Z. angew. Math. ?dech. I90 W. Scho be, Gebrochen-iterierte Exponentialfunktion im Reellen Bd. 38 Nr. 616

c) Esist

+ - - und finden durch Ver- Wir betrachten in diesem Fall q(a, h ) = h + - + - + 7- gleich mit (4): c = 2; a = 0; b = l ; h = 2 x- 1. Wird q(a, h) nach (8) umgeformt und wie bei den andern Beispielen in den urspriinglichen Kettenbruch eingesetzt, so resultiert schlieI3lich :

c 1-31 3-51 2 14s 14

Zusammenfassung. Es wird gezeigt, wie eine gewisse Klasse von schlecht konvergenten Kettenbriichen durch iterierte Anwendung der Transformation von B a u e r und M u i r so umgeformt werden konnen, daB sie asym- ptotisch wie eine geometrische Reihe mit dem Quotienten - 0,17167 . . konvergieren.

Gebrochewiterierte Exponentialfunktion im Reellen Von Waldemar Schobe in Stuttgart

Herrn Professor Dr. A . Walther zum 60. Geburtstag gewidmet Hat man die Ab el sche Funktionalgleichung fur die Exponentialfunktion

. . . . . . . . . . . . . F(e2) - F(s) = 1

F (eU(x)) - F@) = s

. (1) im Reellen durch eine stetige, im engeren Sinne monoton wachsende Funktion F(x) gelost, so ist die s-te Iterierte el)@) der Exponentialfunktion e(s ) = e2 implizit definiert durch

Durch Wahl einer additiven Konstanten kann F(e) = 1 normiert werden. Aber dariiber hinaus ist F(x) in hohem MaBe willkiirlichl) und 1aBt sich z. B. im Interval1 0 5 x 5 1 ganz beliebig (stetig, monoton wachsend) wahlen, wenn nur F(0) = - 1, F( l ) = 0 ist. Es kommt hier darauf an, eine einheitlich definierte, moglichst wenig Willkiirliches enthaltende Losungsfunktion zu finden. Das wird dadurch erschwert, daI3 die Ruhewertbedingung e(c) = c im Reellen nicht er- fiillbar ist. H. Knese r 111 hat das erste komplexe Ruhewertpaar zur Definition einer analytischen, fur reelle z reellen Losungsfunktion beniitzt, deren numerische Darstellung jedoch umstandlich sein diirfte. Der von L. C olla t z [2] fur e1'2(x) eingeschlagene Weg, versuchsweise ein (quadratisches) Polynom anzusetzen und einmal zu iterieren, ist zwar durchaus erfolgreich, wird aber - sinn- gemaI3 enveitert - schwerlich eine beliebig genaue Berechnung der betreffenden Funktion er- moglichen. Von U. T. B o d e w a d t [3] wurde auf eine anscheinend nicht veroffentlichte Ta bellierung der Funktion e-1/2(x) hingewiesen.

Im Gegensatz zu ez selbst konnen eng verwandte Funktionen wie e- oder ex -a reelle Ruhewerte haben und so unserer Fragestellung angepaI3t sein. Darunter sind @-I und ex - 1 da- durch ausgezeichnet, je einen doppelten Ruhewert (1 bzw. 0) zu haben. Es soll hier die Iteration von e z auf diejenige von es - 1 zuriickgefiihrt werden; iiberdies zeigt sich, da13 die entsprechende Zuriickfuhrung auf P1 zu demselben Resultat fiihren wiirde. Der Grundgedanke ist dabei der- selbe wie bei der GauOschen Definition der Gammafunktion, wo durch eine zweifache Kette wiederholter Anwendung der den Argumentschritt 1 iiberspannenden Funktionalgleichung die unbekannteBeziehung zwischen r ( x ) und I'(1) auf die uberschaubare Beziehung r (x + R + 1) w n2 I ' (n + 1) (fur R -+ + co) zuriickgefiihrt wird.

Auf Differenzierbarkeitsfragen soll kein Wert gelegt werden, wohl aber auf die Moglichkeit der numerischen Auswertung.

Exponenten bei Funktionssymbolen bedeuten fast immer ganzzahlige Iteration, gegebenen- falls ubergang zur inversen Funktion. Bei der Bildung mittelbarer Funktionen sind die Klammern meist weggelassen.

Wir setzen log (1 + x) = L Z, also ez - 1 = L-l x, und f,(s) = Lm em@) fur ganzzahliges m I 0 und behaupten

. . . . . . . . . . . . . * (2).

Mit F ( z ) lost auch F ( z ) + U (F(z ) ) die Ab elsche Funktionalgleichung, wenn nur a(t) periodisch ist mit der Periode 1.

I91 Z. angew. Math. Mech. Bd. 38 Nr. 51e Mai/Juni 1958 W. S c h o b e , Gebrochen-iterierte Exponentialfunktion im Reellen --

S a t z 1. Der Grenzwert lim fm(z) = f (x) existiert fur jedes reelle x und stellt eine stetige,

i. e. S. monoton wachsende Funktion dar. Aus x1 = e(xo) folgt f(xo) = L f(xl) und umgekehrLa) Zum Beweise, fur den zunachst x 2 e vorausgesetzt wird, genugen ganz grobe Abschatzun-

gen. Wegen jm(x) = L fnkl(e2) ist

-+w

1 f?J*+l@) - fm(4 = ___ ( f m ( e 9 - fm-1(e2)) 9

1 +z wobei Z zwischen fnz-l(e2) und fm(e2) liegt. Nun behaupten wir

0 < f,(z) - fnz-l(x) < II" fur m 2 1 . . . . . . . . . * (3). Fur m = 1 ist namlich 0 < fl(x) - fo(x) = L (e-) < e- < l/x .

so daB die Folge fo , fl, fa,.. .. bei festem z monoton wachst;' ferner ist Z 2 fnr-l(e2) 2 fo(ex) = e2 und daher, wenn (3) fur m schon bewiesen ist, auch f,+l(z) -],(x) < e"(e2)- = ( ~ - + ) ~ + l < J:--("+~),

womit die vollstandige Induktion beendet ist. Die Reihe x + 2 (/,(x) - fnkl(x)), deren Partial-

summen die f,(x) sind, ist daher gleichmaBig konvergent. Daraus folgen die Existenz und Stetig-

keit von f(x) sowie die Relation/($) = L f(eZ), ferner die Ungleichungx < f(z) < J: + rm < + 1, und da alle f,@) monoton wachsende Funktionen von x sind, bleibt nur noch zu zeigen, daB f ( x ) nicht in einem Interval1 a 5 x d a + h konstant sein kann. Ware dies der Fall, so ware a + h < f (a + h) = /(a) < a + 1 ; die Lange eines Konstanzintervalls ist also < 1. Aber /(J:) ware auch im Intervall ea 5 z 5 ea+* konstant, dessen Lange > 2 h ist. So fortfahrend schlieBt manauf Konstanzintervalle der Lange 2kh, so daB h < 2 4 sein mu13 fur jedes k. Daher ist h > 0 unmoglich. Wird nun die Einschrsnkung x 2 e aufgehoben, so bleiben alle Aussagen von Satz 1 richtig; denn es ist fm+3(x) = La f, e"x) und e"x) > e.

Numerisch konvergiert der betrachtete ProzeI3 aul3erst rasch, da fl(x) fur z > 25 von der Identitat praktisch nicht mehr zu unterscheiden ist und es(z) fur reelles z schon > lo6 ausfallt. Daher ist f ( x ) mit f5(x), fur z > 0 schon mit f4(x) praktisch identisch.

Nun ist noch die A b e lsche Funktionalgleichung g(L y) - g(y) = 1 fur die Funktion L y zu losen. Dann folgt, wenn x = f(P) eingesetzt wird, g f (x) - g f (@) = 1, d. h. die Funktion

ist die Funktionalgleichung (1).

Hieraus folgt zunachst rekursiv die Behauptung uber das Vorzeichen von f, -

w

nt=l

w

,=l

F(x) = co - g f(z) . . . . . . . . . . . . . . (41

Wird hier im Sinne der Vorbemerkungen in allen Betrachtungen e x - 1 sinngemal3 durch also L 2 durch A z = 1 + log 3 ersetzt, so ist die zu f,(x) entsprechende Folge ~)ln(~:) mit

1 + /,-1(x) identisch, also ~ ( x ) mit 1 + f(z). Da sich anderseits als Losung von y ( A y) -y(y) = 1 die Funktion y(u) = g (u - 1) darbietet, so wirdg f (x) f y ~(z), so daI3 fur F(x) dieselbe Losung herauskomm t . der sicher vorhandene nicht negative Grenzwert c mu13 der Relation L c = c geniigen, ist also = 0. Weil uberdies 1/Lz--l/z+l/2 strebt fur x+ $ 0 und 2 1/4 ist fur x 5 25, so ist, wie leicht zu erkennen, 1/L?Js > n/4 fur alle x 5 50 und alle n, also Ln 2 = 0 (l/n) bei n + + co gleichmaBig fur beschrankte 2. Dies kann man auch auf komplexe z in gewissen Bereichen ausdehnen, wobei der Hauptwert des Logarithmus gemeint ist, ganz einfach z. B. im Bereich R l / z 2 l/e fur ein hinreichend kleines e > 0. Doch gehen wir nicht naher darauf ein.

Aus g(L z) - g(J:) = 1 folgt durch Differentiation, falls die Ableitung vorhanden ist,

Fur jedes x > 0 ist P(z) (n = 0, 1, 2, .. .) eine monoton fallende positive Nullfolge. Denn

( x /L X I Z 2 2 g'(x) = ___ * (L x)2 g'(L z) ,

1 + x und hierin ist ( x /L x)2/(1 + z) = 1 + O(x2) fur x -+ 0 oder auch = 1 + 0 (l/nz), wenn x durch J : ~ = Lnzo ersetzt wird und bei festem xo > 0 n gegen + 00 strebt. Durch das fur alle be- schrankten J: > 0 gleichmaI3ig konvergente unendliche Produkt

OJ

H(x) = II (Ln-l x/Lfix)y(l + Ln-1 x) , n = l

dessen uber 1 5 n 5 r erstrecktes Partialprodukt mit H&) bezeichnet sei (H,(z) 3 l), wird folg- lich eine stetige Funktion definiert, die offenbar der Funktionalgleichung

2) Auf nicht reelle z liiBt sich Satz 1 nicht iibertragen. Es bleibt daher offen, ob f(s) als analytische Funk- tion fortsetzbar ist.

Z. angew. Math. Mech. 192 Bd. 38 Nr, s,B Ma,,Juni 1958

genugt und aus der nach dem Gesagten durch den Ansatz 2% g'(x) = A - H(x) eine Funktion g(x) mit der Eigenschaft g(L x) - g(z) = const entsteht. Wir konnen jedoch noch auf einem anderen Wege zu dieser Funktion gelangen.

Die Funktionalgleichung fur H(x) 1al3t sich namlich auch durch eine formale Potenzreihe 1 1 H ( x ) - 1 + - x - - $2 + . -. erfullen, die auch fur g(x) eine formale Losung in Reihenform 6 72

ergibt, namlich, wenn A = - 2 gesetzt wird,

W. So ho be, Gebrochen-iterierte Exponentidfunktion im Reellen

8

(5) g(x) N 2 / ~ + 3 log 2 / x + 2 C, (~ /6)" 1 . . . . . . . . . .

v = l

mit cl = 1/6, c, = -1/15, c, = - 1/36, c, = 71/336, c, = - 8759/21000, c,, = -31/450,

Aus g(x) entsteht die elementare Funktion g&), indem man Z nur uber 1 5 Y 5 k erstreckt und fur k = 0 weglal3t. Dann beginnt, wie man beim Aufschreiben der Bestimmungsgleichungen fur die c,, erkennt, die Potenzreihenentwicklung der Funktion gk(L x) - gk(x) - 1 mit der Po- tenz xk+2, also ist bei festem x > 0, und zwar gleichm8l3ig fur beschrankte x, unter Verwen- dung der Abkurzung x,, = L a x

hieraus

und alle 1 > 0, so dal3 erstens lim (gk(xn) - n) = yk(x) existiert und zweitens

c7 = 183311/58800,. . . .

g, - gk(xn) = 1 + 0 (n-k-2) fur n -+ + 00,

(g, (xa+l) - n - l ) - (gk(xn) - n) = 0 (n-k-1) fur n -+ + 00

-4-00

gk(xn) - n = yk(x) + 0 (n-k-1) . . . . . . . . . . . . . (5') gleichmal3ig fur positive x erfullt ist. Aber y,(x) ist wegen gk(x,,) - gk-l(x,,) = c, (xn/6)k = O(n-k) von k unabhangig und wird in Satz 2 mit g(x) bezeichnet werden.

1 3 Insbesondere strebt (k = 0 gesetzt) 2/xn + - log 2/xn - n + y(x) fur n -+ + 00.

Hieraus folgt in bekannter Weise n x,, 3 2 und daher log 2/xn - log n 3 0 und

2/La x + - log n - n + y (x) ; allerdings kann bei dieser Umformung die Gleichmafligkeit nicht

mehr fur beschrankte x > 0, aber sicher fur beschrankte y ( x ) , also in jedem abgeschlossenen Intervall positiver z behauptet werden.

Wird hier n durch n - 1 und gleichzeitig x durch L 2 ersetzt und log n -log (n-1) --+ 0

beachtet, so folgt 2/La x + - log n - n + 1 3 y (L x), also ist y(L x) - y(x) = 1.

1 3

1 3

S a t z 2. Die Funktion

. . . . . . . . g(x) = lim 2 / L " x - - n + - log n (x > 0) * (6) -4-00 ( 3 l ) genugt der Funktionalgleichung g ( L z) - g(x) = 1 und hat fur x -+ + 0 die asymptotische Ent- wicklung (5). Ihre Ableitung g'(x) ist vorhanden und = - (2/xz) H(x).

Es sind noch die letzten Tatsachen zu beweisen. Nach (5') ist g(x,,) = g,(x,,) + O(n-k-l). Durchlauft nun x das Intervall 5 T x > L5 bei festem 6 > 0 und n alle ganzen Zahlen, so wird jedes y > 0 genau einmal in der Gestalt y = x,, = Ln x erhalten, hierbei ist n eine Funktion von y, die fur y -+ + 0 gegen + 00 strebt. Da nun fur y -+ + 0 n y = n L n x + 2 strebt, weil x in einem abgeschlossenen Intervall positiver Zahlen liegt, so ergibt sich g(y) = g&) + 0 (yk+l) fur y -+ + 0, weil oben im Restglied n-l durch das asymptotisch gleiche y / 2 ersetzt werden kann. Also gilt die asymptotische Entwicklung (5).

Ferner ist nach der Kettenregel

hieraus d

dx - (2/Lfl x) = - ( 2 p ) H,,(x) ;

das strebt fur n -+ + 00 gegen - (2/xa) H ( x ) gleichmaoig in jedem abgeschlossenen Intervall positiver 2. Daraus folgt beim Ubergang zu den unbestimmten Integralen nach einem bekannten Satz, daR die nach (6) definierte Funktion g(x) differenzierbar ist und die Ableitung - (2/x2) H(x) hat. Insbesondere ist g(x) i. e. S . monoton fallend.

193 2. angew. Math. Mech. Bd. 38 Nr. 610 mi,Juni 1968 W. Sc hobe, Gebroohen-iterierte Exponentialfunktion im Reellen

Dieselbe Funktion g(x) kann nach (5') mit entsprechend rascherer Konvergenz in der Form . . . . . . . . . . . . . g(x) = lim (gk(L"x) - n) . (6')

-+-a

fur irgend ein k 2 0 geschrieben werden. Fur

ergibt sich der Zahlenwert von g,, aus den acht Summanden wie folgt 2 = 0,61301 98 , y = L 2 = 0,47810 81 , z = L2 = 0,39076 30

3,26253 71 4,18315 44 5,11819 23 +0,39416 83 $0,47702 19 +0,64426 71 +0,01702 83 +0,01328 08 +0,01085 45 -4,00069 59 4 , 0 0 0 4 2 33 -4,00028 28 -0,00002 96 --0,00001 41 - - O , m 77 +0,00002 30 +0,00000 85 +O,OOOOO 38 -4,00000 46 4 , 0 0 0 0 0 13 - 4 , O o o O O 05 -4,00000 01 4 , 0 0 0 0 0 00 --O,00000 00

ga = 3,67302 65 4,67302 69 5,67302 67

Die Funktionswerte unterscheiden sich schon fast genau um 1. Der gewahlte Wert von x stimmt mit L4(ee) nahezu uberein; man sieht hieraus, mit wie wenigen Iterationen man aus- kommt.

Fur die Bildung von F(x) = co - g f(x) sind hiernach zwei Grenzubergange m -+ + 00 und n -+ + 00 hintereinandergeschaltet. Fur die Praxis braucht man, wie gesagt, mit m hochstens bis zu 5 zu gehen. Theoretisch lassen sich die beiden Grenzubergange koppeln. Da die Ableitung von L x stets < 1 bleibt, ist 0 < Ln y - Ln (y -8 ) < 6 insbesondere fur alle y - 8 zwischen y und y/2. Unter dieser Voraussetzung folgt bei festem y fur hinreichend hohe n

da schliefllich Ln y und Ln (y - 6) groBer als l/n ausfallen. Man hat also fur x 2 e (unwesentliche Einschrankung) und alle hinreichend grooen m nach (3)

weil f(x)/fm(x) fur m -+ + 00 fallend gegen 1 strebt, also schlie5lich < 2 ausfallt. Die Schranke rechts geht + 0, wenn rn = n gesetzt wird und gegen + 00 strebt. Man kann daher in (6), wo man sich f(z) statt x geschrieben denke, rechts auch fn(x) statt x einsetzen. So ergibt sich nach (4) als theoretisch glatte, numerisch weniger gunstige Darstellung :

S a t z 3. Die Funktion F(x) = co + lim n - - log n - 2/L2 a en(@ lost die A b e 1 sche ) 1 +++-a ( 3

Funktionalgleichung F(ez) - F(x) = 1. Fur co = 1,6730266 wird F(e) = 1 ; die Funktion nimmt dann alle Werte > - 2 an. Bedeutungsvoller fast erscheint die zahlenmaoige Beherrschung der zu F(x) inversen

Funktion. 1st der Funktionswert F(z) = co - g f(z) > - 2 gegeben, so handelt es sich darum, aus bekanntem g(y) < 3,7 das Argument y = f(x) und daraus z zu finden. In diesem y-Bereiche geniigt aber die Darstellung (5) numerisch nicht. Man wahlt daher eine naturliche Zahl 1 so, daB I - F(x) grofler als beispielsweise 3,5 ausfallt. (Die Schranke ist um so hoher zu wahlen, je groBere Genauigkeit angestrebt wird.) Fur z = Lz(y) = Lz f(x) M Lz fm(x) = Lz+m ern@) ist dann g(z) = g(Lz y) = 1 + g(y) = co + 1 - F(x) > 5,17.

Zur formelmaBigen Umkehrung von (5), wo z statt 2 zu schreiben ist, nimmt man eine Substitution

00

. . . . . . . . . . . . . z = 6 t1 + ,JJ b, t-p (7) p = 3

vor. Bei der Koeffizientenwahl b, = 3 , b, = -21/5, b5 = 67/10, b, = -2701/280, 6 , = 92461/7000,

b, = - 348617/14000, b, = 4558331/58800, ... entsteht einfach

. . . . . . t + log t = 3 g ( Z ) + log 3 = 6,1176921 + 3 (1 - F(z)) * (8), woraus sich t leicht durch numerische Methoden ergibt. Dann ist z aus (7) zu berechnen und schliel3lich x w e- L--~(z) zu setzen (eigentlich als Grenzwert fur m-t + 00). wobei es numerisch auf jeden Fall genugt, m = 5 zu nehmen.

8. angew. Math. Mech. H. Schubert, Uber das dritte Randwertproblem der Potentialtheorie Bd. 33 Nr. s,B Maai,Juni leis

1st z. B. F(x) = - 0,25 und wird 1 = 4 gewahlt, so wird die Bedingung 0,37291 35 i +log t = 18,86769 durch t = 16,08952 erfullt; daraus ergibt sich z = 0,3735768, +0,00072 03 hieraus, indem m = 3 gewahlt wird, w = L-7 z = 3431,446. Weiter braucht -0,00006 27 man nicht zu gehen, da die Schranke 25 uberschritten ist. Nun wird x = r 3 ( w ) 3::;::: !i

+o,ooooo 01 gaben, wie bei fast allen Zahlen in dieser Arbeit, aus mehrstelligen Werten = o,37357 68 abgekiirzt sind.

194

= log log log w = 0,74045. So wurde folgende Tabelle gefunden, deren An-

F ( 4 2 F ( 4 X F ( 4 2

-1,oo 0,00000000 4 , 6 5 0,36422 4 , 3 0 0,69104 4 , 9 5 0,05384 4 , 6 0 0,40222 4 , 2 5 0,74045 4 , 9 0 0,10625 - 4 5 5 0,45005 - 4 2 0 0,79053 4 , 8 5 0,15747 -0,50 0,49783200 --0,15 0,84141 - 0 , S O 0,20770 - 4 4 5 0,54670 4 , l O 0,89319 4 , 7 5 0,25712 4 , 4 0 0,59378 4,05 0,94601 4 , 7 0 0,30590 - 4 3 5 0,64219 0 1,00000000

Leicht beherrscht man nun auch die Iterationen von euz fur a > l/e, d. h. in den Fallen ohne Ruhewert. Setzt man namlich

y -log a = a h(y) , so wird euh(y) = ey/a = h (ev + log a ) .

Daher wird Q,(e"z) - @(x) = 1 bei der Substitution 2 = h(y) identisch mit @ h (ev + log a) - Q, h(y) = 1, d. h. @ h(f) = F,(t) mu13 die Abelsche Funktionalgleichung zur Funktion P + log a erfullen. Da aber e2? + log a bei wiederholter Iteration eine gegen + 00 strebende Zahlenfolge erzeugt und im Sinne der Vorbemerkungen ebenso zu @ - 1 asymptotisch verwandt ist wie ex selbst, so ergibt sich eine Losungsfunktion Fl direkt aus Satz 3 - natiirlich ohne die Normierungs- aussage iiber c, -, wenn man nur dort unter e(x) die Funktion ex + log a versteht. Und dann wird @(x) = Fl h-l(x) = Fl (a x + log a) eine Losung der Abelschen Funktionalgleichung fur eux. Man kann auch nach der Art von Satz 1 die Iterationen von eZ + log a direkt aus denen von e2 herleiten.

So werden (a = 2,302. . . = log 10) bei Zehnteliteration des Briggsschen Logarithmus zwischen 10 und 1 folgende Werte eingeschaltet

10 6,9931 5,1352 3,9156 3,0748 2,4710 2,0217 1,6767 1,4042 1,1833 1.

Satz 2 la13 t sich unschwer auf andere Funktionen mit mehrfachem Ruhewert ausdehnen. Bei dieser Gelegenheit danke ich Fraulein H. Ochsenre i ther , die in einer Arbeit beim

Institut fur Praktische Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt an diese Betrach- tungen angekniipft und dabei auch meine Zahlenrechnungen nachgepruft und erweitert hat.

Literatur [l] H. Kneser, Reelle analytische Losung der Gleichung p(p(x)) = ez und verwandter Funktionalgleichungen;

[2] L. Collatz, Numerische Behandlung von Differentialgleichungen (1951), S. 419f. [3] U. T. Bodewadt, Zur Iterationreeller Funktionen; Math. Zeitschr. 49 (1943/44), S. 497-516.

Journal fiir reine und angewandte Mathematik 187 (1949), S. 56-47.

Uber fur

das den

dritte Rand beiderseits

wertproblem der unendlich langen

Potentialtheorie Kreiszylinder

Yon Hans Schubert aus Halle

Herrn Prof. Dr. A . Waliher zum 60. Geburtstag gewidmet Mit Hilfe eines auf Poincark ([I], S. 186) zuruckgehenden Kunstgriffs laat sich der folgende

Sonderfall des dritten Randwertproblems der Potentialtheorie fur das Kreisgebiet geschlossen losen :

Auf dem Rande des Einheitskreises der r, 8-Ebene sei eine stetige Ortsfunktion g(6) vor- gegeben. Gesucht wird eine nebst ihrer Normalableitung beschrankte, im Kreisgebiet r < 1 regulare Potentialfunktion V ( r , 8), die langs r = 1 der Randbedingung

. . . . . . . . . * (1)

geniigt; darin bedeutet y eine positive Konstante.