Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 30.01.2007 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603

Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 30.01.2007 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 30.01.2007

Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

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3.7 Spezielle Methoden der Feldberechnung (S. 178, CW, 9. Aufl.)

3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178, CW, 9. Aufl.)

const

1konst

4

Qr

r

0

2( ) ( )

4rr

Q rE r E r e

r

��

2

1( )

4r

QE r

r

1ln konst

2

0

( )2

E E e

��

�� 1

2E

Anordnungen

Punktladung

Linienladung

Zylinderschalen

Form der Äquipotenzial-

flächen

Kugelschalen

Elektrische Feldstärke

Elektrischer Feldstärkevektor

Potenzial


3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178,

CW, 9. Aufl.) Materialisierung: Einbringen von Leitern (Material) auf Äquipotenzialflächen Potenzialflächen können durch Leiter ersetzt werden, der auf gleiches Potenzial gelegt ist, ohne dass das Feld dadurch verändert wird. Verfahren ist sinnvoll anwendbar dort, wo Felder analytisch berechenbar sind und aus den sich ergebenden Potenzialflächen technisch interessante Analogien ableiten lassen.

Q Q

Feld einer Punktladung mit Hohlkugel (Innen-/Außenschicht):

Influenz von Ladungen

Feld einer Kugelschale mitPositiver Gesamtladung +Q

Feld einer Punktladung umgebenVon einer Kugelschale (Schirmung)

mit negativer Gesamtladung -Q

Bild 3.26. Prinzip der Materialisierung;Superposition

2r2r 2r

Material zwischen den Ladungsschichten trennenführt zu einer Kugel mit Gesamtladung +Q (Gaußscher Satz) und identischem Feld zur Punktladung, Kugelinneres ist feldfrei. Zweite Kugel mit Punktladung +Q im Zentrum ist außen feldfrei (Schirmung!).

GedankenexperimentDas elektrische Feld einer Punktladung besitzt konzentrische Äquipotenzialflächen in Kugelform. Für jede beliebige Kugelfläche kann ohne Auswirkung auf das elektrische Feld eine Fläche aus elektrisch leitendenden Material eingefügt werden. Bei einer positiven Punkladung verteilen sich durch Influenz negative el. Ladungen auf der inneren Kugeloberfläche und positive el. Ladungen auf der äußeren Kugeloberfläche gleichmäßig auf der Kugelschale.


3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 178,

CW, 9. Aufl.)

Weitere Beobachtungen (qualitativ):- Feldlinien des el. Feldes stehen senkrecht auf den Äquipotenzialflächen wo das el. Potenzial konstant ist- Damit verschwindet die Tangentialkomponente der Feldstärke auf der Oberfläche des el. Leiters (sonst Ladungsverschiebung durch Feldkräfte), d.h. Feldlinien des el. Feldes stehen senkrecht auf el. Leiter

Q Q2r

Feld einer Punktladung mit Hohlkugel (Innen-/Außenschicht):

Influenz von Ladungen

Feld einer Kugelschale mitPositiver Gesamtladung +Q

Feld einer Punktladung umgebenvon einer Kugelschale (Schirmung)

mit negativer Gesamtladung -Q

Bild 3.26. Prinzip der Materialisierung;Superposition

2r 2r

2

1 0

4

Qr r r

r

2

1

4

Qr r r

r

1

04

Qr r

r

0

22( )

4

Q rE r r r

r

��0

22( ) 0

4

Q rE r r r

r

�� 0

2( ) 0

4

Q rE r r

r

��



Doppelleitung

d

0

Vorgaben: - Leiter sehr dünn mit Radius ρ0

- Abstand der Leiter ist d

Bild 3.27. Feld zweier Linienladungenentgegen gesetzten Vorzeichens; Doppelleitung(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.27, S. 179)

P



Doppelleitung: Potenzial der Doppelleitung

1 1ln ln

2 2K

,

als Überlagerung der Potenziale zweier Linienladungen, mit unterschiedlichem

Vorzeichen im Aufpunkt und mit den Radien zu den Ladungen.

(3.37)

Aus dem Feldbild entsprechend dem Prinzip der Materialisierung

- Äquipotenziallinien und E-Feldlinien sind Kreise (aus der Geometrie: Satz von Apollonius)

ln . für .2

const const

ln2

K

- Mittelpunkt wandert zwar, kann aber für kleine Radien als konzentrisch zur Linienladung angenähert werden



Doppelleitung mit den Linienladungen +λ, -λ


3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 179, CW, 9. Aufl.) Doppelleitung: Kapazitätsbelag

00

ln für , 2

dK d

00ln für ,

2K d

d

Ausgehend von zwei Linienladungen, Potenziale auf den Oberflächen noch unbekannt:

Potenzial auf Hülle des linken Leiters

Potenzial auf Hülle des rechten Leiters

0

0

ln ln2 2

CU d

K Kd

0d für

Kapazitätsbelag dieser Ladungsanordnung:

ln2

K

0d für

Auswertung von


3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 179/180, CW, 9. Aufl.) Doppelleitung: Kapazitätsbelag

0

0

00

00

0ln

ln ln2 2

2

ln lnln ln2 2

d

C

dK K

d

ddK K

dd

el. Linienladung

el. Spannung = el. Potenzialdifferenz

0 0

2

2ln lnd d

0d für

Kapazitätsbelag dieser Ladungsanordnung:

0

ln

Cd

0

Leiterabstand der Doppelleitung

Leiterradius der Doppelleitung

d

(3.38)


3.7.1 Das Prinzip der Materialisierung (S. 180, CW, 9. Aufl.) Feld zweier Linienladungen gleichen Vorzeichens

1 2 1 2

1 1 1ln ln ln

2 2 2K K

Zwei sehr lange Linienladungen gleicher Größe und gleichen Vorzeichens:

Materialisierung:

Potenzialflächen können durch Leiter ersetzt werden, der auf gleiches Potenzial gelegt ist, ohne dass das Feld dadurch verändert wird:hier: Doppelleitung

Feldbild dazu:

Bild 3.28. Feld zweier Linienladungen gleichen Vorzeichens; (Feldlinien - - - -, Potenziallinien -----) (vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.28, S. 180)

vergrößert

2b

1

d



Doppelleitung mit den Linienladungen +λ, +λ


Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 180, CW,

9. Aufl.)

0a D r

2 1 2

1

a

0r

P

(1)(2)D

(1)(2)

Bild 3.29. Bündelleiter, bestehend aus zwei Doppelleitungen

D

2

D

2

D

2

D

2

D

0r 0r 0r

(1) (1)

(2) (2)

und

und

Der Abstand zwischen ist jeweils a!

0r a , Gegeben: Bündelleitung mit Achsabstand a, Leiterradius ; Linienladungen

0rLeiterabstand D und Radius der Doppelleitung

Bild 3.29. Doppelleitung, bestehend aus zwei Leiterbündeln (vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.29, S. 181)

Leiterbündel Leiterbündel

Doppelleitung



9. Aufl.)

0

lnC

a

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ln ln ln2 2 2

P

Für einzelne Doppelleitung gilt nach Gl. (3.38)

Potenzial der Bündelleitung aus Überlagerung der Potenzialfunktion zweier Doppelleitungen nach Gl. (3.37)

Allgemein im Aufpunkt P:

( ) ln (mit 0)2

P K

0

Leiterabstand der

Doppelleitung

Leiterradius der

Doppelleitung

a

Gesucht:Kapazitätsbelag der Bündelleitung?

Lösung:

(1)(2) (1)(2)

Bündelleitung -> 2 Doppelleitungen: (1) und (2)



Bündelleitung aus zwei Doppelleitungen mit den Linienladungen +λ, +λ, -λ, -λ


Feldverteilung der Doppelleitung +λ, -λ, Doppelleitung +λ, +λ , und des Bündelleiters +λ, +λ, -λ, -λ

Doppelleitung +λ, -λ Doppelleitung +λ, +λ

Bündelleiter +λ, +λ, -λ, -λ



9. Aufl.)

P Für (Leiter links) gilt

1 2 1 0 2; ; a r D

1 2

1 2

( ) ln2

P

Allgemein im Aufpunkt P:

2

0

( ) ln2

aP

r D

2C

P Für (Leiter rechts) gilt

1 2 1 2 0; ; a D r 0

2

2

0

( ) ln2

ln2

r DP

a

a

r D

Kapazitätsbelag

2 2 2

2C

2 λ, da 2 el. Linienladungen



9. Aufl.)

P

0a D r

2 D

1 0r 2 a

a

(1)(2)D

(1)(2)

Bild 3.29. Doppelleitung, bestehend aus zwei Leiterbündeln(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.29, S. 181)

D

2

D

2

D

2

D

2

D

Für (Leiter links) gilt 1 2 1 0 2; ; a r D P

1 a

Leiter links:



9. Aufl.)

P Für (Leiter rechts) gilt 1 2 1 2 0; ; a D r

0a D r

2 0r

1 D

a

(1)(2)D

(1)(2)D

2

D

2

D

2

D

2

D

P 2 a 1 a

Bild 3.29. Doppelleitung, bestehend aus zwei Leiterbündeln(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.29, S. 181)

Leiter rechts:



9. Aufl.)

2

0

2

0

2

2

ln2

2

ln

C

a

r D

a

r D

2

0 ,r D

Da Potenzial pro Bündel per Schaltungszwang identisch, ist gleichgültig,

auf welchen Leiter der Aufpunkt gelegt wird (Symmetrie in )

Ladung pro Elektrode ist

Kapazitätsbelag

2

0

ln2

a

r D

mit



9. Aufl.)

BL 2

0

2

ln

Ca

r D

DL

0

1

lnC

a

Lösung:Durch Vergleich

Damit folgt

Doppelleitung Bündelleitung

2

0 0

2

0 0

22

0 0

1ln ln

2

ln 2ln mit ln ln

ln ln

n

a a

r D

a an x x

r D

a a

r D

22

00

22lnln

0 0

2

0 0

00

e e

aarr D a a

r D

a a

r D

a a

r D

a) ρ0 so bestimmen, dass Kapazität von Bündel- und Doppelleitung gleich sind!

0 0

DL BL

r D

C C

0 0r D



9. Aufl.)

DLC U

DL

0

lnC

a

DL 00

DL

0

0

0

00

1

2

1

2

ln1

2

2 ln

E

C U

Ua

Ua

b) Feldstärke an der Oberfläche, also im Abstand r0 von der Achse eines Leiters?LösungFeldverlauf an der Leiteroberfläche ist bei beiden Anordnungen wie beim Einzelleiter, erstmit größerem Abstand nimmt der Einfluss der Nachbarleiter zu. Beim Einzelleiter gilt nach Gl. (3.26)

Kapazitätsbelag der DL

DL 0

00

2 ln

UE

a

BLBL 0

0

BL

0

2

0

0

2

00

1

2

122

2

ln

4

2 ln

E rr

C U

r

Ua

r D

r

U

ar

r D

BL 0 2

00

2 ln

UE r

ar

r D

Da Kapazität aus zwei Leitern gebildet wird, und λ die Ladung auf

einem Leiter beschreibt, gilt hier analog für den Bündelleiter:

BL BL2 C U

BL 2

0

2

ln

Ca

r D

Kapazitätsbelag der BL


Beispiel 3.9: Bündelleiter (S. 181, CW, 9. Aufl.)

2 2 00 0 02

2r r

2

0 00 0 0 0BL 0 0

2 2 2DL 0 0

00 0 00

0

2 ln 2 ln ln ln

222 ln ln ln

2 ln

U

a a a ar

r DE rUE ra a ara r D r D D

0 10 mm, 10 m, 20 cma D

30BL 0

2 2 2 6DL 0

0

10 mln ln

0,01 m ln 102 2 2 0,875

2 2 10 m 2 10ln ln ln

0,01 m 0,20 m 20

a

E r

E a

D

c) Wie verhalten sich die Oberflächenfeldstärken bei gleichem Materialaufwand?

mit den Zahlenwerten folgt

Effektive Leiterquerschnitte müssen gleich sein:Lösung:

Fläche einesLeiters der

Doppelleitung

Fläche zweierLeiter derBündelleitung

BL 0 DL 0 BL 0 DL 00,875 ca. 87,5 %E r E E r E


3.7.2 Die Kästchenmethode (S. 183, CW,

9. Aufl.)

ges r1 r2 r6

1 1 1 1

C C C C

Feldlinien und Äquipotenziallinien bekannt -> Kapazität bekannt

r1C

r2C

r6C

Bild 3.28. Feld zweier Linienladungen gleichen Vorzeichens; (Feldlinien - - - -, Potenziallinien -----) (vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.28, S. 180)

2b

1

d



9. Aufl.)

ges r1 r2 r6

1 1 1 1

C C C C

Serienschaltung von Kapazitäten

0

b lC

d

r1C

r2C

r6C

Plattenkondensator

Breite der Platten

Länge der Platten

Plattenabstand

b

l

d

b dQuadratische Kästchen

0C l

040rC C

ges 0

1 2040

6 3C C l ges

ges

20

3

CC

l



9. Aufl.)

nC

m

Anzahl der Feldlinien

1 Potenziallinien

n

m

Beliebiger zweidimensionaler Fall:

Kästchenmethode

Weitere Methoden (höhere Semester):

- Elektromagnetische Feldtheorie I / II / III (teilweise angeboten von Dr.-Ing. R. Marklein)

- Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I / II (angeboten von Dr.-Ing. R. Marklein)

-> Computational Electromagnetics


Ende der Vorlesung

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