Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 05.12.2006 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 05.12.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 05.12.2006

Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


2.8.3.3 Auswahl des vollständigen Baumes

liefert 16 verschiedenevollständige Bäume

Tipps:

Baum so legen, dass möglichst einfache Umläufe entstehen

(a) gut, da Umläufe wie Maschen

(c) schlecht für I6, da Umlauf über Zweige 1, 2 ,5

Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

6

41

B

C

D

3 55

46

2

A

6U

4M

5M


2.8.3.3 Auswahl des vollständigen Baumes

X X 0 0X X X 00 X X X0 0 X X

Umläufe mit möglichst wenig Kopplungen wählen gibt viele Nullen in Widerstandmatrix

(a) gut

▶ Vorgegebene Ströme/Stromquellen in Verbindungszweige legen -> Damit werden sofort entsprechend viele Variablen zu bekannten Größen▶ Baum so legen, dass gesuchte Ströme in den Verbindungszweigen liegen (nicht immer möglich)▶ Spannungsquellen in Verbindungszweige legen -> Dann nur einmal für den entsprechenden Umlaufstrom im Gleichungssystem vorhanden▶ Schaltungssymmetrie ausnutzen (siehe Bsp. 2.29), um schnell Unbekannte eliminieren zu können

Widerstands-matrix dazu:

1M2M 3M

4M 1M3U

4U

Bild 2.91. Zwei vollständige Bäume für eine viermaschige Kettenschaltung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 100, 2005])

2U

(b) schlecht, Zweig 1 verkoppelt alle Ströme

1

X X X XX X X XX X X XX X X X

Widerstands-matrix dazu:

Widerstandsmatrix ist voll besetzt!-> Unvorteilhaft!

Widerstandsmatrix hat Null-Einträge!-> Dies ist für die Lösung vorteilhaft!

2 3

41

2 3

4


2.8.4. Knotenanalyse2.8.4.1 Abhängige und unabhängige Spannungen

► Mit den Spannungen, UQ1, UQ2, UQ3, in allen 3 Baumzweigen sind alle Spannungen festgelegt!

4 5 6 0U U U

Daher Definition: ► unabhängige Spannungen in Baumzweige legen► abhängige Spannungen in Verbindungszweigen legen!

anders als bei der Umlaufanalyse!

Bild 2.92. Unabhängige Spannungen in den Baumzweigen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 101, 2005])

A

B

C

D

4U

5U

Q1U

Q3UQ2U

6U

► Es wäre unmöglich die Spannungen an den Zweigen 4, 5 und 6 vorgeben, da für den äußeren Umlauf ( ) gilt


2.8.4.2 Schema zur Aufstellung der Knotengleichungen

Q6Q6

6

UI

R

66

1GR

Spannungsquelle durch Ersatzstromquelle ersetzen:

Innenleitwert

Kurzschlussstrom

Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6M

4M

5M

Netzstruktur:

Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einer Stromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 102, 2005])

1U

3U

4U

5U

Q6I

6G6U2U

6GI

1G

1GI 4GI

5GI3GI

2GI

4G

3G 5G

2G

A

D B

C

Spannungs-quelle inStrom-quelle

umwandeln



G1 1 1

G6 6 6

I G U

I G U

G1 G4 G6 Q6

G2 G 4 G5

G3 G5 G6 Q6

0

I I I I

I I II I I I

4

5

6

:::

MMM

Ohmsches Gesetz für die 6 Leitwerte:

Knotengleichungen:

Knoten KB:Knoten KC:

Spannungen in den Verbindungszweigenüber die Umlaufgleichungen:

Knoten KA:


1U

3U

4U

5U

Q6I

6G6U 2U

6GI

1G

1GI 4GI

5GI3GI

2GI

4G

3G 5G

2G

AK

D B

C

1 1 4 4 6 6 Q6

2 2 4 4 5 5

3 3 5 5 6 6 Q6

0

G U G U G U I

G U G U G UG U G U G U I

Gleichungen nach dem Ohmschen Gesetz in die oben stehenden Knotengleichungen einsetzen:

4 1 2

5 2 3

6 3 1

U U UU U UU U U

6M

4M

5M

G1 1 1

G6 6 6

I G U

I G U

G1 G4 G6 Q6

G2 G4 G5

G3 G5 G6 Q6

0

I I I I

I I II I I I

1 2 4

2 3 5

3 1 6

000

U U UU U UU U U



1 1 4 1 2 6 3 1 Q6

2 2 4 1 2 5 2 3

3 3 5 2 3 6 3 1 Q6

0

G U G U U G U U I

G U G U U G U U

G U G U U G U U I

Die abhängigen Spannungen mithilfe der Umlaufgleichungen ersetzen

Spannungsvektor besteht aus den

unabhängigen Spannungen in Baumzweigen


1U

3U

4U

5U

Q6I

6G6U2U

6GI

1G

1GI 4GI

5GI3GI

2GI

4G

3G 5G

2GD B

C

A

1 4 6 1 4 2 6 3 Q6

4 1 2 4 5 2 5 3

6 1 5 2 3 5 6 3 Q6

0

G G G U G U G U I

G U G G G U G U

G U G U G G G U I

Nach den Spannungen umsortieren:

Q61 4 6 4 6 1

4 2 4 5 5 2

Q66 5 3 5 6 3

0IG G G G G U

G G G G G UIG G G G G U

In Matrixform schreiben

Stromvektor besteht aus den

Strömen der Stromquellen

Leitwertmatrix



Als Matrixgleichung schreiben

Q

Q61 4 6 4 6 1

4 2 4 5 5 2

Q66 5 3 5 6 3

0IG G G G G U

G G G G G UIG G G G G U

UG I

Die erste Zeile der Leitwertmatrix entsteht aus Knoten A:

Allgemein: Die Leitwertmatrix besteht aus den Knotenleitwerten auf der Hauptdiagonalen und den symmetrisch liegenden Kopplungsleitwerten auf den Nebendiagonalen.

Knotenleitwert G1 + G4 + G6 Kopplungsleitwert zum Knoten B mit unabhängiger Spannung U2 ist G4 Kopplungsleitwert zum Knoten C mit unabhängiger Spannung U3 ist G6

Bild 2.93. Netz mit drei Maschen und einerStromquelle (vgl. Clausert & Wiesemann Bd. I, S. 102, 2005])

1U

3U

4U

5U

Q6I

6G6U2U

6GI

1G

1GI 4GI

5GI3GI

2GI

4G

3G 5G

2GD B

Leitwertmatrix

C

A

QG U I

Spannungs-vektor

Strom-vektor

Q

: Leitwertmatrix: Spannungsvektor

: Stromvektor

der Quellströme

GUI



11 12 1( 1) 1 Q1

21 22 2( 1) 2 Q2

( 1)1 ( 1)2 ( 1)( 1) ( 1) Q( 1)

Knoten 1 : Knoten 2 :

Knoten ( -1):

K

K

K K K K K K

G G G U IG G G U I

G G G U IK

Schema zum Aufstellen einer Knotengleichung in Matrixform für ein Netzwerk mit K Knoten:

1. Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln.2. ► Bezugsknoten auswählen. Hinweis: Einen Knoten auswählen, der mit möglichst vielen anderen Knoten verbunden ist. ► Sternförmigen vollständigen Baum bilden: Ausgehend vom Bezugsknoten werden die Verbindungen zu allen anderen K – 1 Knoten

des Netzes, d.h. die Baumzweige, eingezeichnet. Ggf. zusätzliche Leitwerte G = 0 für Knoten

ohne Verbindung zum Bezugsknoten einfügen.

3. Zählpfeile der unabhängigen Spannungen längs der Baumzweige eintragen, d. h. die Spannungen von jedem der K – 1 Knoten zum Bezugsknoten mit Richtung auf den Bezugsknoten eintragen.

Leitwertmatrix ist symmetrisch!

Tij jiG G G G

Der Index ,,T" steht für transponiert!



Für jeden Knoten i = 1,…,K - 1 – außer dem Bezugsknoten – wird jetzt eine Gleichung (Zeile in dem Gleichungssystem) aufgestellt:

4. Leitwertmatrix [G] a) Hauptdiagonalelemente der Leitwertmatrix [G]: Gij für i = j sind die Knotenleitwerte, d.h.

die sich aus der Parallelschaltung aller im Knoten i zusammentreffenden Zweig-Leitwerte ergeben. b) Nebendiagonalelemente der Leitwertmatrix [G]: Gij für i ≠ j sind die Kopplungsleitwerte, d.h. die Summe aller Leitwerte der Verbindungszweige, die den Knoten j direkt mit dem aktuellen Knoten i verbinden: Vorzeichen wegen 2. und 3. immer negativ! Hinweis: Die Leitwertmatrix ist symmetrisch, d. h. es gilt für die Kopplungsleitwerte Gij = Gji.

i ≠ j.

5. Spannungsvektor {U}: Die Elemente des Spannungsvektors Ui, i = 1,…,K-1 sind alle K - 1 unabhängigen Spannungen, d. h. die Spannungen längs der Baumzweige.

6. Stromvektor des Quellströme {IQ}: Die Elemente des Stromvektors Ii, i = 1,…,K-1, werden aus der

Summe aller Quellströme gebildet, die am betrachteten Knoten i angeschlossen sind: ► positives Vorzeichen, wenn der Strom in den Knoten hineinfließt ► negatives Vorzeichen, wenn der Strom aus dem Knoten herausfließt

11 12 1( 1) 1 Q1

21 22 2( 1) 2 Q2

( 1)1 ( 1)2 ( 1)( 1) ( 1) Q( 1)

Knoten 1 : Knoten 2 :

Knoten ( -1):

K

K

K K K K K K

G G G U IG G G U I

G G G U IK

Leitwertmatrix ist symmetrisch!

Tij jiG G G G

Der Index ,,T" steht für transponiert!

Schema zum Aufstellen einer Knotengleichung in Matrixform für ein Netzwerk mit K Knoten:


Beispiel 2.31: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Stromquelle

1 2 3

4 5 6

Q6

6 S, 8 S, 11S12 S, 4 S, 3 S23,5 A

G G GG G GI

Gegeben:

Leitwerte und Quellstrom

Bezugsknoten D:

Alle unabhängigen Spannungen, U1, U2, U3, zeigen von dem jeweiligen Knoten, A, B, C, auf den Bezugsknoten D

Lösung:

Bild 2.94. Dreimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle:(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 104, 2005])

Q6I1U

3 ?U 2U

A

B

C

6G

1G

3G

4G

5G

2GD

Gesucht:

Die Spannung U3 ist gesucht.

6G

1G 3G

4G 5G

2G

D

BA C

1U 2U 3 ?U

Q6I

Umzeichnung der Schaltung ergibt:



6G

1G 3G

4G 5G

2G

D

BA C

1U 2U 3 ?U

Q6I6G

1G 3G

4G 5G

2G

D

BA C

1U 2U 3 ?U

Q6I

z.B. Bezugsknoten D erden!

Ist z. B. bei der Schaltungssimulation mit SPICE erforderlich.

SPICE = Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis

•ElectronicsWORKBENCH - MultiSIM•OrCAD – Capture CIS


PSPICE – PC-Version von SPICE – CAD-Schaltungssimulation(SPICE = Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis)

PSPICE

www.orcad.com

OrCAD 9.1 Studentenversion

http://www.electronicsworkbench.com/

OrCAD 15.7 Demo CD

http://www.orcad.com/

http://www-ibt.etec.uni-karlsruhe.de/linette/pspice/download/91pspstu.exe

http://www-ibt.etec.uni-karlsruhe.de/linette/pspice/download/91pspstu.exe

http://www.electronicsworkbench.com/

http://www.flowcad.de/DemoCD.php

http://www.flowcad.de/DemoCD.php


PSPICE - OrCAD – Capture CIS Simulation - Schaltung


PSPICE - OrCAD – Capture CIS SimulationGleichstromanalyse (DC-Analyse) - Simulationsergebnisse



1 4 6 4 6 1 Q6

4 2 4 5 5 2

6 5 3 5 6 3 Q6

Knoten A: Knoten B: 0Knoten C:

G G G G G U IG G G G G UG G G G G U I

6G

1G 3G

4G 5G

2G

D

BA C

1U 2U 3 ?U

Q6I

Knoten-leitwert Kopplungsleitwert zum

Knoten B mit unabhängiger Spannung U2 ist G4

Kopplungsleitwert zumKnoten C mit unabhängiger

Spannung U3 ist G6



1 4 6 4 6 1 Q6

4 2 4 5 5 2

6 5 3 5 6 3 Q6



6G

1G 3G

4G 5G

2G

D

BA C

1U 2U 3 ?U

Q6I

Knoten-leitwert

Kopplungsleitwert zum Knoten A mit unabhängiger

Spannung U2 ist G4

Kopplungsleitwert zumKnoten C mit unabhängiger

Spannung U3 ist G5



1 4 6 4 6 1 Q6

4 2 4 5 5 2

6 5 3 5 6 3 Q6



6G

1G 3G

4G 5G

2G

D

BA C

1U 2U 3 ?U

Q6I

Knoten-leitwertKopplungsleitwert zum

Knoten A mit unabhängiger Spannung U1 ist G6

Kopplungsleitwert zumKnoten B mit unabhängiger

Spannung U2 ist G5



1

2

3

21S 12 S 3 S 23,5A12 S 24 S 4 S 09 S 12 S 54 S 70,5A

UUU

3. Gl. *3:

dann alle addieren, U3 bleibt übrig:

1 4 6 4 6 1 Q6

4 2 4 5 5 2

6 5 3 5 6 3 Q6



1

2

3

21S 12 S 3 S 23,5A12 S 24 S 4 S 03 S 4 S 18 S 23,5A

UUU

3 347 47V 1VU U Oder über Cramersche Regel!


Ende der Vorlesung

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