Dynamische Makroökonomik - University of Bonn · Dynamische Makroökonomik Prof. Dr. Christian Bayer Universität Bonn July 6, 2010 1 / 113

Dynamische Makroökonomik

Prof. Dr. Christian Bayer

Universität Bonn

July 6, 2010

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King-Rebelo und Plossers RBC ModelNutzungsintensität des Kapitals

InvestitionenKonsumentscheidungen

Teil 3Anwendung

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Kapitel 1King-Rebelo und Plossers RBC Model

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Lernziele

I Numerische Implementierung des stochastischen WachstumsmodellsI Eigenschaften des Modells als KonjunkturmodellI Methoden der Parameterwahl

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Kapitel 1: King-Rebelo und Plossers RBC ModellÜberblick

1. Numerische Implementierung des nicht-stochastischenWahstumsmodells

2. Numerische Implementierung des stochastischen Wahstumsmodells

3. Parameterwahl

4. Eigenschaften des Modells

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Wieder das Ramsey Cass Koopman Modell

I Wir wollen im Folgenden das Ramsey-Cass-Koopmans Modellnumerisch implementieren.

I Dazu nehmen wir zunächst an, dass die Nutzenfunktion derHaushalte gegeben ist durch

u (C , L) = lnC + θ ln L.

I Die Produktionsfunktion habe konstante Skalenerträge und seigegeben durch

Yt = AtK αt (ZtNt )

1−α .

I Kapital entwickelt sich entsprechend

Kt+1 = (1− δ)Kt + It , It = Yt − Ct .

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Wieder das Ramsey Cass Koopman Modell

I Die Trendproduktivität der Arbeit Zt wächst mit konstanter Rate

lnZt = lnZt−1 + γ

I Die stochastische (konjunkturzyklische) Produktivitätskomponentefolgt

lnAt = ρ lnAt−1 + εt

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Das Planer Problem

I Die zum Marktgleichgewicht gehörige Allokation läßt sich durchfolgendes soziale Planer Problem darstellen

S (K ,A,Z ) = maxC ,K ′,L

lnC + θ ln L+ βES(K ′,A′,Z ′

)Z ′ = Z expγ, lnA′ = ρ lnA+ ε

K ′ = (1− δ)K + (Y − C )Y = AK α [Z (1− L)]1−α .

I Wir müssen das Problem um das Trendwachstum "bereinigen".I Dazu definieren wir

c := C/Z ; k := K/Z ; y = Y /Z .

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Das Planer ProblemI Mit diesen Variablen können wir das soziale Planer Problemschreiben als

S (k,A,Z ) = maxc ,k ′,L

ln cZ + θ ln L+ βES(k ′,A′,Z ′

)Z ′ = Z expγ, lnA′ = ρ lnA+ ε

k ′ = [(1− δ) k + (y − c)] ZZ ′

⇐⇒ k ′ expγ = [(1− δ) k + (y − c)]y = AkαZ α [Z (1− L)]1−α /Z

= Akα [(1− L)]1−α .

I Wir vermuten nun, dass S (k,A,Z ) aus der Families (k,A) + βγ

1−β +11−β lnZ stammt, wobei

s (k,A) = maxc ,k ′,L

ln c + θ ln L+ βEs(k ′,A′

).

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Das Planer Problem

Dazu zeigen wir, dass dies kein Widerspruch zur Bellman Gelichung ergibt

S (k,A,Z ) = maxc ,k ′,L

{ln [cZ ] + θ ln L+ βE

[s(k ′,A′

)+

βγ

1− β+

11− β

lnZ ′]}

= ββγ

1− β+ lnZ +

maxc ,k ′,L

{ln c + θ ln L+ β

{Es(k ′,A′

)+

11− β

(lnZ + γ)

}}= β

(βγ

1− β+ γ

)+

(1+ β

11− β

)lnZ

+ maxc ,k ′,L

{ln c + θ ln L+ βE

[s(k ′,A′

)]}= s (k,A) +

βγ

1− β+

11− β

lnZ

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Das Planer Problem

Da aber die Allokation in Intensitäten (Kleinbuchstaben) nur durch dasMaximierungsproblem, welches s beschreibt, bestimmt wird, können wiruns im Weiteren auf s konzentrieren.

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Das Planer Problem

I Die Eigenschaft, dass Konsum und Kapital sich eins-zu-eins mitpermanenten Produktivitätsveränderungen bewegen ist wichtig umdie Modellmechanik zu verstehen.

I Der Arbeitseinsatz bleibt durch permanenteProduktivitätsänderungen unverändert.

I Die gewählte Präferenzstruktur führt dazu, dass sich beipermanenter Produktivitätsänderung der Substitutions- undEinkommenseffekt der höheren Arbeitsproduktivität geradeaufheben:

I Substitutionseffekt: Bei höherer Produktivität kann pro aufgegebenerEinheit Freizeit mehr konsumiert werden.

I Einkommenseffekt: Bei höherer Produktivität ( = permanent höhereKonsummöglichkeiten) werden alle Güter, also auch Freizeit, stärkernachgefragt.

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Numerische Implementierung für fixe FaktorproduktivitätI Wir setzen zunächst A = 1 fix.I Als nächstes zerlegen wir das Optimierungsproblem (BellmanPrinzip), so dass wir das Arbeitsentscheidungsproblem separat lösenkönnen.

s (k) = maxk ′

{maxL

[ln(y (k, L) + (1− δ) k − k ′ expγ

)+ θ ln L

]+ βs

(k ′)}

I und vereinfachen mit der Lösung

σ(k, k ′

)= max

L

{ln(y (k, L) + (1− δ) k − k ′ expγ

)+ θ ln L

}n∗(k, k ′

)= 1− argmax

L

[ln(y (k, L) + (1− δ) k − k ′ expγ

)+ θ ln L

]das Programmierungsproblem zu

s (k) = maxk ′

[σ(k , k ′

)+ βs

(k ′)]

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Numerische Implementierung für fixe FaktorproduktivitätSteady state

I Für das intertemporale Optimum des Arbeitseinsatzes gilt:

w =uLuc=

θ(kαN1−α + (1− δ) k − γk ′

)1−N (Angebot)

w = (1− α) kαN−α (Nachfrage)

I Für die Investitionen gilt die intratemporale Optimalitätsbedingung

−γ1c+ β

(1− δ+ α

(Nk ′

)1−α)1c ′= 0

I Im steady state muss somit gelten (c = c ′, k = k ′)

α

(Nk

)1−α

=γ

β− (1− δ) =: φ

k = N(

α

φ

) 11−α

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Dies können wir nutzen um den optimalen Arbeitseinsatz zu bestimmen

w =uLuc=

θ(kαN1−α + (1− δ) k − γk ′

)1−N (Angebot)

=θN1−N

[(α

φ

) α1−α

+ (1− δ− γ)

(α

φ

) 11−α

]

w = (1− α) kαN−α = (1− α)

(α

φ

) α1−α

(Nachfrage)

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Gleichsetzen

(1− α)

(α

φ

) α1−α

=θN1−N

[(α

φ

) α1−α

+ (1− δ− γ)

(α

φ

) 11−α

]

N =(1− α)[

(1− α) + θ(1− α

((γ+δ−1)

φ

))]

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Numerische Implementierung für fixe FaktorproduktivitätSchritte

1. Anlegen eines Gitters für Kapital K = {k1, . . . kN } . Initialisieren vonV (0) (k) = 0.

2. Berechnung des Optimalen Arbeitseinsatzes und somit σ(ki , k ′j

)für

jeden Punkt ki , kj ∈ K.3. Iteration über für jedes ki ∈ K

V (n) (ki ) = maxkj∈K

σ(ki , k

′j

)+ βV (n−1)

(kj).

bismaxki∈K|V (n) (ki )− V (n−1) (ki ) | < crit

4. Bestimme die optimale Politik als

Φ (ki ) = arg maxkj∈K

σ(ki , k

′j

)+ βV (n)

(kj)

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Stochastische FaktorproduktivitätIdee

I Um die Faktorproduktivität stochstisch zu gestalten ist weniganderes notwendig.

I Wir wählen eine diskrete Repräsentation des Prozesses

lnAt = ρ lnAt−1 + εt

durch eine Markovkette mit Zuständen ai ∈ A = {a1, . . . , aNa} undÜbergangsmatrix P =

(pij)j=1...Nai=1...Na

.

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Stochastische FaktorproduktivitätSchritte

1. Darstellung des Produktivitätsprozesses durch eine Markovkette mitZuständen am ∈ A = {a1, . . . , aNa} und ÜbergangsmatrixP =

(pij)j=1...Nai=1...Na

.

2. Anlegen eines Gitters für Kapital K = {k1, . . . kN } , wobeik1 ≤ kss (a1) und kN ≥ kss (an) .

3. Initialisieren von V (0) (a, k) = 0.

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Stochastische FaktorproduktivitätSchritte

1. Berechnung des Optimalen Arbeitseinsatzes und somit

σ(am , ki , k ′j

)für jeden Punkt am ∈ A und ki , kj ∈ K.

2. Iteration über für jedes am ∈ A und ki ∈ K

V (n) (am , ki ) = maxkj∈K

σ(ah , ki , k

′j

)+ β

Na

∑n=1

pmnV (n−1)(an , kj

).

bismax

am∈A,ki∈K|V (n) (am , ki )− V (n−1) (am , ki ) | < crit

3. Bestimme die optimale Politik als

Φ (am , ki ) = arg maxkj∈K

σ(am , ki , k

′j

)+ β

Na

∑n=1

pmnV (n)(an , kj

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Stochastische FaktorproduktivitätNumerisches Modell und optimale Politik

I Diskutiere MATLAB Code [stochatsic_growth.m] und Resultate!I Der höchste (geringste) Kapitalstock der erreicht wird ist größer(kleiner) als der steady state Kapitalstock bei bekannterProduktivität!

I Warum?I Die Haushalte wollen in hochproduktiven Phasen Sparen umKonsum zu glätten.

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ParameterwahlKalibration

Unser Modell hat 7 freie Parameter, die wir bestimmen wollen müssen:

I Den Diskontfaktor β,

I die Rate des technologischen Wachstums γ,

I die Abschreibungsrate δ,

I den Exponenten α der Produktionsfunktion,I die Autokorrelation der totalen Faktorproduktivität ρ

I und die Varianz der Schocks auf die totale Faktorproduktivität σε.

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I Für die Abschreibungsrate δ können wir die von (technischen)Experten des statistischen Amtes geschätzte Abschreibungsratewählen (ca. 10% p.a.).

I Die Rate des technologischen Wachstums γ p.a. ergibt sich alsUnterschied der mittleren (realen) Investitionsrate und derAbschreibungsrate.

I Die Parameter des Technologieprozesses können direkt geschätztwerden.

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I Der Diskontfaktor sollte den durchschnittlichen Realzins alsVerzinsung implizieren β = (1+ r)−1 .

I Für den Prarameter α gilt

wNY

= 1− α

und wir können ihn aus dem Anteil der Lohnsumme amVolkseinkommen bestimmen die im Zeitverlauf um 1− α = 2/3schwankt.

I Was wichtig für die Interpretation der Ergebnisse ist: Wirhaben keine Informationen über den Konjunkturzyklusbenutzt, um die Parameter zu schätzen.

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Stochastische FaktorproduktivitätAnalyse

Wir wollen als erstes der - zunächst wahnwitzig anmutenden - Fragenachgehen, ob dieses simple Modell in der Lage istKonjunkturschwankungen in realistischer Größe zu produzieren.

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Stochastische FaktorproduktivitätSimulation

I Dazu simulieren wir das ModellI Wir ziehen eine Folge t = −τ, . . . , 1 . . .T von ProduktivitätsschocksI ausgehend vom steady state Kapitalstock (ohneProduktivitätsschwankungen) benutzen wir die Politikfunktionkt+1 = Φ (at , kt ) um eine Folge von Kapitalstöcken zu generieren.

I Wir berechnen ebenso nt = n∗ (at , kt , kt+1) und schließlichAusbringungsmenge und Konsum

yt = atkαt n1−αt ; ct = yt + (1− δ) kt − γkt+1

sowie die Faktorpreise

wt = (1− α) yt/nt ; rt = αyt/kt .

I Schließlich benutzen wir die Reihen von t = 1 . . .T um unsereüblichen Konjunkturstatistiken zu berechnen (HP-gefiltert und inlogs).

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Stochastische FaktorproduktivitätTabelle der Konjunkturstatistiken (Modellsimulation)

σx [in %] σx/σY σxY σxx−1logY 1, 64 1, 0000 1, 0000 0, 7286logC 0, 70 0, 4289 0, 9134 0, 7962log I 6, 28 3, 8235 0, 9763 0, 7029logN 0, 83 0, 5025 0, 9609 0, 6902logw 0, 88 0, 5356 0, 9656 0, 7721log r 0, 08 0, 0458 0, 9459 0, 7094

I Technologieschocks erklären über 3/4 der Outputschwankungen.I Konsum und Beschäftigung sind zu wenig, Investitionen sind zu sehrvolatil.

I Konsum und Beschäftigung ist zu sehr mit der Ausbringungsmengekorreliert.

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Stochastische FaktorproduktivitätTabelle der Konjunkturstatistiken (US Daten, Baxter-Kehoe-Kydland 1992)

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Modellmechanikkurzfristige Produktivitätsschwankungen

I Wie sind die Wirkzusammenhänge in diesem Modell?I Das Modell ist so konstruiert, dass ein permanenter Anstieg derProduktivität eine 1-zu-1 Erhöhung von Ausbringungsmenge, Kapitalund Konsum nach sich zieht und die Beschäftigung unverändertbleibt.

I Dies ist kurzfristig nicht der Fall. Nach einem positivenProduktivitätsschock

I steigt die Beschäftigung,I nimmt der Konsum zu, aber weniger als die Ausbringungsmenge,I steigt die Investition stärker als die Ausbringungsmenge

I All dies wird durch "neo-klassische" Mechanismen hervorgerufen:Rationales und optimales Verhalten der Haushalte.

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Modellmechanikkurzfristige Produktivitätsschwankungen

I Ein positiver temporärer ProduktivitätsschockI hat einen stärkeren intratemporalen Substitutions- alsEinkommenseffekt bezüglich der Arbeitsangebotsentscheidung, d.h.es wird mehr gearbeitet;

I erhöht die heute und in Zukunft zum Konsum verfügbarenRessourcen. Haushalte wollen diese zusätzlichenKonsummöglichkeiten tendenziell über die Zeit verteilen - nichtkomplett in der Periode des Schocks konsumieren

I dies geht nur über eine Erhöhung des Kapitalstocks - alsoInvestitionen.

I Diese verstärken wiederum das Arbeitsangebot, da sie dasGrenzprodukt der Arbeit und somit die Löhne erhöhen.

I Letzterer Mechanismus ist aber schwach, da sich der Kapitalstock alsBestandsgröße nur langsam verändert.

I Da all diese Schwankungen Pareto-optimal sind besteht fürKonjunkturpolitik kein Raum.

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War es das?Erfolg des Models und Kritik

I Plosser (1989) "the whole idea that such a simple model with nogovernment, no market failures of any kind, rational expectations,no adjustment costs could replicate actual expereience this well isvery surprising"

I Bis heute ist aber kontrovers ob tatsächlich die Hauptquelle vonkonjunkturzyklen Technologieveränderungen sind.

I Das RBC Modell ist relativ robust gegenüberParameterveränderungen, ...

I nur muss der Technologie (a) stark schwanken und (b) rechtpersistent sein, da endogen Fluktuationen kaum verstärkt werden.

I wenn Technologie-Schocks so wichtig wären, warum lesen wir dannnicht von Veränderungen des Solow-Residuums im "Handelsblatt",der "Financial Times", der "Börsenzeitung" oder dem "Wall StreetJournal"?

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Nutzungsintensität des KapitalsUnteilbarkeit des Faktors ArbeitModell und Simulationsergebnisse

Kapitel 2Nutzungsintensität des Kapitals

undUnteilbarkeit des Faktors Arbeit

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Sind große, persistente Produktivitätsänderungenrealistisch?

I Unser standard RBC Modell amplifiziert und verfestigt aggregierteSchwankungen kaum über das Niveau und die Persistenz desTechnologieschocks hinaus.

I Von daher sind relativ große Technologieschwankungen notwendig,um Konjunkturschwankungen zu erklären.

I Eben solche Schwankungen wie sie empirisch auch vomSolow-Residuum angezeigt werden.

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Sind große, persistente Produktivitätsänderungenrealistisch?

I Allerdings hat dies einen entscheidenden Nachteil:I bei normalverteilten Schocks mit einer Standardabweichung von σε

und einer Persistenz ρ des ProduktivitätsprozessesI sind die Produktivitätsänderungen

∆a = (ρ− 1) a−1 + ε

I normalverteilt mit Varianz

σ2∆a = σ2ε(1− ρ)2

1− ρ2+ σ2ε =

21+ ρ

σ2ε

I Dies bedeutet, das technologischer Regress (d.h. eine negativeWachstumsrate der Technologie ZA) die Wahrscheinlichkeit

Φ(−γσε

√1+ρ2

)hat - unter unserer Kalibration ca. 29%.

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Nutzungsintensität des Kapitals

I Ein zentraler Grund für die geringe Amplifikation imStandardkonjunkturmodell ist, dass angenommen wird, dass diekurzfristige Elastizität des Kapitaleinsatzes bezüglichProduktivitätsänderungen Null sei.

I Dies ist zwar sicherlich für die tastächlichen physischen Einheiteneines Kapitalgutes richtig,

I doch nicht unbedingt für die effektiv in der Produktion verwendetenEinheiten.

I Wenn z.B. ein Kapitalgut in mehreren Schichten benutzt wird, sowird es immernoch als dasselbe Kapitalgut gezählt.

I Es wird aber ein größerer Nutzen aus den Kapitaleinheiten gezogen,die dafür aber schneller verschleißen.

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Nutzungsintensität des Kapitals

I Wenn wir alternativ Annehmen, dass

Yt = At (xtKt )α (ZtNt )

1−α

wobei xt die Nutzungsintensität des Kapitals ist.I Eine höhere Nutzungsintensität het einen höheren Kapitalverschleißzur Folge, so dass

Kt+1 = (1− δ (xt ))Kt + It

ist.I Die Optimalitätsbedingung für die Nutzungsintensität ergibt sich ausder Abwägung von zusätzlicher Produktion αYtxt und zusätzlicherErsatzinvestition δ′ (xt )Kt

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Welche Auswirkungen hat diese zusätzlicheWahlmöglichkeit?

I Angenommen, die Abschreibungsrate bestehe aus einem fixen undeinem in der Nutzungsintensität des Kapitals isoelastischem Teil:

δ (x) = δ0 +1

1+ ξδ̄x1+ξ

I dann erhalten wir (den Trendterm Zt vernachlässigend)

αxα−1t AtK α

t N1−αt = δ̄xξ

t Kt

αAtxαt K

αt N

1−αt /Kt = δ̄x1+ξ

t = [δ (x)− δ0 ] (1+ ξ)

δ̄

αx1+ξ−αt = AtK α−1

t N1−αt

I Zu jedem Zeitpunkt erhalten wir somit die optimaleAbschreibungsrate als

δ (x) =αYt/Kt1+ ξ

+ δ0

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und somit als semi-reduzierte Produktionsfunktion bei der dieNutzungsintensität bereits optimiert ist

Yt = At

(x ∗t )α︷︸︸︷[

α

δ̄At

(NtKt

)1−α] α1+ξ−α

K αt N

1−αt

Yt = A1+ξ1+ξ−αt

(α

δ̄

) α1+ξ−α

Kα ξ1+ξ−α

t N(1+ξ)(1−α)1+ξ−α

t

= A∗tKα∗t N

1−α∗t

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I Somit entsteht ein Unterschied zwischen den Koeffi zienten derProduktionsfunktion, die durch die Ausgabenanteile

1− α̂ =1T

T

∑t=1

wNtYt

geschätzt werden können und den effektiv wirksamen kurzfristigenProduktionselasititäten α∗.

I Ferner enthält das gemessene Solow-Residuum auch Schwankungender Nutzungsintensität und wird insofern stärker schwanken als dietatsächliche Produktivität.

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Wie kann man das Ausmaßan Schwankungen derNutzungsintensität messen?

I Prinzipiell gibt es verschiedene Möglichkeiten zu versuchen, dasSolow Residuum um Veränderungen der Nutzungsintensitäts desKapitals zu bereinigen.

I Eine Möglichkeit besteht drin, einen Variable zu finden, die in engemZusammenhang mit der Nutzungsintensität steht.

I Meistens nimmt man den Energie oder Materialverbrauch x∗t .I Man kann unter der Vermutung Nutzungsintensität undMaterialverbrauch seien proportional zueinander (xt = ηx∗t ) dasbereinigte Solow Residuum bestimmen als

log SR∗t = logYt − α (logKt + log x∗t )− (1− α) logNt .

I Wenn man dies so tut, dann sinkt die Volativität der Produktivitätum 70% und die Wahrscheinlichkeit technologischen Regresses sinktdeutlich auf 10% in Quartalsdaten.

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Substitutionselastizität des Faktors Arbeit

I Ein weiteres Problem unseres bisherigen RBC Modells ist aber auchdie Modellierung der Arbeitsangebotsentscheidung.

I Haushalte entscheiden hier wieviele Arbeitsstunden sie anbieten undkönnen beliebige Mengen von Arbeitsstunden anbieten.

I Unsere Annahmen an die Präferenzstruktur implizieren eineSubstitutionselasitizität des Faktors Arbeit von 4.

I Wie wir gesehen haben paßt dies ganz gut zu der Größe deragregierten Beschäftigungsschwankungen.

I Mikroökonometrische Studien belegen aber eherElastizitätsschätzungen von unter 1.

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Unteilbarkeit des Faktors ArbeitAnnahmen

I Wenn wir annehmen, dass einzelne Arbeitnehmer nur entwedervollzeitbeschäftigt N = H oder Arbeitslos N = 0 sein können,

I ein Haushalt aus vielen Arbeitnehmern besteht, die miteinander dasBeschäftigungsrisiko effi zient teilen

I der Haushalt somit nur entscheidet welcher Anteil p seinerMitglieder arbeiten,

I und jedes der Haushaltsmitglieder die Nutzenfunktion

u = ln c + θ ln (1−N)

hat,

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Unteilbarkeit des Faktors ArbeitErwartungsnutzen

I so muss (wegen der effi zienten, vollständigen Risikoteilung) zunächstgelten, dass der Grenznutzen im Konsum zwischen beschäftigtenund nicht beschäftigten Haushaltsmitgliedern ausgeglichen wird.

I Der Haushalt maximiert nämlich dann den Erwartungsnutzen

maxcb ,cnb

pu (cb , 1−H) + (1− p) u (cnb , 1)

u.d.R. : pcb + (1− p) cnb = c

durch eine effi ziente Aufteilung des gesamten Konsums pro Kopf cauf die Haushaltsmitglieder.

I Dies bedeutet, da Arbeitsleid und Konsumnutzen additiv separabelsind, dass beschäftigte und unbeschäftigte Haushaltsmitgliedergleich viel konsumieren.

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Unteilbarkeit des Faktors ArbeitErwartungsnutzen

I Setzen wir dieses Ergebnis in den Erwartungsnutzen ein, so erhaltenwir für den erwarteten Nutzen eines Haushalts, der im SchnittN = pH Einheiten Arbeit anbietet

u (c ,N) = ln (c) + pθ ln (1−H) + (1− p) ln (1)

= ln c +Nθ ln (1−H)

H≈ ln c − θN

I Obwohl jeder einzelne Arbeitnehmer eine Nutzenfunktion mitabnehmendem Grenznutzen der Freizeit

I und damit eine endliche (=1) intertemporale Substitutionselastizitätder Arbeit hat,

I ist im Aggregat die intertemporale Substitutionselastizität unendlich- dem Arbeitnehmer ist es egal wann er arbeitet.

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Kalibration

I Wir verwenden im Kern die gleiche Parametrisierung, nur setzenθ = 3.14 um wieder eine steady state Beschäftigung von 0.2 zuerzielen.

I Ferner wählen wir ξ = 0, 1 und wählen δ̄ so, dass im steady state dieAbschreibungsrate 10% p.a. ist.

I Wir setzen zu letzt noch σε auf 0,002, die Überschätzung derProduktivitätsschwankungen berücksichtigend.

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σx [in %] σx/σY σxY σxx−1logY 1, 71 1, 0000 1, 0000 0, 6902logC 0, 35 0, 2038 0, 9265 0, 7293log I 8, 03 4, 6920 0, 9916 0, 6843logN 2, 17 1, 2675 0, 9843 0, 6831logw 0, 57 0, 3336 −0, 7422 0, 7617log r 0, 08 0, 0486 0, 9325 0, 6973

I Konsum wird weniger, Beschäftigung und Investitionen stärkervolatil.

I Indem man eine Komplementarität zwischen Konsum und Freizeiteinführt, steigt die Volatilität des Konsums.

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Friktionslose InvestitionsentscheidungenTobins q: quadratische Anpassungskosten und perfekter WettbewerbFinanzierungsfriktionenJorgenson’sche "Capital Gap": quadratische Anpassungskosten und unvollkommener WettbewerbFixkosten und Irreversibilitäten

Kapitel 3lnvestitionen

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Lernziele

I Investitionen als dynamisches ProgrammierungsproblemI Tobins q und quadratische AnpassungskostenI Gap-ModelleI Evidenz (?) für Finanzfriktionen

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Kapitel 3: InvestitionenÜberblick

1. Das Investitionsproblem aus Firmensicht

2. Quadratische Anpassungskosten und Tobins Q

3. Partielle Anpassung

4. Finanzfriktionen

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InvestitionenEin wichtiger Teil des BIP, ein wichtiges Forschungsfeld

I Investitionsausgaben sind der volatilste Teil des BIP.I Für vielerlei Konjunkturpolitiken ist es wichtig zu verstehen, wieFirmen in ihrer Investitionspolitik auf Stimuli reagieren

I Zinspolitik der ZentralbankI Steueränderungen in Gewinnbesteuereung,I bevorzugenden AbschreibungsregelnI etc.

I Von daher läge es Nahe, dass Ökonomen ein Gutes Verständnis fürund vielfältige Forschungsergebnisse über Investitionsentscheidungenhätten.

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InvestitionenWas wir (nicht) wissen

I Bis vor etwa 20 Jahren jedoch gab es kaum gesicherte Ergebnissezum Investitionsverhalten von Firmen, erst die Entwicklungennumerischer Methoden und dynamischer Programmierung habenerheblich zum Verständnis des Investitionsverhaltens beigetragen.

I Auch heute herrscht kaum Einigkeit darüber, welche Faktorenwichtig in der Beschreibung des Investitionsverhaltens sind.

I Einige Dinge scheinen sicher:I Betriebe investieren sehr unregelmäßig - häufig sehr sehr wenig,machmal sehr viel.

I Es wird kaum aktiv Kapital de-investiert.I Investitionen fluktuieren weniger als es ein friktionsloses,neoklassisches Firmenmodell vorhersagt.

I Über andere Themen gibt es eine DiskussionI Spielt die finanzielle Ausstattung einer Firma eine Rolle für dasInvestitionsverhalten? [Whited (2006), Bayer (2006): nur kurzfristig]

I Ist es für das aggregierte Investitionsverhalten eine Rolle, dassFirmen kummuliert investieren?

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Friktionslose InvestitionsentscheidungenEin Firmen Planungsprobelm

I Wir wollen eine Firma modellieren, die im (monopolistischen)Wettbewerb steht.

I Der Absatzpreis des Gutes dieser Firma ergibt sich als

P (x) = θtx−ξ

wobei θt die Nachfrage mißt und xt die angebotene Menge ist. DerParameter ξ mißt das Ausmaßder Monopolmacht. Für ξ = 0 habenwir perfekten Wettbewerb.

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I Die Firma produziert mit einer Cobb-Douglas Produktionsfunktion

xt = atkγt n1−γt .

I Die Firma kann die Zahl der Arbeitnehmer flexibel anpassen undzahlt den zeitkonstanten Marktlohn w .

I Der Kapitalstock wird eine Periode im Voraus gewählt,kt+ = (1− δ) kt + it .

I Der Kapitalgüterpreis ist pktI der Diskontfaktor, mit dem die Firmeneigentümer (positive wienegative) Dividenden abzinsen, ist zeitkonstant (1+ r)−1 .

I Die Firma zahlt keine Steuern.

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Friktionslose InvestitionsentscheidungenDividenden

I Die Auszahlungen (bzw. Einzahlung) der Firma ergeben sich als

Dt = P (xt ) xt − pkt (kt+1 − (1− δ) kt )− wntwobei: xt = atk

γt n1−γt

I Setzt man für xt und P (xt ) ein, so sieht man, dass sich dieUmsätze schreiben lassen als

P (xt ) xt = θt(atk

γt n1−γt

)1−ξ

= θta1−ξt kγ(1−ξ)

t n(1−γ)(1−ξ)t .

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Friktionslose InvestitionsentscheidungenDividenden

I Bemerke: falls at und θt jeweils log-normalverteilten AR(p)Prozessen mit gleichen Autokorrelationskoeffi zienten folgen, so istfür die einzelne Firma es gleich, ob von einem Produktivitätsschockoder einem Nachfrageschock getroffen wird.

I Zur Vereinfachung wollen wir annehmen, dass

ln at = ρ ln at−1 + εat

ln θt = ρ ln θt−1 + εθt

und somitln zt := ln

(θta

1−ξt

)= ρ ln zt−1 + εzt

mit

P (xt ) xt = ztkαt n

βt ,

β = (1− γ) (1− ξ) ,

α = γ (1− ξ)

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I Die Firma löst das Planungsproblem

V(kt , zt , pkt

)= max

kt+1,nt

[P (xt ) xt − pkt (kt+1 − (1− δ) kt )

−wnt + 11+r EtV

(kt+1, zt+1, pkt+1

) ]u.d.R. : xt = ztkα

t nβt

I Dieses Problem können wir zunächst dadurch vereinfachen, dass wirdie nicht-Zustandsvariable Beschäftigung nt herausoptimieren.

I Die Bedingung erster Ordnung für nt lautet

βztkαt n

β−1t = w

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I so dass für die Lohnsumme

wnt = βztkαt n

βt = βP (xt ) xt

giltI und nach nt auflösend und in P (xt ) xt einsetzend

nt =[

βztwkαt

] 11−β

P (xt ) xt = ztkαt

[βztwkαt

] β1−β

=

[(β

w

)β

ztkαt

] 11−β

I Wir können also das Bruttowertschöpfung πt (Umsatz minusLöhne) schreiben als

π (kt , z∗t ) = z∗t k

ηt

wobei η = α1−β =

γ(1−ξ)1−(1−γ)(1−ξ)

ist.I Speziell im Falle perfekten Wettbewerbs (ξ = 0) ist η = 1 und dasBetriebsergebnis linear im Kapitalstock. 57 / 113





I Damit vereinfacht sich das Planungsproblem

V(kt , z∗t , p

kt

)= maxkt+1

[z∗t k

ηt − pkt (kt+1 − (1− δ) kt )

+ 11+r EtV

(kt+1, z∗t+1, p

kt+1

) ]I Die Bedingung erster Ordnung für dieses Problem lautet

−pkt + (1+ r)−1 EtV ′k(kt+1, z

∗t+1, p

kt+1

)= 0.

I Wenn wir gemäßdes Envelope-Theorems einsetzen, so erhalten wir

pkt = (1+ r)−1 Et

[ηz∗t+1k

η−1t+1 + p

kt+1 (1− δ)

]I Durch Vorwärtseinsetzen

pkt =1

1+ rEt

∞

∑s=0

(1− δ

1+ r

)sηz∗t+1+sk

η−1t+1+s

der Preis des Kapitalgutes muss also der abdiskontierten marginalenWertschöpfung des Kapitals in der Firma entsprechen.

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Friktionslose InvestitionsentscheidungenJoregnson’sche Kapitalnutzerkosten

I Wenn wir annehmen pkt = pk , so vereinfacht sich das Problem

pkt = (1+ r)−1 Et

[ηz∗t+1k

η−1t+1 + p

kt+1 (1− δ)

]zu

pk (1+ r) = Et[ηz∗t+1k

η−1t+1

]+ pk (1− δ)

I bzw

pk (r + δ)︸︷︷︸Jorgenson’sche Kapitalnutzerkosten

= ηkη−1t+1 Et

[z∗t+1

]︸︷︷︸erwartetes Kapitalgrenzprodukt

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Friktionslose InvestitionsentscheidungenJoregnson’sche Kapitalnutzerkosten

I Insofern ergibt sich der friktionsfreie optimale Kapitalstock als

k∗t+1 =η

pk (r + δ)Et

(πt+1k∗t+1

)I bzw.indem wir für den Erwartungswert einsetzen(log-normalverteiltes z∗t )

k∗t+1 =

[exp

{ρ ln z∗t +

σε

2

} η

pk (r + δ)

] 11−η

= (z∗t )ρ1−η

[η exp

{ σε2

}pk (r + δ)

] 11−η

I und für die InvestitionsrateItKt∼= ∆ ln k∗t+1 =

ρ

1− η∆ ln z∗t

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Friktionslose InvestitionsentscheidungenBeschriebt dieses Modell Investitionen gut?

I Wir haben bereits gesehen, dass ein Modell ohneInvestitionsfriktionen im Aggregat zu volatile Investitionenprognostiziert.

I Cooper und Haltiwanger (2000) zeigen, das die Veränderung derInvestitionen relativ zu Veränderungen der Profitabilität z∗t zu heftigausfallen im Vergleich zu Firmendaten (typischerweise σI/K

σz∗∼= 4 da

η ∼= 3/4, ρ ∼= 1).I Bachmann und Bayer (2009a,b) finden, dass dieQuerschnittsstreuung von Investitionsraten undProfitabilitätswachstum ungefähr die gleiche Größenordnung haben.

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Quadratische Anpassungskosten

I Eine Möglichkeit zu modellieren, dass Investitionen weniger volatilsind als es das friktionsfreie Modell prognostiziert sindKapitalanpassungskosten.

I Das sind Kosten die dem Unternehmen aus der Änderung desKapitalstocks entstehen und über die reinen Kosten des Erwerbs desKapitalgutes hinausgehen.

I Will man dem Fakt Rechnung tragen, dass besonders großeInvestitionsprojekte besonders hohe Komplexität und somitbesonders hohe Kosten verursachen, so werden diese meist alsquadratisch modelliert.

I Eine solche Kostenstruktur führt dazu, dass es optimal istInvestitionen über mehrere Zeiträume zu verteilen, wie wir sehenwerden. ("Rom wurde nicht an einem Tag erbaut"-Kosten).

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Quadratische Anpassungskosten und perfekter Wettbewerb

I Falls die Firmen keine Marktmacht haben η = 1,I der Kapitalgüterpreis fix (= 1) istI und eine Änderung des Kapitalstocks zusätzliche Kosten in Höhe

von λ2

(∆kt+1kt

)2kt hervorrufen,

I so stellt sich das Firmenproblem dar als

V (kt , z∗t ) = maxkt+1

z∗t kt − λ2

(∆kt+1kt

)2kt − ∆kt+1 − δkt

+ 11+r EtV

(kt+1, z∗t+1

) .

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Quadratische Anpassungskosten und perfekter WettbewerbWertfunktion linear im Kapitalstock

I Wir wollen zeigen, dass dann V (kt , z∗t ) = q (z∗t ) kt .

I Unter der Vermutung, dass V (kt , z∗t ) = q (z∗t ) kt ergibt sich

V (kt , z∗t ) = maxkt+1

z∗t kt − λ2

(∆kt+1kt

)2kt − ∆kt+1 − δkt

+ 11+r Etq

(z∗t+1

)kt+1

.I dieses Problem können wir umschreiben als

V (kt , z∗t ) = maxit=∆kt+1/kt

[z∗t kt − λ

2 i2t kt − kt it − δkt

+ 11+r Etq

(z∗t+1

)kt (1+ it )

].

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Quadratische Anpassungskosten und perfekter WettbewerbWertfunktion linear im Kapitalstock

I wie man sieht, kann man also kt aus dem max-Operatorausklammern und es ist somit auch nicht länger Argument derPolitik (in Investitionsraten

V (kt , z∗t ) = kt maxit

[z∗t − λ

2 i2t − it − δ

+ 11+r (1+ it )Etq

(z∗t+1

) ] .I und indem wir q definieren als

q (z∗t ) = z∗t − δ+max

it

[−λ

2i2t − it +

1+ it1+ r

Etq(z∗t+1

)]haben wir gezeigt, dass die Lösung der Bellmangleichung tatsächlichV (kt , z∗t ) = q (z

∗t ) kt erfüllt

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Quadratische Anpassungskosten und perfekter WettbewerbPolitikfunktion

Wenn wir nun die optimale Investitionsrate bestimmen, erhalten wir alsBedingung erster Ordnung

λit + 1 =1

1+ rEtq

(z∗t+1

)it = λ−1

[(1+ r)−1 Etq

(z∗t+1

)− 1]

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Quadratische Anpassungskosten und perfekter WettbewerbNicht-stationärer Kapitalstock

I Da die Firmengröße nicht durch abnehmende Skalenerträge begrenztwird,

I und die Investitionsrate vom stationären Prodfitabilitätsprozessbestimmt wird

I ist die Wachstumsrate der Firma I(0), die Firmengröße I(1).

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Tobins QInterner und Externer Wert des Kapitals

I Wir sehen also es gibt einen Zusammenhang zwischen Investitionenund Etq

(z∗t+1

).

I q (z∗t ) =V (z ∗t ,kt )

ktmißt den Wert des Unternehmens relativ zum

Wiederbeschaffungswert des Kapitals.I James Tobin und Bill Brainard (1968) und Tobin (1969) machtendieses Verhältnis zum Kern ihrer Portfoliotheorie:

I Ohne formal den Beweis anzutreten, argumentierten sie, dasslangfristig q den Wert 1 haben müsse.

I Ist q > 1 so ist das Kapital im Unternehmen mehr wert als seinWiederbeschaffungswert und es besteht ein Anreiz zu investieren.

I Ist q < 1 so ist das Kapital im Unternehmen weniger wert als seinWiederbeschaffungswert und es besteht ein Anreiz zu de-investieren.

I In unserem Modell gibt es zusätzlich noch eine Installationszeit voneiner Periode, so dass abdiskontiert wird und das Vorzeichen von(1+ r)−1 Etq

(z∗t+1

)R 1 bestimmt ob investiert oder deinvestiert

wird.68 / 113




Tobins QEine untere Grenze

I Da it = 0 immer eine mögliche Politik ist, muss q (z∗t ) von untendurch

q∗ (zt ) = z∗t − δ+1

1+ rEtq∗

(z∗t+1

)begrenzt sein.

I Dies können wir umschreiben als

q∗ (zt ) = ∑ (1+ r)−s Etz∗t+s −(1+ r) δ

r.

I Für einen AR-1 Prozess zt folgt

q∗t =1+ r

1− ρ+ r(zt − Ezt ) +

(1+ r)r

(Ezt − δ)

I Falls die Profitabilität also in jedem Zustand deutlich größer als dieAbschreibungsrate ist, explodiert der Kapitalstock.

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Tobins QSchwankende Investitionskosten und Regressionsgleichung

I Dieses sogennante "Tobin’s Q" Modell kann man leicht empirischüberprüfen.

I Wenn wir zusätzlich annehmen, dass die Investitionskosten einenstochastischen Teil enthalten, der i.i.d. ist

C (it , kt , ηt ) =λ

2(it − ηt )

2 kt

I so ist zunächst dieser stochastische Teil kein Argument vonEtq

(z∗t+1, ηt+1

)und wir erhalten als Bedingung erster Ordnung

(Beweis als Übung)

it = λ−1[(1+ r)−1 Etq

(z∗t+1, ηt+1

)− 1]+ ηt .

I und somit haben wir ein Regressionsmodell für Investitionen, welchesuns prinzipiell erlaubt, den Anpassungskostenparameter λ zuschätzen.

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Tobins QRegressionsanalyse

ExerciseSchreiben Sie ein MATLAB Programm, dass dasFirmen-Investitionsproblem für λ = 2, r = 0.05 und δ = 0.1 lößt.Nehmen Sie an, dass der Profitabilitätsprozess z∗ durch

z∗t = ρz∗t−1 + σεt + (1− ρ)

(34r + δ

)mit ρ =

√0.9 gegeben ist. Die Innovationen εt seien

standardnormalverteilt und σ = 0.01, ebenso die stochastischenAnpassungskosten ηt .Simulieren Sie die Investitionsentscheidung von 10000 Firmen über 150Perioden. Bestimmen und speichern Sie zu jedem Zeitpunkt tEtq

(z∗t+1, ηt+1

). Regressieren Sie für t = 51 . . . 150 die Investitionsrate

it auf [1 Etq(z∗t+1, ηt+1

)].

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I Um unser empirisches Investitionsmodell zu schätzen brauchen wiraber Beobachtungen von Etq

(z∗t+1, ηt+1

).

I Die Funktion q (z∗t , ηt ) misst den Firmenwert relativ zumKapitalstock.

I Prinzipiell ist dieser Firmenwert beobachtbar - zumindest beibörsennotierten Unternehmen.

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I Das empirische Tobins’s Q ist also die Summe aus dem Marktwertdes Eigenkapitals und Fremdkapitals des Unternehmens geteilt durchdie Wiederbeschaffungskosten des Kapitals

I Meist sind aber nur Daten über den Marktwert des an der Börsegehandelten Eigenkapitals verfügbar ...

I und auch der ökonomisch relevante Kapitalstock (also zuMarktwerten) ist aufgrund von Bilanzierung zu historischen Wertennicht perfekt meßbar.

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I Aber selbst wenn man all diese Marktwert Infoirmationen hätte,bleibt das Problem, dass man Etq

(z∗t+1, ηt+1

)in der Regression

benötigt, aber nur zu jedem Zeitpunkt die realisierten qtbeobachten kann.

I Meist verwendet man qt als Approximation für Etqt+1.I Dies führt aber regelmäßig zu sehr niedrigen Schätzungen von λ−1

und somit unplausibel hoch geschätzen Anpassungskosten.

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Tobins QBarnett und Sakellaris (1999, REStat)

I Die Spalte "linear" entspricht unserem quadratischenAnpassungskostenmodell. Der Parameter γ ist bei uns λ.

I Wenn den geschätzten Wert für die Anpassungskosten einsetzt danndie marginalen Investitionskosten an der durchschnittlichenInvestitionsrate von 15% auswertet, so erhält manGrenzinstallationskosten von 3,75€ je € Investition.

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Tobins QRegressionsanalyse: Sakellaris

I Barnett und Sakellaris (1999) schlagen folgendes Verfahren vor:I Da Etq

(z∗t+1, ηt+1

)alle Information enthält, die zum Zeitpunkt t

verfügbar ist,I muss der Erwartungsfehlerut+1 = q

(z∗t+1, ηt+1

)− Etq

(z∗t+1, ηt+1

)orthogonal (d.h.

unabhängig) zu allen Zeitpunkt t Größen sein.I Man kann somit das empirische Modell umformulieren zu

it = λ−1[(1+ r )−1 qt+1 − 1

]+ ηt − λ−1 (1+ r )−1 ut+1

und z.B. qt−1 als Instrument für qt+1 nutzen.

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Exkurs:Instrumentenschätzung

I Das lineare Regressionsmodell

yt = βXt + ut

setzt voraus, dass X und u unabhängig sind, damit der OLS Schätzerβ̂ = argminβ (y − βX ) (y − βX )′ = yX ′ (X ′X )−1 konsistent ist.

I Falls X und u abhängig sind, es aber Variablen Z gibt (mindestensgenauso viele wie in X ) so dass Z und u unabhängig, und X un Zkorreliert sind,

I dann ist der Instrumentenschätzer β̂∗= argminβ

(y − βX )Z ′Z (y − βX )′ =

yX ′Z (Z ′Z )−1 Z ′(X ′Z (Z ′Z )−1 Z ′X

)−1konsistent′

I Im Fall der Q−Regression wärey = [i1 . . . iT ] ,

X =

[1 . . . 1

q2 . . . qT+1

],Z =

[1 . . . 1

q0 . . . qT−1

]77 / 113




Übung

ExerciseNehmen Sie die Simulationsergebnisse aus der vorangegangenen Übungund Schätzen Sie den Investitionskostnenparameter mit Hilfe des zuvorbeschriebenen Instrumentsschätzers wie auch indem Sie qt alsApproximation von Etqt+1 verwenden auf ihrem durch Simulationgewonnenen Datensatz.

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Barnett und Sakellaris (1999, REStat)

I Die erste und dritte Spalte entspricht unserem quadratischenAnpassungskostenmodell. Der Parameter γ ist bei uns λ.

I Wenn den geschätzten Wert für die Anpassungskosten einsetzt danndie marginalen Investitionskosten an der durchschnittlichenInvestitionsrate von 15% auswertet, so erhält manGrenzinstallationskosten von 0,04€ - 0,1€ je 1 € Investition.

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Tobins Q als suffi ziente Statistik

I Ein zentrales Ergebnis obiger Analyse, das auf Hayashi (1982)zurückgeht, ist das Tobin’s Q eine suffi ziente Statistik für dieInvestitionen ist.

I Dies bedeutet einfach ausgedrückt, dass es keine zum Zeitpunkt tbeobachtbare Information gibt, die über Etqt+1 hinaus dieInvestitionen beeinflußt.

I Dementsprechend dürfte - so die Modellannahmen stimmen - keinweiterer Regressor, den wir der Regression

it = β0 + β1Etqt+1 + ut

hinzufügen, signifikant sein.

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Q und Cash Flow

I Ein weithin dokumentiertes Phänomen ist aber, dassI zum einen mittels des Q-modells empirisch geschätzteAnpassungskosten sehr hoch ausfallen,

I der Erklärungsgehalt der Regression sehr niedrig istI und andere Regressoren, insbesondere der Kassenzufluss CFt(Cash-Flow) des Unternehmens als signifikanter weiterer Regressor indie Regression

it = β0 + β1Etqt+1 + β2CFtKt

+ ut

eingeht und auch den Erklärungsgehalt deutlich erhöht.

I Zunächst einmal bedeutet dies, dass irgendeine Annahme desTobin-Q-Investitionsmodells nicht erfüllt wurde.

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ModellannahmenZusammengefasst

Welche sind dies?

1. Perfekter Wettbewerb auf Faktor und Absatzmärkten

2. Quadratische Anpassungskosten

3. Perfekte Märkte der Unternehmensfinanzierung (negative Dividendenkostenlos möglich, kein steuerlicher Vorteil von Fremdkapital, etc.)

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FinanzierungsfriktionenFazzari, Hubbard und Petersen

I Fazzari, Hubbard und Petersen (1988) schlagen vor, Unternehmenapriori danach einzuteilen, wie Wahrscheinlich für sie nicht dieAnnahme vollkommener Kapitalmärkte gilt bzw. entsprechendeRestriktionen bindend sind.

I Sie zeigen, dass für solche Unternehmen, die nach ihren Kriterienvermutlich kreditrestringiert sind, der geschätzte Koeffi zient auf denKassenzufluss am größten ist.

I Dies lesen sie als Zeichen dafür, dass zumindest für einige derUnternehmen Finanzierungsfragen (und eben nicht nurRentabilitätsüberlegungen) für Investitionsentscheidungen wichtigsind.

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FinanzierungsfriktionenEx-Ante Kriterien

I Von Fazzari, Hubbard und Petersen (1988) und anderenvorgeschlagene ex-ante Kriterien sind u.A.:

I UnternehmensgrößeI DividendenausschüttungenI VerschuldungsgradI Exporttätigkeit

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Finanzierungsfriktionen ?Unvollkommener Wettbewerb

I Cooper und Ejarque (2001) zeigen aber, dass auch Marktmacht bzw.abnehmende Skalenerträge für signifikante Cash-Flow Regressorensorgen können.

I Alti (2003) zeigt sogar, dass diese mit der Firmengröße variieren.

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Finanzierungsfriktionen ?Übung

ExerciseLösen Sie numerisch das Investitionsproblem einer Firma derenPeriodenerträge durch

R (zt , kt ) = ztkαt

gegeben sind und die quadratische Kapitalanpassungskosten zahlt

C (it , kt ) =λ

2i2t kt .

Es sei α = 3/4 und λ = 2.Der Profitabilitätsprozess ist ein log-AR-1Prozess mit Autokorrelation 0,9. Simulieren Sie das Modell für 10000Firmen und 20 Perioden (+20 Perioden zu Initialisierung). Nehmen Siedie Simulationsergebnisse und Schätzen Sie denInvestitionskostenparameter mit Hilfe des zuvor beschriebenenInstrumentsschätzers, wobei Sie zusätzlich R (zt ,kt )kt

als Regressor einfügen.

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FinanzierungsfriktionenFormales Modell

I Ein einfaches formales Modell für Investitionsverhalten unterFinanzierungsfriktionen erhalten wir, indem wir annehmen, Firmenmüssten ihre Investitionen aus laufenden Erträgen finanzieren.

I Dann stellt sich das Planungsproblem dar als

V (kt , z∗t ) = maxit=∆kt+1/kt

[z∗t k

ηt − λ

2 i2t kt − kt (1+ it )− δkt

+ 11+r EtV

[z∗t+1, kt (1+ it )

] ]

u.d.R. : it ≤θ[z∗t k

ηt + (1− δ) kt

]− kt

ktI Die Bedingung erster Ordnung dieses Problems lautet

λitkt + kt =1

1+ rEt

∂V[z∗t+1, kt+1

]∂kt+1

kt + ϕ

λit + 1 =1

1+ rEt

∂V[z∗t+1, kt+1

]∂kt+1

+ ϕ

wobei ϕ der Lagrange Multiplikator auf die Finanzierungsrestriktionist.

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FinanzierungsfriktionenGomes (2001)

I Wenn wir wieder perfekten Wettbewerb annehmen, so vereinfachtsich das Planungsproblem wiederum zu

V (kt , z∗t ) = q (z∗t ) kt = kt maxit=∆kt+1/kt

[z∗t − λ

2 i2t − (1+ it )

+ 11+r Etq

(z∗t+1

)(1+ it )

]u.d.R. : it ≤ θ [z∗t + (1− δ)]− 1

I und wir sehen aus der Bedingung erster Ordnung

λit + 1 =1

1+ rEtq

(z∗t+1

)+ ϕ,

dass Tobins Q genau dann suffi ziente Statistik für die Investitionenbleibt, wenn die Finanzierungsrestriktion nicht bindet.

I Da bei z∗t = 0 die Friktion nicht bindet (außer bei schnellemTrendwachstum), ist hinreichend dafür, dass die Friktion nie bindet,dass 1λ

11+r

∂∂z ∗tEtq

(z∗t+1

)≤ θ.

I Also dass die friktionslosen Investitionen in z∗t langsamer in z∗t

steigen als die Einnahmen.88 / 113




FinanzierungsfriktionenGomes (2001)

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Quadratische Anpassungskosten & UnvollkommenerWettbewerb

I Bislang haben wir angenommen, die Firma stände im perfektenWettbewerb und so das Tobin-Q-Modell hergeleitet.

I Wenn aber der Preis von der abgesetzten Menge abhängt, so ist derFirmenwert nicht mehr proportional zum Kapitalstock und derdurchschnittliche Wert einer zusätzlichen Kapitaleinheit imUnternehmen entspricht nicht mehr dem marginalen Wert einerKapitaleinheit im Unternehmen.

I Daher ist auch nicht mehr die einfache Q-Theorie gültig.

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Aufgeschobene InvestitionenI Wir können aber mit Hilfe des Jorgenson’schen optimalenfriktionslosen Kapitalstock (unter der Annahme, das Unternehmenkönne noch in der laufenden Periode den Kapitalstock anpassen) dasEntscheidungsproblem der Firma approximieren und approximativlösen.

I Dazu schreiben wir zunächst die Ertragsfunktion um und ersetzen z∗tdurch k∗t :

(r + δ)︸︷︷︸Jorgenson’sche Kapitalnutzerkosten

= η (k∗t )η−1 z∗t︸︷︷︸

erwartetes Kapitalgrenzprodukt

z∗t kηt − (r + δ) kt = (k∗t )

1−η kηt(r + δ)

η− (r + δ) kt

= (r + δ) k∗t

[η−1

(ktk∗t

)η

− ktk∗t

]91 / 113




Aufgeschobene Investitionen

I Das Verhältnis mt = ln kt − ln k∗t können wir dabei alsaufgeschobene Investitionen interpretieren - als Lücke zwischentatsächlichem und idealem Kapitalstock.

I Je größer diese sind, umso größer ist die durchschnittlicheKapitalprofitabilität.

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Kaufen oder mieten?

I Insofern es keine Finanzierungsfriktionen gibt, ist es für dieInvestitionsentscheidun gleich, ob wir annehmen, dass derKapitalstock gekauft wird oder zum Mietzins r + δ gemietet wird.

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Kaufen oder mieten?I Falls das Unternehmen den Kapitralstock kauft, so stellt sich dasPlanungsproblem dar als

W (kt , z∗t ) = maxkt+1

[z∗t k

ηt − (kt+1 − (1− δ) kt )

C (∆kt+1, kt ) + 11+r EtW

(kt+1, z∗t+1

) ]I Im Falle des Mietens erhalten wir den Firmenwert als den Wert Wder Firma abzüglich des Kapitals V = W − (1+ r) k (einschließlichlaufendem Zinsertrag), so erhalten wir

V (kt , z∗t ) = W (kt , z∗t )− (1+ r) kt

= maxkt+1

[(1− δ) kt − (1+ r) kt − kt+1 + z∗t k

ηt − C (∆kt+1, kt )

+ 11+r Et

[V(kt+1, z∗t+1

)+ (1+ r) kt+1

] ]

= maxkt+1

[+z∗t k

ηt − (r + δ) kt−

C (∆kt+1, kt ) + 11+r Et

[V(kt+1, z∗t+1

)] ]94 / 113




Aufgeschobene InvestitionenI Wenn wir gleichwertig annehmen, das Unternehmen leiht denKapitalstock in jeder Periode zu Kosten (r + δ) ,

I Wir wollen als Vereinfachung annehmen, die Anpassungskosten seienproportional zum friktionslosen Kapitalstock sei

C (∆ ln kt+1, k∗t ) =λ

2∆ ln k2t+1k

∗t

I so erhalten wir nun folgende Reformulierung des Planungsproblems

V (k∗t ,mt ) = max∆ ln kt+1

[(r + δ) k∗t

[η−1 exp (ηmt )− expmt

]− λ2∆ ln k2t+1k

∗t +

11+r EtV

(k∗t+1,mt+1

) ]mit

mt+1 = ln k∗t+1 − ln kt+1 = mt + ∆ ln k∗t+1 − ∆ ln kt+1

= mt − (1− η)−1 ∆ ln z∗t+1 + ∆ ln kt+1

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Aufgeschobene InvestitionenI Falls ρ 6= 1 dann ist ∆ ln z∗t von zt−1 abhängig und somit derErwartungswert

EtV (kt+1,mt+1) ;

mt+1 = mt − (1− η)−1 ∆ ln z∗t+1 + ∆ ln kt+1

von mt und k∗t (wir können dann auf zt zurückschließen).I Umgekehrt erhalten wir aber falls ρ = 1 und somit ∆ ln zt+1 i.i.d.,dass V (k∗t ,mt ) = k

∗t ϕ (mt )

V (kt ,mt ) = k∗t maxit

(r + δ)[η−1 exp (ηmt )− expmt

]− λ2 i2t

+ 11+r Et

[ϕ (mt+1)

k ∗t+1k ∗t

] = k∗t max

it


]− λ2 i2t

+ 11+r Et

{ϕ (mt+1) exp

[(1− η)−1 ∆ ln z∗t+1

]} 96 / 113




Quadratische Approximation

I Um dieses Problem analytisch zu lösen, approximieren wir(r + δ)

[η−1 exp (ηmt )− expmt

]quadratisch um mt = 0 (also um

den friktionslos optimalen Kapitalstock).I Wir erhalten


]∼= (r + δ)

[η−1 exp (0)− exp 0

]+

(r + δ)[η−1η exp (0)− exp 0

]mt +

12

[η−1η2 exp (0)− exp 0

]m2t

= (r + δ)(

η−1 − 1)+12(r + δ) (η − 1)m2t

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Einsetzen in die Wertfunktion

I Wenn wir nun in die Wertfunktion einsetzen, so erhalten wir

ϕ (mt ) = maxit

(r + δ)

(η−1 − 1

)+ 12 (r + δ) (η − 1)m2t − λ

2 i2t

+ 11+r Et

ϕ(mt + (1− η)−1 ∆ ln z∗t+1 + it

)exp

[(1− η)−1 ∆ ln z∗t+1

]

I und als Bedingung erster Ordnung

λit =1

1+ rEt

ϕ′(mt + (1− η)−1 ∆ ln z∗t+1 + it

)exp

[(1− η)−1 ∆ ln z∗t+1

]

98 / 113




Optimale Politik

I aufgrund des Envelope Theorems gilt für ϕ′

ϕ′ (mt ) = (r + δ) (η − 1)mt

I so dass die Bedingung erster Ordnung sich darstellen läßt als

λit =(r + δ) (η − 1)

1+ rEtmt+1

99 / 113




Optimale PolitikI Setzt man für Etmt+1 ein, so erhält man

λit =(r + δ) (η − 1)

1+ r[mt + it ] σ1 +

11+ r

σ2

mit

σ1 = Et[exp

{(1− η)−1 ∆ ln z∗t+1

}]σ2 = Et

[(1− η)−1 ∆ ln z∗t+1 exp

{(1− η)−1 ∆ ln z∗t+1

}]∼=

Et∆ ln z∗2t+1(1− η)2

+Et∆ ln z∗t+1(1− η)

I wobei σ1 das Trendwachstum des optimalen Kapitalstocks misst undσ2

σ1(r+δ)(1−η)den Zielunterschied zwischen friktionslosem und

friktionalen Kapitalstock mißt.

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Modell Partieller AnpassungFehlerkorrekturmodell

I die Investitionsrate erfüllt mithin

it = −(r + δ) (1− η) σ1

λ (1+ r) + (r + δ) (1− η) σ1mt +

σ2λ (1+ r) + (r + δ) (1− η) σ1

I Wenn wir nun für mt und it wieder kt bzw. k∗t einsetzen erhalten wir

∆ ln kt+1 = φ1 (ln k∗t − ln kt ) + φ2

ln kt+1 = ln kt + φ1 (ln k∗t − ln kt ) + φ2

I wobei 0 < φ1 < 1 und ∂φ/∂λ < 0. Die Anpassungsgeschwindigkeitnimmt also in den Anpassungskosten ab.

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Modell Partieller AnpassungKointegration

I Der Kapitalstock folgt also einem Fehlerkorrekturmodell:I in jeder Periode wird ein Teil φ1 des Abstandes zwischen friktionslosoptimalem und tatsächlichem Kapitalstock abgebaut.

I friktionslos optimaler Kapitalstock bzw. Profitbilität undtatsächlicher Kapitalstock sind kointegriert: gemeinsam folgen sieeinem random-walk, der abstand zwischen beiden ist aber stationärund nicht persistent.

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Modell Partieller AnpassungKointegration

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Modell Partieller AnpassungVerteilung der Investitionsraten

I Aus der Fehler-Korrektiurdarstellung erhlaten wir zunächst

ln kt+1 = (1− φ1) ln kt + φ1 ln k∗t

I Durch bilden erster Differenzen (∆xt = xt − xt−1) ergibt sich fürdie Netto-Investitionsrate

∆ ln kt+1 = (1− φ1)∆ ln kt + φ1∆ ln k∗t

I Durch Rückwärtseinsetzen und Ersetzen von k∗t durch (1− η)−1 z∗terhält man dann

∆ ln kt+1 = φ1 (1− η)−1∞

∑s=0

(1− φ1)s ∆ ln z∗t−s

so dass für normalverteilte ∆ ln z∗t−s auch die Investitionsratennormalverteilt sind.

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Konzentrierte Investitionen

I Schaut man sich die Verteilung der Investitionsraten auf derMikroebene an, stellt man fest, dass sehr viele Betriebe meist fastgar nicht investieren und wenn sie investieren, dann meist sehr viel(Doms und Dunne, 1999).

I Die Querschnittsverteilung der Investitionsraten weißt deutlichenicht-Normalität auf (während Profitabilitätsschocks fastnormalverteilt sind): Sie ist rechtsschief und exzessiv gewölbt(leptokutotisch) (Bachmann und Bayer, 2009).

I Es ist aus den vorangegangenen Überlegungen klar, dass beiquadratischen Anpassungskosten die Investitionsrate dieEigenschaften des Profitabilitätsprozesses erbt:

I Der friktionslos optimale Kapitalstock ist eine lineare Funktion derProfitabilität.

I Die Investitionsrate erbt die Normalverteilung derProfitabilitätsschocks.

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"Unkoventionelle" InvestitionskostenMotivation

I Eine Möglichkeit diese empirischen Beobachtungen zu modellieren,bieten nicht-konvexe Anpassungskosten.

I Nicht konvexe Anpassungskosten haben die Eigenschaft, dass dieSumme der Kosten keiner (einer kleinen) Anpassung und einergroßen Anpassung unter den Kosten zweier mittlerer Anpassungenliegen.

I Sie bieten somit ein ökonomisches Motiv für die Ballung vonInvestitionstätigkeit, eben um Anpassungskosten zu sparen.

I Eine andere Möglichkeit sind (partielle) Irreversibilitäten, durch sieentspricht die Möglichkeit der Investition einer amerikanischenKaufoption, die auch erst zu einem Kurs über demBasiskursausgeübt wird. Bei der man also mit dem Handeln wartetund oft nichts tut.

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Beispielepartielle Irreversibilität

Example (1)Das Kapitalgut kann nicht zum Einkaufspreis wieder verkauft werden,weil gebrauchte Kapitalgüter nur mit einem deutlichen Abschlaggehandelt werden, der z.B. aus adverser.Selektion herrührt (z.B.gebraucht KFZ Markt). Wir können dies so modellieren, dass pk derWiederverkaufspreis ist, Pk der Einkaufspreis und somit

C (kt+1, kt ) ={(Pk − pk ) (kt+1 − (1− δ) kt ) (kt+1 − (1− δ) kt ) > 0

0 sonst

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BeispieleProduktionsausfall

Example (2)Um neues Kapital zu installieren oder zu deinstalliere, muss derProduktionsprozess angehalten werden, dadurch geht ein Teil λ derProduktion der laufenden Periode verloren (wir nehmen der Einfachheithalber an, die Arbeiter werden in der Zeit entlassen)

C (kt+1, kt ) ={

λz∗t kηt (kt+1 − (1− δ) kt ) 6= 0

0 sonst

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BeispieleInstallationskosten

Example (3)Um neues Kapital zu installieren oder zu deinstallieren, müssen λArbeitsstunden aufgewendet werden

C (kt+1, kt ) ={

λw (kt+1 − (1− δ) kt ) 6= 00 sonst

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Fixe InvestitionskostenModell

I Die in Beispielen 2 und 3 genannten Kosten sind in ihrer Wirkungsehr ähnlich, Beispiel 1 ist etwas anders.

I Wir wollen uns im Folgenden zunächst mit Beispiel 2 beschäftigen.

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Kapitel 4Konsumentscheidungen

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Lernziele

I IrreversibilitätI Simulation von Verteilungen

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Kapitel 4: Dauerhafte KonsumgüterÜberblick

1. Dauerhafte Konsumgüter

2. Enstcheidungsproblem

3. Simulation

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Dynamische Makroökonomik - University of Bonn · Dynamische Makroökonomik Prof. Dr. Christian Bayer Universität Bonn July 6, 2010 1 / 113