Z.sngew.Math.Mech. m.29 Nr.,,8 Ju,i,aug.1949 C o 11 a t z , Differenzenverfahren zur numerischen Integration 199

Differenzcnverfahren zur numerischen Integration von gewohnlichen Differentialgleichungen mter Ordnung

Von L. Collatx in Hannover Es werden z w numerischen Berechnung von Anfangswertaufgaben bei gewohnlichen Differentialglei-

chungen n-ter Ordnung zwei Extrapolationsverfahren und zwei Interpolationsverfahren angegeben, Wdche die meisten bisher bekannten Arten der Dif ferenzenverfahren fiir Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung a h Spezialfalk enthalten. Unter den verschiedenen Verfahren zeichnet sich auch bei Differential- gleichungen hoherer Ordnung das Verfahren der zentralen Differenzen durch einfache Koeffizienten und gcnstigere Konvcwgenzbedingungen aus.

For the n ~ m t ! r i c a ~ computation of i n i t i d vague problems of ordinary differential equations of the n-th order, two methods of extrapolation and two others of interpolation are stated, which contain most of the difference methods hitherto known for differential equations of the first and the second order as special cases. Among the severid methods, the central difference method is distinguished by simpler coefficients and more favourable criterza of convergence also in the case of differential equations of a higher order.

am muxenEoro p e m e H E i s I I~OCTHX A a + e p e H q r n a n m a x ypaBHeHEiB n-Horo n o p s I q K a c

IIOnsIQEiOHHblX MeToAa, KoTopbIe coAepsrcaT B cebe B mqe PaCTHbIX c n y s a e B nomw B c e H&¶itJlbHbIMII I’PaHH¶HbIMFi YCJIOBHRMH AaIoTCsI ABa BKCTPOIIOJlBQHOHHbIX H BBa EiHTep-

CyqeCTByIOIQfC? a0 CEiX IIOP MeTOabl PeIIIeHEisI B KOHe¶HHX pa3HOCTRX ~Ei@peHQHaJlbHHX YpaBHeHHB IIe]3BOl’O H BTOpOl’O EOpBAEa. m B CJIy¶ae AEi@3peHqEiaJIbHhTX YpaBHeHEi& bOZef3 BHCOKOI’O IIOpsIqKa MeTOA geHTpaJIbHHX KOHeYHbIX p a 3 H O C T e t OTJIEIPaeTCsI OT APYrEiX MeTOAOB ~ a H b O m d ~ F 3 & IIPOCTOTO~ KOBQII~HBHTOB H donee y 7 4 o b ~ h 1 ~ 1 1 I Q H B H ~ I ~ ~ M E I C X O ~ H M O C T E ~ .

1. Einfuhrung Fur die numerische Integration gewohnlicher Differentialgleichungen sind die Verfahren,

welche Differenzenschemata benutzen, in steigendem Mane verwendet worden, und zwar haupt- saichlich die Extra- und Interpolationsverfahren von Adanis , S to rmer , Nys t rom u. a. fiir Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung. Im folgenden sollen verschiedene Arten der Durchfiihrung fur Differentialgleichungen n-ter Ordnung

besprochen werden.

chungen erster Ordnung zuriickzufuhren :

. . . . . . . . . . . . . . . y(n) = f ( x , y, y’, y”, ., y(n-1) ) (1)

Es liegt an sich nahe, eine Differentialgleichung n-ter Ordnung auf ein System von w, Glei-

y; = y2, 9;; = y3r y!: = 2/49 * * * Y y L 1 = y72, y; =f(., y1, y2, y3, . * ., yn), und dieses mit den fiir Differentialgleichungen erster Ordnung bekannten Verfahren zu behandeln. Jedoch wird dadurch nicht nur die Rechenarbeit groner (z. B. hat man dann w, Differenzschemata), sondern es leidet dabei auch die Genauigkeit ; bejm Differenzenverfahren sinkt die Genauigkeit infolge des m-maligen Einsetzens der Funktionsverlaufe durch Polynome um ganze h-Potenzen der Taylor-Entwicklungl). So bietet die Behandlung einer Differentialgleichung wter Ordnung grundsatzliche Vorteile gegeniiber der eines Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung, und es ist zu empfehlen, ein Systemvon Differentialgleichungen niedriger Ordnung zur numerischen Behandlung in ein System von weniger Differentialgleichungen hoherer Ordnung zu verwandeln, sofern diese Umwantflung analytisch bequem durchfuhrbar ist, und dabei die Funktionsausdrucke in den Differentialgleichungen nicht etwa zu kompliziert werden.

Zur Festlegung einer bestimmten Losung der Differentialgleichung (1) seien fur IC= zo Anfangswerte vorgegeben :

y(z0) = yo, y’(x0) = Yb, - * - 9 y(’+l)(qJ = y,c’t - 1 ) . . . . . . . . (2).

. . ., y(fln-l)-Raunies, in dem die Losungsfunktion und alle Naherungen enthalten sind, einer

(3)

Die Funktion f der Differentialgleichung (1) geniige in einem konvexen Bereich 58 des 2, y, y’,

Lipschitzbedingung * * If(., y, y‘, . . ., y‘n-1)) -f(Z, y, g’, . . ., p-q . . . . . . - . .

y - 0 * *

fur alle Punktpaare y, y’, .... $(%-I) und y, y’, .... ;(‘-I) aus 23. Fur praktische Zwecke

1) L. C 0 1 1 a t z - R. Z u r m u h l , Zur Genauigkeit verschiedener Iutegrationsverfahres bei gewoha- lichen Differcntialgleichungen. Ing.-Arch. 13 (1942), S. 34-36.

Z. angew. Math. Mech. Brl,Zo wr, 7,8 Jnii,Aup,1049 200 C o 11 a t z , Differenzenverfahren zur numerischen Integration

wird man oft setzen:

uberhaupt verlaufen die cberlegungcn bei Differentialgleichungen hoherer Ordnung ahnlich denen bei Gleichungen crster und zweiter Ordnung2), so da13 wir uns hier kurzer fassen konnen.

\Vie bci den Gleichungen ersler und zweiter Ordnung bcsteht die Rechnung aus zwei ganz getrennten Schritien: 1. Man mu13 sich zunachst niehrere Naherungswwte fur y und seine Ab- leitungen und daniit fur die Funktion f , die in der Differentialgleichung (1) auftritt, verschaffen (Berechnung des ,,Anfangsstiiclies"). 2. Bei der , , for thfenden Rechnung" werden die Werte von y und seinen Ableitungcn an dcr Stelle x ~ + ~ ermittclt, vcnn die Werte bei xr, xr-l, ~ ~ - 2 , . . . bekannt sind. Es werdcn mehrere Rechnungsarten an'gegeben.

2. Hilfsfornieln aus der Differenzenreehnung Urn spater die Gedankengiinge nicht unterbrechen zu niiissen, stellen wir hier einige nach-

her gchrauchte Hilfsforrncln zusainmen. Es seien f k =f( q) dic Funktionswerte einer Funktionf(x) an aquidistanten Stellen xk = q, -+ lzh (fur k = 0, 1, 2, .... N , manchnial auch nicht ganzzahlig) mit h als Maschenveite. Mil den ublichcn Differenzenoperatoren

. . . . . . . . . . . . . . . (5) d f k = f k + I - f k

v f k = f k - f k -1

hat man die belianiilcn Intcrpolationspolynome mit der Abkurzung u = - 2 - x o ) : Das ,,New-

tonschc Intcrpolal ionspolyno~ii mit ahstcigcnden IMfcrcnzcn" : ( h

mit den1 Restglied3)

. . . . . (7)

7:: ... , x.+ und x enthalt), das ,;n'cwtonsclie Interpolationspolynom mit aufsteigenden Differenzen .

7' (7' -t 1 ) * * * (u + P) hP +. I f ( y + 1) (t) Rp+ I(%) - f ( x ) - XP(x) =z - ( P + I ) !

(mit 5 als geeignetcr Zwischenslclle in einem Inlcrvall dcr x-Achse, welches die Punkte x0, z

und das Stirlingsche Interpolationspol~nom, wclchcs wir nur fur gerade aufschreiben:

R,+,(s) = f ( s ) - St&) = . . . . . . . (10).

Aus den1 Stirlingschen Interpolationspolynom gewinnt man die symmetrische Darstellung4), bei

2, R. v. &i i s c s , Zur numcrischen Integration von Differentialgleichungen. Z. angew. Math. Mech. 10 (1930), S. 81-92. - G. S c h u 1 z , Interpolationsverfahrcn zur numerischen Integration gewohnlichtr Differentialgleichungen. Z. angew. Aiath. Xech. 12 (1932), S. 4-1-59. - G. S c h u 1 z, Fehlerabschatzung fur das Stormersctie InteSrationsvcrfaliren. Z. angew. &lath. Bfcch. 14(1934), S. 224-4234 - W. T o I 1 rn i e n, mcr die Fehlerabschatzung beim Adamsschen V~rfahren ZUI Integration gewohnIicher Differentialgleichungen. Z. angew. Math. Mech. 18 (1938), S. 83-90. - E. L i n d e 1 o f , Remarques sur l'integration nue r ique des Cquations diffcrcnticlles ordinaircs. Acta soc. sci. Fcilnicae A 3 (1938), Nr. 13,21 S. - L. C o 1 1 a t z - R. Z u r - in u 11 1 , Bcitrage zu dcn Interpolationsverfahrcn der numerischen Integration von Differentialgleichungen cyster unct zwciter Ordnung. Z. angew. 31ath. 1RIech. 22 (1942), S. 42-55. - L. C o 11 a t z, Natiirliche Schritt- weite bci numcrischer Integration von Differentialgleichungssystemen. 2. angew. Math. Mech. 22 (1942), 6 . 216-22.5.

3, Vgl. z. B. F r. A. W 11 1 c r s , Xcthoden der prakhschcn Analysis. Berlin und Leipzig 1928, hier im- hwondcit. S. V f f . und G. S c h u I z , Formelsanimlung zur praktischcn Mathersatik. Sammlung Goschen,

4, J. I?. 8 t o f f t: n s o n , Interpolation, S. 29. Baltimoru 1927. Bd. 1110. Loipzig und Bcrlin 1937. #

Z.~€lV.MBth.Yecb. Bd,29 Nr, ,,8Su,,,Aup, ,Q40 C o 1 1 a t 1; , Differenzenverfehren zur numerischen Integration 201

1 12 - (3 Y2 + 2 US)

24 1 (2 d + u')

1 240

1 720 (3 US + re)

- (5 ~4 + 2 ~ 5 )

der das Restglied von hoherer Ordnung ist :

2 i u2 ' uzc"(u2 - 1) v4fs + * ' -

41 = f o + 21 V 2 f i + f ( z o + U h ) +.f(zo - 4

1 24 - (4 u2 4- 4 us + u4)

~ 1 (20 u3 + 15 U' 4- 3 d ) 360

1 720

1 - (14 tP + 7 U' f u') 5040

~ (10 up + 6 II' + u6)

mit

3. Integrationen der Interpolationsformeln Integriert man bei der Newtonschen Interpolationsformel (6) , (7) die Funktion f(z) uber

das Interval1 von zo bis s (es ist 2 = zo + uh gesetzt), so entsteht

z . . . . (13) j f ( z ) d z = h j N , ( a ( u ) ) d u +hjR,+1dz='f(z)-- ' f (z0) $0 4

US 3 u2 + 2 us 12 = h [& +T v f o + v 2 fo + * * -1 + R1, P + 1

und bei a-facher Integration

Dabei bedeutet @)f ein v-faches unbestimmtes Integral der Funktion f(s) = (0)f X

(")f= / ( Y - l ) f d s ( V = 1, 2, . . .). . , . . . . . . . . . (15) und es ist (mit R o , ~ + 1 = Rp+ 1) gesetzt

Rv, P + l = 7 R,,--I, p + l d s ( Y = 1, 2, . . .) . . . . . . . . . (16) ZI

und Pn, p(u) erhalt man durch n-fache Integration U U --

(la = 1, 2, ;. .) . . (17). 1 P ~ , , ( U ) = / . - - / ( u + e - ' )au-.- au fiir e k 1

0 0 n-fach 1 Un pn,o (4 = 2

Einige Pa,@ fur kleine Werte von n und e sind in der Tabelle angegeben.

P 01 y n o m e P,t+ ~ (u) - __

n = l

?L = 2

71 - 3

R = 4

?z!z=!?

? = a __

u

1 - u2 2

1 - Y3 6

1 %i u4

- ~

p = 1

1 2

1 6

1 - u4 24

1

- - u*

- u3

180 u5

e = 2 I p = 3 e = 4

1 (90 u* + 110 u3 + 45 up + 6 u5)

1 (60u3f55u4+18uC+9ud)

720

1440

- ' (105u4+ 77 us + 21 us+ 2 uT) 10080

2.angew.Math.Mech. 202 C o 11 a t x , Differenzenverfahren zur numerischen Integration Bd.29 Nr.,,8Ju,i,Aug,,940

i

Mit Einsetzen der oberen Grenze 5 = 3 entsteht

251 i20

3 32

41 2016

89 24192

-

~

__

Dabei bedeuten die Koeffizienten pn, die Zahlen

p / / , p = P , , , , ( 1 ) = . . . . . . . (19). u o 0 n-fach

95 288

- _ _

Die ersten Zahlen ,%,n sind Z a h l e n B , r , ,

- - 12

1 8

7 240

1 180

~-

5 3 8

19 180

17 720

11 2520

- -

~ _ _

In (18) lafit sicli nacli (7), (17) das Restglied abschatzen durch 1% P + 1 ( 4 2 Bn, P +1 h p + 7 i + l J f ( p + 1 l n l a x . . . : . . . , . (20).

Setzt man als obere Grenze x= z-~, so entsteht 2

-r__ . . (21). P

11 - 1

y = 11 r a ba n-fach

= (- l)n + Q h'~ 2 y n , p B e jo + ~ n , p + 1 (5- 1)

w f 2 - 1

p = l J

Dabei ist - 1 ?I. 11

-- n-f ac 11 n-fach

= (- 1)7~ + Q pn, (- 1) Die ersten Zahlen y,,, sind

Z a h l e n Y , ] , ~

I?= 0 /B = 1 e = 4

19 720

7 480

47 10080

--

_ -

-

N&irlicll kann man diese Zahlen y p I , rnit aufsteigenden Differenzen Aef, gewinnen.

auch durch Integration der Newtonschen Formel (8)

203 2. angew. Math. Mech. Rd, 29 Nr, 7 / R Jul ,95!, C o 1 1 a t z , Differenzenverfahren zur numerischen Integration

U + 1

1 ,(u+ 1)2

1 ~ ( u $ l ) ~

1 g (U + 1)4

wobei fur das Restglied S leicht eine Abschatzung durch Integration des Restgliedes in (8) auf- gestellt werden kann.

AuBer diesen Koeffizienten werden noch andere Grol3en /3:, gebraucht. Dam wird als untere Grenze

I S \ S y , , , + 1 h P + I t + 1 ( f ( p + l ) ] m a x .

an Stelle von z,, in (13) bis (19) verwendet. Man erhalt bei n-facher Integration

1 - (2 12

+3-3r -2) 24

1 - - ( ~ ~ - 6 ~ ~ - 8 ~ - - - 3 ) 24

1 1 - (u5- 10 213-20 ~ 2 - 15 u - 4) 120 720

+ 3 u'- 1) 1 2

1

-((.2-1)

- 1 (.4 + 2 %3 - 2 U- 1)

1 - (2 US + 5 u4 - 10 U' - 10 u - 3) 240

- (u6 + 3 u5- 10 u3- 15 U' -9 u -2)

Dabei entstehen die Polynome PE, durch n-fache Integration:

1 p:, o(u) = -J (u + 1)"

Die folgende Tafel gibt die Polynome PE, fur einige Werte von n und e : P o l y n o m e PEJU),

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = l

11. = 2

n = 3

n = 4

e = 3

1 24

1 360

1 720

1 5040

-((u*+ 4u3+ 4 ~ * - 1 )

-- (3 u5 + 15 U' + 20 U* -15 U-7)

- (u6 + 6 u5 + 10 u'-15 u2- 1 4 ~ - 4 )

-(u'+ 7 u'+ 1 4 ~ ' - 3 5 ~ ~ - 4 9 ~ ' - 2 8 ~ -

@ = 4

1 720

1 - - - ( 2 ~ ~ + 5 5 ~ ~ + 6 0 ~ ~ - 3 8 ~ - 1 7 ) 1440

-(6 u5 f 45 u4 + 110 u3 + 90 u'-19)

p:, = 1 I ... J' -k :--I) d u ... dzC . . . . . . . . . (28). P

- 1 -1 -1 n-fach

204 C o 1 I a t z , Differenzesverf&n aur numeriachen integration Bd. 29 Nr. Z.angew.Msth.H&. Ju,i/Awn. 19c9

Die ersten Zahlen j:, sind Z s h l e n f l ; , ,

Durch Einsetzen der Definitionen beweist man B ~ , e $ P ~ p + i = & , ~ + i ( e=0 ,1 ,2 , ...) (n=1,2,3, ...) . . . , . . (29).

Wegen Pn, o = #?:, = - erhalt man bei Addition der Gleichungen (29) fur e = 0, 1, , . ., p - 1 1 nl ...

2 In*, = #Ili, . . . . . . . . . . . . . . . (30). e - 0

Fur das Restglied RE, p + (a,) folgt wieder aus (7), (27), (28)

SchlieBlich erhalten wir bei mehrfacher Integration der Stirlingschen Interpolationsformel (10) mit

I R E , p + 1 (so)/ ~ I B ~ , Q + I I h * + n f i ( f ( p + l ) ~ m a x . . . . . . . . . (31).

1 @(.)=T[f(so +uh) + f ( ~ o - ~ u h ) ] . . . . . . . . . . . (32)

mit c = q als oberer Grenze P - i’ 1. . . 1 @ ds -_- - a . ,jx = hn 2 PE, v* Q.fe + a:, (q)

2 0 4 r e n-fach p - 0

Dabei bedeutet

Rtrp = R;* nach (11) J Die ersten Zahlen b’ntp sind

Zehlenj3E.z

. . . . . . . (34).

1 1512 __

31 120 960

205 C o 1 1 a t z , Differenzenverfahren zur numerischen Integration

Das Restglied RE,$ kann nach (12) abgeschatzt werden durch ( p war als gerade Zahl

Z.angew.Math. Mech. Bd.29 Nr.7,8 Jull,dup. ,949

vorausgesetzt) :

4. Berechnung des Bnfangsstuckes Es stehen im wesentlichen die gleichen Hilfsmittel wie fur Differentialgleichungen erster

Ordnung zur Verfugung: I. Verwendung eines anderen Naherungsverfahrens. Auch hier wird man in ersler Link

das Runge-Kutta-Verfahren heranziehens), und zwar wegen der beim Anfangsstiick besonders wichtigen Genauigkeit am besten mit halber Schrittweise oder Viertelschrittweite.

11. Benutzung der Taylorschen Reihe fur y(s) und die Ableitungen. 111. Benutzung von Quadraturformeln. Man kann hierzu die Formeln (25), (33) verwenden:

l$r eine, Rechnung mit zweiten bzw. .dritten Differenzen benotigt man noch Formeln fur yi”) biw. auch fur yirn).

Diese Formeln verwendet man als Integrationsformeln, indem man sich zunachst Rohwerte fur d”), yim), @) (etwa grob mit der Taylorschen Reihe bis zu drei Gliedern mit y@) ein- schlieBlich) verschafft, dann fl,f2,fa und die Differenzen ausrechnet und diese Werte auf den rechten Seiten einsetzt, um die auf der linken Seite stehenden Werte dadurch in nashster Naherung zu erhalten. Wir beschreiben nun mehrere Verfahren der fortlaufenden Rechnung.

6. Extrapolationsverfahren Es seien bis fur die Stellen zg (fur e = 1, . . ., r) Naherungen gQ, yp, . . ., yp(R-l) fur die

exakten Werte y(qJ, y’(z,), . . ., g(*-l) (zJ bekannt, und es sollen Naherungen y,+ 1, yi+ I,

s, Formelnfiir Differentialgleiohungen n-ter Orbung wurden 8ufgeBtdt von R. Zur m 6 h 1 , R u z1 g e - B u t t a -Verfitfiren dm numeriaohen Integration von Differentialgleichungen fi-ter Ordnung. Z. angew. Math. &ch. 28 (1948), S. 173482.

Z.angew.Math.Meeh. Bd,29 Nr,7,8J,,,i,Aur,1949

Y r + 1 (a -1) ermitielt ~verdcn. Nach (18) gilt fur die exalde Tikungsfunklion, wenn man dorl n

206 C o 1 1 a t z , Differenzenverfahren zur numerischen Integration

durch n-rrh, ferncr r0 durch rr ersetzt und yen) =f bcnutzt,

n = 1

71=2

n = 3

n = 4

\+TO f( 2, y (21, y‘(4, . - 9 yO1-1) (2)) = F ( z ) . . . . . . . . . * (40) gesetzt ist, und fur das Restglied die Abschatzung (20) gilt. La01 man das Resfglied R fort, so erhalt man die Falkncrsclie Extrapolalionsforrnel 6, fur Nalierungswerte y:,”), :

5 3 2.51 95 1 1 --- 2 12 8 720 288

1 19 3 I 0 ._~

12 12 240 40

- - - -

- - - 1

1 1 -- l o 0 - 240 2

1 1 1 - 1 - 0 -- 720

Fur n = 1 ist die Adamssche E~trapolationsformcl f iir niffercnticllgleicliunjicn ersler Ordnung als Spezialfall cnthalten, fur n= 2 ergihl sic11

Allgemein sind die Koeffizienten p,,, Es lassen sich riocli auf mannigfache andere Arlen Extrapolationsformeln aufstellen. Man

ltann z. B. durch Kombinationen Fornieln aufstellen, in denen nur y- und f-Werte vorkomnien, in denen also aIle Zwischenableitungen eliminicrt sind. ( Solche Formeln sind besonders geeignet, wenn die Differentialgleichung die Form hat ~ ( ’ ~ ) = f ( z , y).) .%ur Herleitung schreiben wir die GI. (14) fur die Argumente z = zl, z+, zP2, . . ., x-),+ an und multiplizieren diese Gleichungen

einzeln mit den Faktoren (:). (3, - (’), (3, - (g). . . ., (-1y (3, multiplizieren also die

Gleichung fur z = z - ~ niit (-1)Q+ (* Addition dieser Gleichungen ergibt mit (.y= y

durch (19) gegeben.

P

e = O y(2J - (7) y(z0) + (;) y(r-1) - * - * + (- 1)” y(2-7, 1 1 ) = F”y(r,) = h” 25 L, Q W f 0 + r;! (43)

mit

u ntl R - 1

q = 1 ii= R n , p + 1 ( 2 1 ) +2 (-1)“+1 (g RtL, p + l (,z-*) . . . . . . (45).

Die crsten Zahlen Ca, sind: Z a h l e n t , ,

Die Formel (43) fur Differentialgleichungen 1%-ter Ordnung enthalt speziell bei Fortlassen der Restglieder fur n= 1 die Adamssche Extrapolationsformel und fur .n= 2 die Stormersche Extrapolationsformel.

Bei Differentialgleichungen dritter Ordnung fallen wegen (32=[33= 0 die Glieder mit v 2j und v3f heraus:

+ * * - ) . . . . (46). 1 1 y , + l = 3 y r - 3 g y , - l + y r P 2 +h3((S , - - ,~ jr I +,r4f 2-io

6 ) V. M. F a 1 k n e r , A method of numerical solution of differential equations. Philos.’Mag. 7. ser., 21 (1936), S. 621-640.

Z.angew.Math. Bd.29 Nr.7/8Jn,,/Aua,,849 Mech. C o 1 1 a t z , Differenzenverfahren zur numerischen Integration 207

n--n \ -- z hze ~ ( m ) ( ~ r ~ ~ ) = - ~ ( m ) ( ~ T - ~ ) $ 2 2 &Jj y@+Q) ( q r )

p = O P 2 -

f 2 h n - m 2 / 9 $ + _ m , e v z Q F ( x ~ + , ) + 2 R,?Tm,p furgeradesn-m e-0

12-m-3 2 hZe+l

e - 0 ( 2 e + I)! y(") (%+ 1) = y(m) f z r - I) f 2 2 -- yW+ 1 ee) ( s f P 2 -

3-2 h n - " 2 /3E"-m,e V 2 e 2 ' ( x r + + ) +2 REY-n,p fur ungerades ~n-m e-0 /

Hricht man hier nach den1 Gliede mit V j T ab, so hat man eine sehr einfache und doch genaue Formel. Man braucht nur die ersten Differenzen mitzufuhren (sofern man nicht wegen Auf- tretens von y' oder y" in der Differentialgleichung und damit wegen der Formeln fur y' oder y" hiihere Differenzen benotigt).

Auch bei Differentialgleichungen vierter Ordnung ist die bei Abbrechen nach dem Gliede V 2 f aus

1 1 Y T + ~ == 4 Yr - 6 y r - 1 + 4 Y T + Z - yr--3 $h4 (A- V f r +x V 2 f r - - V 4 f i f * .) (47) 720

entstehende Formel sehr einfach.

, . . . (53).

6. Int erpolationsverf ahren Wieder seien fur die Stellen re (e = 1, . . ., r ) Naherungen yr) fur die exakten Werte

y''') (2,) (fur Y = 0, 1, . . ., fin-1) bekannt, und Naherungen y:', sollen ermittelt werden. Nach (26) gilt fur die exakte Losungsfunktion, wenn man dort n durch n-rn, xo durch xr+l ersetzt und y(") = f benutzt :

n-m-1 hV 1,

y ( m ) ( ~ r + ~ ) = l C - Y ( ~ + " ) (x,) + h " - " ~ B f - m , e 1 7 ' 1 P ( Z r + 1 ) + R : - t m , p + 1 . (48), e - 0 y = o v !

wobei wieder die Abkurzungen (40) fur F, (28) fur /32-nt,p benutzt sind und fur das Restglied die Abschatzung (31) gilt. Bei Fortlassen des Restgliedes erhalt nian die Interpolationsformel fur Naherungswerte y:y)i.

Fur n = 1, rn= 0 ist die Adamssche Interpolationsformel fur Differentialgleichungen erster Ordnung als Spezialfall enthalten.

In (49) treten die Unbekannten y$), auf beiden Seiten auf, man verwendet daher die Gleichung zur iterativen Berechnung, indem man die v-te Naherung y ~ ~ ~ l auf der rechten Seite einsetzt und daraus die (Y + 1)-te Naherung berechnet :

I Die Naherungsstufe 1' ist dabei ZUT Unterscheidung von den Ableitungen durch eckige Klammern [v] gekennzeichnet.

Gelegentlich verwendet man die G1. (49) auch in der Form, bei der die Differenzen durch die Funktionswerte ausgedruckt sind. Die Gleichung lautet dann

mit den neuen Koeffizienten P

pz u, = (- 1)" 2 /?;, 6) . . . . . . . . . . . . . (52). e = a

2. angew. Math. Mech. C o 1 1 a t z , Differenzenverfahren zur numerischen Integration Bd, 29 Nr, ,,* Ju,i,Aug, 1949 - 208

Verfahren der zentralen Differenzen :

I I Y?+!l=

I fur gerades n-wt

P 2 -

+ 2 h" -m 2 P Z m , p v ' f f r + e p = o

Gewohnlich wird man die letzte Summe beim Gliede p= 2, also e= 1, abbrechen, da fur e= 2 bereits auJ3er der Unbekannten p + l noch die Unbekannte y7+2 auftreten und damit die Durchfiihrung des Interpolationsverfahrens umstandlich gestalten wiirde').

Es seien noch einmal die Formeln (54) ausfuhrlirher angeschrieben (die folgenden Glei- chungen reichen aus fur Differentialgleichungen bis zur vierten Ordnung einschliefllich) :

7. Konvergenz der Iteration bei der fortlaufenden Rechnung Zur Konvergenzuntersuchung werden die Interpolationsformeln in der auf die Funktions-

werte umgeschriebenen Form entsprechend (51) verwendet. Schreibt man die Gleichung lur Y und Y - 1 an, so ergibt Subtraktion fur den Unterschied die Beziehung

Dabei sind die Zahlen f i : , ~ , ~ nach (52) und nach (30) B

e - 0 bzo, B =z /?:, 4 = /?P, P

Die rechte Seite wird mit Hilfe der Lipschitzbedingung (3) abgeschatzt

Multipliziert man diese n-Ungleichungcn mit KO, El, .... Kn--], so erhalt man bei Addition

z"y1 = 2 K , I CYQ) [PI I . . . . . . . . . . . . . - (58)

fur die GroBe rr -1

Q = o die Ungleichung

v[Yl 5 c w[?11 . . . . . . . . . . . . . . . (59) mit

Nach bekannten Satzen ist C < 1 hinreichend fur die Konvergenz von 2 c[Yl und, da wir die

K, als positiv voraussetzen konnen, auch fur die absolute Konvergenz von 2 &m)[vl beim Iterationsverfahren.

C = h n I / ? m , p l K o +h"-l I/?n.-1,pIIil + * a . + h l / ? l , p I K n - 1 - * - (60). 00

v = o 00

y = o

Die hinreichende Konvergenzbedingung lautet somit 1 1 1 2 24 fur p = l : - -hKn- l + ~ h 2 K , * - 2 + - h S K n - 3 + . . ' + l P ! / ? , l , l ~ K o ~ l ,

') E. L i n d e 1 o f a. a. 0. gibt bei Diffaentialgleicbuzlgen eretet nnd zweiterordnung Arten der Mitberiick- aiohtigung dee Gliedes P*fr+2 an.,

209 Bd.29 N;.7,8Jull,A;g.1949

Bei wachsendem p nehmen die I Pit I ab, es darf dann h ein wenig vergrofiert werden. Die iiber- lcgung fur das Verfahren der zentralen Differenzen (54) bei Abbrechen nach den1 Gliede mit P2f r+ fiihrl entsprechend auf

Z.angew Math. Meeh C o 1 1 a t z , Differenzenverfahren zur numerischen Integration -

n

1' = 0 2 2 1P-" I p:!Yt,, 11 IT,, < 1

oder ausfiihrlich 1 1 1 * J 1'2 60 , h K J t = 1 $ , h 2 J c i t - " + y h ' K j i - : , + * * . +2JL"I/?:*1IKo< I . . . . . (61).

Gegeniiber den obigen Fallen fur p = 1 und p = 2 sind die Koeffizienten abermals verkleincrt, es dnrf ?A nocli etwas grofler als ohen gewahlt wcrden.

8. Prinzip der Fehlerabschatzung fur die fort(1arifende Rechnung Die Fehlerabschatzungen kiinnen fur die verschiedenen Arten von Extra- und Inter-

polationsverfahren in derselben Weise durchgefiihrt werden. Wir heschranken uns auf die Ab- schatzung bei der Interpolationsformel (49). Durch Sublraktion der Gleichungen (45) und (49), wobei die Differenzen r e f entsprechend (51) durch die Funktionswerte ausgedriickt sind, erhalt man fur die Fehler

die Gleicliungen E'y"' = y!"' - y(m)(rT) . . . . . . . . . . . . . . . ((2)

Dabei ist die Abkiirzung (40) verwendet. Die Differenz der Funktionswerte kann mit Hilfe der Lipschitzbedingung . (3) abgeschatzt werden:

In (64) haben wir ein System von n Ungleichungen fur n Fehler E\? 1, aus denen man sie ab- schatzen kann, wenn man die rechten Seiten em, d. 11. Schranken fur die friiheren Fehler &lrn), (4 ... kennt. %-I- I / P - * , p I > 0 (nach der bereits in der vorigen Nummer niitigen Voraussetzung C < 1 in ( G O ) )

und alle anderen Koeffizienten auf der linken Seite negativ sind. Fur obere Schranken Y',") der Fehler (Y',") 2 lckm)/) erhalt man somit ein Gleichungs-

system, indem man in (64) Y',") stat t E ! ~ ) und anstatt rles Zeichens I: ein Gleichheilszeichen schreibt.

Hierbei wird ein Hilfssatz von G. S c h u l z benutztl), da in (64) 1 - ?P-m K m

Damil ist eine rekursive Fehlerabschatzung durchfiihrbar. Man kann auch wie bei den Differentialgleichungen ersler und zweiler Ordnung inde-

pendenle Fehlerabschatzungen durchfiihren und Schranken

aufstellen mit y m und em als Konstanten. Die fur das Wachstum dieser Schranken enlscheidende GroBe 2 ist dabei Wurzel der Gleichung D = 0 mit

Y y ) s y m + C m 9

I -

s, G. S c h u 1 z, Z. angew. Math. Mech. 12 (1932), S. ,558--554. Eingegmlgen: SO. 10. 1948.