Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern

8/18/2019 Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern

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Brandenburgische Technische

Universität Cottbus - Senftenberg

Bachelorarbeit

Dynamische Kartellstabilität beidiff erenzierten Gütern

Autor, Matrikelnummer,Studiengang:

Peter Lehe

2829253Betriebswirtschaftslehre

Betreuer:

Dipl. Vw. Sören C. Schwuchow

Prof. Dr. Athanassios Pitsoulis

Cottbus, den 27. Oktober 2013


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INHALTSVERZEICHNIS I

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis II

Tabellenverzeichnis III

Symbolverzeichnis IV

1 Einleitung 1

2 Heterogene Güter 2

2.1 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Duopol . . . . . . . . . . 4

2.2 Bertrand-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Cournot-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Oligopol . . . . . . . . . . 11

2.5 Bertrand-Oligopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Cournot-Oligopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.7 Monopole auf getrennten Märkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Kartelle 21

3.1 Mengenkartelle im Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Preiskartelle im Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Aussicht 35

5 Fazit 36

Quellenverzeichnis VI


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ABBILDUNGSVERZEICHNIS II

Abbildungsverzeichnis

1 Preisreaktionsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Mengenreaktionsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Gewinnmaximaler Preis und Konkurrentenverhalten . . . . . . . . . 13

4 Preisreaktionsfunktion eines Oligopolisten . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Nashgleichgewicht im diff erenzierten Preiswettbewerb . . . . . . . . 14

6 Gewinnmaximale Menge und Konkurrentenverhalten . . . . . . . . 17

7 Mengenreaktionsfunktion eines Oligopolisten . . . . . . . . . . . . . 18

8 Nashgleichgewicht im diff erenzierten Mengenwettbewerb . . . . . . 189 Symmetrisches Cournot-Kartell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


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TABELLENVERZEICHNIS III

Tabellenverzeichnis

1 Auswirkung von steigendenden γ und n auf den Wettbewerb . . . . 202 Auszahlungsmatrix im Cournot-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Auszahlungsmatrix im Bertrand-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . 33


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SYMBOLVERZEICHNIS IV

Symbolverzeichnis

Variablen und Parameter

U Nutzenfunktion

α Niveauparameter

β Steigungsparamter

γ Maß für die Substituierbarkeit von Gütern

Q aggregierte Marktnachfrage

q Nachfrage

p Preis

Π Gewinn

E Erlös

C Kosten

c Grenzkosten

n Anzahl Firmen am Markt

δ Diskontfaktor

i Diskontzinssatz


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SYMBOLVERZEICHNIS V

Indizies

i Firma i

j Firma j

R Reaktion

W Wettbewerb

B Bertrand-Wettbewerb

C Cournot-Wettbewerb

M Monopol

k Kartell

ch „cheater“ – betrügende Firma

v „victim“ – betrogene Firma

cc „collectively cheat“ – gegenseitiger Betrug

t Zeitpunkt


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1 Einleitung 1

1 Einleitung

Jede Handlung eines menschlichen Individuums unterliegt der persönlichen Nut-zenmaximierung. Von der Annahme ausgehend, dass dieser Nutzen vollständig in

Geldeinheiten ausgedrückt werden kann, ist das oberste Ziel eines Unternehmens

die Gewinnmaximierung. Demzufolge ist jedes Unternehmen bemüht auf seinem

Markt die gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination anzubieten. Diese ist je-

doch von einer Vielzahl verschiedener Kenngrößen abhängig, welche bereits größ-

tenteils und ausführlich in anerkannten Arbeiten von Ökonomen und Mathema-

tikern betrachtet wurden. Zu den wichtigsten Einflussfaktoren zählen hier nebender Art des Wettbewerbs, der Art der angebotenen Güter auf dem Markt und de-

ren Substitutionsbeziehungen auch die Zahl der Marktteilnehmer und besonders

deren Auswirkungen auf kooperatives Verhalten der Anbieter. Doch auch für den

Nutzen, den die Nachfrager aus dem Konsum verschiedener Produkte genießen,

gibt es unterschiedliche Ansätze. Hierbei unterstellen beispielsweise Dixit (1979)

und Shubik (1980) den Kunden einen Nutzen, der sich mathematisch mittels einer

konkaven quadratischen Funktion darstellen lässt.Wenn sich nun rechtlich selbstständige, voneinander unabhängige Unternehmen

entschließen gemeinsam mit dem verbleibenden Markt zu konkurrieren, also mit-

tels Kartellverträgen oder kollusivem Verhalten kooperieren, führt dies zu höheren

Gewinnen für die an der Absprache beteiligten Mitglieder im Vergleich zu den

Gewinnen, die sie im Wettbewerb erzielt hätten. Es ist nun zu prüfen, wie sich die

genannten Einflussgrößen auf die Stabilität einer solchen Absprache im dynami-

schen Wettbewerb auswirken.

Diese Arbeit greift Shubiks (1980) Ansatz auf und vergleicht fortführende Ausar-

beitungen mit den Ergebnissen anderer Autoren, deren Modelle ebenfalls durch die

Vorüberlegungen Antoine-Augustin Cournots, Joseph Bertrands und John Nas-

hs geprägt sind. Dafür wird zuerst der Spezialfall des Duopols im heterogenen

Mengen- und Preiswettbewerb untersucht. Unterschiede zu Ausarbeitungen von


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Deneckere (1983/1984), Singh&Vives (1984), Majerus (1988) oder Rothschild (1992)

bestehen unter anderem in der Annahme, dass Unternehmen nicht entscheiden

können, über welchen Aktionsparameter sie am Markt konkurrieren. Weiterhin

gilt die Produktdiff erenzierung als endogene Größe, wodurch produktpolitische

Maßnahmen als Werkzeuge für die Stabilisierung kollusiven Verhaltens betrachtet

werden können. Im Anschluss wird zu einer erneuten Analyse der dynamischen

Kartellstabilität bei diff erenzierten Gütern auf einem Markt mit mehreren Anbie-

tern angeregt.

2 Heterogene Güter

Der deutsche Süßwarenproduzent Haribo GmbH & Co. KG ist heute der größte

Hersteller von Fruchtgummi und Lakritzeartikeln weltweit.1 Einer seiner Konkur-

renten ist die Mars GmbH, welche zu den führenden Anbietern von Schokorie-

geln und Schoko-Bites zählt.2 Zwar produzieren beide Firmen das Gut Süßware ,

doch unterscheiden sich die jeweiligen Produkte in Merkmalen, die Einfluss auf

die Zahlungsbereitschaft potentieller Nachfrager haben. Je geringer der Unter-

schied zwischen den angebotenen Produkten ist, desto mehr werden sie aus Sicht

der Konsumenten als Substitute wahrgenommen. Im Falle homogener Güter wä-

ren die Produkte der Firmen perfekte Substitute, d.h. das Angebot beider Firmen

wäre identisch. Die Käufer präferieren so die Ware mit dem geringsten Preis. Da

jedoch auf den meisten Märkten, wie auch auf dem Süßwarenmarkt, die angebote-

nen Produkte nicht völlig identisch sind, kann der Fall homogener Güter eher als

eine vereinfachte Darstellung der Marktsituation aufgefasst werden.

In einem heterogenen Markt gibt es zwei Arten, wie Produkte voneinander dif-

ferenziert werden können. „Falls die Eigenschaften verschiedener Güter von den

Konsumenten unterschiedlich beurteilt werden, spricht man von horizontaler Pro-

1Vgl. [LB09].2[Bun13].


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duktdiff erenzierung.“3 Diese Unterscheidung unterliegt subjektiven Kriterien, wes-

halb der Eindruck von Merkmalen, wie beispielsweise des Designs, nicht einheitlich

ist. Auch Markennamen und deren Bekanntheitsgrad haben diesbezüglich einen

Einfluss auf das Kaufverhalten. Ein Beispiel für eine solche Diff erenzierung liefert

der Energiemarkt, auf dem Versorgungsunternehmen mit dem Gut Strom konkur-

rieren. Der Endverbraucher kann durch die alleinige Nutzung dieses Gutes keinen

Unterschied zwischen den angebotenen Substituten feststellen. Aus diesem Grund

verwenden Firmen produktpolitische Maßnahmen, wie z.B. Werbung, um ihr An-

gebot von anderen abzuheben. „Gelber Strom“ ist hierbei ein Merkmal, dass die

Yello Strom GmbH ihrem Produkt verleiht, damit Kunden durch Assoziationen

auf der Gefühlsebene das Gut Strom horizontal diff erenzieren.

Die vertikale Produktdiff erenzierung bezeichnet hingegen qualitative Unterschie-

de der Produkte. Es gilt für rational handelnde Konsumenten die Annahme, dass

sie immer die höhere Qualität bevorzugen, weshalb die niedrige Qualität nicht

nachgefragt wird, falls beide Produkte zum selben Preis angeboten werden.4 Doch

auch Unterschiede in der Qualität werden von Käufern in der Realität verschieden

wahrgenommen. So gibt es Branchen, in denen minderwertige Eigenschaften eines

Produktes bevorzugt werden, um sich beispielsweise einer gesellschaftlichen Grup-

pierung zugehörig zu fühlen. Häckner (1994) erklärt, dass allein eine unterschied-

liche Annahme der Art der Produktdiff erenzierung zu komplett gegensätzlichen

Ergebnissen bzgl. kooperativem Verhalten der Anbieter führen können. Weiter-

hin bemerkt er die Schwierigkeit beide Betrachtungsweisen gemeinsam in einem

Modell darzustellen. Aus diesen Gründen beschränkt sich diese Arbeit auf die An-

nahme, dass die Konsumenten die angebotenen Produkte horizontal diff erenzieren

und auch qualitative Unterschiede nur dem subjektiven Empfinden unterliegen.

3[Bes07], S. 18.4Vgl. [Bes07], S. 17.


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2.1 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Duopol 4

2.1 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Duopol

Im Folgenden gilt die Annahme, dass die Präferenzen der Konsumenten durch ei-

ne konkave quadratische Nutzenfunktion dargestellt werden können. So verringert

sich der Nutzenzuwachs mit jeder weiteren konsumierten Einheit, bis der maxima-

le Nutzen erreicht wird. Die Zahlungsbereitschaft der Nachfrager kann in einem

Duopol demzufolge dargestellt werden durch:

U = α

β Q − 1

2β Q2 − (q 1 − q 2)

2

2β (1 + γ ) −

2ÿi=1

q i pi, (1)

wobei q i die Nachfrage- und pi die Preisabsatzfunktion der Firma i = 1, 2 sind

und Q =2q

i=1q i die aggregierte Nachfrage auf dem Markt bezeichnet.5 Die Varia-

ble γ ∈ [0, ∞) ist ein Maß für die Substituierbarkeit der produzierten Güter. Fürγ = 0 sind die Güter unabhängig voneinander. Hierbei sind beide Unternehmen

Monopolisten auf getrennten Märkten und teilen sich im Fall identischer Kos-

tenstrukturen den gesamten Markt zu gleichen Teilen auf. Je größer γ ist, desto

mehr werden die Güter von den Konsumenten als Substitute wahrgenommen. Für

γ → ∞ sind die Produkte perfekte Substitute, weshalb der Konsument keinenNutzenverlust erleidet, wenn sich die Menge der konsumierten Güter q 1 von der

Menge q 2 unterscheidet. Je unterschiedlicher die angebotenen Produkte von den

Nachfragern wahrgenommen werden, desto kleiner ist der Parameter γ und desto

größer ist der negative Einfluss von unausgewogenen Warenkörben auf den Nut-

zen. Angenommen die Nachfrage nach den preisgleichen heterogenen Gütern q 1

und q 2 wäre gleich stark; wenn der Konsum einer weiteren Einheit q 1 den selben

Nutzenzuwachs bringt, wie der einer Einheit q 2, ist der Nachfrager immer bestrebt

von jedem Produkt auf dem Markt die gleiche Anzahl zu erlangen.

Die Frage nach der maximalen Zahlungsbereitschaft der Kunden bezüglich der

5Es gelten α,β > 0, wobei a := αβ

den Prohibitivpreis und b := 1β

den Steigungsparameterder Nutzenfunktion darstellen.


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2.1 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Duopol 5

nachgefragten Mengen liefert durch Auflösung des Gleichungssystems

∂ U ∂ q1∂ U ∂ q2

= 00

nach q i und pi die Nachfragefunktionen

q i = 1

2

Aα − β

31 +

γ

2

4 pi +

βγ

2 p j

B (2)

und die Preisabsatzfunktionen

pi = α

β − 1

β Q − q i − q j

β (1 + γ ) (3)

für die Firma i = 1, 2 (wobei j ”= i). Erhöht eine Firma den Preis ihres Produktes,so steigt die Nachfrage nach dem Konkurrenzprodukt, weshalb der eigene Ab-

satz sinkt. Wenn der langfristige Aktionsparameter eines Unternehmens hingegen

die Menge ist, hat eine Erhöhung des Absatzes einen positiven Einfluss auf den

Preis des anderen Gutes. In dieser Betrachtung handelt es sich also um Substitu-te. Die Situation komplementärer Güter kann durch eine andere Parametrisierung

der quadratischen Nutzenfunktion, wie der von Dixit (1979), betrachtet werden.6

Im Fall unabhängiger Güter (γ = 0) besteht kein direkter Zusammenhang zwi-

schen den Produkten. Vergleichbare Ergebnisse für den Preis- und Mengenwettbe-

werb im heterogenen Duopol liefern bereits Rothschild (1992/1997) und Lamber-

tini&Svend (1998).7 Im Sinne der monetären Nutzenmaximierung eines jeden am

Markt etablierten Unternehmens maximieren die Anbieter ihre Gewinne unter Be-

rücksichtigung der darauf folgenden Reaktionen der Konkurrenzunternehmen. Je

nach Wettbewerbsart konkurrieren die Unternehmen über den Verkaufspreis oder

die angebotene Menge. Räumliche Präferenzen von Konsumenten werden hierbei

6Vgl. [Den83], [Den84] und [SV84].7Beide Autoren verwenden eine Darstellung der Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen von

Shubik (1980), in der sie die Parameter α = β = 1 setzen.


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2.2 Bertrand-Duopol 6

nicht berücksichtigt. Es wird im Weiteren angenommen, dass die miteinander kon-

kurrierenden Unternehmen identische lineare Kostenstrukturen haben, wobei die

Fixkosten außer acht gelassen werden. Für die Kosten von Firma i = 1, 2 gilt

demzufolge C i = c · q i mit konstanten Grenzkosten von c.

2.2 Bertrand-Duopol

Im Bertrand Wettbewerb konkurrieren die Unternehmen am Markt über die Preis-

setzung miteinander. Die Gewinnmaximierung erfolgt also über die Festlegung des

Preises unter Berücksichtigung des antizipierten Verhaltens der anderen Wettbe-werber. Im Fall homogener Güter sind die angebotenen Produkte identisch, wes-

halb der Konsument sich für die preisgünstigere Alternative entscheidet. Ein sta-

biles Gleichgewicht stellt sich demnach im homogenen Bertrand Wettbewerb für

Firmen mit identischen Kostenstrukturen nur ein, wenn beide Unternehmen ihre

Produkte je zu Grenzkosten anbieten. Der Gewinn Πi jeder einzelnen Firma wäre

gleich null (Bertrand-Paradoxon).

Da heterogene Güter von den Konsumenten im Vergleich verschieden wahrgenom-men werden, bilden sie keine perfekten Substitute. Im Allgemeinen führt der Kon-

sum einer weiteren Einheit q i nicht zum selben Nutzenniveau, wie der Konsum einer

weiteren Einheit q j (i ”= j). Die Strategie einer Firma, die Konkurrenz marginalim Preis zu unterbieten und so allein die gesamte Marktnachfrage zu befriedigen,

scheitert an der fälschlichen Annahme, dass die Konsumenten ihr Kaufverhalten

lediglich nach dem Kriterium „niedrigster Preis“ auswählen. Sobald sich die Pro-

dukte subjektiv im Wert γ ∈ (0, ∞) voneinander unterscheiden, gibt es einenAnreiz den Warenkorb vielfältig zu gestalten. Das Nash-Gleichgewicht im Preis-

wettbewerb mit diff erenzierten Gütern liegt also abhängig vom Grad der Sub-

stituierbarkeit γ oberhalb der Grenzkosten c, weshalb die Unternehmen positive


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Gewinne

Πi = pi · q i − c · q i = ( pi − c)q i (4)

generieren. Eine Begründung aus Unternehmersicht ist die mit der Heterogenität

steigende monopolistische Marktmacht. Durch das Einsetzen der Nachfragefunkti-

on (2) und Ableiten der Gewinnfunktion (4) nach den Preisen, ergeben sich aus der

Erfüllung der notwendigen Bedingung für ein Maximum die Preis-Reaktionsfunk-

tionen

pRi ( p j) = 2(α + cβ ) + cβγ

2β (2 + γ ) +

γ

2(2 + γ ) · p j (5)

als Reaktion der Firma i auf den antizipierten Preis von Firma j. Der Preis ist

hier ein Aktionsparameter mit positiver Neigung, weshalb er auch als strategi-

sches Komplement bezeichnet wird, denn wenn ein Unternehmen den Preis auf

seine angebotenen Güter erhöht, ist es für andere Unternehmen in diesem Markt

lohnenswert ebenfalls ihre Preise zu erhöhen und umgekehrt. Hierbei fällt auf,dass eine Preisänderung einen umso größeren Einfluss auf die Preise der anderen

Produkte des Marktes hat, desto ähnlicher sich die Güter sind.


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Abbildung 1: Preisreaktionsfunktionen

Der Punkt, in dem sich die Reaktionsfunktionen schneiden, stellt ein Nash-Gleichge-

wicht dar. „Ein Nash Gleichgewicht ist eine Situation, in der beide Anbieter opti-

mal auf den Output des anderen reagieren, sodass einseitige Verbesserungen nicht

mehr möglich sind.“8 Im Bertrand-Nash-Gleichgewicht bieten Firmen mit identi-

schen Kostenstrukturen den selben Preis

pB

= c + 2(α − cβ )β (4 + γ )

(6)

an. Die Funktion pB

(γ ) ist streng monoton fallend mit steigendem Grad der Homo-

genität und nimmt demzufolge ihren größten Wert, den Monopolpreis auf getrenn-

ten Märkten, für γ = 0 an. Für homogene Güter konvergiert der Bertrand-Preis

wie erwartet gegen die Grenzkosten.

Die sich im Gleichgewicht einstellende Produktionsmenge q B

und der aus der Preis-

8[PW06], S. 129.


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2.3 Cournot-Duopol 9

Mengen-Kombination ( pB

, q B

) entstehende Gewinn ΠB

beider Firmen lauten

q B = (α

−cβ )(2 + γ )

2(4 + γ ) (7)

ΠB

= (α − cβ )2

β ·

2 + γ

(4 + γ )2. (8)

2.3 Cournot-Duopol

Bei dem von Joseph Bertrand kritisierten Cournot Wettbewerb handelt es sich

um eine Wettbewerbsart, in der die Unternehmen über die produzierte Menge

miteinander konkurrieren. Da es jedoch Märkte gibt, in denen es realistischer ist

die Menge als langfristigen Aktionsparameter anzusehen, eignet sich das Bertrand

Modell nicht für die Allgemeinheit. „Beispielsweise ist beim Wettbewerb auf dem

Rohölmarkt wohl Mengenwettbewerb angemessen. Die Förderung und vor allem

der Transport nach, beispielsweise, Rotterdam nehmen soviel Zeit in Anspruch,

dass die Unternehmen nur über die zu liefernde Menge entscheiden können.“ 9

Demnach wählen die Unternehmen zuerst die Menge, die sie produzieren undabsetzen wollen, in Abhängigkeit der Menge der Konkurrenz. Sie reagieren auf

die antizipierten Entscheidungen der restlichen Marktteilnehmer. Die Mengen-

Reaktionsfunktion

q Ri (q j) = (α − cβ )(1 + γ )

2(2 + γ ) − γ

2(2 + γ ) · q j (9)

der Firma i ergibt sich aus der Erfüllung der notwendigen Bedingung für ein Ma-

ximum der Gewinnfunktion (4), nachdem für den Preis pi die Preisabsatzfunktion

(3) eingesetzt wurde. Wenn ein Unternehmen seinen Output erhöht, ist es für die

Konkurrenz lohnenswert ihren Output zu veringern und umgekehrt. „Aktionspa-

rameter mit negativ geneigten Reaktionsfunktionen nennt man auch strategische

9[PW06], S. 126.


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2.3 Cournot-Duopol 10

Substitute.“10 Je größer der Grad der Substituierbarkeit zwischen den Gütern ist,

desto stärker wird eine Firma auf die Outputänderung seiner Konkurrenz reagie-

ren.

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Abbildung 2: Mengenreaktionsfunktionen

Im Cournot-Gleichgewicht bieten Firmen mit identischen Kostenstrukturen die

selbe Menge

q C

= (α − cβ )(1 + γ )

4 + 3γ (10)

an. Die Funktion q C

(γ ) ist streng monoton wachsend mit steigendem Grad der

Homogenität und nimmt ihren kleinsten Wert q C

= α−cβ4

in dem Fall eines Mo-

nopols auf getrennten Märkten (γ = 0) an. Falls die produzierten Güter vollstän-

dige Substitute darstellen (γ → ∞), steigt die Menge der produzierten Güter imCournot-Gleichgewicht auf ihren größten Wert q

C = α−cβ

3 , der bei rational han-

delnden Marktteilnehmern zu erwarten ist.

Der sich im Gleichgewicht einstellende Preis pC

und der aus der Preis-Mengen-

10[PW06], S. 129.


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2.4 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Oligopol 11

Kombination ( pC

, q C

) entstehende Gewinn ΠC

beider Firmen lauten

pC = c + (α

−cβ )(2 + γ )

β (4 + 3γ ) (11)

ΠC

= (α − cβ )2

β ·

(1 + γ )(2 + γ )

(4 + 3γ )2 . (12)

2.4 Nachfrage- und Preisabsatzfunktionen im Oligopol

Als Oligopol wird die Marktform bezeichnet, in der viele Nachfrager mehreren

Anbietern gegenüberstehen. Jede der n Firmen mit identischen Kostenstrukturen

bietet nicht identische Produkte an, welche sich alle im selben Parameter γ bezüg-

lich ihrer Substituierbarkeit voneinander unterscheiden. Zur Vereinfachung wird

angenommen, dass die Substituierbarkeit der Produkte symmetrisch ist, also dass

hierbei das Maß der Produktdiff erenzierung zwischen zwei beliebigen Produkten

den selben messbaren Wert γ annimmt. Wie auch im Duopol Fall gilt die Annahme,

dass die Präferenzen der Konsumenten einer quadratischen Nutzenfunktion glei-

chen. Eine verallgemeinerte Darstellung der Nachfragefunktion (2) eines duopolis-tischen Marktes liefert einen Ansatz für die Nachfrage auf einem oligopolistischen

Markt:

q i = 1

n (α − β [ pi + γ ( pi − p)])

= 1

n

α − β

A1 +

(n − 1)γ n

B pi +

βγ

n

ÿ j”=i

p j

,

(13)

wobei p das arithmetische Mittel aller Preis darstellt. Der sich daraus herleitende

Ansatz Q =nqi=1

q i = α − β p liefert die Preisabsatzfunktion

pi = α

β − 1

β Q − 1

β (1 + γ )

ÿ j”=i

(q i − q j) (14)

einer jeden Firma.


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2.5 Bertrand-Oligopol 12

2.5 Bertrand-Oligopol

Wie auch im Zwei-Firmen-Modell von Bertrand konkurrieren die n Unternehmen

hier über den Verkaufspreis. Der Gewinn einer einzelnen Firma wird hierbei umso

stärker von den Aktionsparametersetzungen der restlichen Marktteilnehmer beein-

flusst, je größer die Zahl der Wettbewerber ist. Unter der Voraussetzung, dass alle

Anbieter die selbe Produktionstechnologie verwenden und alle Varianten des Gu-

tes im gleichen Maß γ voneinander verschiedene Substitute sind1∂ qi∂ pj

> 0 (i ”= j )2

,

können die Anbieter im Preiswettbewerb abhängig von der Produktdiff erenzierung

auch im reinen Wettbewerb Preise oberhalb der Stückkostengrenze festlegen. Die

Outputregel

q i + pi∂ q i

∂ pi= ∂ C i

∂ q i ¸˚˙ ˝ = c

∂ q i

∂ pi (15)

eines Oligopolisten im Preiswettbewerb leitet sich aus der Gewinnmaximierungs-

bedingung erster Ordnung her und zeigt, dass bei konstanten Grenzkosten der

gewinnmaximale Preis steigt, wenn ein Konkurrent seinen Preis erhöht. Die Preisewerden daher als strategische Komplemente bezeichnet.11

11Vgl. [Woe06], S. 146.


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Abbildung 3: Gewinnmaximaler Preis und Konkurrentenverhalten

Quelle: [Woe06], S. 147

Da die Konsumenten zusätzlich wie im Duopol Fall einen Anreiz haben, ihren

Warenkorb ausgewogen zu gestalten und „ausgehend von einer symmetrischen Si-

tuation mit gleichen Preisen aller Varianten führt jetzt - anders als bei einem ho-mogenen Gut - eine Erhöhung des eigenes Preises nicht dazu, dass alle Nachfrager

sofort auf andere Anbieter wechseln.“12 Die folgenden beiden Abbildungen zeigen

eine grafische Herleitung einer Preisreaktionsfunktion aus der vorhergehenden Ab-

bildung und das aus der Schnittmenge zweier exemplarischer Reaktionsfunktionen

resultierende Preis-Nashgleichgewicht im diff erenzierten Preisoligolpol. Im Allge-

meinen ist ein Nashgleichgewicht am oligopolistischen Markt natürlich nicht nur

von den Reaktionsfunktionen zweier Marktteilnehmer abhängig. Die Abbildungenverdeutlichen hier jedoch das Marktverhalten der Anbieter, da es sich laut Vor-

aussetzung um n identische Firmen handelt, die jeweils die gewinnmaximierenden

Entscheidungen ihrer Konkurrenten antizipieren. In dieser vereinfachten Darstel-

lung des Oligopols treff en sich alle Reaktionsfunktionen in genau einem Punkt,

dem Preis-Nashgleichgewicht.

12[Woe06], S. 147.


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Abbildung 4: Preisreaktionsfunktion eines Oligopolisten


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Abbildung 5: Nashgleichgewicht im diff erenzierten Preiswettbewerb



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Das Einsetzen der linearen Nachfragefunktion (13) in die Outputregel (15) liefert

unter der Annahme symmetrischer Preissetzung den gewinnmaximalen Preis

pB

= c + n(α − cβ )

β (2n + (n − 1)γ ) . (16)

Die daraus resultierenden produzierten Mengen einer jeden einzelnen Firma und

deren Gewinne betragen

q B

= (α − cβ )(n + (n − 1)γ )

n(2n + (n − 1)γ ) (17)

und

ΠB

= (α − cβ )2

β ·

n + (n − 1)γ (2n + (n − 1)γ )2 . (18)

Sowohl die Preisfunktion pB

(γ ), als auch die Gewinnfunktion ΠB

(γ ) sind streng

monoton fallend mit stetig anwachsender Substituierbarkeit der Produkte unter-

einander und nehmen ihren maximalen Wert für γ = 0 an. Die Kreuzableitung

des Gleichgewichtspreises nach dem Grad der Substituierbarkeit γ und der An-

zahl n der Anbieter ergibt, dass mit steigender Zahl der Unternehmen am Markt

keine allgemeingültige Aussage über den Einfluss der Produktdiff erenzierung auf

den Bertrandpreis getroff en werden kann. Instrumente wie Marketing oder In-

novationen in der Produktionstechnologie, zum Steuern von heuristischen oder

qualitativen Unterschieden zwischen den Produkten, beeinflussen den Marktpreis

also mehr oder weniger in Abhängigkeit von der Anzahl der Firmen am Markt

und der vom Konsumenten empfundenen Austauschbarkeit der Güter. Je mehr

Unternehmen miteinander konkurrieren, umso größer wird der relative Einfluss

der Produktpolitik auf den Gewinn einer jeden Firma. Diese Erkenntnis ist jedoch

weniger relevant, da sich die erwartete Nachfrage äquidistant unter den n identi-

schen Unternehmen aufteilt. Für n → ∞ würde der erwartete Gewinn eines jedenAnbieters gegen Null streben.


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2.6 Cournot-Oligopol 16

Fazit: In einem heterogenen Bertrand-Oligopol mit n identischen Firmen, deren

substitutive Produkte paarweise im selben Verhältnis verschieden sind, hat jeder

Anbieter einen Anreiz sein Produkt von denen der anderen Unternehmen zu di ff e-

renzieren. Je heterogener die Güter sind, umso größer sind auch der Verkaufspreis

und der Gewinn eines jeden Anbieters.

2.6 Cournot-Oligopol

„Im Mengenwettbewerb macht es keinen Sinn, die Konkurrenten zu unterbieten,weil man die dadurch entstehende Nachfrage gar nicht befriedigen kann. [. . . ] Da-

durch ist die Wettbewerbsintensität im Mengenwettbewerb kleiner als im Preis-

wettbewerb.“13 Die Outputregel

pi + q i∂ pi

∂ q i= ∂ C i

∂ q i ¸˚˙ ˝ = c

(19)

eines Oligopolisten im Mengenwettbewerb verdeutlicht die gewinnmaximierendeStrategie der Marktteilnehmer: Aufgrund sinkender Grenzerlöse14 produzieren die

Unternehmen nur solange, wie der Erlös einer verkauften Einheit größer ist als die

Produktionskosten dieser Einheit. Da es sich bei den verschiedenen Produkten um

strategische Substitute handelt, führt die Erhöhung der Outputmenge eines Kon-

kurrenten, was den Rückgang seines erwarteten Marktpreises bedeutet, zu einer

Verschiebung der eigenen Grenzerlösfunktion nach unten.15

13[Woe11], S. 140.14 ∂

2E ∂ q2i


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Abbildung 6: Gewinnmaximale Menge und Konkurrentenverhalten


Je heterogener die Güter sind, desto geringer wirkt sich die Erhöhung der Ausbrin-

gungsmenge einer Firma auf die Grenzerlöse der anderen Firmen aus. Der Grund

ist auch hier die verstärkte Marktmacht, die sich aus der schwächeren Substituier-

barkeit ergibt und den Organisationen einen gewissen monopolistischen Spielraum

bietet. Die Mengen-Reaktionsfunktion eines jeden Unternehmens auf einen beliebi-

gen Konkurrenten lässt sich grafisch aus der vorhergehenden Abbildung herleiten.

Auch hier repräsentieren zwei Firmen die Gesamtheit der Anbieter, da alle n Ge-

sellschaften bis auf ihre produzierten Erzeugnisse als identisch zu betrachten sind

und jede der Reaktionsfunktionen abhängig ist von den restlichen Konkurrenten.

Alle Reaktionsfunktionen schneiden sich aus diesem Grund im n−

dimensionalen

Raum in genau einem Punkt, dem Mengen-Nashgleichgewicht.


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Abbildung 7: Mengenreaktionsfunktion eines Oligopolisten


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Abbildung 8: Nashgleichgewicht im diff erenzierten Mengenwettbewerb



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2.7 Monopole auf getrennten Märkten 19

Die sich im Gleichgewicht einstellende produzierte Cournotmenge und die daraus

resultierenden Preise und Gewinne eines jeden Unternehmens betragen

q C

= (α − cβ )(1 + γ )

2n + (n + 1)γ (20)

pC

= c + (α − cβ )(n + γ )β (2n + (n + 1)γ )

(21)

ΠC

= (α − cβ )2

β ·

(1 + γ )(n + γ )

(2n + (n + 1)γ )2. (22)

Zwar nimmt die Mengenfunktion q C (γ ) mit stetig anwachsender Substituierbarkeit

zu, doch überwiegt hierbei der Preisverfall, sodass die Gewinnfunktion ΠC

(γ ) wie

im Bertrandwettbewerb streng monoton fallend verläuft. Auch hier strebt der Ge-

winn eines jeden Produzenten gegen Null für hinreichend viele Anbieter am Markt.

Fazit: In einem heterogenen Cournot-Oligopol mit n identischen Firmen, deren

substitutive Produkte paarweise im selben Verhältnis verschieden sind, hat jeder

Anbieter einen Anreiz sein Produkt von denen der anderen Unternehmen zu dif-

ferenzieren. Je heterogener die Güter sind, umso stärker gleicht der Wettbewerb

einer monopolistischen Konkurrenz, was zur Folge hat, dass die Gewinne eines

jeden Anbieters steigen.

2.7 Monopole auf getrennten Märkten

Ein Spezialfall für die beiden zuvor behandelten Wettbewerbsarten stellt sich ein,wenn der Grad der Substituierbarkeit γ = 0 beträgt. In diesem Fall sind alle Pro-

dukte vollkommen unabhängig voneinander, weshalb die Unternehmen wie Mo-

nopolisten auf getrennten Märkten agieren können. Einem Anbieter ist es in der

Realität jedoch nicht möglich sein Produkt vollständig von den Konkurrenzpro-

dukten zu diff erenzieren, sodass diese Betrachtung eine theoretische Überlegung

bleibt und lediglich späteren Erkenntnissen dient.


26/53

2.7 Monopole auf getrennten Märkten 20

Ob die Unternehmen zuerst die Outputmenge, die verkauft oder produziert werden

soll, oder zuerst den Preis für ihre Produkte festlegen, ist dabei ohne Belang.

Jedoch ist zu beachten, dass keine der Firmen ein wirklicher Monopolist ist. Sie

teilen sich deshalb den Markt zu gleichen Teilen auf, denn das den Kunden zur

Verfügung stehende Budget für Konsumgüter bleibt unabhängig von der Zahl der

Anbieter konstant. So bieten die Unternehmen bei identischen Kostenstrukturen

ihre Produkte zwar zum selben Preis

pM

= c + α − cβ

2β (23)

wie in einem Monopol an, doch verteilen sich im Oligopol die abgesetzten Mengen

und die sich so durch die ( pM

, q M

)-Kombination ergebenden Gewinne

q M

= α − cβ

2n(24)

ΠM

= (α − cβ )2

4nβ (25)

gleich unter den Wettbewerbern.

Anmerkung: Der Einfluss steigender Substituierbarkeit unter den angebotenen

Gütern und steigender Anzahl der Oligopolisten am Markt auf die Preise, Mengen

und Gewinne einer jeden Firma im Bertrand- und Cournotwettbewerb wird in fol-

gender Übersicht kurz zusammengefasst und es gilt für alle γ ∈ [0 , ∞):

pB

q B

ΠB

pC

q C

ΠC

∂ ∂γ

− + − − + −∂ ∂ n

− − − − − −Tabelle 1: Auswirkung von steigendenden γ und n auf den Wettbewerb


27/53

3 Kartelle 21

pB

(γ ) ∈ (c , pM

] pC

(γ ) ∈1

c + α−cββ(n+1)

, pM

È

q B(γ ) ∈ [q M , 2q M ) q C (γ ) ∈ Ëq M , α−cβn+1 2Π

B(γ ) ∈ (0 , Π

M ] Π

C (γ ) ∈

1(α−cβ)2

β(n+1)2 , Π

M

È

3 Kartelle

„Kartelle sind durch vertragliche Vereinbarungen zwischen rechtlich und in vielen

Belangen auch wirtschaftlich selbstständig bleibenden Unternehmen geschaff ene

Verbände, die durch Verminderung des Wettbewerbs für gleichartige, in Konkur-

renz stehende Erzeugnisse und Leistungen die Marktlage zu beeinflussen und den

Wirtschaftserfolg der an der Vereinbarung beteiligten Unternehmungen zu sichern

oder zu erhöhen trachten.“16

Solche vertraglichen Vereinbarungen implizieren die Legalität und die rechtliche

Verbindlichkeit dieser Abmachungen, weshalb Unternehmen bei Nichteinhaltung

mit juristischen Konsequenzen zu rechnen haben. Da ein Kartell durch seinen Zu-

sammenschluss den eigenen Gewinn auf Kosten der sozialen Wohlfahrt erhöht und

somit den Wettbewerb einschränkt, sind im Allgemeinen solche Bündnisse gesetz-

lich verboten. Das hindert Unternehmen jedoch nicht daran dennoch mündliche

oder stille Absprachen zu treff en. Solch ein aufeinander abgestimmtes Verhalten

unterhalb der Vertragsschwelle wird im Allgemeinen als kollusive Absprache be-

zeichnet. Die Motivation hierbei ist die selbe, wie bei einem expliziten Kartell:

Der Gesamtgewinn der beteiligten Unternehmen soll maximiert werden, wodurch

jedes Mitglied einen höheren Gewinn generieren kann als im Wettbewerb. Ein

Beispiel liefert das bis Februar 2008 existierende Süßwarenkartell, an dem elf Süß-

warenhersteller beteiligt waren. Um auf gestiegene Rohstoff preise zu reagieren,

entschieden sich die Firmen anstatt einer unternehmerischen Lösung dazu, den

Wettbewerb untereinander auszuschalten. Höhere Produktionskosten wurden so16[May59], S. 22.


28/53

3 Kartelle 22

mit einer Preissteigerung von 15-25% kompensiert und auf den Konsumenten um-

gewälzt.17

In einem Markt mit n Anbietern besteht im Fall eines vollständigen Kartells unter

Einhaltung des Kartellvertrages bzw. der kollusiven Absprache kein Unterschied,

ob die Unternehmen ihren gemeinsamen Gewinn über die angebotene Menge oder

den Absatzpreis maximieren. Die Auflösung des Gleichungssystems

3∂ (Π1+···+Πn)

∂ q1, . . . , ∂ (Π1+···+Πn)

∂ qn 4T

=

30, . . . , 04T

nach den Mengen q 1, . . . , q n oder des Gleichungssystems

3∂ (Π1+···+Πn)

∂ p1, . . . , ∂ (Π1+···+Πn)

∂ pn

4T =

30, . . . , 0

4T

nach den Preisen p1, . . . , pn ergibt die Preis-Mengen-Kombination ( pk, Qk) eines

Kartells. Die sich hieraus ergebende Lösung „ist bei konstanten Stückkosten iden-

tisch mit dem Monopol-Gleichgewicht des kostengünstigsten Anbieters“.18

Bei un-terschiedlichen Stückkosten der einzelnen Kartellmitglieder produziert allein das

Unternehmen mit den geringsten Stückkosten.19 Unter der Annahme identischer

Kostenstrukturen befriedigen die Unternehmen die erwartete Marktnachfrage zu

gleichen Teilen und produzieren die selbe Ausbringungsmenge

q k = q M

= α − cβ

2n . (26)

17Vgl. [Bun13].18[PW06], S. 164.19Diese Erkenntnis setzt voraus, dass es keine Kapazitätsschranken bei der Produktion gibt.


29/53

3.1 Mengenkartelle im Duopol 23

Der sich im Markt einstellende Preis und die Gewinne der Firmen lauten

pk = pM = c + α

−cβ

2β (27)

Πk = Π

M =

(α − cβ )24nβ

. (28)

Im Fall eines vollständigen Kartells stellt sich auf einem oligopolistischen Markt,

unabhängig von der Produktdiff erenzierung und unabhängig vom vorliegenden

Wettbewerb, die optimale Preis-Mengen-Kombination eines monopolistischen Mark-

tes ein. So können sich die Firmen die Marktnachfrage gleichmäßig aufteilen unddieselben Gewinne generieren, wie im Fall getrennter Märkte. Wenn die Güter also

unabhängig voneinander sind (γ = 0), besteht für die Anbieter kein ökonomischer

Anreiz ein Kartell zu schließen, bzw. würde es für ein bestehendes Kartell keinen

Anreiz geben vom kooperativen Verhalten abzuweichen.

3.1 Mengenkartelle im Duopol

Konkurrierende Unternehmen haben also prinzipiell einen Anreiz sich kollusiv zu

verhalten, da sie so ihre Gewinne im Vergleich zum Wettbewerb erhöhen.20 Bei

genauer Betrachtung der folgenden Abbildung ist jedoch zu erkennen, dass die

Gerade der Kartelllösungen bis auf die Randpunkte keine der Reaktionsfunktionen

schneidet.20Es gelten die Ungleichungen Πk > Π

C > Π

B (∀γ > 0).


30/53


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"

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! & '(

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Abbildung 9: Symmetrisches Cournot-Kartell

Quelle: [PW06], S. 165

Da ein Bruch der Kartellabsprachen keine gesetzlichen Sanktionen nach sich zieht,

welche den Gewinn der von der kollusiven Absprache abweichenden Firma negativ

beeinflussen würde, besteht für beide Anbieter ein Anreiz den Verhandlungspartner

zu betrügen. „Analytisch kann man sich den Anreiz zum Kartellbetrug anhand der

Optimalitätsbedingungen [. . . ] verdeutlichen.“21

∂ Π(Q)

∂ q i=

∂ p(Q)

∂ q i(q i + q j) + p(Q) − c != 0

∂ p(Q)

∂ q iq i + p(Q) − c ¸ ˚˙ ˝

Grenzgewinn bei einseitiger Mengenerhöhung

= −∂ p(Q)∂ q i

q j > 0

Da eine marginale Erhöhung der Ausbringungsmenge q i zur Senkung des Markt-

preises führt, ist der Grenzgewinn bei einseitiger Mengenerhöhung positiv. Beide

Unternehmen haben also einen Anreiz eine höhere Menge als die vereinbarte Kar-

tellmenge q k anzubieten.

21[PW06], S. 165.


31/53


Wenn Unternehmen i überlegt die Absprachen mit seinem Partner zu brechen,

maximiert es seinen Gewinn unter der Annahme, dass Unternehmen j sich an die

Absprache hält, also einen Output q j = q k = α−cβ4 produziert. Das Einsetzen der

antizipierten Menge q j in die Reaktionsfunktion (9) von Unternehmen i liefert die

Menge

q chC

= (α − cβ )(4 + 3γ )

8(2 + γ ) (29)

und damit einhergehend den zugehörigen Marktpreis und den Gewinn

pchC

= c + (α − cβ )(4 + 3γ )

8β (1 + γ ) (30)

ΠchC

= (α − cβ )2

64β ·

(4 + 3γ )2

(1 + γ )(2 + γ ). (31)

Dieses Ergebnis unterscheidet sich von Rothschilds (1992) Ausarbeitung, wird je-

doch von Lambertini&Svend (1998) bestätigt. Der Marktpreis im Mengenwett-

bewerb bestimmt sich in Abhängigkeit von den Mengen der auf dem Markt ge-handelten Güter. Da Unternehmen i seine Ausbringungsmenge höher ansetzt als

vereinbart, liegt der Stückpreis pchC

wie erwartet unter dem Kartellpreis, jedoch

aber über dem Marktpreis des Nash-Gleichgewichts in einem nicht-kooperativen

Mengenwettbewerb. In Folge dessen haben die Konsumenten nun die Möglichkeit

eine größere Menge des Gutes i zu einem noch geringeren Preis zu kaufen als im

Vergleich zum Gut von Firma j , deren Stückpreis und Gewinn in diesem Szenario

pvC

= c + (α − cβ )

8β ·

4(1 + γ )(2 + γ ) − γ 2(1 + γ )(2 + γ )

(32)

und

ΠvC

= (α − cβ )2

32β ·

4(1 + γ )(2 + γ ) − γ 2(1 + γ )(2 + γ )

(33)


32/53


betragen. Da die angebotenen Güter auf dem Markt Substitute sind, hat die Er-

höhung des Outputs der einen Firma einen negativen Eff ekt auf den eigenen Preis

und somit auch auf das Angebot der Konkurrenz. Wenn nun beide Unternehmen

einen Anreiz haben von der vereinbarten Absprache abzuweichen, ergibt sich noch

ein weiteres Szenario, in dem beide die Menge q chC

produzieren. Hier stellt sich für

jedes Unternehmen der Stückpreis

pccC

= c + (α − cβ )(γ + 4)

4β (γ + 2) (34)

ein. Der sich aus der Preis-Mengen-Kombination ( pccC , q chC ) ergebende Gewinn lautet

ΠccC

= (α − cβ )2(3γ + 4)(γ + 4)

32β (γ + 2)2 . (35)

Wegen ΠC

> ΠccC

stellt diese Situation jedoch im Vergleich zum Wettbewerb eine

Verschlechterung für beide Firmen dar, weshalb hier der Konkurrenzkampf bevor-

zugt wird. Eine Darstellung aller betrachteten Szenarien in einer Auszahlungsma-

trix liefert folgendes Gefangenendilemma:22

2 k k1

k Πk, Πk ΠvC

, ΠchC

k ΠchC

, ΠvC

ΠC

, ΠC

Tabelle 2: Auszahlungsmatrix im Cournot-Duopolk - Kooperation, k - Betrug

Die dominante Strategie beider Unternehmen besteht also darin den Kooperations-

partner zu betrügen. Bei einem einmaligen Spiel werden demnach Unternehmen

ihren Konkurrenten keine Kooperation anbieten, weshalb es sich hierbei nicht um

22Hierbei gelten folgende Ungleichungen: ΠchC > Πk > Π

C > Πcc

C > Πv

C (∀γ > 0).


33/53


ein Nash-Gleichgewicht handelt. In der Realität ist jedoch davon auszugehen, dass

die Unternehmen in mehreren aufeinander folgenden Perioden aktiv auf dem Markt

agieren. Es ist also meistens nicht rational die Unternehmensstrategie durch einma-

liges Verhalten am Markt zu definieren. Viel mehr sind zukünftige Entscheidungen

als Reaktionen des wirtschaftlichen Auftretens der restlichen Marktteilnehmer zu

betrachten. Das macht es den Unternehmen möglich strategische Interaktionen in

Form von Drohung und Vergeltung in ihr Verhalten mit einzubeziehen.

Im vorliegenden dynamischen Spiel stellt die Handlungsalternative sc = (ΠC

, ΠC

)

ein Nash-Gleichgewicht dar. In einem endlich wiederholten Spiel muss „in der

letzten Periode [. . . ] zweifellos sc gespielt werden, unabhängig davon, ob vorher

irgendwelche Abweichungen erfolgten oder nicht.“23 Da das Verhalten also in der

vorletzten Periode nicht mehr bestraft werden kann, wird auch hier sc gespielt.

Dieser Gedanke kann induktiv bis zur Anfangsperiode fortgesetzt werden. In ei-

nem endlich wiederholten Spiel kommt es demzufolge nicht zu einer Kooperation.

Bei einem Spiel mit unendlichem Zeithorizont kann es jedoch durchaus attraktiv

für die einzelnen Unternehmen sein sich kooperativ zu verhalten, da ihnen so wei-

tere Vergeltungsstrategien zur Verfügung stehen. Die Erfüllung der Ungleichung

2 · Πk > ΠchC

+ ΠvC

für alle γ ”= 0 verhindert, dass die Firmen durch wechselsei-tiges Ausbeuten einen Vorteil gegenüber kollusivem Verhalten erlangen, weshalb

bevorzugt eine Kartelllösung angestrebt wird.24 Im weiteren Verlauf wird eine Be-

strafungsstrategie von Friedman (1971) betrachtet, die auch unter dem Namen

Trigger-Strategie bekannt ist. Bei einem von der Vereinbarung abweichenden Ver-

halten wird demnach sofort und dauerhaft die Rückkehr zum Nash-Gleichgewicht

sc ausgelöst.25 Die Stabilität kollusiver Absprachen ist also abhängig vom Wert der

Gewinne aller zukünftigen Perioden diskontiert zum aktuellen Zeitpunkt. Je größer

die Gewichtung zukünftiger Gewinne, desto größer ist auch die Wahrscheinlichkeit,

dass Kooperation ein Gleichgewicht darstellt, weil Πk > ΠW

. In einem Spiel mit un-

23[HI09] S. 132.24Vgl. [AR05], S. 9.25Vgl. [HI09], S. 132.


34/53


endlich vielen identischen Perioden, in denen es jeweils nur ein Nash-Gleichgewicht

sc gibt, nennt man ein Kartell oder eine kollusive Absprache „stabil“, falls es für

die beteiligten Unternehmen reizvoller ist zu kooperieren als sich abweichend zu

verhalten, also falls die Ungleichung

∞ÿt=0

δ t · Πk ≥ Πch +

∞ÿt=1

δ t · ΠW

gilt, wobei δ t = 11+itden Diskontfaktor und it den Diskontzins in Periode t dar-

stellen.26 Der Zinssatz kann zum Beispiel als Inflationsrate oder Gewinnanteil an

eingesetztem Geld für Investitionen interpretiert werden. Je größer i ist, desto

weniger sind zukünftige Gewinne heute wert, was die Kaufkraft schmälert. Ab ei-

nem hinreichend großen Diskontzins ist es lohnenswerter sofortige höhere Gewinne

Πch > Πk zu generieren und dafür in zukünftigen Perioden geringere Einkünf-

te ΠW

< Πk in Kauf zu nehmen. Unter den gegebenen Voraussetzungen ist eine

kollusive Absprache stabil, falls der zugrunde liegende Diskontfaktor δ die Unglei-

chung

δ ≥ Πch − Πk

Πch − ΠW

(36)

erfüllt. Speziell in einem heterogenen Cournot-Duopol lautet die Ungleichung

δ ≥ δ C

(γ ) := (3γ + 4)2

γ 2 + 16 (γ + 1) (γ + 2) γ ∈ [0, ∞). (37)

Hierbei ist zu erkennen, dass die Stabilität einzig vom Grad der Substituierbarkeit

γ beeinflusst wird und unabhängig von den Parametern α und β ist.

Damit kooperatives Verhalten ein Nash-Gleichgewicht darstellt, darf der Diskont-

faktor δ die kritische Grenze δ C

(γ ) ∈Ë12

, 917

2 nicht unterschreiten. Je kleiner der

Funktionswert von δ C

(γ ) ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit bei zufälliger

26Da zukünftige Zinssätze it ungewiss sind, ist es effizient it = i zu schätzen. Es gilt daherδ t = δ .


35/53


Wahl des δ , dass die kollusive Absprache eingehalten wird. Da die Funktion auf dem

gesamten Definitionsbereich streng monoton wächst, ist ein Mengenkartell ohne

jegliche rechtliche Bindung an die Einhaltung der festgehaltenen Vereinbarungen

umso stabiler, je schlechter sich die produzierten Güter miteinander substituieren

lassen. Aus δ = 11+i

folgt, dass ein derartiges Bündnis zweier Unternehmen resistent

gegenüber abweichendem Verhalten ist, falls der Diskontzinssatz i ≤ 8(γ +1)(γ +2)(4+3γ )2

ist.

Demzufolge ist kollusives Verhalten unabhängig von jeglicher Produktdiff erenzie-

rung stabil, falls i ≤ 89 und instabil, falls i > 1 ist. Diese Ergebnisse sind äquivalent

zu denen Deneckeres (1983), obwohl dieser eine andere Parametrisierung der qua-

dratischen Nutzenfunktion eines repräsentativen Konsumenten wählt als Shubik

(1980). Die Setzung γ = − 2α1+α

bestätigt diesen Zusammenhang.27 Diese Substitu-

tion bietet den Vorteil auch komplementäre Güter zu betrachten und das Maß der

Produktdiff erenzierung γ zu normieren.

Fazit: Je homogener die gehandelten Substitute in einem heterogenen Cournot-

wettbewerb sind, desto instabiler ist die wirtschaftliche Kooperation. Der Grad der

Substituierbarkeit γ hat hierbei einen „relativ kleinen“ Einfluss auf die Einhaltung

kollusiver Absprachen, da er nur für einen Diskontzins i ∈189

, 1È die rationale Ent-

scheidung der Unternehmen beeinflusst. In der realen Wirtschaft gibt es aber kaum

Anlagemöglichkeiten, die risikolos eine Rendite von mehr als 88,89% versprechen,

weshalb davon auszugehen ist, dass gewinnmaximierende Absprachen zwischen zwei

Unternehmen eingehalten werden.

Anmerkung 1: Wenn die Unternehmen als Bestrafung für abweichendes Ver-

halten Trigger-Strategie spielen, ist die Stabilität des Kartells unabhängig vom

Zeitpunkt des antizipierten Ausbruchs. Denn sei τ ∈ {1, 2, . . . } Zeitpunkt des Aus-27Deneckere (1983) betrachtet substitutive Güter für α ∈ [−1, 0) und komplementäre Güter

für α ∈ (0, 1].


36/53

3.2 Preiskartelle im Duopol 30

bruchs aus dem Kartell, ist dieses stabil, falls

∞ÿt=0

δ t · Πk ≥τ −1ÿt=0

δ t · Πk + δ τ · Πch +

∞ÿt=τ +1

δ t · ΠW .

Unabhängig vom Zeitpunkt des Ausbruchs τ folgt für ein stabiles Kartell die Un-

gleichung δ ≥ Πch−ΠkΠch−Π

W

.

Anmerkung 2: Die Trigger-Strategie von Friedman (1971) wird häufig für die Un-

tersuchung von Kartellstabilität verwendet. Die Ergebnisse von Abreu (1986) und

Axelrod (2005) besagen jedoch, dass es auch e ffi zientere Bestrafungsmethoden geben

kann. Auch Farrell&Maskin (1989) zeigen, dass es für die betrogenen Unternehmen

rentabel sein kann nachzuverhandeln. Dennoch stellt diese Bestrafungsmethode ein

teilspielperfektes Gleichgewicht eines Superspiels mit unendlichem Zeithorizont dar

und liefert daher wichtige Informationen, die es ermöglichen das Marktverhalten

zu analysieren.

3.2 Preiskartelle im Duopol

Im Fall eines Preiskartells besteht ebenfalls ein Anreiz den Kooperationspartner

zu betrügen.

∂ Π( pi)

∂ pi= Q( pi) + ( pi − c)∂ Q

∂ pi

!= 0

q i + ( pi − c)∂ q i∂ pi ¸ ˚˙ ˝

Grenzgewinn bei einseitiger Preiserhöhung

= −A

q j + ( pi − c)∂ q j∂ pi

B < 0

Das Umstellen der notwendigen Optimalitätsbedingung für ein Extremum nach

dem Grenzgewinn von Firma i ergibt, dass der Gewinn bei marginaler einseitiger

Preiserhöhung sinkt. Im Umkehrschluss folgt aus einer marginalen Preissenkung

ein positiver Grenzgewinn.

Wenn Unternehmen i nun annimmt, dass Unternehmen j am vereinbarten Kar-


37/53


tellpreis pk = c + α−cβ2β

festhält, kann es seinen Gewinn durch eine Preissenkung in

Abhängigkeit von γ maximieren. Hierbei ist zu beachten, dass die Absatzmenge

der loyalen Firma q j ≥ 0 ist, wie Rothschild (1997) die Ausführungen von Roth-schild (1992) ergänzt. Das Einsetzen des antizipierten Preises p j in die Reaktions-

funktion (5) von Unternehmen i liefert den Abweichungspreis für die betrügende

Firma, falls die loyale Firma eine positive Menge absetzt. Diese Bedingung ist

für γ ∈Ë0 , 2(1 +

√ 3)2

erfüllt.28 Wie schon Lambertini&Svend (1998) bemerkt,

korrespondiert dieser Grenzwert mit dem Deneckeres (1983), welcher das Maß der

Produktdiff erenzierung α für Substitute auf (

−1 , 0) normiert. Hier produziert das

loyale Unternehmen eine positive Menge für alle α ∈ (−0, 73 , 0]. Das Gleichge-wicht für alle homogeneren Variationen der Produkte bei abweichendem Verhalten

ergibt sich direkt aus den Gleichungen (2) und (3) unter Berücksichtigung der zu-

sätzlichen Bedingung q j = 0. Die von der kollusiven Absprache abweichende Firma

maximiert ihren Gewinn demzufolge durch die Preissetzung

pchB =

c + α − cβ

4β ·

4 + γ

2 + γ für γ ∈ I 1

c + α − cβ

2β ·

γ − 2γ

für γ ∈ I 2. (38)

28Im weiteren Verlauf bezeichnen die Intervalle I 1 =#

0 , 2(1 +√

3)"

und I 2 =#

2(1 +√

3) , ∞"eine disjunkte Zerlegung des Definitionsbereiches von γ .


38/53


Die daraus resultierende produzierte Menge und der sich ergebende Gewinn lauten

q chB

=

α−

cβ

16 · (4 + γ ) für γ ∈ I 1

α − cβ 2

· 1 + γ

γ für γ ∈ I 2

(39)

ΠchB

=

(α − cβ )264β

· (4 + γ )2

2 + γ für γ ∈ I 1

(α − cβ )24β

· (1 + γ ) (γ − 2)

γ 2 für γ ∈ I 2

. (40)

Die Funktion ΠchB

ist auf dem gesamten Definitionsbereich stetig und streng mono-

ton wachsend. Ihren kleinsten Wert nimmt sie für γ = 0 an. Da die Güter in diesem

Fall vollkommen unabhängig voneinander sind und weder der Anreiz besteht ein

Kartell zu schließen, noch von bereits getroff ener kollusiver Absprache abzuwei-

chen, entspricht dieser Gewinn dem Kartellgewinn. Bei vollkommenen Substituten

unterbietet die betrügende Firma ihren Konkurrenten marginal im Preis und kann

so approximativ die gesamte Marktnachfrage auf sich ziehen.

Wie auch bei abweichendem Verhalten im Mengenkartell konsumieren die Nach-

frager eine größere Menge des Gutes i zu einem geringeren Preis als im Vergleich

zur betrogenen Firma j, deren Absatzmenge und Gewinn

q vB =

α − cβ 16

· 8 + 4γ − γ 2

2 + γ für γ ∈ I 1

0 für γ ∈ I 2(41)

ΠvB

=

(α − cβ )232β

· 8 + 4γ − γ 2

2 + γ für γ ∈ I 1

0 für γ ∈ I 2(42)


39/53


betragen. Da nun beide Unternehmen einen Anreiz haben, sich auf Kosten ihres

Kooperationspartners einen Vorteil zu verschaff en, verbleit das Szenario, in dem

beide Firmen ihre Produkte zum Preis pchB anbieten. Jeder Anbieter produziert so

die Menge

q ccB

=

α − cβ 8

· 4 + 3γ

2 + γ für γ ∈ I 1

α − cβ 4

· 2 + γ

γ für γ ∈ I 2

(43)

und generiert den Gewinn

ΠccB

=

(α − cβ )232β

· (4 + γ ) (4 + 3γ )

(2 + γ )2 für γ ∈ I 1

(α − cβ )28β

· γ 2 − 4

γ 2 für γ ∈ I 2

. (44)

Es gilt zwar ΠccB

> ΠB

, jedoch führt die Frage nach der besten Reaktion auf beidsei-

tiges Abweichen von der vereinbarten Strategie zum Nashgleichgewicht im Bert-

randwettbewerb. Wie auch im Cournot-Duopol besteht die dominante Strategie

beider Unternehmen im folgenden Gefangenendilemma darin, den Kooperations-

partner zu betrügen.29

2 k k1

k Πk, Πk ΠvB

, ΠchB

k ΠchB

, ΠvB

ΠB

, ΠB

Tabelle 3: Auszahlungsmatrix im Bertrand-Duopolk - Kooperation, k - Betrug

Auch hier ist wegen 2 · Πk > ΠchB

+ ΠvB

für alle γ > 0 ein Vorteil aus wech-

29Hierbei gelten folgende Ungleichungen: ΠchB > Πk > Πcc

B > Π

B > Πv

B (∀γ > 0).


40/53


selseitigem Ausbeuten ausgeschlossen. Kollusive Absprache unter der Annahme

von Friedmans (1971) Trigger-Strategie kann nur stabil sein, falls im wiederholten

Spiel ein unendlicher Zeithorizont vorliegt. Das Einsetzen der Gewinnfunktionen

(8), (28) und (40) in das Folk-Theorem (36) liefert speziell in einem heterogenen

Bertrand-Duopol die Ungleichung

δ ≥ δ B

(γ ) :=

(4 + γ )2

γ 2 + 16γ + 32 für γ ∈ I 1

(4 + γ )2 (γ 2 − 2γ − 4)2 (γ 4 + 3γ 3

−2γ 2

−32γ

−32)

für γ ∈ I 2(45)

für eine stabile Koalition. Die Beständigkeit gewinnmaximierender Absprachen

zwischen den Anbietern nimmt mit dem Grad der Substituierbarkeit

γ ∈Ë0 , 4

3

12 +

√ 1022

ab und ist für γ ∈143

12 +

√ 102

, ∞2

streng monoton

wachsend. So ergibt sich für δ B

(γ ) der kompakte WertebereichË12

, 0, 6098È. Auch

Deneckere (1983) zeigt, dass ein moderater Homogenitätsgrad zwischen den Gü-

tern eine besonders hohe Gewichtung zukünftiger Gewinne erfordert, um kollusive

Absprachen resistent gegenüber äußeren Einflüssen zu halten. Am stabilsten istein solches Kartell für sehr ähnliche oder vollkommen verschiedene Produkte. Aus

δ = 11+i

ergibt sich als kritische Obergrenze für den Diskontzins eines widerstands-

fähigen Kartells

iB

=

8 (2 + γ )

(4 + γ )2 für γ ∈ I 1

γ 4

(4 + γ )2 (γ 2 − 2γ − 4)für γ

∈I 2

.

Somit ist kollusives Verhalten stabil für i < 1625

und instabil für i > 1.

Fazit: Je gemäßigter der Grad der Substituierbarkeit zwischen den gehandelten

Gütern in einem heterogenen Bertrandwettbewerb ist, desto instabiler wird die

wirtschaftliche Kooperation. γ hat hierbei einen „relativ kleinen“ Einfluss auf die


41/53

4 Aussicht 35

Einhaltung kollusiver Absprachen, da er nur für einen Diskontzins i ∈Ë1625

, 1È

die

rationale Entscheidung der Unternehmen beeinflusst. Da eine Inflationsrate oder

ein Investitionszinssatz von 64% in einer stabilen Marktwirtschaft als eher unrea-

listisch betrachtet wird, ist von der Annahme auszugehen, dass gewinnmaximieren-

de Absprachen zwischen zwei Unternehmen eingehalten werden.

4 Aussicht

„In einem Markt mit mehr als 2 Firmen ist jedoch nicht klar, ob alle Firmen dem

Kartell beitreten werden. Da das Kartell den Output reduziert, erhöht sich die

verbleibende Nachfrage für die Anbieter, die nicht dem Kartell angehören.“30 In

einem oligopolistischen Markt kann also der Anreiz, mit einem bestehenden Kar-

tell zu konkurrieren, größer sein als diesem beizutreten. Aus diesem Grund sind

im Allgemeinen nicht alle Unternehmen eines Marktes an kollusiven Absprachen

beteiligt. Anders als bei allumfassenden Kartellen, wie im Zwei-Firmen-Fall, un-

terscheidet sich die Kartellsituation von einem Anbietermonopol. Die Frage nach

einem stabilen Kartell bezieht sich demzufolge in erster Linie auf die optimale An-

zahl der Mitglieder, die an wettbewerbseinschränkenden Vereinbarungen beteiligt

sind. Eine solche Gemeinschaft von Unternehmen hat seine stabile Größe erreicht,

wenn genau zwei Bedingungen erfüllt sind. Zum einen darf für kein Mitglied der

Anreiz bestehen, von der kollusiven Absprache abzuweichen und gegen das Kar-

tell zu konkurrieren. Zum anderen darf es für einen Außenseiter nicht attraktiv

sein, dem Kartell beizutreten. Das Kartell heißt dann intern und extern stabil.

Diese minimale und maximale Anzahl an Kartellmitgliedern ist abhängig von der

Menge der Anbieter und von der Diff erenzierung der Güter, weshalb sich ein In-

tervall für den Kartellgewinn in Abhängigkeit von n und γ ergibt. Die darauf

folgende Untersuchung des Folk-Theorems (36) liefert andere Ergebnisse als die

von beispielsweise Majerus (1988), welcher im Oligopol von einem allumfassenden

30[Bes07], S.137.


42/53

5 Fazit 36

Kartell ausgeht. Doch bereits Hirt (1999) zeigt, dass Kartelle in einem heterogenen

Bertrand-Oligopol meist nicht alle Anbieter an der kollusiven Absprache teilneh-

men lassen. Es verbleibt zu untersuchen, ob die Wirkung produktpolitischer Maß-

nahmen auf die Diff erenzierung von Gütern mit steigender Anzahl an Firmen einen

wachsenden oder fallenden Einfluss auf Kartellstabilität hat. Eine weitreichendere

Verallgemeinerung stellt die Untersuchung asymmetrischer Grade der Substituier-

barkeit γ ij dar. So ist es möglich verschiedene Märkte gemeinsam zu betrachten

oder das Marktverhalten von Mehrproduktunternehmen zu untersuchen. Auch das

Einbeziehen statistischer Elemente in Nachfrage- und Kostenstrukturen trägt zu

einer Annäherung an die Realität bei.

5 Fazit

Die Untersuchung von Superspielen im heterogenen Preis- und Mengenwettbe-

werb mit zwei Firmen weist für die Anbieter einen starken Anreiz auf, sich an

kollusive Vereinbarungen zu halten. In beiden Wettbewerbsarten gilt, dass Kartel-

le stabil sind, wenn horizontal diff erenzierte Substitute einen hinreichend hohen

Heterogenitätsgrad besitzen. Unabhängig von einer wirtschaftlichen Kooperation

generieren Wettbewerber umso größere Gewinne, desto verschiedener und innova-

tiver ihre Produkte sind. So dienen produktpolitische Maßnahmen zur Stärkung

der wirtschaftlichen Position am Markt auch der Festigung kollusiver Absprachen.

Hierbei ist zu bemerken, dass die Diff erenzierung von Produkten nur bis zu einem

gewissen Grad vorgenommen werden kann. Die Homogenisierung der Güter ist im

Vergleich wesentlich leichter und preiswerter.

Nur im Preiswettbewerb begünstigt auch starke Homogenität ein stabiles Kartell.

Hier ist es im Sinne einer illegalen Kooperation zwar effizienter seine Produkte

denen der Konkurrenz anzugleichen, jedoch deutet ein solches Verhalten auf eine

wettbewerbseinschränkende Motivation hin. Doch auch bei moderater Homogeni-

tät ist im Bertrand-Duopol kollusives Verhalten stabil, wenn auch am instabilsten


43/53

5 Fazit 37

im Vergleich zu den Fällen sehr starker und sehr schwacher Substitute. Es liegt

die Vermutung nahe, dass sich für mehrere Unternehmen am Markt ein ähnliches

Ergebnis einstellen wird. Hirt (1999) zeigt sogar, dass in weiten Bereichen des Ho-

mogenitätsgrades bei hinreichend vielen Anbietern kein einziges stabiles Kartell

nachgewiesen werden kann.

Zudem wird eine Kartellbildung in der Realität auch noch durch Unsicherheiten

erschwert, die sich aus einem unvollkommenen Markt ergeben. So folgen aus fehlen-

der Markttransparenz beispielsweise verzögerte Reaktionen der Wettbewerber auf

abweichendes Verhalten, was es für Kooperationspartner noch attraktiver macht

kollusive Absprachen zu brechen. Des Weiteren agiert ein Kartell im allgemeinen

nicht als Marktführer. Würden die Außenseiter-Firmen erst auf den Kartellvertrag

reagieren, ist es wahrscheinlich, dass auch Wettbewerbsbehörden von der wirt-

schaftlichen Kooperation erfahren und Strafen gegen die beteiligten Unternehmen

verhängen. Ein Anreiz zur Aufdeckung oder Vorbeugung von kollusiven Abspra-

chen stellt die Kronzeugenreglung des Bundeskartellamtes dar. Hiernach werden

Unternehmen für die Anzeige von Kartellen, an denen sie selbst beteiligt sind,

mit bis zu vollständiger Straff reiheit belohnt. So entgingen im Jahr 2008 die Mars

GmbH und die Alfred Ritter GmbH & Co. KG einer Beteiligung am 60 Mio. Eu-

ro Bußgeld, welches gegen neun weitere Süßwaren Hersteller verhängt wurde. Mit

dieser 1996 eingeführten Regelung konnte ein wirksamer Anreiz für Unternehmen

geschaff en werden, aus einem Kartell auszutreten und ihre Kooperationspartner

in Superspielen zu betrügen. Es verbleibt jedoch zu untersuchen, ob nicht gerade

das Wissen um eine Absolution die Hemmschwelle für Unternehmen herabsetzt,

sich kollusiv zu verhalten. So können für eine gewisse Zeit Kartellgewinne generiert

werden, bevor eine betrügende Firma straff rei zum Wettbewerb zurückkehrt.


44/53

QUELLENVERZEICHNIS VI

Quellenverzeichnis

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47/53

Anhang A

1 %{2 M A T LA B - P R O G R A M M I E R C O D E

3

4 N ac h fr a ge - u n d P r e i s a bs a t z f u n kt i o n e n i m D u o po l

5 V ar ia bl en a b c g p 1 p 2 q1 q 2 i ni ti al is ie re n

6 F un k ti o n U d e fi n ie r en

7 U p ar ti el l a bl ei te n n ac h q 1 u nd q 2

8 G l e i c h un g s s y s te m n a ch ( q 1 , q 2 ) l \ " o s en

9 G l e i c h un g s s y s te m n a ch ( p 1 , p 2 ) l \ " o s en

10 E rg e b n is : N a ch f r ag e - u n d P r e i s a b sa t z f u n kt i o n e n b e i de r F i r me n

11

12 %}

13 syms a b c g p1 p2 q1 q2 ;

14 U = a / b * ( q 1 + q 2 ) - 1 / ( 2 * b ) * ( q 1 + q 2 ) ^ 2 - ( q 1 - q 2 ) ^ 2 / ( 2 * b * ( 1 + g ) ) - q 1 * p 1 - q 2 * p 2 ;

15 L G S = s o lv e ( d i f f ( U , q 1 ) == 0 , d i f f ( U , q 2 ) == 0 , q 1 , q 2 ) ;

16 q 1 = L G S . q 1 ;

17 q 2 = L G S . q 2 ;

18 p r e t t y ( q 1 ) , p r e t t y ( q 2 ) ,


20 U = a / b * ( q 1 + q 2 ) - 1 / ( 2 * b ) * ( q 1 + q 2 ) ^ 2 - ( q 1 - q 2 ) ^ 2 / ( 2 * b * ( 1 + g ) ) - q 1 * p 1 - q 2 * p 2 ;

21 L G S = s o lv e ( d i f f ( U , q 1 ) == 0 , d i f f ( U , q 2 ) == 0 , p 1 , p 2 ) ;

22 p 1 = L G S . p 1 ;

23 p 2 = L G S . p 2 ;

24 p r e t t y ( p 1 ) , p r e t t y ( p 2 )

25

26 %{

27 B e r t ra n d - N a s h g l e i c h ge w i c h t i m D u o po l

28 V ar ia bl en a b c g p 1 p 2 q1 i ni ti al i si er en

29 N a c h f r ag e f u n k ti o n q 1 d e f i ni e r e n

30 G e w i n n fu n k t i on P i 1 d e f i ni e r e n

31 q 1 i n P i1 e i ns e tz e n

32 P i1 n ac h p 1 a b le i te n

33 p 2 d u rc h p 1 e rs et ze n , G l ei c hu n g N ul l s e tz e n u nd n ac h p 1 u m st e ll e n


48/53

34 p 1 = p2 i n q 1 e i ns e tz e n

35 p 1 = p2 i n P i1 e i ns e tz e n

36 E r g eb n i s : B e r tr a n dp r e is , - m e ng e , - g e w in n37 ( \ " A q u i va l e n t e V o r g e he n s w e is e i m O l i g op o l m i t n P r ei s - M e ng e n -

K o m b i n a t i o n e n )

38

39 %}

40 syms a b c g p1 p2 q1 ;

41 q 1 = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 1 + b * g /2 * p 2 ) ;

42 P i 1 = ( p 1 - c ) * q 1 ;

43 p B = s i m p li f y ( s o l v e ( s u bs ( d i f f ( P i1 , p 1 ) , p2 , p 1 ) = = 0 , p 1 ) ) ;

44 q B = s i m p li f y ( s u b s ( q1 , { p 1 , p 2 } , { p B , p B } ) ) ;

45 P i B = s i m pl i f y ( s u bs ( P i 1 , { p 1 , p 2 } , { pB , p B } ) ) ;

46 p r e t t y ( p B ) , p r e t t y ( q B ) , p r e t t y ( P i B )

47

48 %{

49 C o u rn o t - N a s h g l e i c hg e w i c h t i m D u o po l

50 V ar ia bl en a b c g p 1 q 1 q2 i ni ti al i si er en

51 P re i s a b s at z f u n k ti o n p 1 d e f i ni e r e n


53 p 1 i n P i1 e i ns e tz e n

54 P i1 n ac h q 1 a b le i te n

55 q 2 d u rc h q 1 e rs et ze n , G l ei c hu n g N ul l s e tz e n u nd n ac h q 1 u m st e ll e n

56 q 1 = q2 i n p 1 e i ns e tz e n

57 q 1 = q2 i n P i1 e i ns e tz e n

58 E r g eb n i s : C o u rn o t pr e i s , - m en g e , - g e w i nn

59 ( \ " A q u i va l e n t e V o r g e he n s w e is e i m O l i g op o l m i t n P r ei s - M e ng e n -

K o m b i n a t i o n e n )

60

61 %}

62 syms a b c g p1 q1 q2 ;

63 p 1 = a / b - 1/ b * ( q 1 + q 2 ) - ( q1 - q 2 ) / ( b * ( 1 + g ) ) ;

64 P i 1 = ( p 1 - c ) * q 1 ;

65 q C = s i m p li f y ( s o l v e ( s u bs ( d i f f ( P i1 , q 1 ) , q2 , q 1 ) = = 0 , q 1 ) ) ;

66 p C = s i m p li f y ( s u b s ( p1 , { q 1 , q 2 } , { q C , q C } ) ) ;


49/53

67 P i C = s i m pl i f y ( s u bs ( P i 1 , { q 1 , q 2 } , { qC , q C } ) ) ;

68 p r e t t y ( q C ) , p r e t t y ( p C ) , p r e t t y ( P i C )

69

70 %{

71 A b w e i ch e n d e s V e r h al t e n i m M e n g e nk a r t e ll ( D u o p o l )


73 q 2 = K a r t e l l m e n g e





78 P i1 n ac h q 1 a b le i te n

79 G l ei c hu n g N ul l s e tz e n u nd n ac h q 1 u m st e ll e n

80 q1 i n p 1 e in se tz en

81 q 1 i n P i1 e i ns e tz e n

82 E r g e b n i s : C o u r no t a b w ei c h u n gs p r e i s , - m en g e , - g e wi n n ,

C o u r n o t v i c t i m p r e i s , - g e w i n n

83

84 %}


86 q 2 = ( a - c * b ) / 4 ;

87 p 1 = a / b - 1/ b * ( q 1 + q 2 ) - ( q1 - q 2 ) / ( b * ( 1 + g ) ) ;

88 p 2 = a / b - 1/ b * ( q 1 + q 2 ) - ( q2 - q 1 ) / ( b * ( 1 + g ) ) ;

89 P i 1 = ( p 1 - c ) * q 1 ;

90 q c C = s i m pl i f y ( s o l ve ( d i f f ( P i1 , q 1 ) = =0 , q 1 ) ) ;

91 p c C = s i m p l i f y ( s u b s ( p 1 , q 1 , q c C ) ) ;

92 P i c C = s i m p l i f y ( s u b s ( P i 1 , q 1 , q c C ) ) ;

93 p v C = s i m p l i f y ( s u b s ( p 2 , q 1 , q c C ) ) ;

94 P i v C = s i m p l i f y ( ( p v C - c ) * q 2 ) ;

95 p r e tt y ( q c C ) , p r e t ty ( p c C ) , p r e t ty ( P i c C ) , p r e t ty ( p v C ) , p r e t t y ( P i vC )

96

97 %{

98 A b w e i ch e n d e s V e r h al t e n i m P r e i sk a r t e ll ( D u o p ol )




50/53



103 q 1 i n P i1 e i ns e tz e n104 P i1 n ac h p 1 a b le i te n

105 G l ei c hu n g N ul l s e tz e n u nd n ac h p 1 u m st e ll e n

106 p1 i n q 1 e in se tz en


108 E r g e bn i s : B e r t r an d a b w ei c h u n gs p r e i s , - m e ng e , - g e w in n

109

110 %}


112 p 2 = c + ( a - c * b ) / ( 2 * b )

113 q 1 = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 1 + b * g /2 * p 2 ) ;

114 q 2 = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 2 + b * g /2 * p 1 ) ;

115 P i 1 = ( p 1 - c ) * q 1 ;

116 p c B = s i m pl i f y ( s o l ve ( d i f f ( P i1 , p 1 ) = =0 , p 1 ) ) ;

117 q c B = s i m p l i f y ( s u b s ( q 1 , p 1 , p c B ) ) ;

118 P i c B = s i m p l i f y ( s u b s ( P i 1 , p 1 , p c B ) ) ;

119 q v B = s i m p l i f y ( s u b s ( q 2 , p 1 , p c B ) ) ;

120 P i v B = s i m p l i f y ( ( p 2 - c ) * q v B ) ;

121 p r e tt y ( p c B ) , p r e t ty ( q c B ) , p r e t ty ( P i c B ) , p r e t ty ( q v B ) , p r e t t y ( P i vB )

122

123 %{

124 Ab w ei c he n de s V e rh a lt e n i m P r ei s ka r te l l ( D u op o l ) , f al l s q 2 =0



127 q 2 = 0 s e t ze n

128 G l e i c h un g s s y s te m n a ch ( q 1 , p 1 ) l \ " o s en

129 E r g e bn i s : B e r t r an d a b w ei c h u n gs p r e i s , - m e ng e , - g e w in n .

B e r t r a n d v i c t i m m e n g e , - g e w i n n

130

131 %}


133 p 2 = c + ( a - c * b) / ( 2 * b ) ;

134 q 2 = 0 ;


51/53

135 L S = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 1 + b * g /2 * p 2 ) ;

136 R S = 1 / 2 *( a - b * ( 1 + g / 2 ) * p 2 + b * g /2 * p 1 ) ;

137 L G S = s o lv e ( L S = = q1 , R S = = q 2 , q 1 , p 1 ) ;138 q c B = s i m p l i f y ( L G S . q 1 ) ;

139 p c B = s i m p l i f y ( L G S . p 1 ) ;

140 P i c B = s i m p l i f y ( ( p c B - c ) * q c B ) ;

141 p r e t t y ( q c B ) , p r e t t y ( p c B ) , p r e t t y ( P i c B )

Anhang B

Preisabsatzfunktion im Oligopol

q i = 1

n (α − β [ pi + γ ( pi − p)]) = 1

n

α − β

A1 +

(n − 1)γ n

B pi +

βγ

n

ÿ j”=i

p j

j ∈ {1, . . . , n} , j ”= i :

q i − q j = 1n

β ( p j − pi) + n − 1

n βγ ( p j − pi) + βγ

n ( p j − pi)

¸ ˚˙ ˝ βγ ( pj− pi)

= 1

nβ (1 + γ ) ( p j − pi)

=⇒ pi − p j = n (q j − q i)β (1 + γ )

=⇒ pi = 1n

nÿ

i=1

pi +ÿ j”=i

( pi − p j) = α

β − 1

β Q − 1

β (1 + γ )

ÿ j”=i

(q i − q j)


52/53

Trigger-Strategie

Sei τ ∈

{1, 2, . . . } Zeitpunkt des Ausbruchs aus dem Kartell, ist dieses stabil, falls∞ÿt=0

δ t · Πk ≥τ −1ÿt=0

δ t · Πk + δ τ · Πch +∞ÿ

t=τ +1

δ t · ΠW

Πk

1

1 − δ ≥ Πk

1 − δ τ 1 − δ + δ

τ · Πch + ΠW δ τ +1

1 − δ Πk ≥ Πk(1 − δ τ ) + δ τ Πch − δ τ +1Πch + ΠW δ τ +1

0 ≥ δ τ 1Πch − Πk

2− δ τ +1

1Πch − ΠW

2

δ ≥ Πch

− Πk

Πch − ΠW


53/53

Selbstständigkeitserklärung

Der Verfasser erklärt, dass er die vorliegende Arbeit selbstständig, ohne fremde

Hilfe und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt

hat. Die aus fremden Quellen (einschließlich elektronischer Quellen) direkt oder

indirekt übernommenen Gedanken sind ausnahmslos als solche kenntlich gemacht.Die Arbeit ist in gleicher oder ähnlicher Form oder auszugsweise im Rahmen einer

anderen Prüfung

Documents

Dynamische Kartellstabilität bei differenzierten Gütern