GK_2014_B1

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Lsung

Lsung zu Teilaufgabe 1 (6BE)

Es soll berprft werden, ob die vier Punkte M, B, F und S in einerEbene liegen. Da drei Punkte immer in einer Ebene liegen, wird zunchstdie Gleichung einer Ebene aufgestellt, die drei der angegebenen Punkteenthlt. Es ist dabei nicht wichtig, welche drei Punkte ausgewhlt werden.Fr die Punkte M, B und F und M als Aufhngepunkt ergibt sich dieEbene

EMBF :#

X =#

OM+ r #

MB+ s #

MF

EMBF :#

X =

000

+ r

200500

30

+ s

1 4001 200

230

.

Nun wird berprft, ob auch der vierte Punkt S in dieser von M, B undF aufgespannten Ebene liegt:

Merke:

Beim Lsen von ber-bestimmten Gleichungs-systemen werden immerzunchst so viele Glei-chungen betrachtet,wie Variablen vorhan-den sind und diesesUntergleichungssystemgelst (z.B. mit demTaschenrechner). Da-nach die Lsungen inalle verbliebenen Glei-chungen einsetzen undberprfen.

800400130

=

000

+ r

200500

30

+ s

14001 200

230

. (1)

Gleichung (1) fhrt auf das folgende berbestimmte Gleichungssystem (einGleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten):

800 =200r+1400s (2)

400 =500r+1200s (3)

130 = 30r +230s (4)

Das Gleichungssystem wird zunchst nur fr zwei der drei Gleichungengelst. Beispielsweise ergibt sich aus den Gleichungen (2) und (3):

r =20

23; s =

16

23

Um zu entscheiden, ob das Gleichungssystem eine Lsung hat ( derPunkt liegt in der Ebene) oder nicht ( der Punkt liegt nicht in derEbene), wird diese Lsung nun mit Hilfe der dritten Gleichung, hier Glei-

Abitur Hessen 2014 GK Lineare Algebra(Analytische Geometrie B1

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chung (4), berprft:

30 20

23+ 230

(16

23

)=

3 080

236= 130

Das Gleichungssystem hat also keine Lsung, die Punkte M, B, F und Sliegen daher nicht in einer Ebene.

Lsung zu Teilaufgabe 2.1 (4BE)

Um die Einnahmen durch den Verkauf von einzelnen Metern der Lauf-lnge des lngsten Laserstrahls zu ermitteln, muss zunchst der lngsteLaserstrahl gefunden werden. Hierfr wird die zurckgelegte Strecke dereinzelnen Strahlen mit Hilfe des Betrags der einzelnen Vektoren bestimmt:

Betrag eines Vektors #a :

a1a2a3

=

a21+ a2

2+ a2

3

# MB =200500

30

=

2002 + 5002 + 302 539,35

# FS =600800100

=

(600)2 + (800)2 + (100)2 1 004,99

# FB =1 200700200

=

(1 200)2 + (700)2 + (200)2 1 403,57

Den lngsten Weg legt das Licht also auf der Strecke von Punkt F zuPunkt B zurck. Bei 10e Einnahmen pro zurck gelegtem vollem Meterkann die Stadt mit Einnahmen in Hhe von 14 030e rechnen.


Hier soll ein Grundriss der Stadt im Mastab 1 : 20 000 gezeichnet werden.Zunchst bedeutet Mastab 1 : 20 000 , dass 1 cm auf dem Blatt 20 000 cm,also 200m, in der Realitt entsprechen. Auerdem ist in der Aufgabenstel-lung schon angegeben, dass die Grundflche der Stadt in der xy-Ebene lie-gen soll, das Hhenprofil in z-Richtung zeigt senkrecht aus der Blattebeneheraus in Richtung des Betrachters. Die angegebenen Punkte werden alsoin Draufsicht eingezeichnet:

abiturloesung.de


M

B

S

F

200

400

600

800

1000

1200

1400

200 400 600 800 1000 1200 1400x

y

Dieser Grundriss der Stadt reicht nicht aus, um die Wege zu ermitteln, diedie einzelnen Laserstrahlen zurcklegen, da die berwundenen Hhendif-ferenzen nicht bercksichtigt werden und der gezeichnete Verlauf lediglicheiner Projektion der Geraden im Raum in die xy-Ebene entspricht.


Der blaue Laser ist in F positioniert und soll nun so schnell von B zu Sgeschwenkt werden, dass der Betrachter den Strahl als Teil einer Ebenewahrnimmt. Die Gleichung dieser Ebene, die die Punkte F, B und S ent-hlt, soll hier sowohl in Koordinaten- als auch in Parameterform angegebenwerden.Mit F als Aufhngepunkt ergibt sich fr die Ebene in Parameterform:

Darstellung einer EbeneEABC in

Parameterform#

X =#

OA+r#

AB+s#

AC

Koordinatenform#

X #n =#

OA #n

Normalenform(#

X #

OA) #n = 0

EFBS :#

X =#

OF+ r #

FB + s #

FS

EFBS :#

X =

1 4001 200

230

+ r

1 200700200

+ s

600800100



Um diese Gleichung in Koordinatenform umzuformen, gibt es verschiedeneMglichkeiten:

1. Elimination der Parameter:

I : x = 14001 200r600s

II : y =1200 700r800s

III : z = 230 200r100s

IV = 4 I 3 II : 4x3y =20002 700r

V = II 8 III : y 8z =640 +900r

VI = IV + 3 V : 4x 24z = 80

1/4 VI : x 6z = 20

2. Anwenden des Zusammenhangs#

X #n =#

OA #n mit#

OA : Sttzvektorder Ebene und #n : Normalenvektor der Ebene:

Berechnung eines Normalenvektors der Ebene mit Hilfe des Ska-larproduktes ( #n steht senkrecht auf den Richtungsvektoren derEbene, also mssen die beiden Skalarprodukte Null ergeben):

Der Wert des Skalar-produktes ist auch einMa fr den Winkel, dendie Vektoren miteinan-der einschlieen:

A =#a

#

b

#

b

#a

| #a| cos

#a #

b = #a #b cos

Fr = 90 ist daher

wegen cos (90) = 0 auch#a

#

b = 0.

n1n2n3

1 200700200

= 0

1 200n1 700n2 200n3 = 0

n1n2n3

600800100

= 0

600n1 800n2 100n3 = 0

Es ergibt sich ein (unterbestimmtes) Gleichungssystem aus zweiGleichungen und drei Unbekannten:

I : 0 =1200n1700n2200n3

II : 0 = 600n1800n2100n3

III = I 2 II : 0 = 900n2

abiturloesung.de


Aus Gleichung III folgt direkt, dass n2 = 0 gilt. Damit bleibtzwischen n1 und n3 der Zusammenhang 6n1 n3 = 0 (Ein-setzen von n3 entweder in Gleichung I oder in Gleichung II).

Da der Normalenvektor einer Ebene lediglich in seiner Richtung,nicht aber in seiner Lnge bestimmt ist, bleibt an dieser Stelleimmer eine Gleichung mit zwei Unbekannten (ein fester Wert frdie ni ergibt eine definierte Lnge des Vektors, das Verhltniszueinander die Richtung). Man whlt dann einen Wert frei undbestimmt entsprechend den zweiten. Wird hier beispielsweisen1 = 1 gewhlt, folgt n3 = 6 und es ergibt sich als mglicherNormalenvektor der Ebene EFBS:

#n =

106

Das Ergebnis der Vek-tormultiplikation ist einVektor, der senkrecht aufden beiden Ausgangs-vektoren steht.

#

b

#a

#a #

b

Berechnung eines Normalenvektors mit Hilfe des Kreuzproduk-tes der Richtungsvektoren der Ebene:

#n =

1 200700200

600800100

=

700 (100) (200) (800)200 (600) (1200) (100)1 200 (800) (700) (600)

=

70 000 160 000120 000 120 000960 000 420 000

=

90 0000

540 000

= 90 000

106

Damit ergibt sich als (mgliche) Koordinatenform der Ebene EFBS:

#

X #n =#

OA #n

#

X

106

=

1 4001 200

230

106

x 6z = 20




Hier soll der Winkel berechnet werden, den der blaue Laserstrahl ber-streicht, wenn er zum Schloss als Ziel umschwenkt. Mit Hilfe des Ska-larproduktes kann der Winkel bestimmt werden, den

#

FB und#

FS bei Feinschlieen:

#a #

b = #a #b cos ()

cos () =#a

#

b #a #b =

1 200700200

600800100

1 200700200

600800100

720 000 + 560 000 + 20 000

1 005 1 403,5 0,9216

22,8

Soll das Ergebnis von

= arccos(c)

in Grad angegeben wer-den, muss der Taschen-rechner auf DEG stehen.

Der blaue Laser berstreicht also einen Winkel von etwa 23, wenn durchDrehen das Ziel gendert wird.


Abschlieend soll untersucht werden, ob der in (900 | 700 | 90) befindli-che Kirchturm mit einer Hhe von 50m ein ungehindertes Ausbreiten desLaserstrahls whrend der Drehung verhindert.Aus der (nicht mastabsgetreuen!) Skizze an der Seite wird deutlich, dasssich der Kirchturm in dem Bereich befindet, den der blaue Laser ber-streicht. Es muss daher im Folgenden berprft werden, ob der Laserstrahloberhalb des Kirchturmes vorbei luft oder ob er den Turm trifft. Hier-fr wird die Hhe bestimmt, auf der der Laser die Stelle (900 | 700) imGrundriss passiert. Diese Hhe entspricht der z-Koordinate eines Punktesder Ebene EFBS fr x = 900 und y = 700. Aus der Koordinatenform derEbene ergibt sich:

M

B

S

F

K

400

800

1200

400 800 1200x

y

900 6z = 20 z 146,7

Der Laserstrahl passiert die Position des Kirchturmes also auf einer Hhevon etwa 147m. Der Turm selbst beginnt auf einer Hhe von 90m und ist50m hoch, endet also auf einer Hhe von 140m. Damit wird der Strahlen-gang des Lasers durch den Kirchturm nicht behindert.

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