Homogene affine Ebenen 1)

HELMUT SALZMANN

Satz. Eine lokal kompakte, zusammenhi~ngende topotogische aJfine Ebene endlicher Dimension mit einer geradentransitiven Automorphismengruppe A ist eine der 3 klassisehen desarguesschen Ebenen oder die Mou]ang-Ebene ~ber den Olctaven, und A ist /ahnentransitiv und enthi~lt die voile Traws- lationsgruppe von d .

Ein analoges Resultat gilt ffir projektive Ebenen [11]. Die F~lle, in denen die Punktmenge A eine Dimension d _< 4 hat, wurden schon frfiher behandelt [9, 4.16 und 5.7; 15; 16; 10]. Auf Grund eines Satzes yon SKOR~JAKOV [13; 9, 7.15] l~l~t sich d zu einer kompakten, topologisehen projektiven Ebene 2~ erweitern. Nach Voraussetzung operiert dann A transitiv auf der uneigentlichen Geraden W. Man kann annehmen, dal] A abgeschlossen ist in der Gruppe aller stetigen Kollineationen (= Automorphismen) von ~ bezfiglich der Topologie der gleichm~Bigen Konvergenz. Nach [11, (.)] hat man dann

(1) A ist eine lokal Icompakte, separable topologisehe Trans/ormationsgruppe der Geradenmenge ~ von d .

Da ~ lokal zusammenhi~ngend [9, w 7] und zugleich mit A endlich- dimensional ist, folgt nun, wie in [11, w 2(1)] n~her ausgeftihrt, aus [6, p. 175, 243; vgl. auch 4] sogar

(2) A ist eine Lie-Gruppe.

Als Bahn yon A ist W eine Mannigfaltigkeit [8, Satz 66], und damit auch jede Gerade L e ~ und jeder die Ebene koordinatisierende Tern~r- k(~rper K. Aus [9, 7.12] ergibt sich jetzt

(3) K ist hom6omorph zu ~m mit m = 1, 2, 4, 8, und W ist eine m-Sphdre

S m .

Die Punktmenge A ist homoomorph zu K • K und daher ein euklidi- scher Raum der Dimension d- -2m. Im weiteren kann man sich auf d > 4, also ~uf die F/~lle m = 4 oder m = 8 beschrs Die Gruppe aller

1) Teil eines Vortrags, den der Verfasser am 18. 12. 1973 ira Mathematischen Seminar der Universit~t Hamburg gohalten hat.

Homogene affine Ebenen 217

Abbildungen aus A, die W punktweise lest lassen, d.h. der axialen Kollineationen mit der Achse W, werde stets mit fl bezeichnet, T sei der Normaltefler der Translationen in ft. Allgemein bedeute V z die Stand- untergruppe von z und ['t~] die Gruppe der alle Geraden durch z lest lassenden zentralen Kollineationen aus V.

Nach einem Satz von MONTGOMERY [5; 6, p. 226] gilt

(4) Eine maximale kompakte zusammenhiingende Untergruppe r von A ist transitiv au] W.

Die Wirkung von r auf der Sphs W ist dann bekannt, vergl. [7]:

(5) ~/fl n �9 ist i~quivalent zu SO (m + 1).

Ws ~ n q)= 1, so gi~be es eine Involution a e (I), die auf W genau 2 Fixpunkte u, v hat. Da dann a keine Unterebene elementweise fest lassen kann, ist a eine Spiegelung und etwa u ihr Zentrum, v ein Achsen- punkt. Im Widerspruch zu (5) lieSe dann der ganze Zentralisator Zs (a) die Punkte u und v einzeln lest. Also ist fl c~ (1)# 1 und entweder r (m+ 1) oder dim ( f l n r 0. Da es keine involutorisehen Translationen gibt [ 14], folgt in beiden Fs

(6) ~ r~ (I) enth~It eine Spiegelung a.

Enthielte q) (~ ~ eine Translation ~ ~ 1, so g~be es in (1) Translationen in jeder Richtung, und r r~ T w~re fiberabz~hlbar, h~tte positive Di- mension und enthielte eine Torusgruppe, also im Widerspruch zu dem vorher Bemerkten doch eine Involution:

(7) $ n T = l .

Da das Produkt zweier Spiegelungen mit der Aohse W und verschie- denen Zentren stets eine Translation ist [1, p. 103; 3, Lemma 4.21], ist das Zentrum a v o n a der einzige eigentliche Punkt, der Zentrum einer Spiegelung aus q) ist, und a ~ = a. Man hat also

(8) r u n d C n ~ = r

Andererseits k a n n a wegen der Geradentransitivit/it kein Fixpunkt von A sein, und es folgt T r 1, also dim T r 0. Weil alle Translationen einer Einparameteruntergruppe dasselbe Zentrum haben, gilt ftir jedes

z e W sogar

(9) dim Ttz ] > 0.

Als Gruppe ohne kompakte Untergruppe ist die Zusammenhangs- komponente T 1 yon T isomorph zu ~t. Wegen (9) liegt der Zentralisator yon T 1 in l] und man erh~lt

(10) Zs(T1) = T.

218 Helmut Salzmann

Auf Grund von (7) kann man q) als Automorphismengruppe von T 1 und damit als Untergruppe yon SO (t) auffassen. Mit (5, 6) ergibt sieh unmittelbar t > m + 1. Um sogar t = d und damit die Transitivits yon T zu beweisen, betrachtet man ftir ein u e W die Wirkung yon T = r auf der zu R e isomorphen Zusammenhangskomponente E. yon T[.]. Mit der Bezeichnung 6). = Z% (I.) ist dann T / e . isomorph zu einer Untergruppe yon SO (s). Wegen (5) I/iBt T noeh genau einen wei~eren Punk% v e W fest, T/r ] = SO (m), und die Wirkungen yon T auf ~, und X, sind konjugiert, insbesondere ist 6). ~@~. Die Gruppe Y. E, enths Einpara- meteruntergruppen zu jedem Zentrum auf W; denn die Menge soleher Zentren ist zusammenhs und invariant unter T. Daher liegt O. n Oo in fl und es folgt

(11) O. r~ 0 , ,=0. n qb[.] =0,, ~ r 1.

Da die kompakte Streckungsgruppe (Dr, ] nicht transitiv sein kann, gilt

(12) dim q)[.] < m.

(') Nun hag man dim 6). + dim 19 0 < dim r + 2 und daher dim O. < m (m + 1) m/4, insbesondere also 4

(13) {9. CE.] # ~"

Die folgenden Beweisschritte werden wegen der unterschiedliehen Struktur der Gruppen SO(m) fiir m = 4 und m = 8 getrennt durch- geftihrt. Im Fall m = 4 ist (9.~@. d)r.]/q)[, 1 ~ Spin (3); denn sonst wiire I @, I < 2 = I(l)[,]l und T ~ Spin (4) ~ Spin (3) ~, also T / G . - SO (4) und (9. = (DE, ], was dureh (11) ausgeschlossen ist. Da 6). treu auf Ev operiert, folgt s = m.

Im Fall m = 8 ist dagegen I O. [ < 2; denn SO (8) ist quasieinfach. Folg-

lieh ist dim T = (~), also l(i)[.]l= 2 und wieder s = m . Die Normalteiler

@., (9 v und r enthalten dann je eine der 3 zentralen Involutionen yon T-~ Spin(8), vergleiche auch [12].

In beiden F/fllen hat man t = 2s = d und daher

(I4) Die Translationsgruppe T ist transitiv au] A, und A ist ]ahnen- transitiv.

Da die reellen Zahlen im Kern von T liegen, gibt es eine zu N isomorphe Streckungsgruppe P, die nicht in A zu liegen braucht. Nach dem Beweis yon (14) induziert nun T P auf ~. die Gruppe GO (m) der J~hnliehkeiten, und q)P ist transitiv auf A \a. Dies liefert den Zusatz

(15) AP ist zwei/ach transitiv au/ A, und (1) operiert transitiv au/ der zu 5 d_ 1 hom6omorphen Menge der einTarametrigen Unterhalbgruppen

VO~ T.

Homogene affme Ebenen 2 ] 9

Mit (14) ist der zweite Teil des Satzes bewiesen. Der erste Teil ergibt sich nun nach folgendem Muster: Ws man A minimal, so wird r ~ Spin (m + 1), und f fir A gibt es aus darstellungstheoretisehen Grfin- den jeweils nur eine M(~glichkeit. Standgruppen der Punkte sind genau die maximalen kompakten Untergruppen,/~hnlich sind die Standgruppen der Geraden bis auf Konjugation festgelegt. Nach HIGMA~c-MoLAuG~mI~r 1/~Bt sich d durch die Standgruppen eines inzidenten Punkt-Ger~den- Paares beschreiben [2]. Durch Vergleich erh/ilt man die Isomorphie yon ~r zur Quaternionen- oder Oktaven-Ebene.

Nur die eindeutige Bestimmtheit von A bedarf noch eines Nachweises. Dazu wird wieder naeh der Dimension unterschieden: Ist im Fall m = 4 die Zusammenhangskomponente yon r nicht trivial, so ist sie entweder isomorph zu Spin(3) oder sie ist ein zentraler Torus von (1). Ihr Zen- tralisator bzw. die Kommutatorgruppe r ist dann isomorph zu Spin (5) und erzeugt zusammen mit T die kleinste geradentransitive Automor- phismengruppe yon ~r Denkt man sieh A yon vornherein minimal gew/ihlt, so hat man also jedenfalls (I) -~ Spin(5). Nach (15) ist (I) transitiv auf der Einheitssph/s S T yon T, und der Beweis von (14) zeigt, dab die Standuntergruppe eines Punktes yon S T ein direkter Faktor einer Gruppe Spin (4) in q) ist. Alle Untergruppen dieser Art sind aber in (l) konjugiert. Daher sind alle m0gliehen Wirkungen von (1) auf T/~quivalent, und die Eindeutigkeit von A ist in diesem Fall bewiesen.

Bei m = 8 ist wegen dim (1)in ] = 0 nur (I) -~ Spin (9) mt~glich. Wie in [7] ausgefiihrt, gibt es nun ~uch nur eine auf $15 transitive Darstellung von (1) auf T, und (1)T ist in jeder geradentransitiven Gruppe von d ent- halten. Damit ist der Beweis beendet.

Herr H. H~hl hat bemerkt, dab die Voraussetzung endlicher Dimen- sion yon A auf Grund eines neuen Ergebnisses von J. Szenthe [17, Th. 4] entbehrlieh ist.

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