Elektrodynamik petrascheck

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Elektrodynamik


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Dietmar Petrascheck Franz Schwabl

Elektrodynamik


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Dietmar PetrascheckJohannes Kepler Universitt (JKU)Linz, sterreich

Franz SchwablTechnische Universitt MnchenGarching, Deutschland

ISBN 978-3-662-43456-7 ISBN 978-3-662-43457-4 (eBook)DOI 10.1007/978-3-662-43457-4

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Planung und Lektorat:Dr. Vera Spillner, Barbara Lhker

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Vorwort

Mit dem hier vorliegenden Buch Elektrodynamiksoll die bisherige Reihe vonLehrbchern von Prof. Schwabl (Quantenmechanik, Quantenmechanik frFortgeschritteneund Statistische Mechanik) durch einen Band ber Elektro-dynamik ergnzt werden.

Das Buch richtet sich an Studierende der Physik, die in einem Zyklus berTheoretische Physik eine Vorlesung ber Elektrodynamikbesuchen. Erwartetwerden dabei Kenntnisse in Mathematik in einem Umfang, wie er in Vorle-sungen ber mathematische Methoden in der Physik, die es an fast allen

Universitten gibt, gelehrt wird. Sind diese Kenntnisse nicht, oder nur teil-weise vorhanden, so kann der Leser/die Leserin den ausfhrlich gehaltenenmathematischen Anhang zu Hilfe nehmen. Dieser geht ber den in der Elek-trodynamik erforderlichen unmittelbaren Bedarf hinaus.

Es wird in dem Buch die (klassische) Elektrodynamik inklusive der spezi-ellen Relativittstheorie im blichen Rahmen abgedeckt.

In der Elektrostatik werden einfache, aber charakteristische Ladungsver-teilungen behandelt. Das erachten wir wegen der Linearitt der Maxwell-Gleichungen als sinnvoll, da mit diesen auf einfache Weise die Potentiale kom-

plexerer Ladungsverteilungen zusammengesetzt werden knnen. Recht aus-fhrlich wird in der Elektrostatik die Potentialtheorie behandelt.Einige Phnomene, die der Festkrperphysik zugeschrieben werden, aber

direkt mit der klassischen Elektrodynamik zu tun haben, wie die Clausius-Mossotti-Formel, der Hall-Effekt, etc. sind Teil des Inhalts.

Ein besonderer Fall ist die Magnetostatik; geht man ein wenig ber dieeinfachsten Konfigurationen hinaus, so werden die nicht sonderlich komplizier-ten Rechnungen schnell unbersichtlich; wir haben diese trotzdem dargelegt,wenngleich sie nur fr wenige Leser von Interesse sind.

Weder in Lehrbchern der Elektrodynamik noch in solchen der Festkrper-physik wird auf die dynamische Theorie der Rntgenstrahlung eingegangen,obwohl sie als direkte Anwendung der Maxwell-Gleichungen auf Idealkristallebeide Gebiete tangiert. Ihre Bedeutung liegt in der Optik und der Topogra-fie mit Rntgen- (und Neutronen-) Strahlen. Die fr die dynamische Theorie


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VI Vorwort

notwendige Kenntnis der kinematischen Streuung wurde auf ein Minimumbeschrnkt.

Knapp gehalten sind die (technischen) Anwendungen in Netzwerken mitHilfe der stationren Nherung, aber auch die (geometrische) Optik, wogegen

der speziellen Relativittstheorie (SRT) und hier insbesondere der Lorentz-Transformation (LT) viel Platz eingerumt wird.

Am Ende jedes Kapitels sind einige bungsbeispiele. Musterlsungen kn-nen auf der Produktseite des Buches http://www.springer.com/978-3-662-43456-7 heruntergeladen werden.

In den Bchern Statistische Mechanik, Quantenmechanik oder HhereQuantenmechanik von F. Schwabl wird fr Gren aus der Elektrodyna-mik das Gau-System verwendet. Ausgenommen ist die Quantisierung desStrahlungsfeldes, da in der Quantenelektrodynamik das rationale Heaviside-Lorentz-System verbreitet ist. So war es naheliegend auch fr dieses Buchdas Gau-System zu nehmen; damit der Zugriff auf alle Formeln auch imSI-System gegeben ist, ist im Anhang eine bersetzungstabelle Gau SI.

Professor Dr. Franz Schwabl hat mir, seinem ehemaligen Assistenten, an-geboten bei der Elektrodynamik mitzuarbeiten. Leider konnten wir das Buchnicht zusammen vollenden, da er whrend der Arbeit vllig unerwartet gestor-ben ist. Es hat dann meinerseits einer Phase des berdenkens bedurft, bis ichdie Arbeit abschlieen konnte. Das wre ohne die Untersttzung von Profes-sor Dr. Dr. h.c. Reinhard Folk, der mir mit einem sehr hohen Zeitaufwand in

allen Belangen geholfen hat, nicht mglich gewesen. Abschlieend mchte ichnoch Herrn DI Jakob Egger fr die Anfertigung von Abbildungen danken.

Linz, im Juni 2014 Dietmar Petrascheck


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Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV

1 Die Maxwellschen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Ladungen, Strme und Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Gausches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Faradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Ampre-Maxwell-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.4 Divergenzfreiheit der magnetischen Flussdichte . . . . . . . . 181.3.5 Maxwell-Gleichungen in integraler Form . . . . . . . . . . . . . . 191.3.6 Die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form . . . . . . . 201.3.7 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.8 Anmerkungen zu den Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Aufgaben zu Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Ruhende elektrische Ladungen und die Verteilung der

Elektrizitt auf Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1 Elektrostatisches Potential und Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . 272.2 Potential und Feld fr vorgegebene Ladungsverteilungen. . . . . . 29

2.2.1 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.2 Randbedingung des elektrischen Feldes an einer

Oberflche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.3 Dipolschicht und Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Felder von ruhenden Ladungen in Gegenwart von Leitern . . . . . 452.3.1 Methode der Bildladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.2 Maxwellscher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.3 Felder in der Nhe von Spitzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.1 Theorem von Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


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VIII Inhaltsverzeichnis

2.5.1 Entwicklung nach Momenten der Ladungsverteilung . . . 642.5.2 Energie einer Ladungsverteilung im ueren Feld . . . . . . 67Aufgaben zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3 Randwertprobleme in der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1 Lsung der Poisson-Gleichung mit Randbedingung . . . . . . . . . . . 75

3.1.1 Eindeutigkeit der Lsung der Poisson-Gleichung mitRandbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1.2 Lsung des Randwertproblems durch GreenscheFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2.1 Radialteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.2.2 Azimutaler Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2.3 Polarer Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.2.4 Lsungsfunktion der Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 943.3 Kugelsymmetrische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3.1 Eigenschaften der Kugelflchenfunktionen . . . . . . . . . . . . 953.3.2 Entwicklung von |x x|1 nach Kugelflchenfunktionen 973.3.3 Multipolentwicklung nach Kugelflchenfunktionen . . . . . 983.3.4 Leitende Kugel im homogenen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4 Zylindersymmetrische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4.1 Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . 102

3.4.2 Fourier-Bessel-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.4.3 Entwicklung der Greenschen Funktion nachZylinderfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5 Probleme in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.5.1 Potentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.5.2 Funktionentheoretische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Aufgaben zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4 Magnetostatik im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.1 Grundgleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1.1 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.1.2 Ampresches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.1.3 Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.1.4 Magnetfeld eines unendlich langen Drahtes . . . . . . . . . . . 124

4.2 Magnetischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.2.1 Berechnung von Momenten einer Stromverteilung . . . . . . 1264.2.2 Magnetisches Dipolfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.2.3 Dipolmoment einer Stromschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2.4 Potential und Feld einer kreisfrmigen Schleife . . . . . . . . 130

4.2.5 Potentiale und Felder von Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.3 Drehimpuls, Kraft und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.3.1 Drehimpuls und magnetisches Moment . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3.2 Kraft und Drehmoment auf eine Stromschleife . . . . . . . . 142


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Inhaltsverzeichnis IX

4.3.3 Ampresches Kraftgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.4 Magnetische Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.4.1 Momente des skalaren Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.4.2 Vektorielle Kugelflchenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Aufgaben zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5 Elektromagnetische Vorgnge in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.1 Die mikroskopischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.2 Die Mittelung der mikroskopischen Gren . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.2.1 Die mittlere Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.2.2 Die mittlere Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.2.3 Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . 1615.2.4 Randbedingungen an den Grenzflchen zweier Medien. . 165

5.3 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.3.1 Drude-Modell der elektrischen Leitung . . . . . . . . . . . . . . . 1685.3.2 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.4 Das Elektron im elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.4.1 Lagrange- und Hamilton-Funktion des Elektrons . . . . . . 1745.4.2 Bewegung eines Teilchens im ueren Feld . . . . . . . . . . . . 1765.4.3 London-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.5 Dielektrische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.5.1 Atomare Polarisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.5.2 Dielektrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.6 Energie- und Impuls-Bilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Aufgaben zu Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6 Elektrostatik in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.1 Grundgleichungen und Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 197

6.1.1 Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.2 Anwendung der Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.2.1 Die Clausius-Mossotti-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.3 Energie im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


7 Magnetostatik in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.1 Grundgleichungen der Magnetostatik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.1.1 bergangsbedingungen an Materialoberflchen . . . . . . . . 2187.1.2 Hauptsatz der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187.1.3 Potentiale und Felder in Ferromagneten . . . . . . . . . . . . . . 2237.1.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.2 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.2.1 Energie des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.2.2 Induktionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.2.3 Magnetischer Fluss und Induktivitt . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407.2.4 Die Selbstinduktivitten ausgewhlter Konfigurationen . 241


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X Inhaltsverzeichnis

7.3 Formen des Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.3.1 Diamagnetismus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.3.2 Paramagnetismus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.3.3 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256


8 Felder von bewegten Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.1 Vektorpotential und skalares Potential fr die Maxwell-

Gleichungen im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.2 Retardierte Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

8.2.1 Die inhomogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.2.2 Retardierte Potentiale und Felder einer Punktladung . . . 2728.2.3 Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8.3 Strahlung einer bewegten Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 2868.3.1 Maxwell-Gleichungen fr die Fourierkomponenten . . . . . 2868.3.2 Periodische Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2878.3.3 Nahzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2918.3.4 Fernzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

8.4 Die Strahlungsanteile der Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2938.4.1 Elektrische Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2938.4.2 Dipolstrahlung einer Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2998.4.3 Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupol-Strahlung303

8.4.4 Polarisationspotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.5 Strahlungsrckwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Aufgaben zu Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

9 Quasistationre Strme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3199.1 Die quasistationre Nherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

9.1.1 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219.2 Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

9.2.1 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3269.2.2 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3279.2.3 Energetische Verhltnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3299.2.4 Gekoppelte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3319.2.5 Telegrafengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

9.3 Magnetohydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3369.3.1 Die Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3369.3.2 Magnetische Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3389.3.3 Magnetohydrodynamische Wellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339Aufgaben zu Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

10 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.1 Ebene Wellen in einem homogenen Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.2 Lineare und zirkulare Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34210.3 Reflexions- und Brechungsgesetz fr Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . 347


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Inhaltsverzeichnis XI

10.3.1 Fresnelsche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34910.3.2 Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35410.3.3 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35410.3.4 Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

10.4 Wellen in Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.4.1 Zylinderfrmiger Draht (Skineffekt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

10.5 Wellen in Hohlraumresonatoren und Hohlleitern . . . . . . . . . . . . . 36310.5.1 Stehende Wellen in einem Hohlraumresonator . . . . . . . . . 36310.5.2 Elektromagnetische Wellen in Hohlleitern mit

Zylindersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366Aufgaben zu Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

11 Rntgen-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

11.1 Streuung von Licht an Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37711.1.1 Streuung an freien Elektronen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37711.1.2 Streuung an einer Ladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 38311.1.3 Streuung am Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

11.2 Dynamische Theorie der Rntgen-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . 39111.2.1 Elektromagnetische Wellen im Kristall . . . . . . . . . . . . . . . 39111.2.2 Verfahren zur Lsung der fundamentalen Gleichungen . . 39511.2.3 Brechung im Einstrahl-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39711.2.4 Der Zweistrahl-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

11.3 Laue- und Bragg-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40311.3.1 Beugung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40411.3.2 Laue-Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40811.3.3 Die Bragg-Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

11.4 Dynamische Beugung sphrischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41411.4.1 Laue-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41611.4.2 Die Intensittsprofile im Bragg-Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42011.4.3 Auswertung des IntegralsRm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42111.4.4 Die gesamte Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

Aufgaben zu Kapitel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42712 Spezielle Relativittstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

12.1 Invarianzeigenschaften und das Relativittsprinzip . . . . . . . . . . . 43012.1.1 Konstruktion einer Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43212.1.2 Ergnzungen zur Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . 43412.1.3 Zur thertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43612.1.4 Michelson-Morley Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

12.2 Die Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44312.2.1 Klassifikation der Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

12.2.2 Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . 44912.3 Raum-Zeit-Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

12.3.1 Synchronisation von Uhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45112.3.2 Raum-Zeit-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452


12/623

XII Inhaltsverzeichnis

12.3.3 Beobachtung schnell bewegter Krper . . . . . . . . . . . . . . . . 46012.4 Zusammensetzung von Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . . . 463

12.4.1 Lorentz-Transformation fr beliebige Orientierung derRelativgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

12.4.2 Addition von Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46612.4.3 Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

12.5 Maxwell-Gleichungen in kovarianter Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47512.5.1 Tensoreigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47612.5.2 Kovariante Tensoren der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . 47812.5.3 Feldstrketensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48112.5.4 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48312.5.5 Transformation des elektrischen und magnetischen

Feldes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

12.5.6 Ladungstransport in bewegten Leitern . . . . . . . . . . . . . . . 488Aufgaben zu Kapitel 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

13 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49513.1 Newtons Lex Secunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

13.1.1 Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50213.1.2 Energie-Impulstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

13.2 Lagrange-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50513.2.1 Relativistische Lagrange-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

13.2.2 Kovariante Formulierung des Hamilton-Prinzips . . . . . . . 50813.2.3 Elektromagnetische Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 51113.3 Kinematische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

13.3.1 Energie-Impuls-Erhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51213.3.2 Compton-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51313.3.3 Die Bewegung des Elektrons um den Kern . . . . . . . . . . . . 515Aufgaben zu Kapitel 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

A Vektoren, Vektoranalysis und Integralstze . . . . . . . . . . . . . . . . 521A.1 Vektorrechnung im euklidischen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

A.1.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521A.1.2 Dimension und Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523A.1.3 Wechsel der Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529A.1.4 Levi-Civita-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531A.1.5 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533A.1.6 Dreidimensionale Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

A.2 Vektoranalysis und lokale Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538A.2.1 Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538A.2.2 Differentialoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

A.3 Orthogonale krummlinige Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . 545A.3.1 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546A.3.2 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549A.3.3 Elliptische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553


13/623

Inhaltsverzeichnis XIII

A.4 Vektorfelder und Integralstze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555A.4.1 Gauscher Satz und Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555A.4.2 Rotation und Stokesscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559A.4.3 Die Greenschen Stze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

A.4.4 Green-Funktion des Laplace-Operators . . . . . . . . . . . . . . . 563A.4.5 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564A.4.6 Lsung der Poisson-Gleichung mit Green-Funktionen . . . 565Aufgaben zum Anhang A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

B Mathematische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569B.1 Elemente der Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

B.1.1 Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569B.1.2 Eigenschaften analytischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 570

B.2 Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574B.2.1 Rodrigues-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575B.2.2 Die erzeugende Funktion der Legendre-Polynome . . . . . . 576B.2.3 Eigenschaften der Legendre-Polynome. . . . . . . . . . . . . . . . 578B.2.4 Zugeordnete Legendre-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

B.3 Kugelflchenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581B.4 Bessel-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584B.5 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

B.5.1 Elliptische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

B.5.2 Integrale zur Potentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589B.5.3 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590B.6 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

B.6.1 Die Diracsche Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591B.6.2 Stufenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596Aufgaben zum Anhang B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

C Maeinheiten in der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599C.1 Masysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599C.2 Wechsel der Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

C.2.1 Rationale Einheitensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603C.2.2 Physikalische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609


14/623

Einleitung

In der Elektrodynamik werden die durch ruhende und bewegte Ladungen er-zeugten elektrischen und magnetischen Felder behandelt, sowie die Bewegungund Wechselwirkung geladener Teilchen unter dem Einfluss elektromagneti-scher Felder.

Obwohl einfache elektromagnetische Erscheinungen schon in der Antikebekannt waren, blieben Elektrostatik und Magnetostatik bis ins 19. Jahrhun-dert als unzusammenhngend angesehene Gebiete.

Erste Erkenntnisse zum Magnetismus, wie die Auffassung der Erde als

Magnet mit Nord und Sdpol kommen 1600 von W. Gilbert (1544-1603).C.Dufay (1698-1739) fand 1733 positive (Glaselektrizitt) und negative (Harz-elektrizitt) Ladungen.

Die systematische Erfassung elektrischer Vorgnge beginnt um 1785 mitder Beschreibung der Kraftwirkung ruhender elektrischer Ladungen aufein-ander durch das nach seinem Entdecker Charles A. de Coulomb (1736-1806)benannteCoulombsche Gesetz.

Zur Zeit der Konstruktion der ersten Batterie von Alessandro Volta, dieVoltaschen Suleum 1800 war auch der Zusammenhang zwischen elektrischem

Strom und Magnetismus unbekannt. Erst um 1820 entdeckte H.C. ersted(1777-1851), ein dnischer Physiker, dass der elektrische Strom eine Kraft aufeine Magnetnadel ausbt und, dass die Kraft senkrecht zum Strom ist. DerFeldbegriff war damals noch nicht bekannt und man ist von einer instantanenFernwirkung ausgegangen.

Bereits 1802 beobachtete G.D. Romagnosi, ein Jurist aus Trient, den Einfluss ma-gnetischen Stroms auf eine Magnetnadel1. Es geht aus der Beschreibung des Expe-riments nicht eindeutig hervor, ob Romagnosi die Kraftwirkung des Magnetfeldeseiner Stromschleife beobachtet hat. Wir schlieen uns der Meinung von B. Dibner2

1 S. Stringari & R. Wilson, Rend. Fis. Lincei 11, 115-136 (2000)2 Oersted and the Discovery of Electromagnetism, Blaisdell Publishing Company(1962)

D. Petrascheck, F. Schwabl,Elektrodynamik,

DOI 10.1007/978-3-662-43457-4_1, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015


15/623

XVI Einleitung

an, dass Romagnosis Experiment zu frh war, um von der Wissenschaft wahrge-nommen zu werden.

In den folgenden Jahren (1820-1825) ist es vor allem Andr Marie Ampre

der mit wesentlich genaueren Messungen die Grundlagen der Magnetostatikgefunden hat.1831 entdeckteMichael Faradaydie magnetische Induktion, die Erzeugung

eines elektrischen Stroms durch nderung des Magnetfeldes. Damit warendie experimentellen Grundlagen fr die Vereinheitlichung der elektromagne-tischen Vorgnge gegeben.

Basierend auf Faradays Vorstellungen eines den Raum durchdringendenFeldes stellte James Clerk Maxwell (1831-1879) 1861 und 1865 die nachihm benannten Feldgleichungen des Elektromagnetismus auf3. In diese Zeitfllt auch die Einfhrung des elektromagnetischen thers4 in das physikali-sche Weltbild. Breitet sich eine Wechselwirkung mit endlicher Geschwindig-keit aus, so nahm man ein hypothetisches Medium mit gewissen (mechani-schen) Eigenschaften an, das Trger der Wechselwirkung sein sollte. WilhelmE. Weber(1804-1891) und Rudolf Kohlrausch(1808-1858) bestimmten 1856die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit 311000km/s so nahe der von Fizeauermittelten Lichtgeschwindigkeit von 315 000 km/s, dass Maxwell die Vermu-tung aussprach, dass Licht aus transversalen Schwingungen desselben Medi-ums besteht, das die Ursache elektrischer und magnetischer Phnomene ist.

Der Nachweis elektromagnetischer Wellen gelang 1888 Heinrich Hertz(1857-1894). Man wusste, dass das Bezugssystem in dem der ther ruht,ausgezeichnet war und die Gesetze der Elektrodynamik anders als die derMechanik, in Systemen, die sich gegen den ther krftefrei bewegen, modi-fiziert werden mssten. Daher suchten 1881Albert A. Michelson(1852-1931)und (1887) Edward W. Morley (1838-1923) die Bewegung der Erde gegendas Bezugssystem, in dem der ther ruht, festzustellen. Sie wiesen die Kon-stanz der Lichtgeschwindigkeit, unabhngig von Beobachter und Quelle, nach.Demnach wre der ther fr jeden Beobachter in Ruhe. Zur Erklrung desExperiments haben 1889George FitzGerald(1851-1901) und unabhngig da-

von 1892Hendrik A. Lorentz(1853-1928, Nobelpreis 1902) eine Kontraktionder Lnge bei bewegten Krpern postuliert. Eine wirklich befriedigende Er-klrung des Experiments gelang jedoch nicht. Die Transformation, unter derdie Maxwell-Gleichungen ihre Form beibehielten, die Lorentz-Transformation,geht auf Arbeiten von W. Voigt,J. Larmor, H.A. Lorentzzurck und wurde1905 in allgemeiner Form vonH. Poincarformuliert. Damit war 1905 der Wegfr die spezielle Relativittstheorie (SRT) von Albert Einstein (1879-1955,Nobelpreis 1922 fr den lichtelektrischen Effekt) frei. Erwhnt sei noch, dass

3 J.C. MaxwellOn Physical Lines of Force, Philosophical Magazine, 4. Ser. (March1861)A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Philosophical Transactions of theRoyal Society of London 155, 459-512 (1865)4 Einen Lichtther zur Fortpflanzung der Lichtwellen hat bereits Huygens eingefhrt


16/623

Einleitung XVII

die Maxwell-Gleichungen in heute gebruchlicher Vektorschreibweise 1892 vonOliver Heaviside(1850-1925) formuliert wurden.

Die Entwicklung der klassischen Elektrodynamik war damit im Wesent-lichen abgeschlossen. Eine nicht restlos geklrte Frage betrifft die mgliche

Existenz magnetischer Monopole, wie sie von vereinheitlichten Feldtheorien(GUT) vorausgesagt wird, wobei die Monopole aber Massen von 1016 GeV/c2

haben sollen, so dass deren Erzeugung nur kurze Zeit beim Urknall mglichwar.

Die Bedeutung elektromagnetischer Krfte beschrnkt sich nicht nur aufdie Materie, deren Erscheinungsformen durch diese Krfte geprgt sind, son-dern bestimmt mittels elektromagnetischer Strahlung auch Instrumente mitdenen die Materie erforscht wird. Mit der Erfindung der Puluj-Lampe, einerRntgenrhre, 1881 und der Entdeckung der Rntgenstrahlung 1895 durch

Wilhelm Rntgenhat die Untersuchung von Materie mittels Rntgenstreuungihren Weg genommen.

Max von Laue(1879-1960, Nobelpreis 1914) beobachtete 1912 die Beugungvon Rntgenstrahlen an Kristallgittern (mitW. FriedrichundP. Knipping),was sowohl den Wellencharakter der Rntgenstrahlung als auch die Existenzregelmiger Anordnungen von Atomen in Kristallen belegte. Etwa gleichzei-tig entwickelte W. Bragg(1862-1942, Nobelpreis 1915) mit seinem Sohn dieDrehkristallmethode zur Untersuchung von Kristallstrukturen. In diesen Fl-len ist die Streuung im Kristall kinematisch und hat nur am Rande mit der

Elektrodynamik zu tun.Schon ein paar Jahre spter, 1917, wurde von P.P. Ewald(1888-1985) diedynamische Theorie der Rntgenstrahlungentwickelt. Mit dieser werden dieMaxwell-Gleichungen fr Rntgenstrahlen in Kristallen nherungsweise ge-lst; sie ist daher noch der Elektrodynamik zuzuordnen, wenngleich die Kris-talloptik und die Interferometrie mit Rntgenstrahlen selbststndige Zweigegeworden sind.


17/623

1

Die Maxwellschen Feldgleichungen

Vorbemerkung

Im Text vorkommende Abstze in kleiner Schrift enthalten ergnzende An-merkungen. Sind diese Abstze jedoch, wie der folgende Absatz, eingercktund durch horizontale Linien vom brigen Text getrennt, so sind sie fr denFortgang im Buch nicht wesentlich:

Abstze wie dieser, enthalten Zwischenrechnungen, Formeln, Ergnzungen etc.,

die fallweise von Interesse sein mgen.

Wir werden in diesem Kapitel ziemlich unvermittelt mit den Maxwell-Glei-chungen konfrontiert. Zum Verstndnis dieser wird eine gewisse Kenntnisder Vektoranalysis, oder genauer, der Vektorfelder und der Integralstze vonGau, Stokes und Green vorausgesetzt. Fehlt diese Kenntnis, so ist es vorteil-haft mit dem Anhang A.4 zu beginnen.

Zur Notation sei angemerkt, dass durchgehend die sogenannte Einsteinsche

Summenkonventionverwendet wird, die besagt, dass ber doppelt vorkom-mende Indizes summiert wird. Die Divergenz eines Tensors lautet so

jTij Tij,j3

j=1

j Tij,

wobei das Komma in Tij,j anzeigt, dass nach xj differenziert wird.

1.1 Ladungen, Strme und Ladungserhaltung

Die Elektrodynamik behandelt die durch ruhende und bewegte Ladungenerzeugten elektrischen und magnetischen Felder und die Bewegung und die

D. Petrascheck, F. Schwabl,Elektrodynamik,

DOI 10.1007/978-3-662-43457-4_2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015


18/623

2 1 Die Maxwellschen Feldgleichungen

Wechselwirkung von geladenen Teilchen unter dem Einfluss von elektroma-gnetischen Feldern.

Die Erfahrung zeigt, dass es zwei Arten Ladungen gibt, positive und nega-tive. Die Festlegung des Vorzeichens ist reine Konvention1. Sie hat zur Folge,

dass Protonen eine positive und Elektronen eine negative Ladung tragen.Als Elementarladung e0 wird die kleinste elektrische Ladung bezeichnet.

Das Elektron trgt die Ladunge0, das Proton die Ladung +e0. Quarks miteinem und zwei Drittel der Elementarladung werden hier nicht einbezogen, dadiese nicht als freie Teilchen vorkommen, sondern nur in Kombinationen mitder Ladung 0,e0 .

Die Ladungstrger, die uns hier begegnen werden, sind stabil. Das sindElektronen, Protonen, Atomkerne, die die LadungZ e0mit der OrdnungszahlZtragen und Ionen mit der Ladung

ze0, wobeizin Elektrolyten gleich der

Wertigkeit ist.Um die Gre einer Ladung angeben zu knnen, mssen wir uns fr ein

Einheitensystem entscheiden. Im Moment ist das noch nicht notwendig. Wirwerden darauf beim Coulombschen Gesetz, das die Krfte, die 2 Ladungenaufeinander ausben, beschreibt, zurckkommen.Wir nehmen hier nur vorweg, dass im Gauschen Einheitensystem (CGS-System) die Einheit der Ladung 1 statC(oulomb) so festgelegt ist, dass dieKraft zwischen zwei Einheitsladungen im Abstand von 1 cm den Wert von1dyn hat.

1 statC = 1 cm3/2 g1/2 sec1 = 3.336 1010 C.Im SI-System2 ist die Einheit der Ladung 1 Coulomb (1 C). Das ist die Ladung,die bei einem Strom von 1 Ampre in einer Sekunde durch einen Leiter fliet

1 C = 1 As (Ampresekunde) .

Die Elementarladunge0 hat dann den Wert

e0= 4.80325 1010 statC esi0 = 1.60218 1019 C .

Man kann daraus ablesen, dass fr einen Strom von 1 Mikroampre (A) proMikrosekunde (s) die Ladungen von 6 106 Elektronen notwendig sind. Wirfolgern daraus, dass einerseits die Ladung diskret ist, also nur als Vielfachesder Elementarladung auftritt, andererseits die groe Zahl an Elementarladun-gen mit einer Mittelung ber einen kleinen Volumsbereich die Darstellung vonals kontinuierliche (Raum-) Ladungsdichte erlaubt.

Die ersten Hinweise auf die Existenz einer Elementarladung gaben die 1832vonFaradayaufgestellten Gesetze der Elektrolyse. In heutiger Formulierungbesagt das 1. Faradaysche Gesetz, dass in einem Elektrolyten die fr die Ab-

scheidung eines Mols eines z-wertigen Ions erforderliche Ladung gegeben ist1 Reibt man einen Glasstab, so wird dieser positiv aufgeladen; bei Hartgummi istdie Ladung negativ2 Internationales System


19/623

1.1 Ladungen, Strme und Ladungserhaltung 3

durchQ = zF. Hierbei gibt die Faraday-KonstanteF= e0NA =96485Cmol1

die Ladungsmenge an, die notwendig ist, um 1 Mol eines einwertigen Ionsabzuscheiden.NA= 6.0221023 mol1 ist die Avogadro-Konstante. Die Exis-tenz einer Elementarladung mit dem NamenElektronwurde 1874 vom irischen

PhysikerStoneygemacht und 1881 wurde vonH. von Helmholtzvor derChe-mical Societyin London die Existenz einer elektrischen Elementarladung alsKonsequenz der Faradaygesetze zum Ausdruck gebracht.

Der Wert der Elementarladung wurde 1909 experimentell von Millikan3

bestimmt.

Millikan-Versuch: Bewegung von ltrpfchen mit der Ladung e >0 in einem Gas.Auf das Trpfchen, eine Kugel mit dem Radius a, wirken das elektrische Feld E(Coulomb-Kraft) und das Schwerefeld (vermindert um den Auftrieb der Kugel imGas)

mx= eE 6a.

x gm.

Der erste Term auf der rechten Seite gibt die Beschleunigung des Trpfchens durchdas elektrische Feld an, der zweite Term die (Stokessche) Reibung im Gas mit derViskosittund der dritte Term die Erdbeschleunigung. Zuerst haben die Trpfchendie Ladunge = 0.

Durch das Ionisieren des Gases bekommen die Trpfchen die Ladung e = Ze0.Aus der Bewegung wird ebestimmt.

Die elektrische Ladung ist eine fundamentale Gre. Bei jedem Wech-selwirkungsprozess von Elementarteilchen bleibt die gesamte Ladung derTeilchen unverndert, gleichgltig, ob bei dieser Wechselwirkung die starke,schwache oder elektromagnetische Wechselwirkung ins Spiel kommt4.

Es gilt demnach fr Ladungen ein Erhaltungssatz:

In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Ladungen konstant.

Die Ausdehnung der Ladung in diesen Teilchen ist unterschiedlich. Elektronensind punktfrmig; d.h. endliche Abmessungen sind nicht nachweisbar. Proto-nen haben einen endlichen Radius von 1013 cm. Aber auch die Ausdehnungder Protonen und Kerne kann vernachlssigt werden, so dass im Folgendenalle Ladungstrger als Punktteilchen behandelt werden.

Anmerkung: Punktteilchen machen auch in der klassischen Elektrodynamik Schwie-rigkeiten. Die Selbstenergie einer endlichen Ladung divergiert, wenn der Radius derLadungsverteilung gegen null strebt. In hnlicher Weise fhrt auch die Reduktiondes Durchmessers eines Drahtes bei endlich bleibendem Strom zu einer Divergenzder Selbstinduktivitt.

3 Robert Andrews Millikan, 1868-1953 Morrison, Illinois, USA Millikan-Versuchfr den er 1923 den Nobelpreis erhielt4 p +p 0 +p + K+ (stark);n p + e+ (schwach), 0 + (elektroma-gnetisch),


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Aus der Dynamik der Elektronen lernt man, dass die Annahme eines Radiusa re 31013 cm der Ladungsverteilung zu inkorrekten Ergebnissen fhrt (sieheStrahlungsrckwirkung, Abschnitt 8.5)5.

Man kann diese nur selten auftretenden Schwierigkeiten umgehen, so dass wir

trotz der konzeptionellen Einwnde gegen Punktteilchen an diesen festhalten.Die gesamte Ladung Qeines Atomkerns ist die Summe der Ladungen der

Protonen

Q=

p

ep= Z e0 ,

wobei Zdie Kernladungszahl ist. Rechnet man noch die negative Ladung derZElektronen hinzu, so ist Gesamtladung des Atoms null.

Anders ausgedrckt, gilt fr Ladungen die Additivitt nach der die Ge-samtladungQdie Summe der Teilladungen qi ist.

Wichtiger als die gesamte LadungQist oft die (Raum-) Ladungsdichte, d.h.die LadungQpro Volumselement V.

Vorhanden seien n Teilchen, die mit i nummeriert sind. Sie tragen dieLadung ei am Ortxi(t) zur Zeit t. Man definiert:

Mikroskopische Ladungsdichte

(x, t) =

ni=1

ei (3)(x xi(t)) (1.1.1)

Mikroskopische Stromdichte

j(x, t) =n

i=1

ei (3)(x xi(t)).xi . (1.1.2)

Hierbei ist (3)(x) die dreidimensionaleDiracsche Delta-Funktion(B.6.12).

undjerfllen dieKontinuittsgleichung

t(x, t) + j(x, t) = 0 , (1.1.3)

was durch Ableitung der Ladungsdichte nach der Zeit6 verifiziert werden kann

5 Darber greift (sptestens) bei Abstnden der Grenordnung der Compton-

Wellenlnge c 41011 cm die Quantenmechanik ein6

(3)

xxi(t)

t =

(xxi)xi

.xi(yyi) (zzi) +(xxi) (yyi)yi

.yi(zzi)

+(xxi) (yyi) (zzi)zi

.

zi= (3)

xxi(t)

.xi(t)


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t(x, t) =

i

ei

t(3)

xxi(t)

=

i

ei(3)

x xi(t).xi .

Bemerkung: Die Kontinuittsgleichung ist fr jedes einzelne Teilchen i

i(x, t) = qi(3)(x xi(t)) ji(x, t) = qivi(3)(x xi(t))

separat gltig.

Strom durch eine Flche

Die Ladung innerhalb eines festen Volumens V ist

Q(t) =

V

d3x (x, t) =

xi(t)Vei . (1.1.4)

In vielen Fllen hat man es mit Ladungstrgern einer Sorte (oder von ein paarSorten) zu tun, so dass man die Dichte auf die Form

(x, t) = qn

i=1

(3)(x xi(t)) =q n(x, t) (1.1.5)

bringen kann.n(x, t) ist die Teilchendichte. Die Stromdichte j(x, t) kann mitHilfe einer mittleren Geschwindigkeitv(x, t) definiert werden

v(x, t) = 1n

ni=1

vi j(x, t) =(x, t) v(x, t) .

Wir wenden uns jetzt der Abb. 1.1 zu, um die durch die Flche dfin der Zeittflisende LadungQzu bestimmen. Die nderung der Ladung pro Zeiteinheitergibt den Strom durch die Flche.j n dfist die Ladung, die pro Zeiteinheitdurch die Flcheneinheit senkrecht zuj strmt ([j] = statC/(cm2 s)). Whrendt fhrt der Strom durch dfzu dem Ladungsverlust (siehe Abb. 1.1)

df

n

vnt

Abb. 1.1. vist die mittlere Geschwindigkeit der Ladungstr-ger und df=n dfdas Flchenelement, durch welches in derZeit t die sich im Volumen t v n dfbefindenden Teilchenstrmen

Q=

j

n tdf=

v

dft .

Fr einen endlichen Querschnitt Ferhlt man

Q

t =

F

v df.


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Kontinuierliche Ladungsverteilungen

Rufen wir uns in Erinnerung, dass der Abstand der Ladungstrger in kon-densierter Materie (Festkrper, Flssigkeit, Plasma) etwa 108 cm betrgt.

Bei allen makroskopischen Beobachtungen sind Distanzen dieser Grenord-nung nicht auflsbar. Die Teilchenstruktur der Materie ist also nicht sichtbar,sondern man hat es mit einer scheinbar kontinuierlichen Ladungsverteilungzu tun, die durch Mittelung der mikroskopischen Ladungsverteilung in einemVolumenV(x) zu bilden ist.Nach Lorentz ist es naheliegend alle Ladungen, die innerhalb einer KugelKa= 4a3/3 mit dem Radiusa um den betrachteten Punktx liegen, zusam-menzufassen

Q=

Ka(x)d3x

jej(3)(x xj(t)) =

xjKa(x)ej .

Man erhlt so die mittlere Dichte

(x, t) =Q

Ka=

d3x f(xx) (x) mit f(xx) = (a |xx|)

Ka,

wobei f normiert

d3x f(x x) = 1

und (x) die Stufenfunktion (Heaviside-Funktion) (B.6.17) ist.

Anmerkung 1 : Obige Verteilungsfunktion fhat den Nachteil der Unstetigkeit aufder Kugeloberflche. Wir denken uns fdort etwas ausgeschmiert, wie in Abb. 1.2skizziert, so dass wir eine stetige Funktion erhalten, was etwa durch

f(r) =

ln(eKa + 1)1

e(KrKa) + 1 mit Kr=

4r3

3 (1.1.6)

erreicht werden kann. bestimmt die Ausschmierung von f. Fr Ka= 50 liegenetwa 10% des Volumens im bergangsbereich um r = a und fr Ka geht(1.1.6) in die -Funktion ber.

In einer Dimension (Ka= 2a) erhlt man mit

f(x) =

ln(e2a + 1)1

e2(|x|a) + 1 (1.1.7)

eine gemittelteLinienladungsdichte(x).In Abb. 1.3 ist sowohl die Mittelung einer linearen Ladungsverteilung als auch

(im Insert) die zugehrige Verteilungsfunktion (1.1.7) dargestellt. Htten wir dieMittelung mit einer Rechteckverteilung durchgefhrt, so wren kleine Unstetigkeitensichtbar geworden.


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f(|xx|)

|xx|a

1Ka

Abb. 1.2. Verteilungsfunktion f(|x x|), die, aus-gehend von einer KugelKamit dem Radiusa(strich-liert), gem (1.1.6) ausgeschmiert ist

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

(

x)L/Q

x (beliebige Einheit)

gemittelte LadungPunktladungen

0

1

-0.5 0.0 0.5

Abb. 1.3. Normierte mittlereLinienladungsdichte (x)/(Q/L);die vertikalen Striche sind Punkt-ladungen mit der Gesamtladung

Q, die sich auf einer Lnge L =10 (beliebige Lngeneinheit) ver-teilen. Die Mittelung wurde mit(1.1.7): = 10 und a = 0.5 (sieheInsert) durchgefhrt

Anmerkung 2: In manchem Zusammenhang ist eine (zustzliche) zeitliche Mittelungsinnvoll. In klassischer Betrachtung erzeugt ein punktfrmiges Elektron, das sich aufeiner Kreisbahn mit dem Radius a und Geschwindigkeit v = ae um den Kern

bewegt den Stromj(x, t) = (x, t) v(x, t) = e0( a)( 0t) 0 e .

Die zeitliche Mittelung ergibt den Ringstrom

j(x) = e02a

( a)0e ,

der ein konstantes magnetisches Moment erzeugt.

Die mittlere Dichte ist definiert durch

(x, t)

d3x f(x x) (x, t) = e n(x, t) . (1.1.8)

Mit n(x, t) wird die Teilchendichte bezeichnet. Fr den Strom erhlt man

j(x, t)

d3x f(x x)j(x, t) = (x, t) v(x, t) . (1.1.9)

Die mittlere Geschwindigkeitv(x, t) ist so definiert als

v(x, t) = 1n(x, t)

ni=1

d3x f(x x) ni(x, t) vi .

Zu zeigen ist, dass die gemittelten Gren ebenfalls die Kontinuittsgleichungerfllen. Das ist der Fall, wenn Mittelung und Ableitung vertauschen. Dann


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gilt fr den Integranden die Kontinuittsgleichung und somit auch fr dasIntegral. Fr

.

(x, t) = d3x f(xx).(x, t) = .(x, t) (1.1.10)

ist das offensichtlich und fr

j(x, t) =

V

d3x f(xx)j(x, t)

verwenden wir zwei Kunstgriffe, die im weiteren noch fters vorkommenwerden.

1. Hngt eine Funktion nur von der Differenz zweier Variabeln ab, so ist

f(x x) = f(x x) . (1.1.11)Daraus folgt

V

d3x f(xx)j(x, t) =

V

d3xj(x, t) f(xx) . (1.1.12)

2. Partielle Integration: Ergnzung des Integranden zu einer vollstndigenDivergenz auf welche dann der Gausche Satz (A.4.3) angewandt werden

kannV

d3xj(x, t) f(x x) (1.1.13)

=

V

d3x

f(x x)j(x, t) f(x x) j(x, t)="

V

df f(x x)j(x, t)

V

d3x f(x x) j(x, t) .

Der Randterm ist hier ein Oberflchenintegral, das verschwindet, da Vgengend gro gewhlt wird, so dass auf der Oberflche keine Strme mehrvorhanden sind.

Es gilt somit

j(x, t) = j(x, t) . (1.1.14)Mittelungen und Ableitungen sind also vertauschbar und somit erhalten wirdie Kontinuittsgleichung fr die gemittelte Dichte und den gemittelten Strom

t

(x, t) + j(x, t) = 0 . (1.1.15)

Eine Unterscheidung zwischen gemittelten, kontinuierlichen und mikroskopi-schen Strmen und Dichten ist fortan nicht mehr notwendig und wird im


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1.2 Lorentz-Kraft 9

Allgemeinen nicht gemacht, so dass fr Strme und Ladungen, mit der Aus-nahme ganz spezieller Flle, nurj und verwendet werden.

Wir integrieren nun den 2. Term der Kontinuittsgleichung ber das Vo-lumen Vund wenden den Gauschen Satz (A.4.3) an

I(t) =

V

d3x j(x, t) ="

V

dfj(x, t) . (1.1.16)

Vbezeichnet die Oberflche von V. Mit divj sind die Quellen (Senken) inV bezeichnet, die den gesamten Strom Iergeben, der durch die OberflcheO(V) tritt. Die zeitliche nderung der Gesamtladung Q(siehe (1.1.4)) mussden Strom Iergeben, der durch die das Volumen einschlieende Oberflchefliet

.

Q + I= 0 ddt

Vd3x (x, t) +

"V

dfj= 0 . (1.1.17)

Wir haben hier die integrale Form der Kontinuittsgleichung und knnen(1.1.15) prziser als differentielle Form der Kontinuittsgleichung bezeich-nen. Dieselbe Unterscheidung zwischen differentiellen und integralen For-men kommt an vielen Stellen zum Ausdruck, insbesondere bei den Maxwell-Gleichungen.

1.2 Lorentz-Kraft

Nach dem Coulombschen Gesetz ben zwei ruhende elektrische Ladungen dieKraft

F1= q1 E2(x1) = q1 q2x1 x2

|x1 x2|3 = F2 (1.2.1)

aufeinander aus. In der Skizze Abb. 1.4 haben q1 und q2 das gleiche Vorzei-chen, d.h. die Krfte sind abstoend.E2(x1) ist dabei das elektrische Feld der

q2x2

q1

x1x2x1

F1

F20

Abb. 1.4.Die KrfteF1undF2, die 2 ruhende Punktla-dungenq1und q2aufeinander ausben sind (anti)parallel

zur Verbindungslinie x1x2. Eingezeichnet sind die Krf-te fr Punktladungen des gleichen Vorzeichens

Ladung q2, das die Ladungq1 am Ortx1 sprt


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E2(x1) = q2x1 x2

|x1 x2|3 = q211

|x1 x2| . (1.2.2)

Aus dieser Definition der Kraft folgt, analog zur Gravitation, dass diese aus

einem Potential herleitbar ist:F1= q11(x1 x2) mit (x) = q2

r und r= |x| = |x1 x2|

(1.2.3)

ist das skalare elektrostatische Potential, das in dieser Form eben nur frruhende Ladungen gltig ist.

DieCoulomb-Kraft(1.2.1) ist eine Zentralkraft, analog der Schwerkraft.

Zentralkrfte zeigen immer auf das Kraftzentrum (x1, Abb. 1.4); das Drehmo-ment Nverschwindet und der Drehimpuls L ist zeitlich konstant

K(x) = K(|x x1|) x x1|x x1| N= [.

L] = (x x1) K(x) = 0 .

Bei gleichem Vorzeichen der Ladungen ist sie, wie in Abb. 1.4 dargestellt,abstoend, andernfalls anziehend. Nach (1.2.2) ist

F1= q

1E

2=

q

2E

1 (1.2.4)

Obwohl wir die Einheitensysteme erst nach den Maxwell-Gleichungen anspre-chen, ist bereits hier eine Bemerkung angebracht. Wir sehen aus (1.2.1), dassdie Ladungqdie Dimension (dyn= gcms2)

[q] =

dyncm = g1/2 cm3/2 s1 = statC(oulomb)

hat. Aus (1.2.2) folgt dann fr das elektrische Feld

[E] = g1/2 cm1/2 s1 = statV(olt) cm1=2.99792458 104 V m1 .

Wir haben also stillschweigend das Gausche Einheitensystem (CGS-System)bevorzugt. Die Relationen der verschiedenen Masysteme untereinander sindim Anhang C.1.Fr bewegte Ladungen ist das Coulomb-Gesetz nicht gltig, wie in Versuchenvon Ph. Lenard7 und von J.J. Thomson8 durch die Ablenkung von Katho-denstrahlen in elektromagnetischen Feldern gezeigt wurde. Die Formulierungder Kraft, die auf eine bewegte Ladung wirkt, geht auf Lorentz9 zurck

F= qE +

q

cv B . (1.2.5)7 Philipp Lenard, 1862-19478 Joseph John Thomson, 1856-1940, Nobelpreis 19069 Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928, Nobelpreis 1902.


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1.3 Maxwell-Gleichungen 11

Der 1. Term Fc= q E ist hierbei die Coulomb-Kraft, whrend der 2. TermFl= (q/c)v B, der die Ablenkung bewegter Teilchen in einem Magnetfeldbeschreibt, der Lorentz-Anteilder Lorentz-Kraft10 F ist. Die Lorentz-Kraft(1.2.5) ist so die Summe vonFcundFl. In (1.2.5) istc die Lichtgeschwindig-

keit im Vakuum mitc= 2.997 924 58 1010 cm s1 .

vist die Geschwindigkeit der bewegten Ladung q.

Ruhende Ladungen erzeugen nur ein elektrostatisches FeldE, wie es in (1.2.2)angegeben ist, whrend bewegte Ladungen ein elektrisches Feld E und einMagnetfeld B erzeugen. Beide Felder haben die gleiche Dimension, wie aus(1.2.5) hervorgeht.

Zur Beschreibung elektromagnetischer Vorgnge in Materie fhrt man

Hilfsfelder ein, die dielektrische VerschiebungD und das MagnetfeldH. Wieaus (1.2.5) ablesbar, ist aber B das physikalische Feld, dessen Kraftwirkungauf bewegte Ladungen messbar ist.

Verwendet man frBdie Bezeichnung Magnetfeld, so muss man, um ge-nau zu sein, bei H, (5.2.8), von einem magnetischen Hilfsfeldsprechen, wasaber eher selten gemacht wird. Meist werden daher fr Bdie Bezeichnungenmagnetische Flussdichteodermagnetische Induktiongewhlt. Letztere deutetan, dass nach dem Faradayschen Induktionsgesetz die zeitliche nderung vonBein elektrisches Feld und somit in einer Drahtschleife einen Strom induziert.

1.3 Maxwell-Gleichungen

Die Gleichungen, die das Verhalten geladener Teilchen in elektromagnetischenFeldern bestimmen, die Maxwell-Gleichungen, sind entweder als Differential-gleichungen oder in Form von Integralen, vor allem ber Oberflchen, die Volu-mina und Linien, die Flchen einschlieen, angegeben. Letztere Darstellungeneignen sich meist besser fr die Untersuchungen von Stetigkeitsbedingungenan Grenzflchen.

Zunchst ist es notwendig einige Begriffe zu definieren:

Magnetischer Fluss durch Flche F: B =

F

df B

Elektrischer Fluss durch Flche F: E=

F

df E

Magnetische Ringspannung: ZB =

F

dx B

Elektrische Ringspannung: ZE= F

dx

E .

(1.3.1)

F ist eine geschlossene Kurve, die als Randkurve der Flche F mit deren10 Die Literatur ist hier nicht einheitlich, manchmal wird Fl als Lorentz-Kraft be-zeichnet, manchmal F


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n

F

F

Abb. 1.5. Flche F mit Randkurve F, die im Gegenuhr-zeigersinn durchlaufen wird und mit df= dfn eine Rechts-schraube bildet

Normalenvektorn eine Rechtsschraube bildet, wie in Abb. 1.5 skizziert. DieFelderB bzw.Emssen Wirbel (rot E = 0) haben, damit eine Ringspannung(Zirkulation) auftritt.

Der elektrische (magnetische) Fluss wird auch als elektrische (magneti-sche) Durchflutung bezeichnet, oder als Stromlinien- (Kraftlinien-) Zahl.

EMK (elektromotorische Kraft) ist ein eher selten verwendeter Ausdruckfr die elektrische Ringspannung, wobei Kraft in ihrer lteren Bedeutung frEnergie steht.

Die Maxwellschen-Gleichungen, auf denen die Elektrodynamik beruht, sindErgebnis der Erfahrung mit elektrodynamischen Phnomenen und so etwaden Newtonschen Axiomen der Mechanik gleichzusetzen.

Wir nehmen dabei vorweg, dass wir zwei Gesetze, das Faradaysche Induk-tionsgesetzund das Ampre-Maxwellsche Gesetzin den Vordergrund stellen.Die beiden anderen Gesetze, das Gausche Gesetz und die Divergenzfreiheitdes Magnetfeldes sind Zusatzaxiome, die aus der Annahme folgen, dassEundB Vektorfelder sind mit den elektrischen Ladungen als Quellen und SenkenvonE.

1.3.1 Gausches Gesetz

Der elektrische Fluss E durch die Oberflche V des Volumens V ist4 Ladung in V.Gausches GesetzoderKraftflusssatz"

V

df E(x, t)= 4Q(t) . (1.3.2)

Der Name Kraftflusssatz nimmt Bezug auf die ltere Bezeichnung KraftflussfrE.Qist die gesamte Ladung in V. Wandeln wir das Oberflchenintegralmit dem Gauschen Satz (A.4.3) in ein Volumsintegral um, so erhalten wirdas Gausche Gesetz in der Form

V

d3x

E 4(x, t) = 0 .Diese Gleichung gilt nur fr beliebige Volumina V, wenn der Integrand ver-schwindet

div E(x, t) = 4(x, t) , (1.3.3)

womit wir die differentielle Form des Gauschen Gesetzes (1.3.2) hergeleitethaben.


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Abb. 1.6. Einfach zusammenhngendes VolumenV mit der Oberflche V. df = dfn zeigt immernach auen

1.3.2 Faradaysches Induktionsgesetz

Das Faradaysche Induktionsgesetz, das im weiteren Verlauf des Buches meistnur Induktionsgesetz genannt wird, lautet in der Formulierung von Sommer-feld11

Jede nderung der mit dem Faktor 1

c multiplizierten Zahl der magnetischenKraftlinien, die ein beliebiges FlchenstckFdurchsetzen, ruft in dessen Be-randung Feine ihr gleiche, aber dem Schraubensinn nach entgegengesetzteelektrische Ringspannung hervor.

Gegeben ist eine zeitlich konstante FlcheF, die von der KurveFumrandet

N

B.

B

E Abb. 1.7. Induktionsgesetz (Linksschraubenregel); der Ma-gnet (Nordpol) bewegt sich auf die Schleife zu, daher ist B/tparallel zu B

ist. Der Umlaufsinn des Wegintegrals entlang F ist im mathematisch posi-tiven Sinn, d.h. gegen den Uhrzeiger, wie durch das Integralzeichen in (1.3.4)

angedeutet und in Abb. 1.5 skizziert istF

dx E= 1c

ddt

F

df B . (1.3.4)

Mittels der Definitionen von Ringspannung und Fluss (1.3.1) kann man dasInduktionsgesetz auf die kompakte Form

ZE= 1c

.

B (1.3.5)

bringen.

11 A. Sommerfeld,Elektrodynamik, H. Deutsch Verlag, Frankfurt 2001 (Nachdruck)


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Die elektrische Ringspannung ist die in einem Leiter induzierte elektromo-torische Kraft (EMK), die gleich ist der 1/cfachen Abnahme des magne-tischen Flusses pro Zeiteinheit. (Ringspannung =1c nderung des Flus-ses/Zeiteinheit).

Die Lenzsche Regelgibt die Richtung des Stroms an, der durch die nderungdes durch Fgehenden magnetischen Flusses erzeugt wird. Wie in Abb. 1.7skizziert, ist es die Linksschraubenregel. Stellt die BerandungFder Flche

B

N

F ds

n

E j

Bind

dB

Abb. 1.8. (Ruhende) Leiterschleife der Flche F mit dem Normalenvekor n undder RandkurveF; wird der Permanentmagnet nach links bewegt, so wird das Feldstrker und damit ist n B > 0 und als Folge B > 0. E und j sind dann demUmlaufsinn der RandkurveFentgegen gerichtet.j induziert ein FeldBind, das dB

entgegengesetzt gerichtet ist.

F, wie in Abb. 1.8 skizziert, eine Leiterschleife dar, so bewirkt die in dieserinduzierte Spannung einen Strom, dessen Magnetfeld Bind der FeldnderungdBentgegengesetzt gerichtet ist.

Lenzsche Regel: Das induzierte elektrische Feld ist so gerichtet, dass dasvon diesem induzierte Magnetfeld der verursachenden Flussnderung entge-genwirkt.

Das Induktiongesetz fr bewegte Leiter

Eine Induktionsspannung tritt auch bei einem konstanten MagnetfeldB auf,wenn ein Draht innerhalb dieses bewegt wird, wie es z.B. bei einem Generator(Dynamo) der Fall ist. Wird F(t) bewegt, so ist in (1.3.4) E durch E, dasFeld im Ruhsystem der Schleife zu ersetzen

F(t)

ds

E=

1

c

d

dt

F(t)

df

B . (1.3.6)

In 1. Ordnung in v wird F(t) nicht deformiert, weshalb die Ableitung mitdem Integral vertauscht werden kann. Zur Berechnung von dBdt verwendenwir (A.2.35) fr konstantesa


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(a b) = a ( b) (a ) b .Daraus ergibt sich

dBdt = Bt + (v )B=.

B (v B) , (1.3.7)

da der Term v(B) wegen erst spter zu zeigenden Divergenzfreiheit (1.3.19)vonB verschwindet. (1.3.7) ist die sogenannte konvektive Ableitung. Darausfolgt das Induktionsgesetz, wobei der letzte Term aus der Anwendung desStokesschen Satzes (A.4.13) hervorgeht

F(t)

ds E= 1c

F(t)

df .B +1c

F(t)

dx (v B) . (1.3.8)

Anmerkung: Einen wesentlich anschaulicheren Zugang zum Phnomen der Induktionerhlt man, wenn man einen (geraden) Draht in einem konstanten, homogenen FeldBmit der Geschwindigkeit = v/cbewegt, wie in Abb. 1.9 skizziert. Innerhalb desDrahtes sind die Elektronen frei beweglich, so dass diese sich unter dem Einfluss derLorentz-Kraft Fl zu einem Drahtende hin bewegen. Dadurch entsteht im Draht einelektrostatisches FeldE, das Fl entgegenwirkt

F= q

E+ B

= 0 .

Die in Abb. 1.9 mithilfe vonFlberechneten Spannung kann auch aus dem Indukti-

v

Fl

B

+

Uind

l

Abb. 1.9. Ein Draht (Leiter) wird im homogenen Feld B mit= v/cbewegt. Die Lorentz-KraftFl= q Bcbewegt die negativen Ladungen q < 0 nach unten, so dass dieSpannungUind= l Baufgebaut wird

onsgesetz gewonnen werden. Daraus folgt, dass im Induktionsgesetz ZE = k3 .B/ckein neuer, durch das Experiment zu bestimmender Faktor k3auftritt, sondern die-ser (k3= 1) durch die Lorentz-Kraft vorgegeben ist.

Auf ein mit konstanter Geschwindigkeit = v/c bewegtes Teilchen derLadung qwirkt in Anwesenheit der Felder E und B die Lorentz-Kraft F=q

E + B

.Geht man nun in das Ruhsystem des Teilchens, so ist v= 0,

d.h.F= qE. Somit ist in 1. Ordnung in

E=E + B (1.3.6)=

F(t)

dx E= 1c

F(t)

df.

B .

Nach Anwendung des Stokesschen Satzes (A.4.13) erhlt man


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F

df rot E +1c

.

B

= 0 . (1.3.9)

Hier ist zE=n rot E die Wirbeldichte des elektrischen Feldes. Da das Ver-schwinden obigen Integrals nicht von der Flche abhngt, muss der Integrandverschwinden und man erhlt das Induktionsgesetz in differentieller Form

rot E +1c

.

B= 0 . (1.3.10)

Anmerkung: Wir haben in (1.3.6) eine sich mit vbewegende Stromschleife betrach-tet und nur in v lineare Beitrge bercksichtigt. E geht durch die lineare Galilei-Transformation (siehe (12.0.1)) aus E hervor. Im Rahmen der SRT (Spezielle Re-lativittsTheorie) werden wir sehen, dass die korrekte Transformation, dieLorentz-Transformation, im bewegten System eine Kontraktion der zu v parallelen Lngezur Folge hat, die ein Effekt hherer Ordnung in v ist; (12.5.29) ist die Transforma-tion frE. Die differentiellen Maxwell-Gleichungen, wie (1.3.10), sind forminvariantunter Lorentz-Transformationen.

1.3.3 Ampre-Maxwell-Gesetz

Das Ampre-Maxwell-Gesetz

F ds B=

4

c

F dfj +1

c

d

dt

F df E (1.3.11)beschreibt den Aufbau eines MagnetfeldesB um einen elektrischen Stromlei-ter. Wir knnen (1.3.11) vereinfachen, indem wir die beiden Ausdrcke auf derrechten Seite zusammenfassen. Zur (Leitungs-) Stromdichtejkommt noch dieVerschiebungsstromdichte

.

E/4 hinzu und bildet so die Gesamtstromdichte.Die Verschiebungsstromdichtejd (displacement current) ist proportional derzeitlichen nderung der elektrischen Flussdichte

jtot(x, t) = j(x, t) +jd jd= 14

.

E(x, t) . (1.3.12)

Das Ampre-Maxwell-Gesetz hat so die einfache Form

ZB=4

c Itot mit Itot=

F

dfjtot , (1.3.13)

wobei ZB die Ringspannung (Wirbelstrke) des Magnetfeldes ist.Fr das Ampre-Maxwell-Gesetz kann nach Sommerfeld die FormulierungAmpresches elektromagnetisches Verkettungsgesetz bzw. (elektromagneti-

sches) Durchflutungsgesetz verwendet werden, wenn man zur Stromdichte jauch den Verschiebungsstromjd rechnet:

Die mit dem Faktor4/cmultiplizierte Zahl elektrischer Stromlinien, die einebeliebige FlcheFdurchsetzen, ist begleitet von einer ihr gleichen, auch dem


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Schraubensinn nach gleichen magnetischen Ringspannung in der RandkurveF vonF.

Von grerer Relevanz ist die Umformung des Linienintegrals in ein Flchenin-tegral mit der Wirbeldichtez

B=n

rot Bdurch Anwendung des Stokesschen

Satzes (A.4.13)

F

df rot B 1c

.

E 4c

j

= 0 . (1.3.14)

Da das Integral fr jede Flche gilt, muss der Integrand verschwinden, so dasswir die differentielle Form des Ampre-Maxwell-Gesetzes

rot B

1

c

.

E

4

c

j= 0 (1.3.15)

erhalten. Aus der Bildung der Divergenz folgt divjtot = 0 . Die Stromdichtejtot hat somit keine Quellen, wie man durch Integration ber ein Volumen Vund Anwendung des Gauschen Satzes (A.4.3) sieht.

Anmerkung: Zu (1.3.15) wre hinzuzufgen, dass um 1860 nur das AmprescheDurchflutungsgesetz

rot B=4

c j (1.3.16)

bekannt war. Maxwell bemerkte, dass dieses fr zeitabhngige Phnomene nichtrichtig sein konnte. Bilden wir die Divergenz (div rot B= 0), so ergibt sich

4c

jKontinuitats

Gleichung= 4

c.

Gausches

Gesetz= 1c

.E= 0 .

Maxwell hat 1861 (1.3.16) mit dem Verschiebungsstrom jd = 14.

E ergnzt und somit (1.3.15) eine Gleichung erhalten, die auch fr zeitabhngige Fehler widerspruchs-frei ist.

Erst mit dem Verschiebungsstrom sind elektromagnetische Wellen als Lsungen

der Maxwell-Gleichungen im Vakuum mglich. Es war das Verdienst von Hertz12

um 1887 die Existenz elektromagnetischer Wellen nachzuweisen und damit auch dieAmpre-Maxwell-Gleichung zu verifizieren, die zur Zeit ihrer Aufstellung experimen-tell nicht abgesichert war.

Bereits erwhnt haben wir das dem Ampre-Maxwell-Gesetz vorangehendeAmpresche Gesetzfr stationre Strme, das in integraler Form

F

ds B= 4c

F

dfj (1.3.17)

lautet. Noch etwas frher (1820) hat rsted entdeckt, dass ein elektrischerStrom in einem linearen Leiter ein Magnetfeld erzeugt, wie es in Abb. 1.10dargestellt ist und das mit dem Biot-Savartsches Gesetz, manchmal auch alsrstedsches Gesetzbezeichnet, berechnet werden kann.


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I

B

Abb. 1.10. Im Draht fliet ein Strom I, der das MagnetfeldB erzeugt. Als Ampresche Regel bezeichnet man die Rechts-schraubenregel, wennI nach oben zeigt und B im Gegenuhrzei-gersinn gerichtet ist (Rechtsschraube)

Das Magnetfeld ist kreisfrmig und die magnetische Ringspannung auf einemKreis mit dem Radius Rgegeben durch

ZB= C

dsB= 2RB =

4I

c

, da B= 2I

cR

.

Dieses hier fr einen unendlich langen Leiter (Draht) gltige Gesetz folgtsowohl aus dem Ampreschen Durchflutungsgesetzals auch aus dem Biot-Savartschen Gesetz(1820).

In allgemeinerer Form ersetzt man den Draht durch einen Strom, der sichber die Flche F verteilt.

1.3.4 Divergenzfreiheit der magnetischen Flussdichte

In Analogie zum Gauschen Gesetz fr das elektrische Feld gilt auch fr B,dass div B die Quelldichte des Magnetfeldes angibt. Wegen des Fehlens magne-tischer Ladungen (Monopole) ist die Quelldichte Null und damit verschwindetauch der magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberflche V

"V

df B= 0 (1.3.18)

Dieses (4.) Maxwell-Gesetz ist analog dem Gauschen Gesetz fr das elek-

trische Feld, mit dem bereits erwhnten Unterschied, dass bisher noch keinemagnetischen Ladungen (magnetische Monopole) nachgewiesen werden konn-ten. Daher wird das Magnetfeld als quellenfrei angenommen

B(x, t) = 0 . (1.3.19)

Das Oberflchenintegral (1.3.18) haben wir mit dem Gauschen Satz in einVolumsintegral mit div B als Integrand umgeformt, woraus (1.3.19), die dif-ferentielle Form von (1.3.18) folgt. Damit sind die Maxwell-Gleichungen voll-stndig.

12 Heinrich Hertz, 1857-1894


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1.3.5 Maxwell-Gleichungen in integraler Form

Unter dem Begriff der Maxwell-Gleichungen sind das Gausche Gesetz (1.3.2),das Faradaysche Induktionsgesetz (1.3.4), das Ampre-Maxwell-Gesetz (1.3.12)

und die Divergenzfreiheit des Magnetfeldes (1.3.18) zusammengefasst.Die Maxwell-Gleichungen werden von uns immer in dieser Reihenfolge

angesprochen, ob in integraler oder differentieller Form"

V

df E= 4

V

d3x

F

ds E +1c

ddt

F

df B= 0(1.3.20a-b)

F

ds B= 4c

F

df

j +

14

.

E

"

V

df B= 0 .

(1.3.20c-d)

Fist die Randkurve der Flche F und Vdie Oberflche des Volumens V.

Anmerkungen:Unter gewissen Voraussetzungen ber die Abschaltbarkeit der FelderE und B kann die Divergenzfreiheit des Magnetfeldes aus dem Induktionsgesetzfolgen (siehe Punkt (a)) und das Gausche Gesetz aus dem Ampre-Maxwell-Gesetz(siehe Punkt (b)).

(a) Nimmt man das Induktionsgesetz und bildet um die KurveCeine geschlossene

Oberflche, bei der die zweite Flche im entgegengesetzten Sinn orientiert ist,so verschwindet die elektrische Ringspannung und man erhlt

0 = 1c

ddt

" df B .

Die Integration ergibt"

df B(t) = const ="

df B(t0) .

Die Annahme, dass B(t0) = 0 fhrt zu const = 0 und damit zu div B= 0.

(b) Beim Ampreschen Gesetz fr eine geschlossene Oberflche muss die Kurve Cebenfalls zustzlich im entgegengesetzten Richtungssinn durchlaufen werden.Die magnetische Ringspannung kompensiert sich auf den beiden Durchlufenund es bleibt

0 = 4"

dfj + ddt

" df E .

Daraus folgt nach dem Gauschen Satz

0 = 4

Vd3x j + ddt

" df E .

Im 1. Term auf der rechten Seite setzen wir die Kontinuittsgleichung ein. Manerhlt so


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0 = 4ddt

V

d3x (x, t) + ddt

" df E .

Die Integration ergibt

const = 4

d3

x +"

df E .Das ist das Gausche Gesetz, wenn const=0 angenommen wird, was analog zumvorhergehenden Beispiel durchgefhrt werden kann.

1.3.6 Die Maxwell-Gleichungen in differentieller Form

Wir haben bereits bei den Maxwell-Gleichungen in integraler Form auf diedifferentielle Form hingewiesen, indem wir beim Gauschen Gesetz und beider Divergenzfreiheit der magnetischen Flussdichte festgestellt haben, dassbeim Verschwinden des Integrals ber ein beliebiges Volumen Vder Integrandverschwinden muss (siehe (1.3.3) und (1.3.19)). Das Faradaysche Induktions-Gesetz und das Ampre-Maxwell-Gesetz haben wir als Integrale ber beliebigeFlchen dargestellt, deren Integranden dann ebenfalls verschwinden mussten(siehe (1.3.10) und (1.3.15))

(a) E= 4 (b) E +1c

.

B= 0

(c)

B

1

c

.

E=4

c j (d)

B= 0 .

(1.3.21a-d)

Die beiden inhomogenen Maxwell-Gleichungen sind auf der linken Seite, diebeiden homogenen auf der rechten Seite.

Diese Gleichungen bedrfen noch einer Modifizierung, wenn sie in Materieangewandt werden, in der die elektrische und/oder die magnetische Suszepti-bilitt eine Rolle spielen.

Wir werden uns dabei nicht nur auf Punktteilchen beschrnken, sondernauch kontinuierlich verteilte Dichten untersuchen. Wir wissen schon, dass sichdurch Mittelung ber ein Auflsungsvolumen V aus den mikroskopischen

Dichten kontinuierliche Dichteverteilungen ergeben. Wir werden spter sehen,dass man aus den mikroskopischen Maxwell-Gleichungen, die undjals Quel-len enthalten, durch Mittelung hnlich strukturierte Maxwell-Gleichungen frberVgemittelte FelderE undB erhlt, die und jals Quellen enthalten.

Wir haben hier der Reihe nach das Gausche Gesetz (Kraftflusssatz), das (Fa-radaysche) Induktionsgesetz, das Ampre-Maxwell-Gesetz ((elektromagnetisches)Durchflutungsgesetz) und die Divergenz- (Quellen-) Freiheit der magnetischen Fluss-dichte kennengelernt, die zusammen die Maxwellschen Gesetze bilden. Nun wirddiese Reihenfolge der Gesetze zwar innerhalb des Buches eingehalten, doch ist in

der Literatur keine einheitliche Reihung gegeben, so dass die Bezeichnung des In-duktionsgesetzes als 2. Maxwell-Gesetz nur begrenzt sinnvoll ist. Wir werden unsdeshalb vor allem an die Namen der Gesetze halten, obwohl diese in erster Linieauf die integrale Form hinweisen, von uns aber berwiegend in differentieller Formangesprochen werden.


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1.3.7 Superpositionsprinzip

Anfangs haben wir festgestellt, dass zur Berechnung der Gesamtladungen diePunktladungen qi addiert werden wie reelle Zahlen. Aus der Coulombkraft

(1.2.1) folgt sofort, dass sich dann auch die Felder einzelner Ladungen zueinem gesamten Feld aufaddieren

E(x) =

i

E(i)(x) =

i

qix xi

|x xi|3 = (x) .

Das gilt auch fr die Potentiale (1.2.3)

(x) =

i(i)(x) =

iqi

|x

xi

|und die Ladungsverteilungen

E=

i

(i) = 4

i

qi(3)(x xi) = 4(x) .

Was hier fr Punktladungen gezeigt wurde, gilt natrlich auch fr kontinuier-liche Ladungsverteilungen(i)(x) und fr Stromdichten (1.1.1). Das geht ausder Kontinuittsgleichung (1.1.3) hervor.

Aufgrund der Linearitt der Maxwell-Gleichungen gilt das Superpositions-prinzip auch fr das MagnetfeldB, das spter einzufhrende VektorpotentialAmitB= A, etc.

1.3.8 Anmerkungen zu den Einheiten

Die Wirkung von E und B auf eine Ladung wird durch die Lorentz-Kraftmessbar.

Fc= qE E= k1q x

x

|x x|3 (1.3.22)Fl= k3q

vc B .

k1 und k3 sind dimensionsbehaftete Konstanten mit denen die Verbindungder elektromagnetischen Gren zu mechanischen Gren hergeleitet wird.Wir haben stillschweigend k1 = 1 gesetzt und so die Dimension der Ladungfestgelegt und damit auch die des Stroms, die wir aus der Kontinuittsglei-chung.q= I, erhalten. Mit k3= 1 ist auch die Dimension des Magnetfeldesbestimmt. Damit sind im Gauschen System die elektromagnetischen Grenin Beziehung zu mechanischen Einheiten (cgs-System) gebracht.

Im SI-System wird eine elektromagnetische Einheit (Ampre) eingefhrt, die denStrom durch die Kraft bestimmt, die 2 stromfhrende Drhte aufeinander ausben(MKSA-System). Nimmt man k1 = 1/40 und k3 = c, so ist Bsi festgelegt, wenn


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00 = 1/c2 mit0= 4107 N/A2. Eine genauere Analyse der Masysteme wrehier zu frh. Sie ist im Anhang C.1 zu finden.

Es wird als bekannt vorausgesetzt, dass fr alle messtechnischen Angele-

genheiten das SI-System zustndig ist. Trotzdem finden in der Physik, je nachFachgebiet, andere Einheiten Anwendung. Als Beispiel seien die natrlichenEinheiten erwhnt, in denen das Plancksche Wirkungsquantum und die Licht-geschwindigkeit den Wert 1 haben (=c=1). Die Formeln der relativistischenQuantenmechanik sind in diesen Einheiten besonders einfach. Von der Atom-bis zur Hochenergiephysik wird auch das Elektronenvolt (eV) als Ma fr dieEnergie verwendet; diese Liste lsst sich fortsetzen.

Fr den Physiker ist eine Kenntnis sowohl des SI- als auch des Gau-Systems sinnvoll, weshalb diese im Anhang C.1 dargelegt sind.

Grnde zur Beibehaltung des Gauschen Masystems

Wie aus dem Vorangegangenen hervorgeht, wird hier das Gausche Systemverwendet und es gibt Grnde dieses beizubehalten.

Im SI-System (siehe Tabelle C.3) hat man fr das elektrische Feld E(V m1), die dielektrische VerschiebungD(As m2), die magnetische Fluss-sdichteB(V s m2 = Wb m2) und das MagnetfeldH (A m1) verschiedeneBezeichnungen, die vier unabhngige Felder andeuten knnten.

Nach unserer Auffassung hat die Elektrodynamik, die eine (lokale) Feld-theorie ist, nur die Felder E und B. Die Felder D und H sind Hilfsfelder(siehe 5.2.17), die dadurch entstehen, dass man in Materie die von den ge-bundenen Ladungen herrhrende Polarisation und die von den gebundenenStrmen herrhrende Magnetisierung zu den FeldernE undBaddiert.

Aus der Definition der Lorentz-Kraft (1.2.5) ist unmittelbar ersichtlich,dass E und B die gleiche Dimension haben. Die Dielektrizittskonstante und die Permeabilitt sind Zahlen, so dass auch D= E und H = 1Bdie gleiche Dimension haben.

Die enge Verbindung der Felder E und B kommt besser im GauschenSystem zum Ausdruck, was insbesondere in der speziellen Relativittstheorie(SRT) von Vorteil ist. Die Lorentz-Transformation (LT) zeigt, dass E undBvoneinander abhngen: Ein ruhendes Elektron hat nur das Feld E; in einemgegen das Elektron gleichfrmig bewegten System (Boost) wird nicht nur Etransformiert, sondern es kommt noch das FeldBhinzu, wobei die Geschwin-digkeit mit =v/c 1 parametrisiert ist13. Das wird im SI-Masystem nurholprig dargestellt, weshalb in der SRT, das heit, in der kovarianten Formu-lierung der Elektrodynamik das SI-System weniger oft verwendet wird.

13 In Bezug auf die SRT wre es logisch eine reduzierte Stromdichte mit v/c zudefinieren: jr = j/c= v/c. Ladung und Strom htten die gleiche Dimension undbilden so einen Vierervektor. ctritt dann in den Maxwell-Gleichungen nur mit denZeitableitungen auf.


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Auch in Mechanik und Quantenmechanik wird die Bewegung von Teil-chen im elektromagnetischen Feld (Hamilton-Funktion bzw. Schrdinger-Gleichung) noch mehrheitlich auf der Basis des Gau-Systems dargestellt.

Wir meinen so, dass die Beibehaltung des Gauschen Systems in der

Elektrodynamik zu einer homogeneren Darstellung mit anderen Bereichender Physik beitrgt, was insbesondere fr die Lehrbcher (Quantenmecha-nik,Quantenmechanik fr FortgeschritteneundStatistische MechanikvonF.Schwabl) gilt.

Anmerkung: Es fllt schwer die im SI-System verwendeten Feldkonstanten 0 und0 (siehe (C.2.3)) als Naturkonstanten zu bezeichnen, da ihre Definitionen eng mitden SI-Einheiten verknpft sind. Das Gau-System orientiert sich alleine an derNaturkonstante c.

Die Elektrodynamik und ihr Umfeld

Wir versuchen die Bereiche, in die Elektrodynamik eingreift und die uns imLaufe der folgenden Kapitel begegnen werden, in einem Schema, dem Fluss-diagramm 1.1, zu ordnen. Wenn wir hier, am Ende des 1. Kapitels, mit einerEinteilung der klassischen Elektrodynamik beginnen, so knnen wir dies aufder Basis der Kenntnis der Maxwell-Gleichungen tun, zu der die Kontinui-ttsgleichung und die Lorentz-Kraft hinzugekommen sind. Bringt man einAtom (Molekl) in ein starkes elektrisches Feld, so kann sich die Elektronen-hlle gegen den Kern verschieben. Das Atom wird polarisiert, ohne dass dieElektronen ihre Bindung an den Atomkern verlieren; diese an das Atom ge-bundenen Elektronen sind anders zu behandeln als in Materie frei beweglicheElektronen. Die Aufspaltung von Ladungen und Strmen in gebundene undfreie Anteile hat in Materie eine Aufteilung der Felder zur Folge und damiteine Umstrukturierung der Maxwell-Gleichungen (Abschnitte 5.1 und 5.2).

Ein weiterer Faktor zur Einteilung und Lsung der Maxwell-Gleichungenist die Zeitskala, auf der die Prozesse ablaufen und die im Diagramm in Formvon 3 Spalten hinunter bis zur strichlierten Linie dargestellt sind.

1. Zeitunabhngige Vorgnge: Die Maxwell-Gleichungen entkoppeln in elek-trostatische (Kap. 2,3,6) und magnetostatische (Kap. 4,7) Anteile.

2. In zeitlich langsam vernderlichen Vorgngen wird der Verschiebungsstromjd vernachlssigt und es ist jf=0. Der Strom ist dann innerhalb desSystems quellenfrei und es gibt keine Abstrahlung. Verwendet wird dasin elektrischen Netzwerken, in der Magnetohydrodynamik (Kap. 9), frdie London-Gleichungen (Abschnitt 5.5.3) oder den Skin-Effekt (Abschnitt10.4.1). In allen diesen Systemen spielt auch das (phnomenologische)Ohmsche Gesetz (Abschnitt 5.3) eine wichtige Rolle. Zur Magnetohydro-dynamik kommt von auen die Hydrodynamik mit den Navier-Stokes-Gleichungen und der Kontinuittsgleichung fr die Dichte der Flssigkeithinzu. Die London-Gleichungen, die Teilaspekte der Supraleitung, wie den


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Flussdiagramm 1.1.Anwendungsbereiche der Elektrodynamik

Maxwell-Gleichungen im Vakuum

div E= 4 rot E +1c.

B= 0rot B 1

c.E=4c j div B= 0

Kontinuitts-Gl..

+j= 0

Lorentz-KraftF= e

E + B

= f+ p j= jf+jb

MaterialgleichungenD= E B= H

Maxwell-Gleichungen in Materie

div D= 4f rot E +1

c

.

B= 0

rot H 1c.

D= 4c jf div B= 0 Ohmsches Gesetzjf= E

Elektro-/Magnetostat..

E = 0 .

B = 0

Elektrostatikdiv D = 4f rot E= 0

Magnetostatikdiv B= 0 rot H= 4j/c

Quasistat. Strmejd=

.

D/4= 0

Elektr. NetzwerkeSchwingkreise

Skin-Effekt

Magnetohydrodynamik

London-Gleichungen

elektromagn. Wellen.

E = 0 .B = 0Optik

f= 0 jf= 0

dyn. Theorie:period.f= 0 jf= 0

Abstrahlung = 0, j = 0

Wellen in Leiternjf=E

Hydrodynamik

klass. Mechanik

Elektron im elm. Feld

Relativittstheorie

Meissner-Effekt, das Nicht-Eindringen des Magnetfeldes in den Supralei-ter, klassisch erklren, verwenden fr die Dynamik der Elektronen Bewe-gungsgleichungen der Mechanik, die der Trgheit der Leitungselektronen

Rechnung tragen.3. Zu den zeitlich schnell vernderlichen Vorgngen zhlen die Abstrahlung

schnell bewegter Ladungen (Kap. 8), die Optik (Kap. 10) und die dyna-mische Theorie (Kap. 11). Viele Anwendungen der Optik und der dyna-


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Aufgaben zu Kapitel 1 25

mischen Theorie, wie die Berechnung von Strahlwegen (Brechungsgesetze),Intensitten etc. knnen jedoch zeitunabhngig durchgefhrt werden.

Auerhalb dieses Schemas steht die Bewegung des Elektrons im ueren elek-

tromagnetischen Feld, da hiezu nur die Lorentz-Kraft in die Euler-Lagrange-Gleichung der klassischen Mechanik eingebracht wird (Abschnitt 5.5).Einen greren Raum beansprucht die spezielle Relativittstheorie (SRT),

wo gezeigt wird, dass die Maxwell-Gleichungen kovariant unter der Lorentz-Transformation (Kap. 12) sind, nicht aber die Gesetze der klassischen Me-chanik, so dass letztere umgeformt werden mssen, damit sie der Lorentz-Kovarianz gengen (Kap. 13).

Nicht angesprochen werden die Quantentheorie, obwohl diese in sehr vielenBereichen entscheidenden Anteil htte, und die Quantenelektrodynamik.

Aufgaben zu Kapitel 1

1.1.Coulomb-Kraft: Wie gro ist die Kraft mit der sich Proton und Elektron imAbstandr0= ab 0.593 anziehen?1.2.Quellen und Wirbel eines Vektorfeldes: Gegeben ist das Vektorfeld

v= ez x|ez x|2 .

Berechnen Sie die Quellen und Wirbel von v, d.h. insbesondere div vund rot v.Zusatzfrage: Welche physikalische Anordnung liegt v zugrunde, wenn Sie fr= 2I/ceinsetzen? - siehe Abschnitt 4.1.4.

1.3.Konservatives Vektorfeld: SeiE= f(r) x. Berechnen Sie div E, rot Eund gebenSie die Resultate fr E = x/r3 an. Zeigen Sie insbesondere, dass rot E= 0 auch frr= 0 gilt, selbst wenn Edort singulr ist.

1.4.Polarisationspotential: Es sei Z = /r, wobei ein konstanter Vektor seinsoll . Berechnen SieA = rot Z, B= rot A, C= grad div Zund B C.

1.5.Zeitliche nderung des Flusses durch eine FlcheF(t):ddt

= ddt

F

df a

gibt den Fluss des Vektorfeldes a durch die Flche F(t) an, den wir fr (1.3.6)mithilfe der konvektiven Ableitung berechnet haben. Mit der folgenden direkterenMethode erhlt man die Relation

ddt

=

F(t)

df at

+

F(t)

df v ( a)

F(t)

dx (v a) , (1.3.23)

deren Gltigkeit Sie zeigen sollen.

Hinweis: Bilden Sie lim0

((t +t) (t))/t und orientieren Sie sich an Abb. 1.11,die zeigt, dass die Flchenintegrale zu einem Oberflchenintegral ergnzt werdenknnen.


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vdt

dfm

F(t + dt)F(t)

Abb. 1.11.dfm= dx vt ist der Vektor des Flchenele-

mentes auf der Mantelflche Fm. MitVbezeichnet man dasvonF(t),F(t+t) und der Mantelflche Fm eingeschlosseneVolumen dessen Oberflche gegeben ist dur

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