DIE THEORETISCHE BESTIMMUNG E I N I G E R K O N S T A N T E N DES K E R N E S 2osDr, s2~~, AUF G R U N D

DES STATISTISCHEN K E R N M O D E L L S

Voil

D. KISDI

FORSCHUNGSGRUPPE F1]R THEOREI'ISCHE PHYSIK DER UNGARISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFrEN, BUDAPEST

(Vorgelegt ron P. G o m b • Eingegangen: 8. XII. 1955.)

Mit Hilfe des in der vorange.henden Arbeit ron Gomb• hergeleiteten modifizierten Potentials fª die Wehselwirkung eines schweren Kerns mit Nukleonen wurden die Bindungs- energie des letzten Neutrons des Kernes 2~~pb und des letzten Protons des Kernes ~~~ ferner der Wirkungsquerschnitt fª die Strenung thermischer Neutronen aro Kern ~~ und

20~ die Halbwertzeit des/%Zerfalls des Kernes s~Pb bestimmt. Fª diese Konstanten wurden die folgenden Ergebnisse erhalten : En ----- - - 2,65 MeV, Ep ~ - - 7,75 MeV, a = 6,19 barn und T = 2,94 h. Die berechneten und die empirischen Werte zeigen in allen vier F~illen eine grSssen- ordnungsmiissig gute •

1. Einleitung

Als Grundlage der vorl iegenden Arbeit dient das Wechse lwirkungspoten- t ia l zwischen den aus abgeschlossenen iNukleonenschalen aufgebauten Atom- kernen und den Nukleonen, das r o n G o m b • in der hier vorangehenden Arbeit [1] mi t Hilfe des s ta t is t ischen Kernmodel ls b e s t i m m t wurde. Mit Hilfe dieses Wechselwirkungspotent ia ls seien nun mehrere fª die Atomkerne charakter is t i - schen Da ten ermit te l t . Die ausfª Berechnungen sollen an H a n d des

2081D1. I<ernes 82~- durchgef ª werden, der aus acht abgeschlossenen iNeutronen- scha]en und sieben abgeschlossenen Protonenschalen bes teht .

Das Wechselwirkungspotent ia l zwischen einem aus abgesch]ossenen Nukleonenschalen bes tehenden Kern und einem Neutron ]~sst sich in zwei Teile zer]egen. Das sich ira Kernfeld bewegende Neutron geriit mi t den einze]nen Nukleonen des Kernes ins der Yukawaschen Kr~f te in Wechse]wirkung. Diese Wechselwirkungen kSnnen in ein Wechselwirkungspotent ia] Vn zusam- mengefass t werden, f ª das G o m b d s folgenden Ausdruck ab]eitete :

vn - - 4a~~ 0f(o~n, ~op) + a ~ 0f(~n, ~ . ) (1) 3~o~ 0o~~ 3~o2n ~to~

(Bezª der hier und im weiteren benu tz t en Bezeichnungen siehe die oben angef ª Arbei t r o n G o m b •

Zu dieser Wechselwirkungsenergie ist nach G o m b • noch das sich aus der s ta t i s t i schen Formul ie rung des Pauliprinzips ergebende Zusa tzpoten t ia l Fn zu

5 2 0 D. K]SDI

addieren das durch die Gleichung,

F n - - 5 ~kr (2) 3 ti2

gegeben ist. Das hieraus resuhierende, auf das Neutron wirkende Potential , das sog.

modif izier te Potential , l au te t also folgendermassen :

r I'n + Fn. (3)

In iihnlicher Weise kann m a n auch das auf ein Pro ton wirkende modifi- zierte Poten t ia l gewinnen. Ausser dem aus den Yukawaschen Kr~iften her- r ª Potent ia l Vp ist auch noch das sich aus der elektrostat ischen Wechsel- wirkung der Pro tonen ergebende Coulombsche Poten t ia l zu berª :

q~v = Vp -4- 1% -f- Fp . (4)

In der vorliegenden Arbeit wurde als der von der Ent fernung abh/ingige Teil der Kernkr~f te das Yukawasche Potent ia l gew/ihlt. Gomb• wies nach, dass die Nukleonendichten in diesem Falle in guter N~iherung der Gaussschen Vertei lung folgen [2], [31. Die GrSssen o~n und o~p kSnnen also in folgender Forro angenommen werden:

1 1 a2r~/r~ con = O~~oe ~ ~~~-~/,~ ; cop = O~poe 5 . (5')

Hier bezeichnet r die vom Kernzen t rum gemessene Ent fe rnung und r o den Wirkungsradius der Kernkr~ifte, w/ihrend Ogno und coro Normierungskonstanten und a ein Var ia t ionsparameter sind. Ira Falle des Kernes 20sph betr/igt der 8 2 ~ ~ Wer t dieser Grfissen :

copo = 4,002 ; COpo = 3,469 ; a ~ 0,4574. (5")

Setzt man die GI. (5) in die Gln. (1) und (2) ein, so erhiilt man das modi- 208DK fizierte Potent ialfeld des Kernes s210 als Funkt ion der voto Kernzent rum

gemessenen Entfernung.

2. Die Bindungsenergie des letzten Neutrons des Kernes 209Pks2_~

Es wurde bereits erw/ihnt, dass der Kern 208ph s2~- aus lauter abgeschlosse- nen Nukleonenschalen aufgebaut ist. Der Kern 2~ enth~ih demnach ausser 8 2 ~ ~

den abgeschlossenen Nukleonenschalen noch ein Neut rom ro n dem angenom-

DIE THEORETISCHE BESTIMMUNG EINIGER KONSTANTEN DES KERNES 208 Pb 521

men werden, kann, dass es sich in dem durch die GI. (3) ausgedrª Poten- tialfeld bewegt. Die Bindungsenergie dieses letzten Neutrons des Kernes 2o9Ph82~~ l/isst sich aus der Schr6dinger-Gleichung

~�91

A~n § q~n ~n = E, ~n (6) 2M

ermitteln u. zw. ~st die Bindungsenergie des letzten Neutrons gleich dem klein- sten Energieeigenwert.

Da das Potent ial lediglich ron der voto Kernzentrum gemessenen Ent- fernung r abh~ingt, kann ~pn als Produkt einer radialen Wellenfunktion und einer Kugelfunktion Yt m geschrieben werden. Der Grundzustand wird also durch folgenden Ansatz ausgedrª :

~n = -~ Rn (r) Y0o (0, ~), (7) r

wo Y0o die Kugelfunktion bezeichnet, die der Nebenquantenzahl l ~ 0 und der magnetischen Quantenzahl m = 0 zugeordnet i s t :

1 Y00 ~ ~ ~ �9

Die Funkt ion Rn(r) hat die Randbedingungen Rn(0) -- Rn(oO) ---- 0, die radiale SchrSdingerglcichung

h2 R¡ + qbn (r) Rn = En Rn (8) 2M

sowie die Normierungsbedingung

co

I R 2 dr 1

0

zu befriedigen. Die Differentialgleichung (8) wurde numerisch (mit Hilfe der Methode ron

Adams--Stiirmer) in 3r-----0,04 r o Schritten gelfist, wobei sich fª den Energieeigenwert ein Wert von

En ---- -- 2,65 MeV (9)

1 ! Acta Physica VI4

522 D. KISDI

ergab. Erfahrungsgemiiss betriigt dagegen die Bindungsenergie des letzten 20g Neutrons des Kernes s~Pb[4]:

Eemp = __ 3,74 MeV /2 "

3. Die Bindungsenergie des letzten Protons des Kernes 209,~: 82.D~

209T~. Der Kern s2DI enth~ilt ausser den abgeschlossenen ~Nuldeonenschalen noch ein Proton, das sich in dem durch die G1. (4) gekennzeichneten Potential-

2o9~. wird feld bewegt. Die Bindungsenergie des letzten Protons des Kernes s2m der ldeinste Energieeigenwert der radialen Schr•dinger-Gleichung

~�91 H

2MRP + r = EpRp (10)

sein. Fª diesen Energieeigenwert wurde ein Wert ron

E v ---- -- 7,75 MeV

gefunden, w/ihrend die empirisch ermittehe Bindungsenergie

(11)

Eemp = __ 3,66 MeV / 2

betrhgt.

4. Die Bestimmuag des Wirkungsquersclmittes fª die Streuung ron thermisehen Neutronen

Die thermischen Neutronen haben nur eine geringe aus der W/irmebewe- gung resultierende Energie. Ira Falle kleiner Energien l~isst sich nun der Streu- querschnitt am einfachsten mit der Methode der partiellen Wellen bestimmen, u. zw. erh/ilt man hierbei den Streuquerschnitt wie folgt[5] :

= __4z~,~ 2 (2/q- 1) sin 2 ~1 /f~ 1= 0

(12)

Hier ist k die Wellenzahl des einfallenden ]~eutronenstrahls, die mit der kine- tischen Anfangsenergie der gestreuten Neutronen in folgendem Zusammen- hang steht :

k 2 = 2ME. (13) h2

D1E THEORETISCHE BEST]MMU~G E]NIGER KONSTANTEN DES KER]~ES 208 Pb 523

Die Gr6ssen 61 sind Phasenkons tan ten . Wie bekannt[5] , ist die Phasenkons tan te £ ira Falle l �87 kr o praktisch gleich Null. Es genª also in der G1. (12) die Sum- mierung auf jene Nebenquantenzahlen l zu beschr~inken die nicht r ie l gr6sser als kr 0 sind. Bei ~Neutronen mit kleiner Energie ist auch die WeUenzahl k sehr klein, so dass es genª die ersten paar Glieder der Summe ª l zu ljerª sichtigen. Ira folgenden seien die Berechnungen fª thermische ?qeutronen aus- fª wiedergegeben. Die Energie dieser Neutronen betr/igt weniger als 10 eV, also ist auch ihre Wellenzahl ldeiner als 10 -3 ro -~ In diesem Falle genª es, die der Nebenquantenzahl I = 0 entsprechende Phasenkonstante 60 zu bestim- men und den Streuquerschni t t aus der fo]genden Formcl zu berechnen :

4y~ a = - - sin 2 60 . (14)

k 2

Die Phasenkonstante 6 o wird durch das asymptot ische Verhal~en der zur iNeben- quantenzahl l - 0 gehfirenden radialen Wellenfunktion Rn(r) bes t immt. Rn ist aus der radialen Wellengleichung zu ermit te ln , die auf Grund der GI. (13) in folgender Forro angesetzt werden k a n n :

l 2~,oo~ R~ + k 2 - Rn = 0 . (15)

Hier ist ~n das auf das gestreute Neutron wirkende modifizierte Potent ia l . Die Differentialgleichung geht bei grossen Werten ro n r in die Gleichung I~~ + k2Rn = 0 ª deren allgemeine L/Jsung

A Rn (r) -+ - - sin (kr -9 60) (16)

k

lau te t . Hier sind ,4 und 6 o durch die Randbedingungen best immt. Die Rand- bedingung R(0) = 0 bes t immt eincleutig die Gr6sse r o n r Das so berechnete 6 o ist nun in die G1. (14) einzusetzen.

Die L6sung der Differentialgleichung (15) ist in Abb. 1 qual i ta t iv ver- anschaulicht . Die L6sung fª Rn(r) nimmt schon vor der ersten Nullstelle a o das durch die G1. (16) a usgedrª asymptot ische Verhalten an. Die Nullstelle wixd also durch die Gleichung

ka o + 60 : z~ (17)

bes t immt. Wird nun durch die (numerische) Integrat ion der Differentialglei- chung (15) die Nullste]le a o der Wellenfunktion Rn ermi t teh , so l/isst sich die

11"

52 �91 D. KISDI

Phasenkons t an t e 6 o mit Hilfe der GI. (17) wie folgt berechnen :

�91 = ~ - - k a o "

Fª den Streuquerschni t t erh~ilt man

4~t ---- - - sin 2 (k%). (18)

k 2

Die Different ia lgle ichung (15) mi t der Randbed ingung Rn(0) = 0 wurde mi t der numer ischen In t eg ra t i onsme thode von A d a m s - - S t i i r m e r (in :Ir = 0,04

-R

Abb. 1

Schri t ten) gel6st. Es ergab sich, dass die Nullstelle a o im Wellenzahlbereich 0 < k _< 10-3ro prakt i sch unabh~ngig r o n k ist, wobei ihr Wer t ira Falle des Kernes 2osph

82 L ~

a o : 5,18 r o = 7,02.10 -13 cm (19)

betr/ igt . D e r W i r k u n g s q u e r s c h n i t t fª die S t r e u u n g t h e r m i s c h e r N e u t r o n e n a m Kern 2~ ist also :

8 2 ~ ~ 4zr . 2

= - - s in (5,18 kr0). (20) k 2

Da kr 0 kleiner als ein Tausends te l ist, kann die Sinusfunktion auf der rechten Seite der (~l. (20) in gu te r N/iherung durch ihr Argumen t ersetzt werden, F ª m a n dies durch, so f/illt aus dem Ausdruck f ª a die Wellenzahl k heraus , so dass der St reuquerschni t t f ª thermische Neutronen r o n der Energie unabhi in- gig wird :

cr = 4~(5,18ro)2 = 6,19 �9 10 -~~ cm ~. (21)

DIE THEORETISCHE BESTIMMUNG EINIGER KONSTANTEN DES KERNES 208 Pb 5 2 5

Erfahrungsgem~iss ist der Wirkungsquerschnitt fª die Streuung ther- mischer Neutronen ana Kern 208 Pb tatsiichlich von der Energie unabhiingig und weist den nachstehenden Wert auf [6] :

0 " e m p - - 9,0 �9 1 0 - 2 4 c m " .

5. Die Bestimmung der Halbwertzeit des fl-Zerfalls des Kernes 209Pk82_,,

Man kann sich den q des Kernes 2ogph s2-~ so vorstellen, dass sich das ausserhalb der abgeschlossenen Nukleonenschale befindliche Neutron in ein Proton umwandelt und inzwischen vom Kern ein Elektron emittiert wird. Der Kern 2~ wandeh sich durch den q in den Kern 209~;83~. um.

Die Halbwertzeit T soll mit Hilfe einer vereinfachten Theorie des/~-Zer- fal]s bestimmt werden. Zwischen dem Nuldeonen- und dem Elektronenfeld sei die einfache Fermische (pseudovektorielle) Wechsehvirkung angenommen. Es ist bekannt, dass sich diese Wechselwirkung bei den zul/issigen q220 als eine gute Niiherung erwiesen hat ; allerdings kann sie nicht zur Ermittlung der Auswahlregeln oder des Energiespektrums der verbotenen • verwen- det werden. Da der/5-• des Kernes 2ogph nicht verboten ist, verur- 82 ~ ~

sacht die Niiherung keinen wesentlichen Fehler. Als weitere Vereinfachung sei von der Coulombschen Wechselwirkung zwischen dem emittierten Elektron und dem Kern abgesehen. Mit diesen Vernachliissigungen liisst sich die Halb- wertzeit T aus der folgenden Formel ermitteln[7] :

ln2 1

T Zo I M q (Wo)" (22)

In dieser Formel bezeichnet M das Matrizenelement M-- f~*n ~p dv, das aus der Anfangswellenfunktion ~on und Endwellenfunktion ~p des ira Kern seine Ladung iindernden Nukleon gebild› wird, wiihrend % eine Konstante ron der Dimension einer Zeit ist, deren Wert r 0 -~ 3 �9 103 sec betriigt. Ferner bedeutet w o die Energiedifferenz zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand des Ker- nes in moc2-Einheiten ; diese steht mit der maximalen kinetischen Energie der emittierten Elektronen ira folgenden Zusammenhang:

E 0 w 0 -- -f- 1. (23)

m 0 G2

Schliesslich bezeichnet f in der GI. (22) folgende Funktion :

(1 3 w2 2} 1 w ,.~.2 f ( w o ) = ] / ~ ~w~-- ~ o-- ~ + ~ oln(w 0 + ~ w 0 - 1 ) . (24)

5 2 6 D. KISDI

Setzt man in den Ausdruck fª M mit Hilfe der Gleichungen

r

�9 ~ . = 1- R~ (r) G 0 (0, v) /-

die Eigenfunktionen Rn(r) bzw. Rv(r ) der Eigenwertprobleme (8) und (10) eir, so ergibt sich fª M der folgende Wert :

:o

M = t" Rn Rp dr = 0,558 . O

(25)

Laut der Erfahrung betr/igt die maximale kinetische Energie der emittier- ten Elektronen beim fl-Zerfall des Kernes 209~k �91 0,68 MeV. Bei Heranzie-

8 2 ~ ~

hung dieses empirischen Wertes ist w 0 = 2,3 und f (w0) = 0,63. Setzt man diese Angaben in die GI. (22) ein, so erhiilt man fª die berechnete Halbwertzeit :

T = 2,94 Stunden, (26)

w/ihrend die empirische Halbwertzeit

T emp = 3,32 Stunden betr~igt[8].

6. Diskussion

Es wurde mit Hilfe des modifizierten Potentials die Bindungsenergie des letzten Neutrons des Kernes 2ogpk und des letzten Protons des Kernes 209R:

8 2 ~ ~ 8 3 ~ t

berechnet, ferner der Wirkungsquerschnitt fª die Streuung thermischer Neutronen aro Kern 2~ und die Halbwertzeit des fl-Zerfalls des Kernes 209Ph83 ~~" In allen vier F/illen gelang es, eine griissenordnungsm/issig gute • stimmung zwischen den berechneten und den empirischen Werten zu erzielen. Mit Ausnahme der Bindungsenergie Ep fª das Proton stimmen n/imlich die berechneten und die empirischen Werte innerhalb einer Fehlergrenze von 20 bis 30O/o miteinander ª Da diese vier Daten ein recht heterogenes Gebiet umfassen, ist diese gr6ssenordnungsm/issige • nicht als zuf~il- iig zu betrachten.

Die Energie des Protons Ep liegt tiefer als die Energie des Neutrons En, was mit dem empirischen Befund in Widerspruch steht. Dieser Widerspruch l~isst sich - - worauf schon Gomb• in der vorangehenden Arbeit lfingewiesen hat -- voraussichtlich dadurch beheben, dass man die Dichteverteilung der Neutronen und Protonen als vorreinander betr~chdich verschieden voraussetzt,

DIE THEORETISCHE BESTIMMUNG EINIGER KONSTANTEN DES KERNES 208 Pb 527

u n d zwar mª m a n a n n e h m e n , dass sich die P r o t o n e n m e h r im K e r n i n n e r e n

a u f h a l t e n u n d e twa eine Gausssche D i c h t e v e r t e i l u n g h a b e n , so wie sie hier

vo rausgese t z t wurde , die N e u t r o n e n j edoch c ine r o n dieser betr~icht l ich ver-

sch iedene Ye r t e i l ung aufweisen , e twa v o n der Forro, wie sie in der Fig. 3 der

v o r a n g e h e n d e n A r b e i t von Gomb• da rges t e l l t ist .

LITERATUR

1. P. Gomb• Acta Phys. Hung., 5, 511, 1956. 2. P. Gomb• Acta Phys. Hung., 1, 329, 1952. 3~ P. Gomb• Acta Phys. Hung., 2, 223, 1952. 4. L. Rosenfeld, Nuclear Forces, Vol. II, S. 525. North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1948. 5. L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hfll Book Co., Inc., Ncw-York, 1949. 6. M. D. IVhitaker und IV. C. Bri&ht, Phys. Rey., 60~ 155, 1941. 7. L. Rosenfeld, Nuclear Forces, Vol'~ II, Appendix 1, ~orth-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1948. 8 . . 4 . M. Feingold, Rev. Mod. Phys., 23~ 10, 1951.

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