Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 26.01.2007 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 26.01.2007 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603

Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 26.01.2007 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 26.01.2007

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


3.6.3.2 Kugelkondensator (S. 175, CW, 9. Aufl.)

2 2

1

4 4r r

Q QD E

r r

1. Schritt: Analyse des Feldverlaufes Kugelsymmetrie, also auf konzentrischer Kugelfläche um Ladung Q

2. Schritt: Ladung annehmen, elektrische Flussdichte und elektrische Feldstärke bestimmen

Kugelkondensatorgleiche Feld- und Potenzialverteilung wie bei der Punktladung

Potenzial und Feldstärke konstantauf Kugelschalen!

Q

Q

Q2r

12

3

Bild 3.24. Kugelkondensator; gleiche Feld- und Potenzialverteilung wie bei der Punktladung(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.24, S. 175, Bd. 1)

1r

2r

Bestimmung der Kapazität eines Kugelkondensators

, ,r rr rD r D r D r e E r E r E r e ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,



22 2

1 2

11 1

2

, 2 21 21

1 1 1 1 1 ( ) d d d

4 4 4 4

rr rr

PB r r rr rr r r r r r

Q Q Q QU U E r r r r

r r r r r

1 2

1 2KK

, 2 1

1 2

44

1 1r r

Q r rC C

U r rr r

2 2 2

1 2 1 2 12 1

112 12

22

lim 4 4 lim 4 lim 411

r r r

r r r r rr C r

rrr r rrr

3. Schritt: Spannung zwischen Elektroden durch Integration

Kapazität einer Kugel gegen die sehr weit entfernte Umgebung:

Kapazität eines Kugelkondensators mit dem Innenradius r1 und dem Außenradius r2:

(KK: Kugelkondensator)1 2KK

2 1

4r r

C Cr r

(3.33)

1 0r rmit folgt für die Kapazität einer Kugel mit dem Radius r0

(KK: Kugelkondensator)

K 04C C r (3.34) (K: Kugel)



Q

Q

Kapazität einer Kugel mit dem Radius rgegen Unendlich:

1r

2r

Kapazität eines Kugelkondensators mit dem Innenradius r1 und dem Außenradius r2:

(KK: Kugelkondensator)

1 2KK

2 1

4r r

C Cr r

(3.33) K 04C C r (3.34)

(K: Kugel)

Q

2

im Unendlichen

mit

Q

r

0r


Beispiel 3.7 Kugelkondensator maximaler Kapazität (S. 176, CW, 9. Aufl.)

0 r maxEGegeben: Kugelkondensator mit Radien a und r, zwischen den Elektroden ein Dielektrikum mit

, das eine Durchschlagfeldstärke von

Gesucht: Wie ist der Radius r zu wählen, damit bei vorgegebener Spannung U

am Kondensator die Kapazität C einen maximalen Wert hat, ohne dass

die Durchschlagfeldstärke Emax überschritten wird?

besitzt.

0 r

a

rBild zu Beispiel 3.7. Kugelkondensator mit den Radien a und r



maxmax 2

2max max

4

4

QE

a

Q E a

max

2max

2max

max

2max

max

1 1

4

1 1

QU

a r

E aa r

E aU E a

r

E aE a U

r

Spannung zwischen Elektroden:

bei kleinstem Radius, d.h. Innenradius a

Lösung: max2 2

1

4r

QE r E r E

r r

0 r

a

rBild zu Beispiel 3.7: Kugelkondensator mit Radien a und r

2max max 4Q E a

max

1 1 /1

U a

r a E

2max max

max max

maxmax

/11

E a E a a ar

U aE a U E a UEE a

max

/1

ar

U aE

2max

max

E aE a U

r

max2max

max

1 1

1 /1

E a Ur E a

U a

a E

Bild zu Beispiel 3.7. Kugelkondensator mit den Radien a und r

Lösung: Berechnung des Radius



max

max

41 1

4

1 1 /1

4

1 /1 1

C

a r

U aa a E

U aa E

Mit diesem r die maximale Kapazität ausrechnen

0 r

a

rBild zu Beispiel 3.7: Kugelkondensator mit Radien a und r

max

1 1 /1

U a

r a E

max

/1

ar

U aE

max

1 1 /1

U a

r a E

max

2 max

41 /

4

CU a

a E

Ea

U

2 max4E

C aU

oder

Ergebnis: Maximale Kapazität:

Lösung: Berechnung der maximalen Kapazität

Bild zu Beispiel 3.7. Kugelkondensator mit den Radien a und r

Lösung für den Radius:


3.6.3.3 Koaxialkabel - Zylinderkondensator (S. 176, CW, 9. Aufl.)

2 21, 2 1 2

1

ln2

U

Potential aus Analogie zum Linienleiter:

(Feldverlauf im Inneren identisch zu dem eines Linieleiters

-> Äquipotenzialflächen entsprechen hier den

Leiteroberflächen, haben also gleiche Feldeigenschaften)

Kapazität pro Länge:

/C Q lC

l U U

also

2

1

2

ln

C

Generell ist die Kapazitätsberechnung sehr leicht, wenn die Potenziale ,

an der inneren und äußeren Elektrode bekannt sind:

QC

bzw. C

3

1

C C l

ZK

2

1

2

ln

lC C

Bild 3.25a. Koaxialkabel(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.25a, S. 176)


Lösungsmethodik „Kapazitätsberechnung“

Q

dA

Q D A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, d d

B

ABAL

E s E s U ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Probeladung

D Q,,,,,,,,,,,,,,

DE

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

E Q,,,,,,,,,,,,,,

ABU

AB

QC

U Q

C

Q l 1

2

QD

l

Probeladung

dA

Q D A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

DE

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

1

2

QE

l

d dB

ABAL

E s E s U ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

2

1

ln2AB

QU

l

AB

QC

U Q

2

1

2

ln

lC

Beispiel: Kapazität eines Koaxialkabels oder Zylinderkondensators

Allgemeine Vorgehensweise bei der Kapazitätsberechnung


Beispiel 3.8 Koaxialkabel mit geschichteten Dielektrikum (S. 177, CW, 9. Aufl.)

2

Gegeben: Koaxialkabel mit geschichtetem Dielektrikum,

zwei Schichten (siehe Bild 3.25b)

3

1

2

1Gesucht: 1. Kapazität des Kabels.

Feldlinienverlauf wird durch Materialwechsel NICHT

verändert -> bei vorgegebener Ladung -> D unverändert

-> E über ε

Elektrische Linienladung λ auf innerer Elektrode annehmen:

32

1 21 2

2 3

1 1 2 2

1 1d d

2 2

1 1ln ln

2

U

32

1 1 2 2

2

1 1ln ln

CU

Kapazität pro Länge:

Spannung:

1. Berechnung der Kapazität des Kabels

Bild 3.25b. Koaxialkabel mitgeschichtetem Dielektrikum(vgl. Clausert & Wiesemann [2005], Bild 3.25b, S. 177)

Lösung:


Beispiel 3.8 Koaxialkabel mit geschichteten Dielektrikum (S. 177, CW, 9. Aufl.)

2



3

1

2

1

Gesucht: 2. Wie groß sind die maximalen Feldstärken in jedem Dielektrikum?

Lösung:

Maximalwerte bei den jeweils kleinsten Radien 1 2,

1

2E

Siehe Feldstärkeverlauf bei der Linienladung

->1

E

1 11 12

E

2 22 22

E

2. Berechnung der maximalen Feldstärken in jedem Dielektrikum



Beispiel 3.8 Koaxialkabel mit geschichtetem Dielektrikum (S. 177, CW, 9. Aufl.)

2



3

1

2

1 Gesucht: 3. Wie muss

Lösung:

2 gewählt werden, damit beide Feldstärken aus 2. gleich sind?

1 1 2 2E E für 1 1 2 2

also1

2 12

sofern 1 2

1 11 1

,2

E

2 2

2 22E

2 1 damit ist

1 2 2 1 führt auf

3. Berechnung von ρ2 damit beide Feldstärken aus 2. gleich sind



Zusammenfassung: Platten-, Zylinder- und Kugelkondensator und Kugel

1 2, 1 2

2

1

ln2

U

ZK

2

1

2

ln

lC C

1

2

l

d Q

Q

A

1r

2r

U

1

2E

1ln

2

0dU d

Qd

A

PK

Q AC C

U d

z

QE z

A

Qz z

A

1 2, 1 2

1 2

1 1

4

r rU r r

Q

r r

KK

1 2

4

1 1C C

r r

2

1

4r

QE r

r

1

4

Qr

r

0r

0 1

0 V

0

1

4

rU r r

Q

r

K 04C C r

2

1

4r

QE r

r

1

4

Qr

r

Q

l

Plattenkondensator Zylinderkondensator Kugelkondensator Kugel

z r r

Q

Q Q

im Unendlichen

mit

Q

r


Ende der Vorlesung

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