Kapitel 5 Stetigkeit. Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 5.1 Funktionen 5.2 Stetigkeit: Die Definition 5.3 Stetigkeit: Die

Kapitel 5

Stetigkeit

Kapitel 5

Stetigkeit

Kapitel 5: Stetigkeit

© BeutelspacherJuni 2005

Seite 2

InhaltInhalt

5.1 Funktionen

5.2 Stetigkeit: Die Definition

5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften

5.4 Die Exponentialfunktion

5.1 Funktionen

5.2 Stetigkeit: Die Definition

5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften

5.4 Die Exponentialfunktion



Seite 3

5.1 Funktionen5.1 Funktionen

Definition. Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Wir nennen die

Menge aller reellen Zahlen x mit a x b das abgeschlossene

Intervall mit den Endpunkten a und b und bezeichnen dieses mit

[a, b]. Formal ausgedrückt:

[a, b] = {x R a x b}.

Das offene Intervall mit den Endpunkten a und b ist die Menge

(a, b) := {x R a < x < b}.

Entsprechend definiert man die halboffenen Intervalle (a, b] und

[a, b).

Definition. Seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Wir nennen die

Menge aller reellen Zahlen x mit a x b das abgeschlossene

Intervall mit den Endpunkten a und b und bezeichnen dieses mit

[a, b]. Formal ausgedrückt:

[a, b] = {x R a x b}.

Das offene Intervall mit den Endpunkten a und b ist die Menge

(a, b) := {x R a < x < b}.

Entsprechend definiert man die halboffenen Intervalle (a, b] und

[a, b).



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Unendlich große IntervalleUnendlich große Intervalle

Ferner definiert man:

[a, ) := {x R a x},

(a, ) := {x R a < x},

(–, b] := {x R x b},

(–, b) := {x R x < b}.

Schließlich bezeichnet man auch R (= (–, ) ) als Intervall.

Beispiele. Abgesehen von R wird [0, 1] das Intervall sein, das wir

am häufigsten betrachten.

(0, ) sind die positiven reellen Zahlen und [0, ) sind die

nichtnegativen reellen Zahlen.

Ferner definiert man:

[a, ) := {x R a x},

(a, ) := {x R a < x},

(–, b] := {x R x b},

(–, b) := {x R x < b}.

Schließlich bezeichnet man auch R (= (–, ) ) als Intervall.

Beispiele. Abgesehen von R wird [0, 1] das Intervall sein, das wir

am häufigsten betrachten.

(0, ) sind die positiven reellen Zahlen und [0, ) sind die

nichtnegativen reellen Zahlen.



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FunktionenFunktionen

Definition. Eine Funktion ist eine Abbildung von einem Intervall

nach R (Bildbereich ist R). Meist werden wir sogar nur Funktionen

von R nach R betrachten. Wenn f eine Funktion ist, schreiben wir

f(x) für das Bild der Zahl x.

Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte (x, f(x)) mit

x R.

Beispiele. f(x) = a, f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = 1/x3, f(x) = x.

Bemerkung: Jede senkrechte Gerade schneidet den Graph einer

Funktion in höchstens einem Punkt. Jede senkrechte Gerade durch

einen Punkt des Definitionsbereichs schneidet den Graph genau

einmal.

Definition. Eine Funktion ist eine Abbildung von einem Intervall

nach R (Bildbereich ist R). Meist werden wir sogar nur Funktionen

von R nach R betrachten. Wenn f eine Funktion ist, schreiben wir

f(x) für das Bild der Zahl x.

Der Graph einer Funktion f ist die Menge aller Punkte (x, f(x)) mit

x R.

Beispiele. f(x) = a, f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = 1/x3, f(x) = x.

Bemerkung: Jede senkrechte Gerade schneidet den Graph einer

Funktion in höchstens einem Punkt. Jede senkrechte Gerade durch

einen Punkt des Definitionsbereichs schneidet den Graph genau

einmal.



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Wie kann eine Funktion gegeben sein? Wie kann eine Funktion gegeben sein?

Möglichkeit 1: Durch eine Formel.

Beispiele: f(x) = x2. Allgemein f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0; dies nennt man

ein Polynom (n-ten Grades).

f(x) = (x4+7x2+20x+8)/(x2+1) .

Achtung! Bei gebrochen rationalen Funktionen muss der Nenner

immer verschieden von Null sein!

Das ist die häufigste Art, die uns begegnen wird, aber damit kann

man nur einen kleinen Prozentsatz aller Funktionen beschreiben!

Möglichkeit 1: Durch eine Formel.

Beispiele: f(x) = x2. Allgemein f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0; dies nennt man

ein Polynom (n-ten Grades).

f(x) = (x4+7x2+20x+8)/(x2+1) .

Achtung! Bei gebrochen rationalen Funktionen muss der Nenner

immer verschieden von Null sein!

Das ist die häufigste Art, die uns begegnen wird, aber damit kann

man nur einen kleinen Prozentsatz aller Funktionen beschreiben!



Seite 7

Wier kann eine Funktion gegeben sein? IIWier kann eine Funktion gegeben sein? II

Möglichkeit 1‘: Durch mehrere Formeln

Beispiele:

f(x) = x2 – 3x + 7, falls x < 0,

f(x) = 10.000, falls x = 0,

f(x) = x17 + 200, falls x > 0.

oder:

f(x) = 1, falls x rational

f(x) = 0, falls x irrational.

Möglichkeit 1‘: Durch mehrere Formeln

Beispiele:

f(x) = x2 – 3x + 7, falls x < 0,

f(x) = 10.000, falls x = 0,

f(x) = x17 + 200, falls x > 0.

oder:

f(x) = 1, falls x rational

f(x) = 0, falls x irrational.



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Wie kann eine Funktion gegeben sein? IIIWie kann eine Funktion gegeben sein? III

Möglichkeit 2: Durch eine Wertetabelle.

Das sind endlich viele Werte (x, f(x)).

Man kann damit nur die Funktionen beschreiben, die durch eine

Wertetabelle eindeutig festgelegt sind (z.B. Polynome).

Möglichkeit 3: Durch ein Orakel.

Sie fragen x, das Orakel antwortet mit f(x).

Gegenüber einer Wertetabelle hat dies den Vorteil, dass Sie die x

vorgeben können, und dass Sie so viele f(x) erfragen können, wie

Sie wollen.

Möglichkeit 2: Durch eine Wertetabelle.

Das sind endlich viele Werte (x, f(x)).

Man kann damit nur die Funktionen beschreiben, die durch eine

Wertetabelle eindeutig festgelegt sind (z.B. Polynome).

Möglichkeit 3: Durch ein Orakel.

Sie fragen x, das Orakel antwortet mit f(x).

Gegenüber einer Wertetabelle hat dies den Vorteil, dass Sie die x

vorgeben können, und dass Sie so viele f(x) erfragen können, wie

Sie wollen.



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4.2 Stetigkeit: Die Definition4.2 Stetigkeit: Die Definition

Stetig bedeutet unterbrechungslos (englisch: continuous).

Unterbrechungslose Vorgänge sind das Normale. (Das lateinische

Sprichwort dazu heißt: Natura non facit saltus, die Natur macht keine

Sprünge).

Uns prägen sich aber hauptsächlich Ereignisse ein, die durch eine

Unstetigkeit gekennzeichnet sind. Besonders eindrücklich sind

Ereignisse, nach denen es ganz anders ist als zuvor. („Es wird nie

mehr so sein wie vorher.“)

Beispiele: Durchbrechen eines Stockes, Zerbrechen einer Vase,

Eintritt in die Schule, Geburt eines Kindes, Fall der Berliner Mauer,

Tod, ...

Stetig bedeutet unterbrechungslos (englisch: continuous).

Unterbrechungslose Vorgänge sind das Normale. (Das lateinische

Sprichwort dazu heißt: Natura non facit saltus, die Natur macht keine

Sprünge).

Uns prägen sich aber hauptsächlich Ereignisse ein, die durch eine

Unstetigkeit gekennzeichnet sind. Besonders eindrücklich sind

Ereignisse, nach denen es ganz anders ist als zuvor. („Es wird nie

mehr so sein wie vorher.“)

Beispiele: Durchbrechen eines Stockes, Zerbrechen einer Vase,

Eintritt in die Schule, Geburt eines Kindes, Fall der Berliner Mauer,

Tod, ...



Seite 10

Beschreibungen von StetigkeitBeschreibungen von Stetigkeit

Sei f eine Funktion. Wir werden und der Definition der Stetigkeit

schrittweise nähern.

1. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne

abzusetzen zeichnen kann.

2. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn sie keine Sprünge

macht.

Sei f eine Funktion. Wir werden und der Definition der Stetigkeit

schrittweise nähern.

1. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn man sie ohne

abzusetzen zeichnen kann.

2. Beschreibung: Eine Funktion ist stetig, wenn sie keine Sprünge

macht.



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Motivation der DefinitionMotivation der Definition

3. Beschreibung: Wir definieren (zunächst) nur, was es heißt, dass eine Funktion f „in einem Punkt“ stetig ist. Sei also x0 eine reelle

Zahl aus dem Definitionsbereich von f.

Wir lassen x gegen x0 laufen und betrachten die zugehörigen

Funktionswerte f(x).

Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (xn) reeller Zahlen, die

gegen x0 konvergiert. (Es gibt viele solche Folgen!)

Dazu betrachten wir jetzt die zugehörigen Funktionswerte f(xn), also

f(x1), f(x2), f(x3), ... Das ist auch eine Folge reeller Zahlen. Wenn

diese gegen f(x0) konvergiert, dann ist f stetig in x0.

3. Beschreibung: Wir definieren (zunächst) nur, was es heißt, dass eine Funktion f „in einem Punkt“ stetig ist. Sei also x0 eine reelle

Zahl aus dem Definitionsbereich von f.

Wir lassen x gegen x0 laufen und betrachten die zugehörigen

Funktionswerte f(x).

Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (xn) reeller Zahlen, die

gegen x0 konvergiert. (Es gibt viele solche Folgen!)

Dazu betrachten wir jetzt die zugehörigen Funktionswerte f(xn), also

f(x1), f(x2), f(x3), ... Das ist auch eine Folge reeller Zahlen. Wenn

diese gegen f(x0) konvergiert, dann ist f stetig in x0.



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Die DefinitionDie Definition

Definition. Sei f eine Funktion, und sei x0 ein Element des

Definitionsbereichs. Wir sagen, dass die Funktion f stetig im Punkt x0 ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(a) Für jede Folge (xn), die gegen x0 konvergiert (wobei die xn aus

dem Definitionsbereich von f sein sollen) konvergiert auch die Folge (f(xn)).

(b) Alle Grenzwerte der Folgen (f(xn)), die in (a) auftreten sind gleich

f(x0).

Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres

Definitionsbereichs stetig ist.

Definition. Sei f eine Funktion, und sei x0 ein Element des

Definitionsbereichs. Wir sagen, dass die Funktion f stetig im Punkt x0 ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(a) Für jede Folge (xn), die gegen x0 konvergiert (wobei die xn aus

dem Definitionsbereich von f sein sollen) konvergiert auch die Folge (f(xn)).

(b) Alle Grenzwerte der Folgen (f(xn)), die in (a) auftreten sind gleich

f(x0).

Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres

Definitionsbereichs stetig ist.



Seite 13

Was heißt „nicht stetig“? Was heißt „nicht stetig“?

Um nachzuweisen, dass f nicht stetig im Punkt x0 ist, hat man zwei

Möglichkeiten:

Die Funktion f ist nicht stetig im Punkt x0, wenn mindestens eine

der beiden folgenden Bedingungen gilt:

(a) es gibt mindestens eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert

(wobei die xn aus dem Definitionsbereich von f sein sollen), für die

die Folge (f(xn)) der Funktionswerte nicht konvergiert.

(b) Es gibt eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert, so dass die

zugehörige Folge (f(xn)) zwar konvergiert aber einen Grenzwert

verschieden von f(x0) hat.

Um nachzuweisen, dass f nicht stetig im Punkt x0 ist, hat man zwei

Möglichkeiten:

Die Funktion f ist nicht stetig im Punkt x0, wenn mindestens eine

der beiden folgenden Bedingungen gilt:

(a) es gibt mindestens eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert

(wobei die xn aus dem Definitionsbereich von f sein sollen), für die

die Folge (f(xn)) der Funktionswerte nicht konvergiert.

(b) Es gibt eine Folge (xn), die gegen x0 konvergiert, so dass die

zugehörige Folge (f(xn)) zwar konvergiert aber einen Grenzwert

verschieden von f(x0) hat.



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Beispiele stetiger FunktionenBeispiele stetiger Funktionen

(a) Konstante Funktion f(x) = a.

(b) f(x) = x.

(c) f(x) = x2 ist stetig im Punkt x0 = 0.

Denn: Sei (xn) eine Folge mit Grenzwert 0. Dann gibt es für alle

> 0 eine Nummer N, so dass xn = xn–0 < ist für alle n N.

Dann gilt auch

f(xn) – f(x0) = xn2–0 = xn

2 < 2 <

für alle n N. Also konvergiert auch die Folge der Funktionswerte gegen den Grenzwert 0 = f(x0). Somit ist f stetig im Punkt x0 = 0.

(a) Konstante Funktion f(x) = a.

(b) f(x) = x.

(c) f(x) = x2 ist stetig im Punkt x0 = 0.

Denn: Sei (xn) eine Folge mit Grenzwert 0. Dann gibt es für alle

> 0 eine Nummer N, so dass xn = xn–0 < ist für alle n N.

Dann gilt auch

f(xn) – f(x0) = xn2–0 = xn

2 < 2 <

für alle n N. Also konvergiert auch die Folge der Funktionswerte gegen den Grenzwert 0 = f(x0). Somit ist f stetig im Punkt x0 = 0.



Seite 15

BeispieleBeispiele

(d) Die Funktion, die definiert ist durch

f(x) = 0 für x < 0 und

f(x) = 1 für x 0 ist nicht stetig im Punkt x0 = 0.

(d) Die Funktion f, die definiert ist durch f(x) = x, ist auch im Punkt x0 = 0 stetig.

(d) Die Funktion, die definiert ist durch

f(x) = 0 für x < 0 und

f(x) = 1 für x 0 ist nicht stetig im Punkt x0 = 0.

(d) Die Funktion f, die definiert ist durch f(x) = x, ist auch im Punkt x0 = 0 stetig.



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5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften5.3 Stetigkeit: Die Eigenschaften

Ziel: Aus einer oder zwei stetigen Funktionen entsteht eine neue

stetige Funktion.

Definition. Die Summe zweier Funktionen f und g ist definiert als.

(f+g)(x) := f(x) + g(x) für alle x.

Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x3 und g(x) =

x2 + 2, so ist f+g die Funktion, die jedes x auf x3+x2+2 abbildet.

5.3.1 Satz. Seien f und g Funktionen. Wenn f und g stetig sind,

dann ist auch f+g eine stetige Funktion.

Ziel: Aus einer oder zwei stetigen Funktionen entsteht eine neue

stetige Funktion.

Definition. Die Summe zweier Funktionen f und g ist definiert als.

(f+g)(x) := f(x) + g(x) für alle x.

Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x3 und g(x) =

x2 + 2, so ist f+g die Funktion, die jedes x auf x3+x2+2 abbildet.


dann ist auch f+g eine stetige Funktion.



Seite 17

BeweisBeweis

Beweis. Wir müssen zeigen, dass f+g in jedem beliebigen Punkt x0

stetig ist.

Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (xn), die gegen x0

konvergiert. Wir müssen zeigen, dass die Folge mit den Folgengliedern (f+g)(xn) gegen (f+g)(x0) konvergiert.

Dazu sei > 0 beliebig.

Trick: Setze * := /2.

Da f stetig in x0 ist, gibt es eine Nummer N, so dass

f(x0)–f(xn) < * ist für alle n N.

Da g stetig in x0 ist, gibt es eine Nummer M, so dass

g(x0)–g(xn) < * ist für alle n M.

Beweis. Wir müssen zeigen, dass f+g in jedem beliebigen Punkt x0

stetig ist.

Dazu betrachten wir eine beliebige Folge (xn), die gegen x0

konvergiert. Wir müssen zeigen, dass die Folge mit den Folgengliedern (f+g)(xn) gegen (f+g)(x0) konvergiert.

Dazu sei > 0 beliebig.

Trick: Setze * := /2.

Da f stetig in x0 ist, gibt es eine Nummer N, so dass

f(x0)–f(xn) < * ist für alle n N.

Da g stetig in x0 ist, gibt es eine Nummer M, so dass

g(x0)–g(xn) < * ist für alle n M.



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BeweisabschlussBeweisabschluss

Sei N die größere der beiden zahlen N und M.

Dann gilt für alle n N:

f(x0)–f(xn) < * und g(x0)–g(xn) < * für alle n N.

Daraus folgt

(f+g)(x0)–(f+g)(xn) = f(x0)+g(x0) – f(xn)–g(xn) =

f(x0)–f(xn) + g(x0)–g(xn) < * + * = .

Also konvergiert die Folge aus den Gliedern (f+g)(xn) gegen (f+g)

(x0).

Somit ist f+g stetig im Punkt x0.

Sei N die größere der beiden zahlen N und M.

Dann gilt für alle n N:

f(x0)–f(xn) < * und g(x0)–g(xn) < * für alle n N.

Daraus folgt

(f+g)(x0)–(f+g)(xn) = f(x0)+g(x0) – f(xn)–g(xn) =

f(x0)–f(xn) + g(x0)–g(xn) < * + * = .

Also konvergiert die Folge aus den Gliedern (f+g)(xn) gegen (f+g)

(x0).

Somit ist f+g stetig im Punkt x0.



Seite 19

Produkt mit einer reellen ZahlProdukt mit einer reellen Zahl

Definition. Sei f eine Funktion, und sei r eine reelle Zahl. Wir

definieren das Produkt rf von r mit f durch

(rf)(x) .= rf(x) für alle x

Beispiel: Wenn f definiert ist durch f(x) = x3, so ist 7f die Funktion,

die jedes x auf 7x3 abbildet.

5.3.2 Satz. Sei f eine Funktion und r eine reelle Zahl. Wenn f

stetig ist, dann ist auch rf eine stetige Funktion.

Beweis. ÜA

Definition. Sei f eine Funktion, und sei r eine reelle Zahl. Wir

definieren das Produkt rf von r mit f durch

(rf)(x) .= rf(x) für alle x

Beispiel: Wenn f definiert ist durch f(x) = x3, so ist 7f die Funktion,

die jedes x auf 7x3 abbildet.

5.3.2 Satz. Sei f eine Funktion und r eine reelle Zahl. Wenn f

stetig ist, dann ist auch rf eine stetige Funktion.

Beweis. ÜA



Seite 20

Produkt und Quotient von FunktionenProdukt und Quotient von Funktionen

Definition. Seien f und g Funktionen. Wir definieren das Produkt

fg und den Quotienten f/g der Funktionen f und g durch

(fg)(x) .= f(x)g(x) und (f/g)(x) = f(x)/g(x) für alle x.

Bemerkung: Um den Quotienten f/g definieren zu können, muss

g(x) 0 sein für alle x.

Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x3 und g(x) = x+2, so ist fg die Funktion, die jedes x auf x3(x +2) abbildet.


dann sind auch fg und f/g eine stetige Funktionen.

Definition. Seien f und g Funktionen. Wir definieren das Produkt

fg und den Quotienten f/g der Funktionen f und g durch

(fg)(x) .= f(x)g(x) und (f/g)(x) = f(x)/g(x) für alle x.

Bemerkung: Um den Quotienten f/g definieren zu können, muss

g(x) 0 sein für alle x.

Beispiel: Wenn f und g definiert sind durch f(x) = x3 und g(x) = x+2, so ist fg die Funktion, die jedes x auf x3(x +2) abbildet.


dann sind auch fg und f/g eine stetige Funktionen.



Seite 21

Polynome sind stetigPolynome sind stetig

5.3.4 Folgerung. Jedes Polynom f(x) = anxn +an–1xn–1 + ...+ a1x + a0

ist eine stetige Funktion.

Beweis. Da die Funktion x x stetig ist, ist auch das n-fache

Produkt dieser Funktion, also die Funktion x xn stetig. Also ist auch die Funktion x anxn stetig. Da Summen stetiger Funktionen

stetig sind, ist also auch das Polynom f stetig.

Bemerkung. Die Polynome sind mit die wichtigsten stetigen

Funktionen, aber es gibt auch andere, z.B. die Sinusfunktion, die

Funktion x x, die Exponentialfunktion usw.

5.3.4 Folgerung. Jedes Polynom f(x) = anxn +an–1xn–1 + ...+ a1x + a0

ist eine stetige Funktion.

Beweis. Da die Funktion x x stetig ist, ist auch das n-fache

Produkt dieser Funktion, also die Funktion x xn stetig. Also ist auch die Funktion x anxn stetig. Da Summen stetiger Funktionen

stetig sind, ist also auch das Polynom f stetig.

Bemerkung. Die Polynome sind mit die wichtigsten stetigen

Funktionen, aber es gibt auch andere, z.B. die Sinusfunktion, die

Funktion x x, die Exponentialfunktion usw.



Seite 22

5.4 Die Exponentialfunktion5.4 Die Exponentialfunktion

Definition. Für jedes x R definieren wir die Exponentialreihe

Beispiel: exp(0) = 1.

5.4.1 Satz. Für jedes x R konvergiert die Exponentialreihe.

Beweis. Wir wenden das Quotientenkriterium an. Sei x fest. Wir

wählen n 2x. Dann gilt

Definition. Für jedes x R definieren wir die Exponentialreihe

Beispiel: exp(0) = 1.

5.4.1 Satz. Für jedes x R konvergiert die Exponentialreihe.

Beweis. Wir wenden das Quotientenkriterium an. Sei x fest. Wir

wählen n 2x. Dann gilt

.n!

xexp(x)

0n

n

.2

1

1n

x

n!x

1)!(nx

n

1n



Seite 23

Die Zahl eDie Zahl e

Definition. Wir definieren e := exp(1). (Eulersche Zahl)

Es gilt: e = 2,718281828459…

e ist eine irrationale (sogar eine transzendente) Zahl.

Üblicherweise schreibt man auch exp(x) = ex. Man nennt diese

Funktion die Exponentialfunktion.

Bemerkung: Die Zahl e kann auch als Grenzwert der Folge

(1 + 1/n)n aufgefasst werden.

Definition. Wir definieren e := exp(1). (Eulersche Zahl)

Es gilt: e = 2,718281828459…

e ist eine irrationale (sogar eine transzendente) Zahl.

Üblicherweise schreibt man auch exp(x) = ex. Man nennt diese

Funktion die Exponentialfunktion.

Bemerkung: Die Zahl e kann auch als Grenzwert der Folge

(1 + 1/n)n aufgefasst werden.



Seite 24

Eigenschaften der ExponentialfunktionEigenschaften der Exponentialfunktion

5.4.2 Satz. Für alle x und y gilt exp(x + y) = exp(x)exp(y).

Man nennt dies die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

5.4.3 Folgerung. (a) exp(–x) = (exp(x))–1.

(b) exp(x) > 0 für alle x.

Beweis. (a) exp(x)exp(–x) = exp(x–x) = exp(0) = 1. Daraus folgt

exp(x) 0 und exp(–x) = 1 / exp(x).

(b) Für x 0 ist exp(x) = 1 + x + x2 / 2 + … 1.

Für x < 0 ist –x > 0, also exp(–x) > 0, also

exp(x) = 1 / exp(–x) > 0.

5.4.2 Satz. Für alle x und y gilt exp(x + y) = exp(x)exp(y).

Man nennt dies die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.

5.4.3 Folgerung. (a) exp(–x) = (exp(x))–1.

(b) exp(x) > 0 für alle x.

Beweis. (a) exp(x)exp(–x) = exp(x–x) = exp(0) = 1. Daraus folgt

exp(x) 0 und exp(–x) = 1 / exp(x).

(b) Für x 0 ist exp(x) = 1 + x + x2 / 2 + … 1.

Für x < 0 ist –x > 0, also exp(–x) > 0, also

exp(x) = 1 / exp(–x) > 0.

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Kapitel 5 Stetigkeit. Kapitel 5: Stetigkeit © Beutelspacher Juni 2005 Seite 2 Inhalt 5.1 Funktionen 5.2 Stetigkeit: Die Definition 5.3 Stetigkeit: Die