Die Darstellung des geomagnetischen Potentials zur Epoche 1945,0 durch eine Entwicklung nach Kugelfunktionen bis zur 15. Ordnung

PURE AND APPLIED GEOPHYSICS

VoI. 57 1964/I

Potentials

Die Darstellung des geomagnetischen

zur Epoche I945,o durch eine Entwicklung nach

Kugelfunktionen bis zur 15. Ordnung

Von GERHARD FANSELAU1), HEINZ KAUTZLEBEN1), OTTO LUCKE1), PETER MAUERSBERCER2), und KURT SELLIEN 1)

Z u s a m m e ~ f a s s u ~ g - Es werden die Ergebnisse einer Berechnung des geomagnet ischen Potentials in Form einer Reihenentwicklung nach Kugel funkt ionen bis zur 15. Ordnung auf Grund der magnet i schen Wel tkar ten ftir die Epoche 1945,0 yon E. H. VESTINE und andern vorgelegt. Bei der Ablei tung des Poten t ia lausdrucks nach der Methode der kleinsten Quadra te wurden die OrthogonalitS~tseigenschaften der Kugelf l~chenfunkt ionen vollst~indig ausgenutz t .

S u m m a r y - The results of the analysis of the main geomagnet ic field for the epoch 1945.0 in a series of spherical harmonics to the 15th degree are presented. The analysis is based on the world magnet ic charts derived by VESTI~'E el a l . The coefficients of the potent ia l are calculated by least-squares approximat ion taking advan tage of the or thogonal i ty of the spherical harmonics over discrete ranges.

1. Einleitung

Die ersten Rechnungen zu der hier vorgelegten Arbeit wurden im Jahre 1954 begonnen. Es wurde damals angestrebt, die Beobachtungen durch einen Potential- ausdruck grSsserer Ausdehnung besser darzustellen, als mit den bis dahin tiblichen Reihenausdehnungen bis zur 6. Ordnung zu erreichen war. Jedoch standen noch keine Rechenautomaten zur Verffigung, so dass besondere Sorgfalt auf die Auswahl eines fiir die Bearbeitung mit Tischrechenmaschinen geeigneten numerischen Ver- fahrens gelegt werden musste. Ein solches Verfahren inusste notwendigerweise die Orthogonalitfitseigenschaften der Kugelfl~ichenfunktionen ausnutzen.

I m ersten Stadium der Untersuchungen wurde die yon AD. SCHMIDT [1] 4) ent- wickelte Methode zur Ableitung des Potentials verwendet. Bekanntl ich besteht diese Methode aus zwei Teilen. Beim ersten Teil werden ftir drei unabh~ingige Feld-

1) Geomagnet isches Ins t i tu t der Deutschen Akademie der Wissenschaf ten zu Berlin, Potsdam, Telegrafenberg.

2) Ins t i tu t ftir physikal isehe Hydrographie der Deutschen Akademie der "Wissenschaften zu Berlin, Berl in-Friedrichshagen, Miiggelseedamm 260.

a) Mittei lung aus dern Geomagnet ischen Ins t i t u t der DAW, Potsdam, Nr. 160. ~) Die Ziffern in eckigen K l a m m e r n verweisen auf das Literaturverzeiehnis, Seite 17.

6 G. Fanselau et al. (Pageoph,

gr6ssen (speziell ftir die Gr6ssen X sintg, Y sint9 und Z mit X, Y und Z als den tiblichen Komponenten des Feldvektors und t9 als Poldistanz) Reihenentwicklnngen nach Kugelfl~chenfunktionen bestimmt. Im zweiten Teil werden daraus durch In- tegration und Koeffizientenvergleich mit dem tiblichen Ausdruck ftir das geomagnetische Potential drei Systeme von Koeffizienten berechnet. Aus diesen drei Syste- men kann man erstens Angaben fiber die Gtiltigkeit der Potentialbedingung ftir das verwendete Beobachtungsmaterial, zweitens die Koeffizienten ftir den inneren An- teil am Potential und drittens die Koeffizienten ftir den entsprechenden fiusseren Anteil ableiten. Diese Methode ist yon P. MAUERSBERGER [2, 3, 41 untersucht worden und wird eingehend im Handbuchart ikel [5] vom selben Verfasser beschrieben.

An. SCH~IDT selbst hat schon angegeben [1], dass zur Ableitung der drei unab- h~tngigen Reihenentwicklungen nach Kugelfl~ichenfunktionen zweckm~issigerweise das Verfahren yon F. NEUMANN [6] (vgl. auch [7, 81) angewendet werden sollte. Dieses Verfahren ist durch A. PREY [91 bei seiner Darstellung des Reliefs der Erd- oberfl~iche durch eine Entwicklung nach Kugelfl~ichenfunktionen bis zur 16. Ord- nung sehon weitgehend ftir die praktischen Rechnungen aufbereitet worden. In der vorliegenden Arbeit wurde es in der yon A. PREY entwickelten Form angewendet.

Die ersten Ergebnisse der Rechnungen nach der Methode yon AD. SCI~MIOT konnten 1958 in zwei Arbeiten [10, 111 vorgelegt und diskutiert werden. Dabei zeigte sich j edoch, dass der Formalismus dieser Methode nicht v611ig einwandfrei ist. Eine Uberpriifung und Berichtigung konnte jedoch erst 1961 im Rahmen einer Untersuchung zur analytischen Darstellung des Feldes von H. t{AUTZLEBEN [12] abgeschlossen werden. Die erforderlichen Neuberechnungen wurden ebenfalls mit Hilfe von elektrischen Tischrechenmasehinen durchgeftihrt.

2. Methode

Bei der hier angegebenen Darstellung der Methode zur Berechnung des Poten- tials werden die Gedankeng~nge verwendet, die von H. KAUTZLEB~N [131 angegeben worden sind. Danach wird das Potential nach der Methode der kleinsten Qua- drate durch gemeinsame Approximation aller verftigbaren Beobachtungen unter Ausniitzung der Orthogonalit~ttseigenschaften cler Kugelfl~tchenfunktionen bestimmt.

Als Ansatz fiir das geomagnetische Potential wird fiir eine als Kugel mit dem Radius ro angenommene Erde der Ausdruck

o + D ' ~ c ~ ~00 P~(0)

(1)

gew~hlt. Hierbei bezeichnen r, tg, 2 die tiblichen Kugelkoordinaten; c~, s~ bzw. ~ , G~ sind die gesuchten Koeffizienten fiir den Anteil der inneren bzw. ~usseren Quellen. Es sollen die zugeordneten Legendreschen Funktionen P~(tg) in der Quasinormierung nach AD. SCHMInT [14] verwendet werden. Da das Potential selbst nicht beobachtet werden kann, muss man die gesuchten Koeffizienten durch Approximation der beobachtbaren Feldgr6ssen mit aus (1) abgeleiteten entsprechenden Ausdriicken bestimmen. Aus verschiedenen Grfinden eignen sich besonders

Vol. 57, 1964/1) Darstellung des geomagnetischen Potentials zur Epoche 1945,0 7

die Gr6ssen X* = X sint~, Y* = Y sinv ~ und Z. Aus (1) kann man als Ans~tze fiir diese Gr6ssen sofort die Ausdrficke

sinv ~ OV(ro, tg, )~) K k X* ~ = Z .o d# ' (g$ cos m 2 + h~ sin m 2) sin v ~ dP'2 (#) (2 a)

1 ~ V(ro, tg, 2) K 6 y * ~ - - ~V' ~ (g~ s inm ), - - h',~ costa 7,) m P~*(~9) , (2b) ro ~2. n = 1 m = 1

Z ~ bV(r,0rv% k) ~ ="0 = ~= 1 ~ = 0 V ' (a~" costa k -}- b$ s inm 2) P;~(t~) (2c)

ableiten. Der unbequeme Different ia lquot ient der zugeordneten Legendreschen Funk t ionen in (2a) l~tsst sich mit HiKe der Rekurs ionsformel

sinv~ dP~(0)

mit

2 n - - 1 /:n~ __ t ~ 2 , Zn - - 2 n + 3 /

eliminieren. Dami t kann m a n den Ansatz (2a) anch in der F o r m

K+I 2 X* ~ L(C% g,,-i -- Z,~ g ,+l ) costa 2 (2a')

+ (cos hX'-I - - Z~' h$+1) s inm 2] P,'{~(O)

schreiben. Die in (2) angegebenen Koeffizienten sind mi t den ursprt inglichen Koeffizienten

in (1) tiber die Beziehungen

g : . . . . . . . . . . . . . ' , ( sa) = c ~ + y ~ , h~ =s ,~ + a ~ ,

. . . . . . . (n + I) s . . . . (5b) a~ " ~ = - ( n + l ) c~ + n T , , , b~ = - - ,~ + h a , ,

verkniipft . Die Sys teme beider Typen yon Koeffizienten sind vOtlig gleichwertig. Die gesuchten Koeffizienten kOnnen vOllig einwandfrei bes t immt werden, wenn

man alle verffigbaren Beobach tungen gemeinsam approximier t . Die Approx ima t ion soll mi t HiKe der Methode der kleinsten Quadra te er%lgen. Zur Vereinfachung der Rechnungen ist erforderlich, dass die Beobach tungen nicht willkfirlich, sondern durch die Punk te eines regelm~issigen Git ternetzes vorgegeben werden. Es werden hier die Schn i t t punk te von N ' Meridianen mit N H Breitenkreisen ausgew~ihlt. Fflr die Approx ima t ion soll dann die Forde rung

N'-I N"

Minimum x fo, O/t: 2v

erffillt werden. Die p,~ bezeichnen geeignete Gewichte.


Die Forderung (6) wird bekanntlich dadurch erffillt, dass die partiellen Ablei- tungen yon M(V) nach allen auftretenden Koeffizienten gleich Null gesetzt werden. Es tr i t t dann zur Bestimmung der 2 K (K + 2) Koeffizienten c}, si, y}, a i ein vollst~ndiges System yon 2 K (K + 2) Gleichungen auf. Man kann eine Reihe von Be- dingungen angeben, durch die eine weitgehende Entkopplung dieser Gleichungen sowie eine zweekm~issige Aufteilung des Rechenganges erreicht wird.

Eine erste Entkopplnng erreicht man durch die Vorschrift, nicht direkt die Koeffizienten c}, s i, Yi, ai, sondern zuerst aus dem resultierenden Normalglei- chungssystem die Koeffizienten gi, h}, a}, b i und anschliessend aus diesen mit Hilfe der Beziehungen (5) die gesuchten Koeffizienten c}, s}, Yi, ai zu berechnen. Diese Entkopplung erreicht man auch bei beliebiger Verteilung der Beobachtungspunkte.

Die weiteren Vereinfachungen sind an Bedingungen ffir die Zahl und Vertei- lung der Beobachtungspunkte und Gewichte gekniipft. Dadurch soll erreicht werden, dass ftir die Kugelfl~tchenfunktionen Orthogonalit~itseigenschaften bei Sum- mation wirksam werden. Solehe Eigenschaften liegen vor, wenn die Meridiane/iqui- distant sowie die Gewiehte aller Beobachtungen auf demselben Breitenkreis gleich gew/ihlt und wenn ausserdem die Gewichte c~ der Beobachtungen auf den verschiedenen Breitenkreisen durch die Anzahl und Verteilung der Breitenkreise bestimmt werden. Von den nach F. NEUMANN [6] m6glichen beiden Vorschriften hierzu wird wegen der geringeren Zahl yon erforderlichen Breitenkreisen der Fall gew~ihlt, dass N ' ~ q q-1 Breitenkreise durch die Nullstellen des Legendreschen Polynoms Pq+l(0) festgelegt werden. Die Gewichte c, werden dabei durch die Formel

c, = [P;(v~.) ] ~ (7) i=o 2

oder einen entsprechenden Ausdruck [5] bestimmt. Die Orthogonalitfitseigenschaft der Kugelfl/ichenfunktionen bei

l~isst sich dann durch die Formeln (vgl. [5]) Summation

N ' - I N" ~-~ ~-~ i i' 2~ 2~r ct, Pi(~gt, ) Pi,(~gt,) cosi ~ v cos/ ' ~ v v = 0 # = 1

2 N' = ~ii' di]' (1 q- ~iN'/~) 2j + 1 (o < i ) ,

(8a)

N'- I N" ~ i i' 2Yr 2 ~ c~, Pi(O~,) Pi,(~9~) s i n / ~ v sin/ ' ~ v ~ .4..d v=0 ~=I

2 N' = @ dii, (1 -- diN@ "2j + 1 (o < i ) ,

(8b)

N'- I N" ~ - I i i' 2 ~ 2 ~ c~,Pi(~) Pi,(va,) c o s / ~ v sin/ ' -NT-v = 0 ~=0 #~I

(Sc)

(ffir alle Kombinationen i, i', ~', 1")

Vol. 57, 1964/1) Darstellung des geomagnetischen Potentials zur Epoche 1945,0 9

beschreiben, d~z ist das iibliche Kronecke>Symbol. Die Normierungsfaktoren auf den rechten Seiten yon (8a, b) werden im folgenden durch das Symbol { Ni(N', N") } bezeichnet. Die Beziehungen (8) gelten nur, wenn die Bedingungen

2~" 2~f ' i ~ 2- undwegen 0 < i < / folglich ] ' < - ~ - , (9a)

i - - < q = N " - - 1 (9b)

erffillt sin& Wenn die Bedingungen (8) ffir alle Summen fiber die Produkte der Ku- gelfl~ichenfunktionen, die im oben erw~thnten Normalgleichungssystem auftreten, angewendet werden sollen, muss die weitere Bedingung

N t / < K + 1 < q und K + I < ~ - (10)

erffillt werden. Durch eine vorber festgelegte Reihenausdehnung K des Potential- ausdrucks (1) wird damit auch die Mindestzahl der erforderlichen Beobachtungs- punkte und ihre Verteilung bestimmt.

Nit Hilfe der Orthogonalitgtsbeziehungen (8) erh~ilt man aus dem Normalglei- chungssystem die folgenden Typen yon Gleichungen:

i Z(ro, v~,,, ).~) cos / y - ~ , = a i { } u = l (v=O

(i = o, 1 . . . . . i ; / = 1, 2, . . ., K) ,

(1~)

Z(ro, #l~, )'~) sin i ~ 7 - v = bj } = % PJ(#~) t~ = o

( i = 1 , 2 . . . . . i i = 1 , 2 . . . . . K) .

(12)

~ i i 2 i+* ~ %Pi+1(*9~) X*(ro, 0~, 2~) c o s / ~ v ~=i [v=O

/*=I [v=O

N" f N ' - I

% Pj(Ou) Y*(ro , #~, 2~) sin i ~ 7 - vf

i i ~ i ' N") i i i i , N H) __ __ { X i + l ( N , } -- -- gj-~ ~~ Zj-1 { Ni-I(N, } gi+~ Zj+~ ('0 i + 1

+ gj L~,j+~ { : v j + ~ ( x , N " ) } + Zj-~ { N j _ I ( N , } +

(i = 0, 1 . . . . . i ; 7"==1, 2 . . . . . K ) ,

(la)


~ i 2 ]+1 ~ i c~Pi+l(~) X*(ro, ~ , 2~) sini ~ v

- - ZI_ 1 ~ C, P i_ l (~ , ) X*(ro, ~ , , 2~) s i n i ~ v kt=l iv=0

N" i

- i S N'-I 2 7& }

h~_~ ~ i ~ ' N " ) i ~ i ~ ' N ' ) co{-1 Zi-1 { Ni - I (N , } -- } = - { Nj+~(N, hi+2 Zi+l o9i+1

. ~ r i2 i ' N " ) ~2 ~ ' N " ) i 2 i , -~- agLCOi+ m { } -}- Ni+I(N, . { } + Ni-~(N, { }] i~j(N, N') Z4-1

( i = 1,2 . . . . . i ; { = 1,2 . . . . . K ) .

(14)

Aus diesen Gleichungen k6nnen die gesuchten Koeffizienten relativ einfach be- st immt werden.

In den Gleichungen (11) bis (14) treten Ausdriicke auf, die in enger Beziehung zur Methode yon F. NEUMA~N [6] ffir die Reihenentwicklung von Beobachtungen naeh Kugelfl~ichenfunktionen stehen. Man kann diese Entwicklung in der Form

E(v~, ~) ~ ~ [A:(E) costa 2 + B~(E) sinm ~1P~(t~) n=0 m=0

(15)

schreiben, wobei ftir E jede der Gr6ssen X*, Y* oder Z eingesetzt werden kann. Bei der vorliegenden Zahl und Verteilung der Beobachtungspunkte und Gewichte erh~ilt man nach dieser Methode fiir die sph~risch-harmonischen Koeffizienten die Ausdrticke

A~(E) I { N~(N', N")} #-• / v - u

(i -- 0, 1 . . . . . .7"; i = 1 , 2 . . . . . K ' ) ,

(16a)

B~(E) --= 1 N" E(va~, 2~) s i n / ~ v {N}(N', N") ; = Ct~ P~(~#) [v=O

(i 1 , 2 , . . i" ] = 1 , ~ K')"

K ' kann hier N'

K t < q und K' < 2

(16b)

gew~ihlt werden. Bei der Berechnung der Ausdrticke (16) wird man zuerst die Summe fiber v ausfiihren; das entspricht einer harmonischen Analyse der Beobachtungs- werte l~tngs ]edes Breitenkreises 0~. Danach wird die Summe tiber v berechnet.

Vol. 57, 1964/1) Darstellung des geomagnetischen Potentials zur Epoche 1945,0 1 !

Der Vergleich der Gleichungen (11) und (12) mit den Ausdriicken (16) zeigt, dass die Koeffizienten a}, b} mit den entsprechenden sphiirisch-harmonischen Koeffizien- ten Ai(Z ), Bi(Z ) identisch sind. Die Beobachtungen yon Z miissen demnach ledig~ lich einer Reihenentwicklung nach dem Neumannschen Verfahren unterworien werden, um die gesuchten Gr6ssen a i, b i zu erhalten. Dabei muss K ~ = K gesetzt werden.

Etwas schwieriger liegen die Verhiiltnisse bei den Gleichungen (13) und (14). Der Vergleich mit den Ausdriicken (16) zeigt, dass man diese Gleichungen in die Form

~.~§ t x j § } A~§ -- { N~_~(N ~, N ~') zj-~ } Aj_~(x*)

+ is~ ~, j,~, T,:,~ ~,7,, :w ) } B;I(y*)

- - - " Nj_~(N , N") } -- gi+~ ~ Zi+~

+ g}~ '~ N ~ ' lV") ':~ ~%+,{~ j+ , (N , } +Z~_~{N;L~(N ' ,~ " ) }+~{ lV~(N ' ,N" ) }?

( i = 0 , i . . . . . f ; i = 1,2 . . . . . K ) ,

(17)

' ~ ' X") ~ Nj_I(.~' "', X") BS_I(X*) ~ j + l { N j § } S~§ - - Zj-, { }

- ~ { N}(N', X") )A~(Y*)

{ x j § } = -- mi-1 Zi-1 { N i - I ( N , } -- hi+~ ~i+l Zi+l

-r i , ~2 i , i 2 { N~(N', + ~ } L , § 2 4 7 ( } + }? J~j-1 N i - I ( N , N " ) N")

(i = 1,2 . . . . . i ; j = l , 2 . . . . . K)

(is)

umschreiben kann. Demnach treten hier die sph~trisch-harmonischen Koeffizienten einer Entwicklung yon X* der Form (15) bis K ' = K q- 1 und die entsprechenden Koeffizienten einer Entwicklung von Y* bis K ' = K auf. Die Koeffizienten g}, h~ fiir den Potent ia lausdruek k6nnen aus diesen Koeffizienten mit Hilfe der Gletchun- gen (17), (18) berechnet werden. Nach Untersuchungen yon H. KAUTZLEBE_n [12J bilden die Gleichungen (17), (18) mehrere voneinander unabhiingige Gleichungs- systeme. Die Gleichungen der Form (17) sind unabhfingig yon den Gleiehungen der Form (18). Sie sind einander so fihnlich, dass man nur das erste System zu betrach- ten braucht . Weiterhin sind die Gleichungen mit verschiedenem Index i voneinander unabh~ingig. Dariiber hinaus zerfallen sie fiir vorgegebenen Index i in zwei voneinander unabh~ngige Systerne, ie nachdem ob 2' = i + 2 ~ oder j = i + 2 0 + 1 mit @ = 0, I, 2, . . . ist. Die resultierenden Gleichungssysteme zur Bes t immung tier Koeffizienten g} bzw. h~ haben eine einfache Form; in ihren Koeffizientenmatrizen sind nur die Hauptdiagonale und die beiden ihr benachbar ten Diagonalen besetzt. Die Aufl6sung kann mit Hilfe der iiblichen Methoden erfolgen.

Zusammengefasst kann man Ieststellen, dass das Verfahren zur Ableitung des Potentialausdrucks nach der Methode der kleinsten Quadrate bei den vorliegenden

12 G. FaIlselau et al. (Pageoph,

Bedingungen im wesentlichen in drei Teiloperationen zerlegt werden kann. Diese drei Operationen sind:

a) Die Ableitung yon drei voneinander unabh~ingigen Reihenentwicklungen der drei FeldgrSssen X*, Y* und Z nach Kugelfl~chenfunktionen mit Hilfe der Me- thode von F. !kTEUMANN;

b) die Berechnung der Koeffizienten gi, hi aus den sph~irisch-harmonischen Koeffizienten von X* und Y* mit Hilfe der Gleichungssysteme (17) und (18);

c) die Bereehnung der Koeffizienten c~, s i, y~, ~ aus den Koeffizienten g~, hi, ai ,i bi~ dutch AuflSsung der Gleichungssysteme (5).

3. Die Ableitung des Potentials [.i~r die Epoche 1945,0

Als Beobaehtungsmaterial ffir die Ableitung des Potentials wurden die Daten der Komponenten X, Y und Z ftir die Epoche 1945,0 verwendet, die E. H. VESTINE und andere in der umfangreichen Abhandlung fiber die Beschreibung des Haupt- feldes und seiner S~kularvariation El5] ftir die Schnit tpunkte der L~ingen- und Breitenkreise yon jeweils 5 ~ zu 5 ~ angegeben haben. Material fiir eine neuere Epoche stand bei Beginn dieser Untersuchungen nicht zur Verffigung. Die Werte ftir die hier verwendeten Beobaehtungspunkte wurden durch Interpolation bestimmt.

Der Reihenansatz ftir das geomagnetische Potential (1) wurde bis K = 15 ausgedehnt. Dann miissen die Reihenentwicklungen nach Kugelfl~chenfunktionen fiir die FeldgrSsse X* mindestens his K' = 16, ftir die GrSssen Y* und Z jeweils mindestens bis K' ---- 15 ausgedehnt werden. F~ir die Auswahl der Beobaehtungspunkte ist demnach die Forderung K ~ ~ 16 entscheidend. Wenn diese Forderung mit der geringstmSglichen Zahl yon Beobachtungen erftillt werden soll, ist im Sinne der oben beschriebenen Methode erforderlieh, dass die Zahl der Breitenkreise N" ~ 17 und die Zahl der L~ingenkreise N ~ = 32 ist. Allerdings kOnnen dann die Koeffizien- ten B~(X*) nicht bestimmt werden. Die entsprechenden Koeffizienten ftir Y* und Z werden nicht benStigt.

Die Wahl von K ~ 15 wurde auch dadurch nahegelegt, dass in der Arbeit von A. PREY E9] schon umfangreiehe rechnerische Vorarbeiten ftir eine Reihenentwick- lung nach Kugelfl~ehenfunktionen bis zur 16. Ordnung geleistet worden waren. $ie konnten weitgehend verwendet werden; jedoch war zu beachten, dass A. PREY im Gegensatz zur vorliegenden Arbeit ftir die zugeordneten Legendreschen Funktionen die Definition von ~TEUMANN-FERRER [16] verwendet hat. Diese Funktionen sind mit den Funktionen nach SCHMIDT durch die Beziehung I14~

V(2 (n - r~)! P~(v~) IsCh. = -- (~om) (n T m)! P~(O)]N.-~. (19)

verkniipft. Entspreehend den angegebenen Forderungen fiir die Giiltigkeit der Orthogonali-

t~itsbedingungen (8) werden als Beobaehtungspunkte die Schnit tpunkte der 32 L~ingenkreise 2, mit den 17 Breitenkreisen v~, gew~ihlt. Dabei gilt fiir die L~ingenkreise :

18o )~ : v ~ : 0 ~ 1l ~ 15', 22 ~ 30', . . . . 348 ~ 45'

Vol. 57, t964/I)

D ie B r e i t e n k r e i s e w e r d e n d u r c h

Darsteltung des geomagnetischen Potentials zur Epoche 1948,0

,91 = 180 ~ = 7 ~ 52' 14"

v% ----- 180 ~ - - 016 = 18 ~ 04 ' 14"

t% = 180 ~ - - v~l.~ = 28 ~ 19' 44"

v% = 180 ~ - - t~14 = 38 ~ 36 ' 02 ~'

'~q~5 = 180 ~ - - bq'13 = 48 ~ 52' 39"

V% = 180 ~ - - J ~ l g = 59 ~ 09 ' 24"

Ov = 180 ~ - - va** = 69 ~ 26' 14"

Os = 180 ~ - - v~lo = 79 ~ 43 ' 07"

v% = 90 ~

13

gegeben . Diese A n o r d n u n g de r B e o b a c h t u n g s p u n k t e e n t s p r i c h t e t w a d e m N e t z ,t~ = 0 ~ 10 ~ . . . . 350~ tg~ = 10 ~ 20 ~ . . . . 170 ~ das be i den b i s h e r i g e n P o t e n t i a l -

e n t w i c k l u n g e n h /mf ig v e r w e n d e t w u r d e . D i e G e w i c h t e c a de r B e o b a c h t u n g e n a u f den v e r s c h i e d e n e n B r e i t e n k r e i s e n ' ~

h a b e n n a c h E91 die f o l g e n d e n W e r t e :

cl = 07 = 0 ,024148

c2 = c16 = 0 ,055460

ca = 05 = 0 ,085036

c 4 ~ - O 4 = 0 , 1 1 1 8 8 4

c5 = cls = 0 ,135136

c6 = 02 = 0,154 046

c7 = O1 = 0 ,168005

cs = c10 = 0 ,176561

c9 = 0,179 447

Diese Z a h l e n w e r t e s ind s / imt l i ch t i be rp r t i f t w o r d e n . I n T a b e l l e 1 w e r d e n die <~beobachteten ~> W e r t e ffir die K o m p o n e n t e n X, Y u n d Z

an den B e o b a c h t u n g s p u n k t e n au fge f t ih r t , d ie d u t c h I n t e r p o l a t i o n z w i s c h e n den y o n

VESTINE a n g e g e b e n e n Z a h l e n w e r t e n g e w o n n e n w o r d e n sind. T a b e l l e 2 e n t M l t die W e r t e de r sph~ t r i s ch -ha rmon i schen K o e f f i z i e n t e n ffir die dre i R e i h e n e n t w i c k l u n g e n de r F e l d g r 6 s s e n X*, Y* u n d Z. D ie W e r t e de r K o e f f i z i e n t e n g~, h i sowie die W e r t e de r K o e f f i z i e n t e n c~, s} ff ir den i n n e r e n A n t e i l a m P o t e n t i a l bzw. de r K o e f f i z i e n t e n

y}, r ffir den e n t s p r e c h e n d e n / i u s s e r e n A n t e i l w e r d e n in T a b e l l e 3 a n g e g e b e n .

4. Die Mittdwerte der Energiedichte /iir 1945,0

Als e i n f a c h e K e n n z i f f e r zu r B e s c h r e i b u n g des F e l d e s h a t s ich der M i t t e l w e r t de r E n e r g i e d i c h t e bew/ ih r t . D ie se Gr6sse h a t n a c h [121 die F o r m

2 - - - - ] Z

u = ~ ' u ~ ; u~ 8 ~ n - - 1 m = 0

m 2 g/i~/ m 2 m 2 ~ . [ ( n + l ) ( C ~ + s ~ ) + t~ + ~ . ) j ; (20)

sie i s t bis au f den F a k t o r # / 8 0z i d e n t i s c h m i t d e m q u a d r a t i s c h e n M i t t e l w e r t de r T o t a l i n t e n s i t g t T t iber d ie Erdober f i~ tche . D i e P e r m e a b i l i t X t # w i r d g l e i ch 1 ge se t z t .

14 O. Fanselau et al. (Pageoph,

In Tabelle 4 werden die Zahlenwerte der einzelnen Abschnitte ~n sowie der Wert ffir ~ selbst aufgeffihrt. Die gr6ssten Beitdige zu ~ werden danach durch die Reihenglieder n = 1 bis etwa 8 geliefert.

5. Einige Fehlerabsch~tzungen

Wie jedes numerische Ergebnis einer Bearbeitung von Beobachtungswerten sind aueh die hier angegebenen Zahlenwerte der gesuchten Koeffizienten mit Feh- lern behaftet. Diese Fehler werden durch die Unzul/inglichkeiten der numerischen Methode zur Analyse, im wesentlichen aber dutch die Fehler des Beobachtungs- materials verursacht. Korrekte Angaben fiber die Fehler der Weltkarten, aus denen die Beobachtungen entnommen worden sind, liegen nicht vor. Die Kartenwerte dfirften im Mittel mit Ungenauigkeiten von mehr als 100 r behaftet sein.

Eine ausgearbeitete Theorie ffir die Fehler bei Potentialberechnungen liegt bisher nicht vor. Ans~tze dazu sind bisher daran gescheitert, dass im Beobachtungs- material sehr grosse systematische Fehler enthalten sind. An dieser Stelle sollen lediglich drei Fehlerabsch~itzungen vorgenommen werden. Die erste betrifft die Ab- sch~itzung ffir die Fehler der sph~irisch-harmonischen Koeffizienten A}(E), B~(E), die zweite eine Absch~tzung ffir die Fehler der Koeffizienten des Potentialausdrucks und die dritte die Absch~ttzung fiber die Konsistenz der beiden horizontalen Feld- gr6ssen.

Mit Hilfe des Fehlerfortpfianzungsgesetzes erh~ilt man unter Beachtung der Orthogonalit~itsbedingungen (8) ffir den mittleren Fehler a[A}(E)] des sph~irisch- harmonischen Koeffizienten A} den Ausdruck [5, 12]

ffr_/t~(E)]--= ~: 2jq-1 { 2 N'-I i 2 }U2 #=1 v=O

(21)

wobei i, j" v~ K sein sollen und a[E(va~, ~)] den mittleren Fehler des Beobachtungs- wertes an der Stelle (0~,,).~) bedeuten soll. Wenn man in erster N~iherung voraus- setzt, dass a[E(va~, ).~)] fiir alle 0~, ,~ gleich alE? sein soll, kann man (21) in der Form

1/2s + ' (22) aEA~(E)~ = • V 2 N'

schreiben. Der entsprechende Ausdruck gilt ffir a[Bi(E)l. Demnaeh sind die mittleren Fehler ffir alle sph~irisch-harmonischen Koeffizienten gleicher Ordnung ] gleich.

Wenn man ffir den mittleren Fehler der einzelnen Beobachtungswerte 4- 100v w/ihlt, erh~lt man ffir die sph~irisch-harmonischen Koeffizienten der verschiedenen Ordnungen die mittleren Fehler:

] = 1 2 3 4 5 6 7 8

a[AI(E)~ = 4 -22 r 28 33 37 41 45 48 51 r

]---- 9 10 11 12 13 14 15 16

a[A~(E)I = =}=54 v 57 60 63 65 67 69 71 ~

Vol. 57, 1964/I) Darstellung des geomagnetischen PotentiaIs zur Epoche 1945,0 15

Diese Zahlenwerte sind wahrscheinlich als untere Grenze anzusehen, da die Fehler der Kartenwerte wahrscheinlich gr6sser und auch nicht normal verteilt sein werden.

Ffir die Fehler der Koeffizienten G ~, h$ des Potentialausdrucks kann man ebenfalls eine einfache Absch~itznng gewinnen. Wenn man die Systeme mit den Glei- chungen yon der Form (17) bzw. (18) aufl6st, erh~ilt man ffir die Koeffizienten g~ und h~ '* Ausdrficke in Form linearer Kombinat ionen der sph~trisch-harmonischen Koeffizienten A~(X*), B~:(Y*) bzw. Bi(X* ), A~(Y*). Dieser Ausdruck lautet znm Beispiel fiir gO:

gO = _ 1,490186 A~ *) + 0,009804 [A~(X*) + A~ *) + A~(X*)

+ A~ *) + A%(X*) + A%(X*) + +

Nit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes und der oben angegebenen mitt leren Fehler der Koeffizienten A i(E) erh~tlt man aus diesen Ausdr0cken sofort die mit t - leren Fehler der Koeffizienten g~, h~', ~. Es ergeben sich zum Beispiel for die Koeffi- zienten gO die mitt leren Fehler:

n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a~g~ : ~: 23 18 18 17 17 16 16 15 15 ~

n = 10 11 12 13 14 15

(~gO] : • 14 13 11 11 8 8 r

Diese Zahlenwerte ergeben sich bei Annahme eines mitt leren Fehlers von ~ 100~ in den einzelnen Stfitzwerten. Sie bilden die untere Grenze ffir die mitt leren Fehler der '~ "~

Die Konsistenz der beiden horizontalen Feldgr6ssen kann mit Hilfe der ffir das als konservatives Kraftfeld anzusehende Erdmagnetfe ld gfiltigen Bedingung

rot ~) = 0 (23}

geprfift werden. Da nur Beobachtungen 1/kngs der Erdoberfl~che herangezogen werden, kann man bekanntl ich nur die radial gerichtete Komponentengleichung von (23) verwenden, die man leicht in der bequemen Form

(X sinv ~) + sinv ~ ~ - (Y sin#) = 0 (24)

aufschreiben kann. Setzt man hier die unabh~ingigen Reihenentwicklungen der Feldgr6ssen X* und Y* nach Kngelfl~chenfunktionen ein, erh/ilt man ffir die sphS,- risch-harmonischen Koeffizienten Verknfipfungsgleichungen der Form [121

i i , "~ B~+I(Y*) = 0 (25b) -- i A}(X*) + o~ Bi_I(Y ) -- Z5

mit i = 0, 1 . . . . . ]; I -- 1, 2 . . . . . K. Die Abweichungen dieser /3eziehungen von Null sollen mit d} bzw. e} bezeichnet werden. Diese GrSssen sind die sph~risch-


harmonischen Koeffizienten einer Fehlergrbsse A, die entsprechend star t Null in Gleichung (24) stehen mfisste. Die Zahlenwerte ffir die quadratischen Mittelwerte tier einzelnen Abschnit te in der Reihenentwicklung dieser Fehlergr6sse A von der Form

werden in Tabelle 5 angegeben. Sie dienen zur bequemen Absch~itzung der Kon- sistenz der beiden horizontalen Feldgr6ssen. Tabelle 5 enth~ilt zum Vergleich auch

die entsprechenden Werte yon A-n, die man bei Annahme eines mitt leren Fehlers yon • 100 v ftir die einzelnen Beobachtungswerte erhalten wfirde.

Einen gewissen Einblick in die Zuverl~tssigkeit der Zahlenwerte ftir die Koeffi- zienten des Potentialausdrucks erh~lt man auch dadurch, dass man die Reihenaus- dehnung K des Potentialansatzes (1) verschieden w~ihlt, wobei man jedoch diesel- ben Beobachtungswerte verwendet. Bei der hier verwendeten Methode kann die Be- rechnung der noch erforderlichen Koeffizienten mit relativ geringem Aufwand erfolgen. Die sph~irisch-harmonischen Koeffizienten A}(E), Bi(E ) werden dabei bekanntl ich durch die Wahl verschiedener K < K ~ nicht ge~tndert. Bei Vorgabe der Beobachtungswerte und Gewichte ergeben sie sich endgtiltig und unabh~ingig voneinander, sie stellen dabei stets beste N~iherung im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate dar. Demnach bleiben auch die Koeffizienten a i, b} unver~indert.

Die ~nderung betrifft lediglich den Umfang der Gleichungssysteme (17) und (18). Darin kann K unabh~tngig von K r gew~thlt werden, wenn nur K <_ K ' - - 1 gew~ihrleistet ist. Die ersten Gleichungen dieses Systems kann man auch fiir die neue Wahl yon K unver~tndert fibernehmen. Demnach ergeben sich bei einer ande- ren Wahl yon K lediglich neue Koeffizienten g~, h}. Dami t werden nattirlich auch die c}, s}, y}, o} vedindert .

In Tabelle 3 werden neben den Koeffizienten des Potentialausdruckes ftir die Ausdehnung K = 15 auch die entsprechenden Koeffizienten Iiir K = 10 und ftir den tiblichen Ansatz K = 6 angegeben. Allein die L~tnge des Ansatzes (1) kann demnach die Zahlenwerte der Koeffizienten in der Potentialdarstellung relativ s tark beeinflussen.

6. Schlussbemerkungen

Die hier angegebenen endgfiltigen Zahlenwerte ftir die Koeffizienten des Poten- tials zur Epoche 1945,0 zeigen einige Abweichungen yon den in [10, 11] enthaltenen Werten. Die dortigen Schlussfolgerungen fiber die Zuverl~tssigkeit der Potential- berechnungen werden dadurch jedoch nicht ge~tndert. Man kann sie mit den hier gewonnenen Aussagen wie folgt zusammenfassen:

a) Die Abweichungen der Ergebnisse bei der hier vorgenommenen korrekten L6sung des Approximationsproblems yon den Ergebnissen [10, 11] der n~therungs- weisen Behandlung sind so gross, dass die n~therungsweise Behandlung nicht zu- l~issig ist.

b) Wenn man einen (sicher nicht zu klein gesch~itzten) mitt leren Fehler der Aus- gangswerte von ~ 100 ~ annimmt, k6nnen die sph~trisch-harmonischen Koeffizien- ten der FeldgriSssen X*, X*, Z nur bis n = 6 �9 �9 �9 8 als sinnvoll b e t rachtet werden.

Vol. 57, 1964/I) Darstel lung des geomagnet ischen Potent ia ls zur Epoche 1945,0 17

c) Bei einem mit t leren Fehler der Ausgangswer te yon • 100~' k6nnen die Koef- fizienten des Potent ia lausdrucks g$, h$ ebenfalls nur bis n = 6 �9 �9 �9 8 als sinnvoll be t rach te t werden.

d) Der Reihenansa tz ffir den Po ten t i a lausdruck muss welter als bis K = 6 ausgedehnt werden; andernfalls ist die gegenseitige Abh~ingigkeit der result ierenden Koeffizienten noch yon Bedeutung.

e) Die Koeffizienten des ~iusseren Anteils (y$, a'~,,, sind fiir a ] l en und m mit sehr wenigen Ausnahmen k]einer als ihre mit t leren Fehler bei A n n a h m e eines mit t leren Fehlers der Ausgangswer te yon :~ 100v. Der ~iussere Antei i kann demnach nicht bes t immt werden.

f) Die Nicht -Konsis tenz der beiden horizontalen Feldgr6ssen und dami t der potential lose Anteil am Feld kann vollst~indig durch einen mit t leren Fehler der Ausgangswerte yon ~ 100v erkl~irt werden.

LITERATURVERZEICHNIS

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(Folgen die Tabellen)

2 PAGEOPH 57 (1964/I)

Tabe i l e 1 a <(Beobachtete~) Werte der X-Komponente in den Netzpunkten (tgt~, ~)

(E inhe i t 107)

#/v 0 1 2 3 4 5 6 7

1 597 2' 1005 3 1346 4 1824 5 2317 6 2840 7 3149 8 3128 9 2760

10 2243 11 1755 12 1466 13 1403 14 1562 15 1615 16 1631 17 1584

614 609 583 546 476 361 274 1035 1022 978 913 824 736 645 1421 1402 1390 1352 1324 1271 1219 1881 1910 1921 1907 1895 1896 1906 2406 2429 2454 2443 2501 2550 2643 2914 2948 3013 3063 3108 3199 3314 3247 3311 3419 3491 3570 3679 3825 3261 3367 3465 3566 3668 3804 3931 2856 2968 3121 3250 3342 3526 3666 2285 2343 2437 2596 2717 2941 3104 1753 1718 1785 1874 2095 2228 2402 1370 1337 1313 1454 1582 1680 1783 1293 1238 1235 1270 1345 1381 1386 1402 1330 1327 1321 1320 1250 1148 1456 1353 1308 1308 1265 1146 973 1496 1403 1342 1198 1023 804 579 1376 1120 837 541 248 -- 75 -- 409

#Iv 8 9 10 11 12 13 14 15

1 211 202 197 216 244 260 260 243 2 590 595 611 657 743 842 914 959 3 1173 1179 1221 1285 1448 1597 1676 1734 4 1935 1970 2017 2072 2164 2242 2257 2252 5 2766 2785 2800 2807 2770 2726 2669 2556 6 3442 3488 3444 3339 3206 3080 2942 2797 7 3923 3948 3861 3703 3516 3353 3163 3012 8 4061 4104 4005 3882 3717 3553 3411 3299 9 3850 3892 3913 3867 3760 3661 3585 3498

10 3312 3446 3571 3596 3643 3599 3559 3540 11 2617 2855 3044 3189 3258 3266 3265 3248 12 1953 2150 2391 2529 2630 2696 2734 2762 13 1427 1507 1642 1799 1933 2023 2096 2198 14 1106 1057 1049 1123 1221 1294 1420 1500 15 796 683 568 472 451 492 583 710 16 262 17 -- 31 6 -- 14 -- 172 -- 211 -- 30 17 -- 650 -- 839 -- 1006 -- 1105 -- 1142 -- 1135 -- 1097 -- 991

#/V 16 17 18 19 20 21 22 23

1 214 183 136 81 24 -- 54 -- 92 -- 142 2 954 881 766 604 403 220 110 93 3 1734 1599 1437 1252 1048 862 656 520 4 2188 2077 1945 1820 1699 1521 1358 1205 5 2446 2368 2296 2287 2188 2124 2051 1924 6 2668 2591 2560 2557 2609 2641 2585 2555 7 2905 2842 2803 2800 2942 2997 3027 3022 8 3190 3157 3122 3158 3174 3218 3242 3232 9 3460 3415 3355 3312 3300 3245 3261 3264

10 3494 3445 3363 3276 3207 3146 3101 3063 11 3251 3192 3142 3100 3027 2985 2909 2841 12 2792 2802 2795 2808 2795 2749 2709 2639 13 2270 2322 2378 2462 2497 2507 2502 2446 14 1679 1790 1891 2011 2104 2159 2200 2244 15 879 1049 1237 1375 1516 1627 1778 1905 16 142 313 452 582 707 852 1040 1245 17 -- 846 -- 723 -- 501 -- 250 -- 59 168 407 674

24 25

T a b e I l e ! a ( S c h l u s s )

2 6 27 2 8 29 3 0 31

1 - - 95 - - 51 10 120 2 3 6 3 4 6 4 6 2 5 6 0

2 21 77 221 3 8 8 481 6 3 6 7 9 5 9 3 4

3 4 6 0 4 5 3 5 5 5 6 9 9 8 7 7 1 0 3 8 1 1 7 8 1 2 8 8

4 1 0 5 6 1 0 3 2 1 1 4 4 1 1 7 6 1 3 6 7 1512 1627 1 7 4 0

5 1791 1671 1 6 3 8 1 6 6 6 1 7 9 6 1 9 6 9 2 1 0 7 2 2 2 0

6 2 4 1 1 2 2 6 2 2 1 7 3 2 1 1 5 2 1 8 0 2 3 4 0 2 5 0 4 2 6 9 8

7 2 9 2 5 2 7 6 2 2 6 3 4 2 5 2 3 2 5 1 2 2 6 0 3 2 7 9 7 2 9 7 0

8 3 1 7 5 3 0 6 2 2 9 4 7 2 8 0 4 2 7 7 4 2 7 8 6 2 8 8 6 3 0 0 5

9 3 1 5 0 3 1 2 7 3 0 3 1 2 9 0 3 2 8 0 0 2 7 1 4 2 7 0 0 2 7 2 4

10 3 0 5 2 2 9 7 4 2 8 7 2 2 7 4 0 2 6 1 2 2 4 8 1 2 3 7 8 2 2 1 6

11 2 7 6 5 2 7 1 6 2 6 3 2 2 4 9 2 2 3 4 6 2 1 4 5 1 9 8 8 1 8 2 3

12 2 5 5 3 2 4 9 6 2 4 1 6 2 2 8 5 2 1 1 8 1 9 2 2 1 7 6 4 1 6 1 6

13 2 3 8 8 2 3 8 3 2 3 5 4 2 2 5 1 2 0 7 9 1 9 1 4 1 7 2 9 1 5 5 6

14 2 3 2 2 2 3 6 2 2 3 9 0 2 3 4 2 2 2 3 7 2 0 6 6 1 8 8 0 1714

15 2 0 6 5 2 2 0 3 2 3 2 3 2 3 6 4 2 3 1 7 2 1 8 6 1 9 9 9 1 8 1 6

16 1 4 6 6 1 6 3 8 1 8 0 0 2 0 1 6 2 1 3 6 2 1 5 7 2 0 4 5 1 8 5 0

17 9 5 5 1 1 9 8 1 4 0 0 1 5 7 2 1 6 8 5 1 7 5 9 1 7 7 6 1 7 2 0

ff/v

(~Beobachtete ~) Werte der

0 1 2

T a b e l I e 1 b

Y-Komponente in den Net@unkten ( E i n h e i t 10~)

3 4 5

(#~, ~)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

- - 172

- - 2 2 7

- - 2 7 9

- - 3 1 2

-- 3 4 8

4 0 2

- - 4 7 5

5 8 8

- - 7 0 0

7 9 2

8 1 9

- - 7 8 9

7 4 5

- - 7 2 6

711

- - 8 7 9

- - 9 5 3

8

9 7

- - 9 8

132

- - 140

- - 1 6 5

- - 2 1 5

- - 2 7 3

- - 351

451

- - 5 9 0

- - 6 5 4

- - 6 6 6

- - 6 8 8

- - 7 0 0

- - 7 8 6

- - 1 0 9 5

- - 1 2 6 0

3 9 9 160 2 2 5

31 150 2 9 7 3 4 8

4 6 2 0 6 291 3 7 4

24 154 2 8 5 3 1 2

0 121 2 0 8 251

- - 4 4 75 148 155

- - 102 12 73 5 8

- - 172 - - 5 6 3 - - 22

- - 2 7 9 - - 163 7 0 - - 152

- - 4 0 3 - - 2 4 0 - - 195 - - 3 2 6

- - 4 8 3 - - 3 4 3 - - 3 5 7 - - 5 2 9

- - 5 3 0 4 2 5 - - 5 0 3 7 1 0

- - 5 7 7 - - 5 7 7 - - 6 7 6 - - 871

- - 6 8 0 - - 7 1 8 - - 8 6 6 - - 1091

-- 8 8 8 - - 1 0 6 0 1264 - - 1 3 9 6

-- 1292 - - 1 5 3 6 -- 1 6 7 8 - - 1 7 1 6

- - 1 4 9 9 - - 1 6 5 5 - - 1 7 2 6 1 7 4 0

9 10 11 12 13

u

m

3 1 0

3 7 6

3 8 9

3 3 7

2 3 0

108

18

157

3 1 9

4 8 4

6 9 7

8 8 5

1 0 6 8

1254

1474

1 6 4 7

1 7 0 5

14

3 1 8

3 5 2

3 6 3

3 1 0

162

32

106

- - 2 0 6

- - 3 6 3

- - 5 1 6

7 2 7

- - 9 5 4

- - 1 1 2 3

1 2 9 6

- - 1 4 5 2

- - 1624

- - 1 6 0 0

15

1 2 7 9 2 1 4 167 151

2 2 6 0 160 41 - - 113

3 2 5 7 9 0 - - 9 8 - - 2 9 6

4 2 7 5 2 - - 188 - - 3 7 6

5 6 8 - - 6 8 - - 2 2 8 - - 3 4 2

6 - - 32 - - 7 7 156 - - 2 1 5

7 - - 117 - - 64 25 - - 47

8 - - 157 8 9 0 126

9 - - 2 2 0 2 6 142 196

10 - - 3 3 6 5 0 124 201

11 - - 5 8 3 - - 2 3 6 2 146

12 - - 7 9 4 - - 5 1 0 - - 2 1 0 49

13 - - 1 0 2 8 - - 7 6 9 - - 4 6 5 - - 120

14 - - 1158 - - 9 7 3 - - 6 5 7 2 8 5

15 - - 1 2 7 8 -- 1142 -- 8 0 4 - - 3 1 2

16 - - 1 3 7 5 - - 1107 - - 7 1 9 - - 4 2 6

17 - - 1 3 4 0 - - 1 0 9 6 - - 9 0 4 - - 6 8 6

132 120

- - 159 147

- - 3 2 6 - - 3 1 5

- - 4 3 5 - - 3 6 4

- - 3 9 6 - - 3 1 4

- - 2 5 5 - - 180

72 2

95 156

2 2 0 2 8 8

2 6 0 3 3 0

2 6 0 3 7 6

2 2 4 3 8 6

124 3 5 5

- - 18 2 4 5

- - 70 151

- - 2 5 6 - - 82

- - 3 7 7 - - 54

122

84

2 0 6

2 0 5

113

3 2

168

3 3 5

4 0 4

4 5 8

4 9 7

5 4 7

521

471

4 2 0

168

2 3 6

136

3 0

4

3 8

131

2 6 8

3 7 8

4 4 5

5 6 0

561

6 3 0

6 7 4

6 7 9

701

6 9 0

4 1 6

5 3 4

16 17

T a b e l t e l b (Schtuss)

18 19 20 21 22 2 3

1 160 177

2 172 3 0 2

3 198 4 2 7

4 2 8 6 5 1 6

5 3 9 4 5 5 5

6 4 5 2 5 4 8

7 4 9 9 5 5 9

8 5 3 9 5 5 0

9 5 8 0 5 3 8

10 6 3 2 6 1 8

11 6 9 2 7 1 3

12 7 2 4 7 8 6

13 771 8 3 7

14 784 8 8 7

15 7 7 6 8 7 6

16 691 8 0 6

17 761 9 6 7

# / ~ 24 25

182 172 137 103 35 - - 65

3 8 7 4 4 0 4 1 6 3 2 2 181 19

581 6 8 8 6 4 4 6 1 8 4 1 4 151

641 7 6 0 8 1 6 7 4 7 5 7 3 2 9 8

6 9 2 7 7 7 7 8 5 7 6 8 6 3 5 4 3 2

6 2 6 6 9 5 731 7 0 9 6 0 3 5 0 0

5 5 0 5 9 4 6 2 5 6 2 6 5 9 2 5 1 8

5 0 9 5 0 3 561 5 6 2 571 5 6 3

5 2 9 5 5 6 5 2 0 5 1 6 5 6 4 605

6 1 2 5 9 7 5 8 3 5 8 3 5 8 5 6 1 2

7 0 2 7 0 8 6 9 7 6 7 0 661 675

8 0 5 8 0 5 8 0 0 7 7 8 7 9 6 8 1 9

8 6 8 9 0 2 8 9 4 9 0 0 934 9 8 2

9 5 3 9 9 3 1 0 5 5 1 0 8 8 1104 1 1 4 6

9 3 7 1 0 2 8 1107 1 2 0 6 1 2 8 3 1 3 0 8

9 3 9 1 0 8 5 1 2 3 2 1329 1 4 7 6 1544

1 1 0 0 1267 1 3 1 0 1505 1 5 3 8 1 4 9 7

2 6 27 28 29 3 0 31

-- 345 411 -- 432 396 344 -- 2 4 7

-- 496 -- 637 -- 592 -- 604 -- 520 -- 331

- - 551 - - 6 7 5 - - 7 2 7 - - 6 9 0 - - 5 9 9 - - 4 3 6

- - 6 1 4 - - 7 3 2 - - 7 9 8 - - 771 - - 6 2 3 - - 4 8 0

- - 5 2 6 - - 7 2 8 - - 8 2 4 - - 7 9 8 - - 6 8 2 - - 5 1 7

- - 4 1 8 - - 7 0 2 - - 8 5 0 - - 8 5 3 7 7 6 -- 6 1 9

- - 2 8 6 - - 6 2 6 - - 8 5 2 - - 9 5 5 - - 9 0 8 - - 697

- - 146 - - 547 - - 8 4 0 - - I 0 3 5 1 0 4 2 -- 8 5 3

- - 32 4 4 9 - - 7 8 0 - - 1011 - - 1 0 7 9 - - 954

5 8 - - 3 4 9 - - 707 - - 9 1 5 - - 1 0 1 8 -- 9 4 2

185 - - 2 0 0 -- 571 - - 7 7 6 - - 8 9 9 - - 8 9 8

3 0 8 8 2 - - 4 0 8 - - 6 3 7 - - 7 7 0 - - 821

4 7 2 74 -- 2 5 3 - - 5 0 0 6 6 0 - - 7 6 6

6 2 0 2 5 8 - - 8 3 3 5 3 - - 5 5 7 - - 6 7 5

7 5 9 4 5 6 114 - - 146 - - 391 - - 5 9 9

8 9 8 6 6 3 3 3 3 31 - - 2 6 6 - - 6 0 9

9 2 2 6 6 4 3 8 0 8 8 - - 2 6 4 - - 6 2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

I 0

11

12

13

14

15

16

17

- - 1 7 4

- - 1 4 6

- - 1 2 8

- - 7

116

2 6 6

3 7 5

4 6 8

5 2 0

6 0 0

6 5 7

7 6 4

9 2 8

1 1 0 0

1 2 0 9

1 3 7 3

1 3 6 3

2 6 9

3 0 7

3 8 8

3 1 4

2 3 8

51

87

241

3 1 8

4 0 4

4 9 2

6 3 0

7 5 9

8 9 8

1021

1115

1 1 6 0

~/~

T a b e l l e 1 c

~(Beobachtete ~ Werte der Z-Komponente in den Netzpunkten (Om ~v) ( E i n h e i t 10v)

t 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

5 2 4 2

5 0 8 2

4 7 5 8

4 3 4 4

3 7 1 7

2 8 0 7

1 5 5 0

122

- - 1 1 3 0

- - 1911

-- 2 3 0 2

- - 2 4 8 9

- - 2 6 5 5

- - 2 9 9 3

- - 3 4 8 0

- - 4 4 8 3

- - 5 3 7 4

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5 0 9 9 5 1 3 3 5 1 9 5 5 2 5 4 5 4 2 3 5 5 6 8 5 7 0 6

4 7 6 6 4 8 1 2 4 9 1 3 5 0 5 5 5 3 2 1 5 4 0 7 5 6 7 3

4 3 3 9 4 4 1 5 4 4 9 8 4 6 4 6 4 9 1 1 5 1 4 0 5 3 2 9

3 7 0 2 3 7 2 4 3 8 4 9 4 1 3 0 4 2 7 4 4 4 9 8 4 6 6 2

2 7 6 9 2 8 0 9 2 9 5 1 3 1 3 9 3 3 0 1 3 4 4 6 3 5 0 4

1 4 9 9 1465 1617 1 7 8 2 1 8 8 5 2 0 4 6 1977

20 2 2 16 198 3 8 8 4 2 8 2 7 6

1 3 0 6 - - 1 4 0 6 -- 1 3 8 8 - - 1 2 4 0 - - 1131 - - 1 1 1 8 - - 1 3 8 6

2 2 1 0 - - 2 3 7 5 - - 2 4 0 3 - - 2 3 5 5 -- 2 3 2 0 - - 2 3 7 1 - - 2 8 0 1

2 6 2 1 - - 2 8 2 7 - - 2 8 9 4 -- 2 9 1 8 - - 3 0 0 6 - - 3 2 5 4 - - 3 6 4 7

2 7 5 l - - 2 9 0 0 - - 3 0 0 9 -- 3 0 3 9 - - 3 1 9 2 - - 3 5 5 7 -- 4 1 4 9

2 8 6 3 - - 2 9 8 6 -- 3 1 4 2 -- 3 3 2 3 -- 3 4 7 2 - - 3 8 4 3 -- 4 3 6 6

3134 --3254 --3353 --3493 -- 3695 -- 4118 -- 4636

3 6 1 0 - - 3 7 8 4 - - 4 0 4 2 - - 4 3 1 5 - - 4 5 9 1 - - 4 8 6 4 -- 5 1 6 8

4 6 2 1 - - 4 4 7 2 -- 4 9 5 8 -- 5 1 4 3 - - 5 3 5 3 - - 5 5 7 0 -- 5 7 9 2

5 4 4 1 - - 5 5 2 2 5 6 1 2 -- 5 7 2 4 - - 5 8 2 9 - - 5 9 5 4 -- 6 0 5 9

T a b e l l e 1 c ( S c h l u s s )

fl/v 8 9 10 11 12 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

5 6 8 9

5 8 4 0

5 8 7 7

5 5 2 9

4 7 7 7

3 5 4 6

1 9 4 7

2 1 8

- - 1 5 3 0

- - 3 0 4 3

- - 4 0 8 5

- - 4 7 0 8

- - 5 0 5 0

- - 5 1 9 0

- - 5 5 9 7

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- - 6 1 6 8

5 6 8 3

6 0 5 4

5 9 9 7

5 6 1 0

4 8 1 7

3 5 5 0

1 9 3 1

171

- - 1 5 1 3

- - 3 0 3 0

- - 4 2 6 3

- - 5 1 3 8

- - 5 5 4 2

- - 5 8 0 8

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5 7 2 2

6 0 8 7

6 0 2 8

5 5 9 3

4 7 2 3

3 4 7 6

1 9 4 8

3 1 9

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- - 5 8 3 0

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5 7 3 9 5 7 5 1 5 7 5 9

6 0 1 6 5 8 3 9 5 7 7 1

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5 2 0 9 - - 5 1 4 3 - - 4 9 9 3

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6 6 9 4 - - 6 8 3 0 - - 6 9 1 9

6 4 7 0 - - 6 5 1 8 - - 6 5 3 1

m

m

5 7 5 0

5 7 0 4

5 2 7 2

4 5 1 2

3 5 3 6

2 5 7 5

1 5 8 4

5 2 3

7 3 8

2 1 9 9

3 5 8 8

4 8 0 5

5 7 2 1

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6 8 6 6

6 8 9 6

6 5 2 3

5 7 3 6

5 6 1 0

5 1 5 5

4 3 4 0

3 4 1 2

2 5 2 9

1 6 4 7

7 0 2

- - 4 8 2

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- - 4 5 6 4

- - 5 4 6 6

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- - 6 7 7 6

- - 6 8 1 7

- - 6 5 0 3

# / v 16 17 18 19 2 0 21 2 2 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

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5 5 6 6

5 2 0 7

4 3 1 4

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1 8 0 4

8 7 2

- - 3 2 0

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- - 4 2 7 2

- - 5 1 6 2

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- - 6 4 7 2

5 7 3 2

5 5 7 9

5 1 6 5

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3 5 9 8

2 7 9 6

2 0 0 7

1 0 2 4

- - 1 0 4

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- - 2 8 2 8

- - 3 9 8 8

- - 4 8 5 9

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5 7 3 6

5 6 1 3

5 2 7 6

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3 8 4 4

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5 2

- - 1 2 4 0

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5 6 8 7

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4 5 2 9

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7 1 6

- - 4 1 6

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- - 2 3 1 4

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- - 5 1 8 9

- - 5 7 1 6

#Iv 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0 31

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

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6 0 1 4

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- - 4 9 2

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5 5 1 0

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1 0 7 0

91

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5 2 0 1

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5 2 3 3

5 0 7 5

4 7 6 7

4 3 7 4

3 7 9 2

2 8 7 6

1 7 1 1

4 0 9

- - 7 2 3

- - 1 4 7 5

- - 1 8 8 8

- - 2 1 5 2

- - 2 3 8 6

- - 2 7 6 2

- - 3 3 8 3

- - 4 3 7 8

- - 5 3 3 6

22 G. F a n s e l a u e t al . ( P a g e o p h ,

T a b e l l e 2

Sphdrisch-harmonische Koeffizienten in den Reihenentwicklungen der drei Feldgrdssen X sin zg, Y s in t~ und Z

( E i n h e i t 107)

X * = X s i n O Y* = Y s i n v ~ Z

0 0 2 0 3 5 , 6 3 0 ,56 3,11

1 0 150,10 1,73 6120 ,72 1 - - 313 ,26 170 ,89 - - 5 8 3 , 5 6 - - 2 3 0 , 4 2 454 ,87 - - 1 1 5 8 , 0 7

2 0 - - 2 2 3 6 , 3 6 - - 5 ,45 358 ,74

1 164,91 416 ,05 166 ,66 295 ,82 - - 885 ,64 515 ,02 2 - - 158,80 - - 33 ,69 - - 89 ,40 323 ,01 - - 495 ,66 - - 144,67

3 0 - - 355 ,73 3,37 - - 436 ,84 1 167,33 - - 2 2 3 , 9 9 53 ,40 - - 175,02 701 ,37 192,54

2 30 ,77 102,35 - - 32 ,97 241 ,46 - - 482 ,13 - - 78 ,57

3 62 ,68 7,81 - - 0 ,33 281 ,66 - - 360 ,43 -- 2 ,68 4 0 265 ,25 - - 6 ,16 - - 503,21

1 -- 370,71 - - 80 ,26 10,26 76 ,96 - - 375 ,73 - - 56 ,14 2 135,95 3,47 60 ,95 108,74 -- 292 ,16 151,20 3 104,73 11,43 19,83 - - 1 1 5 , 4 8 215 ,62 49,91

4 25 ,90 17,99 51 ,72 121,21 - - 148,02 60 ,77 5 0 188,22 7,41 182,18

1 143,93 37,51 - - 7 ,45 30,01 - - 218 ,90 - - 10,98

2 120,61 - - 87 ,24 - - 16,30 40 ,27 - - 80 ,97 - - 50 ,89 3 9,41 - - 12,80 6 ,45 - - 17,28 31 ,53 2 ,22 4 47 ,63 - - 16,77 57 ,08 -- 58 ,35 82 ,90 78 ,08

5 - - 9 ,38 - - 0 ,67 - - 50 ,29 - - 37 ,48 68 ,82 - - 57 ,34 6 0 - - 106,97 0 ,33 -- 81 ,12

1 96 ,77 -- 5 ,02 11,92 13,07 - - 28 ,20 38 ,82

2 35 ,99 23 ,63 - - 31 ,00 - - 3 ,94 - - 36 ,16 - - 93 ,03 3 - - 19,05 - - 9 ,57 2 ,33 - - 75 ,99 161,83 22 ,77

4 - - 19,57 - - 27 ,85 -- 2,41 - - 14,30 19,45 3 ,39 5 - - 8,41 8 ,22 8 ,22 16,50 - - 24 ,33 - - 1,15

6 0 ,73 6,02 16,39 -- 61 ,23 66 ,57 18,95

7 0 27 ,69 - - 2 ,60 - - 61 ,15 1 11,99 15,82 - - 2 ,85 - - 10,96 12,09 - - 24,91 2 10,63 38 ,08 6,53 11,59 11,92 14,09 3 - - 69 ,64 - - 17,24 1,97 8,37 - - 33 ,46 - - 18,62 4 8 ,15 2 ,56 2 ,09 - - 11,80 7 ,46 6 ,95

5 4 ,50 - - 0 ,94 - - 13,11 - - 12,73 37 ,06 - - 18,31 6 - - 15,51 - - 8 ,73 17,27 18,12 - - 16,97 11,17 7 0 ,08 - - 3 ,50 14,18 24 ,98 - - 13,34 36 ,63

8 0 22 ,17 3,55 8,14 1 - - 10,38 - - 8,01 3 ,32 3 ,62 11,67 45 ,38

2 - - 5 ,20 - - 11,88 - - 1,26 - - 18,06 - - 7,41 1,01 3 11,09 11,52 - - 3 ,08 - - 0 ,78 11,27 3 ,66 4 - - 16,22 0 ,09 6,62 2,51 7,51 5,65 5 - - 7 ,79 6,27 - - 8 ,75 7 ,26 - - 22 ,29 - - 12,39 6 11,73 - - 3 ,66 - - 8,71 - - 7 ,57 10,82 - - 6 ,23 7 3,81 - - 9 ,05 - - 1,23 11,04 5,99 0 ,76 8 1,29 3,92 11,11 9 ,83 - - 19,35 7 ,24

9 0 5,85 - - 1,04 - - 19,13 1 - - 0 ,02 - - 7 ,39 - - 1,02 - - 0 ,13 - - 24 ,86 - - 11,66 2 1,02 9 ,02 4,11 11,76 0 ,49 15,13 3 - - 5 ,06 - - 1,79 7 ,84 - - 6 ,75 57 ,76 5 ,58 4 0 ,40 - - 1,75 3 ,03 - - 1,26 - - 21 ,93 - - 3,41

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I 1

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0"~ 8

24 G . F a n s e l a u e t a I . ( P a g e o p h ,

T a b e l l e 2 ( F o r t s e t z u n g )

X * = X s i n v ~ Y * = Y s i n ~ Z

13 11 1 ,11 1 , 3 9 4 , 5 2 0 , 6 8 - - 2 0 , 4 6 - - 2 , 4 1

12 - - 2 , 1 8 - - 2 , 9 7 0 , 1 6 - - 0 , 5 5 0 , 1 6 2 , 1 6

13 - - 3 , 8 5 8 , 7 6 - - 3 , 1 7 - - 5 , 1 8 - - 3 2 , 6 6 1 1 , 3 0

14 0 - - 5 , 3 5 1 , 5 8 - - 5 , 0 0

1 - - 3 , 8 6 5 , 6 2 - - 0 , 2 4 - - 2 , 2 7 - - 2 4 , 9 9 1 1 , 8 5

2 5 , 5 2 0 , 6 2 - - 1 ,05 0 , 2 5 - - 1 6 , 2 9 2 4 , 9 6

3 0 , 0 7 0 , 2 6 - - 0 , 1 1 2 , 0 6 1 5 , 2 5 9 , 8 7

4 - - 0 , 8 7 - - 2 , 5 7 3 , 6 9 - - 0 , 7 9 1 4 , 8 3 2 1 , 0 0

5 2 , 5 5 5 , 4 0 3 , 4 5 2 , 9 7 - - 1 5 , 0 6 1 3 , 0 6

6 8 , 1 2 - - 5 , 3 0 - - 1 ,03 - - 4 , 9 3 3 , 7 6 - - 1 , 7 6

7 - - 4 , 0 1 - - 3 , 4 1 3 , 1 8 - - 2 , 6 5 2 , 2 3 7 , 5 1

8 2 , 5 6 6 , 2 8 1 , 4 3 - - 0 , 7 2 1 ,94 3 , 5 7

9 - - 1 , 9 3 4 , 9 3 0 , 3 9 1 ,71 - - 1 3 , 7 4 5 , 4 8

10 3 , 4 0 1 , 0 4 0 , 2 7 8 , 5 8 - - 9 , 4 8 - - 8 , 4 2

11 6 , 3 5 6 , 7 8 - - 0 , 6 2 6 , 5 5 9 , 0 2 6 , 6 9

12 3 , 2 7 - - 4 , 2 6 - - 0 , 1 8 1 , 6 4 0 , 1 0 - - 0 , 3 5

13 - - 3 , 2 6 - - 1 , 0 3 1 ,31 2 , 1 4 - - 1 8 , 1 4 9 , 8 9

14 - - 3 , 6 6 2 , 3 6 3 , 7 7 - - 1 , 6 9 - - 1 0 , 3 4 - - 1 , 6 7

15 0 2 , 2 7 1 , 4 4 8 , 3 5

1 0 , 5 2 - - 9 , 2 7 - - 0 , 3 0 4 , 5 1 1 3 , 7 8 7 , 7 5

2 - - 0 , 8 8 1 ,31 - - 1 , 1 7 - - 4 , 0 7 7 , 5 3 - - 17 ,41

3 1 , 5 0 3 , 9 9 1 ,57 - - 3 , 8 9 8 , 3 1 6 , 2 1

4 9 , 2 2 - - 0 , 1 0 - - 0 , 0 7 - - 0 , 3 3 - - 1 2 , 7 6 - - 1 2 , 9 5

5 0 , 3 1 - - 3 , 3 2 0 , 6 3 - - 3 , 6 8 - - 1 2 , 9 2 - - 9 , 7 4

6 1 , 2 9 - - 0 , 1 5 - - 1 , 8 0 1 ,24 2 , 6 3 - - 7 , 8 3

7 4 , 3 7 - - 5 , 8 0 - - 1 , 0 3 4 , 5 4 2 , 4 8 1 , 9 3

8 - - 0 , 6 8 - - 0 , 3 9 - - 0 , 3 1 2 , 2 5 - - 9 , 4 9 3 , 2 4

9 - - 2 , 3 9 3 , 7 7 2 , 6 4 - - 1 2 , 6 5 - - 9 , 9 8 - 5 , 0 7

10 - - 0 , 9 8 - - 4 , 8 3 1 , 9 4 4 , 2 1 - - 4 , 7 3 1 2 , 9 5

11 - - 0 , 5 8 - - 1 0 , 7 1 1 ,54 - - 1 , 9 6 0 , 0 8 1 ,02

12 2 , 2 6 - - 0 , 3 3 4 , 6 0 - - 2 , 3 8 0 , 1 4 9 , 5 0

13 0 , 4 7 0 , 9 7 0 , 1 2 - - 1 , 1 9 - - 3 7 , 3 4 8 , 3 5

14 - - 1 ,10 - - 3 , 7 0 1 ,13 2 , 1 2 - - 7 , 1 9 - - 0 , 1 5

15 4 , 6 5 - - 4 , 4 1 - - 0 , 0 6 - - 1 , 7 8 2 , 1 3 - - 5 , 2 9

16 0 - - 3 , 9 5 - - 1 ,81 - - 1 2 , 3 3

1 - - 4 , 5 2 7 , 1 7 - - 0 , 0 3 - - 2 , 7 1 - - 1 7 , 3 7 - - 4 , 5 7

2 9 , 0 5 - - 1 , 6 0 - - 7 , 2 6 5 , 0 4 - - 7 , 2 1 7 , 0 5

3 - - 0 , 6 4 - - 1 , 5 3 - - 2 , 1 4 4 , 0 8 1 9 , 4 8 7 , 0 8

4 - - 6 , 8 5 1 , 7 2 0 , 2 6 0 , 7 9 - - 18 ,21 1 0 , 9 7

5 0 , 4 5 - - 2 , 0 2 1 ,85 0 , 2 3 0 , 4 0 6 , 9 3

6 - - 5 , 3 2 1 , 3 6 0 , 6 0 - - 1 ,65 8 , 0 6 8 , 7 5

7 - - 1 , 7 0 0 , 1 0 0 , 9 8 0 , 9 3 1 0 , 0 8 0 , 2 7

8 2 , 6 8 - - 1 ,65 2 , 6 9 - - 4 , 7 9 7 , 9 1 - - 2 , 8 9

9 - - 0 , 3 3 - - 2 , 0 0 1 , 4 6 5 , 3 8 5 , 9 1 1 ,14

10 1 , 2 9 - - 4 , 2 5 - - 6 , 5 5 - - 8 , 1 1 1 , 3 2 - - 0 , 7 5

11 - - 2 , 2 9 - - 6 , 7 9 - - 1 , 1 0 0 , 4 8 4 , 0 8 0 , 7 7

12 - - 0 , 9 7 - - 1 , 5 9 - - 0 , 2 0 - - 0 , 7 6 4 , 3 6 7 , 3 1

13 5 , 5 1 3 , 4 8 - - 2 , 6 8 - - 3 , 5 7 - - 2 2 , 0 2 - - 6 , 8 4

14 1 , 8 8 6 , 2 5 - - 1 , 8 6 - - 1 ,81 1 2 , 0 3 3 , 7 5

15 0 , 7 6 5 , 0 9 2 , 2 6 5 , 3 9 5 , 0 3 0 , 4 1

16 5 , 1 0 - - 2 , 6 6 7 , 0 0

V o l . 5 7 , 1 9 6 4 / I ) D a r s t e l l u n g d e s g e o m a g n e t i s c h e n P o t e n t i a l s z u r E p o c h e 1 9 4 5 , 0 2 5

T a b e l l e 3

Zahlenwerte der Koeff izienten des Potentialausdrucks g~,,m h~,m" cn sum und 7~n n, (y,~.m E i n h e i t 10~ = 10 -~ O e r s t e d

A m P l a t z d e s j e w e i l i g e n K o e f f i z i e n t e n s t e h t i n d e r e r s t e n Z e i l e d e r r e s u l t i e r e n d e Z a h l e n w e r t f f i r

d e n A n s a t z b i s K = 15 , i n d e r z w e i t e n d e r Z a h l e n w e r t f i i r K - - 1 0 u n d i n d e r d r i t t e n d e r W e f t

~i i r K = 6

1 0 - - 3 0 5 3 , 6 1 - - - - 3 0 5 8 , 1 1 4 , 5 0 - -

- - 3 0 5 3 , 6 8 - - - - 3 0 5 8 , 1 3 - - 4 , 4 5 - -

- - 3 0 5 5 , 7 0 - - - - 3 0 5 8 , 8 1 - - 3 , 1 1 - -

1 - - 2 2 9 , 1 4 5 8 3 , 3 8 - - 2 2 8 , 0 0 5 8 0 , 4 8 - - 1 , 1 4 2 , 9 0

- - 2 2 8 , 8 7 5 8 3 , 1 1 - - 2 2 7 , 9 1 5 8 0 , 3 9 - - 0 , 9 6 2 , 7 2

- - 2 2 7 , 9 8 5 8 3 , 1 2 - - 2 2 7 , 6 2 5 8 0 , 4 0 - - 0 , 3 6 2 , 7 2

2 0 - - 1 2 4 , 7 5 - - - - 1 2 1 , 6 5 - - - - 3 , 1 0 - -

- - 1 2 4 , 7 3 - - 1 2 1 , 6 4 - - - - 3 , 0 9 - -

- - 1 2 4 , 3 7 - - - - 1 2 1 , 5 0 - - - - 2 , 8 7 - -

1 2 9 9 , 2 0 - - 1 6 6 , 1 6 2 9 6 , 8 1 - - 1 6 9 , 4 7 2 , 3 9 3 , 3 1

2 9 9 , 0 6 - - 1 6 5 , 9 2 2 9 6 , 7 5 - - 1 6 9 , 3 7 2 , 3 1 3 , 4 5

2 9 8 , 4 9 - - 1 6 5 , 1 5 2 9 6 , 5 2 - - 1 6 9 , 0 6 1 , 9 7 3 , 9 1

2 1 6 0 , 7 8 4 5 , 3 8 1 6 3 , 4 4 4 7 , 0 9 - - 2 , 6 6 - - 1 , 7 1

1 6 0 , 8 4 4 5 , 3 8 1 6 3 , 4 7 4 7 , 0 9 - - 2 , 6 3 - - 1 , 7 1

1 6 1 , 1 3 4 5 , 3 7 1 6 3 , 5 8 4 7 , 0 8 - - 2 , 4 5 - - 1 , 7 1

3 0 1 1 6 , 6 5 - - 1 1 2 , 4 0 - - 4 , 2 5 - -

1 1 6 , 5 0 - - 1 1 2 , 3 3 4 , 1 7

1 1 1 , 7 8 - - 1 1 0 , 3 1 - - 1 , 4 7 - -

1 - - 1 8 1 , 6 0 - - 4 9 , 3 6 - - 1 7 8 , 0 2 - - 4 8 , 6 6 - - 3 , 5 8 - - 0 , 7 0

- - 1 8 1 , 0 2 - - 4 9 , 9 3 - - 1 7 7 , 7 8 - - 4 8 , 9 0 - - 3 , 2 4 - - 1 , 0 3

- - 1 7 9 , 1 0 - - 4 9 , 9 0 - - 1 7 6 , 9 5 - - 4 8 , 8 9 - - 2 , 1 5 - - 1 , 0 1

2 1 2 2 , 4 9 1 9 , 3 5 1 2 1 , 3 7 1 9 , 5 2 1 , 1 2 - - 0 , 1 7

1 2 2 , 3 1 1 9 , 3 8 1 2 1 , 2 9 1 9 , 5 3 1 , 0 2 - - 0 , 1 5

1 2 1 , 6 8 1 9 , 6 8 1 2 1 , 0 2 t 9 , 6 6 0 , 6 6 0 , 0 3

3 9 3 , 0 5 0 , 4 6 9 1 , 3 7 0 , 5 8 1 , 6 8 - - 0 , 1 2

9 3 , 0 4 0 , 5 1 9 1 , 3 6 0 , 6 0 1 , 6 8 - - 0 , 0 9

9 2 , 8 6 0 , 4 4 9 1 , 2 9 0 , 5 7 1 , 5 7 - - 0 , 1 3

4 0 9 3 , 1 4 9 7 , 3 1 - - - - 4 , 1 7 - -

9 3 , 1 7 - - 9 7 , 3 2 - - - - 4 , 1 5 - -

9 3 , 8 2 - - 9 7 , 6 1 - - - - 3 , 7 9 - -

1 7 9 , 1 8 1 5 , 2 4 7 6 , 9 4 1 3 , 0 1 2 , 2 4 2 , 2 3

7 8 , 8 8 1 5 , 7 5 7 6 , 8 1 1 3 , 2 4 2 , 0 7 2 , 5 1

7 7 , 6 8 1 7 , 4 1 7 6 , 2 7 1 3 , 9 8 1 , 4 1 3 , 4 3

2 5 6 , 3 8 - - 2 9 , 8 6 5 7 , 5 2 - - 3 0 , 0 7 - - 1 , 1 4 0 , 2 1

5 6 , 6 1 - - 2 9 , 8 9 5 7 , 6 2 - - 3 0 , 0 8 - - 1 , 0 1 0 , 1 9

5 7 , 6 6 - - 2 9 , 9 2 5 8 , 0 9 - - 3 0 , 1 0 - - 0 , 4 3 0 , 1 8

3 - - 3 8 , 9 1 - - 6 , 7 2 - - 4 1 , 2 5 - - 8 , 5 3 2 , 3 4 1 , 8 1

- - 3 8 , 9 2 - - 6 , 8 0 - - 4 1 , 2 6 - - 8 , 5 7 2 , 3 4 1 , 7 7

- - 3 8 , 7 4 - - 7 , 0 1 - - 4 1 , 1 8 - - 8 , 6 6 2 , 4 4 1 , 6 5

4 3 0 , 2 8 - - 1 2 , 8 8 2 9 , 9 0 - - 1 2 , 4 8 0 , 3 8 - - 0 , 4 0

3 0 , 2 8 - - 1 2 , 8 8 2 9 , 9 0 - - 1 2 , 4 8 0 , 3 8 - - 0 , 4 0

3 0 , 2 5 - - 1 2 , 8 2 2 9 , 8 9 - - 1 2 , 4 5 0 , 3 6 - - 0 , 3 7

5 0 - - 2 4 , 3 4 - - - - 2 7 , 6 3 - - 3 , 2 9 - -

- - 2 4 , 5 8 - - - - 2 7 , 7 3 - - 3 , 1 5 - -

- - 3 2 , 0 0 - - - - 3 1 , 1 1 - - - - 0 , 8 9 - -

2 6 G . F a n s e l a u e t a l . ( P a g e o p h ,


n m g ~ h ~ c~ s~ ~ a .

5 1 2 6 , 4 4 0 , 2 0 3 1 , 9 2 1 , 0 9 - - 5 , 4 8 - - 0 , 8 9

2 7 , 4 8 - - 0 , 8 3 3 2 , 3 9 0 , 6 2 - - 4 , 9 1 - - 1 , 4 5

3 0 , 9 2 - - 0 , 7 8 3 3 , 9 5 0 , 6 4 - - 3 , 0 3 - - 1 , 4 2

2 1 9 , 3 8 8 , 5 1 1 6 , 1 7 8 , 4 9 3 , 2 1 0 , 0 2

1 8 , 8 8 8 , 6 1 1 5 , 9 4 8 , 5 4 2 , 9 4 0 , 0 7

1 7 , 1 4 9 , 4 4 1 5 , 1 5 8 , 9 2 1 , 9 9 0 , 5 2

3 - - 3 , 5 5 - - 3 , 3 4 - - 4 , 4 8 - - 1 , 7 2 0 , 9 3 - - 1 , 6 2

- - 3 , 6 1 - - 3 , 1 2 - - 4 , 5 1 - - 1 , 6 2 0 , 9 0 - - 1 , 5 0

- - 4 , 5 2 - - 3 , 4 6 - - 4 , 9 2 - - 1 , 7 7 0 , 4 0 - - 1 , 6 9

4 - - 1 4 , 8 1 - - 1 3 , 7 6 - - 1 4 , 2 7 - - 1 3 , 3 5 - - 0 , 5 4 - - 0 , 4 1

- - 1 4 , 8 0 - - 1 3 , 7 6 - - 1 4 , 2 6 - - 1 3 , 3 5 - - 0 , 5 4 - - 0 , 4 1

- - 1 4 , 0 0 - - 1 3 , 7 1 - - 1 3 , 9 0 - - 1 3 , 3 3 - - 0 , 1 0 - - 0 , 3 8

5 - - 7 , 6 2 1 0 , 0 7 - - 9 , 7 2 9 , 7 9 2 , 1 0 0 , 2 8

- - 7 , 6 2 1 0 , 0 7 - - 9 , 7 2 9 , 7 9 2 , 1 0 0 , 2 8

- - 7 , 3 6 9 , 7 3 - - 9 , 6 0 9 , 6 4 2 , 2 4 0 , 0 9

6 0 6 , 2 6 - - 9 , 1 3 - - - - 2 , 8 7 - -

6 , 3 1 - - 9 , 1 5 - - - - 2 , 8 4 - -

7 , 2 4 9 , 5 8 - - - - 2 , 3 4 - -

1 8 , 9 3 - - 2 , 0 5 6 , 2 9 3 , 9 3 2 , 6 4 1 , 8 8

8 , 4 4 - - 1 , 2 0 6 , 0 6 - - 3 , 5 4 2 , 3 8 2 , 3 4

6 , 4 6 1 , 5 3 5 , 1 5 - - 2 , 2 8 1 , 3 1 3 , 8 1

2 - - 2 , 5 3 1 1 , 2 4 1 , 6 1 1 2 , 3 4 - - 4 , 1 4 - - 1 , 1 0

- - 2 , 0 1 1 1 , 1 8 1 , 8 5 1 2 , 3 2 - - 3 , 8 6 - - 1 , 1 4

0 , 4 0 1 1 , 1 2 2 , 9 7 1 2 , 2 9 - - 2 , 5 7 - - 1 , 1 7

3 2 6 , 4 6 - - 0 , 9 0 - - 2 4 , 6 6 - - 2 , 1 7 - - 1 , 8 0 1 , 2 7

- - 2 6 , 5 0 - - 1 , 1 7 - - 2 4 , 6 8 - - 2 , 2 9 - - 1 , 8 2 1 , 1 2

- - 2 5 , 8 6 - - 1 , 9 3 - - 2 4 , 3 8 - - 2 , 6 4 - - 1 , 4 8 0 , 7 1

4 3 , 1 8 0 , 1 5 - - 2 , 9 6 - - 0 , 1 9 - - 0 , 2 2 0 , 3 4

- - 3 , 1 8 0 , 1 4 - - 2 , 9 6 - - 0 , 2 0 - - 0 , 2 2 0 , 3 4

- - 3 , 3 4 0 , 5 0 - - 3 , 0 4 - - 0 , 0 3 - - 0 , 3 0 0 , 5 3

5 3 , 6 0 - - 1 , 0 7 3 , 5 3 - - 0 , 4 1 0 , 0 7 - - 0 , 6 6

3 , 6 0 - - 1 , 0 5 3 , 5 3 - - 0 , 4 0 0 , 0 7 - - 0 , 6 5

3 , 3 5 - - 1 , 2 5 3 , 4 2 - - 0 , 4 9 - - 0 , 0 7 - - 0 , 7 6

6 - - 1 0 , 2 9 - - 2 , 7 2 - - 9 , 8 7 - - 2 , 7 1 - - 0 , 4 2 - - 0 , 0 1

- - 1 0 , 2 9 - - 2 , 7 2 - - 9 , 8 7 - - 2 , 7 1 - - 0 , 4 2 - - 0 , 0 1

- - 1 0 , 1 5 - - 2 , 8 9 - - 9 , 8 1 - - 2 , 7 9 - - 0 , 3 4 - - 0 , 1 0

7 0 1 0 , 4 4 - - 8 , 9 5 - - 1 , 4 9 - -

1 0 , 1 1 - - 8 , 7 9 - - 1 , 3 2 - -

1 - - 6 , 8 4 1 , 5 0 - - 4 , 0 0 2 , 3 6 - - 2 , 8 4 - - 0 , 8 6

- - 5 , 2 5 - - 0 , 0 7 - - 3 , 2 6 1 , 6 3 - - 1 , 9 9 - - 1 , 7 0

2 4 , 4 8 - - 1 , 8 6 1 , 3 0 - - 1 , 8 1 3 , 1 8 - - 0 , 0 5

3 , 4 8 - - 1 , 6 7 0 , 8 3 - - 1 , 7 2 2 , 6 5 0 , 0 5

3 2 , 7 4 0 , 3 4 3 , 5 1 1 , 4 0 - - 0 , 7 7 - - 1 , 0 6

2 , 5 9 0 , 9 6 3 , 4 4 1 , 6 9 - - 0 , 8 5 - - 0 , 7 3

4 - - 3 , 4 7 - - 0 , 1 9 - - 2 , 1 2 - - 0 , 5 5 - - 1 , 3 5 0 , 3 6

- - 3 , 4 4 - - 0 , 2 2 - - 2 , 1 0 - - 0 , 5 7 - - 1 , 3 4 0 , 3 5

5 - - 2 , 1 0 2 , 7 7 - - 3 , 4 5 2 , 5 1 1 , 3 5 0 , 2 6

- - 2 , 1 4 2 , 7 3 - - 3 , 4 7 2 , 4 9 1 , 3 3 0 , 2 4

6 2 , 8 1 - - 2 , 7 3 2 , 4 4 - - 2 , 0 2 0 , 3 7 - - 0 , 7 1

2 , 7 9 - - 2 , 7 2 2 , 4 3 - - 2 , 0 1 0 , 3 6 - - 0 , 7 1

7 3 , 5 0 - - 2 , 0 3 2 , 5 2 - - 3 , 3 9 0 , 9 8 1 , 3 6

3 , 5 0 - - 2 , 0 3 2 , 5 2 - - 3 , 3 9 0 , 9 8 1 , 3 6

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10 7 - - 0 , 3 0 - - 0 , 6 3 - - 0 , 5 5 - - 0 , 0 4 0 ,25 - - 0 , 5 9

- - 0 , 2 2 0 , 5 9 - - 0 ,51 - - 0 , 0 2 0 , 2 9 - - 0 , 5 7

8 - - 0 , 4 8 0 , 3 5 - - 0 , 3 3 0 , 2 0 - - 0 , 1 5 0 , 1 5

- - 0 , 3 6 0 , 4 0 - - 0 , 2 7 0 , 2 2 - - 0 , 0 9 0 , 1 8

9 - - 0 , 3 0 - - 0 , 2 9 - - 0 , 0 9 - - 0 , 8 2 0 ,21 0 , 5 3

- - 0 , 3 2 - - 0 , 3 4 - - 0 , 1 0 - - 0 , 8 4 - - 0 , 2 2 0 , 5 0

10 0 ,21 - - 0 ,01 0 , 2 8 0 , 6 2 - - 0 , 0 7 - - 0 , 6 3

0 , 1 3 - - 0 , 0 0 0 , 2 4 0 , 6 3 - - 0 ,11 - - 0 , 6 3

11 0 0 , 5 0 - - 0 , 6 9 - - 0 , 1 9 - -

1 - - 2 , 7 9 2 , 7 7 - - 2 , 3 0 2 , 2 2 - - 0 , 4 9 0 , 5 5

2 2 , 5 9 - - 0 , 4 9 1 ,29 0 ,51 1 ,30 0 , 0 2

3 0 , 6 3 - - 2 , 4 8 0 , 6 3 - - 1,31 0 , 0 0 - - 1 ,17

4 - - 0 , 2 3 0 ,21 0 , 2 0 - - 0 , 1 7 - - 0 , 4 3 0 , 3 8

5 0 , 4 4 0 , 4 4 - - 0 , 1 5 0 , 0 9 0 , 5 9 0 , 3 5

6 0 , 5 5 - - 0 , 3 8 - - 0 , 1 4 - - 0 , 4 0 0 , 6 9 0 , 0 2

7 0 , 2 7 0 , 1 4 0 , 7 8 - - 0 ,31 - - 0 ,51 0 , 4 5

8 0 , 0 7 - - 0 , 6 4 - - 0 , 1 6 - - 0 , 3 4 0 , 2 3 - - 0 , 3 0

9 - - 0 ,51 0 , 0 8 - - 0 ,71 0 ,21 0 , 2 0 - - 0 , 1 3

1 0 - - 0 ,91 0 , 1 3 - - 0 , 4 5 - - 0 , 0 3 - - 0 , 4 6 0 , 1 6

11 - - 0 ,01 - - 0 , 1 5 0 , 1 2 - - 0 , 6 8 - - 0 , 1 3 0 , 5 3

12 0 - - 0 , 1 0 - - - - 0 , 0 2 - - - - 0 , 0 8 - -

1 1 ,21 - - 2 , 1 2 0 , 7 7 - - 0 , 9 9 0 , 4 4 - - 1 ,13

2 - - 2 , 2 5 0 , 2 6 - - 0 , 5 9 0 , 5 3 - - 1 ,66 - - 0 , 2 7

3 0 , 3 6 2 , 2 6 1 ,22 1 ,64 - - 0 , 8 6 0 , 6 2

4 0 , 0 7 0 , 2 4 - - 0 , 5 2 0 , 6 8 0 , 5 9 0 , 9 2

5 - - 0 , 0 9 - - 0 , 8 0 0 ,11 - - 0 , 3 2 - - 0 , 2 0 - - 0 , 4 8

6 - - 0 , 1 4 - - 0 , 1 9 0 , 2 6 - - 0 ,51 - - 0 , 4 0 0 , 3 2

7 0 , 3 3 - - 0 , 1 7 - - 0 , 3 4 - - 0 , 1 2 0 ,01 - - 0 , 0 5

8 - - 0 , 6 4 - - 0 , 2 7 0 , 2 7 - - 0 , 4 6 - - 0 , 3 7 0 , 1 9

9 0 , 2 0 0 , 4 3 - - 0 , 1 3 0 , 4 3 0 , 3 3 0 , 0 0

10 1 ,27 - - 0 , 1 0 0 , 3 7 - - 0 , 2 2 0 , 9 0 0 , 1 2

11 0 , 7 5 0 , 1 9 0 , 2 8 - - 0 , 2 6 1 ,03 0 , 4 5

12 - - 0 ,01 0 , 3 4 - - 0 , 1 8 0 , 1 7 0 , 1 7 0 , 1 7

13 0 - - 0 , 2 3 - - 0 , 5 8 - - 0 , 3 5 - -

1 - - 1 ,92 1 ,89 - - 0 , 9 2 0 , 6 4 - - 1 ,00 1 ,25

2 1 ,25 - - 0 , 1 6 0 , 6 2 0 , 0 0 0 , 6 3 - - 0 , 1 6

3 - - 0 , 5 5 - - 1 ,27 - - 0 , 7 6 0 , 0 4 0 ,21 - - 1,31

4 0 , 0 7 0 , 0 9 0 , 6 5 0 , 2 4 - - 0 , 5 8 - - 0 , 1 5

5 0 ,41 0 , 1 9 0 , 5 5 0 , 0 4 - - 0 , 1 4 0 , 1 5

6 0 , 3 6 - - 0 , 2 9 - - 0 , 3 6 0 , 2 9 0 , 7 2 0 , 0 0

7 - - 0 , 4 6 0 , 2 3 - - 0 , 3 5 0 , 1 4 - - 0 ,11 0 , 0 9

8 0 , 4 2 0 , 6 4 0 , 1 3 0 , 2 4 0 , 2 9 0 , 4 0

9 0 , 1 0 0 , 2 5 0 ,01 0 , 0 7 0 , 0 9 0 , 3 2

10 1 ,08 0 , 0 4 - - 0 , 5 7 - - 0 , 0 4 - - 0 ,51 0 , 0 8

11 - - 0 ,01 - - 0 , 1 7 0 , 7 5 0 ,01 - - 0 , 7 6 - - 0 , 1 8

12 0 , 0 9 - - 0 , 2 3 0 , 0 4 - - 0 , 1 9 0 , 0 5 - - 0 , 0 4

13 - - 0 , 4 2 0 , 2 3 1,01 - - 0 ,31 - - 1 ,43 0 , 5 4

14 0 - - 0 , 2 6 - - 0 , 0 5 - - - - 0 , 31 - -

1 0 , 3 2 - - 1 ,20 1 ,02 - - 0 , 1 7 - - 0 , 7 0 - - 1 ,03

2 0 , 0 5 0 ,11 0 , 5 9 - - 0 ,81 - - 0 , 5 4 0 , 9 2

3 0 , 3 2 1 ,13 - - 0 , 3 7 0 ,21 0 , 6 9 0 , 9 2

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30 G. Fanselau et al.

Tabelle 4 Mittelwerte der Energiedichte fiir 1945

(Einheit l0 -~ erg cm -3)

Angegeben sind die Zahlenwerte fiir die einzelnen Abschnitfe der Reihenentwicklung der mit t- leren Energiedichte bei Verwendung verschieden langer Reihenans/itze fiir das Potential (jeweils erster Weft fiir I4 ~ 15, zweiter ffir K = 10, dri t ter fiir K = 6) sowie die Summen

bis k = 6, 10 und 15

k n ; . n g . k u, = ~ ' ~n

n = l

1 7751,64 6 2,98 6 8109,58 7751,62 2,96 8109,37 7754,83 2,89 8111,57

2 191,67 7 0,63 10 8110,82 191,59 0,58 8110,39 191,30 8 0,24 15 8111,23

3 111,69 0,20 111,53 9 0,23 110,21 0,17

4 45,01 10 0,14 45,01 0,08 45,10 11 0,11

5 6,60 12 0,09 6,65 13 0,08 7,24 14 0,07

15 0,06

Tabelle 5 Quadratische Mittelwerte der FehlergrOsse A zur Abschiitzung der Konsistenz

der beiden horizontalen Feldgr6ssen (t~inheit 107/rad)

a) nach den Ergebnissen der sphgrisch-harmonischen Analysen, b) nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz unter Annahme eines mittleren Fehlers yon • 100v

ffir die einzelnen Beobachtnngswerte

2-. (naoh ~) A-~ (n~ot~ b)

1 5,2 3,6 2 14,3 6,5 3 11,8 10,0 4 21,0 14,2 5 19,8 19,0 6 18,8 24,3 7 24,2 29,9 8 19,3 35,9 9 21,8 42,3

10 28,3 49,3 11 25,3 56,8 12 43,4 64,4 13 35,6 72,0 14 51,2 79,6 15 43,2 87,6

(Eingegangen am 19. Dezember 1963)

Documents

Die Darstellung des geomagnetischen Potentials zur Epoche 1945,0 durch eine Entwicklung nach Kugelfunktionen bis zur 15. Ordnung