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Ableitungen
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Die Lösungen der Aufgaben befinden Sie auf der Mathematik-CD
Friedrich W. Buckel
November 2000
Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen 2
Internatsgymnasium Schloss Torgelow
Inhalt
1 Ableitungsregeln 1 2 Gebrochen rationale Funktionen, deren Nenner keine Summe enthält 2 3 Gebrochen rationale Funktionen, deren Zähler kein x enthält 3 4 Gebrochen rationale Funktionen, deren Zähler x
und deren Nenner eine Summe enthält 4 5 Übersicht über alle Methoden 7 6. Lösungen der Aufgabe 1 8 7 Lösungen der Aufgabe 2 9 8 Lösungen der Aufgabe 3 10
Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen 1
1. Ableitungsregeln
1. Die Potenzregel: ( )In n 1x n x −= ⋅
Beispiele: ( )I2x 2x= ( )I3 2x 3x= ( )I4 3x 4x= Und natürlich auch 2. Konstante-Faktoren-Regel: ( )( )I Ik f x k f (x)⋅ = ⋅
Diese Regel besagt, daß beim Ableiten ein konstanter Faktor unberücksichtigt stehen bleibt. Beispiele: ( )I3 2 25x 5 3x 15x= ⋅ =
( )I4 3 31 12 2x 4x 2x= ⋅ =
3. Summenregel: ( )I I Iu(x) v(x) u (x) v (x)+ = + Mit anderen Worten: Jeder Summand wird für sich selbst abgeleitet. Beispiele: 4 3 I 3 2(5x x 7x 2) 5 4x 3x 7− + − = ⋅ − +
( )I5 3 4 2 4 21 1 1 1 120 3 20 3 4x x 2x 12 5x 3x 2 x x 2− + + = ⋅ − ⋅ + = − +
4. Produktregel: ( ) II Iu(x) u (xv(x) v(x) u(x) v ( )) x⋅ = ⋅ + ⋅ Diese Regel wird bei ganzrationalen Funktionen eigentlich nicht gebraucht, weil man Produkte hier immer ausmul-tiplizieren kann. Dennoch ein Beispiel:
( )( ) ( )2 2I
3 2 35x 3x 1 5x 3x 1x 3x x (10x 3)⋅ = ⋅ + ⋅− + − + − = ...
Man könnte statt dessen auch die abzuleitende Funktion auf diese Form bringen:
( )( ) ( )I I5 43 3 4 3 22 5x 3x x 25x5x 3x 11 2x x 3x⋅ = − + = ++ −−
5. Quotientenregel: ( )
I
2u(x) u'(x) v(x) v '(x) u(x)v(x) v(x)
⋅ − ⋅=
Beispiele: Folgende Seiten 6. Kettenregel:
f(u(x))' f '(u) u'(x)= ⋅
Beispiel: 2 3f(x) (x 3x 5)= − + Dann ist u(x) = x2-3x + 5 und u'(x) = 2x - 3 Es folgt: 2 2 2f '(x) 3u u' 3(x 3x 5) (2x 3)= ⋅ = − + ⋅ −
Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen 2
2. Gebrochen rationale Funktionen. deren Nenner keine Summe enthält
Beispiel 1: 12x 3 3f(x) 2 2 3xx x
−+= = + = +
Die Funktion wird in die Potenzform gebracht und dann mit den Regeln (1) bis (3) abgeleitet: Jeder Summand für sich, der konstante Faktor bleibt erhalten und die Potenz wird entsprechend umgeform. Abschließend bringt man diese Funktion wieder auf den Hauptnenner.
22
3f '(x) 3xx
−= − = −
Beispiel 2: 2 2
1x 4 x 4 1 1 1 1f(x) x x x8x 8x 8x 8 2x 8 2
−−= = − = − = −
Hier muß man drauf achten, daß der Bruch 12
als Faktor stehen bleibt
und nur x-1 erzeugt wird.
2
22 2
1 1 1 1 x 4f '(x) x8 2 8 2x 8x
− += + = + =
Beispiel 3: 3 2 3 2
2 1x x 5 x x 5 1 1 5f(x) x x x4x 4x 4x 4x 4 4 4
−+ += = + + = + +
3 2
22 2
1 1 5 x 1 5 2x x 5f '(x) x x2 4 4 2 4 4x 4x
− + −= + − = + − =
Beispiel 4: 1 22 2 2 2
2x 1 2x 1 2 1f(x) 2x xx x x x x
− −+= = + = + = +
2 32 3 3
2 2 2x 2f '(x) 2x 2xx x x
− − += − − = − − = −
3 43 4 4
4 6 4x 6f (x) 4x 6xx x x
− − +′′ = + = + =
Beispiel 5: 2 33 3 3
3x 2 3x 2 3 1f(x) x x4x 4x 4x 4 2
− −−= = − = −
3 4 3 43 4 4 4
3 1 3 3 3 3 3x 3 3 x 1f (x) 2 x 3 x X x4 2 2 2 2x 2x 2x 2 x
− − − − − + −′′ = − ⋅ + ⋅ = − + = − + = = − ⋅
Aufgabe 1: Berechne je zwei Ableitungen
3x 5(a) f(x)2x−
= 2x 8(b) f(x)3x−
= 2
3
4x 9(c) f(x)x−
= 3 2
2
x 2x 4(d) f(x)8x− +
= 2
3
(x 2)(e) f(x)x+
= 2
4x 2(f ) f(x)10x
+=
Eine Schwierigkeit liegt hier im Vorziehen des Minuszeichens, damit erhält der Zähler des 2. Bruches ein Pluszeichen. Wir leiten ein zweites mal ab:
Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen 3
3. Gebrochen rationale Funktionen. deren Zähler kein x enthält
Beispiel 6: 2 12
4f(x) 4 (x 16)x 16
−= = ⋅ ++
Wie man sieht, schreibt man dann denn Nenner mit negativer Hochzahl als Faktor zum Zähler.
Nun leitet man mit der Kettenregel ab. Diese wird anschaulich, wenn man zuerst den Klammerinhalt durch u substituiert (ersetzt): Setze u = x2 + 16. Damit lautet die Funktion
1f(x) 4u−= . Die Kettenregel verlangt nun, daß man ersten u -1 in -u -2 ableitet, und daß man zweitens noch mit der Ableitung u' (innere Ableitung) multipliziert:
22
4f '(x) 4 ( u ) u' u'u
−= ⋅ − ⋅ = − ⋅
Wegen u = x2 + 16 ist u' = 2x. Nun macht man die Substitution wieder rückgängig:
2 2 2 2
4 xf '(x) 2x 8(x 16) (x 16)
= − ⋅ = −+ +
Das ganze geht natürlich auch ohne Substitution: Man leitet die Klammer mit der Potenzregel ab (-1 vor; neue Hochzahl - 2 ) und multipliziert mit der inneren Ableitung (der Klammer).
Beispiel 7: 14f(x) 4(x 2)x 2
−= = ++
22
4f '(x) 4(x 2) 1(x 2)
−= − + ⋅ = −+
Innere Ableitung
Beispiel 8: 22
6f(x) 6(x 1)(x 1)
−= = −−
33
12f '(x) 12(x 1) 1(x 1)
−= − − ⋅ = −−
Beispiel 9: 2 22 2
32f(x) 32(x 16)(x 16)
−= = −−
2 32 3
xf '(x) 64(x 16) 2x 128(x 16)
−= − − ⋅ = −−
Beispiel 10: 2 12
12f(x) 12(x 4x)x 4x
−−= = − +
+
2 22 2 2 2
2x 4 x 2f '(x) 12(x 4x) (2x 4) 12 24(x 4x) (x 4x)
− + += + ⋅ + = =
+ +
Aufgabe 2: Berechne je zwei Ableitungen 3(a) f(x)
4 x=
− 2
24(b) f(x)x 4
=−
2
8(c) f(x)(x 3)−
=+
2 2
18(d) f(x)(x 9x)
−=
−
Die zweite Ableitung kann erst nach dem nächsten Abschnitt berechnet werden!
Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen 4
4. Gebrochen rationale Funktionen. deren Zähler x und
deren Nenner eine Summe enthält
Beispiel 11: 2
2x 5f(x)x 4
−=
+
Jetzt sind die (einfachen) Methoden aus den beiden vorangegangenen Abschnitte nicht mehr möglich. Wir benötigen die Quotientenregel: Zähler: u(x) = 2x - 5 mit u'(x) = 2
Nenner: v(x) = x2 + 4 mit v'(x) = 2x. 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
(x 4) (2x 5) 2x 8 4x 10x 2x 10x 8 x 5x 4f '(x) 2(x 4) (x 4) (x 4) (
24)
xx
2+ − − + − + − + + − −= = = = −
+ + + +
Zweite Ableitung: 2 2
2 4
22(2x 5) 2(x 4) 2x(x 4) (x 5x 4)f (x) 2(x 4)
+ − ⋅ − −′ + ⋅=
+−′ −
Aus der 1. Ableitung ist der Zähler: u(x) = x2 - 5x - 4 also u'(x) = 2x - 5 Und der Nenner: v(x) = (x2 + 4)2
Dessen Ableitung wird mit der Kettenregel berechnet: v'(x) = 2 (x2+ 4 ) 2x Also Ableitung der Klammerpotenz multipliziert
mit der inneren Ableitung, also des Klammerterms. Bei jeder 2. oder höheren Ableitung haben wir nun eine interessante Situation: Der Klammerterm des Nenners tritt in beiden Summanden des Zählers auf und kann somit ausgeklammert werden, blau eingefärbt der Klammerterm:
2
42
22 2(x 4) (x(2x 5) 2 2x (x 5x 4)f (x 4)(x )
24
) − − ⋅ ⋅ − −′ + ++
′ = −
Wir klammern im Zähler diesen Klammerterm aus: 2 22 2
2 4
(x 4) (x 4)(2x 5) 2 2x (x 5x 4)f (x)
(x )2
4
− − ⋅ ⋅ − −+ +=+
′′ −
Nun können wir diesen Klammerterm kürzen: 2
2
2
3
(x 4)(x 4
(2x 5) 2 2x (x 5x 4)f (x)
)2 − − ⋅ ⋅ − − ′
+
+′ = −
Die eckige Klammer wird im Zähler nicht mehr benötigt, und man kann ihn zusammenfassen:
3 2 3 2
2 3
2x 5x 8x 20 (4x 20x 16x)f ((x 4
x) 2)
− + − − − −′+
′ = −
Die Klammer im hinteren Teil des Zähler empfiehlt sich, weil man ohne diese Klammer die Vorzeichen ändern muß:
3 2 3 2 3 2
2 3 2 3
2x 5x 8x 20 4x 20x 16x 2x 15x 24x 20f (x) 2 2(x 4) (x 4)
− + − − + + − + + −′′ = − = −+ +
Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen 5
Beispiel 12: 2x 2f(x)3 x−
=−
2 2 2
2(3 x) ( 1)(2x 2) 6 2x 2x 2 4f '(x)(3 x) (3 x) (3 x)
− − − − − + −= = =
− − −
Sollen wir die 2. Ableitung berechnen, müssen wir erkennen, daß jetzt der Sonderfall eingetreten ist, daß der Zähler kein x enthält, also arbeiten wir mit der Kettenregel und formen dazu um:
2f '(x) 4(3 x)−= −
2. Ableitung: 3 33
8f ''(x) 8(2 x) ( 1) 8(2 x)(2 x)
− −= − − ⋅ − = − =−
3. Ableitung: 44
16f '''(x) 16(2 x) ( 1)(2 x)
−= − − ⋅ − =−
Beispiel 13: 2
2
x xf(x)x 4
+=
−
2 2 3 2 3 2 2
2 2 2 2 2 2
(2x 1)(x 4) 2x(x x) 2x x 8x 4 2x 2x x 8x 4f '(x)(x 4) (x 4) (x 4)
+ − − + + − − − − − − −= = =
− − −
2
2 2
x 8x 4f '(x)(x 4)+ +
= −−
Das Ausklammern und Vorziehen des Faktors - 1 vereinfacht!
2. Ableitung: 2 2
2 4
22 2(x 4)2(2x 8)(x 4) (x 8x 4)f ''(x x)(x 4)
+ + +−− −= −
−
Der Nenner v(x) = 2(x 4)− 2 hat als Ableitung: v'(x) = 2 2(x 4)− 2x Als nächstes kann man 2(x 4)− im Zähler ausklammern und dann weg kürzen:
2 2 2 2 2
2 4 2 3
(x 4) (2x 8)(x 4) (x 8x 4) (2x 8)(x 4) (x 8x 4)f (x)(x 4) (x 4
2 2x 2 2x)
− + − − + + + − − + + ⋅ ⋅′′ = − = −− −
3 2 3 2 3 2
2 3 2 3
2x 8x 8x 32 4x 32x 16x 2x 24x 24x 32(x 4) (x 4)
+ − − − − − − − − −= − = −
− −
3 2
2 3
2x 24x 24x 32f ''(x)(x 4)
+ + +=
−
Beispiel 14: 2 12
48f(x) 48(x 16)x 16
−= = ++
Diese Funktion ist von Anfang an ein Sonderfall, da der Zähler kein x enthält. Die Umformung erlaubt die Anwendung der Kettenregel:
2 22 2
xf '(x) 48(x 16) 2x 96(x 16)
−= − + ⋅ = −+
Achtung: Das Vorziehen des konstanten Faktors - 96 vereinfacht die Berechnung der nächsten Ableitung ganz erheblich, denn der konstante Faktor bleibt beim Ableiten unveränderlich erhalten!
Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen 6
Es war 2 2
xf '(x) 96(x 16)
= −+
2. Ableitung: 2 22 2 2
2 4 2 4
(x 16) (x 16) x1 (x 16) xf (x) 96 96(x 16
2 2x2(x 16) (x 1 )
) 2x6
+ + − ⋅⋅ ⋅+ ⋅+ − ⋅ ′′ = − = −+ +
2 2 2
2 3 2 3 2 3
(x 16) x 3x 16 3x 1696 96 96(x 16) (x 16) (x 1
2 2x6)
+ − ⋅ − + −= − = − =
+⋅
+ +
Beispiel 15: 2x 4f(x)
x 3−
=−
2 2 2 2
2 2 2
2x(x 3) 1 (x 4) 2x 6x x 4 x 6x 4f '(x)(x 3) (x 3) (x 3)
− − ⋅ − − − + − += = =
− − −
22 2
4 4
(x 3) (2x 6)(x 3) 2(x 6x 4)(2x 6)(x 3) 2(x 3)(x 6x 4)f (x)(x 3) (x 3)
− − − − − +− − − − − + ′′ = =− −
2 2 2
3 3 3
(2x 6)(x 3) 2(x 6x 4) 2x 6x 6x 18 2x 12x 8 10(x 3) (x 3) (x 3)
− − − − + − − + − + −= = =
− − −
Beispiel 16: 2
2
xf(x)(4 x)
=−
Diese Funktion ist dadurch besonders interessant, weil sie bereits vor der ersten Ableitung im Nenner eine quadrierte Klammer hat. Dies war bisher in f'(x) der Fall und hatte zur Folge, daß man in f'' ausklammern und kürzen konnte. Dies wird jetzt schon bei f' möglich sein!
22 2 2
4 4 3
(4 x) 2x(4 x) 2x2x(4 x) x 2x(4 x) 2xf '(x)(4 x) (4 x) (4 x)
2(4 x)( 1) − − +− − ⋅ − + = = =− − −
− −
2 2
3 3
8x 2x 2x xf '(x) 8(4 x) (4 x)− +
= =− −
Den konstanten Faktor 8 vor den Bruch!
[ ]33 2
6 6 3 3
(4 x) (4 x) 3x1 (4 x) 3(4 x) ( 1) x 4 2x x 2f (x) 8 8 8 16(4 x) (4 x) (4 x) (4 x)
− − +⋅ − − − − ⋅ + +′′ = = = =− − − −
Aufgabe 3: Berechne jeweils zwei Ableitungen
x(a) f(x)x 1
=+
2
16x(b) f(x)x 8
=+
2x 1(c) f(x)
x 2−
=+
2 2
2 2
x a(d) f(x)x a
−=
+ 2
2x 3(e) f(x)(x 1)
+=
+ 2
4x 8(f ) f(x)x t
+=
+
2 2t x(g) f(x)x 2t−
=−
2
2
x(h) f(x)(x t)
=+
3x(i) f(x)
x 2=
+
3
2
x( j) f(x)x 4
=+
3
2
3x 3x(k) f(x)x 4
−=
+
3
2
x 8(l) f(x)(x 1)
−=
+
Ableitungen gebrochen rationaler Funktionen 7
5. Übersicht Gebrochen rationale Funktionen leitet man nach folgenden Grundsätzen ab: Zunächst gibt es die Quotientenregel. Sie gilt prinzipiell für alle gebrochen rationalen Funktionen in der Normalform. Es gibt jedoch zwei Fälle, in denen die Ableitung wesentlich einfacher berechnet werden kann:
1. Fall: Der Nenner enthält keine Summe 2 2
1x 4 x 4 1 1 1 1f(x) x x x8x 8x 8x 8 2x 8 2
−−= = − = − = −
22
2 2
1 1 1 1 x 4f '(x) x8 2 8 2x 8x
− += + = + =
1. Schritt: Zerlege den Funktionsterm in Summanden und erzeuge die Potenzform d.h. (Summanden = Zahl man x-Potenz)
2. Schritt: Leide jeden Summanden für sich ab: Der konstante Faktor bleibt erhalten und wende die Potenzregel an.
3. Schritt: Bringe die Summanden ggf. wieder auf den Hauptnenner.
Alle weiteren Ableitungen sind auf dieselbe Weise zu berechnen.
2. Fall: Der Zähler enthält kein x 2 1
2
4f(x) 4 (x 16)x 16
−= = ⋅ ++
2 2 2 2
4 xf '(x) 2x 8(x 16) (x 16)
= − ⋅ = −+ +
1. Schritt: Schreibe den Nenner als Faktor mit negativer Hochzahl. 2. Schritt: Leite mit der Kettenregel ab. 3. Schritt: Bringe den Term wieder in die Bruchform.
3. Fall: Alle anderen Terme 2
2x 5f(x)x 4
−=
+
Nur hier wende man die Quotientenregel an : 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
(x 4) (2x 5) 2x 8 4x 10x 2x 10x 8 x 5x 4f '(x) 2(x 4) (x 4) (x 4) (
24)
xx
2+ − − + − + − + + − −= = = = −
+ + + +
Empfehlungen 1. Es lohnt sich stets, konstante Faktoren auszuklammern und vor den Bruch
zu schreiben, damit vereinfacht sich die Berechnung der nächsten Ableitung. 2. Die erste Ableitung kann nach Anwendung der Quotientenregel vom 2. auf
den 3. Fall führen und umgekehrt. 3. Steht im Nenner eines abzuleitenden Terms eine Klammer, die selbst wieder
eine Potenz trägt, kann man in der nächsten Ableitung diese Klammer im Zähler ausklammern und dann teilweise kürzen!
Teil 2
Krümmungsverhalten von Kurven
Datei Nr. 41122
Friedrich W. Buckel
Internatsgymnasium Schloß Torgelow
Juni 2000
Ableitungsstory 11
2. Teil: Die zweite Ableitungsfunktion f‘‘
2.1 Was uns die Ableitung von f' mitteilen kann. Beispiel 1:
Wir gehen von einer ganz einfachen Parabel aus: Nebenstehendes Schaubild gehört zur Funktion 2f(x) x 4= − . Dazu berechnen wir die erste Ableitungsfunktion: f‘(x) = 2x und betrachten einige Werte davon:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f‘(x) -6 -4 -2 0 2 4 6
Wir beobachten, daß die Werte von f‘ zunehmen. Und zwar pro Einheit immer um genau 2. Nun haben wir gelernt, daß die Zunahme einer Funktion zur Monotonie gehört, und daß man dies mit der Ableitung der Funktion untersuchen kann. Hier geht es um die Ableitung der Funktion f‘ , also müssen wir deren Ableitung ansehen. Man schreibt sie als f‘‘(x) = 2
Erkenntnis: Da f‘‘(x) stets positiv ist, wächst die Funktion f‘ stets streng monoton. Dies stimmt mit unserer Tabelle überein. Die Zunahme der Tangentensteigungsfunktion f‘ hat eine optische Auswirkung: Die Kurve selbst, also das Schaubild von f, zeigt Linkskrümmung! Die Erkenntnis f‘‘(x) = 2 > 0 liefert uns also eine Aussage über die Krümmung des Schaubilds von f. Der Zahlenwert 2 sagt aber nichts über die Stärke der Krümmung aus. Wie man sieht, krümmt sich die Parabel am Scheitel viel stärker als weiter außen. Dennoch ist f‘‘(x) immer konstant 2. Diese Zahl ist ein Maß für die Zunahme der Steigung, aber kein Krümmungswert. Lediglich das Vorzeichen ist von Bedeutung. Beispiel 2: Die nebenstehenden Parabeln gehören zu den Funktionen f und g: Die Funktion f mit Schaubild K1 lautet: 21
4f(x) x x 3= + − und die Gleichung von g mit Schaubild K2 : 2 31
4 2g(x) x x= − + Ableitungen von f:
12f '(x) x 1= + und 1
2f ''(x) = Da f‘‘(x) > 0 ist, wächst f‘ überall streng monoton, d.h. die Parabel K1 hat Linkskrümmung. Ableitungen von g:
312 2g'(x) x= − + und 1
2g''(x) = − . Da g‘‘(x) < 0 für alle x, fällt g‘ streng monoton, d.h. die Werte g‘(x) nehmen ab, die Kurve C hat Rechtskrümmung. Ergebnis: Das Vorzeichen von f‘‘ erzählt uns etwas über die Krümmung einer Kurve.
1K2K
Ableitungsstory 12
2.2 Ausführliche Untersuchung der Krümmung Auf Seite 7 haben wir eine ganzrationale Funktion 3. Grades auf Monotonie untersucht. Ihre Gleichung lautete
3 21 13 2f(x) x x 2x= − − .
(Rechts das Schaubild K von f.) Ableitungen: f‘(x) = x2 – x – 2 und f‘‘(x) = 2x – 1. Um eine Aussage über die Krümmung von K machen zu können, müssen wir die Monotonie von f‘ untersuchen und dazu eine Vorzeichenuntersuchung von f‘‘ anstellen.
f‘‘(x) selbst ist ein linearer Term, dessen Schaubild eine Gerade ist: Sie ist blau eingezeichnet. Das Vorzeichen von f‘‘ ändert sich an ihrer Nullstelle, die bei 1
2x = liegt. Da die Gerade selbst eine positive Steigungszahl 2 hat, nehmen die Werte nach rechts zu. Also hat f‘‘ rechts von 1
2x = (rote gestrichelte Linie) positive Werte und links davon negative Werte. Die kann man wieder übersichtlich in eine Vorzeichentabelle eintragen. Diese kann etwa so aussehen:
12
f‘‘(x)=2x – 1
f‘(x) nimmt ab nimmt zu
K Rechts- Links- Krümmung krümmung Dies paßt natürlich genau zur Zeichnung! Der Verlauf unserer Kurve ist so: Von links unten kommend krümmt sich die Kurve nach rechts, die Steigungszahlen nehmen ab! Dann erreicht die Kurve ihren Hochpunkt H. Dort hat sie erstens eine waagerechte Tangente und zweitens weiterhin Rechtskrümmung, denn sie fällt rechts vom Hochpunkt. An der Stelle 1
2x = ändert sich die Situation. Dort wechselt f‘‘ das Vorzeichen, die Krümmung wechselt von Rechtskrümmung nach Linkskrümmung. Der Punkt W“ mit den Koordinaten W ( )131
2 12− ist ein
Wendepunkt. Jetzt nehmen die f‘-Werte wieder zu, die Kurve K krümmt sich nach links. Dann erreicht die Kurve ihren Tiefpunkt T in dem sie wieder erstens eine waagerechte Tangente hat, zweitens jetzt aber Linkskrümmung, denn rechts vom Tiefpunkt nehmen die Funktionswerte wieder zu. Darauf gehen wir später ausführlicher ein. Die Kurve behält jetzt die Eigenschaften Steigen und Linkskrümmung bei. Es gibt also auch keinen weiteren Wendepunkt mehr.
12
f ''
+− x
+− O x
Ableitungsstory 13
2.2 Musteraufgaben zur Krümmung Das in 2.1 geschilderte Beispiel kann man so natürlich in keiner Arbeit darstellen. Dort muß die Methode kompakt sein und dennoch über den notwendigen Text verfügen. Daher nun einige Aufgaben mit Musterlösungen.
Musteraufgabe 6:
Untersuche das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f mit 3 21
3f(x) x 2x= + (Siehe Seite 7/8)
Lösung:
3 21
3f(x) x 2x= + Ableitungen: f‘(x) = x2 + 4x und f‘‘(x) = 2x + 4 Nullstelle der Funktion f‘‘: Bed.: 2x + 4 = 0 d.h. xW = - 2 mit f(2) = 16
3 . Das Schaubild von f‘‘ stellt eine steigende Gerade (Steigungszahl 2) dar, also hat f‘‘ rechts von ihrer Nullstelle – 2 positive Werte, links davon negative. Vorzeichentabelle: - 2 f‘‘(x) = 2x + 4
f‘(x) nimmt ab nimmt zu
Schaubild K Rechtskr. Linkskrümmung
Und ( )163W 2− ist Wendepunkt des Schaubilds von f (weil dort das Vorzeichen
von f‘‘ wechselt, d.h. weil dort die Krümmung von K von rechts nach links wechselt).
+− O x
W
RKr
LKr
x
y
Ableitungsstory 14
Musteraufgabe 7:
Untersuche das Krümmungsverhalten des Schaubilds der Funktion f mit 4 2 31 1
4 2 4f(x) x x= − −
Lösung:
4 2 31 14 2 4f(x) x x= − −
Ableitungen: 3f '(x) x x= − und 2f ''(x) 3x 1= − Nullstellen von f‘‘: 2 2 1 1 1
1,23 3 33x 1 0 x x 3− = ⇔ = ⇔ = ± = ±
Das Schaubild von f‘‘ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen 13± .
Also hat f‘‘ zwischen diesen Nullstellen negative Werte und außen positive Werte.
Vorzeichentabelle: 13− 1
3
2f ''(x) 3x 1= −
3f '(x) x x= − wächst . fällt wächst streng monoton
Schaubild K von f Linkskr. Rechtskr. Linkskrümmung
Die Abbildung zeigt die Schaubilder von f, f‘ und f‘‘
Beginnen wir bei f’’, der gestrichelten Parabel. Ihre Nullstellen liegen bei 1
3± . An diesen beiden Stellen habe blaue gestrichelte Linien eingetragen. Diese gehen auch durch den Hochpunkt bzw. Tiefpunkt von f‘ (rot), d.h. man erkennt die in der Tabelle beschriebene Monotonie von f‘: zwischen den Linien nimmt f‘ ab. Und genau dort hat auch das Schaubild K der w-förmigen Kurve, die von f erzeugt wird, Rechtskrümmung. Ihre beiden Wendepunkte liegen also ebenfalls auf diesen blauen Hilfslinien. Links und rechts davon hat K Links--krümmung.
+ +−O O x
1W 2W
Ableitungsstory 15
Musteraufgabe 8: Untersuche das Monotonieverhalten und das Krümmungsverhalten
des Schaubilds der Funktion f mit 4 3 2 31 1
8 8 2f(x) x x x x= − − +
Lösung
Ableitungen: 3 23 312 8 2f '(x) x x 2x= − − + und 23 3
2 4f ''(x) x x 2= − −
(a) Monotonieverhalten von f. (Vorzeichenuntersuchung von f‘ )
Nullstellen von f‘: f‘(x) = 0 d.h. 3 23 312 8 2x x 2x 0 8− − + = ⋅
3 24x 3x 16x 12 0− − + = (1) Probierlösung: x1 = 2: 32 - 12 - 32 + 12 = 0 Ausklammern des Linearfaktors ( x – 2 ) mittels Hornerschema 4 -3 -16 12 0 8 10 -12 x=2 4 5 - 6 0 (Auf dasselbe Ergebnis kommt man auch mit Polynomdivision) Aus (2) folgt durch Nullsetzen der zweiten Klammer: 4x2 + 5x – 6 = 0 d.h.
34
2,35 25 96 5 11x
8 8 2 − ± + − ±
= = = −
Zugehörige y-Koordinaten: ( ) ( ) ( )4 3 23 3 3 3 3 31 14 8 4 8 4 4 2 4f( ) 0,55= ⋅ − ⋅ − + ⋅ ≈
f( 2) 2 1 4 3 4− = + − − = − In den Punkten A ( 0,75 I 0,55 ) und B ( - 2 I – 4 ) hat das Schaubild K je eine waagerechte Tangente. Zur Vorzeichenbestimmung von f‘ muß man f‘(x) in Faktoren zerlegen:
312 4f '(x) (x 2)(x 2)(x )= − + −
Alle drei Klammern sind Linearfaktoren mit positiven Steigungszahlen, daher haben sie rechts von ihren Nullstellen positive Werte, links davon negative:
-2 34 2
x – 2
x + 2
x – 34
f‘(x)
f fällt wächst fällt wächst streng monoton
Ergebnis: Für x < - 2 oder 0,75 < x < 2 fällt f streng monoton und für - 2 < x < 0,75 oder x > 2 wächst f streng monoton.
Ergebnis: (1) wird damit zu (2): 2(x 2)(4x 5x 6) 0− + − =
++ + +
+ +
− −−−
−−− − ++
OO
O
x
Ableitungsstory 16
(b) Krümmungsverhalten von K. (Vorzeichenuntersuchung von f‘‘ ) 23 3
2 4f ''(x) x x 2= − − . Nullstellen von f‘‘: 23 32 4x x 2 0 4− − = ⋅
26x 3x 8 0− − =
1,20,933 9 192 3 201x1,4312 12− ± + ±
= = ≈
Zugehörige y-Koordinaten: f( 0,93) 2,07− ≈ − und f(1,43) 0,26≈ Das Schaubild von f‘‘ ist eine nach oben geöffnete Parabel, also sind die Werte von f‘‘ zwischen ihren Nullstellen negativ, außen positiv. Ergebnis:
Für x < - 0,93 und x > 1,43 ist f‘‘(x) > 0, d.h. f‘ nimmt streng monoton zu, also hat K dort Linkskrümmung.
Für - 0,93 < x < 1,43 ist f‘‘(x) < 0, also nimmt dort f‘ ab, d.h. K hat Rechtskrümmung.
An den Nullstellen von f‘‘ findet offenbar Vorzeichenwechsel von f‘‘ statt, also Krümmungswechsel von K, daher befinden sich dort zwei Wendepunkte von K:
W1 ( - 0,93 I 1,43 ) und W2 ( 1,43 I 0,26 )
Die Abbildung enthält die Schaubilder von f, f‘ , f‘‘ und sogar f‘‘‘. Man studiere bitte genau die Übereinstimmung aller Rechenergebnisse mit diesen Kurven !!!
Die beiden blauen gestrichelten Linien gehen durch die hier berechneten Stellen: x = - 0,93 und x = 1,43. Dort hat f‘‘ ihre Nullstellen, also f‘ ihre Hoch- und Tiefpunkte und K ihre Wendepunkte.
ff '
f '' f '''
x
y
1W
2W
Ableitungsstory 17
Musteraufgabe 9: Untersuche das Monotonieverhalten und das Krümmungsverhalten
des Schaubilds der Funktion f mit 4 3 91 112 3 4f(x) x x= − +
Lösung
Ableitungen: 3 21
3f '(x) x x= − und 2f ''(x) x 2x= −
a) Monotonieverhalten von f. (Vorzeichenuntersuchung von f‘ )
Nullstellen von f‘: 3 213 x x 0− = d.h. 3 2 2x 3x 0 x (x 3) 0− = ⇔ − =
x1 = 0 ist eine doppelte Lösung, x2 = 3.
Produktdarstellung von f‘: 213f '(x) x (x 3)= −
Vorzeichentabelle für f‘‘ :
0 3
x2
x – 3
f‘(x)
f fällt fällt steigt
Erklärung: Der quadratische Term x2 hat nie negative Werte, also sind seine Werte links und rechts seiner Nullstelle 0 positiv. Dagegen hat x – 3 die positive Steigungszahl 1, also sind seine Werte rechts von seiner Nullstelle 3 positiv, links davon negativ.
Ergebnis: Für x < 0 und für 0 < x < 3 fällt f streng monoton, für x > 3 wächst f streng monoton.
Achtung: Man kann die beiden linken Intervalle ] ;0[ und ]0;3[−∞ zusammen nehmen zu ] ;3[−∞ , hat dann allerdings die Nullstelle 0 aufgenommen. Da dort f‘(0) = 0 ist, muß man das Wort „streng“ weglassen. Dann lautet das Ergebnis so:
Für x < 3 fällt f monoton, für x > 3 wächst f streng monoton.
Diese Besonderheit ist schon das erste Mal daran zu erkennen, daß f‘ bei 0 eine doppelte Nullstelle hat. Dort gibt es nie einen Zeichen- wechsel. Wir merken uns für später: Eine doppelte Nullstelle von f‘ ist ein besonderer Punkt der Kurve K von f (Terrassenpunkt)!
++ +++
− −−−
x
Ableitungsstory 18
(b) Krümmungsverhalten von K. (Vorzeichenuntersuchung von f‘‘ )
Ableitungen: 3 213f '(x) x x= − und 2f ''(x) x 2x= −
Nullstellen von f‘‘ : x2 – 2x = 0 bzw. x ( x – 2 ) = 0
x1 = 0 und x2 = 2.
Produktdarstellung von f‘‘: f‘‘(x) = x ( x – 2 )
Damit könnten wir jetzt eine Vorzeichentabelle für f‘‘ erstellen. Es geht in diesem Falle aber auch so:
Das Schaubild von f‘‘ stellt eine Parabel dar (siehe Abbildung), die nach oben geöffnet ist und zwei Nullstellen hat. Also sind die f‘‘-Werte zwischen diesen Nullstellen negativ und außen positiv.
Ergebnis: Für x < 0 oder x > 2 ist f‘‘(x) > 0, d.h. f‘ wächst dort streng monoton und K hat dort Linkskrümmung.
Für 0 < x < 2 ist f‘‘(x) < 0, d.h. f‘‘ fällt dort streng monoton und K hat dort Rechtskrümmung.
Folglich liegt an den Stellen 0 und 2 Vorzeichenwechsel von f‘‘ vor, d.h. Krümmungswechsel der Kurve K, also hat K dort Wendepunkte.
f(0) = 94 2,25= und f(2) = 11
12 0,92≈
d.h. ( )91 4W 0 und ( )11
2 12W 2
Man erkennt die Besonderheiten an den Stellen 0 und 2: Dort schneidet die f‘‘-Parabel die x-Achse, d.h. dort liegen die Nullstellen von f‘‘. Der Streifen zwischen den Geraden x = 0 und x = 2 wurde eingefärbt. In ihm hat das Schaubild K von f Rechtskrümmung. Und die Eintrittspunkte links und rechts sind die beiden Wendepunkte. Ferner erkennt man den Terassen-punkt W1 , der die Besonderheit hat, daß er einerseits eine waagerechte Tangente besitzt, andererseits aberWendepunkt ist.
f
f '
f ''
Ableitungsstory 19
2.4 Aufgaben (5) Untersuche das Monotonieverhalten von f und das Krümmungsverhalten
des Schaubilds der Funktion f :
a) 3 29 1514 4 4f(x) x x x 1= − + −
b) 3 21 13 2f(x) x x 2x 1= − + + −
c) 4 214f(x) x 2x 5= − −
d) 4 3 21 18 2f(x) x x x 6x= + − −
e) 41 12 2f(x) x x 2= + −
f) 5 31 45 3f(x) x x 1= − +
Die Lösungen befinden sich im Teil 4.
Teil 3
Besondere Kurvenpunkte
Datei Nr. 41123
Friedrich W. Buckel
Internatsgymnasium Schloß Torgelow
Juni 2000
Ableitungsstory 20
3. Teil: Besondere Kurvenpunkte.
Die Untersuchung von Funktionen verlangt vom Schüler in der Regel die Berechnung der Schnittpunkte mit der x-Achse, deren x-Koordinaten man auch die Nullstellen der Funktion f nennt. Dann Punkte mit waagerechter Tangente. Zu diesen gehören Hochpunkte und Tiefpunkte. Dann aber auch noch die schon angesprochenen Wendepunkte. Außerdem gibt es Sonderfälle, die weniger oft auftreten, und zwar Terrassenpunkte oder gar Flachpunkte. Die Berechnung all dieser Punkte kann ganz schematisch erfolgen. Der Schüler sollte jedoch die Methoden verstehen, die dahinter stecken, denn sie sind mit der besprochenen Monotonie zu begründen, was natürlich dem Verständnis dient und auch bei komplizierteren Aufgaben von Nutzen sein wird.
3.1 Nullstellen
Wenn eine Kurve die x-Achse schneidet dann hat der Schnittpunkt die y-Koordinate Null, weshalb man auch von einer Nullstelle spricht. Ein Beispiel möge genügen. Ich wähle dazu das Beispiel 8 aus dem 2. Teil dieses Manuskripts aus. Die Funktionsgleichung lautete
4 3 2 31 18 8 2f(x) x x x x= − − +
Das Schaubild kann man auf Seite 16 betrachten. Bedingung für Nullstellen: f(x) 0= d.h.
4 3 2 31 18 8 2x x x x 0− − + = ⋅8
4 3 2x x 8x 12x 0− − + = Da das Absolutglied fehlt (d.h. Null ist), kann man x ausklammern:
3 2x(x x 8x 12) 0− − + = Dieses Produkt ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Also gibt es die beiden Fälle x = 0 und 3 2x x 8x 12 0− − + = (1) Im ersten Fall liegt schon die erste Nullstelle vor: x1 = 0. Zum Lösen der Gleichung (1) benötigt man eine bekannte Lösung (Probierlösung). Hier kann man z.B. x2 = 2 herausfinden, denn 8 – 4 – 16 + 12 = 0 Nun muß man wissen, daß man als Folge davon den Term ( x – 2 ) ausklammern kann. Dieses Ausklammern ist ein Divisionsvorgang, den man mittels Polynomdivision erledigen kann:
In beiden Fällen erhält man als Ergebnis der Division den Term x2 + x – 6.
(x3 – x2 – 8x + 12 ) : ( x – 2 ) = x2 + x – 6 - (x3 – 2x2) x2 – 8x - ( x2 – 2x ) - 6x + 12 - ( - 6x + 12 ) 0
Oder man verwendet das Horner-Schema: 1 -1 -8 12 0 2 2 -12 x=2 1 1 -6 0
Ableitungsstory 21
Daher kann man die Gleichung (1) jetzt weiter zerlegen in ( x – 2 ) ( x2 + x – 6 ) = 0.
Setzt man die letzte Klammer Null, dann folgen die Lösungen x3 und x4 :
3,421 1 24 1 5x32 2
− ± + − ±= = = −
Damit hätten wir x3 = 2 und x4 = - 3. Nun muß auffallen, daß die Nullstelle 2 doppelt aufgetreten ist, also gibt es in Wirklichkeit nur drei Schnittpunkte mit der x-Achse:
N1 ( 0 I 0 ) , N2 ( 2 I 0 ) und N3 ( - 3 I 0 ).
Die Funktion kann man jetzt noch in die Produktform bringen: ( )21
8f(x) x (x 3) x 2= ⋅ + ⋅ − Und da es bei der doppelten Nullstelle keinen Vorzeichenwechsel gibt, wissen wir jetzt schon, daß hier ein Berührpunkt mit der x-Achse vorliegt, das ist entweder ein Hoch- oder ein Tiefpunkt. Bemerkungen 1. Das Berechnen von Nullstellen erfordert die Kenntnis aller Methoden zum Lösen
von Gleichungen. Das Horner-Schema wird in einer eigenen Datei erklärt. 2. In manchen Aufgaben ist der Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen. Dort
ist die x-Koordinate 0 und die y-Koordinate wird durch f(0) berechnet. Bei ganz-rationalen Funktionen ist das Ergebnis immer das Absolutglied des Funktionsterms.
Ableitungsstory 22
x
3.2 Extrempunkte
Die Funktion f mit 3 231
16 8f(x) x x 1= − + ist hier dargestellt. Sie hat in der mathematischen Fach-sprache zwei Extremstellen, nämlich x1 = 0 und x2 = 4, an denen sie (die Funktion) Extremwerte hat. Bei 0 hat sie ein lokales Maximum und bei 4 ein lokales Minimum. Das Schaubild K von f hat dagegen zwei Extrempunkte, nämlich den Hochpunkt H ( 0 I 1 ) und den Tiefpunkt T ( 4 I – 1 ).
Zunächst einmal achte man auf die wesentliche Unterscheidung Funktion – Kurve. Die Funktion ist ein algebraischer Begriff, der eine eindeutige Zuordnung definiert, die hier jeder Zahl x deren Funktionswert f(x) zuordnet, der durch den Term
3 23116 8f(x) x x 1= − + berechnet wird. Eine Funktion hat nur Werte und keine Punkte.
Und an der Stelle 0 hat sie eben den größten Wert 1. Aber wie man sieht, nicht absolut, denn bei x = 6,2 ist der Funktionswert mit f(6,2) = 1,4805 größer als das Maximum bei 0 mit f(0) = 1. Dennoch gibt es einen Bereich links und rechts von 0 – die Mathematiker sagen „eine Umgebung von 0“ , in dem kein Wert f(x) größer ist als f(0) = 1. Etwa so: In der Umgebung U1(0) = ] ; 6 ]−∞ gilt f(x) f(0)≤ . Daher hat f bei 0 ein relatives Maximum. Die Kurve, also das Schaubild oder der Graph der Funktion f, ist ein geometrischer Begriff. K hat den relativen Hochpunkt H ( 0 I 1 ). An der Stelle x = 4 hat f ein relatives Minimum, weil es zu 4 eine Umgebung gibt, etwa U2(4) = [ 2 ; [− ∞ , in der kein Wert kleiner ist als f(4), d.h. f(x) f(4)≥ . Das Schaubild K hat also den relativen Tiefpunkt T ( 4 I – 1 ). Durch die Eigenschaft, daß die Kurve in der Umgebung eines Hochpunkts links und rechts tiefer liegt als f(0) und in der Umgebung eines Tiefpunkts links und rechts höher liegt als f(4), hat die Kurve dort waagerechte Tangenten. (Dies ist um Gottes Willen kein Beweis, denn es gibt andere Kurven, bei denen dies nicht der Fall ist. Doch in unserer Geschichte will ich davon berichten, daß ganzrationale und gebrochen rationale Funktionen diese angenehme Eigenschaft haben). Diese blau eingezeichneten Tangenten helfen uns weiter, denn wir wollen diese Eigenschaft fordern, wenn wir nach Extrempunkten suchen. Ein Punkt mit einer schrägen Tangente läßt die Kurve rechts oder links weiter ansteigen und liefert bei „unseren“ Funktionen keine Extrempunkte. Da die Tangentensteigung mit f‘(x) berechnet wird, verlangen wir also bei unserer Suche nach waagerechten Tangenten stets f‘(x) = 0 als Bedingungsgleichung.
3N 2N
y
Ableitungsstory 23
Doch schauen wir uns das Schaubild der Funktion f mit 31
6f(x) x 4= − + an. Diese Kurve besitzt auch einen Punkt mit waagerechter Tangente. Wir wollen ihn berechnen: 21
2f '(x) x= − Und aus f‘(x) = 0 also 21
2 x 0− = folgt x = 0 mit f(0) = 4. K hat in P ( 0 I 4 ) eine waagerechte Tangente – obwohl kein Extrempunkt vorliegt. Egal wie klein wir uns eine Umgebung um die Stelle 0 denken. Stets sind links von 0 die Werte größer als 4 und rechts von 0 kleiner als 4. Wir brauchen also ein Unterscheidungs-kriterium, das uns ohne Ansehen einer Zeichnung sagt, ob ein Punkt mit einer waagerechten Tangente Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, oder gar ein Punkt wie hier (den man übrigens Terrassenpunkt) nennt. Dieses Hilfsmittel haben wir im 2. Teil dieser Abhandlung bereits entwickelt. Es ist die Krümmung der Kurve – bzw. die zweite Ableitung f‘‘ der Funktion f. 1. Hochpunkte (a) Eine Funktion hat an einer Stelle a ein relatives
Maximum, wenn es eine Umgebung [ x1 ; x2 ] von a gibt, in der f(x) f(a)≤ gilt.
(b) Ein Punkt H einer Kurve K ist Hochpunkt, wenn K dort eine waagerechte Tangente und Rechtskrümmung hat.
(c) Gilt f‘(a) = 0 und f‘‘(a) < 0 (d.h. Rechtskrümmung an der Stelle a), dann ist H ( a I f(a) ) ein Hochpunkt.
2. Tiefpunkte (a) Eine Funktion hat an einer Stelle a ein relatives
Minimum, wenn es eine Umgebung [ x1 ; x2 ] von a gibt, in der f(x) f(a)≥ gilt.
(b) Ein Punkt H einer Kurve K ist Tiefpunkt, wenn K dort eine waagerechte Tangente und Linkskrümmung hat.
(c) Gilt f‘(a) = 0 und f‘‘(a) > 0 (d.h. Linkskrümmung an der Stelle a), dann ist T ( a I f(a) ) ein Tiefpunkt.
a
a
x
y
H
T
Ableitungsstory 24
Zur Beschreibung der Terrassenpunkte sei hier vorerst nur gesagt, daß bei Ihnen Krümmungswechsel stattfindet, so daß sie zu den Wendepunkten gehören.
Musterbeispiele zur Extrempunktberechnung B1: 3 2 261
3 3f(x) x x 8x= − − + 2f '(x) x 2x 8= − −
f ''(x) 2x 2= − Bedingung für waagerechte Tangenten: f‘(x) = 0 d.h.
2x 2x 8 0− − =
1,242 4 32 2 6x22 2
± + ±= = = −
y-Koordinaten: f( - 2 ) = 18 und f( 4 ) = - 18 Krümmungsuntersuchung: f‘( - 2 ) = - 4 – 2 < 0 d.h. Rechtskrümmung, also ist H ( - 2 I 18 ) ein Hochpunkt von K. f‘‘( 4 ) = 8 – 2 > 0 d.h. Linkskrümmung, also ist T ( 4 I – 18 ) Tiefpunkt von K.
B2: 4 21
4f(x) x x= − 3 2f '(x) x 2x x(x 2)= − = − 2f ''(x) 3x 2= − Bedingung für waagerechte Tangenten. f‘(x) = 0 d.h. x ( x2 – 2 ) = 0 d.h. x1 = 0 und 2,3x 2= ± y-Koordinaten: f(0) = 0; f( 2 ) 1± = − Krümmungsverhalten: f‘‘(0) = - 2 < 0 d.h. Rechtskrümmung, f ''( 2 ) 4 0± = > d.h. Linkskrümmung.
Ergebnis: K hat H ( 0 I 0 ) als Hochpunkt und ( )1,2T 2 1± − als Tiefpunkte.
Bemerkung: In dieser Aufgabe sind die Tiefpunkte nicht nur relative Extrempunkte, sondern T1 und T2 sind sogar absolute Tiefpunkte, denn hier gilt für alle reellen Zahlen x die Beziehung f(x) f( 2 ) 1≥ ± = − Diese Funktion f hat daher die Wertmenge [ 1; [= − ∞W
Ableitungsstory 25
B3: 4 3 23 914 2 4f(x) x x x x 3= − + + −
3 29 92 2f '(x) x x x 1= − + +
2 92f ''(x) 3x 9x= − +
Waagerechte Tangenten: Bed.: f‘(x) = 0 d.h.
3 29 92 2x x x 1 0 2− + + = ⋅
3 22x 9x 9x 2 0− + + = (1) Probierlösung: x = 2. Ausklammern von ( x – 2 ) mittels Hornerschema: 2 -9 9 2 0 4 -10 -2 x=2 2 -5 -1 0 d.h. aus (1) wird: ( x – 2 ) (2x2 – 5x – 1 ) = 0
Damit folgt: 2,32,695 25 8 5 33 5 1x 330,194 4 4 4
± + ±= = = ± ≈ −
Funktionswerte: f(2) 0= f(2,69) 0,14≈ − und f( 0,19) 3,1− ≈ − Krümmungsverhalten: f‘‘(2) = 12 – 18 + 4,5 < 0 d.h. Rechtskrümmung f‘‘(2,69) = ... > 0 d.h. Linkskrümmung f‘‘(-0,19) = ... > 0 d.h. Linkskrümmung Ergebnis: H ( 2 I 0 ) , T1 ( - 0,19 I – 3,1) und T2 ( 2,69 I – 0,14 ). B4: 5 31 2
27 3f(x) x x 3x= − + 4 25
27f '(x) x 2x 3= − + 320
27f ''(x) x 4x= − Waagerechte Tangenten: f‘(x) = 0 d.h
4 2527 x 2x 3 0 27− + = ⋅
4 25x 54x 81 0− + = Dies ist eine biquadratische Gleichung, also eine quadratische Gleichung für x2 :
2 54 2916 1620 54 1296x10 10
± − ±= = =
295
954 36x10
±= =
Aus x2 = 9 folgt 1,2x 3= ±
Aus 2 95x = folgt 9
3,4 5x 1,34= ± ≈ ± y-Koordinaten: ( )f 3 0± = und ( )f 1,34 2,57± ≈ ± Krümmungsuntersuchung: f‘‘(3) = 20 – 12 > 0 d.h. LKr. f‘‘(-3) < 0 d.h. RKr. f‘‘(1,34) < 0 RKr. und f‘‘ (-1,34) > 0 LKr. Ergebnis: T1 ( 3 I 0 ), T2 ( - 1,34 I – 2,,57 ) H1 ( - 3 I 0 ) , H2 ( 1,34 I 2,57 )
x
y
x
y
Ableitungsstory 26
3.3 Wendepunkte Das Thema Wendepunkte ist in Teil 2 schon intensiv angesprochen worden. Hier die Ergebnisse zusammengefaßt:
Drei Beispiele: B1 3 29 151
4 4 4f(x) x x x 1= − + − 23 9 15
4 2 4f '(x) x x= − + 3 9
2 2f ''(x) x= − Nullstelle von f‘‘: x=3 Das Schaubild von f‘‘ stellt eine Gerade dar, die ihre Nullstelle bei x = 3 hat. Da diese Gerade die positive Steigungszahl 3
2 hat, nimmt f‘‘ für x > 3 positive Werte an und für x < 3 negative Werte. Damit ist nachgewiesen, daß f‘‘ bei x=3 das Vorzeichen wechselt. Das Schaubild K von f hat also bei x = 3 den einzigen Wendepunkt:
( )13 134 4f(3) W 3= − ⇒ −
B2 4 231
36 2f(x) x x 2x 1= − + − 31
9f '(x) x 3x 2= − + 21
3f ''(x) x 3= − Nullstellen von f‘‘: 1,2x 3= ± Das Schaubild von f‘‘ stellt eine nach oben geöffnete Parabel mit zwei Nullstellen dar. Also hat f‘‘ zwischen diesen Nullstellen, d.h. im Bereich ] – 3 ; 3 [ negative Werte, K also Rechtskrümmung. Im Außenbereich, also für x < - 3 und für x > 3 positive Werte, K also Linkskrümmung. K hat also zwei Wendepunkte: W1 ( - 3 I f(-3) ), W2 ( 3 I f(3) ).
Ein Kurvenpunkt heißt Wendepunkt, wenn sich dort die Krümmung von links nach rechts oder von rechts nach links ändert. Die Krümmungsart wird durch das Vorzeichen der Funktion f‘‘ bestimmt: (1) Ist in einem Intervall f‘‘(x) > 0, dann wächst die Tangentensteigungsfunktion f‘ dort streng monoton, die zugehörige Kurve hat dann Linkskrümmung. (2) Ist in einem Intervall f‘‘(x) < 0, dann nimmt die Tangentensteigungsfunktion f‘ dort streng monoton ab, die zugehörige Kurve hat dann Rechtskrümmung. (3) Wenn man also nachweisen kann, daß f‘‘ an einer Stelle a das Vorzeichen wechselt, dann ist W ( a I f(a) ) ein Wendepunkt
Ableitungsstory 27
B3 41 12 2f(x) x x 2= + −
3 12f '(x) 2x= +
2f ''(x) 6x= Nullstelle von f‘‘: x = 0 Das Schaubild von f‘‘ stellt eine nach oben geöffnete Parabel dar, die nur eine (aber doppelte!) Nullstelle hat. Diese ist der Parabel- Scheitel, so daß f‘‘ dort keinen Vorzeichenwechsel macht ! Die Nullstelle x = 0 von f‘‘ führt hier also zu keinem Wendepunkt ! Nach diesen drei Beispielen sehen wir uns eine Variante des Wendepunkt-Nach-weises an, die dann von Bedeutung ist, wenn die dritte Ableitung f‘‘‘ leicht zu berechnen ist. (Bei vielen gebrochen rationalen Funktionen ist dies nicht der Fall ! ) Im Beispiel B3 hat f‘‘ eine Nullstelle, in der f‘‘das Vorzeichen nicht wechselt. Man erkennt am Schaubild von f‘‘, daß dort die f‘‘-Kurve die x-Achse nur berührt und nicht schneidet. Wenn wir mit einer einfachen Rechnung nachweisen können, daß die f‘‘-Kurve in ihrer Nullstelle die x-Achse schneidet, dann ist der Zeichenwechsel garantiert und der Wendepunkt nachgewiesen. In Beispiel B1 war dies ganz einfach: Dort war 3 9
2 2f ''(x) x= − und stellte eine Gerade dar, die auf Grund der positiven Steigung die x-Achse von links unten nach rechts oben schneidet. Dies lag an der Steigung der Geraden. Diese erhält man durch weiteres Ableiten von f‘‘ so: f‘‘‘(x) = 3
2 > 0. Also Wechsel von Rechtskurve zu Linkskurve. In Beispiel B2 war 21
3f ''(x) x 3= − und stellte eine Parabel mit den Nullstellen 3 und – 3 dar. Wir berechnen die Tangentensteigung für diese f‘‘-Kurve in ihren Nullstellen. Dies geschieht mit deren Ableitung: f‘‘‘(x) = 2
3 x so: f‘‘‘(3) = 2 und f‘‘‘(-3) = - 2. Diese Ergebnisse sagen uns, daß die f‘‘-Parabel in der Nullstelle – 3 die Steigung – 2 hat, also von + nach – wechselt, und daß sie an ihrer Nullstelle 3 die Steigung 2 hat, also von – nach + wechselt. Diese positiven oder negativen f‘‘-Werte garantieren also, daß die f‘‘-Kurve die x-Achse schneidet. Somit findet dort ein Zeichenwechsel von f‘‘ statt und die Wendepunktseigenschaft ist bestätigt. Fassen wir zusammen: 1. Schritt: Man sucht nach den Nullstellen der f‘‘-Funktion: f‘‘(x) = 0 ergibt xW = ... 2. Schritt: Man stellt sicher, daß die f‘‘-Funktion dort Zeichenwechsel hat, indem man die Steigung von f‘‘ in ihren Nullstellen überprüft, also berechnet man f‘‘‘(xW). Ist das Ergebnisse positiv oder negativ, also nicht 0, dann steht der Zeichenwechsel fest und wir haben einen Wendepunkt für K gefunden.
Ableitungsstory 28
Mathematische Formulierung der sog. Hinreichenden Bedingung für Wendepunkte:
Übungen: Wir wenden die Dreischrittmethode auf die Beispiele B1 bis B3 von
Seite 26 und 27 an. B1 3 29 151
4 4 4f(x) x x x 1= − + − 23 9 15
4 2 4f '(x) x x= − + 3 9
2 2f ''(x) x= − 3
2f '''(x) = B2 4 231
36 2f(x) x x 2x 1= − + − 31
9f '(x) x 3x 2= − + 21
3f ''(x) x 3= − 2
3f '''(x) x= B3 41 1
2 2f(x) x x 2= + − 3 1
2f '(x) 2x= + 2f ''(x) 6x= f '''(x) 12x= B4 31
6f(x) x 4= − + (Seite 23) 21
2f '(x) x= f ''(x) x= f '''(x) 1=
Drei-Schritt-Methode zur WP-Berechnung 1. Schritt: Aus der Bedingung f‘‘(x)=0 werden Stellen xW berechnet.2. Schritt: Kontrolle: Ist f‘‘‘(xW) ≠ 0 ? 3. Schritt: Wenn ja, liegt ein WP vor.
Dann berechnet man noch seine y-Koordinate: yW = f(xW)
Voraussetzung: f muß dreimal differenzierbar sein. Wenn f‘‘(xW) = 0 ist und f‘‘‘(xW)≠ 0, dann ist W ( xW I f(xW) ) ein Wendepunkt des Schaubildes K von f.
Bed. für Wendepunkte: f‘‘(x) = 0ergibt x = 3.Kontrolle: f‘‘‘(3) )= 32 0≠
( )13 134 4f(3) W 3= − ⇒ −
Bed. für Wendepunkte: f‘‘(x) = 0 ergibt 1,2x 3= ±
Kontrolle: f‘‘‘(-3) = - 2 0≠ : f‘‘‘(3) = 2 0≠
( )73 7314 4f( 3) W 3− = − ⇒ − −
( )25 2524 4f(3) W 3= − ⇒ −
Bed. für Wendepunkte: f‘‘(x) = 0 ergibt x = 0 doppelte Nullstelle d.h. kein Zeichenwechsel
( )f(0) 2 F 0 2= − ⇒ −
F ist ein Flachpunkt, kein Wendepunkt.
Bed. für Extrempunkte: f‘(x) = 0 ergibt xE = 0 mit f(0)=4
Kontrolle: f‘‘‘(0) = 0 Zweite Kontrolle f‘‘‘(0) = 1 0≠ Obwohl hier Extrempunkte gesucht worden sind, hat sich nur ein WP ergeben, und zwar mit waagerechterTangente, ein Terrassenpunkt.
Ableitungsstory 29
3.4 Sonderpunkte Hier geht es noch einmal um Terrassenpunkte und Flachpunkte.
In der Regel wird in Aufgaben nie nach Terrassen- oder gar Flachpunkten gefragt. Sie begegnen einem unverhofft auf der Suche nach Extrem bzw. Wendepunkten.
Ablaufschema für die Extrempunktberechnung:
Man erkennt, daß die Terassenpunkte als Sonderfall der Punkte mitgeliefert werden, die eine waagerechte Tangente haben, also bei der Extrempunktberechnung auftauchen. Da sie allerdings Wendepunkte sind, werden sie bei der Wendepunktsberechnung noch einmal in Erscheinung treten.
Wenn f‘(a) = 0 ist und W ( a I f(a) ) ein Wendepunkt ist, dann heißt W auch Terrassenpunkt (Sattelpunkt). Ein Terrassenpunkt ist also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Wenn f‘‘(b) = 0 ist und dennoch kein Wendepunkt vorliegt, weil f‘‘ dort keinen Zeichenwechsel macht, heißt F ( b I f(b) ) ein Flachpunkt.
Bed. für waagerechte Tangenten: f‘(x) = 0 Ergibt x1 = ... usw.
Berechnung der zugehörigen y-Koordinaten:y1 = f(x1) = ... usw.
Kontrollrechnung: f‘‘(x1) = ....
Wenn f‘‘(x1) < 0 Wenn f‘‘(x1) > 0 Wenn f‘‘(x1) = 0 dann hat f bei x1 dann hat f bei x1 dann Verdacht auf WP ein relatives Maximum ein relatives Minimum Wenn f‘‘ bei x1 ZW hat,
d.h. d.h. z.B. wegen f‘‘‘(x1) 0≠ H ( x1 I y1 ) ist Hochpunkt T ( x1 I y1 ) ist Tiefpunkt dann ist W ( x1 I y1 ) WP mit waager. Tangente, d.h. W ist Terrassenpunkt.
Ableitungsstory 30
Ablaufschema für die Wendepunktberechnung:
Ohne weitere Begründung sei noch erwähnt, daß f‘‘ bei x1 auch dann einen Zeichenwechsel hat, wenn x1 dreifache oder fünffache Nullstelle von x1 ist, bzw. wenn f‘‘(x1) = 0 ist und f‘‘‘(x1) = 0 ist und ( )IV
1f x 0= ist aber ( )V1f x 0≠ ist.
Auch hier erkennt man am Ablaufschema, daß Flachpunkte als besondere Nullstellen von f‘‘ bei der Wendepunktberechung von selbst auftauchen, wenn sie denn vorhanden sind.
Es sollen jetzt noch vier Beispiele dazu gezeigt werden.
B5: 4 3 91 112 3 4f(x) x x= − +
3 213f '(x) x x= − 2f ''(x) x 2x= −
f '''(x) 2x 2= − Bed. für waagerechte Tangenten: f‘(x) = 0 d.h. 3 21
3 x x 0− = d.h. ( )2 13x x 1 0⋅ − =
ergibt x1 = 0 doppelte Nullstelle und x2 = 3. Kontrolle: f‘‘(3) = 3 > 0 Rel. Minimum. Also T ( 3 I 0 ) Tiefpunkt. f‘‘(0) = 0 . Verdacht auf WP. f‘‘‘(0) = - 2 0≠ . Also WP mit waagerechter Tangente d.h. Terrassenpunkt W ( 0 I 9
4 ). usw. . . .
Nullstellen von f‘‘: f‘(x) = 0 Ergibt x1 = ... usw.
Berechnung der zugehörigen y-Koordinaten:y1 = f(x1) = ... usw.
Kontrollrechnung: f‘‘‘(x1) = ....
Wenn f‘‘ bei x1 Zeichenwechsel hat, Wenn aber f‘‘ bei x1 keinen ZW hat, z.B. weil f‘‘‘(x1) ≠ 0 ist, z.B. weil x1 eine doppelte oder vierfachedann hat K bei x1 einen Nullstelle von f‘‘ ist, ‘ Wendepunkt W ( x1 I y1). dann ist W ( x1 I y1 ) kein Wendepunkt
und heißt Flachpunkt.
f
f '
f ''
f '''
Ableitungsstory 31
B6 5 31 45 3f(x) x x 1= − +
4 2f '(x) x 4x= − 3f ''(x) 4x 8x= − 2f '''(x) 12x 8= − Bed. für waagerechte Tangenten: f‘(x) = 0 d.h. 4 2x 4x 0− = d.h. ( )2 2x x 4 0⋅ − = x1 = 0 doppelte Lösung, 2,3x 2= ± f(0) = 1 , f(2) = 49
15− ; 4915f( 2)− =
Krümmungskontrolle:: f‘‘(2) > 0 d.h. T ( 2 I 4915− )
f‘‘ ( - 2 ) < 0 d.h. H ( - 2 I 4915 )
und f‘‘(0) = 0 also f‘‘‘(0) = - 8 d.h. W ( 0 I 1 ) mit waagerechter Tangente d.h. Terrassenpunkt. B7 41
12f(x) x x 1= + + 31
3f '(x) x 1= + ; 2f ''(x) x= f‘‘‘(x) = 2x Wendepunkte: Nullstellen von f‘‘: f‘‘(x) = 0 d.h. x2 = 0 also x = 0 doppelte Nullstelle. Kontrolle: f‘‘‘(0) = 0. Daher Text: Da f‘‘ eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, die ihren Scheitel bei 0 hat, sind links und rechts von 0 alle f‘‘-Werte positiv. Also hat f‘‘ bei 0 keinen Zeichenwechsel und K auch keinen Wendepunkt. Der gefundene Punkt F ( 0 I 1 ) ist Flachpunkt. (Siehe Abbildung!) B8 51
20f(x) x x 2= + − 41
4f '(x) x 1= + 3f ''(x) x= 2f '''(x) 3x= Wendepunkte: Nullstellen von f‘‘: f‘‘(x) = 0 d.h. x3 = 0 also x = 0 dreifache Nullstelle. f‘‘‘(0) = 0 daher Text: Das Schaubild von f‘‘ ist die Wendeparabel y = x3 , die links von 0 negative und rechts von 0 positive Werte hat. f‘‘ hat also bei 0 einen Vorzeichenwechsel, d.h. W ( 0 I – 2 ) ist Wendepunkt von K. Da außerdem f‘‘‘(0) = 0 war, liegt ein Flachpunkt vor. Man sieht in beiden Abbildungen, warum solche Punkte mit f‘‘(x) = 0 und f‘‘‘(x) = 0 Flachpunkte heißen: Zeichnet man dort die Tangente ein, verläuft die Kurve sehr lange dicht entlang der Tangente, also wenig gekrümmt.
Ableitungsstory 32
3.5 Aufgaben zu Terrassen- und Flachpunkten
6. Untersuche durch eine Rechnung wie auf der vorangehenden Seite die Schaubilder der gegebenen Funktionen NUR auf Terrassen- und Flachpunkte. (a) 41
4f(x) x= (b) 4f(x) x 8x= − (c) 5120f(x) x x= +
(d) 5f(x) x= (ohne Abbildung) (e) 4f(x) x x 2= + − (f) 4 3 21 2
12 3f(x) x x 2x= − + (g) 7 6 5 161 2 1
42 15 5 35f(x) x x x x= − + − Untersuche hier die Art der Kurvenpunkte bei x1 = 0 und x2 = 2
Die Lösungen finden Sie im Teil 4.
