Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 12.01.2007 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 12.01.2007 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603

Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 12.01.2007 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 12.01.2007

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


3.2.3 Potenzialfunktion (S. 159, CW, 6. Aufl.)

Bestimmung der Feldstärke aus der Potenzialfunktion

d d d d

x y zx y z

x y z

E r E r e E r e E r e

s e x e y e z

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

x y ze e e

Orthonormale Basis, Einheitsvektoren:

1, 0, 0

0, 1, 0

0, 0, 1

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

: senkrecht

, ,x y ze e e

Eigenschaft:

ye

y

ze

xe

z

x

( , , )P x y z

Kartesisches Koordinatensystem; Einheitsvektoren

(vgl. Bild 3.11. in Clausert & Wiesemann [2005]

, ,x y ze e e

d dE r s r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

(3.13)

Es gilt:

d d d dx y z x y yx y zE r s E r e E r e E r e e x e y e z &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

d d d dx y zE r s E r x E r y E r z &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

1 0 0

0 1 0

0 0 1

d d d

d d d

d d d

x x x y x zx x x

y x y y y zy y y

z x z y z zz z z

E r e e x E r e e y E r e e z



d d dx y zE r x E r y E r z

differenzielles vektorielle Linienelementim Kartesischen Koordinatensystem


(3.13)

3.2.3 Elektrisches Potenzial (Potenzialfunktion) (S. 160, CW, 9. Aufl.)

Bestimmung der Feldstärke aus der Potenzialfunktion:

, , , , , ,d d d d

x y z x y z x y zr x y z

x y z

Vollständiges Differenzial

, , d , , d , , d , , dx y zE x y z s E x y z x E x y z y E x y z z &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

d dE r s r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

, ,, ,

, ,, ,

, ,, ,

x

y

z

x y zE x y z

xx y z

E x y zy

x y zE x y z

z

, , , , , ,

, , , , , ,

x y zx y z

x y z

E r E x y z e E x y z e E x y z e

x y z x y z x y ze e e

x y z

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Skalarprodukt

Relation

ElektrischerFeldstärkevektor

Koeffizientenvergleich


(3.15)

3.2.3 Elektrisches Potenzial (S. 160, CW, 9. Aufl.)


Feldstärkevektor

, , , , , ,, ,

, ,

x y z

x y z

x y z x y z x y zE x y z e e e

x y z

e e e x y zx y z

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

grad x y ze e ex y z

gradE r r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Gradient:

Gradient von : grad , , , ,x y zx y z e e e x y zx y z

Endformel

grad

Beachte: Nur in der Elektrostatik (ES) und Elektroquasistatik (EQS) gültig!

Der Gradient ist ein Operator, ein so genannter Differenzialoperator.

Der Gradienten-Operator ist ein Vektor!Der Gradienten-Operator ist ein Differentialoperator in der Vektoranalysis!

Vektoranalysis:

grad = Gradient div = Divergenz rot = Rotation

(3.14)




Gradient von

grad , , , ,x y zx y z e e e x y zx y z

Endformel zur Berechnung der elektrischen Feldstärke aus dem elektrischen Potenzial

Interpretation:

Der Gradient – grad – zeigt in die Richtung des stärksten (steilsten) Anstiegs.

Damit zeigt der negative Gradient – grad – in die Richtung des stärksten (steilsten) Abstiegs.

gradE r r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&



Der Nabla-Operator:

gradE r r r &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Der Nabla-Operator ist ein Vektor!

Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator in der Vektoranalysis!

x y ze e ex y z

Damit wird

(Der Nabla-Operator im Kartesischen Koordinatensystem)

Der (altgriechische) Name „Nabla“ stammt von William Robertson Smith (1846-1894), den die Form an eine antike Harfe erinnerte.

grad

Es gilt also

Vektoranalysis:

= Gradient

• = Divergenz

x = Rotation


Beispiel 3.2: Elektrisches Potenzial und elektrische Feldstärke (S. 160, CW, 9. Aufl.)

2 2 2( , , )x y z c x y c r

2 2( , , )x y zc x y

x x

Gegeben: Elektrisches Potenzial

Lösung:

Gesucht: Elektrische Feldstärke?

grad

( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

x y z

x y z

E r r

e e e x y zx y z

x y z x y z x y ze e e

x y z

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ?x y zx y zE x y z E x y z e E x y z e E x y z e &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

2 2

2 2

( , , )

2

( , , )

0

x y zc x y

y y

c y

x y zc x y

z z

2 c x

2 2c x c yx x

2

x

0




Lösung:

Gesucht: Elektrische Feldstärke

( , , )2

( , , )x

x y zc x

xE x y z

( , , ) 2 2

2

2 mit

x y

x y

x y

E x y z c x e c y e

c x e y e

c r r x e y e

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&


2 2

grad

grad

2 2

2

2

x y

x y

E r r

c x y

c x e c y e

c x e y e

c r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

2 2 2( , , )x y z c x y c r ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ?x y zx y zE x y z E x y z e E x y z e E x y z e &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

( , , )2

( , , )y

x y zc y

y

E x y z

( , , )0

( , , )z

x y z

zE x y z




Lösung:

2 2

grad

grad

2 2

2

2

x y

x y

E r r

c x y

c x e c y e

c x e y e

c r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

2 2 2( , , )x y z c x y c r

2 2 2( , , )x y z c x y c r

Interpretation:

Der Gradient – grad – zeigt in die Richtungdes stärksten Anstiegs.

Damit zeigt der negative Gradient - -grad – in die Richtung des stärksten Abstiegs.

Gesucht: Elektrische Feldstärke




2 2 2( , , ) ; mit 1x y z c x y c r c 2 2 2( , , ) ; mit 1x y z c x y c r c


2 2 2( , , )x y z c x y c r Gesucht: Elektrische Feldstärke




2 2 2( , , ) ; mit 1x y z c x y c r c

2 2 2( , , ) ; mit 1

( , , ) 2 2 x y

x y z c x y c r c

E x y z c x e y e c r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&






c = 1.0;

v = -2:0.2:2;[x,y] = meshgrid(v);Phi = 2.0 * c * (x.^2 + y.^2);

figure(1)pcolor(v,v,Phi);%shading flat;grid;colorbar;title('Phi = 2 * c * (x^2 + y^2), mit c = 1');

figure(2)colorbar;[px,py] = gradient(-Phi,.1,.1);contour(v,v,Phi,10);hold on;quiver(v,v,px,py);hold off;title('E = - grad Phi = - 2 * c * (x e_x + y e_y), mit c = 1');grid;

MATLAB-Programm

2 2 2( , , ) ; mit 1

( , , ) 2 2 x y

x y z c x y c r c

E x y z c x e y e c r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&






Gesucht: Elektrisches Potenzial

Es folgt:

Gegeben: Elektrische Feldstärke

1

2

2

2 2

2

d

d

2 d

2 d

2 d

r K

r E r s

E r r

c r r

c r r

c r r

c r K

c x y K

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

( , , ) ?x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2x y zx y zE x y z E x y z e E x y z e E x y z e c r &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Feldlinie

dr E r s &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&

1x ye e

ye

xex

y

E&&&&&&&&&&&&&&

yyE e

xxE e

x

y

Feldlinie

Integration von

entlang einer Feldlinie



2

2 2

r c r K

c x y K

?K

2

0,für 0

0

0

0

r

r c r K

K

0K

2

2 2

r c r

c x y

Es folgt:

Feldlinie

dr E r s &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&

Integration von

entlang einer Feldlinie

1x ye e

ye

xex

y

E&&&&&&&&&&&&&&

yyE e

xxE e

x

y

Feldlinie

Gesucht: Elektrisches PotenzialGegeben: Elektrische Feldstärke

( , , ) ?x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2x y zx y zE x y z E x y z e E x y z e E x y z e c r &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&


Beispiel 3.3: Richtung und Betrag des Gradienten (S. 161, CW, 9. Aufl.)

d grad d

grad d cos grad , d

r r s

r s r s

d 0r

auf einer Äquipotenzialfläche, entlang einer Äquipotenziallinie

grad 0

d 0

r

s

cos grad , d 0r s

Im allgemeinen gilt:

Damit muss also gelten:

grad d dr s E r s &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&

d 0r

( )r

1 2( ) ( )P P

ds

Feldlinie

Äquipotenziallinie

E r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

d d und grad E r s r E r r &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

r


Beispiel 3.3: Richtung und Betrag des Gradienten (S. 161, CW, 9. Aufl.)

1 2( ) ( )P P

ds

Feldlinie

Äquipotenziallinie d 0E r s ×

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

d 0E r s ×&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Bestimmungsgleichung für eine Feldlinie des elektrischen Feldstärkevektors

r

E r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

( )r


Beispiel 3.4: Wegunabhängigkeit vom Integral E-Punkt-ds: dB

A

E r s&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

mech d

B

A

W q E r s &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Lösung:

Eine Probeladung q wird im Feld der Punktladung Q bewegt.

Wie groß ist die Energieänderung?

0

24

Q rE r

r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

0

mech 2

0

2

d4

1d

4

B

A

B

A

Q rW q s

r

Qq r s

r

Bild 3.13. Verschiebung der Probeladung q im Feld der Punktladung Q(vgl. Bild 3.13. in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 162, 2005])

Q

A

B

Br

Ar

r

0r q dr

ds

E&&&&&&&&&&&&&&

Mit der elektrischen Feldstärke der Punktladung Q

folgt

Für die Energieänderung gilt bei der Bewegung der Punktladung q im elektrischen Feld der Punktladung Q


Beispiel 3.4: Wegunabhängigkeit vom Integral E-Punkt-ds:

0d dr s r

mech 2

1d ;

4

B

r A

QW q r

r

… Lösung:

ist der Zuwachs in r –Richtung (s. Bild 3.13) also dr

Eine Probeladung q wird im Feld der Punktladung Q bewegt.

Wie groß ist die Energieänderung? 0

mech 2

1d

4

B

r A

QqW r s

r

2

1 1d

BB

r Ar A

rr r

mech

1 1 1

4 4

1 1

4

B

A B A

A B

Q QW q q

r r r

Qq

r r

dB

A

E r s&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&


Q

A

B

Br

Ar

r

0r q dr

ds

E&&&&&&&&&&&&&&


Beispiel 3.4: Wegunabhängigkeit vom Integral E-Punkt-ds:

mech

1 1

4 A B

QW q

r r

… Lösung:

Ergebnis ist vom Weg unabhängig!Es hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab!

dB

A

E s&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&


Q

A

B

Br

Ar

r

0r q dr

ds

E&&&&&&&&&&&&&&


3.3 Die Erregung des elektrischen Feldes (S. 162, CW, 6. Aufl.)3.3.1 Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 6. Aufl.)

: elektrische Verschiebungsdi h e c tD&&&&&&&&&&&&&&

: elektrische Flussdi chteD&&&&&&&&&&&&&&

Veraltete Bezeichnungen die im Buch verwendet

werden:

Aktuelle Bezeichnungen nach DIN 1324

„Elektromagnetisches Feld“

: Permitti t vitä

... „Zustandsgrößen“

... „Materialgrößen“

: Dielektrizitätskonst ante

:r relative Dielektrizitätskonst e ant :r Permittivitätszahl

(relative Permittiv )

ität

Wichtiger Kommentar zum Buch vonClausert und Wiesemann:


3.3 Die Erregung des elektrischen Feldes (S. 162, CW, 6. Aufl.)3.3.1 Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 6. Aufl.)

Elektrische Feldstärke einer Punktladung Q

Abhängigkeit vom Material

D r E r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Elektrische Flussdichte

(alt: elektrische Verschiebungsdichte)

0

2 34 4

Q r Q rE r

r r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

(3.16)

Die elektrische Flussdichte ist

materialunabhängig: D ≠ f (ε)

(3.4)

Materialunabhängige Größe durch Multiplikation von mit :Q

x

y

z &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&E r

r

0r r r

Ortsvektor

Betrag(gibt die Länge an!) Einheitsvektor

(gibt die Richtung an!)

E&&&&&&&&&&&&&&

Z.B. fürPunktladung:

0

2 34 4

Q r Q rD r

r r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

(3.17)

Z.B. fürPunktladung:

Die elektrische Feldstärke ist

materialabhängig: E = f (ε)


3.3.1 Die elektrische Flussdichte (alt: Verschiebungsdichte) (S. 162, CW, 9. Aufl.)

As

m

1

:

:0

elektrische Ladung

Betrag vom Ortsvektor (Abstand)

Ortsvektor

:

Q

r

r

2

01

4

Qr

rD

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3.4)

22

As

m

QD

r

Einheit von D ?

Materialgleichung

Einheit von ε ?

2

As:

mV

:m

elektrische Flussdichte

elektrische Feldstärke

D

E

(3.16)&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&D E

2As/m As V/m Vm

DE

:Permittivität (alt: Dielektrizitätszahl)

Elektrische Flussdichte einer Punktladung Q



Speziell: Material = Vakuum

Permittivität des Vakuums = elektrische Feldkonstante12Vak 0

As8,854 10

Vm

(3.16)0 r

Allgemein gilt für isotrope Materialien:

elektrische Feldkonstante(Permittivität des Vakuums)

Relative Permittivität

Permittivität


Material

Bakelit 6

Bariumtitanat 1000…4000

Bernstein 2,8

Epoxidharz 3,7

Fernsprechkabelisolation (Papier, Luft) 1,6…2

Glas 10

Glimmer 8

Gummi 2,6

Kautschuk 2,4

Luft, Gase 1

Mineralöl 2,2

Papier, chlorophen. 5,4

Papier, paraffin. 4

Pertinax 5

Polyäthylen 2,3

Polystyrol 2,5

Polyvinylchlorid (PVC) 3,1

Porzellan 5,5

Starkstromkabelisolation (Papier, Öl) 3…4,5

Transformatorenöl 2,5

Wasser 80

Tabelle 3.1: Relative Permittivitäten (relative Dielektrizitätskonstanten)

rr

Bariumtitanat:ferroelektrisches Material,

piezoelektrisch!

•piezoelektrische Sensoren

•piezoelektrische Aktoren



Materialgleichung:

0 r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&D E

D zeigt immer in die gleiche Richtung wie E, nur der Betrag ändert sich

(3.16)

•Isotrope Materialien Richtungsunabhängige Materialeigenschaften! z. B. Luft, Wasser ...

0 r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

D E

D kann in eine andere Richtung als E zeigen und der Betrag ändert sich

•Anisotrope Materialien Richtungsabhängige Materialeigenschaften! z. B. Kristalle, piezoelektrische Keramiken ...

D D E&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&



Calcit, auch Kalzit oder Kalkspat, ist ein sehr häufig vorkommendes Mineral aus der Mineralklasse der wasserfreien Carbonate ohne fremde Anionen

Anisotrope Materialien -> Optik: Doppelbrechung am Calcit



•Anisotrope Materialien: Piezoelektrisches Material

0 r

D D E

E

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&

Pz27

r 755,22

755,22

912,52

755,22 0 0

0 755,22 0

0 0 912,52

x x

y y

z z

e e

e e

e e

Piezoelektrischer UltraschallsensorPiezoelektrische Keramik: Pz27

:r Permittivitäts-

dyade = Tensor

zweite

r Stufe



Die elektrische Polarisation

0 r

0

D r E r

E r

D r E r P r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& elektrische Polarisation

0 r

0 r 0 0

0 0 r 0

0 r 01

P r

D r E r

E r E r E r

E r E r E r

E r E r

&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

2

As

mP r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Ableitung der elektrischen Polarisation als Funktion der elektrischen Feldstärke

elektrische Flussdichte elektrische

Flussdichtein Vakuum

r 01P r E r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

elektrische Polarisationim Material

r 01 0P r E r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Vakuum: r 1

Vak 0 0

0

D r E r P r E r

&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

0/ E r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

0

2 34 4

Q r Q rE r

r r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&


x

y

z

3.3.2 Der Gaußsche Satz der Elektrostatik (S. 163, CW, 9. Aufl.)

r

Kugel Kugel: A

Q

Elektrische Flussdichte (Verschiebungsdichte) im Abstand r von einer Punktladung Q

24

QD r D r

r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

24Q r D r

interpretiert als elektrischer Fluss

e Q

umgestellt

hier auf Kugelfläche

0

24

QD r r

r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

D r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

const. const.r D



A

e D A

2

e

2

const.1

A r

Dr

Elektrischer Teilfluss durch Flächenelement

Q

r

e

Q

2r1r

e

e

2

Kugel

4A

Q r D r

Teilfluss ist unabhängig vom Radius r

… als Produkt von D und A



e cos

cos ,

D A

D A D A

D A

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

AWenn nicht senkrecht auf D gilt

D&&&&&&&&&&&&&&

A&&&&&&&&&&&&&& A

cosA

e

D&&&&&&&&&&&&&&

cosA

e

e

Q

Bild 3.14. Zur Herleitung von Gl. (3.20)(vgl. Bild 3.13. in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 164, 2005])

beliebigeHüllfläche

vergrößerteDarstellung

1r 2r

A&&&&&&&&&&&&&&



e

1 1 2 2

k k

k

Q

D A D A

D A

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

e dA

Q D A &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

demnach nicht nur für Kugelfläche gültig!

d A&&&&&&&&&&&&&&

Hüllenintegral ( nach außen positiv)

0lim

kA &&&&&&&&&&&&&&Grenzübergang

D&&&&&&&&&&&&&&

A&&&&&&&&&&&&&& A

cosA

e

D&&&&&&&&&&&&&&

cosA

e

e

Q

Bild 3.14. Zur Herleitung von Gl. (3.20)(vgl. Bild 3.13. in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 164, 2005])

beliebigeHüllfläche

vergrößerteDarstellung

1r 2r

A&&&&&&&&&&&&&&

(3.20)


Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld, seine Quellen sind die elektrischen Ladungen!

Hüllintegral, Oberflächenintegral, geschlossenes Flächenintegral

dA

Q D r A&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

( zweidimensionales Integral ) d

AQ D r A

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

… Zweifachintegral, Doppelintegral …… zwei Integralzeichen …

Gaußscher Satz der Elektrostatik:

Der elektrische Fluss der elektrischen Flussdichte durch eine beliebig geschlossene Fläche A

ist gleich den von der Fläche eingeschlossenen Ladungen.

e ( ) d ( ) dA

A

D r A D r A &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Hüllfläche offen: Wenn die Hüllfläche nicht geschlossen ist:

(3.21)

e ( ) d ( ) dA A

D r A D r A Q &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Hüllfläche geschlossen: Wenn die Hüllfläche geschlossen ist gilt:



d Richtung D A r &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Kugel

( ) d ( ) dA A

Q D r A D r A &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

Berechnung der elektrischen Flussdichte um eine Punktladung direkt mit dem Gaußschen Satz.

1. Hülle wird als konzentrische Kugelschale

zur Punktladung Q gewählt

x

y

z

r

Kugel Kugel: A

Q

D r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

2. Aus Symmetriegründen ist die elektrische

Flussdichte D auf der Kugelschale überall gleich

3. Die elektrische Flussdichte steht senkrecht auf der Kugelfläche,

liegt also auf der Kugelschale parallel zum Flächenvektor und zwar in radiale Richtung ( r – Richtung )

Kugel Kugel

( ) d ( ) dA A

Q D r A D r A &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

( ) ( )D r D r&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

KugelA A

2

1

( ) d ( ) ( , ) ( , ) d ( ) d ( ) sin d dr rr r rD r A D r e e A D r A D r r

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

dA&&&&&&&&&&&&&&

( )D r&&&&&&&&&&&&&&



Kugel

Kugel

20

22

0 0

22

0 0

2

1 1

2

2

0

2

cos

( ) d

( ) d

( ) sin d d

( ) d sin d

( ) 2 cos cos0

4

r

A

r

A

r

r

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Ende der Vorlesung

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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 12.01.2007 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 12.01.2007 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603