[ CHAOS und FRAKTALE ]

[ CHAOS und FRAKTALE ][ CHAOS und FRAKTALE ]

Steffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli QuitschSteffi Cordier - Paulina Paszkiewicz - Uli QuitschStefan Quint - Johannes Horlemann - Achim BoltzStefan Quint - Johannes Horlemann - Achim Boltz

[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]I. Chaos?!I. Chaos?!

Begriff „Chaos“Chaos“ 1973 von James A. Yorke geprägt

Beschreibung komplexer, dynamischer Systeme, die chaotisch wirken, aber durch Formeln beschreibbar sind

Laplace bzw.Laplace bzw. Klare Gesetzmäßigkeiten

Determinismus:Determinismus: Linearität

strenge Vorhersagbarkeit

Kausalitätsprinzip

[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]I. Chaos?!I. Chaos?!

Reduktionismus entspricht nicht der Realität

hochkomplexe Systeme mit Rückkopplung

nie gleiche Bedingungen in der Praxis

Sensititve AbhängigkeitSensititve Abhängigkeit (bei chaotischen Systemen)

„kleine und kleinste Veränderungen der Anfangsbedingungen

können größte Effekte verursachen“

Beispiele: Wettervorhersage, Billardspiel „SchmetterlingseffektSchmetterlingseffekt“

Deterministisches ChaosDeterministisches Chaos

Ein System folgt streng einer Rechenvorschrift,

ist aber nicht vorhersagbar.

[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]II. Logistische AbbildungII. Logistische Abbildung

XXnn = c * X = c * Xaa (1 – X (1 – Xaa)) Beispiel für Populationsentwicklung

Logistische Abbildung Logistische Abbildung Xn Populationsdichte

Xa Vorjahrespopulation

c Anzahl der Nachkommen

Diskrete Funktionswerte

Iteration ( output als input )Iteration ( output als input )

Kleinste Abweichung von c wird verstärkt sensitive sensitive AbhängigkeitAbhängigkeit


XXnn = c * X = c * Xaa (1 – X (1 – Xaa))

1 < c < 3

stabiler Wert zw. 1 und 0

c > 3

zwei-peak-oszillierend

c = 3,45

vier-peak-oszillierend

c > 3,57

Periode chaotisch, unendlich


XXnn = c * X = c * Xaa (1 – X (1 – Xaa))

Anzahl der Nachkommen

12

3 4

1

2

3

4

FeigenbaumdiagrammFeigenbaumdiagramm


XXnn = c * X = c * Xaa (1 – X (1 – Xaa))

PeriodenverdopplungPeriodenverdopplung

an den

Bifurkations-Bifurkations-

StellenStellen

„„BifurkationswegBifurkationsweg

ins Chaos“ins Chaos“

universellAnzahl der Nachkommen

[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]III. AttraktorenIII. Attraktoren

Für best. c läuft Algorithmus auf festen Wert zu

AttraktorAttraktor Systemzustand, auf den ein System sich einschwingt

GrenzzyklusGrenzzyklus

FixpunktFixpunkt

vorhersehbar

„„Seltsamen“ AttraktorSeltsamen“ Attraktor in chaotischen Systemen

unendlich viele Werte

unendlich stark gefaltet

fraktalfraktal

[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]III. AttraktorenIII. Attraktoren

„„Seltsamen“ AttraktorSeltsamen“ Attraktor in chaotischen Systemen

unendlich viele Werte

unendlich stark gefaltet

fraktalfraktal

Beispiel: Lorenz-Attraktor Lorenz-Attraktor

[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]IV. FraktaleIV. Fraktale


„Ein FraktalFraktal ist eine Figur, deren Dimension nicht ganzzahlig ist.“

fraktal = „gebrochengebrochen“

Die Dimension eines Fraktals nennt man fraktale Dimensionfraktale Dimension.

Gehirn: d = 2,79Gehirn: d = 2,79


SchneeflockenkurveSchneeflockenkurve::

• Jede neu entstandene Strecke hat nun die Länge 1/3.

• Man nennt dieses Gebilde auch GeneratorGenerator, da bei jeder neuen Iteration mit jeder Strecke genauso verfahren wird.

• InitiatorInitiator: Linie der Länge 1

• Linie wird gedrittelt und auf das mittlere Drittel wird eine dreieckige Insel der Kantenlänge 1/3 gelegt:

1/3


Der Vorgang wird unendlich oft wiederholt, dabei entsteht die sogenannte SchneeflockenkurveSchneeflockenkurve, die unendlich lang ist.

Dimension: d = 1,26Dimension: d = 1,26


Betrachtet man als Initiator ein Dreieck der Länge 1, erhält man eine Koch‘sche Insel bzw. Schneeflocke:


„„Wie lang ist die Küste Britanniens?“Wie lang ist die Küste Britanniens?“

Küste ist unendlichunendlich lang, schließt aber einen endlichenendlichen Flächeninhaltein. => d(GB) = 1,26


Das FarnblattDas Farnblatt


JuliamengeJuliamenge

J(c) = { z0 C: (zn) < mit zn+1 = zn2 + c} mit c C fest.

Wiederholung: Komplexe ZahlenWiederholung: Komplexe Zahlen

R

I

1 i

1



SelbstähnlichkeitSelbstähnlichkeit

„Wenn eine Menge UntermengenUntermengen enthält, die sich durch Rotation, Translation und Skalierung in die Obermenge transformieren lassen, ist sie selbstähnlichselbstähnlich.“


MandelbrotmengeMandelbrotmenge

M = { c C: (zn) < mit zn+1 = zn2 + c} mit z0 = 0.


[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]V. ResuméV. Resumé

Revolutionäre Bedeutung der Revolutionäre Bedeutung der ChaostheorieChaostheorie

Gegensatz zum streng wissenschaftlich kontrollierbaren Weltbild

Viele Bereiche des Lebens betreffend

[ Chaos und Fraktale ][ Chaos und Fraktale ]

DANKE FÜRS ZUHÖREN! DANKE FÜRS ZUHÖREN!

IHR HABT SUPER DURCHGEHALTEN!IHR HABT SUPER DURCHGEHALTEN!

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