Medföljer Skogsvardsföreningens

Tidskrift. Häfte 1. 1928.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM

NAGRA UNDERSOKNINGAR OVER STAMFORMEN

AV

LARS TIREN

MEDDELANDEN FRAN STATENS SKOGSFöRSöKSANSTALT HAFTE 24 · Nr 4

CENTRALTRYCKERIIlT, STOCKHOLM 1928

MEDDELANDEN FRAN

STATENS SKOGSFORSOKSANSTALT

HÄFTE 24. 1927-28

MITTEILUNGEN AUS DER FORSTLICHEN VERSUCHS­

ANSTALT SCHWEDENS 24. HEFT

REPORTS OF THE SWEDISH INSTITUTE OF EXPERIMENT AL

FORESTRY N:o 24

-BULLETIN DE L'INSTITUT D'EXPERIMENT ATION FORESTIERE DE LA SUEDE

N:o 24

CENTRALTR YCKERIET STOCKHOLM 1928

REDAKTÖR:

PROFESSOR DR HENRIK HESSELMAN

INNEHALL: Sid.

RoMELL, LARs-GuNNAR: Studier över kolsyrehushällningen i moss= rik tallskog ................................................................................ . Studien über den Kohlensäurehaushalt in moosreichem Kiefernwald 3 5

-- En nitritbakterie ur svensk skogsmark . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . 57 U n ferment nitreux forestier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

-- Markluftsanalyser och markluftning .................................... 67 Soil Air and Soil Aeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6

TrR:EN, LARS: Einige Untersuchungen über die Schaftform . .. . . .. .. 8 I Nagra undersökningar över stamformen.. .. . . . . . . . .. .. . . .. .. ... .. . . . . . . . . . . .. . . I 5o

-- Till frägan om tallstammens avsmalning och volymbe-räkning . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 53 To the Question of Tapering and Volume Calculation of Fine Trunks I 6o

PEnüNr, SvEN: Sektionskuberingens noggrannhet .......................... I64 Die Genauigkeit der sektionsweisen Kubierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 8 I

-- En närmeformel för kubering av träd .............. : .................. I87 Eine Näherungsformel für Stammkubierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I 2

SPEssrvTSEFF, FAuL: Studier över de svenska barkborrarnas biologi särskilt med hänsyn till generationsväxlingen. Del I. ......... 2 2 I

Studien über die Biologie der Borkenkäfer Schwedens mit besonderer Berücksichtigung der Generationsfrage. Erster Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 44

MALMSTRÖM, · CARL: V ära torvmarker ur skogsdikningssyn punkt . . . 2 5 I Our Peat Areas from the Point of .Forest-draining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 52

Redogörelse för verksamheten vid Statens skogsförsöksanstalt under är 1927. (Bericht über die Tätigkeit der Forstlichen Ver­suchsanstalt Schwedens im Jahre I 9 2 7 ; Report on the Work of the Swedish Institute of Experimental Forestry). · Allmän redogörelse av HENRIK HESSELMAN .............................. 373 I. Sk o gs a v delni n g en (Forstliche Abteilung; Forestry division)

av HENRIK PETTERSON ......................................................... 37 3 II. Naturvetenskapliga avdelningen (Naturwissenschaftliche

Abteilung; Botanical-Geological diYision) av HENRIK HESSELl'viAN 3 7 9 III. Skogsentomologiska avdelning~n (Forstentomologische

Abteilung; Entomological division) av IvAR TRÄGÄRDH 38o IV. Avdelningen för föryngringsförsök i Norrland (Abtei-

lung für die Verjüngungsversuche in N orrland; Division for Afforestation Problems in Norrland) EDVARD WJBECK ......... 38 r

Sammanfattning av arbetsprogrammet för ären 1927-1931 ......... 386 Zusammenfassung des Arbeitsprogrammes für die J ahrc I 9 2 7- r 9 3 I

=====L==A==R==S===T==I=R==E='=N=====~

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM.

(Resümee einer mathematischen Durcharbeitung der mechanischen Schaftformtheorie und einiger Versuche zur Anwendung derselben).

Einleitung.

Der Zuwachsbetrag, den die Natur der lebenden Substanz selbst, das Klima, die Bonität des Bodens und die Waldpflege jedem einzelnen Baum gestatten, verteilt sich irgendwie auf die Blatt­

masse, die Zweige, den Stamm und die Wurzeln. Wie gross diese Zuwachsmenge ist, wie sie sich verteilt und wie sie sich an den. ver­schiedenen Teilen des Baumindividuums orientiert, sind bedeutungsvolle Fragen, deren richtige Beantwortung unzweifelhaft die weitgehendsten Konsequenzen für die Projektierung des praktischen Waldbaues haben würde. Sie bilden zusammen einen speziellen Teil des allgemeinen Zu­wachsproblemes und können unter dem Namen »das forstliche Zuwachs­problem» zusammengefasst werden.

Beiträge zur Klarstellung desselben liefern hauptsächlich zwei Theorien, von denen jede eine für die Existenz des Baumes notwendige Voraus­setzung ins Auge fasst. Die eine dieser Zuwachstheorien wird öfters »die mechanische Theorie» genannt und geht von der unerlässlichen Not­wendigkeit hinreichender mechanischer Festigkeit des Baumkörpers aus. Die andere geht wieder von einer ebenfalls unerlässlichen Forderung zureichender Wasserversorgung für die Krone aus. Diese letztere Theorie gründet sich also auf den Transpirationsprozess und wird deshalb ge­wöhnlich »die Transpirationstheorie» genannt. Die mechanische Theorie wurde in forstlicher Ausformung in den Jahren 1893-95 von dem jetzigen Attache in Helsingfors, Professor CARL METZGER, vorgelegt (1893). Der Urheber der Transpirationstheorie ist der Professor an der Ecole PQly­technique federale in Zürich, FAUL JACCA~D, welcher dieselbe im Jahre 1919 in einer grösseren Preisschrift veröffentlichte (1919).

Der Vollständigkeit halber kann hier hinzugefügt werden, dass der Assimilationsprozess des Baumes als dritter Ausgangspunkt für die Beur­teilung der Schaftform und des Zuwachses genommen werden kann.

6. Meddel. frdn Statens Skogsförsöksanstalt. Häft. 24.

82 LARS TIREN

Wohin dieser Weg schliesslich führt, ist jedoch noch nicht näher unter­sucht worden. r

Schon daraus, dass wenigstens zwei voneinander vollständig unab­hängige Theorien zur Erklärung des Zuwachs- und Formbildungspro­blemes aufgestellt worden sind, geht hervor, dass dieses noch sehr grosse Schwierigkeiten in sich birgt. Für die forstliche Forschungsarbeit, damit sie nämlich richtigerweise jenen praktischen Zwecken diene, auf die hin jede vorwärtsstrebende Forschung direkt oder indirekt orientiert ist, ist es deshalb durchaus notwendig, zu einer klaren und haltbaren Auffassung der schwierigen Frage zu gelangen. In dem vorliegenden Aufsatz ver­suche ich, diesem Ziel· dadurch näher zu kommen, dass ich die mecha­nische Schaftformtheorie, die mich besonders interessiert hat, mehr im Detail, als es bisher geschehen ist, durchforsche. Es ist um so leichter verständlich, dass dieser Weg gewählt wurde, als die mechanische Schaft­formtheorie in Schweden besonders wichtigen praktischen Arbeitsmetho­den zugrunde liegt. Es muss zunächst eine für die forstliche Tätigkeit dringende Frage sein, ob diese auf eine Realität oder Chimäre basiert sind. Die mathematischen Auseinandersetzungen, welche einen erheb­lichen Raum in diesem Aufsatz einnehmen, und deren Bedeutung vielleicht nicht sofort in die Augen fällt, bilden ein notwendiges Glied in der Ar­beit an der Lösung dieses Problems.

Die Hauptgesichtspunkte der mechanischen Theorie sind wohlbekannt und brauchen hier nicht wiederholt zu werden. Um diese strikt anwen­den zu können, muss, wie man unmittelbar einsieht, Folgendes bekannt sein: r:o die Windgeschwindigkeit im Bestande, z:o der von der Krone empfangene Winddruck, 3:o die der Beeinflussung des Windes ausgesetzte Oberfläche der Krone. Jedes einzelne dieser drei wesentlichen Momente habe ich deshalb untersucht und wird hierüber in den drei ersten Kapiteln ein kurzgefasster Bericht gegeben. Danach folgt in Kapitel IV und V eine Darstellung der theoretisch­mechanischen Verhältni.sse, die von fundamentaler Bedeutung für die Theorie sind. Erst danach folgt im Kapitel VI eine Anwendung auf ein paar Probefichten und in Kapitel VII eine Studie über die Schaftform dichtgeschlossener Bestände.

Damit der Zusammenhang dieser recQt zersplitterten Arbeit nicht gänz­lich durch die Menge der darin behandelten verschiedenen Fragen ver­deckt werde, will ich hier einige Bemerkungen vorausschicken.

I Vgl. die Untersuchung von GANSSEN u. GöRZ, Mitteil. aus d. Lab. d: Preuss. Geol. Landesanst., sowie Deutsche Waldwirtschaft etc., ERH. HAUSEND.ORFF.

Von besonderer Interesse für die Auffassung der mechanischen Theorie wie auch der Transpirationstheorie, sowie für das Verständnis der physiologischen Vorgänge der Bäume überhaupt sind die Untersuchungen von JAGADIS CHUNDER BosE. (Physiologie des Saft­sleigens u. a. m.).

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 83

Die im Kapitel VI vorgenommene Prüfung der Theorie gab so gute Resultate, dass ich dadurch veranlasst wurde, die Gültigkeit für gewöhn­liche, normale Stämme bis auf weiteres als ganz klar zu betrachten. Ich versuchte danach mechanische Berechnungen auf einige mehr oder we­niger abnorme Schaftformen anzuwenden, unter diesen hauptsächlich sol­che, die in äusserst gedrängt geschlossenen Beständen zu finden sind. Diese Untersuchung wieder brachte sehr unsichere und schwer zu deu­tende Resultate, was zur Folge hatte, dass die Frage auch hinsichtlich normaler Bestände wieder aufgenommen wurde. Von diesen letzteren Untersuchungen liegen noch keine endgültigen Resultate vor. Sie sind auch nicht im Felde fertig. Die Lage, in der sich die Frage der Schaft­form, des Zuwachses und der absoluten Dimensionen, von mechanischem Gesichtspunkte aus betrachtet, vorläufig befindet, ist folglich sehr labil, und es ist noch vollkommen unmöglich, eine bestimmte Auffassung des Problemes zu formulieren.

Um einem Missverständnis vorzubeugen, das sonst leicht unterlaufen könnte, will ich erwähnen, dass in dieser Frage das Ziel der Forschung nicht in ein er Wahl zwischen den zwei oder drei obengenannten Zu­wachs- und Schaftformprinzipien erblickt werden darf, sondern vielmehr in einer Ergründ ung der Art ihres Zusammenwirkens und einer Unterscheidung der Fälle, in denen bald das eine, bald das andere die dominierende Rolle spielt. Er dürfte wohl auch unnötig sein, besonders hervorzuheben, dass eine befriedigende Lösung des Zuwachsproblemes schliesslich nur eine physiologische sein kann, d. h. die physiologische Kausalität muss einmal vollständig beachtet werden.

Ein beträchtlicher Teil der vorliegenden Arbeit ist durch einen Geld­beitrag aus dem Fonds für forstwissenschaftliche Forschung ermöglicht. Dem Verwaltungsrat bezeuge ich hiermit ehrerbietigst meine tiefgefühlte Dankbarkeit.

KAP. I. Die Geschwindigkeit des Windes im Bestande.

Dieses Kapitel bildet ein kurzes Resümee eines kleinen von mir früher auf schwedisch publizierten Aufsatzes (1924). Die Untersuchungen wurden in 5 Beständen, wovon 4 Fichtenbestände und I Kiefernbestand, aus­geführt. Ausserdem wurden auch Messungen auf freiem Felde vorge­nommen, wobei jeder Bestand wenigstens IÖO m von dem Messungs­platz entfernt lag. Die Bestände waren verschieden dicht geschlossen. Nach der in Schweden üblichen Skala für den Bestandesschluss gehörten sie zu den Graden o,z, 0,5, 0,7 und o,s. Die Ziffer o,z repräsentiert einen äusserst lockeren Schluss, und Bestände mit diesem geringen

84 LARS TIREN

Dichtigkeitsgrad werden meistens als Kahlboden gerechnet. Die Schluss­grade 0,7 und o,s kommen am öftesten vor. Vollgeschlossene (r,o) Be­stände konnten für diese Untersuchung nicht gefunden werden. Der Schlussgrad des Kiefernbestandes war o,s. Eine gerrauere Charakteristik der Schlussgrade könnte freilich mit Hilfe der Mittelhöhe und der Grund­fläche des Bestandes geliefert werden, aber da die Messungen der Wind­geschwindigkeit nur ziemlich wenige und nur dazu bestimmt sind, eine Auffassung von den ungefähren Veränderungen derselben zu geben, dürfte eine nähere Präzision des Bestandesschlusses in diesem Zusammen­hang unnötig sein.

Für die Messung der Windgeschwindigkeit wurden drei Windmesser von ROBINSoN'schem Typus benutzt. Eines der Instrumente wurde an dem einen Ende einer 3 m langen Holzstange, die beiden anderen in derselben Weise je an einer 9 m langen Stange angebracht. Das erst­genannte Instrument und eines der beiden anderen wurden nebenein­ander in dem Bestande, wo die Messungen auszuführen waren, aufge­stellt. Von diesen beiden Instrumenten erhielt man somit Angaben der Windgeschwindigkeit in 3 resp. 9 m Höhe über dem Boden. Der dritte Windmesser wurde auf freiem Felde ausserhalb des Bestandes an der Windseite derselben aufgepflanzt. Es ist ja klar, dass die von diesem Instrumente erhaltenen Windgeschwindigkeitsangaben den wirklichen Windgeschwindigkeiten oberhalb des Bestandes, in welchem sich die beiden anderen Instrumente befinden, nur sehr annähernd entsprechen können. Gewisse V orsichtsmassregeln wurden jedoch getroffen, betreffs der Aufstellung der Instrumente, des Abstandes zwischen denselben und des Zeitpunktes der Messungen, um den Fehler auf ziemlich mässige Beträge herunterzubringen.

Angaben der Windgeschwindigkeiten in m pro sec werden in nach­stehender Tabelle I mitgeteilt.

Tab. I. Windgeschwindigkeiten der untersuchten Bestände in rn/sec. Vindhastigheter i de undersökta bestanden i mfsek.

I Höbe ilb~mdem Bodeo I Fichtenbestände

I

Kiefern-

I

Freies

I I I bestand Feld

I 2 3 4

~ :::::::::.:::::::::::::::::1 I ,8 I ,s I

I ,z 0,6 I ,r

I 2,9

2,7 2,o 2,2 I ,z I >7 3,r Oberhalb der Gipfel ... 3,8 3,8 I 6,9 4.3 5 ,r -Anzahl der Messungen 4

I

I4 I

9

I

6

I

6 I2

I Anzahl der Plätze, wo I Mess. ausgef. wurden 1 I 3 I 2 2 3 3

Diese Angaben sind in reiative Masse umgerechnet worden, die "''ind­geschwindigkeit oberhalb des Bestandes dabei = ro gesetzt; die Wind-

Re/ Bertande.rhöhe 12.0

60

0.0

7 ö 9 10

Fig. I. Approximative Windgeschwindigkeiten für verschiedene Schlussgrade. Für den Schlussgrad I,• und in 9°/z 2 o der grössten Höhe des Be­standes liest man eine Geschwindigkeit J,z ab. Für den Schlussgrad o,. in 3°/z•o der grössten Höhe findet man eine Geschwindigkeit 5,8. Approximativa vindhastigheter för olika slutenhetsgrader.

86 LARS TIREN

geschwindigkeitskurven wurden sodann graphisch entworfen, wobei auch die Windkurven der fehlenden Schlussgrade durch Inter- und Extra­polation erhalten wurden.

In Fig. r werden die Veränderungen der Windgeschwindigkeit von den Baumwipfeln bis zum Boden in den untersuchten Beständen ver­anschaulicht, und in Tab. 2 werden in relativ~n Massen die Windge­schwindigkeiten in verschiedenen Niveaus in Beständen (Fichte) von ver­schiedener Geschlossenheit mitgeteilt. Auf Grund ·gewisser Umstände, die hier nicht näher berührt werden, ist die relative grösste Höhe des Bestandes = 120 gesetzt.

Tab, 2, Relative Grösse der Windgeschwindigkeit in Beständen von verschiedenem Schlussgrad.

Relativ vindhastighet i bestand av olika slutenhet.

I Schlussgrad Relative Höhe über dem Boden I

I

20 I 40 I 6o I So I IOO I I20

I

I

I

I o,o 9,2 9·4 9·5 9,6 9,8 101o

i 0,2 5,o 6,s S,o 9,o 9,5 »

I 0,4 3,6 4,8 6,o 7,6 9,o ))

I 0,5 3,2 4,o 4,9 6,5 8,7 ))

0,6 2,4 J,o J,8 5.4 s,I " 0,7 I ,7 2,4

I 3,2 4.5 7,5 >

0,8 I ,3 2,o

I 2,8 3,9 6,7 »

I ,o I 0,8 I ,3 2,o J,o 5,2 I >

I I ,I

I 0,6 I ,o I ,7 2,6 4,8

I »

I I 12 0,5 0,8 I 15 2,3 4.4 » I

Die in Tab. 2 angegebenen Ziffern haben selbstverständlich eine sehr begrenzte Gültigkeit. Teils ist die Untersuchungsmethode selbst mit grossen Schwächen behaftet, teils sind die Messungen wenige und teils die wirklichen Windgeschwindigkeiten, bei denen die Messungen vor­genommen wurden, nicht besonders gross, was alles dahin zusammen­wirkt, die Angaben sehr approximativ zu machen. Es muss dies genau im Gedächtnis behalten werden, wenn sie dennoch mangels etwas Besseren im Folgenden zur Anwendung kommen.

KAP. II. Der Druck des Windes auf die Kronenfläche.

Betreffs des Druckes des Windes auf die Kronenfläche lässt uns so­wohl die klassische als die moderne, hochentwickelte Hydrodynamik im Stich. Der ersteren nach soll der Druck (T) proportional sein einer gewissen Potenz der Geschwindigkeit (h) des beweglichen Fluidums. Diese Potenz schwankt je nach der Beschaffenheit des Fluidums und der

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 87

Grösse der Geschwindigkeit zwischen den Werten: 2 (NEWTON), 3/2 (AL­LEN) und I (STOKES). Auch wenn ich diese Potenz zwischen den Ex­tremwerten I und 2 wechseln lasse, ist es niir nicht gelungen, die Form eines Schaftes mit Hilfe mechanischer Formeln richtig zu berechnen. Dadurch wurde ich veranlasst, den von der Baumkrone empfangenen Winddruck näher, aber immerhin nur flüchtig, zli untersuchen.

Es wurde zu diesem Zweck eine zweiflüglige Luftschraube von Flug­maschinentypus konstruiert und an einem elektrischen Motor von I 5 PS und einer Umdrehungszahl von 1,400 in der Minute montiert. Vor dem Propeller wurde ein hölzernes Rohr von 1, 8 m Durchmesser aufgestellt. Durch einen in den Stromkreis eingeschalteten Wasserwiderstand wurde

Fig. 2. Schematisiertes Bild der Versuchsanordnung. Schematiserad bild av fOrsöksanordningen.

die Rotationsgeschwindigkeit des Propellers· regulierbar gemacht. Vor dem Rohr wurde eine Pendelvorrichtung aufgehängt (siehe Fig. 2), an der Äste in verschiedenen Lagen im Verhältnis zur Windrichtung be­festigt werden konnten. Durch Gewichte wurde der Pendel in kon­stanter, vertikaler Lage gehalten. Obwohl manches an der Versuchs­anordnung ausgesetzt werden könnte, fungierte sie doch gut, und für eine Orientierung in der Frage, glaube ich, darf man sie als einiger­massen ausreichend ansehen. Es ist jedoch wahrscheinlich, dass die Wirbel des durch die Schraube erzeugten Luftstromes kräftiger ausfallen als die Wirbel des natürlichen Windes.

Untersucht wurden 7 Fichtenäste von verschiedener Grösse und Steif­heit wie auch 2 Kiefernäste. Sie wurden der Einwirkung von vVind­geschwindigkeiten zwischen etwa 4 und r6 rn/sec in 5 verschiedenen Lagen (siehe Fig. 3) ausgesetzt.

88 LARS TIREN

Aus Fig. 4, die alle Messungen für einen der Fichtenzweige wieder­gibt, geht deutlich hervor, dass der NEWTON'sche Satz: T = ch 2 nicht gültig sein kann.

Überhaupt kann keine Kurve des parabolischen Typus: T =eh" mit konstantem Exponent n, die Abhängigkeit zwischen Windgeschwindigkeit und Winddruck wiedergeben. Auch wenn der Exponent n zwischen den Werten 1 und 2 variiert wird, kann eine Kurve von dem fraglichen Typus nicht entstehen. Das Charakteristische für die experimentelle Druckkurve ist das Vorhandensein eines In­flexionspunktes. Links (Intervall o- Infl. p.) von diesem ist die Kurve konvex gegen die Windgeschwindigkeitsachse, rechts (Infl. p. ---7) ist sie konkav.

hohen Windgeschwindigkeiten der Ast ausserdem kleine Zweige zweiter und

, . .. '[

Fig. 3· Die verschiedenen Lagen der Äste im Verhältnis zur Windrichtung. Kvistarnas olika ställning i förh:Hlande till vindriktningen . .

höherer Ordnung aneinandergepresst werden, was alles dazu mitwirkt, dass ein beträchtlicher Teil der Nadelfläche der Windbeeinflussung ent­zogen oder zum mindesten weniger stark beeinflusst wird. Der durch die Windgeschwindigkeitszunahme bedingten Drucksteigerung wird da­durch entgegengewirkt, dass die dem Druck ausgesetzte Fläche ver­kleinert wird, sowie dadurch, dass der Zweig eine mehr oder weniger spindeiförmige Gestalt annimmt, mit in der Windrichtung orientierter Längsachse. Diese Hemmung der Drucksteigerung wird leicht so stark, dass die Krümmung der Kurve aus Konvexität in Konkavität übergeht.

Zwischen den 5 verschiedenen Lagen der Aste besteht ein bedeuten­der Unterschied bezüglich der Grösse des pro Flächeneinheit empfange­nen Druckes. Ganz natürlich ist ja auch, dass der grösste Druck in den Lagen I, IV und II empfangen wird und der kleinste in den Lagen III und V. Von der Lage I wäre vielleicht zu erwarten, dass sie den grössten Druck empfänge, und es ist auch nicht undenkbar, dass es sich

5

Il.

ME.DE.L­I----1----I---l---!-------t-----l---l-l--".?-.j---l---.-:-.l I KURVPI.

Fig. 4. Sämtliche Druckmessungen am Aste 2 g, T. Alla tryckmätningar ä kvisten 2 g, T.

90 LARS TIREN

so verhält, obwohl die Messungen darauf hinzudeuten scheinen, dass die Lage I sich oft, aber jedenfalls nicht immer, zwischen die Lagen II und V, einrangiert. Dies kann von der Schwierigkeit herrühren, genaue Ablesungen des . Druckes in dieser Lage vorzunehmen. Kräftige Pres­sungen entstanden nämlich in dem Pendel, wenn der Ast dem Wind gerade entgegen orientiert wurde, was zur Folge hatte, dass der Druck sehr erheblich variierte.

Um eine Auffassung von der Grösse des pro Flächeneinheit der Na­deln und Zweige empfangenen Druckes zu erhalten, ist die Fläche einiger Äste ermittelt worden. Es ist gewiss eine weniger gute Methode, durch eine solche Ziffer die Druckverhältnisse auszudrücken; eine bessere Methode steht jedoch nicht zur Verfügung. Es ergab sich, dass der Druck pro Flächeneinheit für verschiedene Äste sehr verschieden ausfiel. In Fig. 5 werden einige Druckkurven wiedergegeben, unter welchen Nr. V dem Mittel aller untersuchten Fichtenäste entspricht, Nr. III dem grössten und steifesten unter ihnen und Nr. X etwa dem weichesten. Weil je­doch keiner der Äste besonders kräftig und derb war, ist es äusserst wahrscheinlich, dass es noch schneller steigende Kurven gibt als Nr. III. Zwei solche sind vorschlagsweise in der Figur eingezeichnet. Es ist nämlich offenbar, dass die Stärke und die Steifigkeit des Astes eine grosse Rolle für seine Fähigkeit, Druck zu empfangen, spielen. Von wirklich knorrigen und dicken Kiefernästen kann man unzweifelhaft ver­muten, dass sie weit mehr Druck empfangen, als es von Kurve I in Fig. 5 angegeben wird.

Betreffs Fig. 5 sei noch bemerkt, dass die Kurven als durchschnitt- · liehe Mittel der 5 Zweiglagen berechnet sind. Dadurch wird vielleicht den Lagen III und V zu grosses Gewicht beigemessen, da ja in einer wirklichen Baumkrone diese Lagen mehr oder weniger geschützt durch die übrigen sind. Dagegen 1st es möglich, dass den Lagen I und IV zu wenig Gewicht beigelegt wird, da es nicht unmöglich ist, dass eine kompakte, dem Winde entgegengerichtete Zweigmasse mehr Druck pro Flächeneinheit empfängt als ein isolierter Ast.

KAP. III. Die Fläche der Baumkrone.

Flächenbestimmungen der Nadeln und Zweige ist voraussichtlich eine nicht nur vom Schaftformgesichtspunkt aus sehr bedeutungsvolle Frage. Sie werden auch durch eine Reihe anderer Gesichtspunkte motiviert, die jedoch hier nicht näher erörtert werden können. Im Anschluss an meine Schaftformuntersuchungen habe ich gewisse derartige Bestimmungen

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4 ~ "~ ~{., :J_o ~'1 ~% """-/stl<. Fig. 5. Die Proportionalität zwischen Windgeschwindigkeit und Winddruck. Die Kurve V ist die Mittelkurve

aller Versuche. Die Kreise markieren die Infiexionspunkte der betreffenden Kurven. Förhällandet mellan vindhastighet och vindtryck. Kurva V är medeltalet av alla försöken.

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10

92 LARS TIREN

ausgeführt, die immerhin nur präliminärer Natur waren. Später sind sie in grösserem Umfang wiederholt worden und dauern immer noch fort. Ich halte es darum für genügend, hier nur einige der hauptsäch­lichen, bisher gewonnenen Resultate zu erwähnen und für die Einzel­heiten auf eine andere Publikation zu verweisen (I 926 b ).

Die Fläche ( Y) der Kiefernadeln wird nach folgender, vom Verfasser aufgestellten Formel berechnet:

7r y = fy' - l' (I, r 37 b + r)

2 ....... (I)

wo l = der Länge der Nadel von der Spitze bis zu der von den Nadel­hüllen befreiten Basis, b = der Breite an der Mitte der Nadel, längs ihrer flachen Seite, r = der Dicke der Nadel an der Mitte, senkrecht zur flachen Seite ist, und wo fy eine Konstante von derselben Natur wie die gewöhnliche echte Schaftformzahl bezeichnet. fy wird vom Verfasser Flächenformzahl genannt. Sie variiert ein wenig mit der Nadellänge und hält sich meistens zwischen o,sz und o,9s. Sie ist eine beinahe geradlinige Funktion des relativen Radius der Nadel, womit gemeint wird

b -+r 2

der Ausdruck: 21 . wo. Die einzelnen Punkte liegen aber sehr zer-

streut um die ausgleichende Kurve herum. Die Fläche der Fichtennadeln wird berechnet nach der Formel:

y = fy· 2l· (dr + dz) . . (2)

wo d1 und d2 die beiden grössten Diagonalen an der Mitte der Nadel und fy und l Flächenformzahl bzw. Länge bedeuten. Es scheint, als wenn die Flächenformzahl der Fichtennadeln keine regelmässige Funk­tion der Nadellänge wäre, sondern sich ziemlich gleichförmig um einen Mittelwert = o, 7 rs herum gruppiert.

Für Kiefer beträgt die Nadelfläche pro kg Nadelfrischgewicht, welche Ziffer als am meisten anschaulich angeführt wird, zwischen ungefähr 6 und 7 m 2 • Die Fläche des Reises beträgt rund o,so bis I,zo m 2 • Die Gesamtfläche der Krone pro kg Kronenfrischgewicht schwankt für Kiefer zwischen 3 und 4 m 2 • Betreffs der Fichte, die jedoch noch nicht be­sonders genau untersucht wurde, scheint es, als variierte die Kronen­fläche im allgemeinen zwischen den Werten 3 und 5,5 m 2 pro kg. Die Nadelfläche der Fichte dürfte jedoch bis auf etwa 8 m 2 pro kg steigen können. Zahlenangaben betreffs der Nadelfläche pro Hektar dürften in diesem Zusammenhang von keinem Interesse sein.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 93

KAP. IV. Über die Festigkeitskonstanten, das spezifische Gewicht und den Wassergehalt des frischen Holzes.

Da die Festigkeits- und Elastizitätseigenschaften des frischen Holzes eine grosse Rolle in den mechanischen Gleichungen spielen, müssen sie ziemlich ausführlich behandelt werden. Leider ist aber über ihre Varia­tion und Grösse sehr wenig bekannt. Die Quellen, die zur Verfügung stehen, um wenigstens eine Auffassung davon zu erhalten, sind hauptsäch­lich die Untersuchungen ]ANKA's (1900-1904) in Österreich und WIJ­KANDER's in Schweden (1897). Ganz kürzlich ist ausserdem in dieser Frage eine grössere Untersuchung an der Staatlichen Materialprüfungs­anstalt Schwedens zu Ende geführt worden, sie ist aber noch nicht publiziert worden. Dank freundlichem Entgegenkommen des Herrn Ingenieur R. R:SON SCHLYTER war es mir jedoch erlaubt, einen Blick auf einige der hauptsächlichsten Resultate zu werfen.

Festigkeit.

Es ist nicht leicht zu entscheiden, welche Festigkeitsziffer in die Be­rechnungen eingehen soll. Man hat dabei zu wählen zwischen wenigstens drei verschiedenen Prinzipien. Man kann rechnen mit der Spannung teils an der Kohäsions- oder Bruchgrenze, teils an der Fliessgrenze und teils an der Elastizitätsgrenze. Sobald unsere gewöhnlichen Nadelbäume in Frage kommen, handelt es sich aber immer um die Druckspannung an den peripheren Teilen des· Stammquerschnitts, da die Druckspannung fast immer an der Peripherie am grössten wird, und die Druckfestigkeit des Holzes kleiner als die Zugfestigkeit ist. (Ausnahmen, die wir jedoch nicht näher besprechen, können vorkommen). Da es sich so verhält, ist es ganz klar, dass in der Hauptslilche die Festigkeitseigensch::tften des Splintes das grösste Interesse darbieten. Die Druckfestigkeit variiert ja beträchtlich, teils und vor allem mit dem Wassergehalt des Holzes, teils auch mit dem spezifischen absoluten Trockengewicht. Doch sind aber die Eigenschaften des Splintes in dieser Hinsicht durchaus viel homogener als die des Holzes im allgemeinen. Der Variationsbereich der Druckfestigkeit wird also dadurch erheblich beschränkt, dass man nur auf den Splint achtzugeben braucht, oder sogar nur auf den äusser­sten Teil davon. Da aber der Wassergehalt und das spezifische Gewicht dieses letzteren auch variieren können, so bleibt doch einige Festigkeits· variation bestehen.

Die Druckfestigkeit an der Kohäsions- oder Bruchgrenze ist die grösste der obengenannten drei Ziffern. Danach kommt die Festigkeit an der Fliessgrenze und zuletzt die Elastizitätsgrenze. Nach JANKA beträgt die

94 LARS TIREN

letzte Ziffer etwa 52 % der ersten für lufttrockenes Holz. Für wasser­getränktes Holz ist das entsprechende Prozent blass z8,s. Nach den von der Staatlichen Materialprüfungsanstalt vorgenommenen Untersuchungen variiert das Prozent zwischen 50 und 90, hält sich aber meistens zwischen 6o und 70, dies für Holz, dessen Wassergehalt zwischen o-za. 36 % des absoluten Trockengewichtes variiert. Durch die Untersuchungen über die Druckfestigkeit, welche ich selbst mit ganz frischem Holz aus­geführt habe, bin ich zu der Auffassung gekommen, dass es keine aus­geprägte Elastizitäts- oder Proportionalitätsgrenze gibt, bei den grossen W assergehalten, um die es sich hier handelt. Dies scheint auch aus den Untersuchungen JANKA's hervorzugehen,, wo die Festigkeit an der Elastizitätsgrenze und bei 63,r 7'C: Wassergehalt des absoluten Trocken­gewichtes durchschnittlich mit 49 kgjcm2 angegeben wird, also eine abnorm niedrige Ziffer.

Die Fliessgrenze wird nach JANKA erreicht bei einer Spannung von 90 % der Bruchfestigkeit für lufttrockenes Holz und 8 5 ,3 % für wasser­getränktes. Auch diese Prozente variieren recht beträchtlich.

·Im grossen und ganzen hängen die Spannungen an den verschiedenen Grenzen voneinander ab, aber die Abhängigkeit ist ziemlich unregel­masslg. Einer und derselben Festigkeit an der Bruchgrenze kann ja zum Beispiel eine Spannung an der Elastizitätsgrenze von 50 bis 90 % davon entsprechen. Nach ]ANKA sollte das Intervall zwischen 28-52% liegen. r Die Spannung an der Fliessgrenze für feuchtes (63 %) Holz kann variieren zwischen 7 4 und 91 % der Spannung an der Bruchgrenze (JANKA). Je nachdem, welche dieser Ziffern bei den Berechnungen ge­braucht wird, erhält man also verschiedene zulässige Belastungen, ver­schieden nicht nur in Bezug auf ihre durchschnittliche Höhe, sondern eben individuell oder, wenn ich so sagen darf, qualitativ verschieden, weil ja eine und dieselbe Bruchspan~ung nicht immer gleicher Spannung an der Fliess- oder Elastizitätsgrenze entspricht.

Dank freundlichem Entgegenkommen des Herrn Professors G. LUND­BERG bin ich in der Lage gewesen, einige der Probebäume in Bezug auf die Druckfestigkeit mit der Prüfungsmaschine der SKOGSHÖGSKOLAN zu untersuchen. Es ergab sich dabei, dass die Druckfestigkeit durch­schnittlich für den ganzen Stammquerschnitt mit der Höhe über dem Boden sinkt. Doch ist dieses Sinken gering und zweifellos grösstenteils abhängig von dem Verhältnis zwischen wasserärmerem Innenholz und wasserrei­cherem Aussenholz. Es gab bei diesen Probebäumen keinen markierten Unterschied zwischen Kern- und Splintholz. Eine ·Reduktion der Dirnen-

I Der grosse Unterschied zwischen den beiden Intervallen ist vielleicht auf verschiedenar-tige Definitionen zurückzuführen. ·

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 95

siorien für variable Festigkeit dürfte deshalb nicht vorzunehmen sein. Die Festigkeit liegt etwa bei 225 kgjcm2 im Durchschnitt für den ganzen Querschnitt. Betreffs des Aussenholzes dürfte deshalb eine Druck­festigkeit von za. 200 kgjcm2 ein ziemlich plausibler Wert sein, womit hier auch in der Folge gerechnet wird.

Die niedrigste Druckfestigkeit, die für naturfeuchtes Holz vermutlich in Frage kommt, dürfte sich nach Untersuchungen }ANKA's und der Ma­terialprüfungsanstalt zwischen I 50 und I6o kgjcm2 halten. Diese nied­rigste Ziffer bezieht sich auf Holz mit einem spez. Trockengewicht von o, 34 , also auf leichtes, frohwüchsiges Holz. Für ein spez. Trockenge­wicht von o, 4 z ergibt sich als Minimum der Druckfestigkeit za. I97 kgjcm2

für einen Wassergehalt von za. 70 :Y. des absoluten Trockengewichtes. Als eine Eigentümlichkeit kann erwähnt werden, dass laut }ANKA's Untersuchungen die Druckfestigkeit ein Minimum für einen Wasserge­halt hat, welcher, je nach dem spez. Trockengewicht, zwischen 6o und I oo :Y. liegt.

Elastizität.

Betreffs der Elastizität frischen Holzes ist ebenso wenig oder weniger als hinsichtlich dessen Druckfestigkeit bekannt. Doch geht deutlich aus schwedischen wie auch deutschen Untersuchungen hervor, dass der Elasti­zitätsmodul sich mit dem Holzwassergehalt verändert. Die Veränderungen des Elastizitätsmoduls sind jedoch nicht so gross wie die der Druckfestig­keit. Von den Resultaten der schwedischen Untersuchungen weiss ich nicht mehr, als dass sie durchschnittlich einen Elastizitätsmodul von 90,000-IOO,ooo ergeben, für Holz von za. 30-40 .% Wassergehalt. Nach }ANKA's Untersuchungen ergibt sich als Durchschnitt für I2,6 :Y. H 2 Ü-gehalt ein Druckelastizitätsmodul von I 1 I,900 kgfcm 2 und für 63,r % H 2 0-gehalt ein Elastizitätsmodul von 96,800 kgjcm2 • Für den Biegung­selastizitätsmodul sind die entsprechenden Ziffern: 14,3 :Y. H 2 Ü-gehalt, Elastizitätsmodul IOI,60o kgjcm2 ; 57,s % H 2 0-gehalt, Elastizitätsmodul 84,000 kgjcm2 • ]ANKA hält es für wahrscheinlich, dass der Elastizitäts­modul sich in derselben Weise wie die Druckfestigkeit verändert, da er also in einer krummlinigen Abhängigkeit von dem Wassergehalt steht, mit einem Minimum zwischen 6o und IOO % H 2 0-gehalt. Dies, nebst einigen vereinzelten Angaben, ist meines Wissens alles, was z. Z. für die Beurteilung der Grösse des Elastizitätsmoduls frischen Holzes zu Gebote steht.

Die Zerteilung des Stammes in wasserarmen Kern und wasserreichen Splint führt zu einer recht komplizierten Beziehung zwischen Elastizität und Schaftform gernäss den mechanischen Prinzipien. Es wäre allzu verwegen, diese Beziehung unter Zugrundelegung der obenstehenden

96 LARS TIREN

wenigen Notizen betreffs des Zusammenhanges des Elastizitätsmoduls mit dem Wassergehalt klarlegen zu wollen. Die Frage ist aber wichtig, und es scheint mir berechtigt, mit allem Vorbehalt einen Versuch zu machen, wenigstens eine Vorstellung davon zu erhalten. Die Richtlinien der folgenden Berechnung verdanke ich dem Herrn Dozenten H. FAXEN.

Wenn der Elastizitätsmodul des Kerns Ek und des Splintes Es genannt wird, so ist, wenn der H20~gehalt I2,6 bzw. 63,r % beträgt. nach }ANKA Es= o,s6s · Ek. Dieser Unterschied ist aller Wahrscheinlichkeit nach zu gross für die Verhältnisse in einem wachsenden Stamm. Wir nehmen daher

an, dass Es= O,gog Ek. Das Verhältnis iist nirn = I,r. Es ist möglich, s

dass der Unterschied grösser sein kann, wahrscheinlich ist es aber kaum. Die Stamm- und Kernquerschnitte seien kreisrund und der Kernra­

dius z. B. = o, 7 des Stammradius. Dieser wird als variabel mit y und die Spannung mit Gy bezeichnet. Bei

R

\ :Y Splint / -\ -- ~~--~=~

r-------- ------1 . I I \----f ~k ---7 \ I

Biegung mögen die Querschnitte plan bleiben. Ist nun E konstant über den ganzen Querschnitt, kann man Gy = c • y setzen, wo c = Konst. Die Folge dieser Annahme ist die gewöhn­liche Formel für das Biegungsmoment Mx:

Fig. 6. Element eines Stammes bei Biegung. Stamelement vid böjning. wo Gr = der peripheren Normalspan-

nung ist. Ist dagegen Ek > Es, so muss die Spannung am äusseren Rande des

Kerns grösser sein als die Spannung am inneren Rande des Splintes, weil der Querschnitt der Annahme nach plan bleibt. Hier entsteht also eine Diskontinuität (vgl. Fig. 6).

Bezeichnen wir nun den Kernradius mit 1' und den Stammradius mit 7r r4

R, so wird das Widerstandsmoment des Kerns = -- und das des 4 1'

rr (R4-r4) Splintes = 4 R . Das Widerstandsmoment des ganzen Stammquer-

schnittes wird also = der Summe der beiden Teilmomente. Wird mit Gr

und GR die Spannung am Kern- resp. Stammrande bezeichnet, erhält man das Biegungsmoment:

.......... (4)

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 97

Hier ist aber r = 0,7 R, ar =er· r und aR =eR· R, also folgt:

Mx= aR~R3 [ o, 74(er~:R) +I J . . . . . . . . . (5)

er-eR Ek-Es Da aber---= E = o,r, wird schliesslich

eR s

..... (6)

Der Unterschied zwischen (6) und (3) ist nicht allzu gross. Um Bruch hervorzurufen bei zwei gleichen Bäumen, wovon der eine jedoch Kern hat, der andere nicht, ist irri ersteren Falle I, r bis I ,o-mal so grosse Kraft erforderlich als im letzteren, je nachdem sich der Kernradius von R bis o bewegt. Der Einfluss auf die Form, welchen dieser Umstand hat, ist dann gleich Null, wenn der Kernradius immer ein beliebiges, aber bestimmtes Prozent des Stammradius beträgt. Nur wenn der Kernradius im Verhältnis zum Stammradius variiert, wird die Form beein­flusst.

Ist z. B. in einem Punkt des Stammes 1' = R und in einem dicht danebenliegenden Punkt r = o, so ist im vorigen Punkt der Radius 3,r % kleiner als im letzteren, wenn nämlich die Spannung aR beibehalten werden soll. Es können also schlechtenfalls recht beträchtliche Abweichungen dadurch entstehen, dass man den Elastizitäts­modul als konstant annimmt. In Wirklichkeit werden diese aber etwas kleiner, weil r immer < R ist. Besteht ein Unterschied zwischen E 1, und Es von der hier in Rechnung gezogenen Grösse, dürfte man jedoch im allgemeinen Abweichungen von ca. I,o-2,o % der Durchmesser zu befürchten haben.

Für die in dieser Untersuchung vorkommenden Stämme ist die aus dem Kern herfliessende Formverbesserung1 praktisch ohne Bedeutung, denn der Unterschied des Wassergehalts zwischen Aussen- und Innen­holz kann bei diesen Bäumen nicht so gross werden, dass der Elastizitäts­modul dadurch erheblich beeinflusst wird, und auch wenn dem so wäre, so ist die obenbesprochene Formverbesserung unzureichend, um die exzeptionelle V ollholzigkeit einer Anzahl der Probebäume erklären zu können. Steigt aber der Wassergehalt des Schaftes sehr stark von der Basis bis zum Gipfel, so dass auch das Aussenholz der Basis wasser­ärmer ist als das des Gipfels, so werden sowohl die Elastizitäts- als die Festigkeitsverhältnisse zu einer Formverbesseruug zusammenwirken.

r Es muss sich ja fast immer um eine Formverbesserung handeln, da der Wasserge· halt des· Stammes mit der Höhe über dem Boden steigt und der Kern im allgemeinen gleichzeitig abnimmt.

7 · Meddel. frtiJt Statens. Skogsförsöksanstalt. Häft. 24.

98 LARS TIREN

In dieser Untersuchung habe ich mit einem konstanten Elastizi­tätsmodul von Ioo,ooo kgjcm2 gerechnet.

* * * Das spezifische Gewicht des Holzes wird im folgenden mit o,sa-O,go

angesetzt.

KAP. V. Mechanische Grundlage.

Die mathematischen Auseinandersetzungen, die einen bedeutenden Raum in diesem Kapitel einnehmen, sind von fundamentaler Bedeutung für die Auffassung der mechanischen Theorie. Trotzdem es vielleicht scheinen kann, dass sie sich im Verhältnis zu den übrigen Kapiteln allzu breit machen, halte ich es doch für notwendig und zweckmässig, hier die wichtigsten derselben wiederzugeben. Einige der Berechnungen sind auch, soweit mir bekannt, nicht früher ausgeführt worden.

Biegung.

In den folgenden Auseinandersetzungen werden dieselben Anfangs­annahmen gemacht, die in der techni~chen Mechanik üblich sind. U. a. wird also angenommen, dass das Holz homogen und isotrop ist, zwei Forderungen, die begreiflicherweise in Wirklichkeit garnicht erfüllt sind. Man hat immerhin gefunden, dass trotzdem die meisten Formeln der Mechanik auch auf Körper aus Holz mit Erfolg angewandt werden können. Sofern nichts anderes gesagt wird, wird auch angenommen, dass alle Deformationen klein sind. Die Holzkörper, von denen in dieser Darstel­lung die Rede sein wird, denken wir· uns im allgemeinen als stabförmig, und ~hre zur Längsachse senkrechten Querschnitte werden auch nach der Biegung fortgesetz~ als plan angenommen. · Wenn nichts anderes gesagt wird, werden die Stäbe als gewichtslos betrachtet.

Ein gerader Stab mit kreisförmigem Querschnitt sei nun an dem einen Ende eingespannt, und auf das andere ·wirke eine zur Stabachse senk­rechte Kraft (A) . . Dadurch wird eine Biegung des Stabes hervorgerufen. Ausser den dabei entstehenden Normalspannungen treten auch tangen­tiale Spannungen auf, welche in diesem Falle mit den Quer- oder Schub­spannungen gleichbedeutend sind, die aber doch vernachlässigt wer­den können.

Nach einigen ziemlich einfachen Überlegungen finden wir, dass die entstehenden peripherischen Normalspannungen (a) gernäss der Formel:

... (7)

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 99

berechnet werden können, worin '.fx das mit dem Abstand vom freien

Ende des Stabes variable Trägheitsmoment:.!!___ r_"4, ferner rx den Radius 4

des Stabquerschnittes und Jlf_" das Biegungsmoment bezeichnen. (7) gilt nicht nur für Biegung im engeren Sinne, sondern für jede Biegung überhaupt. Die Masseinheiten sind am besten für Längen: cm und für Kräfte: kg. Für Spannungen wird dann die Einheit= kgjcm2 • Wird in (7) die Bedingung a = konstant = s eingeführt, so erhält man, wenn

1r '.fx durch~rx4 und Mxdurch A·.x (»KraftxHebelarm») ersetztwird:

4 7f

s.- rx3 = A · .x .............. (8) 4

welche Gleichung die Meridiankurve des Trägers vön gleichem Wi­derstande gegen Biegung wiedergibt. .x ist hier der Abstand eines Querschnittes vom Angriffspunkt der Kraft oder deren Richtungslinie und A die wirkende Kraft. Offenbar gibt es auch andere Arten von Balken, die in ihren ganzen Längen in gleichem Masse bruchfest sind. Die Form des Balkens hängt ja nach (7) jedesmal davon ab, wie das Biegungsmoment M.x beschaffen ist. Der nach (8) definierte Balken ist bekanntlich das in der mechanischen Theorie so oft wiederkehrende kubische Paraboloid. s in (8) ist nichts anderes als die früher erwähnte Bruchfestigkeit der peripheren Teile des Balkenquerschnittes, d. h. be­treffs wachsender Bäume, der peripheren Teile des Splintes.

Die elastische Linie, womit wir fernerhin viel zu tun bekommen, ist diejenige Linie, die im Biegungszustand von der Stabachse gebildet wird. Meistens können wir voraussetzen, dass die Biegung in einer Ebene statt­findet, und mit einer Verlegung des Koordinatensystems, wie in Fig. 7, wird dann die Gleichung der elastischen Linie geschrieben:

d2y

d.x2

0 0 0 0 0 0 0 0 ° • 0 (9)

wo Mx = dem Biegungsmomente, gegeben durch eine oder mehrere nach Richtung und Grösse nicht näher definierte Kräfte, und E = dem Elasti­zitätsmodul des Holzes. Da wir die Annahme gemacht haben, dass die

Biegung klein ist, so kann man 2 als annähernd = o annehmen, und aus

(9) folgt dann approximativ:

d2y M_" d.x2 = '.J x E . . . . . . . . . . . . . . . ( 10)

100 LARS TIREN

Diese Formel wird in der Folge oft benutzt werden. Sie ist aber, wie gesagt, nur annähernd richtig. Die Approximation bewirkt, dass die­jenige Kraft, die erford~rlich ist, um dem Stab einen gewissen Biegungs­grad zu erteilen, m Wirklichkeit kleiner ist, als wir sie mittels der

A ~Y ~~----------~-------

Formel berechnen können. Eine Bestim­mung der Grösse des Fehlers ist durch Lösung der Differentialgleichung (9) zu erhalten. Die Lösung ist ein elliptisches Integral erster Art und zeigt im Ver­gleich mit (w), dass die Approximation in der Regel nicht störend einwirkt. Bisweilen kann sie sich jedoch deutlich bemerkbar machen, und dies trifft ein, wenn der gebogene Stab im Verhältnis zum Querschnitte lang ist, d. h. z. B. für sehr langschaftige Bäume. Wie man leicht einsieht, können derartige Bäume, ehe der Bruch eintrifft, so viel aus ihrer vertikalen Ruhelage herausgebogen wer-

1 X

den, dass die Ableitung (d:.) der elasti-

schen Linie nicht mehr = o angenom­men werden darf. Je grösser also das

Formverhältnis (: ) ist, desto schäd-I,3

lieber wirkt die Vereinfachung ein, die in (ro) vorgenommen ist. Man kann dies im Walde daraus erkennen, dass

Fig. 7. Die Verlegung des Koordinaten- ein Baum von gewissem Durchmesser S_Ystems b~i _Bere~hn_ung der elas- und gewisser Länge oftmals von Schnee-tischen L1me bn Biegung. . .. Koordinatsystemets förläggning vid be- druck oder emem angefallten Nachbar-~~1~~~~- av den elastiska linjen vid stamm weit mehr krummgebogen wer-

den kann, als eine Berechnung mittels (ro) gestattet. Hierzu wirken aber auch andere Ursachen mit. Späterhin werden wir mit derartigen langen und schlanken Stämmen zu tun haben, auf welche wir (ro) anwenden. (9) kann nicht gebraucht werden, weil die mathematischen Schwierigkeiten es nicht gestatten. Es ist daher von grossem Belang, sich den Fehler zu merken, der dadurch entsteht.

Wir nehmen künftighin an, dass die in Frage kommenden Stäbe ver­tikal eingespannt sind, dass das obere Ende, der Gipfel, frei, und dass die x-Achse des Koordinatensystems dem Lot parallel ist. Wenn der

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 101

Stab ein kubisches Paraboloid ist, und wenn der Nullpunkt des Koordi­natensystems in den Scheitel verlegt wird, so definiert die Gleichung:

r:,ß =jJ · .x ............... (II)

die Meridiankurve des Paraboloids: R3

Hier ist p = l' wo R = dem Ba-

salradius des Stabes und l = der totalen Länge desselben ist. (10) lie­fert nun, wenn (r I) darin eingesetzt wird, die Differentialgleichung für die elastische Linie des kubischen· Paraboloids bei Biegung durch eine horizontal wirkende Kraft (A). Wir können uns denken, dass diese Kraft dem Druck des Windes im Druckzentrum der Krone entspricht. Nach einigen einfachen Rechenoperationen erhält man die finite Gleichung der elastischen Linie in folgender Form:

4

6 Al3 ( ~ 3 ä) Y=ErrR+·.:t:· l-S.x .......... (rz)

Für .x = l berechnet man hieraus die grösste Ausbiegung (f) des freien Endes des Stabes von der Ruhelage:

rz Al3 f = E R · · · · · · .. · ...... (13) 5 7r 4

Knickung.

Berechnungen über Knickfestigkeit schliessen sich ungesucht an die mechanische Schaftformtheorie an. Die Bäume können ja mit Stäben verglichen werden, die an dem freien oberen Ende mit einem vertikal wirkenden Gewicht (die Krone) belastet sind. Das Gewicht (P), das einen vertikal eingespannten Stab nur vermöge seiner Schwerewirkung zu bie­gen vermag, wird die Knickbelastung genannt. Die Bedingung dafür, dass eine derartige Biegung zustande kommen soll, ist, ausser dem Vor­handensein der Knickbelastung, auch eine unendlich kleine Abweichung der Stabachse von der Senkrechten. In Wirklichkeit ist diese Bedingung stets erfüllt. Wenn die Stabachse mathematisch exakt im Lot stände, wenn das Material des Stabes absolut homogen und die vertikal wir­kende Kraft absolut zentrisch angebracht wäre, welch letzteres als stets zutreffend angenommen wird, so sollte der Stab nicht gebogen, sondern allmählich zerdrückt werden, wenn die Kraft einen hinreichend grossen Betrag erreicht hat. Das Knickungsproblem ist von mathematischem Gesichtspunkte aus schwierig, aber äusserst fesselnd, und es ist von be­sonderem Wert und Gewicht für eine klare Auffassung des mechanischen Schaftformproblems. Es ist bei weitem noch nicht durchgearbeitet, trotzdem die Literatur des Gebietes ziemlich reich ist. Da ich die weiter unten berechneten Formeln darin nicht angetroffen habe, habe ich es

102 LARS TIREN

für angezeigt gehalten, über ihre Deduktion ziemlich ausführlich zu be­richten.

Die klassischen Formeln, nach welchen das Knickungsproblem meistens behandelt wird, sind für uns unzureichend, weil wir mit sich verjüngenden Stäben zu tun haben. Aus Fig. 8 wird die Verlegung des Koordinaten-

p

0~--------------------~

!>ToR.s~ u713i.JrfiN(j ~ f. ------- .......,) .

..r. Fig. 8. Die Verlegung des koordinatensystems bei

Berechnungen über Knickung. Koordinatsystemets förläggning vid avknäckningsbe­räkningen.

systems ersichtlich. Nach (ro) wird die Differentialgleichung der ela-

. h L' . h . b dzy Mx I d' F 11 . d M P stlsc en mre gesc ne en: dxz = E'.f x. n resem a e wrr x = - · y

dzy P·y r und wrr erhalten: Wenn der Stab ein kubisches Para-dx2 - E'.fx'

R3 7f (R3 )! boloid ist, so ist, wie vorher gesagt: r x3 = l · x und '.!:. = 4 l x .

r Wir setzen ein Minuszeichen von dem· Biegungsmoment em um die Ordinaten der .elastischen Linie positiv zu erhalten.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 103

Wird dieser Wert in die ebengenannte Differentialgleichung eingesetzt, 4 .

d . d . d 4 pzs b d 4 un w1r w1e er E R = un -- = m gesetzt, so vereinfacht sich 7[ 4 3

diese, und man erhält schliesslich: ddzy + b.x "'Y = o . .xz

Diese Gleichung kann man in eine Reihe nach steigenden Potenzen von .x entwickeln, und y kann aus ihr berechnet werden. Diese Reihe hat aber einen besonderen Namen. Sie bildet einen Spezialfall der BESSEL'schen Funktion oder der Zylinderfunktionen, welche aber im voraus berechnet und tabuliert zu finde11 sind (JAIINKE-EMDE, 1923). Die Zylinderfunktionen, die hier in Frage kommen, werden im allge­meinen mit dem Symbol J bezeichnet.

Unter Verwendung dieses Symbols gestaltet sich die Lösung der frag­lichen Differentialgleichung folgendermassen:

- - 1

y = B · ..;.x ·Ja (3V b .x") ........... (14) 1!

In ( 14) bedeuten· B und b Konstanten, die gewisse Zahlenwerte sowie P und l enthalten. Ja bedeutet die Zylinderfunktion erster Art, Para­

" meterl__.

2

Die Gleichung ( 14) definiert aber noch nicht die elastische Linie des kubischen Paraboloids. Von dieser wissen wir nämlich, dass im Punkte

dy .x = !, - = o sein soll. Dies bedeutet mit anderen Worten, dass die

d.x

Konstante b so bestimmt werden muss, dass die Gleichung d; = o durch

den Wert .x = l befriedigt wird. Aus dieser Bedingung wird b bestimmt. b enthält andererseits P, welche letztere Grösse also auch bestimmt wird. Dieser Wert von P ist = der Knickbelastung. (14) ist nicht möglich, ehe P diesen Wert erreicht hat, d. h. zuvor findet überhaupt keine Bie­gung statt, wenn er aber anderseits erreicht ist, wird auch der Stab bis zum Bruch gebogen. Dies stimmt nicht mit der Erfahrung überein, denn es zeigt sich aus V ersuchen, dass der Stab für eine gewisse Be­lastung wohl gebogen wird, aber nicht mehr als bis zu einer gewissen Grenze, wo Gleichgewicht eintritt. Die Erhöhung von P, die in Wirk­lichkeit hinzugefügt werden muss, um Bruch hervorzurufen, ist jedoch ziemlich klein, und wir brauchen vorläufig keine spezielle Rücksicht darauf zu nehmen.

Wir können nun mehrere Gleichungen aufstellen, die mit (14) analog sind, und die für verschiedenartig parabolisch geformte Stäbe gelten, deren Meridiankurve durch die Gleich~mg r; = p.x definiert ist. Es zeigt

104 LARS TIREN

sich, dass die Spannung a, die nach (7) berechnet werden kann, für keinen dieser Stabe konstant wird, d. h. keiner von ihnen ist ein Trä­ger von gleichem Widerstande gegen Knickung.

Die Form ·dieses Stabes zu kennen hat jedoch ein hohes Interesse. Sie lässt sich auch sehr einfach berechnen. Nach (7) haben wir näm-

1. h M". rx d h ) d2y Mx A d" b "d Gl . rc : a = Yx un nac (IO: dx2 = E:Jx . us resen er en er-

chungen wird rx eliminiert. ·Wird danach der Wert M.x =- P · y einge­setzt, und setzt man noch a = Konst. = s, so erhält man die elastische Linie des Trägers aus der Differentialgleichung:

1 4

d2y a -+-=O dx2 y~

(I 5}

n". s" WO a = 1 1 • Nach einigen elementaren Rechenoperationen erhält

4"· EP" man die finite Lösung:

Hier bedeutet f die grösste Durchbiegung. Durch Einführung der

Bedingung: k = o für x = l wird die Knickbelastung bestimmt. Da nun

nach (r6) y bekannt ist, so kennt man auch Mx= - P · y, und nach (7} ist dann r x leicht zu berechnen. Man findet, dass der Träger von glei· ehern Widerstande gegen Knickung einen Formquotienten von etwa O,grs

h drx l . hat. Man bemerkt auc , dass dx = o für x = l. Der Träger von g er-

ehern Widerstande gegen Knickung hat folglich die in Fig. ro angege­bene Form.r

· Da es bisweilen von berechnen zu können, mitgeteilt:

gewissem Interesse seinkann, die Knickbelastung werden hier einige Formeln zu diesem Zwecke

r Kubisches Paraboloid: I 77:2 l P=-·-·:f1 E

9 /2

3 71:2 P=-·-·:f1 E

r6 ! 2 I Träger von gleich. Widerst. gegen Knickung:

I 71:2. Zylinder: P = -·-·:fzE

4 12 71 ist hier das Trägheitsmoment im Punkte x = l, d. h. an der Basis

des Stabes.

r Vgl. M. DE LA GRANGE, Mise. Taur. 1773, der eine andere Form gefunden hat.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 105

Das Eigengewicht des Stabes.

Die oben gemachte Annahme, dass das Eigengewicht des Stabes ver­nachlässigt wird, kann nicht aufrechterhalten werden, wenn der Stab sehr lang im Verhältnis zur Dicke wird. Wenn die sog. kritische Länge erreicht ist, wird der Stab durch sein Eigengewicht gebogen. Die Be­rechnung der kritischen Länge ist ein Gleichgewichtsproblem derselben Art, wie das in der vorherigen Abteilung be­sprochene Knickungsproblem. Aus be­sonderen G~ünden wird jetzt das Koor­dinatensystem gernäss Fig. 9 verlegt. Wenn wir annehmen, dass der Stab ein

kubisches Paraboloid ist, so ist r ""3 = ~3 x,

und da Wx das Gewicht des Stabes

b .h W 3 Rz 5 eze1c net, x = tu-n-2 · xs, wo w 5 ls

= dem spez. Gewichte (in kgjcm3) des Holzes ist. Werden mit (x', y') die Koordinaten eines beliebigen Punktes oberhalb des Punktes (x, y) ( vgl. Fig. 9) h<'eichnet, 'o echält man nach (w)' ! EYx · ~? = J~y'- y) ddr:,; dx' .. (r8)

. X 0

Hier setzen wir ddy = p und also ddzy = x x 2

_dp - dx· Nach Differentiation von (r8) Fig. 9.

hinsichtlich x erhält man:

d ( rx4 ddp) I ' X

4rcE· {i%--=-PWn

Die V erh~gung des Koordinaten­systems bei Berechnungen über die Knickwirkung des Eigen­gewichtes. Koordinatsystemets förläggning vid be­räkning av avknäckning genom egen~ vikten.

worin r .x und ersetzt werden.

W.x · durch die aus Vorstehendem bekannten Ausdrücke Schliesslich erhält man hieraus die Lösung:

C - -t ( 6 . 1- ') p = · x " J~ -v b xn , . 7

(19)

wo C und b Konstanten sind, die, ausser gewissen Zahlenwerten, die Länge l enthalten. Ebenso wie in der vorhergehenden Abteilung die

106 LARS TIREN

dy Knickbelastung P durch die Bedingung dx = o für X= l bestimmt wurde,

so wird hier die kritische Länge (L) dadurch bestimmt, dass man (19) = o für x = L setzt. Auf diese Weise erhält man:

für einen geraden Kegel L= 1,97 . (E:z) ~ ) (ERz) 1

)) ezn appoll. Paraboloid L = 1,7o · ----;;;- "

t ... (20)

(ER2r ( )) ezn kub. Paraboloid L = 1,575 · ----;;;- 3

)) eznen Zylinder (ER2)' L = I,z6 · W 3

J In einer Arbeit von A. G. GREENBILL ( r 88 r) findet man u. a. die spezielle

Lösung für den Zylinder angegeben und überdies die allgemeine Lösung für p_arabolische Rotationskörper. Für den Fall aber, dass der Stab kein solcher ist, gibt es z. Z. keine analytische Lösung. Es trifft sich aber zuweilen, . dass man Interesse daran hat, die kritische Länge eines Stabes zu berechnen, der nicht parabolisch ist, oder dessen Eigengewicht oder längs des ganzen Stabes ausgebreitete Belastung von dessen Form nicht abhängt. Ein derartiger Fall ist z. B. die Berechnung der Schnee­belastung, die eine langkronige Fichte tragen kann. Für diese Fälle kann eine graphische Methode mit Vorteil angewandt werden. Eine solche soll hier in Verbindung mit der Berechnung des Trägers von gleichem Widerstande gegen das Eigengewicht kurz beschrieben werden.

Wir versuchen dabei zuerst eine annähernd richtige Kurve für M_" zu finden. Weil wir in der Tat sehr wenig davon wissen, wie sich diese Kurve gestaltet, so stellen wir zuerst die folgende Untersuchung an. Auf Grund der vorher erwähnten allgemeinen Formel für parabolische Rota­tionskörper berechnen wir die elastische Linie einiger solchen. Daraus erhält man die betr. Mx und aus (7) ferner das Bruchrisiko a. Wenn dieses in ein Koordinatensystem graphisch eingetragen wird, so zeigt es sich, dass das Paraboloid r xg = px ein Bruchrisiko aufweist, das in der Nähe des Scheitels beinahe konstant ist. Wir schliessen daraus, dass der Träger in der Scheitelpartie schwach konvex gegen die Achse sein

dürfte. 7r

Nach (7) haben wir ferner: s- rx3 =Mx oder nach Differen-4

tiation hinsichtlich x:

s!!_ 3 r,;. drx = dMx =- dy Wx. 4 dx dx dx

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 107

Im Punkte x = l ist ja d; = o, und da Wz und r1 beide endlich sind,

so muss folglich auch ~~ = o im Punkte x = l sein. Wir können also

eine Kurve zeichnen, von der wir behaupten können, dass sie einiger­massen gerrau die Form des Trägers von gleichem Widerstande wieder­gibt. (Fig. I o.)

7! 0

Wir haben nun die zwei Gleichungen: a- r x" = Mx und 4

7C dzy E-r 4 · - = M. . . . . . . . . . . . . . (2 I a)· 4 _, dxz _,

Wird Mx aus ihnen eliminiert, erhält man:

d 2y S I

d-=E·- .............. (2Ib) xz rx

wonn durch Austausch von a gegen s ( = Konst.) angedeutet wird, dass (2 I b) nur für einen Träger von gleichem Widerstande gültig ist. All­gemein gilt die Gleichung:

(2 Ic)

wo a also variabel ist. Es muss nun immer möglich sein, eine beliebige Kurve für Mx zu

wählen, die für ein gegebenes rx gernäss (2I a) eine dazu gehörige elastische Linie gibt. Wird auf Grund dieser elastischen Linie und des gegebenen rx das durch das Eigengewicht erzeugte Mx berechnet, er­halten wir nach (7) gewisse Werte des a, die sicher nicht konstant sind.

Aus (2I b) erhalten wir auch für gegebene 1'x eine elastische Linie, die jedoch nur für einen Träger von gleichem Widerstande gilt. Stim­men diese beiden elastischen Linien überein, und ist ferner das erst­gewählte Mx so beschaffen, dass es, aus den übereinstimmenden elasti­schen Linien und den gegebenen r x berechnet, nicht verändert wird, dann ist die elastische Linie des Trägers von gleichem Widerstande gegen Knickung durch das Eigengewicht und dessen Dimensionen gefunden.

Es lassen sich wirklich, jedoch durch mühsame Arbeit, rx und Mx so wählen, dass diese Forderungen annähernd erfüllt werden. Die r x'

also die Dimensionen des Trägers von gleichem Widerstande gegen Knickung durch das Eigengewicht, sind in Fig. I o durch eine gestrichelte Linie wiedergegeben.

A6./'tand vom GipTe/ lo.o 0.1 0.2 0.3 0.4 O.s 0.6 0.7 o.s o.9 lo

0.1

0.2

03

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

\ \ \ \

\ \

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\::t:; \~ ~ \~. \~

\ \ \

\ \ \

\ \ \ \ \ ~

l.o ..___ _______________ __.~

0.1 Durch

O.z. 0.3 O.t+ rne.r.rer -

0.5 0.6 0.7 O.s 0.9 l.o

Fig. ro. Träger von gleichem Widerstande gegen Knickung durch ein Gipfelgewicht, gegen Biegung und gegen Knickung durch das Eigengewicht. Mot olika slag av kraftpäkänni.ng jämnstarka bjälkar. Heldragen fin linje betyder bjälke, jämnstark mot avknäckning av toppvikt j hel~ dragen grov Jinje betyder bjälke, jämnstark mot böjning av en hori­sontalt verkande kraft; Streckad linje betyder bjälke, jämnstark mot avknäckning av egenvikten.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 109

Torsion.

Nur in allergrösster Kürze soll hier etwas über die Torsion der Baum­schäfte bemerkt werden. Das Torsionsproblem kann nicht vollständig objektiv behandelt werden, weil unsre vorher gemachte Annahme be­treffs der homogenen und isotropen Eigenschaften des Holzes jetzt un­haltbar ist. Alle bisher erwähnten Spannungen sind Normalspannungen gewesen, d. h. sie haben senkrecht zum Querschnitte gewirkt, und die Eigenschaften des Holzes in anderen Richtungen sind dann auch recht bedeutungslos gewesen. Bei Torsion, die mit Biegung kombiniert ist, was immer irrbetreff wachsender Bäume der Fall ist, entstehen aber, ausser N ormalspannungen, auch Tangentialspannungen. Die Struktur des Holzes macht sich jetzt bemerkbar, u. a. dadurch, dass die sog. POISSON'sche Zahl (m) nicht bestimmt werden kann. Die Versuche, die Verf. mit Torsion zylindrischer Probestücke aus frischem Holze ausgeführt hat, haben absurde m-Werte ergeben. Aus den Formeln, die für Tor­sionsberechnungen gegeben sind, kann man jedoch den Schluss ziehen, dass der Träger von gleichem Widerstande nur gegen Torsion ein Zy­linder sein muss. Wenn also Biegung (A) und Torsion (T) kombiniert werden, so muss der Träger von gleichem Widerstande gegen die kom­binierte Beanspruchung eine Form haben, welche zwischen der des ku­bischen Paraboloids und des Zylinders liegt. Torsionsspannungen dürften also eine Formverbesserung bewirken.

Es zeigt sich nun in der Tat, dass Bäume mit erheblich exzentrischen Kronen sehr oft eine Form haben, die bedeutend voller ist als die für die betr. Bäume berechneten kubischen Paraboloide. Die Formverbes­serung, die also eingetreten ist, könnte vielleicht als· ein Resultat der Torsionsspannungen gedeutet werden. Ich habe Bäume untersucht, deren Kronen aus einem einzigen, am obersten Ende des Schaftes wagerecht herausragenden Ast bestanden, und es hat sich herausgestellt, dass ihre Dimensionen am Stamme, eben am Ausgangspunkte des Astes, beträcht­lich grösser gewesen sind als· der Basaldurchmesser des Astes selbst, und der Zuwachs, der in Brusthöhe oft minimal gewesen ist, ist am Gipfel des Schaftes kräftig, am Aste dagegen geringer gewesen. Beein­flussung durch Torsionsspannungen erklärt dies alles. Die Transpira­tionstheorie kann dagegen nicht erklären, z. B. warum die Schaftdimen­sionen und der Zuwachs am Schaftgipfel grösser sind als an der Astbasis, und auf dem heutigen Standpunkte der Physiologie kann dies auch nicht im Lichte des Assimilationsprozesses und des Nahrungstransports ver­standen werden. In der Torsionsfrage beweisen jedoch die hier erwähnten, eigentümlichen · Bäume nichts, denn man kann den V erdacht nicht aus-

110 LARS TIREN

schliessen, dass ihre wunderbare Kronengestalt einmal durch äussere Gewalt bewirkt wurde, worauf Gleichgewicht nie eingetreten ist.

Auch andere Bäume mit exzentrischen Kronen, an welchen Spuren derartiger Gewalt nicht zu beobachten sind, zeigen aber eine bessere Form als gewöhnliche Bäume. Diese Fälle können jedoch zumeist auch vom Gesichtspunkte der beiden übrigen Theorien aus erklärt werden, also als Resultate veränderter Transpirations- und Assimilationsverhält­msse. Ich möchte hier die Aufmerksamkeit auf den frappanten Paral­lelismus zwischen den drei Gesichtspunkten lenken, von denen aus das Schaftformproblem betrachtet werden kann. Er macht sich unaufhörlich bemerkbar.

Druck.

Bei einem aufrechtstehenden Baum in Ruhe wie im Biegungszustande wirken die Gewichte der Krone und des Schaftes als vertikale Druck­kräfte, die dahin streben, den Schaft zu zerquetschen. Diese Art von Beanspruchung ist durchaus nicht mit den vorher behandelten Biegungs­und Knickbeanspruchungen identisch. Wenn der Baum senkrecht steht, kommen nur Normalspannungen vor, wird er gebogen, treten auch Tan­gentialspannung-en auf. Diese Spannungen sind in den allermeisten Fällen sehr klein im Verhältnis zu den Biegungs- und den Knickspannungen, und sie können, wie oben erwähnt, ausser Rechnung gelassen werden. Die Auffassung der forstlichen, mechanischen Probleme, die W. HoHE­NADL (1922) vertreten hat, ist unhaltbar, weil der Baum, wenn er über­haupt auf mechanische Spannungen reagiert, nicht hauptsächlich von den schwächsten Spannungen beeinflusst werden und von den stärkeren unbeeinflusst bleiben kann. 1

Kombination von Biegungs- und Knickspannungen.

Ein wachsender Schaft wird im Sturme zugleich von Biegungs- und von Knickbeanspruchungen beeinflusst. Ausserdem kommen theoretisch tangentiale Spannungen durch eventuelle Torsion usw. hinzu, die wir aber hier unberücksichtigt lassen. Je schlanker die Bäume sind, um so grösseren Einfluss haben die Knickspannungen. Eine Untersuchung über die mechanischen Verhältnisse dichtgeschlossener Bestände, in denen die Schlankheit der Stämme oft erstaunlich ist, kann also nicht ausgeführt werden, ehe die recht schwierige Frage von der Kombination der drei Spannungsarten klargestellt . worden ist. Oben erwies es sich als un­möglich, bis auf weiteres eine analytische Lösung des Problems des Trägers von gleichem Widerstande gegen das Eigengewicht zu geben.

r Die Dauer des Reizes könnte hier vielleicht auch eine Rolle spielen, auf die H. aber meines Wissens nicht hingedeutet hat. Auf eine nähere Kritik kann ich hier leider nicht eingehen.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 111

Wir müssen daher auch auf eine vollständige, analytische Behandlung des kombinierten Problems verzichten. Wir können aber, mit nicht allzu groben Approximationen, wenigstens eine ziemlich gute Auffassung davon folgendermassen erhalten.

Das Koordinatensystem wird wie in Fig. 9 verlegt. Nach (10) erhält dy dp d 2y .

man, da p = dx und dx = dxz Ist:

X

1r 4 dp f dW/ E-r_" . - = (y' - y) --" dx' + P (f -- y) + Ax . 4 dx dx'

Sämtliche in (22) eingehenden Grössen sind früher definiert. (22) wird hinsichtlich x differenziert, und man erhält:

d(r..-4 dp) · E:!_-d dx = -pW,.- Pp + A . ....... (23)

4 X

Wenn nun r..-3 = ~3 x, d. h. wenn der Stab ein kubisches Paraboloid

R3 ist, so ist r..-4 = k~ · x§, wo T mit k bezeichnet wird. Ferner ist W..-=

3wdl s # = - 5-- · xg. Diese Werte werden in (23) eingesetzt, dx wird mit p'

d dzp . b . l un -d mit p" ezeic met. xz Nach einigen Rechnungen erhält man:

x§ p" + ± x! p' + [ 3 · 4 wnk~ . x~ + ~] p-~ = o .... (24) 3 5 E nk§ E 1rk§ E nk§

Wir führen folgende Bezeichnungen ein:

3 · 4 w 7r k~ 4 P 4 A SEnk~ =ß; Enkt =r; Enk~ = () ....... (2 5)

(22) wird alsdann geschrieben:

x§jJ" + ~ x!p' + [ß xi + r J p- a = o ....... (26)

Diese lineare, unverkürzte Differentialgleichung zweiter Ordnung wird gernäss dafür gegebenen Regeln verkürzt, wonach man erhält:

x3 p"' + xz ~p" + x[.1 + r x~ + ß xi ]P' + 'i ß xip = o .. (27) 3 9 3

Von einem Beweis für die Existenz einer konvergenten, nach stei· genden Potenzen von x fortschreitenden Lösung von (27) muss hier ab-

112 LAR.S TIREN

gesehen werden. Wir finden, nach Reihenentwicklung von (27), dass sich die erste primäre Reihe in mehrere Sekundärreihen zerlegen lässt. Einige von ihnen können auf bekannte Funktionen zurückgeführt werden, andere müssen in Reihenform bleiben. Als Endformel ergibt sich, wenn die Koeffizienten in Dezimalbrüchen ausgerechnet werden:

p = ao {[sin (3 Vr·,xl) + n (!}_ . z c_~Jl (V.. ·lfi· z~)- I] .. = 1' 3 vr . za (a, V ß)+ r I .

9 11 13 + [0,r66o7 r ß zB- 0,05735 r2 ß z8 + O,oogg865 r3 ß z8- .. ] = f"

18 l - [0,005723 r ß2 za- ..... ]J =1"'

=5'

9 16 28

- [0,r5 ß a zll- O,oo4963 ß2 a z8 + O,oooo8ogz ß3 a za- . . . ] =5"

11 13

+ [o,o5625 r ß a za- 0,009934 r• ß a za + .. ] . =5"' etc. ad inf ....... . ...... (28)

Die einzigen neuen Bezeichnungen in (28) sind: ll = die Gammafunk­tion und a0 = eine Konstante. Die verschiedenen Glieder der Gleichung werden, wie oben angedeutet, mit 1', 1", !'" und 5', 5", 5'" bezeichnet. Die Gleichung (28) kann man jetzt schreiben:

P = a0 (.!' + 1" + /"') + S' + 5" + S'" ....... (29)

Es gilt p =: = o für z = l. Wird daher in (29) der Wert z = l

eingesetzt, wobd durch l'z, 5'1 usw. angegeben wird, dass diese Opera­tion ausgeführt ist, so erhält man:

5'1 + 5"1 + 5"'1

ao =- l'z + l"z + l'"t

Aus (30) ist a0 zu berechnen und der Wert in (28) einzusetzen.

(30)

Nach (25) bezeichnen die Konstanten ß, r und a die Beeinflussung von p, die verursacht wird durch bzw. das Schafteigengewicht, das Kro­nengewicht und den Winddruck Setzt man eine oder zwei von ihnen gleich Null, so erhält man aus (28) diejenigen Gleichungen, die flir den so vereinfachten Fall gelten (siehe unten). .

Dieselbe Berechnung, die soeben für das kubische Paraboloid skizziert worden ist, wird auch für einen Zylinder ausgeführt. Man hat nun:

4w 4P 4A ß= ER•; r= E1rR4; a= ErrR4 ....... (3I)

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 113

Nach durchgeführter Rechnung findet man:

p = ao{[cos fi·% + ll(-i) V: ,J- .1 (~ vß fi) -- 1] = 1' - (! Vß)-s a

+ [0,03333 ß r z5- O,oOI78S ß r z7 + O,ooo044I ß r3 %9- . = 1"

- [0,ooo695 ß2 /%8- ..... J} · = ]"'

[-a a] - r cos vr . %- r =S'

- [O,oz 5 ß lJ z5- O,ooo4464 {12 J %8 . . : ] =S"

+ [o,oors87 ß r a z7 ... l =S'"

etc. ad inf .......... . . (32)

In (28) und (32) kann eine oder zwei der Konstanten ß, r und a = o gesetzt werden, wodurch sich eine Gleichung ergibt, die Iür den ein­facheren Fall gilt, dass entweder das Schafteigengewicht, das Gipfelge­wicht oder die Horizontalkraft vernachlässigt werden kann. Setzt man zwei der Konstanten = o, so erhält man z. B. für ein kubisches Para­boloid irgendeine der oben gegebenen Gleichungen (12), (14) oder (19), je nachdem ß und r, ß und a oder r und a = o sind. Eine nähere Erörterung dieser Spezialfälle dürfte überflüssig sein. Wünscht sich der Leser selbst von der Sache zu überzeugen, so will ich hier nur be­merken, dass:

- [~. sin (3 vr 1%~) - ~] = ~ a xi _, 3 vr %3 r

!im r = 0

SOWie

[ ~ a] a - r cos vr x- r = 2 x 2 ,

limr = o

was man durch Reihenentwicklung der beiden obenstehenden Ausdrücke leicht findet. Ferner sind die Ausdrücke .in (28) und (32), welche die Zylinderfunktionen J1 und J_ ~ enthalten, für lim ß = o beide = I, und

" 8

ausserdem ist für lim r = o: sin (3 vr'z~) = I.

3 vr x~ In den beiden Gleichungen (28) und (32) kommen Zylinderfunktionen

der Parameter + + und - 1J vor. Tafeln· für diese Ordnungen sind aber meines Wissens nicht publiziert. Um Rechnungen ohne allzu umfang­reiche Arbeit zu ermöglichen, mögen daher derartige Tafeln hier mit­geteilt werden.

8. Meddel. fr&n Statms Skog.iforsöksmzstalf. Häft. 24.

114 LARS TIREN

In }AHNKE-EMDE, Funktionentafeln usw., S. 90 finden wir die Formel:

oo (-I)" (l.zl +2Y

J (x)- "' 2 p -V~ v! n (P + v)

Hier ist v successive durch alle ganzen Zahlen von o bis + oo zu ersetzen und p die Werte +,;. bzw. - ~ zu geben. Man erhält auf diese Weise zwei Reihen. Hieraus werden die Werte der Zylinder­funktionen für verschiedene x-Werte berechnet. Die Methode ist nicht besonders zuverlässig, weil die Reihen für gewisse x-\Verte sehr lang­sam konvergieren. Durch graphische Interpolation können wir aber für unsren Zweck völlig genügende Ziffern erhalten.

X

I

o,oo o,o2 0 1o3

o,o4

o,os o,o6 o,o7 O,o8

j o,o9

I O,ro o,rs

I X

o,oo o,os 0 1 Io

o,xs

0,2o

0,25

0,30

0,35 0,40

0,45 o,so

0,55

J, (x}

I X

I 'r

+ o,ooo 0 12o

0,554 0,25

o,5s7 o,3o

o,6:r3 0,35

o,634 0,40

o,6so 0,45 0,663 o,so 0,675

"···I o,686 0,54

o,695(6) 0,56

0,736 o,58

I J_! (x)

I

+ 00

2,5236

I ,9974 I ,7366

I ,5674

I,440

I ,3435 I,26I

I,r88

I,I24 I ,o6s

I I ,oJo

Tab. 3· n m = 0,935 •.•

J, (x)

I X

I J, (x)

I X

I J+ (x)

I X

I J! (x)

I X

I J, (x)

'r 'r 7 " + 0,763 o,6o + o,83r(2) I ,ro + 0,740 I ,65 + o,su 2,2o + 0,224

0,784 0,62 o,83o(4) r ,:rs 0 723 I 170 0,487 2,25 o,rgS

0,799 o,65 0,828 I 12o o,7o6 I ,75 o,46r 2,30 O,I]O

o,Sro 0 1 7o o,824 I 125 0,688 I ,So 0,435 2,35 o,146

0,8r9 0,75 o,s:rs I 130 o,669 I ,85 0,409 2,4o o,u:s 0,826 o,So o,Sr2 I ,35 o,6so I ,go 0,384 2,45 o,og2

o,83o(r) 0,85 o,sa3 I ,4o o,628 I ,95 0,357 z,so o,o65

0,83o(9) O,go o,793 I ,45 o,6o7 2 1oo 0,330 2,55 o,o40

o,83r(5) o,gs 0,]82 I ,so o,583(5) z,os 0,304 2 16o + 0,012

o,83r(7) I ,oo o,768(8) I ,55 o,56o 2 1 ro 0,277 2,65 - o,o:r4

o,83r(6) I 105 0,755 I ,6o o,536 z,rs 0,250 2,]0 -· o,o4o

Tafel über die Zylinderfunktion J, (x). Tabeil över cylinderfunktionen J, (x).7

'r

Tab. 4. IJ (- !) = I,3539 ••

I X

I J-: iJ (x)

I X

I J_! (x)

I X

I J_ i (x)

I 0,6o + 0,958 I,2o + 0,452 I ,So + o,o4 o,65 o,9o9 I ,25 0,414 I ,85 + o,o)

o,7o o,862 I ,3o 0,376 I ,go ~ o,o2

0,75 o,sr7 I ,35 0,342 I ,95 o,os o,So o,n3 I ,4o 0,305 2,oo o,o8

o,s5 0,732 I ,45 0,269 o,go o,6go I ,so 0,234 (7) o,95 o,648 I ,55 o,2or

I ,oo o,6o7 I ,6o o,r67 I ,os o,567 (5) I ,65 o,r3s I ,IO o,s28 I ,70 o,ro2

I I ,rs I 0,490 . I ,75 I o,o7 I Tafel über die Zylinderfunktion J_ i (x).

Tabeil över cylinderfunktionen J_ g (x).

I

I

EINIGE UNTEGSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 115

Es ist klar, dass numerisches Rechnen mit (28) und (32) sich in hohem Grade zeitraubend gestaltet, und ich habe den Gewinn, den die Aus­führung einer solchen Rechnung für jeden einzelnen Fall bringt, für nicht den Opfern an Zeit entsprechend erachtet. Da die Gleichungen auf­gestellt wurden, um einen Überblick über die mechanischen Verhältnisse gewisser dichtgeschlossener Bestände zu ermöglichen, in welchen Be­ständen die Durchmesser der untersuchten Bäume ziemlich gleich ge­wesen sind, so habe ich dafür einen bestimmten Durchmesser gewählt und alle Berechnungen mit Bezug auf diesen ausgeführt. Es hat sich nachher erwiesen, dass nicht nur jüngere dichtgeschlossene Bestände gernäss diesen Gleichungen berechnet werden müssen, sondern auch ältere Bestände, die nicht besonders dicht scheinen. Daher könnte viel­leicht der gewählte Durchmesser (3 cm) weniger praktisch erscheinen. Wie es sich später zeigen wird, bedeutet aber diese Wahl keinen wirklichen Übel­stand, da jeder Durchmesser sehr einfach auf 3 cm reduziert werden kann.

Nach (28) und (32) wird also die Ableitung (;t) der elastischen Linie

berechnet, für eine gewisse Konstellation von A (Horizontaldruck) und P (Gipfelgewicht) sowie unter der Annahme, dass das spez. Gewicht des Holzes = o,9 o ist. Die elastische Linie selbst wird danach graphisch hergeleitet. Aus dieser erhält man leicht die Biegungsmomente, die von P und E (dem Eigengewicht) herrühren. Zu ihrer Summe wird das Biegungsmoment des A addiert. Gernäss (7) berechnet man ferner die Spannung u. A und P sowie die Stablänge werden durch V ersuche· so gewählt, dass u = 200 kg/cm2 wird, was ja mit der vorher gemachten Annahme über die Druckfestigkeit übereinstimmt. In einem Koordina· tensysteme, wo die y- und x-Achsen P und A darstellen, werden die so erhaltenen Punkte eingetragen. Durch Setzen von A bzw. P = o erhält man Punkte der y- und x-Achse. Die Punkte, die zu derselben Stab­länge gehören, werden durch eine Kurve verbunden, wodurch man ein Kurvensystem erhält, an welchem man, für eine bestimmte Länge des Paraboloids oder Zylinders und z. B. ein bestimmtes Gipfelgewicht (P), diejenige Horizontalkraft (A) ablesen kann, die eine Spannung von 200 kgjcm 2 hervorruft.

Da es nie gelungen ist, die Konstellation A, P und l so zu wählen, dass die Spannung exakt = 200 kgjcm2 wurde, so markieren die Kreise in Fig. I I, dass die Punkte mit einer gewissen Unsicherheit bestimmt worden sind. Da die Rechnungen umständlich sind und die Anzahl der Reihenglieder die geringste mögliche ist, und da ein graphisches Ver­fahren in die Berechnung eingeht, so darf man den Kurven in Fig. I I

keine grössere Präzision zuschreiben.

116

J 3.o

kg 2.9 p

2.7

2.6

2.5 \

2.~ \

2.3

2.2

2.1

2.o

1.9 \

1.8 \ I. 7

1.6

1.5

Li

l.o

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

\ \ \ \

\. \

\ \

\

\

\

\ \

\ \

\

\

\ -~

\

LARS TIREN

\

\ \~ -~

\ \ \

\ \

\

O.OL-~~~~-®~&r~r-~--~~--~-+~--~~--~~,--,~~-.~ 0.1 0.2 0.3 0.<, 0.5 0.6 0.7 0.6 0.9 l.o 1.1 1.2 1.:> 1;.. 1.5 1.6 1.7 1.6 1.9 2.o

kl', A ___.

Fig. II. Diagramm über das Zusammenwirken der Kraftfaktoren A, P und E. Die Ziffern ill). Diagramme bedeuten Stablängen. Erklärung d. Buchst. A, P u. E siehe S. 140.

----- = Zylinder];'(Cylinder); - ·- ·- = kubisches Paraboloid (kubisk para­boloid). Diagram över samspelet mellan kraftfaktorerna A, P och E. Förklaring av bokst. A, P ocb .E se sid. 140.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 117

In die genannte Figur sind die Kurven sowohl für Zylinder als für kubisches Paraboloid eingetragen. Hat man daher einen Stab von ge­wisser Länge, dessen Form zwischen dem Zylinder und dem Paraboloid liegt, so kann man in der Figur zwischen den derselben Länge ent­sprechenden Kurven für Zylinder und Paraboloid interpolieren. Eine recht beträchtliche Anzahl von Probeberechnungen haben gezeigt, dass man auf diese Weise ziemlich gute Resultate erhält.

Der jetzt auszuführende Beweis ist mir freundliehst von Herrn Dozenten HILDING FAXEN mitgeteilt worden. Wir betrachten den 3 cm starken Baum als einen Stab 5°, der im Punkte x" den Radius r_.o hat. Er wird durch den Vertikaldruck po und die Horizontalkraft A 0 belastet. Es gilt dann gernäss (23):

Der beliebig gewählte Baum ist mit einem Stab S zu vergleichen, der im Punkte x den Radius r x hat, wo aber:

rxo = a rx; x 0 = ß x; a und ß = Konst ........ (34)

Es soll gezeigt werden, dass der Stab S, P und A (womit derselbe zu belasten ist) so gewählt werden können, dass die elastischen Linien analog geformt sind.

X X

Es ist: wx = J 7f zur_,/ dx und wox" = J 7fW rxo2 dx0 oder nach (34):

X

W0 ... o = J 7[ zu a2 rx2 ,e dx = a2 ß w.X" Der letzte Ausdruck, sowie (34), werden m (33) eingesetzt, der dann

liefert:

Die Gleichung (35) wird identisch mit (23), wenn po = r p, wo r = a4 a4 a4

Konst., wenn ferner - = a2 f.i po =- P und Ao =- r A denn dann ß2 t'> ß2 , ß2 ,

verschwinden r<, ß und r aus der Gleichung (35). Nach Obenstehendem erhält man:

2 p 8 8 2 ß = all; 0 = a" P; A 0 = tJ:ll r A; Xo = all X ..... (36)

Ferner gilt nach (2 I c): dp a I -=-·-und dx E rx

dpo t7

dxo = E. rxo ......... (37)

118 LARS TIREN

Sollen die Stäbe bis zUm Bruch angestrengt sein, gilt:

dp S I dpü S I -d = E ~ und d------c, = E - .......... (38)

X rx X • rxo .

Da aber die Spannungen in gleich liegenden Punkten der beiden Stäbe proportional sind, so wird in dem am meisten angestrengten Punkt r0 = a r.

Nun ist jedoch nach Vorstehendem: dpo r dp. r r . s I r dp r s I -=~- ~=-und also nach (38) ~·-=~ -=~ ~-dx0 a§ dx' r0 ar · E ar a§ dx ai E r'

woraus schliesslich folgt: r = ~. Dieser Wert wird in (36) eingesetzt, as

und so ergibt sich:

;rO = a§ x; po = a~ P; A 0 = (J.ä A . . . . . . . .. (39)

Damit ist also die Möglichkeit gegeben, die Berechnungen für den Standardstab auf jeden anderen Stab zu übertragen.

KAP. VI. Über die Berechnung einiger Probestämme.

Relative Dimensionen.

Die Vorarbeit, deren Hauptzüge ich in den vorstehenden Kapiteln dargelegt habe, ist noch nicht in grösserem Umfange für Kalküle über den Gleichgewichtszustand lebender Stämme verwertet worden. Um sol• ehe mit wirklicher Sicherheit ausführen zu können, dürfte übrigens noch viel Arbeit erforderlich sein. Besonders betreffs des Verhältnisses zwi­schen der Windgeschwindigkeit und dem von der Krone empfangenen Winddruck ist unsere Kenntnis äusserst mangelhaft und unvollständig. Wie ich früher bemerkt habe, ist es keineswegs sicher, dass die Angaben, welche aus solchen artifiziellen Versuchen wie den in Kap. II erwähnten erhalten werden, wirklich richtig und zuverlässig sind. Das Verhältnis zwischen Windgeschwindigkeit und Winddruck für eine ganze Krone kann jedoch auf eine andere Weise untersucht werden, obwohl diese sehr um­ständlich und zeitraubend ist, nämlich durch Messung der Faserver­kürzung in einem bestimmten Punkte des Stammes und gleichzeitige Windgeschwindigkeitsbestimmung.

Die Berechnungen einiger Fichtenprobebäume, worüber ich jetzt in grösster Kürze berichten will, sind nur als sehr approximativ zu betrach­ten, dies teils aus Gründen, die vorher erwähnt sind, und teils auch wegen einer ziemlich groben Bestimmung der Kronenfläche. Die schöne Übereinstimmung mit der mechanischen Theorie, welche die Berechnun­gen aufweisen, dürfte daher bis auf weiteres mit einer gewissen Skepsis zu betrachten sein.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 119

Durch Zufall fand ich zwei Fichten nebeneinander in einem sehr lichten Bestande, die eine mit einer beinahe zylindrischen ( C), die andre mit einer kegelförmigen (K) Krone. Die Kronen beider Bäume reichten nahezu bis zum Boden. Die Kronenmasse jedes Zehntels des Stammes wurde gewogen, und nach gewissen vorher berechneten Werten der

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\\u. ),,,. Fig. 12. Instrument zur Messung der Faserverkürzung

bei Biegung (schematisch). Instrument für mätning av fiberförkortningen vid böj­ning (schematiskt).

Kronenfläche pro kg Kronengewicht wurde die entsprechende Kronen­fläche ermittelt. Im starken Sturme wurde die Windgeschwindigkeit vor den betr. Bäumen so gemessen, dass man eine Windkurve, ähnlich denen in Fig. 1, aufzeichnen konnte. Das Gewicht der Krone und des Schaftes brauchte bei der Berechnung der Form dieser Bäume nicht berücksich­tigt zu werden. Aus Gründen, über die ich hier nicht im einzelnen be­richten kann, stellte es sich als wahrscheinlich heraus, dass für die Fichte

120 LARS TIREN

( C) die Kurve I in Fig. 5 für die Abhängigkeit zwischen Windgeschwin­digkeit und Winddruck und für die Fichte (K) die Kurve II zu gelten hatte. Dies ist in hohem Grade eine subjektive Wahl, wenn es auch durch verschiedene Details im Aussehen und Bau der Krone motiviert wer­den kann. Eben in diesem Punkte liegt augenscheinlich die wesentliche Schwierigkeit. Wir können aber nichts an der Sache tun und müssen uns mit der Gewissheit begnügen, dass die fraglichen Druckkurven jeden· falls möglich und sogar wahrscheinlich sind.

Auf Grund der Angaben, die so vorliegen, .kann man nun Mx für die beiden Fichten berechnen. Zufolge (7) finden wir dann:

oder, da (J = s = Konst.:

( 4 ·Mx)§ rx = -- .............. (40) S7r

In Tab. 5 finden wir einen Vergleich zwischen den so berechneten Dimensionen und den wirklichen, nachdem beide in relative Masse über· führt worden sind (Basalradius = I,ooo).

Tab. 5· Vergleich zwischen wirklichen und aus dem Biegungsmomente berechneten Schaftdimensionen.

Jämförelse mellan verkliga och ur böjningsmomentet beräknade stamdimensioner.

B lAbstand voml aum Gipfel% 0 I Io I 20 I 30 I 40 I so I 6o I 70

I So

I 90 I IOO

c I wirk!. Dim.l o,ooo I 0,2121 o,3371 0,4441 0,5541 o,6391 o,7221 o,8osl 0,8751 o,9451 I ,ooo

c IBerechn. » I o,ooo I o,2o71 0,3371 0,4461 0,5521 0,6441 0,7351 o,8agl 0,8821 0,9431 I ,coo

K I wirk!. » I o,ooo I 0,1351 0,231 I 0,3281 0,4221 0,5231 0,6371 0,7381 0,8421 0,9231 I ,ooo

K IBerechn. " I o,ooo I 0,120 I 0,2161 0,3241 0,4221 o,s2o 1. 0,6331 o,7381 0,8381 0,9271 I ,ooo

Die Tab. 5 zeigt, dass die berechneten Dimensionen sich erstaunlich gut an die wirklichen anschliessen .. Damit ist auch bewiesen, dass 0' beinahe konstant ist, unter den Voraussetzungen, die betreffs der Windgeschwindigkeit und des Winddruckes gemacht sind. Ich habe aber versucht, die Konstanz der Spannung auch auf eine andere Weise darzutun.

Die beiden Fichten wurden während eines heftigen Sturmes senkrecht zur Windrichtung photographiert. An den Photographien erhielt ich durch genaue Messungen die elastische Linie. Nach ( 10) finden wir

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 121

f ~M . y = dz jE Yx dz, und man erhält demnach, durch doppelte graphicshe

Differentiation der experimentell gefundenen elastischen Linie, eine Kurve,

d. Mx . d "b D h Mx k h . Ie E j wie ergi t. a nun nac (7) a = --, so ann augensc em-x ~r 3

4 X

lieh a berechnet werden durch Multiplikation von :;x mit r x· Auf diese

Weise, die unabhängig von jeder Annahme über Windgeschwin­digkeit, Winddruck und Kronenfläche ist, ergibt sich die folgende Serie relativer a-Werte.

Tab. 6. Das Bruchrisiko in relativen Massen, aus der elastischen Linie berechnet. Relativa brottrisken, beräknad ur elastiska linjen.

Abstand vom I Gipfel 10 1 20 1 30 1 40 1 so 1 6o 1 70 1 So I 90 I IOO

Baum I

c I I ,o3 I l,oJ I I ,ox I I ,o• I I ,o2 I I ,ox I I,oo I I ,oo I 0,98 1 I,oo

K I 0,761 0,93 1 0,94 1 0,99 I I ,ox I I ,ox I 0,99 I 0,99 I 0,99 1 I,oo

Die Spannung a oder mit anderen Worten das Bruchrisiko ist offenbar sehr konstant, auch wenn sie auf diese Weise berechnet wird. In den Gipfelsektionen der Fichte K sinkt sie allerdings recht beträchtlich, was aber daraus erklärt werden kann, dass beim Photographieren der Wipfel dieses Baumes durch einen lokalen Windstoss ein wenig unregelmässig gebogen wurde. Die aus Tab. 6 berechneten Dimensionen stimmen noch besser mit den wirklichen überein, als die in Tab. 5 angegebenen.

Ausser diesen beiden Fichten wurden auch vier andere untersucht. Drei von ihnen wuchsen in einem mässig geschlossenen·, reinen Fichten­bestand, und die vierte stand in einem sehr lichten. Die Form dieser Bäume wurde auch sehr genau bestimmt, mit Hilfe von Angaben über die Kronenfläche; die Windgeschwindigkeit und den Winddruck Diese Angaben erhielt ich aus der dem Bestandesschluss entsprechenden Wind­kurve (vgl. Kap. I) und der Druckkurve V (siehe Fig. 5). Die Kronen­fläche wurde durch direkte Messungen ermittelt.

Es scheint also, als könnten die mechanischen Prinzipien die Form dieser Bäume ausserordentlich wohl erklären. Ganz ge­wiss wäre es jedoch übereilt, hieraus den Schluss zu ziehen, dass die Fichte oder gar die Bäume insgemein ihre Form ge­mäss den Forderungen der mechanischen Theorie ausbilden.

122 LARS TIREN

Es ist nämlich gar nicht ausgeschlossen, dass die Form der Fichte durch ganz andere Umstände bestimmt wird, obwohl diese, durch ein Spiel des Zufalls oder etwa auf Grund eines Zusammenhangs, den wir nicht kennen, zum Teil vielleicht wegen der oft sehr regelmässigen Entwicklung der Fichtenkrone, zufälligerweise ebenso wie die me­chanischen Kräfte wirken. Es gibt in der Tat manches, was dafür spricht, dass die mechanischen Prinzipien, wenn sie auch nicht bedeutungslos sind, doch nicht immer in der Schaftform der Bäume zu klarem Aus­druck kommen. Ich komme hierauf in einem anderen Zusammenhange zurück.

Absolute Dimensionen.

Wenn wir der mechanischen Theorie gernäss gelten lassen, dass die im Schafte entstehenden Spannungen den Zuwachs so dirigieren, dass sie überall gleich gross werden, so· liegt die Vermutung nahe, dass auch die absolute Menge des Schaftzuwachses durch die Spannungen bestimmt werden wird. Man könnte sich dabei denken, dass der Zu­wachs des Schaftes so lange fortdauert als nötig ist, um die grösste zulässige Spannung auf demjenigen Grenzbetrage zu halten, der durch die Festigkeitseigenschaften des Holzes gegeben wird. Der Schaftzu­wachs sollte also nur in dem Masse stattfinden, wie die am Schafte wirkenden Kräfte dies notwendig machen. Wenn diese also konstant bleiben oder wenn sie sich etwa vermindern, sollte folglich der Schaft­zuwachs aufhören. Dies trifft vielleicht nie ein, weil der Schaftzuwachs auch aus anderen Gesichtspunkten als denen der mechanischen Festig­keit erforderlich ist, aber anderseits ist diese Konsequenz der Theorie bei weitem nicht so absurd, wie man im ersten Augenblicke zu glauben geneigt ist. Man könnte nun zwar auf die Bäume in Gewächshäusern hinweisen. Es sind ja doch Bäume, mit ausgebildeten Stämmen, aber dabei muss man auch zugeben, dass ihre Stämme vielleicht derjenigen Aufgabe entsprechen, die sie im Gewächshause .tu erfüllen haben, aber vielleicht durchaus nicht die mechanische Beanspruchung aushalten würden, die sie in ihrem natürlichen Milieu hätte treffen müssen. Es ist noch unbekannt, inwiefern die mechanische Funktion des Schaftes grössere Dimensionen fordert als seine übrigen Funktionen. Gewiss ist aber, dass Fälle beobachtet sind, wo es scheint, als hätte eine Abkop­pelung der mechanischen Beanspruchung in einer fast vollkommenen Einstellung des Schaftzuwachses resultiert (vgl. S. I 39)

Die Frage der absoluten Dimensionen und ihres Verhältnisses zu der mechanischen Beanspruchung ist bei weitem noch nicht für eine ziffer­mässige Behandlung reif. Es ist leicht einzusehen, dass, in weit höherem Masse als betreffs der Form, es betreffs der absoluten Dimensionen eine

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 123

notwendige Forderung ist, dass sich die Krone und der Schaft des Baumes in einer natürlichen, von jedem Eingriff in die Bestandesverhältnisse ungestört bleibenden Gleichgewichtslage befinden, weil sonst jede Be­rechnung irreführend wird. Selbstverständlich bedeutet dies nicht, dass der untersuchte Bestand etwa undurchforstet sein muss, nur dass eine Durchforstung nicht eben vor der Untersuchung vorgenommen worden ist. Aus diesem Grunde dürften die oben erwähnten Fichtenprobebäume für eine ziffermässige Berechnung weniger geeignet sein.

Wenn dem aber so ist, dass jeder Stamm aufgebaut wird, um dem Winddruck zu entsprechen, so muss jedenfalls der Druck A, der nach (7) oder (28) berechnet werden kann, auf eine und dieselbe Windgeschwin­digkeit im Raume oberhalb des Bestandes zurückgeführt werden können. Wenn in den Gleichungen a =der Bruchfestigkeit (s) gesetzt wird, so erhält man die Windgeschwindigkeit, welche die Bäume zu brechen ver­mag; setzt man aber a ·= der Spannung an der Elastizitätsgrenze des Holzes, so erhält man eine andere, niedrigere Windgeschwindigkeit, wel­che den Schaft bis zur Elastizitätsgrenze biegt. Welches von beiden man eigentlich tun soll, lässt sich, wie vorher angedeutet wurde, un­möglich sicher entscheiden~ Handelt es sich aber um die Bruchfestig­keit (was aus physiologischem Gesichtspunkte- kaum als wahrscheinlich anzusehen ist), so sollte man erwarten, dass die gernäss den Berechnungen erhaltene konstante Windgeschwindigkeit die grösste in der Gegend vorkommende wäre.

Betreffs eines Teiles der Probebäume, u. a. der vorher erwähnten Fich­ten, die in diesen Hinsichten untersucht worden sind, ist diese etwa 28 mjsec. Die Berechnung ergab, dass der Druck, den ein Wind von 28 m Geschwindigkeit ausübt, in der Tat nicht allzu viel von dem Drucke abweicht, den die Schäfte bei Voraussetzung von 200 kg Bruchfestigkeit ertragen können. In der Regel scheint es jedoch, als wäre der Winddruck ein wenig niedriger. Dies kann sowohl als ein Zeichen davon gedeutet werden, dass die Druckkurven in Fig. 5 zu tief liegen, als auch davon, dass die Elastizitäts- oder Fliessgrenze besser als die Bruchgrenze die Norm angibt, an die der Zuwachs sich möglicherweise anpasst.

Ein recht interessanter Versuch, um zu entscheiden, ob das erstere der Fall war, ist in der Weise ausgeführt worden, das~ die Faser­verkürzung an einem bestimmten Punkte des Stammes gemessen wurde, wenn dies.er von einem Winde gebogen wurde, dessen Geschwindigkeit man registrieren konnte. Mit Hilfe des in Fig. r2 schematisch -abge­bildeten Instrumentes konnte eine derartige Untersuchung ausgeführt werden. Das Ergebnis war aber, dass die Baumkrone weniger Druck zu empfangen scheint als die einzelnen Äste. Die Experimente waren

124 LARS TIREN

jedoch wenig zahlreich und das Instrument recht unvollkommen, weshalb das Resultat als sehr unzuverlässig anzusehen ist. Ich erwähne das Ex­periment nur wegen der Methode, die brauchbar und entwicklungsfähig zu sein scheint.

KAP. VII. Eine Studie über die Schaftform dicht­geschlossener Bestände.

Die in dem vorigen Kapitel gewonnenen Resultate veranlassten mich, solche Stämme näher zu studieren, die mehr eigenartigen Belastungs­verhältnissen ausgesetzt gewesen waren. Dadurch hoffte ich eine Be­stätigung oder wenigstens eine !leue Beleuchtung der mechanischen Theorie zu gewinnen.

Die Absicht war von Anfang an, festzustellen, ob verschiedene ziem­lich gewöhnliche Abweichungen von der normalen Schaftform durch die mechanische Schaftformtheorie erklärt werden konnten. Allmählich fand ich es aber notwendig, mich auf diejenige Art von Abweichung·en zu beschränken, die in speziell dichtgeschlossenen Beständen ange­troffen werden. Die Ursache hiervon ist, dass die wichtigste der jetzt weggelassenen Schaftformabweichungen für ihre Behandlung eine Anwen­dung der mechanischen Torsionstheorie verlangt. Dazu ist aber die Kenntnis einer bestimmten Elastizitätskonstante für frisches Holz notwen­dig. Diese konnte aber nicht bestimmt werden. Nach V ersuchen, die an der Staatlichen Materialprüfungsanstalt gemacht worden sind, erhielt man, wie vorher erwähnt wurde, vollkommen absurde Werte der frag­lichen Konstante (POISSON's Zahl). Dies hängt mit der inhomogenen Struktur des Holzes zusammen, die bei Torsion sich stark geltend macht. Wahrscheinlich ist, dass man auf Umwegen auch diesen Fall wenigstens in seinen wichtigsten Hauptzügen klarlegen könnte, aber da es sich deut­lich gezeigt hat, besonders aus dieser Untersuchung, dass eine grosse Genauigkeit der Berechnungen eine notwendige Voraussetzung für sichere Resultate ist, habe ich es vorgezogen, bis auf weiteres ganz auf eine eingehende Behandlung dieses Falles zu verzichten ('vgl. die Abteilung Torsion, Kap. V).

Da dieses Kapitel in gewissem Sinne als den übrigen gegenüber frei­stehend betrachtet werden kann, habe ich es für notwendig gehalten, ihm ein wenig grössere Breite als jenen zu geben.

Die Beschaffenheit des Bestandes und der Probebäume.

In dichten N aturverjüngungen von Kiefer trifft man zuweilen Stämme an, die ungeheuer lang im Verhältnis zum Durchmesser sind. Ein Stamm,

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 125

der m vom Boden einen

als 7 m lang sein. Das

Durchmesser von 3 cm hat, kann z. B. mehr

Formverhältnis (d:J, das sich gewöhnlich

Fig. 13. so-Jährige dichte Kiefernverjüngung. so-Urig. tät tallsjälvsädd.

unter 100 zu halten pflegt, ist hier weit über 200. Derartige schlanke Bäume gehören immer zu den mitherrschenden, beherrschten oder unter­drückten Stammklassen. Die weitestgehenden Extreme sind meistens stark unterdrückte, absterbende Bäume oder auch solche, die in ausser­ordentlich enger und eingeklemmter Stellung aufgewachsen sind.

126 LARS TIREN

Diese Grenztypen können spontan nur dank dem geringen Schichtver­mögen im Verein mit dem grossen Lichtbedarf der Kiefer entstehen, welche beiden Umstände eine sehr geringe und langsam fortgehende natürliche Ausscheidung und einen so lange wie möglich erhaltenen Höhenzuwachs bedingen.

Als Beispiel für die Beschaffenheit derjenigen Bestände, in denen der­artige extrem schlanke Schäfte zu finden sind, teile ich hier einen Aus­zug aus einer Abschätzung einer Probefläche im Gemeinwald des Kreises Göstring mit, aus der die späterhin erwähnten Probebäume entnommen sind.

Tab. 7. Probefläche in einer dichten Selbstsaat von Kiefer. Alter so Jahre. Die Ziffern gelten pro I Hektar. Das Areal der Fläche 20 X 30 m = o,o6 Hektar.

Provyta i en tät självsadd av tall. Siffrorna gälla per hektar.

Mitte 1-I Holzart Kbm Stammzahl Grundfläche

höhe

I durchm.

m2 m cm

KiefeJ; ............ r6o I 4,980 I z8,o I

r r·,2 I S,s

Birke 2 I

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I Summe·~: ·~;~~el :II r62 I

5,095 I

z8,s I

I I ,x I

S,s

Nach der Tabelle JüNSON's für Okularabschätzung von Kiefernbe­ständen nach Mittelhöhe und Schlussgrad ist der Kubikmassenschluss der Fläche rund r,r. Nun ist jedoch zu beachten, dass die Probefläche in der Absicht gewählt wurde, ein repräsentatives Bild eines grö,:seren Bestandteiles zu geben, während dagegen die schlanksten Bäume nur in besonders dichten Teilen auftreten. Folglich kommt in der Tabelle der Bestandstypus dieser kleinen Gebiete nicht zu ganz richtigem Ausdruck. Der Bestand ist hier niedriger, stammreicher und schlanker, als die durch­schnittlichen Ziffern angeben. Der Zuwachs ist im 5o-jährigen Bestande relativ gross - 4,r % - bedingt u. a. durch die stellenweise recht zahl­reichen, freien, vorherrschenden Stämme. Die Fläche wurde durchforstet, und die Ausbeute war 36 % der Kubikmasse und 55 % der Stamman­zahl, welche beiden letzteren Ziffern, mit einander verglichen, das reich­liche Vorkommen unterdrückter Stämmchen andeuten. Diese waren in der Tat noch zahlreicher, als aus den Hiebsprozenten geschlossen werden kann, denn bei der Bestandestaxierung wurden Stämme unter 4 cm mit Rinde ausser Acht gelassen.

Wenn man die Form der schlanksten Bäume untersucht, wird man anfangs von ihrer unerwarteten Formvariation überrascht. Es ist un-

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 127

möglich, eine konsequent durchgehende charakteristische Ei­genschaft der Form zu finden. Man bemerkt aber sofort, dass das kubische Paraboloid, das sonst die typische und leicht erkennbare Grund­form für die normalen, nicht allzu reich bekronten Stämme abgibt, nicht

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~ 2 3cm

Stammkurven der Kiefernprobebäume. Der horizon· tale Sti-ich bedeutet untere Kronengrenze. Der kleine kreis Markiert das Druckcentrum. Tallprovträdens Stamkurvor. Det horisontala strecket betyder den nedre krongränsen. Den lilla cirkeln markerar tryck~ centrum. --- = wirkliche Stammkurve.

verklig stamkurva.

- - - = berechnete Stammkurve. beräknad stammkurva.

mehr wiederzufinden ist. Erst wenn der Stamm nicht zu den schlanksten gerechnet werden kann, kehrt allmählich die »normale» Form wieder. Ich verweise hier auf die Figg. 14-19, welche die Schaftform von 21

Probebäumen aus dem obengenannten Bestande illustrieren. Um für

die eben gemachte. Bemerkung sogleich ein Beispiel anzuführen, will ich

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Fig. 15. Text siehe Fig. 14. Text se Fig. 14.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 129

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·Fig. 19. Text siehe Fig. 14. Text se Fig. r4.

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EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 133

die Aufmerksamkeit auf den Probebaum Nr. XIX lenken, der ein ganz gewöhnlicher, vollkommen frei stehender, nicht besonders schlanker Baum war. Seine Schaftform wird durch die kubische Parabel gut wiederge­geben. Manche andere Bäume, die schmächtiger waren, werden gut wiedergegeben durch Kurven, die ihrem Äusseren nach der kubischen Parabel nahe stehen (z. B. Nr. II, IX, XV u. a. m.), und die bei abneh. mendem Einfluss gewisser vom Schlankheitsgrade abhängenden Kon· starrten allmählich in die exakte Parabel übergehen.

Die Schäfte sind bald ungewöhnlich vollwüchsig, bald unerwartet ab­förmig (Nr. X, XII, XVII, XXI). Eben unter der Kronengrenze tritt oft eine bemerkenswerte, schwache Einbiegung der Stammkurve auf. Ich komme auf diese und andere Eigentümlichkeiten weiter unten näher zurück.

Angaben der Längen und Durchmesser ohne Rinde können aus den Figg. r4-19 erhalten werden.

Gewicht und Fläche der Krone.

Die Kronen der schlanken, unterdrückten Kiefern sind in der Regel sehr schwach entwickelt. Die Astreinigur.g ist oftmals so weit fortge­schritten, dass das Kronenverhältnis bis auf 20 % oder noch weniger heruntergeht. Die kleine, leichte Krone übt jedoch eine nicht unbedeu­tende Knickwirkung aus, da sie am Gipfel eines schlanken Stammes sitzt. Das Moment, das durch das Gewicht der Krone verursacht wird, ist mit den Momenten des Schafteigengewichtes und Winddruckes völlig vergleichbar.

Wenn das Kronengewicht in die mathematischen Berechnungen eingeht, wird zu ihm teils das Gewicht der Nadeln und Zweige und teils das Gewicht eines gewissen innerhalb der Krone liegenden Stammteiles ge­rechnet. Dieser Teil besteht aus dem, was von dem kronenbekleideten Stammteil übrig bleibt, wenn davon abgezogen wird, was demjenigen Rotationskörper angehört, dessen Konturen mit denen des kronenfreien Stammes zusammenfallen, dessen Scheitel aber im Schwerpunkte der Krone liegt. Die demgernäss berechneten Kronengewichte findet man in Tab. 9 angegeben.

Die Bestimmung der Nadel- und Reisfläche der Krone ist nach Me­thoden ausgeführt, über die ich in einer früheren Arbeit detailliert berichtet habe (1926 b) (vgl. Kap. III).

Die gesamte Nadel- und Reisfläche pro kg Kronenfrischgewicht ist bemerkenswert niedrig. Der Durchschnitt für die 14 untersuchten Probe­bäume ist 2,69 m2 • Dies erklärt sich· aus dem Reichtum der Krone an dürren und nadelarmen Zweigen, die weit grössere Beiträge zum Kronel1-

134 LARS TIREN

Tab. 8. Kronenfläche der 14 untersuchten Probebäume. Kronytan hos de I4 undersökta provträden.

Probebaum Nadelfläche Reisfläche I: Kronenfläche Kronenfläche

pro kg Nr. m2 m2 m2 m2

ii ············ ········· ···/ O,I3I Ü 1I2I 0,252 2,o6

························ 0,6ro 0,200 o,Sxc 2 16o

lii ..................... o,r48 o,o73 0,221 2,62 V ························ O,o]I 0,124 o,rgs I ,63 VII ..................... I ,66g o,4r8 2,o87 2,57 VIII, .................... I ,s7o 0,341 I,gn 2,97 IX ····················· 0,750 o,z6z I,orz 2 16o X ........................ o,sso o,3z6 I,I76 2,go XI ····················· O,g3o o,zox I ,I3I 3,so XII ····················· r,rzo 0,241 1,361 3,o8 XIII ..................... o,457 o,zog 0,666 2,2]

XIV ····················· I,zso o,366 I ,6I6 2,76 XV ····················· 1,570 O;z66 I 1836 3,30 XVI ..................... I,t8z 0,446 I,6z8 2 18z

gewicht liefern als zur Kronenfläche. Die Fläche der Nadeln allein pro kg Nadelfrischgewicht ist dagegen recht gross, durchschnittlich 6, 3 m 2 ,

was anderseits auf dem Schattentypus der Nadeln beruht. Sie sind . nämlich klein und im Verhältnis zu. den Querschnittsdimensionen lang, wodurch ihre spezifische Fläche gross wird.

Die Windgeschwindigkeit im Bestande.

Für eine spätere Überlegung ist es notwendig, sich eine Auffassung von der Windgeschwindigkeit und dem Winddrucke des dichtgeschlosse: nen Bestandes zu verschaffen. Direkte Messungen konnten nicht ausge­führt werden, weil solche allzu grosse Schwierigkeiten bieten. Eine stark approximative Berechnung der Windgeschwindigkeit in verschiedenen Niveaus des Bestandes ist aber mit Hilfe der vorher gefundenen Ge­schwindigkeitskurven (Kap. I) möglich. Dazu muss die grösste Höhe des Bestandes und der Schlussgrad bekannt sein. Nach Tab. 7 ist die Bestandsmittelhöhe = 1 I ,z m. Dieser Wert ist aber zu hoch für das spezielle Gebiet, dem die Probebäume entnommen sind. Für dieses ist eine grösste Höhe von 9 m und eine Mittelhöhe von ungefähr 7 m ver­zeichnet. Der Schlussgrad des Bestandes dürfte, mit Rücksicht auf die Grösse der Grundfläche pro Hektar, innerhalb des betrachteten Gebietes mit I,z anzusetzen sein. Mit Hilfe dieser Angaben sowie der Kurven in Fig. I lässt sich die Windgeschwindigkeitskurve des dichtgeschlosse­nen Kiefernbestandes ohne Schwierigkeit berechnen (siehe Fig. 20).

Die so erhaltene Kurve gilt im besten FaJle für die durchschnittlichen Windverhältnisse des Bestandes. Exakt zu beurteilen, wie sich diese

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 135

für jeden einzelnen Baum gestalten, liegt ausserhalb des Bereiches jeder Möglichkeit. Einfach durch Rechnung mit einem niedrigeren Schluss­grad als I ,z kann man jedoch wenigstens eine Vorstellung von den Veränderungen der Windgeschwindig-

9 m keit in lichteren Teilen des Bestandes erhalten (vgl. Fig. -zo).

Für die Probebäume ist notiert, ob 8 sie »frei» oder »geklemmt» standen. Für die »freistehendem Bäume, d. h. 7 die, welche, von Krone bis Krone ge­messen, keinenN achbar in kürzerer Ent- 6 fernung als r/2 m hatten, muss durch­schnittlich ein niedrigerer Schlussgrad repräsentativ sein, als für die zwischen 5 den Nachbarbäumen stark »einge-klemmtem Probebäume. Welchen 4 Schlussgrad man am besten zu wählen hat, ist natürlich unmöglich sicher zu 3 bestimmen. Es ist übrigens unmög­lich, auch nur zu entscheiden, ob es 2 nicht richtiger wäre, mit einem höheren Schlussgrad als I ,z für die » geklemm­ten» Bäume zu rechnen, denn die Schlussgradsbestimmung ist, wenn es sich um die Windgeschwindigkeit des 0 Bestandes handelt, in hohem Masse

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abhängig auch von anderen Faktoren als der Grundfläche, wonach ja der Schlussgrad I,z zunächst beurteilt wurde. Um aber eine Auffassung davon zu ermöglichen, was ein gewisser Schlussunterschied zu bedeuten hat, wird in der folgenden Abteilung eine Berechnung des Winddruckes pro m2

Kronenfläche sowohl für den Schluss­grad I,z als für I,o ausgeführt.

Fig. 20. Ungefähre Kurve für die Wind­geschwindigkeit im dichtgeschlos­senen Kiefernbestande. Die Ge­schwindigkeit oberhalb des Be­standes = I,o. Die gestrichelte Kurve gibt zum Vergleich die Windgeschwindigkeit für vollge­schlossenen Bestand an, Ein etwa 7 m hoher Baum wird im Druck­zentrum von einem Wind von 0,3 h getroffen. Wenn h = 28 mjsec, wird also o,3 h= 8,4 mjsec. Ungefärliga kurvor fOr vindhastigheten i det tätslutna tallbeständet. Heldragen linje=slutenhet r,o, streckad linje=slut­enhet r,2.

Die absoluten Dimensionen.

In Kap. V habe ich die Prinzipien für eine approximative Festigkeits­berechnung vertikal eingespannter Stäbe angegeben, die der kombinierten Beanspruchung durch das Stabeigengewicht, ein Gipfelgewicht und eine

136 LARS TIREN

horizontal wirkende Kraft ausgesetzt werden. Um das in der Figur I 1

mitgeteilte Diagramm benutzen zu können, ist es notwendig, die Schaft­dimensionen der Probebäume gernäss den auf S. I I7 gegebenen Prinzi­pien auf gleichen Durchmesser= 3 cm zu reduzieren. Unter wirklichem Basaldurchmesser wird hierbei der durch Extrapolation der gemessenen Stammkurve erhaltene, wurzelanlauffreie DurchmesseramBoden verstanden (vgl. Figg. I4-I9). Mit der wirklichen Länge der Probebäume wird die Länge von der Basis (Boden) bis zum gemeinsamen Schwerpunkte der Krone und des obersten zur Krone gerechneten Stammteiles gemeint (vgl. S. I 33). Dieser Schwerpunkt kann approximativ dem Zentrum der Winddruckbeeinflussung gleichgesetzt werden. Die neu konstruierten Bäume mit dem reduzierten Basaldurchmesser 3 cm, der redu­zierten Länge und dem reduzierten Gipfelgewicht befinden sich in exakt demselben Belastungszustand wie die wirklichen. Es ist jedoch zu beachten, dass der Wurzelanlauf eine gewisse Stabilisierung des wirklichen Baumes herbeiführt.

Dadurch; dass man in das fragliche Diagramm für die reduzierten Längen und Gipfelgewichte der Probebäume eingeht, und dass man, auf

Tab. 9. Kronengewichte, Längen, Horizontaldruck usw. der Probebäume. Provträdens kronvikter, längder, horisontaltryck, m. m.

I Desgl. Grösster I

Wirkliche Ziffern auf 3 cm m. StabiL

Probestamm reduziert Druck vereinb.

Nr. I I _Horizon- pro

p L p L taldruck mz

kg I m kg I m kg

I gi O,IS2 5,6 o,z6 6,3 I o,so I 122 . . . . . . . . . . . ' II ............ f o,3n 6,4 0,32 6,4 0,44 0,54

III ......... g 0,130 6,4 o,3o 7,6 0 1Io o,zg IV ......... g o,s26 6,g

I 0,37 . 6,3 0,34 0,35 V ..... : ...... g o,rss 6,5 o,x8 6,4 0,55 2,75 VI ......... g o,ns 6,o

I o,zi 7,o I 0,30 0,67

VII ......... g 0,840 8,2 o, 78 8,o I

< o,oo -

VIII ......... g o,673 6,5 0,57 6,4 0,21 o,u IX ......... f 0,426 6,5 0,32 6,o o,so 0,63

I X ............ g 0,435 6,s o,zg s,g o,s7 0 1]0

XI ..... ... f 0,336 6,g o,3o 6,8 0,33 0,32 XII ......... g 0,468 6,8 o,zg 6,o 0,53 o,6o XIII ......... f o,3.r3 6,8 0,36 7 ,o 0,22 0,29

XIV ......... f o,6zs 7 ,I 0,38 6,3 0,38 0,36 XV ......... f o,6o7 6,o 0,44 5.5 o,sx 0,38 XVI ......... f 0,634 6,6 0,47 s,g 0,40 0,37 XVII ······ g o,417 6,4 0,24 5,6 0,66 I 1oo XVIII ...... f I,OI6 7.4 o,sr 6,3 0,28 o,r9 XIX ......... f 1,4I2 6,z 0,44 4,6 0,74 o,s5 XX ········· g o,soo 5.8 o,68 6,3 o,rs O,o9 XXI.. ....... g o,67o 6,8 0,46 6,2 0,35 0,2]

' f = »freistehend>>, g = »geklemmt>>.

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 137

die Figg. 14-19 gestützt, ihre Form im Verhältnis zum Zylinder und zum kubischen Paraboloid beurteilt, kann man nun einen zwar approxi­mativen, aber doch recht wohlmotivierten Wert des grösstmöglichen, mit Stabilität vereinbaren Horizontaldruckes im Schwerpunkte der Krone erhalten. Die so erhaltenen Ziffern stehen in der vorletzten Spalte der Tab. 9· Für den Probebaum Nr. VII fehlt die Angabe des Horizontal­druckes, weil dieser Baum instabil war. Diese Eigentümlichkeit wird später näher ·erörtert werden.

Unsere nächste Aufgabe ist nun, zu untersuchen, ob die in Tab. 9 angegebenen Ziffern des maximalen Horizontaldruckes wahrscheinlich sind oder nicht, ob sie also direkt aus zur Verfügung stehenden Angaben der Windgeschwindigkeit und des Schlusses erhalten werden können. Zu diesem Zwecke machen wir uns die Windgeschwindigkeitskurven der Fig. 20 zunutze und nehmen eine bestimmte Abhängigkeit zwischen Windgeschwindigkeit und von der Krone empfangenem Drucke an. vVir setzen voraus, dass diese Abhängigkeit durch die Druckkurve V in Fig. 5 repräsentiert wird. Ferner nehmen wir an, dass die Winrlgeschwindig­keit oberhalb des Bestandes höchstens 28 mjsec sei.

Die Berechnung des Winddruckes für die reduzierten »geklemmten» bzw. »freistehenden» Bäume ergibt, dass der Winddruck pro m 2 Kronen­fläche ist:

für »geklemmte» Bäume1 und Schlussgr. I,z durchschn ........... = o, 33 kg » » » I,o = 0,45

nach berechn. Horiz.-druck = 0, 44 >>

»freistehende» Schlussg. I ,z durchschn .......... = o, 34 » )) )} » I,o )) = o,so ))

nach berechn. Horiz.-druck ... = 0,39

In absoluten Quantitäten sind die »geklemmten» Bäume gernäss dieser Berechnung bei einer Windgeschwindigkeit von 28 rufsec oberhalb des Kronenriaches einem Druck von durchschnittlich o, 39 kg ausgesetzt. Die entsprechende Ziffer für die »freistehendem Bäume ist o, 54 kg. Die beiden Ziffern gelten für den Schlussgrad r ,o. Für den Schlussgrad I,z sind die Ziffern etwas niedriger, za. o,z9 bzw. o, 36 kg. Nach den mechanischen Berechnungen dürfte der maximale Horizontaldruck für »geklemmte» Bäume bis auf 0,39 und für »freistehende» bis auf o, 4 z kg steigen.

Werden diese Angaben noch auf die wirklichen Dimensionen zurückge­führt, so ergeben sich folgende Ziffern für den Druck im Kronenzentrum:

I Ausgenommen Nr. VII.

138 LARS TI REN

für ~geklemmte» Bäume und Schlussgr. I ,z durchschn ......... = 0,34 kg )) )) )) )) )) I,o )) = 0,46 ))

)) )) )) nach berechn. Horiz.-druck ... = 0,48 ))

)) »freistehende» )) )) Schlussgr. I,z durchschn .......... = 0,64 ))

)) )) )) )) )) I,o }) = 0,84 »

)) )) )) )) nach berechn. Horiz.-druck ... = 0,67 ))

Der Durchschnittsdurchmesser der >>geklemmten» bzw. »freistehenden» Bäume ist 3,z bzw. 3,5 cm.

Diese Durchschnittsziffern geben eine Andeutung von zwei oder drei Sachen. Einerseits kann man konstatieren, dass der maximale Horizon­taldruck, der aus den Stammdimensionen berechnet ist, nicht wesent­lich von dem durch Windberechnungen erhaltenen Winddrucke abweicht, wenn nach der ersten Berechnungsweise die obere Grenze des Horizon­taldruckes durch die Bruchfestigkeit bestimmt wird und nach der zweiten durch eine Windgeschwindigkeit von 28 mjsec oberhalb des Bestandes. Der Druck des Windes scheint jedoch auch hier etwas niedriger zu sein, als es der Festigkeit der Schäfte entspricht (vgl. S. 123).

Anderseits ist zu beachten, dass kein ausgeprägter Unterschied zwischen der Durchschnittsgrösse des mathematisch berechneten, kritischen Horizontaldruckes der reduzierten >>geklemmten» und der »freistehenden>> Bäume hervortritt. Für die ersteren ist der Horizontaldruck durchschnitt­lich 0,39 kg und für die letzteren o, 4 z kg. Die durchschnittliche reduzierte Länge der ersteren ist 6,4 m, die der letzteren ist 6,o m. Diese Ziffern liefern einen völlig klaren Beweis dafür, dass der Unterschied zwischen den Typen bezüglich der durchschnittlichen Stabilitätsverhältnisse des Stammes äusserst gering ist. Ausserdem sei bemerkt, dass die »geklemm­ten» Bäume gegenüber den >>freistehendem anscheinend ein wenig über­dimensioniert sind, da der Winddruck nur 0, 34-0,46 kg ist, während die Schäfte jedoch einem Druck von o, 4 s kg entsprechen. Dies erklärt sich wahrscheinlich dadurch, dass die »geklemmten» Bäume schwache Indi­viduen sind, die bald der Selbstausscheidung anheimfallen werden, deren Kronen also gewiss nicht im Gleichgewicht mit den Schäften stehen.

Die vorstehenden zwei letzten Absätze enthalten das Hauptsächliche von dem, was mit einiger Sicherheit aus diesem Kapitel gewonnen wer­den kann. Kurz gesagt, hat sich ergeben, dass im Durchschnitt die Abmessungen der Bäum·e dichtgeschlossener Bestände sich wenigstens annähernd in Übereinstimmung mit den For­derungen inbezug auf Festigkeit, welche die mechanischen Kräfte an die Schäfte stellen, befinden. Man könnte sich auch so ausdrücken: Wenn der Hauptsache nach etwas anderes als die Spannungen im Schafte für den Zuwachs der Bäume aussschlag-

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 139

gebend ist, so muss dieses unbekannte Etwas eine solche Funk­tion des Alters, der physiologischen Prozesse, des Milieus usw. des Baumes sein, welche den mechanischen Kräften, als Funk­tion derselben Umstände betrachtet, sehr ähnlich ist. 1

Ein besonders wichtiger Punkt der mechanischen Theorie und überhaupt des Zuwachsproblemes ist die Frage, ob eine Vermehrung oder V er­minderung der mechanischen Beanspruchungen einen gesteigerten bzw. ver­minderten Arbeitseffekt der Assimilationsorgane des Baumes herbeiführt. Leider konnte ich diese Frage bei den Untersuchungen nicht in dem Masse berücksichtigen, dass etwas Bestimmtes darüber gesagt werden kann.

Jedoch ist einer der Probebäume, nämlich Nr. VII, von gewissem Interesse u. a. auch in dieser Hinsicht und verdient daher besonders erwähnt zu werden. Er war aufgewachsen dicht an einem grösseren, dürren Baume, dessen niedrigste Äste er vor I 3 Jahren erreicht und in die er seitdem bei fortgesetztem Höhenzuwachs sich so hineingeschlungen hatte, dass er zur Zeit der Untersuchung von za. 5, 7 s m oberhalb des Bodens an bis zum Gipfel (S,z m) » baumfest» gefesselt war. Als dieser Baum von seiner Stütze gelöst wurde, bog er sich von selbst zu Boden. Der Baum war also instabil. Trotz ihrer eingeklemmten Lage hatte jedoch die Krone eine bedeutende Grösse, 25 % grösser als die grösste Krone der übrigen Probebäume in derselben Durchmesserstufe und 66 7o grösser als der Durchschnitt der Stufe. Überhaupt wies die Krone deutliche Zeichen davon auf, dass sie sich in einer kräftigen Entwick­lung befand. Es kann jedoch nicht verneint werden, dass dies zum Teil darauf beruhen kann, dass der Baum während seiner letzten Lebensjahre sich in einer günstigeren Lage hinsichtlich der Lichtzufuhr befunden hat, da der Zeitpunkt, wo der Stützbaum verdorrte, nicht sicher bestimmt werden konnte. Von grösserer Bedeutung ist indessen, dass der Schaft­zuwachs während der letzten 13 Jahre fast völlig aufgehört hatte. Wie es sich also auch mit den Licht- und Transpirationsbedingungen verhält, und wenn auch der etwaige Zuwachs der Krone die Verminderung des Schaftzuwachses nicht kompensieren kann, so ist es doch klar, dass die Abwesenheit mechanischer Reizung den Zuwachs des Schaftes beeinflusst hat. Es wäre von grösster Bedeutung für das mechanische Zuwachsproblem, dies noch sicherer feststellen zu können.

Die relativen Dimensionen.

In Fig. IO werden diejenigen Stabformen wiedergegeben, welche die Träger von gleichem Widerstande gegen die drei Hauptfälle mechanischer Beanspruchung, d. i. gewöhnliche Biegung, Knickung durch em Gipfel­

I Dabei stütze ich mich auch auf die Resultate, die in Kap. VI gewonnen wurden.

140 LARS TIREN

gewicht und Knickung durch das Eigengewicht, repräsentieren. Wenn also ein Schaft gernäss mechanischen Prinzipien konstruiert ist, so muss er, je nach der Art der .Kraftbeeinflussung, diese drei Formen oder ir­gendeine dazwischen liegende annehmen können.

Nach den Gleichungen (28) und (32) können die Spannungen des Sta­bes für eine Kombination der Kraftfaktoren: Eigengewicht (E), Gipfelge­wicht (P) und Horizontaldruck (A) sowie für die Voraussetzung, dass der Stab von parabolischer Form ist, berechnet werden. Die Spannung kann dann nicht konstant werden. Wenn sie aber nicht sehr von einem konstanten Werte abweicht, so kann die gleich widerstandsfähige Form

des Stabes berechnet werden. In der Gleichung: a 7!. r x3 = Mx, wo a = 4

= der Spannung, r ", = dem Radius des kreisförmigen Querschnitts und Mx = dem Biegungsmomente ist, sind nämlich Mx, r x und a sämtlich bekannt für eine gewisse Kraftkombination. Wenn dann a = konstant gesetzt wird, kann statt dessen rx berechnet werden. rx erhält dann solche Werte, dass der Stab nicht mehr parabolisch wird. Wenn jedoch der Unterschied nicht gross ist, was er in der Tat nicht sein kann, da a von vornherein als nahezu konstant vorausgesetzt wurde, so kann man ohne gröbere Approximation annehmen, dass das Eigengewicht und die elastische Linie denen eines parabolischen Stabes ähnlich sind. Also erhält man die Form des Stabes, wenn er gegen die fragliche Kraftkombination gleich widerstandsfähig ist.

Wie oben erwähnt, wurden die Probebäume in »geklemmte» und »freistehende» eingeteilt. Betreffs der »geklemmten» Bäume hat man allen Grund anzunehmen, dass das mechanische Gleichgewicht durch den Kontakt mit den rings umherstehenden Nachbarbäumen gestört ist. Dies dürfte bei den »freistehenden» Bäumen in weniger hohem Masse der Fall sein. Von dem wahrscheinlichen Verhältnis kann man durch Verc gleich des Kronengewichtes und der Schaftlänge bei den auf 3 cm re­duzierten Probebäumen eine Vorstellung erhalten. Je länger der Schaft ist, eine um so kleinere Krone kann er tragen, zumal da der Winddruck mit der Schaftlänge steigt. Eine gesetzmässige Relation zwischen P und • l dürfte daher bei den »freistehenden» Bäumen vorhanden sein. Die Festigkeit der Relation ist ein grobes Mass des Freistellungsgrades der Bäume im dichtgeschlossenen Bestande. Bei den »geklemmten» Bäumen dürfte keine derartige Gesetzmässigkeit wahrzunehmen sein, denn bei ihnen wirkt ein beträchtlicher Teil des Winddruckes nicht direkt auf die Krone, sondern durch Vermittlung der Nachbarbäume, deren schwankende Bewegungen der »geklemmte» Baum mehr oder weniger gehorsam mitzu­machen gezwungen wird. Je nach dem Grade der Einklemmung kann

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 141

also bei diesen Bäumen das Kronengewicht unabhängig von der Schaft­länge variieren.

Ein Blick auf die Figg. 21 und 22 zeigt ganz deutlich, dass P und l bei den »geklemmten» Bäumen keine Spur eines Zusammen­hanges in irgendwelcher Richtung aufweisen, was also die an sich wahrscheinliche Annahme zu bestätigen scheint, dass der Horizon­taldruck bei diesen Stämmen hauptsächlich durch Kontakt mit den Kro-

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Fig. 21. Kronengewicht im Verhältnis zur Schaftlänge der »geklemmten» Bäume. Kronvikten i fOrhällande till stamlängden hos de :tklämda• träden.

nen und Stämmen der ringsum stehenden Bäume zustande kommt. Bei den •freistehenden» Bäumen kann man dagegen eine Tendenz zu abnehmendem Kronengewicht mit steigender Schaftlänge deutlich wahrnehmen. Der Zusammenhang ist schwach, aber anderes war auch nicht zu erwarten, da die »freistehenden» Bäume auch ziemlich gedrängt aufgewachsen und nicht ganz dem Einfluss der Umgebung ent­gangen sind.

Aus dem Obengesagten können wir mit verhältnismässig grosser Sicher­heit den Schluss ziehen, dass der Biegungsverlauf der »geklemmten»

142 L.i.RS TIREN

Bäume störenden Einflüssen unterworfen ist, die unberechenbare Span­nungen im Schafte erzeugen können. Mit Hilfe der vorher gegebenen · Gleichungen die Schaftform dieser Bäume zu berechnen, muss daher als völlig unmöglich angesehen werden. Da es jedoch scheint, als ob die »freistehenden» Bäume einen gewissen Grad von Bewegungsfreiheit be­sässen, so sind dagegen gewisse Aussichten vorhanden, dass eine Form-

O.at h ~q ronvt t ronenqewtc ~-q

ll 'h (K. . hfk )

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7 8

Fig. 22. Kronengewicht im Verhältnis zur Schaftlänge der "freistehenden>. Bäume.

Kronvikten i förhällande till stanilängden hos de. >>frist<Lende» träden.

berechnung für sie gelingen kann. In den folgenden Formuntersuchungen beschränken wir uns also auf die »freistehendem Bäume.

Aus den Figg. 14-19 ist ersichtlich, dass die »freistehenden>>. Fro­hestämme sämtlich sich ziemlich nahe an die Grundform des kubischen Paraboloids anschliessen. Es dürfte daher zulässig sein, ihre Form ge­mäss der in diesem Kapitel entworfenen Methode zu berechnen. Die so berechnete Stammkurve ist neben der wirklichen Stammkurve in den Figg. 14-19 gestrichelt eingezeichnet.

Schon ein flüchtiger Blick auf diese Figuren zeigt, dass das Resultat

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER OIE SCHAFTFORM 143

der Berechnung nicht ein derartiges ist, dass es ohne weiteres Schluss­folgerungen in bestimmten Richtungen zulässt. Vielmehr erhebt sich die notwendige und schwierige Aufgabe, diejenigen Abweichungen und übrigen Eigentümlichkeiten gerrau zu diskutieren, die bei Vergleich zwischen be­rechneten und wirklichen Stammkurven beobachtet werden können.

Um dabei betreffs der Ausdrucksweise ein wenig grössere Freiheit zu erhalten, will ich zuerst einen theoretischen Überblick über diejenigen möglichen Schaftformen geben, die sich als Resultat einer verschieden­artigen Zusammenwirkung von Schafteigengewicht (E), Kronengewicht (P) und Horizontaldruck (A) ergeben können. Wie vorher an mehreren Stellen dieses Aufsatzes, wird der Einfachheit halber angenommen, dass die mechanischen Kräfte wirklich von dominierender Bedeutung für die Schaftform sind, d. h. in den Erörterungen wird von Bäumen, Schäften, Kronengewichten u. dgl. gesprochen, wo eigentlich die Ausdrücke Stäbe, Vertikalkräfte usw. gebraucht werden sollten.

Wenn nur die Horizontalkraft im Druckzentrum der Krone wirkt, so nimmt der Schaft unterhalb desselben die Form eines kubischen Para­boloids an. Wirkt dagegen nur das Kronengewicht, so erhält der Schaft eine beträchtlich vollere Form mit dem Formquotienten = o, 9 r5 (siehe Fig. rb). Eine Kombination dieser beiden Kräfte hat eine Schaftform zur Folge, die ein Zwischending zwischen diesen beiden Typen ausmacht. Je mehr P auf Kosten des A dominiert, um so vollwüchsiger wird der Schaft. Aus Fig. ro geht hervor, dass die Kurve der kubischen Parabel und die des Trägers von gleichem Widerstande gegen Knickung beide ziemlich gleichartig verlaufen, sofern man nur von dem oben erwähnten Umstande absieht, dass die letztere Kurve an der Basis parallel der Achse verläuft. Eine stetige Stammkurve, die ohne lokale Störungen der Krüm­mung verläuft, kann also auf eine gleichzeitige Beanspruchung durch Horizo11taldruck und Vertikaldruck zurückgeführt werden, jedoch nur für den Fall, dass sie innerhalb des Formquotientenintervalls o,794-6,9r5

liegt. Keine andere Kurve als eine solche, deren Ableitung erster Ordnung von der Basis bis zum Gipfel eine kontinuier­liche Steigerung erfährt. (d. h. deren Ableitung zweiter Ordnung kein Miriimum durchläuft), kann einem Träger von gleichem Wider­stande gegen die Kombination von A und P zugehören.

Wenn der Schaft im Verhältnis zum Basaldurchmesser besonders lang ist, so wird sich das Eigengewicht neben dem Kronengewicht und dem Winddruck stark geltend machen. Seine Einwirkung gibt sich zu er­kennen durch eine Tendenz zur Formverschlechterung, die sich beson­ders in den oberen Teilen des Schaftes bemerkbar macht. Wir denken uns nun, es sei in Fig. ro eine Kurve interpoliert worden zwischen der

144 LARS TiREN

Kurve des Eigengewichtes und den beiden anderen, wobei nur wenig Gewicht auf die letzteren gelegt wird. Es erhellt da, dass ihre Form zwischen der ersten und der kubischen Parabel liegen muss. Trotzdem

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Fig. 23. Stab, approximativ gleich wider­standsfähig gegen eine Kombina­tion von Knickungs· und Biegungs­kräfte.

die Krone also im Gipfel konzen-triert ist; kann der Formquotient unter 0,794 sinken.

Die Interpolation dürfte aber nicht nach Belieben auszuführen sein. Um jedoch den wirklichen Verlauf der Stammkurve bei gleichzeitiger Ein­wirkung von E, P und A näher zu ermitteln, ist eine Berechnung mit l = 850 cm, P = o,rz kg, A = 0,12

kg und dem Basaldurchmesser wie vorher = 3 cm ausgeführt worden. Die resultierende Schaftform wird in Fig. 23 wiedergegeben. Aus dieser ergibt sich, dass der Form­quotient in diesem Falle ungefähr = o, 77 s ist, er ist also ganz be­deutend unter den Wert 0,794 des kubischen Paraboloids gesunken. Man beobachtet eine ausge­prägte Verflachung der Stamm­kurve bei ungefähr 1/s-1 / 4 der Höhe, vom Gipfel aus gerech­net. Das Vorhandensein dieser Un-

Mot en kombination av avknäcknings- 1 .. · k · d K · d och böjningskrafter jämnstark bjälke. rege mass1g e1t er urve 1St . as

Zeichen eines kräftigen Einflusses des· Eigengewichtes. Sie entsteht sowohl für die Kombination E und P und für die Kombination E und A je für sich, als auch für die Kom­bination E, P und A. An kurzen Schäften kann man sie nicht bemerken, weil hier E das Biegungsmoment nicht hinreichend stark beeinflusst. Zuweilen tritt an die Stelle der Verflachung sogar eine Einbiegung der Schaftkurve. Jedoch muss hier bemerkt werden, dass die Approximation der Gleichung (10) sich bei diesen Berechnungen stark g·eltend macht. Die Form der Schaftkurve erhält man ja auch durch eine nochmalige Approximation, und es ist daher möglich, dass die erwähnte eigentümliche Einbiegung der Kurve, wenn nicht ganz durch die groben Berechnungsmethoden her­vorgerufen, so doch von ihnen kräftig beeinflusst und umgeformt sein kann. 1

r NB. dass man in Fig. 23 durch Hinzufügung einer Gipfelpartie die Verflachung deut-

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFEFORM 145

Für Stammformen, bei deren Entstehung E und P eine bedeutende Rolle im Vergleich zu A spielen, ist es typisch, dass die Stammkurve in der Nähe der Basis stärker gewölbt ist als sonst, mit anderen Worten, dass sie im Punkte x = l eine Tendenz hat, der Achse parallel zu ver­laufen. Dies ist eine natürliche Folge der Art der Spezialkurven für E und P. Die wirklichen Stammkurven der Figg. 14-19 zeigen eine ähn­liche Tendenz, worauf bei der Extrapolation der Kurve am Wurzelanlauf vorbei Rücksicht genommen werden muss.

Eine nähere Betrachtung der Figg. 14-19 zeigt, dass eine Gruppie·. rung der 2 r Probebäume vorgenommen werden kann. Verwandte Züge der Schaftform führen die Bäume zu wenigstens 3 deutlichen Typen zusammen. Der erste von ihnen wird durch Nr. I, XII, XVII und XXI repräsentiert und ist durch bemerkenswert starke Verjüngung und oft durch einen scheinbar hoch am Schaft emporsteigenden Wurzelanlauf charakterisiert. Dieser Typus kommt in dieser Probebaumsammlung nur unter »geklemmten>> Bäumen vor und kann mit Hilfe mechanischer Gesichtspunkte nicht erklärt werden, wenn diese ohne besondere Rücksicht auf die gedrückte Stellung der Bäume im Bestande angewandt werden. Nr. II, IX, XIV, XV, XVI und XIX repräsentieren den zweiten Typus. Kennzeichnend für diese Bäume ist die relativ volle Form im Verein mit dem stetigen und regelmässigen Verlauf der Stammkurve. Dieser Typus kommt hier nur unter »freistehenden» Bäumen vor. Derdritte Typus wird durch Nr. III, V, VII, VIII, X, XI und XIII vertreten. Bezeichnend für diese Schäfte ist eine Einbiegung der Stammkurve in der Nähe der unteren Kronengrenze. Sowohl unter »geklemmten» als »freistehenden» Bäumen finden wir diese Eigentümlichkeit wieder. Unter den übrigen Bäumen findet man grosse Ähnlichkeit zwischen Nr. IV und XVIII, von welchen der erste als »geklemmt», der zweite als »freistehend& rubriziert ist. Ebenso erinnern Nr. VI und XX sehr stark aneinander; beide »geklemmt».

Mit dieser Typeneinteilung wird nur beabsichtigt, einige Ordnung in die vorliegenden Probestämme zu bringen. Scharfe Grenzen zwischen den Typen sind nicht vorhanden, und es ist sehr wahrscheinlich, dass eine grössere Anzahl von Probebäumen mehr Typen aufweisen würde.

Betreffs des Typus I wurde schon erwähnt, dass seine Schaftform vom mechanischen Gesichtspunkt aus mit Hilfe derjenigen Gleichungen, die zu diesem Zwecke zu Gebote stehen, nicht berechnet werden kann. Es ist auch äusserst unwahrscheinlich, dass in diesen Stämmen, infolge ihrer eingeklemmten Stellung, derartige Spannungen entstehen können, dass ihre Form dadurch erklärt wird.

licher erkennt. An einer verflachten Kurve kann dann auch eine Einbiegung anderer Art als die oben besprochene zustande kommen.·

I 0. Meddel. fr&n Strdens Skogsförsb"ksanstalt. Häft. 24.

146 LARS TIREN

Der Typus II dagegen scheint gut mit der mathematisch berechneten Stammkurve übereinzu.stimmen. Die berechneten und wirklichen Form­quotienten des Schaftteiles unter dem Schwerpunkt der Krone sind für die Bäume: II = 0,8r8 bzw. 0,827 1 IX= 0,8o8 bzw. 0,8ro, XIV= 0,823

bzw. o,82o, XV = 0,8r8 bzw. o,8r9, XVI = 0,825 bzw. o,83o, XIX = 0,794

bzw. 0,798. Die relativ gute Übereinstimmung der Formquotienten an und für sich ist von geringem Gewicht, aber da sie von einer Überein-

. stimmung im allgemeinen begleitet wird, kann sie als Mass derselben dienen. Der bemerkenswerteste Umstand in dieser Gruppe ist, dass der Baum Nr. XIX, der· einem sehr lichten Teil des Bestandes entnommen wurde, wo· er verschont von jedem störenden Einfluss der Nachbarbäume aufgewachsen war, praktisch genommen ein völlig exaktes kubisches Paraboloid ist. Aus Tab. 9 ist auch ersichtlich, dass seine Höhe un­bedeutend ist, nur 46,s % der kritischen Länge, was zur Folge hat, dass der Schaft, auch theoretisch gesehen, kaum merkbar von dem kubischen Paraboloide abweichen kann. Bei allen den übrigen Bäumen ist der Formquotient grösser als 0, 79 4, was also vom mechanischen Gesichts­punkte aus einer den formverschlechternden Einfluss des Schafteigen­gewichtes überwiegenden, formverbessernden Beeinflussung durch das Kronengewicht zugeschrieben werden muss. Man merkt an einigen dieser Biiume, dass die Stammkurve eine schwache Andeutung einer· vom me­chanischen Gesichtspunkte aus dem Schafteigengewicht zuzuschreibenden Einbiegung oder nur eine schwache Verflachung der Stammkurve inner­halb des entsprechenden Gebietes (unmerklich oder fast unmerklich in den Figg. 14-19) zeigt.

Jene Einwirkung des Eigengewichtes, die bei dem Typus II der weni­ger bemerkenswerten Länge der hierhergehörigen Bäume undeutlich ist, tritt bei dem Typus III klar zutage. Hierher gehören die beiden »frei­stehenden» Bäume Nr. XI und XIII, mit den reduzierten Längen 6,8 bzw. 7,o m. An den berechneten Kurven bemerkt man bei Nr. XI eine Verflachung und bei Nr. XIII eine sehr schwache Einbiegung ungefähr an demjenigen Punkte, wo die wirklichen Stammkurven eine deutliche Einbiegung haben. Die berechneten Kurven haben also eine Tendenz, der wirklichen Kurve zu folgen, sie können sich aber dieser nicht ganz anpassen. Es scheint, als wäre beim Baume die formverschlechternde Einwirkung des Eigengewichtes über ihren mathe­matischen Betrag hinaus verstärkt. Man kön11te zwar glauben, dass dies daher kommt, dass das wirkliche spez. Gewicht dieser Bäume grösser als O,qo ist. Es ist aber wenig wahrscheinlich, dass es sich so verhält, u. a. weil der: Wassergehalt dieser beiden Bäume unter dem Mittel der übrigen betreffs des "T assergehaltes untersuchten Bäume liegt. Man könnte au~h

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 147

vermuten, dass es auf den Unvollkommenheiten der Untersuchungsmetho­den beruht. Dass hierin der Fehler liegt, erscheint glaublicher, aber auch diese Annahme ist nicht geeignet, die mangelnde Übereinstimmung befriedigend zu erklären. Der Umstand, dass die übrigen zu dieser Gruppe gehörenden Bäume auch eine Einbiegung der Stammkurve unge­fähr an der erwarteten Stelle zeigen, kann an und für sich nicht nennens­wert dazu beitragen, die Frage zu beleuchten, ob diese Anomalie der Einwirkung des Eigengewichtes zugeschrieben werden soll, oder ob sie ganz unabhängig von den mechanischen Kräften entstanden ist, denn we~n diese Bäume auch gewissermassen von ihrer Umgebung irritiert werden, so dürfte es doch nicht als ausgeschlossen zu betrachten sein, dass das Eigengewicht auch bei ihnen sich bemerkbar machen kann. Nur betreffs des Baumes Nr. X ist dies unwahrscheinlich, wegen seiner

kurzen Länge (5,9 m red. Länge).

Betrachten wir aber den Baum Nr. VII, der zu diesem Typus gehört und eine sehr stark markierte Einbiegung· eben unter der Kronengrenze zeigt, so können wir möglicherweise zu einem Urteil darüber gelangen, ob die Ursache dieses Merkmales des Typus innerhalb oder ausserhalb der mechanischen Gesetze zu suchen ist. Der Baum Nr. VII stand näm­lich, wie oben erwähnt, dicht an einem älteren, verdorrten Baum, in dessen dürres Astwerk er von 5sj4 m Höhe an fest eingewachsen war. Dieser Baum ist also seit dem Zeitpunkte, da er za. 6 bis 6,s m Höhe erreichte, nicht erwähnenswerten mechanischen Beanspruchungen aus­gesetzt gewesen.

Bei der naheliegenden Annahme, dass die bei diesem Baume auftre­tende Einbiegung der Stammkurve derselben Art ist wie bei den übrigen Bäumen, könnte sie also mit einer durch die eingeklemmte Stellung des Baumes verursachten mehr oder weniger bedeutenden Abkoppelung der mechanischen Kräftezusammenhängen. Es ist aber unmöglich, sicher zu entscheiden, wie es sich damit verhält, da ja auch in diesem Detail die mechanische Theorie eine Erklärungsmöglichkeit liefert oder wenig­stens zu liefern scheint. Die hier angeführte Auffassung gewinnt jedoch dadurch eine starke Stütze, dass die Einbiegung mancher der Probebäume (z. B. Nr. III und XIII) nicht recht von derjenigen Art zu sein scheint, die von den mechanischen Gleichungen verlangt wird (vgl. Figg. I4-I9 und 23), und oft kräftiger ist, als diese es zugeben.

Betreffs der »geklemmten» Bäume wurde schon gesagt, dass der erste. sich schnell verjüngende Typus von der mechanischen Theorie aus nicht erklärt werden kann. Dasselbe gilt von den Bäumen Nr. IV und XVIII, von denen der letztere »freistehend» ist. Die grosse V ollholzigkeit der

oberen Schaftteile dieser Bäume scheint jedoch in einigem Zusqmmen·

148 LARS TIREN

hang mit der Beschaffenheit des Holzes stehen zu können. In diesem Fall müsste jedoch eine so gewaltige Wassergehaltssteigerung oder Festigkeitsverminderung in dieser Partie des Schaftes eintreten, dass sie a priori unwahrscheinlich ist. Die übrigen Bäume Nr. VI und XX sind beide »geklemmt». Ihre Schaftform, besonders die von Nr. XX, ist sehr voll. Man kann sich nicht gut denken, dass ihre Stammform durch ir­gendwelche mechanischen Kräfte verursacht ist.

Das Resultat der nun zu Ende geführten Diskussion der Verjüngung der Probebäume vom mechanischen Gesichtspunkte aus ist kaum als be­sonders günstig für die mechanische Schaftformtheorie zu betrachten. Unzweifelhaft gibt es Fälle, wo die Theorie eine völlig befrie­digende Erklärung der speziellen Schaftformen liefert, und diese Fälle sind auch gerade diejenigen, bei welchen man überhaupt die mecha­nischen Gesichtspunkte am meisten berechtigt findet. Aber anderseits haben sich diese als unfähig erwiesen, eine klare Auskunft über eine grosse Menge anderer Fälle, die sich in W irklic hkei t be­treffs der mechanischen Belastungsverhältnisse nicht wesen t­lich von den ersteren unterscheiden, zu geben. Der Umstand, dass diese letzteren Fälle grösstenteils solche Bäume sind, die, wegen besonders gedrängter Stellung im Bestande, in eigenartigen Belastungs­verhältnissen aufgewachsen sind oder wenigstens einige Zeit unter dem Einfluss solcher gestanden haben, kann nicht ohne weiteres als eine Er­klärung für die bei ihnen mangelnde Übereinstimmung mit der mathe­matisch berechneten Schaftform angeführt werden. Denn in solchem Falle sollten die Abweichungen einigermassen gleichartig sein, was aber kaum zutrifft. Die Bedeutung der Grobheit der Berechnungsmethoden für das Auftreten dieser Abweichungen darf dagegen nicht unterschätzt werden. Es dürfte also nicht als ausgeschlossen zu betrachten sein, dass ein beträchtlicher Teil der oben besprochenen Abweichungen ver­schwinden oder unter gewisse, durch andere Verhältnisse bedingte, Fehler­grenzen heruntergebracht werden kann, wenn die wichtigen Hauptglei­chungen eine allgemeine Lösung erhalten haben. Persönlich bin ich der Meinung, dass die Aufgabe, eine solche zustandezubringen, von grösster theoretischer Bedeutung ist, wenn auch dadurch keine grössere Verän­derung in den approximativen Berechnungen entstände.

Schi usswort.

Nach den in diesem Aufsatze angestellten ziemlich flüchtigen Versuchen einer Anwendung der im Detail ausgebauten mechanischen Theorie zu urteilen, erscheint es denkbar, dass die Stärke der Bäume sich den mechanischen Ansprüchen anpasst, die an sie gestellt werden. Die Schaft-

EINIGE UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE SCHAFTFORM 149

form hat sich auch in manchen Fällen als mit den Forderungen der mechanischen Theorie übereinstimmend erwiesen, in manchen Fällen hat aber diese Übereinstimmung vollständig gemangelt.

Bei der Gestalt, die der Zusammenhang zwischen Windgeschwindig­keit und Winddruck angenommen hat, wird unbedingt die Schaftform und natürlich auch die Stärke des Schaftes, aus mechanischem Gesichts­punkte betrachtet, von absoluten Grössen abhängig. Besonders stark tritt dies zutage, wenrl. man Rücksicht nimmt auf das Schaft- und Kronengewicht, das oft, nicht nur betreff.'> extrem schlanker Stämme, höchst beträchtlich einwirkt.

Bei der Voraussetzung, die bei der mechanischen Theorie stets mit angenommen werden muss, dass nämlich die Spannung bei der me­chanischen Deformation der Reizungsfaktor ist, muss es immer möglich sein, die Schaftform im grossen und ganzen unabhängig vom Alter der Bäume durch die mechanischen Gleichungen zu berechnen. Dass die Spannung in der Tat als Reizungsfaktor dienen kann, ist unbe­streitbar betreffs der Qualität des Zuwachses (»Rotholz», »bois de compression») und wahrscheinlich betreffs dessen Quantität. Es ist aber nicht ohne weiteres zu verneinen;. dass auch die Deformation an und für sich als ein solcher Faktor fungieren kann. Bei so bewandten Umständen nimmt die mechanische Theorie begreiflicherweise einen ganz anderen Charakter an.

Die absoluten Dimensionen dagegen können nicht unabhängig vom Alter und Wachstum des Baumes berechnet werden. Denn wenn z. B. bei einem alten Baum die Krone sich in fortschreitender Entkräftung befindet, so wird der Schaft, der das Resultat des summierten Zuwachses vorhergehender Zeitperioden ist, in einer unberechenbaren Weise immer mehr überstark Sehr junge Bäume bleiben indessen oft durch ihre Stel­lung nahe am Boden und in dichten Beständen von ernsteren Kraftbe­anspruchungen verschont. Man kann sich da sehr gut denken, dass ihre Stämme sich nicht der doch etwa vorhandenen kleinen Kraftbean­spruchung anpassen, sondern dem Bedarf der transpirierenden Krone an W asserbahnen, ein Bedarf, der in diesem Falle vielleicht weit grösseren Zuwachs fordert als das Bedürfnis mechanischer Festigkeit.

Der Umstand, dass die mechanische Reizung im Durchschnitt für eine Vegetationsperiode viel niedriger ist, als es der Grösse der Dimensionen entspricht, bezeichnet nichts besonders Merkwürdiges. Aus den Kap. III und V geht hervor, dass es keineswegs sicher oder auch nur glaublich ist, dass gerade die Bruchfestigkeit in physiologischem Zusammenhang mit den Zuwachsreaktionen steht, wenn nun überhaupt ein derartiger Zusammenhang existiert. Eher könnte man vermuten, dass die Spannung

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an der Elastizitäts- oder Fliessgrenze durch die Zuwachsreaktionen innerhalb · bestimmter Grenzen gehalten wird. Dies ist auch deswegen wahrscheinlich, weil die Bäume sonst oft mit Reparaturarbeit beschäftigt sein müssten.

Manche Beobachtungen liegen vor, die auf die grosse Bedeutung der ernährungsphysiologischen Vorgänge hindeuten. Ich bin der Mei­nung (es ist ja natürlich, dass man schliesslich dahin kommen muss), dass das Problem der Schaftform nicht gelöst werden kann ohne tief­gehende Kenntnis der Physiologie der Transpiration und des Nahrungs­transports des Baumes.

Es ist ja z. B. unmöglich, sicher zu entscheiden, ob es überhaupt be­rechtigt ist, eine mechanische Berechnung der Bäume dichtgeschlossener Bestände. auszuführen, denn diese Bäume leben gewiss in sehr ungün­stigen Verhältnissen, die das Reaktionsvermögen der Bäume vielleicht beträchtlich herabgesetzt haben. Sie führen kaum ein individuelles Leben.

Das vielleicht wichtigste Resultat der vorliegenden Untersuchungen über die Schaftdimensionen ist die Klarheit über die Art und Beschaf­fenheit der Schwierigkeiten, gegen welche man anzukämpfen hat, sowie eine gewisse Kenntnis davon, mit welchen Hoffnungen man ihrer künf-

·tigen Besiegung entgegensehen darf Es ist augenscheinlich, dass Unter­suchungen der vorliegenden Art kaum jemals hinreichend sichere Resul­tate geben können. Experimente mit Belastungsversuchen an wachsen­den Bäumen dürften die einzige Möglichkeit bieten, vorwärts zu kommen. Jedoch darf man auch von ihnen nicht zu viel erwarten.

Es ist unzweifelhaft, dass statistische Untersuchungen neben den Ex­perimenten von grosser Bedeutung sind. Vor allem bildet dabei eine allseitige Kenntnis von der Kronenfläche und dem Zuwachs von Bestän­den und Bäumen verschiedener Typen ein erwünschtes Ziel, dessen Er­reichung innerhalb der Grenzen der Möglichkeit liegt. Derartige Unter­suchungen sind von so allseitiger und durchgreifender Bedeutung, dass sie auf alle Weise gefördert werden müssten, wenn auch die endgültige Klarstellung des speziellen Schaftformproblems dessenungeachtet vielleicht noch lange auf sich warten lassen wird.

RESUME Nägra undersökningar över stamformen.

Ehuru stamformsfriigan för närvarande maste anses som väsentligen ett teo­retiskt spörsmal av stort intresse, bar den dock sa ofantligt manga anknyt­ningar även till de vitala intressena i det praktiska skogsbruket, att ett arbete pä dess klarläggande minst av allt far anses som bortkastat. Det är i klart medvetande härom, som jag i förestäende uppsats ägnat mig ät en första genomarbetning av den mekaniska stamformsteorien.

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Frägan om trädens stamform och tillväxt (det skogliga tillväxtproblemet) kan ses fran flera hall. Förutom stammens mek aniska j ämviktsförhallanden har saJunda även transpirationeil lagts till grund för ett försök att förklara tillväxtens storlek och placering pa stammen. Även assimilationsprocessen och' näringstransporten kan utnyttjas i syfte att fa ett grepp pa tillväxt­problemet. I bada dessa fall komma emellertid i sä hög grad de fysiologiska problernen i förgrunden, att de svarligen ännu kunna bliva föremal för en nagorlunda välgrundad diskussion. Det är dock av stor vikt, att detta snart ma kunna ske och en förutsättning härför är ett ökat arbete pa de fysiolo­giska metodernas fulländning.

I fiirsta och andra kapitlen redogöres för en del undersökningar över vind­hastigheten i bestandet samt förhallandet mellan vindens hastighet och det av trädens kvistar uppfangade trycket.

Bada dessa fragor ha förut behandlats av förf. i uppsatser i Skogsvards­föreningens Tidskrift (I 9 24, I 9 2 6 a). Dock ha här vissa smärreförändringar vidtagits i fraga om nagra detaljer.

I tredje kapltlet omnämnas i korthet de utförda undersökningarna över trä­dens barryta, under hänvisning till en tidigare uppsats i denna fr:lga (1926 b).

Det fjärde kapitlet ägnas -at en översikt av de för den mekaniska teorien viktiga hallfasthets- och elasticitetskonstanterna. Beträffande dessa har det konstaterats, att kännedomen om desamma för friskt virke är täm­ligen bristfällig, vilket ju är helt naturligt, da sä gott som alla h:lllfasthets­och elasticitetsundersökningar hittills enbart utförts mcd hänsyn till virkets tekniska användning. I fraga om växande träd har det befunnits lämpligt att t. v. räkna med en brotthallfasthet om 200 kgjcm2, en elasticitetsmodul om Ioo,ooo kgjcm 2 och en specifik vikt av omkring o,so-o,9o.

I femte kapitlet genomgas de mekaniskt- matematiska formlerna för beräkningen av stammarnas form med hänsyn till olika slag av kraftpakänning. I fräga om dessa formler hänvisas till originaluppsatsen. Dock nämnes här, · att beräkningen av den jämnstarka formen vid avknäckning av egenvikten icke kunnat ske analytiskt. För att fa en uppfattning om denna bjälktyp har därför ett grafiskt förfarande anlitats. Utredningen av denna i viss man dunkla punkt är av stort, men huvudsakligen teoretiskt intresse.

I sjätte kapitlet redogöres för en tillärnpning av den utbyggda rnekaniska teorien pa nagra granar av olika typ. Detta kapitel utgör ett kort samman­drag av ett kapitel i en förut pa svenska publicerad uppsats (I926 a). Resultatet blev, att trädens stamform synnerligen väl lät beräkna sig med de mekaniska formlerna. Detta omdöme far emellertid under inga förhallanden utan vidare generaliseras. Beträffande trädens absoluta grovlek och styrka gav denmi undersökning en aritydan om, att även därvidlag en matematiskt tillgänglig lagbundenhet kunde skönjas.

I sjzmde kapitlet behandlas en undersökning över siamformen i tätslutna bestand. Därvid beräknades först pa matematisk väg de krafter, som de gängliga träden förma uthärda. Dessa jämfördes med de faktiska krafter, för vilka träden approximativt kunna anses bliva utsatta. Det visade sig att nagon väsentlig skillnad dem emellan icke kunde konstateras. Därefter studerades trädens form. Det framgick, att stamformen i det tätslutna beständet är mycket oregelbunden. En stor del av de däri förekommande avsmalnings­typerna kunna icke förklaras av mekan1ska kraftförhällanden. En annan del

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äter bär en tydlig prägel av dessa. Pa det hela taget synes undersökningen över de absoluta träddimensionernas förhallande till de mekaniska krafterna i högre grad stärka den mekaniska teoriens ställning, än vad undersökningen över formen gör. Ingen av dem är dock synnerligen mycket ägnad att öka tilliten till densamma, om än heller intet väsentligt framkommit, som kan för­minska den. - I ett speciellt fall har det kunnat konstateras att de meka­niska förhällandena likvisst utöva ett djupgäende inflytande pä trädens tillväxt. Det är i själva verket trädens sätt att reagera och reaktionens kvantitativa för­hällanden, som ännu mäste anses i stort sett obekant. - Under studium av den mekaniska teorien mäste man ovillkorligen komma till den uppfattningen, att kännedomen om trädens fysiologi och möjligen även deras ärftlighetsförhällan­den ännu är alltför bristfällig, för att en fullt invändningsfri arbetshypotes an­gäende deras tillväxt och stamform skall kunna uppställas. - Även om huvud­linjerna i trädens utformning skulle kunna tillskrivas en bestämd orsak, sä är det dock fördelaktigt att beakta det förhällandet, att deras miljö med alla dess skiftande egenskaper understundom kan sätta en sä avvikande präget pä indivi­den, att denna framstär som ett undantag frän regeln. För utformningen av en skoglig tillväxthypotes är ett studium av dessa undantag av stor betydelse. Genom variation av de yttre betingelserna hps normala växande träd kan man även ha hopp om att framställa dylika undantag, som da ge langt mera upplysning om de verksamma faktorerna än de normala fallen göra. Över huvud taget borde säledes enligt min mening den skogliga forskningen pä detta omräde fä en mera fysiologisk och experimentell samt tillika kvantitativ betoning.

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