Elektrodynamik - personal.uni-jena.de · 1. Die Ursprünge der Elektrodynamik 1.2. Geschichtliches 2 Ich ﬁnde zum Beispiel das Skript H. Roemer und M. Forger von der Uni Freiburg,

ElektrodynamikVorlesungs-Skriptum

Andreas Wipf

Theoretisch-Physikalisches-Institut

Friedrich-Schiller-Universität Jena

3. Auflage, WS 2006/2007

1. Auflage SS 2000

c©2007 Andreas Wipf, Universität Jena

Kopieren für den privaten Gebrauch unter Angabe des Autors gestattet. KommerzielleVerwertung ist nicht gestattet.

Hinweise auf Druckfehler nehme ich gerne entgegen ([email protected])

Inhaltsverzeichnis

1 Die Ursprünge der Elektrodynamik 1

1.1 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Einführung in die Elektrostatik 8

2.1 Das Coulombsche Gesetz und Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.1 Messung und Einheit der Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Feldgleichungen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung . . . . . . . . . . 222.4 Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Probleme mit der Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Randwertprobleme der Elektrostatik 28

3.1 Ideale Leiter im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.1 Randbedingungen für Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.2 Eindeutigkeit der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Die Methode der Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.1 Punktladung in der Nähe einer ebenen Metallplatte . . . . . . . . . 333.2.2 Punktladung in der Nähe einer leitenden Kugel . . . . . . . . . . . 343.2.3 Leitende Kugel im homogenen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Die Methode der Greenschen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.1 Dirichlet-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2 Neumann-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.1 Kugelkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis ii

4 Multipole und spezielle Funktionen 46

4.1 Dipole und Quadrupole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Energie und Drehmoment von Multipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3 Differentialoperatoren und spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.1 Differentialoperatoren in rechtwinkligen Koordinaten . . . . . . . . 514.4 Legendre-Polynome und Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.1 Potenzreihen und erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.2 Punktladung in einem geerdeten „Faradaykäfig“ . . . . . . . . . . . 634.4.3 Zylindersymmetrische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.6 Vollständige Funktionensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Elektrisches Feld in Materie 70

5.1 Polarisation und dielektrische Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2 Grenzflächen zwischen Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2.1 Dielektrische Kugel im homogenen elektrischen Feld . . . . . . . . . 805.3 Clausius-Mosottische Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.4 Feldenergie im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Magnetostatik 87

6.1 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.1.1 Stromerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Das magnetische Feld und das Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . 896.3 Die Grundgleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.3.1 Integrale Form der Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3.2 Das Magnetostatische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3.3 Das magnetische Feld einer unendlich langen Spule . . . . . . . . . 98

6.4 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.5 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.5.1 Kraft und Drehmoment auf einen Dipol im Magnetfeld . . . . . . . 1046.6 Magnetismus in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.6.1 Makroskopische Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.6.2 Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.6.3 Kugel im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7 Maxwellgleichungen 113

7.1 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

————————————A. Wipf, Elektrodynamik

INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis iii

7.3.1 Integralform der Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.3.2 Elektromagnetische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.3 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3.4 Maxwellgleichungen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8 Ausbreitung von Wellen 126

8.1 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.1.1 Monochromatische ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.3 Besselwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.4 TE- und TM-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.5 Überlagerung von ebenen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.6 Anhang: Fourier-Reihen und Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9 Wellen in Medien 143

9.1 Wellen in homogenen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.1.1 Transversal-Schwingungen und Skin-Effekt . . . . . . . . . . . . . . 1439.1.2 Anwendung: Der Skineffekt im zylindrischen Leiter . . . . . . . . . 1469.1.3 Transversal-Schwingungen bei hohen Frequenzen . . . . . . . . . . . 147

9.2 Dispersion in Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.3 Kausalität und Kramers-Kronig-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10 Relativistische Form der Elektrodynamik 158

10.1 Poincare Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.2 Ströme, Potentiale und Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.3 Relativistische Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

10.3.1 Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . 16810.4 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11 Erzeugung und Abstrahlung von Wellen 174

11.1 Inhomogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.2 Strahlungsfeld in der Fernzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.3 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

11.3.1 Abgestrahlte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18511.4 Lienard-Wiechert-Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18811.5 Der Hertzsche Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.6 Abstrahlung von bewegten Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196


Kapitel 1

Die Ursprünge der Elektrodynamik

1.1 Literaturhinweise

Folgende Bücher können empfohlen werden:R. Becker und F. Sauter, Theorie der Elektrizität 1 und 2, Teubner, Stuttgart 1973J.D. Jackson, Klassische Elektrodynamik, 4. Auflage, de Gruyter, Berlin 2006H. Römer und M Forger, Elementare Feldtheorie: Elektrodynamik, Hydrodynamik,spezielle Relativitätstheorie, VHC, Weinheim, New York, 1993.H. Mitter, Elektrodynamik, 2. Auflage, B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1990F. Scheck, Theoretische Physik 3. Klassische Feldtheorie, Springer, Berlin 2005.L.D. Landau und E.M. Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik, Band II, Klas-sische Feldtheorie, 11. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin 1989A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 3, Elektrodynamik, VerlagHarri Deutsch, Thun 1977R.P. Feynman, R.B. Leighton und M. Sands, The Feynman Lectures on Physics,Vol. I-III, Addison-Wesley Publishing Company, Reading 1971W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Band 3, Elektrodynamik, Vieweg & Son,Braunschweig 1997T. Fließbach, Elektrodynamik, 4. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2005G. Lehner, Elektromagnetische Feldtheorie für Ingenieure und Physiker, Springer Verlag,Berlin, 1996.P. Reineker, M. Schulz und B.M. Schulz, Theoretische Physik II, Elektrodynamik,Wiley-VCH, 2006

Skripten: Auch im Internet finden Sie empfehlenswerte Skripten. Gute Anlaufpunktesind die Seiten von Wagner oder Lars Bähren:http://www.physik.tu-muenchen.de/∼rwagner/physik/skripten.htmlhttp://cips02.physik.uni-bonn.de/ baehren/.

1

1. Die Ursprünge der Elektrodynamik 1.2. Geschichtliches 2

Ich finde zum Beispiel das Skript H. Roemer und M. Forger von der Uni Freiburg, siehehttp://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/405/, nützlich. Auch das Skript desKollegen G. Welsch ist empfehlenswert. Aber Skripten können keine Lehrbücher ersetzen.

1.2 Geschichtliches

Elektrizität und Magnetismus rühren von den griechischen Wörtern Bernstein (ηλǫκτρoν)und Magneteisenstein (ηλιθoζ Mαγνητιζ) her. Petrus Peregrinus hat bereits 1269

Untersuchungen zu den magnetischen Eigenschaften ausgeführt. Er hat die Kräfte an derOberfläche eines in Kugelform geschliffenen Magneten mit Hilfe einer kleinen Nadel zumessen versucht. Dazu hat er Punkt für Punkt die Einstellrichtung der Nadel bestimmtund aufgezeichnet. Nach heutiger Sprechart hat er die magnetischen Feldlinien ausgemes-sen. Er fand, daß die Feldlinien ähnlich wie die Meridiane der Kugel verlaufen und sichan zwei gegenüberliegenden Polen treffen. Peregrinus Arbeiten wurden kaum beachtetund erst drei Jahrhunderte später von Gilbert (1544-1603) fortgesetzt. Gilbert hatdie Theorie des Kompasses entwickelt, den Charakter der Kraftwirkung zwischen Ma-gnetpolen erkannt und festgestellt, daß durch das Zerbrechen einer Kompassnadel beidePole nicht voneinander zu trennen sind. Jedes Bruchstück wurde wieder eine Magnetnadelmit zwei Polen. Er hat auch elektrische Erscheinungen untersucht und dabei gefunden,daß neben Bernstein auch Stoffe wie Glas, Wachs, Schwefel und einige Edelsteine durchReibung elektrisiert werden können. Er hat einen wesentlichen Charakterunterschied dermagnetischen und elektrischen Kräfte herausgestellt: Magneten rufen eine Drehwirkunghervor, während die elektrische Kraft sich als Anziehungskraft äußert.

In der folgenden Zeit wandten sich die Naturwissenschaftler der klassischen Mechanikzu, bei der großartige Fortschritte erzielt wurden. Aus dieser einseitigen Orientierungresultierte ein geringes Interesse an der Elektrizität und dem Magnetismus. Selbst dieReibungselektrisiermaschine von von Guericke (1602-1686) geriet zwei Generationennahezu in Vergessenheit.

In der ersten Hälfte des 18. Jahrhundert, besonders nach der Erfindung der LeidenerFlasche, hat das Interesse an der Elektrizität merklich zugenommen. Zuerst beschränktensich die Wissenschaftler im wesentlichen auf qualitative Untersuchungen zur Elektrosta-tik. Gray (1666-1736) gelang es, den elektrischen Zustand einige hundert Meter weit zuleiten. Dufay (1698-1739) hat zum erstenmal zwei Sorten von Elektrizität, die Glaselek-trizität (positive Ladung) und die Harzelektrizität (negative Ladung), unterschieden. DieErfindung der Leidener Flasche1 durch von Kleist (1700-1748) und etwas später van

Musschenbroek (1692-1761) hat den Versuchen zur Elektrizität neuen Auftrieb gege-ben. Als erfolgreichster Forscher dieser Epoche muß Franklin (1706-1790) angesehen

1Eine Leidener Flasche ist ein zylindrischer Kondensator aus Glas.



werden. Er zeigte, daß die atmosphärische Elektrizität ebenso in der Lage ist, die Leide-ner Flasche aufzuladen, wie die Reibungselektrizität. Er hat mit Hilfe einer Metallspitzeauf einen Körper Ladung gebracht und sie wieder entnommen. Franklin glaubte be-reits, daß es nur eine Art von Ladung gibt. Aepius (1724-1802) versuchte die bekanntenelektrischen Erscheinungen durch die Annahme zu erklären, daß sich die der Elektrizitätentblößten Stoffteilchen genauso abstoßen wie die Stoffteilchen, die Elektrizität tragen.

Im letzten Quartal des 18. Jahrhundert war die Zeit zur Aufstellung quantitativer Ge-setzmäßigkeiten herangereift. Mit Newton hat man die Existenz von Fernwirkungskräf-ten zwischen geladenen Körpern vorausgesetzt und nach deren Gesetzmäßigkeiten gesucht.Zu dem gesuchten Gesetz sind Priestley (1733-1804), Cavendish (1731-1810), Robi-

son (1739-1805) und Coulomb (1736-1806) unabhängig voneinander gelangt. Priest-

ley hat bereits in seinem 1767 erschienenen Buch das Gesetz genau formuliert und be-gründet. Die Arbeiten von Galvani (1737-1798) benutzend gelang es Volta (1745-1827)zur Jahrhundertwende Elektrizität chemisch zu erzeugen. Vor seiner Entdeckung kanntendie Wissenschaftler im Grunde nur eine Möglichkeit zur Herstellung von Elektrizität: Siemußten Bernstein, Glas oder Metall reiben. Die Metallscheibenapparate2 von Volta wa-ren leicht herzustellen. Deshalb wurden mit diesen Batterien schon bald in ganz Europaelektrische Experimente angestellt. Ohm (1789-1854) hat in zwei Abhandlungen aus denJahren 1826 und 1827 den linearen Zusammenhang zwischen Stromstärke und „eingepräg-ter Kraft“ oder elektromotorischer Kraft hergestellt. Das einfache Ohmsche Gesetz wurdevon Kirchhoff (1824-1887) auf kompliziertere Netzwerke erweitert.

Nach Voltas Entdeckung konnten die Experimentatoren konstante Ströme mit ausrei-chender Stärke erzeugen um Leiter zum Glühen zu bringen und elektrochemische Versucheauszuführen. Trotzdem bemerkte erst 1820 Oersted (1777-1851), daß ein elektrischerStrom eine Kompassnadel ablenkt. Noch im selben Jahr gaben Biot (1774-1862) undSavart (1791-1841) eine quantitative Beschreibung für die magnetische Wirkung, dievon einem durch einen Leiter fließenden Strom in einem beliebigen Raumpunkt erzeugtwird. Laplace (1749-1827) hat sie bei der genauen Formulierung des Gesetzes unter-stützt. Ebenfalls noch im Jahr 1820 hat Ampere (1775-1836) die Wechselwirkung vonStrömen experimentell untersucht. Auf ihn geht auch eine mikroskopische Deutung dermagnetischen Eigenschaften der Stoffe zurück.

Faraday3 (1791-1867), nicht zu Unrecht als bedeutendster Experimentalphysiker an-gesehen, las von Oersteds Experiment und stellte sich die scheinbar einfache Frage:Wenn elektrischer Strom Magnetismus erzeugen kann, ist es dann vielleicht nicht umge-kehrt genauso? Kann ein Magnet vielleicht elektrischen Strom erzeugen? 1831 zeigte er,

2Scheiben aus Kupfer und Zinn, getrennt durch Pappscheiben, zu einem hohen Stapel übereinander-gelegt und in einer Glasröhre mit Salzwasser übergossen.

3Er wurde am 22.9.1791 in Newington Butts in Surrey, am Rande von London, als Sohn eines Huf-schmieds geboren.



daß ein bewegter Magnet in einem Draht elektrischen Strom erzeugen kann. Er hat fürdiese Induktion auch eine quantitative Formulierung angegeben, die durch die Verwen-dung des Kraftlinienbegriffs anschaulich wurde. Faraday hat angenommen, daß sich inder Umgebung von stromdurchflossenen Leitern ein magnetisches Feld mit entsprechendenKraftlinien herausbildet. Diese Vorstellung bedeutete eine Loslösung von der damals gän-gigen Fernwirkungstheorien. Das Induktionsgesetz liefert die theoretischen Grundlagenfür das Funktionieren von Generatoren, Tranformatoren und anderer Maschinen.

Im Gegensatz zu den meisten führenden Physikern seiner Zeit machte sich Maxwell

(1831-1879) das Kraftlinienbild von Faraday zu eigen. Er wollte dessen Ideen in einemathematische Form kleiden. Auf diese Weise gelang es ihm, einen engen Zusammenhangzwischen der räumlichen Änderung des Magnetfeldes und dem elektrischen Strom her-zustellen. Der wesentliche Schritt vorwärts im Vergleich zu den Gesetzen von Oersted,

Ampere und Faraday ist in der folgenden Figur gezeigt.

j ∂B∂t

∂D∂t

H E H

Abbildung 1.1: Faradays Induktion und Maxwells Verschiebungsstrom.

• Ein elektrischer Strom erzeugt ein Magnetfeld.

• Jede zeitliche Änderung des Magnetfeldes erzeugt ein elektrisches Feld (Induktion).

• Jedes sich zeitlich ändernde elektrische Feld (Verschiebung) erzeugt ein Magnetfeld.

Die letzten beiden Aussagen bedeuten, daß sich elektrische und magnetische Felder wech-selseitig hervorbringen können. Ein elektrisches Feld entsteht, wo ein magnetisches Feldsich zeitlich ändert, und ein Magnetfeld wird erzeugt, wo ein zeitlich veränderliches elek-trisches Feld vorhanden ist. Aus diesem Wechselspiel ergeben sich gerade die elektro-magnetischen Wellen. In der 1873 erschienenen Treatise ist diese Wellentheorie, die eineVereinheitlichung von Optik und Elektrodynamik erlaubte, enthalten. Die Treatise ent-hält das gesamte Maxwellsche Gleichungssystem, die Grundgleichungen dieser Vorlesung.Ich möchte hier Maxwell zitieren:


1. Die Ursprünge der Elektrodynamik 1.3. Einleitung 5

• „Faraday sah im Geiste die den ganzen Raum durchdringenden Kraftlinien, wodie Mathematiker4 Anziehungszentren von Fernkräften sahen; Faraday sah einZwischenmittel, wo sie nichts als Abstände sahen; Faraday suchte nach dem Sitzder Erscheinungen, die in diesem Mittel wirklich vorgingen, jene begnügten sich, dasPotenzgesetz der Kräfte zu finden, die auf die elektrischen Flüssigkeiten wirkten.Als ich die Faradayschen Ideen, wie ich sie verstand, in eine mathematische Formübersetzte, fand ich, daß beide Methoden im allgemeinen zu denselben Resultatenführten, daß aber manche von den Mathematikern entdeckten Methoden viel besserin Faradayscher Weise ausgedrückt werden können.“

Als Maxwell 1879 im Alter von nur achtundvierzig Jahren starb, gab es noch keineInstrumente, um die elektromagnetischen Wellen aufzufangen. Dies gelang 1885 Hertz

(1857-1894). Er arbeitete mit zwei einige Meter voneinander entfernt liegenden Leitun-gen, wobei jede Leitung durch einen kleinen Zwischenraum unterbrochen war. Als Hertz

durch die eine Leitung einen starken Stromstoß jagte, flog ein Funke von der einen Lei-tungshälfte zur anderen. Im selben Moment konnte Hertz in der zweiten Leitung einenFunken beobachten. Er hatte die Radiowellen entdeckt. Er wies die Wesensgleichheit derelektromagnetischen Wellen mit den Lichtwellen nach und hatte so gezeigt, daß die Max-wellsche Theorie richtig ist. Sein Buch „Über die Grundgleichungen der Elektrodynamikfür ruhende Körper“ hat der Maxwellschen Theorie auf dem europäischen Kontinent zumDurchbruch verholfen.

Ich habe hier einige wichtige Beiträge von Faraday, Maxwell, Hertz u.a. zumVerständnis der elektromagnetischen Erscheinungen skizziert. Wichtige Beiträge dieserherausragenden Forscher zu anderen Gebieten der Physik blieben dabei unerwähnt.

1.3 Einleitung

In der klassischen Mechanik stehen die Bahnkurven r(t) von Punktteilchen und ihre Be-wegungsgleichungen im Vordergrund. In der Elektrodynamik (ED) sind Felder die grund-legenden Größen. Das elektrische Feld E (t, r) und das magnetische Feld B(t, r) werdendurch die Kraft F definiert, die sie auf ein geladenes Punktteilchen5 der elektrische Ladungq ausüben:

F = qE (t, r) + qv

c∧B(t, r).

4Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Wilhelm Weber (1804-1891), Georg Riemann (1826-1866), FranzNeumann (1798-1895) der das elektrische Potential A einführte und sein Sohn Carl Neumann (1832-1925).

5Nach dem heutigen Kenntnisstand können in der klassischen Physik Elektronen als Punktteilchenbehandelt werden.



Hier sind r und v der Ort und die Geschwindigkeit der Punktladung und

c = 299 792 458 m/s

ist die Lichtgeschwindigkeit. Wir haben das Gaußsche Maßsystem verwandt6.Zu einer beliebigen Zeit erfüllen die elektromagnetischen Felder die Gleichungen

∇ · E = 4πρ und ∇ ·B = 0. (1.1)

Die Ladungsdichte ρ(t, r) ist die Quelle für das elektrische Feld. Die Bewegungsgleichun-gen für die Felder,

∇∧ E +1

c

∂B

∂t= 0 und ∇∧B − 1

c

∂E

∂t=

4π

cj , (1.2)

bestimmen deren zeitliche Änderung. Hier ist j (t, r) die elektrische Stromdichte. DieGrundgleichungen (1.1) und (1.2) sind die im Zentrum dieser Vorlesung stehenden Max-wellgleichungen. Es sind partielle Differentialgleichungen, die das raumzeitliche Verhaltendes elektromagnetischen Feldes (E ,B) bestimmen.

Diese Gleichungen sind nicht ableitbar. Deshalb möchte ich in dieser Vorlesung induk-tiv vorgehen. Wir werden sehen, daß die Phänomene der Elektrostatik und Magnetostatikdurch die Maxwellgleichungen für zeitunabhängige Felder,

∇ · E = 4πρ , ∇ ∧E = 0

∇ ∧B =4π

cj , ∇ ·B = 0 (1.3)

richtig beschrieben werden. Im statischen Grenzfall zerfallen die Maxwellgleichungen inzwei unabhängige Gleichungspaare. Die ersten beiden Gleichungen sind die Feldgleichun-gen der Elektrostatik, die letzten beiden diejenigen der Magnetostatik.

Gegen Ende dieser Vorlesung werden wir sehen, daß E und B die Komponentendes elektromagnetischen Feldstärketensors Fµν sind. Daraus ergibt sich, daß das elektri-sche und das magnetische Feld ineinander transformieren, wenn wir unser Bezugssystemwechseln. Die Aufspaltung des elektromagnetischen Feldes in den elektrischen und denmagnetischen Anteil ist vom Beobachter abhängig, der diese Aufspaltung vornimmt.

Nach den statischen Situationen werden wir zeitabhängige Prozesse studieren. Fürzeitabhängige Felder sind E und B gekoppelt. Dies wird uns auf das Faradaysche In-duktionsgesetz und den Maxwellschen Verschiebungsstrom führen. Am Ende des entspre-chenden Abschnitts werden wir bei den Maxwellschen Gleichungen angelangt sein. Da-

6Im nächsten Kapitel werden wir die Maßsysteme besprechen.



nach werden wir zuerst die grundlegenden Eigenschaften der Lösungen untersuchen. Hierwerden wir die Energie und den Impuls des elektromagnetischen Feldes einführen undstudieren und die allgemeine Lösung der Maxwellgleichungen für lokalisierte Ladungs-und Stromdichten konstruieren. Im folgenden Teil werden spezielle, aber wichtige Lösun-gen der Feldgleichungen behandelt. Dies sind die elektromagnetischen Wellenlösungen. Jenach Wellenlänge sprechen wir von Gamma-Strahlung, Röntgenstrahlung, ultraviolettem,sichtbarem oder infrarotem Licht, Mikrowellen oder Radiowellen. Wir werden die aus derOptik wohlbekannten Wellenphänomene wie Streuung und Beugung von elektromagne-tischen Wellen behandeln. Danach werden wir die Dipolstrahlung und etwas allgemeinerdie Abstrahlung von beschleunigten Ladungen7 untersuchen.

Ein wichtiger Bestandteil dieser Vorlesung wird die Elektrodynamik in Medien sein.Durch geeignete Mittelungen über mikroskopische Freiheitsgrade werden wir die makro-skopischen Maxwellgleichungen aus den mikroskopischen ableiten. Hier werden die dielek-trische Funktion und die Permeabilitätskonstante auftreten.

Gegen Ende des Semesters werden wir die Invarianzeigenschaften der Maxwellgleichun-gen untersuchen. Dies führt uns auf die Lorentztransformationen und das Transformati-onsverhalten des elektromagnetischen Feldes beim Übergang in ein anderes Inertialsystem.Wir werden die kovarianten Maxwellgleichungen aufstellen, die an Eleganz kaum noch zuüberbieten sind.

Die klassische Elektrodynamik und die Quantenelektrodynamik gehören zu den er-folgreichsten physikalischen Theorien, die wir kennen. Die der modernen Teilchenphysikzugrundeliegenden Feldtheorien, die sogenannten nicht-Abelschen Eichtheorien, sind na-türliche Verallgemeinerungen der Theorie des Elektromagnetismus.

7und die damit zusammenhängenden Probleme.


Kapitel 2

Einführung in die Elektrostatik

Eine altbewährte Methode zur Erzeugung elektrischer Ladungen ist z.B. das Reiben einesKörpers aus Glas mit einem Seidentuch. Ein so geriebener Körper zieht ein Kügelchen ausHolundermark an, was vor dem Reiben nicht der Fall war. Diese Erscheinung erklären wirfolgendermassen: Die Atome, aus denen die Elemente aufgebaut sind, bestehen aus einemkleinen Atomkern1, der positive elektrische Ladung trägt, und einer um den Kern herumangeordneten Hülle aus negativ geladenen Elektronen. Positive und negative Ladung vonKern bzw. Hülle sind normalerweise2 gleich groß, so daß Atome insgesamt keine Ladungtragen. Bei manchen Substanzen lassen sich Elektronen der Hülle relativ leicht entfernen.Das geschieht zum Beispiel durch Reiben des Glases mit Seide. Dabei gehen Elektronenvom Glas auf die Seide über, so daß nach dem Reiben das Glas positiv, das Seidentuchaber negativ geladen ist. Reibt man dagegen einen Gummistab mit Katzenfell, so ge-hen Elektronen vom Fell zum Stab über. Durch Streichen des Glas- und Gummistabesaneinander kann man für einen Ausgleich der Ladungen zwischen beiden Stäben sorgen.

Wir haben hier schon von einem fundamentalen Naturgesetz Gebrauch gemacht, näm-lich vom Erhaltungssatz für die elektrische Ladung. Nach diesem Gesetz ist die Summealler elektrischen Ladungen zeitlich konstant. Man kann elektrische Ladungen nicht er-zeugen. Erzeugt man durch Ladungstrennung und Ladungstransport eine positive Ladungan einem Ort, dann entsteht eine negative Ladung an einem anderen Ort. Wir sehen dieExistenz elektrischer Ladungen als gegebene Tatsache an. Die beobachteten Anziehungs-,Abstoßungs- und Wärmewirkungen sind die Folgen der Wechselwirkungen zwischen La-dungen.

1Der Durchmesser des Atomkerns beträgt etwa 10−13cm.2Für Ionen fehlen einige Elektronen in der Hülle.

8

2. Einführung in die Elektrostatik 2.1. Das Coulombsche Gesetz und Maßsysteme 9

2.1 Das Coulombsche Gesetz und Maßsysteme

Zwischen elektrisch geladenen Körpern wirken Kräfte, die vom Ladungszustand abhängen.Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens ziehen sich an, Ladungen gleichen Vorzeichensstoßen sich ab. Für zwei kugelförmige Körper, deren Durchmesser viel kleiner als ihrAbstand ist, ist das Kraftgesetz besonders einfach. Diese Kraft kann man zum Beispiel aufeine Art messen, die in Abb. 2.1 dargestellt ist: Aus den Ablenkungen im Gleichgewicht ϕ1

Fc

ϕ1 ϕ2

bm1, q1

FG

b m2, q2

FG

Abbildung 2.1: Eine Methode zur Bestimmung der Kraft zwischen zwei elektrischen La-dungen.

und ϕ2 und den Massen der die elektrischen Ladungen tragenden Kügelchen kann man diewirkende Kraft FC berechnen3. Die Experimente zeigen, daß die Kraft proportional zu denelektrischen Ladungen qi und invers proportional zum Quadrat des Abstands r12 = |r1−r2|der beiden Ladungen ist. Diese Coulombkraft wirkt in Richtung der Verbindungslinie derbeiden Ladungen. Damit ergibt sich das folgende Kraftgesetz für zwei Punktladungen

FC =q1q24πǫ0

r1 − r2

|r1 − r2|3. (2.1)

Die Dielektrizitätskonstante des Vakuums ǫ0 bestimmt die Stärke der Wechselwirkung;ihr numerischer Wert hängt von der gewählten Maßeinheit für die Ladungen q1 und q2 ab.

2.1.1 Messung und Einheit der Ladung

Die Ladung kann man zum Beispiel mit dem sogenannten Blättchenelektroskop, dargestelltin Abb. 2.2, messen. Die beiden dünnen Aluminium- oder Goldfolienblättchen B1 und B2

3Die elektrische Kraft hält der von der Gravitation herrührenden Rückstellkraft mig sin ϕi das Gleich-gewicht.



K

Isolator

B1 B2

Abbildung 2.2: Blättchen Elektroskop.

sind mit dem metallischen Kopf K leitend verbunden, aber gegen das Gehäuse isoliert.Bringt man elektrische Ladung auf K, so verteilt sie sich auf die beiden Blättchen. Diesestoßen sich gegenseitig ab und spreizen auseinander. Die Abstoßung wird umso größer, jegrößer die auf K aufgebrachte Ladung ist. Nach einer Eichung der Skala kann man überden Ausschlag der Blättchen die Größe der Ladung messen.Für die Coulombkräfte gilt das Superpositionsprinzip: die resultierende Kraft, die mehrereLadungen auf eine Ladung ausüben, ergibt sich als Summe der Coulombkräfte zwischendieser Ladung mit den anderen Ladungen. Wie wir schon erwähnt hatten, gilt für dieLadungen der Erhaltungssatz : Die Summe der Ladungen eines abgeschlossenen Systemsist erhalten. Des weiteren treten in der Natur nur quantisierte Ladungen auf. Die Ladungdes Protons wird mit q = e und diejenige des Elektrons mit q = −e bezeichnet. DieLadungen aller Elementarteilchen4 sind quantisiert. Allerdings spielt die Quantisierungder elektrischen Ladung für makroskopische Körper mit q ≫ e keine Rolle.Das Coulombgesetz (2.1) ist die Grundlage der Elektrostatik, wobei man ruhende oderstationäre Ladungsverteilungen betrachtet. Die 1/r2-Abhängigkeit der Coulombkraft istüber viele Längenbereiche experimentell bestätigt. Im Zentimeter- bis Meterbereich kannman das Coulombgesetz durch Laborexperimente an makroskopischen geladenen Körpernprüfen. Für mikroskopische Distanzen kann man die Resultate von Streuexperimenten(zum Beispiel ionisierte Heliumkerne an Goldkernen oder Elektronen an Positronen) mitden Vorhersagen der Theorie, welche auf dem Coulombgesetz beruhen, vergleichen5. Für

4Die fundamentalen geladenen Elementarteilchen sind die Leptonen e, µ, τ , die Quarks u, d, c, s, t, bund die Eichbosonen W±. Das Proton besteht aus zwei up-Quarks und einem down-Quark.

5Kommt man einem „Punktteilchen“ näher als seine Comptonwellenlänge, dann hängt seine Ladungvom Abstand ab, e = e(r).



astronomische Skalen kann man die planetaren Magnetfelder „ausmessen“, deren Form engmit dem Coulombgesetz verknüpft sind. Bisher wurde im Längenbereich von 10−16cm biseinige astronomische Einheiten keine Abweichung vom Coulombgesetz gefunden.

Erst nach Einführung einer Ladungseinheit oder gleichbedeutend nach Festlegung derKonstanten ǫ0 in (2.1) wird die Ladung zur Meßgröße. Es wäre am natürlichsten, dasLadungsquant, also die Ladung des Protons, als Ladung 1 LE zu definieren. Danach wäredie Konstante ǫ0 eine bestimmbare Größe der Dimension

[ǫ0] =(LE)2

Nm2 , N=Newton, m=Meter.

International eingeführt ist allerdings die Ladungseinheit

1 Coulomb = 1C,

für die Elektrizitätsmenge. Sie wird mit Hilfe des durch einen Leiter in einer gewissen Zeitfließenden elektrischen Stromes definiert,

1 A = 1 Ampere = 1C/s. (2.2)

Diese Definition führt zur Festlegung

ǫ0 = 8.854 187 · 10−12 C2

Nm2 . (2.3)

Ein Coulomb ist eine sehr große Ladung. Zwei Körper im Abstand von 1m, die je einCoulomb Ladung tragen, üben eine Kraft von

FC =1

4πǫ0

C2

m2∼ 9 · 109 N (2.4)

aufeinander aus.Es fehlt noch die Festlegung der Stromeinheit. Diese kann über die Kraft zwischen zwei

parallelen, unendlich langen und stromdurchflossenen (idealisierten) Drähten im Abstandd bestimmt werden. Fließt durch jeden Draht der Strom I = ∆q/∆t, so wirkt auf jedesDrahtstück der Länge ∆l die Kraft (siehe später)

∆F

∆l=

1

4πǫ0

2I2

c2d,

wobei c die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Zwei Drähte im Abstand von d = 1m, durchdie jeweils 1 Ampere fließt, erfahren eine Kraft pro Länge von 2 · 10−7N/m.



Die universelle Elementarladung (z.B. Betrag der Ladung des Elektrons) ist dann

e = 1.602 177 33(49)× 10−19C, Unsicherheit 0.30 ppm. (2.5)

Neben der Ladungseinheit benutzen wir als mechanische Einheiten für die Länge, Masseund Zeit den Meter (m), das Kilogramm (kg) und die Sekunde (s). Die Arbeits- undLeistungseinheiten sind

1 Joule = 1Nm = 1kg m2

s2= 107 g cm2

s2= 107erg, 1 Watt = 1

Joules

. (2.6)

Das Maßsystem mit der Einheit Ampere als vierter Grundeinheit heißt MKSA-Systemoder SI-System. MKSA steht für Meter, Kilogramm, Sekunde und Ampere und SI fürSysteme International d’Unites.

Das Coulombsche Gesetz (2.1) legt es andererseits nahe, die Ladung so zu wählen, daß4πǫ0 = 1 ist. Als Ladungseinheit wählt man diejenige Ladung, die zwei gleich geladene„Punktteilchen“ tragen müssen, um sich im Abstand von 1 cm mit 1 dyn=1 g cm/s2 =

10−5N abzustoßen. Diese Ladungseinheit wird als 1 esu6 bezeichnet:

1 dyn =(1 esu)2

cm2oder 1 esu = 1

cm3/2g1/2

s. (2.7)

Der Vergleich von (2.7) mit dem Coulombgesetz in SI-Einheiten ergibt

1 C = 2.997 924 58 · 109esu, (2.8)

oder für die Elementarladung

e = 4.803 206 8(15) · 10−10 esu, Unsicherheit 0.30ppm. (2.9)

Das soeben diskutierte System ist das Gaußsche Maßsystem. In diesem System werdendie elektrischen und magnetischen Felder in gleichen Einheiten gemessen. Es eignet sichbesonders für eine relativistische Formulierung der Elektrodynamik. Obwohl das MKSA-oder SI-System das gesetzlich festgelegte und in Anwendungen benutzte System ist, wirdvon Theoretikern deshalb gerne das Gaußsche System verwandt. Wir werden es in dieserVorlesung ebenfalls verwenden. Nur an einigen Stellen, wo die Anwendungen im Vorder-grund stehen, werden wir MKSA-Einheiten benutzen.

6esu für electrostatic unit, auch ESE für Elektrostatische Einheit.


2. Einführung in die Elektrostatik 2.2. Das elektrische Feld 13

2.2 Das elektrische Feld

Zum Begriff des elektrischen Feldes gelangt man, wenn man nach der Übertragung derelektrischen Kräfte von einer Ladung q1 auf eine andere Ladung q2 fragt. In der Elek-trostatik muß man diese Frage nicht unbedingt stellen. Man kann sich damit begnügen,daß eine Kraft zwischen elektrischen Ladungen wirkt; die Ausbreitung der Kraft ist inder Statik unwesentlich. Geht man allerdings zu zeitlich rasch veränderlichen Ladungs-und Stromverteilungen über7, so stellt sich die Frage nach der Ausbreitung von Kraft undEnergie erneut. Nun kann sie nicht mehr umgangen werden, da sich elektromagnetischeWirkungen mit der endlichen Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen. Daher ist es angebracht,schon in der Elektrostatik nach der Art der Kraftübertragung zwischen Ladungen zu fra-gen. Dies führt uns auf den Begriff der elektrischen Feldstärke, oft nur elektrisches Feldgenannt. Vom Feldwirkungs-Standpunkt aus müssen wir uns eine von den Ladungszentrenausgehende Erregung des umgebendes Raumes vorstellen.

Wir definieren das elektrische Feld E über die auf einen (möglichst kleinen) geladenenProbekörper ausgeübte Kraft, geteilt durch die Ladung des Probekörpers,

E (r) = limq→0

1

qF (r). (2.10)

Das elektrische Feld variiert von Ort zu Ort nach Richtung und Größe. Durch den Grenzfallq → 0 wird erreicht, daß die Probeladung die vorhandenen Ladungen nicht stört, z.B. indiesen keine Polarisation der elektrischen Ladung hervorruft.

Die Dimension des elektrischen Feldes ist

[E ] =

dyn/esu = esu/cm2 = g1/2/cm1/2s Gauß-EinheitenN/C = 3.33356 · 10−5 dyn/esu SI-Einheiten.

(2.11)

Wenn wir der Richtung von E folgen, durchlaufen wir eine elektrische Kraftlinie bzw.Feldlinie. Man kann das Feldlinienbild festlegen, indem man von jeder positiven Ladungs-einheit eine Feldlinie ausgehen läßt. Entsprechend endet an jeder negativen Ladungseinheiteine Feldlinie. Dann ist die Dichte der Feldlinien proportional zur elektrischen Feldstärke.

Nun bewegen wir eine Probeladung q längs eines Weges von r1 nach r2. Die auf demkleinen Wegstück dr vom Feld an der Probleladung verrichtete Arbeit ist gleich demWeg dr multipliziert mit der Kraft qE in Richtung des Weges, also gleich qE · dr . DerAusdruck ist positiv, wenn eine positive Ladung in der Richtung von E bewegt wird,wobei also Arbeit nach außen gewonnen wird. Im allgemeinen wird E von Stelle zu Stelleveränderlich sein. Dann ist die gewonnene Arbeit bei der Bewegung einer Einheitsladung

7Siehe Kapitel 5



durch das Linienintegral

V ≡∫

C

E · dr =

s2∫

s1

E (r(s)) · r(s) ds (2.12)

gegeben. Hier durchläuft r(s) die Kurve C, welche den Anfangspunkt r1 mit dem End-

r(s)

C1

r(s)

C2

br1 b r2

Abbildung 2.3: Die Spannung hängt vom Weg ab.

punkt r2 der Bewegung verbindet, also r(s1) = r1 und r(s2) = r2. Wir nennen diesesLinienintegral Spannung. Zur Definition der Spannung muß außer den Endpunkten auchder Weg zwischen ihnen vorgeschrieben werden. Nur in wirbelfreien Feldern,∇∧E = 0, istnach dem Stokesschen Satz das Linienintegral und damit die Arbeit im elektrischen Feldunabhängig vom Weg. Dann sagen wir statt Spannung auch Potentialdifferenz zwischenden Punkten r1 und r2. Die Spannung hat die Dimension

[VGauss] = (g cm)1/2/s und [VSI] = J/C. (2.13)

Nun betrachten wir N Punktladungen q1, . . . , qN , die an den Orten r1, . . . , rN ruhen. Nachdem Superpositionsprinzip8 ist eine Punktladung q am Orte r der Kraft

F (r) = q

N∑

i=1

qir − ri

|r − ri|3= qE (r)

ausgesetzt. Entsprechend ist das elektrische Feld von N Punktladungen gleich

E (r) =N∑

i=1

qir − ri

|r − ri|3. (2.14)

8Für Punktladungen treten keine Polarisationseffekte auf.



Das Feld einer positiv geladenen Punktladung und dasjenige zweier Punktladungen ist inder Abb. 2.4 dargestellt.

b

qE

b b

q −q

E

Äquipotentiallinien

Abbildung 2.4: Schematische Darstellung des elektrischen Feldes um eine Punktladungund um zwei Punktladungen.

Das elektrische Feld (2.14) ist der Gradient einer Funktion Φ und ist damit wirbelfrei.Weiterhin sind die Quellen des Feldes an den Orten der Ladungen lokalisiert. Um dieseinzusehen benutzen wir

∇ 1

|r − r0|= − r − r0

|r − r0|3

∇ · r − r0

|r − r0|3= − 1

|r − r0|= 4πδ(r − r0). (2.15)

Da der Gradient, die Divergenz und Rotation lineare Operationen sind, folgt

E (r) = −∇Φ(r), Φ(r) =N∑

i=1

qi|r − ri|

.

Ein Gradientenfeld ist wirbelfrei und mit der vorherigen Formel gilt dann

∇∧E = 0 und ∇ · E = −Φ(r) = 4π∑

i

qiδ(r − ri). (2.16)



Damit ist die Spannung zwischen zwei Orten r1 und r2,

V ≡∫

C

E · dr = Φ(r1)− Φ(r2), (2.17)

unabhängig von dem die Orte verbindenden Weg C und wird zu einer Potentialdifferenz.Die zu leistende Arbeit bei der Bewegung einer Probeladung

A = −q∫

C

E · dr = q (Φ(r2)− Φ(r1)) (2.18)

hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bewegung ab. Bei der Bewegung einer Probe-ladung längs einer geschlossenen Kurve verschwindet die Arbeit. Entsprechend verschwin-det die elektrische Ringspannung, auch elektromotorische Kraft oder EMK genannt,

0 =

∮

E · dr . (2.19)

Bewegt sich eine Ladung allein unter der Kraftwirkung des Feldes, gilt also für den Pro-bekörper mit der Masse m die Bewegungsgleichung9

mdv

dt= qE , (2.20)

so wird die dem Feld entnommene Arbeit wegen des Energiesatzes gleich der Zunahmeder kinetischen Energie des Körpers:

mv 22

2− mv 2

1

2= q (Φ(r1)− Φ(r2)) . (2.21)

Hier bezeichnen v1 und v2 die Anfangs- und Endgeschwindigkeit des Probekörpers. Des-halb gibt man die kinetische Energie, die ein geladenes und anfangs ruhendes Teilchenbeim Durchlaufen einer bestimmten Strecke erhält, meist unmittelbar durch das Produktaus Ladung und durchlaufener Spannung an. Ein Proton hat die kinetische Energie von1 KeV, wenn die Spannungdifferenz zwischen Anfangs- und Endort 1000 Volt beträgt.

Die Feldlinien schneiden die Äquipotentialflächen, auf welchen das elektrostatische Po-tential Φ konstant ist, orthogonal. Um dies zu beweisen, betrachten wir eine Kurve r(s)

9Bezüglich der Verhältnisse bei hohen Geschwindigkeiten verweise ich auf das Kapitel über die relati-vistische Mechanik.



in einer solchen Fläche. Dann ist Φ(r(s)) konstant und entsprechend gilt

d

dsΦ(r(s)) = ∇Φ(r(s)) · r(s) = −E (r(s)) · r (s) = 0.

Also ist das elektrische Feld orthogonal zu allen Tangentialvektoren an die Fläche, d.h.orthogonal zur Äquipotentialfläche. Zur Bewegung einer Probeladung auf einer festen

Φ = c2

Φ = c1

Feldlinie

Äquipotentialfläche

E E E

E E E

Äquipotentialfläche

Abbildung 2.5: Die Flußlinien schneiden die Äquipotentialflächen orthogonal.

Äquipotentialfläche braucht man keine Arbeit zu verrichten.Wir benutzen nun die Gaußsche Integralformel, um den Fluß des elektrischen Feldes

durch die Oberfläche ∂V eines beliebig gewählten Raumgebiets V mit der in V enthaltenenLadung in Verbindung zu bringen. Sei also n das nach außen gerichtete Einheitsfeldorthogonal zu ∂V und df = ndf das gerichtete Oberflächenelement,

E · df = E · n df = Endf, En = E · n .

Dann ist nach dem Gaußschen Satz∮

∂V

E · df =

∫

V

∇ · E d3r = 4π∑

i

qi

∫

V

δ(r − ri) d3r.

Nach Definition der Dirac’schen Delta-Distribution ist das letzte Integral gleich 1 wenndie Ladung qi in V liegt und es verschwindet, wenn sie außerhalb liegt. Deshalbs erhalten



df

nE

Ennd=n df

∂V

V

b

Abbildung 2.6: Der Fluß des elektrischen Feldes durch ∂V mißt die Ladung in V .

wir∮

∂V

E · df = 4π∑

i:ri∈V

qi = 4π q(V ), (2.22)

wobei q(V ) die gesamte in V enthaltene elektrische Ladung bezeichnet. Der gesamte durch∂V strömende Fluß der elektrischen Feldstärke, oft als elektrischer Kraftfluß bezeichnet,ist demnach proportional zur Ladung in V .

Wie sieht nun das elektrische Feld einer beliebigen Ladungsdichte ρ(r) aus? Die elek-trische Ladungsdichte ist so definiert, daß für jedes Raumgebiet V

q(V ) =

∫

V

ρ(r) d3r (2.23)

die in V enthaltene Ladung ist. Wir zerlegen V in kleine Teilgebiete,

V = V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ VN , Vi ∩ Vj = ∅ für i 6= j,

und schreiben die Ladung q(V ) als Summe der Ladungen in den Teilgebieten

q(V ) =∑

i

q(Vi) =∑

i

∫

Vi

ρ(r)d3r.

Wir wählen die Volumen der Teilgebiete Vi so klein, daß die in ihnen enthaltenen Ladungenq(Vi) als Punktladungen betrachtet werden können. Dies setzt voraus, daß der Ort r , wodas elektrische Feld gemessen wird, weit weg von Vi ist. Etwas genauer: Ist ri ∈ Vi und di



der „Durchmesser“ von Vi, dann muß |r − ri| ≫ di gelten.Nach dem Superpositionsprinzip ist das elektrische Feld aller „Punktladungen“ q(Vi)

gleich der Summe der elektrischen Felder der einzelnen „Punktladungen“,

E = −∇Φ, Φ(r) ∼N∑

i=1

q(Vi)

|r − ri|=∑

i

∫

Vi

ρ(r ′)

|r − ri|d3r′ für di ≪ |r − ri|.

Nun machen wir den Grenzübergang |Vi| → 0, wobei die q(Vi) in der Tat zu Punktla-dungen werden und erinnern uns daran, daß ri in Vi liegt. Nach dem Mittelwertsatz derIntegralrechnung konvergiert die Riemannsche Summe gegen das entsprechende Integralund wir erhalten

Φ(r) =

∫

V

ρ(r ′)

|r − r ′| d3r′. (2.24)

Die obige Bedingung di ≪ |r −ri| bedeutet nun, daß r 6= r ′ gelten muß. Wir wollen nocheinsehen, daß wir für stetige Ladungsdichten diese Einschränkung fallenlassen können.Dazu bestimmen wir den Beitrag der Ladungen in der Umgebung des Ortes r zum Integral(2.24). Wir dürfen r = 0 annehmen und als Umgebung Vǫ eine Kugel mit Radius ǫ umr = 0 wählen. Für stetige ρ können wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwendenund finden

∫

Vǫ

ρ(r ′)

r′d3r′ = ρ(r )

∫

Vǫ

1

r′d3r′ = 4πρ(r)

∫ ǫ

0

dr′r′ = 2πρ(r)ǫ2,

wobei r ∈ Vǫ ist und r′ die Länge von r ′ bezeichnet. Verkleinern wir die Umgebung,d.h lassen wir ǫ → 0 streben, dann erhalten wir keinen Beitrag dieser Umgebung zumIntegral für Φ(0). Also dürfen wir die Einschränkung r /∈ V im Integral (2.24) für Φ oderim entsprechenden Integral für E aufgeben,

E (r) = −∇Φ(r) =

∫

d3r′ ρ(r ′)r − r ′

|r − r ′|3 . (2.25)

Die Ladungsdichte von N Punktladungen an den Orten ri ist offensichtlich

ρ(r) =N∑

i=1

qiδ(r − ri). (2.26)


2. Einführung in die Elektrostatik 2.3. Feldgleichungen der Elektrostatik 20

Für diese unstetige Verteilung liefert das Integral (2.24)

Φ(r) =∑

i

∫

V

d3r′ qiδ(r ′ − ri)

|r − r ′| =∑

i

qi|r − ri|

, (2.27)

das korrekte elektrische Coulomb-Potential für Punktladungen. Deshalb sind (2.24,2.25)die Verallgemeinerung des Coulombgesetzes für Punktladungen auf beliebige Ladungsver-teilungen. Für beliebige Ladungsverteilungen ist das elektrische Feld ein Gradientenfeldund damit verschwinden alle elektrischen Ringspannungen,

∮

E · dr = 0 für alle geschlossenen Wege. (2.28)

Dies bedeutet insbesondere, daß es in der Elektrostatik keine geschlossenen Feldliniengibt. Gäbe es nämlich nur eine geschlossene Feldlinie, so wäre bei der Führung einerTestladung entlang dieser Linie die Arbeit ungleich Null.

2.3 Feldgleichungen der Elektrostatik

Das elektrische Feld E ist durch sein Wirbelfeld ∇ ∧ E und sein Quellenfeld ∇ · E bisauf eine Konstante eindeutig bestimmt. Für Punktladungen ist es wirbelfrei mit Quellenan den Posititionen der Punktladungen. Wegen des Superpositionsprinzipes gelten dieseAussagen auch für beliebige Ladungsverteilungen ρ(r). Davon wollen wir uns aber nochdirekt überzeugen. Für beliebige Ladungsdichten ist das elektrische Feld durch das Integral(2.25) eindeutig bestimmt und wir wählen diese Integraldarstellung als Ausgangspunkt.Wegen E = −∇Φ ist E wirbelfrei,

∇∧ E = 0. (2.29)

Für das Quellenfeld finden wir

∇ · E (r) = −Φ(r) = −∫

d3r′ ρ(r ′) 1

|r − r ′|

= 4π

∫

d3r′ρ(r ′)δ(r − r ′) = 4πρ(r).

Damit finden wir als zweite Bestimmungsgleichung für E die partielle Differentialgleichung

∇ · E = 4πρ. (2.30)



Die Gleichungen (2.29,2.30) sind die wichtigen Feldgleichungen der Elektrostatik. Die ers-te Gleichung (2.29) heißt auch homogene Gleichung, die zweite Gleichung (2.30) wegendes Quellterms auf der rechten Seite inhomogene Gleichung. Diese Feldgleichungen sindpartielle Differentialgleichungen, die das Feld lokal bestimmen10. Das Grundproblem derElektrostatik ist es, aus einer gegebenen Ladungsverteilung ρ(r) das Feld E (r) zu be-rechnen.

In einigen Darstellungen der Elektrostatik werden diese beiden Grundgleichungen inden Vordergrund gestellt. Aus ihnen kann man natürlich wieder die allgemeine Lösungkonstruieren:Jedes wirbelfreie Vektorfeld ist ein Gradientenfeld. Deshalb gibt es ein Potential Φ, so daßE = −∇Φ ist. Damit wäre die homogene Feldgleichung bereits gelöst. Setzen wir dieseLösung der homogenen Gleichung in die inhomogene Gleichung (2.30) ein, so erhalten wirdie wichtige Poisson-Gleichung

−Φ(r) = 4πρ(r). (2.31)

Um diese inhomogene elliptische partielle Differentialgleichung zu lösen, beschafft mansich zuerst eine Greenfunktion von −, d.h. eine Funktion G(r , r ′), welche

−G(r , r ′) = 4πδ(r − r ′) (2.32)

erfüllt. Eine Greenfunktion ist also eine Lösung von (2.31) für eine Punktquelle der Ladung1. Vermittels der Greenfunktion kann man nun eine Lösung von (2.31) konstruieren,

Φ(r) =

∫

d3r′G(r , r ′)ρ(r ′). (2.33)

Dies ist leicht zu beweisen,

−Φ(r) = −∫

d3r′G(r , r ′)ρ(r ′) = 4π

∫

d3r′δ(r − r ′)ρ(r ′) = 4πρ(r).

Von unseren obigen Resultaten über das Potential wissen wir natürlich bereits, daß

G(r , r ′) =1

|r − r ′| (2.34)

das Potential für eine Punktladung, und damit eine Greenfunktion ist. Deshalb ist eine

10für eine eindeutige Festlegung der Lösung benötigt man noch die Randbedingungen, siehe unten.



Lösung von (2.31)

Φ(r) =

∫

d3r′ρ(r ′)

|r − r ′| . (2.35)

Dies ist allerdings noch nicht die allgemeine Lösung von (2.31). Um eine solche zu finden,müssen wir eine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung Φh = 0 zu Φ addieren.Damit lautet die allgemeine Lösung von (2.31)

Φ(r) =

∫

d3r′ρ(r ′)

|r − r ′| + Φh(r), Φh = 0. (2.36)

Die harmonische Funktion Φh wird durch die physikalischen Randbedingungen eindeutigbestimmt.Wir fassen zusammen: Die differentiellen Grundgleichungen der Elektrostatik lauten

∇ ·E = 4πρ und ∇∧ E = 0. (2.37)

Diese sind äquivalent zu den Integralformen

∮

∂V

E df = 4πq(V ) und∮

Edr = 0. (2.38)

Die homogene Gleichung in (2.37) wird durch Einführung des Potentials Φ gelöst. Dieverbleibende inhomogene Gleichung für Φ ist die Poisson-Gleichung mit der Lösung (2.36).

2.3.1 Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung

Wir wollen hier das Potential und das elektrische Feld einer kugelsymmetrischen Ladungs-verteilung

ρ(r) = ρ(r) =⇒ q = 4π

∫ ∞

0

ρ(r)r2dr, r = |r |, (2.39)

bestimmen. Aus Symmetriegründen weist das elektrische Feld in Normalenrichtung E =

Er(r)er, r = rer. Die erste Gleichung in (2.38) vereinfacht sich zu

4πr2Er(r) = 4π

∫ r

0

ρ(r′)r′2dr′dΩ = (4π)2

∫ r

0

ρ(r′)r′2dr′,



so daß man für das elektrische Feld die Bestimmungsgleichung

r2Er(r) = 4π

∫ r

0

ρ(r′)r′2dr′ (2.40)

erhält. Das Potential Φ hängt aus Symmetriegründen ebenfalls nur vom Radius ab und

Er(r) = −dΦ(r)

dr. (2.41)

Insbesondere eine homogen geladene Kugel mit Ladungdichte

ρ(r) =

ρ0 für r = |r | < R

0 für r > R

trägt die Ladung q = ρ0 4πR3/3 und hat ein Feld

Er(r) =

4πrρ0/3 = qr/R3 r < R

q/r2 r > R.(2.42)

Um das Potential zu finden, benutzen wir (2.41). Die Lösung außerhalb der Kugel ist

Φ(r > R) =q

r, (2.43)

wobei die Integrationskonstante wegen unserer Normierungsbedingung Φ(∞) = 0 wegfällt.Außerhalb der Kugel ändert sich das Feld nicht, wenn wir bei gleichbleibender Ladung dieKugel verkleinern. Das Feld ist identisch zum Feld einer Punktladung im Kugelzentrum.Innerhalb der Kugel ist

Φ(r < R) = −2π

3ρ0 r

2 + c = −q2

r2

R3+ c. (2.44)

Da Er(r) stetig ist, muss Φ(r) differenzierbar sein. Dies legt die Integrationskonstante cfest und wir erhalten

Φ(r < R) =q

R

(

3

2− r2

2R2

)

. (2.45)

Die Ladungsverteilung, das elektrische Feld und Potential einer homogen geladenen Kugelsind in der Abbildung 2.7 gezeigt.

Ist dagegen die Ladung gleichmäßig auf einer Kugelschale vom Radius R verteilt, wiees bei idealen Leitern der Fall ist, dann findet man mit der ersten Gleichung in (2.38) ein


2. Einführung in die Elektrostatik 2.4. Energie des elektrostatischen Feldes 24

R

ρ(r)

r

Er

∼ r−2

r

Φ

∼ r−1

r

Abbildung 2.7: Ladungsverteilung ρ(r), Feldstärke Er(r) und Potential Φ(r) einer homo-gen geladenen Kugel.

verschwindendes Innenfeld,

Er(r) =

0 r < R

q/r2 r > R.(2.46)

Mit Messungen ausserhalb der Kugel kann man nicht entscheiden, ob die Ladungen in derKugel homogen verteilt sind oder gleichmäßig auf der Kugeloberfläche sitzen.

2.4 Energie des elektrostatischen Feldes

Wir wollen zuerst die Frage beantworten, was die Energie eines geladenen Testteilchens ineinem gegebenen elektrischen Feld ist. Wir nehmen an, das elektrische Feld sei lokalisiert.Dann dürfen wir das elektrostatische Potential im Unendlichen auf Null normieren, Φ(r →∞) = 0. Wir bringen eine Testladung aus dem Unendlichen an den Ort r . Dabei müssenwir die Arbeit

A = −∫

C

F · dr = qΦext(r) (2.47)

verrichten. Hier ist C irgendein Weg, der aus dem Unendlichen nach r führt. Nun bewegenwir N Testladungen11 aus dem Unendliche an die Orte r1, . . . , rN . Die verrichtete Arbeit

11Die Ladungen der Teilchen seien so klein, daß sie weder das gegebene elektrische Feld ändern nochgegenseitig wechselwirken.



ist

A =N∑

i=1

qiΦext(ri) =∑

i

q(Vi)Φext(ri) =∑

i

∫

Vi

d3r ρ(r)Φext(ri).

Hier ist Vi ein kleines Volumen, das genau die Ladung am Ort ri enthält. Da ri in Vi liegt,erhalten wir im Grenzfall einer Ladungsverteilung für die Energie diesr Ladungsverteilungin einem äußeren elektrischen Feld

U = A =

∫

d3r ρ(r)Φext(r). (2.48)

Für eine Punktladung ist dieses Resultat identisch mit (2.47).Nun wollen wir uns von der Testteilchenapproximation lösen und bestimmen die elektro-statische Energie einer Ladungsverteilung in ihrem eigenen Feld. Dazu bringen wir zuerst

b

b

b

b

q2

b

q1

q1, q2 Testteilchen

b

q3

bq4

b

q5

b

q2

b

q1

q1, q2 wechselwirken

Abbildung 2.8: Energie von Testteilchen im äußeren Feld und Gesamtenergie von gelade-nen Teilchen.

die Ladung q2 aus dem Unendlichen in die Nähe von q1, danach q3 aus dem Unendlichenin die Nähe von q1 und q2 usf. Es sei U(r1, . . . , rN) die Energie von N Punktladungen diean den Orten r1, . . . , rN ruhen. Nun transportieren wir eine weitere Punktladung qN+1

aus dem Unendlichen in die Nähe der vorhandenen N Punktladungen. Die Energie desaus N + 1 Teilchen bestehenden Systems ist dann

U(r1, . . . , rN+1) = U(r1, . . . , rN ) + qN+1

N∑

i=1

qi|ri − rN+1|

.



Mit U1 = 0 können wir diese Induktionsformel lösen und finden

U =∑

i<j

qiqj|ri − rj |

=1

2

∑

i6=j

qiqj|ri − rj |

. (2.49)

Um die Energie einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ zu finden, teilen wir das GebietV , welches die Ladungen enthält, in kleine Teilgebiete Vi auf. Wie früher sei q(Vi) die inVi enthaltene Ladung. Wir dürfen q(Vi) als Punktladung behandeln und obiges Resultatanwenden. Dies führt auf

U ≈ 1

2

∑

i6=j

q(Vi)q(Vj)

|ri − rj |=

1

2

∑

i6=j

∫

Vid3rρ(r)

∫

Vjd3r′ρ(r ′)

|ri − rj|

≈ 1

2

∫

d3r

∫

d3r′ρ(r)ρ(r ′)

|r − r ′| . (2.50)

Lassen wir die Volumen der Teilgebiete gegen Null streben, dann wird das Resultat exakt,solange die Ladungsverteilungen stetig sind.

Mit (2.35) wird (2.50) zu

U =1

2

∫

d3r Φ(r)ρ(r). (2.51)

Im Gegensatz zu (2.48) ist hier Φ das durch ρ erzeugte Potential und nicht ein externesPotential; dieser Unterschied führt zu dem relativen Faktor 1/2 verglichen mit (2.48).

Zur weiteren Umformung der Energie benutzen wir die Poisson GleichungΦ = −4πρ:

U = − 1

8π

∫

d3r ΦΦ =1

8π

∫

d3r ∇Φ · ∇Φ =1

8π

∫

d3rE · E . (2.52)

Hier haben wir die bei der partiellen Integration auftretenden Randterme vernachlässigt.Dies ist für lokalisierte Ladungsverteilungen erlaubt. Die Form (2.52) legt nahe,

u(r) =1

8π|E (r)|2 (2.53)

als Energiedichte des elektrischen Feldes zu interpretieren.

2.4.1 Probleme mit der Selbstenergie

Für unstetige Verteilungen macht (2.50) im Allgemeinen keinen Sinn. Zum Beispiel folgtfür Punktladungen aus (2.50) die Formel (2.49), aber ohne die Einschränkung i 6= j in der



Summe. Damit ist die Energie einer Punktladung in ihrem eigenen Feld schon unendlich.Um eine Punktladung zu erzeugen, braucht es in der klassischen Elektrodynamik unend-lich viel Energie. Dieses Problem der unendlichen Selbstenergie taucht im modifiziertenGewand in der Quantentheorie des elektromagnetischen Feldes wieder auf.

Das Problem kann anhand der homogen geladenen Kugel studiert werden. Die Ener-giedichte des Feldes (2.42) ist

u(r) =

q2r2/8πR6 r < R

q2/8πr4 r > R

und entsprechend ist die Feldenergie

U = 4π

∫

u(r)r2dr =3

5

q2

R. (2.54)

Für eine punktförmige Kugel R→ 0 divergiert die Selbstenergie der geladenen Kugel.Für eine homogen geladene Kugelschale ist die Feldenergie

U =4π

8π

∫ ∞

R

q2

r4r2dr =

q2

2R. (2.55)

Wie für die homogen geladene Kugel divergiert die Feldenergie für R→ 0. Sie stimmt mitder Ruheenergie mec

2 des Elektrons überein, falls

e2

2R= mec

2 bzw. R =e2

2mec2= 1.4 · 10−13cm (2.56)

ist. Diesen Radius bezeichnet man als klassischen Elektronenradius.


Kapitel 3

Randwertprobleme der Elektrostatik

Ein elektrisches Feld wird beim Hereinbringen eines Körpers verändert, und zwar deshalb,weil sich durch Einwirkung des Feldes in bzw. auf dem Körper Ladungsverteilungen bilden(Influenz), die ihrerseits ein Feld erzeugen, welches sich dem vorher schon vorhandenenE -Feld überlagert.

3.1 Ideale Leiter im elektrischen Feld

Metalle sind dadurch ausgezeichnet, daß in ihnen stets eine sehr große Anzahl von Elek-tronen nahezu ungehindert durch das gesamte Metall wandern können. Diese sogenanntenLeitungselektronen verursachen die elektrische Leitfähigkeit. Wenn im Metall anfangs einelektrisches Feld vorhanden ist, dann werden die Leitungselektronen von diesem beschleu-nigt. Ihre Verteilung wird sich unter dem Einfluß von E so lange ändern, bis E selbstNull geworden ist. Die beweglichen Ladungen ordnen sich nach kurzer Zeit so an, daß dasvon ihnen erzeugte Feld das von außen ins Metall eindringende Feld kompensiert. Deshalbist im statischen Fall das elektrische Feld in einem idealen Leiter stets Null und wegenE = −∇Φ das Potential konstant.

Wir denken an die einfachsten elektrostatischen Versuche: ein metallischer Leiter be-liebiger Gestalt, ursprünglich isoliert aufgestellt, werde

1. an eine bekannte Spannung V (gegen Erde) gelegt oder

2. mit einer bekannten Ladung q geladen.

Gesucht wird das Feld außerhalb des idealen Leiters. Wir beschreiben es durch das zurFeldstärke gehörende Potential Φ, das im Unendlichen auf Null normiert sei. Außerhalbdes Leiters giltΦ = 0. Auf der Oberfläche und im Innern ist E = 0 oder Φ = V = const.Für den Sonderfall einer Kugel vom Radius R hat die hier in Betracht kommende Lösung

28

3. Randwertprobleme der Elektrostatik 3.1. Ideale Leiter im elektrischen Feld 29

der Differentialgleichung Φ = 0 die Form

Φ =RV

rund E =

RV

r2er für r > R. (3.1)

Sei S eine die geladene Kugel umschließende Sphäre. Dann ist

q =1

4π

∮

S

E · df = RV,

welches

V =q

Rund Er =

q

r2, r > R (3.2)

für eine ideal leitende Kugel der Ladung q liefert. Das äußere Feld ist identisch zum Feldeiner Punktladung im Zentrum der Kugel mit derselben Ladung. Wegen

R

Φ

r

q/R

∼ r−1

Er

rR

∼ r−2

q/R2

Abbildung 3.1: Das Potential einer ideal leitenden geladenen Kugel.

4πρ(r) = ∇ · E =1

r2∂r

(

r2Er

)

=1

r2∂r (qθ(r −R)) =

q

R2δ(r −R) (3.3)

sitzt die gesamte Ladung eines idealen Leiters auf der Leiteroberfläche. Deshalb führt mandie Flächenladungsdichte ein: σ∆f ist die im Oberflächenelement ∆f enthaltene Ladung.Die Kugeloberfläche hat den Flächeninhalt 4πR2 und entsprechend ist σ = q/4πR2. Be-achte, daß die Normalenkomponente Er des elektrischen Feldes auf der Kugeloberflächeproportional zur Flächenladungsdichte ist, Er = 4πσ. Dies ist auch für beliebige Leitero-berflächen der Fall, wie wir gleich sehen werden.



3.1.1 Randbedingungen für Metalle

In einem Metall verschwindet das elektrische Feld und Φ ist konstant. Deshalb ist dieLeiteroberfläche eine Äquipotentialfläche die von den elektrischen Feldlinienn senkrechtgeschnitten wird. Dies kann man auch mit Hilfe der homogenen Gleichung (2.37) direktbeweisen: Dazu bewege man eine Einheitsladung entlang eines Weges wie in Abb. 3.2. Da

++

++

+− −− − −

Eaussen

Influenzladungen

E = 0

im Leiter

df = n df

ε

Deckfläche F

Volumen V

εt

Länge l

Gaußsche Dose

Abbildung 3.2: Ein Vakuumbereich durch Metall begrenzt.

die Ringspannung verschwindet und im Leiter E = 0 ist, ergibt sich

0 =

∮

E · dr ∼ lt · Eaussen,

wobei wir die Wegstücke senkrecht zur Oberfläche beliebig kurz wählten damit sie kei-nen Beitrag zur Ringspannung geben. Da dies für beliebige Wege gilt, verschwindet dietangentiale Komponente des Außenfeldes,

t · Eaussen = 0 auf der Leiteroberfläche, (3.4)

d.h. das E -Feld ist senkrecht zur LeiteroberflächeBei der leitenden Kugel sprang die Normalkomponente des elektrischen Feldes beim Über-gang vom Leiter ins Vakuum. Der Sprung kann mit der auf der Leiteroberfläche induzier-ten Ladung in Verbindung gebracht werden. Zum Beweis führt man eine „Gaußsche Dose“ein, deren Deckfläche infinitesimal von der Grenzfläche entfernt im Vakuum und derenGrundfläche ebenfalls infinitesimal von der Grenzfläche im Metall verläuft, siehe Abb.3.2. Die elektrische Ladung in der Dose ist gleich der Flächenladungsdichte σ(r) mul-tipliziert mit der Dosendeckfläche. Mit der inhomogenen Grundgleichung (2.38) finden



wir∮

∂V

E · df =

∫

F

Eaussen · n df = 4π

∫

F

σdf.

Es folgt unmittelbar, daß

n · Eaussen = 4πσ(r), r ∈ Metalloberfläche. (3.5)

Die Randbedingungen (3.4,3.5) sind äquivalent zu

Φ = const. und n · ∇Φ =∂Φ

∂n= −4πσ(r) auf der Leiteroberfläche. (3.6)

In den Anwendungen1 sind meistens die Potentialwerte auf den einzelnen Metallkörpernbekannt. Dann stellt sich das folgende mathematische Problem:

Gegeben seien N Metallkörper, welche die durchschnittsfremden Gebiete Vi ausfüllenund Oberflächen ∂Vi haben, siehe Abb. 3.3. Auf den Oberflächen aller Leiter ist das

n∂V1

Φ = Φ1

∂V3Φ = Φ3

∂V2Φ = Φ2

ρ

Flusslinie

Abbildung 3.3: Das Dirichletproblem in Anwesenheit von idealen Leitern und Ladungen.

Potential konstant und damit ergibt sich ein Potentialproblem mit Randbedingungen, auchRandwertproblem genannt:

Φ(r) = −4πρ(r) außerhalb der Leiter

Φ(r)|∂Vi= Φi = const. auf den Leiteroberflächen. (3.7)

1Man denke nur an Kondensatoren.


3. Randwertprobleme der Elektrostatik 3.2. Die Methode der Spiegelladungen 32

Die Bestimmung der Lösung einer (elliptischen) Differentialgleichung bei vorgegebenenWerten der Lösungen auf Rändern heißt Dirichlet-Problem. Wir werden zeigen, daß dasvorliegende Dirichlet-Problem eine eindeutige Lösung hat. Aus dem eindeutigen Φ kannman dann mit der Formel (3.6) die Oberflächenladungen berechnen.

3.1.2 Eindeutigkeit der Lösung

Es seien Φ1 und Φ2 zwei Lösungen des Randwertproblems (3.7) und V das Raumgebietaußerhalb der Leiter. Für die Differenz Ψ = Φ1 − Φ2 folgt dann

Ψ = 0 in V und Ψ|∂V = 0. (3.8)

Im Integral∫

V

d3r (ΨΨ +∇Ψ · ∇Ψ) =

∫

V

d3r∇ · (Ψ∇Ψ) = −∑

i

∮

∂Vi

df Ψ∂Ψ

∂n(3.9)

verschwindet die rechte Seite, da Ψ auf allen Leiteroberflächen ∂Vi Null ist. Das negativeVorzeichen in der letzten Gleichung berücksichtigt, daß die Normalenvektoren n in dasGebiet V hineinzeigen. Wegen Ψ = 0 im Gebiet V außerhalb der Leiter, ist

∫

V

d3r∇Ψ∇Ψ = 0.

Also verschwindet ∇Ψ in V , das heißt Ψ ist konstant. Die Konstante muß Null sein wegender Randbedingungen für Ψ. Damit wäre die Eindeutigkeit bewiesen.

Sind anstelle der Potentialwerte die Ladungsdichten auf den Leiteroberflächen vorge-geben, dann muss man das folgende Randwertproblem lösen

Φ(r) = −4πρ(r) außerhalb der Leiter∂

∂nΦ(r)|∂Vi

= −4πσi(r) auf den Leiteroberflächen. (3.10)

Die σi sind die auf den Rändern der Leiter sitzenden Flächenladungsdichten. Ähnlich wiedas Dirichlet-Problem hat dieses sogenannte Neumann-Problem eine eindeutige Lösung:Für gegebene ρ und σi ist das Potential bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt.

3.2 Die Methode der Spiegelladungen

Mit dieser Methode kann man für symmetrische Anordnungen das Potential von Punkt-ladungen in Gegenwart von idealen Leitern oft auf einfache Art zu bestimmen.



3.2.1 Punktladung in der Nähe einer ebenen Metallplatte

Zur Illustration betrachten wir eine Punktladung in der Nähe einer geerdeten Metallplatte,siehe Abb. 3.4. Die Metallplatte teile den Raum in zwei Hälften, x > 0 und x < 0. Wir

Metallplatte

r0 b Ladung

q

b

Bild-ladung

−q

Abbildung 3.4: Bei der Bestimmung des Potentials einer Punktladung und geerdeten Me-tallplatte kann die Platte durch eine geeignet gewählte Spiegelladung (auch Bild- oderScheinladung genannt) ersetzt werden.

setzen eine punktförmig gedachte Ladung an die Stelle r0 = r0ex, d.h. rechts von derPlatte im Abstand r0, und suchen das Potential im rechten Halbraum. Gesucht ist alsoeine Lösung von

Φ = −4πqδ(r − r0) für x > 0, Φ(0, y, z) = 0. (3.11)

Wir wissen bereits, daß die Lösung im rechten Halbraum die Form

Φ(r) =q

|r − r0|+ Φh(r), Φh = 0, (3.12)

haben muß. Wir suchen also eine in diesem Gebiet harmonische Funktion Φh, so daß Φ beix = 0 verschwindet. Um diese zu finden, nehmen wir die Platte weg und setzen dafür eineSpiegelladung an den an der Plattenebene gespiegelten Ort −r0. Diese soll die Ladung−q tragen. Aus Symmetriegründen muß das Potential von Ladung und Spiegelladung beix = 0 verschwinden, genauso wie das Potential von Ladung und Platte. Das Feld derSpiegelladung hat seine Quelle im linken Halbraum und deshalb erfüllt das Potential vonLadung und Spiegelladung,

Φ(r) =q

|r − r0|− q

|r + r0|, (3.13)



im rechten Halbraum die Potentialgleichung (3.11) und verschwindet bei x = 0. Nachdem Eindeutigkeitssatz ist Φ dann auch das Potential des ursprünglichen Problems füreine Ladung q bei r0 = r0ex und eine Metallwand bei x = 0. Die Feldstärke, die dieOberflächenladung im rechten Halbraum und somit auch am Ort der Ladung q erzeugt,ist identisch mit derjenigen, die von der Spiegelladung −q hervorgerufen wird. Auf q wirktsomit die auf die Leiteroberfläche hin gerichtete Kraft

F =q2

4r20

. (3.14)

Die Erscheinung, daß ein elektrisch geladener Körper auf der Oberfläche eines benachbar-ten, ursprünglich ungeladenen Leiters Ladungen entgegengesetzten Vorzeichens hervor-ruft, bezeichnet man als elektrische Influenz.

Unsere Betrachtung versagt bei kleinen Entfernungen r0 der Probeladung von derGrenzfläche: die Kraft divergiert für r0 → 0. Der Grund ist in der atomistischen Strukturder Materie und der Ladungsträger zu suchen. Einem der Oberfläche näher als 10− 100

Ångstrøm kommenden Teilchen erscheint diese nicht mehr glatt. Das herannahende gela-dene Teilchen verschiebt die freien Ladungsträger des Leiters. Dieser Verschiebungseffekterstreckt sich bei starker Annäherung des Teilchens nicht nur auf eine dünne Oberflächen-schicht, sondern auch in die Tiefe des Metalls. Die Spiegelkraft bleibt selbst bei einemauftreffenden Teilchen endlich.

3.2.2 Punktladung in der Nähe einer leitenden Kugel

Als weitere Anwendung der Spiegelladungsmethode betrachten wir eine Punktladung q

am Ort r0 außerhalb einer um den Koordinatenursprung zentrierten leitenden Kugel mitRadius R. Wir suchen das Potential Φ mit Φ(r = R) = 0. Falls eine einzige Spiegella-dung q′ genügt, dann muß deren Position r1 aus Symmetriegründen auf dem Strahl vomUrsprung zur Ladung q liegen. Wir setzen also

r = rer, r0 = r0n und r1 = r1n .

Die Anordnung von Ladung und Spiegelladung ist in der Abbildung 3.5 gezeigt. Nunmüssen wir q′ und r1 so wählen, daß das Potential

Φ(r) =q

|rer − r0n |+

q′

|rer − r1n |(3.15)

auf der Kugeloberfläche verschwindet. Die Bestimmungsgleichung lautet



R

b

r0

Punktladung q

leitendeKugel

b

r1

Spiegel-ladung q′

r

Abbildung 3.5: Bei der Bestimmung des Potentials einer Punktladung und geerdeten Me-tallkugel kann die Kugel durch eine Spiegelladung am Ort r1 ersetzt werden.

0 =q

R|er − r0n/R|+

q′

r1|n − Rer/r1|,

und ist erfüllt für alle Werte von er · n für

q

R= − q

′

r1und

r0R

=R

r1.

Damit ist die Spiegelladung und ihr Abstand vom Ursprung gleich

q′ = −Rr0q und r1 =

R2

r0. (3.16)

Das elektrostatische Potential hat die Form

Φ(r) =q

|r − r0|− ξq

|r − ξ2r0|, ξ =

R

r0< 1. (3.17)

Bewegen wir die Ladung ins Unendliche, r0 →∞, dann wandert die abnehmende Spiegel-ladung ins Zentrum der Kugel. Bewegen wir sie dagegen nahe an die Kugel heran, dannnimmt die Spiegelladung zu und wandert vom Zentrum weg in Richtung der Ladung. Ist



q nahe der Kugel, dann ist die Spiegelladung −q und sitzt an dem an der Kugeloberflächegespiegelten Ort. Die durch die Ladung auf der Metalloberfläche induzierte Flächenla-dungsdichte ist

σ = − 1

4π

∂Φ

∂r|r=R = − q

4πR2

ξ (1− ξ2)

(1 + ξ2 − 2ξ cos θ0)3/2, ξ =

R

r0, (3.18)

wobei θ0 der Winkel zwischen r und r0 ist. In Abb. 3.6 ist die Ladungsdichte in Einheitenvon −q/4πR2 geplottet. Die Influenzladungen auf der Kugeloberfläche sind in Richtung

θ0

−4πR2σ/q

π0

5/9

3

r0 = 2R

r0 = 4R

Abbildung 3.6: Oberflächenladungsdichte σ einer geerdeten Metallkugel induziert durcheine Punktladung q im Abstand r0 vom Zentrum der Kugel. θ0 ist der Winkelabstandzwischen Punktladung und Ort auf der Kugeloberfläche.

der Punktladung konzentriert. Je näher die Ladung der Kugel kommt, desto akzentuierterist diese Konzentration.Die Kraft auf die Punktladung ist gleich der Kraft zwischen Ladung und Spiegelladung.Der Abstand der Ladungen ist r0 − r1 = r0(1−R2/r2

0). Gemäß Coulombs Kraftgesetz istdiese anziehende Kraft

|F | = − qq′

|r0 − r1|2=

q2

R2

ξ3

(1− ξ2)2, ξ =

R

r0. (3.19)

Weit weg von der Kugel ist die Kraft invers proportional zu r30 und nahe der Kugel invers

proportional zum quadrierten Abstand von der Kugeloberfläche.



3.2.3 Leitende Kugel im homogenen Feld

Wir betrachten nun eine leitende Kugel im homogenen Feld, dessen asymtotische Kraftlini-en parallel zur x-Achse verlaufen. In Abwesenheit der Kugel sind Potential und homogenesFeld gleich

Φ0(r) = −E0x =⇒ E0 = E0ex. (3.20)

Wir denken es uns entstanden durch die Superposition zweier Felder, dem einer fernenLadung −q am Ort r0 = r0ex, r0 → ∞, und dem einer Ladung q an der Stelle −r0. Für

bq −q

b

r

r0−r0

Bildladungen

Metall-oberfläche

Abbildung 3.7: Zwei ins Unendliche rückende Ladungen ±q und ihre Spiegelladungen inBezug auf eine leitende Kugel vom Radius R erzeugen ein homogenes elektrisches Feldund einen elektrischen Dipol im Mittelpunkt der Kugel.

große r0 ist das Potential der beiden Ladungen

Φ(r) =q

|r + r0|− q

|r − r0|=

q√

(x+ r0)2 + y2 + z2− q√

(x− r0)2 + y2 + z2

→ q

r0

(

1√

1 + 2x/r0− 1√

1− 2x/r0

)

−→ −2qx

r20

für r0 →∞. (3.21)

Um Übereinstimmung mit (3.20) herzustellen muss mit r0 auch q anwachsen, so daß

2q

r20

= E0 (3.22)

konstant ist. Nun berücksichtigen wir die leitende Kugel im zweiten Schritt. Auf ihrerOberfläche muss das Potential verschwinden. Wie oben ersetzen wir die leitende Kugeldurch zwei Spiegelladungen auf der Verbindungslinie zwischen den bereits vorhandenen



Ladungen bei r0 und −r0,

q′ =R

r0q =

Rr02E0 bei r1 =

R2

r0ex und − q′ bei − r1.

Die Spiegelladungen ±q′ rücken zusammen, wenn die Ladungen ∓q auseinanderrückenund bilden im Grenzfall r0 →∞ einen elektrischen Dipol mit Moment

p = 2r1q′ = R3E0. (3.23)

Das von den Spiegelladungen erzeugte Dipolfeld ist

ΦD =q′

|r − r1|− q′

|r + r1|

=Rr0E0

2

(

1√

(x− r1)2 + y2 + z2− 1√

(x+ r1)2 + y2 + z2

)

(3.24)

→ Rr0E0

2r

(

1√

1− 2xr1/r2− 1√

1 + 2xr1/r2

)

→ E0R3 x

r3=

p · rr3

.

Wir schließen, daß im homogenen Feld die Randwertaufgabe dadurch gelöst wird, daßwir im Mittelpunkt der Kugel einen virtuellen elektrischen Dipol mit endlichem Momentanbringen. Aus dem ursprünglich homogenen Feld entsteht dann das durch den Dipolgestörte inhomogene Feld mit Potential

Φ(r) = Φ0(r) +p · rr3

= E0

(

R3

r3− 1

)

x. (3.25)

Das entsprechende elektrischen Feld hat die Form

E = E0 +3(p · r)r − r2p

r5. (3.26)

Wie gefordert nimmt Φ auf der Kugeloberfläche r = R den konstanten Wert 0 an. DieInfluenzladung auf der Oberfläche ist

σ = − 1

4π

∂Φ

∂r|r=R =

3

4π

Ex

R. (3.27)

Das Oberflächenintegral dieser Ladungsdichte verschwindet und es gibt keinen Unter-schied zwischen einer geerdeten und einer ungeladenen isolierten Kugel. Die Feldliniender leitenden Kugel im ursprünglich homogenen Feld ist in Abbildung (3.8) skizziert.


3. Randwertprobleme der Elektrostatik 3.3. Die Methode der Greenschen Funktionen 39

Leiter E

Abbildung 3.8: Eine leitende Kugel im homogenen elektrischen Feld.

3.3 Die Methode der Greenschen Funktionen

Bisher haben wir das Dirichlet Randwertproblem

Φ(r) = −4πρ(r) in V und Φ(r)|∂V = 0 (3.28)

für Punktladungen untersucht und für einige Fälle gelöst. Die spezielle Lösung für eineEinheitsladung mit Ladungsdichte ρ = δ(r − r ′) heisst Greensche Funktion GD(r , r ′),

GD(r , r ′) = −4πδ(r − r ′) in V und GD(r , r ′)|∂V = 0. (3.29)

Die Greensche Funktion GD für den Halbraum (3.13) und den Außenraum einer Kugel(3.17) haben wir mit der Spiegelladungsmethode berechnet. Weitere Beispiele werdenSie in den Übungen kennenlernen. Aus der Greenschen Funktion läßt sich nun leicht dieallgemeine Lösung von (3.28) gewinnen:

Φ(r) =

∫

d3r′GD(r , r ′)ρ(r ′). (3.30)

Wie man sofort sieht, löst dieses Φ das Dirichlet Randwertproblem (3.28). Im Allgemeinenverschwindet das Potential auf den Leiteroberflächen allerdings nicht und wir haben esnicht mit einem Dirichlet-Problem zu tun. Zum Beispiel könnten anstelle der Potential-werte auf den Oberflächen die Oberflächenladungsdichten vorgegeben sein. In jedem Fallehat im interessierenden Raumbereich V die Greenfunktion die Form

G(r , r ′) =1

|r − r ′| +Gh(r , r′), Gh(r , r

′) = 0 (3.31)



mit einer harmonischen und symmetrischen Funktion Gh(r , r′). Die Freiheit bei der Wahl

dieser Funktion nutzt man aus, um die Randbedingungen zu realisieren. Dabei wird fol-gende Greensche Identität gebraucht

∮

∂V

df ′ (Φ(r ′)∇′G(r , r ′)−G(r , r ′)∇′Φ(r ′))

=

∫

V

d3r′ (Φ(r ′)′G(r , r ′)−G(r , r ′)′Φ(r ′))

= −4π

∫

V

d3r′Φ(r ′)δ(r − r ′) + 4π

∫

V

d3r′G(r , r ′)ρ(r ′),

um das Potential Φ am Orte r ∈ V durch die Ladungsverteilung innerhalb von V undseinen Werten auf dem Rand ∂V von V auszudrücken:

Φ(r) =

∫

V

d3r′G(r , r ′)ρ(r ′)− 1

4π

∮

∂V

df ′(

∂G(r , r ′)

∂n′ Φ(r ′)−G(r , r ′)∂Φ

∂n′

)

. (3.32)

Bei der Herleitung dieser Formel wurde nirgendwo angenommen, dass Φ auf ∂V konstantist. Deshalb ist sie nicht nur für die Behandlung von idealen Leitern nützlich.

3.3.1 Dirichlet-Problem

Ist das Potential auf dem Rande ∂V bekannt, dann wählt man die auf dem Rande ver-schwindende Dirichlet-Greenfunktion GD in (3.29). Dann gilt

Φ(r) =

∫

V

d3r′GD(r , r ′)ρ(r ′)− 1

4π

∮

∂V

df ′ ∂GD(r , r ′)

∂n′ Φ(r ′). (3.33)

Verschwindet das Potential auf den Leiteroberflächen, dann vereinfacht sich diese Formelauf das frühere Resultat (3.30).

Feld einer Ladungsverteilung in der Nähe einer leitenden Kugel

In (3.17) haben wir mit der Spiegelladungsmethode die Greenfunktion GD für das Au-ßengebiet einer Kugel vom Radius R bestimmt,

GD(r , r ′) =1

|r − r ′| −R/r′

|r −R2r ′/r′2| . (3.34)



Die Normalenableitung auf der Kugeloberfläche ist

∂GD

∂n′ |r′=R = −∂GD

∂r′|r′=R =

ξ

R2

ξ2 − 1

(1 + ξ2 − 2ξ cos θ′)3/2,

wobei ξ = R/r und θ′ den Winkel zwischen r und r ′ bezeichnet. Mit Hilfe von (3.33)können wir nun das Feld einer Ladungsverteilung außerhalb der Kugel berechnen, wennwir das Potential auf der Kugeloberfläche kennen. Für eine leitende Kugel ist Φ = V

konstant auf der Oberfläche und wegen∮

df ′∂GD

∂r′|r′=R = 2πR2

∮

dθ′ sin θ′∂GD

∂r′|r′=R = −4πR

r

ist das elektrostatische Potential außerhalb der Kugel

Φ(r) =

∫

V

d3r′GD(r , r ′)ρ(r ′) +RV

r. (3.35)

Es ist äquivalent zum Potential erzeugt von der Ladungsdichte ρ, seiner Spiegelladungs-dichte innerhalb der Kugel und einer Punktladung RΦL im Ursprung.

3.3.2 Neumann-Problem

Ist die Normalenableitung des Potentials auf ∂V vorgegeben, dann wird man die Neumann-Greenfunktion GN wählen, für die der zweitletzte Term in (3.32) konstant ist. Wegen desGaußschen Satzes ist∮

∂V

df ′∇′GN(r , r ′) =

∮

∂V

df ′∂GN

∂n′ =

∫

V

d3r′′GN = −4π

∫

V

d3r′δ(r − r ′) = −4π

falls r in V liegt, und wir können nicht verlangen, daß die Normalableitung von GN amRand des Gebietes verschwindet. Aber wir können fordern, daß

∂GN

∂n′ = − 4π

|∂V | , |∂V | = Volumen von ∂V, (3.36)

gilt. Dann vereinfacht sich (3.32) zu

Φ(r)− Φ0 =

∫

V

d3r′GN(r , r ′)ρ(r ′) +1

4π

∮

∂V

df ′GN(r , r ′)∂Φ

∂n′ , (3.37)


3. Randwertprobleme der Elektrostatik 3.4. Kapazitäten 42

wobei Φ0 den Mittelwert des Potentials auf der Oberfläche ∂V bezeichnet,

Φ0 =1

|∂V |

∮

∂V

dfΦ(r). (3.38)

Für ideale Leiter gilt (3.6) und das Außenpotential ist durch die Ladungsverteilung ρ

außerhalb der Leiter und die Oberflächenladungsdichte bestimmt,

Φ(r)− Φ0 =

∫

V

d3r′GN(r , r ′)ρ(r ′)−∮

∂V

df ′GN(r , r ′)σ(r ′). (3.39)

Für Dielekrika muss man allerdings die allgemeinere Formel (3.37) benutzen.

3.4 Kapazitäten

Wie früher betrachten wir mehrere Leiter eingebettet in das Vakuum. Außerhalb derLeiter seien keine freibeweglichen Ladungsdichten. Die elektrischen Potentiale ΦL,i aufden Leitern #i seien vorgegeben. Gesucht sind die Ladungen qi auf den Leitern. Da dieGrundgleichungen linear sind, können wir das Potential als Superposition von LösungenΦi(r) schreiben

Φ(r) =∑

i

ΦL,iΦi(r). (3.40)

Dabei ist Φi die Lösung, die auf dem i’ten Leiter den Wert 1 hat und auf den anderenverschwindet,

Φi(r)|∂Vj= δij . (3.41)

Die Ladung auf dem i’ten Leiter ist dann gegeben durch

qi = − 1

4π

∮

∂Vi

df∂Φ

∂n|aussen =

∑

j

CijΦL,j (3.42)

mit den Kapazitätskoeffizienten

Cij = − 1

4π

∮

∂Vi

df∂Φj

∂n

∣

∣

∣

aussen. (3.43)

In diesen Formeln sind die Normalableitungen in Richtung des Raumbereichs V , d.h. wegvon den Leitern, zu wählen. Der Koeffizient Cij mißt die auf dem i’ten Leiter induzierteLadung, wenn alle Leiter, mit Ausnahme des j’ten, geerdet sind. Im Gaußschen Maßsystem



hat die Kapazität die Dimension Ladung/Spannung = Länge. Die Umrechnung in das SI-System geschieht mit dem Faktor 4πǫ0, so daß 1cm ≡ 1/9·10−11C/V= 10/9 pF (Picofarad)ist. Wäre die Spannung des j’ten Leiters 1V und die auf dem i’ten Leiter induzierte Ladung1C, dann wäre Cij gleich 1C/V.

Die elektrostatische Energie der Kapazitäten ergibt sich aus

U =1

8π

∫

V

d3r∇Φ · ∇Φ =1

8π

∫

V

d3r∇(Φ∇Φ) = − 1

8π

∑

i

∮

∂Vi

dfΦ∂Φ

∂n|aussen

und nimmt eine einfache Form an,

U =1

2

∑

i

ΦL,iqi =1

2

∑

ij

ΦL,iCijΦj,L. (3.44)

Als Anwendung berechnen wir nun die Kapazität von Kugel- und Plattenkondensatoren.

3.4.1 Kugelkondensator

Der Kugelkondensator besteht aus einer inneren Kugel vom Radius R1 und einer äußerenKugelschale mit Innenradius R2. Die Kugel trage die Ladung q und die Kugelschale dieentgegengesetzte Ladung −q. Im Außenraum und in der Kugelschale verschwindet dasPotential, ΦL,2 = 0. Im Raum zwischen Kugel und Kugelschale ist

Φ(r) = q

(

1

r− 1

R2

)

, R1 ≤ r ≤ R2. (3.45)

In der leitenden Kugel ist das Potential konstant

Φ(r) = ΦL,1 = q

(

1

R1− 1

R2

)

, r ≤ R1. (3.46)

Man kann die Ladung q durch die Potentialdifferenz zwischen den Leitern ausdrücken,q = C (ΦL,1 − ΦL,2), wobei C die oben eingeführte Kapazität C12 ist. Wegen ΦL,1−ΦL,2 =

q(1/R1 − 1/R2) ist diese

C =R1R2

R2 −R1

. (3.47)

Zur Bestimmung der Kapazität einer isolierten Kugel lassen wir den Radius R2 der Schalegegen ∞ streben und finden CKugel = R1. In SI-Einheiten ist die Kapazität einer Kugel



Ladung q

Vakuum

V2 V1

Ladung −q

R1R2

Φ = 0

Abbildung 3.9: Zur Kapazität eines Kugelkondensators.

vom Radius R gleich

C = 4πǫ0R, 4πǫ0 = 1.11 · 10−11Amperesek/Voltmeter. (3.48)

Die Kapazität einer Kugel ist also proportional zu ihrem Radius. Zur Illustration berech-nen wir die Kapaziät der Erde, die von einem elektrischen Feld umgeben ist. Es ist inebenem Gelände senkrecht von oben nach unten gerichtet und hat im zeitlichen Mittelden Wert (in SI-Einheiten)

|E | ≈ 130 Volt/m.

Diese rührt von einer negativen Ladung

q = 4πǫ0R2|E | ≈ 5.9 · 105C

auf der Erde, wobei wir für die Erdoberfläche 4πR2 den Wert 5.1 · 1014 m2 benutzten.Gegenüber dem Fixsternsystem hat unsere Erde mit dem Radius R = 6.37 · 106 m dieKapazität von etwa 700 pF.

Lassen wir in (3.47) die Radien von Kugel und Kugelschale bei festgehaltener DifferenzR2 −R1 = d gegen Unendlich streben, dann finden wir die Kapazität

C =R2

1 +R1d

d=

4πR21

d

(

1

4π+

d

4πR1

)

. (3.49)

Für große Radien erhält man zwei leitende ebene Platten im Abstand d, d.h. einen Plat-



tenkondensator mit Kapazität (in Gauß’schen Einheiten)

C =F

4πd, F = Fläche des Plattenkondensators. (3.50)

Die Zunahme der Kapazität mit der Plattenfläche wird bei Mehrplattenkondensatorenaugenutzt. Eine Abart ist der abstimmbare Drehkondensator.

Wir notieren noch die Kapazität von zwei langen koaxialen Zylindern mit RadienR1, R2 und Länge L,

C =1

2

L

log(R2/R1). (3.51)

Generell nimmt die Kapazität mit der Größe der Leiter zu. Kommen sich die Leiter nä-her, dann nimmt bei konstantem Feld ihre Potentialdifferenz ab und die Kapazität desSystems nimmt ebenfalls zu. Wir erwarten, dass das Einbringen eines Materials zwischenzwei Platten aufgrund der Influenz ebenfalls die Kapazität des Kondensators erhöht. Wirwerden später auf diesen Punkt zurückkommen.

+ − + −

C1 C2

C1

C2

Abschliessend notieren wir noch die Kapazität mehrerer Kondensatoren. Sind zwei Kon-densatoren wie in der linken Abbildung in Reihe geschaltet, dann tragen beide die gleicheLadung. Da die Gesamtspannung die Summe der Teilspannungen ist, gilt

1

CReihe

=V

q=V1

q+V2

q=

1

C1

+1

C2

. (3.52)

Sind sie parallel geschaltet wie auf der rechten Seite der Abbildung, dann sind ihre Span-nungen gleich und ihre Ladungen addieren zur Ladung des Systems, also

Cparallel =q1 + q2V

= C1 + C2. (3.53)


Kapitel 4

Multipole und spezielle Funktionen

Wir betrachten statische und lokalisierte Ladungsverteilungen. Die Ladungdichte sei be-liebig innerhalb einer Kugel vom Radius R um den Ursprung. Außerhalb der Kugel seiρ(r) = 0. Für r > R kann das Potential Φ nach Potenzen von R/r entwickelt werden.Diese Entwicklung wird im Folgenden abgeleitet.

Das Potential der Ladungsverteilung ist

Φ(r) =

∫

d3r′ρ(r ′)

|r − r ′| , (4.1)

wobei nur r ′ mit r′ < R zum Integral beitragen. Für r > R ist r > r′ und wir dürfen dasCoulombpotential in eine Taylor-Reihe nach r′/r entwickeln. Für 0 ≤ ξ < 1 ist

1√1− ξ = 1 +

1

2ξ +

3

8ξ2 +

5

16ξ3 + . . . (4.2)

und wir erhalten nach Ordnung der Reihenglieder in Potenzen von r′/r folgende Reihen-darstellung für das Coulombpotential,

1

|r − r ′| =1

r

(

1− 2r · r ′

r2+r′2

r2

)−1/2

=1

r+

r · r ′

r3+

3(r · r ′)2 − r2r′2

2r5+

5(r · r ′)3 − 3(r · r ′)r2r′2

2r7+ . . . . (4.3)

Den Zähler im dritten Term können wir noch umformen:

3(r · r ′)2 − r2r′2 =

(

x′ix′j −

1

3r′2δij

)

(

3xixj − δijr2)

,

wobei wir δij(3xixj − δijr2) = 0 benutzten. Hier und auch im Folgenden verwenden wir

46

4. Multipole und spezielle Funktionen 4.1. Dipole und Quadrupole 47

die Summationskonvention: Über alle Indizes, die zweimal in einem Produkt auftreten,wird summiert, in der obigen Formel also über i und j.Wir führen folgende zur lokalisierten Ladungsverteilung gehörenden Größen ein:

q =

∫

d3r ρ(r) Ladung (4.4)

p =

∫

d3r rρ(r) Dipolmoment (4.5)

Qij =

∫

d3r

(

xixj −1

3δijr

2

)

ρ(r) Quadrupolmomente. (4.6)

Eingesetzt in (4.1) erhalten wir die Entwicklung für das Potential

Φ(r) =q

r+

p · rr3

+3(r ,Qr)− r2trQ

2r5+O

(

r−4)

, (4.7)

wobei Q = (Qij) den symmetrischen und spurlosen Quadrupoltensor bezeichnet. Daselektrische Feld E = −∇Φ hat weit weg von der Quelle die Entwicklung

E (r) =qr

r3+

3(p · r)r − pr2

r5+O

(

r−4)

. (4.8)

In großer Entfernung wirkt eine in einer Umgebung des Ursprungs lokalisierte Ladungs-verteilung so, als ob sie aus einer im Ursprung befindlichen Punktladung der Stärke qbesteht. Verschwindet die Gesamtladung q der Verteilung, dann beschreibt der führendeTerm einen elektrischen Dipol mit dem Moment p.

4.1 Dipole und Quadrupole

Das Dipolfeld: Der zweite Term auf den rechten Seiten in (4.7) beschreibt das Dipolfeld.Es fällt für große Abstände mit einer Potenz von r schneller ab als das Coulombfeld. DerName rührt daher, daß man 2 Punktladungen braucht, um einen Dipol zu erzeugen. In derTat, für die leitende Kugel im konstanten elektrischen Feld erzeugten die nahe beieinanderliegenden Spiegelladungen ein Dipolfeld. Sei also

ρ(r) = q(δ3(r − r0 − a)− δ3(r − r0))

→ −qa · ∇δ3(r − r0) +O(a2)

die Ladungsdichte zweier entgegengesetzt geladener Punktteilchen im Abstand a = |a |.Nun führen wir den Limes a→ 0 durch, wobei wir das Produkt qa = p festhalten. Dann


4. Multipole und spezielle Funktionen 4.1. Dipole und Quadrupole 48

bleibt die Ladungsverteilung eines Dipols p am Ort r0:

ρ(r) = −p · ∇δ3(r − r0). (4.9)

Das Potential des Dipols ist (siehe früher)

Φ(r) =

∫

d3r′ρ(r ′)

|r − r ′| = p ·∫

d3r′r − r ′

|r − r ′|3 δ3(r ′ − r0) =

p · (r − r0)

|r − r0|3. (4.10)

Das Quadrupolfeld: Ein reines Quadrupolfeld kann, wie in der Abbildung (4.1) gezeigt,mit 4 Punktladungen erzeugt werden,

ρ(r) = q (δ(r − ae1) + δ(r + ae1)− δ(r − be2)− δ(r + be2)) . (4.11)

Das Coulomb- und Dipolfeld dieser vier Ladungen verschwindet und für den symmetri-schen und spurlosen Quadrupoltensor finden wir

Q =2q

3diag

(

2a2 + b2,−2b2 − a2, b2 − a2)

. (4.12)

x1a

b

x2

b

b

−q

−q

b b+q +q

Abbildung 4.1: Vier Punktladungen erzeugen ein Quadrupolfeld.

Man kann sich kompliziertere Ladungsverteilungen ohne Gesamtladung, Dipol- und Qa-drupolmoment beschaffen. Diese werden dann durch höhere Multipolmomente beschrie-ben. Sie werden einige Beispiele im Seminar besprechen.


4. Multipole und spezielle Funktionen 4.2. Energie und Drehmoment von Multipolen 49

4.2 Energie und Drehmoment von Multipolen

Die Ladungsdichte ρ sei wieder in einer Umgebung des Ursprungs lokalisiert. Ihre Energieim äußeren Feld beträgt

U =

∫

d3r ρ(r)Φext(r). (4.13)

Wir entwickeln das äußere Potential für kleine Argumente und erhalten

U =

∫

d3r ρ(r)

(

Φext(0) + r · ∇Φext|0 +1

2xixj∂i∂jΦext|0 + . . .

)

= qΦext(0) + p · ∇Φext|0 +1

2

(

Qij +1

3δij

∫

d3rρ(r)r2

)

∂i∂jΦext|0 + . . . .

Der letzte Term proportional zum Integral über ρr2 verschwindet, daΦext am Ursprung,wo keine Quellen von Φext sitzen, Null ist. Damit bleibt für das Wechselwirkungspotential

U = qΦext(0)− p · Eext(0) +1

2Qij∂i∂jΦext|0 + . . . . (4.14)

Wir können daraus zum Beispiel die potentielle Energie zweier Dipole bestimmen. DerDipol p1 am Ort r1 erzeugt am Aufpunkt r2 das Feld

E1(r2) =3(p1 · r12)r12 − p1(r12)

2

(r12)5, r12 = r2 − r1.

Die Wechselwirkungsenergie dieses Dipols mit einem zweiten Dipol p2 am Ort r2 ist

U12 = −p2 · E1(r2) =p1 · p2

(r12)3− 3(p1 · r12)(p2 · r12)

(r12)5. (4.15)

Die Kraft auf eine um den Ursprungs konzentrierte Ladungsverteilung ist

F =

∫

d3rρ(r)Eext(r)

=

∫

d3rρ(r)

(

Eext(0) + (r · ∇)Eext|0 +1

2xixj∂i∂jEext|0 + . . .

)

(4.16)

= qEext(0) + (p · ∇)Eext|0 +1

2(Qij∂i∂j)Eext|0 + . . . .

Insbesondere wirken auf elektrische Dipole und Quadruple in einem räumlich konstanten


4. Multipole und spezielle Funktionen 4.3. Differentialoperatoren und spezielle Funktionen 50

Feld keine Kräfte. Das Drehmoment einer Ladungsverteilung im Ursprung ergibt sich zu

Mmech =

∫

d3r ρ(r)r ∧ Eext(r)

=

∫

d3rρ(r)r ∧ (Eext(0) + (xl∂l)Eext|0 + . . . ) (4.17)

= p ∧Eext(0) + (Q · ∇) ∧Eext|0 + . . . ,

wobei wir in der letzten Gleichung ausnutzten, daß Eext wirbelfrei ist. Das elektrische Feldwirkt auf den Dipol mit einem Drehmoment und stellt, sofern der Dipol nicht an einerDrehung gehindert wird, die Dipolrichtung parallel zur Feldrichtung.

4.3 Differentialoperatoren und spezielle Funktionen

Die bekanntesten krummlinigen Koordinaten sind die Kugelkoordinaten,

r = r

sin θ cosφ

sin θ sinφ

cos θ

≡ rer. (4.18)

für die sich die Koordinatenlinien senkrecht schneiden. Andere Beispiele von rechtwink-ligen Koordinaten sind kartesische oder Zylinderkoordinaten. Die Einheitsvektoren er, eθ

und eφ in

dr = grerdr + gθeθdθ + gφeφdφ (4.19)

bilden eine orthonormierte ortsabhängige Basis des R3 und ein Vektor ist eine Linear-komination dieser Vektoren,

A = Arer + Aθeθ + Aφeφ, Ar = (A, er) usw.

Mit (4.18) berechnen sich die Koeffizienten zu

gr = 1, gθ = r und gφ = r sin θ. (4.20)

Im Folgenden betrachten wir beliebige rechtwinklige Koordinatensysteme mit im Allge-meinen von (4.20) verschiedenen metrischen Koeffizienten. Das Quadrat des Abstandszweier infinitesimal benachbarter Punkte r und r + dr ist dann

ds2 = dr · dr = g2rdr

2 + g2θdθ

2 + g2φdφ

2. (4.21)


4. Multipole und spezielle Funktionen 4.3. Differentialoperatoren und spezielle Funktionen 51

Entsprechend ist ein durch dr, dθ und dφ gekennzeichnetes Volumenelement

dV = grgθgφdrdθdφ. (4.22)

Die gerichteten Flächenelemente der Koordinatenflächen sind:

r = const : ergθgφ dθdφ

θ = const : eθgrgφ drdφ (4.23)

φ = const : eφgrgθ drdθ.

4.3.1 Differentialoperatoren in rechtwinkligen Koordinaten

Im Folgenden werden wir die wichtigsten in der Elektrostatik auftretenden Differential-operatoren für rechtwinklig krummlinige Koordinatensysteme bestimmen.Der Gradient: Aus

dΦ =∂Φ

∂rdr +

∂Φ

∂θdθ +

∂Φ

∂φdφ = ∇Φ · dr

= (∇Φ, er)grdr + (∇Φ, eθ)gθdθ + (∇Φ, eφ)gφdφ (4.24)

lesen wir die Komponenten des Gradienten ∇Φ = (∇Φ)rer + (∇Φ)θeθ + (∇Φ)reφ ab:

(∇Φ)r =1

gr

∂Φ

∂r, (∇Φ)θ =

1

gθ

∂Φ

∂θ, (∇Φ)φ =

1

gφ

∂Φ

∂φ. (4.25)

Die Divergenz: Die Divergenz ist der Grenzwert eines Oberflächenintegrals

∇ · E = limV →0

1

V

∮

E · df , (4.26)

und mit Hilfe von (4.23) ergibt sich

∇ · E = limdV →0

1

dV

(

Ergθgφ|r+drr dθdφ+ Eθgrgφ|θ+dθ

θ drdφ+ Eφgrgθ|φ+dφφ drdθ

)

.

Für infinitesimale Volumen ergeben sich auf der rechten Seite die Ableitungen und wirfinden folgenden Ausdruck für die Divergenz eines beliebigen Vektorfeldes:

∇ ·E =1

grgθgφ

(

∂

∂r(Ergθgφ) +

∂

∂θ(Eθgrgφ) +

∂

∂φ(Eφgrgθ)

)

. (4.27)


4. Multipole und spezielle Funktionen 4.4. Legendre-Polynome und Kugelfunktionen 52

Der Laplace-Operator: Mit Φ = ∇ ·∇Φ erhalten wir für rechtwinklige Koordinatenden Laplace-Operator

Φ =1

grgθgφ

(

∂

∂r

(gθgφ

gr

∂Φ

∂r

)

+∂

∂θ

(grgφ

gθ

∂Φ

∂θ

)

+∂

∂φ

(grgθ

gφ

∂Φ

∂φ

)

)

. (4.28)

Diese Formeln gelten für beliebige orthogonale krummlinige Koordinaten (wenn wir diesemit r, θ, φ bezeichnen).

Für im Unendlichen genügend schnell abfallende Funktionen Ψ,Φ oder falls das GebietV keinen Rand hat, folgt auch

∫

V

dVΨΦ = −∫

V

dV∇Ψ · ∇Φ =

∫

V

dVΦΨ, ∀Ψ,Φ.

Angewandt auf Ψ = Φ finden wir, daß in folgenden Sinne negativ ist,∫

V

ΦΦ ≤ 0. (4.29)

Setzen wir für die metrischen Koeffizienten (4.23) ein, dann folgt für Kugelkoordinaten

Φ =1

r2

∂

∂r

(

r2∂Φ

∂r

)

+1

r2ΩΦ =

1

r

∂2

∂r2(rΦ) +

1

r2ΩΦ

ΩΦ =1

sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂Φ

∂θ

)

+1

sin2 θ

∂2Φ

∂φ2. (4.30)

Der Operator Ω wirkt nur auf die Winkelvariablen1, aber nicht auf die radiale Variabler. Außerhalb der Quellen ist das Potential harmonisch, Φ = 0, und wir wollen nun einenvollständigen Satz von harmonischen Funktionen einführen.

4.4 Legendre-Polynome und Kugelfunktionen

Beim Aufsuchen von harmonischen Funktionen in Kugelkoordinaten machen wir den Se-parationsansatz

Φ = f(r)Y (θ, φ). (4.31)

1In der Quantenmechanik wird er eine sehr wichtige Rolle spielen: Er ist proportional zum quadriertenDrehimpuls.



Eingesetzt in Φ = 0 führt dies auf die partielle Differentialgleichung:

1

r(rf)′′Y +

1

r2fΩY = 0 bzw.

r

f(rf)′′ +

ΩY

Y= 0, (4.32)

wobei Strich die Ableitung nach dem Radius bedeutet. Die Summe einer nur von r ab-hängenden und einer nur von θ, φ abhängenden Funktion kann nur verschwinden, wennbeide Summanden konstant sind und die beiden Konstanten zu Null addieren. Also istinsbesondere ΩY = λY mit konstantem λ. Aber wegen∫

S2

dΩ YΩY = λ

∫

S2

dΩ Y · Y = −∫

S2

dΩ ∇Y · ∇Y ≤ 0, dΩ = sin θdθdφ,

kann λ nicht positiv sein. Deshalb können wir λ = −ℓ(ℓ + 1) mit ℓ ≥ 0 setzen. Weiterunten werden wir sehen, daß ℓ eine natürliche Zahl sein muß. Mit dieser Parametrisierungvon λ gilt

ΩYl(θ, φ) = −ℓ(ℓ + 1)Yℓ(θ, φ) und r(rfℓ)′′ = ℓ(ℓ+ 1)fℓ. (4.33)

Die zweite Gleichung hat die Lösungen

fℓ = a · rℓ und fℓ = a · r−ℓ−1. (4.34)

Die erste Lösung divergiert für große Radien und wird zumindest für die Multipolentwick-lung unbrauchbar sein.Die Lösung der ersten Gleichung in (4.33) führt auf die Kugelfunktionen. Wir machenwiederum einen Separationsansatz Yℓ(θ, φ) = Pℓ(θ)Q(φ) (wir werden gleich sehen, daß Qnicht von ℓ abhängt) mit dem Resultat

ΩYℓ = Q(φ)1

sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂Pℓ(θ)

∂θ

)

+Pℓ(θ)

sin2 θ

∂2Q(φ)

∂φ2= −ℓ(ℓ+ 1)Q(φ)Pℓ(θ).

Wir dividieren durch PℓQ und multiplizieren mit sin2 θ:

sin θ1

Pℓ(θ)

∂

∂θ

(

sin θ∂Pℓ(θ)

∂θ

)

+ ℓ(ℓ+ 1) sin2 θ +1

Q(φ)

∂2Q(φ)

∂φ2= 0.

Offensichtlich muß die Summe der ersten beiden Terme und der letzte Term jeweils kon-stant sein:

0 = Q′′m(φ) +m2Qm(φ) (4.35)



0 =1

sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂Pm

ℓ (θ)

∂θ

)

+

(

ℓ(ℓ+ 1)− m2

sin2 θ

)

Pmℓ (θ). (4.36)

Die erste Gleichung (4.35) hat die Lösungen

Qm(φ) = e±imφ. (4.37)

Die Raumpunkte (r, θ, φ) und (r, θ, φ + 2π) sind identisch und Φ muß an beiden Ortendenselben Wert annehmen, also

Qm(φ+ 2π) = Qm(φ) =⇒ m ∈ Z. (4.38)

Damit haben die Lösungen die Form

Yℓm(θ, φ) = eimφPmℓ (θ). (4.39)

Zur Lösung der Gleichung (4.36) setzen wir

z = cos θ ∈ [0, 1],d

dz= − 1

sin θ

d

dθ. (4.40)

Damit lautet diese Gleichung

d

dz

(

(1− z2)dPm

ℓ

dz

)

+

(

ℓ(ℓ+ 1)− m2

1− z2

)

Pmℓ = 0. (4.41)

Zylindersymmetrische Lösungen hängen nicht von φ ab wenn Symmetrieachse und 3-Achse zusammenfallen. Daher verschwindet m für zylindersymmetrische Lösungen und(4.41) wird zur Legendresche Differentialgleichung:

(1− z2)P ′′ℓ − 2zP ′

ℓ + ℓ(ℓ+ 1)Pℓ = 0. (4.42)

Zur Konstruktion der Kugelflächenfunktionen Yℓm entwickeln wir das Coulombpotential

G(r − r ′) =1

|r − r ′| =1√

r2 + r′2 − 2rr′z, z = r · r ′.

Für r < r′ können wir nach Potenzen von r/r′ und für r > r′ nach Potenzen von r′/r

entwickeln. Dabei ist es nützlich

r< = minr, r′ , r> = maxr, r′ (4.43)



und das Skalarprodukt zwischen den Einheitsvektoren r und r ′ einzuführen,

z = r · r ′ = sin θ sin θ′ cos(φ− φ′) + cos θ cos θ′. (4.44)

Damit schreibt sich das Coulombpotential gemäß

G(r − r ′) =1

r>

1√1 + t2 − 2tz

t =r<

r>. (4.45)

Nun entwickeln wir nach Potenzen von t und finden folgende, für r 6= r′ konvergentePotenzreihe für G:

G(r − r ′) =1

r>

∞∑

ℓ=0

tℓPℓ(z), z = r · r ′. (4.46)

Die Pℓ(z) sind offensichtlich Polynome vom Grade ℓ. Zeigt r in die Richtung von r ′ dannist z = 1, und wegen

1

r>

1√1 + t2 − 2t

=1

r>

1

1− t =1

r>

∑

ℓ

tℓ,

erfüllen die Polynome die Normierungsbedingung

Pℓ(z = 1) = 1. (4.47)

Da G für r 6= r ′ harmonisch ist, muß jeder Term in der konvergenten Entwicklung (4.46)harmonisch sein,

(

tℓ

r>Pℓ(z)

)

= 0 =⇒ΩPℓ(z) = −ℓ(ℓ+ 1)Pℓ(z). (4.48)

Wir machten davon Gebrauch, daß tℓ/r> eine Lösung der radialen Differentialgleichung(4.33) ist.

Um zylindersymmetrische Lösungen zu konstruieren legen wir die 3-Achse in Richtungvon r ′. Dann ist z = cos θ und Pℓ(z) = Pℓ(cos θ) zylindersymmetrisch. Deshalb erfüllendie sogenannten Legendre-Polynome Pℓ(z) die Legendresche Differentialgleichung (4.42).Die Polynome können mit (4.45) und (4.46) leicht bestimmt werden:

Pℓ(z) =1

ℓ!

dℓ

dtℓ|t=0

1√1 + t2 − 2tz

. (4.49)



Die tiefsten Legendre-Polynome sind P0 = 1 und

P1 = z , P2 =1

2

(

3z2 − 1)

, P3 =1

2

(

5z3 − 3z)

, P4 =1

8

(

35z4 − 30z2 + 3)

. . . . (4.50)

Wir werden einige wichtige Eigenschaften dieser Polynome ableiten. Dazu benutzen wirdie Greenfunktion mit Dirichlet-Randbedingungen auf der Kugeloberfläche mit Radius R,

GD =1

|r − r ′| −R

r′1

|r −R2r ′/r′2| , (4.51)

die wir früher mit der Spiegelladungsmethode bestimmt hatten. Wir entwickeln GD nachPotenzen von r′/r beziehungsweise r/r′:

GD(r > r′ > R) =1

r

∑

ℓ

(

(

r′

r

)ℓ

− r′sR

(

r′sr

)ℓ)

Pℓ(z)

GD(r < r′ < R) =1

r′

∑

ℓ

(

( r

r′

)ℓ

− R

r′s

(

r

r′s

)ℓ)

Pℓ(z),

wobei r′s = R2/r′ der Abstand der Spiegelladung vom Ursprung ist. Die erste Reihendar-stellung konvergiert außerhalb der Kugel, die zweite innerhalb. Die Normalenableitungvon GD ist

∂GD

∂n′ = ∓∂GD

∂r′|r′=R,

wobei das obere Vorzeichen für r > r′ und das untere für r < r′ gilt2. Setzen wir dieReihenentwicklungen für GD ein, so finden wir

∂GD

∂n′ (r > R) = −∑

(2ℓ+ 1)1

rR

(

R

r

)ℓ

Pℓ(z)

∂GD

∂n′ (r < R) = −∑

(2ℓ+ 1)1

R2

( r

R

)ℓ

Pℓ(z).

Mit (3.33) hat jede harmonische Funktion die Darstellung

Φ(r) = − 1

4π

∮

∂V

df ′ ∂GD

∂n′ Φ(r ′)

2Benutzt man GD in (4.51) so findet man

∂GD

∂r′|r′=R =

R2 − r2

R

1

(r2 + R2 − 2rRz)3/2

.



Hier setzen wir obige Reihenentwicklungen ein und finden

Φ(r) =R

4πr

∑

(2ℓ+ 1)

(

R

r

)ℓ ∮

dΩ′ Pℓ(r · r ′) Φ(Rr ′), r > R

=1

4π

∑

(2ℓ+ 1)( r

R

)ℓ∮

dΩ′ Pℓ(r · r ′) Φ(Rr ′), r < R. (4.52)

Aus der Reihenentwicklung für kleine r folgt insbesondere

Φ(0) =1

4π

∮

dΩ′ Φ(Rr ′). (4.53)

Der Wert einer harmonischen Funktion im Zentrum einer Kugel ist gleich ihrem Mittelwertauf der Kugeloberfläche. Für r = R fallen die beiden Entwicklungen in (4.52) zusammenund ergeben

Φ(r ) =1

4π

∑

ℓ

(2ℓ+ 1)

∮

dΩ′ Pℓ(r · r ′)Φ(er′), (4.54)

wobei wir R = 1 gewählt haben. Diese wichtige Relation heißt Vollständigkeitsrelation:Eine „beliebige“ Funktion Φ auf der Sphäre S2 kann als Linearkombination der Legendre-Polynome geschrieben werden. Diese Beziehung ist gleichbedeutend mit

1

4π

∑

ℓ

(2ℓ+ 1)Pℓ(r · r ′) =1

sin θδ(θ − θ′)δ(φ− φ′)

= δ(φ− φ′)δ (cos θ − cos θ′) . (4.55)

Wir wollen die φ-Abhängigkeit der Legendre-Polynome Pℓ(z) mit z in (4.44) genaueruntersuchen und dabei eine Beziehung zwischen den Pℓ und Kugelflächenfunktionen her-stellen. Nach (4.48) sind die Pℓ Eigenfunktionen von Ω. Früher haben wir gezeigt, daßEigenfunktionen von Ω eine einfache exponentielle φ-Abhängigkeit haben können. Des-halb entwickeln wir das Argument z = r · r ′ von Pℓ nach Potenzen von exp[i(φ− φ′)],

z =1

2sin θ sin θ′ ei(φ−φ′) + cos θ cos θ′ +

1

2sin θ sin θ′ e−i(φ−φ′), (4.56)

und erhalten eine entsprechende Entwicklung des Polynoms Pℓ vom Grade ℓ,

Pℓ (r · r ′) =

ℓ∑

m=−ℓ

eim(φ−φ′)Fℓm(cos θ, cos θ′), Fℓm ∈ R.Als Funktion von (φ, θ) oder auch als Funktion von (φ′, θ′) erfüllt Pℓ die Differentialglei-



chung (4.48). Entsprechend gilt

d

dz

(

(1− z2)dFℓm

dz

)

+

(

ℓ(ℓ+ 1)− m2

1− z2

)

Fℓm = 0, z = cos θ bzw. cos θ′.

Also erfüllen die Fℓm dieselbe Differentialgleichung wie die Pmℓ in (4.41). Die (regulären)

Lösungen dieser Differentialgleichung sind bis auf Multiplikation mit einer Zahl eindeutig,und wir schließen

Fℓm(θ, θ′) ∼ Pmℓ (θ)P−m

ℓ (θ′).

Nun führen wir schlußendlich die Kugelfunktionen Yℓm(θ, φ) ∼ exp(imφ)Pmℓ (θ) ein und

wählen die Normierung dieser Funktionen so, daß

Pℓ (r · r ′) =4π

2ℓ+ 1

ℓ∑

m=−ℓ

Yℓm(θ, φ)Y∗ℓm(θ′, φ′) (4.57)

gilt. Mit dieser Normierung schreibt sich die Vollständigkeitsrelation (4.55) gemäß

∑

ℓ=0,1,...

ℓ∑

m=−ℓ

Yℓm(θ, φ)Y∗ℓm(θ′, φ′) = δ(φ− φ′)δ( cos θ − cos θ′). (4.58)

Mit P0 = 1 und

P1 =1

2

(

ei(φ−φ′) sin θ sin θ′ + cos θ cos θ′)

+ c.c.

P2 =3

8

(

e2i(φ−φ′) sin2 θ sin2 θ′ + 4ei(φ−φ′) sin θ cos θ sin θ′ cos θ′

+1

3(3 cos2 θ − 1)(3 cos2 θ′ − 1)

)

+ c.c.

folgen dann die expliziten Ausdrücke für die Kugelfächenfunktionen,

Y00 = 1√4π, Y11 = −

√

38π

sin θeiφ, Y10 =√

34π

cos θ

Y22 =√

1532π

sin2 θe2iφ, Y21 = −√

158π

cos θ sin θeiφ, Y20 =√

516π

(3 cos2 θ − 1).

Yℓ,−m ist bis auf eine Phase gleich Y∗ℓm. Es ist üblich, die Phasen so zu wählen, daß

Yℓ,−m = (−)mY∗ℓm (4.59)



gilt. Wegen der speziellen θ, φ-Abhängigkeit des Argumentes z ist

Yℓm ∼∑

p−q=m

aℓ,p,q · ( sin θ)p+qei(p−q)φ, (p, q ≥ 0)

und deshalb verschwinden die Kugelfunktionen mit m 6= 0 an den Polen,

Yℓ,m6=0(θ = 0, φ) = Yℓ,m6=0(θ = π, φ) = 0. (4.60)

Zeigen r und r ′ in die gleiche Richtung dann ist z = r · r ′ = 1 und mit der Normierungs-bedingung (4.47) gilt

1 =4π

2ℓ+ 1

ℓ∑

m=−ℓ

|Yℓm(θ, φ)|2 ⇒ Yℓ0(0) =

√

ℓ + 1

4π, (4.61)

wobei wir Yℓ0(0) > 0 benutzten. Mit (4.57) folgt dann für θ′ = 0

Pℓ(cos θ) =

√

4π

2ℓ+ 1Yℓ0(θ). (4.62)

Integrieren wir (4.58) über φ, dann ergibt sich

1

2

∑

ℓ=0,1,...

(2ℓ+ 1)Pℓ(z′)Pℓ(z) = δ(z − z′) (z = cos θ). (4.63)

Diese Vollständigkeitsrelation für die Legendre-Polynome folgt schon aus (4.54) für φ-unabhängige Potentiale. Ausgedrückt durch die Kugelfunktionen lautet die Vollständig-keitsrelation (4.54) nun folgendermaßen

Φ(θ, φ) =∑

ℓ=0,1,...

ℓ∑

m=−ℓ

cℓmYℓm(θ, φ), cℓm = (Yℓm,Φ). (4.64)

Wir haben das Skalarprodukt von zwei komplexwertigen Funktionen S2 → C eingeführt,

(Ψ,Φ) =

∮

S2

dΩ Ψ∗(θ, φ)Φ(θ, φ). (4.65)

Also kann jede (quadratintegrierbare) Funktion auf S2 als Linearkombination der line-ar unabhängigen Kugelfunktionen geschrieben werden. Der Koeffizient der KugelfunktionYℓm in der Entwicklung ist gleich dem Skalarprodukt von Yℓm mit der dargestellten Funk-



tion. Mit (4.52) hat dann eine harmonische Funktion Φ die Reihenentwicklungen

Φ(r) =∑

ℓ,m

(

R

r

)ℓ+1

(Yℓm,ΦR) Yℓm(θ, φ), r > R

=∑

ℓ,m

( r

R

)ℓ

(Yℓm,ΦR) Yℓm(θ, φ), r < R, (4.66)

wobei ΦR(θ, φ) = Φ(R, θ, φ) die Restriktion von Φ auf die Kugeloberfläche mit Radius Rist. Wählen wir Φ = Yℓm in (4.64), so folgt unmittelbar, daß

(Yℓm,Yℓ′m′) =

∮

dΩY∗ℓm(θ, φ)Yℓ′m′(θ, φ) = δℓℓ′δmm′ . (4.67)

Die Kugelfunktionen sind also orthogonal bezüglich des Skalarprodukts (., .) und normiert.Sie bilden ein vollständiges Orthonormalsystem von Funktionen auf S2.

4.4.1 Potenzreihen und erzeugende Funktionen

Man kann auch versuchen, die Legendresche Differentialgleichung (4.42) mit einer Potenz-reihe in z zu lösen

Pℓ = zα

∞∑

n=0

anzn, a0 6= 0. (4.68)

Wir nehmen an, die Reihe konvergiere und kann gliedweise differenziert werden. Einsetzenvon (4.68) in (4.42) führt auf Rekursionsrelationen, welche an mit an−2 verbinden. Ausdiesen Relationen folgt α = 0 oder α = 1. Für α = 0 kann man a0 und a1 beliebigvorgeben3. Der Koeffizientenvergleich liefert

an+2 =n(n+ 1)− ℓ(ℓ+ 1)

(n + 1)(n+ 2)an, n = 0, 1, 2, . . . (4.69)

Wegen

an+2

an

−→ 1 für n −→∞

ist der Konvergenzradius der Reihe (4.68) gleich eins, und diese definiert eine analytischeFunktion innerhalb des Einheitskreises. Diese Funktion muß auf dem Einheitskreis eine

3Für α = 0 gewinnt man schon die allgemeine Lösung der Legendreschen DG.



Singularität haben, es sei denn, die Reihe bricht ab und wird zu einem Polynom. Siebricht aber genau dann ab, wenn ℓ eine ganze Zahl ist. Da wir aber ℓ ≥ 0 annehmen, mußℓ ∈ 0, 1, 2, . . . sein. Die Rekursionsrelation (4.69) zeigt, daß für diese erlaubten Wertefür ℓ der Koeffizient aℓ+2 verschwindet und daher Pℓ ein Polynom vom Grade ℓ sein muß4.Für a1 = 0 ist das Polynom gerade und für a0 = 0 ungerade.

Für gerades ℓ erhalten wir

Pℓ = a0

(

1− ℓ(ℓ+ 1)

2!z2 + . . .

+(−1)ℓ2

ℓ(ℓ− 2) · · ·2 · (ℓ+ 1) · · · (2ℓ− 1)

ℓ!zℓ)

, (4.70)

und für ungerades ℓ

Pℓ = a1

(

z − (ℓ− 1)(ℓ+ 2)

3!z3 + . . .

+(−1)ℓ−1

2

(ℓ− 1)(ℓ− 3) · · ·2 · (ℓ+ 2) · · · (2ℓ− 1)

ℓ!zℓ)

. (4.71)

Normiert man die Legendre-Polynome Pℓ gemäß (4.47), dann findet man wieder die Lö-sungen (4.49).Erzeugende Funktion: Die Legendre-Polynome können durch Ableiten von einfachenPolynomen erzeugt werden:

P0(z) = 1, Pℓ(z) =1

2ℓℓ!

dℓ

dzℓ

(

z2 − 1)ℓ. (4.72)

Beweis: Wir differenzieren die Gleichung

(z2 − 1)u′ = 2ℓzu (4.73)

(ℓ+ 1)-mal nach z. Unter Benutzung von

(u · v)(n) = u(n)v + nu(n−1)v′ +(n

2

)

u(n−2)v(2) + . . .

ergibt sich

(z2 − 1)u(ℓ+2) + 2z(ℓ+ 1)u(ℓ+1) + ℓ(ℓ+ 1)u(ℓ) = 2ℓzu(ℓ+1) + 2ℓ(ℓ+ 1)u(ℓ)

4aℓ bestimmt aℓ+2!



beziehungsweise die Legendresche Differentialgleichung für u(ℓ):

(z2 − 1)u(ℓ+2) + 2zu(ℓ+1) − ℓ(ℓ+ 1)u(ℓ) = 0.

Nun erfüllt aber gerade u = (z2−1)ℓ die Gleichung (4.73). Setzen wir noch Pℓ = u(ℓ)/2ℓℓ!,dann löst Pℓ die Legendresche Differentialgleichung.

Kugelfunktionen

Wir kehren zur allgemeinen Gleichung (4.41) mit ganzzahligen ℓ und m zurück. Löst Pℓ

die Legendresche Differentialgleichung (4.42), dann löst die Helmholtz’sche Funktion

Pℓm =dm

dzmPℓ (4.74)

die Differentialgleichung(

(1z2)d2

dz2− 2(m+ 1)z

d

dz+ (ℓ(ℓ+ 1)−m(m+ 1))

)

Pℓm = 0.

Man braucht nur die Legendresche DG m-mal zu differenzieren. Wir schreiben nun

Pℓm(z) = (−)m(1− z2)−m/2Pmℓ (z).

und bestimmen durch Einsetzen die Differentialgleichung, der die zugeordneten Legendre-polynome Pm

ℓ dann genügen. Man findet die Differentialgleichung (4.41) und damit lösendie

Pmℓ (z) = (−)m

(

1− z2)

m2dm

dzmPℓ(z) =

(−)m

2ℓℓ!

(

1− z2)

m2d ℓ+m

dz ℓ+m

(

z2 − 1)ℓ

(4.75)

die DG (4.41). Die Helmholtz-Funktion Pℓm ist ein Polynom vom Grad ℓ − m. Das zu-geordnete Legendre-Polynom Pm

ℓ ist dann vom Grade ℓ. Um zu den Kugelfunktionenzu gelangen, müssen wir die zugeordneten Legendre-Polynome mit exp(imφ) und einemkonventionellen Normierungsfaktor multiplizieren,

Yℓm(θ, φ) =

√

(2ℓ+ 1)

4π

√

(ℓ−m)!

(ℓ+m)!Pm

ℓ (cos θ)eimφ, ℓ ∈ N0, −ℓ ≤ m ≤ ℓ. (4.76)



4.4.2 Punktladung in einem geerdeten „Faradaykäfig“

Im Innern einer Kugel mit Radius R befinde sich am Ort r0 eine Punktladung q. Auf derKugeloberfläche soll das Potential verschwinden. Ohne Einschränkung der Allgemeinheitdürfen wir annehmen, daß sich die Ladung auf der z-Achse (θ0 = 0) befindet. Dann ist Φ

unabhängig von φ. Das Potential in der Kugel schreiben wir als Summe des Coulombpo-tentials der Punktladung plus einer harmonischen Funktion,

Φ(r < R, θ) =q

|r − r0|+ Φh

=q

r>

∑

ℓ

(

r<

r>

)ℓ

Pℓ(cos θ) +∑

ℓ

aℓ

( r

R

)ℓ

Pℓ(cos θ), (4.77)

wobei wir die Abkürzungen

r< = min(r, r0) und r> = max(r, r0), r0 = |z0| (4.78)

einführten. Auf der Kugeloberfläche verschwindet das Potential genau dann, wenn

aℓ = − qR

(r0R

)ℓ

gilt. Also ist das Potential einer auf der z-Achse liegenden Punktladung im geerdetensphärischen Faradaykäfig

Φ(r ≤ R, θ) = q∑

ℓ

(

1

r>

(

r<

r>

)ℓ

− 1

R

(r0r

R2

)ℓ)

Pℓ(cos θ). (4.79)

Der harmonische Anteil ist gerade das Potential der Spiegelladung außerhalb der Kugel,

− qR

∑

ℓ

(r0r

R2

)ℓ

Pℓ(cos θ) = − Rq/r0√

|r − R2r0/r20|. (4.80)

4.4.3 Zylindersymmetrische Probleme

In einem zylindersymmetrischen Problem hängt das Potential Φ nicht von φ ab, wenn wirdie 3-Achse als Symmetrieachse wählen. Die allgemeine zylindersymmetrische Lösung derLaplacegleichung lautet also

Φ(r, θ) =∞∑

ℓ=0

(

aℓrℓ +

bℓrℓ+1

)

Pℓ(cos θ), Pℓ(z) =

√

4π

2ℓ+ 1Yℓ0(z). (4.81)



Mit der Orthogonalitätsrelationen (z = cos θ)

(Pℓ, Pℓ′) = 2π

∫ 1

−1

dz Pℓ(z)Pℓ′(z) =4π

2ℓ+ 1(Yℓ0,Yℓ′0) =

4π

2ℓ+ 1δℓℓ′ (4.82)

können wir den r-abhängigen Faktor leicht bestimmen:

(Φ, Pℓ) =

∫ 1

−1

d cos θ Φ(r, θ)Pℓ(cos θ) =2

2ℓ+ 1

(

aℓrℓ +

bℓrℓ+1

)

. (4.83)

In fast allen Anwendungen verschwinden entweder alle aℓ oder alle bℓ. Dann bestimmtdiese Gleichung die Lösung (4.81) eindeutig.

Homogen geladener Ring

Wir berechnen das Feld eines geladenen Kreisrings mit Radius R wie in der folgendenAbbildung 4.2 gezeigt. Wir wählen das Koordinatensystem so, dass der Kreis in der x−

r

z

y

x

Abbildung 4.2: Zur Berechnung des Potentials eines homogen geladenen Kreisrings.

y-Ebene liegt und sein Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt. DieLadung sei gleichmäßig auf den Kreis 2πR verteilt. Dann ist die Ladungsdichte des alsunendlich dünn idealisierten geladenen Kreises gleich

ρ(r) =q

2πRδ(ρ− R)δ(z), ρ2 = x2 + y2. (4.84)



Wir berechnen zunächst das Potential auf der z-Achse. Ein Punkt (0, 0, z) auf dieser Achsehat denselben Abstand

√z2 +R2 zu jedem Punkt auf dem Ring, und entsprechend ist

Φ(0, 0, z) =

∫

ρ(r ′)√z2 +R2

ρ′dρ′dz′dφ′ =q√

z2 +R2. (4.85)

Auf der Symmetrieachse ist das Feld identisch mit demjenigen einer Punktladung aufder Achse im Abstand

√z2 +R2. Das Potential ist für r 6= R harmonisch und hat die

Darstellung (4.81). Es ist nur regulär, falls die bℓ für r < R verschwinden und falls die aℓ

für r > R verschwinden. Nun können wir die Entwicklungen

Φ(r < R) =∑

aℓrℓPℓ(cos θ) und Φ(r > R) =

∑ bℓrℓ+1

Pℓ(cos θ) (4.86)

mit dem Resultat (4.85) vergleichen. Auf der z-Achse ist r = |z|. Mit

R√z2 +R2

=1√

1 + t2=

∞∑

k=0

(−12

k

)

t2k, t =|z|R

=r

R,

und mit Pℓ(1) = 1 finden wir für das Potential innerhalb des Kreises5

Φ(r < R) =q

R

∑

ℓ

(−12

ℓ

)

( r

R

)2ℓ

P2ℓ(cos θ)

=q

R

(

1− r2

4R2(3 cos2 θ − 1) +O

(

(r/R)4)

)

, (4.87)

und außerhalb des Kreises

Φ(r > R) =q

r

∑

ℓ

(−12

ℓ

)(

R

r

)2ℓ

P2ℓ(cos θ)

=q

r

(

1− R2

4r2(3 cos2 θ − 1) +O

(

(R/r)4)

)

. (4.88)

Weit weg vom Ring ist der führende Term, wie erwartet, das Coulombfeld. Der Dipoltermverschwindet und die erste Korrektur zum Monopolanteil ist das Quadrupolfeld.

5Die Binomialkoeffizienten sind definiert durch(

αk

)

= Γ(α+1)Γ(k+1)Γ(α−k+1) .


4. Multipole und spezielle Funktionen 4.5. Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten 66

4.5 Multipolentwicklung in Kugelkoordinaten

Wie früher betrachten wir eine statische und innerhalb einer Kugel vom Radius R lo-kalisierte Ladungsverteilung ρ(r). Mit Hilfe der Kugelfunktionen können wir nun relativschnell die Multipolentwicklung des Potentials Φ nach Potenzen von R/r ableiten. Wirerinnern uns an

1

|r − r ′| =1

r>

∑

ℓ

(

r<

r>

)ℓ

Pℓ (r · r ′)

=1

r>

∞∑

ℓ=0

4π

2ℓ+ 1

ℓ∑

m=−ℓ

(

r<

r>

)ℓ

Y∗ℓm(θ′, φ′)Yℓm(θ, φ). (4.89)

Verschwindet ρ(r ′) für r′ > R, dann folgt für r > R

Φ(r) =

∫

ρ(r ′)

|r − r ′|d3r′ =

∑

ℓm

√

4π

2ℓ+ 1qℓmYℓm(θ, φ)

rℓ+1, (4.90)

mit den Multipolmomenten

qℓm =

√

4π

2ℓ+ 1

∫

d3rrℓY∗ℓm(θ, φ)ρ(r). (4.91)

Für ℓ = 0 erhalten wir das „Monopolmoment“ Ladung, für ℓ = 1 die Komponenten desDipol-Momentes und für ℓ = 2 die Komponenten des Quadrupolmoments. Speziell fürm = 0 findet man

q00 =√

4π

∫

d3r

√

1

4πρ(r)

q10 =

√

4π

3

∫

d3r

√

3

4πr cos θρ(r) =

∫

d3r zρ(r) (4.92)

q20 =

√

4π

5

∫

d3r

√

5

4πr2(3

2cos2 θ − 1

2

)

ρ(r) =3

2

∫

d3r(

z2 − r2

3

)

ρ(r).

Der Vergleich mit (4.4-4.6) zeigt

q00 = q, q10 = p3, q20 =3

2Q33. (4.93)

Für festes ℓ gibt es 2ℓ+ 1 Komponenten qℓm. In kartesischen Koordinaten ist die Anzahlunabhängiger Komponenten in der Multipolentwicklung nicht so offensichtlich. Wegen der


4. Multipole und spezielle Funktionen 4.6. Vollständige Funktionensysteme 67

Symmetrie und Spurfreiheit hat zum Beispiel der Quadrupoltensor 9−3−1 = (2·2+1) = 5

unabhängige Komponenten. Von den 33 = 27 Komponenten des Oktupolmoments Qijk

sind tatsächlich nur (2 · 3 + 1) = 7 unabhängig. Für höhere Multipole ist die sphärischeMultipolentwicklung wesentlich einfacher und eleganter.

4.6 Vollständige Funktionensysteme

Abschliessend wollen wir die Eigenschaften der Legendre-Polynome und Kugelfunktionengeometrisch interpretieren. Wir werden dann besser verstehen, warum die Pℓ ein vollstän-diges Orthogonalsystem auf dem Raum der Funktionen [−1, 1] → C und die Yℓm einvollständiges Orthonormalsystem auf dem Raum der Funktionen S2 → C bilden. DieseFunktionen bilden jeweils einen linearen Raum. Als inneres Produkt wählen wir

(f, g) =

∫

M

ρ(z) f(z)g(z) dnz, ρ(z) > 0, (4.94)

wobei in der Elektrostatik folgende Räume und Dichten ρ auftreten:

M = [−1, 1], ρdz = dz für Legendre-Polynome,

M = S2, ρ(z)dnz = sin θ dθdφ für Kugelfunktionen.

Die Bilinearform (., .) ist ein Skalarprodukt:Es ist linear im zweiten Argument und antilinear im ersten Argument,

(f, α1g1 + α2g2) = α1(f, g1) + α2(f, g2) und (f, g) = (g, f), (4.95)

und es ist positiv

(f, f) ≥ 0 und (f, f) = 0 nur, falls f = 0. (4.96)

Zwei Funktionen f, g (Vektoren in diesem unendlich dimensionalen Funktionenraum) sindorthogonal, falls (f, g) = 0 ist. Die Länge oder Norm einer Funktion ist

‖f‖ = (f, f)1/2. (4.97)

Also ist der Raum der stetigen Funktionen M → C ein unendlich-dimensionaler Vektor-raum, versehen mit einer Norm, ein sogenannter normierter Raum. Der Abstand zwischenzwei Funktionen ist

d(f, g) = ‖f − g‖. (4.98)



Ist der Raum bezüglich dieser Metrik vollständig, so heißt er Hilbertraum: Ein Hilbertraumist ein linearer Raum, der bezüglich der durch das innere Produkt induzierten Metrikvollständig ist. In einem Hilbertraum konvergieren zum Beispiel alle Cauchy-Folgen gegenein Element des Raumes. Es gilt der folgendeSatz: Es gelten die Schwartzsche und Dreiecksungleichung

|(f, g)| ≤ ‖f‖ ‖g‖ und ‖f + g‖ ≤ ‖f‖+ ‖g‖. (4.99)

Weiterhin ist

‖g‖ ≤ ‖λf + g‖ für alle λ ∈ C (4.100)

genau dann, wenn (f, g) = 0 ist.

Beweis: Sei α = (f, g). Eine einfache Rechnung zeigt, daß

0 ≤ ‖λf + g‖2 = |λ|2‖f‖2 + 2ℜ(αλ) + ‖g‖2. (4.101)

Damit gilt die letzte Aussage im Satz für α = 0. Ist f = 0, dann sind die erste und letzteBehauptung trivial erfüllt. Sei nun f 6= 0. Wir setzen λ = −α/‖f‖2. Mit diesem λ wird(4.101) zu

0 ≤ ‖λf + g‖2 = ‖g‖2 − |α|2

‖f‖2 .

Dies beweist die erste Ungleichung und zeigt, daß die dritte Behauptung nur für α = 0

gelten kann. Die zweite Ungleichung im Satz folgt aus der ersten (man quadriere die zweiteUngleichung).

Der Raum der stetigen Funktionen auf M ist bezüglich der durch (4.94) induziertenNorm nicht vollständig. Man kann ihn aber vervollständigen. Der etwas größere Raumwird mit

L2(M, ρ) (4.102)

bezeichnet.Die Legendre-Polynome sind orthogonal in L2([0, 1]) und die Kugelfunktionen orthogonalin L2(S

2, sin θ dθdφ). Dies ist einfach zu beweisen. Dazu schreiben wir die entsprechendenDifferentialgleichungen als Eigenwertgleichungen:

Afℓ = ℓ(ℓ+ 1)fℓ, A = − d

dz

(

1− z2) d

dzbzw. A = −Ω. (4.103)



Der Differentialoperator A ist linear. Nach Wahl einer Basis im Funktionenraum ist ereine unendlich-dimensionale Matrix. Der zu A adjungierte Operator A† wird durch

(f, Ag) = (A†f, g) (4.104)

definiert. Für einen symmetrischen Operator ist A = A†. Der Laplaceoperator Ω auf S2

ist offensichtlich symmetrisch, siehe (4.29). Der erste Differentialoperator A in (4.103) istes ebenfalls:

(f, Ag) =

1∫

−1

dzfAg = −(1− z2)(

f g′ − f ′g)

|1−1 +

1∫

−1

dzAfg = (Af, g). (4.105)

Wir setzten hier voraus, daß f und g bei z = ±1 regulär sind, so daß keine Oberflächen-terme auftreten.

Es seien nun fℓ und fℓ′ Eigenfunktionen des symmetrischen Operators A mit Eigen-werten ℓ(ℓ+ 1) bzw. ℓ′(ℓ′ + 1). Dann ist

(Afℓ, fℓ′) = ℓ(ℓ+ 1)(fℓ, fℓ′) = (fℓ, Afℓ′) = ℓ′(ℓ′ + 1)(fℓ, fℓ′).

Für ℓ 6= ℓ′ muß also (fℓ, fℓ′) = 0 gelten. Deshalb sind die Legendre-Polynome bzw. Kugel-funktionen orthogonal zueinander. Die Kugelfunktionen sind normiert. Es verbleibt noch,die Norm der Legendre-Polynome zu bestimmen. Mit

∫ 1

−1

dz

(

dℓ

dzℓ(1− z2)ℓ

)2

=2

2ℓ+ 14ℓ(ℓ!)2 (4.106)

findet man, daß

(Pℓ, Pℓ) =2

2ℓ+ 1und damit (Pℓ, Pℓ′) =

2

2ℓ+ 1δℓℓ′ . (4.107)

In der Funktionalanalysis zeigt man, daß die Eigenfunktionen jedes selbstadjungiertenOperators A ein vollständiges Funktionensystem bilden. Jede Funktion f ∈ L2[M, ρ] isteine Linearkombination der Eigenfunktionen von A.


Kapitel 5

Elektrisches Feld in Materie

Bisher untersuchten wir von Ladungen erzeugte elektrische Vakuumfelder, beschriebendurch die beiden Maxwell-Gleichungen

∇ ·E = 4πρ und ∇∧ E = 0.

Nun sollen die entsprechenden Gleichungen in Isolatoren besprochen werden. Ein mate-rieller Körper enthält positive und negative Ladungen, und zwar von jeder Sorte gleichviele, wenn er elektrisch neutral ist. Während nun beim Leiter eine der beiden Sorten freibeweglich ist (Elektronen beim Metall, Ionen beim Elektrolyten), sind beim Isolator bei-de Sorten quasielastisch an feste Orte gebunden. In einem Dielektrikum gibt es keine freibeweglichen Ladungen und die geladenen Teilchen können kaum aus ihrer Gleichgewichts-position verschoben werden. Unter der Einwirkung eines elektrischen Feldes verschiebensich die positiven Ladungen ein wenig in Richtung des Feldes und die negativen entge-gengesetzt dazu, und zwar um eine der Stärke des Feldes proportionale Strecke. Diesegegenseitige Verschiebung der Ladungen nennen wir Polarisation und beschreiben siedurch einen Vektor P . Die Polarisation induziert Zusatzfelder, die sich dem äußeren Feldüberlagern.

5.1 Polarisation und dielektrische Verschiebung

Wir nehmen an, daß die Maxwell-Gleichungen des Vakuums mikroskopisch gültig sind:

∇ · Em = 4πρm und ∇∧Em = 0, (5.1)

wobei Em das mikroskopische elektrische Feld und ρm die mikroskopische Ladungsdichtebedeuten. Das mikroskopische Feld von etwa 1023 Ladungsträgern je Kubikzentimeter istaber derart kompliziert, daß seine exakte Bestimmung in makroskopischen Dielektrika

70

5. Elektrisches Feld in Materie 5.1. Polarisation und dielektrische Verschiebung 71

praktisch unmöglich ist. In einer Elementarzelle eines Festkörpers oder in einem Atomist es von der Größe Em ∼ e/(1A)2 ∼ 109V/cm, dabei ist e die Elementarladung und1A = 10−8cm ein Ångstrøm. Noch schwerer wiegt unsere Unkenntnis über die Physik aufatomaren Skalen. Atomare Modelle lassen sich korrekt nur im Rahmen der Quantenme-chanik entwickeln.Messen wir allerdings nur Felder und Ladungsverteilungen auf makroskopischen Skalen,so mitteln wir automatisch über einen gewissen Raumbereich und ein Zeitintervall. Da-bei werden die kurzwelligen und kurzzeitigen Fluktuationen des mikroskopischen Feldesgeglättet. Die klassische Elektrodynamik ist deshalb nur für gemittelte Größen sinnvollanwendbar.

Wir ordnen einem mikroskopischen Feld Am(t, r) sein geglättetes mittleres Feld

〈A〉(t, r) =

∫

d3r′f(r − r ′)A(t, r ′) =

∫

d3r′f(r ′)A(t, r − r ′) (5.2)

zu. Die Funktion f(r) sei bei r = 0 lokalisiert, nichtnegativ und∫

d3r f(r) = 1. MöglicheGlättungsfunktionen sind

f(r) =3

4πb3θ(b− r) oder f(r) =

1

π3/2b3exp

(

−r2

b2

)

. (5.3)

Mit der ersten Wahl mitteln wir über Kugeln vom Radius b, zentriert um r . Die Gauß-

f(r)

r

f(r)

r

Abbildung 5.1: Zwei mögliche Glättungsfunktionen.

funktion leistet im Wesentlichen das Gleiche, aber mit einer analytischen Glättung. DieMittelung geschieht über eine Länge b, die viel größer als der typische Atomabstand vonetwa a ∼ 10−8cm sein soll. Auf der anderen Seite soll b klein sein gegenüber der Skala,auf der die zu studierenden Phänomene variieren. Für eine Welle ist diese Skala durch die



Wellenlänge λ bestimmt, also fordern wir

a≪ b≪ λ. (5.4)

Typische Mittelungslängen sind µm → mm. Für b ∼ 10−2cm sind etwa 1017 Teilchen ineinem Mittelungsvolumen enthalten. Wegen der großen Zahl von Teilchen im Mittelungs-volumen werden durch die räumliche Mittelung auch die raschen zeitlichen Fluktuationengeglättet.

Man kann auch andere Mittelungen als in (5.2) benutzen. Die Resultate sollten abervon der Art der Mittelung unabhängig sein. Wir brauchen für die folgenden Betrachtungendie Annahme

∇〈A〉 = 〈∇A〉, (5.5)

die auf die Mittelung (5.2) zutrifft,

∇〈A〉(t, r) =

∫

d3r′∇rf(r − r ′)A(t, r ′) = −∫

d3r′∇r ′f(r − r ′)A(t, r ′)

=

∫

d3r′f(r − r ′)∇A(t, r ′) = 〈∇A〉(t, r).

Wir definieren nun das makroskopische elektrostatische Feld

E (r) = 〈Em〉(r). (5.6)

Da Mittelung und Ableitung vertauschen, erhalten wir aus den mikroskopischen Grund-gleichungen (5.1) die makroskopischen Feldgleichungen

∇ · E = 4π〈ρm〉(r) und ∇∧ E = 0. (5.7)

Wegen

〈Em〉(r) = −〈∇Φm〉(r) = −∇〈Φm〉(r), (5.8)

wobei Φm das mikroskopische Potential ist, können wir das makroskopische elektrischeFeld als Gradient des gemittelten skalaren Potentials Φ = 〈Φm〉 schreiben.

Wir berechnen Φ nun näherungsweise. Das Material bestehe aus N Atomen (Ionen,Moleküle). Die Ladung qn des n’ten Atoms (Ions, Moleküls) ist die Summe der Ladungender Kerne und Elektronen, aus denen das Atom zusammengesetzt ist1. Die Atome sindeinige Ångstrøm groß und damit ist der Abstand der Elektronen und des Kerns im n’ten

1In der klassischen Elektrodynamik dürfen wir die Kerne und Elektronen als Punktteilchen ansehen.



Atom zum Schwerpunkt rn des Atoms sehr viel kleiner als der Abstand zwischen demAufpunkt r (wo Φ gemessen wird) und rn. In der Multipolentwicklung für das vom n’tenAtom am Orte r erzeugte Potential dürfen wir damit die Dipolnäherung machen,

Φn =qn

|r − rn|+ pn · (r − rn)|r − rn|3 +O

(

1

|r − rn|3)

, (5.9)

wobei qn und pn die Ladung und das Dipolmoment des als klein angesehenen n’ten Atomes(Ions) ist. In dieser Näherung ist das von allen Atomen im Material erzeugte Potentialdurch die Summe der Monopol- und Dipolfelder der einzelnen Atome (Ionen) gegeben,

Φm(r) =

N∑

n=1

(

qn|r − rn|

+pn · (r − rn)

|r − rn|3)

=

∫

d3r′(

ρm,f(r′)

|r − r ′| + Pm(r ′) · r − r ′

|r − r ′|3)

, (5.10)

wobei wir die Ladungdichte der elektrischen Monopole und die Dipoldichte einführten,

ρm,f =N∑

n=1

qnδ(r − rn) und Pm(r) =N∑

n=1

pnδ(r − rn). (5.11)

Statt über das Potential hätten wir direkt über die Näherung für die mikroskopischeLadungsdichte argumentieren können. In der Dipolnäherung ist die Ladungsdichte derAtome die Summe aus dem Monopol- und Dipolterm, siehe (4.9),

ρm(r) =

N∑

n=1

(qnδ(r − rn)− pn∇δ(r − rn)) = ρm,f + ρm,P, (5.12)

und (5.10) ist dann äquivalent zu

Φm =

∫

d3r′(

ρm,f(r′)

|r − r ′| +ρm,P(r ′)

|r − r ′|

)

. (5.13)

Nun mitteln wir (5.10), um vom mikroskopischen Potential zum mittleren Potential zugelangen:

Φ(r) =

∫

d3u f(u)

∫

d3r′(

ρm,f(r′)

|r − u − r ′| + Pm(r ′) · r − u − r ′

|r − u − r ′|3)

.



Wir setzen r ′ + u = r ′′, so daß

Φ(r) =

∫

d3r′′∫

d3uf(u)

(

ρm,f(r′′ − u)

|r − r ′′| + Pm(r ′′ − u) · r − r ′′

|r − r ′′|3)

=

∫

d3r′(

ρf (r′)

|r − r ′| + P(r ′) · r − r ′

|r − r ′|3)

=

∫

d3r′(

ρf (r′)

|r − r ′| + P(r ′) · ∇′ 1

|r − r ′|

)

.

Im zweitletzten Schritt haben wir die Integrationsvariable r ′′ wieder mit r ′ bezeichnetund die makroskopische Ladungdichte der freien Ladungsträger (Ionen)

ρf (r) =

∫

d3uf(u)ρm,f(r − u) =∑

n

qnf(r − rn) (5.14)

und die makroskopische Polarisation

P(r) =

∫

d3uf(u)Pm(r − u) =∑

n

pnf(r − rn) (5.15)

eingeführt. Für die erste Wahl für f in (5.3) ist

ρf(r) =1

|V |∑

rn∈V

qn und P(r) =1

|V |∑

rn∈V

pn, (5.16)

wobei V die Kugel mit Radius b und r als Zentrum ist. Die makroskopische Ladungsdichteentsteht durch Mittelung über alle Ladungen in V . Die gebundenen Ladungen werdensich in der Regel kompensieren, so daß ρf aus freien Überschußladungen resultiert. DiePolarisation P ist das Dipolmoment je Volumeneinheit. Verschwindet das Dipolmomentder „Teilchen“, wie zum Beispiel das Dipolfeld der Elementarzelle eines Siliziumkristalls,dann muß man unter Umständen die Entwicklung (5.10) zu höheren Multipolmomentenfortsetzen. Für die Maxwellgleichungen benötigen wir die Quellen des elektrischen Feldes,

∇ · E = −Φ = 4π

(

ρf (r) +

∫

d3r′P(r ′)∇′δ(r − r ′)

)

= 4π(ρf (r)−∇ ·P(r)). (5.17)

Die Ladungsdichte ρ setzt sich zusammen aus einer freibeweglichen Ladungsdichte ρf

(zum Beispiel die Ladungsdichte, die auf eine Kondensatorplatte aufgebracht wird) undder Polarisations-Ladungsdichte



ρP (r) = −∇ ·P(r). (5.18)

Wir veranschaulichen diese Gleichung. Wir betrachten einen Festkörper auf Skalen großgegen den Atomabstand, so daß sich die Ladungen der Ionen und Elektronen kompen-sieren, siehe Abb. 5.2a. Legt man ein elektrisches Feld an, so verschieben sich die Elek-tronen gegenüber den Ionen wie in Abb. 5.2b. Im Inneren des Festkörpers hat man La-dungskompensation. Nur am Rand bleiben Netto-Ladungen übrig. Im dritten Bild ist diePolarisation in Feldrichtung eingezeichnet. In der Abb. 5.2d ist die PolarisationladungρP = −∇ ·P aufgetragen. Dieses Bild stimmt mit dem zweiten überein. Damit setzt sich

Px

x

c) Polarisation

ρ

xρIonen

ρElektronen

a) unpolarisiert

ρP = −dPx

dx

x

d) Polarisations-ladungen

ρ

x

b) polarisiert

Ex

Abbildung 5.2: Zur Veranschaulichung der Polarisationsladungen.

die Ladungsdichte ρ zusammen aus einer freibeweglichen Dichte ρf und der Polarisations-Ladungsdichte ρP ,

ρ(r) = ρf(r) + ρP (r) = ρf (r)−∇ ·P(r). (5.19)

Nun führt man in der Maxwellgleichung

∇ ·E = 4πρ = 4πρf − 4π∇ ·P (5.20)



die diektrische Verschiebung (elektrische Erregung) D ein

D(r) = E (r) + 4πP(r), (5.21)

so daß ∇D = 4πρf ist. Deshalb lauten die Grundgleichungen der Elektrostatik für diegemittelten Felder in Medien

∇∧ E = 0 und ∇ ·D = 4πρf . (5.22)

Für den Fluß der dielektrischen Verschiebung durch die Oberfläche eines beliebigen Vo-lumens erhält man dann die freibewegliche Ladung qf (V ) innerhalb des Volumens

∮

∂V

df ·D(r) = 4πqf(V ). (5.23)

Die Polarisationsladungsdichte resultiert aus induzierten Dipolen, d.h. aus Ladungsver-schiebungen. Dabei wird Ladung weder zu- noch abgeführt. Die gesamte Polarisationsla-dung muß also verschwinden:

QP =

∫

V

d3r ρP = −∫

V

d3r∇ ·P = −∮

∂V

df ·P = 0. (5.24)

Hier ist V ein das Dielektrikum umschließendes Gebiet. Im Gaußschen System habenD ,E und P die gleiche Dimension dyn1/2 cm−1. Im SI-System wird aber E in V/m, D

und P in As/m2 gemessen.Man unterscheidet die Dielektrika nach den verschiedenen Typen von Polarisationen,

die auftreten können:

• Eigentliche Dielektrika: Hier verschieben sich die in einem Teilchen gebundenenpositiven und negativen elektrischen Ladungen relativ zueinander, wobei elektrischeDipole erzeugt werden. Man spricht von Deformationspolarisation. Die Dielektrizi-tätskonstante ist von der Größe des elektrischen Feldes und (bei konstanter Dichte)der Temperatur unabhängig. Helium, Luft oder Kohlendioxid bei Raumtemperatu-ren sind eigentliche Dielektrika mit ǫ sehr nahe bei Eins. Zum Beispiel hat Luft mit1 atm und 180C eine Dielektrizitätskonstante ǫ = 1.00055

• Paraelektrikum: Hier besteht die Materie aus permanenten Dipolen. Wasser, des-sen H2O Moleküle ein permanentes Dipolmoment besitzen, ist ein Paraelektrikum.In einem äußeren elektrischen Feld haben diese Momente die Energie −p ·Eext. Diesewird durch Ausrichtung der Momente in Feldrichtung erniedrigt. Die thermischenFluktuationen verhindern eine vollständigen Ausrichtung. Je tiefer die Temperatur,



desto größer ist diese sogenannte Orientierungspolarisation. Methylalkohol, Glyze-rin oder Wasser bei Raumtemperatur sind paraelektrische Stoffe. Bei 180C habensie Dielektrizitätskonstanten 31.2, 56.2 und 81.1.

• Ferroelektrikum: Hier können sich die permanenten Dipolmomente unterhalb ei-ner kritischen Temperatur TC spontan, d.h. ohne äußeres Feld, ausrichten. Dies istein ähnlicher Effekt, wie die spontane Ausrichtung von permanenten magnetischenDipolen in Ferromagneten, z.B. Eisen. Vertreter dieser Gruppe sind Bariumtitanatoder Kaliumdiwasserstoffphosphat. Ferromagnetische Stoffe sind durch die außer-ordentliche Größe der erreichbaren Dielektrizitätskonstanten gekennzeichnet. Mankann Werte von etlichen 104 beobachten. Diese sind aber nicht konstant und hängenvon der angelegten Feldstärke und der Vorgeschichte des Stoffes ab. Ferroelektrikazeigen im Feld ein kompliziertes Verhalten und werden im Folgenden nicht mehrbetrachtet.

Für viele dielektische und paraelektrische Substanzen, man nennt sie lineare Medien, sindbei nicht zu großer Feldstärke P und E in guter Näherung proportional

P(r) = χeE (r) , χe elektrische Suszeptibilität

D(r) = εE (r) , ε relative Dielektrizitätskonstante (5.25)

mit der Beziehung

ε = 1 + 4πχe. (5.26)

Für anisotrope lineare Stoffe sind χe und ε Tensoren und entsprechend E und P nichtparallel. Für isotrope lineare Medien sind Feld und Polarisation parallel und ǫ ein Skalar.Die Materialgrößen ǫ und χe hängen von den äußeren Bedingungen wie Druck (bei Quarz)oder Temperatur ab. Ferroelektrika sind allerdings nichtlinear, da bei tiefen TemperaturenP bereits für E = 0 von Null verschieden sein kann.

Für lineare Medien setzen wir E = −∇φ in die Gleichung für D ein und finden

4πρf = ∇ ·D = −∇ · (ε∇φ). (5.27)

Ist das Medium zusätzlich isotrop, dann folgt die Poissongleichung für das gemitteltePotential,

φ = −4π

ερf . (5.28)

In Isolatoren existieren in guter Näherung keine freien Ladungsträger und das gemittelte


5. Elektrisches Feld in Materie 5.2. Grenzflächen zwischen Dielektrika 78

Potential ist harmonisch.

d

U

Bringen wir ein isotropes Dielektrikum zwischen die Plat-ten eines Kondensators, so erhöht sich dessen Kapazität. Istdie x-Achse senkrecht zu den (als unendlich groß angeom-menen) Platten mit Abstand d, dann ist das Potential deshomogenen Feldes gleich

φ =U

dx.

Bei festgehaltener Spannung U ist die VerschiebungdichteDm mit Materie proportional zur Dielektrizitätskonstante

des Mediums zwischen den Kondensatorplatten,

ǫ =|Dm||D0|

. (5.29)

Bei fester Spannung ist das elektrische Feld zwischen den Platten mit und ohne Medi-um gleich, Em = E0. Deshalb muss beim Einbringen des Dielektrikums die Ladung aufden Platten um eine Faktor ǫ erhöht werden um die Abschirmung durch die Polarisati-onsladungen an den Oberflächen des Dielektrikums zu kompensieren. Dies führt zu einerZunahme der Kapazität,

ǫ =Kapazität des mit Materie gefüllten Kondensators

Kapazität des leeren Kondensators. (5.30)

Umgekehrt ist bei abgenommener Spannungsquelle die LadungQ auf den Platten konstantund das elektrische Feld auf direkt an den Kondensatorplatten ändert nicht. Wegen derStetigkeit der Normalkomomente von Dn beim Übergang ins Medium ist die dielektrischeVerschiebung dann mit und ohne Medium gleich, Dm = D0, und es gilt

ǫ =|E0||Em|

. (5.31)

Die Eigenschaft (5.30) ergibt eine Vorschrift zur Messung von Dielektrizitätskonstanten.

5.2 Grenzflächen zwischen Dielektrika

Wir betrachten die Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika oder Dielektrikum und Vaku-um. Unsere früheren Resultate über die Randbedingungen für Metalle können beinahe



unverändert übernommen werden.Wegen ∇∧E = 0 verschwindet auch in Materialien die Ringspannung und

t · (E1 −E2) = 0 an der Grenzfläche, (5.32)

d.h. die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes ist stetig. Anstelle von (3.5) findenwir die Übergangsbedingung

n · (D2 −D1) = 4πσf . (5.33)

Sind auf der Grenzfläche keine freibeweglichen Ladungen, so ist die Normalkomponenteder dielektrischen Verschiebung D stetig. Schließt das elektrische Feld in isotropen Medienohne freibewegliche Ladungen mit der Grenzflächennormalen n die Winkel α1 und α2 ein,

E1

D1

E2

D2

α1

α2

ǫ2 > ǫ1

so gilt, wie man aus obiger Abbildung leicht abliest, die Relationen

|E1| sinα1 = |E2| sinα2 , |D1| cosα1 = |D2| cosα2. (5.34)

Der „Einfalls- und Brechungswinkel“ der Feldlinien stehen zueinander in der Beziehung

tanα1

ε1

=tanα2

ε2

odertanα2

tanα1

=ε2

ε1

. (5.35)

Dieses Brechungsgesetz der elektrischen Kraftlinien weicht von dem optischen Brechungs-gesetz auf zwei Arten ab: Es tritt die Tangens- statt der Sinusfunktion auf und die elek-



trische Kraftlinie wird beim Eintritt in das elektrisch dichtere Medium von der Einfalls-normale fortgebrochen. Elektrisch dichter wird das Material mit der größeren Dielektri-zitätskonstante bezeichnet. Ist Medium 2 elektrisch dichter, so folgt aus Gl. (5.35) in derTat

tanα2 > tanα1.

Der Grenzfall Leiter (ε2 → ∞) ist enthalten. Hier wird α1 = 0 und die Kraftlinienverlaufen senkrecht zur Leiteroberfläche.

5.2.1 Dielektrische Kugel im homogenen elektrischen Feld

Wir betrachten eine dielektrische Kugel mit Radius R und Dielektrizitätskonstante εi,eingebettet in einem Dielektrikum mit Dielektrizitätskonstante εa. Feld und Potentialinnerhalb der Kugel tragen den Index i und ausserhalb der Kugel den Index a. In beidenDielektrika gilt

E = −∇Φ, D = εE = −ε∇Φ. (5.36)

Die Stetigkeit von n ·D und t ·E implizieren für das harmonische Potential Φ die Über-gangsbedingungen

εa∂Φa

∂r|R = εi

∂Φi

∂r|R und Φa|R = Φi|R. (5.37)

Gilt die letzte Gleichung an einem Punkt der Kugeloberfläche, dann gilt sie wegen derStetigkeit von t · E an allen Punkten auf der Kugeloberfläche. Aber an einem Punktekönnen wir immer Φa = Φi erreichen. Weit weg von der Kugel ist das Feld homogen,

Φa(r) ≈ −E∞ · r für r ≫ R. (5.38)

Die lineare Funktion E∞ ·r ist eine harmonische Funktion mit ℓ = 1. Deshalb erwarten wirfür die Außenlösung eine harmonische Funktion mit ℓ = 1, also eine Linearkombinationdes homogenen Feldes und eines Dipolfeldes,

Φa(r) =(

−E∞ +p

r3

)

· r , r > R. (5.39)

Da am Ursprung kein (makroskopischer) Dipol sitzt, können wir ein konstantes elektri-sches Innenfeld mit Potential

Φi(r) = −Ei · r , r < R, (5.40)



ansetzen. Die Anschlußbedingungen (5.37) führen auf

E∞ −p

R3= Ei und E∞ +

2p

R3=εi

εaEi. (5.41)

Aus diesen Gleichungen erhält man das konstante Innenfeld und das induzierte Dipolmo-ment der dielektrischen Kugel als Funktionen des angelegten Feldes:

Ei =3εa

εi + 2εaE∞ und p =

εi − εa

εi + 2εaR3E∞ . (5.42)

Speziell für eine Kugel mit dielektrischer Konstante ε im Vakuum ist

Ei =3

ε+ 2E∞, Di =

3ε

ε+ 2E∞ und p =

ε− 1

ε+ 2R3E∞. (5.43)

Durch die Polarisierung wird das elektrische Kraftfeld in einer dielektrische Kugel schwä-cher als das primäre Außenfeld. Dies nennt man Entelektrisierung. Die Kraftlinien dringenin das Kugelinnere ein. Außen werden sie durch die Wirkung des (virtuellen) Dipolmo-mentes gekrümmt während sie innerhalb der Kugel parallel zur z-Achse verlaufen, siehe5.3. Die Feldlinien zu D , die sogenannten Erregungslinien, sind überall quellenfrei; das

D

Abbildung 5.3: Eine dielektrische Kugel im Vakuum; Darstellung der Erregungslinien, d.h.der Feldlinien von D. Ein Teil der (nicht eingezeichneten) Kraftlinien, d.h. der Feldlinienvon E , enden an der Oberfläche der Kugel.

gilt nicht für die Kraftlinien, d.h. den Feldlinien zum elektrischen Feld E . Der Grenz-fall ǫ → ∞ beschreibt die ideal leitende Kugel im Vakuum. Dabei ist zu beachten, daßDi = εEi beim Grenzübergang ε→∞ endlich bleibt, was mit Ei → 0 verträglich ist. Istdie Dipoldichte in der Kugel annähernd konstant, dann ist die Polarisation in der Kugel



gleich

P =3

4πR3p. (5.44)

Die Felder E∞,Ei und P sind parallel und wegen (5.41) ist der Unterschied von Innenfeldund asymptotischen Feld proportional zur Polarisation,

Ei = E∞ −4π

3P . (5.45)

Die Polarisation im Innern der Kugel bewirkt eine Veränderung des mittleren elektrischenFeldes in der Kugel.

Vertauscht man die dielektrische Materie und den leeren Raum, dann ergibt sich einkugelförmiger Hohlraum umgeben von einem Dielektrikum mit Dielektrizitätskonstanteε. Man findet im Hohlraum ein größerers Feld als im Außenraum,

Ei = Di =3ε

1 + 2εE∞. (5.46)

Die Entelektrifizierung in einem Dielektrikum hängt von dessen Geometrie ab. In einemRotationsellipsoid, dessen Rotationsachse parallel zum äußerern Feld liegt, ist das Innen-feld ebenfalls homogen und parallel zum asymptotischen Außenfeld,

Ei = E∞ − 4πNP . (5.47)

Die Zahl N ist geometrieabhängig und heisst Entelektrifizierungsfaktor.

ab

E∞

Sind 2a und 2b die Länge und der Durchmesser des Ellipsoids, dann lautet die Formel fürden Entelektrifizierungsfaktor2 als Funktion der Exzentrizität ǫ =

√

1− b2/a2

N =1− ǫ2ǫ3

(

1

2log

1 + ǫ

1− ǫ − ǫ)

. (5.48)

2Siehe z.B. A. Sommerfeld „Elektrodynamik“ §13


5. Elektrisches Feld in Materie 5.3. Clausius-Mosottische Formel 83

Für die Kugel ist der Faktor 1/3 und er verschwindet für einen langen Stab in Richtungdes äußeren Feldes. Das Resultat (5.48) ist in der folgenden Abbildung geplotted.

a/b

N

13

16

2010

b Kugel

Stab

Bei einem langen Stab in Feldrichtung sind die weit voneinander entfernten Polarisations-ladungen nicht mehr in der Lage das Dielektrikum merklich zu entelektrifizieren. Dagegenist für eine dünne Platte mit a/b = 0 der Entmagnetisierungsfaktor maximal, N = 1.

5.3 Clausius-Mosottische Formel

Wir verlassen vorübergehend den phänomenologischen Standpunkt und versuchen, einmolekulares Modell des Dielektrikums zu konstruieren. Für ein unpolares Molekül werdendie Ladungen erst nach Anlegen eines elektrischen Feldes getrennt und bildet dann einenDipol. Sein dem äußeren Feld proportionales elektrisches Moment p ist charakteristischfür das Molekül. In der Beziehung

D = E + 4πP (5.49)

ist E das angelegte, makroskopisch messbare Feld, das auch bei Abwesenheit der Molekülevorhanden wäre; der zweite Term ist die Polarisation. Wir wollen P aus dem Verhaltender Moleküle im elektrischen Feld bestimmen.

Das Feld Eeff am Ort des Moleküles ist verschieden vom makroskopischen Feld E . ImFeld Eeff ist das mittlere Dipolmoment

p = αEeff , (5.50)


5. Elektrisches Feld in Materie 5.3. Clausius-Mosottische Formel 84

wobei α eine in der Quantenmechanik berechenbare atomare Konstante ist. Bei einerDichte der Dipole (Atome, Moleküle) n ergibt sich die Polarisation

P = np = nαEeff . (5.51)

Wir müssen daher das effektive Feld Eeff bestimmen, das auf den Dipol wirkt. Dazuschneiden wir eine Kugel vom Radius R aus der Materie um den Dipol heraus. DieseDipole erzeugen, wie wir gerade gesehen haben, ein mittleres Feld

Ep = Ei − E∞ = −4π

3P ,

und dieses Feld fehlt nach dem Herausschneiden der Kugel. In Abwesenheit der Kugel istdas Feld E∞ = Ei + 4πP/3. Dafür ist das mikroskopische, schnell veränderliche Feld dereinzelnen Dipole in der Kugel zu addieren,

Eeff = E −Ep + Em,p, Em,p =∑

n

3(pn · rn)rn − r2npn

r5n

. (5.52)

Die Summe hängt von der Anordnung der Dipole, d.h. von der Kristallstruktur ab. Fallsdie Dipole auf einem kubischen Gitter sitzen, verschwindet die Summe3. Um dies einzu-sehen setzen wir

rn = an , n =

n1

n2

n3

∈ Z3,

wobei a die Gitterkonstante ist. Die Summe über die Positionen rn der Teilchen wird zueiner Summe über das ganzzahlige Gitter,

Em,p =1

a3

∑

n

3n(p · n)− n2p

(n · n)5/2(5.53)

Aus Symmetriegründen ist

∑ ninj

(n · n)5/2= 0 für i 6= j,

3Der Beweis stammt von H.A. Lorentz. Für andere Symmetrien ist das Verschwinden der Summeunbewiesen.


5. Elektrisches Feld in Materie 5.4. Feldenergie im Dielektrikum 85

da sich die Beiträge der Dipole bei (ni, nj) und (ni,−nj) wegheben, und weiterhin ist

∑ n2i

(n · n)5/2

unabhängig von i. Daraus folgt unmittelbar die Behauptung. Damit bleibt für ein kubi-sches Gitter

P = χeE = nαEeff = nα

(

E +4π

3P

)

= nα

(

1 +4π

3χe

)

E , (5.54)

woraus wir ablesen

χe =nα

1− 4πnα/3oder

ε− 1

ε+ 2=

4π

3nα. (5.55)

Wir haben ε = 1+4πχe benutzt. Die letzte Beziehung in (5.55) heisst Clausius-MosottischeFormel. Ins Optische übertragen, wobei ε das Quadrat des Brechungsindex bedeutet, heißtsie Lorenz-Lorentzsche Formel. Erweitern wir die rechte Seite dieser Formel mit m, derMasse der einzelnen Moleküle, so entsteht

ε− 1

ε+ 2=

4π

3

α

mρ. (5.56)

Die linke Seite ist demnach proportional zur Dichte ρ des Mediums und der Atomkon-stanten α/m. Für stark verdünnte Gase ist ε ∼ 1 und entsprechend gilt

ε− 1 = 4πα

mρ. (5.57)

5.4 Feldenergie im Dielektrikum

Im Vakuum hatten wir in (2.51) für die elektrostatische Energie

U =1

2

∫

d3rΦ(r)ρ(r) (5.58)

gefunden. Wir hatten uns die endgültige Ladungsanordnung dadurch entstanden gedacht,daß die einzelnen Ladungselemente nacheinander aus dem Unendlichen in das betrachteteGebiet gebracht werden. Bei Anwesenheit von Dielektrika muß nicht nur Arbeit verrich-tet werden, um die makroskopische Ladung an den gewünschten Ort zu bringen, sondernauch, um im Medium einen bestimmten Polarisationsgad zu erzeugen. Deshalb kann der


5. Elektrisches Feld in Materie 5.4. Feldenergie im Dielektrikum 86

Ausdruck (2.51) nicht ohne Weiteres übernommen werden. Bei Verschiebung der Ladungs-dichte δρ = δρf + δρP wird die elektrostatische Energie

∫

d3rδρfΦ +

∫

d3rδρPΦ (5.59)

zugeführt. Gleichzeitig sind in der Materie innere Potentiale Φi vorhanden, so daß diePolarisation ins Gleichgewicht kommt, das heißt

δU =

∫

d3rδρfΦ +

∫

d3r δρP (Φ + Φi).

Die Potentialkräfte müssen so beschaffen sein, daß für eine sehr langsame (adiabatische)Verschiebung der Polarisationsladungen δU = 0 gilt, damit die Polarisation im Gleichge-wicht ist, Φ + Φi = 0. Damit folgt

δU =

∫

d3r δρfΦ =1

4π

∫

d3r∇ · δDΦ = − 1

4π

∫

d3r δD · ∇Φ

beziehungsweise

δU =1

4π

∫

d3r E · δD . (5.60)

Für lineare Medien ist D = εE und die gesamte elektrostatische Energie ist

U =

∫

d3r u(r ′), u(r) =1

8πE ·D . (5.61)

Die Dielektrizitätskonstante des Vakuums ist ε = 1 und (5.60) vereinfacht auf das frühereResultat (2.53) für die elektrostatische Energie. Während (5.60) allgemeine Gültigkeithat, gilt (5.61) nur für lineare Medien mit konstantem ε.


Kapitel 6

Magnetostatik

In diesem Kapitel behandeln wir zeitlich konstante Magnetfelder, sogenannte magnetischeGleichfelder. Es wird die räumliche Verteilung von Magnetfeldern in der Umgebung vonDauermagneten und von stationären Strömen untersucht. Umgekehrt üben magnetischeFelder eine Kraftwirkung auf Magnete und Ströme aus. Die Grundbegriffe der Magne-tostatik sind denen der Elektrostatik analog. Der positiven und negativen elektrischenLadung entspricht Nordpol und Südpol eines Magneten. Im Gegensatz zur Elektrostatikkönnen magnetische Polstärken allerdings nicht isoliert werden, sondern treten in einemKörper immer zusammen auf. Es gibt keine magnetischen Monopole.

6.1 Strom und Stromdichte

Legen wir eine Spannung zwischen den Enden eines metallischen Drahtes an, dann bewe-gen sich die freien Ladungsträger durch den Draht - es fließt ein elektrischer Strom. DieLadungsmenge, die pro Zeit einen Querschnitt des Drahtes passiert, definiert den Strom

I = lim∆t→0

∆q

∆t=dq

dt. (6.1)

Sind q und v die Ladung und mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger und n ihre(homogene und zeitlich konstante) Dichte, dann ist Fvdt nq die in der Zeit dt durch denLeiterquerschnitt F fließende Ladung. Die Stromstärke ist dann

I = nFvq. (6.2)

Die Stromdichte j an einem Ort ist ein Vektor, der in die Bewegungsrichtung der elektri-schen Ladungsträger zeigt und dessen Betrag die pro Zeiteinheit durch die Flächeneinheithindurchtretende Elektrizitätsmenge mißt. Bezeichnet df = ndf das gerichtete Oberflä-

87

6. Magnetostatik 6.1. Strom und Stromdichte 88

j

F

F

b b b

b b b

Abbildung 6.1: Der Fluß von j durch die Fläche F ist gleich der Stromstärke.

chenelement, dann ist der elektrische Strom durch die Fläche F gleich

I =

∫

F

j · df . (6.3)

In der Magnetostatik beschränken wir uns auf zeitunabhängige Stromdichten, j (t, r) =

j (r). Sind die Ladungsträger Punktteilchen an den Orten rn(t) mit den Geschwindigkeitenvn(t), dann ist ihre Ladungs- und Stromdichte

ρm(t, r) =

N∑

n=1

qnδ(r − rn) und jm(t, r) =

N∑

n=1

qnvnδ(r − rn). (6.4)

Mitteln wir über mikroskopisch große und makroskopisch kleine Raumbereiche1 V , dannerhalten wir die gemittelte Ladungs- und Stromdichte,

ρ(t, r) =1

V

∑

rn∈V

qn und j (t, r) =1

V

∑

rn∈V

qnvn(t). (6.5)

Diese Dichten sind für bewegte Ladungsträger zeitabhängig, da sich deren Orte rn undGeschwindigkeiten vn mit der Zeit ändern. Haben alle Teilchen die gleiche Ladung q, wasbei genügend kleinen Mittelungsvolumen der Fall sein wird, dann gilt

j (t, r) =q

V

∑

vn =Nq

V

1

N

∑

vn = ρ(t, r)v(t, r).

1Wir bezeichnen die Raumgebiete und ihre Volumen beide mit V .


6. Magnetostatik 6.2. Das magnetische Feld und das Biot-Savart-Gesetz 89

Hier ist N die Anzahl Teilchen in V und Nq deren Gesamtladung. Die Geschwindigkeitv ist die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen im betrachteten Raumgebiet.

6.1.1 Stromerhaltung

Die elektrische Ladung ist eine Erhaltungsgröße, d.h. in einem abgeschlossenen Systemändert sie sich nicht. In offenen Systemen ist die zeitliche Änderung der Ladung q(V ) ineinem Raumbereich V gleich dem Strom durch die Oberfläche ∂V des Bereichs,

d

dt

∫

V

d3rρ(t, r) +

∮

∂V

df · j (t, r) = 0. (6.6)

Wenn die Stromdichte im Mittel aus dem Gebiet herauszeigt, dann fließt Strom ab unddie Ladung in V nimmt mit der Zeit ab. Für ein festgehaltenes Raumgebiet können wirdie Zeitableitung unter das Integral ziehen und erhalten

∫

V

d3r

(

∂ρ(t, r)

∂t+∇ · j (t, r)

)

= 0.

Da diese Gleichung für beliebige V gilt, muß der Integrand verschwinden,

∂ρ(t, r)

∂t+∇ · j (t, r) = 0. (6.7)

Diese Gleichung ist die wichtige Kontinuitätsgleichung der Elektrodynamik.In der Magnetostatik interessiert nur der stationäre Fall von zeitunabhängigen Ladungs-

und Stromdichten, der wegen (6.7)

∇ · j = 0 (6.8)

nach sich zieht. In der Magnetostatik ist die Stromdichte quellenfrei. Daraus folgt unmit-telbar die Kirchhoffsche Knotenregel: An jedem Verzweigungspunkt (Knoten) in einemelektrischen Schaltkreis muß ebensoviel Ladung zu- wie abfließen.

6.2 Das magnetische Feld und das Biot-Savart-Gesetz

Ähnlich wie das E -Feld definieren wir das magnetische Feld B über seine meßbare Kraft-wirkung auf Ströme. Zu deren Bestimmung betrachten wir einen stromdurchflossenenruhenden dünnen Draht, durch den ein Strom I fließe. Auf ein kleines Wegelement dr des



Drahts wirkt eine Kraft dF , für die gilt

d|F | ∝ I, d|F | ∝ d|r | und dF ⊥ dr . (6.9)

Die Kraft kann daher in der Form

dF (r) =I

cdr ∧B(r) (6.10)

geschrieben werden. Durch diese Relation wird das Vektorfeld B als Meßgröße definiert.Das so definierte Feld wird magnetische Induktion, oder auch magnetische Flußdichte,genannt. In Analogie zu E , das ja auch über seine Kraftwirkung auf geladene Probekörpereingeführt wurde, wäre die Bezeichnung magnetische Feldstärke angebrachter. Aber dieserName ist schon für das weiter unten eingeführte Feld H belegt. Oft werden wir B einfachmagnetisches Feld nennen.

Damit ist die von der magnetischen Induktion auf eine linienförmige Stromverteilungausgeübte Kraft gleich

F =I

c

∫

dr ∧B(r). (6.11)

Um die Kraftdichte f zu berechnen, betrachten wir einen kleinen Zylinder mit VolumendV

drdf j

im stromdurchflossenen Gebiet.Die Zylinderachse zeige in Rich-tung der Stromdichte. Dann zeigtdr = nds in Richtung von j undfür die Kraft auf den Strom in dVergibt sich der einfache Ausdruck

f dV =1

cj dfds ∧B =

1

cj ∧BdV

Hier hebt sich das Volumenelement weg und wir verbleiben mit

f =1

cj ∧B . (6.12)

Ein Punktteilchen mit Geschwindigkeit v am Ort r erfährt im Magnetfeld die Lorentzkraft

F =

∫

d3r′f (r ′) =q

c

∫

d3r′v ∧B(r ′) δ(r − r ′) =q

cv ∧B(r). (6.13)

Dies vergleiche man mit der Kraft F = qE , die ein elektrisches Feld auf eine Probela-



dung ausübt. Im Magnetfeld erfährt ein geladenes Teilchen eine Kraft proportional zuseiner Ladung q und dem Betrag seiner Geschwindigkeit. Die Kraft wirkt senkrecht zurFeldrichtung und Geschwindigkeit. Im Gaußschen Maßsystem haben das elektrische undmagnetische Feld dieselbe Dimension esu/cm2. Im MKSA-System lautet das LorentzscheKraftgesetz

F = q v ∧B (6.14)

und die Dimensionen von E und v ∧B sind gleich. Damit hat in diesem Einheitensystemdas Magnetfeld die Dimension Vs/m2. Die Umrechnung ist

1Vsm2∼ 104 esu

cm2= 104

√

ergcm3

= 104 Gauß. (6.15)

Die Bewegung eines geladenen Teilchens im elektrischen und magnetischen Feld ist alsobestimmt durch die Anfangsbedingungen und die Lorentzsche Bewegungsgleichung2

mdv

dt= q

(

E +v

c∧B

)

. (6.16)

Das Gesetz (6.16) läßt sich durch Ablenkungsversuche an Elektronen- und Ionenstrahlenüberprüfen. Ein Magnetfeld hat keinen Einfluß auf den Betrag der Geschwindigkeit,

d

dt

(

mv 2

2

)

= qE · v .

Wir betrachten nun die Bewegung eines geladenen Teilchens im konstanten und in die z-Richtung zeigenden Magnetfelds. Die Komponenten der Bewegungsgleichung (6.16) lauten

dv1

dt= ωv2,

dv2

dt= −ωv1,

dv3

dt= 0 mit ω =

qB

mc. (6.17)

Die Bewegung in Richtung des Feldes wird durch das magnetische Feld nicht beeinflußtund wir brauchen uns nur um die Bewegung in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld zukümmern. Die Lösung der beiden ersten Gleichungen in (6.17) ist

v1 = v0 cosω(t− t0), v2 = −v0 sinω(t− t0).

Nochmalige Integration nach der Zeit ergibt

x− x0 =v0

ωsinω(t− t0), y − y0 =

v0

ωcosω(t− t0). (6.18)

2Wir setzen hier v ≪ c voraus.



Die Projektion der Bahnkurve auf die Ebene senkrecht zu B ist also ein Kreis mit Mit-telpunkt (x0, y0) und Radius

R =v0

ω. (6.19)

Berücksichtigen wir noch die Bewegung in Feldrichtung, so finden wir als allgemeine Be-wegung im homogenen Magnetfeld eine Schraubenlinie mit Ganghöhe

h =2πv3

ω. (6.20)

Nachdem die magnetische Induktion B messbar ist, kann experimentell bestimmt werden,welches Magnetfeld ein stromdurchflossener Leiter erzeugt. Am Ort r ′ sei ein stromleiten-des Drahtstück dr ′. Dieses ruft am Aufpunkt r einen Beitrag dB(r) zum magnetischenFeld mit den Eigenschaften

d|B | ∝ I|dr ′|, |dB | ∝ 1

|r − r ′|2 , dB ⊥ dr ′ und dB ⊥ (r − r ′) (6.21)

hervor. Demnach gibt jedes einzelne Stromelement I dr ′ = j (r ′)dV am Orte r ′ im Auf-

r ′

0 b

r − r ′

r

b dB(r)

dr ′

I

Abbildung 6.2: Ein Drahtstück dr ′ am Ort r ′ induziert ein Magnetfeld dB bei r .

punkt r einen Feldbeitrag, der jeweils senkrecht zur Stromdichte j (r ′) und dem Verbin-dungsvektor r − r ′ vom Quellpunkt zum Aufpunkt steht und mit dem inversen Quadratdes Abstandes abnimmt. Diese Eigenschaften können in

dB(r) =I

cdr ′ ∧ r − r ′

|r − r ′|3 (6.22)



zusammengefaßt werden. Wie oben summieren wir über alle Beiträge und finden

B(r) =1

c

∫

d3r′(

j (r ′) ∧ r − r ′

|r − r ′|3)

. (6.23)

Diese Integraldarstellung für das Magnetfeld legt dieses bei bekannter Stromverteilungund bekannten Randbedingungen eindeutig fest. Sie ist das Gegenstück zur Integraldar-stellung des elektrischen Feldes

E (r) =

∫

d3r′ρ(r ′)r − r ′

|r − r ′|3 ,

und spielt eine zentrale Rolle in der Magnetostatik. Die weiter unten diskutierten Grund-gleichungen der Magnetostatik folgen aus (6.23).

Speziell für eine linienförmige Stromverteilung müssen wir j (r)dV in (6.23) durch Idrersetzen und dann geht diese Formel über in

B(r) =I

c

∫

dr ′ ∧ (r − r ′)

|r − r ′|3 . (6.24)

Für einen unendlich langen Draht entlang der z-Achse3 ist dr ′ = ezdz′ und r ′ = z′ez.

Entsprechend ist das vom Draht erzeugte Magnetfeld

B(r) =I

c

∫

dz′ez ∧r − z′ez

|r − z′ez|3=I

ceφ

∫

dz′ρ

[ρ2 + (z − z′)2]3/2

oder nach Auswertung des Integrals ergibt sich das Biot-Savart-Gesetz

B(ρ) =2I

c

eφ

ρ. (6.25)

In der Literatur wird auch die allgemeinere Formel (6.24) für die magnetische Induktioneiner beliebigen Stromverteilung als Biot-Savart-Gesetz bezeichnet.

Ähnlich wie in der Elektrostatik führen wir die Feldlinien des magnetischen Feldesein. Das B-Feld ist tangential zu diesen Feldlinien und die Dichte der Linien ist pro-portional zur Stärke des Feldes. Gemäß dem Biot-Savart-Gesetz sind die Feldlinien desdurchströmten geraden Drahtes die Kreise um den Draht, siehe Abb. 6.3.

Als zweites Beispiel betrachten wir das Feld eines von einem Strom I durchflossenenKreisrings mit Radius R auf der durch den Kreismittelpunkt gehenden Symmetrieachse.

3Zeige: Die Stromdichte ist j (r) = I2πρezδ(ρ).



y

x

z

Idr

B

Abbildung 6.3: Die magnetischen Feldlinien sind Kreise um den stromführenden Draht.

Wir wählen die z-Achse als Symmetrieachse, so dass der Ring in der x − y-Ebene liegt.Das Magnetfeld auf der Achse ist

B(z) =I

c

∫

Rdφ′ eφ′ ∧ zez − Reρ′

|zez −Reρ′ |3=

2πIR2

c

1

(z2 +R2)3/2ez.

Wie erwartet, hat das Feld auf der Symmetrieachse nur eine z-Komponente. Im Zentrumdes Rings ist das Magnetfeld maximal,

Bz(z = 0) =2πI

cR. (6.26)

Die Berechnung des Magnetfeldes weg von der Symmetrieachse ist aufwendiger und ge-schieht am einfachsten mit dem weiter unten eingeführten magnetischen Potential.

Kräfte zwischen zwei Strömen: Mit Hilfe von (6.11) und (6.22) findet man für dieKraft zwischen zwei von den Strömen I1 und I2 durchflossenen Leitern C und C ′ dieexplizite Formel,

F =I1I2c2

∫

C

∫

C′

dr ∧ dr ′ r − r ′

|r − r ′|3 , (6.27)

wobei über die beiden Leiterkurven zu integrieren ist. Als Anwendungsbeispiel berechnenwir die Kräfte zwischen zwei geraden und parallelen Strömen der Länge ℓ im Abstand r.Das Resultat wird benötigt um die Ladungseinheit Coulomb=As über eine Kraftmessung


6. Magnetostatik 6.3. Die Grundgleichungen der Magnetostatik 95

zu messen. Der Leiter C liege in der z-Achse und Leiter C ′ parallel dazu,

r = zez, r ′ = z′ez + rex.

Es ergibt sich das Integral

F =I1I2c2

∫

dzdz′r

(r2 + (z − z′)2)3/2=

2I1I2c2

ℓ

r, (6.28)

wobei wir ℓ ≫ r bei den Integrationen annahmen. Es ergibt sich eine Anziehung beigleicher Stromrichtung und eine Abstoßung bei einander entgegengesetzter Stromrichtung.

6.3 Die Grundgleichungen der Magnetostatik

Wir wollen hier die differentielle Form der wichtigen Gleichung (6.23) ableiten. Wie in derElektrostatik müssen wir dazu die Quellen und Wirbel des magnetischen Feldes berechnen.Zuerst werden wir sehen, daß das Feld

B(r) =1

c

∫

d3r′(

j (r ′) ∧ r − r ′

|r − r ′|3)

(6.29)

keine Quellen hat. Wegen

r − r ′

|r − r ′|3 = −∇ 1

|r − r ′|

ist nämlich

B(r) = ∇∧A(r) mit A(r) =1

c

∫

d3r′j (r ′)

|r − r ′| +∇λ(r). (6.30)

Berücksichtigen wir die Identität ∇ · (∇ ∧ A) = 0 so folgt sofort, dass das magnetischeFeld in der Tat quellenfrei ist,

∇ ·B(r) = 0. (6.31)

Da die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindet, ist das Vektorpotential A nur bisauf die Addition eines Gradientenfeldes bestimmt. Das Gradientenfeld ∇λ in (6.30) trittals „Integrationskonstante“ auf. Wählen wir λ = 0, dann ist das Vektorpotential

A(r) =1

c

∫

d3r′j (r ′)

|r − r ′| (6.32)



selbst quellenfrei,

∇ ·A(r) =1

c

∫

d3r′ j (r ′)∇ 1

|r − r ′| = −1

c

∫

d3r′ j (r ′)∇′ 1

|r − r ′|

=1

c

∫

d3r′ (∇ · j )(r ′)1

|r − r ′| = 0,

da die Stromdichte in der Magnetostatik quellenfrei ist. Das magnetische Feld ist von derEichfunktion λ unabhängig. Die Wahl für λ, für die das Vektorpotential quellenfrei ist,heißt die Coulombeichung. Wir werden weiter unten auf die möglichen Eichungen für daselektromagnetische Potential zurückkommen.

Nun müssen wir noch die Wirbel des magnetischen Feldes bestimmen. Wir wählen dieDarstellung (6.30) mit dem quellenfreien Vektorpotential (6.32):

∇∧B = ∇ ∧ (∇∧A) = ∇(∇ ·A)−A = −A =4π

cj .

Der Wirbel des Magnetfeldes ist also proportional zur elektrischen Stromdichte j . Mit(6.31) finden wir die folgenden differentiellen Grundgleichungen der Magnetostatik

∇ ·B(r) = 0 und ∇∧B(r) =4π

cj (r). (6.33)

Die erste Gleichung ist eine homogene, die zweite eine inhomogene Feldgleichung. Dieerste Gleichung besagt, daß es in der Natur keine magnetischen Monopolladungen gibt4.Für eine lokalisierte Stromverteilung ist die Lösung dieser beiden Grundgleichungen durch(6.23) gegeben. Wir diskutieren nun einige einfache Konsequenzen dieser Gleichungen.

6.3.1 Integrale Form der Grundgleichungen

Wir definieren den magnetischen Fluß durch eine Fläche F ,

Φ(F ) =

∫

F

df ·B . (6.34)

Für das quellenfreie B verschwindet der Fluß durch jede geschlossene Fläche,

4Uns Theoretikern wären magnetische Monopole aus mehreren Gründen sehr willkommen. Gäbe esz.B. im ganzen Universum nur einen einzigen magnetischen Monopol, so wäre die elektrische Ladungautomatisch quantisiert.



Φ(∂V ) = 0. (6.35)

Dieses Gesetz ist die integrale Form der homogenen Grundgleichung der Magnetosta-tik. In einem beliebig herausgegriffenen Volumen V verschwinden oder entstehen keinemagnetischen Feldlinien – sie sind immer geschlossen.

Da das magnetische Feld Wirbel hat, verschwindet das Linienintegral von B längsSchleifen im Allgemeinen nicht. Sei F eine beliebige Fläche mit Randkurve ∂F . Wegen

∮

∂F

dr ·B =

∫

F

df · (∇∧B) =4π

c

∫

F

df · j =4π

cI(F ) (6.36)

ist das Linienintegral von B längs ∂F proportional zu dem durch die Fläche F fließendenStrom. Dieses Ampere-Gesetz ist die integrale Form der inhomogenen Grundgleichung derMagnetostatik.

6.3.2 Das Magnetostatische Potential

Es sei V ein stromfreies Raumgebiet. Dann ist in V die magnetische Induktion wirbelfrei,∇∧B = 0, und damit ein Gradientenfeld

B(r) = −∇Ψ(r). (6.37)

Da B immer quellenfrei ist, ist das magnetostatische Potential Ψ harmonisch,

Ψ(r) = 0 in V. (6.38)

Die Funktion Ψ besitzt gegenüber dem elektrostatischen Potential Φ eine Besonderheit.Für das Magnetfeld (6.25) eines stromführenden Drahtes ist wegen∇ = eρ∂ρ+

1ρeφ∂φ+ez∂z

das Potential

Ψ = −2I

cφ, ρ > 0, (6.39)

und damit nicht eindeutig. Bei jedem vollen Umlauf um den Draht ändert es sich um4πI/c. Allgemeiner ist diese Zirkulation beim Umlaufen einer Schleife C proportional zumelektrischen Strom durch F , wobei F irgend eine Fläche mit Rand ∂F = C ist. Gemäß(6.35) ist der Strom für alle Flächen mit derselben Randkurve gleich. Die Zirkulationverschwindet nur, wenn man die Schleife in einem stromfreien Gebiet auf einen Punktzusammenziehen kann.



Um das Potential im stromfreien Raum zu bestimmen, braucht man die Anschluß-bedingungen an Gebiete, wo Strom fließt, typisch sind dies Leiter oder magnetische Ma-terialien. Weiter unten werden wir die makroskopische Magnetostatik diskutieren undphysikalische Randbedingungen aufstellen.

6.3.3 Das magnetische Feld einer unendlich langen Spule

Wir betrachten eine Spule mit n Windungen pro Längeneinheit. Die Spulenachse sei diez-Achse. In guter Näherung sind die einzelnen Drahtwindungen Kreise mit konstantem

bbbbbbb

Strom I

∆z nWindungen

bR

Flächenelement F

∆z

Abbildung 6.4: Zur Berechnung des Magnetfeldes einer Spule.

Radius R und z=const. Damit ist die Stromdichte gleich der Dichte eines rotierendengeladenen Zylindermantels,

j (r) = nIδ(ρ− R)eφ =⇒∫

F

j (r)dρdz = nIeφ ·∆z.

Bei einer sehr langen und geraden Spule weiß man, daß ein Feld im Wesentlichen nur imInneren besteht und daß es dort parallel zur Spulenachse orientiert ist. Wir wählen dieintegrale Form der inhomogenen Grundgleichung, um das Feld in der Spule zu berechnen.Als Integrationsweg wählen wir ein schmales Rechteck wie in der Abb. 6.4. Speziell sollenvon den zur Spulenachse parallelen Seiten des Rechtecks der Länge ∆z eine innerhalb, die


6. Magnetostatik 6.4. Selbstinduktion 99

andere außerhalb der Spule liegen. Für das Rechteck gilt∮

∂F

dr ·B = Bz∆z =4π

cnI∆z, so daß Bz =

4π

cnI. (6.40)

In den Übungen werden Sie das gleiche Resultat aus Symmetrieüberlegungen und denGrundgleichungen der Magnetostatik ableiten.

6.4 Selbstinduktion

Wir betrachten ein System von N Stromschleifen, in denen die Ströme I1, . . . , IN fließen.Wir beschränken uns auf quasistationäre Ströme, so daß wir die bisher gewonnenen Ge-setze anwenden dürfen. Das Magnetfeld ist eindeutig durch die Stöme in den Schleifenbestimmt. Die Beiträge der einzelnen Stöme zum resultierenden Magnetfeld sind den be-treffenden Stromstärken direkt proportional und überlagern sich linear. Daher wird auchder Induktionsfluß

Φ(Fi) =

∫

Fi

df ·B , ∂Fi = Ci, (6.41)

durch den i’ten Stromkreis5 eine lineare Funktion der individuellen Stromstärken sein,

Φ(Fi) =N∑

j=1

LijIj. (6.42)

Die Faktoren Lij sind die Induktivitätskoeffizienten: bei Lii spricht man von Selbstinduk-tivität des i’ten Stromkreises und bei Li6=j von wechselseitiger Induktivität. Bei einemeinzelnen Stromkreis vereinfacht sich die Beziehung zu

Φ = LI, (6.43)

mit Selbstinduktivität L. Relativ einfach ist die Berechnung der Selbstinduktivität für einelange gerade Spule vom Querschnitt F und der Länge l. Im Innern der Spule besteht dasFeld Bz = 4πnI/c = 4πNI/lc und daher ist der Induktionsfluß durch N Spulenschleifen

Φ = 4πN2F

lcI.

5Man erinnere sich daran, daß der Fluß für alle Flächen mit demselben Rand ∂Fi gleich ist.


6. Magnetostatik 6.4. Selbstinduktion 100

Damit wird die Selbstinduktivität der Spule

L = 4πN2F

lc. (6.44)

In Gaußschen Einheiten wird sie in s und in MKSA-Einheiten in Vs/A=Henry gemessen.Auch die Koeffizienten der Wechselinduktion können leicht bestimmt werden. LijIj ist

der Anteil des Induktionsflußes, der von dem im Leiter j fließenden Strom induziertenMagnetfeld Bj herrührt,

LijIj =

∫

Fi

dfi ·Bj(ri) =

∮

Ci

Aj(ri)dri.

Das vom Leiter Cj am Orte r erzeugte Vektorpotential Aj hat nach (6.32) die Darstellung

Aj(r) =Ijc

∮

Cj

drj

|r − rj |,

und deshalb sind die Induktionskoeffizienten

Lij = Lji =1

c

∮

Ci

∮

Cj

dri · drj

|ri − rj |. (6.45)

Als Anwendung betrachten wir zwei parallele Kreisstöme mit Radien R1 und R2 im senk-rechten Abstand h, siehe Abb. 6.5. In Zylinderkoordinaten sind

r1 =

R1 cosφ1

R1 sinφ1

0

und r2 =

R2 cosφ2

R2 sin φ2

h

,

so daß die im Integral (6.45) auftretenden Größen folgende Form haben,

dr1 · dr2 = R1R2 cos(∆φ)dφ1dφ2 , (r2 − r1)2 = R2

1 +R22 + h2 − 2R1R2 cos ∆φ,

wobei wir den Differenzwinkel ∆φ = φ2 − φ1 einführten. Nach (6.45) ist die gegenseitigeInduktion

L12 =1

c

∫

dφ1dφ2R1R2 cos ∆φ

√

R21 +R2

2 + h2 − 2R1R2 cos ∆φ

=2π

c

∫

dφR1R2 cos φ

√

R21 +R2

2 + h2 − 2R1R2 cosφ. (6.46)


6. Magnetostatik 6.5. Multipolentwicklung 101

R2

R1

h

z

x

y

I2

I1

r2

r1

Abbildung 6.5: Zur Berechnung der wechselseitigen Induktion zweier Kreisströme.

Wir verbleiben mit einem elliptischen Integral. Statt die Tabellen (oder ein algebraischesComputerprogramm) zu bemühen, untersuchen wir die extremen Situationen zweier weitvoneinander getrennten oder nahe beieinander liegenden Ringe. Im ersten Fall ist h ≫R1, R2 und wir können den Nenner in (6.46) nach fallenden Potenzen von h entwickeln.Der führende Term ist

L12 ≈2π2

c

R21R

22

h3, h≫ R1, R2. (6.47)

Im zweiten Fall ist h ≪ R1, R2 und der Nenner kann nach wachsenden Potenzen von h

entwickelt werden. Eine nicht ganz so einfache Rechnung6 liefert,

L12 ≈1

c

√

R1R2

(

log8√R1R2

b− 2

)

, b2 = h2 + (R2 − R1)2, h≪ R1, R2. (6.48)

6.5 Multipolentwicklung

Wir betrachten eine Stromverteilung, die nur innerhalb einer Kugel vom Radius R vonNull verschieden ist. Wir können das Vektorpotential A in (6.32) ähnlich wie das elektro-

6Siehe z.B. Becker und Sauter, Seite 128.



statische Potential Φ entwickeln,

A(r) =1

c

∫

d3r′j (r ′)

|r − r ′|

=1

cr

∫

d3r′ j (r ′) +xi

cr3

∫

d3r′x′i j (r ′) + . . . (6.49)

Wir erwarten, daß der Monopolbeitrag, d.h. der erste Term auf der rechten Seite, ver-schwindet, da es in der Elektrodynamik keine magnetischen Monopole gibt. Da durch dieKugeloberfläche kein Strom fließt, folgt für jede Funktion g

0 =

∮

df · g(r)j (r) =

∫

d3r∇ · [g(r)j (r)]

=

∫

d3r∇g(r) · j (r) +

∫

d3r g(r)∇ · j (r). (6.50)

In der Magnetostatik ist j quellenfrei und es gilt∫

d3r ∇g(r) · j (r) = 0. (6.51)

Dieses Resultat verwenden wir, um die Integrale in der Entwicklung (6.49) zu vereinfachen.Mit g(r) = xi folgt

∫

d3r j (r) = 0 (6.52)

und der erste Term in der Entwicklung ist wie erwartet Null. Mit g(r) = xixj folgt

∫

d3r (xijj(r) + xjji(r)) = 0.

Damit ist∫

d3r xijj(r) =1

2

∫

d3r (xijj(r)− xjji(r))

antisymmetrisch in i, j und hat die Form∫

d3r xijj(r) = c ǫijkmk. (6.53)

Wir lösen nach mk auf und finden das magnetische Dipolmoment



m =1

2c

∫

d3r r ∧ j (r). (6.54)

Eingesetzt in obige Reihenentwicklung für das Potential ergibt sich

Aj(r) =xi

r3ǫijkmk + . . . oder A(r) =

m ∧ r

r3+ . . . . (6.55)

Mit B = ∇ ∧A hat die magnetische Induktion die Entwicklung

B(r) =3r(m · r)− r2m

r5+ . . . . (6.56)

Dies ist das magnetische Feld eines magnetischen Dipols. Es hat die gleiche Form wie daselektrische Feld des elektrischen Dipols,

E (r) =3r(p · r)− r2p

r5.

Das magetische Dipolmoment einer Stromschleife ist

m =I

2c

∮

r ∧ dr . (6.57)

Zum Beispiel ist die dritte Komponente des magnetischen Dipolmomentes

m3 =I

2c

∮

(xdy − ydx) =I

2c

∫ 2π

0

ρ2dφ =I

cf3,

wobei f3 die Projektion der vom Leiter eingeschlossenen Fläche auf die (x, y)-Ebene ist.Entsprechendes gilt für die restlichen Komponenten von m und damit ist

m =I

cf . (6.58)

Zur Berechnung des Dipolmomentes von Punktteilchen setzen wir j =∑

qiviδ3(r − ri) in

(6.54) ein mit dem Resultat

m =1

2c

∑

i

qiri ∧ vi =∑

i

qi2mic

Ii, (6.59)

wobei mi für die Masse und Ii für den Drehimpuls des i’ten Teilchens steht. Haben die



Teilchen gleiche Masse und Ladung, dann gilt

m =q

2mcL, (6.60)

wobei L der Gesamtdrehimpuls der Teilchen ist. Dieses Resultat gilt für Orbitalströme.Für einen Spin s hat man dagegen

m =q

2mcg s . (6.61)

Für Elektronen ist der gyromagnetische Faktor g ∼ 2 und die Komponenten des Spinsnehmen nur die Werte ±~/2 an.

6.5.1 Kraft und Drehmoment auf einen Dipol im Magnetfeld

Ein äußeres Magnetfeld übt auf eine in der Umgebung des Koordinatenursprungs lokali-sierte Stromverteilung folgende Lorentzkraft aus:

F =1

c

∫

d3r j (r) ∧Bext(r) (6.62)

Wir entwickeln das äußere Feld um den Ursprung und finden mit Hilfe von (6.52,6.53) dieEntwicklung

F = −1

c

∂Bext

∂xi∧∫

d3r xi j (r) = −∂Bext

∂xi∧ ǫijkmkej + . . . ,

wobei die ersten Ableitungen des Magnetfelds am Ursprung auftreten. Benutzen wir nochǫijkmkej = mkek ∧ ei = m ∧ ei, dann erhalten wir folgenden Ausdruck für die Kraft

F = −∂Bext

∂xi∧ (m ∧ ei) =

(

m · ∂Bext

∂xi

)

ei −(

ei ·∂Bext

∂xi

)

m .

Der letzte Term verschwindet wegen ∇ · B = 0. Für den ersten Term der rechten Seiteerhalten wir

∇(m ·Bext) =

(

m · ∂Bext

∂xi

)

ei = mj∂Bext,j

∂xiei = mj

∂Bext,i

∂xjei = (m · ∇)Bext,

wobei wir ∇∧Bext = 0 verwendet haben. Damit ergibt sich für die Kraft auf den magne-tischen Dipol die einfache Formel


6. Magnetostatik 6.6. Magnetismus in Materie 105

F = (m · ∇)Bext, (6.63)

ähnlich zur Kraft (p · ∇)Eext auf einen elektrischen Dipol im elektrischen Feld. Diesevon einem inhomogenen Magnetfeld auf magnetische Dipole ausgeübte Kraft wird für dieBestimmung der Permeabilität von magnetischen Stoffen ausgenutzt.

Für das mechanische Drehmoment auf den magnetischen Dipol findet man

Mmech =1

c

∫

d3r r ∧ (j ∧Bext) = −1

cBext

∫

d3r r · j +1

c

∫

d3r (Bext · r) j .

Das erste Integral verschwindet7 und das zweite Integral ergibt

Mmech = m ∧Bext, (6.64)

analog zum Drehmoment p∧Eext auf einen elektrischen Dipol. Im mechanischen Gleichge-wicht stellt sich ein magnetisches Moment m parallel zu Bext. Das von einem Magnetfeldauf ein kleine Kompaßnadel ausgeübte Drehmoment kann man mit einer Schneckenfeder-waage messen und auf diese Weise das Magnetfeld am Ort der Magnetnadel bestimmen(siehe z.B. Pohls „Einführung ind die Physik“, Band 2).

6.6 Magnetismus in Materie

Wir berechnen das makroskopische Feld eines magnetisierbaren Körpers durch Mittelbil-dung. Die Mittelung soll, wie im letzten Kapitel ausführlich dargelegt wurde, mit denAbleitungen vertauschen.

6.6.1 Makroskopische Grundgleichungen

Das mikroskopische Feld Bm ist quellenfrei und sein Wirbelfeld ist proportional zur mi-kroskopischen Stromdichte jm. Durch Mittelung gewinnen wir die Feldgleichungen für dasgemittelte Feld B = 〈Bm〉:

∇ ·B = 0 und ∇∧B =4π

cj . (6.65)

Wie sieht die gemittelte Stromdichte j = 〈jm〉 aus? Sie enthält drei Bestandteile: DieStromdichte j f der frei beweglichen Ladungsträger, die Stromdichte jP der sich zeitlich

7Man wähle g = r2/2 in (6.51).



ändernden Polarisationsladungen und die Magnetisierungsstromdichte jmag, die aus derBewegung der Atomelektronen um ihre Kerne resultiert:

j = j f + jP + jmag. (6.66)

Die Stromdichte jP und Ladungdichte ρP = −∇ · P der Polarisationsladungen genügender Kontinuitätsgleichung

∂

∂tρP +∇ · jP = ∇ ·

(

− ∂

∂tP + jP

)

= 0. (6.67)

Die Polarisationsstromdichte

jP =∂

∂tP

spielt in der Magnetostatik keine Rolle. Bei zeitabhängigen Phänomenen in der Elektrody-namik werden wir aber auf diese Relation zurückkommen müssen. Wir veranschaulichen

atomarerKreisstrom

n

Länge Lz

Länge Ly

Fläche F

2

1

4

3

y

x

z

Abbildung 6.6: Amperesche Molekularströme.

nun die Magnetisierungsstromdichte anhand eines vereinfachten Materiemodells: Die ma-gnetischen Dipolmomente der Atome seien ebene Ringströme mit Flächenvektor f undStromstärke i, vgl. (6.58). Die Atomdichte sei n. Wir wollen nun die Stromdichte I berech-



nen, die durch ein Rechteck F der Seitenlängen Ly und Lz hindurchtritt, siehe Abb. 6.6.Natürlich gibt der Strom der freien Ladungsträger einen Beitrag n · j f . Aber auch die ato-maren Kreisströme i können einen Beitrag liefern, allerdings nur von denjenigen Atomen,deren Fläche f von einer der vier Rechteckseiten von F durchbohrt wird; denn nur beidiesen Atomen tritt der atomare Ringstrom i gerade einmal durch die Fläche F hindurch.Es sei nun V ein mikroskopisch großes und makroskopisch kleines Mittelungsvolumen undN die Anzahl der darin enthaltenen atomaren Kreisströme. Dann sind

m =1

N

∑

rn∈V

mn und M = nm =1

V

∑

rn∈V

mn (6.68)

das mittlere Dipolmoment und die Magnetisierung. Die Magnetisierung ist das mittleremagnetische Moment pro Volumen.

Der Beitrag zur x-Komponente des Stromes von allen Atomen, deren Fläche von derRechteckseite 1 in Abb. 6.6 durchbohrt wird, ist

Imag,x = infyLy = cmynLy = cMyLy,

wobei wir (6.58) benutzten. In gleicher Weise finden wir als Beitrag der gegenüberliegendenRechteckseite 2 in Abb. 6.6 den Wert −cMyLy, wobei aber der Wert von My and derStelle z = Lz einzusetzen ist. Damit liefern die beiden parallel zur y-Achse laufendenRechteckseiten den Beitrag

cLyMy(z = 0)− cLyMy(z = Lz) ∼ −cLyLz∂My

∂z.

Ganz analog erhalten wir von den beiden anderen Rechteckseiten den Beitrag

−cLzMz(y = 0) + cLzMz(y = Ly) ∼ cLyLz∂Mz

∂y.

Damit ergibt sich für den von atomaren Kreisströmen herrührenden Magnetisierungsstromin die x-Richtung

Imag,x = LyLz(jmag)x = cLyLz

(

∂Mz

∂y− ∂My

∂z

)

= cLyLz(∇∧M )x.

Damit finden wir für die durch die Magnetisierung bedingte Stromdichte

jmag(r) = c∇∧M (r). (6.69)

Dieses Resultat für jmag kann auch aus der Mittelung der Grundgleichungen in der Di-



polnäherung abgeleitet werden. Das mikroskopische Feld eines Materials in der Dipolnä-herung gewinnen wir durch Aufsummieren der Formel (6.55) über alle Elementarmagnetein der Materie

Am =∑

mn ∧r − rn

|r − rn|3=

∫

d3r′Mm(r ′) ∧ r − r ′

|r − r ′|3

wobei wir die mikroskopische Magnetisierung

Mm(r) =∑

mnδ(r − rn)

einführten. Wie in der Elektrostatik mitteln wir mit einer Glättungsfunktion f über mi-kroskopisch große, aber makroskopisch kleine Gebiete, um ein mittleres, geglättetes Feldzu gewinnen,

A(r) =

∫

d3u

∫

d3r′ f(u)Mm(r ′) ∧ r − u − r ′

|r − u − r ′|3 .

Hier setzten wir r ′ + u = r ′′ mit dem Resultat

A(r) =

∫

d3r′′∫

d3u f(u)Mm(r ′′ − u) ∧ r − r ′′

|r − r ′′|3

=

∫

d3r′ M (r ′) ∧ r − r ′

|r − r ′|3 . (6.70)

Bei der letzten Umformung haben wir r ′′ in r ′ umbenannt und die Magnetisierung

M (r) =

∫

d3uf(u)Mm(r − u) (6.71)

eingeführt. Für die erste Glättungsfunktion in (5.2) ist die Magnetisierung in (6.68) ge-geben. Mit den magnetischen Momenten mn wird auch M (r) durch innere und äußereFelder beeinflußt. Ähnlich der Polarisation muß M mit Hilfe von Materiemodellen be-rechnet werden.

Setzen wir nun (r − r ′)/|r − r ′|3 = ∇′(1/|r − r ′|), so können wir die Formel (6.70)umschreiben in

A(r) = −∫

d3r′∇′ ∧ M (r ′)

|r − r ′| +∫

d3r′∇′ ∧M (r ′)

|r − r ′| .

Mit∫

∇ ∧ V d3r =∮

n ∧ V df wird der erste Term auf der rechten Seite zu einem



Oberflächenintegral und

A(r) =

∮

M (r ′) ∧ df ′

|r − r ′| +

∫

d3r′∇′ ∧M (r ′)

|r − r ′| (6.72)

mit dem nach außen gerichteten Oberflächenelement. Das zweite Glied rechts liefert, wieein Vergleich mit (6.32) zeigt, genau den Feldbeitrag der Stromdichte jmag in (6.69). Daserste Glied liefert einen Beitrag der Dichte des Oberflächenstromes, nämlich

jmagO(r) = cM ∧ n . (6.73)

Vernachlässigen wir die Polarisationsstromdichte, so gelangen wir zu folgender gemitteltenGleichung in magnetisierbaren Medien,

∇∧B =4π

cj f +

4π

cjmag =

4π

cj f + 4π∇∧M . (6.74)

Das Auftreten der Magnetisierung M legt nahe, die magnetische Feldstärke

H (r) = B(r)− 4πM (r) (6.75)

einzuführen. Die gemittelten Grundgleichungen der Magnetostatik sind dann

∇ ·B = 0 und ∇∧H =4π

cj f . (6.76)

Für para- und diamagnetische Substanzen besteht für nicht zu große Feldstärken einlinearer Zusammenhang

M = χmH , B = µH , µ = 1 + 4πχm, (6.77)

wobei χm als magnetische Suszeptibilität und µ als relative Permeabilität bezeichnet wer-den.Diamagnetische Stoffe: Bei ihnen ist µ kleiner als 1 und im allgemeinen unabhängigvon der Temperatur. Wasser hat zum Beispiel χm ∼ −7.1 · 10−7. Die Magnetisierung alsauch das magnetische Moment der einzelnen Atome und Moleküle ist also dem magneti-schen Feld entgegengerichtet. Beim Einschalten des äußeren Feldes werden in den TeilchenRingströme induziert, deren magnetische Momente der Richtung von B entgegengesetztsind8. Wegen (6.63) werden diamagnetische Stoffe stets aus dem Gebiet hoher Feldstär-ke herausgedrängt. Ein vollständiger Diamagnetismus liegt beim Supraleiter erster Art

8Die Induktion eines elektrischen Feldes durch ein zeitabhängiges magnetisches Feld wird allerdingserst im nächsten Kapitel besprochen und wir können vorerst nur qualitative Aussagen machen.



vor. Dort wird durch Oberflächenströme die magnetische Induktion vollständig aus demMaterial verdrängt, d.h. B = 0 im Supraleiter.Paramagnetische Stoffe: Bei ihnen ist µ größer als 1 und in der Regel umgekehrtproportional der absoluten Temperatur T . Zum Beispiel ist χm für Aluminium bei 200Cetwa 1.5 ·10−6. In paramagnetischen Stoffen besitzten die Teilchen schon unabhängig vomangelegten Feld ein permanentes magnetisches Moment. Die zugehörigen Elementarma-gnete werden durch das äußere Feld teilweise ausgerichtet. Je tiefer die Temperatur, destoleichter ist es, die Magnete gegen die thermische Unordnung auszurichten. Wegen (6.63)werden paramagnetische Stoffe im Gegensatz zu den diamagnetischen in das Gebiet hoherFeldstärke hineingezogen.Ferromagnetische Stoffe: Bei ihnen wird unterhalb einer kritischen Temperatur, dersogenannten Curie-Temperatur, µ wesentlich größer als 1 und vor allem sehr stark feld-und temperaturabhängig. Die Magnetisierung ändert sich nicht mehr linear mit B bzw.mit H , sondern erreicht bei relativ niedrigen Feldstärken eine Sättigung. Für weiches Eisenist der Sättigungswert für B bei etwa 21 000 Gauß. Im Gegensatz zur Sättigungsmagne-tisierung ist die Magnetisierungskurve von der Vorgeschichte der Materialprobe abhängig(Hysteresis).

6.6.2 Grenzflächen

Aus der Quellenfreiheit der magnetischen Induktion folgt die Stetigkeit der Normalkom-ponente von B an der Grenzfläche zwischen zwei Materialien,

n · (B2 −B1) = 0. (6.78)

Bei unterschiedlichen Permeabilitäten gilt das aber nicht mehr für die magnetische Feld-stärke,

n · (µ2H2 − µ1H1) = 0. (6.79)

Fließen an der Grenzfläche keine Oberflächenströme, so ist die Tangentialkomponente derFeldstärke stetig,

t · (H2 −H1) = 0. (6.80)

An der Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen magnetischen Substanzen ist daher dieTangentialkomponente der magnetischen Induktion unstetig,

t ·B2 =µ2

µ1t ·B1. (6.81)



Das Brechungsgesetz (5.9) der elektrischen Kraftlinien überträgt sich auf die magnetischenErregungslinien; es lautet bei gleicher Bedeutung der Winkel α1, α2 wie dort

tanα1

µ1=

tanα2

µ2. (6.82)

Jede B-Linie wird beim Eintritt in das permeablere Medium9 vom Einfallslot fortgebro-chen.

6.6.3 Kugel im homogenen Magnetfeld

Die in der Elektrostatik entwickelten Lösungsmethoden können unmittelbar in die Ma-gnetostatik übertragen werden. Als Beispiel betrachten wir eine magnetische Kugel imhomogenen Magnetfeld B∞. Außerhalb der Kugel sei µ = 1. Im Inneren derselben ent-steht ein homogenen Feld, das äußere Feld wird inhomogen, weil zum ursprünglichen Felddas Feld eines im Kugelmittelpunkt zu denkenden virtuellen magnetischen Momentes M

hinzukommt, dessen Achse in der Feldrichtung liegt. Für die explizite Rechnung benutzenwir, daß wir in der Abwesenheit von freien Ladungsträgern

H = −∇Ψ (6.83)

setzen dürfen. Für lineare Medien ist dann B = −µ∇Ψ und für homogene Materialienmit ortsunabhängigem µ gilt

∇ ·B = −µΨ = 0, d.h. Ψ = 0. (6.84)

Wir machen den Ansatz

Ψ(r > R) =

(

M

r3−B∞

)

· r , Ψ(r < R) = −B · r mit B∞ −M

R3= B .

Die letzte Bedingung folgt aus der Stetigkeit des magnetostatischen Potentials. Sie impli-ziert gleichzeitig die Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke H . Die Stetigkeitvon n ·B an der Kugeloberfläche bedeutet

− ∂

∂rψ|aussen = −µ ∂

∂rψ|innen. (6.85)

9Je größer µ in einem Material, desto permeabler ist es.



Diese Bedingung legt die Stärke des virtuellen magnetischen Momentes am Ursprung fest,

M =µ− 1

µ+ 2B∞R

3.

Damit finden wir die magnetische Induktion außerhalb und innerhalb der Kugel

B(r > R) = B∞ +µ− 1

µ+ 2

R3

r3(3(B∞ · n)n −B∞)

B(r < R) =3µ

µ+ 2B∞, (6.86)

wobei n = r/r das Normalenvektorfeld an der Kugeloberfläche ist. Innerhalb der Kugelist die magnetische Induktion B für diamagnetische Medien schwächer als außerhalb. Fürparamagnetische Medien wird sie in der Kugel verstärkt.

Nun werde ein magnetisierbares Rotationsellipsoid (µ > 1) so in ein homogenes FeldH0 = B0 gebracht, dass seine Achse mit der Richtung von H0 zusammenfällt. Dann istdie Magnetisierung im Innern ebenfalls homogen und es gilt analog zur Gleichung (5.47)

Hi = H∞ − 4πNM . (6.87)

Der Entmagnetisierungsfaktor N variiert zwischen 0 und 1. Bis auf den Fall N = 0

ist das Magnetfeld im Inneren von magnetisierbaren Stoffen gegenüber dem von außenangelegten Feld abgeschwächt. Mit M = χmHi findet man für die Magnetisierung desStoffes die Formel

4πM =µ− 1

1 +N(µ− 1)H∞. (6.88)

Der Faktor N hängt von der Form des Rotationsellipsoiden ab und diese Abhängigkeit istin (5.48) gegeben. Für die magnetische Feldstärke und Induktion im Innern des Ellipsoidsfindet man

Hi =1

1 +N(µ− 1)H∞ und Bi =

µ

1 +N(µ − 1)B∞. (6.89)

Für einen langen, dünnen Stab ist N = 0 und daher Hi = H∞. Wie bei einer mit Materialvoll ausgefüllten Spule tritt keine Entmagnetisierung auf und Bi = µB0. Für eine Kugelist N = 1/3 und man findet die magnetische Induktion (6.86) im Innern der Kugel. Füreine flache Scheibe ist N = 1 und entsprechend Bi = B∞.


Kapitel 7

Maxwellgleichungen

7.1 Induktionsgesetz

Faraday beobachtete 1831, daß in einem geschlossenen Drahtring C ein elektrischerStrom entsteht, wenn ein in der Nähe befindlicher Magnet bewegt oder der Drahtring imMagnetfeld bewegt wird1. In beiden Fällen gilt das Induktionsgesetz

Vind = IR = −1

c

d

dt

∫

F

df ·B = −1

c

d

dtΦ(F ), wobei ∂F = C (7.1)

ist. Hier ist Vind die induzierte Ringspannung und R der Drahtwiderstand2. Wird derDrahtring C bewegt, dann ändert sich der magnetische Fluß durch die Fläche F mitRandkurve C aufgrund dieser Bewegung. Ruht der Drahtring, dann ändert sich der Fluß,falls das Magnetfeld zeitabhängig ist.

Die erste Fassung des Induktionsgesetzes für einen im Magnetfeld bewegten Drahtringkönnen wir aus der Lorentzkraft F = q(E + v ∧B/c) auf ein geladenes Teilchen im elek-tromagnetischen Feld ableiten. Bewegen wir einen Metalldraht mit der Geschwindigkeitv in einem Magnetfeld, so machen die Leitungselektronen im Draht diese Bewegung mitund erfahren dabei eine eingeprägte Lorentzkraft

qEind = qv

c∧B . (7.2)

Die längs der Leiterschleife C induzierte Spannung beträgt

Vind =1

c

∮

C

(v ∧B) · dr .

1Etwa gleichzeitig und unabhängig von Faraday entdeckte auch Henry die gleiche Erscheinung.2Wir benutzten das Ohmsche Gesetz, nach dem die Stromstärke gleich der Spannung dividiert durch

den Widerstand des Leiters ist.

113

7. Maxwellgleichungen 7.1. Induktionsgesetz 114

Ist der Drahtwiderstand gleich R, so können wir für den induzierten Strom die Beziehung

IR = Vind =

∮

C

Eind · dr =1

c

∮

C

(v ∧B) · dr (7.3)

angeben. Wir wollen nun einsehen, daß der letzte Term proportional zur zeitlichen Ände-rung des magnetischen Flusses durch Flächen mit veränderlicher Randkurve C ist. Dazu

Ct+dt

Ct

vdt

dr

df = r ∧ vdtMantelfläche

Abbildung 7.1: Änderung des magnetischen Flusses durch eine bewegte Fläche.

betrachten wir die Abb. 7.1, welche die Lagen des Drahtrings zur Zeit t (Ct) und zur Zeitt+ dt (Ct+dt) darstellt. Das Vektorprodukt dr ∧ vdt hat den Betrag des von dr und vdt

aufgespannten Flächenelements df und die Richtung der nach außen zeigenden Normalen.Es gilt also

dt

∮

Ct

(v ∧B) · dr =

∮

(dr ∧ vdt) ·B =

∫

df ·B = Φ(Mantelfläche),

wobei das letzte Flächenintegral über die von Ct und Ct+dt berandete Mantelfläche zuerstrecken ist. Wegen der Quellenfreiheit der magnetischen Induktion verschwindet dergesamte magnetische Fluß durch die Mantelfläche, Grundfläche und Deckfläche. Also ist

cdt

∮

Eind · dr = −Φ(Deckfläche) + Φ(Grundfläche) = −Φ(Ct+dt) + Φ(Ct).

Dividieren wir durch das Zeitintervall dt so ergibt sich das Induktionsgesetz für bewegteLeiter

∮

Ct

Eind · dr = −1

c

d

dt

∫

Ft

B · df = −1

c

d

dtΦ(Ft), ∂Ft = Ct. (7.4)



Beim Induktionsgesetz sollte es nur auf die Relativbewegung zwischen dem das Magnet-feld erzeugenden Magneten und dem Drahtring ankommen. Für die Ladungträger imDrahtring ruht der Draht und das Magnetfeld ändert sich mit der Zeit. In einem ruhen-den Drahtring, in dessen Nähe sich ein Magnet bewegt, sollte also ebenfalls ein Stromentstehen. Dies wird oft als die zweite Fassung des Induktionsgesetzes bezeichnet. Da eineruhende Ladung in einem Magnetfeld keine Kraft erfährt, bleibt als Deutungsmöglichkeitnur die Annahme, daß durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes ein elektrisches Feldmit Wirbeln (da die Ringspannung nicht verschwindet) induziert wird,

IR =

∮

E · dr.

Der Vergleich mit dem Faradayschen Induktionsgesetz zeigt, daß die elektrische Ringspan-nung proportional dem magnetischen Schwund3 ist

∮

C

E · dr = −1

c

d

dt

∫

df ·B = −1

c

∫

df · ∂B∂t

. (7.5)

Aus dieser Formel ist der materialabhängige Widerstand R verschwunden, und dies legt

I

I

ZumGalvano-meter

V

magnetisches Feldvon vorn nach hinten

B× ×B

S

N

Bewegung

Elektronen

× ×

× ×

B

Bewegung

(a) (b) (c)

Abbildung 7.2: Induktion durch Bewegung eines Stromleiters im Magnetfeld (a), Indukti-onsspannung in einem Metall (b) und Induktionsstrom bei Änderung der Fläche (c).

die Verallgemeinerung der zunächst nur für den Drahtring gültigen Beziehung (7.5) na-he. Wir nehmen nun an, daß das Vorhandensein des Drahtes unwesentlich ist und dieRingspannung für jede geschlossene Kurve C durch (7.5) wiedergegeben wird. Wenn dieseBeziehung für jedes Flächenelement gilt, dann können wir mit

∮

E · dr =∫

df · (∇∧ E )

3Die zeitliche Abnahme des magnetischen Flusses, −dΦ/dt, heißt magnetischer Schwund.



auf die differentielle Form des Induktionsgesetzes schließen:

∇ ∧E = −1

c

∂

∂tB . (7.6)

Zeitabhängige Magnetfelder induzieren also elektrische Ringspannungen und entspre-chend ist das elektrische Feld dann kein Gradientenfeld mehr wie in der Elektrostatik.

Bewegen wir zum Beispiel eine mit einem Galvanometer verbundenen Sekundärspulein der Nähe einer Primärspule (mit Eisenkern) so wird ein Strom in der Sekundärspuleinduziert. Sind die Windungen der Spulen parallel, so ist der Ausschlag des Galvanome-ters am größten. Die induzierte Spannung ist so gerichtet, daß der von ihr hervorgerufeneStrom das angelegte Magnetfeld schwächt. Eine schöne Illustration dieses Effektes, dervom Minuszeichen im Induktionsgesetz (7.1) herrührt, ist der Versuch von Elihu undThomson in Abb. 7.3: Fließt ein Strom im Erregerkreis, so erzeugt dieser in der Spule

b

IEisenstab

B

BindIindAluminiumring

Abbildung 7.3: Elihu-Thomson-Versuch zur Demonstration der Lenzschen Regel.

um den Eisenstab ein Magnetfeld B und beim Einschalten eine Änderung ∂B/∂t unddamit einen magnetischen Schwund −∂Φ/∂t. Die Flußänderung induziert im daraufge-stülpten Aluminiumring eine Spannung Vind, die ihrerseits einen Strom Iind erzeugt. Dieserinduzierte Strom hat ein solches Vorzeichen, daß das Magnetfeld Bind, das er erzeugt, dasentgegengesetzte Vorzeichen von B hat. Die Felder B und Bind üben daher eine absto-


7. Maxwellgleichungen 7.2. Der Maxwellsche Verschiebungsstrom 117

ßende Wirkung aufeinander aus, was durch das Wegfliegen des Aluminiumringes beimEinschalten gezeigt wird.

Allgemeiner gilt, daß die induzierte Spannung einen Induktionsstrom erzeugt, der stetsso gerichtet ist, daß er den ihn erzeugenden Vorgang zu hemmen versucht. Dies ist dieLenzsche Regel. Sie führt zu einer Erklärung des Diamagnetismus. Eine bekannte Anwen-dung der Induktion ist die Wirbelstrombremse.

7.2 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom

Der wichtigste Schritt auf dem Weg zur Vervollständigung der Feldgleichungen der Elektro-und Magnetostatik nach dem Induktionsgesetz erfolgte 1864 durch Maxwell. Er be-merkte, dass die inhomogene Grundgleichung der Magnetostatik, das Oerstedsche Gesetz,

∇∧H =4π

cj f (Oerstedt) (7.7)

zur Folge hat, daß die elektrische Stromdichte quellenfrei ist,

∇ · j f = 0.

Im Falle offener Stromkreise, wie z.B. beim Laden eines Kondensators, gilt aber

∇ · j f = −∂ρf

∂t, (7.8)

was nicht Null ist, da ein Teil der Ladung wegfließt. Die Gleichungen (7.7,7.8) sind inkon-sistent falls die Ströme in beiden Formeln die gleiche Bedeutung haben. Maxwells Auswegaus dieser Schwierigkeit benutzte, daß

4π∂ρf

∂t= ∇ · ∂D

∂t, bzw. ∇ ·

(

j f +1

4π

∂D

∂t

)

= 0

gilt. Wenn man postuliert, daß der Term ∼ ∂D/∂t einen Strom darstellt, der die gleichenEigenschaften wie irgendein anderer Strom besitzt, dann erhält man

∇∧H =1

c

∂D

∂t+

4π

cj f . (7.9)

Insbesondere erzeugt eine zeitabhängige dielektrische Verschiebung ein Magnetfeld. DieEinführung des Verschiebungsstromes ∼ ∂D/∂t in die elektromagnetischen Grundglei-chungen bildet den Kernpunkt der Maxwellschen Theorie. Nach dem Induktionsgesetz


7. Maxwellgleichungen 7.3. Die Maxwell-Gleichungen 118

bedingt selbst im Vakuum ein zeitlich variierendes Magnetfeld ein elektrisches Feld. NachMaxwells Modifikation des Oerstedtschen Gesetzes erzeugt aber auch ein zeitlich verän-derliches elektrisches Feld ein Magnetfeld. Die modifizierte Gleichung (7.9) findet ihreglänzende Bestätigung bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen. Diese wird erstdurch das Maxwellsche Zusatzglied in (7.9) möglich.

7.3 Die Maxwell-Gleichungen

Nehmen wir zu dem erweiterten Oerstedtschen Gesetz noch das Induktionsgesetz, sowiedie Resultate über die Quellen von D und B hinzu, so erhalten wir die vier (beinahe)symmetrisch gebauten Gleichungen

(a) ∇∧H − 1

c

∂D

∂t=

4π

cj f , (b) ∇ ·D = 4πρf

(c) ∇∧E +1

c

∂B

∂t= 0 , (d) ∇ ·B = 0 (7.10)

als die in der klassischen Elektrodynamik endgültigen Maxwell-Gleichungen für ruhendeMedien.

Nach Faradays und Maxwells Arbeiten fiel es den Physikern nicht leicht, die ent-wickelten Konzepte auf konkrete Probleme anzuwenden, da eine im Sinne der Mechanikunmittelbar anschauliche Darstellung fehlte. Im Bestreben nach einer mechanischen Deu-tung der elektromagnetischen Erscheinungen wurden mit viel Scharfsinn eine Vielzahl vonModellen entwickelt. Noch zum Ende des 19. Jahrhundert hat es der bekannte PhysikerLord Rayleigh als notwendig erachtet, die Maxwellschen Gleichungen mit Hilfe eineskomplizierten Äthermodells zu stützen. Die Maxwellsche Theorie hat also nicht nur ei-ne enorme praktische Bedeutung, da durch sie eine u.a. die gesamte Nachrichtentechnikrevolutionierende Entwicklung eingeleitet worden ist, sie hat auch die Naturphilosophienachhaltig beeinflußt. Durch diese Theorie sind die Physiker gezwungen worden, den inder abstrakten Beschreibung vorkommenden Größen eine reale Existenz auch dann zu-zubilligen, wenn sie nicht so ohne weiteres anschaulich gemacht werden können. DieseGleichungen stellen eine vereinheitlichte Theorie dar, weil sie die elektrischen, magneti-schen und optischen Erscheinungen auf einer gemeinsamen Grundlage erklären. Es warund ist das bisher unerreichte Ziel der (theoretischen) Physiker, alle bekannten Wechsel-wirkungen4 im Rahmen einer vereinheitlichten Theorie zu beschreiben5.Die Maxwellgleichungen führen nach Elimination der dielektrischen Verschiebung aus (a)

4Elektromagnetisch, schwach, stark und gravitativ.5Die Superstringtheorien sind zur Zeit die erfolgversprechendsten Kandidaten für eine vereinheitlichte

Theorie.



und (b) auf die Kontinuitätsgleichung

∂ρf

∂t+∇ · j f = 0. (7.11)

Des weiteren sind die vier Feldgleichungen in (7.10) nicht ganz unabhängig. Aus (a) folgtdurch Divergenzbildung bei Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung

∂

∂t(∇ ·D − 4πρf) = 0 (7.12)

und aus (c) durch Divergenzbildung, daß

∂

∂t(∇ ·B) = 0. (7.13)

Die Gleichungen (b) und (d) enthalten keine Zeitableitungen der Felder und sind Bedin-gungen zu fester Zeit. Haben wir diese (Zwangs)Bedingungen zu einer Zeit erfüllt, dannbleiben sie gemäß (7.12,7.13) zu jeder anderen Zeit erfüllt.

Zwischen den vier Feldgrößen bestehen die Verknüpfungsgleichungen

D = E + 4πP und B = H + 4πM . (7.14)

Dabei sind die Polarisation P und Magnetisierung M abhängige Größen, die durch mikro-skopische Betrachtungen ermittelt werden können. Möchte man die Einführung der nichtdirekt bestimmbaren und abgeleiteten Hilfsfelder D und H vermeiden, dann kommen wirzu den vier Maxwellgleichungen im Medium

a) ∇∧B − 1

c

∂E

∂t=

4π

c

(

j f +∂P

∂t+ c∇∧M

)

, b) ∇ · E = 4π (ρf −∇ ·P)

c) ∇ ∧E +1

c

∂B

∂t= 0 , d) ∇ ·B = 0 (7.15)

Daß hier neben der im letzten Kapitel diskutierten Magnetisierungsstromdichte auch diePolarisationsstromdichte jP erscheint, ist eine unmittelbare Folge der Einführung desVerschiebungsstromes.

Zu den Maxwellgleichungen (7.10) tritt noch die Lorentzkraft

F = q(

E +v

c∧B

)

. (7.16)

Die Gleichungen (7.10) und (7.16) sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik. Ausihnen werden alle relevanten Eigenschaften abgeleitet. Für zeitunabhängige Felder entkop-



peln die Maxwellgleichungen in die Grundgleichungen der Elektrostatik und die Grund-gleichungen der Magnetostatik.Die Dimensionen der in (7.15) auftretenden Größen sind im Gaußschen Einheitensystem

[E ] = [B ] = [P ] = [M ] =esu

cm2, [ρ] =

esu

cm3, [j ] =

esu

cm2 s. (7.17)

7.3.1 Integralform der Maxwellgleichungen

Neben der Formulierung der Maxwellgleichungen als Differentialgleichungen kann manauch eine Integralform dieser Gleichungen angeben, die in vielen Fällen intuitiver ist.Dazu führen wir elektrische und/oder magnetische Spannungen, Flüsse, Ladungen undStröme ein. Die meisten dieser Begriffe sind uns schon begegnet.

• Die elektrische Spannung zwischen den Endpunkten einer Kurve ist

V (C) =

∫

C

E · dr (7.18)

Im allgemeinen hat E Wirbel und die Spannung ist wegabhängig. Sie hängt nicht nurvon Anfangs- und Endpunkt ab und es können Ringspannungen längs geschlossenerWege auftreten.

• Der elektrische Fluss durch ein orientiertes Flächenstück F ist

Ψ(F ) =

∫

F

D · df . (7.19)

Da D nicht quellenfrei zu sein braucht, hängt Ψ(F ) nicht nur von der Randkurve∂F der Fläche F ab. Der Fluss durch eine geschlossene Fläche braucht nicht Nullzu sein.

• Der magnetische Fluss durch das orientierte Flächenstück F ist

Φ(F ) =

∫

F

B · df . (7.20)

Die magnetische Induktion B ist quellenfrei und Φ(F ) hängt nur von der Randkurve∂F der Fläche F ab. Der Fluss durch eine geschlossene Fläche verschwindet. Es gibtkeine magnetischen Monopolladungen.

• Die magnetische Spannung zwischen den Endpunkten einer Kurve C ist

Vm(C) =

∫

C

H · dr . (7.21)



Da H Wirbel haben kann, ist sie im allgemeinen wegabhängig. Es können magne-tische Ringspannungen längs geschlossener Wege auftreten.

• Die elektrische Ladung im Gebiet V ist

q(V ) =

∫

d3rρ(r). (7.22)

• Der elektrische Strom durch ein orientiertes Flächenstück F ist

I(F ) =

∫

F

j · df . (7.23)

Die Stromdichte ist im allgemeinen nicht quellenfrei und der Strom hängt von derFläche und nicht nur deren Rand ab.

Diese Größen treten in den integralen Maxwellgleichungen auf. Diese gewinnt man durchIntegration der Maxwellgleichungen (7.10) über geschlossen Kurven beziehungsweise ge-schlossene Flächen.

Das Faradaysche Induktionsgesetz:

cV (∂F ) ≡ c

∮

∂F

E · dr = − d

dt

∫

F

B · df ≡ − d

dtΦ(F ) (7.24)

Die elektrische Ringspannung um den Rand eines Flächenstücks ist proportional zur zeit-lichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche. Sie wurde in (7.4) diskutiert.

Das Gaußsche Flußgesetz:

Ψ(∂V ) ≡∮

∂V

D · df = 4π

∫

V

d3r ρf(r) ≡ 4πq(V ) (7.25)

Der elektrische Fluss durch ∂V ist gleich der Gesamtladung im Raumgebiet V . Das Gesetzist äquivalent zu (7.8).

Das Oerstedsche Flussgesetz

Φ(∂V ) ≡∮

∂V

B · df = 0. (7.26)

Es existieren keine magnetischen Ladungen in der Natur.Das Maxwellsche Verschiebungsstromgesetz:

cVm(∂F ) ≡ c

∮

∂F

H · dr = 4π

∫

F

j · df +d

dt

∫

F

D · df

≡ 4πI(F ) +d

dtΨ(F ). (7.27)



Die magnetische Ringspannung um den Rand eines Flächenstückes ist gleich der Sum-me aus elektrischem Strom und Verschiebungsstrom durch diese Fläche. Es folgt durchIntegration von (7.9) über ein Flächestück.

Die Kontinuitätsgleichung

− d

dtq(V ) ≡ − d

dt

∫

V

d3rρf(r) =

∮

∂V

j f · df ≡ I(∂V ). (7.28)

Die Änderung der elektrischen Ladung im Gebiet V ist proportional zur Strom durch seineOberfläche. Die Kontinuitätsgleichung kodiert die Erhaltung der elektrischen Ladung.

7.3.2 Elektromagnetische Potentiale

Wie in der Statik gelingt es, die homogenen Maxwellgleichungen durch Einführung einesskalaren Potentials und eines Vektorpotentials zu lösen. Es gibt allerdings verschiedenePotentiale zu denselben elektromagnetischen Feldern. Diese Vieldeutigkeit, auch Eichfrei-heit genannt, spielt in allen feldtheoretischen Beschreibungen der vier Wechselwirkungeneine ganz entscheidende Rolle.

Wie in der Magnetostatik ist die magnetische Induktion auch für zeitabhängige Felderquellenfrei und damit das Wirbelfeld eines Vektorpotentials A,

B = ∇∧A. (7.29)

Aus der anderen homogenen Maxwellgleichung (7.10c) folgt dann

∇∧(

E +1

c

∂A

∂t

)

= 0,

so dass ein skalares Potential Φ existiert mit

E = −∇Φ− 1

c

∂A

∂t. (7.30)

Damit sind die beiden homogenen Maxwellgleichungen in (7.10) bzw. (7.15) automatischerfüllt. Aus den beiden inhomogenen Maxwellgleichungen in (7.15) ergeben sich dannWellengleichungen für die Potentiale:

∇(∇ ·A)−A +1

c2∂2A

∂t2+

1

c∇∂Φ∂t

=4π

c

(

j f +∂P

∂t+ c∇∧M

)

−1

c∇ · ∂A

∂t−Φ = 4π (ρf −∇ ·P) . (7.31)



Dabei haben wir folgende Identität benutzt:

∇∧ (∇∧A) = ∇(∇ ·A)−A. (7.32)

Im Gaußschen Einheitensystem haben die Potentiale die Dimension

[Φ] = [A] =esu

cm. (7.33)

7.3.3 Eichtransformationen

Wie bereits erwähnt sind die Potentiale durch die physikalischen Felder E und B nichteindeutig festgelegt. Die Transformation

A −→ A′ = A +∇λ (7.34)

ändert die magnetische Induktion B nicht. Damit auch das elektrische Feld unverändertbleibt, muß gleichzeitig das skalare Potential Φ mittransformiert werden

Φ −→ Φ′ = Φ− 1

c

∂λ

∂t. (7.35)

Die Transformation (7.34) und (7.35) der Potentiale heißt Eichtransformation6. Die physi-kalischen Felder ändern nicht unter Eichtransformationen – sie sind eichinvariant. Deshalbsind eichäquivalenten Potentiale (Φ,A) und (Φ′,A′) physikalisch nicht unterscheidbar, siebeschreiben identische Systeme. Die Elektrodynamik hat eine sogenannte Eichtheorie. Wirkönnen die Eichsymmetrie (7.34,7.35) ausnutzen, um eine Eichbedingung an die Poten-tiale zu stellen, die durch eine geeignete Wahl von λ erfüllbar sein muß. Zwei nützlicheEichungen sind die Coulomb- und Lorenzeichung, die im Folgenden etwas näher betrachtetwerden.

Coulombeichung: Unter einer Eichtransformation geht die Divergenz von A über in

∇ ·A −→ ∇ ·A +λ. (7.36)

Für ein beliebiges ∇ ·A können wir immer eine Eichfunktion λ finden, so daß die rechteSeite verschwindet. Wir können die Potentiale also immer so wählen, daß

∇ ·A = 0 (7.37)

6englisch: gauge transformation



gilt. Dies ist die Coulombeichung. Nach Wahl dieser Eichung vereinfachen sich die inho-mogenen Maxwellgleichungen (7.31) zu

−Φ = 4π (ρf −∇ ·P) , 2A +1

c

∂

∂t∇Φ =

4π

c

(

j f +∂P

∂t+ c∇∧M

)

, (7.38)

wobei wir den Wellenoperator , auch d’Alembert Operator genannt, eingeführten,

2 =1

c2∂2

∂t2−. (7.39)

Die Coulombeichung zeichnet bestimmte Inertialsysteme aus, sie ist nicht kovariant.

Lorenzeichung: Unter einer Eichtransformation transformiert

∇ ·A +1

c

∂Φ

∂tin ∇ ·A +

1

c

∂Φ

∂t− 2λ.

Nun können wir die Eichfunktion so wählen, daß die rechte Seite verschwindet. Mit dieserWahl für λ erfüllen die Potentiale die kovariante Lorenz-Eichbedingung

∇ ·A +1

c

∂Φ

∂t= 0. (7.40)

In dieser Eichung lauten die inhomogenen Maxwellgleichungen (7.31)

2Φ = 4π (ρf −∇ ·P) , 2A =4π

c

(

j f +∂P

∂t+ c∇∧M

)

. (7.41)

Dies sind Wellengleichungen und sie weisen unmittelbar auf die elektromagnetische Licht-theorie hin.

7.3.4 Maxwellgleichungen im Vakuum

Im Vakuum verschwinden Polarisierung und Magnetisierung und wir haben es allenfallsmit isolierten mikroskopischen Ladungen und Strömen zu tun. Dann ist (in GaußschenEinheiten) D = E und H = B , und die Feldgleichungen (7.10) vereinfachen sich zu

a) ∇∧B − 1

c

∂E

∂t=

4π

cj , b) ∇ · E = 4πρ (7.42)

c) ∇∧ E +1

c

∂B

∂t= 0 , d) ∇ ·B = 0 (7.43)



Dies ist die differentielle Form der Maxwellgleichungen im Vakuum. Hier sind ρ und j diemikroskopischen Ladungs- und Stromdichte.

Dies sind die wichtigen Feldgleichungen der mikroskopischen Elektrodynamik. Bei be-kannten Anfangsbedingungen und Ladungs- sowie Stromverteilungen bestimmen sie dieErzeugung und Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen im freien Raum. Aus ihnenfolgt sofort die Erhaltung der elektrischen Ladung,

d

dtρ+∇ · j = 0. (7.44)

Die homogenen Gleichungen (7.43) werden durch (7.29) und (7.30) gelöst und es bleiben(in der Lorenzeichung) folgende einfache Wellengleichungen für die Potentiale übrig,

2Φ = 4πρ , 2A =4π

cj . (7.45)

Jede Komponente der zweiten Gleichung in (7.45) hat dieselbe Struktur wie die erste Glei-chung. Wir können die Diskussion der Lösung daher auf die erste Gleichung beschränken.Die allgemeine Lösung dieser Wellengleichung hat die Darstellung

Φ = Φhom + Φpart. (7.46)

Dabei ist Φhom die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung

2Φhom = 0, (7.47)

und Φpart eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Die Wellengleichungen (7.45)sind der Ausgangspunkt bei der Behandlung der Erzeugung und Propagation von elek-tromagnetischen Wellen.

Im Vakuum nehmen auch die integralen Maxwellgleichungen eine einfachere Form an.

Induktionsgesetz:∮

∂F

E · dr = −1

c

d

dt

∫

F

B · df (7.48)

el. Flußgesetz:∮

∂V

E · df = 4π

∫

V

d3r ρ(r) (7.49)

mag. Flußgesetz:∮

∂V

B · df = 0 (7.50)

Verschiebungsgesetz:∮

∂F

B · dr =4π

c

∫

F

j · df +1

c

d

dt

∫

F

E · df (7.51)

Kontinuitätsgleichung:d

dt

∫

V

d3rρ(r) = −∮

∂V

j · df (7.52)


Kapitel 8

Ausbreitung von Wellen

Wir wollen zeitlich und räumlich veränderliche Felder, insbesondere elektromagnetischeWellen behandeln. Dabei beschränken wir uns zunächst auf den Fall der Wellenausbreitungin homogenen und linearen Medien ohne freie Ladungsträger, so daß wir die Maxwellglei-chungen in der Form

∇∧B − ǫµ

c

∂E

∂t= 0, ∇ ·E = 0, ∇∧E +

1

c

∂B

∂t= 0, ∇ ·B = 0 (8.1)

zu lösen haben. Lösungen von (8.1) mit ǫ = µ = 1 werden zu Lösungen mit beliebigenkonstanten ǫ und µ, wenn man folgende Ersetzungen vornimmt,

c −→ c√ǫµ, E −→ E und B −→ B√

ǫµ. (8.2)

Aus den Vakuumlösungen können wir also leicht die Lösungen in homogenen und linearenMedien ohne freie Ladungsträger gewinnen. Deshalb dürfen wir im Folgenden µ = ǫ = 1

setzen und uns auf Vakuumlösungen beschränken.Die Gleichungen (8.1) können wir entkoppeln, indem wir E oder B eliminieren. Dazu

nehmen wir von den beiden Gleichungen mit der Rotation selbst die Rotation und be-nutzen z.B. ∇∧∇ ∧ E = ∇(∇ · E )−E ist. Man erhält die Wellengleichungen für dieelektromagnetischen Felder,

2E = 0 und 2B = 0, 2 =1

c2∂2

∂t2−. (8.3)

Alle Komponenten von E und B erfüllen dieselbe Wellengleichung. Im Vakuum genügen

126

8. Ausbreitung von Wellen 8.1. Ebene Wellen 127

auch die Potentiale dieser Gleichung, sofern die Lorenzeichung gewählt wird,

∇ ·A +1

c

∂Φ

∂t= 0 =⇒ 2Φ = 0, 2A = 0. (8.4)

Wegen der Transformation (8.2) ist

u =c√ǫµ

(8.5)

die Geschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen in linearen homogenen Medien, wennc die Geschwindigkeit im Vakuum ist. In der Optik war seit etwa 1850 auf Grund derMessungen von Fizeau der Zusammenhang

u =c

n(8.6)

bekannt, wobei n der Brechungsindex des Mediums ist. Die Maxwellsche Theorie gibt alsodie Lichtgeschwindigkeit im Medium richtig wieder, wenn zwischen den elektromagneti-schen Stoffkonstanten ǫ, µ und dem optischen Brechungsindex die Maxwell-Beziehung

n =√ǫµ (8.7)

erfüllt ist. Für Wasser ist n = 1.33, µ = 1 und ǫ = 80 und die Beziehung scheint nichterfüllt zu sein. Diese Schlußfolgerung ist aber nicht erlaubt, weil wir die Frequenzabhängig-keit der Materialkonstanten außer acht ließen. Wir müssen für ǫ, µ und n Werte einsetzen,die sich auf dieselbe Frequenz beziehen. Der Brechungsindex wird bei der Lichtfrequenzvon etwa 1015s−1 gemessen, die elektromagnetischen Stoffkonstanten aber im Gleichfeld,d.h. bei einer verschwindenden Frequenz. Die Lösung der Maxwellschen Gleichungen fürfrequenzabhängige Konstanten und die Theorie der Dispersion, welche die Frequenzab-hängigkeit dieser Konstanten liefert, werden wir später behandeln. Wir werden sehen, daßdie Maxwellsche Beziehung gültig ist. Diese und weitere Resultate zeigen, daß die Theo-rie des Lichts in der Maxwellschen Theorie enthalten ist. Licht ist elektromagnetischeStrahlung in einem speziellen Frequenzband.

8.1 Ebene Wellen

Um die Anfangsbetrachtungen möglichst einfach zu halten, beginnen wir mit ebenen Wel-len. Diese haben zu jedem Zeitpunkt auf jeder Ebene aus einer Schar von parallelen Ebe-nen einen konstanten Wert. Die Punkte auf der Ebene senkrecht zu einem konstantenEinheitsvektor erfüllen n · r = u. Deshalb hängen ebene Wellen nur von ct und u ab,



Φ = Φ(ct, u). Für diese Wellen ist ∇Φ = n ∂Φ/∂u und die Wellengleichung vereinfacht

b

b

b

bb

b

n

EbenenkonstanterPhase

Wellenfronten

Abbildung 8.1: Ebene Wellen haben auf den Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtungn einen konstanten Wert.

sich zu

2Φ =

(

1

c2∂2

∂t2− ∂2

∂u2

)

Φ =

(

∂

∂(ct)+

∂

∂u

)(

∂

∂(ct)− ∂

∂u

)

Φ = 0. (8.8)

Aus der zweiten Schreibweise erkennt man sofort, daß

Φ = Φ(ct− u) = Φ(ct− n · r) und Φ = Φ(ct+ u) = Φ(ct+ n · r) (8.9)

Lösungen der Wellengleichung sind. Die erste (zweite) beschreibt eine in n(−n)-Richtungfortschreitende Welle: Die Ebenen, auf denen Φ denselben konstanten Wert annimmt,bewegen sich mit der Geschwindigkeit c in die Richtung von ±n . Die Geschwindigkeitder Welle ist also die Lichtgeschwindigkeit. Wegen der Linearität der Wellengleichung istmit Φ1 und Φ2 auch aΦ1 + bΦ2 eine Lösung. Dieses Superpositionsprinzip gilt allgemeinfür lineare Differentialgleichungen, und insbesonders für die Lösungen der Maxwellglei-chungen im Vakuum1. Das Superpositionsprinzip erlaubt die Zusammensetzung beliebigerWellenformen aus einfachen Grundtypen.

Im Vakuum müssen die Potentiale Φ,A und Felder E ,B alle die Wellengleichung

1In nichtlinearen Medien gilt das Superpositionsprinzip in dieser einfachen Form nicht mehr.



lösen und haben, falls sie in n-Richtung propagierende ebene Wellen beschreiben, dieForm (8.9). Insbesondere

E = E (ct− n · r) und B = B(ct− n · r). (8.10)

Wegen ∂iE = −niE′, wobei Strich die Ableitung nach dem Argument bedeutet, und der

gleichen Formel für das magnetische Feld, folgt aus der Quellenfreiheit der beiden Felder

∇ · E = −(n · E )′ = 0 und ∇ ·B = −(n ·B)′ = 0.

Damit sind die Projektionen der Felder in Ausbreitungsrichtung konstant. KonstanteFeldanteile haben aber auf die Wellenausbreitung keinen Einfluß und deshalb gilt fürebenen Wellen

n ·E = n ·B = 0. (8.11)

Dies bedeutet, daß beide Felder senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle sind. Dierestlichen Komponenten der Rotationsgleichungen lauten

n ∧B ′ + E ′ = 0, n ∧ E ′ −B ′ = 0. (8.12)

Für Wellenlösungen dürfen wir die konstanten Anteile wieder weglassen. Deshalb habenebene Wellen die Form

E = E (ct− n · r) und B = n ∧E (ct− n · r) (8.13)

wobei nach (8.11) die Felder E und B senkrecht zur Ausbreitungsrichtung n der Wellesind. Das elektrische und magnetische Feld haben denselben Betrag, |E | = |B |. Wir fassendie Eigenschaften von ebenen Wellen zusammen:

• Transversalität und Phasengleichheit:

E ⊥ n , B ⊥ n , E ⊥ B und |E | = |B | (8.14)

Die ersten zwei Eigenschaften bedeuten, daß ebene elektromagnetische Wellen trans-versal sind. Die letzte Gleichung besagt, daß die zueinander senkrechten Felder E

und B zu jeder Zeit und an jedem Ort denselben Betrag haben. Sie haben an jeweilsdenselben Stellen Maxima und Nullstellen; sie sind in Phase oder phasengleich.



E

B

n

Abbildung 8.2: Für eine ebene Welle bilden E ,B und n ein Orthogonalsystem.

• Phasengeschwindigkeit: Eine in die z-Richtung fortschreitende Welle hat eine festePhase, falls z = ct+a gilt mit einer beliebigen Konstante a. Die Maxima (Nullstellen,Minima) verschieben sich mit der Lichtgeschwindigkeit, d.h. die Phasengeschwindig-keit der Wellen ist die Lichtgeschwindigkeit.

8.1.1 Monochromatische ebene Wellen

Wir betrachten zunächst harmonisch schwingende ebene Wellen, sogenannte monochro-matische ebene Wellen, für welche

E (ct− n · r) = ℜ(

E0eik(ct−n ·r)

)

= ℜ(

E0ei(ωt−k ·r)

)

, ω = c|k |B(ct− n · r) = ℜ

(

B0eik(ct−n ·r)

)

= ℜ(

B0ei(ωt−k ·r)

)

, k = |k |n , (8.15)

mit konstanten Amplitudenvektoren E0,B0. Aus unseren vorherigen Überlegungen überebene Wellen oder durch Einsetzen in die Wellengleichungen findet man folgende alge-braischen Gleichungen für die reelle Kreisfrequenz ω = 2πν, den reellen Wellenzahlvektork und die konstanten Amplitudenvektoren:

k · E0 = 0, k ·B0 = 0, k ∧E0 =ω

cB0. (8.16)

Wie erwartet sind E0 und B0 orthogonal, haben dieselbe Länge und sind senkrecht zumWellenzahlvektor. Zur vollständigen Festlegung einer monochromatischen ebenen Wellebraucht es einen Wellenzahlvektor k und einen im allgemeinen komplexen Amplituden-



b

B

E

k

|k | = ωc

Abbildung 8.3: Das elektrische und magnetische Feld sind transversal und haben dieselbeAmplitude.

vektor E0, senkrecht zu k .Bei der Untersuchung der Lösungen dürfen wir annehmen, daß der Wellenzahlvektor in

die z-Richtung zeigt, k = kez. Monochromatische und in die z−Richtung propagierendeebene Wellen haben die Form

E = ℜ(

(E0xex + E0yey)ei(ωt−kz)

)

, B = ℜ(

(−E0yex + E0xey)ei(ωt−kz)

)

. (8.17)

Zu einer festen Zeit gilt für den Abstand zweier benachbarten Maxima die Beziehungk∆z = 2π. Der entsprechende räumliche Abstand ist die Wellenlänge

λ = ∆z =2π

k=

2πc

ω=c

ν. (8.18)

Da die Welle allein durch das E -Feld (oder allein durch das B-Feld) bestimmt ist, be-zieht sich die folgende Diskussion auf das elektrische Feld. Wir schreiben die komplexenKoeffizienten gemäß

E0x = |E0x|eiφ und E0y = |E0y|ei(φ+δ).

Dann wird das elektrische Feld zu

E = |E0x| cos(ωt− kz + φ)ex + |E0y| cos(ωt− kz + φ+ δ)ey. (8.19)

Je nach relativer Phase δ unterscheidet man nun drei Fälle:



• Linear polarisierte Wellen: Für δ = 0 oder δ = ±π ist

E = (|E0x|ex ± |E0y|ey) cos(ωt− kz + φ). (8.20)

Der Koeffizient ist ein orts- und zeitunabhängiger Vektor und damit liegt das elektri-sche Feld in einer festen Schwingungsebene. Eine linear polarisierte Welle läßt sich alsÜberlagerung von zwei linear unabhängigen, linear polarisierten Wellen schreiben.Die obige Welle ist eine Überlagerung von

ex cos(ωt− kz + φ) und ey cos(ωt− kz + φ).

• Zirkular polarisierte Wellen: Für δ = ±π/2 und |E0x| = |E0y| = E ist

E = E (cos(ωt− kz + φ)ex ∓ sin(ωt− kz + φ)ey) . (8.21)

An einem festen Ort durchläuft der Vektor in den Klammern mit fortschreitenderZeit den Einheitskreis. Das elektrische Feld dreht einen Kreis vom Radius E mitder Winkelgeschwindigkeit ω in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Fürδ = π/2 gilt das obere Vorzeichen in (8.21). Blickt man in die Ausbreitungsrichtungdreht der E -Vektor nach links. Betrachten wir die Bewegung von E in Raum undZeit, dann beschreibt E eine Kreisspirale. In diesem Sinn spricht man von einerlinkszirkular polarisierten Welle. Für δ = −π/2 ist die Welle rechtszirkular polari-siert.

x

y

x

y

x

y

E

(a) (b) (c)

Abbildung 8.4: Lineare Polarisation (a), rechts-zirkulare Polarisation (b) und rechts-elliptische Polarisation (c). Der k -Vektor steht senkrecht zur Blattebene und in die Rich-tung, in die Sie schauen.



• Elliptisch polarisierte Wellen: Für δ = ±π/2 und |E0x| 6= |E0y| ist

Ex = |E0x| cos(ωt− kz + φ) und Ey = ∓|E0y| sin(ωt− kz + φ).

Die Komponenten des Feldes erfüllen die Ellipsengleichung mit den Halbachsen |E0x|und |E0y|:

(

Ex

|E0x|

)2

+

(

Ey

|E0y|

)2

= 1.

An einem festen Ort durchläuft der E -Vektor eine Ellipse und seine Amplitude istnicht mehr konstant.

Die Abbildung 8.5 zeigt, wie sich bei stetiger Veränderung von δ die Schwingungsellipseändert. Für δ = 0 entartet sie in eine Gerade und es liegt lineare Polarisation vor. Ist 0 <

δ = π

0 < δ = π2

δ = 3π2

π2 < δ < πδ = 0

π < δ < 3π2

δ = π2

3π2 < δ < 2π

Abbildung 8.5: Elliptisches Licht verschiedener Phasendifferenz der rechtwinkligen Kom-ponenten. Der k -Vektor steht senkrecht zur Blattebene und in die Richtung, in die Sieschauen.

δ < π, dann haben wir rechtsläufige Ellipsen, unter denen für δ = π/2 ein Kreis ist. Für δ =

π haben wir wieder lineare Polarisation und den Übergang von rechts- zu linkspolarisierten


8. Ausbreitung von Wellen 8.2. Kugelwellen 134

ebenen Wellen. Für π < δ < 2π sind die Ellipsen linksläufig. Insbesondere für δ = 3π/2

handelt es sich um linkshändig polarisierte Wellen.

8.2 Kugelwellen

Eine bei der Erzeugung von Wellen oft gebrauchte Wellenform ist die Kugelwelle. Um zueiner Darstellung von Kugelwellen zu kommen, schreibt man die Wellengleichung zweck-mäßig in Kugelkoordinaten (r, θ, φ) um:

1

c2∂2Φ

∂t2− 1

r

∂2

∂r2(rΦ)− 1

r2ΩΦ = 0. (8.22)

In der Elektrostatik haben wir gezeigt, daß jede Funktion der Winkelvariablen eine Line-arkombination der Kugelfunktionen ist. Daher ist es angezeigt, Lösungen der Form

Φ =1

rF (t, r)Yℓm(θ, φ) (8.23)

zu suchen. Setzen wir diesen Ansatz ein und benutzen ΩYℓm = −ℓ(ℓ + 1)Yℓm, dannreduziert sich (8.22) auf folgende 2-dimensionale Wellengleichung für F :

1

c2∂2F

∂t2− ∂2F

∂r2+ℓ(ℓ+ 1)

r2F = 0. (8.24)

Während ebene Wellen auf parallelen Ebenen konstant sind, sind Kugelwellen auf kon-zentrischen Kugelflächen konstant. Sie hängen deshalb nicht von den Winkelvariablen abund haben ℓ = 0. Dann vereinfacht sich die Wellengleichung (8.24) zu

1

c2∂2F

∂t2− ∂2F

∂r2= 0. (8.25)

Damit haben die Wellengleichungen (8.3) für die elektromagnetischen Felder die Lösungen

E =1

r[E+(ct− r) + E−(ct+ r)]

B =1

r[B+(ct− r) + B−(ct+ r)]. (8.26)

E+ ist eine auslaufende Kugelwelle, die sich mit Lichtgeschwindigkeit vom Ursprung aus-gehend nach außen ausbreitet, und E− eine einlaufende Welle, da sie sich auf den Ursprung


8. Ausbreitung von Wellen 8.3. Besselwellen 135

zusammenzieht. Die Quellenfreiheit der Felder ist äquivalent zu

1

r2

∂

∂r

(

r2Er

)

= 0 und1

r2

∂

∂r

(

r2Br

)

= 0,

und deshalb sind r2Er und r2Br konstant. Für am Ursprung reguläre Lösungen verschwin-den die Konstanten und

r ·E = r ·B = 0. (8.27)

Es handelt sich also wieder um transversale Wellen, deren Amplitude mit wachsendem Ab-stand vom Ursprung gemäß 1/r abnimmt. Für die Polarisation dieser Wellen gilt dasselbewie bei den ebenen Wellen.

8.3 Besselwellen

Die Wellengleichung 2E = 0 besitzt interessante Lösungen, die erst 1987 gefunden wur-den, die Klasse der beugungsfreien Wellen2. Beugungsfrei bedeutet, daß die Welle bei derAusbreitung im freien Raum in z-Richtung ihre Intensitätsverteilung in der (x, y)-Ebeneunabhängig von z beibehält (zur Definition der Intensität siehe später). Normalerweisewürde man erwarten, daß ein im Querschnitt stark lokalisierter Lichtbündel bei der Aus-breitung seine Form nicht beibehalten kann. Genau solche Lösungen gibt es jedoch, und siekonnten auch annähernd realisiert werden3. Das einfachste Beispiel ist die fundamentaleBesselwelle. Wir machen den Ansatz

Φ = Φ0J(αρ)ei(ωt−kz), ρ2 = x2 + y2. (8.28)

In Zylinderkoordinaten ist

2 =1

c2∂2

∂t2− 1

ρ

∂

∂ρρ∂

∂ρ− 1

ρ2

∂

∂ϕ2− ∂2

∂z2, (8.29)

so daß die Wellengleichung 2Φ = 0 äquivalent zu folgender gewöhnlichen Differentialglei-chung für J in (8.28) ist,

v2J ′′ + vJ ′ +

(

ω2 − k2c2

α2c2

)

v2J = 0, v = αρ, ′ =d

dv.

2J. Durnin, J.J. Miceli Jr. und J.H. Eberly, Diffraction-free beams, Phys. Rev. Lett. 58, 1987, 1499.3A. Vasara, J. Turunen und A.T. Friberg, Realisation of general nondiffracting beams with computer-

generated holograms, J. Opt. Soc. Am. A6, 1989, 1748.


8. Ausbreitung von Wellen 8.3. Besselwellen 136

Wählen wir den freien Parameter α so, dass

ω2 =(

α2 + k2)

c2, 0 < α <ω

c(8.30)

gilt, dann erhalten wir die einfache Besselsche Differentialgleichung

v2J ′′ + vJ ′ + v2J = 0, (8.31)

deren am Ursprung reguläre Lösung die nullte Besselfunktion J0 ist. Also löst

Φ = Φ0J0(αρ)ei(ωt−kz) mit α =

√

ω2

c2− k2, (8.32)

die Wellengleichung. Die Lösung ist axialsymmetrisch und der Parameter α charakterisiertdie Breite des zentralen Lichtbündels. Es erfolgt keine Ausweitung in den freien Raum.

In der Lorenzeichung haben die Potentiale die Form(

Φ

A

)

=

(

Φ0

A0

)

J0(αρ)ei(ωt−kz). (8.33)

Die Lorenzbedingung lautet

∇ ·A +1

c

∂Φ

∂t= ei(ωt−kz)

(

i(ω

cΦ0 − kA0z

)

J0 +α

ρ(xA0x + yA0y)J

′0

)

= 0.

Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, falls

A0z =ω

kcΦ0 und A0x = A0y = 0

gelten. Die nichtverschwindenden Potentiale der fundamentalen Besselwelle lauten deshalb

Φ = Φ0J0(αρ)ei(ωt−kz) und Az =

ω

kcΦ0J0(αρ)e

i(ωt−kz). (8.34)

Aus diesen Potentialen in der Lorenzeichung kann man nun das elektromagnetische Feld(E ,B) gewinnen4.

4Übung: Berechne und diskutiere E und B für die fundamentale Besselwelle.


8. Ausbreitung von Wellen 8.4. TE- und TM-Wellen 137

8.4 TE- und TM-Wellen

Diese Wellen spielen zum Beispiel im Zusammenhang mit Hohlleitern eine wichtige Rolle.Für ihre Konstruktion überlagern wir zwei monochromatische ebene Wellen mit gleicherFrequenz und gleichem elektrischen oder magnetischen Amplitudenvektor aber unter-schiedlicher Ausbreitungsrichtung. Bei TE-Wellen haben die beiden elektrischen Wellengleiche Amplitude, und man überlagert die ebenen Wellen

E1 = E0 cos (ωt− (k + ∆k) · r) , B1 =c

ω(k + ∆k) ∧E1

E2 = E0 cos (ωt− (k −∆k) · r) , B2 =c

ω(k −∆k) ∧ E2. (8.35)

Die erste Welle propagiert in Richtung von k+∆k und die zweite in Richtung von k−∆k .Damit diese Wellen die Maxwellgleichungen erfüllen, muss ω = c|k + ∆k | = c|k − ∆k |gelten. Daraus folgen die Relationen

k ⊥ ∆k und E0 ⊥ k , E0 ⊥ ∆k , ω = c√

k 2 + (∆k)2. (8.36)

Die Überlagerung ergibt das transversale elektrische Feld

E = E1 + E2 = 2E0 cos(ωt− k · r) cos(∆k · r), (8.37)

wobei wir cos(α−β) = cosα cos β+sinα sin β benutzten. Diese Lösung beschreibt eine ink -Richtung fortschreitende transversale nichtebene Welle mit der Phasengeschwindigkeit

vph =ω

|k | =c

|k |√

k 2 + (∆k)2 > c. (8.38)

Die Phasengeschwindigkeit liegt über der Lichtgeschwindigkeit. Das ist möglich und nichtim Widerspruch zur Relativitätstheorie, nach der keine Signalgeschwindigkeit die Licht-geschwindigkeit übertreffen darf. Als Signalgeschwindigkeit kommt die Gruppengeschwin-digkeit, und nicht die Phasengeschwindigkeit, in Frage. Und diese ist kleiner als c.

Die Überlagerung der magnetischen Felder führt auf

B = B1 + B2 =c

ωk ∧ (E1 + E2) +

c

ω∆k ∧ (E1 − E2)

=c

ωk ∧E + 2 sin(ωt− k · r) sin(∆k · r)

c

ω∆k ∧E0. (8.39)

Auch das B-Feld breitet sich in k -Richtung aus. Im Gegensatz zum elektrischen Feld ist


8. Ausbreitung von Wellen 8.5. Überlagerung von ebenen Wellen 138

B nicht transversal,

k ·B =2c

ω(E0, k ∧∆k) sin(ωt− k · r) sin(∆k · r) 6= 0.

Das Magnetfeld hat eine longitudinale Komponente, d.h eine Komponente parallel zurAusbreitungsrichtung. Die konstruierte Lösung heisst transversale elektrische Welle, ab-gekürzt TE-Welle. Die Amplituden hängen von ∆k · r ab.

Ganz ähnlich kann man zwei harmonische ebene Wellen mit gleicher Frequenz, glei-chem magnetischen Amplitudenvektor aber verschiedenen Ausbreitungsrichtungen über-lagern, B = B1 + B2 mit

B1 = B0 cos (ωt− (k + ∆k) · r) , E1 = − cω

(k + ∆k) ∧B1

B2 = B0 cos (ωt− (k −∆k) · r) , E2 = − cω

(k −∆k) ∧B2. (8.40)

Damit diese ebenen Wellen die Maxwellgleichungen lösen, müssen die Wellenzahlvektorenund Amplituden wieder die Relationen (8.36) erfüllen, wobei E0 durch B0 zu ersetzen ist.Die Überlagerung ergibt das transversale magnetische Feld

B = B1 + B2 = 2B0 cos(ωt− k · r) cos(∆k · r), (8.41)

Dies ist eine in k -Richtung fortschreitende transversale nichtebene Welle. Die Überlage-rung der elektrischen Felder führt auf

E = − cωk ∧B − 2 sin(ωt− k · r) sin(∆k · r)

c

ω∆k ∧B0.

Nun ist das in k -Richtung propagierende elektrische Feld nicht transversal,

k · E = −2c

ω(B0, k ∧∆k) sin(ωt− k · r) sin(∆k · r) 6= 0.

Man nennt eine derartige Welle deshalb transversal magnetisch, abgekürzt TM-Welle.

8.5 Überlagerung von ebenen Wellen

Die Wellengleichung ist linear und deshalb kann jede Lösung der Wellengleichung, zumBeispiel das elektrische oder magnetische Feld im ladungsfreien Raum, als Fourier-Integralgeschrieben werden, zum Beispiel

E (t, r) =1

(2π)2

∫

dωd3k E (ω, k)ei(ωt−k ·r). (8.42)


8. Ausbreitung von Wellen 8.6. Anhang: Fourier-Reihen und Integrale 139

Eine Welle ist eine lineare Überlagerung von ebenen Wellen. Jede Komponente des Fel-des ist also ein Fourierintegral. Fourierreihen und Fourierintegrale treten deshalb in derWellentheorie immer wieder auf. Im Anhang zu diesem Kapitel habe ich die wesentlichenTatsachen über Fourierintegrale zusammengetragen. Sie werden diese in der Quantenme-chanik wieder brauchen.

Die Fourierkoeffizienten des elektrischen Feldes in (8.42) sind durch die inverse Fou-riertransformation bestimmt,

E (ω, k) =1

(2π)2

∫

dtd3xE (t, r)e−i(ωt−k ·r). (8.43)

Nun können wir die allgemeinste Lösung der Maxwellgleichungen im Vakuum (bzw. inlinearen homogenen Medien) angeben. Dazu transformieren wir die entsprechenden Max-wellgleichungen in den (ω, k)-Raum. Mit (8.58) finden wir die Maxwellgleichungen im(ω, k)-Raum,

k ∧ B +ω

cE = 0 , k · E = 0 (8.44)

k ∧ E − ω

cB = 0 , k · B = 0. (8.45)

Nicht unerwartet sind dies die Bedingungen (8.16) für monochromatische ebene Wellen.Benutzen wir die Resultate über derartige Lösungen dann finden wir

E (t, r) =1

(2π)2ℜ∫

d3k E (ω, k)ei(ωt−k ·r) (8.46)

B(t, r) =1

(2π)2ℜ∫

d3kk

k∧ E (ω, k)ei(ωt−k ·r), (8.47)

wobei ω = |k |c ist und E (ω, k) senkrecht auf dem Wellenzahlvektor k steht.

8.6 Anhang: Fourier-Reihen und Integrale

Die Fourier-Reihe einer Funktion mit Periode L, f(x+ L) = f(x), lautet

f(x) = a∞∑

n=−∞fne

2πinx/L ⇔ f = F (fn) , (8.48)

wobei a eine reelle Konstante ungleich Null ist. Die fn sind die Fourier-Koeffizienten derperiodischen Funktion f . Die Darstellung ist möglich für quadratintegrierbare Funktio-



nen, f ∈ L2[−L/2, L/2]. Die Rücktransformation, das heißt die Berechnung der Fourier-Koeffizienten, gewinnt man aus

fn =1

aL

∫ L/2

−L/2

dx e−2πinx/Lf(x)⇔ fn = F−1(f) (8.49)

wie man leicht durch Einsetzen von (8.48) und Vertauschen von Summation und Integra-tion sehen kann:

1

L

∫

dx e−2πinx/L∑

m

fme2πimx/L =

1

L

∑

m

Lδmnfm = fn.

Für a2 = 1/L ist die invertierbare Abbildung L2 ∋ f(x) → fn ∈ l2 vom Raum derquadratintegrierbaren Funktionen in den Raum der quadratsummierbaren Folgen länge-nerhaltend:

‖f‖2L2=

∫

dxf(x)f(x) = a2

∫

dx∑

m,n

fme−2πi(m−n)xfn

= a2L∑

n

|fn|2 = a2L‖fn‖2l2. (8.50)

Seien nun f = F(fn) und g = F(gn). Wir wollen berechnen, welche Funktion dieKoeffizienten fngn hat:

F (fngn) = a∑

n

fngne2πinx/L =

a

L

∑

n,m

fngme2πinx/L

∫

dye2πiy(m−n)/L

=1

aL

∫

dyf(x− y)g(y).

Damit geht das Produkt in die Faltung über:

f = F(fn), g = F(gn) =⇒ F(fngn) =1

aL

∫

dyf(x− y)g(y). (8.51)

Die Fouriertransformation für eine von−∞ bis +∞ definierte, nicht notwendig periodischeFunktion f(x) gewinnt man, indem man den Grenzübergang L→∞ macht und

k :=2πn

L, fn = f(k), ∆k =

2π

Lund a =

√2π

L(8.52)



definiert. Dann geht (8.48) über in die Riemann-Summe

f(x) =1√2π

∑

∆kf(k)eikx

das für L → ∞ in das Riemannsche Integral von −∞ bis ∞ übergeht. Deshalb ist dieFouriertransformation auf der reellen Achse

F(f) =1√2π

∫ ∞

−∞dkf(k)eikx, (8.53)

un die Umkehrtransformation lautet

F−1(f) = f(k) =1√2π

∫ ∞

−∞dxf(x)e−ikx. (8.54)

Aus (8.50) und mit unserer Wahl für die Konstante a ergibt sich unmittelbar die Parseval-Beziehung, nach der f und f die gleiche L2-Norm haben,

‖f‖2 =

∫

dx|f(x)|2 =

∫

dk|f(k)|2 = ‖f‖2. (8.55)

Die Fouriertransformation ist eine lineare und längenerhaltende Abbildung. Lassen wir in(8.51) die Intervallänge gegen Unendlich streben, dann schließen wir unmittelbar

f = F(f), g = F(g) =⇒ F(f · g) =1√2π

∫

dyf(x− y)g(y). (8.56)

Dies bedeutet, das die Fouriertransformation des Produktes zweier Funktionen gleichder Faltung der Fouriertransformierten der Funktionen ist. Als Beispiel wählen wir diekonstante Funktion f(k) =

√2π und bestimmen ihre Fouriertransformierte f . Es ist

1√2π

∫

dyf(x− y)g(y) = F(√

2πg)

=

∫

dk g(k)eikx =√

2πg(x)

für eine Testfunktion g(x). Daraus folgt die Relation

1

2π

∫

eik(x−y)dk = δ(x− y). (8.57)

Wir werden diese wichtige Formel in der Vorlesung noch oft brauchen. Ist f = F−1(f),dann gilt



F−1

(

∂f

∂x

)

= ikf . (8.58)

Ableitungen gehen bei der Fouriertransformation bis auf einen Faktor in die Multiplikationmit der dualen Variablen über.


Kapitel 9

Wellen in Medien

In diesem Kapitel untersuchen wir die Fortpflanzung und Dämpfung von elektromagne-tischen Wellen in Leitern und Isolatoren. Insbesondere interessiert uns die Frequenzab-hängigkeit der Dielektrizitätskonstante und Leitfähigkeit. Als Anwendung wird die fre-quenzabhängige Eindringtiefe von Wellen in Metalle berechnet. Aus wenigen allgemeinenPrinzipien wie Lokalität und Linearität wird ein Zusammenhang zwischen dem absorpti-ven Imaginärteil von ǫ und dem dispersiven Realteil hergeleitet.

9.1 Wellen in homogenen Leitern

Ein elektromagnetisches Wechselfeld beschleunigt die freien Ladungsträger in einem Leiterund verliert dabei Feldenergie. Es wird gedämpft und seine Energie in Joulsche Wärmeumgewandelt. Dies ist der Grund dafür, dass Metalle undurchsichtig sind. Wir wollenannehmen, das Material habe lineare Verknüpfungsgleichungen und sei ein homogenerOhmscher Leiter,

D = ǫE , B = µH und j f = σE , (9.1)

mit räumlich konstanter Dielektrizitätskonstante ǫ, magnetischer Permeabilität µ undelektrischer Leitfähigkeit σ . Im Gaußschen Einheitensystem hat σ die Dimension s−1. Diefrequenzabhängigen Materialgrößen ǫ, µ und σ seien als gegeben vorausgesetzt.

9.1.1 Transversal-Schwingungen und Skin-Effekt

Die einfachen Verknüfungsgleichungen (9.1) gelten nur für feste Frequenzen. Deshalb be-trachten wir zeit-periodische Felder mit Kreisfrequenz ω, zum Beispiel E = E0(ω, r)eiωt,

143

9. Wellen in Medien 9.1. Wellen in homogenen Leitern 144

und entsprechend auch für die Dichten ρf und j f . Nach Elimination von D ,H und j f

vereinfachen sich für feste Frequenzen die Maxwellgleichungen zu

ǫ∇ · E0 = 4πρf,0 , ∇∧B0 −iǫµω

cE0 =

4πµσ

cE0 (9.2)

∇ ·B0 = 0 , ∇∧ E0 +iω

cB0 = 0. (9.3)

Aus der Kontinuitätsgleichung ρf +∇ · j f = 0 folgt

iωρf,0 +∇ · jf,0 = 0 (9.4)

und damit können wir die erste Gleichung in (9.2) wie folgt schreiben

0 = ǫ∇ · E0 − 4πρf,0 = ǫ∇ · E0 −4πi

ω∇ · jf,0 =

(

ǫ+4πσ

iω

)

∇ · E0. (9.5)

wobei die räumlich Konstanz der Materialkonstanten ǫ und σ ausgenutzt wurde.Im Gegensatz zu den Verhältnissen im Vakuum gibt es jetzt zwei Lösungstypen, ent-

sprechend den Lösungen

∇ · E0 = 0 oder ǫω = 4πiσ. (9.6)

Lösungen mit ∇·E0 = 0: Bei diesemLösungstyp ist neben dem magnetischen auch daselektrische Feld quellenfrei. Nehmen wir die Rotation der Gleichungen mit einer Rotationin (9.2,9.3), wobei wir die Quellenfreiheit der Felder benutzen, dann ergeben sich dieHelmholtzgleichungen für das elektromagnetische Feld

E0 + k2E0 = 0 , B0 + k2B0 = 0 mit k2 = ǫµω2

c2

(

1 +4πσ

iǫω

)

. (9.7)

Für Isolatoren mit verschwindender Leitfähigkeit ist k =√ǫµω/c reell1, und die trans-

versale Welle propagiert mit der Phasengeschwindigkeit ω/k = c/n, wobei n =√ǫµ der

Brechnungsindex ist, durch den Isolator. Dies sind die früher diskutierten monochroma-tischen transversalen Wellen in Isolatoren. Wir werden später sehen, daß außerhalb vonResonanzstellen dn/dω positiv ist und normale Dispersion vorliegt.

Für Metalle ist σ > 0 und der Ausbreitungsvektor wird komplex. Es ist angebracht,

1Wir sehen von Resonanzstellen, wo ǫ(ω) = 0 ist, ab.



mit einem komplexen Brechungsindex n zu rechnen, indem wir

n =c

ωk = n− iκ =

√

ǫµ

(

1 +4πσ

iǫω

)

. (9.8)

einführen. κ heisst Absorptionsindex. Für eine in z-Richtung fortschreitende transversaleebene Welle finden wir

E = ℜ(

E0 eiω(t−nz/c)

)

e−ωκz/c, E0 = konstant,

B = ℜ(

(n− iκ) ez ∧E0 eiω(t−nz/c)

)

e−ωκz/c. (9.9)

Die Amplitude der exponentiell gedämpften Welle fällt auf der Strecke d = c/κω auf ein1/e-tel ab. Wellen können nur bis zu dieser Eindringtiefe in den Leiter eindringen. Fürkleine Frequenzen ǫω ≪ 4πσ dürfen wir folgendermassen nähern:

n ≈√

4πµσ

iω= (1− i)

√

2πµσ

ωd.h. κ ≈

√

2πµσ

ω

Die entsprechende Eindringtiefe ist dann

d =c√

2πωµσ(σ/ω ≫ ǫ). (9.10)

Unsere Resultate gelten dann für gute Leiter im Gebiet der Wechselströme und techni-schen Hochfrequenzen. Für Kupfer ist

µ ∼ 1 und σ ∼ 5.8 · 1017s−1

und eine Welle mit 50 Hertz hat die Eindringtiefe d = 9 mm. Ist d viel kleiner ist alsdie repräsentativen Längen, dann findet die Stromleitung in einer Haut(skin) statt. Manspricht vom Skin-Effekt. Der Wechselstrom fällt im Leiter nach innen exponentiell ab,wobei der Abfall für höhere Frequenzen schneller ist. Man findet zum Beispiel die folgendenEindringtiefen,

Material 50 Hz 1 MHz 3 GHz

Aluminium d = 1.1 cm d = 0.085 mm d = 1.6 µm

Kupfer d = 0.9 cm d = 0.066 mm d = 1.2 µm

Meereswasser d = 30 m d = 20 cm kein guter Leiter

Diese d-Werte geben die zur Abschirmung der betreffenden Wellenlänge etwa erforderliche



Blechstärke an.

Lösungen mit ǫω = 4πiσ: Für diesen Lösungstyp braucht das elektrische Feld nichtquellenfrei zu sein. Wegen der zweiten Gleichung in (9.3) ist die magnetische InduktionB nicht nur quellen- sondern auch wirbelfrei und verschwindet damit. Wir haben es mitrein elektrischen Schwingungen zu tun. Wegen der letzten Gleichung in (9.3) sind dieSchwingungen des elektrischen Feldes longitudinal, ∇ ∧ E0 = 0, und führen daher wegenjf,0 = σE0 und wegen der Kontinuitätsgleichung zu Schwingungen der Ladungsdichte. DieFrequenz der Schwingungen ist durch ǫ ·ω = 4πiσ gegeben. Später werden wir sehen, daßdiese Wellen schwach gedämpft sind und mit der Plasmafrequenz schwingen.

9.1.2 Anwendung: Der Skineffekt im zylindrischen Leiter

Der Leiter sei ein Zylinder mit der z-Achse als Symmetrieachse. Entsprechend zeigt derStromdichtevektor in die z Richtung. Wegen j ∼ E erfüllt die Stromdichte die gleicheDiffentialgleichung wie das elektrische Feld, (9.7). Im Niederfreqenzbereich ist σ/ω ≫ ǫ

und wir dürfen für κ die Näherung (9.10) machen. Für die Komponente j in jf,0 = jez

finden wir dann die Helmholtzgleichung

j + k2j = 0, mit k =ω

cn, n ≈ (1− i)

√

2πµσ

ω. (9.11)

Wir verwenden Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z) und nehmen an, daß j weder von φ noch vonz abhängt. Dann wird aus (9.11) die Besselsche Differentialgleichung,

1

ρ

d

dρρd

dρj + k2j = 0, (9.12)

die von der Bessel-Funktion nullter Ordnung gelöst wird,

j(ρ) = J0(kρ). (9.13)

Man kann diese Resultate anwenden und den Widerstand eines zylindrischen Leiters mitRadius a berechnen. Für den Strom findet man

I = 2π

∫ a

0

ρJ0(kρ)dρ =2π

k2

∫ ka

0

xJ0(x)dx =2πa

kJ1(ka), (9.14)

wobei wir das folgende Integal benutzten,∫ y

0

xJ0(x)dx = yJ1(y).



Die Spannung pro Längeneinheit ist gerade die z-Komponente des elektrischen Feldes ander Leiteroberfläche ρ = a, also

∆U/∆L = Ez(a) =j(a)

σ=J0(ka)

σ. (9.15)

Damit ist der Widerstand (pro Längeneinheit)

R =∆U/∆L

I=

k

2πσa

J0(ka)

J1(ka). (9.16)

Allgemein ist

Jn(x) =(x

2

)n∞∑

0

(−1)k (x/2)2k

k!(k + n)!=⇒ J0(x)

J1(x)∼ 2

x

(

1− x2

8+O(x4)

)

, (9.17)

woraus sich folgende Entwicklung des Widerstandes nach Potenzen von ka ergibt:

R =1

πσa2

(

1 + iπωµσ

2c2a2 + . . .

)

. (9.18)

Für ω → 0 liefert dies den richtigen Gleichstromwiderstand R(0) = 1/πa2σ0.

9.1.3 Transversal-Schwingungen bei hohen Frequenzen

Die Maxwellsche Beziehung

n =√ǫµ (9.19)

kann mit den statischen Werten für ǫ, µ für Licht wegen der bekannten Dispersion nichtgelten. Wir wollen das Frequenz-Verhalten der Leitfähigkeit und des Brechungsindex mo-dellmäßig betrachten und gehen von der Bewegungsgleichung eines Ladungträgers aus,

m0r = e0E −m0

τr . (9.20)

Hier sind m0 und e0 die Masse und Ladung des Teilchens. Der letzte Term ist ein phä-nomenologischer Reibungsterm, der die Stöße mit den umgebenden Teilchen beschreibt.Dabei ist τ die Relaxationszeit, die angibt wie rasch die Bewegung ohne elektrisches Feldabklingt. Mit

j f = ρf r = n0e0r , (9.21)



wobei n0 die Dichte der freibeweglichen Ladungsträger ist, folgt dann

m0

n0e0

∂j f

∂t= e0E −

m0

n0e0τj f . (9.22)

Im stationären Fall ist j f zeitunabhängig und wir finden das Ohmsche Gesetz j f = σ0E

mit der statischen Leitfähigkeit

σ0 =n0e

20τ

m0

(statischer Fall). (9.23)

Mit der harmonischen Zeitabhängigkeit j f = eiωtjf,0, E = eiωtE0 wird (9.22) zu

jf,0 = σ(ω)E0, mit σ(ω) =σ0

1 + iωτ(Drude). (9.24)

Wegen (9.8) ist das Quadrat des frequenzabhängigen komplexen Brechungsindex gegebendurch

n2(ω) = ǫµ

(

1 +4πσ0

iωǫ(1 + iωτ)

)

. (9.25)

Für hohe Frequenzen, ωτ ≫ 1, folgt daraus

n2(ω) = ǫµ

(

1− 4πσ0

ǫτω2

)

= ǫµ

(

1− 4πn0e20

ǫm0ω2

)

= ǫµ

(

1− ω2P

ω2

)

,

wobei wir die Plasmafrequenz einführten,

ωP =

√

4πn0e20

ǫm0

. (9.26)

Sie beträgt beispielsweise für Kupfer 1.65 · 1016 s−1, wenn mit ǫ = 1 gerechnet wird.Man beachte, daß die Relaxationszeit in diesem Resultat nicht mehr auftaucht. Der imallgemeinen komplexe Brechungsindex ist

n = n− iκ =

√

ǫµ

(

1− ω2P

ω2

)

(ωτ ≫ 1). (9.27)



Unterhalb der Plasmafrequenz verschwindet n und der Index ist imaginär mit

κ =

√

ǫµ

(

ω2P

ω2− 1

)

∼ √ǫµ ωP

ω. (9.28)

Die Wellen sind exponentiell gedämpft und die Eindringtiefe

d =c

κω∼ 1√

ǫµ

c

ωP, ω ≪ ωP (9.29)

ist frequenzunabhängig, bei Kupfer etwa 0.02 µm. Übersteigt die Frequenz aber die Plas-mafrequenz, so wird n reell und

n(ω) =

√

ǫµ

(

1− ω2P

ω2

)

, κ = 0, ω ≫ ωP . (9.30)

Für derart hohe Frequenzen ist der Verschiebungsstrom erheblich stärker als der Leitungs-strom und Leiter verhalten sich optisch ähnlich wie Isolatoren. Für Kupfer ist

1

τ∼ 3.7 · 1013s−1, σ0 ∼ 5.8 · 1017s−1 und ωP ∼ 1.6 · 1016s−1.

Licht hat Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz von Kupfer, ω = (2.4−5.2)·1015s−1 <

ωP , deshalb ist dieses für Licht undurchsichtig ist. Die Plasmafrequenz nimmt aber ab,wenn die Ladungsträgerdichte abnimmt oder die Masse der Teilchen zunimmt. Daher sindElektrolyte in der Regel durchsichtig.

Was bedeutet die Frequenzabhängigkeit (9.24) der Leitfähigkeit für den Zusammen-hang zwischen jf(t) und E (t)? Wir wollen von der k -Abhängigkeit der Leitfähigkeit ab-sehen. Für eine feste Frequenz ist

jf,0(ω)eiωt = σ(ω)E0(ω)eiωt. (9.31)

Um zum entsprechenden Zusammenhang bei fester Zeit zu gelangen, müssen wir eineFouriertransformation vornehmen. Mit (9.24) finden wir

j f(t) =1√2π

∫

dωeiωtσ(ω)E0(ω) =σ0√2π

∫

dωeiωt

1 + iωτE0(ω)

=σ0

2πiτ

∫

dt′E (t′)

∫

dωeiω(t−t′)

ω − i/τ . (9.32)

Alle auftretenden Integrale sind von −∞ bis ∞ zu berechnen. Das Integral über ω kann



mit den Methoden der komplexen Analysis leicht berechnet werden:Für t < t′ ist die Exponentialfunktion in der Halbebene ℑ(ω) < 0 exponentiell unter-drückt. Der Nenner hat keine Nullstelle in dieser Halbebene. Damit verschwindet das

bPol: ω = i/τ

Im(ω)

Re(ω)

C2

C1

Abbildung 9.1: Zur Berechnung der Leitfähigkeit als Funktion der Zeit.

Schleifenintegral längs C1 in der Abb. 9.1. Da der Halbkreis in der unteren Halbebenenicht beiträgt, verschwindet das ω-Integral in (9.32) für t < t′. Wir brauchen damit dast′-Integral nur von −∞ nach t zu erstrecken. Für t > t′ ist die Exponentialfunktion fürℑ(ω) > 0 unterdrückt und der Halbkreis in der oberen Halbebene trägt nicht bei. Nachdem Residuensatz ist

1

2πi

∫ ∞

−∞dω

eiω(t−t′)

ω − i/τ =1

2πi

∮

C2

dωeiω(t−t′)

ω − i/τ = e−(t−t′)/τ . (9.33)

Damit kommen wir zu der Lösung

j f(t, r) =σ0

τ

∫ t

−∞e−(t−t′)/τE (t′, r)dt′ =

n0e20

m0

∫ t

−∞e−(t−t′)/τE (t′, r)dt′. (9.34)

Anstelle des einfachen Ohmschen Gesetzes j = σ0E tritt also bei beliebigen E (t) einIntegralzusammenhang, bei dem die Stromdichte zur Zeit t durch die Werte der Feldstärkezu allen früheren Zeiten bedingt ist. Dies ist in Einklang mit der Kausalität: Die Ursache


9. Wellen in Medien 9.2. Dispersion in Isolatoren 151

geht der Wirkung zeitlich voraus. Praktisch hängt die Stromdichte zur Zeit t aber nurvom elektrischen Feld zu früheren Zeiten t′ mit t− t′ < τ ab.

9.2 Dispersion in Isolatoren

Jedes Atom besteht aus einem positiven Kern und einer Hülle von mehr oder wenig leichtbeweglichen Elektronen. Die Trägheit der Elektronen wirkt sich im elektrischen Verhaltender Atome aus und führt zu einer Frequenzabhängigkeit der relativen Dielektrizitäts-konstante. Auch wenn Atome erst mit der Quantenmechanik korrekt behandelt werdenkönnen, so läßt sich ihr optisches Verhalten doch schon in der klassischen Physik eini-germaßen beschreiben. Nach J.J. Thomson gehen wir von der Vorstellung aus, daß dieAtomelektronen elastisch an den Kern gebunden sind. Wir nehmen also an, daß jedesAtomelektron der Bewegungsgleichung

m

(

d2r

dt2+ γ

dr

dt+ ω2

0r

)

= eE (9.35)

genügt. Im Modell (9.20) für Leiter mit ungebundenen Leitungselektronen fehlte die rück-treibende Kraft proportional zu ω2

0. In Isolatoren dürfen wir die Bindung an die Atomeaber nicht mehr vernachlässigen. Wie für die Leitungselektronen haben wir eine der Ge-schwindigkeit proportionale und ihr entgegen gerichtete Dämpfungskraft eingeführt. Sietritt notwendig auf, da beschleunigte Ladungen strahlen, also Energie abgeben. Man kannstreng beweisen, daß eine Dispersion ohne Absorption mit dem Kausalitätprinzip - nachdem eine Wirkung in die Vergangenheit unmöglich ist - im Widerspruch steht.

Auf der rechten Seite in (9.35) steht die vom elektrischen Feld am Ort des Elektronsauf das geladenen Teilchen ausgeübte Kraft. Nun besitzt der atomare Dipol das Momentp = er und wir erhalten die folgende Bewegungsgleichung für den atomaren Dipol,

d2p

dt2+ γ

dp

dt+ ω2

0p =e2

mE (9.36)

Im statischen Grenzfall ergibt sich daraus die Polarisierbarkeit α, definiert durch p = αE ,

α0 =e2

mω20

. (9.37)

Im Wechselfeld mit der Zeitabhängigkeit ∼ eiωt erhalten wir aber

(

ω20 − ω2 + iωγ

)

p0 =e2

mE0 bzw. α(ω) =

e2/m

ω20 − ω2 + iωγ

. (9.38)



Aufgeteilt in Real- und Imaginärteil heißt das

ℜ(α) =e2

m

ω20 − ω2

(ω20 − ω2)2 + ω2γ2

, ℑ(α) = −e2

m

ωγ

(ω20 − ω2)2 + ω2γ2

. (9.39)

Den Verlauf von Real- und Imaginärteil in Abhängigkeit von ω zeigt Abb.(9.2). α ändert

ωω0 + γω0 − γ

Re(α)

Im(α)

Abbildung 9.2: Qualitativer Verlauf der komplexen Polarisierbarkeit α über ω im Oszilla-tormodell.

sich innerhalb des schmalen Frequenzbandes ω0 − γ < ω < ω0 + γ sehr schnell, wobeider Imaginärteil ein ausgeprägtes Extremum durchläuft. Außerhalb dieser Resonanzstelleist α beinahe reell. Links der Resonanz ist α positiv, rechts davon negativ. Wir erinnernuns an die Clausius-Mosotti-Formel (5.55), welche die Dielektrizitätskonstante mit derPolarisierbarkeit α verbindet,

ǫ− 1

ǫ+ 2=

4π

3nα oder ǫ = 1 + 4πnα +O

(

(nα)2)

, (9.40)

wobei n die Teilchenzahldichte ist. Für nicht zu dichte Gase ist nα ≪ 1 und wir dürfendie höheren Ordnungen in nα vernachlässigen. Setzen wir hier unser obiges Resultat fürα ein, so finden wir

ǫ− 1

ǫ+ 2=

4π

3

ne2

m

1

ω20 − ω2 + iωγ



oder aufgelöst nach ǫ

ǫ = 1 + 4πne2

m

1

ω20 − ω2 + iωγ

+O((nα)2). (9.41)

Wobei wieder die letzte Näherung für verdünnte Gase gültig ist.Nun verallgemeinern wir gleich auf Materialien deren Moleküle bzw. Atome jeweils

Z schwingungsfähige Systeme (Elektronen) mit verschiedenen Eigenfrequenzen ωj undDämpfungskonstante γj tragen. Dann sind

α(ω) =e2

m

∑

j

fj

ω2j − ω2 + iωγj

ǫ(ω) ∼ 1 +4πe2n

m

∑

j

fj

ω2j − ω2 + iωγj

. (9.42)

fj ist die „Zahl der Elektronen“ mit der Frequenz ωj und heißt Oszillatorstärke,∑

fj = Z.Diese Gleichung (mit einer anderen Bedeutung von fj) kann aus der Quantenmechanikhergeleitet werden. Die Dielektrizitätskonstante

ǫ(ω) = 1 +2πe2n

m

∑

j

fj

aj

(

1

ω − iγj/2 + aj− 1

ω − iγj/2− aj

)

(9.43)

mit 2aj =√

4ω2j − γ2

j hat Pole an den Stellen

ω±j =

iγj

2± aj

Die 2j Pole liegen alle in der oberen Halbebene ℑ(ω) > 0. Dies ist eine Konsequenz derKramers-Kronig-Relation, wie wir bald zeigen werden. Es lohnt eine genauere Untersu-chung dieser Formel in verschiedenen Frequenzbereichen.Niederfrequenzverhalten:

Für Isolatoren gibt es keine freien Ladungsträger und die kleinste Eigenfrequenz ωj istverschieden von Null. Das hat zur Folge, daß limω→0 ǫ(ω) existiert:

ǫ(0) = 1 +4πe2n

m

∑

j

fj

ω2j

. (9.44)

In elektrischen Leitern gibt es dagegen quasi-freie Leitungselektronen die nicht an Atomegebunden sind. Diese Elektronen haben eine verschwindende Eigenfrequenz und deshalb



ist für Leiter die niedrigste Eigenfrequenz gleich Null. Für ω → 0 sind also einige Gliederder Summe (9.42) divergent. Man zerlegt dann ǫ(ω) in einen konvergenten Anteil ǫ0 undeinen divergenten Rest,

ǫ(ω) = ǫ0 +4πne2

imω

f0

(γ0 + iω). (9.45)

Der Beitrag der gebundenden Ladungsträger wird durch die Polarisation beschrieben undderjenige der Leitungselektronen durch die Leitfähigkeit. In der Tat, setzen wir in dieMaxwellgleichung im Frequenzraum

∇∧H0 =4π

cj0 + i

ω

cD0

die Beziehungen j0 = σE0 und D0 = ǫ0E0 ein, dann ergibt sich

∇∧H0 =

(

4πσ

c+ǫ0ciω

)

E0 =iω

c

(

4πσ

iω+ ǫ0

)

E0.

Statt der elektrischen Stromdichte tritt im letzten Klammerausdruck eine komplexe, ver-allgemeinerte Dielektrizitätskonstante auf. Identifiziert man diese mit (9.45), dann findetman für die Leitfähigkeit

σ(ω) =ne2

m

f0

γ0 + iω(Drude-Modell) (9.46)

Wir finden also wieder die früher in (9.24) abgeleitete Formel wenn wir γ0 mit 1/τ und n0

mit f0n identifizieren. Für tiefe Frequenzen ω ≪ γ0 ist dieser Ausdruck annähernd reell.Damit sind Strom und elektrisches Feld nahezu in Phase und die Leitfähigkeit hängt kaumvon ω ab.Hochfrequenzlimes:

Bei sehr hohen Frequenzen ω ≫ ωj dominiert in jedem Nenner in (9.42) der ω2-Term und

ǫ(ω) ∼ 1− 1

ω2

4πe2n

m

∑

fj ≡ 1− ω2P

ω2, ωP =

√

4πe2Zn

m. (9.47)

Bei diesen Frequenzen kann man die Elektronen als quasi-frei behandeln und deshalbfinden wir wieder unser früheres Resultat für die Plasmafrequenz.


9. Wellen in Medien 9.3. Kausalität und Kramers-Kronig-Relationen 155

9.3 Kausalität und Kramers-Kronig-Relationen

Allgemeine Kausalitätsbetrachtungen liefern schon interessante Beziehungen zwischendem Real- und Imaginärteil der Dielektrizitätskonstante. Wir gehen von einer frequenz-abhängigen, linearen und isotropen Relation zwischen der elektrischen Polarisation undder Feldstärke aus,

P(ω) = χ(ω)E(ω). (9.48)

Diese Gleichung gilt für alle drei Feldkomponenten. Nach Fouriertransformation geht dieseBeziehung in eine Faltung für die entsprechenden zeitabhängigen Größen über

P(t) = F(P(ω)) = F(χ(ω)E (ω)) =

∫

dt′χ(t− t′)E (t′) (9.49)

wobei wir den Suszeptibilitätskern

χ(t) =1

2π

∫

dω eiωtχ(ω) (9.50)

einführten. Die Beziehung (9.49) beschreibt eine Nichtlokalität in der Zeit: Die Polarisationkann nicht augenblicklich der gerade herrschenden Feldstärke folgen. Sie hängt vom E -Feld zu anderen Zeiten ab. Nach dem Kausalitätsprinzip kann sie aber nur von den Wertendes E -Feldes zu früheren Zeiten abhängen. Für χ bedeutet dies die Einschränkung

χ(t) = 0 für t < 0. (9.51)

Linearität und Kausalität implizieren also

P(t) =

∫ t

−∞χ(t− t′)E (t′)dt′ =

∫ ∞

0

χ(τ)E (t− τ)dτ (9.52)

mit einem im Allgemeinen komplexen

χ(ω) =

∫ ∞

0

χ(τ)e−iωτ . (9.53)

Drei Tatsachen sind jetzt hier Bedeutung:

• P und E und damit auch der Suszeptibilitätskern χ(t) sind reell. Aus (9.53) folgtdaraus die Realitätsbedingung

χ(ω) = χ∗(−ω), ω ∈ R, (9.54)



an die Fouriertransformierte der Suszeptibiltät.

• Die Funktion χ(t) ist für alle Zeiten endlich. Aus (9.53) folgt dann, daß χ(ω) in derunteren komplexen ω-Halbebene analytisch ist. Insbesondere fällt χ für ℑ(ω)→ −∞exponentiell schnell ab.

• Wir nehmen an, der Betrag von χ(t) sei integrierbar, χ ∈ L1(R). Dann folgt, daßχ(ω) auf der abgeschlossenen unteren Halbebene ℑ(ω) ≤ 0 stetig und beschränkt ist,und das sein Betrag für |ω| → ∞ gegen Null strebt, gleichmäßig in alle Richtungenmit ℑ(ω) ≤ 02.

Nun dürfen den Satz aus der Theorie der analytischen Funktion bemühen, nach demdas Schleifenintegral einer holomorphen Funktion verschwindet, falls die Funktion imumschlossenen Gebiet keine Pole aufweist. Also ist

∮

C

χ(ω′)

ω′ − ωdω′ = 0, (9.55)

falls die Schleife C den Punkt ω nicht umschließt und im umschlossenen Gebiet holomorphist. Nun wählen wir folgende Schleife, die im Uhrzeigersinn durchlaufen wird: Zunächst

b

Halbreis C2

Radius δ

C1 C1

C3

Im(ω′)

Re(ω′)L−L ω

C = C1 + C2 + C3

Abbildung 9.3: Zur Ableitung der Relation von Kramers und Kronig.

von −L nach L entlang der reellen Achse und dann auf dem Halbreis mit Radius L in derunteren Halbebene zurück nach −L. Für große L trägt das Integral längs des Halbkreises

2Dies schließt man aus dem Riemann-Lebesque-Lemma.



C3 nicht bei. Wir möchten gerne χ für reelle ω wissen. Dann ist der Integrationswegdurch einen kleinen Halbkreis mit infinitesimalen Radius δ unterhalb der reellen Achse zuverbiegen, siehe Abb. 9.3. Unter Anwendung des Satzes gewinnt man die Gleichung

0 =

∮

C

χ(ω′)

ω′ − ωdω′ = P

∫ ∞

−∞

χ(ω′)

ω′ − ω + iπχ(ω) für δ → 0, L→∞,

wobei P das Hauptwert-Integral bezeichnet. Die Auflösung nach χ führt auf die Relation

χ(ω) =i

πP∫ ∞

−∞

χ(ω′)

ω′ − ω . (9.56)

Nehmen wir davon Real- und Imaginärteile, so erhalten wir

ℜχ(ω) = −1

πP∫ ∞

−∞

ℑχ(ω′)

ω′ − ω , ℑχ(ω) =1

πP∫ ∞

−∞

ℜχ(ω′)

ω′ − ω . (9.57)

Wegen ǫ(ω) = 1+4πχ(ω) folgen die analogen Relationen zwischen Real- und Imaginärteilder Dielektrizitätskonstante,

ℜǫ(ω) = 1− 1

πP∫ ∞

−∞

ℑǫ(ω′)

ω′ − ω , ℑǫ(ω) =1

πP∫ ∞

−∞

ℜǫ(ω′)− 1

ω′ − ω . (9.58)

Die große Bedeutung dieser Kramers-Kronig Relationen liegt in der Tatsache, daß sieℜ(ǫ) und ℑ(ǫ) eindeutig miteinander verknüpfen. Kennt man den dispersiven Realteil,dann kann man den absorptiven Imaginärteil berechnen und umgekehrt. Vorausgesetztwurden dabei nur die lineare Beziehung zwischen E und P und das Kausalitätsprinzip. DieGleichungen können leicht auf inhomogene und anisotrope lineare Medien verallgemeinertwerden. Dann ist χ eine Matrix und hängt neben der Frequenz noch von r ab.

Kramers-Kronig artige Relationen gelten nicht nur für den speziellen Fall der elektri-schen Polarisation, sondern für alle physikalische Systeme mit linearer Antwort auf dieErregung (linear Response).


Kapitel 10

Relativistische Form der

Elektrodynamik

Die Lorentz-Kovarianz der Feldgleichungen wurde von Lorentz und Poincare schonvor der Formulierung der speziellen Relativitätstheorie durch Einsteingezeigt1. Die Ko-varianz tritt am deutlichsten zu Tage, wenn man die sogenannte Vierer-Notation benutzt.Diese wird im nächsten Abschnitt eingeführt und damit die Kovarianz der Maxwellglei-chungen im Vakuum bewiesen. Die physikalische Bedeutung der Kovarianz werden wirweiter unten ausführlich diskutieren.

10.1 Poincare Transformationen

Im folgenden sei M die 4-dimensionale Minkowski-Raumzeit (Mundis, Minkowski). DiePunkte im affinen Raum M sind Ereignisse. Unser Bezugssystem sei ein InertialsystemI (durch Fixsterne gegeben). Ereignisse werden durch ihre Zeit, gemessen mit Uhren,welche relativ zum System ruhen und durch Lichtsignale synchronisiert sind, und ihrekartesischen Koordinaten charakterisiert.

In einem gewählten Koordinatensystem wird jedes Ereignis durch seine Zeit und seinenOrt, also durch die 4-Koordinaten

x =

x0

x1

x2

x3

=

(

ct

r

)

(10.1)

1Aufgabe der absoluten Zeit (W. Voigt 1887), Lorentz-Fitzgerald-Kontraktion (1892), richtige Trans-formationen der Raumkoordinaten (Lorentz 1899), Synchronisation der Uhren (Poincare 1904), Invarianzder Maxwellgleichungen (Lorentz 1904, Einstein 1905 und Poincare 1906) und Spezielle Relativitätstheo-rie (Einstein 1905).

158

10. Relativistische Form der Elektrodynamik 10.1. Poincare Transformationen 159

eindeutig charakterisiert. Hier haben wir die Zeitkoordinate mit der Lichtgeschwindig-keit multipliziert, damit alle Komponenten von x die Dimension einer Länge haben. Oftschreiben wir auch x = (xµ); µ = 0, 1, 2, 3. Die Differenzen von Ereignissen definiereneinen 4-dimensionalen Vektorraum V . In einem Inertialsystem haben Elemente aus V dieForm

ξT = (ξ0, ξ1, ξ2, ξ3) bzw. ξ = (ξµ).

Wir führen eine Bilinearform ein,

(ξ, χ) = ξ0χ0 − ξ1χ1 − ξ2χ2 − ξ3χ3, (10.2)

welche mit Hilfe des metrischen Tensors

η =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

= (ηµν) bzw. η−1 = (ηµν)

folgendermaßen geschrieben werden kann

(ξ, χ) =∑

µνηµνξ

µχν = ξTηχ. (10.3)

Der lorentzinvariante Abstand zweier Ereignisse mit Raumzeit-Koordinaten x und y ist

d(x, y) = (ξ, ξ), wobei ξ = y − x (10.4)

der Differenzvektor zwischen den Ereignissen ist. Indizes werden mit ηµν und ηµν hinunter-oder hinaufgezogen, zum Beispiel gelten

ξµ = ηµνξν bzw. ξµ = ηµνξν , so dass (ξ, χ) = ξµχµ = ξµχ

µ.

Wir haben die Einsteinsche Summenkonvention benutzt, wonach über doppelt auftretendeIndizes (wovon einer kovariant und einer kontravariant sein muß) summiert wird.

Wir betrachten nun ein zweites Inertialsystem I ′ (das gestrichene System), welches re-lativ zum ursprünglichen ungestrichenen System in konstanter gleichförmiger Bewegungist. Das Äquivalenzprinzip der speziellen Relativitätstheorie besagt nun, dass die Naturge-setze in allen Inertialsystemen gleich aussehen. Insbesondere ist die Lichtgeschwindigkeitin allen Inertialsystemen gleich (Michelson-Morley-Experiment).

Ein Punktereignis werde nun im Inertialsystems I durch die Koordinaten x und im



Inertialsystems I ′ durch die Koordinaten x′ beschrieben. Der Zusammenhang zwischenden Koordinaten hat die Form

x′µ = aµ + fµ(x), wobei fµ(0) = 0 und aµ = konstant

angenommen werden kann. Wegen der Homogenität des Raumes sind

x′′µ = x′µ − aµ

ebenfalls Koordinaten in einem Inertialsystem I ′′. Es gilt dann

x′′µ = fµ(x) mit fµ(x = 0) = 0.

Wir wollen nun einsehen, dass die fµ lineare Funktionen sein müssen. Wir benutzen inden beiden Inertialsystemen I und I ′′ gleiche Längenmaßstäbe und gleiche Uhren. EinEreignis habe in I die Koordinaten x und in I ′′ die Koordinaten x′′. Nun messen wir inbeiden Systemen in Millimeter statt Meter und in Millisekunden statt Sekunden. Dannhat das Ereignis in den beiden Inertialsystemen die Koordinaten 1000 · x und 1000 · x′′Wäre dem nicht so, dann gäbe es eine physikalisch ausgezeichnete Längenskala. Also sinddie Koordinaten in einem Inertialsystem lineare Funktionen der Koordinaten in einemanderen Inertialsystem: x′′µ = Λµ

νxν , beziehungsweise

x′µ = Λµνx

ν + aµ ←→ x′ = Λx+ a. (10.5)

Seien nun x die Koordinaten einer zur Zeit y0 am Orte r0 ausgesandten Lichtwelle inI. Bezüglich I ′ wird diesselbe Lichtwelle zur Zeit y′0 am Orte r ′

0 ausgesandt und hat dieKoordinaten x′. In beiden Inertialsystemen ist die Lichtgeschwindigkeit gleich, so dass gilt

0 = (x− y)Tη(x− y) = (x′ − y′)Tη(x′ − y′) = (x− y)ΛTηΛ(x− y).

Eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür ist

ΛTηΛ = κ(Λ)η mit κ(1l) = 1 und κ(Λ) > 0.

Ist κ 6= 1, dann können wir durch eine Maßstabsänderung

x′ −→√κ x′

stets κ = 1 erreichen. Wir wollen also nur Matrizen Λ betrachten, welche die Bedingung

ΛTηΛ = η ⇐⇒ ΛαµηαβΛβ

ν = ΛαµΛαν = ηµν (10.6)



erfüllen. Für solche Transformationen ist das relativistische Abstandsquadrat zweier Er-eignisse x, y im Minkowski-Raum unabhängig vom Inertialsystem,

(x′ − y′)2 = (x′ − y′)Tη(x′ − y′) = (x− y)Tη(x− y) = (x− y)2. (10.7)

Die Menge der Transformationen (10.5)

x′µ = Λµνx

ν + aµ, ΛTηΛ = η. (10.8)

bilden die Poincaregruppe oder inhomogene Lorentzgruppe, die mit iL bezeichnet wird,

iL =

(Λ, a)| a ∈ V,Λ ∈ L(V ),ΛTηΛ = η

. (10.9)

Die Gruppenmultiplikation ist durch die Komposition zweier Transformationen gegeben,

(Λ2, a2)(Λ1, a1) = (Λ2Λ1,Λ2a1 + a2). (10.10)

Das Inertialsystem I ′ bewege sich relativ zum Inertialsystem I mit der Geschwindigkeitv = c · β. Wir führen die Projektoren P‖ und P⊥ in Richtung der Relativgeschwindigkeitund senkrecht dazu ein,

P‖ =1

β2ββt und P⊥ = 1l− P‖ mit β = |β|. (10.11)

Dann lautet der Lorentzboost

x′ = Λx+ a, Λ = (Λµν) =

(

γ −γβt

−γβ P⊥ + γP‖

)

, (10.12)

mit dem relativistischen γ-Faktor

γ =1

√

1− β2∈ [1,∞). (10.13)

Ein in I ′ ruhendes Teilchen bewegt sich mit der Geschwindigkeit v im Inertialsystem I.Fallen die Koordinatenursprünge zur Zeit t = 0 zusammen und bewegt sich I ′ längs derersten Koordinatenachse, dann gilt

x′0 = γ(

x0 − βx1)

, x′2 = x2

x′1 = γ(

x1 − βx0)

, x′3 = x3. (10.14)


10. Relativistische Form der Elektrodynamik 10.2. Ströme, Potentiale und Feldstärke 162

Wegen (10.6) haben die Matrizen Λ die Determinante ±1,

det ΛT det Λ = (det Λ)2 = 1 oder det Λ = ±1.

Ist ein Vektor ξ in einem Inertialsystem zeitartig, d.h. ist (ξ, ξ) > 0, dann ist er esauch in jedem anderen Inertialsystem. Deshalb bildet eine Lorentztransformation Λ denVorwärtslichtkegel

V+ =

ξ0 > 0, (ξ, ξ) > 0

(10.15)

entweder in sich, oder in den Rückwärtslichtkegel

V− =

ξ0 < 0, (ξ, ξ) > 0

(10.16)

ab. Im zweiten Fall wird die Zeitrichtung umgekehrt.

b

b

Vorwärts-Lichtkegel

V+x0

x1

x3

In der Tat, das 00-Komponente der Matrixgleichung (10.6) lautet ausgeschrieben

Λα0 ηαβΛβ

0 = 1 = (Λ00)

2 −∑

i

(Λi0)

2,

und impliziert (Λ00)

2 ≥ 1. Für Λ00 ≥ 1 wird der Vorwärtslichtkegel in sich abgebildet und

für Λ00 ≤ −1 in den Rückwärtslichtkegel.

10.2 Ströme, Potentiale und Feldstärke

Einsteins Weg bei der Entdeckung der speziellen Relativitätstheorie führte über eine sorg-fältige Analyse des Zeit- und Raumbegriffes und einige geistreiche Gedankenexperimente.



Wir gehen hier den bequemeren und formaleren Weg über die Invarianz der Maxwellglei-chungen bezüglich Lorentztransformationen. Dabei werden das 4-er Potential Aµ und der4-er Strom jµ auftreten.

Eine ruhende Ladung hat eine Ladungsdichte aber keine Stromdichte. Bewegen wir unsaber relativ zu ihr (oder diese relativ zu uns), dann ordnen wir der jetzt bewegten Ladungneben einer Ladungs- auch eine Stromdichte zu. Beim Übergang zwischen Inertialsystementransformieren Ladungsdichte und Stromdichte also ineinander. Die Dichten cρ und j sindnicht so verschieden wie sie auf den ersten Blich scheinen. Sie haben die gleiche Dimensionund wir können sie zu einer 4-er Stromdichte kombinieren,

j = (jµ) =

(

cρ

j

)

, µ = 0, 1, 2, 3. (10.17)

Die Notation zeigt an, daß jµ ein Vektorfeld ist. Dies bedeutet, daß j bei einem Wechseldes Inertialsystem wie ein Vektor transformiert. Sind x und x′ Koordinaten in den Iner-tialsystemen I und I ′ sowie jµ und j′µ die Komponenten der 4−er Stromdichte in denbeiden Systemen, dann gilt

j′µ(x′) = Λµνj

ν(x) bzw. j′µ(x′) = Λ νµ jν(x), Λ ν

µ = ηµαηνβΛα

β. (10.18)

Damit ist festgelegt, wie die Komponenten von jµ bei einem Wechsel des Inertialsystemstransformieren. Die Kontinuitätsgleichung (7.44) hat nun die elegante Form

∂µjµ(x) = 0. (10.19)

Gilt sie in einem Inertialsystem, dann gilt sie auch in jedem anderen Inertialsystem.Man sagt die Gleichung ist kovariant. Wäre eine Gleichung der Elektrodynamik nichtkovariant, dann würde diese bestimmte Inertialsysteme auszeichnen, im Widerspruch zumEinsteinschen Äquivalenzprinzip.

Nach Einführung der 4−er Notation ist der Beweis der Kovarianz einfach. Aus (10.8)folgt, dass der 4-er Gradient ein Vektoroperator ist,

∂′µ ≡∂

∂x′µ= Λ ν

µ ∂ν . (10.20)

Deshalb gilt

∂′µj′µ(x′) = (Λ ν

µ ∂ν) (Λµαj

α(x))(10.6)= ∂νj

ν(x) = 0



und die Koninuitätsgleichung (10.19) gilt in allen Inertialsystemen. Der Wellenoperator

2 =∂2

∂(ct)2− = ∂2

0 −3∑

i=1

∂2i = ηµν∂µ∂ν = ∂µ∂µ, (10.21)

ist ein invarianter Differentialoperator,

2 = ∂µ∂µ = ∂′µ∂′µ = 2′ . (10.22)

Eine ruhende Ladung ohne Magnetfeld wird nach (7.45) durch ein skalares Potentialbeschrieben, während eine bewegte Ladung ein nichtverschwindendes Vektorpotential hat.Die verschiedenen Potentiale gehen bei einem Wechsel des Inertialsystems ineinander über.Diese Tatsache und die Wellengleichungen (7.45) legen nahe, das skalare Potential Φ unddas Vektorpotential A, ähnlich wie die Ladungs- und Stromdichte, zu einem 4-er Potentialzusammenzufassen,

Aµ =

(

Φ

A

)

=⇒ A′µ(x′) = ΛµνA

ν(x). (10.23)

Dann nimmt die Lorenz-Eichbedingung (7.40) folgende einfache Form an,

∂µAµ = 0. (10.24)

Wie die Kontinuitätsgleichung ist dies eine kovariante Bedingung. Ist sie in einem Iner-tialsystem erfüllt, dann gilt sie in allen anderen Inertialsystemen. Für Potentiale, die dieLorenz-Eichbedingung erfüllen lauten die Wellengleichungen (7.45) für isolierte Ladungenund Ströme

2Aµ =4π

cjµ (Lorenz-Eichung). (10.25)

Wie erwartet ist dies eine kovariante Wellengleichung wie es sofort aus (10.22) folgt. Dieallgemeine Lösung dieser inhomogenen Wellengleichung ergibt sich aus der allgemeinenLösung der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen Glei-chung. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung werden wir im nächsten Kapitelkonstruieren. Sie ist die Überlagerung von ebenen Wellen.


10. Relativistische Form der Elektrodynamik 10.3. Relativistische Feldgleichungen 165

10.3 Relativistische Feldgleichungen

Wie lauten nun die Maxwellgleichungen für die elektromagnetischen Felder (E ,B) inkovarianter Form? Wir beginnen mit der Umschreibung der Beziehungen zwischen denFeldern und Potentialen, (7.29) und (7.30),

∂0Ai − ∂iA0 = Ei und ∂iAj − ∂jAi = −ǫijkBk. (10.26)

Nun ist aber das in den Indizes antisymmetrische Feld

Fµν(x) = ∂µAν(x)− ∂νAµ(x) (10.27)

ein Tensorfeld, wie man schnell beweist,

F ′µν(x

′) = ∂′µA′ν(x

′)− ∂′νA′µ(x

′) = Λ βµ Λ β

ν Fαβ(x). (10.28)

Die 6 linear unabhängigen Komponenten dieses Felstärketensors lauten nach (10.26)

F0i = Ei und Fij = −ǫijkBk (10.29)

Augeschrieben hat der Feldstärketensor die Gestalt,

(Fµν) =

0 E1 E2 E3

−E1 0 −B3 B2

−E2 B3 0 −B1

−E3 −B2 B1 0

= (E ,B) =⇒ (F µν) = (−E ,B) (10.30)

Zur relativistischen Formulierung der Maxwellgleichungen im freien Raum benutzt mandie Umkehrtransformation zu (10.29),

Ei = F0i und Bi = −1

2ǫijkFjk. (10.31)

Wir werden zeigen nun, daß die homogenen Maxwellgleichungen

∇ ·B = 0, ∇ ∧E +1

c

∂

∂tB = 0, (10.32)

identisch zu den kovarianten Gleichungen



Fµν,ρ + Fρµ,ν + Fνρ,µ = 0 (10.33)

für den Felstärketensor sind. Dies bedeutet, daß die 4-er Rotation des Feldstärketensorsverschwindet. Beachte, daß die linke Seite vollständig antisymmetrisch in den Indizes ist.Vertauschen wir zum Beispiel die Indizes µ und ν und berücksichtigen die Antisymmetriedes Feldstärketensors, so ändert die linke Seite in (10.33) das Vorzeichen:

LS(ν, µ, ρ) = Fνµ,ρ + Fρν,µ + Fµρ,ν = −Fµν,ρ − Fνρ,µ − Fρµ,ν = −LS(µ, ν, ρ).

Um zu beweisen, daß (10.33) nur eine Umschreibung der homogenen Maxwellgleichungenist, betrachten wir die verschiedenen möglichen Fälle:

µ, ν, ρ Fµν,ρ + Fρµ,ν + Fνρ,µ

0, i, 0 F0i,0 + F00,i + Fi0,0 = 0

i, j, 0 Fij,0 + F0i,j + Fj0,i = 0

i, j, k Fij,k + Fki,j + Fjk,i = 0

Die erste Zeile verschwindet identisch wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors.Die zweite Zeile ergibt die zweite Maxwell-Gleichung in (10.32):

2.Zeile = −ǫijk∂0Bk + ∂jEi − ∂iEj = −ǫijk (∂0Bk + ǫkpq∂pEq) = 0,

wobei wir die nützliche Identität

∑

k

ǫijkǫkpq = δipδjq − δiqδjp

benutzten. Die letzte Gleichung in der Tabelle ist identisch zur ersten Maxwellgleichungin (10.32). In der Tat, wegen der vollständigen Antisymmetrie der letzten Zeile in i, j, k

genügt es, den Fall 1, 2, 3 zu untersuchen:

∂1F23 + ∂3F12 + ∂2F31 = −(∂1B1 + ∂3B3 + ∂2B2) = −∇ ·B = 0.

Um die inhomogenen Gleichungen (vorerst im Vakuum mit isolierten Quellen)

∇ · E = 4πρ und ∇∧B − 1

cE =

4π

cj (10.34)



umzuschreiben, berechnen wir die 4-er Divergenz des Feldstärketensors

(∂µFµν) = (∂0, ∂1, ∂2, ∂3)

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −B3 B2

E2 B3 0 −B1

E3 −B2 B1 0

=(

∇ ·E , (−∂0E + (∇∧B))T)

und erinnern uns an die Definition des 4-er Stromes, (jµ) = (cρ, j ). Damit ergeben sich fürdie inhomogenen Maxwellgleichungen die an Eleganz kaum mehr zu überbietende Form

∂µFµν =

4π

cjν . (10.35)

Wegen der Antisymmetrie von F µν ist die Kontinuitätsgleichung ∂νjν offensichtlich. Schreibt

man den Feldstärketensor wie in (10.27) als 4-er Rotation des Potentials, so sind die ho-mogenen Maxwellgleichungen (10.33) automatisch erfüllt. Die Umkehrung gilt (in einfachzusammenhängenden Gebieten) ebenfalls: Jeder Feldstärketensor, welcher (10.33) erfüllt,hat die Form (10.27) mit einem Vektorfeld Aµ.

Unter einer Eichtransformation (7.34,7.35) transformiert das 4-er Potential gemäß

Aµ −→ Aµ − ∂µλ, (10.36)

und der Feldstärketensor ist invariant. In der kovarianten Schreibweise ist diese Invarianzoffensichtlich

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ −→ ∂µAν − ∂νAµ − (∂µ∂νλ− ∂ν∂µλ) = Fµν .

In Materialien ändern sich die homogenen Gleichungen (10.33) nicht, die inhomogenenaber sehr wohl. Man führt neben dem Feldstärketensor den antisymmetrischen Tensor

(Fµν) =

0 −D1 −D2 −D3

D1 0 −H3 H2

D2 H3 0 −H1

D3 −H2 H1 0

(10.37)

ein. Die inhomogenen Gleichungen lauten dann

∂µFµν =4π

cjν

f . (10.38)

Es fehlt noch der Zusammenhang zwischen Fµν und Fµν . Für lineare Medien gehen in



diesen Zusammenhang die Materialkonstanten µ und ǫ und deren Verallgemeinerungenein.

10.3.1 Feld einer gleichförmig bewegten Punktladung

In Einklang mit dem Einsteinschen Äquivalentzprinzip führen LorentztransformationenLösungen der Maxwellgleichungen in Lösungen über. Es sei nun

E ′(r ′) =qr ′

r′3und B ′ = 0 (10.39)

das Feld einer im Ursprung des Inertialsystems I ′ ruhenden Punktladung. Wir wollen nunbestimmen, wie die Felder in einem relativ zu I ′ bewegten Inertialsystem I aussehen. ImSystem I bewegt sich das Punktteilchen gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit.

Es bezeichnen x und x′ die Koordinaten der Inertialsysteme. Bewegt sich I ′ entlangder 1-Achse relativ zu I, dann lautet die Lorentztransformation

x = Λx′, Λ = (Λµν) =

γ γβ 0 0

γβ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

. (10.40)

Wir machen nun Gebrauch von der Transformationsformel (10.28) für das elektromagne-tische Feld. Darin tritt Λ ν

µ = ηµαηνβΛβ

α auf, dass man aus (Λµν) durch einen Vorzei-

chenumkehr von β erhält. Mit (10.30) ergeben sich dann die Transformationsformeln

E1(x) = E ′1(x

′) , B1(x) = B′1(x

′)

E2(x) = γ (E ′2(x

′) + βB′3(x

′)) , B2(x) = γ (B′2(x

′)− βE ′3(x

′)) (10.41)

E3(x) = γ (E ′3(x

′)− βB′2(x

′)) , B3(x) = γ (B′3(x

′) + βE ′2(x

′))

Für eine in I ′ ruhende Punktladung verschwindendet das Magnetfeld B ′ und diese Formelnvereinfachen sich. Setzen wir noch

r′ 2 = γ2(

x1 − βx0)2

+ (x2)2 + (x3)2, (10.42)

dann hat das elektromagnetische Feld einer längs der x1-Achse mit konstanter Geschwin-digkeit v = βc bewegten Punktladung die Form

E (x) =qγ

r′3/2

x1 − βx0

x2

x3

, B(x) =qβγ

r′3/2

0

−x3

x2

. (10.43)


10. Relativistische Form der Elektrodynamik 10.4. Erhaltungssätze 169

Des elektrische Feld steht senkrecht auf dem magnetischen Feld in Einklang mit derTatsache, dass E ·B eine lorentzinvariante Größe ist.

Für einen allgemeinen Lorentzboost zwischen Inertialsystemen mit Relativgeschwin-digkeit v führen wir den Projektor P‖ auf die Relativgeschwindigkeit, gemessen in Ein-heiten der Lichtgeschwindigkeit, ein, siehe (10.11). Die Felder können dann in ihre Kom-ponenten parallel und senkrecht zur Relativgeschwindigkeit zerlegt werden, zum Beispiel

E = E‖ + E⊥ = P‖E + P⊥E , P⊥ = 1l− P‖.

Dann lauten die Transformationsformeln

E (x) = E ′‖(x

′) + γ (E ′⊥(x′)− β ∧B ′(x′))

B(x) = B ′‖(x

′) + γ (B ′⊥(x′) + β ∧E ′(x′)) . (10.44)

10.4 Erhaltungssätze

Jeder erhaltene Vierer-Strom (jµ) = (j0, j ) definiert eine erhaltene Ladung,

∂µjµ = 0 =⇒ d

dx0

∫

d3x j0 = −∫

d3x∇ · j = −∮

j · df = 0.

Die Stromdichte soll im räumlich Unendlichen so schnell abfallen, dass bei der partiellenIntegration keine Oberflächenterme auftreten. Dann gilt

∂µjµ = 0 =⇒ d

dtQ = 0, Q =

∫

d3x j0. (10.45)

Die Erhaltung der elektrischen Ladung ist ein wichtiges Beispiel, wurde aber schon hin-reichend oft diskutiert. Wir wenden uns deshalb der Erhaltung von Energie und Impulszu. Folgende Umformungen sind dabei hilfreich

4π

cFµνj

ν = FµνFρν,ρ =

1

2(FµνFρν),ρ +

1

2FµνFρν

,ρ −1

2Fµν,ρFρν .

Wir benutzen die homogenen Maxwellgleichungen (10.33) in der Form

Fµν,ρ = −Fρµ,ν − Fνρ,µ

um den letzten Term umzuschreiben und erhalten

4π

cFµνj

ν =1

2(FµνFρν),ρ +

1

2FµνFρν

,ρ +1

2Fρµ,νFρν +

1

2Fνρ,µFρν



Mit Hilfe der Identität

Fρµ,νFρν = Fνµ,ρFνρ = Fµν,ρFρν

formen wir den zweitletzten Term um und finden

4π

cFµνj

ν = (FµνFρν),ρ −1

2Fρν,µFρν .

Falls nun F und F linear und mit konstanten Koeffizienten verknüpft sind, dann kannder letzte Term in der vorletzten Gleichung folgendermassen geschrieben werden,

Fρν,µFρν =1

2(FρνFρν),µ .

Damit gelten für lineare homogene Medien die 4 Bilanzgleichungen

1

cFµνj

ν + T νµ ,ν = 0 mit T ν

µ = − 1

4π

(

FµρFνρ − 1

4δ νµ FρσFρσ

)

. (10.46)

Diese vier Identitäten sind gerade der Erhaltungssatz für Energie und Impuls. Um dieseinzusehen, spalten wir Fµνj

ν in Raum- und Zeitkomponenten auf,

F0νjν = F0ij

i = E · j , Fiνjν = Fi0 cρ+ Fijj

j = −cEiρ− (j ∧B)i. (10.47)

Die auf den rechten Seiten auftretenden Größen sind

• Die vom elektrischen Felde an der strömenden Elektrizität in der Raum- und Zeit-einheit geleistete Arbeit j · E . Sie wird im allgemeinen in Wärme verwandelt undheißt Joulesche Wärme.

• Die vom Magnetfeld B auf eine Stromverteilung j ausgeübte Kraftdichte j ∧B/c.Man erinnere sich daran, daß die auf ein geladenes Teilchen wirkende Kraft imMagnetfeld qv ∧B/c ist.

• Die vom elektrischen Feld E auf eine Ladungsverteilung ausgeübte Kraftdichte ρE .Dies ist die Kontinuumsversion der Kraft qE auf ein geladenes Teilchen.

Ohne freie Ladungsträger ist T νµ kovariant erhalten, ∂νT

νµ = 0. Mit Hilfe des Tensors T µν

können wir im ladungsfreien Raum 4 zeitlich erhaltene Ladungen definieren,



P ν =

∫

d3xT 0ν(x). (10.48)

Der erhaltene 4-er Vektor P µ enthält die Energie P 0 und den Impuls P des elektromagne-tischen Feldes. Deshalb heisst T µν Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes.Zur Begründung spalten wir T ν

µ in Zeit- und Raumkomponenten auf. Dazu bemerken wir,daß

FµνFνρ =

(

E ·D (E ∧H )t

B ∧D ED t + HB t −B ·H 1l

)

FµνFνµ = 2(E ·D −B ·H )

ist. Es folgt, daß der Energie-Impuls-Tensor folgende Form hat

T νµ =

1

4π

(

12E ·D + 1

2B ·H (E ∧H )t

B ∧D ED t + HB t − 12(E ·D + B ·H )1l

)

. (10.49)

Die Erhaltungssätze (10.46) nehmen jetzt eine verständlichere Form an:Die zeitliche Komponente von (10.46) lautet

∂u

∂t+∇ · S = −j · E , u =

1

8π(E ·D + B ·H )

S =c

4πE ∧H . (10.50)

In der Elektrostatik haben wir (für lineare Medien) gezeigt, daß ue = E ·D/8π die Ener-giedichte des elektrischen Feldes ist. In den Übungen haben Sie sich davon überzeugt,daß B ·H /8π die Energiedichte des magnetischen Feldes ist. Deshalb interpretieren wiru,t in der obigen Formel als zeitliche Änderung der Energiedichte des Feldes. Der Poyn-tingsche Satz (10.50) ist die Energiebilanz im elektromagnetischen Feld: Die linke Seiteentspricht dem Energieaustausch zwischen dem betrachteten Volumenelement und seinenNachbarelementen und die rechte Seite den Verlusten durch die Erzeugung von JoulscherWärme.

Die Interpretation des Quellterms auf der linken Seite wird noch deutlicher, wenn wir(10.50) räumlich integrieren; dann haben wir bei Benutzung des Gaußschen Satzes

d

dt

∫

d3xu+

∮

df · S = −∫

d3rE · j . (10.51)

Die Bedeutung des nach Poynting benannten Vektors S als Energieflußdichte des elek-tromagnetischen Feldes ist daraus ersichtlich. S zeigt in Richtung des Energieflußes undsein Betrag gibt an, wieviel Feldenergie pro Zeit durch ein Flächenelement (⊥ zu S) fließt.



Die räumlichen Komponenten von (10.46) lauten

∂jTij = ρEi +1

c(j ∧B)i +

1

4πc

∂

∂t(D ∧B)i (10.52)

Tij =1

4π(EiDj +HiBj)− δiju. (10.53)

Der Tensor2 Tij heißt Maxwellscher Spannungstensor. Bezeichnet man die Summe sämtli-cher Impulse der Teilchen innerhalb V mit Pmech, so ist nach dem 2. Newtonschen Gesetzdie zeitliche Änderung ihres Gesamtimpulses gleich der über V integrierten Kraftdichte,

d

dtPmech =

∫

V

(

ρE +1

cj ∧B

)

d3r. (10.54)

Zur Interpretation von (10.53) integrieren wir diese Bilanzgleichung über ein beliebigesRaumgebiet V mit dem Resultat

d

dtPmech,i +

1

4πc

d

dt

∫

V

(D ∧B)i =

∮

Tijdfj. (10.55)

Diese Gleichung legt nahe, das Volumenintegral auf der linken Seite als GesamtimpulsPfeld der in V vorhandenen elektromagnetischen Felder zu identifizieren,

Pfeld =1

4πc

∫

V

(D ∧B)d3r, (10.56)

und den Integranden als Impulsdichte des Feldes. Damit ist die Variation des Gesamtim-pulses von Materie und Feld gleich

d

dtP =

d

dt(Pmech + Pfeld) =

∮

Tijdfj. (10.57)

Deshalb ist∑

j Tijnj , wobei n die nach außen gerichtete Flächennormale an ∂V ist, als diei′te Komponente des auf die Flächeneinheit bezogenen Impulsstromes zu interpretieren.

In Abwesenheit von materiellen Teilchen werden die 3 Gleichungen (10.52) zu Konti-nuitätsgleichungen und besagen, daß die Änderung des Feldimpulses innerhalb V gleichdem Impulsfluß aus ∂V ist. Für einen räumlich schnell abfallenden Spannungstensor istder gesamte Feldimpuls zeitlich erhalten. Diese Bilanzgleichungen und die entsprechendeBilanzgleichung für die Energie heissen Minkowskische Gleichungen.

Eigenschaften von Tµν :

2Tensor bezüglich der räumlichen Drehungen.



Der Energie-Impuls-Tensor Tµν des elektromagnetischen Feldes in (10.49) ist spurlos,

T µµ = ηµνTµν = 0. (10.58)

Die Quanten des elektromagnetischen Feldes, die Photonen, sind masselos. Die Spurfrei-heit von Tµν ist eng mit dieser Eigenschaft der Lichtteilchen verknüpft.

Der Energie-Impuls-Tensor mit kontravarianten Indizes

T µν =1

4π

(

12(E ·D + B ·H ) (E ∧H )t

D ∧B 12(E ·D + B ·H )1l−ED t −HB t

)

(10.59)

ist im allgemeinen nicht symmetrisch. Nur für verschwindende Polarisation und Magne-tisierung wird er symmetrisch,

T µν =1

4π

(

12(E 2 + B2) (E ∧B)t

E ∧B 12(E 2 + B2)1l−EE t −BB t

)

. (10.60)

Die fehlende Symmetrie des Energie-Impuls-Tensors in makroskopischen Medien hat vielePhysiker gestört. Für Modifikationen des Tensors in Medien verweise ich auf die Literatur3.

3siehe z.B. L.D. Landau und E.M. Lifschitz, Elektrodynamik der Kontinua, Abschnitte 10,15 und 34;I. Brevik, Videns. Sels. Mat.-fys. Medd. 37 (1970) No. 11 und No. 13.


Kapitel 11

Erzeugung und Abstrahlung von Wellen

Bisher haben wir die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen diskutiert, ihre Erzeugungdurch zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen dagegen noch ausgespart. Der letzteAspekt soll im vorliegenden Kapitel untersucht werden. Dazu erinnern wir daran, dass inder Lorenzeichung das elektromagnetische Potential die inhomogene Wellengleichung

2Aµ(x) =4π

cjµ(x), (11.1)

löst. Dabei werden die Ladungsdichte j0 = cρ und Stromdichte j als gegeben voraus-gesetzt. Als Anwendung werden wir die Abstrahlung einer lokalisierten Quelle sowie dieFelder und Strahlung bewegter Punktladungen behandeln.

11.1 Inhomogene Wellengleichung

Wir wollen das Feld von beliebig bewegten Ladungen im sonst leeren Raum untersuchen.Die Ladungs- und Stromdichte sind willkürlich vorgegebene Funktionen der Raumzeitko-ordinaten und wir haben es in der Lorenzeichung mit der Gleichung (11.1) zu tun. Dieformale Lösung dieser partiellen Differentialgleichung ist

Aµ =4π

c

1

2jµ. (11.2)

Formal deshalb, weil die homogene Wellengleichung Lösungen hat und damit der Wel-lenoperator 2 nicht invertierbar ist. Im folgenden wollen wir, unter Zuhilfenahme vonphysikalischen Bedingungen, das „Inverse des Wellenoperators“ bestimmen

Eine partikuläre Lösung wird mit der Methode der Greenschen Funktion unter Be-rücksichtigung von „physikalischen Randbedingungen“ bestimmt. Eine Greensche Funkti-on G(x, x′) der Wellengleichung löst die Wellengleichung für eine instantane Punktquelle

174

11. Erzeugung und Abstrahlung von Wellen 11.1. Inhomogene Wellengleichung 175

am Raumzeit-Punkt x′:

2G(x, x′) = δ4(x− x′). (11.3)

Hier steht auf der rechten Seite die 4-dimensionale Delta-Distribution in der Raumzeit

δ4(x− x′) = δ(ct− ct′)δ3(r − r ′) =1

cδ(t− t′)δ3(r − r ′). (11.4)

Wegen der Homogenität der Raumzeit darf sich die Greensche Funktion bei gleichzeitigerVerschiebung von Aufpunkt x und Quellpunkt x′ in der Raumzeit nicht ändern. Sie kanndaher nur vom Differenzvektor x − x′ abhängen, G(x, x′) = G(x− x′). Ist die GreenscheFunktion bekannt, so folgt formal sofort eine partikuläre Lösung

Aµ =4π

c

∫

d4x′ G(x− x′)jµ(x′). (11.5)

In der Tat, wendet man auf Aµ den d’Alembert-Operator an, so erhält man

2Aµ =4π

c

∫

d4x′ 2G(x− x′)jµ(x′) =4π

c

∫

d4x′δ4(x− x′)jµ(x′) =4π

cjµ(x).

Die Greensche Funktion beschreibt die Ausbreitung einer in der Raumzeit punktförmigenStörung.

Für ihre Berechnung lösen wir zuerst die Bestimmungsgleichung (11.3) im k-Raum,also für die Fouriertransformierte G in der Transformationsformel

G(x) =1

(2π)2

∫

d4k ei(k,x)G(k). (11.6)

Frequenz und Wellenzahlvektor bilden die Komponenten eines 4-er Vektors,

k = (kµ) =

(

ω/c

k

)

(11.7)

und dieser 4-er Wellenzahlvektor tritt in der Form

(k, x) = kµxµ = k0x0 − k · r = ωt− k · r (11.8)

in der Fouriertransformation (11.6) auf. Im k-Raum geht der d’Alembert-Operator bis aufdas Vorzeichen in die Multiplikation mit k2 über,

2G(x) = − 1

(2π)2

∫

d4k k2 ei(k,x)G(k). (11.9)



Andererseits ist die Fouriertransformierte der Punktquelle

δ(x) =1

(2π)4

∫

d4k eikx. (11.10)

Setzen wir diese beiden Fourierdarstellungen in die Bestimmungsgleichung für die Green-sche Funktion ein, so finden wir folgende Fouriertransformierte von G,

G(k) = − 1

(2π)2

1

kµkµ= − 1

(2π)2

1

k2. (11.11)

Damit ergibt sich folgende formale Lösung für die Greenfunktion in (11.6)

G(x) = − 1

(2π)4

∫

ei(k,x)

k2d4k, k2 = kµk

µ. (11.12)

Da 2 nicht invertierbar ist, müssen wir bei der Auswertung der Integrale etwas vorsichtigsein. Zuerst berechnen wir das Integral über k0. Da wir die Ladungen und Ströme alsUrsachen für die Potentiale betrachten, sollte die Greensche Funktion G(x − x′) nurungleich Null sein, falls das Ereignis x später als das Ereignis x′ ist, d.h. falls x0 ≥ x′0

gilt. Diese Forderung ist erfüllt, falls

G(x) = − 1

(2π)4lim

ǫ→+0

∫

ei(k,x)

(k0 − iǫ)2 − k 2d4k, (11.13)

ist. Hier bedeutet ǫ → +0, daß ǫ > 0 gegen Null strebt. Dies ist mit Hilfe des Residu-ensatzes einfach zu beweisen: Für x0 < 0 strebt der Integrand in der unteren Halbebeneℑ(k0) < 0 exponentiell gegen Null und ist dort analytisch, da seine Pole bei

k0 = iǫ± |k |,

also in der oberen Halbebene, liegen. Damit verschwindet das k0-Integral längs der SchleifeC1 ∪C2 in der Abb. 11.1. Da C2 nicht beiträgt, verschwindet das k0 Integral längs C1 fürnegative x0. Für positive x0 fällt der Integrand nur in der oberen Halbebene ℑ(k0)-Ebeneab und wir müssen das Schleifenintegral längs C1 ∪ C3 nehmen. Da C3 nicht beiträgtist dies gleich dem Integral längs C1. Nach dem Residuensatz ist das Schleifenintegralproportional zur Summe der Residuen innerhalb C1 ∪ C3. Also gilt

∫

C1

dk0 eik0x0

(k0 − iǫ)2 − k 2=

∮

C1∪C3

dk0 eik0x0

(k0 − iǫ− |k |)(k0 − iǫ+ |k |) −→ −2π

|k | sin |k |x0



Re(k0)

Im(k0)

× ×

C2

C3

C1

Pole

Abbildung 11.1: Zur Berechnung des retardierten Potentials.

im Grenzfall ǫ→ +0. Dies setzen wir in (11.13) ein und finden

G(x) =1

(2π)3

∫

sin(|k |x0)

|k | e−ik ·rd3k.

Zur Berechnung des Integrals legen wir die 3-Achse im k -Raum in Richtung von r , so daßk ·r = |k ||r | cos θ ist, und integrieren über den Azimutalwinkel. Setzen wir noch cos θ = z

dann finden wir

G(x) =1

(2π)2

∫ 1

−1

dz

∫ ∞

0

d|k ||k | sin(|k |x0) e−izr |k |

=1

2π2|r |

∫ ∞

0

d|k | sin(|k |x0) sin(|k |r). (11.14)

Der Integrand ist eine gerade Funktion von |k | und das Integral von 0 nach ∞ ist gleichder Hälfte des Integrals von −∞ nach ∞. Schreiben wir die beiden Sinus-Funktionen alsDifferenz zweier Exponentialfunktionen und benutzen die Formel (8.57), dann finden wirunter Beachtung von x0 + r > 0 die einfache Darstellung

G(x) =1

4π|r | δ(x0 − r). (11.15)

Wie gefordert ist G nur ungleich Null, wenn x auf dem Vorwärtslichtkegel von 0 liegt,

Träger (G) = x ∈ R4| x2 = (x0)2 − r 2 = 0, x0 ≥ 0. (11.16)



In anderen Worten: Die Greenfunktion am Raumzeitpunkt x ist ungleich Null, falls einezur Zeit 0 am Ursprung ausgesandte Kugelwelle zur Zeit t = x0/c den Ort r erreicht. Diesoeben konstruierte Greenfunktion nennt man retardierte Greensche Funktion

Gret(x− x′) =1

4π

1

|r − r ′| δ[c(t− t′)− |r − r ′|]. (11.17)

Da die Wellengleichung invariant unter einer Zeitspiegelung Tx = (−x0, r) ist, ist auch

Gav(x− x′) = Gret (T (x− x′)) =1

4π

1

|r − r ′| δ[c(t− t′) + |r − r ′|] (11.18)

eine mögliche Greenfunktion. Lägen die Pole in (11.1) etwas unterhalb der reellen Achse,

Vorwärtslichtkegel

Rückwärtslichtkegel

x0

r

Abbildung 11.2: Vorwärts- und Rückwärtslichkegel als Träger von Gret bzw. Gav.

dann hätte die Fouriertransformation diese unphysikalische avancierte Greensche Funkti-on geliefert. Unphysikalisch deshalb, weil ihr Träger der Rückwärtslichtkegel ist: Gav(x, x

′)

ist nur für t ≤ t′ ungleich Null.Nun setzen wir die retardierte Greenfunktion in (11.5) ein und finden

Aµ(x) =1

c

∫

d4x′1

|r − r ′|δ(c(t− t′)− |r − r ′|)jµ(ct′, r ′). (11.19)

Die Zeitintegration führt auf



Aµ(x) =1

c

∫

d3r′jµ(ct− |r − r ′|, r ′)

|r − r ′| ≡ 1

c

∫

d3r′jµ(ctret, r

′)

|r − r ′| . (11.20)

Die elektromagnetischen Potentiale haben formal dieselbe Struktur wie in der Statik.Aber die Potentiale zur Zeit t hängen nun von den Stromdichten zu früheren retardiertenZeiten

ctret = ct− |r − r ′| ≤ ct (11.21)

ab. Etwas genauer: sie hängen nur von den Werten der Stromdichte auf dem Rückwärts-lichtkegel von x ab. Wegen t′ = tret ist

c2(t− t′)2 − |r − r ′|2 = (x− x′)2 = 0,

was bedeutet, daß der Quellpunkt x′ und der Aufpunkt x lichtartig getrennt sind. Dasentsprechende Raumzeit-Diagramm ist in der Abbildung 11.3 gezeigt.

|r − r ′|

x0 − x′0

b x

Strom hier trägt zu A(x) bei

Abbildung 11.3: Die Werte des Stromes auf dem Rückwärtslichtkegel von x bestimmen dasPotential am Raumzeitpunkt x.

Das Potential (11.20) erfüllt automatisch die Lorenzeichung. Zum Beweis dieser Aus-sage machen wir von der Darstellung (11.5) gebrauch und benutzen die Kontinuitätsglei-


11. Erzeugung und Abstrahlung von Wellen 11.2. Strahlungsfeld in der Fernzone 180

chung für die 4-er Stromdichte,

c

4π∂µA

µ =

∫

d4x′ ∂µG(x− x′)jµ(x′)

= −∫

d4x′ ∂′µG(x− x′)jµ(x′) =

∫

d4x′G(x− x′)∂′µjµ(x′) = 0.

Bei der partiellen Integration haben wir Oberflächenterme vernachlässigt, was für lokali-sierte Stromverteilungen gerechtfertigt ist.

11.2 Strahlungsfeld in der Fernzone

Wir betrachten eine auf ein endliches Gebiet mit linearer Ausdehnung d eingeschränkteLadungs- und Stromverteilung und bestimmen die Abstrahlung dieses „Senders“. Dazubenötigen wir die elektromagnetischen Felder in großen Abständen von den Quellen. DerKoordinatenursprung liege räumlich und zeitlich innerhalb des Senders.

Für r ≫ d, also weit weg vom Sender, ist r ≫ r′ und wir entwickeln den räumlichenAbstand nach Potenzen von r′/r,

|r − r ′| = r√

1 + r′2/r2 − 2n · r ′/r = r − n · r ′ +O(d2/r), (11.22)

wobei der Einheitsvektor n in Richtung von r zeigt, n = r . Die führenden Terme derFelder weit weg vom Sender klingen also wie 1/r ab. Um diese führenden Terme zu be-rechnen, dürfen wir den Nenner in (11.20) durch r ersetzen. Wir benutzen diese Näherungauch für die retardierte Zeit

ctret = ct− |r − r ′| = ct− r + n · r ′ +O(d2/r). (11.23)

Diese Näherung ist allerdings nur zulässig wenn die zeitliche Änderung der Quellen wäh-rend des Zeitintervalls d2/rc klein ist. Hierbei ist d/c die Zeit, die Licht zum durchquerender Quelle braucht. Für eine harmonische Welle ∼ eiωt bedeutet dies

d2

rc≪ 1

ω. (11.24)

In der sogenannten Wellen- oder Fernzone, charakterisiert durch die Bedingungen

r ≫ d und r ≫(

ωd

c

)

d, (11.25)


11. Erzeugung und Abstrahlung von Wellen 11.2. Strahlungsfeld in der Fernzone 181

vereinfacht sich der Ausdruck (11.20) für das 4-er Potential dann zu

Aµ =1

rc

∫

d3r′ jµ(ct− r + n · r ′, r ′), (11.26)

das heißt für das skalare und Vektorpotential zu

Φ =1

r

∫

d3r′ ρ(ct− r + n · r ′, r ′) (11.27)

A =1

rc

∫

d3r′ j (ct− r + n · r ′, r ′). (11.28)

Wir bestimmen nun die entsprechenden 1/r-Terme der elektromagnetischen Felder. DieAbleitung von 1/r fällt wie 1/r2 ab und trägt zu den führenden 1/r-Termen nicht bei.Damit ist das magnetische Feld in der Wellenzone

B = ∇∧A = − 1

c2rn ∧

∫

d3r′ ∂tj (ct− r + n · r ′, r ′).

Der Vergleich des Integranden mit (11.28) ergibt die Formel für das Fernfeld,

B = −1

cn ∧A, (11.29)

wobei das Potential A nach der Formel (11.28) berechnet wird. Mit Hilfe der Maxwell-gleichung E = c∇∧B bestimmen wir den führenden Term von E ,

E = −∇ ∧ (n ∧A) =1

cn ∧

(

n ∧A)

.

Daraus ergibt sich bis auf einen statischen Anteil das elektrische Feld

E =1

cn ∧ (n ∧A) = −n ∧B . (11.30)

Man hat also dieselben Verhältnisse wie bei ebenen Wellen; die Strahlungsfelder E undB sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung n , haben die gleiche Amplitude und stehensenkrecht aufeinander.

In den Formeln für die Felder in der Fernzone geht das (genäherte) VektorpotentialAµ in (11.26) ein. Zu dessen Berechnung schreiben wir die Stromdichte als Überlagerungvon ebenen Wellen,

jµ(x) =1

(2π)3

∫

ei(k,x) j µ(k) dωd3k, kµjµ(k) = 0. (11.31)


11. Erzeugung und Abstrahlung von Wellen 11.3. Multipolentwicklung 182

Die letzte Bedingung ist die Kontinuitätsgleichung für die 4-er Stromdichte im k-Raum.Um die Stromdichte jµ im Minkowskiraum von ihrer Fouriertransformierten im k-Raumzu unterscheiden, schreiben wir im Folgenden das Argument von jµ explizit. Setzen wirdie Fourierzerlegung in (11.26) ein, dann finden wir das Vektorpotential

Aµ(t, r) =1

cr

∫

dω eiω(t−r/c) 1

(2π)3

∫

d3r′d3k ei r ′(q−k)jµ(ω, k),

wobei q = ωn/c in Richtung von r zeigt. Die d3r′ Integration kann nun ausgeführt werdenund ergibt mit q · r = ωr/c folgende Formel für das elektromagnetische Potential

Aµ(t, r) =1

cr

∫

dω ei(ωt−q ·r)jµ(ω, q), q =ω

cn . (11.32)

Im monochromatischen Fall ist

jµ(t, r) = ℜ(

eiωtjµ(r))

, jµ(r) =1

(2π)3

∫

e−ikr j (k)d3k (11.33)

und der Ausdruck für das Potential in der Fernzone vereinfacht sich zu

Aµ(t, r) =1

crℜ(

ei(ωt−q ·r)jµ(q))

(11.34)

Es ist proportional zur Fourier-Transformierten der Stromdichte für den Impuls q = ωr/c.Das entsprechende Magnetfeld hat die Form

B =ω

c2rℑ(

B(q)ei(ωt−q ·r))

mit B(q) = n ∧ j (q), (11.35)

und das elektrische Feld ist E = −n ∧ B . Die abgestrahlte Welle in der Wellenzone isteine auslaufende Kugelwelle mit winkelabhängigen Koeffizienten.

11.3 Multipolentwicklung

Die Amplitude einer Welle ändert sich kaum über Distanzen, die viel kleiner als die Wel-lenlänge sind oder während Zeiten, die viel kürzer als die inverse Frequenz sind. DieRetardierung wird also vernachlässigbar sein, wenn sich die Stromdichte während derZeitdauer d/c, die das Licht zur Durchquerung des Senders braucht, kaum ändert. Wirwollen jetzt zusätzlich zu (11.25) annehmen, daß dies der Fall sei, d.h. daß gelte

λ≫ d (11.36)



Damit dürfen wir den Integranden in (11.28) entwickeln,

j (ct− r + n · r ′, r ′) = j (ct− r, r ′) +(n · r ′)

c∂t j (ct− r, r ′) + . . .

und dies führt auf folgende Multipolentwicklung für das Vektorpotential:

A(t, r) =1

rc

∫

d3r′j (ct− r, r ′) +1

rc2

∫

d3r′(n · r ′)∂t j (ct− r, r ′) + . . .

= A1(t, r) + A2(t, r) + . . . . (11.37)

Im folgenden werden wir sehen, daß A1 die elektrische Dipolstrahlung und A2 die ma-gnetische Dipol- und elektrische Quadrupolstrahlung enthält.

Elektrische Dipolstrahlung:

Zur weiteren Umformung des Integrals verallgemeinern wir die Identität (6.51) in Kapitel6 auf zeitabhängige Situationen. Für zeitabhängige Ladungdichten ist die Stromdichtenicht mehr quellenfrei, und

0 =

∮

df (g j ) =

∫

d3r∇ · (g j ) =

∫

d3r∇g · j +

∫

d3r g∇ · j ,

wobei g eine beliebige Funktion ist und angenommen wurde, daß für ein genügend großesIntegrationsgebiet gj auf dem Rande des Gebietes verschwindet. Mit der Kontinuitäts-gleichung ergibt sich

∫

d3r (∇g) · j =

∫

d3r g ρ. (11.38)

Wählen wir zunächst g = xi, dann kann das erste Integral in (11.37) folgendermassenumgeformt werden,

∫

d3r′j (ct− r, r ′) =

∫

d3r′r ′ρ(ct− r, r ′) = p(ct− r),

wobei p(t) das in (4.5) eingeführte elektrische Dipolmoment der Ladungsverteilung ist. Einzeitabhängiges Dipolmoment erzeugt also in der Wellenzone ein Vektorpotential, welcheswie 1/r abfällt und proportional der zeitlichen Änderung des Dipols ist,

A1(t, r) =1

rcp(ct− r). (11.39)



Dabei ist die Zeitableitung von p zur Zeit t − r/c zu nehmen, also zu der Zeit als (inunserer Approximation) die Welle im Sender erzeugt wurde.

Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupolstrahlung:

Die Zeitableitung im zweiten Integral in (11.37) ziehen wir vor das Integral und formenden auftretenden Term x′pjq folgendermaßen um

x′pjq =1

2

(

x′pjq + x′qjp)

+1

2

(

x′pjq − x′qjp)

=1

2∇′ (x′px

′q

)

· j +1

2ǫpqs(r

′ ∧ j )s.

Bei der Integration des zweitletzten Terms über d3r′ dürfen wir (11.38) anwenden. Dannfinden wir die Zeitableitung des elektrischen Quadrupolmoments (4.6). Die Integrationdes letzten Terms ergibt das magnetische Dipolmoment (6.54) in Kapitel 6. Es gilt

∫

d3r′ x′pjq =1

2

(

Qpq +1

3δpq

∫

d3r′r′2ρ

)

+ cǫpqrmr

woraus ein Zwischenergebnis für A2 in (11.37) resultiert,

A2 =1

rc2∂

∂t

∫

d3r′ (n · r ′)j =1

2rc2Q n +

1

6c2(∇ log r)

∫

d3r′ r′2ρ− 1

rcn ∧ m .

Hierbei steht Q n für den Vektor mit den Komponenten∑

j Qijnj . Der zweite Termauf der rechten Seite ist ein Gradient der nicht zum elektromagnetischen Feld beiträgt.Wir können das Potential umeichen, so daß er verschwindet. Damit finden wir folgendenAusdruck für den Beitrag A2 zum Eichpotential in der Wellenzone:

A2 =1

rc

(

m ∧ n +1

2cQn

)

ct−r

. (11.40)

Auch ein zeitabhängiges magnetisches Dipolmoment und zeitabhängiges elektrisches Qua-drupolmoment tragen zum Vektorpotential in der Wellenzone bei.

Addieren wir die Beträge A1 und A2 dann finden wir mit den allgmeinen Formeln(11.29) und (11.30) das elektromagnetische Feld in der Wellenzone,

B = − 1

rc2n ∧

(

p + m ∧ n +1

2c

...

Qn

)

ct−r

= n ∧ E (11.41)

E =1

rc2n ∧

(

n ∧ p + m +1

2cn∧

...

Qn

)

ct−r

= −n ∧B . (11.42)

In den führenden Ordnungen tragen zeitabhängige elektrische und magnetische Dipolmo-



mente und eine zeitabhängiges elektrisches Quadrupolmoment bei. Wir erinnern an diegemachten Annahmen:

r ≫ d, r ≫(

d

λ

)

d, λ≫ d (11.43)

Nun werden wir die von der variablen Quelle abgestrahlte Leistung berechnen.

11.3.1 Abgestrahlte Leistung

Zur Berechnung der Dipol- und Quadrupolstrahlung eines Senders dürfen wir die elektro-magnetischen Felder (11.41,11.42) verwenden. In der Wellenzone bilden n ,E und B einorthogonales Dreibein und

E ∧B = |E |2n = |B |2n . (11.44)

Damit finden wir für die abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel

dP

dΩ= r2 S · n =

cr2

4π(E ∧B) · n =

cr2

4π|E |2 =

cr2

4π|B |2. (11.45)

Wir betrachten zuerst ein System, für das die elektrischen Dipolfelder dominieren. Dannist

dP

dΩ|el.Dipol =

1

4πc3|n ∧ p|2 =

1

4πc3p2 sin2 θ, (11.46)

wobei θ den Winkel zwischen Ausbreitungsrichtung n und p bezeichnet. Der Dipol strahltam stärksten senkrecht zum Dipolmoment. Längs der Dipolachse erfolgt keinerlei Ab-strahlung. Die Abstrahlung erfolgt rotationssymmetrisch um die Dipolachse. Integrierenwir über alle Richtungen, so erhalten wir mit Hilfe von

∫

sin2 θdΩ = 2π

∫

sin3 θdθ =8π

3

für die Leistung der abgestrahlten elektrischen Dipolstrahlung

P |el.Dipol =2

3c3p2. (11.47)

Analog erhält man für die magnetische Dipolstrahlung



P |magn.Dipol =2

3c3m2. (11.48)

Für harmonisch schwingende Dipole, p,m ∼ eiωt ist die Strahlungsleistung proportionalzur vierten Potenz der Frequenz und zum Quadrat des Dipolmomentes.

Nun betrachten wir die elektrische Quadrupolstrahlung. Für den Quadrupolanteil in(11.41,11.42) ist die abgestrahlte Intensität

dP

dΩ|el.Quad. =

1

16πc5

(

n∧...

Qn)2

=1

16πc5

( ...

Qkl

...

Qkm nlnm−...

Qkl

...

Qmp nknlnmnp

)

. (11.49)

Für eine um die z-Achse drehinvariante Ladungsverteilung hat Q die Form

Q =Q0

2diag (−1,−1, 2) , so daß n∧

...

Qn =3

2

...

Q0 n3

n2

−n1

0

ist. Benutzen wir noch

|n∧...

Qn |2 =9

4

...

Q2

cos2 θ sin2 θ

dann findet man folgende Winkelverteilung für die Strahlung in der Wellenzone,

dP

dΩ|el.Quad. =

9

64πc5

...

Q2

0 sin2 θ cos2 θ, (11.50)

siehe Abb. 11.4. Die Strahlungsleistung ist rotationssymmetrisch zur z-Achse und ma-ximal in den Richtungen θ = π/4 und 3π/4. Sie verschwindet für θ = 0, π/2 und π.Um die gesamte abgestrahlte Leistung zu bestimmen, benötigen wir Integrale der FormI(i, j, . . .) =

∫

dΩ ninj . . . mit 2p Faktoren ninj . . .. Diese Integrale werden natürlich auchbei der Berechnung der höheren Multipolbeiträge zur Strahlung gebraucht. Zu ihrer Be-rechnung benutzen wir folgenden Trick: die linke Seite der Identität

∫R3

d3re−r2/2xixj . . . =

∫ ∞

0

dr r2+2pe−r2/2I(i, j, . . .)

=

√

π

2(2p+ 1)!! I(i, j, . . .) (11.51)



z

Abbildung 11.4: Winkelverteilung der elektrischen Quadrupolstrahlung.

kann durch mehrfaches Ableiten der erzeugenden Funktion

I(j ) =

∫

d3r exp

(

−r2

2+ j · r

)

= (2π)3/2 exp

(

j 2

2

)

(11.52)

nach den Komponenten der Quelle j berechnet werden. Zum Beispiel finden wir:

∫

d3re−r2/2xlxm =∂2

∂jl∂jmI(j )|j=0 = (2π)3/2δlm,

∫

d3re−r2/2xkxlxmxp =∂4

∂jk∂jl∂jm∂jpI(j )|j=0 = (2π)3/2 (δklδmp + δkmδlp + δkpδlm) .

Benutzen wir diese Resultate in (11.51), so finden wir für die gesuchten Integrale über dieWinkel

I(l,m) =4π

3δlm und I(k, l,m, p) =

4π

15(δklδmp + δkmδlp + δkpδlm) . (11.53)

Nun können wir (11.49) über die Winkel integrieren. Berücksichtigen wir die Symmetrieund Spurfreiheit des Quadrupoltensors, dann ergibt sich

P |el.Quad. =1

12c5

...

Qkl

...

Qkl −1

60c5

( ...

Qkl

...

Qkl +...

Qkl

...

Qlk

)

=1

20c5Sp

...

Q2. (11.54)


11. Erzeugung und Abstrahlung von Wellen 11.4. Lienard-Wiechert-Potentiale 188

Die Ausrücke für die Beiträge höherer Multipole zur Abstrahlung werden immer kompli-zierter. Eine systematische Entwicklung mit Hilfe der Kugelflächenfunktionen ist möglich,mathematisch aber nicht ganz einfach.

11.4 Lienard-Wiechert-Potentiale

Wir wollen eine wichtige Anwendung der retardierten Potentiale diskutieren. Eine Punkt-ladung q bewege sich längs einer Bahn r(t) mit der (momentanen) Geschwindigkeit v(t).Diese bewegte Punktladung wird ein zeitlich veränderliches elektromagnetisches Feld er-zeugen, welches wir nun bestimmen werden. Wir berechnen also die Potentiale zu denDichten

ρ(t, r) = qδ (r − r(t)) , j (t, r) = qv(t)δ (r − r(t)) (11.55)

oder in der 4-er Schreibweise

jµ(x) = qvµ(t)δ (r − r(t)) , wobei (vµ) =

(

c

v

)

(11.56)

ist. Wir setzen diesen Strom in (11.19) ein und integrieren über d3r′ mit dem Resultat

Aµ(x) = q

∫

dt′δ (c(t− t′)− |r − r(t′)|)

|r − r(t′)| vµ(t′). (11.57)

Um die t′-Integration auszuführen brauchen wir die Formel

δ (f(t)) =

n∑

j=1

1

|f(tj)|δ(t− tj), (11.58)

wobei t1, . . . , tn die einfachen Nullstellen der Funktion f sind.Beweis: Im Integral

∫

dt δ (f(t)) g(t)

tragen nur t-Werte bei, für die das Argument der δ-Distribution verschwindet. Sei t1 dieeinzige einfache Nullstelle im Intervall ∆ um t1 und sei ǫ = t − t1. Dann ist f(t) =

f(t1)ǫ+ . . . und der Beitrag dieser Nullstelle ist

∫

∆

δ(

f(t1)ǫ)

g(t1 + ǫ)dǫ =1

|f(t1)|

∫

δ(x) g

(

t1 +x

f(t1)

)

dx =g(t1)

|f(t1)|.



Da dies für jede Nullstelle und für beliebige Testfunktionen g gilt, folgt sofort (11.58).Es sei f(t′) = c(t− t′)− |r − r(t′)| das Argument der δ-Distribution in (11.57). Dann

ist

df

dt′= −c+

r − r(t′)

|r − r(t′)| · v(t′) = −c (1− n(t′) · β(t′)) , (11.59)

wobei wir den Einheitsvektor

n(t) =r − r(t)

|r − r(t)| und β(t) =v(t)

c(11.60)

einführten. Da die Geschwindigkeit v jedes Teilchens mit Ruhemasse > 0 stets kleinerder Lichtgeschwindigkeit ist, ist die rechte Seite in (11.59) stets negativ. Deshalb kann fhöchstens die Nullstelle t′ = tret haben. Diese Nullstelle ist Lösung von

ctret = ct− |r − r(tret)| ≡ ct−R(tret), (11.61)

und diese wichtige Gleichung bestimmt tret(t, r) bei vorgegebener Bahn r(t) des Punkt-teilchens. Damit können wir die t′-Integration in (11.57) ausführen,

Aµ(x) =q

c

vµ(t)

R(t)[1− n(t) · β(t)]|tret . (11.62)

In Komponenten geschrieben, lauten die Potentiale

r(tret)

ct

ctret

r

R(tret)

r(t)n(tret)

x

Abbildung 11.5: Zur Ableitung der Lienard-Wiechert-Potentiale.



Φ(x) =q

R(t)[1− β(t) · n(t)]|tret (11.63)

A(x) =qβ(t)

R(t)[1− β(t) · n(t)]|tret (11.64)

Dies sind die nach Lienard und Wiechert benannten elektromagnetischen Potentiale einerbeliebig bewegten Punktladung. Wegen der für allgemeine Teilchenbahnen kompliziertenBestimmungsgleichung (11.61) für die retardierte Zeit ist das Potential (11.62) in denmeisten Fällen schwer berechenbar.

Zur Berechnung der Felder brauchen wirA und damit die zeitliche Änderung von R,nund der retardierten Zeit. Eine einfache Rechnung ergibt

R = −n · v tret, n =1

Rn ∧ (n ∧ v)tret, ctret = c− R tret,

woraus sich für die zeitliche Ableitung der retardierten Zeit die Formel

tret =1

1− n · β∣

∣

∣

tret≡ 1

κ(11.65)

ergibt. Wir haben die im Folgenden oft auftauchende zeitliche Variation der retardiertenZeit mit κ−1 bezeichnet. In dieser und den folgenden Formeln ist das Zeitargument jeweilsdie retardierte Zeit! Es folgt, daß

∂t(n · β) =1

κ

(

n · β − c

R(n ∧ β)2

)

.

Nun findet man relativ leicht die Zeitableitung des Potentials,

A =q

R2

β

κ3

(

n · β − β2)

+q

Rc

1

κ3

(

β + n ∧ (β ∧ β))

. (11.66)

Für die räumlichen Ableitung des skalaren Potentials brauchen wir noch

∇R(tret) = n − (n · v)∇tret, c∇tret = −∇R(tret) =⇒ c∇tret = −n

κ,

woraus dann folgt

∇(n · β) =1

κR

(

β + (n · β)(n − β) + β2n)

− 1

κc

(

n · β)

n .

Damit läßt sich der Gradient des skalaren Potentials berechnen. Man findet

∇Φ = − q

R2κ3(n − β − β ∧ (n ∧ β))− q

Rcκ3

(

n · β)

n . (11.67)



Mit diesen Formeln für A und ∇Φ ergibt sich für das elektrische Feld

E (t, r) =q

κ3

(

1− β2

R2(n − β) +

1

Rcn ∧

(

(n − β) ∧ β)

)

∣

∣

∣

tret. (11.68)

Um B = ∇∧A zu bestimmen, brauchen wir schlussendlich noch

∇ ∧ β = − 1

κcn ∧ β.

Damit lautet das magnetische Feld der Punktladung

B(t, r) = − q

κ3

(

1− β2

R2n ∧ β +

1

Rcn ∧

(

β + n ∧ (β ∧ β))

)

∣

∣

∣

tret, (11.69)

wobei wir uns noch einmal an unsere Abkürzungen erinnern:

β =v

c, R = |r − r(t)|, n =

r − r(t)

R, κ = 1− n · β. (11.70)

Damit wären die Felder (beinahe) explizit bestimmt. Der erste Term in (11.68) ist dasFeld einer gleichförmig bewegten Punktladung; er fällt wie 1/R2 ab. Der zweite Term istproportional zur Beschleunigung und fällt nur wie 1/R ab. Er ist verantwortlich für dieelektromagnetische Abstrahlung von beschleunigten geladenen Teilchen.

Wir untersuchen nun zwei Spezialfälle. Dabei können wir uns wegen des einfachenZusammenhangs

B(t, r) = n ∧ E (t, r) (11.71)

zwischen E und B-Feld auf das elektrische Feld beschränken.

Ruhendes Teilchen: Für unbewegtes Teilchen ist r(t) = r0 zeitunabhängig und v = 0.Entsprechend verschwindet das Vektorpotential und

Φ(r) =q

|r − r0|sowie E = q

r − r0

|r − r0|3. (11.72)

Wie nicht anders erwartet, finden wir das Coulombpotential.



Gleichförmig bewegtes Teilchen: Für eine Punktladung mit konstanter Geschwin-digkeit ist

r(t) = v t und (vµ) =

(

c

v

)

. (11.73)

Das Quadrat von v ist

vµvµ = c2(

1− β2)

=c2

γ2, wobei γ =

1√

1− β2

der relativistische γ-Faktor ist. Wir definieren den normierten Geschwindigkeitsvektor

uµ =γ

cvµ =

(

γ

γβ

)

=⇒ (u, u) = 1. (11.74)

Nun bestimmen wir zuerst die retardierte Zeit. Die Bedingung (11.61) lautet

c2(t− tret)2 = r2 + v2t2ret − 2r · v tret

und die Elimination der retardierten Zeit führt auf

ctret = γ(

(u, x)±√

(u, x)2 − x2)

. (11.75)

Da t > tret sein muß, kann nur das negative Vorzeichen korrekt sein. Mit

R(1− n · β)|tret = |r − v tret| − (r − v tret)β

= c(t− tret)− (r − v tret)β =1

γ(u, x)− c

γ2tret

finden wir eine einfache Form für den Nenner in den Lienard-Wiechert Potentialen (11.62)

R(1− n · β)|tret =1

γ

√

(u, x)2 − x2. (11.76)

Das Potential (11.62) vereinfacht sich entsprechend zu

Aµ(x) =quµ

√

(u, x)2 − x2. (11.77)

Nun ist es einfach, die elektromagnetischen Felder zu bestimmen. Mit

R(n − β)|tret = r − v tret − c(t− tret)β = r − βct



findet man das folgende elektrische und magnetische Feld für ein gleichförmig bewegtesPunktteilchen,

E (t, r) = qγr − v t

[(u, x)2 − x2)]3/2

B(t, r) = qγβ ∧ r

[(u, x)2 − x2)]3/2. (11.78)

Speziell für ein längs der z-Achse bewegtes Teilchen ist

Aµ(x) =q

√

x2 + y2 + (γz − γβct)2

γ

0

0

βγ

, (11.79)

und das elektrische Feldes hat die Form

E =qγ

(γ2(z − βct)2 + y2 + z2)3/2

x

y

z − βct

=q(1− β2)

[(ct− βz)2 + (1− β2)(r2 − c2t2)]3/2

x

y

z − βct

. (11.80)

In der ersten Form ist die Gleichheit mit unserem früheren Ergebnis (10.43) evident. Diezweite Form benötigen wir in der anschliessenden Diskussion des elektromagnetischenFeldes von schnell bewegten Punktladungen.

Es sei nun α der Winkel zwischen den Kraftlinien des elektrischen Feldes und demGeschwindigkeitsvektor, siehe Abbildung 11.6,

sin2 α =x2 + y2

x2 + y2 + (z − vt)2. (11.81)

Dann gilt offensichtlich

1− β2 sin2 α =(βz − ct)2 + (1− β2)(r2 − c2t2)

(r − v t)2,

und wir können das elektrische Feld in folgende Form bringen

E = q1− β2

(1− β2 sin2 α)3/2

r − v t

|r − v t|3 . (11.82)



b

E

q

vt

α

√(z− vt

)2+

x2 +

y2

√

x2+

y2

z

Abbildung 11.6: Zur Richtungsabhängigkeit der Felder einer gleichförmig bewegten Punkt-ladung.

Man sieht hier deutlich, daß die Feldlinien geradlinig vom Ort v t der Ladung ausgehen.Der Betrag des elektrische Feldes

|E | = 1− β2

(1− β2 sin2 α)3/2

q

|r − v t|2 (11.83)

ist jedoch keineswegs kugelsymmetrisch. Er hängt vom Winkel zwischen Geschwindigkeitund Richtung der Kraftlinien ab. In Richtung der Geschwindigkeit ist er am kleinsten,senkrecht dazu am größten

Emin = q1− β2

|r − v t|2 und Emax =qγ

|r − v t|2 . (11.84)

Also ist

Emax

Emin=

1

(1− β2)3/2= γ3 =

(

E

mc2

)3

. (11.85)

In dem Maß, wie die Geschwindigkeit des Teilchens sich der Lichtgeschwindigkeit nä-hert, konzentriert sich also das ganze Feld auf eine flache, senkrecht zur Bahn orientierteScheibe. Zum Beispiel für Elektronen mit 1 MeV ist β ∼ 0.94 und entsprechend ist das


11. Erzeugung und Abstrahlung von Wellen 11.5. Der Hertzsche Dipol 195

Verhältnis etwa 10. An dem vorgeschlagenen Elektronenbeschleuniger ELFE hätten dieElektronen etwa eine Energie E ∼ 15− 30 GeV und es wäre

Emax

Emin

=

(

(15− 30) · 103

0.5

)3

∼ (27− 216) · 1012.

Im Grenzfall v → c wird die Feldstärke in der Scheibe unendlich.

11.5 Der Hertzsche Dipol

Als weiteres interessantes System werden wir nun ein um den Ursprung schwingendesTeilchen untersuchen. Ort und Geschwindigkeit der Ladung ändern sich harmonisch,

r(t) = d sinωt e3 = z(t)e3 , v(t) = z(t)e3 = ωd cosωt e3. (11.86)

Wir wollen d≪ r annehmen, so daß wir folgende Näherungen machen dürfen:

tret ≈ t− r

c. zr ≡ z(tret) ≈ d sinω

(

t− r

c

)

R(tret) ≈ r(

1− zzr

r2

)

, Rn · βret ≈ (z − zr)zr

c.

Daraus folgt die folgende Entwicklung für die Nenner der Potentiale(

1

R(1− n · β)

)

ret

≈ 1

r

(

1 +zzr

r2+zzr

cr

)

.

Eingesetzt in (11.63,11.64) finden wir für die nichtverschwindenden Komponenten deselektromagnetischen Potentials

Φ ≈ q

r+qd

r2cos θ sin(ωt− kr) +

qdω

rccos θ cos(ωt− kr)

A3 ≈zr

cΦ ≈ qdω

rccos(ωt− kr), k = ω/c.

Fügt man noch eine im Ursprung ruhende Ladung −q hinzu, so findet man nach Ein-führung des elektrischen Dipolmomentes p0 = qd (das Dipolmoment bei der maximalenAuslenkung des Oszillators) die einfachen Formeln

Φ ≈ p0 cos θ

(

1

r2sin(ωt− kr) +

ω

rccos(ωt− kr)

)

A3 ≈p0ω

rccos(ωt− kr), k = ω/c. (11.87)


11. Erzeugung und Abstrahlung von Wellen 11.6. Abstrahlung von bewegten Ladungen 196

Dies sind die retardierten Potentiale des Hertzschen Dipols in Kugelkoordinaten. Dieruhende Ladung und die darum schwingende positive Ladung stellen einen schwingendenDipol dar. Das ruhende Teilchen trägt nicht zur Strahlung bei.

11.6 Abstrahlung von bewegten Ladungen

Nachdem wir die exakten Lienard-Wiechert-Felder von bewegten Punktladungen kennenund die Felder von beliebigen Ladungs- und Stromverteilungen in der Wellenzone (für λ≫d) bestimmten, wollen wir nun die von diesen Sendern abgestrahlte Leistung berechnen.Diese ist durch den Poyntingvektor bestimmt.

Die ins Unendliche abgestrahlte Leistung P eines Senders ist durch den Poyntingvektorgegeben,

P = limR→∞

R2

∮

dΩn · S , S =c

4πE ∧B . (11.88)

Nur Terme, die für große Abstände vom Sender wie 1/R2 abfallen, tragen zu dieser Strah-lung bei. Deshalb brauchen wir bei der Berechnung der Strahlung einer beschleunigtenPunktladung nur diejenigen Terme in (11.68,11.69) berücksichtigen, die β enthalten, danur diese zur Strahlung im Unendlichen beitragen. Wegen B = n ∧ E ist

E ∧B = E ∧ (n ∧E ) = E 2n − (E · n)E , (11.89)

und für große Abstände vom Strahler steht das elektrische Feld

E =q

κ3

1

Rcn ∧

(

(n − β) ∧ β)

tret(11.90)

senkrecht auf n und deshalb ist

R2 n · S =R2c

4πE 2 =

q2

4πcκ6

∣

∣

∣n ∧

(

(n − β) ∧ β)∣

∣

∣

2

. (11.91)

Nichtrelativistische Teilchen: Wir betrachten zunächst Teilchen mit kleinen Geschwin-digkeiten, β ≪ 1. Dann ist die abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel (κ ∼ 1)

dP

dΩ=

q2

4πc

∣

∣

∣n ∧

(

n ∧ β)∣

∣

∣

2

.

Ist θ der Winkel zwischen n und dem Beschleunigungsvektor v , so ist

dP

dΩ=

q2

4πc3(

v2 − (n · v)2)

=q2

4πc3v2 sin2 θ. (11.92)



Die gesamte Strahlungsleistung ist

P =2q2

3c3v2. (11.93)

Dies ist die bekannte Larmorsche Formel für die Strahlungsleistung von nichtrelativistischbeschleunigten Ladungen. Diese Strahlung tritt zum Beispiel auf, wenn Elektronen inMetallen gestreut und abgebremst werden und entsprechend heißt sie Bremsstrahlung1.

Relativistische Teilchen: Wir untersuchen nun den allgemeinen Fall für beliebige Ge-schwindigkeiten v < c. Der allgemeine Ausdruck (11.91) gibt den Energiefluß pro Flächen-und Zeiteinheit beim Beobachtungspunkt zur Zeit t. Diese Strahlung wurde zur Zeittret = t − R(tret)/c ausgesandt. Interessanter ist die Energie, die das Teilchen auf sei-ner Bahn pro Zeiteinheit dtret abstrahlt. Wir wollen also die Strahlung berechnen, welchein der Zeit T1 ≤ tret ≤ T2 emittiert wurde. Die zugehörige Energie, welche der Beobachterempfängt, ist

T2+R(T2)/c∫

T1+R(T1)/c

(S · n)dt =

T2∫

T1

(S · n)dt

dtretdtret.

Die abgestrahlte Leistung je Raumwinkel ist demnach

dP

dΩ(tret) = R2(S · n)

dt

dtret. (11.94)

In (11.65) hatten wir bereits die hier auftretende Ableitung

dt

dtret= κ(tret)

definiert, so dass

dP

dΩ(tret) = R2κ(S · n) (11.95)

folgt. Setzen wir hier den obigen Ausdruck für S ·n ein, dann finden wir für die abgestrahlteLeistung pro Raumwinkel,

dP

dΩ=

q2

4πc

1

(1− n · β)5

∣

∣

∣n ∧

(

(n − β) ∧ β)∣

∣

∣

2

. (11.96)

1Aus Kovarianzüberlegungen kann man (11.93) auf beliebige Teilchen, also nicht notwendigerweiselangsame, verallgemeinern. Siehe die Diskussion in Kapitel 14 von Jackson.



Für kleine Geschwindigkeiten geht diese Formel in (11.92) über. Die etwas aufwendigeIntegration über alle Richtungen n liefert die folgende abgestrahlte Leistung des geladenenTeilchens,

P =2q2

3cγ6

(

β2 −

(

β ∧ β)2)

. (11.97)

Für eine lineare Bewegung sind β und β kolinear und

dP

dΩ=

q2

4πc

1

(1− β cos θ)5

∣

∣

∣

(

n · β)

n − β

∣

∣

∣

2

=q2

4πc3v2 sin2 θ

(1− β cos θ)5. (11.98)

Hier tritt der Winkel θ zwischen n und v auf. Der Winkel θmax bei dem die Strahlungmaximal ist, erfüllt die Bestimmungsgleichung

cos2 θmax +2

3βcos θmax −

5

3= 0 =⇒ cos θmax =

1

3β

(

√

1 + 15β2 − 1)

. (11.99)

Für langsame Teilchen mit v ≪ c ist

θmax ≈π

2− 5β

2, (11.100)

und für schnelle Teilchen mit β ∼ 1− 1/2γ2 → 1 ist

cos θ ≈(

1 +1

2γ2

)(

1− 5

8γ2

)

≈ 1− 1

8γ2=⇒ θmax ≈

1

2γ, β ≈ 1. (11.101)

Für ultrarelativistische Teilchen mit γ ≫ 1 ist die Strahlung in einem engen Kegel in dieVorwärtsrichtung gebündelt. Die gesamte Abstrahlung erhält man leicht aus (11.97),

P =2q2

3c3v2γ6 (lineare Beschleunigung.) (11.102)

Ohne Beweis zitieren wir das entsprechende Resultat für eine Kreisbewegung mit demRadius R und Kreisfrequenz ω:

P =2q2

3cω2β2γ4 (Kreisbeschleunigung.) (11.103)

Diese Formel wurden erstmalig von Lienard im Jahre 1898 hergeleitet. Der relativisti-sche Faktor γ4 führt zu großen Strahlungsverlusten in Synchrotrons für hochenergetischeElektronen.


Index

Äquipotentialflache, 16Äquivalenzprinzip der SRT, 159Überlagerung von Wellen, 138

elektrische Suszeptibilitat, 77

Absorptionsindex, 145Abstrahlung

von bewegten Ladungen, 196Ampere, 11Ampere-Gesetz, 97

Besselsche Differentialgleichung, 146Besselwelle, 135

fundamentale, 135Bilanzgleichungen für Energie und Impuls,

170Biot-Savart-Gesetz, 89Brechungsindex, 85Bremsstrahlung, 197

Coulomb, 11Coulombeichung, 96, 123Coulombkraft, 9Coulombsche Gesetz, 9

d’Alembert Operator, 124Deformationspolarisation, 76Diamagnete, 109Dielektrika, 76Dipolfeld, 47Dipolmoment, 47

einer Stromschleife, 103eines Punktteilchens, 103

Dipolstrahlungelektrische, 183, 185magnetische, 184, 185

Dipsersionin Isolatoren, 151

Dirichletproblem, 40Divergenz, 51Drehmoment

einer Ladungsverteilung, 50Drude-Modell, 154

ebene Wellen, 127Eichtransformation, 123Eindringtiefe, 145, 149Einsteinsche Summenkonvention, 159elektrische Erregung, 76elektrische Fluss, 120elektrische Ladung, 121elektrische Multipole, 46elektrische Spannung, 120elektrische Strom, 121elektrischer Dipol, 47elektrischer Kraftflus, 18elektrisches Feld, 13elektromagnetisches Potential, 122Elektronenradius

klassischer, 27Elektrostatik, 8elliptische Polarisation, 133Energie

des elektrischen Feldes, 24Energie-Impuls-Tensor

199

INDEX Index 200

des Feldes, 171Energie-Impuls-Vektor

des Feldes, 170Entelektrisierung, 81Entmagnetisierungsfaktor, 112Ereignis, 158Erregungslinien, 81

Fernzone, 180Ferroelektrikum, 77Ferromagnete, 110Flächenelement, 51Flächenladungsdichte, 29Flussgesetz

von Gaus, 121von Oersted, 121

Formel von Clausius-Mosotti, 83Fourierintegrale, 139Fourierreihen, 139Funktionensysteme, 67

Gaussches System, 12geladener Ring, 64Gleichstromwiderstand, 147Gradient, 51Greenfunktion

der Wellengleichung, 174fur Laplace-Operator, 21

Greensche Funktion, 39avancierte, 178retardierte, 178

Greensche Identität, 40grenzfektrische Verschiebung, 70, 76Grenzflache

zwischen Dielektrika, 78

Helmholtzfunktion, 62Helmholtzgleichung, 144Hertzscher Dipol, 195Hilbertraum, 68

idealer Leiter, 28Induktionsgesetz, 113, 121Induktivitätskoeffizienten, 99Influenz

elektrische, 34inhomogene Wellengleichung, 174inneres Produkt, 67Isolator, 70

Joule, 12Joulesche Wärme, 170

Kapazitätskoeffizienten, 42Kapazitat, 42, 43kapmultipole, 46Kirchhoffsche Knotenregel, 89Kontinuitätsgleichung, 89

in 4-er Schreibweise, 163kovariante Gleichung, 163Kraft

auf magnetischen Dipol, 104Kramers-Kronig Relation, 155Kramers-Kronig Relationen, 157Kreisfrequenz, 130Kugelfunktionen, 52, 58, 62Kugelkonsensator, 43Kugelkoordinaten, 50Kugelwelle, 134

Ladung, 47Ladungserhaltung, 10Laplace-Operator, 50Larmorformel, 197Legendre Polynome, 52Legendre-Polynome, 55Legendresche Differentialgleichung, 54Leidener Flasche, 2Leitfähigkeit, 143

statische, 148Leitungselektronen, 28


INDEX Index 201

Lenzsche Regel, 117Lienard-Wiechert-Potentiale, 188lineare Medien, 77lineare Polarisation, 132Lorentzkraft, 119Lorenzeichung, 124, 127

magnetische Dipolmoment, 102magnetische Feldstärke, 109magnetische Fluss, 120magnetische Induktion, 90magnetische Spannung, 120magnetische Suszeptibilität, 109magnetischer Fluss, 96magnetischer Schwund, 115magnetisches Feld, 89, 90Magnetisierung, 107, 108makroskopische Ladungsdichte, 74makroskopische Polarisation, 74Massysteme, 9Maxwell-Beziehung, 127Maxwellgleichungen

im Medium, 119im Vakuum, 124

Maxwellsche Beziehung, 144Maxwellscher Spannungstensor, 172Metrik, 159mikroskopische Ladungsdichte, 70mikroskopisches Feld, 70Minkowskiraum, 158MKSA-System, 12monochromatische Wellen, 130Multipol

elektrisches, 46im auseren Feld, 49

Multipolentwicklung, 66in Wellenzone, 182

Multipolmoment, 66

Neumannproblem, 41Norm, 67

Oerstedtsche Gesetz, 117Ohmscher Leiter, 143Operator

adjungierter, 69Orientierungspolarisation, 77Oszillatorstärke, 153

Paraelektrikum, 76Paramagnete, 110Parsevalgleichung, 141Phasengeschwindikgeit, 130Plasmafrequenz, 146, 148Plattenkondensator, 45Poincare Transformationen, 158Poincare-Gruppe, 161Poisson-Gleichung, 21Polarisation, 70Polarisationsladungen, 106Polarisationsladungsdichte, 74Polarisierbarkeit, 151Potentiale, 122Potentialproblem, 31Poyntingvektor, 171

Quadrupolfeld, 48Quadrupolmoment, 47Quadrupolstrahlung

elektrische, 184

Rückwärtslichtkegel, 162Randbedingung

fur Metalle, 30Randwertproblem, 28, 31relative Dielektrizitatskonstante, 77relative Permeabilität, 109Relaxationszeit, 147Ringspannung, 16


INDEX Index 202

Ruckwartslichtkegel, 178

Schwingungsebene, 132Selbstenergie, 26Selbstinduktion, 99SI-System, 12Skalarprodukt, 67Skineffekt, 145, 146Spannung, 14Spiegelladung, 32Spin, 104Strahlungsfeld

in Fernzone, 180Strom

elektrische, 87Stromdichte, 87Stromerhaltung, 89Superpositionsprinzip, 10, 128Synchrotronstrahlung, 198

TE-Wellen, 137TM-Wellen, 137

Verknupfungsgleichungen, 119Verschiebungsstromgesetz, 121Versuch

von Elihu und Thomson, 116Vierernotation, 162Viererstrom, 163vollstänges Funktionensystem, 60Vollstängigkeitsrelation, 57Volumenelement, 51Vorwärtslichtkegel, 162Vorwartslichtkegel, 178

Watt, 12Wellenausbreitung, 126Wellengleichung

für E und B , 126fur Potentiale, 122

Wellenlänge, 131Wellenoperator, 124, 164Wellenzahlvektor, 130Wellenzone, 180Wirbelstrombremse, 117

zirkulare Polarisation, 132


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Elektrodynamik - personal.uni-jena.de · 1. Die Ursprünge der Elektrodynamik 1.2. Geschichtliches 2 Ich ﬁnde zum Beispiel das Skript H. Roemer und M. Forger von der Uni Freiburg,