Fuzzy-Systeme – Positive Aspekte der Unvollkommenheit

4 R. Kruse: Fuzzy Systeme – Positive Aspekte der Unvollkommenheit

Zusammenfassung Fuzzy-Systeme erfreuen sichwegen der vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten im industri-ellen Umfeld einer wachsenden Popularität, wohingegen im Be-reich der Forschung Fuzzy-Techniken immer noch äußerst kri-tisch beäugt werden. Ein Grund dafür liegt darin, daß vieleMißverständnisse bezüglich der Methodik der Fuzzy-Systemesowie der eigentlichen Zielsetzung beim Einsatz von Fuzzy-Sy-stemen bestehen. Das Ziel dieses Aufsatzes ist es daher, einigeMißverständnisse aufzuklären, grundlegende Fuzzy-Technikenzu erläutern und die zur Zeit am stärksten diskutierten Einsatz-gebiete sowie Neuro-Fuzzy-Systeme vorzustellen.

Schlüsselwörter Fuzzy-Logik, Fuzzy-Systeme,Fuzzy-Regelung,Vagheit

Summary Due to numerous possible applicationfields, fuzzy systems enjoy increasing popularity. On the otherhand, from the viewpoint of research, some criticism on fuzzytechniques is still pending.A reason for it lies in several misun-derstandings concerning the methodology of fuzzy systems andthe primar objectives of using them in practice. The aim of thispaper is to clarify these misunderstandings, to introduce basicfuzzy techniques, and to present their currently most importantapplication areas a well as neural fuzzy systems.

Key words Fuzzy Logic, Fuzzy-Systems, FuzzyControl,Vagueness

Computing Reviews Classification I.2, J.2

a00000022221111. Einleitung

In den vergangenen Jahren hat die Verwendung von Fuzzy-Sy-stemen im Bereich der Regelungstechnik verblüffende Erfolgeerbracht. Es gibt mehr als 1500 erfolgreiche Applikationen in Ja-pan – die bekanntesten sind die U-Bahn von Sendai und einModellhubschrauber, der mit verbalen Kommandos gelenktwerden kann; aber auch im Bereich der Haushaltsgeräte(Waschmaschinen, Rasierapparate, Mikrowellenherde, Staub-

sauger, . . .), der Medizintechnik (Blutdruckmeßgeräte, . . .) undder optischen Industrie (Fotoapparate, Camcorder, . . .) werdenFuzzy-Methoden eingesetzt [12, 13]. Die Tatsache, daß „fuzzy“ inJapan zum Wort des Jahres 1991 gewählt wurde, belegt die dorti-ge Popularität dieser Produkte.

Mittlerweile hat die deutsche Industrie jedoch be-trächtlich aufgeholt [7, 17] und bietet ihrerseits viele Fuzzy-Pro-dukte an – in der Regelungstechnik wird Fuzzy Control als einepreiswerte und einfache Standardtechnik eingesetzt. Da es mitt-lerweile eine ganze Reihe von einführenden Büchern zu demGebiet der Fuzzy-Systeme gibt, habe ich für diesen Aufsatz ei-nen Zugang gewählt, der verdeutlicht, daß Fuzzy-Methodenauch eine langfristige wissenschaftliche Alternative bieten undnicht nur im Bereich der Regelungstechnik einsetzbar sind.

a00000022221112. Aspekte der Unvollkommenheit

In den Ingenieur- und Naturwissenschaften bedient man sichzur Beschreibung von Systemen üblicherweise mathematischerModelle. Typische Beispiele sind Modelle, die physikalischenGesetzen folgen (z.B. Systeme von Differentialgleichungen), sto-chastische Modelle (z.B. Markov-Ketten), aber auch Modelle,die aus der mathematischen Logik hervorgegangen sind (z.B.das Entity-Relationship-Modell im Bereich der Datenbanksy-steme). Eine generelle Schwierigkeit bei der Beschreibung mit-tels Modellen liegt darin, daß oftmals erhebliche Idealisierun-gen notwendig sind, um von einem konkreten Problem zu ei-nem geeigneten mathematischen Modell zu gelangen.

Bei noch nicht vollständig verstandenen Problemensind die Modelle oft unvollkommen, wobei eine Vielzahl von se-mantisch unterschiedlichen Unvollkommenheiten zu finden ist(vergleiche auch die Artikelserie über dieses Thema in der Zeit-schrift Spektrum der Wissenschaft 7, 1994). Selbst wenn eineperfekte Modellierung gelungen ist, hat man mit Komplexitäts-,Unentscheidbarkeits- oder Unvollständigkeitsproblemen zukämpfen.

Die bei Fuzzy-Systemen verfolgte Strategie bestehtdarin, einen Anteil an fehlender Präzision sowie Vagheit undUnsicherheit (verstanden als spezielle Arten von Unvollkom-menheit) beim Modellierungsprozeß zu tolerieren. Durch dasgezielte Verwenden dieser nicht perfekten Informationen kannman dann den Vorteil einer damit verbundenen Komplexitäts-reduktion gegenüber anderen Systemen ausnutzen.

Hauptbeitrag

Fuzzy-Systeme – Positive Aspekte der Unvollkommenheit

Rudolf Kruse

Rudolf Kruse,Fachbereich für Mathematik und Informatik, Technische UniversitätBraunschweig, Bültenweg 74/75, D-38106 Braunschweig

Informatik-Spektrum 19: 4–11 (1996) © Springer-Verlag 1996

R. Kruse: Fuzzy Systeme – Positive Aspekte der Unvollkommenheit 5

Es handelt sich also um eine gewollte Unvollkom-menheit bei der Modellierung, um eine Art Erfindung (undnicht um Entdeckungen wie im Falle der Analyse von Massen-erscheinungen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie).

Zu grobe Modelle bergen natürlich die Gefahr insich, daß wichtige Eigenschaften der realen Welt außer acht ge-lassen werden.Andererseits läßt sich die Frage, was ein gutesModell ist, nicht am Präzisionsgrad der einfließenden Informa-tionen messen, sondern allein anhand spezifizierbarer Gütekri-terien wie Korrektheit,Vollständigkeit,Adäquatheit, Effizienzund Benutzerfreundlichkeit. Es ist demnach nicht verwunder-lich, daß ein Modell, das durch die systematische Einbeziehungdieser Informationen zu einer komplexitätsreduzierten Be-schreibung des interessierenden Systems führt, in bezug aufverschiedene Gütekriterien objektiv durchaus besser sein kannals ein Modell, das schwieriger zu handhaben ist, weil es gene-rell nur präzise Informationen zuläßt.

a00000022221113. Modellierung unscharfer Informationen

Man ist im täglichen Leben gewohnt, mit Fuzzy-Informationen(= unscharfen Informationen) zu arbeiten. In Kochrezeptensteht oft „Man nehme eine Prise Salz“; niemand würde auf dieIdee kommen,„die Beigabe von 55 Salzpartikeln“ zu empfehlen.In Wetterberichten (sonnig, nachmittags leichte Regenschauer),Börsenberichten (hohe Gewinne möglich) und Wegbeschrei-bungen (gehe ca. 500 m bis zu einem hohen Haus) hat man sichan unscharfe Informationen gewöhnt und kann auch problem-los mit ihnen arbeiten.Will man jedoch technische Systeme indie Lage versetzen, unsichere Informationen zu tolerieren, z.B.Roboter bauen, die unscharfe Wegbeschreibungen akzeptieren,so muß man zunächst eine geeignete Formalisierung oder einmathematisches Modell für unscharfe Informationen ent-wickeln.

Diese Aufgabe der Modellbildung hat sich als äu-ßerst kompliziert herausgestellt, da die Semantik der verwende-ten unscharfen Informationen genau festgelegt werden mußund sehr viele unterschiedliche Modellbildungen betrachtetwerden können. Oft muß man sich mit Kalkülen begnügen, dieapproximative Schlußfolgerungen durchführen können. DieIdee besteht dann darin, nicht ein formales Modell des Schlie-ßens anzugeben, sondern annäherungsweise das Folgern nach-

zuempfinden. Im EG-Projekt „Defeasible Reasoning and Uncer-tainty Management Systems“ arbeiten 21 europäische Forscher-gruppen seit sechs Jahren an diesem Thema, ohne das Problemerschöpfend gelöst zu haben. Eine der hier diskutierten Model-lierungen betrifft die Verwendung von Fuzzy-Methoden, mitdenen vage, unsichere und impräzise Informationen modelliertwerden können.

Der Begriff „Vagueness“ findet bereits seit mehr als100 Jahren das Interesse vieler Forscher, unter anderem habensich der Mathematiker Bertrand Russell (1923) und der Philo-soph Max Black (1937) eingehend mit diesem Thema befaßt,auch der Mathematiker Menger hat sich Ende der fünfziger Jah-re mit „hazy sets“ (französisch: ensemble flou) beschäftigt. Inden angewandten Wissenschaften hat jedoch erst der Aufsatz„Fuzzy Sets“ von L. Zadeh aus dem Jahre 1965 [15] ein breiteresInteresse an dem Thema geweckt, da L. Zadeh bereits als Profes-sor für Elektrotechnik eine Karriere als Regelungstechniker inBerkeley hinter sich hatte und sich nun aus Überzeugung in derForschung vollständig der Modellierung unscharfer Informa-tionen widmete. L. Zadehs Grundidee [16] war,

“ . . . that the conventional quantitative techniques of systemanalysis are intrinsically unsuited for dealing with humanis-tic systems or, for that matter, any system whose complexity iscomparable to that of humanistic systems. The basis of thiscontention rests on what might be called the principle of in-compatibility. Stated informally, the essence of this principleis that as the complexity of a system increases, our ability tomake precise and yet significant statements about itsbehaviour diminishes until a treshold is reached beyondwhich precision and significance (or relevance) becomealmost mutually exclusive characteristics.“

Die Evolution der Fuzzy-Systeme veranschaulicht die stark ver-einfachende Abb. 1, vergleiche auch [2]. Die Entwicklungen imBereich der Fuzzy-Systeme wurden in Deutschland besondersstark durch die Medien beeinflußt. Der Verlauf der Kurve ist ty-pisch für jede neue erfolgreiche Technologie.

a00000022221114. Zur Mathematik der Fuzzy-Mengen

Im Unterschied zu gewöhnlichen Mengen, bei denen Elementeeindeutig zu einer Menge gehören oder nicht zu ihr gehören,werden bei Fuzzy-Mengen beliebige graduelle Zugehörigkeitenzwischen 0 und 1 zugelassen. Eine Fuzzy-Menge µ ist daher alseine Funktion von der Grundmenge bzw. dem Universum Ω indas Einheitsintervall charakterisierbar:

µ(ω) = 0 bedeutet, daß w nicht zu µ gehört, währendµ(ω) = 1 aussagt, daß ωzu µ gehört. Durch Fuzzy-Mengen kön-nen vage Konzepte wie groß repräsentiert werden (etwa dieFuzzy-Menge der in cm gemessenen Körperhöhen von Erwach-senen, die als groß zu bezeichnen sind). Die Wahl der Fuzzy-Mengen zur Repräsentation vager Konzepte hängt von demKontext ab. Beispielsweise verbinden Personen verschiedenenAlters durchaus nicht dieselben Altersgruppen mit dem Begriff

Abb. 1 Erwartungen der Nutzer an die Fuzzy Technologie.

µ : ,Ω → [ ]0 1


jung. Eine gewöhnliche Menge M wird durch ihre charakteristi-sche Funktion

repräsentiert und ist daher als spezielle Fuzzy-Menge interpre-tierbar.

Um die mengentheoretischen BasisoperationenDurchschnitt,Vereinigung und Komplementbildung für Fuzzy-Mengen zu definieren, müssen die logischen Konnektive, dieklassisch nur für die Werte 0 (falsch) und 1 (wahr) definiertsind, auf das Einheitsintervall erweitert werden. Hier wird dieVerbindung zwischen der Theorie der Fuzzy-Mengen undmehrwertigen (insbesondere [0,1]-wertigen) Logikkalkülendeutlich.

Es sollen im folgenden Teil dieses vierten Kapitels ei-nige mathematische Grundlagen behandelt werden. Der an die-sen Fragen weniger interessierte Leser kann mit Kapitel 5 fort-fahren.

Das logische und, oder und die Negation nicht wer-den in [0,1]-wertigen Logiken nicht mehr durch eine einfacheWahrheitstabelle vorgegeben, sondern als Funktionen

aufgefaßt, so daß die Fuzzy-Mengendurch

gegeben sind. Diese verallgemeinerten logischen Operatoren le-gen fest, wie mit „partieller Wahrheit“ (partial truth) gerechnetwerden sollte. Ihre Definition hängt davon ab, welche Eigen-schaften erwünscht sind. Zumindest sollten sie normal sein, d.h.auf die Werte 0 und 1 eingeschränkt mit den klassischen Opera-tionen übereinstimmen. Fürgefordert, daß sie t-Normen bzw. t-Conormen sind. Eine t-Normist eine Funktiondingungen genügt:

Eine t-Conorm muß wie eine t-Norm ebenfalls dieEigenschaften (i), (ii) und (iii) erfüllen; anstelle von (iv) wird je-dochverwendet, induziert jede t-Norm T eine t-Conorm

, was dem DeMorganschen Gesetzentspricht. Die am häufigsten benutzten

Operationen sind. Sie motivieren auch die Interpretation von Quan-

toren in mehrwertigen Logiken. Ein Allquantor (Existenzquan-tor) entspricht dabei dem Bilden eines Infimums (Supremums).Auf diese Weise lassen sich Konzepte, die mit Hilfe eines logi-schen Ausdrucks beschreibbar sind, problemlos für Fuzzy-Men-gen verallgemeinern. Ein Spezialfall hiervon ist Zadehs Exten-sionsprinzip:

Ist µ eine Fuzzy-Menge auf dem Universum X und f : X →Y ei-ne Abbildung, dann ist das Bild n von µ unter f gegeben durchdie Fuzzy-Menge

was für gewöhnliche Untermengen M von X der Aussage

entspricht.Mit Hilfe des Extensionsprinzips lassen sich ganze

Theorien fuzzifizieren, wie zum Beispiel die statistische Daten-analyse oder die Mustererkennung.

Für das effiziente Operieren mit Fuzzy-Mengen istdie Darstellung als Funktion vielfach nicht geeignet.Wichtig istdaher auch der Repräsentationssatz für Fuzzy-Mengen, der be-sagt, daß eine Fuzzy-Menge µ durch ihre Niveaumengen

eindeutig charakterisiert ist.Auf diese Weise lassen sich Operationen niveauweise ausführen,so daß beispielsweise die Fuzzy-Arithmetik, bei der die Additi-on, Multiplikation etc. von Fuzzy-Mengen der reellen Zahlen ge-rade über das Extensionsprinzip ermöglicht wird, für bestimm-te Klassen von Fuzzy-Mengen auf die Intervallarithmetikzurückführbar ist.Werden Operationen auf Fuzzy-Mengen im-plementiert, dann bietet diese Vorgehensweise Vorteile, wennman sich auf endlich viele Niveaumengen beschränken kannund demnach Approximationen der betrachteten Fuzzy-Men-gen ausreichen.

Zu einer fundierten Betrachtung von Fuzzy-Mengenund den auf ihnen beruhenden Fuzzy-Systemen bedarf es dergenauen Festlegung der Semantik der Zugehörigkeitsgrade. InApplikationen geschieht deren Angabe für einzelne Elementehäufig intuitiv anhand von Erfahrungswerten. In diesem Fall istaber zum Beispiel nicht klar, was ein Zugehörigkeitsgrad von0.9 im Vergleich zu einem Zugehörigkeitsgrad von 0.8 zu be-deuten hat, außer daß er etwa im Sinne einer Präferenzrelationgrößer ist. Bei der Verwendung von Operationen (z.B. Durch-schnitt) ist die Festlegung der genauen Bedeutungen des Zu-gehörigkeitsgrades natürlich unvermeidbar.

Für subjektive Wahrscheinlichkeiten gibt es mehr als10 verschiedene Bedeutungen. Es ist daher nicht verwunderlich,daß für Fuzzy-Mengen ebenfalls mehrere Semantiken existie-ren, wobei Fuzzy-Mengen besonders oft als induzierte Konzepteverwendet werden.

Eine häufig benutzte Interpretation einer Fuzzy-Menge fußt auf dem Konzept der Ähnlichkeit (fuzzy similarity,similarity, indistinguishability), das mit Hilfe von Ähnlichkeits-relationen [6] axiomatisch wie folgt festgelegt wird: Eine Ähn-lichkeitsrelation E auf der Grundmenge X ist eine Abbildungvon X × X in das Einheitsintervall, die folgende drei Eigenschaf-ten besitzt:

bedeutet, daß x und y als ununterscheidbar angese-hen werden,bar sind, die anderen Zahlen des Einheitsintervalls kann manals Grade der Ähnlichkeit interpretieren. Ähnlichkeitsrelatio-nen werden auch als indistinguishability operator, tolerance re-

χ ω ωM

M: , ,Ω → ∈ 0 1

10

afalls

sonst

∧ ∨ × → ¬ →[ ] [ ] [ ] [ ] [ ], : , , , : , ,0 1 0 1 0 1 0 1 0 1, bzw.

µ ν µ ν µ∩ ∪, und

µ ν ω µ ω ν ω µ ν ω µ ω ν ω

µ ω µ ω ω

∩ = ∧ ∪ = ∨

= ¬ ∀ ∈

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, ,

,

bzw.

Ω

T : , , , ,0 1 0 1 0 1[ ] [ ] [ ]× →

i a b c d T a c T b d

ii T a b T b a

iii T a T b c T T a b c

iv T a a

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

≤ ≤ ⇒ ≤

=

=

=

und Monotonie

Kommutativität

Assoziativität

Einselement

, ,

, ,

, , , ,

,1

∧ ∨bzw. wird im allgemeinen

die folgenden Be-

T a a, 0( ) = gefordert.Wird ¬ = −( )a a1 als NegationƒT mittels

ƒ , ,T a b T a b( ) ( )= − − −1 1 1

A B A B∨ ⇔ ¬ ¬ ∧ ¬( )a b a b a b a b∧ = ∨ = min und, , max ,

¬ = −( )a a1

ν µy x f x y y Y( ) ( ) ( ) = = ∈sup ,| ,

y f M x M f x y∈ ⇔ ∃ ∈ =( ) ( ):

µα µ α α= ≥ ≤ ≤( ) ( )x x| 0 1

i E x x

ii E x y E y z

iii E x y E y z E x z

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

+ − ≤

,

, ,

max , , , ,

1

1 0

reflexiv

symmetrisch

pseudotransitiv

E x y,( ) = 1

E x y,( ) = 0 bedeutet, daß x und y voll unterscheid-


lation, similarity relation oder equality relation bezeichnet. Fürjede Gleichheitsrelation E ist 1 – E eine Pseudo-Metrik, wie zuerwarten sind daher Abstand und Ununterscheidbarkeit dualeBegriffe.

Fuzzy-Mengen kann man in diesem Zusammenhanggut zur Beschreibung der lokalen Ununterscheidbarkeit ver-wenden: Ist

die Ununterscheidbarkeit inder Umgebung vonverwendet [6].

Ein weiterer Zugang zu Fuzzy-Mengen ergibt sichdadurch, sie epistemisch als Possibilitätsverteilungen (Möglich-keit im Gegensatz zu Wahrscheinlichkeit) aufzufassen und dannim Sinne eines induzierten Konzeptes als komprimierte Reprä-sentanten konkurrierender impräziser Informationen zu ver-wenden. In dieser Interpretation zeigen sich Bezüge zu one-point coverages von Zufallsmengen, contour functions von Be-lief-Funktionen und den aus der mengenwertigen Statistik be-kannten falling shadows. Diese Sichtweise von Fuzzy-Mengenwird oft im Bereich der wissensbasierten Systeme benutzt.

a00000022221115. Mißverständnisse im Bereich der

Fuzzy-Systeme

Viele überwiegend populärwissenschaftliche Darstellungen derFuzzy Methoden haben dazu beigetragen, daß Nutzer den Fuz-zy-Techniken zunächst sehr skeptisch gegenüber stehen (unddann erst durch erfolgreiche Realisierungen überzeugt werdenkönnen). Deshalb sollte man bei der Verwendung von Fuzzy-Sy-stemen im Vorfeld einige Mißverständnisse ausräumen.

Fuzzy-Methoden sind keine schlampigen Verfahren.Durch die Wahl des Wortes fuzzy (adj.: 1.flaumig; 2. faserig, fusse-lig; 3.kraus, struppig (Haar); 4.verschwommen; 5.benommen)wird oft assoziiert,daß die Mathematik der Fuzzy-Systeme eben-falls schlampig ist.Dies ist jedoch nicht der Fall, siehe z.B. [6],daseine saubere mathematische Grundlage vermittelt.Allerdingstummelten sich,durch den Namen „fuzzy“ angelockt, früher wirk-lich viele unpräzise arbeitende Wissenschaftler im Bereich Fuzzy-Systeme.Die Industrie nutzt das Label „fuzzy“ heute bewußt ausMarketinggründen, insbesondere auf dem japanischen Markt wirdfuzzy mit high tech gleichgesetzt.Auch bei uns hat sich das WortFuzzy-Systeme etabliert,niemand verwendet mehr den noch inden 70er Jahren favorisierten Ausdruck „Unscharfe Systeme“.Früher wurden Fuzzy-Methoden im industriellen Umfeld mei-stens unter anderem Namen geführt (ich wurde z.B.aufgefordert,für mein Buch „Statistics with Vague Data“ 1987 das Wort „fuzzy“nicht im Titel zu verwenden),auch heute nutzt die Industrie beiFuzzy-Methoden oft Schlagworte wie adaptiv, intelligent etc.

Fuzzy „Logic“ Control nutzt keine Methoden der mathemati-schen mehrwertigen Logik.Der Begriff Fuzzy-Logik wird im engeren (mathematisch: speziel-le mehrwertige Logik) und weiteren (umgangssprachlich: alles,wobei Fuzzy-Techniken benutzt werden) Sinne verwendet.FuzzyControl basiert semantisch auf Interpolationstechniken und nichtauf der Fuzzy-Logik im mathematischen Sinne (s.Kap.6).Letztere

ist eine besonders simple mehrwertige Logik.Es gibt jedoch eineganze Reihe von anderen,wesentlich besser untersuchten Logiken(wie die von Lukasiewicz bereits in den 30er Jahren vorgeschla-gene Logik mit Wahrheitswerten aus dem Einheitsintervall).Derkontroverse Aufsatz von C.Elkan [5] leidet ebenfalls unter der Un-kenntnis dieser Forschungsresultate, siehe die Artikelserie „Res-ponses to Elkan“ in der Zeitschrift IEEE Expert 9,No4, 1994.

Eine Fuzzy-Menge ist keine Wahrscheinlichkeitsdichte.Rein formal ist eine Fuzzy-Menge keine Dichtefunktion, da derFlächeninhalt unter der Kurve nicht Eins zu sein braucht.Aberauch semantisch gibt es gravierende Unterschiede, da Wahr-scheinlichkeiten meistens das Phänomen der Zufälligkeit mo-dellieren, Fuzzy-Mengen aber hierfür nicht geeignet sind, siehez.B. das Sonderheft der Zeitschrift IEEE Transactions on Fuzzy-Systems, Band 2, Heft 1, 1994. Es gibt zwar Querbeziehungenzwischen subjektiven Wahrscheinlichkeiten und Fuzzy-Mengenin speziellen Interpretationen, jedoch muß man auch in diesemBereich sehr auf semantische Fragen achten.

Fuzzy-Regelungs-Systeme besitzen scharfe Ein- und Ausgabewer-te,nur bei der internen Verrechnung nutzt man Fuzzy-Methoden.Durch die Wahl des Wortes Fuzzy wird beim potentiellen Nut-zer assoziiert, daß das Ergebnis eines Fuzzy-Systems selbst un-genau ist. In Regelungssystemen ist das natürlich nicht so, eswird ein scharfer Stellwert generiert. In entscheidungsunter-stützenden Fuzzy-Systemen kann (wie auch z.B. in probabilisti-schen Diagnosesystemen) eine unscharfe Ausgabe durchaus an-gemessen und erwünscht sein.

Alle zur Zeit mit Fuzzy-Methoden erzielten industriellen Pro-blemlösungen hätte man auch mit herkömmlicher Technik er-reichen können.Der Vorteil bei Fuzzy-Techniken liegt aus Sicht der Industrie mei-stens in der Kostenersparnis sowie in einer möglichst einfachenModellierung. Im universitären Umfeld waren Fuzzy-Systeme ausgenau diesem Grunde unpopulär,da man hier meistens an opti-malen,perfekten Problemlösungen interessiert ist.Einfache An-sätze oder Verfahren sind sogar oft unerwünscht (dies führtmanchmal dazu,daß Arbeiten bewußt so geschrieben werden,daß nur eine Handvoll Experten sie verstehen).Der Innovations-schub durch Fuzzy-Systeme ist auch dadurch entstanden,daßdurch einfache Fuzzy-Techniken dem Anwender die Scheu ge-nommen wird,neue komplizierte Aufgabenstellungen anzuge-hen: So berichten Siemens-Techniker,daß es äußerst kompliziertist,das Verhalten nasser Wäsche beim Schleudervorgang korrektzu modellieren.Mit einfachen Fuzzy-Techniken,die es erlauben,ihr Erfahrungswissen direkt einzubringen, ist es ihnen jedoch aufAnhieb gelungen,das Schleudern besser zu steuern (mit einemkorrekten, jedoch komplizierten Modell läßt sich das sicher nochoptimieren, für die Industrie stellt sich aber oft die Frage,ob derAufwand an Mannmonaten für diese Analyse sich lohnt).

Forschung im Bereich der Fuzzy-Systeme ist weiterhin notwendig.Auf dieser Basis wird man neuartige Lösungstechniken entwickeln.Zur Zeit wird sehr viel daran gearbeitet, zunächst den Nachweiszu erbringen, warum die einfachen Fuzzy-Verfahren so gutfunktionieren. Diese wissenschaftlichen Nachweise könnenrecht anspruchsvoll sein (Güte einer Funktions-Approximation,Gültigkeitsbereich einer Näherungslösung, Qualität einer sub-

x X0 ∈ fest gewählt, so beschreibt die Fuzzy-Mengeµ µx xX x E x x

0 00 1 0: , , ,→ =[ ] ( ) ( )

x0 . Diese Sichtweise wird bei Fuzzy Reglern


optimalen Lösung). Der nächste Schritt wird dann darin beste-hen, auf dieser Basis völlig neuartige Lösungstechniken zu ent-wickeln. So hat die Analyse des Erfolges von Fuzzy-Controllernzu der Entwicklung neuer lokal wirkender Interpolationstech-niken und effizienter Approximationsverfahren für bestimmteFunktionsklassen geführt.

a00000022221116. Fuzzy-Regler

Die Regelungstechnik befaßt sich mit Methoden zur Automati-sierung der Handhabung technischer Anlagen von Elektromo-toren bis zu komplexen Systemen wie Ozeandampfern. Eine Re-gelungsaufgabe besteht darin, die technische Anlage so zu steu-ern, daß sie ein vorgegebenes Ziel einhält oder erreicht. Z. B. sollder Motor eine konstante Drehzahl einhalten oder der Dampferseinen Kurs beibehalten. Zur Lösung dieser Aufgabe werden be-stimmte Eingangsgrößen gemessen, aufgrund derer die Beein-flussung der technischen Anlage mittels der Stellgrößen zur Er-reichung des Ziels bestimmt werden muß. Die klassische Rege-lungstechnik stützt den Entwurf eines Reglers auf ein mathe-matisches Modell des technischen Prozesses, der meist in Formvon Differentialgleichungen beschrieben wird (in industriellenAnwendungen wird das Modell meistens jedoch nicht verwen-det, sondern nur die daraus resultierenden Tuning-Regeln).

Im Gegensatz dazu basieren Fuzzy-Regler (FuzzyController) auf einer Beschreibung der Regelungsstrategie einesmenschlichen Experten, der den Prozeß (zumindest theore-tisch) beherrscht. Üblicherweise dienen umgangssprachlichformulierte Regeln der Form „Wenn die Drehzahl etwas zu hochist, senke die Stromzufuhr geringfügig“ zur Modellierung desExpertenverhaltens. Zur Umsetzung dieser Regeln in ein forma-les Modell für die automatische Regelung werden die auftreten-den vagen Konzepte wie etwas zu hoch oder geringfügig durchFuzzy-Mengen repräsentiert.Auf diese Weise kann für scharfgemessene Eingangsgrößen auf der Grundlage der Fuzzy-Men-gen und durch Ausführung geeigneter Operationen wie Durch-schnitt und Vereinigung ein passender Stellwert bestimmt wer-den. Meist liefert ein Fuzzy-Regler nur eine unscharfe Beschrei-bung des Stellwertes in Form einer Fuzzy-Menge, die noch de-fuzzifiziert werden muß, um einen konkreten Wert zu erhalten.

Mit Hilfe eines Fuzzy-Reglers wird daher ein Kenn-feld definiert, das für jede Wertekombination der Eingangsgrö-ßen einen geeigneten Stellwert festlegt. Dabei sind sowohl die

Eingabe als auch die Ausgabe scharf. Die Fuzzy-Mengen werdennur intern zur Berechnung verwendet. In diesem Sinne kannFuzzy-Regelung als wissensbasierte Interpolationstechnik zurBeschreibung von Kennfeldern gesehen werden. Man kann be-weisen, daß jede stetige Ein-Ausgabefunktion sich beliebig ge-nau mit einem Fuzzy-Regler approximieren läßt, d.h. Fuzzy-Regler sind universelle Approximatoren. In der Regelungstech-nik werden T-Normen meist dazu verwendet, gewisse Parame-ter anpassen zu können (in anderen Bereichen, wie der Diagno-se, muß man hingegen ihre genaue Bedeutung festlegen).

1975 beschrieb E. H. Mamdani die erste Anwendungim Labormaßstab, bei der ein Fuzzy-Regler zur Steuerung einerDampfmaschine verwendet wurde. Der industrielle Einsatz vonFuzzy-Techniken im größeren Umfang vom Blutdruckmeßgerätbis zur vollautomatisch fahrenden U-Bahn setzte Ende der acht-ziger und zu Beginn der neunziger Jahre ein. Nach anfänglicherSkepsis sind nun auch viele führende Regelungstechniker hier-zulande vom Nutzen der Fuzzy-Techniken überzeugt [11].

Zur Zeit wird Fuzzy Control meist bei einfachen Auf-gaben in der Regelungs-und Steuerungsebene eingesetzt.Aufden höheren Ebenen der Automatisierungstechnik, d.h. derÜberwachungs- und der Prozeß-Management Ebene (Koordi-nation, Planung, Optimierung) wächst die Unschärfe der erhält-lichen und erforderlichen Informationen; es ist außerdem mehrheuristisches und weniger analytisches Wissen verfügbar.Ausdiesem Grund kann der Einsatz von Fuzzy-Techniken auf denhöheren Ebenen der Informationsverarbeitung in der Automa-tisierungstechnik sogar noch wertvoller werden.

a00000022221117. Fallbeispiele

7.1. Leerlaufdrehzahlregelung

Im Rahmen der Zusammenarbeit mit der Volkswagen AG ha-ben wir einen Fuzzy-Regler für die Leerlaufdrehzahlregelungdes 2.0l-85kW-4-Zylinder-Reihenmotors des aktuellen Volks-wagen Golf GTI Modelles realisiert und mit dem Serienreglerverglichen. Der entstandene Regler weist neben einem struktu-rierten, einfachen Entwurf und kurzer Entwicklungszeit (2 Stu-denten, 4 Monate) insbesondere eine hohe Regelgüte auf.

Bei der Leerlauffüllungsregelung geht es um die Re-gelung der Drehzahl im Leerlauf, d.h. dem Ausgleichen vonLuftdruck- und Außentemperaturschwankungen und Bela-stungsaufschaltungen (z.B. Servolenkung, Klimaanlage oderelektrische Verbraucher sowie Einkuppeln bei eingelegtemGang beim Anfahren ohne Gasgeben) bei geschlossener Dros-selklappe (unbetätigtes Gaspedal) durch Verändern eines By-pass-Querschnittes zur Drosselklappe mit Hilfe eines elektrischangesteuerten Pulsweitenmodulation-Ventils (LFR-Steller).

Der dadurch entstehende veränderte Luftdurchsatzwird vom Luftmengenmesser erfaßt, der seinerseits dies als elek-trisches Signal (Messung über Potentiometer) dem Steuergerätmitteilt. Dort wird daraus die benötigte Kraftstoffmenge inForm von angepaßten Öffnungszeiten der elektrisch angesteuer-ten Kraftstoffeinspritzventile berechnet (keine Aufgabe des Fuz-zy Controllers!), wodurch sich dann insgesamt eine veränderteFüllung ergibt. Das vom Kraftfahrzeugmotor abgegebene Dreh-moment läßt sich somit der Situation gemäß anpassen. (Abb. 2).

Abb. 2 Schema des Prinzips der Leerlauffüllungsregelung.

Beim Zu- oder Wegschalten einer Belastung ist diesdurch den Fuzzy Controller anhand einer Drehzahlabweichungvom Sollwert (830 UpM) zu registrieren und entsprechenddurch Verändern des Bypassquerschnittes zu kompensieren.

Die Hauptprobleme der Regelstrecke liegen in derrelativ schlechten Drehzahlinformation (Fertigungstoleranzendes Drehzahlgebers (Hallgeber im Zündverteiler), Zahnflan-kenspiele und Torsionsschwingungen), in der Vielzahl der sto-chastischen Störprozesse (verschleppte Verbrennungen undStreuungen im Zünd- bzw. Einspritzsystem) und insbesonderein der Totzeit, d.h. beim Verändern des Querschnittes durch denLFR-Steller dauert es 10 – 15 Zündungen bis der Motor sein ver-ändertes Drehmoment abgibt (Grund: 4-Takt-Prinzip und Gas-laufzeit, welche im wesentlichen durch die Kapazität des Saug-rohrs bestimmt wird).

Beim Einschalten von Belastungseinheiten (z.B. Kli-maanlage) fällt die Drehzahl jedoch schlagartig ab, so daß insolchen Situationen sehr schnell reagiert werden muß, um ei-nen Drehzahlabfall unter die Laufgrenze des Motors zu verhin-dern. Da man in derartigen Fällen nach einer Regelaktion nichterst die Totzeit des Systems abwarten kann, um die Auswirkungdieser Maßnahme zu sehen, bevor man erneut den Stellwert

verändert, kann es leicht passieren, daß man den Bypass-Quer-schnitt zu stark vergrößert und über den Sollwert „hinaus-schießt“, so daß sich insgesamt das Regelsystem langsam aufden Sollwert einschwingt.

Der Fuzzy Controller ist auf einem 386SX-Laptop(20 MHz) in der Programmiersprache C implementiert undletztendlich als Kennfeld abgespeichert. Es bekommt die Einga-bedaten aus dem Steuergerät und liefert dorthin zurück auchden Ausgabewert (über RS 232-Schnittstelle).

Die Eingabegrößen sind der Fehler (hier: die Dreh-zahlabweichung dDRZ) und die Fehleränderung (hier: der Dreh-zahlabweichungsgradient gDRZ). Die Ausgabegröße ist die Stell-größenänderung, d.h. die LFR-Stellerstromänderung dLFRSTR.

Abbildung 3 zeigt die spezifizierten Fuzzy-Mengenüber den Grundbereichen. So wurde der Wert „negative medi-um“ für die Drehzahlabweichung durch die Fuzzy-Menge

spezifiziert. Die Werte negative big (NB), negative medium(NM), negative small (NS), approximately zero (ZR) werdenebenfalls durch Fuzzy-Mengen (verschieden für die jeweiligeGrundmenge) repräsentiert (Abb. 3).

Die ZR-Fuzzy-Menge der beiden Eingabevariablensind beispielsweise als Trapezfunktionen ausgeprägt, da Mes-sungen ergeben haben, daß im stationären Zustand (keine Bela-stung aktiv) Drehzahlabweichungen und Drehzahlgradientenvon ungefähr ±2 UpM „normal“ sind, d.h. keiner Regelaktivitätbedürfen. Dabei ist auf die unterschiedliche Modellierung dervagen Umgebungen der Intervalle [–2,2] von dDRZ und gDRZhinzuweisen, da eine Veränderung des Drehzahlgradienten beider ZR-Fuzzy-Menge viel eher eine neue Regelaktivität erfor-dert als bei der Drehzahlabweichung. Die Spezifikation der rest-lichen Fuzzy-Mengen wurde nach analogen qualitativen Krite-rien durchgeführt, die das Fachwissen des Motorexperten wi-derspiegeln.

Abbildung 4 zeigt die vollständige Regelbasis desFuzzy Controllers als Matrixdarstellung, die von dem Fachex-perten aufgrund seines Erfahrungswissens spezifiziert wurde.Hierbei entspricht z.B. der Tabelleneintrag dDRZ = ZR, gDRZ =NM und dLFRSTR = PS der Expertenregel

Falls die Drehzahlabweichung ungefähr Null (ZR) ist und falls derDrehzahlabweichungsgradient negativ mittel (NM) ist,dann solltedie LFR-Stellerstromänderung positiv klein (PS) sein.

Die Regelbasis des Fuzzy Controllers wird dazu benutzt, überFuzzy-Interpolationsverfahren ein klassisches Kennfeld zu ge-nerieren, siehe Abb. 5. Die Struktur der Regelbasis ist gut zu er-kennen. Beispielsweise sieht man an der tiefsten Stelle (dDRZ ª50 und gDRZ ª 40) den Einfluß der Regel:

IF dDRZ Is PM AND gDRZ Is PB THEN dLFRSTR Is NH


Abb. 3 Spezifizierte Fuzzy-Mengen der Variablen dDRZ, gDRZund dLFRSTR.

NM

für ± 70 ±50

für ± 50 ±30

sonst

dDRZ: , ,

± ±

,

Ω →

+ ≤ ≤

≤ ≤

[ ]

0 1

1

20

7

21

20

3

20

ω

ω ω

ω ω

Abb. 4 Regelbasis des Fuzzy Controllers.

Wird die Fuzzy-Menge NH der Variablen dLFRSTR mit dem so-genannten COA-Verfahren defuzzifiziert, bei dem der „x-Wert“des Schwerpunktes (center of area) der von der Fuzzy-MengeNH begrenzten Fläche berechnet wird, so ergibt sich, wie es auchaus dem Kennfeld ersichtlich ist, als scharfer Ausgabewert –21.

Um die oben angesprochenen Probleme der Regel-strecke, insbesondere die mangelnde Datenqualität und die Tot-zeit, zu bewältigen, ist der eigentliche Fuzzy Controller (FC) ineinen „Meta“-Regler eingebettet. Dieser besteht aus drei Kom-ponenten zur Datenaufbereitung zur Filterung der stochasti-schen Störungen durch gleitende Mittelungsverfahren, zur Zu-standserkennung mit FC-Aktivierung zur Berücksichtigung derTotzeit (Triggerstufe) sowie einer Regelbereichsbegrenzung.

Vergleichsmessungen haben gezeigt, daß der so kon-zipierte Fuzzy-Regler dem Serienregler überlegen ist.An dieserStelle sollte man explizit klarstellen, daß die Regeln in Fuzzy-Reglern nicht als logische Implikationen angesehen werdenkönnen. Zur Einführung eines semantischen Hintergrundesbietet es sich an, die Fuzzy-Mengen als scharfe Punkte in vagenUmgebungen (über Ähnlichkeitsrelationen definiert) aufzufas-sen. Das zum Regelsystem passende Kennfeld erhält man überein geeignetes Interpolationsverfahren [6].

7.2. Automatikgetriebe

Das seit Januar 1995 in Serie befindliche Automatikgeriebe AG4von Volkswagen paßt das Schaltverhalten des Getriebes dem je-weiligen Fahrer an. Der Fahrkomfort wird dadurch gegenüberdem Vorgängermodell, das nur die Wahlmöglichkeiten ECOoder Sport hatte, erheblich verbessert. Die Grundidee bei die-sem adaptiven Getriebe besteht darin, daß jedem Fahrer zwölfmal in der Sekunde ein jeweiliger Sportlichkeitsfaktor zwischen0 und 1 zugewiesen wird, der durch die Meßwerte Pedalstellung,Pedalgeschwindigkeit,Anzahl der Änderungen der Pedalstel-lung sowie dem bei der vorangegangenen Berechnung be-stimmten Sportfaktor festgelegt wird.Auf diese Weise lassensich ruhige, normale, sportliche und auch nervöse Fahrer (letz-tere spielen mit dem Gaspedal, sie werden beruhigt) unterschei-den.Abhängig von dem Sportfaktor wird dann die Gangent-scheidung durch Interpolation zwischen dem ECO und demSport Mode vorgenommen (Abb. 6). Da zur Realisierung nursieben Fuzzy-Regeln verwendet wurden, benötigt das optimier-te Programm weniger als ein kByte auf dem Digimat [10].

a00000022221118. Applikationen

Fuzzy-Systeme werden heutzutage in diversen industriellen An-wendungen erfolgreich eingesetzt.Die zur Zeit wichtigsten Appli-kationen beziehen sich auf das Gebiet des Fuzzy Control, in demimmer häufiger durch die Kopplung mit Neuronalen Netzen hy-bride Systeme entstehen,auf Fuzzy-Expertensysteme sowie aufFuzzy-Datenanalyse.Weitere Anwendungsbereiche sind z.B.Fuz-zy Clustering,Fuzzy Pattern Classification and Recognition,Fuz-zy Image Processing,Fuzzy Computer Vision,Fuzzy Database Sy-stems,Fuzzy Data Analysis und Fuzzy Decision Support Systems.In Japan hat es allein 1992 mehr als 2000 Patentanträge im Be-reich Fuzzy-Systeme gegeben,die Anwendungsmöglichkeiten ge-hen quer durch alle Branchen. In einer Prognos Studie (andereStudien sind weitaus optimistischer) wird von ca. fünf Mrd.DMUmsatz weltweit im Jahr 2000 mit Fuzzy-Systemen gesprochen.

Neuronale Fuzzy-SystemeBei der Entwicklung eines Fuzzy-Systems steht man vor dem Pro-blem,sowohl Fuzzy-Mengen als auch Fuzzy-Regeln in geeigneterForm angeben zu müssen.Normalerweise wird ein Fuzzy-Systemnicht auf Anhieb die gewünschte Leistung zeigen,seine Parametermüssen angepaßt werden.Für dieses Tuning existieren jedoch kei-ne bekannten formalen Grundlagen,so daß das Vorgehen reinheuristisch ist.An diesem Punkt setzen Neuronale Fuzzy-Systemean.Sie nutzen die Lernfähigkeit Neuronaler Netze,um ein Fuzzy-System an seine Aufgabe anzupassen oder es auf der Grundlagevon Beispieldaten zu erzeugen.Bei der Kopplung dieser beidenAnsätze unterscheidet man zwischen kooperativen und hybridenModellen.Erstere nutzen ein Neuronales Netz getrennt von einemFuzzy-System,um dessen Parameter zu bestimmen.Das Fuzzy-Sy-stem kann später ohne das Neuronale Netze betrieben werden.Hybride Neuronale Fuzzy-Modelle [9] bilden dagegen eine ein-heitliche Architektur,die als Neuronales Netz oder als Fuzzy-Sy-stem interpretiert werden kann.Sie werden meist zur Online-Adap-tion eingesetzt, sie erlernen ihre Aufgabe durch „Ausprobieren“.Als Lernverfahren benutzt man i.d.R.eine Form des verstärken-den Lernens (reinforcement learning).Die meisten Kopplungsmo-delle sind im Bereich der Neuronalen Fuzzy-Regelung zu finden.

Fuzzy-ExpertensystemeDa in vielen Anwendungsbereichen wissensbasierter Systemeoftmals unscharfe Expertenangaben zu verarbeiten sind, werdenFuzzy-Mengen vermehrt zur Repräsentation vagen Wissens an-gewandt. So lassen sich beispielsweise die aus PROLOG-Syste-men bekannten Konzepte zur Darstellung von Regeln, Faktenund Schlußfolgerungsmechanismen für Fuzzy-Mengen generali-sieren (Fuzzy PROLOG).Andere vielversprechende Ansätze, diesich nicht an symbolischen, sondern rein numerischen Metho-den der Wissensrepräsentation orientieren, liefern zum Beispieldie probabilistischen kausalen Netze [8]. Sie sind hilfreich, wennsich die Elemente des betrachteten Universums durch endlichviele Merkmale mit zugeordneten endlichen Wertebereichencharakterisieren lassen, und Abhängigkeiten zwischen diesenMerkmalen bestehen, die qualitativ mit Hilfe eines gerichtetenazyklischen Graphen modellierbar sind. In diesem Graphen tre-ten die einzelnen Merkmale als Knoten und existierende direktekausale Beziehungen als Kanten auf. Zur Quantifizierung unsi-cheren Expertenwissens bedient man sich im Falle probabilisti-


Abb. 5 Kennfeld des Fuzzy Controllers.

scher kausaler Netze bedingter Wahrscheinlichkeitsverteilungen.Auf analoge Weise kann aber auch die Verwendung von Possibi-litätsverteilungen erfolgen (possibilistische kausale Netze). Possi-bilitätsverteilungen bilden zum Beispiel dann eine Alternative,wenn das vorliegende Wissen nicht nur unsicher, sondern auchimpräzise ist. Für beide Ansätze gibt es Softwaretools, die es er-lauben, unter Verwendung auf jeweils nur wenige Merkmale be-schränkter lokaler Propagationsalgorithmen die konditioniertenMarginalverteilungen aller Merkmale effizient zu berechnen,falls für die interessierende Anwendung (z.B. medizinische Dia-gnose) neben dem vorhandenen Expertenwissen (Erfahrung vonÄrzten) auch fallspezifische Angaben (Patientendaten, konkreteMerkmalswerte) zur Verfügung stehen. In der aktuellen For-schung werden Methoden untersucht, mit denen es möglich ist,probabilistische bzw. possibilistische kausale Netze sowohlstrukturell (Abhängigkeitsgraphen) als auch quantitativ (Vertei-lungen) über Datenbanken von Fallbeispielen zu erlernen.

Fuzzy-DatenanalyseIn der optischen und akustischen Qualitätskontrolle werden vielePrüfungen aufgrund nicht genau quantifizierbarer Zusammen-hänge von entsprechendem Bedienpersonal durchgeführt. EineAutomatisierung dieser Vorgänge scheiterte häufig an den kom-plexen und oft nur sehr vage beschreibbaren Zusammenhängen.Die Kombination konventioneller statistischer Verfahren mit in-novativen Ansätzen der Fuzzy-Theorie (Fuzzy Clustering, wis-sensbasierte Datenanalyse, etc.) kann hier Abhilfe schaffen [1]. Indiesem Zusammenhang gewinnt auch die Kopplung von Fuzzy-Systemen mit Datenbanken immer stärkeres Gewicht [3].

a00000022221119. Ausblick

Eines der zentralen aber weitgehend ungelösten Probleme beieiner realistischen Modellierung ist die Frage der Ressourcenbe-schränkung, d.h. wie man mit begrenzten deduktiven Fähigkei-ten und bei unvollständigen Informationen in einer sehr kurzenvorgegebenen Zeitspanne zu brauchbaren, approximativen Lö-sungen kommen kann [14]. Offenbar kann man bei dieser Fra-gestellung sehr gut Fuzzy-Methoden verwenden. Besondersbreite Beachtung findet jedoch die in Berkeley vor einigen Jah-ren ins Leben gerufene „Soft Computing“-Initiative, bei derFuzzy-Techniken, Methoden des Neural Computing, evolutionä-re Algorithmen sowie einige probabilistische Verfahren in Kom-bination erfolgreich eingesetzt werden.An der ersten gemeinsa-men Tagung dieser verschiedenen Fachdisziplinen in Orlando

(Thema: Computational Intelligence) haben 1700 Wissenschaft-ler teilgenommen [18].Viele Verlage, wie z.B. der Vieweg Verlaghaben bereits Buchreihen in diesem Arbeitsbereich initiiert. DieGI-Fachgruppe 1.2.4.„Fuzzy-Systeme“ veranstaltet einen jährlichstattfindenden Workshop zu diesem Themenkreis.

DanksagungIch bedanke mich bei Prof. Dr. Brauer, Dr. Gebhardt, Dr. Kla-wonn, Dr. Nauck und Dr. Struckmann für viele wertvolle Hin-weise und die Durchsicht des Manuskripts sowie Herrn Bunjesfür die sorgfältige Erstellung der Textdatei.

a0000002222111Literatur

1. H. Bandemer und W. Näther. Fuzzy Data Analysis. Mathematicaland Statistical Methods. Kluwer, Dordrecht, 1992.

2. J.C. Bezdek. Fuzzy models – what are they, and why? IEEE Tran-sactions on Fuzzy Systems, 1:1-6, 1993.

3. P. Bosc und J. Kacprzyk. Fuzzyness in Database Systems. PhysicaVerlag, Heidelberg, 1995.

4. M. Clarke, R. Kruse und S. Moral, Herausgeber. Symbolic andQuantitative Approaches to Uncertainty. Lecture Notes in Compu-ter Science 548. Springer Verlag, Berlin, 1993.

5. C. Elkan. The paradoxical success of fuzzy logic. In Proc. ofAAAI’93, S. 698-703. MIT Press, 1994.

6. R. Kruse, J. Gebhardt und F. Klawonn. Foundations of Fuzzy Sy-stems.Wiley, Chichester, 1994.

7. R. Kruse, J. Gebhardt und R. Palm, Herausgeber. Fuzzy Systems inComputer Science.Vieweg,Wiesbaden, 1994.

8. R. Kruse, E. Schwecke und J. Heinsohn. Uncertainty and Vague-ness in Knowledge-Based Systems: Numerical Methods. Series:Artificial Intelligence. Springer, Berlin, 1991.

9. D. Nauck, F. Klawonn und R. Kruse. Neuronale Netze und Fuzzy-Systeme: Grundlagen des Konnektionismus, Neuronaler Fuzzy-Systeme und der Kopplung mit wissensbasierten Methoden.Vie-weg,Wiesbaden, 1994.

10. R. Petersen. Gleitende Schaltpunktermittlung beim VW-Automa-tikgetriebe AG 4 mittels Fuzzy-Logik. In Proc. Fuzzy Neuro Syste-me ’95, Darmstadt, Nov. 1995.

11. B. M. Pfeiffer und R. Isermann: Criteria for successful applicationsof fuzzy control. In EUFIT’9S, S. 1403- 1409,Aachen, 1993.

12. A. Ralescu, Herausgeber.Applied Research in Fuzzy Technology.Kluwer, Boston, 1994.

13. T. Terano, K.Asai und M. Sugeno.Applied Fuzzy Systems.AP Pro-fessional, San Diego, 1994.

14. W.Wahlster. Nach der ADL-Evaluation: Bemerkungen zur Situati-on der KI in Deutschland. Sonderheft der Kl, S. 54-56, Juli 1994.

15. L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Informatzon and Control, 8:338-353, 1965.16. L.A. Zadeh. Outline of a new approach to the analysis of complex

systems and decision processes. IEEE Trans. on Systems, Man, andCybernetics, 3:2844, 1973.

17. H.J. Zimmermann und C.v.Altrock, Herausgeber. Fuzzy Logic,An-wendungen. R. Oldenbourg, München, 1994.

18. J.M. Zurada, R.J. Marks und C.J. Robinson, Herausgeber. Compu-tational Intelligence, Imitating Life. IEEE Press, New York, 1994.

Eingegangen am 20.12.1994, in überarbeiteter Form am 30.10.1995


Abb. 6 Gleitende Schaltpunktermittlung mittels Fuzzy Logik.

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Informatik Spektrum 18 (1995): 1–16 © Springer-Verlag 1995

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Fuzzy-Systeme – Positive Aspekte der Unvollkommenheit