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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 16.01.2007
Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 2
Feldbeschreibung: Koordinatensysteme
Die Angabe einer Feldgröße als Funktion des Raumpunktes kann erfolgen
► allgemein koordinatenfrei durch einen Ortsvektor ( z. B. ). Vorteil: nicht an ein spezielle Koordinatensystem gebunden.
► in einem speziellen Koordinatensystem z.B. kartesisch, zylindrisch und sphärisch Zur Lösung spezieller Problemstellungen notwendig.
Koordinatensysteme (KOS):
► Kartesisches Koordinatensystem mit den Koordinaten x, y, z
► Zylinderkoordinatensystem mit den Koordinaten ρ, φ, z
► Kugelkoordinatensystem mit den Koordinaten r, , φ
r
e ( ), ( )r F r22222222222222222222222222 22
xy
z
xe
ye
ze
z
x
( )e
e
ze
y
, ,x y z , , z
y
z
x
e
,re
,e
, ,r
r
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 3
Feldbeschreibung: Koordinatensysteme
Bild. Ein Plattenkondensator aus zwei parallelen Platten
Bild. (a) Ein Zylinderkondensator. (b) Die elektrische Feldstärke
zwischen dem inneren und äußeren Zylinder a < r < b
Bild. (a) Kugelkondensator aus zwei konzentrischen Kugelschalen der Radien
a und b. (b) Gaußsche Oberfläche zur Berechnung der elektrischen Feldstärke
a
b
bGaußscheOberfläche
U Q
Q a
r
LL
d Q
Q
A
b
a
ba
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 4
Koordinatensysteme (KOS): Kartesisches Koordinatensystem
x
y
z
r
xe
ye
ze
xx e
x y zr x e y e z e
yy e
zz e
P
Orthonormale Einheitsvektoren
x
y
z
e
e
e
Koordinaten
x xy yz z
Grenzen
Ortsvektor
: Zeichen
für senkrecht
x y ze e e
1x y ze e e
Orthonormal heißt, dass alle Einheitsvektoren senkrecht aufeinander stehen und die Länge Eins haben:
xe
ye
ze
OrthonormalesDreibein
r
xx e
yy e
zz e
Aufpunkt: P
Vektoraddition:
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 5
Koordinatensysteme (KOS): Zylinderkoordinatensystem
Orthonormale Einheitsvektoren
z
e
e
e
Koordinaten
0 0 2 z z
Grenzen
: Zeichen
für senkrecht
ze e e
1ze e e
Orthonormal heißt, dass alle Einheitsvektoren senkrecht aufeinander stehen und die Länge Eins haben:
e
e
ze
OrthonormalesDreibein
Aufpunkt: P
x
y
z
r
e
e
ze
e
zr e z e
zz e
P
Ortsvektor
r
e
zz e
Vektoraddition:
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 6
Koordinatensysteme (KOS): Kugelkoordinatensystem
x
y
z
r
e
,rr r e
P
Orthonormale Einheitsvektoren
re
e
e
Koordinaten
0 0 0 2
r r
Grenzen
Ortsvektor
: Zeichen
für senkrecht
re e e
1re e e
Orthonormal heißt, dass alle Einheitsvektoren senkrecht aufeinander stehen und die Länge Eins haben:
OrthonormalesDreibein
,r
r
r e
Aufpunkt: P
,re
,e
,re e
,e
r
,re
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 7
Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen (KOS):
x
y
z
r
xe
ye
ze
xx e
x y zr x e y e z e
yy e
zz e
P
Ortsvektor
r
xx e
yy e
zz e
Kartesisches Koordinatensystem
x
y
z
r
e
ze
e
zr e z e
zz e
P
Ortsvektor
r
e
zz e
y
z
r
e
,rr r e
P
Ortsvektor
,r
r
r e
,re
,e
x
Zylinderkoordinatensystem Kugelkoordinatensystem
r
e
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 8
Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen (KOS):
x
y
z
r
xe
ye
ze
x y zx y zA A e A e A e 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222
P
Beliebiger Vektor
Kartesisches Koordinatensystem
x
y
z
r
e
e
ze
P
y
z
r
e
P
,re
,e
x
Zylinderkoordinatensystem Kugelkoordinatensystem
zzA A e A e A e 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222Beliebiger Vektor
, ,rrA A e A e A e 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222Beliebiger Vektor
- Transformation der Koordinaten
- Transformation der skalaren Vektorkomponenten
- Linen-, Flächen- und Volumenelemente
, , , , , , , ,x y z z r
, , , , , , , ,x y z z rA A A A A A A A A
d , d , ds A V2222222222222222222222222222
A22222222222222
A22222222222222
A22222222222222
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 9
KugelkoordinatenZylinderkoordinatenKartesische Koordinaten
x
y
z
cos
sin
z
sin cos
sin sin
cos
r
r
r
2 2
arctan
x y
y
xz
z
sin
cos
r
r
2 2 2
2 2
arctan
arctan
x y z
x y
z
y
x
2 2
arctan
z
z
r
Umrechnungstabelle -Koordinatentransformation
z
y
x
r
Koordinaten verschiedener Koordinatensysteme
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 10
cos sin cosx r
1. Formuliere x als Funktion der Zylinder- und Kugelkoordinaten.
2. Formuliere ρ als Funktion der Kartesischen und Kugelkoordinaten.
3. Formuliere als Funktion der Zylinderkoordinaten.
2 2 sinx y r
2 2 2 2 2 2
1
( cos ) ( sin ) cos sinx y
2 2x y
Beispiele
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 11
Koordinaten verschiedener Koordinatensysteme
y
x
e
e
xe
ye
xe
ye
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
x x y y
x y
x x x y
x y
e e e e e e e
e e
e e e e e e e
e e
0
z z
zr
z
z
r r e e r e e r e e
r e z e
z e
2222222222222222222222222222
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 12
Koordinaten verschiedener Koordinatensysteme
y
x
e
e
xe
ye
xe
ye
0
z z
zr
z
z
r r e e r e e r e e
r e z e
z e
2222222222222222222222222222
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
x x x
y y y
e e e e e e e
e e
e e e e e e e
e e
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 13
Kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
x y zx y zA A e A e A e 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222
zzA A e A e A e 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222
rrA A e A e A e 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222=
x
y
z
A
A
A
cos sin
sin cos
z
A A
A A
A
sin cos cos cos sin
sin sin cos sin cos
cos sin
r
r
r
A A A
A A A
A A
cos sin
sin cos
x y
x y
z
A A
A A
A
z
A
A
A
sin cos
cos sin
r
r
A A
A
A A
sin cos sin sin cos
cos cos cos sin sin
sin cos
x y z
x y z
x y
A A A
A A A
A A
sin cos
cos sin
z
z
A A
A A
A
rA
A
A
Umrechnungstabelle - Komponententransformation
Skalare Vektorkomponenten in verschiedenen Koordinatensystemen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 05/06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 14
Beispiel: Koordinatentransformation des Ortsvektor
, ,, , , , zx y
x y zr x y zr x y z r x y z
r x e y e z e
Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem
( , , , , , ) cos sin( , , , , , ) sin cos( , , , , , )
x y z x y
x y z x y
z x y z z
r z r r r r rr z r r r r rr z r r r r
( , , ) ( , , ) cos( , , ) ( , , ) sin( , , ) ( , , )
xy
z
r z x zr z y zr z z z z
, ,, , , ,
cos sinzx y
x y zr zr z r z
r e e z e
Transformation der Koordinaten
Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als Funktion der Zylinderkoordinaten
Transformation der skalaren Vektorkomponenten
2 2
1
cos cos sin sin
(cos sin )
cos sin sin cos 0
z z
r
r
r r
( )
( )
z
zrr
z
r e z e
ze
2222222222222222222222222222
Ortsvektor in dem Zylinderkoordinatensystem
( , , , , , )
, , ( ) , , ( ) , ,
z
zz
r z r r r
r z e r z e r z e
?Ortsvektor im Zylinderkoordinatensystem
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 15
Kartesisches Koordinatensystem: Koordinatenflächen, Einheitsvektoren, Flächenelemente und Volumenelement
xe
ze
( , , )P x y z
const.z
const.y
const.x
d d dxy zA e x y2222222222222222222222222222
xe ye
ze
d d dxz yA e x z2222222222222222222222222222
d d dyz xA e y z2222222222222222222222222222
z
x
y
z
x
y
dxdy
dV
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 16
Zylinderkoordinatensystem: Koordinatenflächen, Einheitsvektoren, Flächenelemente und Volumenelement
e
( )e ze
const.z
const.
const.
d
d d
zA
e z
22222222222222
d
d dz
A
e
22222222222222
d
d d
zA
e z
22222222222222
d d
( , , )P z
z
x
y
d z
z
x
y
dV
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 17
Kugelkoordinatensystem:Koordinatenflächen, Einheitsvektoren, Flächenelemente und Volumenelement
const. const.r
,e
( )e
,re
d
d d
rA
e r r
22222222222222
2
d
sin d dr
A
e r
22222222222222
d
sin d d
rA
e r r
22222222222222
sin d r
sinr
d r
( , , )P r
d r
z
x
y
z
x
y
const.
dV
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 18
Metrische Koeffizienten
Kartesisches Koordinatensystem 1
1
1
x
y
z
h
h
h
Zylinderkoordinatensystem 1
1z
h
h r
h
Kugelkoordinatensystem 1
sin
rh
h r
h r
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 19
Metrische Koeffizienten – Zylinder- und Kugelkoordinatensystem
ze
re
er
dR
+dr r2222222222222 2
dd z
d
d
d d
r
z
sinr d r
+R dR
x
r
y
dR
d
d
dr
sin dr
d
r
dr22222222222222
dr22222222222222
dr r2222222222222 2
ze
e
re
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 20
Metrische Koeffizienten und vektorielle differenzielle Linienelemente
Kartesisches Koordinatensystem
1, 1, 1x y zh h h
Zylinderkoordinatensystem Kugelkoordinatensystem
1, , 1zh h r h 1, , sinrh h r h r
d d
d
d
d d
d
d
d d
d
d
z
z z
z
s s s
e h
e
s s s
e h
e
s s s
e h z
e z
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
d d
d
d
d d
d
d
d d
d
sin d
r
r r
r
s s r
e h r
e r
s s s
e h
e r
s s s
e h
e r
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
d d
d
d
d d
d
d
d d
d
d
x
x x
x
y
y y
y
z
z z
z
s s s
e h x
e x
s s s
e h y
e y
s s s
e h z
e z
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
Metrische Koeffizienten
Vektorielle differenzielle Linienelemente entlang Koordinatenlinien
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 21
Metrische Koeffizienten und differenzielle Volumen- und Flächenelemente
Kartesisches Koordinatensystem
1, 1, 1x y zh h h
Zylinderkoordinatensystem Kugelkoordinatensystem
1, , 1zh h r h 1, , sinrh h r h r
d d d d
d d d
d d d
d d
( ) d d
d d
d d
( ) d d
d d
d d
( ) d d
d d
z
z
z
z z
z
z z
z
V h h h z
h h h y
z
A n A
e e h h z
e y z
A n A
e e h h z
e z
A n A
e e h h
e
×
×
×
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
2
2
d d d d
d d d
sin d d d
d d
( ) d d
sin d d
d d
( ) d d
sin d d
d d
( ) d d
d d
r
r
r
r
r r
r
r r
V h r h h
h h h r
r r
A n A
e e h h
e r
A n A
e e h h r
e r r
A n A
e e h h r
e r r
×
×
×
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
d d d d
d d d
d d d
d d
( ) d d
d d
d d
( ) d d
d d
d d
( ) d d
d d
x y z
x y z
yz
y z y z
x
xz
z x x z
y
xy
x y x y
z
V h x h y h z
h h h x y z
x y z
A n A
e e h h y z
e y z
A n A
e e h h x z
e x z
A n A
e e h h x y
e x y
×
×
×
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
2222222222222222222222222222
Metrische Koeffizienten
Differenzielle Volumenelemente
Vektorielle differenzielle Flächenelemente der Koordinatenflächen
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 22
Elektrische Feldstärke einer Punktladung in unterschiedlichen Koordinatensystemen
0
2
3
32 2 2
32 2
3
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1,
4
1,
4
x y z
z
r
r
QE r r
r
Qr
r
Qxe ye ze
x y z
Qe ze
z
Qre
r
Qe
r
222222222222222222222222222222222222222222
0
,r
r r r
r e
x
y
z
E r2222222222222222222222222222
r
Ortsvektor
Q
Elektrische Feldstärke am Punkt P
Radialfeld
( ) ( , , )
( , , )
( , , )
P r P x y z
P z
P r
0
2
2
1
4
1,
4r
QE r r
r
Qe
r
222222222222222222222222222222222222222222
0
, !rr e
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 16.01.2007 23
Ende der Vorlesung
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