Finite Elemente

Dietrich Braess

Finite Elemente

Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie

5., überarbeitete Aufl age

ISBN 978-3-642-34796-2 ISBN 978-3-642-34797-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-34797-9

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Dietrich Braess Fakultät für Mathematik Universität Bochum Bochum, Deutschland

Mathematics Subject Classification (2010): 65N30, 65F10, 65N22, 65N55

Vorwort

Für die fünfte Auflage wurde das Lehrbuch über Finite Elemente kräftig überarbeitet.Neben vielen kleinen Änderungen zur Abrundung der Theorie und zur Verdeutlichungvon Querverbindungen finden sich größere Änderungen vor allem in zwei Bereichen.

Die größten Änderungen hat es im Kapitel über Finite Elemente in der Struk-turmechanik gegeben. Eine Berechnung von Platten erfolgt üblicherweise über zwei-dimensionale Modelle. Diese Dimensionsreduktion wird nun – auf 50 Jahre alten Über-legungen aufbauend – auf eine solide Basis gestellt. Von dort aus versteht man dann auchKorrekturfaktoren, die bei Ingenieur-Anwendungen vielfach verwandt werden. Auch hierzeigt sich wieder: obwohl seitens der Ingenieure aus guten Gründen meist nichtkonformeElemente implementiert werden, erscheint die Analyse mittels Sattelpunktmethoden uni-verseller und damit zufriededenstellender.

Das Kapitel über nichtkonforme Elemente und Sattelpunktmethoden bildete vonAnfang an einen Schwerpunkt dieses Buches. Bei letzteren denkt man zunächst an Varia-tionsprobleme mit (expliziten) Nebenbedingungen wie beim Stokes-Problem, aber heuteist ebenso bedeutsam, dass man über äquivalente gemischte Methoden manche Finite-Element-Methoden versteht, bei denen die Motivation der Anwender einem Mathematikernicht sofort einleuchtet.

In diese Kapitel gehören auch a posteriori Fehlerschätzer. Sie werden im Prinzipzügig abgehandelt, aber die charakteristischen Unterschiede zu den a priori Fehlerab-schätzungen werden wir deutlicher als sonst üblich herausstellen. Dazu dient ein Ver-gleichssatz mit einer a priori Aussage, die mittels Techniken für a posteriori Aussagenhergeleitet wird. Dies unterstreicht außerdem die wachsende Beliebtheit des sogenanntenZwei-Energien-Prinzips. In der dritten Auflage dieses Buches war es noch rein formalohne Beispiel genannt und ist jetzt mit zwei nicht-elementaren Beispielen vertreten.

Die Aufgaben am Ende der Abschnitte sind von unterschiedlichem Schwierigkeits-grad. Aufgaben mit einer witzigen Komponente mögen dem Leser zeigen, wie sichAussagen bei unterschiedlichen Gesichtspunkten verändern können. Lösungen zu denschwierigenAufgaben findet der Leser im Internet (http://hompage.rub.de/Dietrich.Braess).Dort sollen auch wieder Hinweise auf ausgewählte aktuelle Literatur und eine Liste stören-der Druckfehler bereitgestellt werden.

Natürlich sind in dieserAuflage all die kleinen Fehler beseitigt worden, die demAutorvon zahlreichen Lesern mitgeteilt wurden. Allen, die dazu beigetragen haben, möchte ichan dieser Stelle herzlich danken. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag, der das Buchmit den Änderungen neu auflegt.

Bochum, im August 2012 Dietrich Braess

vi Vorwort zur ersten Auflage

Vorwort zur ersten Auflage

Bei der numerischen Behandlung von elliptischen und parabolischen Differentialgleichun-gen wird heute sehr viel die Methode der Finiten Elemente eingesetzt. Die Methode erlaubtwegen ihrer Flexibilität auch die Behandlung schwieriger Probleme, weil sie — andersals Differenzenverfahren oder Rechnungen mit Finiten Volumen — auf die Variationsfor-mulierung der Differentialgleichung zugeschnitten ist. Die Entwicklung von Finiten Ele-menten verlief lange bei Mathematikern und Ingenieuren parallel, ohne daß dies zunächstwahrgenommen wurde. Ende der 60er und Anfang der 70er Jahre erfolgte die Entwick-lung des Begriffsapparats mit einer Standardisierung, die es dann ermöglichte, den Stoffauch den Studenten vorzustellen. Aus einer Reihe von Vorlesungen ist dieses Buch auchhervorgegangen.

Im Gegensatz zu der Situation bei gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt esbei elliptischen partiellen Differentialgleichungen nicht immer klassische Lösungen undoft nur sogenannte schwache Lösungen. Das hat nicht nur Auswirkungen auf die Theo-rie, sondern auch auf die numerische Behandlung. Zwar existieren klassische Lösungenunter Regularitätsvoraussetzungen, wegen der mit numerischen Rechnungen verbunde-nen Approximation können wir uns jedoch nicht auf einen Rahmen festlegen, in dem nurklassische Lösungen vorkommen.

Für die Behandlung elliptischer Randwertaufgaben durch Finite Elemente liefert dieVariationsrechnung einen passenden Rahmen. Es ist das Ziel von Kapitel II, hier einenmöglichst einfachen Einstieg zu geben. In den Paragraphen 1–3 wird die Existenz vonschwachen Lösungen in Sobolev-Räumen hergeleitet und dargestellt, wie in der Varia-tionsrechnung die Randbedingungen erfaßt werden. Um dem Leser ein Gefühl für denUmgang mit der Theorie zu vermitteln, werden einige Eigenschaften der Sobolev-Räumehergeleitet oder wenigstens illustriert. Die Paragraphen 4–8 sind dann den eigentlichenGrundlagen der Finiten Elemente gewidmet. Den schwierigsten Teil machen die Approx-imationssätze in §6 aus. Deshalb wird dort vorab der Spezialfall regelmäßiger Gitterbehandelt; auf diesen Fall möge sich der Leser beim ersten Lesen beschränken.

In Kapitel III kommen wir zu dem Teil der Theorie der Finiten Elemente, der tiefer-liegende Methoden der Funktionalanalysis benötigt. Letztere werden in §3 bereitgestellt.Der Leser lernt die berühmte Ladyshenskaja-Babuška-Brezzi-Bedingung kennen, die fürdie sachgemäße Behandlung von Problemen der Strömungsmechanik und der gemischtenMethoden in der Strukturmechanik wichtig ist. Wenn man sich ohne diese Kenntnisse aufden gesunden Menschenverstand verläßt, wird man in der Strömungsmechanik leider dazuverleitet, Elemente mit instabilem Verhalten zu benutzen.

Es war unser Bestreben, möglichst wenig an Kenntnissen in der reellen Analysisund der Funktionalanalysis vorauszusetzen. Andererseits ist ein gewisses Hintergrund-wissen nützlich. Darum wird in Kapitel I der Unterschied zwischen den verschiedenenTypen von partiellen Differentialgleichungen kurz erläutert. Wer zum ersten Male mit der

Vorwort zur ersten Auflage vii

numerischen Lösung elliptischer Differentialgleichungen konfrontiert ist, empfindet denZugang über die Differenzenverfahren meistens als leichter. Die Grenzen sieht man erstspäter. Eine solche erste Begegnung ist mit Kapitel I beabsichtigt, und auf Vollständigkeitder Theorie wird so bewußt verzichtet.

Die Finite-Element-Methode führt bei feiner werdender Diskretisierung auf großeGleichungssysteme. Bei der Lösung mit direkten Verfahren steigt der Aufwand wie n2 an.In den letzten zwei Jahrzehnten wurden nun mit der Methode der konjugierten Gradientenund mit den Mehrgitterverfahren sehr effiziente Löser entwickelt, die in den Kapiteln IVund V ausgiebig vorgestellt werden.

Ein wichtiger Anwendungsbereich für Finite Elemente ist die Strukturmechanik.Weil hier Systeme von Differentialgleichungen zu lösen sind, kommt man oft nicht mitden elementaren Methoden aus Kap. II aus und muß von der Freiheit Gebrauch machen,die einem die tieferliegenden Ergebnisse aus Kap. III ermöglichen. Es waren die ver-schiedensten Bausteine zusammenzubringen, um eine mathematisch tragfähige Theoriefür die Behandlung der Probleme in der linearen Elastizitätstheorie mit Finiten Elementenzu erhalten.

Fast jeder Paragraph endet mit einigen Aufgaben, die nun nicht nur Übungen imstrengen Sinne sind. Manche Aufgabe besteht darin, eine Formel oder ein Resultat auseinem anderen Blickwinkel zu betrachten oder liefert einen Hinweis, der im Text selberden Fluß gestört hätte. Bekanntlich kann man bei der Behandlung partieller Differential-gleichungen über manche Fallen stolpern, wenn man — sei es auch nur unbewußt —klassische Lösungen vor Augen hat. Den Blick für solche Fallen zu schärfen, ist das Zielmancher Aufgabe.

Das Buch baut auf Vorlesungen auf, die den Studenten im 5.–8. Semester an derRuhr-Universität in regelmäßigen Abständen angeboten werden. Die Vorlesungen behan-delten die Kapitel I und II sowie Teile der Kapitel III und V, während die Methode derkonjugierten Gradienten in andere Vorlesungen eingegliedert ist. Das Kapitel VI entstandaufgrund von Verbindungen, die an der Ruhr-Universität zwischen Mathematikern undIngenieuren bestehen.

Ein solcher Text kann nur dank der Mithilfe vieler zustande kommen, und an dieserStelle möchte ich insbesondere F.-J. Barthold, C. Blömer, H. Blum, H. Cramer, W. Hack-busch, A. Kirmse, U. Langer, P. Peisker, E. Stein, R. Verfürt, G. Wittum und B. Woratfür ihre Korrekturen und Verbesserungsvorschläge danken. Frau L. Mischke, die den Textin TeX gesetzt hat, danke ich für ihre unermüdliche Arbeit und Herrn Schwarz für seineHilfe bei der Bewältigung von TeX-Problemen. Schließlich gilt mein Dank dem Springer-Verlag für die Publikation des Buches und die stets angenehme Zusammenarbeit.

Bochum, im Herbst 2031 Dietrich Braess

Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur vierten Auflage x

Vorwort zur ersten Auflage xi

Bezeichnungen xiii

Kapitel IEinführung 1

§ 1. Beispiele und Typeneinteilung 2Beispiele 2 — Typeneinteilung 7 — Sachgemäß gestellte Probleme 8 —Aufgaben 10

§ 2. Maximumprinzip 11Beispiele 12 — Folgerungen 13 — Aufgaben 14

§ 3. Differenzenverfahren 15Diskretisierung 15 — Diskretes Maximumprinzip 18

§ 4. Eine Konvergenztheorie für Differenzenverfahren 21Konsistenz 21 — Lokaler und globaler Fehler 21 — Grenzen der Konver-genztheorie 24 — Aufgaben 25

Kapitel IIKonforme Finite Elemente 26

§ 1. Sobolev-Räume 27Einführung der Sobolev-Räume 27 — Die Friedrichssche Ungleichung 29— Singularitäten von H 1-Funktionen 30 — Kompakte Einbettungen 31 —Aufgaben 31

§ 2. Variationsformulierung elliptischer Randwertaufgaben 33Variationsformulierung 34 — Reduktion auf homogene Randbedingungen35 — Existenz von Lösungen 37 — Inhomogene Randbedingungen 40 —Aufgaben 41

§ 3. Die Neumannsche Randwertaufgabe. Ein Spursatz 42Elliptizität in H 1 42 — Randwertaufgaben mit natürlichen Randbedingun-gen 43 — Neumannsche Randbedingungen 44 — Gemischte Randbedin-gungen 45 — Beweis des Spursatzes 45 — Praktische Konsequenzen ausdem Spursatz 48 — Aufgaben 49

§ 4. Ritz–Galerkin–Verfahren und einfache Finite Elemente 51Modellproblem 54 — Aufgaben 56

Inhaltsverzeichnis ix

§ 5. Einige gebräuchliche Finite Elemente 57Forderungen an die Triangulierung 58 — Bedeutung der Differenzierbarkeit-seigenschaften 59 — Dreieckelemente mit vollständigen Polynomen 61 —Bemerkung zu C1-Elementen 62 — Bilineare Elemente 64 — QuadratischeViereckelemente 66 — Affine Familien 67 — Zur Auswahl von Elementen70 — Aufgaben 70

§ 6. Approximationssätze 72Der Fragenkreis um das Bramble–Hilbert–Lemma 73 — Dreieckelementemit vollständigen Polynomen 74 — Bilineare Viereckelemente 78 — InverseAbschätzungen 79 — Cléments Operator 80 — Anhang: Zur Optimalitätder Abschätzungen 82 — Aufgaben 83

§ 7. Fehlerabschätzungen für elliptische Probleme zweiter Ordnung 85Bemerkungen zu Regularitätssätzen 85 — Fehlerabschätzungen in der En-ergienorm 86 — L2-Abschätzungen 87 — Eine einfache L∞-Abschätzung89 — Der L2-Projektor 90 — Aufgaben 91

§ 8. Rechentechnische Betrachtungen 92Das Aufstellen der Steifigkeitsmatrix 92 — Innere Kondensation 94 —Aufwand für das Aufstellen der Matrix 95 — Rückwirkung auf die Wahldes Netzes 95 — Teilweise Netzverfeinerungen 95 — Zur Lösung desNeumann-Problems 97 — Aufgaben 97

Kapitel IIINichtkonforme und andere Methoden 99

§ 1. Abstrakte Hilfssätze und eine einfache Randapproximation 100Die Lemmas von Strang 100 — Dualitätstechnik 102 — Das Crouzeix–Raviart–Element 103 — Eine einfache Approximation krummliniger Rän-der 106 — Modifikationen beim Dualitätsargument 108 — Aufgaben 110

§ 2. Isoparametrische Elemente 111Isoparametrische Dreieckelemente 111 — Isoparametrische Viereckele-mente 113 — Aufgaben 115

§ 3. Weitere funktionalanalytische Hilfsmittel 116Negative Normen 116 — Adjungierte Operatoren 118 — Ein abstrakterExistenzsatz 118 — Ein abstrakter Konvergenzsatz 120 — Beweis von Satz3.4 121 — Aufgaben 122

§ 4. Sattelpunktprobleme 123Sattelpunkte und Minima 123 — Die inf-sup-Bedingung 124 — GemischteFinite-Element-Methoden 128 — Fortin-Interpolation 130 — Sattelpunkt-probleme mit Strafterm 131 — Typische Anwendungen 135 — Aufgaben136

x Inhaltsverzeichnis

§ 5. Gemischte Methoden für die Poisson-Gleichung 138Die Poisson-Gleichung als gemischtes Problem 138 — Das Zwei-Energien-Prinzip — Das Raviart– Thomas–Element 142 — Interpolation mit Raviart–Thomas–Elementen 143 — Implementierung und nachträgliche Verbesse-rung 146 — Gitterabhängige Normen für das Raviart–Thomas–Element 147— Der Aufweichungs-Effekt gemischter Methoden 148 — Aufgaben 150

§ 6. Die Stokessche Gleichung 152Variationsformulierung 153 — Die inf-sup-Bedingung 154 — Fast inkom-pressible Strömungen 156 — Aufgaben 157

§ 7. Finite Elemente für das Stokes-Problem 158Ein instabiles Element 158 — Das Taylor–Hood–Element 163 — Das MINI-Element 164 — Das divergenzfreie nichtkonforme P1-Element 166 — Auf-gaben 167

§ 8. A posteriori Abschätzungen 168Residuale Schätzer 170 — Untere Abschätzungen 172 — Bemerkungenzu anderen Schätzern 175 — Lokale Gitterverfeinerungen und Konvergenz175

§ 9. A Posteriori Schätzer über das Zwei-Energien-Prinzip 177Aufgaben 183

Kapitel IVDie Methode der konjugierten Gradienten 185

§ 1. Klassische Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 186Stationäre lineare Prozesse 186 — Gesamt- und Einzelschrittverfahren 188— Das Modellproblem 191 — Overrelaxation 191 — Aufgaben 194

§ 2. Gradientenverfahren 195Das allgemeine Gradientenverfahren 195 — Gradientenverfahren und qua-dratische Funktionen 196 — Konvergenzverhalten bei Matrizen mit großerKondition 198 — Aufgaben 199

§ 3. Verfahren mit konjugierten Gradienten und konjugierten Residuen 200Der Algorithmus 202 — Analyse des cg-Verfahrens als optimales Verfahren204 — Verfahren der konjugierten Residuen 206 — Indefinite und unsym-metrische Matrizen 207 — Aufgaben 208

§ 4. Vorkonditionierung 209Vorkonditionierung durch SSOR 212 — Vorkonditionierung durch ILU 213— Bemerkungen zur Parallelisierung 215 — Nichtlineare Probleme 216 —Aufgaben 217

§ 5. Sattelpunktprobleme 220Der Uzawa-Algorithmus und seine Varianten 220 — Eine Alternative 222— Aufgaben 223

Inhaltsverzeichnis xi

Kapitel VMehrgitterverfahren 224

§ 1. Mehrgitterverfahren für Variationsaufgaben 225Glättungseigenschaften klassischer Iterationsverfahren 225 — Die Mehr-gitter-Idee 226 — Der Algorithmus 227 — Der Übergang zwischen denGittern 230 — Aufgaben 234

§ 2. Konvergenz von Mehrgitterverfahren 235Diskrete Normen 236 — Verknüpfung mit den Sobolev-Normen 238 —Approximationseigenschaft 240 — Konvergenzbeweis für das Zweigitter-verfahren 241 — Andere Konzepte 242 — Aufgaben 244

§ 3. Konvergenz bei mehreren Ebenen 245Eine Rekursionsformel für den W-Zyklus 245 — Die Verschärfung für dieEnergienorm 246 — Der Konvergenzbeweis für den V-Zyklus 248 — Auf-gaben 251

§ 4. Berechnung von Startwerten 252Bestimmung von Startwerten 253 — Komplexität 254 — Mehrgitterver-fahren mit wenigen Ebenen 255 — Das cascadische Mehrgitterverfahren256 — Aufgaben 257

§ 5. Analyse von Mehrgitterverfahren 258Das Schwarzsche alternierende Verfahren 259 — Algorithmen mit Teil-raumzerlegungen aus algebraischer Sicht 261 — Hypothesen 262 — Di-rekte Folgerungen 263 — Konvergenz der multiplikativen Methode 264 —Nachweis der Hypothese A.1 266 — Lokale Gitterverfeinerungen 267 —Aufgaben 268

§ 6. Nichtlineare Probleme 269Mehrgitter-Newton-Verfahren 270 — Das nichtlineare Mehrgitterverfahren271 — Startwerte 273 — Aufgaben 274

Kapitel VIFinite Elemente in der Mechanik elastischer Körper 275

§ 1. Einführung in die Elastizitätstheorie 276Kinematik 276 — Gleichgewichtsbedingungen 278 — Die Piola-Trans-formation 280 — Materialgesetze 281 — Lineare Materialgesetze 285

§ 2. Hyperelastische Materialien 287Aufgaben 289

§ 3. Lineare Elastizitätstheorie 290Das Variationsproblem 290 — Die reine Verschiebungsmethode 294 — Diegemischte Methode nach Hellinger und Reissner 297 — Die gemischteMethode nach Hu–Washizu 299 — Aufgaben 301

xii Inhaltsverzeichnis

§ 4. Locking 303Probleme mit kleinem Parameter 303 — Locking beim Timoschenko-Balken306 — Fast inkompressibles Material 309 — Aufgabe 313

§ 5. Scheiben 314Ebener Spannungszustand 314 — Ebener Verzerrungszustand 315 — Schei-benelemente 315 — Das PEERS-Element 316 — Aufgaben 321

§ 6. Balken und Platten: Dimensionsreduktion 322Die Hypothesen 322 — Modifikation der Hypothese H2 zu ihrer Recht-fertigung 325 — Reduktion des (1, 1, 2)-Modells 328 — Anwendung desZwei-Energien-Prinzips auf Platten 329 — Bemerkungen zu Balken 332

§ 7. Finite Elemente für die Kirchhoff-Platte 333Gemischte Methoden für die Kirchhoff-Platte 332 — DKT-Elemente 335— Aufgaben 340

§ 8. Die Reissner–Mindlin–Platte 341Die Helmholtz-Zerlegung 342 — Der gemischte Ansatz mit Helmholtz-Zerlegung 344 — MITC-Elemente 345 — Der Ansatz ohne Helmholtz-Zerlegung 349 — Aufgaben 352

Literatur 353

Sachverzeichnis 365

Bezeichnungen

Bezeichnungen zu Differentialgleichungen und Finiten Elementen

� offene Menge im Rn

Γ =∂�ΓD Teil des Randes, auf dem Dirichlet-Bedingungen vorgegeben sindΓN Teil des Randes, auf dem Neumann-Bedingungen vorgegeben sindΔ Laplace-OperatorL Differentialoperator

aik, a0 Koeffizientenfunktionen der Differentialgleichung[ · ]∗ Differenzenstern

L2(�) Raum der über � quadrat-integrierbaren FunktionenH m(�) Sobolev-Raum von L2-Funktionen mit quadrat-integrierbaren

Ableitungen bis zur Ordnung mH m

0 (�) Unterraum von H m(�) der Funktionen mit verallgemeinertenNullrandbedingungen

Ck(�) Menge der Funktionen mit stetigen Ableitungen der Ordnung kCk

0 (�) Unterrraum von Ck(�) der Funktionen mit kompaktem Trägerγ Spuroperator

‖ · ‖m Sobolev-Norm der Ordnung m| · |m Sobolev-Seminorm der Ordnung m‖ · ‖∞ Suprenumnorm

�2 Raum der quadratisch summierbaren FolgenH ′ Dualraum von H〈·, ·〉 duale Paarung|α| =

∑αi . Ordnung des Multiindex α

∂i partielle Ableitung ∂∂xi

∂α partielle Ableitung der Ordnung α

D (Fréchet-) AbleitungJ Variationsfunktional

a(·, ·) Bilinearform im Variationsfunktionalα Elliptizitätskonstanteν äußere Normale∂ν ∂/∂ν Ableitung in Richtung der äußeren Normalen∇ f (∂ f/∂x1, ∂ f/∂x2, . . . , ∂ f/∂xn)

div f∑n

i=1 ∂ f/∂xi

Sh Finite-Element-Raumψk Basisfunktion von Sh

Th Zerlegung (Triangulierung) von �

xiv Bezeichnungen

T (Dreieck- oder Viereck-) Element in Th

Tref ReferenzelementhT , ρT Umkreis- bzw Inkreisradius von T

κ Parameter zur Messung der Uniformität einer Zerlegungμ(T ) Fläche (Volumen) von T

Pt Menge der Polynome vom Grad ≤ tQt Polynommenge (5.4) zu Viereckelementen

P3,red kubische Polynome ohne bubble function-AnteilΠref Menge von Polynomen, welche durch die Restriktion von Sh

auf ein (Referenz-) Element gebildet werdens = dim Πref

Σ Menge von linearen Funktionalen in der Definition affiner FamilienMk,Mk

s ,Mks,0 polynomiale Finite-Element-Räume in L2, H s+1 und Hs+1

0M1∗,0 Menge der Funktionen in M1, die am Mittelpunkt der Seiten stetig

sind und Nullrandbedingungen im gleichen Sinne erfüllenI, Ih Interpolationssoperator auf Πref bzw. auf Sh

A Steifigkeits- oder Systemmatrix�2 Raum der quadratsummierbaren Folgenδ.. Kronecker-Symbole Kante eines Elements

‖ · ‖m,h gitterabhängige Normker L Kern der linearen Abbildung L

V⊥ orthogonales Komplement von VV 0 Polare von VL Lagrange-FunktionM Raum der Nebenbedingungen (bei Sattelpunktproblemen)β Konstante in der Brezzi-Bedingung

RTk Raviart–Thomas–Element vom Grad kH(div,�) := {v ∈ L2(�)d; div v ∈ L2(�)}, � ∈ R

d

L2,0(�) Menge der Funktionen in L2(�) mit Integralmittel 0B3 kubische bubble Funktion (Blase)

�∇uh Sprung von ∇uh auf einer ElementkanteωT , ωe Umgebung von T bzw. e in Th

ηT,R, ηR lokaler und globaler Fehlerschätzer

Bezeichnungen bei der Methode der konjugierten Gradienten

∇ f Gradient von f (Spaltenvektor)κ(A) spektrale Konditionszahl der Matrix Aσ(A) Spektrum der Matrix Aρ(A) Spektralradius der Matrix A

λmin(A) kleinster Eigenwert der Matrix Aλmax(A) größter Eigenwert der Matrix A

At Transponierte der Matrix A

Bezeichnungen xv

I EinheitsmatrixC Matrix zur Vorkonditionierunggk Gradient bei der Näherung xk

dk Richtung der Korrektur im Schritt kVk = span[g0, . . . , gk−1]

x ′y Euklidisches Skalarprodukt der Vektoren x und y‖x‖A = √x ′Ax (Energienorm)‖x‖∞ = maxi |xi | (Maximumnorm)

Tk k-tes Tschebyscheff-Polynomω Relaxationsparameter

Bezeichnungen bei Mehrgitterverfahren

T� Triangulierung auf der Ebene �

S� = Sh�Finite-Element-Raum auf der Ebene �

A� Systemmatrix auf der Ebene �

N� = dim S�

S Glättungsoperatorr, r Restriktionen

p Prolongationx�,k,m, u�,k,m Variable auf der Ebene � im k-ten Iterationsschritt und im m-ten Teilschritt

ν1, ν2 Anzahl der Vorglättungen bzw. Nachglättungenν = ν1 + ν2

μ = 1 beim V-Zyklus, = 2 beim W-Zyklusq = �max

ψj� j-te Basisfunktion auf der Ebene �

ρ� Konvergenzrate von MGM�

ρ = sup� ρ�

||| · |||s diskrete Norm der Ordnung sβ Maß für die Glattheit einer Funktion in Sh

L nichtlinearer OperatorL� nichtlineare Abbildung auf der Ebene �

DL Ableitung von L

Bezeichnungen in der Strukturmechanik

u Verschiebungφ Deformation

φT Transponierte von φ

id identische AbbildungC = ∇φT∇φ Cauchy–Greenscher VerzerrungstensorE Verzerrungε Verzerrung in linearer Näherungt Cauchyscher Spannungsvektor

T Cauchyscher Spannungstensor

xvi Bezeichnungen

TR 1. Piola–Kirchhoffscher SpannungstensorΣR 2. Piola–Kirchhoffscher Spannungstensorσ Spannung in linearer NäherungT = T (F) Antwortfunktion für Cauchyschen SpannungstensorΣ = Σ(F) Antwortfunktion für Piola–Kirchhoffschen SpannungstensorΣ Σ(FT F) = Σ(F)

T T (F FT ) = T (F)

S2 Einheitssphäre im R3

M3 Menge der 3× 3-Matrizen

M3+ Menge der Matrizen in M

3 mit positiver DeterminanteO

3 Menge der orthogonalen 3× 3-MatrizenO

3+ = O3 ∩M

3+S

3 Menge der symmetrischen 3× 3-MatrizenS

3> Menge der positiv definiten Matrizen in S

3

ı A = (ı1(A), ı2(A), ı3(A)) Invarianten von A∧ Vektorprodukt im R

3

diag(d1, . . . , dn) Diagonalmatrix mit Elementen d1, . . . , dn

λ,μ Lamé-KonstantenE Elastizitätsmodulν Poissonzahln Normalenvektor (abweichend von Kap. II und III)C σ = C ε

W Energiefunktional eines hyperelastischen MaterialsW W (FT F) = W (F)

ε : σ =∑i j εi jσi j

Γ0, Γ1 Teile der Ränder, auf denen u bzw. σ · n vorgegeben istΠ Energiefunktional in der linearen TheorieD symmetrische Ableitung

as(τ ) schiefsymmetrischer Anteil von τ

H s(�)d = [H s(�)]d

H 1Γ (�) := {v ∈ H1(�) mit v(x) = 0 für x ∈ Γ0}

H(div,�) := {τ ∈ L2(�); div τ ∈ L2(�)}, τ ist Vektor oder TensorH(rot,�) := {η ∈ L2(�)2; rot η ∈ L2(�)}, � ⊂ R

2

H−1(div,�) := {τ ∈ H−1(�)d; div τ ∈ H−1(�)}, � ⊂ Rd

θ, γ,w Verdrehung, Scherterm und transversale Verschiebungbei Balken und Platten

t Dicke von Balken, Scheibe oder Platte� Länge eines Balkens

Wh,Θh, Γh, Qh Finite-Element-Räume in der Plattentheorieπh L2-Projektor auf Γh

R Restriktion auf Γh

Ph L2-Projektor auf Qh