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Eine CRFEM fur das Stokes Problem

Pascal Huber

30. Juni 2014

1 Motivation und Einleitung

Nachdem wir in den letzten Vortragen die nicht-konforme Crouzeix-Raviart Diskretisierungfur die Poissongleichung naher beleuchtet haben, wollen wir in diesem Vortrag dasCrouzeix-Raviart Element zur numerischen Losung der Stokes Gleichung

u+p = f in und div u = 0 in (1)verwenden. Im Gegensatz zur Poissongleichung ist fur die Stokes Gleichung eine Diskretisierungmit Hilfe von konformen P1 Elementen nicht moglich, sodass eine einfache nicht-konformeMethode durchaus ihre Daseinsberechtigung hat.

Im Folgenden wollen wir zunachst die schwache Formulierung des Stokes Problems, sowiedie Bedingungen zur eindeutigen Existenz von Losungen wiederholen.Anschlieend definieren wir eine Finite Elemente Methode (FEM) fur das Problemmit Hilfe von nicht-konformen Crouzeix-Raviart Elementen und zeigen, dass diese sodefinierte Diskretisierung stabil ist, d.h. eine bestimmte inf-sup-Bedingung erfullt ist.Dies ermoglicht uns dann auch im letzten Teil eine Fehlerabschatzung zur Bestapproxi-mation dieser FEM mittels Medius Analyse durchzufuhren.

2 Das Stokes Problem

Schwache Formulierung des Stokes Problems Das Stokes Problem beschreibt denDruck und das Geschwindigkeitsfeld von inkompressiblen Flussigkeiten mit hoher Viskositat(und ist damit eine linearisierte Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen).

Die schwache Formulierung des Stokes Problem fuhrt mathematisch zu einem Sattelpunk-tproblem. Wir betrachten das folgende Modellproblem:

Modellproblem 1 (Schwache Formulierung). Sei R2 ein polygonales beschranktesLipschitz-Gebiet und

V := H10 (;R2) und Q := L20() := {q L2() :

q(x) dx = 0}.

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Wir definieren die Bilinearformen a : V V R und b : V Q R durch

a(u, v) :=

u : v dx und b(v, q) :=

div v q dx

und die Normen V := H1(;R2) und := L2().Fur f L2(;R2) finde (u, p) V Q, sodass folgende Gleichungen erfullt sind:{

a(u, v) b(v, p) = f, vL2(;R2) fur alle v Vb(u, q) = 0 fur alle q Q. (2)

Hierbei bezeichnet u V das Geschwindigkeitsfeld der Flussigkeit und p Q derenDruck. In der Definition von a(, ) bezeichnet A : B das Skalarprodukt fur Matrizen ausR22:

A : B :=

2i,j=1

Ai,jBi,j .

Existenz und Eindeutigkeit von Losungen des Stokes Problems Bevor wir uns derDiskretisierung des Problems zuwenden, bleibt noch die Frage nach Existenz und Ein-deutigkeit der Losung von Problem 1 zu klaren.

Da es sich hier um ein gemischtes Problem mit zwei Unbekannten handelt, ist dergewohnliche Ansatz fur den Existenzbeweis mit dem Lemma von Lax-Milgram nichtmoglich. Stattdessen verwendet man das Splitting-Theorem von Brezzi, das die Existenzund Eindeutigkeit von Losungen fur allgemeine Sattelpunktprobleme liefert.Dazu muss gezeigt werden, dass zum einen die Bilinearform a(, ) auf dem Unterraum

Z := {v V : q Q : b(v, q) = 0} (3)

elliptisch ist und dass b(, ) die folgende inf-sup-Bedingung erfullt:

> 0 : infqQ

supvV

b(v, q)

vV q . (4)

Im Fall der Stokes Gleichung sind beide Bedingungen erfullt, was die eindeutige Existenzder Losung (u, p) V Q liefert.

3 CR-Diskretisierung und Stabilitat

3.1 Motivation

Die Schwierigkeiten bei der Wahl geeigneter FE-Raume fur das Stokes Problem bestehennicht nur darin gute Konvergenzraten der diskreten Losung zu erreichen, sondern auchschon in der Frage nach der eindeutigen Existenz dieser Losungen.

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Wie schon bei der Untersuchung der Existenz und Eindeutigkeit von Losungen fur daskontinuierliche Stokes Problem mussen bei der Diskretisierung zwei Unbekannte bes-timmt werden. Dies erfordert zum einen die Wahl von gemischen Finiten Elementenund zum anderen muss fur diese FE-Raume wieder eine (diskrete) inf-sup-Bedingungerfullt sein, um die eindeutige Existenz der Approximation sicherzustellen. Man sprichtdabei auch von inf-sup-Stabilitat.

Es stellt sich zum Beispiel heraus, dass die Diskretisierung des Stokes Problems mit Hilfevon konformen P1-Elementen fur die Geschwindigkeit und P0-Elementen fur den Drucknicht inf-sup-stabil sind. Stattdessen erhalt man durch das Hinzufugen von sog. bub-ble-Funktionen zum Geschwindigkeitsraum das strukturell einfachste konforme FE-Paar.

Aus diesem Grund ist die Frage nach einfachen nicht-konformen FEM fur das StokesProblem durchaus berechtigt. Einen Hinweis darauf, dass Crouzeix-Raviart-Elemente(CRFEM) zusammen mit stuckweise konstanten Druckfunktionen das Stokes Problemgut diskretisieren gibt die Tatsache, dass das diskrete Analogon zur Menge Z in (3)

Zh := {vh Vh : qh Qh : bh(vh, qh) = 0} (5)

im Fall der CRFEM nicht trivial ist (im Gegensatz zur konformen P1-P0-Diskretisierung).Die Losungsraume Vh und Qh scheinen also fur das Crouzeix-Raviart Element gut aus-gewogen zu sein.

3.2 Beschreibung der Diskretisierung

Zur Diskretisierung von Modellproblem 1 verwenden wir eine quasi-uniforme Trian-gulierung Th des Gebiets und fuhren die folgenden Bezeichungen ein:

h := max{hT : T Th} mit hT := diam(T ) fur T Th E und N : Menge aller Kanten bzw. Knoten von Th mid(E): Kantenmittelpunkt von E E , analog mid(E) h und divh: Elementweiser Gradient bzw. Divergenz

Desweiteren definieren wir die Funktionenraume

Pk(Th) :={vh L2(): T Th : vh|T Pk(T )

}(6)

CR10(Th) := {vh P1(Th) : vh stetig in mid(E), vh(mid(E)) = 0 fur E E} (7)

und die Normenf := fL2() und vh := h v (8)

fur f L2() und v CR10() +H10 (). (Analog fur vektorwertige Funktionen.)Mit diesen Bezeichnungen konnen wir nun das diskrete Modellproblem zu (2) formulieren:

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Modellproblem 2 (CR-Diskretisierung). Seien Qh := L20() P0(Th) und Vh :=

CR10(Th) CR10(Th). Weiter seien die diskreten Bilinearformen ah : Vh Vh R undbh : Vh Qh R definiert durch

ah(uh, vh) :=

h u : h v dx und bh(vh, qh) :=

qh divh vh dx. (9)

Fur gegebenes f L2(;R2) finde (uh, ph) Vh Qh, sodass{ah(uh, vh) bh(vh, ph) = f, vhL2(;R2) fur alle vh Vhbh(uh, qh) = 0 fur alle qh Qh.

(10)

Die Methode ist offensichtlich nicht-konform, da offensichtlich Vh 6 V .

3.3 Stabilitat der CR-NCFEM

Wie bereits erwahnt, zeigt man die Existenz und Eindeutigkeit der diskreten Losung(uh, ph) in Modellproblem 2 wieder mit Hilfe des Brezzi-Splitting Theorems.

Die Definition der Normen h und h stellt die Stetigkeit der Bilienarformen, sowiedie Elliptizitat von a(, ) sicher. Das eigentliche Kriterium fur die Existenz und Ein-deutigkeit ist also wieder die inf-sup-Bedingung.

Definition 1 (Stabilitat von FEM). Eine FE-Diskretisierung Vh Qh fur das Modell-problem 1 heit (inf-sup-)stabil, falls > 0 unabhanging von h exisitiert, sodass

infqhQh

supvhVh

bh(vh, qh)

vhh qh . (11)

Die inf-sup-Stabilitat ist daruber hinaus auch fur die Stabilitat der numerischen Berech-nung wichtig.

Satz 1 (Stabilitat von CR-NCFEM). Die Crouzeix-Raviart Diskretisierung des StokesProblems Vh Qh = CR10(Th)2 (L20() P0(Th)) aus Modellproblem 2 ist stabil.Fur den Beweis der Stabilitat definieren wir einen nicht-konformen Interpolationsoper-ator, der auch noch spater fur die Medius Analyse eine Rolle spielen wird.

Definition 2 (Nicht-konformer Interpolationsoperator und L2-Projektion). Wir definieren:

(i) INC : H10 () CR10(Th), (INC v)(mid(E)) :=

E v ds fur E E .

(ii) 0 : L2() P0(Th), (0 f)|T :=

T f dx fur T Th.

Die Definition von INC und 0 konnen auf naturliche Weise auf vektorwertige Funktio-nen erweitert werden.

Die Motivation fur Definition 2 von INC und 0 besteht darin, dass sie jeweils eineBestapproximation ihres Arguments darstellen.

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Lemma 1 (Eigenschaften von INC und 0). (i) Fur alle v V und T Th giltT v dx =

T (INC v) dx und

h(v INC v) infwP0Th2

h v w . (12)

(ii) Fur alle f L2( und T Th giltT f dx =

T 0 f dx und

f 0 f infgP0(Th)

f g . (13)

Wir konnen nun den nicht-konformen Interpolationsoperator INC verwenden, um dieStabilitat der Crouzeix-Raviart FE-Raume zu zeigen.

Beweis von Satz 1. Fur den Beweis zeigen, wir dass der nicht-konforme Interpolation-soperator ein Fortin-Operator ist, d.h. wir zeigen:

(i) c > 0 (unabhangig von h) : INC vh c vV fur alle v V(ii) v V,qh Qh : bh(INC v, qh) = b(v, qh)

Da h(INC v) stuckweise konstant ist, folgt mit (12)

h(INC v) : h(INC v) dx =

v : h(INC v) dx v INC vh (14)

und damit (i) mit c = 1. Auch (ii) folgt aus der Mittelwerteigenschaft, da qh Qhstuckweise konstant ist.Sei nun qh Qh beliebig. Dann erhalt man aus der inf-sup-Bedingung von b(, ) und(i), (ii):

qh supvV

b(v, qh)

vV(ii)= sup

vVbh(INC v, qh)

vV(i)

supvV

bh(INC v, qh)

INC vh sup

vhVh

bh(vh, qh)

vhh.

Bemerkung. Wir haben gesehen, dass die Ungleichung in (i) mit der bestmoglichenKonstante c = 1 fur den nicht-konformen Interpolationsoperator INC gilt.

4 Medius Analyse der CRFEM fur das Stokes Problem

In den vorangegangen Abschnitten haben wir gesehen, dass die Crouzeix-Raviart Diskretisierungeine relativ einfache FEM fur das Stokes Problem darstellt, die zudem sehr gute Sta-bilitatseigenschaften aufweist.Zum Abschluss des Vortrags wollen wir fur die Fehleranalyse ein Resultat zur Best-Approximation der Crouzeix-Raviart Diskretisierung angeben und mit Hilfe einer MediusAnalyse beweisen.

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Satz 2 (Best-Approximation der CRFEM). Sei (u, p) V Q die Losung von (2) und(uh, ph) Vh Qh die Losung von (10). Dann gilt:

u uhh + p ph . infvhVh

u vhh + infqhQh

p qh+ osc(f, h), (15)

wobei die Oszillation von f durch osc(f, h) := h(f 0 f) definiert ist.Bemerkung. Man beachte, dass fur dieses Resultat keine weiteren Regularitatsannahmenan die Losung (u, p) gemacht werden muss.

4.1 Konforme Begleitabbildungen

Fur den Beweis von Satz 2 verwenden wir wie schon im letzten Vortag sogenanntekonforme Begleitabbildungen der Form

Jk : CR10(Th) Pk(Th) C0().

Dadurch konnen wir einen Zusammenhang zwischen dem nicht-konformen Crouzeix-Raviart FE-Raum und konformen Raumen herstellen.

Wir definieren eine konforme Begleitabbildung von der Ordnung k = 3 wie folgt:

Definition 3 (Konforme Begleitabbildung J3). Wir definieren wir die konformen Be-gleitabbildungen Jk : CR

10(Th) Pk(Th) C0() fur k = 1, 2, 3 wie folgt fur vh

CR10(Th):(i) J1vh :=

zN ()

(|T (z)|1TT (z) vh|T (z)z)

(ii) J2vh := J1vh +

EE()(E(vh J1vh) ds

)bE

(iii) J3vh := J2vh +

TTh(T (vh J2vh) dx

)bT .

Dabei bezeichnen N () und E() die Menge allere inneren Knoten bzw. Kanten undweiter z die konforme nodale Basisfunktion bzgl. z N , bE := 6ab die Bubble-Funktion bzgl. der Kante E := conv{a, b} E und bT := 60abc die Bubble-Funktionfur das Element T := conv{a, b, c} Th.Bemerkung. Auf Vh ist Jk komponentenweise definiert.

Die Motivation fur die Definition von J3 ist im Wesentlichen durch das folgende Lemmagegeben. Es besagt, dass die Begleitabbildung gewisse Mittelwerteigenschaften erfullen,was wir im Hauptbeweis mehrmals ausnutzen werden.

Lemma 2 (Eigenschaften von J3). Die konforme Begleitabbildung J3 : CR10(Th)

P3(Th) C0() hat folgende Eigenschaften:(i)

T h(vh J3vh) dx = 0 und

T vh J3vh dx = 0 fur vh CR10(Th) und T Th,

(ii) h(vh J3vh) .h1(vh J3vh) . h vh fur alle vh CR10(Th).

Ubersicht zu den verwendeten Relationen!

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4.2 Beweis der Best-Approximation

Mit Hilfe von Lemma 2 sind wir nun in der Lage Satz 2 in zwei Schritten zu beweisen:

1. Fur die Abschatzung von u uhh nutzen wir die Eigenschaften von J3 aus.2. Die Abschatzung des Druckterms p ph leitet sich Wesentlichen aus der Sta-

bilitat des Crouzeix-Raviart Elements her.

Beweis von Satz 2.Teil 1: Abschatzung fur die Geschwindigkeit:Wegen Lemma 1 genugt es

u uhh . u INC uh + p0 p+ osc(f, h) (16)

zu zeigen. Aus der Definition von ah(, ) folgt

u uh2h = ah(u uh, u INC u) + ah(u uh, INC u uh). (17)

Wir schatzen den zweiten Term in (17) ab. Dazu setzen wir wh := INC uuh Vh. Ausdiv u = 0 und divh uh = 0 erhalt man mit der Mittelwerteigenschaft von INC, dass auchdivhwh = 0 punktweise gilt. Damit folgt

ah(u uh, wh)= ah(u,wh J3wh) + a(u, J3wh) ah(uh, wh)= ah(u,wh J3wh) + b(J3wh, p) + f, J3whL2 bh(wh, ph) f, whL2 .

Wegen der Mittelwerteigenschaft von J3 gilt fur alle g P0(Th)22

g : h(wh J3wh) dx = 0. (18)

Mit 0u = h INC u erhalt man deshalb durch Anwendung der Cauchy-Schwarz Un-gleichung

ah(u uh, wh)=ah(u INC u,wh J3wh) + b(J3wh, p0 p) + f 0 f, J3wh whL2u INC uh wh J3whh + p0 p J3whh

+ h(f 0 f)h1(J3wh wh)

(ii)

. (u INC uh + p+ 0 p+ osc(f, h)) whh . (19)

Aus der Mittelwerteigenschaft von INC erhalt man

whh = (ah(INC u uh, wh))1/2 = (ah(u uh, wh))1/2. (20)

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Eingesetzt in (19) ergibt das schlielich fur den zweiten Summanden aus (17)

ah(u uh, INC u uh) . u INC uh + p0 p+ osc(f, h). (21)

Fur den ersten Summanden folgt mit der Youngschen Ungleichung

ah(u uh, u INC u) 12

(u uh2h + u INC u2h

), (22)

woraus schlielich zusammen mit (21) die Abschatzung (16) folgt.

Teil 2: Abschatzung fur den Druck:Es genugt wieder nur

p ph . uh uh + p0 p+ osc(f, h) (23)

zu zeigen. Dazu verwenden wir die inf-sup-Stabilitat des Elementpaares Vh Qh. Da(ph 0 p) Qh, gibt es ein Element vh Vh mit vhh = 1, so dass

ph 0 p . bh(vh, ph 0 p). (24)

Da ph die Losung des diskreten Problems ist gilt mit 0 vh = 0 J3vh

ph 0 p . ah(uh, vh) f, vhL2 bh(J3vh,0 p). (25)

Durch Addition von 0 = b(J3vh, p)a(u, J3vh)+f, J3vhL2 erhalt man unter Ausnutzungder Mittelwerteigenschaft von J3:

ph 0 p (26). ah(uh, vh) a(u, J3vh) + b(J3vh, p0 p) + f, J3vh vhL2= ah(uh u, vh) a(u, vh J3vh) + b(J3vh, p0 p) + f, J3vh vhL2= ah(uh u, vh) a(u INC u, vh J3vh)

+ b(J3vh, p0 p) + f 0 f, J3vh vhL2 .

Mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung und Lemma 2, sowie u INC uh u uhh(siehe Lemma 1) erhalt man schlielich wegen vhh = 1

ph 0 p . uh uh vhh + u INC uh vh J3vhh+ p0 p J3vhh h(f 0 f)

h1(J3vh vh)h. (uh uh + p0 p+ osc(f, h)) vhh. uh uh + p0 p+ osc(f, h). (27)

Mit der Dreiecksungleichung erhalt man dann die Abschatzung (23) und damit letz-tendlich die Behauptung von Satz 2.

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