9. P. GOMB�93 B. MOLN�93 E. M�93 und E. SZAB£ Acta Phys. Hung., IV, 267, 1954.

10. G. MAI~X, Acta Phys. Hung., III, 1, 1953. 11. H. STEINWEDEL, H. JENSEI% Z. Naturf., A, 5, 413, 1950.

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3 Acta Physica VIII/4.