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Hauptseminar
am Lehrstuhl für Finanzierung & Investition
Prof. Dr. Hans Hirth
Institut für Betriebswirtschaftslehre
Fakultät VIII – Wirtschaft und Management
Thema 4:
Die Grenzen der Arbitrage
Name : Norman Zimmermann
Matrikelnummer : 12 34 56
Telefon : 0123/1234567
E-Mail : [email protected]
Betreuer : Dietmar Hillebrand
Abgabetermin : 29.10.2004
Norman Zimmermann Inhaltsverzeichnis
I
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis .............................................................................................................I
Abkürzungsverzeichnis................................................................................................... II
Symbolverzeichnis..........................................................................................................III
1. Vorbemerkung und Überblick .......................................................................... 1
2. Arbitrage als fundamentales Konzept der Finanzwirtschaft ......................... 2
2.1 Definition und Arten von Arbitrage ............................................................. 2
2.2 Arbitrage – ein theorienahes Beispiel........................................................... 3
3. Professionelle Arbitrage..................................................................................... 4
3.1 Bestandteile des Modells und deren Implikationen...................................... 4
3.1.1 Das Agency Modell .................................................................................. 4
3.1.2 Performance-Based Arbitrage und ihr Einfluss auf die Markteffizienz ... 8
3.1.3 Weitere Implikationen ............................................................................ 12
3.2 Kritische Würdigung des Modells .............................................................. 13
4. Zusammenfassung ............................................................................................ 15
Literaturverzeichnis....................................................................................................... 16
Norman Zimmermann Abkürzungsverzeichnis
II
Abkürzungsverzeichnis
APT - Arbitrage Pricing Theory
bzw. - beziehungsweise
c. p. - ceteris paribus
CAPM - Capital Asset Pricing Model
d.h. - das heißt
EUREX - European Exchange
f. - folgende
ff. - fortfolgende
LIFFE - London International Financial Futures and Options Exchange
PBA - Performance-Based Arbitrage
S. - Seite
z.B. - zum Beispiel
Norman Zimmermann Symbolverzeichnis
III
Symbolverzeichnis
a - Maß der Sensitivität des Kapitals zu den in der Vergangenheit erzielten
Erträgen
1D - in 1=t investierter Betrag
EW - erwartetes zur Verfügung stehendes Kapital mit 3=t
tF - zur Verfügung stehendes Kapital mit 2,1=t
G - Funktion des Bruttoertrags
tp - Preis in t
q - Wahrscheinlichkeit
*q - Wahrscheinlichkeit, bei der der Arbitrageur indifferent zur Investition
des gesamten Kapitals in 1=t ist
QA - Nachfrage der Arbitrageure
QN - Nachfrage der Noise Trader
tS - Schock in t
t - Zeitpunkt
T - Laufzeitende
V - fundamentaler Wert
W - zur Verfügung stehendes Kapital mit 3=t
x - Bruttoertrag
Norman Zimmermann Vorbemerkung und Überblick
1
1. Vorbemerkung und Überblick
„Give a man fish and you feed him for a day. Teach him how to arbitrage and you feed
him forever.”1
Die Zulassung des Vertriebs von Hedgefonds an Privatinvestoren in Deutschland löste
ein großes Interesse an diesen Fonds und an deren verschiedenen Strategien aus. Zu den
Hedgefonds, die aus Diversifikationsgründen aber nur über Dachfonds vertrieben
werden, zählen unter anderem verschiedenste Formen von Arbitragegeschäften.
Aufgrund der modernen Technologie2 und der damit steigenden Markttransparenz ist es
heute zunehmend schwerer möglich, mit Aktien Arbitragegewinne zu erzielen. Dies ist
aber nach wie vor zwischen den Future- und Kassamärkten, sowie auf den Anleihe- und
Devisenmärkten möglich.3
Diese Arbeit behandelt die Arbitrage zunächst aus theoretischer Sicht, wie sie in vielen
kapitalmarkttheoretischen Modellen Anwendung findet. In Kapitel 3 wird die
professionelle Arbitrage anhand eines Modells, welches die pure Arbitrage ohne
langfristiges fundamentales Risiko abbildet, beschrieben. Es wird gezeigt, dass
entgegen der Theorie, Arbitrage sowohl Kapital benötigt, als auch ein Risiko in sich
birgt. Das Modell beschreibt die Beziehung zwischen dem Kapitalgeber (dem Prinzipal)
und dem Arbitrageur (dem Agenten). Diese Trennung von Kapital und Wissen ist
Ursache für verschiedene Implikationen. Des Weiteren wird erklärt, auf welcher Basis
Anleger ihre Anlageentscheidung treffen, nämlich den vergangenen Erträgen. Dies wird
Performance-Based Arbitrage genannt und ist elementarer Bestandteil des Modells. Die
Auswirkungen dieses Phänomens auf die Markteffizienz, insbesondere unter extremen
Umständen, werden ausführlich geschildert. Dabei wird gezeigt, dass die Möglichkeiten
der Arbitrage begrenzt sind. Es werden noch weitere Folgerungen des Modells
dargestellt, wie z.B. welche Märkte für Arbitrageure besonders attraktiv sind.
Abschließend wird das Modell einer kritischen Würdigung unterzogen, welcher eine
Zusammenfassung der Arbeit folgt.
1 Warren Buffett, Großinvestor und Chairman von Berkshire Hathaway 2 Wie z.B. Realtimekurssysteme oder das Direct Access Trading und die damit verbundene sekundenschnelle Ausführung der Orders. 3 Vgl. zu diesem Absatz http://boersenlexikon.faz.net/arbitrag.htm
Norman Zimmermann Arbitrage als fundamentales Konzept der Finanzwirtschaft
2
2. Arbitrage als fundamentales Konzept der Finanzwirtschaft
2.1 Definition und Arten von Arbitrage
Das französische Wort Arbitrage ist vom lateinischen arbitrare „beobachten“ oder
arbitrari „als Schiedsrichter wirken“ abgeleitet.4
Sharpe und Alexander definieren Arbitrage als „the simultaneous purchase and sale of
the same, or essentially similar, security in two different markets for advantageously
different prices”.5
Der Theorie folgend bedarf der Arbitrageur keines Kapitals und er setzt sich auch
keinem Risiko aus, da er zur gleichen Zeit Wertpapiere sowohl billig kauft als auch
teuer verkauft. Dies bedeutet, dass die zukünftigen Zahlungsströme (Cashflows) mit
Sicherheit null sind und die Gewinne im Voraus erzielt werden. Der Arbitrageur nutzt
also Bewertungsdiskrepanzen auf den Märkten aus, welche aber aufgrund der
ausgleichenden Wirkung der Arbitrage nur zeitlich begrenzt existieren. Vollkommen
effiziente Märkte sind also arbitragefrei.6
Das Konzept der Arbitrage findet in vielen Modellen der Finanzwirtschaft Anwendung.
Dabei wird von sehr vielen kleinen Arbitrageuren ausgegangen, die gegenüber jeder
Transaktion risikoneutral sind.7 Sie nehmen eine infinitesimale Position gegen die
Fehlbewertung auf. Dies führt dazu, dass sich diese Fehlbewertungen reduzieren und
sich die Preise somit wieder in Richtung ihres fairen Wertes bewegen. Durch das
Beseitigen der allokativen Ineffizienzen sind Arbitragegeschäfte wohlfahrtssteigernd.
Dieses Modell der Arbitrage ist die Grundlage für Famas classic analysis of efficient
markets (1965), dem von Sharpe entwickelten Capital Asset Pricing Model (CAPM,
1964) sowie der Arbitrage Pricing Theory (APT, 1976) von Ross.
Grundsätzlich lassen sich Arbitragegeschäfte in zwei Gruppen unterscheiden. Zum
einen, der Theorie nach, bei der der Arbitrageur mit einer Wahrscheinlichkeit von eins
Geld verdient und zum anderen die sogenannte Risk Arbitrage. Unter dem Begriff der
Risk Arbitrage werden alle Arbitragegeschäfte subsummiert, bei der die
Wahrscheinlichkeit Geld zu verdienen kleiner als eins ist, welche also nur im 4 Vgl. http://www.bwclub.de/lexikon/h/relative_value.htm und http://www.arbitrage.de 5 Shleifer/Vishny (1997), S. 35. 6 Vgl. http://www.bwclub.de/lexikon/a/arbitrage.htm 7 Im Gegensatz zu dem unter Kapitel 3 erklärten Modell.
Norman Zimmermann Arbitrage als fundamentales Konzept der Finanzwirtschaft
3
Durchschnitt erfolgreich sind. Beispielhaft seien die Fixed Income Arbitrage,
Convertible Bond Arbitrage, Aktien-Options Arbitrage und die Merger Arbitrage
genannt.8
2.2 Arbitrage – ein theorienahes Beispiel9
An dem folgenden einfachen Beispiel, welches der Theorie sehr nahe kommt, wird
gezeigt, dass es in der realen Welt keine Arbitrage ganz ohne Kapitaleinsatz gibt.
An der EUREX in Frankfurt wird ein Bund-Future (Nennwert 125.000 €) zu 120.000 €
gehandelt. Ein Kontrakt mit identischer Ausgestaltung kostet in London an der LIFFE
122.500 €. Der Arbitrageur wird heute in t, einen Kontrakt in Frankfurt zu 120.000 €
kaufen (long) und einen an der LIFFE zu 122.500 € verkaufen (short). Somit ist er zum
Laufzeitende T perfekt gehedgt. In t muss er allerdings eine sogenannte Margin, eine
Sicherheitsleistung, hinterlegen, welche für beide Kontrakte zusammen beispielsweise
3250 € beträgt. Somit hat er zunächst einen negativen Cashflow - er benötigt also Geld.
Es gibt nun zwei Möglichkeiten wie sich die Kurse entwickeln können. Im Idealfall
kehrt der Markt zur Effizienz zurück, d.h. die Kurse gleichen sich sehr schnell wieder
an und der Arbitrageur stellt dann beide Positionen glatt. Dies führt dazu, dass er je
Kontrakt 1250 € verdient und natürlich seine Margin zurückerhält. Selbst in diesem
idealisierten Beispiel bedarf es Kapital. Beim Eintreten des zweiten Falles, nämlich
einem weiteren Auseinanderdriften der Preise in London und Frankfurt, erhöht sich
zunächst die Margin. Der Arbitrageur muss noch mehr Kapital aufbringen und verliert
somit in diesem Szenario kurzfristig Geld. Die Wahrscheinlichkeit, dass er langfristig
mit dieser Transaktion Geld verdient, ist unter der Voraussetzung, dass er immer in der
Lage ist die Sicherheitsleistung aufzubringen, trotzdem noch eins. Sollte dies nicht der
Fall sein, muss er seine Positionen liquidieren und erleidet einen Verlust. In der Realität
ergibt sich zusätzlich, vor allem bei stark schwankenden Kursen, die Gefahr, dass sich
der Wert der gelieferten Anleihen von dem der zu liefernden Anleihen unterscheidet.
Es ist daher festzuhalten, dass Arbitrage Kapital benötigt um die Margin aufzubringen
und um mögliche kurzfristige Verluste auszugleichen. Des Weiteren muss
hervorgehoben werden, dass die Wahrscheinlichkeit Gewinne zu erzielen kleiner eins
ist, es sich also um Risk Arbitrage handelt.
8 http://www.sparkasse.at/ssite/files/DYN/erstebank/11503.pdf 9 Vgl. Shleifer/Vishny (1997), S. 35 f.
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
4
3. Professionelle Arbitrage
In diesem Kapitel wird ein Modell und dessen Implikationen beschrieben, welches im
Gegensatz zur Theorie von wenigen spezialisierten Arbitrageuren und damit verbunden
von einem Agency Problem ausgeht.
3.1 Bestandteile des Modells und deren Implikationen
3.1.1 Das Agency Modell
Dieses dreiperiodige Modell ( 3,2,1=t ) bezieht sich auf ein ganz spezielles
Marktsegment, in dem es drei Arten von Akteuren gibt, Noise Trader, Arbitrageure und
Investoren in Arbitragegeschäfte, die nicht selbstständig handeln, sondern ihr Kapital
auf verschiedene Arbitrageure verteilen. Entgegen der Annahme vieler bereits
bestehender Modelle wird in diesem davon ausgegangen, dass es nur relativ wenige,
professionelle und hoch spezialisierte Arbitrageure gibt, so dass Wissen und Kapital
getrennt sind. Es kommt zu einer sogenannten Prinzipal-Agenten-Beziehung, die durch
asymmetrische Informationsverteilung gekennzeichnet ist, die dadurch zustande kommt,
dass die Arbitrageure, und nur sie, den fundamentalen Wert V des Wertpapiers kennen.
In 3=t wird V im Modell mit Sicherheit erreicht, es gibt also kein langfristiges Risiko.
Der Preis des Wertpapiers in t ist tp und der pessimistische Schock wird durch tS mit
2,1=t symbolisiert. Daraus resultiert für die Nachfrage der Noise Trader:
( ) ( ) tt pSVtQN /−= (1)
1S ist bekannt, der Schock der zweiten Periode 2S jedoch nicht. Wenn 12 SS > , so
bedeutet dies zunächst eine Verstärkung der Fehleinschätzung der Noise Trader, bevor
der faire Wert in 3=t wieder erreicht wird. Sowohl Arbitrageure als auch Investoren
sind vollkommen rational. Der risikoneutrale Arbitrageur wird also eine Position gegen
die Fehlbewertung aufbauen. Ihm steht dazu in jeder Periode ein beschränktes Kapital
in Höhe von tF zur Verfügung. 1F ist eine exogene und 2F eine endogene Variable des
Modells. Wenn in 2=t die Fehlbewertung aufgehoben wird, so verkauft der
Arbitrageur seine Position. Sollte dies nicht der Fall sein, wird er 2F investieren. Somit
ergibt sich für die Nachfrage des Arbitrageurs ( ) 22 /2 pFQA = . Aus der
Gleichgewichtsbedingung von Angebot und Nachfrage resultiert für den Preis:
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
5
222 FSVp +−= (2)
Es wird davon ausgegangen, dass 22 SF < . Die Preise gleichen sich in 2=t also nicht
allein durch Arbitragegeschäfte an.
Da es in 2=t noch zu einem weiteren Schock kommen kann, wird der Arbitrageur
möglicherweise nicht sein gesamtes Kapital 1F in 1=t investieren. Der in 1=t
investierte Betrag soll durch 1D ausgedrückt werden. Daraus folgt:
( ) 11 /1 pDQA = und 111 DSVp +−= (3)
Des Weiteren muss anhand des Modells noch erklärt werden, wie sich 2F erschließen
lässt. Hierzu wird die Beziehung zwischen dem Arbitrageur und dem Investor in den
Mittelpunkt der Betrachtung gestellt.
Es wird von vielen verschiedenen kleinen Marktsegmenten ausgegangen, welche die
einzelnen Strategien der Arbitrageure bezeichnen. Die Vielzahl der in den jeweiligen
Segmenten tätigen Arbitrageure hat zur Folge, dass kein einzelner Arbitrageur die
Preise beeinflussen kann. Es gibt also zu der Leistung jedes Arbitrageurs auch immer
ein perfektes Substitut. Weiterhin soll von konstanten Grenzkosten pro investierter
Geldeinheit über alle Segmente hinweg ausgegangen werden. Diese Annahmen führen
dazu, dass die Preise für die Leistung der Arbitrageure gleich den Grenzkosten sind.
Bayesians, jene Investoren, die subjektive Wahrscheinlichkeit hervorheben10, werden
dort ihr Geld investieren, wo ihrer Meinung nach der erwartete Überschuss, d.h. die
Differenz aus erwartetem Ertrag und dem zu zahlenden Preis, am größten ist. Da die
Kosten bei allen Arbitrageuren gleich sind, wählen die Anleger den Arbitrageur, der den
höchsten erwarteten Ertrag verspricht. Diesbezüglich differieren die Meinungen der
Investoren, so dass sich das zu investierende Kapital auf viele Arbitrageure verteilt.
Dabei wird vorausgesetzt, dass die Arbitrageure durch ihre erwirtschafteten Erträge
ausreichend Anleger überzeugen können. Die Investoren verfügen weder über das
Wissen über Wertpapierkursentwicklungen, noch über Informationen die Strategie
betreffend. Es ist ihnen auch nicht möglich, das Modell des Arbitrageurs abzuleiten, da
es nicht-stationär und vieldimensional ist. Aufgrund dessen bilden sich die Anleger ihre
Meinungen auf Basis der vergangenen Performance und projizieren diese in die
Zukunft. Dieses Phänomen nennt man Performance-Based Arbitrage (PBA).
10 Vgl. http://b-course.hiit.fi/bayesians.html
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
6
Das Gesamtangebot der Investoren bezogen auf ein spezielles Segment sei durch die
konkave Funktion G gegeben. Sie ist eine wachsende Funktion des Bruttoertrags
( )12 / pp , der zwischen 1=t und 2=t erzielt wird. Somit ergibt sich:
( ) ( ) ( ){ },//*/* 111121112 FDFppFDGFF −+=
mit ( ) ,11 =G 1≥′G und .0≤′′G (4)
Die erhaltenen Mittelzuflüsse der Arbitrageure gestalten sich also vollkommen
ungeachtet der sich am Markt ergebenen Möglichkeiten, sobald sich Positionen der
Arbitrageure besser als die Benchmark entwickeln und vice versa.
Investoren führen die schlechte Entwicklung einer Arbitrageanlage auf drei mögliche
Gründe zurück: einen zufälligen Störterm, eine weitere Verschlechterung der Stimmung
unter den Noise Tradern oder aber die minderwertige Qualität des Arbitrageurs. Da
ihnen eine Abgrenzung des entscheidenden Grundes aber nicht möglich ist, schauen sie
nur auf die bis dato erzielten Renditen. Die Tendenz sich an der vergangenen
Entwicklung zu orientieren verstärkt sich noch mit zunehmenden Unterschieden der
Fähigkeiten der Arbitrageure, auch wenn diese möglicherweise nicht beobachtbar sind.
Im Gegensatz dazu reduziert eine große Varianz der Stimmung der Noise Trader diese
Tendenz. Wenn man aber von den Fähigkeiten der Arbitrageure absieht oder diese als
konstant annimmt, kann eine schlechte Entwicklung nur einer Verschlechterung des
Schocks der Noise Trader zugeschrieben werden, welcher die Erwartungen der
Investoren für den zukünftigen Ertrag erhöht. Genau in dieser Situation sind aber
Mittelabflüsse zu verzeichnen, welche damit zu erklären sind, dass der Anleger nur auf
die Erträge der Vergangenheit schaut und daraus sowohl die zukünftigen Möglichkeiten
als auch die Qualität des Arbitrageurs ableitet.
Zur Vereinfachung und da die Ergebnisse davon unberührt bleiben, wird die G Funktion
als linear angenommen. x symbolisiert dabei den Bruttoertrag.
,1)( aaxxG −+= mit 1≥a (5)
Damit folgt für das in 2=t zur Verfügung stehende Kapital:
( ) ( ){ } ( ) ( )12111111212 /11/* ppaDFFaDFppDaF −−=−+−+= . (6)
Für 12 pp = , also einen Ertrag von null, bleibt der Betrag des gemanagten Kapitals
konstant. Bei negativen Erträgen ( 12 pp < ) muss der Arbitrageur mit Mittelabflüssen
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
7
rechnen und vice versa. Der Parameter a in Gleichung (6) ist ein Maß für die
Sensitivität des zur Verfügung gestellten Kapitals zu den in der Vergangenheit erzielten
Erträgen. Ein Spezialfall ist 1=a , d.h., dem Arbitrageur geht in 2=t weder frisches
Kapital zu, noch muss er mit Mittelabflüssen rechnen. Mit wachsendem a nimmt die
Abhängigkeit von 2F zu, d.h., dass bei schlechter Entwicklung dem Arbitrageur Geld
entzogen wird.
Die „incentive contracts“11, welche die unerwünschten Folgen der PBA zwar abmildern,
jedoch nicht gänzlich verhindern, sollen an dieser Stelle nicht näher erörtert werden, da
ihre empirische Relevanz fraglich ist.12
Das Modell, das entscheidend durch die PBA beeinflusst ist, unterscheidet sich
grundlegend von konventioneller Arbitrage in der Entscheidungsfindung der Investoren.
In konventionellen Modellen wird das Kapital dort angelegt, wo es die höchsten
erwarteten Erträge der (zukünftigen) Transaktionen verspricht. Im Gegensatz dazu
werden im hier beschriebenen Modell die in der Vergangenheit erzielten Erträge zur
Entscheidungsfindung herangezogen. Daher entziehen die Anleger den Arbitrageuren
aufgrund schlechter Performance das Geld, wenn die Bewertungsdiskrepanzen am
größten sind, obwohl die Chancen in der Zukunft gerade dann am besten wären. Dies
führt dazu, dass die Arbitrageure das Ungleichgewicht des Marktes nicht beseitigen
können. Der entscheidende Punkt ist, dass die Investoren den Zusammenhang zwischen
hoher Fehlbewertung und hohen erwarteten Renditen ignorieren.
Abschließend wird das Optimierungsproblem des Arbitrageurs formuliert. Es wird
vereinfachend angenommen, dass der Arbitrageur den in 3=t erwarteten Gewinn
maximiert. Unter den oben getroffenen Annahmen, wie z.B. konstanten Grenzkosten
und der Preisnehmerschaft der Arbitrageure, ist die Maximierung des erwarteten
Gewinns äquivalent der Maximierung des erwarteten zu verwaltenden Kapitals in 3=t .
Mit der Wahrscheinlichkeit q soll 12 SSS >= sein, d.h., die Fehleinschätzung der
Noise Trader verstärkt sich. Mit der Gegenwahrscheinlichkeit q−1 soll der
fundamentale Wert des Wertpapiers V wieder erreicht werden, somit ist 02 =S . In
diesem Fall würden die Arbitrageure ihre Positionen in 2=t mit einem Gewinn
liquidieren, also ist ( ) ( ) 11111 1/* FaDFpVDaW −+−+= .
11 Shleifer/Vishny, (1997), S.41. 12 Siehe hierzu Shleifer/Vishny, (1997), S.41f.
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
8
Im anderen Fall ( 12 SSS >= ) ergibt sich
( ) { } ( )[ ]1111212 1/**/ FaDFppDapVW −+−+= . Werden diese Ausdrücke noch mit
den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten gewichtet, dann ergibt die zu maximierende
Gleichung (7):
( ) ( ) ( )���
���
−+���
�
�−+��
�
�
�+
���
���
−+���
�
�−+−= 111
1
21
2111
1
1 1*
*1*
1 FaDFp
pDa
pV
qFaDFp
VDaqEW
3.1.2 Performance-Based Arbitrage und ihr Einfluss auf die Markteffizienz
Als Benchmark dieses Modells fungieren als Erstes die effizienten Märkte, in denen die
Arbitrageure sofort jeglichen Fehlbewertungen entgegenwirken und daher Vpp == 21
ist. Sie sind jederzeit dazu in der Lage, da sie über Zugang zu ausreichend Kapital
verfügen, im Gegensatz zur zweiten Benchmark. Hier können die Arbitrageure,
ungeachtet von möglichen Verlusten, ihr Kapital immer bis zu 1F aufstocken. Dies
bedeutet formal, 111 FSVp +−= und 12 FSVp +−= . Des Weiteren gibt es noch den
bereits beschriebenen Fall von 1=a .13
Das Differenzieren der Gleichung (7) nach der Entscheidungsvariablen 1D ergibt die
Bedingung erster Ordnung. Das Optimierungsproblem des Arbitrageurs ist somit:
( ) 0pV
*1pp
q1pV
q1DEW
21
2
11
≥���
�
�−+��
�
�
�−−=
∂∂ (8)
Der erste Term dieser Bedingung beschreibt den Grenzertag einer in 1=t zusätzlich
investierten Geldeinheit für den Fall der Kurserholung in 2=t . Wohingegen durch den
zweiten Term der Grenzverlust bzw. eine verpasste Nachkaufgelegenheit ausgedrückt
wird, für den Fall, dass der Markt erst in 3=t zur Effizienz zurückkehrt, also 12 pp < .
Wenn der Grenzertrag größer als der Grenzverlust ist, kommt es zur Randlösung
( 11 FD = ) und somit wird die Bedingung erster Ordnung zur strikten Ungleichung. Ist
der Grenzertag jedoch gleich dem Grenzverlust wird die Ableitung gleich Null. Man
spricht dann von einer inneren Lösung ( 11 FD < ).
Im Folgenden sollen die Auswirkungen der Veränderung bestimmter Parameter erörtert
werden. Wenn das Risiko eines starken Rückgangs groß ist, wird der Arbitrageur nicht
13 Siehe hierzu Kapitel 3.1.1, S.7.
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
9
das gesamte Kapital in 1=t investieren ( 11 FD < ), um in der folgenden Periode von
den weiter gesunkenen Kursen profitieren zu können. Wenn nun aber die
Wahrscheinlichkeit q für ein weiteres Fallen der Kurse sehr klein ist, 1S relativ groß
und 2p nicht zu klein im Verhältnis zu 1p ist, dann wird aus der Vorschrift (8) eine
Ungleichung. Unter diesen Umständen wird der Arbitrageur sein gesamtes Kapital 1F
investieren. Diese Umstände „in which mispricing is so severe at 1=t that arbitrageurs
choose to be fully invested [werden] as “extreme circumstances”14 bezeichnet.
Die Auswirkung der Arbitrage auf die Effizienz der Märkte soll mit Hilfe der Sätze 1-4
formal beschrieben werden.
Satz 1: Für ein gegebenes 11 ,,, FSSV und a gibt es ein q* , so dass für *qq > , 11 FD <
und für *qq < , 11 FD = gilt.
q* stellt also genau die Wahrscheinlichkeit dar, bei der der Arbitrageur indifferent ist,
ob er in 1=t das gesamte Kapital investiert oder nicht. Wenn die Ungleichung (8) zu
einer Gleichung wird, dann ist das Gleichgewicht durch die Gleichungen (2), (3), (6)
und (8) gegeben. Im Fall der Ungleichheit ergibt sich das Gleichgewicht aus den
folgenden Gleichungen, ,11 FD = 111 FSVp +−= , sowie aus den Gleichungen (2) und
(6).15 In Abhängigkeit von q wird also entweder ein Teil von 1F , nämlich 1D (für
*qq > ) oder aber das gesamte 1F (für *qq < ) investiert. Wenn nur 1D angelegt wird,
dann ist 1p geringer als im Fall der Investition des gesamten Kapitals, da die Arbitrage
weniger offensiv ist. Anhand des bereits erwähnten numerischen Beispiels zeigt sich,
dass sowohl die Randlösung als auch die innere Lösung plausibel sind. Des Weiteren
kann anhand des Modells gezeigt werden, dass je größer die Schocks sind, desto größer
die Abweichung der Preise von ihrem fairen Wert.
Satz 2: Für die Randlösung ( )11 FD = gilt: 0/ 11 <dSdp , 0/2 <dSdp und 0/1 =dSdp .
Für die innere Lösung gilt: 0/ 11 <dSdp , 0/2 <dSdp , und 0/1 <dSdp .
Dieser Satz beschreibt den Fall der begrenzten Möglichkeiten des Arbitrageurs zur
Wiederherstellung der Markteffizienz nach großen Schocks. Bei der inneren Lösung
wirkt sich der Schock 2S sogar auf 1p aus, da der Arbitrageur zunächst noch Teile
14 Shleifer/Vishny, (1997), S.43. 15 Numerisches Beispiel siehe Shleifer/Vishny, (1997), S.44.
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
10
seines Kapitals zurückhält, um diese bei weiter fallenden Kursen zu investieren und
somit in 1=t der Fehlbewertung weniger entgegenwirkt.
Im Folgenden soll die Abhängigkeit der Preise vom Parameter a untersucht werden,
wobei die Frage, ob mit steigendem a, also einer Intensivierung der PBA, die Effizienz
der Märkte sinkt, zu erörtern ist. Dies kann pauschal nicht beantwortet werden. Die
Reaktion von 1p und 2p bezüglich a ist sehr sensitiv gegenüber Noise Trader Schocks.
Unter Berücksichtigung der Annahmen des Modells, vor allem Vp =3 , kann gezeigt
werden, „that a higher a makes the market less efficient“.16 Mit steigendem a ergibt sich
im Gleichgewicht ein gleich großes bzw. geringeres 1p und ein kleineres 2p , bei
Verstärkung des Schocks. Die in diesem Modell beschriebene Arbitrage (PBA) führt zu
weniger effizienten Preisen als die Arbitrage ohne PBA. Im Gegensatz dazu kann die
PBA (mit großem a) aber auch zur schnelleren Angleichung an den fundamentalen Wert
beitragen, wenn das Modell auch eine langsamere Angleichung der Preise zulässt.
Mittelzuflüsse würden, nach einer auf einen Schock folgenden kleinen Erholung, durch
ein großes a stärker wachsen und die Arbitrageure könnten somit mit mehr Kapital
Fehlbewertung schneller eliminieren. Es ist festzuhalten, dass sich keine
allgemeingültigen Zusammenhänge zwischen der ex ante Markteffizienz und der
Intensität der Performance-Based Arbitrage formulieren lassen.
Die Effektivität der Arbitrage unter extremen Umständen soll nun im Mittelpunkt der
Betrachtung stehen. Theoretisch müssten Arbitrageure mit wachsender Fehlbewertung
der Märkte offensiver investieren, ob dies der Fall ist, lässt sich auf verschiedene Arten
messen. Zum einen betrachtet man die absoluten Beträge, die in 1=t und 2=t
angelegt werden ( )?11 FD < , zum anderen kann auch eine relative Betrachtung
durchgeführt werden ?)//( 2211 pFpD < . Aufgrund des gesunkenen Preises ist es
möglich, dass mehr Wertpapiere gehalten werden und dafür insgesamt weniger
Kapitaleinsatz nötig war. Um die Offensivität der von den Arbitrageuren getätigten
Investitionen festzustellen, kann außerdem untersucht werden, ob sie in 2=t weniger
Wertpapiere halten, also trotz fallender Kurse Teile ihrer Positionen liquidiert haben.
Die Sätze 3 und 4 behandeln die Bedingungen der Liquidation.
16 Shleifer/Vishny, (1997), S.45.
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
11
Satz 3: Wenn Arbitrageure bei 1=t vollständig investiert sind und 12 SS > ist, dann
gilt für 1>a , 12 DF < und 1122 // pDpF < .
Dieser Satz widmet sich den „extreme circumstances“17, in denen die Arbitrageure das
gesamte Kapital bereits in der ersten Periode investiert haben und dann einen
pessimistischen Schock ( 2S ) erfahren. Dieser führt zu Mittelabflüssen, die nur noch
durch Liquidation zu bedienen sind. In diesem Fall wird der Markt durch die
Arbitrageure sogar destabilisiert und sie können die besten Chancen nicht für sich
ausnutzen. Die Bedingung 11 DF = ist keine notwendige Voraussetzung für
Zwangsverkäufe. Wenn die Differenz von 1F und 1D sehr klein, aber dennoch positiv
ist, die durch ein q nur wenig größer als *q hervorgerufen wird, dann können die
Mittelabflüsse nicht nur aus den Barreserven aufgebracht werden. Es ist also ein q
berechenbar, bis zu dem der Arbitrageur zwangsweise Teile seiner Positionen auflösen
muss. Dies verstärkt die Ineffizienzen des betreffenden Marktsegments.
Unter den Bedingungen 11 DF = und 11 paF < , d.h., Arbitrageure mussten nicht ihre
gesamten Positionen verkaufen, ergibt sich:
( ) ( )11112 /1/ paFFaFSVp −+−−= . (9)
Daraus ergibt sich ein stabiles Gleichgewicht, dessen Ableitungen zu Satz 4 führen.
Satz 4: Im vollständig investierten Gleichgewicht gilt: 1/2 −<dSdp und
0/22 <dadSpd .
Auch Satz 4 geht von den oben bereits beschriebenen extremen Umständen aus. Die
Hauptaussagen sind zum einen, dass die Preise stärker fallen als es die Schocks unter
normalen Umständen implizieren würden und zum anderen, dass eine Intensivierung
der PBA diesen Effekt noch verstärkt ( 0/22 <dadSpd ). Wenn davon ausgegangen
wird, dass dSdp /2 ein geeignetes Maß für die Elastizität des Marktes ist, dann ist
festzustellen, „that a market driven by PBA loses its resiliency in extreme
circumstances“.18
Dies zeigt nochmals, dass die Arbitrage in extremen Situationen, wenn der Preis sehr
weit von seinem fundamentalen Wert entfernt ist, sehr begrenzt ist und keinen
17 Shleifer/Vishny, (1997), S.45. 18 Shleifer/Vishny, (1997), S.46.
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
12
stabilisierenden Effekt hat. Da es in solchen Situationen oft zu Zwangsverkäufen
kommt und auf der Käuferseite nicht genügend Kapital und damit Nachfrage vorhanden
ist, fallen die Preise sogar noch weiter. Zwei weitere Gründe für die Zwangsliquidation
unter extremen Umständen sind das strikte Verhalten der Gläubiger und ein mögliches
Agency-Problem zwischen dem Arbitrageur (Agent) und dessen Vorgesetztem
(Prinzipal).
3.1.3 Weitere Implikationen
In diesem Abschnitt werden weitere Folgerungen des Modells kurz behandelt. Zunächst
soll untersucht werden, in welchen Märkten Arbitrageure das Kapital investieren.
Allgemein lässt sich sagen, dass es in diesen Märkten möglich sein sollte, den fairen
Wert möglichst schnell, ziemlich genau und mit einer hohen Wahrscheinlichkeit zu
ermitteln. Dies ist vor allem auf den Anleihemärkten möglich, wobei man sich der so
genannten Relative-Value-Strategie19 bedient. Diese Strategie wird auch auf den
internationalen Devisenmärkten angewandt, ist dort aber risikoreicher, da die
zukünftigen Rückflüsse nicht sicher sind. Somit handelt es sich um Risk Arbitrage.
Wenn die Zentralbanken versuchen Wechselkurse, welche nicht dem Marktpreis
entsprechen, beizubehalten, werden sofort große Transaktionen durch Arbitrageure
getätigt, da diese wissen, dass der derzeitige Preis nicht dem fundamentalen Wert
entspricht. Auf den Aktienmärkten hingegen ist es ungleich schwerer den
fundamentalen Wert einer Aktie zu bestimmen.
Unterstellt man seitens der spezialisierten Arbitrageure Risikoaversion, werden sie
Märkte mit sehr hohe Volatilität meiden, was zunächst nicht plausibel scheint. alpha ist
definiert als Verhältnis der durchschnittlichen Outperformance der Arbitrageure zur
Benchmark. Es wird angenommen, dass alpha näherungsweise proportional zur
Standardabweichung der Schocks sei. Somit muss der Arbitrageur nur den investierten
Betrag an die Volatilität anpassen, um das gleiche erwartete alpha und die gleiche
Volatilität, also Risiko, zu erreichen. Er ist indifferent, ob er in einen volatilen Markt
wenig Kapital oder in einen weniger schwankungsreichen Markt mehr Kapital
investiert. Wird von der Annahme der Proportionalität jedoch abgesehen, ist ein
volatiler Markt für den Arbitrageur weniger attraktiv. Die von Unsicherheit und
Unentschlossenheit geprägten Märkte sind unter Einbindung des Zeithorizonts „likely to
19 Das Ausnutzen von temporären Preisanomalien bei mehreren in Zusammenhang stehenden Wertpapieren.
Norman Zimmermann Professionelle Arbitrage
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have a high long-run, but low short-run, ratio of expected alpha to volatility“.20
Aufgrund der PBA wird der kürzere Zeithorizont im Vordergrund stehen und damit ist
eine hohe Volatilität für Arbitrageure im beschriebenen Modell c.p. tendenziell negativ.
Das Risiko zerfällt in systematisches und nicht systematisches Risiko, wobei letzteres
nicht durch Hedging zu umgehen ist. Die Folge ist, dass Aktien mit hohem nicht-
systematischen Risiko nicht fair bewertet sind, da es den Arbitrageuren zu riskant ist,
diese Aktien leer zu verkaufen.
Mit Hilfe dieses Modells können auch verschiedene auf den Finanzmärkten auftretende
Anomalien, wie die Value-Glamour Anomalie, warum sie auftreten und warum die
Arbitrage sie nicht eliminieren kann, erklärt werden. Dies soll aber nicht Gegenstand
dieser Arbeit sein.21
3.2 Kritische Würdigung des Modells
Das Modell bietet Erklärungen für viele Phänomene des Finanzmarktes. Vor allem wird
gezeigt, dass die Möglichkeiten der Arbitrage die Preise der Wertpapiere an deren fairen
Wert anzugleichen unter extremen Umständen begrenzt sind.
Im Gegensatz zu bereits existierenden Modellen, wird in diesem Modell die Annahme
getroffen, es gäbe nur eine geringe Anzahl von Arbitrageuren, die große Kapitalbeträge
verantworten und auf eine Strategie spezialisiert sind. Somit ist der Investor, wenn er
nur einem Arbitrageur Kapital zur Verfügung stellt, nicht diversifiziert. Die
Anlageentscheidung trifft der Investor auf Basis von vergangenen Erträgen (PBA) und
bei schlechter Performance wird dem Arbitrageur das Kapital, zumindest teilweise,
wieder entzogen. Es kann somit zu Zwangsverkäufen kommen. In diesem Fall steht
dem Arbitrageur nicht genügend Kapital zur Verfügung um die besten Chancen, d.h.
eine sehr große Fehlbewertung, auszunutzen.
Der Autor dieser Seminararbeit teilt grundsätzlich diese Annahmen, will jedoch auch
zeigen, dass es Situationen bzw. Umstände geben kann, die dem Modell
möglicherweise entgegenstehen. Gibt es beispielsweise Arbitrageure, die über Zugang
zu ausreichend Kapital verfügen und somit die Schocks etwas reduzieren können, so
müssen die anderen Arbitrageure keine Zwangsverkäufe tätigen. Dadurch gewinnt die
Arbitrage an Effektivität, zumindest bei nicht allzu großen Schocks. Unterstellt man den
20 Shleifer/Vishny, (1997), S.51. 21 Siehe hierzu Shleifer/Vishny, (1997), S.51ff.
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Arbitrageuren jedoch Risikoaversion, so wird die Arbitrage weniger effektiv in der
Bekämpfung von Fehlbewertungen, da diese Arbitrageure ihre Positionen sehr schnell
und ohne Zwang liquidieren, wenn der Markt gegen sie läuft. Somit verschlimmert
allein die Angst vor fallenden Kursen das Problem. Im Modell wird die Annahme
getroffen, dass dem Arbitrageur bei schlechter Performance sofort Kapitalentzug droht.
Dies wird aber zum einen eher mit einer gewissen Verzögerung eintreten und zum
anderen stehen dem Ergebnisse der Verhaltensforschung, nach denen Verluste weniger
stark gewichtet werden und eine „wird schon wieder“ Haltung, entgegen.
Der Autor ist weiterhin der Meinung, dass das Modell in Bezug auf Privatpersonen als
Investoren in Deutschland keine Anwendung finden kann. In Deutschland werden
Hedgefonds an Privatpersonen nur über Dachfonds vertrieben. Dies hat zur Folge, dass
die Investoren diversifiziert sind. Damit werden sich Verluste und Gewinne teilweise
ausgleichen. Der Investor merkt also nicht, welcher Arbitrageur schlechte Erträge
generiert und kann ihm daher sein Kapital nicht entziehen. Der Dachfonds-Manager
könnte dies jedoch tun. Es wird aber angenommen, dass dieser über das nötige Wissen
verfügt um die guten Chancen, die die Folge einer groben Fehlbewertung sind,
erkennen kann.
Eine äußerst kritische Annahme ist die Erreichung des fundamentalen Wertes des
Wertpapiers in 3=t . Der Fall der Risk Arbitrage ist in den meisten Fällen realistischer
anzunehmen, wobei die grundlegenden Aussagen des Modells davon unberührt bleiben.
Das Modell beschränkt sich auf pessimistische Noise Trader. Nach Meinung des Autors
ist dieses Modell, unter der Voraussetzung formaler Anpassung, inhaltlich auch auf
optimistische Noise Trader anwendbar.
Norman Zimmermann Zusammenfassung
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4. Zusammenfassung
Das von Shleifer und Vishny entwickelte Modell beschäftigt sich mit der Interaktion
von Arbitrageuren und Investoren in Arbitrage-Fonds, sowie deren Wirkung auf die
Effizienz der Märkte.
Es wird von wenigen spezialisierten Arbitrageuren ausgegangen, die das Kapital der
Investoren verwalten und über einen Informationsvorsprung verfügen. Durch diese
asymmetrische Informationsverteilung entsteht ein Agency Problem. Investoren treffen
ihre Entscheidungen auf der Basis von vergangenen Erträgen (Performance-Based
Arbitrage) und nicht aufgrund der zu erwartenden Erträge. Dies hat zur Folge, dass den
Arbitrageuren bei einem Preisverfall Kapital entzogen wird, obwohl sich die Erwartung
an die zukünftigen Erträge verbessert hat. Es kann sogar dazu führen, dass der
Arbitrageur Teile seiner Positionen verkaufen muss und die Preise somit weiter fallen.
In solchen Fällen, die auch als extreme Umstände beschrieben werden, wirkt die
Arbitrage auf den Markt destabilisierend. Wenn also die Fehlbewertungen am größten
sind, ist die Effektivität der Arbitrage aufgrund des nicht ausreichend vorhandenen
Kapitals am geringsten. Die Möglichkeiten der Arbitrage, Preise an die fundamentalen
Werte anzugleichen sind also begrenzt. Weiterhin ist festzuhalten, dass Arbitrageure in
diesem Modell Geld verdienen, jedoch mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner als eins.
Es lassen sich durch das Modell auch weitere Phänomene erklären, z.B., dass Aktien
mit einem hohen nicht-systematischen Risiko nicht rational bewertet sind, da die
Arbitrageure dieses Risiko nicht hedgen können und somit die Aktie nicht
leerverkaufen.
Norman Zimmermann Literaturverzeichnis
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Literaturverzeichnis
Shleifer, A./Vishny, R. W. (1997): The Limits of Arbitrage, in: The Journal of Finance,
Vol. XII, Nr. 1, S. 35-55.
Internetquellen
Lutz Düvel,: Definition / Erklärung / Einführung - was ist Arbitrage, Düvel
Informationssysteme
http://www.arbitrage.de (Stand 24.10.2004)
Badischer Wertpapierclub GbR "Börsenlexikon"
http://www.bwclub.de/lexikon (Stand: 24.10.2004)
adLexikon Definition – Erklärung - Bedeutung
http://arbitrage.adlexikon.de/Arbitrage.shtml (Stand 24.10.2004)
3xW Definition-Info Portal
http://www.definition-info.de/Arbitrage.html (Stand 24.10.2004)
B-Cause Library
http://b-course.hiit.fi/bayesians.html (Stand 24.10.2004)
Erste Bank, Sparkassengruppe
http://www.sparkasse.at/ssite/files/DYN/erstebank/11503.pdf (Stand 01.08.2004)
Frankfurter Allgemeine Zeitung, Börsenlexikon
http://boersenlexikon.faz.net/arbitrag.htm (Stand 01.08.2004
Norman Zimmermann Ehrenwörtliche Erklärung
Ehrenwörtliche Erklärung
Ich erkläre hiermit an Eides Statt, dass ich die vorliegende Studienarbeit selbstständig
und ohne unerlaubte Hilfe angefertigt, andere als die angegebenen Quellen und
Hilfsmittel nicht benutzt und die benutzten Quellen wörtlich oder inhaltlich
entnommene Stellen als solche kenntlich gemacht habe.
Berlin, 29.10.2004 ____________________________ Ort, Datum Unterschrift
