DIPLOMARBEIT - homepage.univie.ac.at · 2 DANKSAGUNG Zuallererst gilt mein Dank meinem Betreuer Priv.-Doz. Mag. Dr. Bernhard Krön. Jederzeit hat er mich kompetent unterstützt und

DIPLOMARBEIT

Titel der Diplomarbeit

Beweise im Mathematikunterricht der AHS Begriffsklärung, didaktische Aspekte und Durchführung einer statistischen Erhebung

verfasst von

Stefanie Stockinger

angestrebter akademischer Grad

Magistra der Naturwissenschaften (Mag. rer. nat.)

Wien, 2015

Studienkennzahl lt. Studienblatt: A 190 299 406

Studienrichtung lt. Studienblatt: Lehramt UF Mathematik UF Psychologie und Philosophie

Betreuer: Priv.-Doz. Mag. Dr. Bernhard Krön

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DANKSAGUNG Zuallererst gilt mein Dank meinem Betreuer Priv.-Doz. Mag. Dr. Bernhard Krön. Jederzeit

hat er mich kompetent unterstützt und fachlich beraten. Er hat sich immer Zeit für mich

genommen und mir hilfreiche Ratschläge erteilt.

Selbstverständlich möchte ich mich auch bei meiner Familie, besonders meinen Eltern

bedanken. Nicht nur ihrer finanziellen Unterstützung, ohne die mein Studium an der

Universität Wien kaum möglich gewesen wäre, sondern auch darüber hinaus konnte und kann

ich mir ihrer Unterstützung immer sicher sein: Egal was ich mache, ich weiß, dass sie hinter

mir stehen und stolz auf mich sind. Auch bei der Erstellung meiner Diplomarbeit konnte ich

jederzeit auf ihre Hilfe zählen. Danke euch dafür!

Natürlich waren in der Zeit des Studiums auch meine Studienkolleginnen und -kollegen ein

wichtiger Halt. Ich bin immer gern in Lehrveranstaltungen gegangen und das lag zu einem

ausschlaggebenden Teil an ihnen. Ich bedanke mich für die wunderschönen Jahre und ich

hoffe, dass wir uns auch in Zukunft oft sehen und in Kontakt bleiben werden.

Besonderer Dank gilt auch meinem Taufpaten Walter Gasperi, der mich schon immer

tatkräftig unterstützt hat.

Auch den zahlreichen Lehrpersonen, die sich die Zeit genommen haben, um meinen

Fragebogen auszufüllen und ohne die meine Studie unmöglich gewesen wäre, möchte ich

recht herzlich danken.

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ABSTRACT Vor allem Elternteile kennen die Frage „Warum?“ nur allzu gut. Gerade Kinder fragen sehr

häufig nach dem Grund. Doch ist dies auch im Mathematikunterricht an den österreichischen

AHS der Fall? Dürfen die Schülerinnen und Schüler diese Frage stellen bzw. wird ihnen diese

Frage beantwortet? Mit dieser Frage beschäftigt sich die folgende Arbeit.

Leider ist zu sehen, dass Beweise im Mathematiklehrplan der AHS keine bedeutende Rolle

einnehmen. Im Rahmen der standardisierten Reifeprüfung wird dieser Eindruck verstärkt.

Auch die durchgeführte Studie zeigt, dass nicht immer Beweise durchgeführt werden. Der

Hauptgrund dafür ist deutlich: Den Lehrkräften fehlt die Zeit.

Das ist schade, da Beweise wichtige Funktionen haben. Denn diese dienen nicht nur dem

Verständnis, der Überzeugung oder Ähnlichem, ein weiterer wichtiger Grund, der auch bei

der standardisierten Reifeprüfung hoch geschrieben wird, ist dabei auch das Vernetzen von

bereits angeeignetem mit neuem Wissen. Obwohl das den Lernenden oft schwer fällt, ist es

wichtig diese Kompetenz zu fördern und sich die Zeit für Beweise im Unterricht zu nehmen.

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INHALTSVERZEICHNIS

Danksagung ........................................................................................................................................ 2

Abstract ................................................................................................................................................ 3

1. Einleitung ........................................................................................................................................ 6

2. Theoretischer Hintergrund ...................................................................................................... 8

2.1. Beweis ..................................................................................................................................................... 8 2.1.1. Was ist ein Beweis? .................................................................................................................................... 8 2.1.2. Arten von Beweisen ................................................................................................................................... 9

2.2. Argumentieren und Begründen .................................................................................................. 11 2.3. Verhältnis von Argumentationen, Begründungen und Beweisen .................................. 14 2.4. Wozu Beweise?.................................................................................................................................. 15 2.5. Prozess des Beweisens ................................................................................................................... 17

2.5.1. Finden einer zu beweisenden Aussage............................................................................................ 17 2.5.2. Formulierung der Behauptung ........................................................................................................... 18 2.5.3. Testen der Behauptung .......................................................................................................................... 18 2.5.4. Bestimmung der Argumente und ihr Organisieren zu einer Deduktionskette ............... 18 2.5.5. Festlegen der Argumente nach gewissen Standards ................................................................. 19 2.5.6. Formaler Beweis ....................................................................................................................................... 19 2.5.7. Akzeptanz durch die mathematische Gemeinschaft .................................................................. 19 2.5.8. Resümee ....................................................................................................................................................... 19

2.6. Prozess des Beweisens in der Schule ........................................................................................ 20 2.7. Finden von Beweisen ...................................................................................................................... 22

2.7.1. Analogiebeweise ....................................................................................................................................... 23 2.7.2. Beweise mit unterschiedlichen Fällen, wobei mindestens ein Fall durchgeführt ist ... 27 2.7.3. Verallgemeinern eines Beweises ....................................................................................................... 30 2.7.4. Beweise durch Aufgaben erarbeiten ................................................................................................ 32 2.7.5. Beweise mit bereits bekanntem Beweismuster aus dem Gebiet .......................................... 35 2.7.6. Beweise verbunden aus bekannten Beweismustern aus dem Stoffgebiet ....................... 37 2.7.7. Bekannte Beweismuster in einem neuen Themengebiet anwenden .................................. 39 2.7.8. Beweislücken nach einer Beweisskizze schlissen ...................................................................... 40 2.7.9. Kombination der bereits genannten Methoden ........................................................................... 40

2.8. Beweiskompetenz ............................................................................................................................ 41 2.8.1. Was ist Beweiskompetenz? .................................................................................................................. 41 2.8.2. Studien zur Beweiskompetenz von Schülerinnen und Schülern .......................................... 43

2.8.2.1. PISA ............................................................................................................................................................................ 43

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2.8.2.2. TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)................................................. 49 2.8.2.3. Andere Studien ...................................................................................................................................................... 49

2.8.3. Schwierigkeiten beim Beweisen ........................................................................................................ 53 2.8.4. Beweiskompetenz fördern ................................................................................................................... 54

2.8.4.1. Motivation im Mathematikunterricht ......................................................................................................... 54 2.8.4.2. Schaffen einer Begründungskultur .............................................................................................................. 55

2.8.5. Lehren von Beweisen .............................................................................................................................. 57 2.8.6. Resümee ....................................................................................................................................................... 59

2.9. Die Rolle von Beweisen im österreichischen AHS-Lehrplan ............................................ 60 2.9.1. Unterstufe .................................................................................................................................................... 60 2.9.2. Oberstufe ...................................................................................................................................................... 62 2.9.3. Resümee ....................................................................................................................................................... 64

2.10. Die Rolle von Beweisen bei der Standardisierten Reifeprüfung .................................. 64

3. Statistische Erhebung .............................................................................................................. 68

3.1. Auswertung der Studie................................................................................................................... 69 3.1.1. Allgemeiner Teil ........................................................................................................................................ 69 3.1.2. Beweise im Einzelnen ............................................................................................................................. 76

3.2. Interpretation der Studie .............................................................................................................. 88

4. Hilfreiche Beweise für den Mathematikunterricht ....................................................... 93

5. Diskussion und Ausblick ........................................................................................................ 96

6. Literaturverzeichnis ................................................................................................................ 98

7. Anhang ....................................................................................................................................... 102 7.1. Fragebogen .......................................................................................................................................102

Curriculum Vitae ......................................................................................................................... 120

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1. EINLEITUNG Beweise stellen einen wichtigen Teil der Mathematik dar. Für Alsina und Nelson (Alsina &

Nelson, 2013, S. VII) bilden Beweise sogar das Herz der Mathematik. Doch dies wird den

angehenden Lehrpersonen oft erst während des Mathematikstudiums klar. Boreo (Douek,

2007, S. 163) meint sogar, dass dies eine der größten Schwierigkeiten ist, auf die

Studentinnen und Studenten zu Beginn ihres Studiums stoßen. In der Schule wird meist nicht

sehr großen Wert auf diesen Bereich der Mathematik gelegt, für Fischer und Malle (Fischer &

Malle, 1985, S. 178) führen Beweise im Mathematikunterricht ein Schattendasein. Auch

Hanna (Hanna, 2007, S. 3) meint, dass in den letzten dreißig Jahren Beweise weniger wichtig

geworden sind und im Unterricht größtenteils darauf verzichtet wird. Allerdings sollten diese

nach Hanna (Hanna, 2007, S. 3) weiterhin von großer Bedeutung sein, da diese das

mathematische Verständnis sehr fördern.

In dieser Arbeit werde ich dieser Meinung nachgehen. Stellt sich heraus, dass die

Lehrpersonen im Unterricht Beweisen tatsächlich nur sehr wenig Beachtung schenken, so

stelle ich mir die Frage, die sich im Mathematikunterricht öfter gestellt werden sollte:

Warum? Warum spielen Beweise eine geringe Rolle?

Bevor auf diese Fragen genauer eingegangen wird, wird erläutert, was ein Beweis ist und was

ihn ausmacht. Außerdem werden die Begriffe Argumentieren und Begründen genauer unter

die Lupe genommen und es wird ihr Zusammenhang zum Wort des Beweises hergestellt.

Wichtig ist auch zu klären, was die Funktionen eines solchen sind. Denn nur wenn klar ist,

warum Beweise gemacht werden sollten, sind diese auch sinnvoll. Weiters wird auf den

Beweisprozess selbst eingegangen. Wie läuft ein solcher ab? Ist dieser im Unterricht bei den

Schülerinnen und Schülern anders strukturiert als bei den Expertinnen und Experten? Im

Anschluss wird erläutert, wie Beweiskompetenz in der Schule entwickelt werden kann. Dazu

werden einige Studien betrachtet und es wird versucht zu klären, was die Schwierigkeiten für

die Lernenden beim Beweisen sind. Es wird dann versucht Mittel zu finden, um diesen

entgegenzuwirken.

Natürlich wird generell analysiert, wie wichtig Beweise im Unterricht in Österreich sein

sollten. Dies wird erreicht, indem der Lehrplan genauer unter die Lupe genommen wird. Da

das Ziel einer AHS die Reifeprüfung darstellt, welche seit 2014/2015 standardisiert ist, soll

auch auf diese eingegangen werden. Dabei wird betrachtet welche Rolle Beweise bei dieser

neuen Prüfungsform spielen.

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Um die bereits angesprochenen Fragen, welche Rolle Beweise im Mathematikunterricht

spielen und warum sie eventuell nicht gemacht werden, zu beantworten, habe ich eine Studie

an Lehrpersonen in Österreich durchgeführt. Mit der nun anstehenden standardisierten

Reifeprüfung drängt sich die Frage auf, ob Lehrpersonen nur mehr nach ihren Inhalten

unterrichten, oder ob auch Stoffgebiete behandelt werden, die für diese nicht von Bedeutung

sind. Betrachtet man die Rolle von Beweisen bei der neuen Reifeprüfung, so wird schnell

klar, dass diese möglicherweise sogar gänzlich im Unterricht fehlen würden.

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2. THEORETISCHER HINTERGRUND

2.1. BEWEIS

2.1.1. WAS IST EIN BEWEIS? Alsina und Nelson (Alsina & Nelson, 2013, S. XV) erläutern, dass das englische Wort

„proof“ vom lateinischen Verb „probare“ abstammt, was soviel bedeutet wie „versuchen,

ausprobieren, urteilen“. Auch die deutschen Begriffe „Prüfung“ und „Probe“ entspringen

diesem Wort. Schichl und Steinbauer erklären genauer, was ein Beweis ist: Es wird eine

Behauptung „durch logische Schlussfolgerungen aus einigen wenigen Grundannahmen (den

Axiomen, die nicht weiter hinterfragt werden) und bereits bekannten Sachverhalten

abgeleitet.“ (Schichl & Steinbauer, 2009, S. 6) Wie diese Erklärung schon erläutert, entsteht

eine Iteration: Eine Behauptung folgt direkt aus einem Axiom, aus dieser bereits bewiesenen

Behauptung kann schon wieder eine neue bewiesen werden. Um eine Behauptung zu

beweisen, dürfen also nur bereits bewiesene Sätze eingesetzt werden.

Etwas kürzer formulieren das Reiss und Hammer: „Beweisen bedeutet, eine mathematische

Aussage auf andere Aussagen zurückzuführen, und das können bereits bewiesene Sätze oder

auch Axiome sein.“ (Reiss & Hammer, 2013, S. 47)

Diese beiden gegebenen Definitionen erklären die Allgemeingültigkeit von mathematischen

Beweisen, auf die auch Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 183) verweisen. Das

bedeutet aber auch, dass einzelne Beispiele nicht ausreichen, um einen Satz zu beweisen. Dies

ist den Schülerinnen und Schülern oft nicht klar, wie es Meyer und Prediger (Meyer &

Prediger, S. 9) betonen, die darauf hinweisen, dass sich von einem Beispiel noch nicht auf die

allgemeine Behauptung schließen lässt. Dies sollte auch den Schülerinnen und Schülern

verständlich gemacht werden.

Brunner (Brunner, 2014, S. 7) meint, dass es wichtig ist bei einem Beweis Voraussetzungen

und Behauptung voneinander zu trennen. Auch die Schülerinnen und Schülern sollten dies

tun. Wird etwa bewiesen, dass die Quadratzahl einer ungeraden Zahl wiederum eine ungerade

Zahl ist, so müssen im Beweis auch nur die ungeraden Zahlen berücksichtigt werden. Ein

Beweis dafür kann somit nur erfolgreich sein, wenn Sicherheit darüber herrscht, wovon

auszugehen ist.

Ob ein Beweis auch tatsächlich anerkannt wird, wird – wie Brunner (Brunner, 2014, S. 7) und

auch Meyer und Prediger (Meyer & Prediger, S. 4) erwähnen – von einer Gruppe, die sich aus

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Expertinnen und Experten zusammensetzt, entschieden. In der Schule sollte dies ähnlich

ablaufen. Auch hier sollte, nachdem die Schülerinnen und Schüler Beweise erarbeitet haben,

von der gesamten Klasse entschieden werden, ob diese tatsächlich korrekt sind. Natürlich

sollte die Lehrperson bei dieser Entscheidung Hilfe leisten, vor allem falls ein wichtiges

Detail übersehen werden sollte.

Bevor genauer auf die Beweise in der Schule eingegangen wird, werden nun die Beweisarten

erläutert.

2.1.2. ARTEN VON BEWEISEN Es gibt unterschiedliche Arten von Beweisen. Die wichtigsten sind die direkten und

indirekten Beweise und die vollständige Induktion. Bei direkten Beweisen wird von der

Voraussetzung ausgehend die Behauptung hergeleitet (Schichl & Steinbauer, 2009, S. 21).

Indirekte Beweise beginnen dagegen mit der Verneinung der Behauptung, was zu einem

Widerspruch führen sollte, weswegen dann die Annahme falsch sein muss und somit die

Behauptung richtig (Schichl & Steinbauer, 2009, S. 23). Typische Beispiele für die zweite Art

sind etwa der Beweis für die Irrationalität der √2 bzw. der Euler’schen Zahl 𝑒 und der für den

Satz von Euklid, welcher besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Diese drei Beweise

sind auch in den Schulbüchern Mathematik verstehen und Mathematik zu finden und somit

sicherlich in der Schule durchführbar.

Eine weitere wichtige Art von Beweis stellt die vollständige Induktion dar (Brunner, 2014, S.

16; Schichl & Steinbauer, 2009, S. 42-43). Dieses Verfahren wird verwendet, wenn etwas für

alle natürlichen Zahlen bewiesen werden sollte. Dabei wird die Behauptung zunächst für

𝑛 = 0 bewiesen. Danach wird angenommen, dass die Aussage für die ersten 𝑛 Glieder

bewiesen wurde und damit wird versucht die Behauptung auch für das (𝑛 + 1)–te Glied zu

beweisen (Schichl & Steinbauer, 2009, S. 43-44). In den Schulbüchern Das ist Mathematik,

Mathematik und Mathematik verstehen ist als einziger Satz mit Beweis der vollständigen

Induktion der Binomische Lehrsatz zu finden, der auch nur im Mathematik 6 (Götz, Reichel,

Müller, & Hanisch, 2010b, S. 92) angeführt wird. Das Schulbuch Mathematik verstehen

verzichtet somit gänzlich auf Beweise dieser Art.

Der direkte Beweis, der indirekte Beweis und die vollständige Induktion sind die Arten, die in

der wissenschaftlichen Mathematik am häufigsten verwendet werden. In der

Mathematikdidaktik gibt es aber noch weitere Beweisarten.

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Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 185-186) unterscheiden etwa nach Handlungs-

und Beziehungsbeweise. Handlungsbeweise können zwar einen formalen Charakter besitzen,

doch liegt bei ihnen eine Handlung (z.B. Umlegen, Messen, Drehen, Schneiden, usw.) im

Vordergrund. Bei Beziehungsbeweisen sind dagegen wie der Name schon sagt Beziehungen

von größerer Bedeutung, sie sind also formale Beweise. Es können sowohl Handlungen als

auch Beziehungen in Beweisen vorkommen, nach Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985,

S. 186) ist das sogar bei jedem mathematischen Beweis der Fall, doch ob ein Handlungs- oder

ein Beziehungsbeweis vorliegt, ist davon abhängig, ob die Handlung oder die Beziehung

dominiert. Ein Beispiel für einen Handlungsbeweis wäre nach Brunner (Brunner, 2014, S. 18)

etwa der Beweis für den Flächeninhalt des Parallelogramms (siehe Abschnitt 2.7.4.).

Wie schon erwähnt, gibt es Schülerinnen und Schüler, die davon ausgehen, dass es genügt

den Satz anhand von wenigen Beispielen zu überprüfen. Wittmann und Müller (Wittmann &

Müller, 1988, S. 249) bezeichnen diese Art von Beweis den experimentellen Beweis. Sie

weisen aber auch darauf hin, dass ein solcher Beweis nicht auf Allgemeingültigkeit schließen

lässt, da schon ein Gegenbeispiel ausreichen würde, um die Behauptung zu falsifizieren.

Solche experimentellen Beweise sind im Beweisprozess von großer Bedeutung, allerdings

sind sie nicht ausreichend. Experimentelle Beweise spielen also eine wichtige Rolle, aber sie

sind nicht das, was in der Mathematik unter einem Beweis verstanden wird. Bei Wittmann

und Müller (Wittmann & Müller, 1988, S. 248-249) gibt es zu den experimentellen Beweisen

noch inhaltlich-anschauliche Beweise, die sie auch operative Beweise nennen, und die

wissenschaftlichen Beweise. Diese beiden Arten können analog zu den bereits erwähnten

Handlungs- und Beziehungsbeweisen von Fischer und Malle gesehen werden.

Die drei Beweistypen des experimentellen Beweises, des Handlungs- und

Beziehungsbeweises können nach Brunner (Brunner, 2014, S. 20) auch als Prozess des

Beweisens (Abschnitt 2.6.) gesehen werden. Denn beobachtet man Lernende bei einem

gelingenden Beweisprozess, so überprüfen diese zunächst häufig die Behauptung mit einem

experimentellen Beweis, wodurch sie schon die Überzeugung erlangen, dass die Behauptung

stimmen wird. Es folgt ein Handlungsbeweis, durch den die Zusammenhänge erkannt werden

und dadurch gelangen sie dann zum formalen Beziehungsbeweis.

Es ist somit auch erkennbar, dass die Komplexität von den verschiedenen Beweistypen

angefangen mit dem experimentellen Beweis bis hin zum Beziehungsbeweis zunimmt.

Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 187) beschreiben diesen Komplexitätssprung

von einem Handlungs- zu einem Beziehungsbeweis wie folgt: Auch Beziehungsbeweise seien

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durch Handlungen gekennzeichnet, allerdings „auf einer höheren Ebene; sie beziehen sich

nicht auf die ursprünglichen Objekte, sondern auf die durch das Handeln mit den

ursprünglichen Objekten hergestellten Beziehungen.“ (Fischer & Malle, 1985, S. 187).

Vor allem in der Schule sollte darauf geachtet werden die Komplexität allmählich zu erhöhen

und je nach Schulstufe unterschiedliche Beweistypen zu verlangen. Meyer und Prediger

(Meyer & Prediger, S. 4) weisen darauf hin, dass oftmals formale Beweise als die besseren

angesehen werden. Doch Brandes (Brandes, 2006, S. 3) meint nicht nur, dass Beweise nicht

auf die formale Ebene reduziert werden sollten, sondern er ist auch der Meinung, dass

Beweise im Unterricht hauptsächlich Handlungsbeweise sein sollten. Jedoch sollte

schrittweise immer mehr formalisiert werden. Auch Fischer und Malle (Fischer & Malle,

1985, S. 186) sind der Meinung, dass sowohl Handlungs- als auch Beziehungsbeweise im

Mathematikunterricht gemacht werden sollten, da sie einander ergänzen. Sie stellen auch klar,

dass man oft einen Handlungsbeweis zu einem Beziehungsbeweis erweitern kann, wovon die

Schülerinnen und Schüler profitieren können, indem dadurch das mathematische Vokabular

ausgebaut wird.

2.2. ARGUMENTIEREN UND BEGRÜNDEN Für viele klingt das Wort Beweis sehr bedeutungsvoll. Oft wird es, wie auch Meyer und

Prediger (Meyer & Prediger, S. 5) meinen, mit formaler Strenge verbunden, was gerade im

schulischen Kontext abschreckend wirken kann. Das ist wahrscheinlich auch ein Grund dafür,

dass dieser Begriff in diesem Bereich oftmals von den Worten Argumentieren und Begründen

abgelöst wird. Doch wie hängen diese drei Begriffe überhaupt zusammen? Bedeuten sie

dasselbe oder gibt es deutliche Unterschiede? Bevor wir zu diesen Fragen gelangen, sollten

die Begriffe zunächst erklärt werden.

Schlägt man das Wort „Argument“ im Österreichischen Wörterbuch (Back, et al., 2001, S.

58) nach, so stößt man auf die Erklärung „Beweisgrund“ bzw. beim Wort „argumentieren“

auf „einen Beweis führen; eine Ansicht, eine Meinung begründen“. Anhand dieser

Erläuterung erkennen wir, dass die drei Begriffe sehr stark zusammenhängen. Laut

Wörterbuch versteht man unter einem Argument, dass bei einem Argument ein Beweis

geführt bzw. eine Meinung begründet wird. Auch Toulmin (Toulmin, 1975, S. 17) verwendet

Argumente, um eine Behauptung zu rechtfertigen. Begründen wir eine Meinung bzw. wollen

wir eine Behauptung rechtfertigen, so tun wir dies meist nicht für uns selbst, sondern um

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andere Personen zu überzeugen. Das Argumentieren findet also in einem sozialen Kontext

statt. Damit sollen nach Brunner (Brunner, 2014, S. 37) Meinungen gebildet werden, also

auch andere Personen überzeugt werden.

Toulmin (Toulmin, 1975, S. 89) erklärt wie ein solches Argument aussehen sollte: Wir

versuchen eine Konklusion bzw. eine Behauptung zu begründen. Diese wird von den

Aussagen, die wir für ihre Begründung verwenden und Daten nennen, unterschieden. Es kann

also vorkommen, dass wir aus einem Datum auf die Konklusion schließen, was

folgendermaßen aussieht:

Abbildung nach Toulmin (Toulmin, 1975, S. 90)

Es kann dann passieren, dass wir gefragt werden, warum wir diese Schlussfolgerung machen

dürfen. Als Antwort darauf sollte eine Regel bzw. Schlussregel, wie es Toulmin nennt,

angegeben werden können. Diese gibt an, wieso der Schluss vom Datum auf die Konklusion

vollzogen werden darf.


Ein Beispiel dafür wäre das folgende:

Datum: Die Ampel ist rot.

Konklusion: Ich sollte die Straße nicht überqueren.

Datum Konklusion

Datum Konklusion

Schlussregel

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Schlussregel: Wenn die Ampel rot ist und man die Straße überquert, ist das gegen das Gesetz.

Doch es kann Ausnahmen geben. Stellen wir uns vor Sie sind mit einem Rettungsauto

unterwegs und transportieren eine schwer verletzte Patientin. Sie würden das Blaulicht

einschalten und die Straße überqueren. Eine solche Ausnahme nennt Toulmin (Toulmin,

1975, S. 92) Operator. Zusätzlich stellt er sich die Frage, warum die Schlussregel überhaupt

zulässig ist. Der Grund dafür wird Stützung der Schlussregel genannt. Nun sieht unser

Argument folgendermaßen aus:


Zurück zu unserem Beispiel mit der roten Ampel:

Der Operator wäre also: Ich bin mit einem Rettungsauto unterwegs und muss möglichst

schnell ins Krankenhaus oder zu einer verunglückten Person.

Stützung für die Schlussregel: Die Straßenverkehrsordnung (§38 (5))

(Straßenverkehrsordnung (StVO), 2014) besagt, dass eine Straße bei roter Ampel nicht

überquert werden darf.

Natürlich kann, wie bei den Beweisen, so ein Argument aus mehreren Schritten bestehen. Das

wäre dann der Fall, wenn von einem Datum auf Konklusion geschlossen wird, diese

Konklusion wird dann zum neuen Datum für die neue Konklusion, auf die geschlossen

werden soll.

Datum Konklusion

Schlussregel Falls nicht:

Operator

Stützung

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2.3. VERHÄLTNIS VON ARGUMENTATIONEN, BEGRÜNDUNGEN UND BEWEISEN Anhand des Argumentes mit der roten Ampel kann das Verhältnis von Argumenten,

Begründungen und Beweisen sehr gut dargestellt werden. Auch wenn im Österreichischen

Wörterbuch „argumentieren“ als „einen Beweis führen“ beschrieben wird, so sind wir uns

wahrscheinlich einig, dass wir einen solchen Schluss nicht Beweis nennen würden. Ein

richtiger mathematischer Beweis ist durch formale Strenge charakterisiert. Dieses Argument

ist jedoch eines, das wir in alltäglichen Situationen verwenden. Versuchen wir aber die beiden

Worte mit Begründen zu verbinden, so würden wahrscheinlich auch Sie meinen, dass sowohl

ein Argument, wie etwa das mit der roten Ampel, als auch ein formaler Beweis als

Begründung bezeichnet werden kann. Ist also eine Begründung der Oberbegriff von Beweis

und Argumentation?

Fischer und Malle schreiben folgendes: „Beweisen soll als eine (noch genauer zu

beschreibende) Form des Begründens von Aussagen (Behauptungen, Feststellungen)

angesehen werden.“ (Fischer & Malle, 1985, S. 178) Sie beschreiben also Beweise als eine

Art des Begründens. Auch das Österreichische Wörterbuch (Back, et al., 2001, S. 58), das

„argumentieren“ als „eine Meinung begründen“ beschreibt, weist darauf hin, dass

Argumentieren eine Art des Begründens darstellt. Zu dieser Ansicht gelangt auch Brunner

(Brunner, 2014, S. 39): Beweise und Argumente sind beide Arten des Begründens, allerdings

beziehen sie sich auf unterschiedliche Bereiche. Beweise beziehen sich auf die Mathematik,

Argumente kennen wir auch aus dem Alltag. Sie beschreibt Argumentieren und Beweisen als

Kontinuum, was in der folgenden Abbildung anschaulich dargestellt ist:

(Brunner, 2014, S. 31)

Begründen

alltagsbezogenes Argumentieren

Argumentieren mit mathematischen

Mitteln logisches Argumentieren mit

mathematischen Mitteln

formal-deduktives Beweisen

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2.4. WOZU BEWEISE? Was ist nun aber tatsächlich der Grund dafür, dass Beweise im Mathematikunterricht gemacht

werden sollten? Auch die Lernenden stellen sich meist die Frage, warum sie etwas beweisen

müssen (Meyer J.). Oft ist es so, dass die Schülerinnen und Schüler von dem, was ihnen die

Lehrperson erzählt, überzeugt sind. Sie vertrauen dieser und brauchen somit keinen Beweis.

Das genannte Phänomen der Berufung auf eine Autorität, welches auch Fischer und Malle

(Fischer & Malle, 1985, S. 179) erwähnen, kennen wir alle. Einer Autorität wird einfach öfter

geglaubt, doch dies selbst reicht alleine nicht als Argument aus. Weiters werden die

Lernenden eine Behauptung nicht bezweifeln, weil sie wissen, dass es diese meist schon sehr

lange gibt und wenn sie nicht stimmen würde, so hätte dies bestimmt schon jemand erkannt

(Meyer J.). Weshalb sind also Beweise nötig, wenn die Klasse die Behauptung akzeptiert?

Ich erinnere mich daran als Studentin in einer Übung gesessen zu sein. In der Stunde zuvor

wurden die Feedbackbögen ausgefüllt. Nun ging der Professor diese mit uns durch. Er

erzählte davon, dass eine Kommilitonin oder ein Kommilitone geschrieben habe, wofür wir

diese Beispiele (darunter auch einige Beweise) brauchen. Er antwortete darauf, dass wir diese

Frage selbst beantworten können sollten, da wir in der Schule gewiss auf dieselbe Frage

antworten werden müssen. Dennoch gab er uns eine sehr gute Antwort: Er erklärte, dass

Mathematik für das logische Denken, für Schlussfolgerungen sehr wichtig sei. Dies betonen

auch Reiss und Hammer, wenn sie sagen Mathematik sei „eine beweisende Disziplin, sodass

Schlussfolgern („Deduktion“) eindeutig zum Kerngeschäft der Disziplin gehört.“ (Reiss &

Hammer, 2013, S. 47) Dieses Schlussfolgern ist aber nicht nur ein Teil der Mathematik, denn

eine Fähigkeit in diesem Bereich ist an jedem einzelnen Tag hilfreich, sie erleichtert uns viele

alltägliche Dinge. Jeden Tag stehen wir vor Entscheidungen, in denen Schlussfolgern eine

bedeutende Rolle spielt. Genau das kann anhand von Beweisen trainiert werden.

Auch Meyer und Prediger (Meyer & Prediger, S. 10) liefern ein sehr gutes Argument dafür,

dass Beweise wichtig sind, auch wenn die Klasse von der Behauptung schon überzeugt sein

sollte. Denn in diesem Fall sollte gefragt werden, warum diese stimmt. In den letzten beiden

Sätzen finden sich schon zwei Funktionen von Beweisen. Die erste ist die

Überzeugungsfunktion: Der Beweis sollte mich von der Wahrheit der Behauptung

überzeugen. Dieses „Warum“ erläutert eine weitere Funktion: Beweise sollen

Zusammenhänge herstellen, es muss bereits vorhandenes Wissen verwendet und dies richtig

eingesetzt werden. Es finden also Vernetzungen statt. Diese Funktion und die

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Überzeugungsfunktion ist auch bei Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 189) zu

finden.

Meyer und Prediger (Meyer & Prediger, S. 5) nennen die fünf Funktionen nach de Villiers,

die wiederum die beiden genannten (Überzeugungs- und Vernetzungsfunktion) beinhalten:

1. Überzeugen: Die Überzeugung von der Wahrheit der Behauptung sollte vorhanden

sein.

2. Erklären: Die Gültigkeit der Behauptung soll verstanden werden

3. Kommunizieren: Das Beweisen beinhaltet eine soziale Dimension, die Schülerinnen

und Schüler sollten miteinander kommunizieren, sie sollten ihre eigenen

Gedankenwege erklären können.

4. Entdecken: Oft gelangt man durch Beweise zu neuen Ergebnissen. So meinen auch

Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 190), dass der Begriff der „Stetigkeit“

wahrscheinlich auch geboren wurde, indem ein Beweis geführt wurde.

5. Zusammenhänge herstellen: Werden Beweise selbst gemacht, so müssen

Verbindungen hergestellt werden, da bereits bekannte Sätze oder Begriffe verwendet

werden müssen.

Auch nach Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 189) ist das Überzeugen nicht das

zentrale Ziel eines Beweises. Ihnen geht es vor allem um die letzte der genannten Funktionen,

also darum Verbindungen herzustellen, das neue Wissen in das bereits vorhandene

einzuordnen. Diese Zusammenhänge werden aber meist nur erkannt, wenn der Beweis selbst

durchgeführt wird und er nicht einfach der Schulklasse fertig präsentiert wird (Meyer J.).

Gerade diese fünfte Funktion ist auch nach Meyer und Prediger (Meyer & Prediger, S. 5) die

Funktion, die Argumenten nicht zugrunde liegt.

Diese fünf Funktionen machen deutlich, dass Beweise unumgänglich sein sollten. Doch oft ist

das Interesse der Schülerinnen und Schüler nicht vorhanden. Wie dieses entwickelt werden

kann, soll in Abschnitt 2.8.4. erläutert werden.

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2.5. PROZESS DES BEWEISENS Gerade wurde erwähnt, dass ein Beweis von den Lernenden selbst durchgeführt werden sollte.

Denn wie auch Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 48) hinweisen, kann das

Nachvollziehen eines Beweises sehr einfach sein, doch das Beweisen selbst eine große

Herausforderung darstellen. Außerdem stellen sie klar, dass ein Beweis nicht nur darin besteht

die Gültigkeit einer Behauptung zu belegen. Um dies zu erreichen ist ein Prozess, der sehr

lange dauern kann, notwendig. Reiss (Reiss, 2002, S. 6-9) übernimmt dabei die sechs Phasen

von Boero. Diese Phasen sind allerdings für Expertinnen und Experten gedacht und sollten

somit nicht direkt auf Beweise in der Schule umgelegt werden.

Brunner (Brunner, 2014, S. 61) weist darauf hin, dass dieser im folgenden angeführte Prozess

nicht linear durchlaufen werden muss. Auch Mathematikerinnen und Mathematikern

geschieht es immer wieder, dass sie in einer Phase anstehen und von vorne beginnen müssen.

2.5.1. FINDEN EINER ZU BEWEISENDEN AUSSAGE

Reiss (Reiss, 2002, S. 6) meint, dass alle Expertinnen und Experten damit beginnen, eine

Aussage zu finden, die bewiesen werden kann und soll. Als Möglichkeiten eine solche zu

entwickeln, nennen Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 48) Behauptungen

aufzustellen und diese dann möglicherweise auch zu verwerfen, sowie Lösungen

auszuprobieren. Dies erinnert uns auch an die Anfänge des Beweisens bei den Lernenden in

der Schule, die auch meist mit einfachem Testen beginnen, also einen experimentellen Beweis

durchführen. Experimentelle Beweise sollten also nicht unterschätzt werden, sie stellen auch

bei den „Profis“ einen wichtigen Teil der Beweistätigkeit dar. Allerdings sollten diese auch

nur ein Teil davon bleiben und es sollte von den Schülerinnen und Schülern nicht generell nur

ein experimenteller Beweis eingefordert werden.

In der Schule wird man aber meist darauf verzichten die Lernenden selbstständig eine

beweiswürdige Aussage finden zu lassen. Das Experimentieren wird eher bei einer bereits

vorgegebenen Behauptung stattfinden. Diese Phase ist also für die Schule nicht sehr relevant.

18

2.5.2. FORMULIERUNG DER BEHAUPTUNG Diese Behauptung muss dann nach Reiss (Reiss, 2002, S. 7) in der zweiten Phase nach

gewissen Standards formuliert werden, denn nur wenn auch die Aussage richtig formuliert ist,

kann der Beweis später der Öffentlichkeit präsentiert werden. Außerdem macht diese

Formulierung klar, was die Voraussetzungen sind und was tatsächlich bewiesen werden

sollte. Wie bei einem Problemlöseprozess werden der Anfangszustand, der angibt, was zu

Beginn gegeben ist, und der Endzustand, der angestrebt wird, beschrieben. Ist man sich über

die Charakteristik dieser beiden nicht im Klaren, so kann auch diese Lücke zwischen den

beiden Zuständen nicht gefunden und somit der Beweis nicht richtig geführt werden. Weiters

können durch diese Strukturierung auch gewisse Teilziele gefunden werden.

Brunner (Brunner, 2014, S. 61) weist darauf hin, dass schon an dieser Phase zu sehen ist, dass

ein formaler Beweis, also nach Fischer und Malle ein Beziehungsbeweis (siehe Abschnitt

2.1.2.) gefordert wird. Die formale Strenge ist sehr bedeutend. Von Anfang an wird – wie wir

hier sehen – auf korrekte Formulierung geachtet. Das ist ein Grund, warum diese Phasen nicht

einfach auf Beweise umgelegt werden sollten, die von einer Klasse durchgeführt werden.

2.5.3. TESTEN DER BEHAUPTUNG In der dritten Phase wird die Hypothese mit semantischen Methoden und Heuristiken

überprüft. In der ersten Phase haben nur induktive Schritte eine Rolle gespielt, nun werden

sowohl induktives als auch deduktives Denken eingesetzt. Es wird nach Methoden gesucht,

den Beweis zu führen. (Reiss, 2002, S. 7-8)

Diese Phase ist die, die für die Schülerinnen und Schüler wahrscheinlich am schwersten ist.

Sie haben keine Ansätze dafür, wie sie die Behauptung beweisen sollen. Denn oft fällt allein

das Nachvollziehen eines gegebenen Beweises schwer.

2.5.4. BESTIMMUNG DER ARGUMENTE UND IHR ORGANISIEREN ZU EINER

DEDUKTIONSKETTE

Nach der dritten Phase sind die Argumente gesammelt, die relevanten sollten nun in die

richtige Reihenfolge gebracht und miteinander verknüpft werden. Es muss überlegt werden,

welche Argumente wichtig für den Beweis sind und welche nicht (Reiss, 2002, S. 8). Der

Name dieser Phase gibt zu verstehen, dass der Beweis ein deduktiver sein muss.

19

2.5.5. FESTLEGEN DER ARGUMENTE NACH GEWISSEN STANDARDS Der Beweis wird nun festgelegt, wobei die Argumente nach gewissen Standards miteinander

verknüpft werden. Je nachdem in welchem Buch der Beweis publiziert wird, wird der Beweis

anders aussehen. Das beste Beispiel dafür ist ein Schulbuch im Gegensatz zu einem

mathematischen Artikel, der für Expertinnen und Experten gedacht ist. (Reiss, 2002, S. 8)

2.5.6. FORMALER BEWEIS Der Beweis wird nun noch formalisiert. Reiss (Reiss, 2002, S. 8) weist aber darauf hin, dass

diese Formalität selbst bei mathematischen Arbeiten hin und wieder nicht erstrebt wird.

2.5.7. AKZEPTANZ DURCH DIE MATHEMATISCHE GEMEINSCHAFT Brunner weist nach Reiss und Ufer darauf hin (Brunner, 2014, S. 62), dass die mathematische

Gemeinschaft diesen Beweis nun auch akzeptieren muss. Erst dann ist der Beweis auch

tatsächlich gültig.

2.5.8. RESÜMEE Bei einem mathematischen Beweis spielen die Formalität und die Deduktion eine wichtige

Rolle. Der Beweis sollte durch diese beiden Eigenschaften gekennzeichnet sein. In der Schule

ist dies aber nicht immer der Fall und somit sollte dieser Beweisprozess nicht einfach auf die

Schule umgelegt werden. Dennoch ist es für Lehrpersonen sehr interessant diese Prozesse zu

kennen und sie bis zu einem gewissen Grad als Orientierung für den Unterricht zu verwenden.

Wie eine Durchführung des Beweises in der Schule aussehen könnte, wird im nächsten

Abschnitt erläutert. Da Beweisen, wie Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 50)

sagen, eine Tätigkeit ist, sollte auch in der Schule der Prozess eine wichtige Rolle spielen.

Genau in diesem Prozessen stecken auch einige der in Abschnitt 2.4. genannten Funktionen

des Beweisens: erklären, kommunizieren, entdecken und Zusammenhänge herstellen.

20

2.6. PROZESS DES BEWEISENS IN DER SCHULE Obwohl der Prozess des Beweisens in der Schule nicht gänzlich dem von Expertinnen und

Experten entspricht, findet auch dort ein solcher Prozess statt. Werden in der Schule Beweise

von den Lernenden selbst erarbeitet, so stehen sie vor ähnlichen Herausforderungen. Brunner

(Brunner, 2013, S. 111-116) legt in Anlehnung zum eben genannten Ablauf bei

Mathematikerinnen und Mathematikern ein Prozessmodell für das schulische Beweisen vor.

Dabei wird vor allem auf die Ausgangssituation in der Schule, die zirkulären und progressive

Eigenschaft des Beweisens und die Akzeptanz durch die Community Wert gelegt. Bei diesem

Modell werden zwei Bereiche unterschieden:

x Der soziale Rahmen, in dem der Beweis durchgeführt wird.

x Der Denkprozess, der während dem Beweisen abläuft.

Am Ende des Beweises sollte die Akzeptanz des Beweises seitens der gesamten Klasse

stehen. Das ist das Ziel des gesamten Prozesses. Alle sollten Gewissheit über die Wahrheit

der Behauptung haben. Genau diese fehlende Gewissheit, die zu Beginn des Prozesses

vorhanden ist, sollte zu Motivation führen, das Ziel zu erreichen.

In Brunners Modell werden dabei drei Stufen von Gewissheit unterschieden:

1. Gewissheit für einzelne Beispiele: Damit ist gemeint, dass wir einen experimentellen

Beweis führen und dann zumindest Gewissheit in diesen bearbeiteten Fällen erlangt

haben.

2. Die Gewissheit, die durch Handlungsbeweise erzielt wird, eine Gewissheit, die auf

anschaulicher Ebene vorhanden und subjektiv ist. Diese muss aber interpretiert und

ausgearbeitet werden, um die anderen zu überzeugen.

3. Gewissheit, die durch einen Beziehungsbeweis erlangt wird. Die Allgemeingültigkeit

ist sofort erkennbar, denn diese kann durch die deduktive formale Kette von

Argumenten abgelesen werden.

Von einer Stufe zur anderen erfolgt ein Qualitätssprung. Der Unterschied von Stufe 1 zu Stufe

2 ist groß, da in den Stufen 2 und 3 Allgemeingültigkeit vorhanden sind. Um vom subjektiven

Verständnis auf das objektive zu kommen, muss man sich an die mathematischen

Konventionen, also an die formale Sprache halten. Dies ist aber leichter, als überhaupt auf

Allgemeingültigkeit zu gelangen.

21

Wie das Beweisbedürfnis befriedigt wird ist nach dem Modell von den kognitiven

Voraussetzungen abhängig. In der einfachsten Form findet ein experimenteller Beweis statt.

Die Behauptung wird also nur anhand von Beispielen getestet und dadurch verifiziert oder

falsifiziert. Somit erhält man nur die Gewissheit vom Grad 1. Wir können also nicht sicher

sein, dass die Behauptung stimmt, es kann auf keine Allgemeingültigkeit geschlossen werden.

Die Gültigkeit bleibt auf die getesteten Beispiele bezogen, durch diese fehlende

Allgemeingültigkeit werden die Schülerinnen und Schüler dazu motiviert, diese zu beweisen.

Zunächst werden dafür die Voraussetzungen von der Behauptung getrennt, dadurch wird klar,

wovon ausgegangen wird. Diese werden nun versucht miteinander zu verbinden. Es soll also

ein Zusammenhang von Voraussetzung und Bedingung gefunden werden. Dabei können viele

Lösungswege gefunden und getestet werden. Die passenden Argumente werden dann

miteinander verknüpft und somit wird eine Schlusskette gefunden, die von den

Voraussetzungen auf die Behauptung schließt. Damit wäre dann die Gültigkeit von dieser

gezeigt. Ist dieser Zusammenhang anschaulich gezeigt, so haben wir einen Handlungsbeweis

gefunden. Die Gewissheit ist nicht selbsterklärend und somit ist diese subjektiv. Durch

Erläuterungen kann diese Gewissheit aber den anderen erklärt werden und somit wird diese

durch Interpretation auch bei den Anderen erzeugt. Die Gewissheit ist aber nicht durch die

mathematischen Konventionen hergestellt und somit bleibt sie subjektiv. Im nächsten Schritt

kann durch Mathematisieren diese subjektive Gewissheit zur objektiven werden. Somit ist

auch ein Beziehungsbeweis, also ein formaler Beweis, der den mathematischen Konventionen

entspricht, gefunden.

Der Denkprozess beginnt mit dem experimentellen Beweis und er geht über den

Handlungsbeweis zum Beziehungsbeweis. Einzelne Prozesse können aber schneller ablaufen,

so kann man auch direkt zum Handlungsbeweis oder sogar zum Beziehungsbeweis gelangen.

Das heißt, es können einzelne Schritte nur sehr kurz durchgeführt werden.

Die Schritte des Beweisens bei den Schülerinnen und Schülern können angelehnt an den

Prozess der „richtigen“ Mathematikerinnen und Mathematiker zusammengefasst

folgenderweise beschrieben werden:

1. Experimenteller Beweis: Auf dieselbe Art beginnen Expertinnen und Experten.

2. Behauptung von den Voraussetzungen trennen: Auch diese Phase läuft bei

Expertinnen und Experten ähnlich ab. Allerdings müssen die Schülerinnen und

Schüler die zu beweisende Behauptung nicht selbst finden.

22

3. Beweis finden: Nach Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 49) ist das der

schwerste Teil für die Schülerinnen und Schüler. Es wird versucht, die

Voraussetzungen mit der Behauptung zu verknüpfen. Dies kann sofort mit einem

Beziehungsbeweis oder zunächst mit einem Handlungsbeweis, der dann zu einem

Beziehungsbeweis führt, erfolgen. Laut Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013,

S. 49) spielt die Sprache in der Schule allerdings eine nicht so große Rolle, denn es

komme dort nur darauf an, dass der Beweis nachvollzogen werden kann, also dass er

verständlich ist.

4. Akzeptanz durch die mathematische Gemeinschaft: Ist der Beweis gefunden, so sollte

er der Klasse präsentiert und den Mitschülerinnen und Mitschülern erklärt werden.

Diese sollen Fragen stellen, falls etwas unklar sein sollte. Es sollte am Ende

entschieden werden, ob der Beweis akzeptiert wird, oder ob etwas falsch ist und er

deshalb überarbeitet werden sollte. In dieser Phase spielt das Kommunizieren eine

bedeutende Rolle.

Wichtig ist, dass der Prozess nicht linear, sondern zirkulär durchlaufen werden kann. Es sollte

den Lernenden gesagt werden, dass es in Ordnung ist, wenn sie Fehler machen. Reiss und

Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 49) weisen darauf hin, dass das selbst der besten

Mathematikerin und dem besten Mathematiker passieren kann. Die eleganten Beweise, die

wir heute kennen, sind meist nicht innerhalb kurzer Zeit entstanden, sondern wurden einige

Male überarbeitet. Deswegen sollten auch die Zwischenprodukte der Lernenden wertgeschätzt

werden.

2.7. FINDEN VON BEWEISEN Wie bereits erwähnt, ist es für Lernende sehr schwierig, eine Idee für den Beweis zu erhalten.

Auch Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 198-199) geben zu, dass das ein sehr

hohes mathematisches Wissen und Können und einiges an Erfahrung erfordert. Außerdem sei

Kreativität gefragt. Sie meinen, dass den Schülerinnen und Schülern meist nur ein Beweis

gelingen wird, wenn sie einen ähnlichen schon kennen. Das bedeutet, dass diese schon

wesentliche Elemente des Beweises kennen müssen. Sie sind somit auch der Meinung, dass

die Lernenden nur dann selbstständig einen Beweis führen können, wenn die Lehrperson

Hilfestellungen leistet. Am einfachsten ist es, wenn Schülerinnen und Schüler zusammen mit

der Lehrerin oder dem Lehrer den Beweis entwickeln. Fischer und Malle (Fischer & Malle,

23

1985, S. 199-204) geben aber auch andere Möglichkeiten an, mit denen die Lernenden

möglichst selbstständig Beweise führen können.

2.7.1. ANALOGIEBEWEISE Die erste Art Schülerinnen und Schüler selbstständig Beweise führen zu lassen ist

Analogiebeweise zu machen. Damit sind Beweise gemeint, bei denen sich die Beweisstruktur

von einem Beweis zum anderen nicht ändert. Diese Art von Beweisen sind in Schulbüchern

zahlreich zu finden. Ein paar werden hier angeführt:

x Im Mathematik verstehen 5 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a,

S. 60) ist der Beweis für die Teilbarkeitsregel für 9 zu finden. Es wird folgendes

gezeigt: „Eine Zahl 𝑛 ∈ ℕ∗ ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme

durch 9 teilbar ist.“ (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a, S. 60)

Der Beweis ist in dem Buch folgenderweise zu finden:

Z.z. Eine Zahl 𝑛 ∈ ℕ∗ ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar

ist.

Beweis:

n sei eine m-stellige Zahl mit den Ziffern 𝑎𝑚−1, 𝑎𝑚−2, … , 𝑎1, 𝑎0. Dann gilt:

𝑛 = 10𝑚−1𝑎𝑚−1 + 10𝑚−2𝑎𝑚−2 + ⋯ + 10𝑎1 + 𝑎0 =

= (10𝑚−1 − 1)𝑎𝑚−1 + (10𝑚−2 − 1)𝑎𝑚−2 + ⋯ + (10 − 1)𝑎1 +

+(𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0)

Da (10𝑘 − 1) für alle 𝑘 ∈ ℕ∗ durch 9 teilbar ist, gilt

9 | (10𝑚−1 − 1)𝑎𝑚−1 + (10𝑚−2 − 1)𝑎𝑚−2 + ⋯ + (10 − 1)𝑎1.

Somit gilt 9 | 𝑛, genau wenn 9 | (𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0) (wegen der folgenden

Teilbarkeitsregel für 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ∗: 𝑎 | 𝑏 und 𝑎 | 𝑐 ⇒ 𝑎 | (𝑏 + 𝑐).)

Beweis nach Mathematik verstehen 5 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec,

2010a, S. 60)

24

Die Schülerinnen und Schüler sollen nun analog die Teilbarkeitsregel für 3 beweisen,

bei der genauso die Ziffernsumme betrachtet werden muss.

Bei demselben Beweis ist ein weiterer Analogiebeweis zu finden: Bevor dieser

allgemeine Beweis für die Teilbarkeitsregel für 9 gegeben wird, wird im Mathematik

verstehen 5 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a, S. 60) ein

Beweis für zweistellige natürliche Zahlen gemacht. Von den Lernenden wird dann

auch gefordert, dass sie diesen Beweis für dreistellige natürliche Zahlen durchführen.

Auch im Mathematik 5 (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010a, S. 57) soll der

Beweis für die Teilbarkeit durch 9 analog zum Beweis für die Teilbarkeit durch 3

durchgeführt werden.

x Als weiterer Analogiebeweis könnte der folgende gemacht werden. In der Klasse

wurde der Satz „Verdoppelt man die Seitenlängen eines Quadrats, so verdoppelt sich

auch die Länge jeder Diagonale.“ (Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520) schon wie

folgt bewiesen:

Z.z. Verdoppelt man die Seitenlängen eines Quadrats, so verdoppelt sich auch die Länge jeder

Diagonale.

Anschaulicher Beweis:

Abbildung nach (Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520)

Legt man das Quadrat viermal nebeneinander, so erhält man ein Quadrat mit verdoppelter

Seitenlänge. Es ist sofort zu sehen, dass auch die Diagonale nun doppelte Länge hat.

25

Formaler Beweis:

Sei 𝑎 die Seitenlänge des Quadrats und 𝑑 dessen Diagonale. 𝑑1 sei die Diagonale des Quadrats mit

verdoppelter Seitenlänge, also mit Seitenlänge 2 ∙ 𝑎. So gilt nach dem Satz des Pythagoras:

𝑑 = √𝑎2 + 𝑎2 = √2 ∙ 𝑎2 = 𝑎 ∙ √2

Für 𝑑1 erhalten wir somit durch Einsetzen in diese Formel (die Seitenlänge 𝑎 ist jetzt doppelt so lang,

also 2 ∙ 𝑎):

𝑑1 = 2 ∙ 𝑎 ∙ √2

Somit gilt:

𝑑1 = 2 ∙ 𝑑

Die Diagonale des Quadrats mit doppelter Seitenlänge hat also auch doppelte Länge.

(Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520)

In der Klasse kann nun die Frage gestellt werden, ob diese Aussage auch auf

Rechtecke angewandt werden kann (Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520). Es wird

also nicht direkt der Hinweis gegeben, dass der Beweis analog durchzuführen ist,

aber die Schülerinnen und Schüler werden dies höchstwahrscheinlich versuchen.

x Auch beim Thema Folgen und Reihen lassen sich sehr gut Analogiebeweise

durchführen. So findet sich im Mathematik 6 (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch,

2010b, S. 127 & 129) das Monotonieverhalten von gegebenen Folgen bewiesen. Als

Beispiel soll gezeigt werden, dass die Folge 2𝑛−1𝑛+1

streng monoton wachsend ist:

26

Z.z. Die Folge 𝑎𝑛 = 2𝑛−1𝑛+1

ist streng monoton wachsend, also 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1:

Beweis:

2𝑛 − 1𝑛 + 1

<2(𝑛 + 1) − 1(𝑛 + 1) + 1

2𝑛−1𝑛+1

< 2𝑛+1𝑛+2

|∙ (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) > 0

(2𝑛 − 1)(𝑛 + 2) < (2𝑛 + 1)(𝑛 + 1)

2𝑛2 + 3𝑛 − 2 < 2𝑛2 + 3𝑛 + 1

−2 < 1

Das ist eine wahre Aussage für alle 𝑛 ∈ ℕ∗ und somit ist diese Folge tatsächlich streng monoton

wachsend.

(Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 127 & 129)

Die Schülerinnen und Schüler sollen nun einen solchen Beweis für eine andere Folge

durchführen. Auch im Mathematik verstehen 6 (Malle, Koth, Woschitz, Malle,

Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 118) sind solche Aufgaben zu finden.

Generell sind bei den Folgen in diesen beiden Schulbüchern sehr viele

Analogiebeweise zu finden. Wurden die folgenden Aussagen für eine Folge bewiesen,

so können die Schülerinnen und Schüler diese für andere Folgen selbst beweisen:

a) Gib an, was die untere Schranke einer gegebenen Folge 𝑎𝑛 ist und beweise diese

Aussage (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 128 & 130; Malle, Koth,

Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 118).

b) Finde den Grenzwert einer gegebenen Folge 𝑎𝑛 und beweise, dass das der

Grenzwert ist (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 137-139; Malle, Koth,

Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 120-121).

27

x Als letzten Analogiebeweis, der hier vorgestellt wird, kann auch die Drehung eines

Körpers um die x-Achse oder um die y-Achse gesehen werden. Die Herleitung der

Formel wird im Mathematik 8 (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, Mathematik 8,

2013, S. 93-94) für die Drehung um die x-Achse bewiesen. Analog sollen die

Schülerinnen und Schüler die Formel für das Volumen bei Drehung eines Körpers um

die y-Achse beweisen.

Es gibt also genügend Analogiebeweise, die in der Schule geführt werden können. Werden

diese von den Lehrpersonen genutzt, so erhalten Schülerinnen und Schüler ein Gefühl für das

selbstständige Beweisführen.

2.7.2. BEWEISE MIT UNTERSCHIEDLICHEN FÄLLEN, WOBEI MINDESTENS EIN FALL

DURCHGEFÜHRT IST

Eine weitere Möglichkeit den Lernenden selbstständiges Arbeiten mit Beweisen näher zu

bringen ist die Möglichkeit einen Beweis mit mehreren Fällen aufzuteilen. Ein Fall oder

mehrere Fälle werden der Klasse präsentiert. Die restlichen sollen von den Schülerinnen und

Schülern auf eigene Faust durchgeführt werden.

x Im Mathematik verstehen 5 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a,

S. 264) wird der Beweis für die Formel der Normalprojektion in mehrere Fälle

unterteilt. Dabei wird der Begriff Normalprojektion mit Hilfe von Kräften erklärt:

„Ein Schlitten wird mit einer unter dem Winkel 𝜑 schräg nach oben gerichteten Kraft

�⃑� gezogen.“ (ebd.) Die Kraft �⃑⃑⃑�𝑠, mit dessen Betrag der „Schlitten in Richtung des

Wegvektors 𝑠 gezogen wird“ (ebd.), wird Normalprojektion von �⃑� auf 𝑠 genannt.

(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, &

Ulovec, 2010a, S. 264)

28

Der Beweis der Formel für die Projektion erfolgt folgendermaßen:

Z.z. Für den Betrag der Normalprojektion von �⃑⃑� auf �⃑� gilt: |�⃑⃑�𝑎| = |�⃑�0 ∙ �⃑⃑�|.

Beweis:

Allgemein gilt: 𝜑 = ∢(�⃑�, �⃑⃑�) = ∢(�⃑�0, �⃑⃑�) ⇒ cos𝜑 = �⃑⃑�0∙�⃑⃑�1∙|�⃑⃑� |

= �⃑⃑�0∙�⃑⃑�|�⃑⃑� |

1. Fall: 0° ≤ 𝜑 < 90°:

|�⃑⃑�𝑎| = |�⃑⃑� | ∙ cos𝜑 = |�⃑⃑� | ∙ �⃑⃑�0∙�⃑⃑�|�⃑⃑� |

= �⃑�0 ∙ �⃑⃑�

2. Fall: 𝜑 = 90°:

|�⃑⃑�𝑎| = |0⃑⃑| = 0 = �⃑�0 ∙ �⃑⃑� (da �⃑�0 ⊥ �⃑⃑�)

3. Fall: 90° ≤ 𝜑 ≤ 180°:

|�⃑⃑�𝑎| = |�⃑⃑� | ∙ cos(180° − 𝜑)

= −|�⃑⃑� | ∙ cos (𝜑)

= −|�⃑⃑� | ∙�⃑�0 ∙ �⃑⃑�|�⃑⃑� |

= −�⃑�0 ∙ �⃑⃑�

29

Somit gilt in allen drei Fällen: |�⃑⃑�𝑎| =|�⃑�0 ∙ �⃑⃑�|.

(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a, S. 264)

x Ein weiterer Beweis mit mehreren Fällen ist der für die Potenzregeln mit einer ganzen

Zahl im Exponenten. Dieser Beweis ist im Mathematik 6 und Mathematik verstehen 6

(Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 74; Malle, Koth, Woschitz, Malle,

Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 10-11) zu finden. Als Beispiel wird hier der folgende

Beweis angeführt:

(𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ∗ und alle 𝑛 ∈ ℤ (Malle, Koth, Woschitz, Malle,

Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 11), wobei davon ausgegangen wird, dass dieselbe

Aussage für 𝑛 ∈ ℕ schon gezeigt wurde:

Z.z. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ∗ und alle 𝑛 ∈ ℕ:

Beweis:

1. Fall: 𝑛 ∈ ℤ+ ⇒ 𝑛 ∈ ℕ, was schon gezeigt wurde

2. Fall: 𝑛 ∈ ℤ− ⇒ 𝑛 = −𝑘 mit 𝑘 ∈ ℤ+.

(𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)−𝑘 = 1(𝑎∙𝑏)𝑘 = 1

𝑎𝑘∙𝑏𝑘 = 1𝑎𝑘 ∙ 1

𝑏𝑘 = 𝑎−𝑘 ∙ 𝑏−𝑘 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛

3. Fall: 𝑛 = 0

(𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)0 = 1 = 1 ∙ 1 = 𝑎0 ∙ 𝑏0 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛

(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 11)

1. Fall

30

Beweise mit unterschiedlichen Fällen stellen für Schülerinnen und Schüler sicher eine größere

Herausforderung dar als Analogiebeweise. Eine gute Übung für selbstständiges Beweisführen

sind sie aber auf jeden Fall.

2.7.3. VERALLGEMEINERN EINES BEWEISES Auch durch das Verallgemeinern eines Beweises kann das selbstständige Beweisen trainiert

werden. Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 199) geben ein gutes Beispiel an, das

hier passend ist.

x In der Klasse könnte mit den Schülerinnen und Schülern der folgende Beweis gemacht

werden: lim𝑛→∞ 0, 8𝑛 = 0. Dabei muss aber erwähnt werden, dass die Konvergenz

von Folgen zwar im Lehrplan der Oberstufe (6. Klasse) zu finden ist

(Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Oberstufe

Mathematik, S. 4), allerdings Folgen prinzipiell bei der standardisierten Reifeprüfung

keine Rolle spielen (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013).

Z.z. lim𝑛→∞ 0, 8𝑛 = 0:

Beweis:

Sei 𝜀 > 0. Dann gilt:

|0,8𝑛 − 0| < 𝜀 ⟺ |0,8𝑛| < 𝜀 ⟺ 0,8𝑛 < 𝜀 ⟺ 𝑛 ∙ ln0,8 < ln𝜀 ⟺ 𝑛 >ln𝜀

ln0,8

Wähle nun 𝑛0 > ln𝜀ln0,8

. Dann ist |0,8𝑛 − 0| < 𝜀 für alle 𝑛 ≥ 𝑛0.

Beweis nach (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 120)

Anschließend könnte von den Lernenden verlangt, werden, dass sie die

Verallgemeinerung davon beweisen, nämlich: lim𝑛→∞ 𝑞𝑛 = 0 für 0 < 𝑞 < 1. (Fischer

& Malle, 1985, S. 199)

31

x Als weiteres Beispiel kann hier die Ableitungsregel für die Potenzfunktion angeführt

werden. So kann in der Klasse die Regel für 𝑓(𝑥) = 𝑥2 bewiesen werden:

Z.z. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 2𝑥

Beweis:

𝑓′(𝑥) = lim𝑥0→𝑥

𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)𝑥0 − 𝑥

= lim𝑥0→𝑥

𝑥02 − 𝑥2

𝑥0 − 𝑥= lim

𝑥0→𝑥

(𝑥 + 𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)𝑥0 − 𝑥

= lim𝑥0→𝑥

(𝑥 + 𝑥0)

= 2𝑥

Die Schülerinnen und Schüler sollen nun versuchen zu beweisen, dass für 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛

gilt: 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 für 𝑛 ∈ ℕ∗ (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec,

2011, S. 30). Bevor diese Aufgabe gegeben wird, sollte allerdings die Regel von

Horner wiederholt werden:

Z.z. 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 für 𝑛 ∈ ℕ∗

Beweis:


𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)𝑥0 − 𝑥

= lim𝑥0→𝑥

𝑥0𝑛 − 𝑥𝑛

𝑥0 − 𝑥

= lim𝑥0→𝑥(𝑥0−𝑥)∙(𝑥0

𝑛−1+𝑥0𝑛−2∙𝑥+𝑥0

𝑛−3∙𝑥2+⋯+𝑥0∙𝑥𝑛−2+𝑥𝑛−1)𝑥0−𝑥

= lim𝑥0→𝑥

(𝑥0𝑛−1 + 𝑥0

𝑛−2 ∙ 𝑥 + 𝑥0𝑛−3 ∙ 𝑥2 + ⋯ + 𝑥0 ∙ 𝑥𝑛−2 + 𝑥𝑛−1) = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1

(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2011, S. 30)

𝑛 Summanden

32

2.7.4. BEWEISE DURCH AUFGABEN ERARBEITEN Wird ein Beweis in eine Aufgabe verpackt, so ist die Klasse interessiert, da sie die Aufgabe

auch lösen möchte. Dazu ist der Beweis selbst aber notwendig. Außerdem wissen die

Lernenden sofort, wofür die Behauptung angewendet werden kann. Auch für diese Art

werden Beispiele angegeben:

x Flächeninhalt des Parallelogramms:

Mit den Schülerinnen und Schülern soll die folgende Aufgabe gelöst werden:

Aufgabe 630a) aus Das ist Mathematik 3 (Reichel, Humenberger, Litschauer, Groß,

Aue, & Neuwirth, 2012, S. 183):

„Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD! [...]

𝑎 = 27 𝑚𝑚, ℎ𝑎 = 19 𝑚𝑚 “ (Reichel, Humenberger, Litschauer, Groß, Aue, &

Neuwirth, 2012, S. 183).

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD!

𝑎 = 27 𝑚𝑚, ℎ𝑎 = 19 𝑚𝑚

Folgende Fläche ist gesucht:

Anhand der Zeichnung ist zu sehen, dass, dass das rechte Dreieck auch auf der linken Seite

vorhanden ist:

33

Wird das rechte Dreieck auf die linke Seite verschoben, so erhalten wir ein Rechteck und der

Flächeninhalt dieses Rechtecks ist gleich dem Flächeninhalt des ursprünglichen Parallelogramms:

Durch die Flächeninhaltsformel des Rechtecks erhalten wir also die Fläche des Parallelogramms:

𝐴𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚 = 𝐴𝑅𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒𝑐𝑘 = 𝑎 ∙ ℎ𝑎

Für unser Parallelogramm erhalten wir somit:

𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ𝑎 = 27 ∙ 19 = 515 𝑚𝑚2

Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt also 515 𝑚𝑚2.

(Reichel, Humenberger, Litschauer, Groß, Aue, & Neuwirth, 2012, S. 183)

x Ein weiteres Beispiel, das wiederum aus der Geometrie stammt, ist nach Fischer und

Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 200) das des Sinus- und Cosinussatzes. Im

Mathematik 5 (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010a, S. 209) werden diese Sätze

anhand eines Beispiels hergeleitet.

34

Von einem Dreieck kennt man 𝑏 = 5, 𝑐 = 8, ∝= 60°. Berechne 1) 𝑎, 2) 𝛽.

1) Wir zerlegen das Dreieck mittels der Höhe ℎ𝑐 in zwei rechtwinkelige Dreiecke. Für das linke

gilt:

𝑠𝑖𝑛 ∝=ℎ𝑐

𝑏⇒ ℎ𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∝

⇒ ℎ𝑐 ≈ 4,33

𝑐𝑜𝑠 ∝=𝑤𝑏

⇒ 𝑤 = 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝

⇒ 𝑤 ≈ 2,5

Nun lässt sich im rechten Dreieck mit

dem Satz des Pythagoras 𝑎 bestimmen:

𝑎2 = ℎ𝑐2 + (𝑐 − 𝑤)2

= 𝑏2 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 ∝ +(𝑐 − 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝)2

= 𝑏2 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 ∝ +𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑏2 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 ∝

= 𝑏2 ∙ (𝑠𝑖𝑛2 ∝ +𝑐𝑜𝑠2 ∝) + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝

Weil 𝑠𝑖𝑛2 ∝ +𝑐𝑜𝑠2 ∝= 1, gilt:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝⇒ 𝑎 ≈ 7

2) ℎ𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∝ und ℎ𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽

⇒ 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∝ = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 ⇒𝑎

𝑠𝑖𝑛 ∝=

𝑏𝑠𝑖𝑛𝛽

⇒ 𝑠𝑖𝑛𝛽 =𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∝

𝑎⇒ 𝛽 = 38,21°

Achtung: Rein rechnerisch käme wegen 𝑠𝑖𝑛𝛽 = sin (180° − 𝛽) auch der stumpfe Winkel

𝛽 = 180° − 38,21° = 141,79° als Lösung in Frage. Aufgrund der Figur können wir diese

Möglichkeit im vorliegenden Fall ausschließen. Man hätte dies auch aus ∝= 60° folgern

können.

(Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010a, S. 209)

35

x Als weitere Formel, die durch eine Aufgabe hergeleitet werden kann, ist die kleine

Lösungsformel zu erwähnen:

Finde die Lösungen für die folgende Gleichung: 𝑥2 + 4𝑥 − 21 = 0.

𝑥2 + 4𝑥 − 21 = 0

(𝑥 + 2)2 − 4 − 21 = 0

(𝑥 + 2)2 − 25 = 0

(𝑥 + 2)2 = 25

𝑥1,2 + 2 = ±√25

𝑥1,2 = −2 ± √25

𝑥1 = −7

𝑥2 = 3

Allgemeine Form:

𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0

(𝑥 +𝑝2

)2

− (𝑝2

)2

+ 𝑞 = 0

(𝑥 +𝑝2

)2

= (𝑝2

)2

− 𝑞

𝑥1,2 +𝑝2

= ±√(𝑝2

)2

− 𝑞

𝑥1,2 = −𝑝2

± √(𝑝2

)2

− 𝑞

Der Vorteil eines Beweises anhand einer Aufgabe ist laut Fischer und Malle (Fischer &

Malle, 1985, S. 202), dass der Beweis sozusagen ein Nebenprodukt darstellt. Er ist eine

Entdeckung einer Aufgabe. Zunächst wird der Beweis nur an einem Einzelbeispiel

durchgeführt, schrittweise kann dann verallgemeinert werden, indem immer mehr Variablen

verwendet werden. Oft fällt gerade das den Schülerinnen und Schülern leichter.

2.7.5. BEWEISE MIT BEREITS BEKANNTEM BEWEISMUSTER AUS DEM GEBIET Eine weitere Möglichkeit selbstständiges Beweisen zu fördern ist es Beweise zu machen, die

ähnlich zu einem bereits bekannten Beweis aus demselben Stoffgebiet sind. Auch dazu sollen

Beispiele angeführt werden:

x Es kann etwa die Produktregel mit der gesamten Klasse bewiesen werden, die

Quotientenregel soll dann von den Lernenden selbst bewiesen werden:

36

Produktregel:

Z.z. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)

Beweis:

𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)𝑥0 − 𝑥

=𝑢(𝑥0) ∙ 𝑣(𝑥0) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥)

𝑥0 − 𝑥

=𝑢(𝑥0) ∙ 𝑣(𝑥0) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥)

𝑥0 − 𝑥

=(𝑢(𝑥0) − 𝑢(𝑥)) ∙ 𝑣(𝑥0) + 𝑢(𝑥) ∙ (𝑣(𝑥0) − 𝑣(𝑥))

𝑥0 − 𝑥

=𝑢(𝑥0) − 𝑢(𝑥)

𝑥0 − 𝑥∙ 𝑣(𝑥0) + 𝑢(𝑥) ∙

𝑣(𝑥0) − 𝑣(𝑥)𝑥0 − 𝑥


𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)𝑥0 − 𝑥

= lim𝑥0→𝑥

(𝑢(𝑥0) − 𝑢(𝑥)

𝑥0 − 𝑥∙ 𝑣(𝑥0) + 𝑢(𝑥) ∙

𝑣(𝑥0) − 𝑣(𝑥)𝑥0 − 𝑥

)

= lim𝑥0→𝑥

(𝑢(𝑥0) − 𝑢(𝑥)

𝑥0 − 𝑥∙ 𝑣(𝑥0)) + 𝑢(𝑥) ∙ lim

𝑥0→𝑥

𝑣(𝑥0) − 𝑣(𝑥)𝑥0 − 𝑥

= 𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)

Quotientenregel:

Z.z. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)

⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥)∙𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)∙𝑣′(𝑥)(𝑣(𝑥))2

Beweis:

𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)𝑥0 − 𝑥

=

𝑢(𝑥0)𝑣(𝑥0) − 𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥)𝑥0 − 𝑥

=𝑢(𝑥0) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0)

(𝑥0 − 𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0) ∙ 𝑣(𝑥)

=𝑢(𝑥0) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0)

(𝑥0 − 𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0) ∙ 𝑣(𝑥)

=(𝑢(𝑥0) − 𝑢(𝑥)) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ (𝑣(𝑥0) − 𝑣(𝑥))

(𝑥0 − 𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0) ∙ 𝑣(𝑥)

=1

𝑣(𝑥0)𝑣(𝑥) ∙ (𝑢(𝑥0) − 𝑢(𝑥)

𝑥0 − 𝑥∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙

𝑣(𝑥0) − 𝑣(𝑥)𝑥0 − 𝑥

)

37


𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)𝑥0 − 𝑥

= lim𝑥0→𝑥

[1

𝑣(𝑥0)𝑣(𝑥) ∙ (𝑢(𝑥0) − 𝑢(𝑥)

𝑥0 − 𝑥∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙

𝑣(𝑥0) − 𝑣(𝑥)𝑥0 − 𝑥

)]

= 𝑣(𝑥) ∙ lim𝑥0→𝑥

(1

𝑣(𝑥0)𝑣(𝑥) ∙𝑢(𝑥0) − 𝑢(𝑥)

𝑥0 − 𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ lim

𝑥0→𝑥(

1𝑣(𝑥0)𝑣(𝑥) ∙

𝑣(𝑥0) − 𝑣(𝑥)𝑥0 − 𝑥

)

=𝑣(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥)

(𝑣(𝑥))2 −𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)

(𝑣(𝑥))2 =𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)

(𝑣(𝑥))2

(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2011, S. 84-85)

x Eine weitere Möglichkeit ist auch, die Schülerinnen und Schüler die Ableitungsregel

für die Wurzelfunktion selbst beweisen zu lassen, nachdem die Ableitungsregel für die

Potenzfunktion gemacht wurde (siehe Abschnitt 2.7.3.).

x Auch Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 202) führen Beispiele an: Wurde

etwa schon bewiesen, dass die Summe zweier gerader Zahlen wieder gerade ist, so

könnte der Beweis verlangt werden, dass die Summe zweier ungerader Zahlen ebenso

gerade ist und dass die Summe von drei Zahlen, die durch 3 teilbar sind, wiederum

durch 3 teilbar ist.

2.7.6. BEWEISE VERBUNDEN AUS BEKANNTEN BEWEISMUSTERN AUS DEM STOFFGEBIET Das selbstständige Beweisen kann auch mit einem Beweis geübt werden, bei dem mehrere

bekannte Beweismuster aus demselben Stoffgebiet bei einem neuen Beweis verbunden sind.

Hierfür ist es sicherlich schwerer geeignete Beweise zu finden. Dennoch soll eine

Möglichkeit dafür angeführt werden:

x Wurde mit der Klasse schon die Ableitungsregel für die Potenzfunktion 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛

(Abschnitt 2.7.3.) und für die Quadratwurzelfunktion 𝑓(𝑥) = √𝑥 bewiesen, so setzt

sich der Beweis für die Ableitungsregel für die Wurzelfunktion 𝑓(𝑥) = √𝑥𝑛 aus

diesen beiden Beweisen zusammen.

38

Quadratwurzelfunktion:

Z.z. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 12∙√𝑥

Beweis:


𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)𝑥0 − 𝑥

= lim𝑥0→𝑥

√𝑥0 − √𝑥𝑥0 − 𝑥

= lim𝑥0→𝑥

√𝑥0 − √𝑥(√𝑥0 − √𝑥) ∙ (√𝑥0 + √𝑥)

= lim𝑥0→𝑥

1√𝑥0 + √𝑥

=1

2 ∙ √𝑥

Wurzelfunktion:

Z.z. 𝑓(𝑥) = √𝑥𝑛 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 1𝑛∙( √𝑥𝑛 )𝑛−1

Beweis:


𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)𝑥0 − 𝑥

= lim𝑥0→𝑥

√𝑥0𝑛 − √𝑥𝑛

𝑥0 − 𝑥= lim

𝑥0→𝑥


( √𝑥0𝑛 )𝑛 − ( √𝑥𝑛 )𝑛

= lim𝑥0→𝑥


( √𝑥0𝑛 − √𝑥𝑛 ) ∙ [( √𝑥0

𝑛 )𝑛−1

+ ( √𝑥0𝑛 )

𝑛−2∙ √𝑥𝑛 + ( √𝑥0

𝑛 )𝑛−3

∙ ( √𝑥𝑛 )2

+ ⋯ + ( √𝑥𝑛 )𝑛−1

]

= lim𝑥0→𝑥

1

( √𝑥0𝑛 )

𝑛−1+( √𝑥0

𝑛 )𝑛−2

∙ √𝑥𝑛 +( √𝑥0𝑛 )

𝑛−3∙( √𝑥𝑛 )

2+⋯+( √𝑥𝑛 )

𝑛−1 = 1𝑛∙( √𝑥𝑛 )𝑛−1

(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2011, S. 92)

𝑛 Summanden

39

Dieser Beweis für die Wurzelfunktion ist dem Beweis für die Quadratwurzelfunktion

sehr ähnlich, allerdings wird wie schon beim Beweis für die Potenzfunktion die Regel

von Horner benötigt. Somit setzt sich der Beweis genau aus diesen beiden Beweisen

zusammen.

2.7.7. BEKANNTE BEWEISMUSTER IN EINEM NEUEN THEMENGEBIET ANWENDEN Eine weitere Möglichkeit ist es, auch einen Beweis zu führen, der ein Beweismuster aus

einem anderen Stoffgebiet verwendet. Dazu ist ein Beweis im Schulbuch Mathematik

verstehen 6 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 132) zu finden:

x Das Umordnen stellt ein bereits bekanntes Beweismuster dar. So wurde etwa beim

Beweis für die Flächeninhaltsformel des Parallelogramms (Abschnitt 2.7.4.) eine

Fläche verschoben. Auch bei dem nun angeführten Beweis soll umgeordnet werden,

und zwar bei dem Beweis für die Summenformel der endlichen arithmetischen Reihe.

Z.z.: Es sei (𝑎1, … , 𝑎𝑛) eine endliche arithmetische Folge. So ist 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 die zugehörige

arithmetische Reihe. Sei 𝑑 die Differenz zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern, so

gilt für die Summe: 𝑆 = 𝑛2

∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛)

Beweis:

𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

Es werden nun das erste und das letzte Glied zusammengefasst, das zweite mit dem vorletzten, das

dritte mit dem vorvorletzten, usw.:

𝑎1 + 𝑎𝑛

𝑎2 + 𝑎𝑛−1 = (𝑎1 + 𝑑) + (𝑎𝑛 − 𝑑) = 𝑎1 + 𝑎𝑛

𝑎3 + 𝑎𝑛−2 = (𝑎1 + 2𝑑) + (𝑎𝑛 − 2𝑑) = 𝑎1 + 𝑎𝑛

usw.

40

1. Fall: 𝑛 ist gerade: Somit erhalten wir mit 𝑛2

Zusammenfassungen genau die Summe, es gilt

also: 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑛2

∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛)

2. Fall: 𝑛 ist ungerade: Dann ist 𝑛 − 1 eine gerade Zahl. Wir nehmen also 𝑛−12

Zusammenfassungen. Es fehlt dann aber noch das mittlere Glied der Reihe. Da die Differenz

zwischen allen Gliedern konstant ist, ist dieses genau der Mittelwert des ersten und letzten

Gliedes. Somit gilt:

𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 =𝑛 − 1

2∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛) +

𝑎1 + 𝑎𝑛

2=

(𝑛 − 1) ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛) + (𝑎1 + 𝑎𝑛)2

=(𝑛 − 1 + 1) ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛)

2=

𝑛 ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛)2

=𝑛2

∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛)

(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 132)

2.7.8. BEWEISLÜCKEN NACH EINER BEWEISSKIZZE SCHLISSEN Die letzte Möglichkeit, die Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 203) anführen

Schülerinnen und Schüler selbstständiges Beweisen zu erlernen, ist es, diese Beweislücken

schließen zu lassen, nachdem eine Beweisskizze gegeben wurde. Dafür ist fast jeder Beweis

geeignet, auch die bereits hier angeführten.

2.7.9. KOMBINATION DER BEREITS GENANNTEN METHODEN Natürlich können die hier angeführten Methoden auch kombiniert werden. Fischer und Malle

(Fischer & Malle, 1985, S. 203) meinen, dass dies gerade bei schwierigen und langen

Beweisen geeignet ist.

41

2.8. BEWEISKOMPETENZ

2.8.1. WAS IST BEWEISKOMPETENZ? Möchte man das Beweisen erlernen bzw. lehren, so ist laut Brunner (Brunner, 2014, S. 79)

Beweiskompetenz wichtig. Sie erläutert, dass sich diese Kompetenz aus mehreren einzelnen

zusammensetzt. Auch die Kommunikation spielt eine bedeutende Rolle im Beweisprozess,

somit stellt sie eine Teilkompetenz dar. Wichtig ist es natürlich zu allererst, wie Brunner

erwähnt, dass die eigenen Schritte beim Rechnen oder sonstigem erklärt und auch begründet

werden können. Um Beweiskompetenz zu besitzen, muss man auch dazu in der Lage sein,

einen Beweis selbstständig führen zu können. Im vorigen Abschnitt wurden Möglichkeiten

erläutert, wie dies gelingen kann. Brunner meint, dass man dazu in der Lage sein sollte,

mathematische Begründungen anzustellen und diese auch testen können sollte. Weinert

versteht „unter Kompetenzen die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren

kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit

verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten um die

Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu

können.“ (Weinert, 2002, S. 27-28)

In diesem Kompetenzbegriff stecken also zunächst kognitive Fähigkeiten. Diese beziehen

sich auf einen gewissen Gegenstand. Auch Heinze und Reiss (Heinze & Reiss, 2003, S. 2)

sehen das Methodenwissen als einen Bereich der Beweiskompetenz an. Auch dieses wird in

drei Unterpunkte unterteilt, über die die Schülerinnen und Schüler Kenntnisse haben sollten,

um Beweiskompetenz zu erlangen:

1. Beweisschema: Ein mathematischer Beweis ist deduktiver Art. Deduktiv bedeutet,

dass wir immer eine bewiesene Behauptung benötigen, um auf etwas schließen zu

dürfen. Diese Behauptung muss aber auch inhaltlich passend sein. Nicht jedes

deduktive Argument ist somit notwendigerweise richtig.

2. Beweisstruktur: Ein Beweis soll von den Voraussetzungen auf die Behauptung

schließen. Dafür müssen gültige Argumente verwendet werden. Die Behauptung darf

etwa nicht im Beweis verwendet werden, denn das wäre ein Zirkelschluss und kein

gültiger Beweis. Außerdem dürfen keine Lücken vorhanden sein

3. Beweiskette: Im Beweis sollte jeder Schritt mit dem vorigen Schritt bewiesen werden.

Möglicherweise sind zusätzlich mathematische Informationen notwendig. Genauer

gesagt bedeutet das, dass die deduktiven Schlüsse richtig angeordnet sein müssen.

42

Heinze und Reiss (Heinze & Reiss, 2003, S. 2) weisen darauf hin, dass diese Aspekte

voneinander unabhängig sind. Eine Schülerin oder ein Schüler kann etwa einen Zirkelschluss

verwenden, aber ansonsten das Beweisschema und die Beweiskette richtig durchführen. Um

Beweiskompetenz zu erlangen, müssen alle drei Aspekte erworben sein, die Schülerin oder

der Schüler muss also Kenntnisse in allen drei Bereichen aufweisen. Reiss sagt „Aufbauen

und Fördern von Beweiskompetenzen bedeutet also, zumindest in diesen drei Aspekten

gezielt Methodenwissen aufzubauen.“ (Reiss, 2002, S. 80)

Reiss et al. (Reiss, Hellmich, & Thomas, 2002, S. 56-57) weisen außerdem darauf hin, dass es

unterschiedliche Niveaus des Beweisens gibt, Brunner (Brunner, 2014, S. 80-81) erläutert

diese genauer. Zu Beginn ist die Beweiskompetenz natürlich noch weniger ausgeprägt, als sie

es zu Ende der Schulkarriere sein sollte. Sie unterscheiden drei Niveaus, in Niveau I, also in

der untersten Stufe können einfache Regeln, also mathematische Begriffe und Sätze bei

einfachen Rechenproblemen angewendet werden, womit etwa das Berechnen einer

Seitenlänge einer geometrischen Figur gemeint ist. Niveau II verlangt, eine Argumentation,

die aus einem Schritt besteht, geben zu können. In Niveau III befinden sich Schülerinnen und

Schüler, die mehrere Beweisschritte zu einem Beweis verknüpfen können, wobei mit

Beweisschritten die Anwendung eines mathematischen Satzes gemeint ist.

Es ist schnell zu sehen, dass die Niveaus sehr Unterschiedliches verlangen. Bei Niveau I

müssen nur bekannte Begriffe oder Sätze angewendet werden, in Niveau II ist allerdings

schon eine Argumentation, also logisches Schließen notwendig. Niveau III müssen schon

Schritte miteinander kombiniert werden, was dann zu einer Beweiskette führt. (Brunner,

2014, S. 80-81)

Brunner (Brunner, 2014, S. 81) weist darauf hin, dass gerade in Niveau III metakognitive

Fähigkeiten, wie planen, durchführen, bewerten gefragt sind.

Es spielt aber nicht nur das Wissen über bestimmte mathematische Inhalte eine Rolle, um

Beweiskompetenz zu entwickeln, sondern wie gerade Lehrpersonen wissen ist die Motivation

ein sehr wichtiger Faktor. Denn weisen die Schülerinnen und Schüler keine Motivation auf,

so hilft alles Wissen nichts. Nur wenn sie einigermaßen motiviert sind, werden sie die

Beweiskompetenz erlernen. Doch wie kann diese Motivation erreicht werden?

43

2.8.2. STUDIEN ZUR BEWEISKOMPETENZ VON SCHÜLERINNEN UND SCHÜLERN

2.8.2.1. PISA Bei PISA werden Schülerinnen und Schüler getestet, die sich am Ende der Pflichtschulzeit

befinden und somit zwischen 15 und 16 Jahren alt sind (OECD, 2014, S. 23). Im Jahr 2012

wurde, wie schon im Jahre 2003, der Schwerpunkt auf Mathematik gelegt (OECD, 2014, S.

26; OECD, 2004, S. 4) Die Ergebnisse haben sich in Österreich im Bereich Mathematik in

den Jahren 2003 auf 2012 nicht verändert (OECD, 2014, S. 60). Werden allerdings die

demographischen und sozialen Veränderungen berücksichtigt, so ist zu erkennen, dass sich

die Leistungen des Landes etwas verschlechtert haben (OECD, 2014, S. 65). 2012 liegen

diese aber über dem OECD-Durchschnitt (OECD, 2014, S. 52). Bei PISA wird Wert auf

Probleme, denen man im Alltag begegnet, gelegt. Diese sollen durch Anwenden des

mathematischen Wissens gelöst werden (OECD, 2014, S. 34). Die grundlegenden

mathematischen Fähigkeiten, die bei PISA 2012 getestet wurden, sind laut OECD (OECD,

2014, S. 42-43) die folgenden:

x Kommunizieren: richtiges Verständnis der Aufgaben und Formulieren der Lösung

x Mathematisieren: Wechsel zwischen der wirklichen und der mathematischen Welt

x Repräsentieren: Auswahl oder Interpretation einer Darstellungsform, wie einer

Gleichung oder einer Tabelle

x Reflektieren und Argumentieren: Diese Tätigkeit wird beim Lösen einer Aufgabe zu

jedem Zeitpunkt angewendet, gemeint ist dabei das Verknüpfen von Elementen der

Aufgabe, das Ziehen von Schlüssen, Prüfen von Begründungen oder Geben von

solchen.

x Entwickeln von Strategien zur Lösung von Problemen: Es müssen Zusammenhänge

von gelieferten Daten erkannt werden und diese mit dem Ziel verknüpft werden.

x Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik:

Hier müssen gewisse Regeln und Definitionen angewendet werden können.

x Nutzung mathematischer Inhalte: Mathematische Instrumente müssen gekannt und die

Anwendung von diesen passend gewählt werden.

Einige dieser Fähigkeiten spielen auch beim Beweisen eine bedeutende Rolle. So ist etwa das

Erkennen von Zusammenhängen eine wichtige Fähigkeit, die hier mit der Fähigkeit

Entwickeln von Strategien zur Lösung von Problemen beschrieben wird. Weiters ist der

Umgang mit der formalen Sprache eine wichtige Fertigkeit beim Beweisen, die auch hier

angesprochen wird. Auch auf das Repräsentieren und Kommunizieren darf beim Beweise

44

durchführen nicht vergessen werden und natürlich ist das Reflektieren und Argumentieren

ebenso wichtig.

Sind allerdings alle diese Fähigkeiten bei einer Schülerin oder einem Schüler vorhanden, so

lässt sich noch nicht darauf schließen, dass diese oder dieser auch Beweiskompetenz besitzt.

Wie allerdings eine andere Studie (Abschnitt 2.8.3.3.) zeigt, hängen allgemeine

mathematische Kompetenzen und die Beweiskompetenz eng zusammen.

Bei PISA werden laut OECD (OECD, 2014, S. 50) sechs Kompetenzstufen unterschieden.

Stufe 6 erfordert die höchsten mathematischen Fähigkeiten. Befindet man sich auf dieser

Stufe, so sollten alle Aufgaben der Studie gelöst werden können. Die Kompetenzstufen

werden vom OECD (OECD, 2014, S. 67) wie folgt erläutert:

x Stufe 6: Die Schülerinnen und Schüler der sechsten Stufe können ihre Kenntnisse auch

in ungewohnten Kontextsituationen anwenden. Weiters können sie Zusammenhänge

herstellen und sie „besitzen die Fähigkeit zu anspruchsvollem mathematischen

Denken und Argumentieren.“ (OECD, 2014, S. 67) Dieses Wissen können sie auch

symbolisch und formal ausdrücken, um dadurch Strategien zum Lösen von Problemen

zu erhalten. Sie können außerdem reflektieren und Begründungen geben. Mit anderen

Worten: Sie besitzen alle grundlegenden Fähigkeiten der Testung.

x Stufe 5: Schülerinnen und Schüler dieser Stufe können geeignete Strategien zur

Lösung komplexer Problemsituationen finden. Sie verfügen über „breit gefächerte, gut

entwickelte Denk- und Argumentationsfähigkeiten“ (OECD, 2014, S. 67). Weiters

sind sie der formalen Sprache mächtig und fähig zu reflektieren, formulieren und

kommunizieren.

x Stufe 4: „Schüler auf dieser Stufe können in einfachen Kontextsituationen ihre

begrenzte Palette an Fähigkeiten anwenden und gestützt auf ein gewisses

mathematisches Verständnis argumentieren. Sie können Erklärungen und

Begründungen für ihre Interpretationen, Argumentationen und Handlungen geben und

sie anderen mitteilen.“ (OECD, 2014, S. 67)

x Stufe 3: Schülerinnen und Schüler, die sich auf der dritten Stufe befinden, können

Verfahren durchführen, die klar beschrieben sind. Außerdem können einfache

Problemlösestrategien angewendet und unmittelbare Schlüsse gezogen werden.

x Stufe 2: „Schüler auf dieser Stufe können elementare Algorithmen, Formeln,

Verfahren oder Regeln anwenden, um Probleme mit ganzen Zahlen zu lösen.“

(OECD, 2014, S. 67)

45

x Stufe 1: Es können Routineverfahren ausgeführt werden und Methoden, die explizit

angegeben sind.

Es soll nun versucht werden diese Kompetenzstufen bei der PISA-Testung in die Niveaus des

Beweisens von Reiss, Hellmich und Thomas (Abschnitt 2.8.1.) einzuordnen. In Niveau I

können von den Schülerinnen und Schülern einfache Sätze und Definitionen angewendet

werden. Aus den Erläuterungen der einzelnen Kompetenzstufen ergibt sich, dass dazu

Schülerinnen und Schüler sicherlich ab der Stufe 2 in der Lage sind. Nehmen wir das in

Abschnitt 2.8.1. schon erwähnte Beispiel für Niveau I der Beweiskompetenz, nämlich dass

eine Seitenlänge einer geometrischen Figur berechnet werden soll, so sollten diejenigen, die

sich auf Stufe 2 befinden dazu in der Lage sein, da sie elementare Formeln anwenden können.

Schülerinnen und Schüler der Stufe 1 werden dieses Niveau nicht immer erreichen, sie sind

nur dazu in der Lage, wenn es sich um ein Routineverfahren handelt oder direkt angegeben

ist, wie das Beispiel zu lösen ist.

In Niveau II des Beweisens sollten schon einfache Argumentationen gegeben werden können.

In diesem Niveau sind die Schülerinnen ab Stufe 3, da in dieser schon unmittelbare Schlüsse

gezogen werden können.

In Niveau III sollen schon mehrgliedrige Argumentationen gegeben werden und diese zu

einer Beweiskette verknüpft werden können. Auf dieser Stufe befinden sich Schülerinnen und

Schüler der Stufen 5 und 6. Bereits in Stufe 5 können komplexe Problemaufgaben gelöst

werden und auch die Denk- und Argumentationsfähigkeit ist bei diesen gut ausgebaut.

In dieser Arbeit wird also davon ausgegangen, dass Niveau I des Beweisens ab

Kompetenzstufe 2 der Pisa-Testung erreicht ist, Niveau II ab Stufe 3 und Niveau III ab Stufe

5. Diese Verknüpfung wurde nach Herstellen der Erläuterungen der einzelnen Niveaus und

der Kompetenzstufen hergestellt und der Zusammenhang kann auch gezogen werden, da die

mathematische Kompetenz und die Beweiskompetenz nach einer Studie, die in Abschnitt

2.8.3.3. erläutert wird, in einer Korrelation miteinander stehen. Das bedeutet aber nicht, dass

dieser Zusammenhang bei allen Schülerinnen und Schülern zu sehen ist. Es kann also nicht

davon ausgegangen werden, dass eine Schülerin oder ein Schüler der Kompetenzstufe 6 einen

Beweis, der in der Schule gemacht wird, erbringen kann. Nachdem von dieser Verknüpfung

ausgegangen wird, kann nun herausgefunden werden, wieviele der österreichischen

Schülerinnen und Schüler sich in den unterschiedlichen Niveaus des Beweisens befinden.

46

Es stellt sich also die Frage, wieviel Prozent der österreichischen Schülerinnen und Schüler

im Alter von 15 Jahren welche Stufe erreichen können. In Stufe 6 befinden sich etwa 4%, in

Stufe 5 etwas mehr als 10% der österreichischen 15-jährigen (OECD, 2014, S. 71). Stufe 4

wurde von etwa 21% erreicht, denn laut OECD befinden sich insgesamt 35,3% der 15-

jährigen in unserem Land in den Stufen 4, 5 oder 6 (OECD, 2014, S. 73). Auf Stufe 3

befinden sich etwa 21%, auf Stufe 2 ca. 22% und auf Stufe 1 ungefähr 15% (OECD, 2014, S.

68).

Knapp 20% liegen in Österreich auf der Stufe 1 oder darunter (OECD, 2014, S. 77). Somit

erreichen 20% nicht das Niveau I des Beweisens (ab Stufe 2), woraus folgt, dass nur etwa

80% der 15-jährigen Niveau I erreicht und somit Sätze oder Begriffe beim Rechnen

anwenden können. Da ab Stufe 3 Niveau II erreicht wird, können etwa 58% der

österreichischen 15-jährigen einfache mathematische Argumentationen durchführen.

Mehrgliedrige Argumentationen können allerdings nur mehr von etwas mehr als 14%

durchgeführt werden, es erreichen somit nur sehr wenige Schülerinnen und Schüler das

höchste Niveau der Beweiskompetenz.

Nun werden Beispiele gegeben, bei denen Beweise dieser Art vorkommen:

Welches Auto?

Christina hat gerade ihren Führerschein gemacht und möchte sich ihr erstes Auto kaufen.

Die Tabelle unten zeigt die Einzelheiten für vier Autos, die sie bei einem örtlichen Autohändler

findet.

Modell Azuro Barry Cort Delta

Baujahr 2003 2000 2001 1999

Angebotener Preis (Zeds)

4 800 4 450 4 250 3 990

Kilometerstand (Kilometer)

105 000 115 000 128 000 109 000

Hubraum (Liter)

1.79 1.796 1.82 1.783

47

Frage 2:

Welches Auto hat den kleinsten Hubraum?

A. Azuro

B. Barry

C. Cort

D. Delta

(korrekte Antwort: Delta)

(OECD, 2014, S. 144-145)

Laut OECD gehört dieses Beispiel zu Kompetenzstufe 3 (OECD, 2014, S. 145). Über diese

Aufgabe wird auch folgendes geschrieben: „Es wird kein formaler geometrischer Beweis

verlangt; indem sie die Aufgabe richtig lösen, erbringen besonders leistungsstarke

Schülerinnen und Schüler jedoch fast einen solchen Beweis.“ (OECD, 2014, S. 144) Bei

diesem Beweis müssen sicherlich nicht mehrere Argumentationen verknüpft werden. Somit

fällt diese Aufgabe in Niveau II des Beweisens, was auch der Zuordnung, die vorher gemacht

wurde, entspricht.

Auch bei PISA 2003 gab es eine Aufgabe, bei der von Beweisführung gesprochen wird.

Raubüberfälle

Ein Fernsehreporter zeigte folgende Graphik und

sagte:

„Dieser Graph zeigt, dass die Zahl der

Raubüberfälle von 1998 bis 1999 stark

zugenommen hat.“

505

510

515

520

1998 1999

Anza

hl d

er R

aubü

berf

älle

im Ja

hr

48

Frage 15:

Hältst du die Aussage des Reporters für eine vernünftige Interpretation der Graphik? Begründe deine

Antwort.

(OECD, 2004, S. 91)

Bei der Beurteilung dieser Aufgabe wird unterschieden, ob einfach die Antwort „Nein“

gegeben oder diese auch genau begründet wird. Wird keine Begründung gegeben, so fällt

diese Aufgabe in Kompetenzstufe 4, wird eine Antwort gegeben, so fällt diese in

Kompetenzstufe 6.

Nimmt man die Begründung genauer unter die Lupe, so muss zunächst erkannt werden, dass

nicht die gesamte y-Achse abgebildet ist und daraus muss gefolgert werden, dass die

Darstellung verzerrt ist. Somit könnte sogar gesagt werden, dass eine mehrgliedrige

Argumentation nötig ist, womit man diese Aufgabe in Niveau III des Beweisens einordnen

könnte.

Allgemein ist es allerdings sehr schwer diese Aufgaben mit Beweisen in Verbindung zu

bringen, da nie wirklich ein direkter Beweis gefordert wird, sondern reine Erklärungen bzw.

Begründungen. Wahrscheinlich gibt es einige Mathematikerinnen und Mathematiker, die

etwa die eben gegebenen Aufgaben nicht mit Beweisen verbinden würden. Anhand der

Ergebnisse ist allerdings zu sehen, dass Aufgaben, wie die eben vorgestellte, die mit

gegebener Begründung der Stufe 6 zuzuordnen ist, den Schülerinnen und Schülern sehr

schwer fällt. Somit ist der Zusammenhang mit Beweisen wahrscheinlich größer als wir

vermuten würden.

49

2.8.2.2. TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) Allgemein werden bei TIMSS Schülerinnen und Schüler der vierten und achten Schulstufe

getestet. In Österreich wird bei TIMSS aber nur die vierte Schulstufe und somit werden

Schülerinnen und Schüler am Ende der Volksschule getestet. Der Grund dafür ist die bereits

vorhandene Testung der 15-jährigen durch die PISA-Studie, die durch TIMSS ergänzt werden

soll (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des

österreichischen Schulwesens, 2012, S. 5). Da sich diese Arbeit nur mit der AHS beschäftigt,

die Volksschulabgänger aber auch teilweise die AHS-Neulinge sind, wird auf deren

Ergebnisse nur kurz eingegangen. Aus dieser Studie herauslesen, wo sich die Schülerinnen

und Schüler kurz vor Beginn ihrer AHS-Karriere stehen.

In der Studie selbst ist das Thema Begründen sehr wichtig, allgemein wurden die kognitiven

Bereiche Wissen, Anwenden und Begründen getestet. In Österreich zeigt sich, dass die

Schülerinnen und Schüler der vierten Schulstufe im Bereich Wissen einen Mittelwert von

507, im Bereich Anwenden einen Mittelwert von 506 und beim Begründen einen Mittelwert

von 513 erreichen (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung

des österreichischen Schulwesens, 2012, S. 34). Anhand vom Bifie ausgewählter

Vergleichsländer (14 Länder inklusive Österreich, die diesem Land ökonomisch oder

geografisch nahe sind) ist zu erkennen, dass unser Land in allen drei Bereichen signifikant

unter dem Schnitt von diesen Ländern (Wissen: 525, Anwenden: 525, Begründen: 525) liegt

(bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen

Schulwesens, 2012, S. 35). Begründen ist somit der Bereich, in dem die österreichischen

Schülerinnen und Schüler der vierten Schulstufe am besten abschneiden, allerdings befinden

sie sich damit dennoch unter dem Mittelwert der Vergleichsländer.

2.8.2.3. Andere Studien Reiss et al. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 199-200)

zeigen in einer Studie mit Lernenden der siebten und achten Schulstufe in bayerischen

Gymnasien, dass bei Tests zur Beweiskompetenz die besseren Schülerinnen und Schüler

deutlich öfter höhere Kompetenzstufen erreichen als die leistungsschwächeren. Das bedeutet

also, dass mathematische Kompetenzen mit der Beweiskompetenz wechselweise

zusammenhängen. Jedoch wird die dritte Kompetenzstufe auch nur von weniger als der Hälfte

der Lernenden aus dem obersten Leistungsdrittel erreicht.

50

Die Studie (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 200) bestätige

außerdem die Ergebnisse von PISA und TIMSS. In der siebten Klasse verfügen einige

Schülerinnen und Schüler über einfaches Wissen, welches sie beim Beweisen nicht genügend

anwenden können.

Reiss et al. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 200-201)

fanden heraus, dass heuristische Lösungsbeispiele helfen, die Beweiskompetenz zu fördern.

Bei solchen Beispielen arbeiten Schülerinnen und Schüler mit ausgearbeiteten Lösungen, die

aber auch Irrwege und somit den gesamten Prozess der Lösung zeigen und nachvollzogen

werden sollen (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 196). Das

zeigt ihre Studie, bei der ein Teil der Lernenden vor dem Test Unterricht mit heuristischen

Lösungsbeispielen erhielten (Experimentalgruppe), der Rest jedoch normal unterrichtet wurde

(Kontrollgruppe). Beim Vortest unterschieden sich die beiden Gruppen kaum (bei beiden

wurden um die 60% der Aufgaben gelöst), im Nachtest schnitt die Gruppe, die mit

heuristischen Lösungsbeispielen vertrauter war, deutlich besser ab. Bei der

Experimentalgruppe wurden knapp 55% der Aufgaben richtig gelöst, in der Kontrollgruppe

nur 46%. Unterschiede waren vor allem bei Beweisaufgaben der höchsten Kompetenzstufe zu

sehen. In diesem Bereich schnitt die Experimentalgruppe im Vergleich zur Kontrollgruppe

fast doppelt so gut ab. Arbeitet man in der Schule mit heuristischen Aufgaben, so werden

auch mehrschrittige Argumentationsketten trainiert. Genau dies wird bei Beweisen der

Kompetenzstufe 3 auch verlangt. Werden solche Aufgaben also in der Schule geübt, so wird

automatisch auch die Beweiskompetenz der Schülerinnen und Schüler gefördert.

Weiters fanden bei der Studie (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl,

2006, S. 201-202) ein Fortbildungen für die Lehrpersonen statt, von denen eine den

Schwerpunkt auf klassische Themen legte, die andere auf die explorative Umgangsweise mit

Mathematik und Schülerfehler. Sie wurden also auf unterschiedliche Weise mit den

Lösungsbeispielen bekannt gemacht. Beim Vortest zeigten die Gruppen wiederum keinen

signifikanten Unterschied: Die Schülerinnen und Schüler, die von Lehrpersonen der ersten

Fortbildungsgruppe teilnahmen (Experimentalgruppe 1), erreichten 56,6%, diejenigen, die

von der zweiten Fortbildungsgruppe unterrichtet wurden (Experimentalgruppe 2) erreichte

58,0% der Punkte. Im Nachtest wurden von der Experimentalgruppe 1 50,6% der Aufgaben

gelöst, bei der Experimentalgruppe 2 waren es 53,9%. Die besseren Ergebnissen liegen

wiederum daran, dass sich die Gruppe 2 mit Beweisproblemen vom Niveau III besser

umgehen konnten. In diesem Bereich erzielten sie deutlich bessere Leistungen

51

(Experimentalgruppe 1: 24,2%, Experimentalgruppe 2: 29,6%), wobei es beim Vortest auch

bei den komplexen Beweisaufgaben keine Unterschiede gab. Reiss et al. haben somit gezeigt,

dass eine spezielle Begleitung durch die Lehrperson die positiven Effekte von heuristischen

Lösungsbeispielen verstärken kann.

Die Studie von Reiss et al. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006,

S. 202) zeigt allerdings auch, dass die Schülerinnen und Schüler der unterschiedlichen

Leistungsgruppen nicht im selben Ausmaß von den heuristischen Lösungsbeispielen profitiert

haben. Es zeigt sich, dass vor allem die Lernenden des niedrigen und mittleren

Leistungsniveaus von diesen Beispielen einen Vorteil zogen. Interessant ist dabei, dass sich

diejenigen des unteren Leistungsdrittels vom Vor- zum Nachtest in den Kompetenzstufen 2

und 3 verbessern, die des mittleren Leistungsdrittels schon nur mehr bei den Aufgaben der

Kompetenzstufe 3. Schülerinnen und Schüler des obersten Leistungsbereichs verbessern sich

bei diesen komplexen Aufgaben vom Vor- zum Nachtest zwar auch, allerdings nicht

signifikant. Grund ist nach den Initiatoren der Studie das Vorwissen, das je nach

Leistungsbereich unterschiedlich ausgeprägt ist. Werden die Lehrpersonen durch

Fortbildungen speziell geschult, so wirkt sich die Fortbildung, die sich auf Schülerfehler und

den experimentellen Umgang mit Mathematik spezialisiert, auf dieselbe Weise aus. Sie wirkt

wieder besonders positiv bei den Schülerinnen und Schülern des unteren und mittleren

Leistungsbereich, wobei der Effekt beim niedrigen Leistungsdrittel in den Kompetenzstufen 2

und 3 und beim mittleren Leistungsdrittel nur bei den komplexen Beweisaufgaben zu sehen

ist. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 202-203)

Zu erwähnen ist weiters, dass sich die spezielle Fortbildung zum Umgang mit Fehlerverhalten

bei heuristischen Lösungsbeispielen positiv auf die Schülerinnen und Schüler ausgewirkt hat.

Bei Schülerinnen und Schülern, die von Lehrpersonen mit dieser Fortbildung unterrichtet

wurden, sank die Angst vor dem Fehlermachen. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-

Albert, & Renkl, 2006, S. 204)

Eine Studie von Reiss, Hellmich und Thomas (Reiss, Hellmich, & Thomas, 2002, S. 58) unter

anderem zur Methodenkompetenz, die in der siebten und achten Schulstufe von Gymnasien

durchgeführt wurde, zeigt, dass es den Schülerinnen und Schülern bereits schwer fällt einen

falschen Beweis als solchen zu identifizieren. Es zeigt sich, dass richtige Beweise mit einem

Prozentsatz von 67% als richtig erkannt werden, falsche Beweise werden allerdings nur mit

einem Prozentsatz von 35% als unkorrekt erkannt. Dennoch zeigen die Ergebnisse, dass es

52

den Schülerinnen und Schülern leichter fällt einen Beweis zu beurteilen als einen solchen

selbstständig zu führen.

Diese Studie (Reiss, Hellmich, & Thomas, 2002, S. 59) zeigt auch, dass sich Lernende, die

formale Strategien kennen, sich beim Beweisen, vor allem bei solchen mit mehrschrittigen

Argumenten, leichter tun als Lernende, denen keine solche Strategien zur Verfügung stehen.

Walsch (Walsch, 1975, S. 113-115) führte eine Studie zur Fähigkeit der Unterscheidung von

Definitionen und Sätzen bei 231 Schülerinnen und Schülern der achten Schulstufe durch. Es

wurde also gefragt, ob eine Aussage bewiesen werden muss oder nicht. Dabei wurden die

folgenden acht Ausdrücke vorgegeben:

1. In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180°.

2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten zueinander parallel

sind.

3. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind stets gleich groß.

4. (2𝑎 + 3𝑏 − 4𝑐) ∙ 5𝑦

5. 5𝑥 − 16 = 19

6. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

7. 𝑎2 = 𝑎 ∙ 𝑎

8. Wenn die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar ist, so ist die Zahl selbst durch 3

teilbar.

(Walsch, 1975, S. 114-115)

Die Ausdrücke 1., 3., 6. und 8. stellen einen Satz dar und müssen somit bewiesen werden, 2.

und 7. sind Definitionen, 4. ist ein Term, 5. eine Gleichung mit einer Variablen. Somit

müssen 2., 4., 5. und 7. nicht bewiesen werden. Folgende Tabelle stellt den Prozentsatz der

richtig gegebenen Antworten dar:

Aufgabe 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Prozentsatz 57% 70% 47% 56% 24% 39% 77% 48%

(Walsch, 1975, S. 114)

Wir sehen also, dass den Schülerinnen und Schülern die Entscheidung, ob es sich um eine

Definition oder einen Satz handelt, sehr schwer fällt. Außerdem wurden nur 8% der richtigen

Antworten korrekt begründet. Der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen führte

also nicht zu einer zufriedenstellenden Fähigkeit Sätze von Definitionen zu unterscheiden.

53

Weiters wurde in einer Studie nach Walsch (Walsch, 1975, S. 116-119) getestet, ob die

Ergebnisse besser sind, wenn in der Klasse diese Klassifizierung geübt wird. Es stellt sich

heraus, dass die Schülerinnen und Schüler, bei denen in der Klasse solche Beispiele

besprochen wurden, deutlich besser abschnitten. Nun begründeten die Teilnehmerinnen und

Teilnehmer 55% der richtig gegebenen Antworten auch richtig.

Es zeigt sich also, dass die Lernenden Probleme haben Definitionen und Sätze voneinander zu

unterscheiden, besonders, wenn der Unterschied im Unterricht nicht besprochen wird. Wird

genauer auf die Unterscheidung eingegangen, so ist den Schülerinnen und Schülern viel eher

klar, ob bei einer Aussage ein Beweis nötig ist oder nicht.

2.8.3. SCHWIERIGKEITEN BEIM BEWEISEN Reiss meint, dass die Schwierigkeiten „das rationale Argumentieren in einem

mathematikbezogenen Problemkontext, das Begründen von mathematischen

Zusammenhängen und schließlich das Formulieren eines mathematischen Beweisen [ita]“

(Reiss, 2002, S. 9) sind.

Brunner (Brunner, 2014, S. 85) gibt weitere Probleme an, die bei den Schülerinnen und

Schülern auftreten. Wird etwa der Beweisprozess betrachtet, so sei schnell zu erkennen, dass

oft schon das Beweisbedürfnis nicht vorhanden ist. Meist ist das nächste Problem das Trennen

von Voraussetzungen und Behauptung. Auch Reiss et al. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler,

Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 195) weisen auf dieses Problem hin, sie meinen es sei den

Lernenden oft nicht klar, was im Beweis verwendet werden darf. Für Reiss et al. (Reiss,

Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 199) gibt es aber auch andere

Probleme, wie etwa das Schließen von einigen wenigen Beispielen auf die

Allgemeingültigkeit der Behauptung oder Zirkelschlüsse, bei denen das zu Beweisende im

Beweis selbst verwendet wird, was bedeutet, dass die Schülerinnen und Schüler wiederum das

Problem haben, Voraussetzungen von der Behauptung trennen zu können. Als dritten Fehler

erwähnen sie die Schlussketten. Dabei werden Prämissen verwendet, die nur auf Anschauung

beruhen.

Für Brunner (Brunner, 2014, S. 85) ist die fehlende Fähigkeit zum korrekten Formulieren und

die Repräsentation der Denkinhalte ein weiteres Problem, mit dem die Lernenden konfrontiert

sind.

54

Ein weitere Herausforderung, der sich die Schülerinnen und Schüler gegenübergestellt sehen,

ist – wie bereits erwähnt – das Unwissen, wie begonnen oder fortgefahren werden soll.

Brunner (Brunner, 2014, S. 86-87) erwähnt aber auch, dass Probleme nicht nur bei den

einzelnen Schülerinnen und Schülern auftreten können, sondern dass diese auch auf der

Klassenebene zu finden sind. So spielt etwa die Fehlerkultur eine große Rolle. Je nachdem

wie die Lehrperson und auch die Klassenmitglieder mit Fehlern umgehen, trauen sich die

einzelnen Lernenden ihren Beitrag zum Thema zu leisten. Werden Fehler immer nur belacht,

so werden sich viele nicht mehr trauen überhaupt etwas zu sagen, denn es könnte ja falsch

sein. Vor allem beim Beweisen spielt das natürlich eine wichtige Rolle. Beweisen ist so schon

schwer genug und auch wenn man sich nicht sicher ist, sollte der eigene Vorschlag den

anderen mitgeteilt werden. Oft ist dieser mehr wert als man denken würde.

2.8.4. BEWEISKOMPETENZ FÖRDERN

2.8.4.1. Motivation im Mathematikunterricht Waldis et al. (Waldis, Grob, Pauli, & Reusser, 2010, S. 242) meinen, dass bestimmte

Unterrichtsmerkmale und das Interesse der Schülerinnen und Schüler am Fach Mathematik

eng zusammenhängen. Die Unterrichtsmerkmale, die dabei getestet wurden sind

„ „Strukturierung“, „Klassenführung“, „Kognitive Aktivierung“ und „Schülerorientierung“

bzw. „Individuelle Unterstützung“, „Autonomiefreiräume“ und „Soziales Klima“.“ (Waldis,

Grob, Pauli, & Reusser, 2010, S. 242) Der Zusammenhang besteht dabei wechselseitig. Die

Merkmale des Unterrichts beeinflussen das Interesse der Lernenden, aber vor allem

beeinflusst das Interesse von diesen den Unterricht. Das bedeutet, dass vor allem interessierte

Schülerinnen und Schüler mitarbeiten. Es sollte also vor allem auf die weniger

Mitarbeitenden geachtet werden. Brunner (Brunner, 2014, S. 82) meint, dass experimentelle

Aufgaben genau richtig sind, solche Schülerinnen und Schüler miteinzubeziehen, da bei einer

solchen Übung Aktivität gefordert ist und die Aufgabe auch nicht allzu schwer ist. Dadurch

würden sie erkennen, dass Beweisen eine befriedigende Tätigkeit darstellen kann. Buff et al.

(Buff, Reusser, & Pauli, 2010, S. 268-269) zeigen in einer Studie, dass die

Unterrichtsmerkmale Vermittlung von Problemlösestrategien, Beziehung zur Lehrperson,

Alltagsbezug, Motivierfähigkeit der Lehrperson, Erklärkompetenz derselben und

Motivierungsqualität des Unterrichts positiv mit der Motivation der Schülerinnen und Schüler

korreliert.

55

2.8.4.2. Schaffen einer Begründungskultur Wie kann bei den Schülerinnen und Schülern Freude am Beweisen geweckt werden? Wichtig

ist dabei, dass die Lernenden neugierig sind, warum dieser Satz gilt. Nach Meyer und

Prediger und Brunner (Meyer & Prediger, S. 10-11; Brunner, 2014, S. 87) sollte dieses kleine

Wörtchen „Warum?“ ein wichtiger Bestandteil eines jeden Mathematikunterrichts sein. Die

Klasse wird sich daran gewöhnen und mit der Zeit selbst danach fragen. Ist das geschehen, so

sei ein wichtiges Bildungsziel erreicht. Meyer und Prediger weisen auch darauf hin, dass

zunächst bei den Lösungen zu Beispielen dieses „Warum?“ gestellt werden kann, etwa:

„Warum sieht deine Rechnung folgendermaßen aus?“ Wie bei den Beweisen selbst, soll es

auch hier so sein, dass die Komplexität allmählich erhöht wird. Weiters erwähnen sie, dass

dieses Argumentieren in der gesamten Klasse stattfinden sollte. Es sollte nicht so sein, dass

die Lehrperson dominiert. Die Schülerinnen und Schüler sollten untereinander ihre

Argumente austauschen. Auch Walsch (Walsch, 1975, S. 107) ist der Meinung, dass es ein

guter Anfang ist, die Lernenden ihre Aussagen begründen zu lassen.

Ein Beweisbedürfnis bei Schülerinnen und Schülern kann natürlich auch erreicht werden,

indem eine Aussage gefunden wird, die sie so sehr überrascht, dass sie wissen wollen, ob

diese tatsächlich wahr ist und warum. Stellen die Lernenden selbst eine solche Behauptung

auf, so sind sie wahrscheinlich noch interessierter daran zu zeigen, dass diese gilt. Hier kann

natürlich auch die Lehrperson sehr gut das Bedürfnis für den Beweis wecken, indem sie die

schon erwähnte wichtige Frage nach dem „Warum?“ stellt, wie beispielsweise „Ihr seid nun

zu dieser Meinung gelangt, doch erklärt mir warum das so ist? Kann es keine Ausnahme

geben?“

Auch experimentelle Beweise können dabei helfen ein Beweisbedürfnis herzustellen. Denn

hat die Klasse einige Beispiele gefunden, für die die Aussage gilt, so kann sie sich noch nicht

sicher sein, dass sie nicht etwas übersehen hat. Brunner (Brunner, 2014, S. 49-50) nennt

hierfür ein Beispiel: die Goldbach’sche Vermutung. Diese „besagt, dass jede gerade Zahl

größer als 2 als Summe von zwei Primzahlen geschrieben werden kann.“ (Brunner, 2014, S.

49) Für diese Vermutung gibt es unzählige Beispiele, die das belegen, dennoch gilt sie nicht

für alle geraden Zahlen, die größer als zwei sind.

Was sind andere Arten Motivation für das Beweisen bei dem Schülerinnen und Schülern zu

wecken? Wie vorher (Abschnitt 2.8.2.3) erläutert wurde, kann die Beweiskompetenz durch

heuristische Lösungsbeispiele gefördert werden. Vor allem bei den Schülerinnen und

Schülern, die ansonsten genügend oft auf der Strecke bleiben, nämlich die des unteren und

56

mittleren Leistungsbereichs, wirken sich diese positiv aus. Das bedeutet natürlich, dass

Lehrpersonen solche Beispiele in der Klasse öfters einbauen sollten. Dadurch kann die

Beweiskompetenz auf einfache Art erhöht werden bzw. kann damit sogar die Niveaustufe III

des Beweisens trainiert werden. Scheinbar wird mit solchen Aufgaben das Methodenwissen

der schwächeren Schülerinnen und Schüler, welches bei den leistungsstärken schon

vorhanden ist, ausgebaut (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S.

205). Steigert sich die Beweiskompetenz bei den Lernenden, so sind diese natürlich auch

motivierter Beweise zu machen. Weiters hat es einen guten Effekt, wenn die Lehrpersonen

wissen, wie sie mit Fehlern bei heuristischen Lösungsbeispielen von Seiten der Schülerinnen

und Schüler umgehen sollten und wie sie diese nützen können.

Generell sollten Lehrpersonen Fehler nicht kritisieren, sondern diese als Gewinn von neuem

Wissen sehen. Schülerinnen und Schüler lernen aus solchen Fehlern und genau das ist wichtig

ihnen mitzuteilen. Wie erwähnt (Abschnitt 2.8.2.3.) sinkt somit die Angst vor Fehlern, was

sich positiv auf den Unterricht und auch auf den Bereich des Beweisens auswirkt. Eine

positive Fehlerkultur ist für das Beweisen im Unterricht sehr wichtig, aber auch in anderen

Bereichen ist eine solche sehr hilfreich.

Reiss (Reiss, 2002, S. 25-26) weist darauf hin, dass Beweise oft mit Hilfe des fragend-

entwickelnden Unterrichts präsentiert werden. Dies sei aber genau der falsche Weg. Denn bei

dieser Art von Unterricht wird das Gespräch stark von der Lehrperson gelenkt und der

gesamte Beweis in kleine Stücke zerlegt. Dadurch ist der Prozess des Beweises nicht mehr

erkennbar. Beweise sollten deshalb von den Schülerinnen und Schülern selbstständig

erarbeitet werden. Nur auf diese Art wird auch die Prozesshaftigkeit des Beweisens vermittelt.

Auch die Lernenden sollten sehen wie es ist vor der Aufgabe eines Beweises zu stehen und

lernen mit der Unwissenheit, die zu Beginn des Beweises steht, umzugehen. Da allerdings bei

den Lernenden schon das Beurteilen von Beweisen eine Schwierigkeit darstellt, also zu

urteilen, ob es sich um einen Beweis handelt oder nicht, kann das Arbeiten mit bereits fertigen

Beweisen nach Reiss (Reiss, 2002, S. 27) auch dabei helfen Beweiskompetenz aufzubauen.

Die Schülerinnen und Schüler sollten dabei erklären können, warum ein Beweis korrekt oder

nicht korrekt ist. Können sie das, so fällt es ihnen auch leichter bei ihren eigenen Beweisen zu

wissen, ob diese richtig durchgeführt wurden oder nicht.

Weiters sollte nach Brunner (Brunner, 2014, S. 88) den Schülerinnen und Schülern gelehrt

werden, was die Voraussetzungen sind und was zu beweisen ist. Es sollte ihnen klar sein, was

die beiden Begriffe ausmacht und wie sie einander beeinflussen. Werden diese sichtlich

57

voneinander getrennt, so fällt es den Lernenden einfacher einzusehen, dass ein Zirkelschluss

kein richtiger Schluss darstellt. Außerdem sollten die Schülerinnen und Schüler verstehen,

dass nicht nur ein formaler Beweis korrekt ist. Sie müssen ihre Beweise nicht in formaler

Sprache darlegen, auch ein anschaulicher oder sprachlicher Beweis kann richtig sein. Wissen

sie das, so fällt ihnen das Formulieren leichter. Auch das Unterscheiden von Definitionen und

Sätzen stellt – wie wir in einer Studie (Abschnitt 2.8.2.3.) gesehen haben – einen wichtigen

Beitrag dar. Die Fähigkeit dazu kann am besten erreicht werden, wenn dieser Unterschied im

Unterricht direkt angesprochen und im weiteren Unterricht gefestigt wird, indem er immer

wieder wiederholt wird (Walsch, 1975, S. 119).

Wichtig ist dabei natürlich auch, dass die Schülerinnen und Schüler überhaupt wissen, was

bewiesen werden muss. Darauf weist Walsch (Walsch, 1975, S. 112) hin, der meint, dass

Definitionen von Sätzen unterschieden werden müssen. Den Lernenden muss klar sein, dass

eine Definition nicht bewiesen werden muss und dazu ist auch nötig zu wissen, was eine

solche kennzeichnet.

2.8.5. LEHREN VON BEWEISEN Nach Brunner (Brunner, 2014, S. 94-95) gibt es drei wichtige didaktische Modelle für das

Unterrichten von Beweisen. Darauf wird nun nur kurz eingegangen, da alle drei Modelle zwar

nicht als ein solches aber dennoch bereits erläutert wurden.

Das erste Modell ist das Beweisen analog zum Beweisprozess bei Expertinnen und Experten

(Abschnitt 2.5.). Dabei müssen sich die Schülerinnen und Schüler nicht an die formale

Sprache halten, sondern sie können die Behauptung und den Beweis auch in Alltagssprache

ausformulieren. Die einzelnen Phasen müssen dabei nicht nacheinander durchlaufen werden,

es können auch immer wieder Schleifen gezogen werden. Als erstes soll eine Behauptung

gefunden werden, die dann in der zweiten Phase formuliert wird. Nun werden Behauptung

und Voraussetzung voneinander getrennt und die vermuteten mathematischen

Zusammenhänge sollen begründet werden. In der vierten Phase sollen die Argumente

beurteilt und geordnet werden, wodurch die Lösungsidee erlangt und die Zusammenhänge

erkannt werden. Als nächstes sollen diese Argumente zu einem deduktiven Beweis formuliert

werden. In der letzten Phase wird dieser Beweis den Klassenmitgliedern präsentiert und von

diesen dann beurteilt. Wird er akzeptiert, so ist der Beweis anerkannt. (Brunner, 2014, S. 95-

96)

58

Ein zweites Modell legen Fischer und Malle vor. Sie meinen, dass das Niveau allmählich

gesteigert werden soll. Dazu schlagen sie zunächst gewisse Vorübungen für das Beweisen

vor. Es sollen etwa Definitionen von Sätzen unterschieden werden. Dabei erlernen die

Schülerinnen und Schüler zu erkennen, welche Aussagen einem Beweis bedürfen und welche

nicht. Als weitere Vorübung nennen sie das Begründen eines Schrittes beim Lösen einer

Aufgabe oder auch das Üben mit dem Umgang von logischen Schlussweisen. Bei der zweiten

Übung soll etwa gelernt werden, was der Unterschied zwischen „wenn ... dann“ und „genau

dann ... wenn“ ist oder was „für alle“ bedeutet. Weitere Übungen wären die

zusammenfassende Darstellung der Lösung von Aufgaben, denn auch beim Beweisen wird oft

ein Überblick verlangt, und das Verwenden von Variablen. Nach diesen Vorübungen kann

mit vorliegenden Beweisen gearbeitet werden. Dazu gehören das Wiedergeben, das

Analysieren und die kritische Betrachtung von Beweisen oder von Teilen von solchen.

Anschließend gelangt man zum höchsten Niveau und zwar zum selbstständigen Finden und

Erarbeiten von Beweisen. Die Übungen, die Fischer und Malle darlegen, um das zu erreichen,

wurden bereits in Abschnitt 2.7. erläutert (Analogiebeweise, einzelne Fälle von den

Lernenden beweisen lassen, Verallgemeinern des Beweises, den Beweis durch Aufgaben

erarbeiten, Beweise mit bekannten Beweismustern oder einer Kombination von solchen aus

demselben oder aus einem anderen Stoffgebiet durchführen und Beweislücken schließen).

(Fischer & Malle, 1985, S. 191-204)

Beim dritten Modell soll zunächst ein Beweisbedürfnis geschaffen werden (zum Beispiel

durch die Frage „Warum?“, durch eine Behauptung oder eine Aufgabe). Anschließend soll

das Beweisbedürfnis auf welche Art auch immer zu einem Beweis führen. So kann die

Behauptung anhand von Beispielen getestet werden. Diese können dann in der gesamten

Klasse diskutiert werden, wobei man zu der Erkenntnis gelangen sollte, dass dadurch keine

absolute Gültigkeit erlangt wurde. Der Prozess geht dann weiter. Es sollte dabei die

mathematische Struktur verstanden werden. Die Lehrperson sollte zur Hilfe stehen und dabei

helfen die zentralen Elemente der Behauptung in den Mittelpunkt rücken und zu verstehen.

Eine Operation kann helfen Einblick in die Struktur zu erlangen. Eine solche soll die

Lehrperson anregen, indem sie eine Handlung, wie etwa eine Skizze fordert. Nun soll die

Behauptung von den Voraussetzungen getrennt werden, wobei dabei auch schon verschiedene

Argumente entstehen. Die relevanten werden dann ausgewählt und miteinander verknüpft,

somit ist ein Handlungsbeweis entstanden. Dieser kann wiederum der Klasse präsentiert

werden, anschließend kann dieser Beweis auch noch formal dargelegt werden. Bei diesem

59

Modell ist der Niveauanstieg vom experimentellen zum Beziehungsbeweis zu erkennen. Am

Ende steht ein Handlungs- oder Beziehungsbeweis. (Brunner, 2014, S. 97-101)

Auch Walsch (Walsch, 1975, S. 111) findet diese Komplexitätssteigerung sehr wichtig, denn

die Denkentwicklung der Kinder zeige, dass sie beim Begründen zunächst Handlungen

benötigen, später folgen dann immer mehr abstrakt-logische Operationen.

2.8.6. RESÜMEE Wie die Studien zeigen, erreichen die Schülerinnen und Schüler keine hohen Stufen der

Beweiskompetenz. Es gibt allerdings einige Arten diese auf einfache Art und Weise zu

fördern. So kann etwa bei ganz einfachen Aufgaben gefragt werden, warum die Lösung

korrekt ist. Auf diese Art gewinnen die Lernenden den Wunsch nach dem Begründen und

somit auch die Motivation für Beweise. Für das Beweisen selbst ist es sehr wichtig die

Schülerinnen und Schüler selbstständig beweisen zu lassen und ihnen nur unterstützend zur

Seite zu stehen. Fragend-entwickelnder Unterricht ist etwa eine falsche Art Beweise zu

präsentieren, da dabei zu sehr die Lehrperson den Ton angibt und somit der Beweisprozess

verloren geht. Auf die Beweiskompetenz wirken sich etwa auch heuristische

Lösungsbeispiele sehr gut aus und noch besser wirken sich diese aus, wenn die Lehrperson

auf den richtigen Umgang mit Fehlern geschult ist. Wichtig für die Beweiskompetenz ist aber

nicht nur das individuelle Können, sondern auch der Umgang der Klassenkameradinnen und -

kameraden miteinander kann diese, wie in jedem Unterricht, beeinflussen. Wichtig ist, dass

den Lernenden klar ist, was sie bei einem Beweis zu tun haben. Sie sollten wissen, was die

Annahmen sind und was die Behauptung darstellt, denn nur so können sie bei einem Beweis

vom richtigen ausgehend ihr Ziel erreichen. Wichtig ist es auch den Lernenden zu erklären,

wann etwas bewiesen werden muss und wann nicht. Nur so lernen sie einen Satz von einer

Definition zu unterscheiden. Es gibt also viele Möglichkeiten die Beweiskompetenz von

Schülerinnen und Schülern zu fördern.

60

2.9. DIE ROLLE VON BEWEISEN IM ÖSTERREICHISCHEN AHS-LEHRPLAN Um zu wissen, welche Rolle Beweise in Österreich bzw. in den österreichischen AHS spielen,

muss natürlich der Lehrplan genauer unter die Lupe genommen werden. Halten sich die

Lehrerinnen und Lehrer an diesen, so ist schon klar, wie bedeutend Beweise in unserem Land

sind. Da aber bei der standardisierten Reifeprüfung nur ein Bruchteil von diesem abgeprüft

wird, stellt sich natürlich die Frage, ob sich die Lehrpersonen weiterhin am Lehrplan oder nur

an den Grundkompetenzen für die Reifeprüfung orientieren. Deswegen werden im Abschnitt

2.10. auch diese Kompetenzen genauer betrachtet. Zunächst aber eine Erläuterung des

Lehrplans in Bezug auf Argumentieren, Begründen und Beweisen.

2.9.1. UNTERSTUFE In der Bildungs- und Lehraufgabe der Unterstufe ist das Argumentieren angeführt. So sollen

die Schülerinnen und Schüler „in Verfolgung entsprechender Lernziele produktives geistiges

Arbeiten, Argumentieren und exaktes Arbeiten, kritisches Denken, Darstellen und

Interpretieren als mathematische Grundtätigkeiten durchführen, wobei sie dazu hingeführt

werden sollen, Lernprozesse selbstständig zu gestalten“ (Bundesministerium für Bildung und

Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 1). Argumentieren wird somit als

Grundtätigkeit angeführt und dieses soll mit der Zeit möglichst selbstständig durchgeführt

werden. Eine weitere Bildungs- und Lehraufgabe ist nach dem Lehrplan (Bundesministerium

für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 1) auch das Verbinden

von Handlungen und Begriffen. Dies kann sehr gut durch Beweise erreicht werden, da dabei

Zusammenhänge hergestellt werden müssen.

Bei den Grundfertigkeiten, die die Schülerinnen und Schüler während der Unterstufe im Fach

Mathematik entwickeln sollen, spielt das Begründen eine grundlegende Rollen. So wird es in

drei von vier genannten Grundtätigkeiten erläutert.

x „Produktives geistiges Arbeiten, insbesondere: Kombinieren vertrauter Methoden;

Analysieren von Problemen, Begründungen, Darstellungen, mathematischen

Objekten; Anwenden bekannter Verfahren, auch in teilweise neuartigen Situationen;

Abstrahieren und Konkretisieren; Verallgemeinern und Spezialisieren.

x Argumentieren und exaktes Arbeiten, insbesondere: präzises Beschreiben von

Sachverhalten, Eigenschaften und Begriffen (Definieren); Arbeiten unter bewusster

Verwendung von Regeln; Begründen (Beweisen); Arbeiten mit logischen

61

Schlussweisen; Rechtfertigen von Entscheidungen (etwa der Wahl eines

Lösungsweges oder einer Darstellungsform).

x Kritisches Denken, insbesondere: Überprüfen von Vermutungen; Überprüfen von

Ergebnissen; Erkennen von Unzulänglichkeiten mathematischer Modelle; Erkennen

von Mängeln in Darstellungen oder Begründungen; Überlegen von Bedeutungen

mathematischer Methoden und Denkweisen; Überlegen der Bedeutung des

Mathematikunterrichts für die eigene Person.“ (Bundesministerium für Bildung und

Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 1)

Es ist also zu sehen, dass Begründungen schon in der Unterstufe eine zentrale Rolle spielen.

Allerdings wird es nur im zweiten Punkt im Zusammenhang mit dem Begriff Beweisen

verwendet. Im ersten Punkt ist es eher als Argumentieren zu erkennen, das Wort Begründen

ist aber in diesem Fall nicht genauer erklärt. Im dritten Punkt wird das Erkennen von Fehlern

bei Begründungen angeführt. Diese Art von Begründung kann auf das Beweisen und auf das

Argumentieren bezogen werden. Weiters ist im Lehrplan der Unterstufe (Bundesministerium

für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 4) zu finden, dass

formale Fähigkeiten, sowie abstraktes Denken erworben werden sollten. Auch das präzise

Argumentieren soll erlangt werden. Wir können also auf alle Fälle sehen, dass das Beweisen

in der Unterstufe eine Grundkompetenz darstellt und somit gelehrt werden sollte.

Doch werden diese Fähigkeiten auch in den Stoffangaben selbst erwähnt? Wird genau

angegeben welche Beweise gemacht werden sollen, um diese zentrale Fertigkeit zu fördern?

Dazu soll nun der Lehrstoff der einzelnen Unterstufenklassen betrachtet werden.

In der ersten Klasse sind keine Beweise vorgegeben. Dies entspricht auch der Erkenntnis, die

aus Schulbüchern gezogen werden kann. In den Schulbüchern Das ist Mathematik 1 (Reichel,

Humenberger, Litschauer, Groß, & Aue, 2011) und mathematiX 1 (Boxhofer, Lischka,

Panhuber-Mayr, & Huber, 2006) ist nämlich kein einziger Beweis zu finden.

In der zweiten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-

Unterstufe Mathematik, S. 6) sollen im Bereich „Arbeiten mit Zahlen und Maßen“ die

Rechenregeln für das Rechnen mit Brüchen begründet werden. Im Bereich „Arbeiten mit

Figuren und Körpern“ sollen Schülerinnen und Schüler die Kongruenz von Figuren

begründen können. Allerdings wird etwa bei den Flächeninhalten nur gefordert, dass die

Lernenden „Flächeninhalte von Figuren berechnen können, die sich durch Zerlegen oder

Ergänzen auf Rechtecke zurückführen lassen“ (Bundesministerium für Bildung und Frauen,

62

Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 6). Der Beweis des Flächeninhaltes des

Parallelogramms, der in Abschnitt 2.7.4. erläutert wurde, ist somit kein Stoff der zweiten

Klasse. Es reicht, wenn die Schülerinnen und Schüler diese Formel kennen und mit dieser

umgehen können. Somit sind in der zweiten Klasse zwei Beweise zu machen.

Dieser Beweis, der in den zweiten Klassen noch nicht gefordert wird, wird dann aber in der

dritten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe

Mathematik, S. 7) verlangt. Denn nun sollen die Schülerinnen und Schüler die Flächeninhalte

der Dreiecke und Vierecke nicht nur berechnen, sondern die Formeln dafür auch begründen

können. Außer den Beweisen für diese Formeln ist in der dritten Klasse kein Beweis im

Unterstufenlehrplan zu finden. Es wird nur gefordert, dass bei der Umformung von Termen

die Schritte begründet werden können. Wie schon erwähnt ist das ein wichtiger Schritt

Beweiskompetenz zu erlernen, allerdings ist das selbst kein richtiger Beweis.

In der vierten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-

Unterstufe Mathematik, S. 8) soll dann eine Begründung des Satzes von Pythagoras

verstanden werden. Das bedeutet also, dass ein Beweis gegeben werden sollte. Die

Schülerinnen und Schüler müssen diesen allerdings nicht selbst erarbeiten. Weiters sollte man

die „Formeln für die Länge eines Kreisbogens und für die Flächeninhalte von Kreisteilen

herleiten“ (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe

Mathematik, S. 8).

2.9.2. OBERSTUFE

Bei den mathematischen Kompetenzen in der Oberstufe wird das kritisch-argumentative

Arbeiten angeführt. Dieses „umfasst alle Aktivitäten, die mit Argumentieren, Hinterfragen,

Ausloten von Grenzen und Begründen zu tun haben; das Beweisen heuristisch gewonnener

Vermutungen ist ein Schwerpunkt dieses Tätigkeitsbereichs“ (Bundesministerium für Bildung

und Frauen, Lehrplan der AHS-Oberstufe Mathematik, S. 1). Außerdem heißt es bei den

Aspekten der Mathematik, dass in der Mathematik der exakte Ausdruck sehr wichtig ist, „in

dem die Fähigkeit zum Argumentieren, Kritisieren und Urteilen entwickelt sowie die

sprachliche Ausdrucksfähigkeit gefördert werden kann.“ (Bundesministerium für Bildung und

Frauen, Lehrplan der AHS-Oberstufe Mathematik, S. 1) Kurz darauf ist der folgende Satz zu

finden: „Mathematische Gegenstände und Sachverhalte bilden als geistige Schöpfungen eine

deduktiv geordnete Welt eigener Art, in der Aussagen – von festgelegten Prämissen

63

ausgehend – stringent abgeleitet werden können; Mathematik befähigt damit, dem eigenen

Denken mehr zu vertrauen als fremden Meinungsmachern und fördert so den demokratischen

Prozess.“ (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Oberstufe

Mathematik, S. 2) Dabei ist von der deduktiven Mathematik die Rede. Dieser Bereich der

Mathematik ist bei Beweisen zu finden und somit wird hier eindeutig erklärt, warum Beweise

eine bedeutende Rolle einnehmen. Doch ob diese wichtige Rolle auch im Lehrstoff zu

erkennen ist, werden wir gleich sehen.

In der fünften Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-

Oberstufe Mathematik, S. 3-4) wird – wie schon in der Unterstufe – das Begründen von

Umformungsschritten erwähnt. Für alle Schulstufen, die mehr als drei Mathematikstunden pro

Woche, ist außerdem das untersuchen von Teilbarkeitsregeln ein Pflichtstoff. Werden diese

Regeln allerdings überprüft, so muss noch kein Beweis gemacht werden, dieser wird also

nicht direkt gefordert. In der fünften Klasse werden ansonsten keine Beweise verlangt. Somit

ist weder in der Trigonometrie (etwa Sinus- oder Cosinussatz), noch bei den Vektoren (zum

Beispiel die Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren), noch bei

Gleichungssystemen oder bei den Funktionen (etwa die Funktionsgleichung für die lineare

Funktion herleiten) ein Beweis zu erbringen. In der fünften Klasse wird also nur gefordert,

dass Umformungsschritte erklärt werden sollten. Dies selbst ist allerdings kein Beweis,

außerdem wird dies schon in der Unterstufe gefordert. Somit ist in der fünften Klasse kein

einziger Beweis zu behandeln.

In der sechsten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-

Oberstufe Mathematik, S. 4-5) sieht das anders aus, denn nun wird gefordert, dass die

Rechenregeln für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen bewiesen werden.

In der darauffolgenden Schulstufe (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der

AHS-Oberstufe Mathematik, S. 5) sollen dann die Ableitungsregeln zum Differenzieren von

Polynomfunktionen hergeleitet werden. Es soll aber keine Produkt- oder Quotientenregel

bewiesen werden oder die Ableitung der Wurzelfunktion oder anderer Funktionen

(ausgenommen der Polynomfunktion) hergeleitet werden. Auch in den Themenbereichen

Algebraische Gleichungen und komplexe Zahlen (zum Beispiel das Abspalten von

Linearfaktoren bei Polynomfunktionen), Nichtlineare analytische Geometrie (etwa die

Herleitung der Kreisgleichung) und Stochastik (wie etwa die Formel des Erwartungswertes)

werden keine Beweise erwähnt.

64

In der achten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-

Oberstufe Mathematik, S. 6) ist kein Beweis zu machen. So werden weder im Themengebiet

des Integrals (etwa Integrationsregeln), noch in der Stochastik oder bei den dynamischen

Prozessen Beweise erwähnt.

2.9.3. RESÜMEE Wird der Lehrplan genauer unter die Lupe genommen, so wird deutlich, dass Beweisen,

Begründen und Argumentieren zwar als wesentliche Fertigkeiten, die während der AHS-

Schulzeit erlernt werden sollen, gesehen werden, dies im Lehrstoff aber kaum zu erkennen ist.

Es werden sowohl in der Unterstufe als auch in der Oberstufe nur sehr wenige Beweise

gefordert. Dies wird der Bedeutung des Beweisens, die auch im Lehrplan selbst zu finden ist,

nicht gerecht. So werden in der Unterstufe nur sechs Beweise (zumindest wenn die

Flächeninhaltsformeln der Dreiecke und Vierecke als einen Beweis gesehen werden), in der

Oberstufe werden gar nur 4 Beweise gefordert, wobei dabei die Rechenregeln für die

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen als drei Beweise gezählt wurden. So ist außer diesen nur

ein einziger Beweis, der Beweis für die Ableitungsregeln der Polynomfunktion zu finden.

2.10. DIE ROLLE VON BEWEISEN BEI DER STANDARDISIERTEN REIFEPRÜFUNG Die Inhalte der standardisierten Reifeprüfung (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung,

2013, S. 1-5) im Fach Mathematik orientieren sich an den Kompetenzen, die im Lehrplan der

AHS dieses Faches zu finden sind. Die Inhalte von diesem in Bezug auf Beweise, Begründen

und Argumentieren wurden eben (in Abschnitt 2.9.) vorgestellt. Bei der standardisierten

Reifeprüfung werden allerdings nicht die gesamten Inhalte, sondern nur ein Teil des

Lehrplans geprüft. Es wird aber darauf hingewiesen, dass im Unterricht der Lehrplan

unterrichtet werden sollte. Es werden Wissen und Fähigkeiten geprüft, welche für das Fach

Mathematik elementar, längerfristig vorhanden und auch für die Gesellschaft wichtig sind. Es

wird also vor allem darauf geachtet, dass die Aufgaben anwendungsorientiert gestellt sind.

Der Grundkompetenzkatalog ist in die Gebiete „Algebra und Geometrie, Funktionale

Abhängigkeiten, Analysis sowie Wahrscheinlichkeit und Statistik“ (bifie - Bundesinstitut für

Bildungsforschung, 2013, S. 3-4) unterteilt. Besonders wichtig sind bei der standardisierten

Reifeprüfung die Kommunikation, da Menschen mit AHS-Matura in der Lage sein sollten mit

Expertinnen und Experten zu kommunizieren, und die Reflexion, weil Mathematik immer

65

mehr von elektronischen Werkzeugen wie dem Computer abhängig ist und die Ergebnisse

von diesen reflektiert werden sollten.

Im Bereich Algebra und Geometrie (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013, S. 6-

8), der in Grundbegriffe der Algebra, (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme, Vektoren

und Trigonometrie unterteilt ist, wird keine Begründung oder Argumentation, geschweige

denn ein Beweis gefordert.

Dasselbe gilt für den Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten (bifie - Bundesinstitut für

Bildungsforschung, 2013, S. 9-12). In diesem Bereich sind zwar laut Bifie kommunikative

Handlungen, wie Darstellen, Interpretieren und Begründen entscheidend, dennoch wird bei

den genauen Forderungen, die bei der standardisierten Matura in diesem Bereich gestellt

werden, nicht das Wort begründen erwähnt. Der Bereich selbst ist in Funktionsbegriff, reelle

Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften, Lineare Funktion, Potenzfunktion

(sowohl ganze Zahlen im Exponenten als auch die Wurzelfunktion), Polynomfunktion,

Exponentialfunktion und Sinusfunktion und Cosinusfunktion untergliedert. Die einzige

Beschreibung der Inhalte, die mit Begründen in Zusammenhang gebracht werden könnte,

wäre „für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen

betrachten kann“ (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013, S. 9). Die

Maturantinnen und Maturanten müssen also entscheiden, ob etwas eine Funktion sein kann,

allerdings müssen sie das nicht begründen können. Somit wird auch dabei keine Begründung,

Argumentation oder ein Beweis verlangt.

Im Inhaltsbereich Analysis (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013, S. 13-15) sind

wiederum keine Begründungen, Argumentationen oder Beweise gefordert, weder im

Teilbereich Änderungsmaße, noch bei den Regeln für das Differenzieren, noch beim Gebiet

Summation und Integral.

Im letzten Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik (bifie - Bundesinstitut für

Bildungsforschung, 2013, S. 16-18) ist erstmals das Wort begründen zu finden. „Definition

und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen,

Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer

bestimmten Kennzahl begründen können“ (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung,

2013, S. 16). Die Maturantinnen und Maturanten sollten also wissen, wann sie etwa den

Median und wann das arithmetische Mittel verwenden sollten und auch eine Begründung

dafür geben können. Es wird also kein Beweis gefordert, aber immerhin müssen die

66

Schülerinnen und Schüler argumentieren. Doch das ist die einzige Begründung, die gefordert

wird. Außer dieser Begründung im Unterbereich Beschreibende Statistik ist in den anderen

Bereichen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schließende / Beurteilende Statistik nichts, das

mit Argumentieren, Begründen oder Beweisen zu tun hat, zu finden.

Auch an der Modellschularbeit hält man sich genau an die eben gefundenen Erkenntnisse zum

Beweisen, Begründen und Argumentieren. Ein einziges Mal wird eine Begründung gefordert.

Diese bezieht sich auf das arithmetische Mittel. (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung,

Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens, 2014b)

Bei den Übungsaufgaben für die standardisierte Reifeprüfung (bifie - Bundesinstitut für

Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens, 2014a) ist

auch zu sehen, dass die Typ 1 – Aufgaben oft einer Zuordnung oder Multiple-Choice-Frage

entsprechen oder nur eine kurze Antwort gefordert ist. Bei diesem Typ sind folglich keine

Begründungen zu finden. Bei den Typ 2 – Aufgaben sind einzelne Begründen zu finden. So

wird etwa gefordert, dass die Rechenschritte begründet werden sollen oder die Schülerinnen

und Schüler sollen angeben, ob man aus der Wahrscheinlichkeit etwas mit Sicherheit

annehmen kann. Ein weiteres Beispiel für eine geforderte Begründung ist angeben zu müssen,

warum eine Funktion 𝐹(𝑥), die durch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, also durch

𝐹(𝑥) = P(X ≤ x) definiert ist, monoton steigend ist und warum das Maximum immer 1 ist.

Wir sehen also, dass bei der neuen schriftlichen Reifeprüfung Beweise irrelevant sind. Die

wenigen Beweise, die im Lehrplan zu finden sind, sind in den Grundkompetenzen alle nicht

mehr zu finden. Argumentationen kommen in den Beispielen gar nicht so selten vor, wie man

es nach Betrachten der Grundkompetenzen erwarten würde. Allerdings sind diese

Begründungen eher simpel. Haben die Schülerinnen und Schüler Grundsätzliches aus dem

Themengebiet verstanden, so dürften sie mit den gefragten Begründungen keine allzu großen

Probleme haben. Die Begründungen sind aber nur bei den Typ 2 – Aufgaben gefordert,

welche laut Bifie (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013, S. 33-34) nicht so

zentral für die Beurteilung sind wie die Beispiele der Form Typ 1. Es lässt sich also sagen,

dass die schriftliche Reifeprüfung ohne Beweis- und wahrscheinlich auch ohne

Begründungskompetenz zu schaffen ist. Im Vergleich zum Lehrplan hat die Anzahl von

Begründungen deutlich abgenommen.

67

Es stellt sich somit die Frage, ob Lehrerinnen und Lehrer sich am Lehrplan oder doch an den

Grundkompetenzen für die standardisierte schriftliche Reifeprüfung orientieren. Danach wird

sich auch die Rolle von Beweisen im Unterricht selbst orientieren.

68

3. STATISTISCHE ERHEBUNG Im Rahmen dieser Arbeit wurde vom 5. bis zum 23.11.2015 eine Studie an 332 AHS-

Lehrerinnen und AHS-Lehrern in Österreich durchgeführt, welche aufdecken sollte, wie

bedeutend Beweise im österreichischen AHS-Unterricht sind. Diese Studie wurde online

gestellt und Lehrpersonen in Österreich zugesendet. Teilgenommen haben dabei männliche

und weibliche Lehrkräfte (170 (51,20%) weibliche und 162 (48,80%) männliche) aus allen

Bundesländern (151 (45,48%) unterrichten in Wien, 55 (16,57%) in Oberösterreich, 54

(16,27%) in Niederösterreich, 35 (10,54%) in Vorarlberg, 19 (5,72%) in Salzburg, 11 (3,31%)

in der Steiermark, 3 (0,90%) im Burgenland, 2 (0,60%) jeweils in Kärnten und im Tirol).

Somit sind mindestens zwei Lehrpersonen aus jedem Bundesland vertreten. Auch die Lage

der Schule wurde erfragt, dabei wurde unterschieden, ob sie sich in Wien (150 (45,18%)), in

einer Gemeinde mit mindestens 10 000 Einwohnerinnern und Einwohnern (ausgenommen

Wien) (118 (35,54%)) oder in einer Gemeinde mit weniger als 10 000 Einwohnerinnen und

Einwohnern (64 (19,28%)) befindet. Auch Lehrkräfte mit den unterschiedlichsten

Unterrichtserfahrungen (145 (43,67%) unterrichten schon mehr als 20 Jahre, 77 (23,19%) 0-5

Jahre, 62 (18,67%) 11-20 Jahre, 48 (14,46%) 6-10 Jahre) sind vertreten. Weiters wurde

nachgefragt, wann das Studium abgeschlossen wurde.

Die Lehrkräfte wurden außerdem gefragt, welche Schulbücher sie in der Unter- bzw.

Oberstufe verwenden. Bei diesen beiden Fragen bestand die Möglichkeit mehrere Antworten

zu geben. In der Unterstufe ist das Schulbuch Das ist Mathematik mit 168 von 278

Nennungen (60,43%) deutlich am häufigsten vertreten, 26 Lehrkräfte (9,35%) verwenden

Expedition Mathematik, 24 (8,63%) MathematiX, 17 (6,12%) Blickpunkt Mathematik, 16

(5,76%) ganz klar: Mathematik, 11 (3,96%) Genial Mathematik, 8 (2,88%) Mach mit

Mathematik, jeweils 2 (0,72%) die Bücher Mathe Buch, MatheFit und Maßstab und jeweils 1

(0,36%) Lehrperson die Bücher Lebendige Mathematik und MatheMaster. In der Oberstufe

wird von den Befragten das Schulbuch Mathematik verstehen am öftesten, nämlich von 174

von 314 Lehrkräften (55,41%) verwendet. 72 Lehrerinnen und Lehrer (22,93%) verwenden

das Schulbuch Thema Mathematik, jeweils 31 (9,87%) Mathematik und Dimensionen, 4

(1,27%) klar_Mathematik und 2 (0,64%) Elemente der Mathematik.

Anschließend wurden den Lehrkräften vier allgemeine Fragen zum Thema Beweisen im

Unterricht gestellt. Die ersten drei Fragen stellen Ja-Nein-Fragen dar: Stellen für Sie Beweise

einen wichtigen Teil des Mathematikunterrichts dar? Wenn Sie Zeit dafür hätten, würden Sie

dann häufiger Beweise machen? Finden Sie im Schulbuch genügend Beweise, die Sie im

69

Unterricht verwenden können? Die vierte Frage ist die folgende: Gibt es eine bestimmte Art

von Beweisen, die Sie bevorzugen? Dabei gab es die Antwortmöglichkeiten des

anschaulichen oder rechnerischen Beweises oder Nein, das ist vom Beweis selbst abhängig.

Die Lehrkräfte wurden außerdem gefragt, welche Klassen der AHS (begonnen mit der 2.

Klasse) sie bereits unterrichtet haben. Gab eine Lehrperson an, eine gewisse Klasse schon

unterrichtet zu haben, so musste diese bei vorgegebenen Beweisen dieser Schulstufe angeben,

ob dieser Beweis in der Klasse präsentiert, von den Schülerinnen und Schülern selbst

erarbeitet, abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit), anhand eines konkreten Beispiels

demonstriert oder nicht gemacht wurde. Dabei waren Mehrfachantworten möglich. Wurde ein

Beweis nicht durchgeführt, so wurde nach dem Grund dafür gefragt. Auch dabei konnten

mehrere Antworten gegeben werden. Dabei stand zur Verfügung, dass der Beweis zu schwer

ist, keine Zeit dafür war, das Thema nicht behandelt wurde, der Beweis nicht relevant für die

schriftliche Matura ist oder er zu wenig lehrreich ist. Weiters bestand die Möglichkeit in

einem Feld eine andere Antwort einzutragen. Bei der Binomischen Formel und dem Satz des

Pythagoras, für die es mehrere Beweise gibt, wurde gefragt, ob sich die Lehrkräfte für den

anschaulichen oder rechnerischen Beweis entschieden haben, wenn sie diesen Satz bewiesen

haben. Auch hier konnten beide Antwortmöglichkeiten angekreuzt werden.

Am Ende des Fragebogens gab es für die Lehrerinnen und Lehrer die Möglichkeit eine offene

Frage zu beantworten. Dabei wurde gefragt, ob es sonst noch etwas gibt, das diese über

Beweise im Mathematikunterricht sagen möchten.

3.1. AUSWERTUNG DER STUDIE

3.1.1. ALLGEMEINER TEIL Wenden wir uns zunächst den allgemeinen Fragen zu. Diese zeigen schon, wie bedeutend

Beweise im Unterricht für die teilnehmenden Lehrpersonen sind. Denn die erste Frage

„Stellen für Sie Beweise einen wichtigen Teil des Mathematikunterrichts dar?“ wurde von

163 von 332 Teilnehmerinnen und Teilnehmern (49,1%) mit „ja“ und von 169 Personen

(50,9%) mit „nein“ beantwortet. Die Lehrpersonen sind sich somit uneinig, etwas mehr als die

Hälfte meint, dass Beweise im Unterricht keinen wichtigen Teil darstellen.

Interessant ist dabei, dass das Ergebnis etwas anders ausfällt, wenn Männer und Frauen

gesondert betrachtet werden. So stellen für 95 von 162 Lehrern (58,64%) Beweise einen

70

wichtigen Teil im Unterricht dar, nur 68 von 170 Lehrerinnen (40,0%) sehen das ebenso. Die

Studie zeigt damit, dass für männliche Lehrpersonen Beweise im Unterricht eine

bedeutendere Rolle einnehmen als sie es bei weiblichen tun.

Stellen für Sie Beweise einen wichtigen Teil des Mathematikunterrichts dar?

Auch je nach Unterrichtserfahrung variiert das Ergebnis etwas. Bei den Junglehrerinnen und

-lehrern (Unterrichtserfahrung 0-5 Jahre) stellen für 41 von 77 Lehrpersonen (53,25%), wobei

diese auf beide Geschlechter ausgeglichen (37 Männer, 40 Frauen) verteilt sind, einen

wichtigen Bereich im Unterricht dar. Interessant ist dabei, dass die Lehrpersonen mit einer

Unterrichtserfahrung von 6-10 Jahren das allgemeine Ergebnis genau in die entgegengesetzte

Richtung steuern. Bei ihnen halten 22 von 48 (45,83%) Beweise für einen wichtigen Teil des

Ja 49,1% Nein

50,9%

Stellen für Sie Beweise einen wichtigen Teil des Mathematikunterrichts dar?

Ja 40,0% Nein

60,0%

Lehrerinnen:

Ja 58,64%

Nein 41,36%

Lehrer:

71

Mathematikunterrichts. Dieses Ergebnis verstärkt sich dann bei den Lehrpersonen, die bereits

seit 11-20 Jahren unterrichten, denn von ihnen halten nur 21 von 62 (33,87%) Beweise für

einen wichtigen Bestandteil des Unterrichts. Die Lehrpersonen mit einer Unterrichtserfahrung

von mehr als 20 Jahren, die auch ein Großteil der Stichprobe darstellen (145 von 332, das sind

43,67%), halten Beweise am meisten für einen wichtigen Teil des Unterrichts, denn 79 von

145 (54,48%) sehen das so. Es ist also interessant zu sehen, dass Beweise für die

Altlehrerinnen und Altlehrer und für die Junglehrerinnen und Junglehrer um einiges

bedeutender sind, als für Lehrpersonen mit 11-20 Erfahrung, aber auch – wenn auch nicht so

deutlich – als für solche mit 6-10 Jahren Unterrichtspraxis.

Die zweite Frage liefert aber nach Auswertung der ersten Frage ein überraschendes Ergebnis.

Denn auch wenn Beweise im Mathematikunterricht nur von etwa der Hälfte der befragten

Lehrpersonen als wichtig erachtet werden, würden 260 von 332 Lehrpersonen (78,3%) gerne

öfter Beweise durchführen, wenn sie Zeit dafür hätten. Bei dieser Frage sind sich auch die

weiblichen und männlichen Lehrpersonen einig, denn 127 von 162 Lehrer (78,4%) und 133

von 170 Lehrerinnen (78,2%) sind dieser Meinung.

Bei dieser Frage zeigt sich, dass die Junglehrerinnen und -lehrer (0-5 Jahre

Unterrichtserfahrung) und auch noch die Lehrpersonen mit nur 6-10 Jahren

Unterrichtserfahrung noch lieber Beweise machen würden, als andere Lehrpersonen, denn bei

den ersteren würden 65 von 77 Lehrpersonen (84,42%) und bei den Personen mit 6-10 Jahren

Ja 78,4%

Nein 21,6%

Wenn Sie Zeit dafür hätten, würden Sie dann häufiger Beweise machen?

72

Erfahrung 39 von 48 (81,25%) gerne häufiger Beweise machen. Bei den Lehrerinnen und

Lehrern mit 11-20 Jahren Erfahrung sind es nur mehr 45 von 62 Personen (72,58%), die gerne

häufiger Beweise machen würden. Dieser Trend setzt sich bei den Lehrpersonen mit mehr als

20 Jahren Unterrichtspraxis aber nicht fort, denn bei ihnen würden gerne 111 von 145

Personen (76,6%) gerne mehr Beweise machen, wenn sie die Zeit dazu hätten. Somit liegen

sie zwar leicht unter dem Schnitt, aber es ist zu sehen, dass sie damit über den Lehrpersonen

mit 11-20 Jahren Erfahrung liegen.

Weiters zeigt sich, dass der Großteil der Lehrpersonen mit den Schulbüchern in Bezug auf

Beweise zufrieden ist. So meinen 233 von 332 Lehrpersonen (70,18%), dass in diesen

genügend Beweise zu finden sind, die verwendet werden können. Dabei sind die Lehrer etwas

weniger zufrieden als die Lehrerinnen, allerdings ist der Unterschied nicht allzu groß. 122 von

170 Lehrerinnen (71,8%) und 111 von 162 Lehrern (68,5%) sind mit der Anzahl der Beweise

in den Schulbüchern zufrieden.

Interessant ist es bei dieser Frage die unterschiedlichen Schulbücher zu betrachten. In der

Unterstufe ist beim Schulbuch Das ist Mathematik das Ergebnis in etwa dasselbe als das eben

gegebene. Anders fällt dieses etwa bei den folgenden Schulbüchern aus: Bei Mach mit

Mathematik finden nur 2 von 8 Lehrpersonen, die dieses Schulbuch verwenden (25%)

genügend Beweise, 5 von 11 Lehrende (45,45%) mit dem Schulbuch Genial Mathematik, 8

von 16 Lehrerinnen und Lehrer (50%), die das Schulbuch ganz klar: Mathematik verwenden,

Ja 70,18%

Nein 29,82%

Finden Sie im Schulbuch genügend Beweise, die Sie im Unterricht

verwenden können?

73

14 von 24 Unterrichtende (58,3%) mit dem Schulbuch mathematiX und 10 von 17 Personen

(58,8%) mit dem Schulbuch Blickpunkt Mathematik finden genügend Beweise. Im Expedition

Mathematik finden sogar 22 von 26 (84,6%) ausreichend Beweise, die sie verwenden können.

Da 168 von 278 Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Studie in der Unterstufe (60,4%) das

Schulbuch Das ist Mathematik verwenden, sind die restlichen Stichproben meist gering.

Somit ist das Ergebnis der Studie eingeschränkt auf die Personen, die diese Bücher

verwenden, nicht allzu aussagekräftig.

In der Oberstufe stimmt das Ergebnis derjenigen, die mit den Schulbüchern Mathematik

verstehen oder Dimensionen unterrichten, ziemlich genau mit dem Gesamtergebnis überein.

Ansonsten finden 25 von 31 Lehrende (80,65%) mit dem Schulbuch Mathematik und 48 von

72 Lehrerinnen und Lehrer (66,67%), die das Schulbuch Thema Mathematik verwenden,

genügend Beweise in ihren Büchern. In der Oberstufe wird von 174 von 314 Teilnehmerinnen

und Teilnehmern der Studie (55,41%) das Schulbuch Mathematik verstehen verwendet.

Auch bei dieser Fragen tanzen die Junglehrerinnen und -lehrer aus der Reihe, denn nur 46 von

77 von ihnen (59,74%) finden genügend Beweise in ihrem Schulbuch. Die Lehrpersonen mit

6-10 Jahren Erfahrung sehen das aber schon wieder deutlich anders, bei ihnen finden 36 von

48 (75%) im Buch ausreichend Beweise, die verwendet werden können. Die Lehrpersonen

mit 11-20 Jahren Unterrichtserfahrung liegen mit 42 von 62 (67,74%), die genügend Beweise

finden, nur etwas unter dem Schnitt. Die Altlehrerinnen und –lehrer (mehr als 20 Jahre

Erfahrung) sehen es ähnlich wie die Lehrpersonen mit 6-10 Jahren Erfahrung, bei ihnen

finden 109 von 145 Personen (75,17%) genügend Beweise in ihrem Schulbuch.

Bei der vierten allgemeinen Frage geht es darum, ob Lehrpersonen eine gewisse Art von

Beweisen präferieren. Die meisten, genauer gesagt 236 von 332 (71,08%), geben dabei an,

dass dies nicht der Fall ist. 83 von 332 Lehrpersonen (25%) bevorzugen den anschaulichen

und 13 von 332 (3,92%) präferieren den rechnerischen Beweis.

74

Werden die Geschlechter getrennt betrachtet so ist zu sehen, dass bei den Lehrern der

rechnerische Beweis etwas öfter genannt wurde als bei den weiblichen Lehrkräften. Bei ihnen

ist das folgende Ergebnis zu nennen: 120 von 162 Lehrern (74,07%) präferieren keine

Beweisart, 35 von ihnen (21,6%) bevorzugen den anschaulichen und 7 (4,32%) den

rechnerischen Beweis. Weibliche Lehrpersonen bevorzugen etwas mehr den anschaulichen

Beweis, nämlich 48 von 170 (28,24%), die rechnerische Beweisart favorisieren 6 der

Lehrerinnen (3,53%) und 116 Lehrerinnen (68,2%) meinen, dass dies vom Beweis abhängig

ist. Es stellt sich also auch heraus, dass der Anteil derer, bei denen dies vom Beweis abhängig

ist, bei den Frauen (68,2%) deutlich geringer ist als bei den Männern (74,07%).

Bei dieser Frage stimmen die Junglehrerinnen und -lehrer und auch die Lehrpersonen mit 11-

20 Jahren Unterrichtserfahrung mit dem allgemeinen Ergebnis überein. Bei Lehrpersonen mit

6-10 Jahren Unterrichtserfahrung machen es 37 von 48 (77,08%) vom Beweis abhängig,

welche Beweisart sie bevorzugen, 10 von 48 (20,83%) bevorzugen den anschaulichen und 1

von 48 (2,08%) den rechnerischen Beweis. Auch bei den Lehrpersonen mit mehr als 20

Jahren Unterrichtspraxis sieht das Ergebnis etwas anders als beim Durchschnitt aus: 100 von

145 (68,97%) bevorzugen keine bestimmte Beweisart, 37 (25,52%) präferieren den

anschaulichen und 8 (5,52%) den rechnerischen Beweis.

Nein, das das ist vom Beweis selbst

abhängig. 71,08%

anschaulicher Beweis 25,00%

rechnerischer Beweis 3,92%

Gibt es eine bestimmte Art von Beweisen, die Sie bevorzugen?

75

Interessant ist natürlich auch die Auswertung dieser vier allgemeiner Fragen nach dem

Herkunftsort der Lehrpersonen. Es ist zu sehen, dass sich, wenn man wiener Lehrpersonen

und Lehrerinnen und Lehrer der anderen Bundesländer getrennt betrachtet, keine

Unterschiede zu erkennen sind. Beide Ergebnisse sind mit den Ergebnissen der Gesamtgruppe

ziemlich ident. Etwas davon unterscheidet sich das Ergebnis, wenn Gemeinden mit

mindestens 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern (ausgenommen Wien) mit Gemeinden

mit weniger als 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern verglichen werden.

Bei den Lehrpersonen aus Gemeinden mit weniger als 10 000 Bewohnerinnen und

Bewohnern halten nur 54 von 118 (45,76%) Beweise für bedeutend im Unterricht (insgesamt

waren es 50,9%), es würden allerdings etwas mehr als der Durschnitt (78,4%), nämlich 95

von 118 (80,81%), gerne mehrere Beweise machen, wenn Zeit dazu da wäre. Die restlichen

beiden Fragen orientieren sich am Durchschnitt. Bei Lehrpersonen aus Gemeinden mit mehr

als 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern stellen Beweise sogar bei 37 von 64 (57,81%),

also deutlich mehr als bei Gemeinden mit weniger Bewohnerinnen und Bewohnern, einen

wichtigen Teil des Unterrichts dar, dafür würden nur 48 von 64 von diesen (75%) gerne

mehrere Beweise machen, wenn sie Zeit dafür hätten. Bei diesen meinen auch 49 von 64

(76,56%), dass genügend Beweise im Schulbuch zu finden sind, allgemein sahen dies nur

70,18% so.

Werden die drei östlichsten Bundesländer Burgenland, Niederösterreich und Wien betrachtet,

so liegen diese im Schnitt. Die drei westlichsten Bundesländer Vorarlberg, Tirol und Salzburg

weichen aber etwas von diesem ab, so stellen Beweise nur für 26 von 56 Personen (46,43%)

(Durchschnitt: 49,1%) einen bedeutenden Teil des Unterrichts dar, dennoch würden gerne 46

von 56 (82,14%) (Durchschnitt: 78,4%) gerne mehr Beweise durchführen, wenn die Zeit dazu

da wäre, nur 36 von 56 (64,29%) (Durchschnitt: 70,18%) finden genügend Beweise im

Schulbuch. 38 von 56 (67,86%) der Lehrpersonen der westlichen Bundesländern bevorzugen

keine bestimmte Beweisart, 16 von 56 (28,57%) bevorzugen den anschaulichen und 2 von 56

(3,57%) den rechnerischen Beweis, somit gibt es mehrere Lehrpersonen die einen Beweis

bevorzugen als bei dem gesamten Ergebnis und dies ist der anschauliche Beweis.

Zusammengefasst kann also gesagt werden, dass für die Hälfte der Lehrpersonen Beweise

eine bedeutende Rolle im Unterricht einnehmen. Diese sind bei männlichen Lehrpersonen

(58,64%) öfter wichtig für den Unterricht als dies bei weiblichen der Fall (40%) ist. 78%

76

würden gerne häufiger Beweise machen, wenn die Zeit dafür da wäre. Der Großteil (rund

70%) meint, dass in den Schulbüchern genügend Beweise zu finden sind, die verwendet

werden können. Von rund 71% wird keine spezielle Beweisart bevorzugt, wird allerdings eine

präferiert, so ist dies eher der anschauliche als der rechnerische Beweis.

3.1.2. BEWEISE IM EINZELNEN Im zweiten Teil des Fragebogens sollten die Lehrerinnen und Lehrer angeben, ob sie den

Beweis eines genannten Satzes in der Klasse präsentiert haben, dieser von den Schülerinnen

und Schülern erarbeitet, er abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit), anhand eines konkreten

Beispiels demonstriert oder nicht gemacht wurde. Wichtig ist zu sagen, dass bei dieser Frage

und bei der Frage nach der Begründung, warum der Beweis nicht gemacht wurde,

Mehrfachantworten möglich waren. Dabei wurden die einzelnen Klassen unterschieden,

wobei die Beweise aus den jeweiligen Schulstufen sich an den Beweisen der Schulbücher Das

ist Mathematik und mathematiX in der Unterstufe und Mathematik und Mathematik verstehen

in der Oberstufe orientieren. Da in der ersten Klasse kein Beweis in den Büchern Das ist

Mathematik (Reichel, Humenberger, Litschauer, Groß, & Aue, 2011) und mathematiX

(Boxhofer, Lischka, Panhuber-Mayr, & Huber, 2006) zu finden war, wurde diese Schulstufe

weggelassen. Die Auswertung wird nun die einzelnen Klassenstufen, angefangen mit der

zweiten Klasse AHS, genau betrachten.

In der zweiten Klasse waren die Beweise für die Winkelsumme im Dreieck, die Eindeutigkeit

des Inkreismittelpunktes und den Satz von Thales gefragt. Ganz klar am öftesten wird dabei

der Beweis für die Winkelsumme im Dreieck gemacht, den 248 von 260 (95,38%)

Lehrpersonen durchführen. Dabei wird dieser von 150 Personen (57,69%) in der Klasse

präsentiert und von fast ebenso vielen, nämlich 139 (53,46%) anhand eines konkreten

Beispiels demonstriert. Bei 94 Lehrkräften (36,15%) wird er von den Schülerinnen und

Schülern selbst erarbeitet und bei 51 (19,62%) wurde er sogar abgeprüft. 11 von 12 Personen,

die den Beweis nicht durchführen, gab eine Begründung dafür an. Der Großteil davon,

nämlich 7 von 11 Personen (63,64%) gibt als Grund dafür an, dass sie keine Zeit dafür hatten.

Obwohl der Satz von Thales nicht im Lehrplan der zweiten Klasse AHS enthalten ist

(Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 5-

6), wird dieser häufiger bewiesen (von 219 von 259, das sind 84,56%) als die Eindeutigkeit

77

des Inkreismittelpunktes (von 186 von 259, das sind 71,81%). Diese beiden Beweise werden

nicht mehr so oft von den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeitet (Inkreismittelpunkt: bei

42 Lehrkräften (16,22%), Satz von Thales: bei 53 Lehrpersonen (20,46%)). Die Verteilung

beim Satz von Thales ist ansonsten der der Winkelsumme sehr ähnlich. Beim

Inkreismittelpunkt ist allerdings zu sehen, dass dieser nun am häufigsten anhand eines

konkreten Beispiels demonstriert wird, nämlich bei 125 von 259 Lehrpersonen (48,26%). Von

74 Lehrpersonen (28,57%) wird dieser zudem in der Klasse präsentiert, bei 44 Personen

(16,99%) wird dieser sogar abgeprüft und bei 42 Lehrerinnen und Lehrern (16,22%) wird er

von den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeitet. Grund dafür, dass die Eindeutigkeit des

Inkreismittelpunktes nicht bewiesen wird, ist wiederum hauptsächlich das Zeitproblem (bei

37 von 69 Personen (53,62%)), allerdings halten den Beweis auch 12 Personen (17,39%) für

zu wenig lehrreich, für 11 Personen (15,94%) ist dieser zu schwer, für 8 Lehrpersonen

(11,59%) ist er nicht relevant für die standardisierte Reifprüfung und 7 Personen (10,14%)

haben das Thema nicht behandelt. Beim Satz von Thales sind die häufigsten Begründungen

der Zeitfaktor (23 von 37 (62,16%)), dass das Thema nicht behandelt wurde (8 von 37

(21,62%)) und dass der Beweis zu wenig lehrreich ist (5 von 37 (13,51%)).

Bei der dritten Klasse wurde nach den Binomischen Formeln, der Flächeninhaltsformel für

das allgemeine Dreieck, der Flächeninhaltsformel für das Parallelogramm und dem

Strahlensatz gefragt. Deutlich am seltensten wurde dabei der Strahlensatz bewiesen, dieser

wurde nämlich von 170 von 244 Lehrpersonen (69,57%) bewiesen. Bei der Frage warum

dieser Beweis nicht durchgeführt wurde, werden folgende Gründe am häufigsten erwähnt: 41

von 71 Personen (57,75%) geben an, dass sie keine Zeit dafür hatten, 14 (19,72%) haben das

Thema nicht behandelt und 11 (15,49%) halten diesen für zu wenig lehrreich. Die Binomische

Formel wird von 240 von 245 Lehrkräften (97,95%), die Flächeninhaltsformel des

Parallelogramms von 238 von 246 (96,75%) und die Flächenformel des allgemeinen Dreiecks

von 237 von 245 Personen (96,73%) bewiesen.

Die Binomischen Formeln werden von 144 von 245 Lehrpersonen (58,78%) in der Klasse

präsentiert, bei 119 (48,57%) wird sie von den Schülerinnen und Schülern erarbeitet, bei 98

(40%) anhand eines konkreten Beispiels demonstriert und von 93 (37,96%) werden sie auch

abgeprüft. Etwas öfter als der anschauliche Beweis (163 von 240 (67,92%)) wird der

rechnerische Beweis (187 von 240 (77,92%)) gemacht, 110 Lehrpersonen (45,83%) haben

sogar beide Beweisarten im Unterricht angewendet. Wird dieser Beweis nicht gemacht, so ist

78

wieder der Zeitfaktor (bei 3 von 5 (60%)) der Hauptgrund, eine weitere Person (20%) gibt an,

dass der Beweis zu schwer ist.

Bei den beiden Flächeninhaltsformeln ist der Grund, dass der Beweis nicht gemacht wird, bei

6 von 7 Personen (85,71%), dass keine Zeit vorhanden war, bei der des allgemeinen Dreiecks

meint noch eine Person (14,29%), dass er zu wenig lehrreich ist und bei dem des

Parallelogramms wird von der letzten Person (14,29%) angegeben, dass sie diesen nicht

gemacht habe, weil das Thema nicht behandelt wurde.

In der vierten Klasse wurde nach den Beweisen für die Wurzelregel (√𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 für

𝑎, 𝑏 ≥ 0), den Satz des Pythagoras und den Höhensatz gefragt. Von diesen Beweisen wird bei

weitem der Satz des Pythagoras am öftesten bewiesen (von 215 von 222 (96,85%)), gefolgt

von der Wurzelregel (172 von 222 (77,48%)) und dem Höhensatz (142 von 221 (64,25%)).

Der Beweis zum Satz des Pythagoras wird dabei von 140 von 222 Lehrpersonen (63,06%) in

der Klasse präsentiert, 99 (44,59%) lassen diesen von den Schülerinnen und Schülern selbst

erarbeiten, 91 (43,69%) erklären diesen anhand eines konkreten Beispiels und 80 (36,04%)

prüfen diesen ab. Bei diesem Beweis entscheiden sich 193 von 211 Lehrkräften (91,47%) für

den anschaulichen und 98 (46,45%) für den rechnerischen Beweis, 80 (37,91%) führen beide

Beweisarten durch. Die Begründung warum dieser Beweis nicht gemacht wurde, ist bei 3 von

7 Personen (42,86%), dass keine Zeit dafür da war, 2 (28,57%) geben an, dass sie den Beweis

schon in der dritten Klasse gemacht haben, jeweils 1 Person (14,29%) meint, dass der Beweis

nicht relevant für die Matura bzw. er zu wenig lehrreich ist und 1 Person (14,29%) weiß nicht

mehr warum, da es schon „zu lange her“ ist.

Der Beweis der Wurzelregel wird am häufigsten (bei 114 von 222 Lehrpersonen (51,35%))

anhand eines Beispiels demonstriert, am seltensten wird dieser von der Klasse selbst

erarbeitet (27 von 222 (12,16%)). Der häufigste Grund warum dieser nicht gemacht wird ist

wiederum die fehlende Zeit (28 von 50 (56%)). Der Beweis des Höhensatzes wird am öftesten

in der Klasse präsentiert (112 von 221 (50,68%)), worauf schon das Nichtmachen des

Beweises folgt. Auch hier ist die seltenste Nennung (28 von 221 (12,67%)) das Erarbeiten

durch die Schülerinnen und Schüler. Beim Höhensatz wurde ebenso nach den Gründen

gefragt, warum dieser nicht bewiesen wird. Die Antwort, die am häufigsten ausgewählt

wurde, nämlich von 44 von 79 (55,7%) Lehrkräften, ist wieder das zeitliche Problem, gefolgt

davon, dass das Thema nicht behandelt wurde (19 von 79 (24,05%)) und dass er zu wenig

79

lehrreich ist (11 von 79 (13,92%)). Beim Höhensatz muss erwähnt werden, dass dieser

Erweiterungsstoff ist und somit nicht gemacht werden muss.

Auch in der fünften Klasse wurde nach gewissen Beweisen gefragt, nämlich nach den

folgenden: Irrationalität der √2, Teilbarkeitsregel für 3 bei einer zweistelligen Zahl, Satz von

Euklid (Es gibt unendlich viele Primzahlen.), kleine Lösungsformel, Satz von Vieta,

Cosinussatz, Mittelpunkt einer Strecke (bei Vektoren) und die Formel für die Berechnung des

Winkels zwischen zwei Vektoren. Am seltensten wird dabei der Satz von Euklid (69 von 239

(28,87%)) bewiesen, am häufigsten die kleine Lösungsformel (219 von 239 (91,63%)).

Genauer gesagt sind die Sätze vom seltensten Beweis bis zum am häufigsten gemachten

Beweis folgenderweise geordnet, wobei die Zahl in der Klammer bezogen auf eine Stichprobe

von 239 Lehrkräften in Prozenten angibt wie viele den Beweis durchgeführt haben: Satz von

Euklid (28,87%), Teilbarkeitsregel für 3 bei einer zweistelligen Zahl (50,21%), Irrationalität

der √2 (68,20%), Formel für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren (73,22%),

Cosinussatz (78,24%), Satz von Vieta (87,45%), Mittelpunkt einer Strecke (90,79%), kleine

Lösungsformel (91,63%).

Ich möchte im folgenden auf die zwei Beweise eingehen, die jeweils am öftesten und am

wenigsten oft durchgeführt werden:

Der Satz von Euklid, ein indirekter Beweis – wie auch der Beweis der Irrationalität der √2 –

wird am seltensten bewiesen. Wird der Beweis durchgeführt, so wird er von 60 von 239

Personen (25,10%) in der Klasse präsentiert, das ist die häufigste Nennung nach dem

Nichtmachen des Beweises. Von 10 Personen (4,18%) wird er anhand eines Beispiels

erläutert, 8 Lehrkräfte (3,35%) lassen ihn von den Lernenden selbst erarbeiten und 7 (2,93%)

prüfen ihn ab. 168 Personen gaben den Grund bzw. Gründe an, warum sie den Beweis nicht

durchführen: 89 (52,98%) geben an, dass keine Zeit dafür da war, 48 (28,57%) meinen, dass

er nicht relevant für die schriftliche Reifeprüfung sei, 41 (24,40%) haben das Thema nicht

behandelt, 15 (8,93%) meinen er sei zu wenig lehrreich, 13 (7,74%) sagen, dass der Beweis

zu schwer ist und 5 (2,98%) geben eine sonstige Antwort an.

Auch sehr selten wird die Teilbarkeitsregel für 3 bei einer zweistelligen Zahl bewiesen. Dies

ist verständlich, da dieses Themengebiet in der fünften Klasse Erweiterungsstoff darstellt. Das

Nichtmachen ist wie beim Satz von Euklid die häufigste Nennung gefolgt von dem

Präsentieren des Beweises in der Klasse, was 67 von 239 (28,03%) Lehrpersonen machen,

80

dem Demonstrieren anhand eines Beispiels bei 61 Lehrpersonen (25,52%), dem Abprüfen bei

26 Lehrkräften (10,88%) und dem Erarbeiten des Beweises durch die Schülerinnen und

Schüler bei 25 Personen (10,46%). Auch hier ist das Zeitproblem die Begründung Nummer

Eins warum dieser Beweis nicht gemacht wurde, diese Erklärung wird von 50 von 117

Personen (42,74%) angegeben. Ein weiterer wichtiger Grund ist die Irrelevanz bei der

schriftlichen Reifeprüfung, genannt von 32 Personen (27,35%), die Nichtbehandlung des

Themas sprechen 25 Lehrkräfte (21,37%) an, 22 Personen (18,80%) meinen, dass der Beweis

zu wenig lehrreich ist und 3 Lehrkräfte (2,56%) halten den Beweis für zu schwer. Bei den

sonstigen Antworten geben 9 Personen (7,69%) an, dass sie der Beweis „schon in der

Unterstufe gemacht“ wurde. Bei diesen Begründungen lässt sich somit das Nichtbehandeln

des Themas mit damit erklären, dass dieser Beweis Erweiterungsstoff darstellt.

Möglicherweise kann auch ein Teil der Lehrkräfte, die den Zeitmangel als Grund angeben,

auf diesen Faktor zurückgeführt werden.

Die Herleitung für die Berechnung des Mittelpunktes einer Strecke wird von den genannten

Beweisen am zweitöftesten gemacht. Am häufigsten – bei 105 von 239 Lehrkräften (43,93%)

– wird diese sogar von den Lernenden selbst erarbeitet, bei 104 Personen (43,51%) wird sie in

der Klasse präsentiert, 87 (36,40%) demonstrieren diese mit Hilfe eines Beispiels und 64

(26,78%) prüfen sie ab. Wird der Beweis nicht gemacht, so ist bei 14 von 22 Personen

(63,64%) der Zeitmangel, bei 7 (31,82%) die fehlende Erkenntnis, die daraus gezogen wird,

bei 2 (9,09%) die Irrelevanz für die schriftliche Reifeprüfung und bei 1 Person (4,55%) das

Nichtbehandeln des Themas der Grund.

Am häufigsten wird in der fünften Klasse der Beweis für die kleine Lösungsformel gemacht.

Von 168 von 239 Lehrerinnen und Lehrern (70,29%) wird dieser in der Klasse präsentiert, 86

(35,98%) demonstrieren diesen mit einem Beispiel, 77 (32,22%) prüfen diesen ab und 56

(23,43%) lassen ihn von den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeiten. Das Nichtmachen

des Beweises wird bei 12 von 19 (63,16%) damit begründet, dass keine Zeit dafür vorhanden

war, bei jeweils 4 (21,05%), dass er zu schwer bzw. zu wenig lehrreich ist, 2 (10,53%) geben

an, dass dieser nicht relevant für die schriftliche Matura sei und weitere 2 (10,53%) geben

sonstige Antworten an.

Auch in der sechsten Klasse sind einige Beweise in den einzelnen Schulbüchern zu finden.

Daraus ausgewählt wurde aus diesen der Beweis für die Potenzregeln, den Binomischen

81

Lehrsatz, die Monotonie einer gegebenen Folge, die Summenformel der endlichen

geometrischen Reihe mit 𝑛 Gliedern und Quotienten 𝑞 ≠ 1, die Irrationalität der Euler’schen

Zahl 𝑒 und den Satz von Bayes. Auch hier sollen die Beweise wieder aufsteigend nach dem

Machen des Beweises aufgelistet werden, also zunächst der Beweis, der am seltensten

präsentiert wird, bis hin zu dem Beweis, der am öftesten durchgeführt wird. In Klammer

stehen die Prozentzahlen, wie oft die Beweise durchgeführt werden, wobei sich diese jeweils

auf eine Stichprobe von 231 Lehrkräften beziehen: Irrationalität der Euler’schen Zahl 𝑒

(21,21%), Satz von Bayes (51,52%) Summenformel der endlichen geometrischen Reihe mit 𝑛

Gliedern und Quotienten 𝑞 ≠ 1 (59,74%), Monotonie einer gegebenen Folge (67,10%),

Binomischer Lehrsatz (78,35%) und die Potenzregeln (96,54%).

Der Beweis für die Irrationalität der Euler’schen Zahl 𝑒 wird von 49 von 231 Lehrpersonen

(21,21%) durchgeführt, dabei präsentieren diesen 46 von den 231 Personen (19,91%) in der

Klasse, 14 (6,06%) prüfen diesen ab und 3 (1,30%) lassen diesen von den Schülerinnen und

Schülern selbst erarbeiten. Die 182 Personen, die diesen Beweis nicht in der Klasse gemacht

haben, geben dafür die folgenden Begründungen an: 96 von diesen (52,75%) hatten keine Zeit

dafür, 54 (29,67%) sagen, dass er nicht relevant für die schriftliche Reifeprüfung ist, 48

(26,37%) halten diesen für zu schwer, 28 (15,38%) finden ihn zu wenig lehrreich, 11 (6,04%)

haben das Thema nicht behandelt und 5 (2,75%) geben eine andere Begründung an.

Beim Satz von Bayes, der insgesamt von 119 von 231 Personen (51,52%) bewiesen wird,

wird der Beweis von 79 Lehrkräften (34,20%) in der Klasse präsentiert, 63 (27,71%)

demonstrieren ihn anhand eines konkreten Beispiels, 24 (10,39%) prüfen ihn ab und 15

(6,50%) lassen diesen von den Lernenden selbst erarbeiten. Als Begründung für das

Nichtmachen des Beweises geben 50 von 113 Lehrpersonen (44,25%) an, dass sie keine Zeit

dafür gehabt hätten, 32 (28,32%) dass er irrelevant für die schriftliche Reifeprüfung sei, 31

(27,43%) dass das Thema nicht behandelt wurde, 11 (9,73%) dass er zu schwer, 9 (7,96%)

dass er zu wenig lehrreich sei und 5 (4,42%) geben eine sonstige Erklärung an.

Der Beweis zum Binomischen Lehrsatz wurde in der sechsten Klasse von den vorgegebenen

Beweisen am zweithäufigsten bewiesen. Dieser wird von 112 von 231 Lehrkräften (48,48%)

in der Klasse präsentiert, 77 (33,33%) demonstrieren ihn anhand eines Beispiels, 58 (25,11%)

prüfen diesen ab und 48 (20,78%) lassen ihn von den Schülerinnen und Schülern selbst

erarbeiten. Wird der Beweis nicht gemacht, so sind die Begründungen folgenderweise

verteilt: 24 von 50 (48%) geben an, dass sie keine Zeit dafür hatten, 12 (24%) haben das

Thema nicht behandelt, 8 (16%) haben diesen nicht durchgeführt, weil er nicht relevant für

82

die schriftliche Reifeprüfung ist, 7 (14%) halten ihn für zu schwer und 4 (8%) sagen er sei zu

wenig lehrreich, 6 Personen (12%) geben sonstige Gründe an (wird in der siebten Klasse

gemacht (2 Nennungen), schon in der Unterstufe gemacht (2 Nennungen), weil man ihn „mit

dem neuen TR nicht mehr braucht“, „interessiert die Schüler nicht“).

Am häufigsten werden in der sechsten Klasse die Potenzregeln bewiesen. 138 von 231

(59,74%) Lehrerinnen und Lehrer präsentieren diesen Beweis in der Klasse, 100 (43,30%)

demonstrieren den Beweis anhand eines konkreten Beispiels, 90 (38,96%) lassen diesen von

den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeiten und 82 (35,50%) prüfen diesen bei einer

Schularbeit oder ähnlichem ab. Bei den Gründen, warum der Beweis nicht gemacht wurde,

geben 6 von 8 Personen (75%) an, dass keine Zeit dafür vorhanden war, 1 Person (12,5%),

dass er zu wenig lehrreich ist und 1 Person (12,5%) meint, er „lockt keine Katze hinter dem

Ofen hervor“.

In der siebten Klasse wurde nach dem Beweis über die Abspaltung einer Nullstelle bei einer

Polynomfunktion, die Ableitungsregel für die Potenzfunktion (𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 für 𝑛 ∈ ℕ∗), die

Ableitungsregel vom konstanten Faktor ( (𝑐 ∙ 𝑓)′(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓′(𝑥)) und die Summenregel

((𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)) , die Produktregel, die Kreisgleichung und dafür, dass 𝑛

unterscheidbare Objekte auf 𝑛! Arten angeordnet werden können gefragt. Auch bei dieser

Klasse soll nun angegeben werden, wie die Beweise vom am seltensten gemachten Beweis bis

zum am häufigsten gemachten hin angeordnet sind, die Prozentzahl in der Klammer gibt in

Prozenten an, wie viele den Beweis machen, wobei sich diese auf 216 Personen bezieht:

Produktregel (71,30%), 𝑛 unterscheidbare Objekte können auf 𝑛! Arten angeordnet werden

(72,22%), Abspaltung einer Nullstelle bei einer Polynomfunktion (72,69%), Kreisgleichung

(75%), Ableitungsregel vom konstanten Faktor und Summenregel (82,87%) und die

Ableitungsregel für die Potenzfunktion (89,81%).

Bei der Produktregel, die in der siebten Klasse am seltensten bewiesen wird, wird der Beweis

dennoch öfter in der Klasse oder anhand eines Beispiels präsentiert als nicht gemacht, denn

124 von 216 Lehrerinnen (57,41%) und Lehrer tun ersteres, 68 (31,48%) demonstrieren

diesen anhand eines Beispiels, 37 (17,13%) prüfen diesen ab und 13 (6,02%) lassen ihn von

den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeiten. Wird der Beweis nicht gemacht, so geben 36

von 62 Lehrkräften (58,06%) an, dass der Grund dafür Zeitmangel ist, bei 23 Lehrerinnen und

Lehrern (37,10%) ist dieser die Irrelevanz bei der schriftlichen Reifeprüfung, für 14 (22,58%)

83

ist er zu wenig lehrreich, für 5 (8,06%) ist er zu schwer, 2 Personen (3,23%) geben als Grund

das Nichtbehandeln des Themas an und 1 Person (1,61%) begründet mit „weil wir diese

Regeln mit CAS1 nicht mehr brauchen“.

Auch der Satz, dass 𝑛 unterscheidbare Objekte auf 𝑛! Arten angeordnet werden können, wird

in der siebten Klasse weniger oft beweisen als andere Sätze. Am häufigsten wird der Beweis

dieses Satzes anhand eines konkreten Beispiels demonstriert, nämlich bei 84 von 216

Lehrkräften (38,89%), bei 74 (34,26%) wird er in der Klasse präsentiert, 45 (20,83) lassen ihn

von den Lernenden selbst erarbeiten und 30 (13,89%) prüfen diesen ab. Von den 60 Personen,

die den Beweis nicht gemacht haben, geben 41 (68,33%) an, dass keine Zeit dafür da war, 13

(21,67%), dass er nicht relevant für die schriftliche Matura ist, 9 (15%) haben das Thema

nicht behandelt und für 2 (3,33%) ist er zu schwer.

In der siebten Klasse wird am zweihäufigsten der Beweis für die Ableitungsregel vom

konstanten Faktor und die Summenregel gemacht. Dieser wird von 119 von 216 Lehrkräften

(55,09%) in der Klasse präsentiert, 79 (36,57%) demonstrieren ihn anhand eines Beispiels, 54

(25%) prüfen diesen ab und 39 (18,06%) lassen ihn von Schülerinnen und Schülern

erarbeiten. Als Begründung, warum der Beweis nicht gemacht wird, geben 24 von 37

(64,86%) an, dass keine Zeit dafür da war, jeweils 10 (27,03%), dass er nicht relevant für die

schriftliche Reifeprüfung bzw. zu wenig lehrreich ist und 3 Personen (8,11%) geben andere

Antworten an.

Der Beweis für die Ableitungsregel der Potenzfunktion, die in der siebten Klasse von den

genannten Beweisen am häufigsten gemacht wird, wird von 139 von 216 Lehrpersonen

(64,35%) in der Klasse präsentiert, von 90 (41,67%) mit einem konkreten Beispiel präsentiert,

von 63 (29,17%) abgeprüft und bei 37 (17,13%) von den Schülerinnen und Schülern

erarbeitet. Von den 22 Personen, die diesen Beweis im Unterricht nicht durchführen,

begründen das 17 (77,27%) mit der fehlenden Zeit, 4 (18,18%) mit der Irrelevanz für die

schriftliche Matura, jeweils 3 (13,64%) damit, dass er zu wenig lehrreich bzw. zu schwer ist,

und 1 Person (4,55%) mit „zu aufwendig, SchülerInnen sehen Beweisnot nicht ein“.

Auch in der achten Klasse wurde bei vorgegebenen Beweisen nachgefragt, ob diese bewiesen

werden, wenn ja, auf welche Art, wenn nein, warum. Diese waren die Beweise für die

folgenden Sätze: Ist 𝐹 Stammfunktion von 𝑓 , so ist auch 𝐹(𝑥) + 𝑐 für alle 𝑐 ∈ ℝ 1 Computeralgebrasystem

84

Stammfunktion von 𝑓 , Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Formel für die

Volumsberechnung bei Drehung um die x-Achse und die partielle Integration. Am seltensten

– in Klammer steht die Prozentzahl der Personen, die den Satz bewiesen haben, wobei sich

diese auf eine Stichprobe von 203 Lehrpersonen bezieht – wird dabei die partielle Integration

(47,78%), gefolgt vom Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (75,86%)

durchgeführt, öfter wird dann die Formel für die Volumsberechnung bei Drehung um die x-

Achse (85,22%) gemacht und am häufigsten wird der Satz „Ist 𝐹 Stammfunktion von 𝑓, so ist

auch 𝐹(𝑥) + 𝑐 für alle 𝑐 ∈ ℝ Stammfunktion von 𝑓“ (96,06%) bewiesen. Nehmen wir nun

diese vier Beweise genauer unter die Lupe.

Die partielle Ableitung, die am seltensten bewiesen wird, wird am häufigsten, nämlich von

106 von 203 Lehrpersonen (52,22%) nicht gemacht, 74 (36,45%) präsentieren den Beweis in

der Klasse, 39 (19,21%) demonstrieren den Beweis anhand eines konkreten Beispiels, 20

(9,85%) prüfen diesen ab und 5 (2,46%) lassen ihn von den Schülerinnen und Schülern selbst

beweisen. Der Grund, warum dieser Beweis nicht durchgeführt wird, ist bei 49 von 106

Lehrkräften (46,23%) die Irrelevanz für die schriftliche Reifeprüfung, bei 42 (39,62%) der

Zeitmangel, bei 28 (26,42%) das Nichtbehandeln des Themas, bei 7 (6,60%) die Schwere des

Beweises, bei 6 Personen (5,66%), dass er zu wenig lehrreich ist und weitere 6 Personen

(5,66%) geben andere Antworten, wobei 5 davon sagen, dass dieser Beweis nicht mehr nötig

sei (wegen dem Taschenrechner, Geogebra, weil mit CAS nicht mehr partiell integriert wird)

und die sechste Person meint „habe ich früher gemacht, jetzt bei den neuen

„Grundkompetenzen“ kann man ja bald drauf verzichten... (traurig, aber wahr)“.

Der Hauptsatz der Differentialrechnung wird schon viel öfter zumindest teilweise bewiesen,

denn 110 von 203 (5,42%) präsentieren den Beweis davon zumindest teilweise in der Klasse,

71 (34,98%) demonstrieren diesen zumindest teilweise anhand eines konkreten Beispiels, 49

(24,14%) führen ihn nicht durch, 28 (13,79%) prüfen den Beweis zumindest teilweise ab und

19 (9,36%) lassen ihn zumindest teilweise von den Lernenden selbst erarbeiten. 31 von 49

Personen (63,27%) geben an, dass sie den Beweis nicht durchgeführt haben, da sie keine Zeit

dafür hatten, 14 (28,57%) fanden diesen zu schwer, 11 (22,45%) begründen es mit der

Irrelevanz für die schriftliche Matura, 3 (6,12%) haben das Thema nicht behandelt, 2 (4,08%)

empfinden den Beweis für zu wenig lehrreich und 2 (4,08%) geben andere Gründe an.

Der Beweis für die Formel der Volumsberechnung bei Drehung um die x-Achse wird noch

etwas öfter durchgeführt. Er wird von 123 von 203 Lehrkräften (60,59%) in der Klasse

präsentiert, von 77 (37,93%) anhand eines konkreten Beispiels erläutert, von 38 (18,72%)

85

abgeprüft und jeweils 30 (14,78%) lassen ihn von den Lernenden selbst erarbeiten bzw.

machen ihn nicht. Der Grund, warum diese Formel nicht bewiesen wird, ist bei 16 von 30

Personen (53,33%) der Zeitmangel, bei 11 (36,67%) die Bedeutungslosigkeit für die

schriftliche Matura, bei 4 (13,33%) die Schwierigkeitsstufe des Beweises, bei 3 (10%) das

Nichtbehandeln des Themas und bei 1 Lehrperson (3,33%), dass der Beweis zu wenig

lehrreich ist.

Am häufigsten wird in der achten Klasse AHS der Satz „Ist 𝐹 Stammfunktion von 𝑓, so ist

auch 𝐹(𝑥) + 𝑐 für alle 𝑐 ∈ ℝ Stammfunktion von 𝑓“ bewiesen. 128 von 203 Lehrerinnen und

Lehrern (63,05%) zeigen diesen Beweis in der Klasse vor, 90 (44,33%) demonstrieren ihn

anhand eines konkreten Beispiels, 50 (24,63%) prüfen diesen ab, 47 (23,15%) lassen ihn von

den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeiten und nur 8 machen ihn nicht. Bei diesem

Beweis werden folgende Gründe für das Nichtmachen angegeben: 7 von 8 (87,5%) hatten

keine Zeit dafür, 1 Person (12,5%) hat das Thema nicht behandelt und 1 Lehrperson (12,5%)

empfindet diesen für zu wenig lehrreich.

Abschließend wurde den Lehrpersonen noch eine offene Frage gestellt, nämlich „Gibt es

sonst noch etwas, das Sie über Beweise im Mathematikunterricht sagen möchten?“ Auch bei

dieser Frage haben 95 Personen geantwortet. Vor allem zwei Antworten kommen besonders

oft vor. So wird erstens die schriftliche Reifeprüfung sehr häufig angesprochen und

andererseits wird die Notwendigkeit von Beweisen entweder bestärkt oder es wird gesagt,

dass die Durchführung von solchen nicht nötig sei.

So sind bei der zweiten, wie schon erwähnt, die gegensätzliche Antworttypen zu erkennen,

die Einen wollen bekräftigen, dass Beweise im Unterricht durchaus relevant sind, die Anderen

meinen, dass diese nicht sehr sinnvoll sind. Beispiele dafür sind etwa die folgenden

Antworten „Beweise und Herleitungen zeigen den Schülern, dass es Gründe dafür gibt,

warum die mathematischen Sätze so sind wie sie sind. Auch wenn die Beweise nicht immer

verstanden werden, hilft es den Schülern die Themen anzunehmen, denn sie haben das Gefühl

es muss Sinn machen und es kommt von irgendwo. Ich versuche den Satz "Das ist halt so" zu

vermeiden.“ im Gegensatz zu „Beweise werden von den meisten Schüler/innen nicht

verstanden.“

Beispiele für Antworten, die die neue Reifeprüfung ansprechen wären die folgenden: „Für die

neue Matura erscheinen sie mir nicht mehr von Bedeutung.“ Eine weitere Anmerkung wäre

86

„kurze Beweise kommen bei den Schülern besser an, auf langwierige Herleitungen fange ich

immer mehr zu verzichten an – ist auch nur zur mündlichen Matura nötig. Leider müssen wir

unsere Schüler – speziell in der Oberstufe – auf ein idiotisches Kreuzerlmachen bei der

Zentralmatura hintrainieren.“ Ähnliches wird von einer zweiten Person angesprochen: „Ich

teile die Meinung von Rudolf Taschner und Konrad Paul Ließmann zur standardisierten

Reifeprüfung hundertprozentig. Der Mathematikunterricht verkommt zum Vorbereitungskurs

für einen Kreuzerltest.“

In Bezug auf die Zentralmatura wird auch oft das Thema der Zeit erwähnt. Es fehle die Zeit

für Beweise im Unterricht. Nicht nur, aber auch die standardisierte Reifeprüfung werden als

Grund dafür erwähnt: „Oft ist sehr (zu?) wenig Zeit, um alle Beweise durchzunehmen...“ oder

von einer anderen Person etwas länger formuliert „Beweistechniken stellen eine zentrale

Rolle in der Mathematik dar und sollten im Mathematikunterricht daher nicht komplett

vernachlässigt werden. Leider fehlt aber oft die Zeit, um Beweise vollständig zu

präsentieren.“ Oder etwa „Es können nur sehr vereinzelte Beweise im Unterricht eingebaut

werden. Durch die Stundenkürzungen gibt es oft viel zu wenig Zeit um Beweise im Unterricht

vorzuführen. Viele Beweise sind auch einfach zu schwierig und bringen den SchülerInnen

nicht viel.“ Es wird auch der Lehrplan für den Zeitmangel verantwortlich gemacht: „Der

Lehrplan ist so vollgepackt, dass oft keine Zeit für Beweise ist auch wenn man sie gerne

machen würde. Einige SchülerInnen würden Beweise interessieren, einigen würden sie

weiterhelfen, einigen ist es einfach egal.“ Anmerkungen, bei denen die Reifeprüfung als

Begründung genannt wird: „Ich halte Beweise für einen sehr wesentlichen Teil des

Mathematikunterrichts, oft bleibt aber leider dafür zu wenig Zeit (gerade im Hinblick auf die

Zentralmature, für die sämtliche Stoffgebiete durchgenommen werden müssen und damit kein

"Mut zur Lücke", um andere Kapitel ausführlicher zu behandeln, möglich ist).“ Eine zweite

Person sieht es ähnlich: „Im Zuge der Umstellung auf die neue zentralisierte Reifeprüfung

verzichte ich im Unterricht öfters auf die Ausführung bestimmter Beweise. Diese einmalig zu

präsentieren ist meist sinnlos und für die nötigen Wiederholungen fehlt schlicht und einfach

die Zeit. Zudem prüfe ich lieber die neuen Formate unter Schularbeitenbedingungen etc. ab,

damit ich sehe, wo Handlungsbedarf besteht.“

Auch in Bezug auf die Arten des Beweisens gibt es unterschiedliche Anmerkungen. So meint

eine Lehrperson, dass in jeder Stunde zumindest eine Begründung vorkommt: „Bei einigen

der angeführten Punkte (z.B. Kreisgleichung) ist für mich der Begriff „Herleitung“

naheliegender als „Beweis“. Praktisch jede Formel, jede Rechenanweisung wird begründet

87

(warum bedeutet 𝑦′′ > 0 eine positive Krümmung, also eine Krümmung des Graphens gegen

den Uhrzeigersinn, warum durchsetzt bei 𝑦′′ = 0, 𝑦′′′ > 0 der Graph die Wendetangente von

unten nach oben ...). Und diese Begründung ist stets ein mehr oder weniger strenger

mathematischer Beweis des Sachverhalts. In diesem Sinne kommt wohl in jeder

Mathematikstunde durchschnittlich mindesteins ein Beweis vor. Bei Schularbeiten habe ich

Beweise bisher fast nie abgeprüft. Die Grundidee der Beweise (bzw. Herleitung von Formeln)

aber durchaus mal. Dass die Kreisgleichung aufgrund des Satzes von Pythagoras richtig ist,

müssen die Schüler schon wissen ...“. Eine andere Lehrkraft meint: „Ein Beweis ist nur für

die Schüler sinnvoll, die ihn auch verstanden haben. Abprüfen von Beweisen halte ich daher

für ziemlich überflüssig, da es für die meisten bloßes Auswendiglernen ist. Wenn im

Unterricht Zeit bleibt, finde ich das Durchnehmen eines Beweises dennoch sehr interessant

für jene, die damit etwas anfangen können. Unter anderem könnte es den Zweck haben, sich

eine vergessene Formel schnell selbst herzuleiten.“ So meint auch eine weitere Person

„Strenge, mathematisch korrekte Beweise haben meiner Meinung nach für den

Schulunterricht keine Bedeutung. Ich beschränke mich auf anschauliche Begründungen bzw.

Herleitungen.“

Auch die Schwierigkeiten, die Schülerinnen und Schüler beim Beweisen haben, werden

angesprochen: „Ich finde, dass durchaus mehr Beweise (vor allem in RG-Klassen) besprochen

und abgeprüft werden sollten, da diese ein Grundverständnis von math. Arbeiten vermitteln.

Den SchülerInnen ist nicht bewusst, dass Beweise bzw. gewisse Sätze allgemein gültig sind.

Außerdem wissen oft SchülerInnen nicht, was bei Beweisen als vorausgesetzt werden darf

bzw. wo sie anfangen sollen.“ Auch von der fehlenden Motivation der Lernenden ist die

Rede: „Ich würde gerne mehr Beweise machen, aber Schüler/innen haben oft sehr wenig

Interesse daran. Zugang zur Mathematik soll nicht wegen zu schwieriger Themen blockiert

werden. Nur ganz wenige freuen sich an den abstrakten Zusammenhängen in der Mathematik.

Grundlegende Beweise werden bei mir gemacht und teilweise auch abgeprüft, weil das Teil

der Mathematik ist.“

Außerdem wird auch erwähnt, dass es von Klasse zu Klasse unterschiedlich ist, welche

Beweise gemacht werden: „Es ist von Jahr zu Jahr bzw. von Klasse zu Klasse unterschiedlich,

ob sich mehr oder weniger Beweise ausgehen. Wenn ich also in der Umfrage einen Beweis

als gemacht angegeben habe, heißt das nicht, dass ich ihn in diesen Klassen immer gemacht

habe bzw. immer machen werde.“

88

3.2. INTERPRETATION DER STUDIE An dieser Studie haben 332 AHS-Lehrpersonen aus ganz Österreich teilgenommen. Es kann

vor allen aus den Gründen für das Nichtmachen von Beweisen einiges herausgelesen werden.

Auch die abschließenden Anmerkungen der Lehrenden geben einen guten Einblick zum

Thema Beweise im Mathematikunterricht.

Werden die ersten Fragen des Fragebogens, nämlich die allgemeinen Fragen, betrachtet, so ist

zu sehen, dass sich die Lehrpersonen in Bezug auf die Bedeutung von Beweisen im

Mathematikunterricht nicht ganz einig sind. Etwa 50% finden, dass diese im Unterricht eine

wichtige Rolle spielen, die anderen 50% sehen es genau anders. Bei dieser Frage ist vor allem

der Unterschied zwischen männlichen und weiblichen Lehrenden erstaunlich, denn bei den

Männern sind es 60%, die Beweise im Unterricht für bedeutend halten, bei den Frauen nur

40%. Laut Wagner (Wagner, 2002, S. 114) wünschen sich Schülerinnen

anwendungsorientierte Beispiele. Sie können gefördert werden, indem solche Beispiele

häufiger gemacht werden. Vielleicht ist auch deswegen für weibliche Lehrende der Beweis im

Unterricht nicht so bedeutend. Möglicherweise versuchen sie den Unterricht möglichst

anwendungsorientiert zu gestalten, da dieser Wunsch bis zum Erwachsenenalter erhalten

bleibt. Beweise sind zwar nötig, um die Zusammenhänge oder eine Formel zu verstehen, aber

nicht für das Anwenden der Formel.

Es ist aber auch eindeutig zu sehen, dass die Lehrkräfte, sowohl weibliche als auch

männliche, sehr gerne mehr Beweise machen würden, ihnen allerdings die Zeit dazu fehlt.

Denn etwa 78% der Stichprobe würden gerne häufiger Beweise durchführen, wenn sie die

Zeit dazu hätten. Auch bei den Begründungen für das Nichtmachen von Beweisen ist die

fehlende Zeit meist der Hauptgrund. In der Unterstufe ist diese Antwort bei allen Beweisen

der Spitzenreiter, auch in der Oberstufe wurde diese Antwort bei allen bis auf einen Beweis

am häufigsten genannt. Nur bei dem Beweis der partiellen Integration wird die Irrelevanz für

die schriftliche Matura häufiger als Begründung für das Nichtmachen genannt, danach folgt

aber auch hier die Antwort des Zeitmangels. Auch bei den abschließenden Anmerkungen ist

öfter die Phrase „es bleibt immer weniger zeit“ zu lesen. Scheinbar sind Beweise ein Bereich,

der sehr gerne weggelassen wird, wenn der Lehrperson klar wird, dass noch zu viel Stoff für

die restliche (kurze) Zeit übrig ist. Diese fehlende Zeit wird häufig mit der anstehenden

standardisierten Reifeprüfung begründet: „Leider bleibt für Beweise im Unterricht immer

weniger Zeit, da man immer mehr Stoffkapiteln (Grundkompetenzen) wiederholen muss.

Beweise sind ja selber keine Grundkompetenz, werden bei der Matura nicht mehr

https://www.umfrageonline.com/?url=result_det&uid=247747&f_rid=14801725

89

vorkommen. Schüler, die mündlich in Mathematik maturieren, müssen aber Beweise, die im

Unterricht besprochen worden sind, als Teil des Lehrplans können.“ Wie in dieser

Anmerkung schon zu lesen ist und auch im Abschnitt 2.10. erkannt wurde, haben Beweise

zumindest bei der schriftlichen Matura keinerlei Bedeutung. Diese Studie legt somit durchaus

die Erkenntnis nahe, dass Beweise auf Grund des Zeitmangels nicht gemacht werden. Grund

dafür scheint unter anderem die neue standardisierte Reifeprüfung zu sein. Eine Lehrperson

weist darauf hin, dass dieses Problem möglicherweise nach ein paar Jahren erkannt wird:

„Vor allem in der Oberstufe ist in den letzten Jahren (aufgrund der neuen Reifeprüfung) sehr

wenig Zeit, selbst für die Grundkompetenzen. Da Beweisführung für die schriftliche Matura

im Grunde nicht von Bedeutung ist fällt dieser Teil des Unterrichts am ehesten weg.

Eigentlich sehr schade, da gerade das Führen von Beweisen eine gute Übung zu

strukturiertem Arbeiten ist und das Hinterfragen des eigenen Vorwissens erfordert. Durchaus

möglich, dass sich nach zwei drei Jahren Erfahrung mit der neuen Reifeprüfung dieser

Umstand wieder ändert. Ganz allgemein wäre eine Verschlankung des Lehrplans wichtig.“

Diese Lehrkraft betont auch, dass gerade Beweise sehr gut Kompetenzen fördern würden, die

bei der schriftlichen Reifeprüfung gefordert werden. So ist etwa das Vernetzen ein sehr

wichtiger Bereich, der besonders bei Beweisen geübt wird. Auch eine weitere Lehrperson

weist darauf hin: „Im Zuge des neuen Modus der Reifeprüfung stellen für mich Beweise eine

(!) wichtige Grundlage für die mündliche Reifeprüfung dar.

� Zum einen zeigen sie, wie die Mathematik als Wissenschaft aufgebaut ist. (Wir

erhalten immer wieder Rückmeldungen von Absolventen, die dankbar dafür waren, da

sie dann in technischen bzw. naturwissenschaftlichen Studienfächern nicht den großen

"Abstraktionsschock" erleiden wie andere, die dies im Laufe ihrer Schulkarriere nie

präsentiert bekommen haben.) Das ist für mich grundlegend für einen (zumindest

"sehr guten") Abschluss bei einer mündlichen Reifeprüfung in Mathematik.

� Zum anderen sind sie - rein vom Schwierigkeits- und/oder Komplexitätsgrad gut dafür

geeignet, das neue Reifeprüfungskonzept umzusetzen. Meine damit: die

Grundkompetenzen werden schriftlich zentral abgeprüft. Aber wie man auch im

Musikunterricht einmal (oder öfters) mit den Werken von Größen wie Mozart o. ä.

konfrontiert werden sollte, so auch mit Beweisen in der Mathematik. Das bedeutet

nicht, dass alles geprüft werden muss. Falls dies in der Auswertung deutlich wird: Ich

prüfe im Laufe des Unterrichts Beweise fast nicht, bzw. nur freiwillig ab. Es reicht mir

schon, an und ab einmal etwas "zu zeigen".“

90

Dieser Grund wird auch durch die Antworten auf die nächste Frage bestätigt. Mit den

Schulbüchern sind etwa 70% der Lehrpersonen zufrieden. Somit sind diese zumindest bei

einem großen Teil der Lehrkräfte nicht der Grund für das Nichtmachen von Beweisen, was

weiterhin vermuten lässt, dass der Zeitmangel der Hauptgrund dafür darstellt.

Nun aber noch kurz zurück zur Frage, wie bedeutend Beweise im Unterricht sind und ob die

Lehrkräfte gerne mehr Beweise machen würden. Interessant ist, dass Lehrkräfte aus

Gemeinden mit weniger als 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern zwar Beweise im

Unterricht nicht für so bedeutend halten wie solche aus Gemeinden mit mehr als 10 000

Bewohnerinnen und Bewohnern, erstere aber eher dazu tendieren zu sagen sie würden gerne

mehr Beweise machen, wenn die Zeit dafür vorhanden wäre.

Werden die Beweise selbst genauer betrachtet bzw. die einzelnen Klassen, so ist zu sehen,

dass in der Unterstufe deutlich mehr Beweise gemacht werden als in der Oberstufe, zumindest

wenn die gefragten Beweise betrachtet werden. In der Oberstufe ist allein die siebte Klasse

eine Ausnahme, bei der alle Beweise von mindestens 72% durchgeführt werden. In der

fünften und sechsten Klasse gibt es jeweils einen Beweis, der von nicht mal 30% der

Lehrpersonen bewiesen wird. Der Satz von Euklid, ein indirekter Beweis, wird etwa in der

fünften Klasse von nur 28,87% bewiesen, die Irrationalität der Euler’schen Zahl 𝑒, ebenso ein

indirekter Beweis, in der sechsten Klasse sogar nur von 21,21%. Es lässt sich somit vermuten,

dass der indirekte Beweis eine Beweisart ist, die die Lehrkräfte gerne weglassen. Allerdings

ist dies nicht ganz richtig, denn der dritte indirekte Beweis, der bei dieser Studie vorkam,

nämlich der für die Irrationalität der √2 wurde bei 68,20% durchgeführt. Im Großen und

Ganzen kann gesagt werden, dass in der Unterstufe jeder Beweis von zumindest 64% der

Lehrkräfte durchgeführt wird, in der Oberstufe ist dies eindeutig nicht mehr der Fall.

Grund dafür könnte dabei die anstehende neue Reifeprüfung darstellen, denn in der Oberstufe

ist zu erkennen, dass häufig die Irrelevanz für diese standardisierten Reifeprüfung der Grund

ist, der für das Nichtmachen eines Beweises am zweithäufigsten gegeben wird. Es wird somit

die Anmerkung der Lehrkräfte auch in der Studie bestätigt: „Auf Grund der neuen

Ausrichtung der Matura auf Kompetenzen, bleibt für alles andere kaum bis gar keine Zeit

mehr. Beweisführungen sind zum jetzigen Zeitpunkt leider nicht leistbarer Luxus, dem man

noch auf der Uni frönen kann, für den aber im Unterricht einfach kein Platz mehr ist.“ Die

91

Lehrpersonen trainieren also hauptsächlich auf die Zentralmatura hin, weshalb sehr häufig auf

Beweise verzichtet wird, da diese dafür nicht relevant sind.

Dies lässt auch die genaue Auseinandersetzung mit den Begründungen für das Nichtmachen

von Beweisen vermuten. Denn es ist zu erkennen, dass sowohl in der Unter- als auch der

Oberstufe der Zeitmangel deutlich an der Spitze steht. In der Unterstufe folgen darauf die

Begründung, dass der Beweis nicht lehrreich sei, gefolgt vom Nichtbehandeln des Themas,

der Irrelevanz bei der schriftlichen Reifeprüfung und dem Schwierigkeitsgrad. In der

Oberstufe folgen auf den Zeitfaktor der Grund der Irrelevanz für die Reifeprüfung, des

Nichtbehandelns des Themas, die Begründung, dass dieser zu wenig lehrreich ist und der

Schwierigkeitsfaktor des Beweises. Man könnte also sagen, dass in der Oberstufe auf die neue

Reifeprüfung hin trainiert wird und deshalb weniger Beweise gemacht werden, denn diese

Begründung rückt in der Oberstufe vom vierten auf den zweiten Platz vor. Dafür fällt die

Begründung, dass der Beweis zu wenig lehrreich ist, vom zweiten Platz in der Unterstufe auf

den vierten Platz in der Oberstufe zurück. Da Mehrfachantworten möglich sind, kann

interpretiert werden, dass die Beweise in der Oberstufe lehrreicher sind als die der Unterstufe.

Um auch die Unterschiede zwischen Männern und Frauen oder etwa den Gemeinden unter

10 000 und über 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern zu vergleichen, wurden fünf

Beweise ausgesucht und diese wurden genauer betrachtet. Diese fünf Beweise sind die für die

Winkelsumme des Dreiecks, den Höhensatz, die Irrationalität der √2, die Potenzregeln und

die Ableitungsregel der Potenzfunktion.

Zunächst wird auf den Unterschied zwischen Männern und Frauen eingegangen. Bei vier von

diesen fünf Beweisen ist zu sehen, dass die männlichen Lehrenden häufiger Beweise in der

Klasse präsentieren als die weiblichen Lehrpersonen. Bei allen fünf Beweisen ist zu sehen,

dass die männlichen Lehrkräfte, wenn auch nur der Unterschied gering ist, weniger oft die

Beweise abprüfen. Etwa gleich häufig werden die Beweise generell bei Frauen und Männern

durchgeführt. Bei den Begründungen für das Nichtmachen von Beweisen ist zu sehen, dass

die Lehrer häufiger angeben, dass ein Beweis zu schwer ist oder dass die Irrelevanz bei der

schriftlichen Reifeprüfung der Grund dafür ist, bei 4 von 5 Beweisen wird die Begründung

des Zeitmangels seltener angegeben, beim fünften Beweis wird diese Antwort von Frauen und

Männern gleich oft gegebenen. Bei 4 von 5 Beweisen geben die männlichen Lehrkräfte

häufiger an, dass der Beweis zu wenig lehrreich ist.

92

Bei den weniger erfahreneren Lehrenden, nämlich denen mit 0-10 Jahren

Unterrichtserfahrung ist zu erkennen, dass diese bei allen fünf Beweisen die Beweise seltener

durchführen, weiters prüfen diese die Beweise seltener ab als Lehrpersonen mit mehr

Erfahrung. Bei den Gründen für das Nichtmachen der Beweise ist keine gewisse Tendenz

erkennbar.

Werden bei der Auswertung die in Wien Unterrichtenden, die Lehrkräfte mit einer Schule aus

Gemeinden mit mehr als 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern (ausgenommen Wien) und

die in Gemeinden mit weniger als 10 000 Bewohnerinnen und Bewohnern Lehrenden

betrachtet, so sind keine allzu großen Unterschiede zu erkennen. Als einziges ist zu erkennen,

dass die Lehrerinnen und Lehrer aus letzteren weniger Beweise anhand eines Beispiels

demonstrieren als die Anderen.

Werden die westösterreichischen Lehrkräfte (Vorarlberg, Tirol, Salzburg) mit denen, die in

Ostösterreich (Burgenland, Wien, Niederösterreich) unterrichten verglichen, so kann nicht

festgestellt werden, dass die Einen mehr beweisen als die Anderen. Es ist aber erkennbar, dass

im Westen weniger Beweise von den Schülerinnen und Schülern selber erarbeitet werden und

drei von den vier Beweisen (beim Beweis der Irrationalität von √2 ist dies nicht möglich)

häufiger anhand eines Beispiels demonstriert werden. Bei den Begründungen für das

Nichtmachen von Beweisen geben die Lehrkräfte im Osten Österreichs seltener an, dass der

Beweis zu schwer, irrelevant für die schriftliche Reifeprüfung oder zu wenig lehrreich sei. Es

bleibt allerdings dabei, dass der Zeitfaktor der Hauptgrund für das Nichtmachen darstellt.

Eine Ausnahme ist nur beim Beweis für die Irrationalität der √2 bei den Lehrkräften aus

Wien zu sehen, die häufiger die Irrelevanz bei der schriftlichen Reifeprüfung als Grund

angeben.

93

4. HILFREICHE BEWEISE FÜR DEN MATHEMATIKUNTERRICHT Abschließend werden untypische Beweise, also Beweise, die in den Schulbüchern nicht zu

finden sind, erläutert, die während der Recherche für diese Arbeit entdeckt wurden und die

hoffentlich für einige Lehrpersonen hilfreich sein werden. Ein auch eher untypischer Beweis

wurde schon in Abschnitt 2.7.1. erwähnt, nämlich der Beweis für den folgenden Satz:

„Verdoppelt man die Seitenlängen eines Quadrats, so verdoppelt sich auch die Länge jeder

Diagonale.“ (Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520)

Zusätzlich werden hier noch zwei weitere Beweise angeführt. Begonnen wird mit einem

Beweis von Brunner (Brunner, 2014, S. 21), genauer gesagt mit dem Satz „Die Summe vier

aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist durch 8 teilbar.“ Der Beweis dafür kann sowohl

als Beziehungs- als auch als Handlungsbeweis durchgeführt werden:

Z.z.: Die Summe vier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist durch 8 teilbar.

Handlungsbeweis:

Es werden vier aufeinanderfolgende ungerade Zahlen gewählt, etwa 1, 3, 5 und 7 und es wird deren

Summe betrachtet:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

Die Zahl 16 ist durch 8 teilbar, somit stimmt die Aussage für die gewählten Zahlen. Betrachten wir

nun die darauffolgende Summe, was auf folgende Weise dargestellt werden kann:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

3 + 5 + 7 + 9 = 24

Wir sehen also, dass die Summe der vier darauffolgenden aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen

genau um 8 größer ist, da die vier Zahlen jeweils um 2 erhöht wurden. Die neue Summe ist also

genau die alte Summe, die durch acht teilbar ist, addiert mit 8, was ebenfalls durch 8 teilbar ist. Somit

ist wegen der Teilbarkeitsregeln (𝑎|𝑏 und 𝑎|𝑐 ⇒ 𝑎|(𝑏 + 𝑐)) auch die neue Summe durch 8 teilbar.

Auf diese Art ist zu sehen, dass dies auch für jede weitere Summe gilt, da immer wieder 8 zur vorigen

Summe addiert wird.

+2 +2 +2 +2 +8

94

Beziehungsbeweis:

Ungerade Zahlen können in der Form 2𝑛 ± 1 dargestellt werden. Wir können die Summe vier

aufeinanderfolgender ungerader Zahlen deshalb folgenderweise darstellen:

(2𝑛 + 1) + (2𝑛 + 3) + (2𝑛 + 5) + (2𝑛 + 7) = 8𝑛 + 16

Wegen der Teilbarkeitsregeln (𝑎|𝑏 und 𝑎|𝑐 ⇒ 𝑎|(𝑏 + 𝑐)) und 8|8𝑛 und 8|16 gilt 8|(8𝑛 + 16).

Somit ist die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch 8 teilbar.

(Brunner, 2014, S. 22-23)

Auch bei Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 187) ist ein interessanter Beweis zu

finden, der wiederum als Handlungs- und auch als Beziehungsbeweis durchgeführt werden

kann.

Z.z.: Der Umfang eines konvexen Vierecks ist größer als die Summe der beiden Diagonalenlängen.

Handlungsbeweis:

Das Viereck kann anhand von vier eingeschlagenen Nägeln dargestellt werden. Um diese können

zwei Gummiringe gegeben werden und auf diese Weise sind auch die Diagonalen zu sehen.

Es ist zu sehen, dass die Gummiringe so gedehnt werden können, dass sie außerhalb der Nägel

verlaufen. Die Gummiringe haben somit die Größe des doppelten Umfangs, allerdings mussten die

Gummiringe, die zu Beginn genau die doppelte Länge der Summe der beiden Diagonalen dargestellt

haben, gedehnt werden. Somit ist zu erkennen, dass der Umfang des Vierecks größer als der Summe

der beiden Diagonalen ist.

95

Beziehungsbeweis:

Nach der Dreiecksungleichung gilt:

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ < 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ + 𝐷𝐴̅̅ ̅̅

𝐵𝐷̅̅ ̅̅ < 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ < 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

Werden diese vier Ungleichungen addiert, so erhält man:

2 ∙ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ + 2 ∙ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ < 2 ∙ (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ + 2 ∙ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ < 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

(Fischer & Malle, 1985, S. 187)

Diese drei Beweise können sehr gut zum Üben von Beweisen verwendet werden, sie können

von den Schülerinnen und Schülern mit Unterstützung der Lehrperson selbst erarbeitet

werden.

96

5. DISKUSSION UND AUSBLICK Diese Arbeit soll einen Einblick in das Thema Beweise im Mathematikunterricht geben.

Dabei können Lehrpersonen Ideen für den Umgang mit Beweisen finden. Unter einem

Beweis werden oft unterschiedliche Dinge verstanden. Das wurde auch in der Studie, die im

zweiten Teil der Arbeit durchgeführt wurde und die Bedeutung von Beweisen im

österreichischen Mathematikunterricht aufzeigen sollte, von einzelnen Lehrpersonen

angemerkt. Für sie waren die in der Studie angeführten Beweise zum Teil eher Herleitungen.

In der Arbeit wird versucht klar zu machen, dass der Begriff Beweis abhängig von der

mathematischen Gesellschaft ist, in der man sich gerade befindet. Ein Beweis (etwa ein

geometrischer), der in der Schule als ausreichend angesehen wird, wird in einer

mathematischen Zeitschrift möglicherweise nicht akzeptiert. Gerade bei Beweisen im

Unterricht ist daran zu denken.

Die online-Durchführung der Studie bringt eine große Stichprobe (332 Teilnehmerinnen und

Teilnehmer aus ganz Österreich), aber auch einen Nachteil mit sich: Da der Fragebogen den

Titel „Beweise im Mathematikunterricht“ trägt, wurde dieser möglicherweise eher von

Personen ausgefüllt, die solche auch im Unterricht durchführen und die den Beweisen mehr

Bedeutung schenken als andere Lehrkräfte.

Bei der Studie wurde darauf vergessen, dass es Lehrpersonen gibt, die unterrichten, aber ihr

Studium noch nicht abgeschlossen haben. Wahrscheinlich haben diese Lehrpersonen bei der

Frage „Vor wie vielen Jahren haben Sie Ihr Studium abgeschlossen?“ die Antwort „0-5 Jahre“

angegeben, allerdings kann es sein, dass dies nicht (immer) der Fall ist und somit diese Frage

nicht aussagekräftig ist. Den Antworten dieser Frage wurde aber bei der Auswertung keine

große Bedeutung geschenkt, weswegen sie die Ergebnisse nicht wirklich beeinflussen.

Es wurde bei der Erstellung des Fragebogens leider nicht daran gedacht, den Lehrpersonen zu

sagen, dass sie bei der Beantwortung an die letzte Klasse der jeweiligen Schulstufe, die sie

unterrichtet haben, denken sollten. Es ist also möglich, dass Lehrpersonen sagen, sie hätten

den Binomischen Lehrsatz bewiesen, wobei dies allerdings schon 10 Jahre her ist. Es wird

von den Lehrkräften auch darauf hingewiesen, dass sie geantwortet haben, sie hätten den

Beweis gemacht, dies allerdings vom Klassenniveau abhängig ist, und der Beweis somit nicht

in allen Klassen durchgeführt wird.

Die Begründungen für das Nichtmachen von Beweisen zeigen deutlich, dass oft keine Zeit

dafür vorhanden ist. Das ist die wichtigste Erkenntnis, die diese Studie hervorbringt.

97

Deswegen sind in der Arbeit Beispiele für Beweise angegeben, die von den Lernenden

selbstständig durchgeführt werden können und nicht allzu zeitaufwändig sind. Das müssen

nicht unbedingt Beweise sein, die im Schulbuch zu finden sind. Das bedeutet zwar, dass

etwas bewiesen wird, das nicht unbedingt im Lehrplan zu finden ist. Da aber von diesem

ohnehin nur wenige Beweise gefordert werden, kann ein Beweis aus dem Schulbuch auch

durch einen anderen ersetzt werden bzw. der aus dem Buch dann nur mehr von der

Lehrperson präsentiert werden.

Die Studie könnte erweitert werden, indem Lehrpersonen direkt in den Schulen darum

gebeten werden einen Fragebogen auszufüllen bzw. sogar eine qualitative Studie durchgeführt

wird. Der Vorteil einer qualitativen Studie wäre, dass man sich sicher sein kann oder

nachfragen kann, wie die befragte Lehrkraft eine Aussage versteht. Bei einer schriftlichen

Umfrage kann natürlich immer sein, dass gewisse Formulierungen von den Teilnehmenden

anders verstanden werden als gedacht. Dadurch könnte eine noch genauere Aussage darüber

troffen werden, wie viele Lehrpersonen Beweise tatsächlich durchführen und wie viele darauf

verzichten.

98

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102

7. ANHANG

7.1. FRAGEBOGEN

Liebe Lehrerin, lieber Lehrer,

im Rahmen meiner Diplomarbeit an der Universität Wien zum Thema Beweise im AHS-Mathematikunterricht führe ich eine Befragung durch. Die Teilnahme ist selbstverständlich freiwillig und anonym, die Daten dienen ausschließlich der späteren statistischen Analyse.

Die Beantwortung der Fragen nimmt je nach Anzahl der unterrichteten Schulstufen zwischen 5 und 15 Minuten in Anspruch. Es würde mich sehr freuen, wenn Sie sich diese Zeit nehmen würden!

Bei Fragen können Sie mich jederzeit per E-Mail an [email protected] kontaktieren!

Vielen Dank im Voraus!

Stefanie Stockinger

1. Angaben zur Person

Geschlecht: � männlich � weiblich

Unterrichtserfahrung:

� 0-5 Jahre

� 6-10 Jahre

� 11-20 Jahre

� mehr als 20 Jahre

Vor wie vielen Jahren haben Sie Ihr Studium abgeschlossen?

� 0-5 Jahren

� 6- 10 Jahren

� 11-20 Jahren

� mehr als 20 Jahren

In welchem Bundesland unterrichten Sie:

� Wien � Vorarlberg � Tirol

Fragebogen – Beweise im Unterricht

103

� Salzburg � Oberösterreich � Niederösterreich

� Burgenland � Steiermark � Kärnten

Wo befindet sich Ihre Schule?

� in Wien

� in einer Gemeinde mit mindestens 10 000 EinwohnerInnen

� in einer Gemeinde mit weniger als 10 000 EinwohnerInnen

Welches Schulbuch verwenden Sie in der Unterstufe?

� Das ist Mathematik – Reichel � Mach mit Mathematik

� Blickpunkt Mathematik � Lebendige Mathematik

� MatheMaster � MathematiX

� Expedition Mathematik � ganz klar: Mathematik

� Genial Mathematik � Mathe Buch

� MatheFit � Maßstab

Welches Schulbuch verwenden Sie in der Oberstufe?

� Mathematik – Reichel � Mathematik verstehen – Malle

� Dimensionen � Elemente der Mathematik

� klar_Mathematik � Thema Mathematik

2. Allgemeine Fragen

Haben Sie die genannte Klasse der AHS schon ein ganzes Jahr hindurch unterrichtet? 2. Klasse: � ja � nein 3. Klasse: � ja � nein 4. Klasse: � ja � nein 5. Klasse: � ja � nein 6. Klasse: � ja � nein 7. Klasse: � ja � nein 8. Klasse: � ja � nein Stellen für Sie Beweise einen wichtigen Teil des Mathematikunterrichts dar? � ja � nein Wenn Sie Zeit dafür hätten, würden Sie dann häufiger Beweise machen? � ja � nein Finden Sie im Schulbuch genügend Beweise, die Sie im Unterricht verwenden können? � ja � nein Gibt es eine bestimmte Art von Beweisen, die Sie bevorzugen? � anschaulicher Beweis � rechnerischer Beweis � Nein, das ist vom Beweis selbst abhängig.

104

3. Zweite Klasse

Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine zweite Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden. Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die Fragen der zweiten Klasse. Winkelsumme im Dreieck: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . In jedem Dreieck schneiden die Winkelsymmetralen einander in genau einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ .

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Satz von Thales: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Gibt es andere Beweise, die Sie in der zweiten Klasse durchgeführt haben? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dritte Klasse

Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine dritte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden. Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die Fragen der dritten Klasse. Binomische Formeln: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Wenn Sie die Formel bewiesen haben, für welche Art(en) haben Sie sich entschieden? � rechnerischer Beweis � anschaulich

106

Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Flächeninhaltsformel des allgemeinen Dreiecks: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Flächeninhaltsformel des Parallelogramms: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ .

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Strahlensatz: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Gibt es andere Beweise, die Sie in der dritten Klasse durchgeführt haben?: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Vierte Klasse

Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine vierte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden. Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die Fragen der vierten Klasse. Wurzelregel (√𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 𝑓ü𝑟 𝑎, 𝑏 ≥ 0): Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ .

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Satz des Pythagoras: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Wenn Sie den Satz bewiesen haben, für welche Art(en) haben Sie sich entschieden? � rechnerischer Beweis � anschaulich Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Höhensatz: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Gibt es andere Beweise, die Sie in der vierten Klasse durchgeführt haben?: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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6. Fünfte Klasse

Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine fünfte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden. Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die Fragen der fünften Klasse. √2 ist irrational: � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Eine zweistellige Zahl 𝑛 ∈ ℕ∗ ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Satz von Euklid (Es gibt unendlich viele Primzahlen): Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht.

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Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Kleine Lösungsformel: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Satz von Vieta: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ .

111

Cosinussatz: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Mittelpunkt einer Strecke (bei den Vektoren): Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Formel für die Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht.

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Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ .

Gibt es andere Beweise, die Sie in der fünften Klasse durchgeführt haben?: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. Sechste Klasse

Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine sechste Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden. Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die Fragen der sechsten Klasse. Potenzregeln: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Binomischer Lehrsatz: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht.

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Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Eine gegebene Folge ist streng monoton wachsend bzw. fallend: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Summenberechnung der endlichen geometrischen Reihe mit n Gliedern und Quotienten 𝑞 ≠ 1 : Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ .

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Die Euler’sche Zahl e ist irrational: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Satz von Bayes: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Gibt es andere Beweise, die Sie in der sechsten Klasse durchgeführt haben?: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Siebte Klasse

Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine siebte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden. Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die Fragen der siebte Klasse.

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Ein Polynom 𝑓(𝑥) vom Grad 𝑛 mit einer Nullstelle bei 𝑎 kann zu 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) ∙ 𝑔(𝑥) vereinfacht werden, wobei 𝑔(𝑥) ein Polynom vom Grad 𝑛 − 1 ist: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Ableitungsregel für die Potenzfunktion 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 für 𝑛𝜖𝑁∗: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Ableitungsregel vom konstanten Faktor (𝑐 ∙ 𝑓)′(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓′(𝑥) bzw. die Summenregel (𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥): Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht.

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Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Produktregel: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Kreisgleichung: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ .

117

𝑛 unterscheidbare Objekte können auf 𝑛! Arten angeordnet werden: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ .

Gibt es andere Beweise, die Sie in der siebten Klasse durchgeführt haben?: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Achte Klasse

Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine siebte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden. Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die Fragen der siebte Klasse. Ist 𝐹 eine Stammfunktion von 𝑓, so ist auch 𝐹(𝑥) + 𝑐 für alle 𝑐 ∈ ℝ Stammfunktion von 𝑓: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ .

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Der Beweis wurde ... � zumindest teilweise in der Klasse präsentiert. � zumindest teilweise von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � zumindest teilweise abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � zumindest teilweise anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Volumsberechnung bei Drehung um die x-Achse: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht. Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Partielle Integration: Der Beweis wurde ... � in der Klasse präsentiert. � von den SchülerInnen selbst erarbeitet. � abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit). � anhand eines konkreten Beispiels demonstriert. � nicht gemacht.

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Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür? � Er ist zu schwer. � Es war keine Zeit dafür. � Das Thema wurde nicht behandelt. � Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura. � Er ist zu wenig lehrreich. � Sonstiges: ____________________________ . Gibt es andere Beweise, die Sie in der achten Klasse durchgeführt haben?: _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Gibt es sonst noch etwas, das Sie über Beweise im Mathematikunterricht sagen möchten?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Vielen Dank für Ihre Teilnahme!

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CURRICULUM VITAE Persönliche Daten

Name Stefanie Stockinger

Geburtsdatum 31. August 1991

Staatsbürgerschaft Österreich

Adresse Reutegasse 70, 6900 Bregenz

E-Mail [email protected]

Bildungsgang

WS 2010 – SS 2015 Universität Wien: Lehramt Mathematik und Psychologie und Philosophie Leistungsstipendium der Universität Wien: 2012/2013

WS 2014 Technische Universität Wien: Versicherungsmathematik

WS 2009 – SS 2010 Universität Wien: Lehramt Mathematik und Latein

2001 – 2009 Bundesgymnasium Gallus, 6900 Bregenz Matura mit gutem Erfolgt bestanden

1997 – 2001 Volksschule Rieden, 6900 Bregenz

Arbeitserfahrung

SS 2011 Pädagogisches Praktikum im Fach Mathematik: Bundesgymnasium und Bundesrealgymnasium GRG XIX, Billrothstraße 73, 1190 Wien Evangelisches Gymnasium und Werkschulheim, Erdbergstraße 222A, 1110 Wien

WS 2012 Fachbezogenes Praktikum in Mathematik: Bundesgymnasium und Bundesrealgymnasium Pichelmayergasse, Pichelmayergasse 1, 1100 Wien

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WS 2012 Tutorin an der Universität Wien: Lineare Algebra und Geometrie für LehramtskandidatInnen

WS 2013 Fachbezogenes Praktikum in Psychologie und Philosophie: Katholische Privatschule Marienberg, Schlossbergstraße 15, 6900 Bregenz

WS 2013 Tutorin an der Universität Wien: Angewandte Mathematik für LehramtskandidatInnen

SS 2014 Tutorin an der Universität Wien: Einführung in die Analysis

WS 2014 Tutorin an der Universität Wien: Analysis in einer Variable für LehramtskandidatInnen

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