Ermittlung der Grenztragfähigkeit von Mehrschraubenverbindungen bei Normalkraft-Biegemoment-Interaktion

573© Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin · Stahlbau 73 (2004), Heft 8

Dieser Aufsatz beschreibt eine zur Anwendung in Computerpro-grammen geeignete, allgemeine Methode zur Bemessung vonEin- und Mehrschraubenverbindungen von Stäben mit beliebigendünnwandigen Querschnitten. Diese Methode basiert auf demklassischen Verfahren der Dehnungsiteration zur Ermittlung derSpannungsverteilung in Querschnitten. Die Grenztragfähigkeitder Schraubenverbindung wird hierbei auf der Grundlage eineriterativen numerischen Bestimmung der elastisch-plastischenSpannungsverteilung in den Anschlußelementen ermittelt. DieBerechnungsmethode wird in zwei Schritten entwickelt – zuerstwird die numerische Bestimmung der Spannungsverteilung füreine gegebene Schnittgrößenkombinationen gezeigt und danachwird die Bestimmung der Grenztragfähigkeit der Schraubenver-bindung dargestellt. Weiterhin wird ein analytisches Verfahrenzur Bemessung von Mehrschrauben-Rundrohrverbindungen her-geleitet. Schließlich werden die Ergebnisse der numerischen undanalytischen Berechnungen mit entsprechenden Versuchsergeb-nissen verglichen.

Determination of the ultimate bearing capacity of multi-boltconnections with normal force – bending moment – interaction.This paper will present a general design method for single ormulti-bolt connections of beams with arbitrary thin-walled crosssections, suitable for application in computer programs. Thedesign method is based on the classical strain iteration algorithmfor the determination of the stress distribution in cross sections.In this case, the ultimate capacity of bolted connections will beobtained using an iterative numerical determination of theelastic-plastic stress distribution in the connection elements. The numerical method will be derived in two steps – the first stepis the numerical determination of the stress distribution in theconnection for a given combination of internal forces and thenext step is the determination of the ultimate bearing capacity ofthe connection. Furthermore, an analytical design method for amulti-bolt tube connection will be derived. Finally, results ofnumerical and analytical calculations will be compared withcorresponding test results.

1 Einführung

Eines der grundlegenden Probleme bei der Bemessungvon Raumtragwerken ist die Ermittlung der Grenztrag-fähigkeit von Schraubenverbindungen. Insbesondere dieStabanschlüsse in einlagigen Tragstrukturen sind vielfachgleichzeitig durch Normalkräfte und Biegemomente be-ansprucht und müssen daher häufig als Mehrschrauben-

verbindung ausgeführt werden, um die Biegetragfähigkeitder Anschlüsse zu gewährleisten. Die Bemessung von Ein-schraubenverbindungen in Raumtragwerken ist hinrei-chend in [2], [3], [4] und [5] beschrieben, ein allgemeinesVerfahren zur Bemessung von Mehrschraubenverbindun-gen ist derzeit hingegen nicht verfügbar.

2 Grundlagen und Annahmen

Für die Herleitung sowohl des numerischen als auch des ana-lytischen Verfahrens sollen zunächst einige einschränkendeAnnahmen gemacht werden. Es wird der Anschluß einesprismatischen Stabs mit der Stablängsachse x und den Stab-querschnittsachsen y und z betrachtet. Die Querschnittsach-sen müssen keine Hauptachsen sein. Der Stabquerschnitt amAnschluß (Anschlußprofil) muß dünnwandig sein und kanneine offene oder geschlossene Kontur aufweisen. Das An-schlußprofil wird durch die Mittellinien der dünnwandigenTeilquerschnitte repräsentiert, welche einen Linienzug ausgeraden oder kurvenförmigen Abschnitten bilden. In derKontaktzone des Anschlußprofils werden ausschließlichDrucknormalspannungen übertragen. Die Schrauben wer-den durch den Mittelpunkt des Schraubenquerschnitts ver-körpert und übertragen ausschließlich Zugnormalkräfte.

Von den im Anschluß auftretenden Schnittkräftenwerden lediglich die Normalkraft und die Biegemomenteberücksichtigt, Querkräfte und Torsionsmomente werdenhier vernachlässigt. Sollten Querkräfte und Torsionsmo-mente bemessungsrelevant werden, muß ein gesonderterNachweis der Interaktion von Zug- und Schubspannun-gen für die Schrauben erfolgen oder die Übertragung die-ser Schnittkräfte wird durch geeignete konstruktive Maß-nahmen, z. B. durch zusätzliche formschlüssige Verbin-dungselemente, sichergestellt.

Es wird ferner vorausgesetzt, daß für das Anschluß-profil einschließlich der Schrauben die Bernoulli-Hypo-these vom Ebenbleiben der Querschnitte uneingeschränktbis zum Erreichen der Grenztragfähigkeit der Verbindunggilt. Diese Annahme ist konstruktiv, z. B. durch Kopfplat-ten mit hinreichender Dicke, sicherzustellen.

Damit ergibt sich eine lineare Dehnungsverteilungfür einen beliebigen Punkt (y, z) des Anschlußprofils ein-schließlich der Schrauben (Bezeichnungen sind unterAbschn. 7 erklärt):

(1)e k k e( , ) –y z y zz y o= ◊ ◊ +

Ermittlung der Grenztragfähigkeit vonMehrschraubenverbindungen beiNormalkraft-Biegemoment-InteraktionHerrn Dr.-Ing. Herbert Klimke zur Vollendung seines 65. Lebensjahres gewidmet

Sören StephanChristian Stutzki

Fachthemen

Die Druckspannung im Anschlußprofil (mit negativemVorzeichen) wird wie folgt bestimmt:

(2)

Die Zugspannung in den Schrauben (mit positivem Vor-zeichen) wird analog dazu ermittelt:

(3)

Die Normalkraft und die Biegemomente in der Schrau-benverbindung ergeben sich durch Integration der Span-nungsverteilung im Anschlußprofil und in den Schrauben:

(4a)

(4b)

(4c)

Jede beliebige Kombination der Dehnungsparameter ky, kzund eo korrespondiert mit einer bestimmten Schnittkraft-kombination N, My und Mz. Dieser grundlegende Zusam-menhang ist die Basis für die nachfolgenden Ausführungen.

3 Numerisches Berechnungsverfahren

Das numerische Berechnungsverfahren basiert auf demz. B. in [7] und [10] beschriebenen Algorithmus der Deh-

Mz A y z y y z y dAb b v v vA

vv

= ◊ ◊ + ◊ÚÂ s s( , ) ( , )

My A y z z y z z dAb b v v vA

vv

= ◊ ◊ ◊ÚÂ– ( , ) – ( , )s s

N A y z y z dAbv b v vA

v

= ◊ + ÚÂ s s( , ) ( , )

s

s e s

e e e s

eb

b b

by z

E y z

E y z E y z E y z

E y z

( , )

; ( , )

( , ); ( , ) ( , )

; ( , )

lim lim

lim=

◊ >

◊ ◊ >[ ] Ÿ ◊ £[ ]◊ £

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

0

0 0

ss e s

e e s e

e

( , )

; ( , )

( , ); ( , ) ( , )

; ( , )

lim lim

limy z

E y z

E y z E y z E y z

E y z

=◊ £

◊ ◊ >[ ] Ÿ ◊ £[ ]◊ >

Ï

ÌÔ

ÓÔ

0

0 0

574

S. Stephan/Ch. Stutzki · Ermittlung der Grenztragfähigkeit von Mehrschraubenverbindungen

Stahlbau 73 (2004), Heft 8

nungsiteration zur Ermittlung der Spannungsverteilung inQuerschnitten. Vorweg müssen jedoch einige zusätzlicheAnnahmen gemacht werden. Das Anschlußprofil wirddurch einen Linienzug ausschließlich aus geraden Ab-schnitten (Polygonzug) modelliert. Kurvenförmige Quer-schnittsbereiche sind durch einen adäquaten Polygonzuganzunähern. Jeder Teilquerschnitt (Index J) ist durch zweiEndpunkte (Indizes i, k) und durch die über die Teilquer-schnittslänge LJ konstante Wanddicke tJ hinreichend defi-niert (Bild 1). Jede Schraube ist durch einen Punkt (Indexv) und den Nenndurchmesser dv sowie die zugehörigeSpannungsquerschnittsfläche Abv

bestimmt.

3.1 Iterative Bestimmung der Spannungsverteilung in derSchraubenverbindung

Zunächst soll das in Bild 2 als Flußdiagramm dargestellteVerfahren entwickelt werden, mit dem für eine gegebeneSchnittgrößenkombination Norig, Myorig, Mzorig

die Span-nungsverteilung im Anschlußquerschnitt und in denSchrauben bestimmt werden kann. Hierbei werden die ge-gebenen Schnittgrößen Norig, Myorig, Mzorig als Anfangs-werte der Iterationsparameter n�it�, my

�it�, mz�it� (Iterations-

index it) benutzt:

(5)

Damit werden die zur Bestimmung der in Bild 3 gezeigtenDehnungsverteilung e(y, z) �it� benötigten Dehnungspara-meter ky

�it�, kz�it�, eo

�it� des ebenen Anschlußquerschnitts er-mittelt:

(6)

(7)

Oberflächenkontakt gibt es nur im Bereich negativer Deh-nung (e < 0). Diese Kontaktzone ist durch die Dehnungs-Nullinie (e = 0) begrenzt. Druckspannungen entstehennur in Teilquerschnitten innerhalb der Kontaktzone. So-mit müssen nur diese Teilquerschnitte für die Integrierungder Teilschnittgrößen aus Druckspannungen berücksich-tigt werden. In den Schrauben hingegen enstehen Zug-spannungen nur in dem außerhalb der Kontaktzone lie-genden Bereich positiver Dehnung (e > 0), in dem Bereichdie Anschlußfuge klafft.

3.1.1 Ermittlung der dehnungsinduzierten Druckspannungenim Anschlußprofil

Für jeden Teilquerschnitt J werden zunächst die Dehnun-gen in den Endpunkten bestimmt:

(8)

Falls die Dehnungen in den Endpunkten unterschiedlicheVorzeichen aufweisen, muß der Abstand des Dehnungs-Nullpunkts vom Endpunkt i berechnet werden (Bild 4):

e e e ei i J i Jit

k k J k Jity z y z= =· Ò · Ò( , ) , ( , ), , , ,

e k k e( , ) –y z y zitz

ity

ito

it· Ò · Ò · Ò · Ò= ◊ ◊ +

k k ezit z

it

zy

it yit

yo

it itmE J

m

E Jn

E A· Ò

· Ò· Ò

· Ò· Ò · Ò

=◊

=◊

=◊

, ,

it n N m M m Mitorig y

ity z

itzorig orig

= = = =· Ò · Ò · Ò0, , ,

Bild 1. Schematischer Anschlußquerschnitt einerMehrschraubenverbindungFig. 1. General scheme of a multi-bolt connection

575



(9a)

Falls in einem Endpunkt die elastische Grenzdehnungslim/E überschritten wird, muß zusätzlich der Abstand desGrenzdehnungspunkts vom Endpunkt i errechnet werden(Bild 4):

(9b)uE

L u LJ J

i

i kJ Jlim

limlim

– /–

,= ◊ Œ º[ ]e se e

0

u L u LJ J

i

i kJ J0 0 0= ◊ Œ º[ ]e

e e–, Die Koordinaten des Dehnungs-Nullpunkts und des

Grenzdehnungspunkts sind dann wie folgt bestimmbar(Bild 4):

(10a)

(10b)

Teilquerschnitte müssen an diesen markanten Punkten(Dehnungs-Nullpunkt oder Grenzdehnungspunkt) unter-teilt werden, da die Integration der Spannungsverteilungstetige Funktionen voraussetzt. Für den Iterationsschritt�it� erfolgt die weitere Berechnung nur noch mit den der-art korrigierten Teilquerschnitten, die mit dem Index j ge-kennzeichnet sind. Die dehnungsinduzierte Druckspan-nung si,j im Endpunkt i des Teilquerschnitts j ist wie folgterrechenbar:

(11)

Die Druckspannung sk,j im Endpunkt k errechnet sichanalog. Die aus der dehnungsinduzierten Druckspannungresultierende Normalkraft des Teilquerschnitts (Bild 5) er-gibt sich als Produkt der Spannungstrapezfläche und derWanddicke tj. Die aus der Druckspannung resultierenden

s

s e s

e e s e

ei j

i j

i j i j i j

i j

E

E E E

E

,

lim , lim

, , lim ,

,

;

;

;

=

◊ £

◊ ◊ >( ) Ÿ ◊ £( )◊ >

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

0

0 0

y yu

Ly y

z zu

Lz z

J

J

J

J

i JJ

k J i J

i JJ

k J i J

lim ,lim

, ,

lim ,lim

, ,

– ,

–

= + ◊ ( )

= + ◊ ( )

y yu

Ly y z z

u

Lz z

J

J

J

J

i JJ

k J i J i JJ

k J i J00

00

= + ◊ = + ◊ ( ), , . , , ,( – ), –

Iterationsparameter: it = 0, n�it� = Norig, my�it� = Myorig, mz

�it� = Mzorig

mz�it� my

�it� n�it�Dehnungsparameter: kz

�it� = –––––– , ky�it� = –––––, eo

�it� = –––––E · Jz E · Jy E · A

∑ Ermittlung der Druckspannungen im Anschlußprofil gemäß 3.1.1∑ Ermittlung der Zugspannungen in den Schrauben gemäß 3.1.2∑ Integration der Schnittkräfte: N�it�, My

�it�, Mz�it� gemäß 3.1.3

∑ Ermittlung der Abweichungen DN�it�, DMy�it�, DMz

�it� gemäß 3.1.4

it = it +1 Alle Abweichungen ª 0? Spannungsverteilungermittelt

Iterationsparameter: n�it+1� = n�it� + DN�it�, my�it+1� = my

�it� + DMy�it�, mz

�it+1� = mz�it� + DMz

�it�

Bild 2. Iterative Bestimmung der Spannungsverteilung in der Schraubenverbindung für eine gegebene SchnittkraftkombinationFig. 2. Iterative determination of stress distribution in the bolted connection for a given combination of internal forces

+

e–

Bild 3. Dehnungsverteilung im AnschlußquerschnittFig. 3. Strain distribution in the connection

Biegemomente des Teilquerschnitts sind das Produkt ausder Normalkraft und der jeweiligen Koordinate des Span-nungstrapezschwerpunkts:

(12a)

(12b)

(12c)

M N y y yz sub i ji j k j

i j k jk j i jsubj j

= ◊ ++ ◊

◊ +( ) ◊ ( )È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙,

, ,

, ,, ,–

s s

s s

2

3

M N z z zy sub i ji j k j

i j k jk j i jsubj j

= ◊ ++ ◊

◊ +( ) ◊ ( )È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙,

, ,

, ,, ,–

s s

s s

2

3

N t Lsub i j k j j jj= ◊ +( ) ◊ ◊1

2s s, ,

576



3.1.2 Ermittlung der dehnungsinduzierten Zugspannungen inden Schrauben

Die Dehnung und die dehnungsinduzierte Zugspannungeiner Schraube (Index v) mit dem Nenndurchmesser dvund der Spannungsquerschnittsfläche Abv im Punkt (yv,zv) außerhalb der Kontaktzone des Anschlußprofils sindwie folgt bestimmbar (Bild 6):

(13)

(14)

3.1.3 Ermittlung der dehnungsinduzierten Schnittkräfte

Die aus den Dehnungsparametern (6) der aktuellen Itera-tion �it� resultierenden Schnittgrößen können nunmehreinfach ermittelt werden:

(15a)

(15b)

(15c)

3.1.4 Konvergenzprüfung

Die Konvergenzprüfung erfolgt anhand der Abweichungder dehnungsinduzierten Schnittgrößen N�it�, My

�it�, Mz�it�

von den gegebenen Schnittgrößen Norig, Myorig, Mzorig:

M A y Mzit

b b v zjv

v v subj

· Ò = ◊ ◊ + ÂÂ s

M A z Myit

b b v yjv

v v subj

· Ò = ◊ ◊ ÂÂ– –s

N A Nitb b sub

jvv v j

· Ò = ◊ + ÂÂ s

s

s e s

e e e s

eb

b v b

v v v b

v

v

E

E E E

E

=

◊ >

◊ ◊ >( ) Ÿ ◊ £( )◊ £

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

lim lim

lim

;

;

;

0

0 0

e ev v vit

y z= ( )· Ò,

Z0J

ZlimJ

sslim

u0J

ulimJ

y0JylimJ

Bild 4. Dehnungsinduzierte Spannungsverteilung in einemTeilquerschnittFig. 4. Strain induced stress distribution for a line element

Nsubj

tj

Lj

ssii

sskj

–

Bild 5. Dehnungsinduzierte Spannungsverteilung in einemkorrigierten TeilquerschnittFig. 5. Strain induced stress distribution for a sub-element

Nbv

Abv

+

Bild 6. Dehnungsinduzierte Schnittkräfte einer SchraubeFig. 6. Strain induced internal forces and moments of a bolt

577



(16a)

(16b)

(16c)

Konvergenz ist gegeben, wenn alle Abweichungen betrags-mäßig kleiner als eine vorgegebene Schranke geringerGröße sind:

(17)

Wenn das Konvergenzkriterium (17) nicht erfüllt ist, mußein neuer Iterationsschritt mit den neu berechneten Itera-tionsparametern ausgeführt werden:

(18)

Die Berechnungen gemäß Gleichungen (6) bis (16) undnachfolgend (18) sind nun solange zu wiederholen, bis dasKonvergenzkriterium (17) erfüllt ist. Nunmehr ist diedurch die gegebene Schnittgrößenkombination Norig, Myorig,Mzorig in der Schraubenverbindung hervorgerufene Span-nungs- und Dehnungsverteilung bestimmt.

it it n n N

m m M

m m M

it it it

yit

yit

yit

zit

zit

zit

= + = +

= +

= +

· Ò · Ò · Ò

· Ò · Ò · Ò

· Ò · Ò · Ò

1 1 1

1 1

1 1

, ,

,

– –

– –

– –

D

D

D

D D DN M Mity

itz

it· Ò · Ò · Ò@( ) Ÿ @( ) Ÿ @( )0 0 0

DM M Mzit

z zit

orig

· Ò · Ò= –

DM M Myit

y yit

orig

· Ò · Ò= –

DN N Nitorig

it· Ò · Ò= – 3.2 Iterative Bestimmung der Grenztragfähigkeit der Schraubenverbindung

Mit dem zuvor beschriebenen Verfahren zur Ermittlungder Spannungsverteilung innerhalb der Schraubenverbin-dung für eine gegebene Schnittgrößenkombination ist dieBestimmung der Grenztragfähigkeit der Verbindung relativeinfach durchführbar.

Wenn für zwei der drei betrachteten Schnittgrößen N,My, Mz sinnvolle Werte vorgegeben werden, kann derGrenzwert der jeweils dritten Schnittgröße ermittelt wer-den, indem dieser Wert von Null beginnend in konstantenSchritten erhöht wird, bis das in Abschn. 3.1 beschriebeneIterationsverfahren zur Spannungsermittlung nicht mehrkonvergiert. Bei Ausbleiben der Konvergenz wird die letzteErhöhung der gesuchten Schnittgröße rückgängig ge-macht, die entsprechende Schrittweite halbiert und eineerneute Spannungsermittlung durchgeführt. Dieser Such-prozeß wird solange fortgesetzt, bis die Schrittweite kleinerals eine vorgegebene Schranke ist. Dieses Vorgehen ent-spricht dem numerischen Bisektionsverfahren und kannmit geeigneten Methoden (z. B. Regula Falsi) beschleunigtwerden. Zusammen mit den beiden Werten der vorgegebe-nen Schnittgrößen ergibt der letzte Wert der gesuchtenSchnittgröße die Grenztragfähigkeit der Schraubenverbin-dung. Das Flußdiagramm in Bild 7 zeigt beispielhaft dieBestimmung der Grenzbiegemoments Mz bei Vorgabe be-stimmterWerte der Normalkraft N und des BiegemomentsMy.

Gegeben: N = const., My = const.Startwerte: Mz = 0, DMz > 0

Mz = Mz + DMz

Iterative Ermittlung der Spannungsverteilung in derSchraubenverbindung für die Schnittgrößenkombination

N, My, Mz gemäß 3.1

Konvergenz?

Mz = Mz – DMz

DMz = DMz/2

DMz ª 0?

GrenztragfähigkeitNultim = N

Myultim = My

Mzultim = Mz

ermittelt

Bild 7. Iterative Bestimmung der Grenztragfähigkeit der Schraubenverbindung Fig. 7. Iterative determination of ultimate connection capacity

Der Vorteil des numerischen Verfahrens bestehtdarin, daß im Rahmen der eingangs getroffenen Annah-men und Einschränkungen beliebige Konfigurationen derSchraubenverbindung berechnet werden können. Nach-teilig ist der mitunter hohe Rechenaufwand des Verfah-rens, der aus den ineinander „verschachtelten“ Iterationenzur Spannungsermittlung und Grenzschnittgrößenbestim-mung resultiert.

4 Analytisches Berechnungsverfahren für Mehrschrauben-Rundrohrverbindungen

Numerische Berechnungsverfahren werden meist anhandbekannter Ergebnisse aus analytischen Verfahren geprüft.Praktisch anwendbare analytische Verfahren zur Berech-nung der Grenztragfähigkeit von Mehrschraubenverbin-dungen können sinnvoll jedoch nur für einfache Geome-trien des Anschlußprofils mit wenigen Unstetigkeitsstellenentwickelt werden. Rundrohrquerschnitte sind daher fürdiesen Zweck gut geeignet. Deshalb und wegen ihrer häu-figen Verwendung in einlagigen Tragwerken wird nachfol-gend ein analytisches Verfahren zur Bestimmung derGrenztragfähigkeit von Mehrschrauben-Rundrohrverbin-dungen (Bild 8) aufgezeigt.

Das analytische Verfahren basiert ebenfalls auf der an-fänglich gemachten Annahme hinsichtlich des Ebenblei-bens der Querschnitte. Im Gegensatz zum numerischenVerfahren erfolgt die Berechnung ohne Iteration in einemeinzigen Schritt. Hierzu wird angenommen, daß sich ent-weder am äußersten Rand des Rundrohrs oder in der amweitesten außen liegenden Schraube ein Grenzdehnungs-

578



zustand eingestellt hat. Zusätzlich müssen die Lagekoordi-naten der Dehnungs-Nullinie (e = 0) vorgegeben werden.Die Dehnungsverteilung in der Schraubenverbindung istdamit vollständig definiert. Durch Integration der resultie-renden Druckspannungen im Anschlußprofil und derZugspannungen in den Schrauben ergeben sich die Grenz-schnittgrößen für die vorgegebene Dehnungsverteilung.

Bei dieser Methode handelt es sich um ein implizitesBerechnungsverfahren, da es nicht möglich ist, aus zwei derbetrachteten Schnittgrößen N, My, Mz die dritte Schnitt-größe auf direktem Wege zu bestimmen. Die Lage der Deh-nungs-Nullinie sowie der Stelle mit Grenzdehnung sind so-mit Parameter, aus deren Variierung sich verschiedeneKombinationen der Grenzschnittgrößen ergeben. Wegender Symmetrieeigenschaften der Rundrohrquerschnitte istes völlig ausreichend, neben der Normalkraft nur ein Biege-moment zu berücksichtigen. Daherwird in derweiteren Be-trachtung das Biegemoment Mz vernachlässigt. Folglichsind für die Vorgabe der Dehnungsverteilung drei Parame-ter erforderlich: die Koordinate z0 der Dehnungs-Nullinieund die Koordinate z1 einer Stelle mit definierter Dehnunge1. Die Parameterz1 und e1 werden in Abschn. 4.4 detailliertbehandelt. Die Dehnungsverteilung in der Schraubenver-bindung läßt sich damit wie folgt bestimmen:

(19)

In Bild 9 ist das elastisch-ideal plastische Materialverhal-ten des Rundrohrs und der Schrauben gezeigt. Die elasti-sche Grenzdehnung des Rundrohrs eyield und der Schrau-ben ebyield ist somit:

(20)

4.1 Druckspannung und resultierende Teilschnittgrößen derRohrwand

Bild 10 zeigt die Spannungs- und Dehnungsverteilung inder Rohrwand. Die Verteilung der Druckspannung in derRohrwand läßt sich aus Gleichung (2) ableiten:

(21)ss e s

e e e s

e

( )

; ( )

( ); ( ) ( )

; ( )

lim lim

limz

E z

E z E z E z

E z

=◊ £

◊ ◊ £[ ] Ÿ ◊ >[ ]◊ >

Ï

ÌÔ

ÓÔ

0

0 0

e s es

yield bb

E Eyield= =lim ; lim

e e( )––

zz zz z

= ◊10

1 0

ee

z z

y

z

– –

+ +

Bild 8. Mehrschrauben-RundrohrverbindungFig. 8. Multi-bolt tube connection

sslim ssblim

eelim eebyield eeblimeeyield ee OO

Bild 9. Elastisch-ideal plastisches Rohrmaterial (links) und Schraubenmaterial (rechts)Fig. 9. Elastic-ideal plastic tube material (left) and bolt material (right)

579



Für die Stelle zlim mit der elastischen Grenzdehnung eyieldgilt aufgrund von Gleichung (19):

(22)

Durch Gleichsetzen der Ausdrücke (20) und (22) kannzlim bestimmt werden (–R £ zlim £ R):

(23)

Für die in Bild 10 gezeigten geometrischen Größen b, a0,a1 und alim gilt:

(24)

Das Differential der Rohrwandfläche dA ist gemäß Bild 10:

(25)

Die Rohrwand kann in drei Bereiche unterteilt werden:den klaffenden Bereich (–R £ z < z0) ohne Druckspann-nung, den Bereich mit elastischer Druckspannung(z0 £ z < zlim) und den Bereich mit plastischer Druckspan-nung (zlim £ z £ R). Die aus der Dehnungsverteilung resul-tierenden Teilschnittgrößen ermittelt man durch bereichs-weise Integration. Dadurch ergibt sich folgender Normal-kraftanteil für den elastischen Bereich:

(26a)

N z dA

E R t d

e

z

z

= ◊ ◊

= ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

Ú

Ú

2

2

0

0

10

1 0

s

e b aa a

ba

a

( )

sin – sinsin – sin

lim

lim

dA R t d= ◊ ◊ b

a =ÊËÁ

ˆ¯̃

arcsinlimlimzR

b a a= ÊËÁ

ˆ¯̃

=ÊËÁ

ˆ¯̃

=ÊËÁ

ˆ¯̃

arcsin , arcsin , arcsin ,zR

zR

zR0

01

1

zE

z z zlimlim –=◊

◊ ( ) +se1

1 0 0

e eyieldz zz z

= ◊10

1 0

lim ––

¥(26b)

¥

Der Biegemomentanteil für den elastischen Bereich derRohrwand ist wie folgt bestimmbar:

(27a)

¥ (27b)

¥

Der Normalkraftanteil für den plastischen Bereich derRohrwand wird analog zu (26) ermittelt:

(28a)

(28b)

Der Biegemomentanteil für den plastischen Rohrwandbe-reich ist folgendermaßen bestimmbar:

(29a)

(29b)

4.2 Zugspannung und resultierende Teilschnittgrößen derSchrauben

Bild 11 zeigt die Spannungs- und Dehnungsverteilung in den Schrauben. Die Verteilung der Zugspannung in den Schrauben wird ebenfalls aus Gleichung (2) abgelei-tet:

(30)

Für die Stelle zblim mit der elastischen Grenzdehnung ebyieldgilt gemäß Gleichung (19):

(31)e ebb

yield

z z

z z= ◊1

0

1 0

lim–

–

s

s e s

e e e s

eb

b b

bz

E z

E z E z E z

E z

( )

; ( )

( ); ( ) ( )

; ( )

lim lim

lim=

◊ >

◊ ◊ >[ ] Ÿ ◊ £[ ]◊ £

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

0

0 0

M R typ= ◊ ◊ ◊ ◊2 2cos lim lima s

M z z dA R t dy

z

R

p= ◊ ◊ ◊ = ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ÚÚ2 2 2

2

s s b ba

p

( ) sinlim

/

limlim

N R tp = ◊( ) ◊ ◊ ◊p a s– lim lim2

N z dA R t dp

z

R

= ◊ ◊ = ◊ ◊ ◊ ◊ÚÚ2 22

s s ba

p

( ) lim

/

limlim

◊ ◊ + ◊ ◊a a a a a a

a a0 0

0

1 0

222

22

sin cos – –sin

–sin

sin – sin

lim limlim

M E R tye= ◊ ◊ ◊e1

2

M z z dA

E R t d

y

z

z

e= ◊ ◊ ◊

= ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

Ú

Ú

2

2

0

0

10

1 0

2

s

e b aa a

b ba

a

( )

sin – sinsin – sin

sin

lim

lim

+ ◊0 0 0

1 0

a a a a aa a

cos – cos – sinsin – sin

lim lim

N E R te = ◊ ◊ ◊ ◊2 1e

ee

eeyield

–

+

–

ee11

Bild 10. Spannungs- und Dehnungsverteilung in der Rohr-wandFig. 10. Stress and strain distribution for the tube wall

Durch Gleichsetzen der Ausdrücke (20) und (31) ergibtsich für zblim

(–R £ zblim£ R):

(32)

Die Schrauben können drei Bereichen zugeordnet werden:dem Kontaktbereich (z0 £ z < R) ohne Zugspannnung, demBereich mit elastischer Zugspannung (zblim £ z < z0) unddem Bereich mit plastischer Zugspannung (–R £ z £ zblim).Die aus der Dehnungsverteilung resultierenden Teilschnitt-größen ermittelt man durch bereichsweise Integration. Da-durch ergibt sich folgender Normalkraftanteil für alleSchrauben (Index v):

(33)

Der Biegemomentanteil für alle Schrauben (Index v) ist inähnlicher Weise bestimmbar:

(34)

4.3 Bestimmung der Grenztragfähigkeit der Schrauben-verbindung

Da die vorstehend ermittelten Teilschnittgrößen für Rohr-wand und Schrauben aus einem Grenzdehnungszustandresultieren, entspricht ihre Summe der Grenztragfähigkeitder Schraubenverbindung für die vorgegebene Dehnungs-verteilung:

(35a)

(35b)M M M My y y yultim e p b= + +( )–

N N N Nultim e p b= + +

M

A z z z

Ez zz z

A z z z z z

z z

y

b b v v b

vb v v b v

v

vb

v

v=

◊ ◊ <

◊ ◊ ◊ ◊ ≥ Ÿ £

>

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

Âs

e

lim lim

lim

;

––

; ( ) ( )

;

10

1 00

00

N

A z z

Ez zz z

A z z z z

z z

b

b b v b

vb v b v

v

v

v

v=

◊ <

◊ ◊ ◊ ≥ Ÿ £

>

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

Âs

e

lim lim

lim

;

––

; ( ) ( )

;

10

1 00

00

zE

z z zbb

lim

lim ( – )=◊

◊ +s

e11 0 0

580



Die Interaktion von Normalkraft und Biegemoment be-stimmt man demzufolge durch schrittweise Variierung derKoordinate der Dehnungs-Nullinie z0 zwischen –R und R.

4.4 Bestimmung des Grenzdehnungszustandes

Wie bereits eingangs vermerkt, muß im analytischen Be-rechnungsverfahren die Koordinate z1 einer Stelle mit defi-nierter Dehnung e1 aus einem der beiden in Bild 12 gezeig-ten Grenzdehnungszustände der Schraubenverbindung er-mittelt werden. Der Grenzdehnungszustand bildet sichentweder durch Erreichen der plastischen Grenzdehnungeblim

in der am weitesten außen liegenden Schraube (Bild 12,links) oder durch Erreichen der plastischen Grenzdehnungelim am äußersten Rand des Rundrohrs (Bild 12, rechts) aus.

Die plastische Grenzdehnung von Profilen aus Bau-stahl (S235, S355) wird in [1] am Ende des Verfestigungs-bereichs bei e = 10 % angesetzt. Dies entspricht in etwa derin [7] angegebenen maximalen Randdehnung (Stauchung)von auf Druck und Biegung beanspruchten Rahmenstüt-zen aus S355 im Grenzzustand. Da im Anschlußprofil nurDehnungen aus Biegedruckbeanspruchungen auftretenkönnen, besteht selbst bei großen Dehnungen des An-schlußprofils keine Anrißgefahr. Allerdings muß durch ge-eignete Maßnahmen lokales Beulen der druckbeanspruch-ten Stabbereiche vermieden werden.

Die plastische Grenzdehnung und die zugehörige Ko-ordinate des Rohrrandes betragen somit:

(36)

Ebenfalls in [1] wird eine aus umfangreichen Versuchenermittelte Gleichung zur Berechnung der plastischenGrenzdehnung von Schrauben der Festigkeitsklasse 8.8und 10.9 angegeben:

¥(41a)

¥

Die zugehörige Koordinate der am weitesten außen lie-genden Schraube bestimmt man aus:

(41b)z zB v= min( )

p p ps o b s n n

od

Ld

k L L k h

d

, –

◊+ ◊

◊+ ◊

◊ ( ) + ◊

◊

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

1 6 44

2 2

ep s

bo b

b

d

E Llim

lim=◊ ◊

◊ ◊4

elim – %;= =10 z RR

zblim

eebyield

ssblimeeee1

+

Bild 11. Spannungs- und Dehnungsverteilung in den SchraubenFig. 11. Stress and strain distribution for the bolts

Bild 12. Mögliche Grenzdehnungszustände Fig. 12. Possible ultimate strain distributions

ee ee

eeR eelim

eeBeeblim

–

581



Die zur Berechnung der plastischen Grenzdehnung derSchrauben benötigten Dehnungskoeffizienten ko und knsind gemäß [1] wie folgt zu ermitteln:

(42)

(43)

Für die Schrauben ergeben sich abhängig von der Schrau-bengeometrie (Nenndurchmesser d, Spannungsdurchmes-ser do, Schaftlänge Ls, Klemmlänge Lb, Mutternhöhe hn)plastische Grenzdehnungen zwischen 2 % und 6 %.

Wie bereits erwähnt, gibt es, ausgehend von der je-weiligen Koordinate z0 der Dehnungs-Nullinie, zwei mög-liche Grenzdehnungszustände in der Schraubenverbin-dung (Bild 12). Von beiden Grenzdehnungszuständen istderjenige maßgebend, bei dem die jeweiligen plastischenGrenzdehnungen weder in der Schraube noch am Rohr-rand überschritten werden. Zur Kontrolle dieses Kriteri-ums müssen die Hilfsgrößen eB und eR berechnet werden.Sollte die am weitesten außen liegende Schraube die pla-stische Grenzdehnung erreichen (Bild 12, links), dannbeträgt die resultierende Dehnung am äußersten Rohr-rand:

(44)

Wenn jedoch die plastische Grenzdehnung am äußerstenRohrrand erreicht wird (Bild 12, rechts), ist die resultie-rende Dehnung in der am weitesten außen liegendenSchraube:

(45)

Sofern die Schraubendehnung eB kleiner als die plastischeGrenzdehnung eblim

ist, wird der äußerste Rohrrand maß-gebend für den Grenzdehnungszustand. Andernfalls wirddie am weitesten außen liegende Schraube maßgebend fürden Grenzdehnungszustand:

(46a)

(46b)

Mit den so ermittelten Parametern e1 und z1 ist die unterden Abschn. 4.1, 4.2 und 4.3 beschriebene Berechnungleicht durchführbar.

zz

z

R B b

B B b1 =

£( )>( )

ÏÌÔ

ÓÔ

;

;

lim

lim

e e

e e

ee e e

e e e1 =

£( )>( )

ÏÌÔ

ÓÔ

lim;

;

lim

lim lim

B b

b B b

e eBB

R

z zz z

= ◊–– lim

0

0

e eRR

Bb

z zz z

= ◊–– lim

0

0

kFestigkeit

Festigkeitn =

+

+

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

0 480 120 021

8 8

0 540 060 013

10 9

,,,

; .

,,,

; .

kFestigkeit

Festigkeito =

+

+

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

0 80 2

0 0218 8

0 90 1

0 01310 9

,,

,; .

,,

,; .

5 Experimentelle Bestimmung der Grenztragfähigkeit vonSchraubenverbindungen

Die berechneten Grenztragfähigkeiten der Schraubenver-bindungen sollten möglichst immer durch entsprechendeVersuche abgesichert werden. Gewöhnlich werden dieseVersuche mit einachsiger Lastrichtung durchgeführt, d. h.entweder als reine Zugversuche oder als Vierpunkt-Biege-versuche mit reiner Biegung in der Verbindung. Mehrach-sige Versuche zur Prüfung der Interaktion von Biegemo-ment und Normalkraft sind meist nur sehr schwierig zurealisieren und verursachen daher enorme Kosten. Es istanzustreben, jeden Versuch mindestens dreimal durchzu-führen, um zumindest ansatzweise die Streuung der Trag-fähigkeit erfassen zu können.

Die direkte Bestimmung eines Bemessungswerts derGrenztragfähigkeit aus den Meßwerten der Versuche ist,mit Ausnahme von reinen Normalkraftversuchen, auf-grund des frühzeitig einsetzenden nichtlinearen Verhal-tens der Schraubenverbindung nicht möglich. Folglichmuß der Bemessungswert aus der gemessenen Versagens-last ermittelt werden. Dies kann z. B. anhand der Vorga-ben aus dem British Standard BS 5950-1 geschehen. Da-bei wird zuerst die real vorhandene Festigkeit des versa-genden Bauteils (Schraube, Rohr) anhand vorhandenerMaterialprüfzeugnisse oder gesonderter Festigkeitsprü-fungen ermittelt. Anschließend wird der Bemessungswertder Grenztragfähigkeit Mlim,d bestimmt, indem die gemes-sene Versagenslast Mu im Verhältnis der Bemessungs-spannung fy,d des versagenden Bauteils zur real vorhande-nen Festigkeit fu,real des versagenden Bauteils reduziertwird:

(47)

Alle nachfolgend gezeigten experimentell ermittelten Be-messungswerte sind nach diesem Verfahren aus den Ver-suchsergebnissen bestimmt worden.

Sofern im Versuch neben der Prüflast auch die resul-tierenden Verformungen aufgezeichnet werden, kannaußer der Versagenslast auch die Steifigkeit der Schrau-benverbindung ermittelt werden. Diese Steifigkeit kanndann im statischen Modell zur realistischen Modellierungder nachgiebigen Verbindungen (semi-rigid connection)genutzt werden.

Eine typische Versuchsanordnung für eine Zugprü-fung ist in Bild 13 gezeigt. Die Prüfkraft wird hier über dieaufgebrachte Maschinenkraft gemessen. Die Verformun-gen an der Schraubenverbindung werden durch beider-seits der Verbindung befestigte, induktive Wegaufnehmergemessen (WA2, WA3 in Bild 13).

Bild 14 zeigt eine typische Versuchsanordnung füreine 4-Punkt-Biegeprüfung einer Mehrschraubenverbin-dung. Die Prüfkräfte werden über Kraftmeßdosen an denAuflagepunkten der Lastverteilungstraverse gemessen. DieBiegeverformungen werden ebenfalls an den Lasteinlei-tungspunkten mittels induktiver Wegaufnehmer gemessen(WA1, WA2, WA3, WA4 in Bild 14). Der Bereich zwischenden Lasteinleitungspunkten ist durch ein konstantes Bie-gemoment beansprucht und querkraftfrei.

Mf

fMd

y d

u realulim,

,

,= ◊

6 Vergleich der analytischen und numerischen Berechnun-gen mit Versuchsergebnissen

Das unter Abschn. 3 beschriebene numerische Verfahrenwurde unter Verwendung der Programmiersprache „For-tran 90“ in ein Computerprogramm konvertiert. Das dabeibenutzte Datenmodell des Anschlußprofils und derSchraubenanordnung wurde universell gestaltet und kanndaher flexibel an beliebige Konfigurationen derVerbindungangepaßt werden. Das unterAbschn. 4 entwickelte analyti-sche Verfahren für Mehrschrauben-Rundrohrverbindun-gen wurde als Berechnung in dem Mathematikprogramm

582



„Mathcad“ realisiert. Anhand konkreter Schraubenverbin-dungen aus den realisierten Bauprojekten der vergangenenJahre werden nachfolgend die Ergebnisse der numerischenund der analytischen Berechnungen mit den vorliegendenVersuchsergebnissen verglichen.

6.1 Glasgow Science Center – Dach des Exploratoriums

Zur Verbindung der einzelnen Tragwerkssegmente derDachstruktur des Exploratoriums im Glasgow ScienceCenter wurde die in den Bildern 15 und 16 gezeigte, in-nenliegende 4-Schrauben-Rundrohrverbindung einge-

Bild 13. Typische ZugversuchsanordnungFig. 13. Typical tensile test arrangement

Bild 14. Typische BiegeversuchsanordnungFig. 14. Typical bending test arrangement

Bild 15. 4-Schraubenverbindung für das Glasgow Science CenterFig. 15. 4-bolt connection for Glasgow Science Center

583



Bild 16. 4-Schraubenverbindung für das Glasgow ScienceCenterFig. 16. 4-bolt connection for Glasgow Science Center

Bild 17. Vergleich von analytischer und numerischer Berechnung mit Versuchsergebnissen, Glasgow Science CenterFig. 17. Comparison of analytical and numerical calculation with test results, Glasgow Science Center

Bild 18. Einschraubenverbindung für die Kuppeldächer des Eden-Projekts Fig. 18. Single-bolt connection for the domes of the Eden Project

setzt. Diese Schraubenverbindung weist die folgenden Pa-rameter auf:

Rohrdurchmesser 323,9 mm Rohrwanddicke 12 mmRohrmaterial S355 J2H Schrauben: Anzahl, Größe, Festigkeit 4 ¥ M27 – 10.9Teilkreisdurchmesser der Schrauben 180 mm

Der in Bild 17 gezeigte Vergleich der Resultate der numeri-schen und der analytischen Berechnungen mit den experi-mentell ermittelten Werten der Grenztragfähigkeit [13] er-gibt nur geringfügige Abweichungen.

6.2 Eden-Projekt, Cornwall – Kuppeldächer

Die Obergurtknoten der Kuppeldächer des Eden-Projektsin Cornwall wurden mit der im Bild 18 dargestellten, in-nenliegenden Einschrauben-Rundrohrverbindung reali-

siert. Diese Schraubenverbindung ist durch folgende Para-meter charakterisiert:

Rohrdurchmesser 193,7 mm Rohrwanddicke 10 mmRohrmaterial S355 J2H Schrauben: Anzahl, Größe, Festigkeit 1 ¥ M33 – 10.9

Bild 19 zeigt den Vergleich der numerischen und der ana-lytischen Berechnungen mit den experimentell ermittelten

584



Werten der Grenztragfähigkeit [14]. Es ergeben sich wie-derum nur unbedeutende Abweichungen.

6.3 Schottisches Parlament, Edinburgh – Foyerdach

Das Foyerdach des Schottischen Parlaments in Edinburghbesteht aus mehreren, miteinander verbundenen, linsen-förmigen Randträgern mit Rohrquerschnitt. Zur Verbin-dung der Randträgersegmente wurde die im Bild 20 abge-bildete, innenliegende 6-Schrauben-Rundrohrverbindung

Bild 19. Vergleich von analytischer und numerischer Berechnung mit Versuchsergebnissen, Kuppeldächer, Eden-ProjektFig. 19. Comparison of analytical and numerical calculation with test results, Domes, Eden Project

Bild 20. 6-Schraubenverbindung für das Foyerdach des Schottischen Parlaments, EdinburghFig. 20. 6-bolt connection for the foyer roof of the Scottish Parliament, Edinburgh

585



verwendet. Diese Schraubenverbindung ist durch die fol-genden Parameter bestimmt:

Rohrdurchmesser 406,4 mm Rohrwanddicke 25 mmRohrmaterial S355 J2H Schrauben: Anzahl, Größe, Festigkeit 6 ¥ M36 – 10.9Teilkreisdurchmesser der Schrauben 220 mm

Zusätzlich zu den üblichen Grenztragfähigkeitsversuchenwurden für diese hochbeanspruchte Schraubenverbin-dung auch Versuche mit Normalkraft-Biegemoment-In-teraktion durchgeführt. Der Versuchsaufbau ist in Bild 21andeutungsweise zu erkennen. Das Biegemoment wird wie

beim normalen 4-Punkt-Biegeversuch mit einer Lastver-teilungstraverse erzeugt. Beiderseits der Schraubenverbin-dung sind seitlich am Rohr kompakte Konsolen ange-schweißt, die jeweils mit einer Spannvorrichtung, beste-hend aus einer hochfesten Gewindestange M48 – 10.9 undeinem Hydraulikzylinder, verbunden sind. Insgesamt gibtes zwei dieser Spannvorrichtungen an den beiden gegen-überliegenden Seiten der Rohre in Höhe der neutralenAchse der Biegebeanspruchung. Mit den beiden Spann-vorrichtungen wurde die Schraubenverbindung mit einerzusätzlichen Drucknormalkraft von konstant 1500 kN be-aufschlagt und das Biegemoment bis zum Versagen derVerbindung gesteigert.

Der Vergleich der numerischen und der analytischenBerechnungen mit den experimentell ermittelten Grenz-tragfähigkeiten [15] ist in Bild 22 enthalten. Alle Werte,auch die der Interaktionsversuche, weichen nur unerheb-lich voneinander ab.

6.4 Neue Messe Mailand – Dach der Zentralachse (Vela)

Das Dach der Zentralachse der Neuen Messe in Mailandbesteht aus Stäben mit T-Querschnitt, die mittels einer2-Schraubenverbindung mit einem speziellen Knotenele-ment verschraubt sind. Diese 2-Schraubenverbindung unddas Knotenelement sind in den Bildern 23 und 24 darge-stellt. Das Knotenelement besteht aus zwei Tellerknoten, inderen Hohlraum die Schrauben eingesteckt und befestigtwerden können. An den Stirnseiten der anzuschließendenStabenden sind hierfür jeweils zwei Gewindelöcher vorge-sehen. An jedem Stabende ist an der Unterseite des T-Stegsein ungefähr 250 mm langer, gevouteter Anschlußgurt vor-handen, in den die untere der beiden Schrauben einge-schraubt wird. Das Anschlußprofil der Schraubenverbin-dung ist somit ein in der Mitte ausgenommenes I-Profil.

Diese 2-Schraubenverbindung ist durch folgende Pa-rameter gekennzeichnet:

Bild 22. Vergleich von analytischer und numerischer Berechnung mit Versuchsergebnissen, Foyerdach des Schottischen Par-laments, EdinburghFig. 22. Comparison of analytical and numerical calculation with test results, Foyer roof of the Scottish Parliament, Edinburgh

Bild 21. Biegemoment-Normalkraft-Interaktionsversuch aneiner 6-Schraubenverbindung, Foyerdach des SchottischenParlaments, EdinburghFig. 21. Test with interaction of bending moment and nor-mal force at a 6-bolt connection, Foyer roof of the ScottishParliament, Edinburgh

586



Höhe des I-Profils 200 mmBreite der Gurte des I-Profils 60 mmDicke der Gurte des I-Profils 40 mm Profilmaterial S355 J2G3Schrauben: Anzahl, Größe, Festigkeit 2 ¥ M27 – 10.9Höhenabstand der Schrauben 150 mm

Da für diese spezielle Schraubenverbindung kein analyti-sches Verfahren zurVerfügung steht, konnte nur das nume-rische Verfahren zur Bestimmung der Grenztragfähigkeitangewendet werden. Aus dem in Bild 25 abgebildeten Ver-gleich der numerischen Berechnung mit den experimentellermittelten Grenztragfähigkeiten [16] sind keine signifi-kanten Abweichungen ersichtlich.

Bild 23. 2-Schraubenverbindung für das Dach der Zentralachse (Vela), Neue Messe MailandFig. 23. 2-bolt connection for the roof of the Central Axis (Vela), New Fair of Milan

Bild 24. 2-Schraubenverbindung für das Dach der Zen-tralachse (Vela), Neue Messe MailandFig. 24. 2-bolt connection for the roof of the Central Axis(Vela), New Fair of Milan

Bild 25. Vergleich der numerischen Berechnung mit Versuchsergebnissen, Dach über der Zentralachse (Vela), Neue MesseMailandFig. 25. Comparison of the numerical calculation with test results, Roof over the Central Axis (Vela), New Fair of Milan

587



7 Bezeichnungen

Symbolea0 Winkel mit Null-Dehnung a1 Winkel mit plast. Grenzdehnungalim Winkel an elast. Grenzdehnungb Winkelvariables Druckspannung Profilslim Grenzdruckspannung Profilsb Zugspannung Schraubesblim

Grenzzugspannung SchraubeDMy, DMz BiegemomentabweichungDN Normalkraftabweichungky, kz Dehnungsparametere Dehnung in x-Richtungelim Plast. Grenzdehnung Profileyield Elast. Grenzdehnung Profileblim Plast. Grenzdehnung Schraubeebyield Elast. Grenzdehnung SchraubeeB Dehnung an AußenschraubeeR Dehnung an Profilaußenrandeo Dehnungsparametere1 Plast. Grenzdehnung A QuerschnittsflächeAb Spannungsquerschnitt Schraubed Nenndurchmesser Schraube do Durchmesser SpannungsquerschnittdA Flächendifferentialdb WinkeldifferentialE Elastizitätsmodulhn MutternhöheJy, Jz Flächenträgheitsmomentkn Mutterngewinde-Dehnungskoeffizientko Schraubengew.-DehnungskoeffizientL Länge TeilquerschnittLb SchraubenklemmlängeLs SchraubenschaftlängeMy, Mz BiegemomentMysub

, MysubBiegemomentanteil eines Teilquerschnitts

my, mz IterationsparameterMyb

Biegemoment der SchraubenMye

, Mze Biegemoment elast. BereichMyp

, MzpBiegemoment plast. Bereich

Myorig, Mzorig

vorgegebenes BiegemomentN, Nsub Normalkraft, Normalkraftanteil eines Teil-

querschnittsn IterationsparameterNb Normalkraft der SchraubenNe Teilnormalkraft elast. BereichNp Teilnormalkraft plast. BereichNorig vorgegebene NormalkraftR Rohrradius in Wandmittet Wanddickeu0 Abstand Null-Dehnungspunktulim Abstand Grenzspannungspunkty, z Knotenkoordinatey0, z0 Koordinate mit Null-Dehnungylim, zlim Koordinate mit elast. GrenzdehnungzB Koordinate AußenschraubezR Koordinate Profilaußenrandz1 Koordinate mit plast. Grenzdehnung

Indizesi, k PunktindexJ, j Teilquerschnittsindexit Iterationsindexv Schraubenindex

Literatur

[1] Steurer, A.: Das Tragverhalten und Rotationsvermögen ge-schraubter Stirnplattenverbindungen. ETH Zürich: IBK Be-richt Nr. 247. Basel: Birkhäuser Verlag 1999.

[2] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung Z-14.4-10: MERORaumfachwerk. Berlin: Deutsches Institut für Bautechnik2003.

[3] Klimke, H.: Developing a Space Frame System. IASS-Pro-ceedings. Singapore 1997.

[4] Stutzki, Ch.: MERO Plus – Handbuch, S.II.10.34 – II.10.48,Würzburg 1990.

[5] Klimke, H.: How Space Frames Are Connected, IASS-Pro-ceedings. Madrid 1999.

[6] Kindmann, R., Frickel, J.: Elastische und plastische Quer-schnittstragfähigkeit, Berlin: Ernst & Sohn 2002.

[7] Vogel U.: Abschätzung maximaler Randdehnungen bei An-wendung des Traglastverfahrens im Stahlbau. Bauingenieur1991, S. 287–293.

[8] Roik, K., Sedlacek, G.: Erweiterung der technischen Biege-und Verdrehtheorie unter Berücksichtigung der Schubverfor-mungen. Bautechnik 1970, Heft 1, S. 20–32.

[9] Sedlacek, G.: Erweiterung des Gelenkkettenverfahrens zurnäherungsweisen Ermittlung der Traglast von Stahlträgern.Otto-Jungbluth-Festschrift 1978.

[10] Stutzki, Ch.: Traglastberechnung räumlicher Stabwerkeunter Berücksichtigung verformbarerAnschlüsse. Dissertation.Aachen 1982.

[11] Lopetegui, J., Saleh, A., Stutzki, Ch., Sedlacek, G.: Eincomputerorientiertes Verfahren zur statischen Berechnungräumlicher Stabwerke und Berücksichtigung nichtlinearer Ef-fekte. Bauingenieur 1985, Heft 8, S. 297–305.

[12] Sedlacek, G., Spangemacher, R., Stutzki, Ch.: Rechneri-sche Bestimmung derTrag- und Rotationsfähigkeit von dünn-und dickwandigen Stahlquerschnitten bei beliebigen Quer-schnittsausbildungen und Werkstoffgesetzen. Der Metallbauim konstruktiven Ingenierbau. Festschrift R. Baehre 1988.

[13] Bericht Nr. 003001: Traglastversuche zur Ermittlung derKnotenanschluß-Grenzlasten für das Bauvorhaben GlasgowScience Center, Großbritannien. Karlsruhe: Versuchsanstaltfür Stahl, Holz und Steine 2000.

[14] Bericht Nr. 993023: Traglastversuche zur Ermittlung derKnotenanschluß-Grenzlasten für das Bauvorhaben Eden,Großbritannien. Karlsruhe: Versuchsanstalt für Stahl, Holzund Steine 1999.

[15] Bericht Nr. 023802: Vierpunktbiegeversuche zur Ermitt-lung der Anschlußtragfähigkeit eines Rohrstoßes, Bauvorha-ben Scottish Parliament – Foyer Roof. Karlsruhe: Versuchs-anstalt für Stahl, Holz und Steine 2002.

[16] Bericht Nr. 033804: Experimentelle Untersuchungen aneinem Stabknoten für das Bauvorhaben Messe Mailand.Karlsruhe: Versuchsanstalt für Stahl, Holz und Steine 2003.

Autoren dieses Beitrages: Dipl.-Ing. Sören Stephan, MERO GmbH & Co. KG, Würzburg,Max-Mengeringhausen-Straße. 5, 97084 WürzburgDr.-Ing. Christian Stutzki, MERO Structures Inc., Menomonee Falls, Wisconsin, USA.

Documents

Ermittlung der Grenztragfähigkeit von Mehrschraubenverbindungen bei Normalkraft-Biegemoment-Interaktion